动态滑模控制

2024-06-20

动态滑模控制（精选7篇）

动态滑模控制篇1

0 引言

机械式自动变速器(automatic manual trans-mission,AMT)系统按照控制结构的不同可分为三种:电控液动、电控气动和电控电动[1]。其中,电控电动AMT因为结构简单、相对容易控制、易维护和成本低等优势,逐渐成为业内主流[2]。

电动AMT采用两个直流电机分别控制选换挡杆,实现选挡和换挡操作。选换挡系统的控制是电动AMT换挡控制中的重点和难点,其控制效果对换挡时间有较大影响,同时也影响AMT的换挡舒适性。因此,如何采用有效的控制算法实现电动AMT选换挡过程的精确控制,成为学者们研究的热点之一。任玉平等[3]采用模糊控制的方法,建立了选换挡电机控制的模糊规则;申业等[4]对电动AMT的换挡执行机构进行了建模,并设计了滑模控制器对电动AMT的换挡过程进行精确跟踪控制;高智等[5]基于最优控制理论,对电动AMT选换挡过程进行了仿真研究和试验验证。

动态滑模控制(dynamical sliding mode con-trol,DSMC)算法兼具响应速度快、抗外界干扰能力强和鲁棒性好的优点,且能有效抑制常规滑模控制器的抖振现象[6,7]。本文建立了电动AMT选换挡系统模型,在此基础上设计了该系统的动态滑模控制器,并对其换挡过程进行了仿真研究和试验验证。

1 电动AMT选换挡控制系统

电动AMT选换挡系统主要包括自动变速器控制器(TCU)、选挡电机和换挡电机、减速机构、选换挡执行机构和角位移传感器,电动AMT及其选换挡执行机构如图1所示。

执行机构的扭矩从两个额定电压为12V的永磁直流有刷电机输出,经过减速机构减速增扭,将扭矩传递到换挡拨叉上,从而控制同步器分离或同步,实现选换挡操纵。整套执行机构受自动变速器控制器控制,选换挡电机的位置通过安装在选换挡电机输出轴上的角位移传感器反馈给控制器,实现闭环控制。

2 电动AMT选换挡执行机构建模

AMT换挡可以分为离合器分离、摘挡、选挡、换挡、离合器接合五个过程。AMT换挡过程具有严格的时序要求,即必须实现前一过程的执行机构位置控制后,下一过程的执行机构才能开始动作。换挡电机和选挡电机并不同时工作,因此,可以将电动AMT选换挡系统的控制问题解耦成两个电机的单独控制问题。

永磁直流有刷电机的结构原理如图2所示。

根据牛顿第二定律和基尔霍夫定律,电机的转矩平衡方程和电压平衡方程分别为

式中,θ 为电机角位移;Tm为电机输出转矩;kt为转矩常数;im为电机电枢电流;TL为电机负载转矩;Jm为电机转动惯量;bm为电机阻尼;Um为电机电枢电压;Lm、Rm分别为电枢回路总电感和总电阻;kb为反电动势系数。

考虑减速机构传动效率的影响,对于选换挡电机,其负载可表示为[8]

式中,FL为选档力或换挡力;r为换挡力或选挡力的作用半径;i为减速比;η为减速机构的机械效率。

联立式(1)和式(2)可得

定义直流电机系统的状态变量为

根据式(4)和式(5),可以列出直流电机的状态方程:

式中,h(x,t)为外界的不确定干扰。

3 动态滑模控制器的设计

选换挡系统在不同车速和不同挡位下所需的换挡力不同,将造成选换挡系统建模的不精确,实现电动AMT汽车选换挡电机执行机构位置的实时、精确控制是比较困难的。为了使选换挡系统对外部扰动具有较强的鲁棒性,解决抗干扰性能与位置快速跟踪控制的矛盾,本文采用动态滑模控制器实现对电动AMT选换挡电机的有效控制。

对于永磁直流有刷电机,定义系统的位置追踪误差矢量为

式中,Xd为电机的角位移设定值。

对于三阶非线性系统,其常规滑模面S可定义为

式中,c1、c2为切换面的常系数,且满足多项式p2+c2p+c1为Hurwitz稳定;p为拉普拉斯算子。

以常规滑模控制器的切换面s为基础构建动态滑模控制器的动态滑模面σ:

式中,λ 为正实数。

对动态滑模面求导可得

对于单输入单输出的电动AMT选换挡电机系统,若其滑模运动存在,则其满足,可求出动态滑模控制器的等价控制输出:

为了保证滑模面的到达条件成立,采用指数趋近率,则其趋近控制规律为

式中,k、ε 均为正实数。

可得到动态滑模控制器的输出:

定义Lyapunov函数V=σ2/2,根据稳定性定理,若要满足动态滑模面的到达条件,则必须满足

将式(13)代入式(10),可得

式(14)两边同时乘以σ,可得

由于式(15)中k和ε 均为正实数,且由式(8)和式(9)可知σ ≠0,故动态滑模控制器的输出满足Lyapunov稳定性条件,即定义的动态滑模面是渐近稳定的。

在实际应用中,选换挡电机本身的惯性和位置传感器检测的误差等因素容易造成系统产生抖振现象。抖振将影响系统的精确性,还可能会激发系统未建模动态,引起失稳。为了避免这种现象,采用饱和函数法来将控制输入修正到连续化的边界层[9?10],即将式(12)中的符号函数用饱和函数取代,得到相应的动态滑模控制趋近律:

