低频振荡辨识（精选7篇）
低频振荡辨识 篇1
1 引言
随着电力系统的规模越来越大, 对系统监测和控制的要求也越来越高, 低频振荡发生的风险越来越大, 严重威胁着电网的安全稳定运行。
低频振荡按所涉及的范围和振荡频率的大小大致分为两种类型:局部模态和区域间模态。局部振荡模态是指系统中某一台或一组发电机与系统内的其余机组的失步。这种振荡的频率相对较高, 通常在1~2Hz之间。区域间振荡模态是指系统中某一个区域内的多台发电机与另一区域内的多台发电机之间的失步。这种振荡模态的振荡频率较低, 通常在0.1~0.7Hz之间[1]。
2 低频振荡产生机理
目前低频振荡的机理主要有基于阻尼转矩概念、强迫振荡原理、强谐振机理、分岔理论和混沌振荡的解释。
2.1 欠阻尼机理
系统中的发电机经输电线并联运行时, 不可避免的扰动会使各发电机的转子相对摇摆, 有可能会给系统带来负的阻尼转矩, 当它抵消掉发电机原有的正阻尼后, 系统阻尼不足便会引发增幅低频振荡。基于发电机转子的惯性时间常数较大, 故振荡频率较低。低频振荡常发生在长距离、重负荷输电线上, 特别是在采用快速高放大倍数的励磁系统中更容易出现功率振荡。
2.2 强迫振荡原理
强迫振荡原理着重关注于周期性负荷波动或振荡调节的作用, 针对线性化模型考虑激励源。若系统阻尼为零或者较小, 则由于扰动的影响而出现不平衡转矩, 使得系统的解为一等幅振荡形式。当发电机受到的周期性激励的频率与系统固有振荡频率接近时, 在该频率下便会发生强迫振荡, 或称为共振型低频振荡。它具有起振快、起振后保持等幅同步振荡和失去振荡源后振荡很快衰减等特点。
2.3 强谐振机理
强谐振机理是针对多机系统线性化模型的分析。随着系统运行参数的改变, 各振荡模式对应特征值发生移动, 有两个振荡模式的阻尼和频率变化到接近相同时便会产生谐振, 强谐振的结果会使两个振荡模式对应的两个特征值呈近似直角的迅速改变移动方向, 有其中一个穿越虚轴从而引发振荡失稳。
2.4 分歧理论
分岔理论利用特征值结合高阶多项式从数学空间结构上来分析系统的稳定性, 分析系统因本身构造 (拓扑结构) 的改变造成系统稳定特性的改变情况。电力系统的分歧有静态分歧和动态分歧两种情况, 其中静态分歧是由于系统潮流方程的多解而出现的, 而动态分歧包括Hopf分歧、循环往复式分歧和倍周期分歧。
2.5 混沌振荡机理
实际电力系统是个强非线性的大型系统, 动态行为极为复杂。文献针对低频振荡的参数进行分析, 仅有阻尼而无周期性负荷扰动时, 系统不会出现混沌振荡;在周期性扰动负荷的作用下且当扰动负荷的值超过一定范围的时候, 系统出现混沌振荡;在周期性负荷扰动下, 当阻尼系数接近某一数值时, 系统发生混沌振荡。电力系统可能出现的混沌给传统的稳定分析和控制都带来了巨大的挑战。
3 低频振荡主要分析方法
3.1 特征值分析法
该方法将低频振荡归于小干扰稳定研究范畴。在工作点附近将系统线性化, 形成系统状态方程矩阵, 进而求取特征值、特征向量, 并分析系统低频振荡的模式、振型、参与因子和灵敏度等, 考察原始系统的小干扰稳定性。这种方法已成为多机电力系统动态稳定分析最有效的方法之一。
3.2 时域仿真法
时域仿真法, 在低频振荡的研究中应用也比较广泛。该方法结果物理意义明确, 不受系统规模的限制, 即使采用详细的电力系统元件模型也不增加计算过程的复杂度。但其仿真时不能保证激发和观察到所有的关键模式, 选择不同的故障方式, 可能得出不同的结果;观察量由不同频率、阻尼的模态混杂在一起, 不易分析, 有可能出现误导。因此, 在低频振荡的分析中, 时域仿真法与特征值分析法通常配合使用。
3.3 基于量测的方法
基于量测的方法是直接对现场记录的数据波形进行信号分析, 辨识出系统的振荡模式信息。在电力系统低频振荡研究中应用最多的是Prony算法, 但该方法不能反映动态过程的非平稳性和辨识的结果对噪声敏感, 因此, 实际工程中多采用改进的Prony算法。
4 低频振荡的在线辨识
4.1 广域测量系统 (WAMS)
相对于传统的SCADA系统, 广域测量系统 (WAMS) 是一种能对电力系统动态过程进行监测的工具, 尤其是它能够快速测量发电机的内电势、功角、角速度和母线电压等与发电机机电暂态过程密切相关的量, 并能及时地将信息传送到中心站, 为实现基于全网的在线安全稳定分析提供了平台。与常规离线分析相比, 基于WAMS的低频振荡分析具有更高的可信度。
4.2 基于WAMS的在线辨识
直接将系统线性化状态空间方程离散化, 利用WAMS提供的各离散时间点的测量值, 通过最小二乘法计算线性化状态空间方程的系数矩阵, 进而计算该矩阵的特征根;基于WAMS提供的各离散时间点的测量值采用卡尔曼滤波方法计算系统的机电振荡模式;文献[7]应用快速傅立叶变换和小波分析对WAMS提供的节点间的电压相角差振荡时间曲线进行分析, 提取低频振荡模式。
5 总结
随着我国超大规模互联电网的形成, 电网结构越来越复杂, 在低频振荡的研究过程中要充分考虑系统本身特性。广域测量系统 (WAMS) 技术的迅速发展与广泛应用, 给低频振荡的在线检测与分析提供了新的视角与方法。
参考文献
[1]徐政.交直流电力系统动态行为分析.北京:机械工业出版社, 2004.[1]徐政.交直流电力系统动态行为分析.北京:机械工业出版社, 2004.
[2]王铁强, 贺仁睦, 等.电力系统低频振荡机理的研究[J].中国电机工程学报, 2002, 22 (2) :21.25.[2]王铁强, 贺仁睦, 等.电力系统低频振荡机理的研究[J].中国电机工程学报, 2002, 22 (2) :21.25.
[3]倪以信, 陈寿孙, 张宝霖.动态电力系统的理论和分析.北京:清华大学出版社, 2002.[3]倪以信, 陈寿孙, 张宝霖.动态电力系统的理论和分析.北京:清华大学出版社, 2002.
低频振荡辨识 篇2
目前电力系统低频振荡信号比较常用的分析方法有傅里叶算法、Prony算法、经验模式分解法等。其中经验模式分解 ( EMD) [3,4,5,6,7]是一种适用于非平稳信号处理的方法。然而, 随着对EMD方法研究的深入, 其也存在着一些问题, 它缺乏完备的理论基础, 要得到一个实际信号的所有IMF分量需要较长的计算时间。
针对EMD存在的不足, Gilles结合EMD的自适应性和小波分析的理论框架, 提出了一种新的自适应信号处理方法即经验小波变换 (empirical wavelet transform, EWT) 。其核心思想是通过对信号的Fourier谱进行自适应划分, 建立合适的小波滤波器组来提取信号不同的AM-FM成分[8]。
1经验小波变换
Gilles在EMD的基础上, 结合小波分析, 提出了EWT方法[8], 该方法是建立在小波分析的理论框架上, 根据信号的Fourier谱特性自适应地选择一组小波滤波器组来提取信号的不同AM-FM成分。
通过构造经验小波, 重建原信号, 得到一个信号的经验模态, 上述的完整过程称为经验小波变换。
2结合EWT与Hilbert的参数辨识方法
对原低频振荡信号经EWT得到的每个AM-FM进行Hilbert变换, 就能得到每个分量的解析式, 得到随时间变化的瞬时频率和瞬时幅值, 进而得到Hilbert谱。对瞬时值进行拟合, 计算阻尼比, 从而完成对低频振荡模态参数的提取过程。
从数值仿真参数辨识结果可知, 结合EWT和Hilbert的方法能对低频振荡信号进行有效的模态分离和参数辨识, 是辨识低频振荡模态的一种新的有效的方法。
3结合EWT与Prony的参数辨识方法
传统Prony算法进行参数辨识存在对信号噪声非常敏感的缺点, 同时对输入信号有较高的要求。因此, 利用EWT和Prony算法相结合的低频振荡参数辨识方法。该方法首先以广域测量信号作为输入信号, 然后利用EWT方法对输入信号进行预处理而达到降噪, 最后利用Prony算法对滤波后的信号进行分析得到电力系统低频振荡参数。
通过对比Prony算法和本算法辨识效果, 上述算法在保证辨识的合理性和精确度, 能满足低频振荡和系统振荡分析的需求。
4结论
本文运用EWT理论结合Hilbert变换及Prony算法, 能从时域仿真或现场试验得到的系统响应信号中直接提取出系统低频振荡模态分量的瞬时频率、瞬时幅值及阻尼比等参数, 从而实现了辨识低频振荡模态参数的目的。同时鉴于算法的合理性和有效性, 以及其较高的精确度, 将其运用到电力系统低频振荡模态参数提取中能获得准确的分析结果。数值仿真和实例分析均表明本文提出方法的有效性和精确性。
参考文献
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[7]李天云, 高磊, 赵妍.基于HHT的电力系统低频振荡分析[J].中国电机工程学报, 2006, 14:24-30.
