正则性准则

正则性准则（共3篇）

正则性准则 篇1

1. 引言

考虑如下的MHD方程:

其中u (x, t) 和B (x, t) 分别表示流体的速度场和磁场, p (x, t) 表示压力.三维情形下MHD方程的Leray-Hopf型弱解在文献[2]中已经被建立, 然而关于弱解的正则性问题依然是流体力学中的一个公开问题.关于弱解正则性准则的工作来源于Serrin[3]对Navier-Stokes方程弱解正则性的研究.Serrin的工作在MHD方程的正则性准则中得到广泛的应用[1, 2, 4, 5].在文献[1]中证明了若弱解 (u, B) 满足如下条件:

则弱解在存在区间[0, T]上是唯一的强解.然而文献[5]的结果以及数值实验[6]都表明在MHD方程的弱解正则性准则研究中速度场对弱解的正则性有更重要的作用.因此, 一个自然的想法便是在条件 (2) 中去掉磁场的条件, 获得只涉及速度场的正则性准则.

2. 预备知识

令S (R3) 是速降函数空间, 若f∈S (R3) , 定义Fourier变换

和逆变换

令h=F-1φ, 定义如下的局部算子:

对于f∈L2, 我们有如下的Littlewood-paley分解:

由文献[7], 有如下结果:

在本文中, 函数f的Lp范数用‖f‖p表示, Hs的范数用‖f‖Hs表示, 常数通常用C表示, 且令v=η=1.

3. 主要结果

定义1 (u, B) 称为方程 (1) 的弱解, 如果满足如下条件:

(1) (u, B) ∈L∞ (0, T;L2 (R3) ) ∩L2 (0, T;H1 (R3) ) ;

(2) 在分布意义下满足方程 (1) .

引理1若f∈H3 (R3) , #·f=0, 则存在一个常数C, 使得[1]:

引理2 (Gagliardo-Nirenberg不等式) 设1≤p, q, r<∞, j, m是任意整数, 且满足0≤j

则 (u, B) 是方程 (1) 在[0, T]上的唯一的强解.

证明:首先估计‖#u‖2和‖#B‖2.

将方程作用于#, 然后分别对#u和#B作L2内积有:

利用Holder不等式及不可压缩性有:

利用Gronwall不等式, 在 (0, T) 上有:

其中C'=C (‖#u0‖2;‖#B0‖2) .

在条件 (6) 的假设下, 存在T*0有:

从 (9) 式可知, 在[T*, t]上有:

然后估计A (t) .

通过分部积分计算可得:

类似于B的估计有:

利用H1, H2的估计可以计算:

综合 (11-22) 有:

两边积分有:

其中C6=C (A (0) , T*) .

在满足条件 (6) 的情况下, 由Gronwall不等式可知:

定理证毕.

4. 结束语

与条件 (2) 相比较, 本文是对文献[1]中结论的一个改进.本文的结论同样说明了在MHD方程的正则性准则研究中, 速度场相对于磁场具有更加重要的地位.

摘要：利用能量估计的方法, 结合BMO空间中的对数不等式证明了一个涉及速度场的正则性准则.本文的结果改进了文献[1]的相关结论.

关键词：MHD方程,弱解,正则性准则

正则性准则 篇2

近年来基于导频的信道估计算法得到了广泛研究,R.Ne等[1]研究了慢时变信道环境下最优导频的放置方案,指出慢时变或非时变信道环境下,导频应该等间隔分布。良好的信道估计算法需要同时具有很好的估计精度和良好的跟踪能力。从实现准则来分,信道估计方法可分为最小均方误差(MMSE)[2,3]、最大似然估计(MLE)[4]、最小平方误差(LS)[5]等。MMSE算法[2]性能最好,可以得到精确的信道估计,但是MMSE算法需要知道信道的统计信息,并且具有很高的计算复杂度。线性最小均方误差(LMMSE)[3]信道估计器,是根据最佳低阶秩理论推导出的一种低复杂度的信道估计器,该估计器在信噪比(SNR)较低时性能受限,并且仍然需要已知信道的统计特性和信噪比。最大似然(ML)[4]信道估计算法,无须知道信道的频率相关特性,但是需要已知信道最大时延扩展和信噪比,且对有效信道长度具有敏感性。因此实际系统中常采用LS[5]算法,LS算法计算简单,不需要任何先验信道信息,但是LS算法的性能较差。为了提高LS算法的性能,[6]提出了基于离散傅立叶变换(DFT)的变换域信道估计算法,基于DFT的信道估计算法计算简单,不需要任何信道先验信息,性能优于LS算法。