4 仿真结果分析

根据式(1)~式(16),基于某款电动AMT变速器在MATLAB/Simulink中建立了采用动态滑模控制的选换挡电机的仿真模型,并与采用传统滑模控制(SMC)及PID控制的系统进行比较,观察在不同控制器控制下换挡电机的动态响应特性。以换挡直流电机系统为例,仿真所采用的电机参数见表1。

假设AMT选换挡过程开始之前,电机处于静止位置,当TCU发出换挡指令时,控制器接收到的电机角位移目标值相当于一个阶跃输入,即电机的初始状态可表示为X[0]=[0 0 0]T。为了更好地与动态滑模控制器进行比较,常规滑模控制器也采用指数趋近律,其中k=300,ε=1。

仿真分别在四种工况下进行:①系统空载换挡;②系统带载换挡,且电机参数均变为原来的两倍;③系统带载换挡,且传感器输入信号受到方差为1的高斯白噪声干扰;④换挡结束后受到外界干扰,系统在2.5~2.8s期间受到0.5N·m的干扰力矩。系统仿真结果如图3~图6所示。

如图3所示,在换挡电机执行机构无负载的情况下,采用动态滑模控制器的直流电机系统响应速度最快,且和采用常规滑模控制器的系统一样,不会产生超调。而采用常规PID的直流电机系统为了达到较快的响应速度,不可避免地会出现超调现象。同样在图4中系统带载,且受到电机参数变化因素影响的情况下,采用常规PID控制器的系统响应速度明显变慢,而采用动态滑模控制器及常规滑模控制器的系统仍能保持原有的响应速度。为了证明动态滑模控制器的鲁棒性及抗干扰能力优于常规滑模控制器,在图5中系统受到方差为1的高斯白噪声干扰的情况下,当常规PID控制器及常规滑模控制器达到换挡位置后,电机角位移仍会由于噪声干扰而振荡,其振荡幅度分别为0.19rad、0.14rad,而动态滑模控制器的振荡幅度仅为0.06rad。如图5 所示,系统换挡结束后,在受到外界干扰力矩影响的情况下,常规PID控制器及常规滑模控制器所控制的直流电机在跟踪设定的角位移目标时,其跟踪误差分别为0.2rad、0.06rad,与之相对应的是动态滑模控制器的跟踪误差仅为0.03rad。通过仿真可知,本文使用的动态滑模控制器具有响应速度快、抗干扰能力强和鲁棒性好等优点,可以极大地提高控制系统的性能。

5 试验结果分析

为了进一步验证动态滑模控制器的有效性和正确性,基于dSPACE实时仿真系统的快速控制原型技术完成了AMT选换挡控制程序的开发[11],并进行了相应的台架试验。AMT选换挡控制系统快速原型架构如图7 所示,它主要由dSPACE、上位机、发动机、传感器、变速箱和执行机构组成。

在选换挡过程中,车辆达到设定的换挡点时,dSPACE发出控制信号使PWM驱动板通过改变直流电机电压的大小和方向来控制选换挡电机的运动速度及方向,电机会带动相应的执行机构完成选换挡操纵,同时集成在电机上的传感器将电机位置实时发送给dSPACE,从而实现选换挡电机的位置闭环控制。

试验模拟装备AMT的车辆在节气门开度为40%的情况下从静止状态开始加速的过程。在采用三种不同控制方法的情况下,图8、图9所示分别为1至2挡和2至3挡换挡过程中选换挡电机位置的变化情况。通过变速箱选换挡电机位置标定,换挡过程中电机的运动轨迹能够实现精确的控制[12],由于1至2挡换挡过程中选挡电机位置不变,故在1至2挡的换挡时序中只包括退挡和进挡两个过程,而2至3挡的换挡时序则包括退挡、选挡和进挡三个过程。

由图8和图9可知,常规PID控制在调节过程中出现了超调现象,这有可能会造成选换挡电机堵转,时间过长将导致电机过热甚至烧毁电机线圈。且常规PID控制的调整时间与上升时间相差不大,这就导致常规PID控制1至2挡的总换挡时间达到0.4s。同理,常规滑模控制方法在换挡调节过程中也存在一定的超调,不过其调整时间较短,1至2挡的总换挡时间为0.29s。与之相对应的动态滑模控制方法在调节过程中基本无超调,且响应速度也更快,换挡时间仅为0.19s。在2至3挡的换挡过程中,由于常规PID控制方法和常规滑模控制方法在退挡、选挡及进挡三个过程中都存在一定的超调,所以需要的调整时间相应也较长,这就导致常规PID及常规滑模控制的换挡总时间分别达到了0.6s、0.53s,而动态滑模控制方法由于在三个换挡过程中基本无超调,其换挡时间仅为0.38s。

采集台架运行过程中采用动态滑模控制器控制时不同挡位切换所需的换挡时间,在多次试验后分别对各个挡位切换所用的换挡时间取平均值,得出不同挡位切换时的换挡时间,见表2。