低频振荡辨识 篇3
随着大型机组快速励磁系统的采用以及电力系统互联规模的不断扩大,低频振荡问题日益突出,严重威胁着电力系统的安全稳定运行[1,2]。因此,对电网低频振荡进行有效监视和抑制是智能电网(Smart Grid)中电网自愈功能的重要组成部分[3],对电网安全稳定运行具有重要意义。
基于量测信号的分析可实现对低频振荡模式的在线辨识。一般而言,由于电网运行状态的不断变化,量测信号可分为两类[4]:一类是稳态运行状态下的类噪声信号(Ambient Data);另一类是明显扰动激励后的动态信号(Ringdown Data)。文献[5]首次验证了基于类噪声信号分析低频振荡模式的可行性。文献[6]提出了基于自回归滑动平均(ARMA)模型的块处理算法进行低频振荡模式辨识,但块处理算法的滑动窗大小对辨识结果影响较大,还存在计算量大以及对动态数据无法有效辨识的问题。对动态信号的辨识一般均采用Prony方法[7,8],但Prony方法不能有效处理类噪声信号,因此仅用于低频振荡告警,而无法实现预警。
为了实现既适用于类噪声信号又适用于动态信号的鲁棒辨识算法,国外专家学者进行了大量深入研究和探索。递推算法因计算量小以及对数据变化的适应性强,具有广阔的在线应用价值。文献[9]基于常规RLS算法提出了一种牛顿-拉夫森型(Newton-Raphson-type)的鲁棒递推AR法,该方法改善了常规递推算法对动态信号不能有效辨识的问题,但仍存在发散问题。文献[10]在文献[9]基础上引入正则化方法以及先验知识进行辨识方法的改进,称为R3LS方法(Robust Regularized Recursive Least Square),以减小欠定问题,但仍然未有效解决动态数据辨识的发散问题。
综上所述,为提高辨识算法对稳态类噪声信号以及动态扰动信号的鲁棒性,本文对常规RLS在动态扰动下的发散原因进行了较为深入地分析,通过在算法中引入基于输入信号自相关矩阵和互相关向量的L1范数的自适应权重参数,以保证算法在各种条件下的收敛性,从而提出了一种全新的鲁棒递推ARMA算法(NRRLS)。通过IEEE-39节点系统时域仿真数据和某电网的PMU实测数据对所提方法进行了测试,并与RLS、R3LS算法进行了比较分析,验证了本文所提方法的有效性和鲁棒性。
1 ARMA模型及模式能量估计方法
ARMA模型可以看成系统高阶微分方程组的一种差分形式,其输入信号为白噪声。而电力系统稳态运行时,负荷的随机投切所引起的扰动可视为白噪声[11]。基于上述考虑,采用ARMA模型对系统响应的时间序列进行建模,如式(1)所示。
式(1)中:{y(t)}为系统响应序列,t=0,1,…,L,L为数据长度;{at}为随机扰动序列;sa2为at序列的方差;1～n,a1～am分别为AR部分系数和MA部分模型参数;n,m分别为AR、MA部分的阶数。
系统的特征方程为
如能求得AR系数,则求解方程(2)可得离散系统的特征根为li、li*,由离散系统与连续系统之间的转换[12]可以得到低频振荡模式频率及阻尼比计算式,如式(3)所示。
式(3)中:(35)为采样时间间隔;fi为振荡频率;i为对应模式的阻尼比。
另外,ARMA(n,m)的自协方差函数[12]为式(4)。
式(4)中,li表示根据AR参数求得的系统第i个特征根。当k(28)0时,R0(28)i(28)0nr i,在物理意义上,它表征振动系统的总能量。而第j阶模态的能量为2 Re(r j),其中,gi由式(5)计算获得。
因此,定义模态功率分配比为
显然,pj表示第j阶模态在振动系统总能量中所占的比例,根据pj的取值大小,可判断出第j阶模态是否为振动系统的主要模态(即主导模式)。
2 ARMA模型的鲁棒递推算法
2.1 RLS算法及发散原因分析
为求得AR、MA系数,将式(1)中的白噪声用其预测误差et近似代替,则式(1)可写为
为体现系统的时变性,定义指数加权的误差平方和作为代价函数,如式(10)。
式(10)中,加权因子0(27)l≤1为遗忘因子,其作用是对离t时刻越近的误差加比较大的权重。将式(10)中的权重矩阵表示为
对式(10)求一阶偏导数并设为0,可得到ARMA模型参数向量t的估计为
式(12)中,输入信号的自相关矩阵Pt和互相关向量St具有如式(13)的性质。
为了加快实时递推计算速度,根据矩阵求逆定理,推导获得常规递推(RLS)算法求取ARMA模型参数向量的计算过程,如式(14)所示。
由于RLS算法采用循环求逆方法计算逆矩阵,与矩阵直接求逆相比,大大减少了运算量。RLS算法最大的缺点是扰动数据导致算法的参数发散[13],在系统存在扰动时,RLS算法在第t时刻参数向量t差分量为(35)(28)t-t-1,其用L1范数表示为
其中对任意向量X(28)(x 1,x 2,(43),x n)T和nn矩阵A的L1范数的定义为[14]
从式(15)可以看出由于扰动数据而引起et的增大会影响参数向量(35)的L1范数的突然增大,因此参数向量(35)的L1范数可能是无界的,亦即算法存在发散的可能。
为了克服上述问题,文献[10]提出的R3LS算法在预测误差的绝对值在大于阈值时,应用牛顿-拉夫森型(Newton-Raphson-type)方法自适应找到数值解。由于牛拉法是在大于阈值时才启动,此时算法可能已经开始发散,因此仍然存在发散可能性。R3LS的详细推导过程可参阅文献[10]。
2.2 本文NRRLS算法原理
当信号出现扰动的时候yt突然增加,式(13)中St的L1范数也会增加,同时式(12)中qt的L1范数也会增加,持续的扰动便会使得算法发散。针对该问题,本文在式(13)上引入一个权重变量dt以限定由于扰动信号yt而引起的算法发散,即
为降低扰动信号yt对增益向量St-St-1的影响,限定其L1范数在时变的上界范围内。也就是说,选择的权重变量t使式(17)中的更新量St满足式(18)。
通过大量的仿真实验分析,参数t可选择为[15]
如果出现有界扰动,可选择t为
为克服t(29)1后影响RLS算法的收敛性能选择t为
类似RLS递推过程,推导获得新的鲁棒递推算法(NRRLS)求取ARMA参数向量t的计算式为
式(22)中取初值q0(28)0,Q0=mI,其中I为(n(10)m)阶单位阵,一般取m(28)105。从上可以看出:在稳态时预测误差et很小,此时t(28)1为常规RLS算法。但是当出现大扰动信号时,则etyt,t为式(20)的值。使得向量t的L1范数在有界的范围内。
扰动数据情况下,在NRRLS算法中t的差分向量用L1范数表示为
式(23)的L1范数与式(15)的L1范数相比较小。因为te增大会导致式(15)L1范数的增加,在扰动情况下,尽管dt(27)1,而式(23)会受分母的影响而显著减小。故持续的扰动有界数据对式(23)没有影响。因此本文方法对动态数据同样可以辨识,体现本算法的鲁棒性。
3 在线鲁棒辨识方案
利用本文算法辨识低频振荡模式的具体流程如图1所示。
具体步骤为:采集PMU实测数据、数据预处理、ARMA模型定阶[16]、NRRLS辨识算法、计算频率和阻尼比、提取低频振荡主导模式。采集PMU实测数据是通过PMU采集电力系统中各发电机的相对功角信号或联络线上的功率信号数据。对数据的预处理包括降采样、坏数据和漏数据的处理、去趋势和零均化。然后通过ARMA模型定阶并由NRRLS算法求取ARMA参数,从而计算频率和阻尼比,最后根据ARMA模式能量法提取主导模式。
4 仿真数据分析
本文采用Matlab的Power System Analysis Toolbox(PSAT)对IEEE-39节点测试系统(如图2所示)进行仿真测试。为了测试本文所提算法的有效性、鲁棒性和模式跟踪性能,本文通过39节点系统生成三类仿真数据:类噪声数据、含动态数据的类噪声数据以及模式变化的类噪声数据,并与RLS、R3LS算法进行比较分析。另外,通过特征根分析可知该系统的主要低频振荡模式为0.525 Hz/3.44%,用于作为辨识结果的参考标准。
为模拟实际电力系统中的小幅随机扰动,向仿真系统各负荷节点注入高斯白噪声。通过可观性分析可知8-9支路有功功率具有较好的可观性,因此选择不同情况下8-9支路有功功率数据为辨识数据,所有仿真时间均为30 min。
4.1 稳态类噪声数据分析
对39节点系统仿真获得8-9支路的有功功率数据如图3所示。对图3的8-9支路有功功率数据按NRRLS算法流程进行辨识,NRRLS、R3LS和RLS算法的遗忘因子设置为0.999,ARMA阶数为(n,m)=(26,6)。采用上述三种算法进行辨识,得出主导模式结果与特征根分析值进行对比,如图4所示。
从图4可以看出,本文算法、R3LS和RLS算法辨识结果基本重合一致,均能准确快速地辨识稳态类噪声的模式。
4.2 包含类噪声和动态数据的分析
在仿真过程中,在15 min时断开节点1-2支路1 s获得的8-9支路带动态数据的有功功率,如图5所示。
对图5有功功率数据按照NRRLS算法流程进行辨识,NRRLS、R3LS和RLS算法的遗忘因子设置为0.999 9,阶数设置为(n,m)=(26,16),R3LS算法的中值滤波器的阶数设定为40。对上述动态数据采用Prony得到主导模式的频率/阻尼比为0.525 Hz/3.44%。结果如图6所示。