本文首先分析了OFDM系统中子载波间干扰产生的原因和特性[7],接着分析了基于最小二乘LS的信道估计技术的性能,然后提出了同时考虑信道噪声和载波间干扰的OFDM信道估计算法。根据Tikhonov正则化原理[8],导出了总体最小二乘正则化解法的计算公式。该算法根据子载波间干扰特性,避免了一般总体最小二乘[9]方法带来的设计矩阵结构上的缺陷,并通过迭代计算进一步去除载波间干扰和噪声对系统性能的影响。理论分析和仿真结果表明该算法不仅可以有效的提高系统的误码率性能和信道估计的精度,而且对有限长度的CP仍然能保证通信质量,从而提高了频率利用率。

1 OFDM系统模型

1.1 信道模型

信道为瑞利多径衰落信道,且假设在一个OFDM符号间隔T内不变。在第n个OFDM符号间隔内,离散信道脉冲响应函数可表示为:

其中L为多径延迟扩展用采样时间归一化后的时间单位数,hl为第l条路径信号的衰落因子且为零均值的复高斯随机变量;τl第l条路径的多径时延,fDl为第l条路径的多谱勒频移,它会引起接收信号的载波间干扰(ICI);δ(t)为Kronecker delta函数。对于最大有效延迟数为L的信道,采用抽头系数为复系数的FIR滤波器作为信道的模型,其冲激响应的系数h=[h0,h1,…,hL]T。

1.2 OFDM信号模型

基于导频插入的典型的OFDM系统基带模型如图1所示,基于导频信道估计的OFDM系统首先在映射器中根据系统的调制方式对二进制信息进行符号映射分组并调制,串并变换后以固定周期在所有子载波上插入导频,形成频域序列X[k]。长度为N的序列X[k]被调制到工作子载波上,经过逆离散傅里叶变换(IFFT)模块被转化为时域序列x[n]。

为了消除码间干扰ISI,每帧OFDM符号后要插入保护间隔,保护间隔的长度Ng,Ng应大于等于信道冲击相应的最大延时,保护间隔可以由循环前缀组成,插入循环前缀后,此时OFDM系统的输出信号表示为:

发送信号通过带有加性白高斯噪声(AWGN)的频率选择性信道进行传输。在接收端,串并转换除去CP后,FFT之前的时域接收信号向量yt=[yi,0,yi,1,…,yi,N-1]T可以表示为:

式中G,A和B都是N×N矩阵,它们的组成如下面三个式子所示:

G是循环矩阵;A的最后g列为零。(4)式右边第二项和第三项分别代表ICI和ISI。如果g≥L,A和B为零矩阵,这时不存在ICI和ISI,均衡可以简化为简单的频域单抽头均衡。在CP不足时,残余ISI导致的当前符号内的ICI和前一符号带来的ISI会影响系统性能。这时,需要采取措施来消除这些干扰。

经过FFT变换,接收信号的频域表达式为:

式中Y(k)表示接收端第k个子载波的接收信号值,H(k)表示第k个子载波的信道频率特性值,w(k)表示频域AWGN,I(k)表示第k个子载波上干扰项。

2 最小二乘信道估计性能分析

LS信道估计是最简单的一种信道估计方法。设发送的导频信号X=[X0,X1,…,XP-1],从接收信号的导频位置获得导频符号Y=[Y0,Y1,…,YP-1],依据最小二乘准则:得到导频位置的信道特性:

在OFDM系统中,LS估计的MSE性能取决于导频所占用的频点及功率,当不考虑虚载波时,采用[10]中等间隔等功率的最优导频时,LS估计的MSE为:

式中σ2表示加性高斯白噪声信号功率,Ep为分配给导频的总功率。从式(4),(8)和(10)可以看到,LS信道估计结果仅考虑噪声而没有抑制干扰。如果能够采取一定的方法减小LS信道估计结果中噪声和干扰,那么LS信道估计的MSE可以得到降低。

3 正则总体最小二乘信道估计算法

针对上述ICI和ISI问题,接收端信号经过FFT后可以表示为:

式中W表示导频信号产生的数据矩阵,包括了I-CI和ISI干扰项后,不在为常数对角阵;E表示信道的不确定性对数据矩阵扰动;e表示噪声。

总体最小二乘模型的正则化准则[7]为:

其中α是正则化参数。

构造拉格朗日目标函数:

λ为NP×1拉格朗日乘算子矢量。对式(14)中Φ(E,e,λ)求偏导,并令偏导数等于0得:

求解上面(15)和(16)式得:

将(18)和(19)式代入约束方程得:

由(17)和(19)式得:

将(20)代入(21)化简得:

其中:

下面给出利用(22)、(23)式迭代计算的正则总体最小二乘信道估计算法,具体计算步骤如下:

步骤1用最小二乘算法估计信道的冲激响应,再用信道冲激响应的估计值分别构造出G,A和B;

步骤2初始化数据矩阵W和H(0),按照式(23)计算中间变量β;

步骤3按式(22)、(23)计算第1次迭代结果H(1)和β(1);

步骤4重复步骤3求第i次迭代结果:H(i)和β(i);

步骤5判断||H(i)-H(i-1)||<δ(δ为阈值),若成立则停止迭代;反之,重复步骤4。

上面迭代过程可以得到很精确的信道估计,其性能可由其均方误差来衡量:

4 性能仿真

为了评估文中提出的综合考虑了噪声和干扰的正则总体最小二乘RTLS信道估计算法的有效性,并与LS算法作比较。进行了系统的仿真,仿真参数如下:OFDM系统载频为2.0 GHz,子载波数N=128,16QAM调制,子载波间隔为:7.8125k Hz。各径时延依次为:0,2,4,8和12μs,延迟功率谱服从指数分布。先考察循环前缀充足CP=16时的仿真,即不存在存在I-CI和ISI干扰时改进算法有效性。下面给出仿真图如图2所示:

图2给出了两种算法的MSE随信噪比SNR变化的曲线。因为LS算法的性能受限于噪声,从图2可以看出,在低信噪比时,LS算法抑制噪声的能力比较差所以其MSE性能也差;而RTLS的性能有显著的提高。随着信噪比的增加,RTLS算法与LS算法性能越来越接近,因为随着噪声噪声功率的降低,噪声的影响越来越小。

系统BER随信噪比SNR变化的曲线如图3所示。从图3的BER比较图中也可得出与图2相同的结果,RTLS算法更能抑制噪声。在信噪比低于10d B时,RTLS算法有超过5d B的性能提高,信噪比越低性能提高越明显。

为了验证RTLS算法对干扰的稳健性,在两种循环前缀不足的情况下,系统BER随信噪比SNR变化的比较曲线如图4所示。从图4的比较结果可以看出,LS算法受ICI干扰影响较大,CP长度越小影响越大。因为RTLS总体考虑了噪声和干扰,ICI干扰对其影响不明显。随着SNR的增加,干扰是降低估计精度的主要原因,采用干扰抑制RTLS算法性能比LS算法有约6 d B的性能提高。理论上总体最小二乘算法比LS算法性能有10~15d B的性能提高[7],所以RTLS可大大提高估计的精度。

5 结束语

信道估计是实现OFDM系统性能的关键。由于总体最小二乘算法可以同时兼顾噪声和干扰,本文通过对频率选择性衰落信道下的OFDM系统ISI和ICI产生机理分析,避免了一般总体最小二乘算法设计矩阵结构上的缺陷。根据Tikhonov正则化原理,提出了总体最小二乘正则化信道估计算法。仿真结果都验证了该算法的有效性,尤其在存在干扰时改进明显,比普通最小二乘算法估计性能提高5d B以上。因此对噪声和干扰综合考虑可以提升信道估计算法鲁棒性。

参考文献

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正则性准则 篇3

最短路径的问题源出于交通运输等问题,对于n个城镇之间的公路所组成的公路网,从甲地到乙地是否有公路,若有多条公路可以到达时,走哪条路最近?花费最省?这些问题是我们最为关注的。最短路径可以定义为从某顶点出发,沿图的边到达另一顶点所经过的路径中,各边上权值之和最小的一条路径。解决最短路的问题有Dijkstra算法,Bellman-Ford算法,Floyd算法和SPFA算法等。本文结合最短路径Dijkstra算法问题的求解来证明正则语言的空性可判定性。

1 正则语言的空性判定方法 ——标记法

1.1 有穷自动机(DFA)和正则语言

定义1有穷自动机是一个5元组(Q,Σ,Γ,δ,q0,F)[2],其中:

Q:一个有穷集合,叫做状态集。

Σ:一个有穷集合,叫做字母表。

δ:QΣ→Q是转移函数。

q0: 起始状态,q0∈Q。

F:接收状态集,F Q。

设M=(Q,Σ,Γ,δ,q0,F)是一台有穷自动机,ω=ω1ω2…ωn是字母表Σ上的一个字符串。如果存在*Q中的状态序列r0,r1,…,rn,满足下述条件:

则M接受ω。

条件(1)说机器从起始状态开始,条件(2)说机器按照转移函数从一个状态到一个状态,条件(3)说如果机器结束在接受状态,则接受它的输入。如果A=﹛ω|M接受ω﹜,则称M识别语言A。

定义2如果一个语言被一台有穷自动机识别,则称它是正则语言[2]。

例图1给出机器M1,令ω是字符串

由于当M1对ω计算时进入的状态序列为

它满足上述3个条件,根据计算形式定义,M1接受ω。M1的语言是

L(M1)=﹛ω|除<RESET>将计数重新置0之外,ω中所有符号之和模3等于0﹜

因为M1识别这个语言,所以它是正则语言。

1.2图灵机(TM)的形式定义

定义3一个图灵机是一个7元组(Q,Σ,Γ,δ,q0,qaccept,qreject),其中:Q,Σ,Γ都是有穷集合[3],并且:

Q状态集。

Σ:输入字母表,不包括特殊空白符号凵。

Γ:带字母表,其中:凵∈Γ,ΣΓ。

δ:QΓ→QΓ﹛L,R﹜是转移函数。

图灵机M=(Q,Σ,Γ,δ,q0,qaccept,qreject)的计算方式如下:开始时,M以最左边的n个带方格接受输入ω=ω1ω2…ωn∈Σ*,带的其余部分是空白(即填以空白符)。读写头从最左边的带方格开始运行。注意,Σ不含空白符,故出现在带上的第一个空白符表示输入的结束。M开始运行后,计算根据转移函数所描述的规则进行。如果M试图将读写头从带的左端移出,即使转移函数指示的是L,读写头也停在原地不动。计算一直持续到它进入接受或拒绝状态,此时停机。如果二者都不发生,则M永远运行下去。

1.3 标记法证明正则语言的空性

下面定理证明了EDFA是可判定的,因而也就证明了问题“一个给定的有穷自动机的语言是否为空”是可判定的。

定理1 EDFA是一个可判定语言。

证明DFA接受一个串当且仅当:从起始状态出发,沿着此DFA的箭头方向,能够到达一个接受状态。为检查这个条件,设计一个使用标记算法的TM M。

T=“对于输入<A>,其中A是一个DFA:

1) 标记起始状态。

2) 重复下列步骤,直到所有状态都被标记。

3) 对于一个状态,如果有一个到达它的转移是从某个已经标记过的状态出发的,则将其标记。

4) 如果没有接受状态被标记,则接受,否则拒绝。”

2 最短路径算法判定正则语言的空性

2.1 最短路径算法及其思想

Dijkstra算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点:以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止[4]。

主要思想[5]:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,若源顶点为V0,则S={V0}),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示)。对于源顶点V0,首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi,那么可得从V0到Vj的最短距离为dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matri X[i][j]}。基于这个原理,则可分为如下步骤:

1) 从集合U中选择使dist[i]的值最小的顶点i,将i加入到S中;

2) 更新与i直接相邻顶点的dist值;

3) 直到S=V结束。

2.2最短路径算法判定正则语言的空性

正则语言的空性判定除了标记法证明外,还可以用最短路径算法来证明,其过程如下:

1) 初始时,假设所有路径权值相同。S只包含起始状态q0,即S={ q0},q0的距离为0。U包含除q0外的其他状态,即:U={其余状态}。

2) 从起始状态q0出发,沿着此DFA的箭头方向,在集合U中寻找其子节点qn,把qn加入S中(由于权值相同,子节点qn可能会有多个),则路径总数为每一个深度中子节点总数的乘积。

3) 将子节点qn作为父节点,寻找下一个深度中的子节点。

4) 重复步骤(2)(3),直到需找一条有限深度的路径。即正则语言若为空,则路径无限长,正则语言若不为空,则路径是有限长的。

3 结论