为了更好地体现动态滑模控制的响应速度快的特点,本文列出了文献[5]中采用最优控制算法的AMT换挡时间进行对标,见表3[5]。

比较表2和表3的数据可知,与采用最优控制算法相比,运用动态滑模控制算法的电动AMT换挡时间有明显缩短。1 挡升2 挡仅需0.19s,而采用最优控制的AMT选换挡系统需要0.42s;同理,在包含选挡过程的2挡升3挡的换挡过程中,采用动态滑模控制的电动AMT选换挡时间仅为0.38s,也要优于采用最优控制的0.66s。综合来看,动态滑模控制的响应时间相较于最优控制有较大的优势。

由于换挡过程中各个阶段受到的换挡阻力及影响因素不同,故换挡电机与选挡电机所需提供的转矩也不同[13],这就要求换挡控制系统对负载变化具有良好的鲁棒性及动态响应能力。同时,针对换挡时系统可能面对的外部干扰,也要求系统对外部扰动具有良好的抗干扰能力。经过对比可知,本文中的动态滑模控制器能在保证控制精度的同时,在这几方面的性能也要优于其他控制器,从而改善了AMT换挡控制系统相应的性能。

6 结语

针对AMT选换挡系统具有非线性动态特性、负载突变的特点,本文设计了基于动态滑模控制理论AMT选换挡电机执行机构的动态滑模控制器,通过仿真进行了验证,并进行了基于dSPACE的电动AMT换挡快速控制原型试验。仿真和试验结果均表明,动态滑模控制算法能够明显缩短电动AMT系统的换挡时间,同时提高系统的鲁棒性,能有效地提升换挡品质,从而进一步改善电动AMT汽车的换挡舒适性和动力性。

动态滑模控制篇2

Boost变换器是直流变换器中最简单, 也是最基本的一种拓扑, 基本电路工作过程如图1所示。

当控制输入为1时, 功率开关管S导通。这时等效电路如图1 (b) 所示, 二极管D因承受反向偏置电压而截止。输入侧端, 输入电压直接作用于储能电感上, 电感电流呈线性增加, 电能以磁能的形式存储在电感线圈中。而输出侧端, 电容向负载电阻放电, 只要电容值足够大, 就能够维持负载上的输出电压的恒定;当控制输入为0时, 功率开关管S关断, 这时等效电路如图1 (c) 所示, 二级管D因承受正向偏压而导通, 为电感电流构成通路, 电感线圈的感应电压与输入电压同向, 一起向电容和负载供电。根据分析Boost变换器的变结构模型为:

其中:iL和vo分别代表电感电流和输出电压, L, C, RL分别表示电感、电容和负载电阻。u表示控制变量, 取值为0和1。

令:undefined;

代入式 (1) , 得到标准化转后的模型为:

2 动态滑模控制器设计

2.1 控制目标分析

系统到达平衡状态时, 即:

vo→vref, vref>vi (3)

这时输出电压变化量为零, 电感的平均电流变化量也为零, 即undefined, 可求得系统的平衡点为undefined。对于标准模型, 其平衡点为 (xundefined/R, xref) 。以上控制目标就转换成:

x2→xref, x2ref=vref/vi>1 (4)

2.2 切换面函数选取

根据控制框图, 可得动态滑模变结构控制切换面函数形式为:

undefined

但第一个积分项实际上是对电感电流的表征。采用输出电压误差积分来表征电感电流, 不用去测量具体的电感电流参考量, 增加了滑模变结构控制器的实用性。

开关管只有导通和关断两种状态, 取控制规则取为:

2.3 切换面存在可达条件分析

切换面可达的充分必要条件是δundefined<0, 即:

对切换面函数进行求导, 可得:

联合式 (9) 和式 (10) 能够得到切换面可达的条件为:

2.4 切换面存在稳定分析

定义一个李亚普诺夫函数:

undefined (12)

其中, undefined;

F (X) 沿着运动轨迹线的微分项为:

undefined (13)

其中:undefined;

系统要稳定, 必须满足F (x) >0, undefined (x) <0。

由存在条件可知x2-kpx1>0, 则分母aeundefined+be1e2+ceundefined必须为正。a=kp>0, 当undefined为负。解得:

{x|x2a

其中:

undefined (15)

undefined (16)

2.5 控制规律转换

以上是针对时间τ下标准模型所设计的动态滑模变结构控制器, 还需要其转换到时间t下。把x1 (τ) , x2 (τ) , Rn重新带回切换面函数 (5) , 可得到变结构模型下滑模变结构控制器。

控制规律为:

切换面函数为:

undefined

3 电流滞环调制

滑模控制是状态点是在切换面上下以无限频率运动的假设之实现的。实际电路受限于元器件物理性能, 频率总是有限的。因而滑模变结构控制要实际应用, 必须对切换频率做出限制。滞环调制技术是最早被应用于滑模变结构控制切换频率处理, 其原理是在切换面上施加一个滞环带宽, 将切换频率限制在滞环带宽之内。图3所示为滞环调制原理。

对控制规则进行如下改变:

其中, h表示滞环宽度, h/2为滞环上界, -h/2为滞环下界;