从图6可以看出,NRRLS、RLS和R3LS算法在前15 min的辨识结果相近。对于动态数据的辨识,虽然R3LS算法的辨识结果波动性较RLS算法要小,但是仍然存在发散的现象,而动态数据对本文NRRLS算法基本没有影响,辨识结果与Prony结果较为接近。从上可知本文算法对含有类噪声和动态数据均可以准确辨识,因此具有更好的精确性和鲁棒性。
4.3 模式跟踪能力分析
第三类典型数据是为说明本文算法的模式跟踪能力,仿真过程中在仿真15 min时断开节点1-2支路获得的8-9支路有功功率数据如图7。
断开节点1-2支路后39节点系统特征根分析得到的主导模式的频率/阻尼比0.385 Hz/5.68%。NRRLS、R3LS和RLS算法的遗忘因子设置0.999 9,阶数为(n,m)=(26,18)。得出的辨识结果如图8所示。
对图8分析可知,在没有发生模式变化时,三种算法的辨识结果基本相同。在模式变化后,本文算法频率跟踪结果可以平稳快速地收敛,而R3LS算法虽然较RLS算法收敛速度更快,但仍没有本文算法跟踪速度快。本文算法对模式变化后阻尼的辨识与R3LS算法相比跟踪速度也有提高,辨识结果在模式变化过程中基本没有大的波动。因此本文算法具有更好的实时跟踪模式的能力。
5 某电网实测数据分析
为验证NRRLS算法对实际电网PMU数据的辨识效果,以某电网传输线有功功率为研究对象,如图9所示。
首先对该实测数据的动态数据进行Prony分析,得主导模式的频率/阻尼比为0.582 5 Hz5.4315%。本文算法、R3LS算法和RLS算法遗忘因子选为0.999 9,阶数为(n,m)=(26,6),R3LS算法的中值滤波器阶数设定为40。采用NRRLS、R3LS和RLS算法进行辨识得出主导模式结果并与Prony分析结果进行对比,如图10所示。
从图10中可以看出,本文算法的辨识结果非常稳定,辨识结果非常接近Prony方法分析结果,动态数据对辨识结果也几乎无影响。而R3LS算法对动态数据的辨识效果虽然与RLS算法相比有所改善,但是仍然存在不收敛情况。
6 结论
针对常规ARMA模型的RLS以及R3LS算法存在的不能有效辨识动态数据的问题,本文提出了一种全新的ARMA鲁棒递推算法。该算法通过在常规RLS算法中引入基于输入信号自相关矩阵和互相关向量的L1范数的自适应权重参数,改善了常规算法在动态数据中存在越界问题,进一步提高了算法的鲁棒性。通过仿真算例和实测算例对所提方法进行测试并与R3LS和RLS算法的辨识效果进行比较,结果表明,本文算法具有如下特点:
1)可以更为准确地从稳态类噪声数据中提取系统振荡模式参数。
2)可以有效准确地从动态扰动数据中提取振荡模式,并且可以更快地跟踪模式变化。
3)具有更好的数值稳定性和更好的辨识精度。
低频振荡辨识 篇4
低频振荡给电力系统的安全稳定运行带来了严重的破坏, 有待急需解决[1,2]。为此, 电力系统的在线辨识低频振荡模态得到广泛研究, 并在阻尼控制器的设计中有了运用。目前对于电力系统的低频振荡信号分析的方法有很多, 主要有傅里叶算法、小波变换、Prony算法、卡尔曼滤波法以及希尔伯特-黄 (HHT) 方法等。傅里叶变换方法是一种在频域范围内的分析方法, 对非平稳信号的处理将无能为力, 且存在无法反映振荡的阻尼特性及瞬时频率的缺点。小波变换是在时频范围内分析信号的时频特性, 能辨识多个振荡模态的变化规律, 但小波基的选择难度很大, 对辨识的结果有一定的影响。Prony算法可以精确的辨识系统的主导振荡模式, 能够得到低频振荡的参数, 但其计算速度有待提高, 且受噪声的影响很大。卡尔曼滤波法能够消除噪声的影响, 但在噪声的不同形式下滤波的效果也是有所差别, 反映不出振荡信号的阻尼特性[3]。
本文采用HHT算法来处理非线性、非平稳的电力系统低频振荡信号, 因为其具有独特的适应性, 所以应用于各种数据的分析, 与傅里叶分析相比, HHT有更明确的时频描述, 更尖锐的滤波性能, 可以对数据进行实时计算。基于以上论述, 对于电力系统低频振荡的模态分解 (EMD) 将信号分解为若干个固有模态函数 (IMF) 之和, 然后对每个IMF分量进行希尔伯特变换, 得到瞬时频率和瞬时幅值, 即信号的Hilbert谱, 能够体现出信号的完整幅值和频率的分布。
1 HHT算法的理论基础
1.1 EMD分解
EMD分解是将低频振荡信号分解为有限个具有不同幅值和频率的固有模态函数 (IMF) 。在分解得到的IMF本身具备以下特征: (1) 函数的极值点与过程点的数目相等或最多相差1; (2) 在任一点处, 局部极大值和局部极小值所形成的包络线均值为零[4,5,6]。具体的分解过程如下。
先由低频振荡信号s (t) 的极大值点和极小值点求出其上包络线v1 (t) 及下包络线v2 (t) 的平均值:
然后对原信号s (t) 与平均值m (t) 作差:
若c1 (t) 满足以上条件, 则认为是由EMD分解出来的一个IMF分量, 若条件不满足, 将重复以上操作, 直至满足为止。把原信号s (t) 减去分解出来并满足条件的IMF分量:
重复以上过程, 依次可以得到c3 (t) , c4 (t) , …, cn (t) 最终可将原信号表示为:
其中r为信号的残余分量;ci (t) 为低频振荡信号中有限个固有振荡模态分量。
此过程即为电力系统低频振荡信号的EMD分解。
1.2 Hilbert变换
对于任一连续的低频振荡信号x (t) , 其Hilbert变换及其反变换如式 (5) 、式 (6) 所示:
由x (t) 与Y (t) 可得到解析信号:
式中:a (t) 为瞬时振幅;θ (t) 为相位, 则可得到:
瞬时频谱频率计算式可表示为:
1.3 振荡信号的Hilbert谱
对式 (7) 两边求导得:
式 (10) 除以式 (7) 得低频振荡信号的Hilbert谱:
此处已省略信号的残余分量函数r。
2 实例分析
2.1 测试信号的分析
为了验证HHT算法的分析效果, 本文采用参考文献[7]的测试信号进行分析:
该测试信号是由1个局部振荡模态和2个区域振荡模态组成, 符合电力系统低频振荡特性, 具有典型的代表意义。图1为HHT算法的测试信号分解结果。
由图1可以看出, EMD能够有效的分解出4个IMF分量 (imf1~imf4) 和一个残余分量 (res) , 可以准确的反应信号的时变特性, 而且可以精确的提取信号的模态参数。此外, 信号的Hilbert谱能够较好的反映出能量的分布情况, 对于进一步分析振荡信号提供了有效的帮助。
2.2 仿真算例
算例采用Kunder的两区四机系统, 该系统由两个对称区域组成, 每个区域各有两台900 MVA的发电机, 区域1的有功负荷为967 MW, 无功负荷为100 Mvar, 区域2的有功负荷为1 767 MW, 无功负荷为100 Mvar, 采用的运行方式为区域1向区域2输电, 此系统容易发生低频振荡。系统结构图如图2所示。
为验证HHT算法在线辨识低频振荡的有效性, 令两区域联络线路的其中一回线路发生三相短路故障, 故障持续时间为0.2 s, 以另一回路的有功功率振荡曲线为研究对象, 其中得到的曲线解析式为:
振荡曲线的波形图如图3所示。
为了验证此算法的有效性, 将设计出阻尼控制器系统如图4所示。
在上述系统中施加扰动后, 将上述振荡曲线作为测试信号, 辨识结果如表1所示。
由上表可以看出, 系统振荡存在三个模态, 阻尼系数比较弱, 若在发电机G1上安装电力系统稳定器 (PSS) 后, 发电机输出的振荡波形如图5所示。其中PSS的参数为Te=10、T1=0.828、T3=0.753、K1=15.26。
由图5中可以看出, 采用HHT算法能够有效的在线辨识系统的振荡波形模态, 另外在附加阻尼控制器中经过安装PSS后能有效地抑制发电机的转速波动, 增强了系统的阻尼。
3 结语
在励磁控制器中, PSS参数的调节是抑制系统低频振荡的主要措施之一, 本文基于希尔伯特-黄方法的低频振荡信号分析, 能够正确地反映出振荡信号的非线性、非平稳的特征, 并根据信号模态特征采用PSS来提高系统阻尼, 进而正确地设计出附加励磁阻尼控制器, 通过仿真证明了该控制器能有效地抑制电力系统低频振荡, 提高系统的安全稳定性。
摘要：针对电力系统低频振荡信号的非线性、非平稳特征, 提出了一种新的处理方法——希尔伯特-黄变换 (HHT) 。该方法能够克服传统分析难以处理非平稳信号的缺点;利用其中的经验模态分解 (EMD) 对信号模态分量的有效分离, 对分量进行Hilbert变换, 得到相应的参量。通过计算实现对振荡信号的模态参数的辨识与提取, 因此该方法能够应用到阻尼控制器的设计中。仿真结果表明该控制器能有效地抑制电力系统低频振荡, 提高了系统的安全稳定性。
关键词：低频振荡,经验模态分解,Hilbert变换,模态参数,阻尼控制器
参考文献
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低频振荡辨识 篇5
随着电力系统互联规模的日益增大,互联电网引发的低频振荡问题已经成为危及电网安全稳定运行、制约电网传输能力的主要因素之一。准确、及时的低频振荡模式辨识对大电网的安全稳定运行具有重要的意义[1,2]。
通过小干扰稳定计算可以得到线性化系统的特征值和特征向量,进而估计系统低频振荡模式、模态等信息。但在实际应用中,由于系统规模大,运行方式复杂,可能会出现“维数灾”问题,不能及时、准确地反映电力系统当前动态稳定水平[3]。另一方面,随着基于同步相量测量技术的广域测量系统(Wide area measurement system,WAMS)在电力系统中广泛应用,为利用实测信号分析低频振荡模式在线辨识提供了数据平台[4,5]。然而在实际应用中,由于电力系统的高度非线性特性,导致采集的实测信号往往包含很强的非线性趋势[6]。为保证辨识结果准确有效,必须在模式辨识前去除信号的非线性趋势。在非线性去趋方法中,小波方法[7]因其良好的局部化特性和处理突变信号的能力,已被应用于数据预处理,但由于其分析结果与母小波的选取密切相关,且计算量很大,限制了它的实际应用;经验模态分解法(Empirical Mode Decomposition,EMD)[8,9,10]是一种新的数据分析方法,其本质是通过将信号中不同尺度的频率分量逐级分解成本征模态函数(Intrinsic Mode Functions,IMF)以达到对信号的平稳化处理,但其存在的边界效应、IMF筛分迭代停止标准和模态混叠这三大问题还未得到很好的解决;数字滤波[11,12]方法中,IIR数字滤波器由于具有反馈回路,运算中的舍入处理会导致误差不断累积,使滤波后的信号产生寄生振荡现象且相位特性不易控制,而FIR数字滤波器虽然是线性相位,但其幅频特性精度却低于IIR。
平滑先验法原理(Smoothness Priors Approach,SPA)[13]是芬兰库奥皮奥大学的Karjalainen博士最先提出的一种信号非线性去趋方法,并有效地应用于人体心电信号处理[14]。由于该去趋方法的计算过程简单,计算量极小,特别适用于在线处理,本文将其引入电力系统低频振荡模式辨识领域,对实测信号进行非线性去趋处理。
本文分析了SPA算法的基本原理,通过研究其频率响应特性,以确定适合低频振荡模式辨识的正则化参数,并给出基于Prony方法的低频振荡模式辨识流程。最后通过对IEEE-39节点系统仿真信号以及某电网的PMU实测信号进行测试,并与经验模态分解法以及数字滤波方法进行比对分析,表明SPA去趋方法应用于低频振荡模式辨识的快速性和有效性。
1 SPA基本原理
假设原始数据z包括两部分
式中:zstat为信号z中的平稳项;ztrend为非线性趋势项。其中ztrend可以用式(2)表示。
式中:H∈RN´M为观测矩阵;N为数据长度,q∈RM为回归参数;v是观测误差。此时任务就转化成通过最优化估计算法来求q参数,从而通过ztrend=H来确定原始数据的非线性趋势项。常用的参数辨识算法是最小二乘估计,而SPA法采用的是一种更为通用的参数估计算法,称之为正则化最小二乘法(Regularized Least Squares Solution),即
式中:λ是正则化参数;Dd是第d阶微分算子的离散形式表达。
矩阵Dd可通过式(4)~式(7)求得。假设待去趋数据中有N个局部极值点,表示为
则其一阶趋势和二阶趋势的离散形式分别为
依次类推,可得zt的任意阶趋势的离散形式,而zt的d阶微分Dd的离散形式为
在最优化的过程中要满足式(3),需要使微分项‖Dd(Hq)‖趋近于零,通过正则化最小二乘法可以根据先验信息对待预测趋势H进行估计。求解式(3)得
因篇幅所限,具体推导可参见文献[13]。
观测矩阵H的选择可以通过研究原始数据的特性获得,为了简单起见,在本文中选择单位矩阵,令H(28)I∈RN×N。二阶微分矩阵中涵盖了所有的一阶极值点,可以很好地估计信号中的非线性趋势项。因此选择2D作为正则化矩阵。D2∈R(N-2)×N的形式为
最后原始数据的平稳项可以表示为
2 低频振荡模式辨识中正则化参数的选择
在式(11)中令L=I-(I+λ2DT2D2)-1,则。L相当于一个离散时间序列的高通滤波器。通过对L的所有行向量进行傅里叶变换,可得到在每个离散时间点上的频率响应,如图1(a)所示(由于对称性,仅显示前N/2行)在时变频率特性曲线的低频段出现了明显的衰减,可知低频段所代表的非线性趋势被有效地去除。
对L的第N/2行设置不同的正则化参数得到对应的频率响应曲线。图1(b)中可以看出随着参数值的增大,其相对截止频率逐渐降低。
电力系统低频振荡模式辨识关注的频率范围是0.1~2.5 Hz,因此一般在预处理中将原始信号的采样频率降低为5 Hz。由表1可知,取(28)160对应的截至频率为0.02×5 Hz=0.1 Hz,基本可以有效除去原始数据中低于0.1 Hz非线性化趋势。
3 基于SPA的低频振荡模式辨识流程
Prony方法[15,16,17]是低频振荡模式辨识的常用有效方法。图2给出了基于SPA非线性去趋算法的低频振荡模式Prony辨识的原理流程。
4 算例分析
4.1 IEEE-39系统仿真信号测试
本文采用Matlab的Power System Analysis Toolbox(PSAT)对IEEE-39节点系统(见图3)进行仿真测试。通过对断开支路1-2后的系统进行小扰动特征值分析,其主要存在的低频振荡模式频率/阻尼比0.384 6 Hz/5.6845%。
为模拟负荷的随机扰动,在每个节点上注入高斯白噪声,其信噪比为40 d B以模拟1%的随机负荷变化。为了测试Prony在扰动下辨识效果,在100 s时断开节点1-2支路。整个时域仿真过程为180 s,选取支路8-9、支路4-5和支路3-4的有功功率作为待选辨识信号,其支路功率谱分析如图4所示,可见支路8-9信号对该模式具有很好的可观性。
为了比较SPA的去趋效果,对原始信号采用SPA法、EMD法和Butterworth滤波方法分别进行去趋处理。EMD方法采用最后4个低频IMF代数和作为信号的非线性趋势,其余的IMF组合也经过测试,但效果均无明显改善。Butterworth滤波方法采用4阶Butterworth滤波器,选定频率范围0.1~2.5Hz。滤波后的效果比较如图5所示。
通过对比可知,在40~150 s时间段,EMD趋势出现了大幅的波动,明显偏离信号的真实趋势,而SPA和Butterworth趋势与信号的真实趋势基本吻合。而在含有扰动信号的100~115 s时间段,SPA趋势相较于后两者更加趋向于信号的真实趋势。
对三种算法去趋后(SPA去趋后信号见图6)的扰动信号时间段(100~115 s)进行Prony辨识,其统计分析结果见表2。分析可知,采用SPA算法后不仅在频率和阻尼比的辨识精度上优于后两者,而且在计算速度上更是有显著提高,分别提高了4.7倍和183倍。
4.2 某电网实测信号测试
为验证本算法对实际电网PMU实测信号的去趋效果,选取某电网联络线实测有功功率扰动信号。
注:Erf为频率相对误差;Erd为阻尼相对误差,后同
同样,对实测原始信号进行SPA,EMD和Butterworth法去趋,三种算法的去趋势效果如图7所示。在40~150 s时间段,EMD趋势依然大幅偏离信号的真实趋势,而SPA和Butterworth趋势与信号的真实趋势基本吻合。在含有扰动信号的95~120 s时间段,显然SPA趋势相较于后两者更加真实地反映了信号的实际趋势。
图8为SPA去趋后的信号,其功率谱密度曲线如图9所示。从图中可以看出,低于0.1 Hz的低频成分已被去掉。
通过对该电网在当前运行方式下进行的小扰动特征值计算分析表明,该联络线上体现的区域振荡模式为0.345 4 Hz/9.6387%。对图7中扰动时间段(95~110 s)分别采用三种算法去趋后的扰动信号进行Prony辨识,统计分析结果见表3。
分析可知,SPA方法去趋后的扰动信号所辨识的误差最小,且在速度上具有较大优势,较Butterworth法和EMD法分别提高了4.5倍和150倍。
5 结论
本文提出采用一种基于平滑先验法去除低频振荡模式辨识信号中非线性趋势的方法。通过对IEEE-39节点系统仿真信号及某电网的PMU实测信号进行低频振荡主导模式辨识,结果表明:
(1)SPA算法简单易行。通过频率响应特性分析,确定了低频振荡模式辨识所需要的正则化参数为160,即可有效去除扰动信号中的非线性趋势。
(2)本文所提方法改善了低频振荡模式辨识精度,计算速度更是得到了显著提高。相比Butterworth法和EMD法分别提高近5倍和100倍以上,尤其适用于低频振荡模式的在线辨识。
摘要：基于PMU实测信号的低频振荡模式在线辨识是阻尼控制的基础,有效去除PMU实测信号中的非线性趋势才能保证模式辨识的精度。提出了基于平滑先验法的PMU实测信号非线性去趋方法。在分析平滑先验法基本原理基础上,为适应低频振荡模式辨识中信号非线性去趋要求,对其频率响应特性进行研究,确定平滑先验法的正则化参数。采用IEEE-39节点系统时域仿真信号和某电网的PMU实测信号对所提方法进行测试,并与经验模态分解法和数字滤波法进行了比较,表明该方法能够更有效地去除信号中的非线性趋势,较大幅度地提高计算速度,同时也能提高低频振荡模式辨识精度,具有较高的实际应用价值。
低频振荡辨识 篇6
随着全国联网程度的不断加深, 低频振荡日益成为危及电网安全稳定运行的突出问题之一。基于系统日常运行工况下的实测轨迹进行的低频振荡模式在线辨识, 对于低频振荡的在线监测、预警、控制器设计、系统阻尼优化等具有重要意义[1,2,3]。