当系统进入稳态时, 输出电压等于参考值, 即vo=vref。则稳态时的切换面函数形式可以改写为:

求导得到:

可以看出滞环宽度与电感电流纹波量有关, 图4所示为电感电流纹波放大波形。

当t∈ (nT, nT+t1) 时:

上式为推导的滑模变结构控制切换频率和滞环宽度之间的明确关系式。

4 仿真分析

为了验证基于滞环调制动态滑模变结构控制器的性能, 在Matlab/Simulink中搭建了仿真模型。仿真参数设置:输入电压3.2V, 输出电压12V, 电感150μH, 电容300μF, 电阻6Ω。仿真真时间为40ms, 步长为10ns, 算法选取默认设置。取参数ki=0.1, kp=0.3, 滞环宽度h为0.00024。

输入扰动和负载扰动时的输出电压波形如图5、图6所示。可以看出, 在扰动时, 输出电压没有影响, 输出电压稳定在12V, 体现出良好的鲁棒性。图7所示负载扰动时, 输出电压放大波形。输出电压向下波动了30mV, 稳态误差在20mV以内, 响应速度较快。图7所示负载扰动时, 电感电流放大波形。根据图7, 图8, 可计算出转换效率在90%以上。

5 结束语

本文针对直流变换器的强非线性难控制的问题, 提出了一种动态滑模变结构控制策略。给出了整个控制器的详细设计过程, 结合电流滞环对切换频率实施限制, 更符合实际应用。最后在Matlab中进行了建模仿真, 仿真结果表明该控制策略在稳态时收敛速度较快, 能使系统快速的逼近平衡点。在输入和负载扰动的情况下, 动态响应速度快, 稳态误差控制较好。体现出了良好的不变性。

参考文献

[1]张晓宇, 苏宏业.滑模变结构控制理论进展综述[J].化工自动化及仪表, 2006 (2) .

[2]UTKIN V I.Variable structure systems with sliding modes[J].IEEE Transactions Automatic Control, 1977 (2) .

[3]倪雨, 许建平.准滑模控制开关变换器分析[J].中国电机工程学报.2008 (21) .

[4]ABRAHAM I.Pressman.开关电源设计[M].王志强, 译.北京:电子工业出版社, 2006.

[5]H.SIRA-RAMIREZ, R.MARQUEZ, M.FILES.Sliding mode con-trol of dc-to-dc power converters using integral resconstructor[J].Roubust Nonlinear Control.2002.

[6]JONG YEOUL, VU NGOC, IL HYO.On stability of nonlinearnonautonomous systems by lyapunov’s direct method[J].Mathe-matics in Science and Engeering, 2000 (5) .

动态滑模控制篇3

随着非线性、强耦合、多输入多输出机器人,数控机床,以及动力传动系统等精密机械系统对定位精度要求的不断提高,因摩擦的存在而引发的跟踪误差(特别是低速的情况下)、黏滑运动以及极限环振荡等非线性现象,对系统控制性能的影响越来越大。特别是对于一些重载的机器人[1],摩擦甚至造成了50%的误差。若负载、润滑条件以及环境条件改变,机器人系统中的摩擦也会发生相应的变化,即摩擦具有非线性、时变性、不确定性及复杂性。因此,对摩擦力进行辨识和补偿是一项不可缺少、重要和关键的研究任务。国内外众多学者以及技术人员采用了多种方法对机器人的摩擦进行补偿[2],若从控制策略角度来分类,主要有以下四种:①固定摩擦补偿技术;②基于部分摩擦特性的补偿技术;③自适应补偿方法;④不基于模型的补偿算法和神经模糊技术。

在处理动态摩擦这类具有不确定性、非线性的问题方面,RBF神经网络作为一种特殊的三层前馈神经网络,具有并行计算、分布式信息存储、容错能力强、自适应、学习收敛速度快等一系列优点,而模糊逻辑具有较强的定性知识表达能力和推理能力。因此,Kosko[3]综合两者长处,提出了基于结构等价型融合的模糊RBF神经网络系统,该系统的结构和权值都有一定的物理含义,在设计其结构时,可以根据问题的复杂程度及精度要求,并结合先验知识来构造合适的模糊神经网络模型,这样,网络的学习速度就会大大加快,并且避免了局部极值。

本文在遵循摩擦学的3个公理的前提下[4],结合机器人的动力学模型及7种重要典型的动态摩擦模型的特性[5,6,7,8],分析、总结了各种不同的摩擦补偿方法或技术的优缺点,提出了一种基于动态摩擦模型——LuGre模型的模糊RBF神经网络分块补偿的机器人数字鲁棒滑模控制算法,对机器人系统中的摩擦不确定项进行有效的估计、逼近、补偿,从而实现机器人系统高精度、高可靠、长寿命、大转矩、低能耗的目标。

1 带摩擦补偿的机械臂动力学模型

对于一个n自由度关节机器人,基于拉格朗日运动学建立的机器人动态方程为

$D (q) \ddot{q} + C (q, \dot{q}) \dot{q} + G (q) + F (\dot{q}) + τ_{d} = τ$ (1)