目前对电力系统低频振荡进行分析一般基于系统扰动后的响应轨迹, 常用的方法有傅里叶变换、ARMA算法、Prony分析、小波算法、希尔伯特-黄变换 (HHT) 、旋转不变技术 (ESPRIT) 等[4,5,6], 已有研究证明这些方法均能较准确地辨识出系统的模式信息。但是这类辨识方法均需对系统施加激励, 只能在系统发生振荡后辨识出当时的系统特性, 作出告警, 并不能给出系统正常运行状态下的模式信息, 也无法实现“全天候”监控和真正意义上的预警[7,8]。近年来基于环境激励的模式辨识研究已在桥梁、建筑、汽轮机、飞机等[9]领域展开, 电力领域也逐步开展了一些研究:文献[10]探讨了工况模式分析在低频振荡辨识中的应用, 论述了电力系统低频振荡和一般振动力学数学模型的相似性;文献[7]通过系统建模证明了负荷波动作为激励信号的可行性, 以上研究为工况模式分析在电力系统的应用做好了铺垫。自然激励技术NEx T (Natural Excitation Technique) [9,11,12]是工况模式分析的有效方法, 它可以避免传统模式辨识人工激励给电力系统带来的伤害, 实现系统在工况下的在线模式识别, 其在电力领域仅在文献[13]中有应用, 值得更进一步的研究。
集合经验模式分解EEMD (Ensemble Empirical Mode Decomposition) [14,15]是经验模式分解EMD (Empirical Mode Decomposition) 的发展, 既继承了EMD的优点, 同时通过向原始信号添加白噪声改善了模式混叠问题。它是一种自适应的分析方法, 适合处理工程中的非线性、非平稳信号。
基于此, 本文将NEx T与EEMD结合, 提出一种适合于工况下的低频振荡主导模式辨识方法。首先通过EEMD将工况下的实测时变信号分解为若干个单自由度的本征模式, 凭借EEMD时空滤波器、互相关系数和能量权重比筛选出真实主导模式分量, 然后通过NEx T求互相关函数以代替传统的脉冲响应, 至此就实现了工况下把非平稳的多自由度系统的模式辨识问题转化为单自由度系统的脉冲响应辨识问题, 最后对互相关函数分别通过Teager能量算子TEO (Teager Energy Operator) 求出模式幅值和频率、能量分析求阻尼比、峰值法求相位。
1 EEMD
1.1 EEMD原理
为了改善EMD出现的模式混叠现象, Wu Zhaohua等提出了EEMD方法, 其本质是一种叠加高斯白噪声的多次EMD。下面介绍EEMD的步骤。
a.产生N条随机正态分布的白噪声ni (t) 分别加入到原始信号x (t) 中, 得每次加噪后的信号xi (t) 为:
b.对每条加噪后的信号xi (t) 进行EMD, 得:
c.将N组分解结果中对应的IMF分量求均值, 则:
其中, cj (t) 为对原始信号进行EEMD得到的第j个IMF分量;r (t) 为余项。
EEMD算法流程如图1所示。
1.2 EEMD时空滤波器
EEMD得到的IMF分量频率由大到小, 利用这点本文基于EEMD构造时空滤波器组 (TFB) , 其滤波信号为:
其中, 为滤波器输出信号;l, h[1, M]。
当l=1且h
1.3 互相关系数
原始信号经EEMD所得的IMF分量中常包含一些虚假分量, 而这些虚假分量与原始信号无关且不能反映原始信号的特征, 因此有必要将其辨别出来并予以剔除。基于互相关系数来判断IMF分量的真伪是一种行之有效的方法, 通过求取分解后的各IMF分量与原始信号的互相关系数, 假定互相关系数很小的对应IMF分量为伪分量。设2个时间序列x (n) 、y (n) , 它们的互相关系数ρxy的表达式如式 (6) 所示。
互相关系数只是一个比率, 不是等单位量度, 互相关系数的正负号只表示相关的方向, 绝对值表示相关的程度。
1.4 信号能量权重
电力系统低频振荡大多是多个模式的组合, 其中阻尼比小且振荡幅度大的主导模式特征信息是电力工作者最为关心的。当信噪比足够大时以信号能量作为定性分析指标, 从EEMD结果中经过滤波去伪后提取真实模式中能量权重最大的一个IMF分量作为主导模式加以分析。
信号x的能量表达式为:
其中, t0、t1分别为仿真开始和结束的时刻。
信号能量权重比定义为:
其中, Ef (i) 为真实模式中第i个IMF分量的能量;m为真实模式IMF分量的总个数。
2 NEx T
NEx T是由JAMES等提出的一种适合于环境激励的时域模式参数辨识方法, 它的基本思想为:线性系统在白噪声环境激励下, 结构中2点之间响应的互相关函数和脉冲响应函数有相似的表达式, 求得互相关函数之后就可以运用时域模式辨识方法对其进行辨识。
对于自由度为Q的线性系统, 于系统k点处加激励fk (t) , 则系统i点的响应xik (t) 为:
其中, φir为第i测点的第r阶模式振型;akr为仅与激励点k和模式阶次r有关的常数项;λr为系统的第r阶特征值。
根据振动模式理论, 当系统的k点受到单位脉冲激励时, 则系统i点的脉冲响应函数hik (t) 为:
当系统k点处受到激励fk (t) 时, 系统i点和j点的响应xik (t) 和xjk (t) 的互相关函数为:
其中, E[·]表示求期望。
假定激励f (t) 是理想白噪声, 根据相关函数的定义, 则有:
其中, δ为单位脉冲激励;ak为仅与激励点k有关的常数项。
将式 (12) 代入式 (11) 并积分, 得:
对式 (13) 的积分部分进行计算并化简, 得:
将式 (14) 代入式 (13) , 得:
对式 (15) 做进一步的化简, 经整理得:
其中, bjr为仅与参考点j和模式阶次r有关的常数项。
对比式 (16) 和式 (10) , 可以发现两者的数学表达式在形式上是完全一致的, 因此互相关函数具有和系统的脉冲响应函数同样的性质, 可与其他模式辨识方法结合起来进行环境激励下的模式识别。
3 低频振荡主导模式识别
3.1 模式识别
3.1.1 Teager能量算子
Teager能量算子[16,17,18]具有健壮性和快速响应能力, 能迅速跟踪信号的幅值和频率。
设幅值和频率均时变的工程信号为:
由文献[17]可知信号xn的瞬时数字角频率、实际频率、幅值分别为:
EEMD得到的IMF分量频率变化非常小, 由于边际效应两端数据存在误差, 计算过程中取合适的中间段数据求均值。
3.1.2 能量分析法
信号能量分析法[19]的原理是基于阻尼耗散能量思想, 可将阻尼特性从用半周期能量描述的物理过程中提取出来。
振荡信号x (t) 的半周期能量定义为:
其中, ti为某一过零点时刻;Td为振荡周期。
文献[19]已给出信号x (t) 的阻尼比ξ为:
3.1.3 峰值法
由文献[20]可知, 已知频率f和阻尼比ξ后, 相位θ为:
其中, T (j) 为信号的最大正峰值时间;S为最大正峰值个数;-π≤θ≤π。
将j=1, 2, …, S代入式 (24) , 可得:
由于-π≤θ≤π, 可得:
由于g取整数, 故可由式 (26) 确定g值, 然后根据式 (25) 得到相位角。
3.2 基于EEMD-NEx T的主导模式识别与预警
基于EEMD-NEx T的低频振荡主导模式工况在线辨识与预警流程如图2所示, 具体步骤如下:
a.通过WAMS平台获取系统正常运行下的2个信号并对其进行预处理, 然后分别作EEMD;
b.对EEMD得到的IMF分量由EEMD滤波器设置阈值获取低频振荡范围内的分量;
c.利用互相关系数识别所得分量的真假, 将虚假模式予以剔除, 得到真实模式;
d.借助能量权重比对所得的真实模式分量进行排序, 选择能量权重比最大的分量作为主导模式分量;
e.通过NEx T对2个主导模式分量求互相关函数, 将其作为主导模式辨识的信号;
f.对所得互相关函数分别通过Teager能量算子求时变幅值、时变频率, 通过能量分析求取阻尼比, 时域峰值法求相位;
g.比较主导模式阻尼比与预警阈值大小, 判断系统是否发出告警。
4 算例仿真
4.1 数值信号算例
取复合数值信号
验证EEMD的抗模式混叠效果, 以及依据相关系数甄别虚假模式的有效性和本文模式识别方法的可行性。
信号xx的EEMD结果如图3所示。设定EEMD时空滤波器的阈值, 此处设置带通滤波频率范围为0.1~2 Hz, 得到imf 7、imf 8、imf 9、imf 10这4个IMF分量, 求取它们与原信号xx的相关系数如表1所示, 并根据本文模式识别方法辨识各分量的模式特征, 结果如表2所示。
由表1可知, imf 7和imf 10的互相关系数均小于0.4;imf 8和imf 9的互相关系数分别为0.646 9、0.915 2, 均比较大。由此判定imf 7和imf 10分量为伪分量。比较表2中imf7、imf8的模式信息和表3模式2的理论值可知, 尽管两者频率很接近, 但imf 8的其他模式信息更接近理论值, 由此进一步验证了imf 7为虚假模式;表2中imf10的频率为0.163 8 Hz, 真实模式中并不存在该分量, 可见根据互相关系数判断imf10为虚假分量是有效的。表3为2个真实模式的理论值和本文方法的辨识结果, 本文方法辨识误差较小, 是一种低频振荡模式辨识的有效方法。
4.2 EPRI-36节点算例
本文选取电科院的EPRI-36节点系统作为仿真算例, 验证本文方法在多机系统研究中的有效性。
为了比较真实地模拟系统工况运行的特点, 本文选择负荷随机扰动作为环境激励, 分别在负荷9、19和20上设置幅度为0.2 p.u.的功率随机波动。文献[21]表明通过等值单机曲线可以很好地提取出主导振荡信息, 为此根据扩展等面积准则 (EEAC) 理论对系统进行分群得, 机组1、2、3、4、5、7、8为S群, 机组6为A群, 分别求取S群和A群的惯量中心δS、δA, 并对它们添加λSNR=20 d B的高斯白噪声以尽可能地再现工程实际中信号受噪声干扰的特点。分别对加了高斯白噪声的δS和δA进行EEMD, 此处限于篇幅仅给出δS的EEMD效果图, 如图4所示。
区间振荡模式较本地振荡模式危害更大, 其频率范围为0.1~1 Hz, 将该范围留足裕度后设置为EEMD时空滤波器的带通范围, 求取滤波后的各IMF分量的互相关系数见表4。对imf 6、imf 7求取信号能量后, 并计算其能量权重比从而可得能量权重排序, 结果如表4所示, 可知imf6为主导模式。
取δS和δA中对应的主导模式通过NEx T求取互相关函数如图5所示, 再对其通过Teager能量算子求取主导模式频率, 通过能量分析求阻尼比。表5列出了本文方法、EMD-TEO-能量分析算法[18]、Prony算法、小干扰分析主导模式辨识结果, 其中EMD-TEO-能量分析算法和Prony算法的辨识结果均为对发电机7与发电机1的相对功角信号加噪20 d B后辨识所得, 采样频率均为100 Hz。
由表5可知, 当噪声为20 d B时, 4种方法均能辨识出EPRI-36节点系统的主导模式, 本文方法和EMD-TEO-能量分析的辨识结果精度均高于传统的Prony算法。本文方法的辨识结果更接近理论值, 具有良好的抗噪性能, 相比其他辨识方法无需人工激励, 是一种能有效在线辨识工况模式的方法。一般认为, 机电振荡模式的阻尼比小于0.03时系统会发生低频振荡失稳, 故本文设置预警阈值为0.03, 由辨识得到的主导模式阻尼比在阈值以下, 此时系统发出告警须采取有效控制措施。
5 结论
a.EEMD与傅里叶变换、Prony分析等传统辨识方法相比, 更适合处理实际工程中的非线性、非平稳工况信号, 无需考虑定阶问题, 同时抗噪能力强且能改善模式混叠现象。
b.通过EEMD时空滤波器对IMF分量滤波可以得到低频振荡工作范围内的信号, 互相关系数能将虚假模式从真实模式中辨识出来并将其从中剔除, 能量权重排序能找出主导模式分量。
c.本文采用了NEx T, 它是环境激励模式识别的有效方法, 避免了传统模式辨识方法需人工激励给电力系统安全带来的危害, 辨识出的模式参数更符合实际情况。
d.本文方法可以实时快速地跟踪提取系统的主导模式信息, 因此其在基于WAMS实测数据的低频振荡分析、在线监测、预警及阻尼控制器设计等方面具有较好的实际应用价值。
摘要：结合集合经验模式分解 (EEMD) 和自然激励技术 (NEx T) , 基于广域测量系统 (WAMS) 的动态量测信息, 提出低频振荡主导模式识别方法。该方法借助EEMD处理非平稳信号, 利用EEMD时空滤波器、互相关系数和信号能量权重筛选出主导模式分量;通过NEx T求互相关函数, 并利用Teager能量算子识别时变幅值和频率, 采用信号能量分析法辨识阻尼比并应用于预警系统。算例仿真结果表明, 所提方法能够实时准确地辨识出系统的主导模式信息, 且无需人工激励并剔除虚假模式, 同时具有较强的抗噪性能。
关于低频振荡分析方法的评述 篇7
国内外电网多次出现的低频振荡严重危及了电力系统的稳定运行, 并引起电力企业和学术界的高度关注[1,2]。低频振荡是指发电机组转子动能与电网势能之间持久的机电振荡, 在机械上表现为互补机群转子相对角的长期摆动, 在电气上则表现为该互补机群定子之间的功率振荡。其振荡频率主要取决于2个机群各自总转动惯量 (分别记为Ms和Ma) 倒数之和的倒数, 即M= (M-1s+M-1a) -1。在同步电网的总转动惯量不变的情况下, Ms与Ma相差得越大, 振荡频率就越高 (对应于就地振荡模式) ;而两者越接近时, 振荡频率越低 (对应于全局振荡模式) 。当Ms与Ma相等时, 系统振荡频率最低[3];在当前发电机组的惯量与功率比以及电网扩展导纳阵下, 低频振荡频率在0.1 Hz～2.0 Hz之间。
低频振荡的特征要素包括振荡模式 (互补机群的组成以及电网振荡中心界面) 、振荡频率、振荡阻尼、参与因子、灵敏度系数, 以及它们在参数空间中的结构稳定性。对于持续平稳的振荡, 还包括对振荡强度 (幅值) 的描述。虽然许多文献将振荡模式作为振荡频率和阻尼的总称, 但笔者认为有必要加以区分, 即振荡模式应该是对振荡双方的组成及振型的描述, 而振荡特征的总称则可称之为振荡要素。
电力系统的数学模型为非自治非线性的微分—差分—代数—逻辑方程组, 通常无法直接获取其振荡特征的解析解。在低频振荡分析中, 往往将系统的描述大大简化, 例如忽略问题的时变因素、非线性和不确定性。研究的重点包括低频振荡的机理、成因、分析方法和抑制措施。
文献[4] 针对单机无穷大 (OMIB) 系统, 提出增幅性低频振荡的原因是阻尼转矩不足。这个观点被广泛接受, 并推广到多机系统。近年来, 由于某些振荡实例难以用欠阻尼机理来完美解释, 人们对低频振荡的机理和成因进行了反思。文献[5]认为几个主导模式间存在的非线性交互作用, 导致振荡能量在不同模式间相互交换, 尤其当几个振荡模式满足倍/差关系时, 能量交换现象尤为强烈, 从而导致系统振荡失稳。文献[6]提出模态谐振的观点, 认为系统参数的微小变化会导致振荡特性接近的多个模式中的1个变得不稳定, 导致系统振荡。文献[7]认为当系统中存在周期变化的参数时, 可能引起系统的周期振荡。文献[8]讨论了强迫功率振荡的基础理论, 认为当系统存在持续的周期功率扰动且扰动频率接近系统固有频率时, 会引起大幅的功率波动, 导致系统发生低频振荡。文献[9,10]认为非线性奇异现象可能造成低频振荡。显然, 关于低频振荡机理和成因的研究还有待深入。也许可以认为振荡的机理是多方面的, 许多因素都会在一定的条件下为低频振荡推波助澜, 而缺乏阻尼则在所有情况下都是致命的。
不论是揭示低频振荡的机理和成因, 还是优化抑制低频振荡的措施, 都有赖于分析工具的有效性。但是, 目前建立在定常线性化系统模型上的振荡频率和阻尼的定义并不很完善, 现有的分析方法, 包括反映系统数学模型在某个平衡点动态特性的特征根技术, 以及将受扰轨迹视为平稳过程的信号处理技术, 都局限于定常系统, 而忽略全部时变因素的影响。这样的状况显然不利于研究外部激励、保护控制或相继故障引起的低频振荡, 因而迫切需要改进。目前最经济有效的低频振荡抑制手段仍是加装电力系统稳定器 (PSS) , 但是多机系统中选择安装地点和协调参数等问题仍然需要深入的研究。
非线性因素对现代电力系统动态行为的影响也不容忽视。现有分析方法用高阶泰勒级数考虑自然模式间的非线性交互作用。但由于代数变量 (如母线电压) 始终固定在平衡点上, 而没有考虑到随着系统状态变量进入强非线性区域后, 代数变量对振荡特性的影响也将变化, 不再能用平衡点处的高阶泰勒级数来描述动态行为。
本文评述的对象是低频振荡的分析方法。首先要讨论其分类问题。除了分岔和混沌方法以外, 许多文献将低频振荡的研究方法划分为时域 (数值仿真) 方法和频域 (特征根分析) 方法。该分类有其合理性, 但难以将用频域方法从受扰轨迹中提取振荡模式的方法归类。还有一些文献将振荡模式的分析方法分为线性和非线性2类。这样的分类虽相当合理, 但也带来较多混淆, 例如:①被广泛归为线性分析法代表的特征根方法, 也在向考虑非线性因素扩展;②很难界定时域仿真和信号处理等方法的所属;③难以考虑时变因素的位置;④难以扩展到有交叉特征的方法, 例如针对时变非线性系统的方法。因此, 希望能有更合理的分类方法来反映振荡模式问题的机理及方法的本质, 进而启发新的研究思路。
本文从基于平衡点还是基于受扰过程的观点出发, 将振荡特征的提取方法分为2类:①基于平衡点处的数学模型的方法, 简称为平衡点特征根法;②沿着受扰轨迹求取特征根时间序列的方法, 简称为轨迹特征 (根) 法。其中, 平衡点特征根法可以按是否涉及不确定性以及是否涉及非线性2个方面的组合, 分为4个相互独立的子集。轨迹特征根法又可以按是否利用系统的解析模型分为不依赖系统解析模型的方法和依赖系统解析模型的方法2类。作为已有分类方法的补充, 这样的分类更好地反映了方法的机理, 并在以前按小扰动范畴研究的振荡行为与按大扰动范畴研究的滑步行为之间建立了统一的轨迹模式概念。
1 基于确定性模型的平衡点特征根分析
1.1 确定性线性模型的平衡点特征根
低频振荡可能由小扰动触发, 在一定条件下可用平衡点特征根方法分析。目前真正实用的特征根方法都是在 (定常的非线性) 系统平衡点处通过1阶泰勒展开得到全局稳定结构一致的线性化系统, 再用与机电相关的特征根来反映低频振荡的频率及阻尼率, 用对应的特征向量来反映振荡的模态信息。目前, 确定性线性模型的平衡点特征根分析方法已相对成熟, 并在工程中得到广泛应用。求解线性模型机电相关特征根的方法有全部特征根法和选择特征子集法。
全部特征根法的代表方法为QR法[11]。它将微分方程组中的状态变量变换为模态变量, 使方程组解耦为一组以模态变量及模态参数描述的微分方程。称上述变换阵为模态矩阵, 其每列为模态振型。求出全部特征根后, 根据相关度判别与机电相关的特征根。左半复平面上的特征根不稳定, 而右半复平面上最接近虚轴的特征根对应的就是主导低频振荡模式, 它是影响系统的动态特性和稳定性的关键模式。QR法对高阶大系统难以保证求解精度或收敛性, 有维数灾问题, 对几百阶的系统就难以正确求解。文献[12]将BR法引入电力系统小扰动分析, 与QR法相比可减少30%～70%的计算时间及近50%的存储量。