$\begin{array}{l} q \in R^{n} \dot{q} \in R^{n} \ddot{q} \in R^{n} τ \in R^{n \times 1} D (q) \in R^{n \times n} \\ C (q, \dot{q}) \in R^{n \times n} G (q) \in R^{n \times 1} F (\dot{q}) \in R^{n \times 1} \end{array}$

式中,q、 $\dot{q}$ 、 $\ddot{q}$ 分别为机器人各关节的位置、速度和加速度;τ为控制力矩;D(q)为对称正定的惯性矩阵; $C (q, \dot{q})$ 为哥氏力和向心力矩阵;G(q)为重力矩阵; $F (\dot{q})$ 为动态摩擦力矩;τd为外部干扰。

取 $x_{1} = q, x_{2} = \dot{q},$ 则式(1)可转化为以下动力学方程:

$\begin{array}{l} \dot{x}_{1} = x_{2} \\ x_{2} (k + 1) = D^{- 1} (x_{1} (k)) (τ (k) - C (x_{1}, x_{2}) x_{2} (k) - \\ G (x_{1} (k)) - F (x_{2} (k)) - τ_{d} (k)) \end{array}}$

(2)

在式(1)中,F为非线性动态摩擦补偿项。LuGre模型是一个比较完善的摩擦模型,能够准确地预测摩擦的各种重要特性,且对摩擦环节的动态补偿效果较好,已有学者用实验方法辨识了LuGre模型的参数[9]。但是,该模型动态参数的辨识迄今仍是一个难题。因此,本文采用模糊RBF神经网络来估计、逼近LuGre模型的动态参数。LuGre摩擦模型是基于鬃毛的平均变形来建模的。

鬃毛的平均变形用状态变量zi(关节i=1,2,…,n)表示[10],按照下式来建模:

Δzi(k)=x2(k)-σ0i|x2(k)|·(g(x2(k)))-1zi(k) (3)

式中,σ0i为鬃毛的刚度。

摩擦力由鬃毛的挠曲产生,可以描述为

Fi=σ0izi(k)+σ1izi(k+1)+σ2ix2(k) (4)

其中,σ1i是微观阻尼系数,σ2i是黏性摩擦因数。

函数g(x2)描述了Stribeck效应:

$g (x_{2} (k)) = F_{c i} + (F_{s i} - F_{c i}) \exp (- (x_{2} (k) / \dot{q}_{s})^{2}) (5)$

式中,Fc i为关节库仑摩擦力矩;Fsi为关节黏性摩擦力矩; $\dot{q}_{s}$ 为关节的虚拟速度。

根据式(3)～式(5),可以得出:

F(k)=σ0izi(k)-σ3ihi(x2(k))zi(k)+σ4ix2(k) (6)

σ3i=σ0iσ1iσ4i=σ1i+σ2i

hi(x2(k))=|x2(k)|(g(x2(k)))-1

2 模糊RBF神经网络数字鲁棒滑模控制

2.1 控制结构

本文所用的机器人数字控制系统框架如图1所示,采用三个RBF网络(图1中只画了一个网络)分别实现对F0i、F3i和F4i建模、估计[11],输入语言变量为 $z (\dot{q})$ 、 $h (\dot{q}) z (\dot{q})$ 、 $\dot{q} (k)$ ,FNN系统的输出为F,根据功能等价性,也可以把隶属函数层和T-范数层合并成一层,称为模糊化层。整个控制器输出的数字信号经过D/A转换成模拟信号(如电压或电流),用于控制机械臂各驱动关节,以一定的速度、加速度运动至一定位置,再经过A/D转换,与给定的位置、速度比较,得到相应关节的位置误差、速度误差,反馈到由滑模控制器、模糊RBF神经网络、鲁棒控制器构成的数字控制器,形成位置闭环、速度闭环,实现机器人的高精度、高可靠智能控制。则F0i、F3i、F4i的神经网络逼近、估计值为

$\begin{array}{l} \hat{F}_{0 i} (z) = [\hat{W}_{0 i} (z (\dot{q} (k)))]^{Τ} \cdot Ξ_{0 i} (z (\dot{q} (k))) \\ \hat{F}_{3 i} (h z) = [\hat{W}_{3 i} (h (\dot{q} (k)) z (\dot{q} (k)))]^{Τ} \cdot \\ Ξ_{3 i} (h (\dot{q} (k)) z (\dot{q} (k))) \\ \hat{F}_{4 i} (\dot{q}) = [\hat{W}_{4 i} (\dot{q} (k))]^{Τ} \cdot Ξ_{4 i} (\dot{q} (k)) \end{array}}$

(7)

其中, $Ξ (\dot{q})$ 为权函数, $\hat{W}$ 0i、 $\hat{W}$ 3i、 $\hat{W}$ 4i分别为实际权值W0i、W3i、W4i的估计权值,摩擦项的估计 $\hat{F} = \hat{F}_{0 i} - \hat{F}_{3 i} + \hat{F}_{4 i}$ 。

2.2 控制律的设计

设位置指令为x1d(k),x1(k)为实际的位置,则跟踪误差定义为

e(k)=x1(k)-x1d(k) (8)

滑模函数设计为

si(k)=ei(k+1)+Λei(k) (9)

其中,Λ为正定阵。

与滑模面函数相关的设定速度为

x2si(k)=x2di(k)-Λei(k) (10)