选择特征子集的求解方法大致分为降阶方法和直接在原系统求取选择特征子集的方法2类。降阶方法首先对原系统进行降阶, 消去非机电相关特征根, 从而减少计算量。其代表方法有:SMA法[13]、AESOPS法[14]、改进的Arnoldi法[15]等。直接在原系统求取选择特征子集的方法则将全系统微分方程式的A矩阵转换为另一个同维的A′矩阵, 使A阵中所关心的机电相关特征根变换成A′阵中绝对值最大的几个特征值, 然后采用按模递减特征值的计算方法, 求出A′阵的特征根, 最后通过变换得到A阵中的机电相关特征根。其代表方法有S矩阵法[16]等。选择特征子集法可以直接计算系统的机电相关特征值, 但很可能遗漏一些关键的特征根。
1.2 确定性非线性模型的平衡点特征根
非线性系统不具有全局一致稳定性, 而只有在没有本质非线性 (即不能直接进行线性化) 环节、振幅较小且离失稳边界较远时, 才可用线性化模型来描述其低频振荡行为。为了计及非线性 (不包括本质非线性) 对特征根的影响, 可将方程组在平衡点处进行高阶泰勒展开。但要强调的是, 高阶泰勒展开仅能反映该展开点附近的非线性, 而大范围非线性则必须不断地在新的状态点上更新高阶导数。这就是为何在求取受扰轨迹时, 泰勒展开的阶数升高到一定程度后, 精度反而会降低的原因。
向量场正规形理论是分析非线性系统的有效工具, 可以计及振荡模式间的非线性交互作用。文献[17,18]应用正规形方法分析2阶泰勒展开系统的振荡特性, 通过与自然模式对比, 认为不同振荡模式之间的非线性交互作用产生的2阶模式是主导原系统动态特性的重要因素。文献提出了大扰动下非线性相关因子的概念, 认为在系统存在多个弱阻尼模式时有必要考虑3阶模式。文献[19]推导了正规形中2阶模式对参数的灵敏度公式。但是, 正规形方法需要通过非线性变换得到新坐标系下的近似线性系统, 并且不适用于具有2阶或高阶谐振的系统。
模态级数法发展了向量场正规形方法。它将线性系统理论和正规形方法结合, 不再需要非线性变换来反映系统的非线性特性。文献[20]提出应用模态级数法分析非线性自然模式的交互作用, 把振荡分解为自然模式、2阶模式和更高阶模式, 定义了反映非线性对自然模式影响的指标。文献[21]在不发生2阶谐振的情况下对比后, 认为模态级数的逼近度比正规形方法好。文献[22]比较了线性模式、正规形和模态级数法对时域仿真解的逼近程度, 认为系统的共振现象会影响正规形方法的有效性, 但不影响线性模式分析方法和模态级数法。该文献还证实随着系统非线性的增强, 模态级数法的误差及其增加速度都最小, 正规形方法次之。模态级数法和正规形的计算量都很大, 并且难以评估被忽略的更高阶项的影响。
文献[23]用Hopf分岔理论分析了非线性振荡现象, 认为在临界点附近, 系统的稳定结构将发生变化, 振荡特性将不同于线性特征根给出的结论。文献[24]认为对于2维系统, Hopf分岔理论可归结为横截条件和曲率系数的求取。对于高维系统, 则需要先用中心流形理论将高维的非线性空间压缩到2维中心流形上, 再进行分析。Hopf分岔理论可以定性地分析振荡是否发散, 但难以获取更多信息。混沌和分岔是相互并存的, 文献[25]给出了混沌的实例。目前利用分岔/混沌理论来分析低频振荡的研究还处于探索阶段。
目前非线性理论在平衡点特征根方面的研究仍局限于简单小系统, 未见工程应用。此外, 这些方法都不能考虑不可微环节 (如时滞环节) 和时变因素 (如相继开断) 。
2 基于概率模型的平衡点特征根分析
长期以来, 电力部门在规划和运行中都采用确定性方法来分析系统稳定性, 而忽略了网络拓扑、模型、参数、运行工况和故障等随机因素的影响。概率模型法则通过建立随机因素与状态变量之间, 以及状态变量与特征根之间的期望与协方差之间的联系, 利用概率特征根反映随机因素对系统稳定性的影响, 更符合实际状况。这类方法基于平衡点特征根, 继承了后者的缺点, 无法考虑非线性、非自治因素的影响。
文献[26]假设随机变量服从正态分布, 利用特征根灵敏度矩阵得到特征根实部为负值的概率分布密度。文献[27]用节点负荷曲线反映运行方式的不确定性:在正态分布的假设下, 先通过概率潮流计算初始工况的均值和协方差, 再按系统的线性化模型求取临界特征根的分布概率。
文献[28]认为动态稳定概率方法普遍存在精度偏低和计算量太大的原因包括:随机变量的正态假定, 忽略变量相关性, 特征根与随机变量之间的线性简化表达式, 以及忽略高阶矩的影响等。该文献考虑了方差对均值的影响, 在计算2阶和3阶中心矩时考虑了变量相关性, 并提出对不同阶次的阶矩采用不同的近似计算, 构成中心矩和累加量的混合算法。阶矩法可以处理任意分布的随机变量, 并考虑变量间的相关性。但对于高阶中心矩, 阶矩法的计算量太大, 故改为在随机变量彼此独立的假定下, 采用简单且计算量少的累加量法。
文献[29]提出在不增加太多计算量的前提下, 用2阶灵敏度计算、多项式曲线拟合以及神经网络法来提高计算精度。文献[30]把两点估计法引入概率特征根分析, 以较少的计算量获得稳定概率信息。文献[31,32]研究了概率特征根在PSS和静止无功补偿器 (SVC) 参数设置中的应用, 以提高控制系统的鲁棒性。
3 基于确定性模型的轨迹特征根时序分析
3.1 受扰轨迹的获得与其动态行为特征的提取
实测 (或仿真) 的时间响应曲线完整地反映了物理系统 (或数学模型) 及实际扰动 (或仿真场景) 中所有非自治和非线性因素对动态行为的影响。虽然系统模型及参数方面还存在许多迫切需要解决的问题, 但时域仿真曲线一直是大扰动稳定分析和控制决策的依据, 甚至有时也被用于小扰动稳定及低频振荡分析。但根据轨迹数据来评估系统稳定性的算法却仍然是启发式的, 迫切需要提升。
将受扰轨迹视为某些频率、振幅 (或阻尼) 按特定规律变化的信号组合, 就可将低频振荡的分析问题归结为从受扰轨迹中提取及识别各振荡分量的频率、振幅 (或阻尼) 。轨迹特征根技术是从受扰轨迹中提取低频振荡特性的算法及手段。相位测量装置 (PMU) 、广域测量系统 (WAMS) 的广泛应用为轨迹特征根分析的在线实现提供了物质基础[33,34]。
轨迹特征根算法包含2个主要步骤。第1步通过PMU/WAMS采集实际系统的受扰轨迹, 或通过对数学模型的动态仿真来求取受扰轨迹。前者不需要对数学模型的先验知识, 但后者的精度则与模型及参数密切相关。轨迹特征根分析对受扰轨迹的要求并不比其他应用对受扰轨迹的要求更高, 故本文不再详述。第2步为从受扰轨迹中提取振荡信息, 是以下讨论的重点。
轨迹特征根序列的提取方法有2类:①对滑动窗口内的受扰轨迹进行信号处理, 称为轨迹窗口特征根法;②按各个取征时段始点处的系统状态, 重新将系统模型定常线性化, 再通过常规方法求取特征根, 故称为轨迹断面特征根法。各取征时段始点处的系统状态由常规数值积分确定, 因此, 特征提取过程不会影响后续时段的定常线性化模型。
3.2 平稳振荡的特征提取
Prony算法是提取平稳振荡信息的常用算法[35]。虽然计算简单, 但它对噪声敏感, 并需要根据对信号特性的先验知识来选取适当的模型阶数和数据长度, 且不能反映非平稳振荡特性[36]。平稳振荡可被视为非平稳振荡的退化形式, 故非平稳振荡的特征提取方法都可用来提取平稳振荡的特征。
3.3 非平稳振荡的轨迹窗口特征根法
对于非平稳的振荡信号g (t) , 通过信号处理技术表示为g (t) =a (t) cos φ (t) 的形式。定义瞬时角频率ω (t) =φ′ (t) , 则有φ (t) =∫tt0ω (t) dt+φ (t0) ;定义瞬时阻尼σ (t) =α′ (t) , 则有a (t) =Ae-α (t) , 其中, α (t) =∫
将整个已获得的受扰轨迹沿时间轴分为提取特征的多个窗口, 不同窗口之间可以部分重叠, 以增加窗口的分辨率。只要窗口足够短, 就可以合理地忽略系统在窗口内的时变因素和非线性因素, 而按照平稳振荡信号来提取特征根值。原本为非自治非线性系统的受扰轨迹, 就被近似为只在新窗口开始的有限个时间点上发生突变的分段定常线性化系统的轨迹。每个窗口中的频率和振幅按平稳信号进行处理, 所得到的特征根只在该时间窗口内才符合假设条件, 故被称为轨迹窗口特征根。窗口滑动形成了轨迹特征根序列, 这类特征根技术一般只适用于慢时变、弱非线性系统的轨迹。
窗口傅里叶变换法利用傅里叶变换在宽度不变的滑动窗口内提取振荡频率, 利用滑动窗口信号能量谱的变化反映振幅变化[38]。傅里叶变换抗干扰能力较强, 但对窗口的尺寸很敏感。目前对窗口的选取主要根据工程经验, 没有普适的规则。
小波算法是分析非平稳信号的有力工具, 由时频分布的局部最大值计算瞬时频率, 在时域和频域中都具有良好的局部分辨能力, 对高频、低频信号都具有自适应能力。由于该算法可以根据信号自适应地调整时频窗口, 故具有精细和灵活的分辨能力。小波脊算法利用小波的时频变换, 通过信号能量脊点的变化来反映受扰轨迹在不同时段内的频率和振幅, 并可按信号频率的变化来调整窗口尺寸[39]。