式中,x2di(k)为机器人各关节的给定速度;si、di对应不同的机器人关节。

控制律设计为

$\begin{array}{l} τ (k) = D (x_{1}) x_{2 s_{i}} (k + 1) + C (x_{1}, x_{2}) x_{2 s_{i}} (k) + \\ G (x_{1}) + \hat{F} (x_{2}) - Κ_{D} s_{i} (k) - Κ_{s} s a t (s_{i}) (11) \end{array}$

其中,KD=diag(Ki),Ki>0,克服模糊神经网络建模误差的鲁棒项为Kssat(si),Ks=diag(Ks i),Ks i>0,i=1,2,…,n。饱和函数设计为

$s a t (s_{i}) = {\begin{cases} 1 s_{i} ＞ δ \\ s_{i} / δ | s_{i} | \leq δ \\ - 1 s_{i} ＜ - δ \end{cases} δ ＞ 0$

(12)

式中,si为每个时刻滑模面函数的值。

自适应律设计为

$\begin{array}{l} Δ \hat{W}_{0 i} (z) = - Γ_{0 i} \cdot [ξ_{0 i} (z (k))] s_{i} (k) \\ Δ \hat{W}_{3 i} (h z) = Γ_{3 i} \cdot [ξ_{3 i} (h (x_{2} (k)) z (k))] s_{i} (k) \\ Δ \hat{W}_{4 i} (x_{2}) = - Γ_{4 i} \cdot [ξ_{4 i} (x_{2} (k))] s_{i} (k) \end{array}}$

(13)

其中,Γ0i、Γ3i、Γ4i为对称正定矩阵。

2.3 稳定性分析

定义Lyapunov函数为

$\begin{array}{l} V (k) = [s (k)]^{Τ} s (k) + \sum_{i = 1}^{n} [\tilde{W}_{0 i} (k)]^{Τ} \tilde{W}_{0 i} (k) + \\ \sum_{i = 1}^{n} [\tilde{W}_{3 i} (k)]^{Τ} \tilde{W}_{3 i} (k) + \sum_{i = 1}^{n} [\tilde{W}_{4 i} (k)]^{Τ} \tilde{W}_{4 i} (k) (14) \end{array}$

$\tilde{W}_{0 i} = W_{0 i} - \hat{W}_{0 i}, \tilde{W}_{3 i} = W_{3 i} - \hat{W}_{3 i}, \tilde{W}_{4 i} = W_{4 i} - \hat{W}_{4 i}$

根据D(k+1)-2C(k)的斜对称特性,并将式(1)、式(7)～式(13)代入式(14)得

$\begin{array}{l} Δ V = [s (k + 1)]^{Τ} s (k + 1) - [s (k)]^{Τ} s (k) + \\ \sum_{i = 1}^{n} [\tilde{W}_{0 i} (k + 1)]^{Τ} \tilde{W}_{0 i} (k + 1) + \\ \sum_{i = 1}^{n} [\tilde{W}_{3 i} (k + 1)]^{Τ} \tilde{W}_{3 i} (k + 1) + \\ \sum_{i = 1}^{n} [\tilde{W}_{4 i} (k + 1)]^{Τ} \tilde{W}_{4 i} (k + 1) - \sum_{i = 1}^{n} [\tilde{W}_{0 i} (k)]^{Τ} \tilde{W}_{0 i} (k) - \\ \sum_{i = 1}^{n} [\tilde{W}_{3 i} (k)]^{Τ} \tilde{W}_{3 i} (k) - \sum_{i = 1}^{n} [\tilde{W}_{4 i} (k)]^{Τ} \tilde{W}_{4 i} (k) \leq 0 (15) \end{array}$

3 仿真结果及分析

两关节机器人系统(图2)动力学模型参照式(1),其中,n=2,忽略外部干扰,机器人各关节低速的位置指令分别为qd1=-0.1cos t,qd2=0.1sin t,高速时为qd1=-cos t,qd2=sin t;系统的初始条件:低速时为qd(0)=[-0.1 0]或[0 0],高速时为qd(0)=[-1 0],其他条件一样, $z (0) = \dot{q}_{d} (0) = [00],$ 控制器参数为Λ=10I,KD=20I,W=2I,Γ0i=Γ3i=Γ4i=0.000 05I,摩擦补偿 $F (\dot{q})$ 采用式(6),其中,神经网络高斯基函数权值W(0)=0,中心ci=0.6rand(1,5),σi=150×[1],重力加速度g取为9.8m/s2,机器人参数及其摩擦力参数见表1,机器人的动力学模型如下:

$Μ (q) = [\begin{matrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{matrix}]$

(16)

m11=(m1+m2)L21+m2L22+2m2L1L2cosq2

m12=m2L $_{2}^{2}$ +m2L1L2cosq2

m21=m2L $_{2}^{2}$ +m2L1L2cosq2m22=m2L $_{2}^{2}$

$C (q, \dot{q}) = [\begin{matrix} - m_{2} L_{1} L_{2} \dot{q}_{2} s i n q_{2} & - m_{2} L_{1} L_{2} (\dot{q}_{1} + \dot{q}_{2}) s i n q_{2} \\ m_{2} L_{1} L_{2} \dot{q}_{1} s i n q_{2} & 0 \end{matrix}]$