文献[40]基于HHT先采用经验模态分解, 对非线性、非平稳数据进行线性及平稳化处理, 分解为多个满足单模形式f (t) =a (t) cos φ (t) 的固有模式函数。对各固有模式分量分别进行希尔伯特变换, 构造单模复数解析信号。得到的模值即为瞬时振幅, 按定义可获得σ (t) ;得到的相位即为φ (t) , 其导数为瞬时角频率。但经验模态分解缺乏有力的数学理论支持, 缺乏固有模态函数的判断标准, 且在模态分解过程中的插值也会引起明显的边缘效应。
3.4 非平稳振荡的轨迹断面特征根法
文献[41]针对数学模型仿真轨迹, 提出轨迹断面特征根法。它将整个非平稳过程的系统轨迹沿时间轴分割为互不重叠的时段, 并在每个取征时段的始端处将系统模型重新定常化及线性化。与数值积分处理离线事件的方法相似, 只要系统模型在任何有限时间内出现不可微的时间断面数有限, 就可以通过适当地设置时间分点来处理本质非线性和模型突变。只要取征时段足够短, 期间的系统动态就可被限制在指定的范围内。在小范围内就可以应用任何提取定常线性系统振荡频率和阻尼的常规特征根技术, 如QR法。
这样, 原本为非自治非线性系统的受扰轨迹, 就可以用有限个定常线性系统的受扰轨迹来分段近似。在任何一个取征时段内, 有且仅有一个定常线性系统有效。通过坐标平移, 将系统在该取征时段始点处的状态点移到坐标原点, 而将经历过的过程的影响反映在其外激励上。因此, 原本的非自治非线性系统在这个短时段内的动态特性就可以用对应的定常线性系统的平衡点特征根来描述, 而整个动态行为则要用轨迹断面特征根的时间序列来描述。
需要特别强调的是, 上述近似处理仅仅用于对已有轨迹信息的提取, 而不是用于轨迹本身的求取。因此, 既不会改变已有轨迹, 也不会影响后继取征时段所对应的定常线性化系统。随着取征时段的缩小, 轨迹断面特征根的数值收敛性与欧拉积分相当。对于仿真轨迹, 可将取征时段长设为与积分步长相同;对于实测轨迹, 可将其设为与采样步长相同。通过对取征时段长的数值摄动, 可以评估该取征时段长是否适当。
3.5 轨迹的选择
系统低频振荡可以通过线路传输功率的波动来识别, 但其本质则是机组功角之间的相对运动。提取振荡特征时所采用的目标轨迹应该是机组的摇摆曲线, 但由于在线监控功率比监控功角容易, 故工程上习惯于从线路功率曲线上提取振荡信息。哑铃状的电网有明确的联络线, 从其功率曲线可有效提取主导振荡模式信息。但在紧密联系的多机系统中, 选择合适的线路来监测各种工况和场景下的主导振荡模式信息并非总是易事, 给振荡的分析和抑制带来一定困难。
真实的电力系统一般没有无穷大电源点, 系统惯量中心的频率在振荡中有偏移。因此, 从功角摇摆曲线中提取振荡特征时, 可能选择的目标轨迹一般有单机相对惯量中心、单机相对角度中心、两机相对运动等。长期以来缺乏恰当的准则来选择目标机组, 而选择不当时可能无法反映主导振荡模式。此外, 振荡模态和参与因子等信息的提取问题也未得到妥善解决。
扩展等面积准则 (EEAC) 通过互补群惯量中心—相对运动 (CCCOI-RM) 变换, 将多机系统受扰轨迹映射为一系列由领前群和余下群组成的互补群, 进而映射为时变单机无穷大 (TV-OMIB) 系统的映象轨迹, 实现了各振荡模式的解耦[1]。该理论反映了振荡是两群间相对运动的实质, 从其主导映象的轨迹中可以可靠识别主导振荡特征。
4 基于不确定性扰动场景的轨迹特征根时序分析
文献[42]在研究暂态稳定性的风险分析时, 以随机变量可信区间内最严重的取值为基本工况, 利用稳定裕度及其灵敏度分析技术计算由负荷水平、故障位置与故障清除时间构成的3维参数稳定域;根据概率分布密度函数, 计算不确定工况处于该稳定域内 (或其外) 的联合概率, 得到系统稳定 (或失稳) 的概率。同时, 采用条件概率方法处理电网拓扑、故障元件和故障类型等离散型随机变量。将条件概率方法与稳定域方法相结合, 计算电力系统的失稳概率。
轨迹特征根的不确定性分析尚未见报道, 笔者提出下述2层计算框架。下层用确定性方法 (见第3节) 计算指定场景下的轨迹特征根, 而上层则按给定的概率分布形成有代表意义的确定性计算场景, 并聚合下层计算结果。上层框架可能选用的方法包括:全空间蒙特卡罗抽样、条件概率 (解耦子空间中的不确定性分析) 抽样、灵敏度技术等[43]。
平衡点特征根分析独立于故障, 故其不确定性分析只要考虑工况类随机因素。但是, 轨迹特征根的不确定性分析与暂态稳定性的不确定性分析一样, 还必须考虑故障类随机因素。
5 关于平衡点特征根和轨迹特征根的讨论
几乎所有文献都将低频振荡问题归于小扰动稳定性范畴, 而将进入强非线性区后的大幅度振荡以及趋于功角滑步的过程排斥在外。事实上, 负阻尼的低频振荡现象将小扰动稳定性和大扰动稳定性联系在一起, 故将低频振荡归类于动态稳定性范畴更为恰当。
平衡点特征根可以描述定常线性系统的全局动态行为, 并定量解释低频振荡的机理。对于非本质非线性的系统, 可以通过平衡点处的线性化将系统近似为线性系统, 然后对后者采用平衡点特征根技术来分析其小范围内的动态行为。如果保留泰勒展开中的高阶项, 可以减少线性化对精度的影响, 但并不能推广到必须用微分代数方程描述的非线性系统的全局稳定性。更遗憾的是, 平衡点特征根技术完全无法处理本质非线性因素和时变因素。
时变系统动态特性的研究不能离开与具体扰动密切相关的受扰轨迹。事实上, 振荡模式可能随受扰过程而变, 要彻底解决低频振荡的分析和控制问题, 就只能接受以时间响应曲线为信息基础的方法。问题在于如何解读受扰轨迹中的深层知识, 这就是将平衡点特征根技术扩展到受扰轨迹领域的生命力所在。
平衡点特征根与扰动无关, 不考虑受扰轨迹, 只在原点处将系统模型定常化及线性化一次, 故只能反映平衡点附近的振荡行为, 而且不能反映系统在特定扰动下被激发的是哪些模式。轨迹特征根的时间序列则可以反映时变非线性系统在指定扰动下被激发的模式及其随时间的变化。
因此, 可以将完整反映时变和非线性因素对全局稳定性影响的时间响应曲线的获取技术, 与局部稳定性定量分析的特征根技术相结合。这就是轨迹特征根概念的由来。
轨迹特征根法是沿着系统的时间响应曲线, 每若干个积分步长 (对应于仿真轨迹) 或每若干个采样步长 (对应于实测轨迹) 就按照当时的代数变量和时变函数等的实际值, 将微分方程中的变参数重新定常化一次, 并将微分方程重新线性化一次, 以便求取该短时段始点处的特征根。分时段重复上述过程, 得到特征根的时间序列。由于数学模型 (对应于仿真轨迹) 或真实系统 (对应于实测轨迹) 的时间响应曲线可以反映强时变及强非线性因素, 因此对应的特征根时间序列完整地反映了系统和扰动的时变性及非线性。
轨迹特征根法适合于各种扰动类型, 可以计及系统的不可微变量、时变参数等因素的影响。按其在计算短时段特征根时是否利用系统的解析模型, 可以分为2类:①依靠信号处理技术, 而不依赖系统数学模型的轨迹窗口特征根法, 这是分析实测轨迹时唯一的选择, 也不失为对仿真轨迹快速分析的可选手段;②依赖系统数学模型的轨迹断面特征根法, 例如前面建议的分时段定常线性化法, 在受扰轨迹每个取征时段的始点断面时刻, 根据轨迹数据对系统方程重新定常线性化, 并用QR法或其他常规方法求解特征根。轨迹断面特征根法可以分析强时变和强非线性系统, 但无法用于没有系统数学模型的场合。
对于实测轨迹, 由于不掌握实际的数学模型, 故只能采用信号处理技术。由于后者需要足够宽的时间窗口, 故只适用于时变性和非线性均不是太强的振荡。这类方法简单快捷, 计算量小, 但存在频率分辨率以及窗口函数和窗口宽度选择的问题。对于仿真轨迹, 由于有系统模型, 则可以不依靠信号处理技术而直接针对各时间断面来计算特征根, 适用于快时变和强非线性的振荡。
6 结语
本文按照是否在系统平衡点信息的基础上进一步分析实际受扰轨迹中的过程信息, 将低频振荡分析方法分为平衡点特征根法和轨迹特征根序列法2类。前者又进一步分为确定性线性模型法、确定性非线性模型法、不确定性模型法等子类;后者则分为依赖与不依赖系统模型2个子类。
由于平衡点特征根就是轨迹上对应于系统平衡点时刻的轨迹特征根, 故不妨将轨迹特征根视为平衡点特征根的一种扩展。从平衡点特征根技术扩展到轨迹特征根技术是符合逻辑的一个发展方向, 当非自治性和非线性因素可以忽略时, 沿受扰轨迹的分段线性化模型也不再变化, 并等于平衡点处的线性化模型。此时, 轨迹特征根退化为平衡点特征根。
轨迹特征根方法有2个主要任务:①通过对数学模型的数值积分或对物理系统的数据采集, 获取系统对扰动的时间响应曲线;②从受扰轨迹中提取滑动窗口中的特征根—时间序列, 或者逐个时间断面的特征根信息。
滑动窗口模式识别技术适合于分析实测曲线, 但不适用于时变太快或非线性太强的场合。分段线性化模式识别技术可用于快时变和强非线性系统, 但无法用于数学模型或参数未知的场合。
轨迹特征根及其灵敏度技术的引入给非平稳低频振荡的特性分析和控制提供了新的思路, 也在低频振荡与暂态稳定分析之间建立了桥梁。其中, 轨迹窗口特征根用离散量表示, 有频率分辨率问题, 不适用于快时变、强非线性系统。但是, 轨迹窗口特征根的求取快, 且不需要系统的数学模型, 故特别适合于PMU实测轨迹的监视 (不包括灵敏度分析) 。轨迹断面特征根则可以用连续量表示方式, 可以精确反映振荡模式的时变性, 但计算量较大, 并依赖于数学模型的正确性。如何结合两者的优点, 开创更好的轨迹特征根方法是非常诱人的研究课题, 但目前离成熟的工程应用还有相当的距离。