(17)

$G (q) = [\begin{matrix} (m_{1} + m_{2}) g L_{1} c o s q_{2} + m_{2} g L_{2} \cos (q_{1} + q_{2}) \\ m_{2} g L_{2} \cos (q_{1} + q_{2}) \end{matrix}]$

(18)

图3～图8反映了两关节机器人的轨迹跟踪、摩擦力矩、控制力矩随时间的变化关系及摩擦力矩与速度的变化关系。由图3、图4对应的数据可以得出,两关节机器人的轨迹跟踪精度高,最大位置误差为1×10-3rad,且动态摩擦补偿的效果也很好。由图5、图6可以看出,是否对机器人系统建模的不确定性进行动态LuGre摩擦补偿,对机器人控制力矩的稳定性影响非常大:特别是在速度换向(如2.446s)时,有动态摩擦补偿时,机器人连杆1控制力矩为28.0046N·m;无摩擦补偿时,连杆1控制力矩为32.0270N·m,控制力矩产生跳跃式增大。而在7.3750s时则产生了跳跃式减小,这对机器人高精度、高可靠的操作来说都是要极力避免或不允许的。因此,非常有必要对机器人中的摩擦力矩进行补偿。

图7、图8是低速运行时机器人中摩擦力矩随速度变化的相图,其形状类似菱形。由初始状态O→平衡状态时,其启动摩擦力矩存在一定程度的波动或者速度超调,即机器人的初始位置姿态对机器人的稳定性影响非常大。而达到稳态时,幅值达到最大,为24.1199N·m,且随着时间的推移,摩擦力矩与角速度x2之间存在菱形稳定吸引子。此时,在图7中,连杆1相图曲线由D→A时,速度逐渐增大,而摩擦力矩幅值由正向最大→0→负向最大,摩擦力矩表现为负斜率现象,即Stribeck现象。同样地,该规律也存在于机器人连杆2。

图9是高速运行时,机器人中摩擦力矩随速度变化的相图,除了存在Stribeck现象外,当连杆1角速度x2由0.2805rad/s→1.0018rad/s(A→B)或者由1.0018rad/s→-0.0545rad/s(B→C)时,摩擦力矩与速度x2成比例增大或者减少,且力矩较稳定,因为此时z1为一常量,则 $\frac{d z_{1}}{d t} = 0,$ 式(5)中的g(x2)为一常量,式(6)中F的简化为关于x2的一阶线性函数,此时主要体现为黏性摩擦。同样地,相图中D→E→F的摩擦力矩与速度也成线性关系。该规律也存在于机器人连杆2。

4 结论

(1)本文提出了用模糊RBF神经网络分块补偿机器人中的动态摩擦不确定项及数字滑模机器人鲁棒控制算法,分析了控制器的Lyapunov稳定性,利用模糊神经网络在线自适应训练LuGre模型中的各摩擦分项,从而实现了机器人高精度的轨迹跟踪、高品质的动态响应。

(2)发现了在该两自由度机器人低速运动时,其关节中存在着Stribeck效应、类菱形吸引子等非线性动力学现象;高速运动时,其黏性摩擦为主。不合适的初始条件会使机器人的启动摩擦力矩出现较大振荡。

参考文献

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磁悬浮飞轮的终端滑模控制篇4

关键词：磁悬浮飞轮,终端滑模控制,高增益观测器

0引言

飞轮储能是一种新型的绿色蓄能方式。飞轮储能电池的转化效率、蓄电容量以及充放电次数都优于普通的化学电池,这些优点使得飞轮储能在电动汽车、轨道交通和电力调峰等领域有着广阔的应用前景。飞轮储能系统是以高速旋转的飞轮来储存能量的。以主动磁轴承支撑飞轮转子,飞轮转子悬浮在真空室内,不需要润滑和机械轴承,可以大大地降低摩擦阻力,从而减小系统的能量耗散,同时减小了系统的抖振,使飞轮系统的寿命延长,并改善了飞轮在高速转动时的运动品质。

由于需要产生很大的止推力使转子悬浮,这会增加主动磁轴承的电能消耗,故在实际应用中,一般将主动磁轴承与永磁轴承组合使用,即,永磁轴承提供转子悬浮的力,而主动磁轴承用以消除飞轮的振动。

滑模变结构控制的系统“结构”不固定,随着系统的状态,按照预定的“滑动模态”轨迹运动。滑动模态的设计与系统参数和扰动无关,故滑模控制对系统所受干扰和参数的不确定性具有自适应性[1,2]。由于普通滑模控制无法实现系统状态在期望的时间内收敛到系统平衡点,Zak于1988年提出了终端滑模控制。

终端滑模控制在滑模切换函数中引入非线性项,改善了系统的收敛特性,使得系统可以在有限的时间范围内快速、精确地收敛到期望的轨迹。由于这些优点,终端滑模控制广泛应用于机器人控制、电机控制和飞行器控制等领域。本文将终端滑模控制应用到磁悬浮飞轮的控制中。

1磁悬浮飞轮系统动力学模型

磁悬浮飞轮系统共有6个自由度,由于飞轮储能原理,其中I是飞轮系统在z轴的转动惯量,是沿z轴转动的角速度,故飞轮系统除了沿z轴的转动的自由度而外,其余5个自由度均需用磁轴承加以约束,以使飞轮系统悬浮在封闭的真空机座内。同时在建模的过程中假设磁轴承止推力是控制电流的线性函数。

可得磁悬浮飞轮系统的动力学方程[3]:

m位转子质量,其中;Jr为赤道转动惯量;Jp为极转动惯量;ω为转子延z轴旋转角速度;ε为离心率(静不平衡量);η为旋转轴与惯性轴夹角(动不平衡量);θ1,θ2分别为初始相位;kx,ky,kz分别为磁轴承x,y,z方向的位移刚度;kix,kiy,kiz分别为磁轴承x,y,z方向的电流刚度;l为磁轴承间距;u1,u2,u3,uz为相应电流控制量。

其中,kx——转子轴向的位移刚度;

ki——轴向磁悬浮轴承的电流刚度;

m——转子的质量;

x——转子的轴向位移;

u——是磁悬浮轴承的电流输入;

τ——系统时延。

转化为状态方程:

其中,

2磁悬浮飞轮的控制

依据已获得的磁悬浮飞轮的动力学模型设计基于高增益微分观测器,并设计终端滑模控制器,之后做稳定性分析,验证控制器的有效性。2.1高增益微分观测器

微分信号的求取是控制的关键问题,迅速精确地获取信号的速度对于控制系统至关重要,由传感器测量到的位置信息估计其速度和加速度在工程上是困难的任务和极具挑战的问题。

高增益微分器是指增益趋于无穷大(或充分小)的时候,对给定信号可以提供准确的时间倒数[4]。

依据文献[5]设计三阶微分观测器,以实现对信号获取以及对速度加速度的估计。

高增益微分器如下:

2.2终端滑模控制器设计

由被控系统方程,设计基于高增益微分器的滑模切换函数:

根据Hurwitz条件,得c1>0,c2>0。

跟踪误差为:

其中xd(t)是预期的输入信号,在这里没有输入xd(t)=0。

采用指数趋近律,

常数ε表示系统运动点趋近切换面s=0的速率。ε小,趋近速度慢;ε大,则运动点到达切换面时将具有较大的速度,引发的抖动也较大。

依据文献[6]设计滑模控制器:

当t<T时,

求得p(t)一阶导:

求得p(t)二阶导:

求得p(t)三阶导:

可得方程组,解得:

设计控制率为:

2.3稳定性分析

将(4)式代入(5)式,并整理得:

已经证明,高增益微分器的观测误差是渐进稳定的,即增益趋于无穷大时,微分器能给出状态的准确估计值。

3仿真

系统的参数在表1中给出。控制器及观测器的参数如下:

模型初始条件是[0.00005;0.00002;0.00002],在仿真的过程中发现,微分器的初始条件并不需要同模型初始条件完全一致,只需保证位移初始条件一致即可。高增益微分器初始条件为[0.00005;0;0]这是因为只能测得位移信号,故将其作为高微分器的初始条件代入。

依据图6可知,使用终端滑模控制可以使系统响应快速收敛到平衡点,而普通滑模控制的调节时间较长。由控制器的输出可知,终端滑模控制所需的能量更小,这正是期望的。

4总结

本文针对已知的磁悬浮飞轮系统采用高增益微分器对磁悬浮系统飞轮系统的状态进行观测,获得状态的观测值。并用观测值作为终端滑模控制器的输入,实现了磁悬浮飞轮在要求的时间内从初始条件快速收敛到平衡点。

参考文献

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永磁同步电机的模糊滑模控制篇5

永磁同步电动机由于其体积小、效率高、结构简单可靠、转矩大和鲁棒性强等优点,被广泛应用于高精度位置控制的伺服系统。但PMSM又是一个多变量、非线性、强耦合的系统,为了克服这些缺点,已经提出了许多消除不确定性影响的控制策略,然而,鲁棒性得不到保证。多年来,滑模控制由于控制结构简单、鲁棒性和可靠性高,故被广泛地应用于运动控制中,并且已经取得了很多卓有成效的研究成果。但是,“抖振”问题成为滑模控制器应用的障碍。本文将模糊控制和滑模控制相结合,采用模糊规则,利用滑模到达条件对切换增益进行估计并利用切换增益消除干扰项,从而消除抖振。使得PMSM伺服系统对负载干扰和参数变化具有很好的鲁棒性。

2 永磁同步电机伺服系统数学模型

带有正弦感应的电动势的永磁同步电机的数学模型如下:

电磁转矩Te和电机运动方程由下式来描述:

根据矢量控制理论,控制d轴电流id=0,则方程(3)变为:

式中其中J为转动惯量;B为阻尼系数;TL为负载力矩;Kt为力矩增益。

取状态变量

则永磁同步伺服电机驱动系统的状态方程为:

式中:A=-B/J;B=-Kt/J;D=-1/J;U(t)=iq。

考虑到等式(6)的不确定性,

式中:ΔA、ΔB和ΔD所指的是由于系统参数J、B、Kt及负载扰动TL所引起的不确定性,将等式(7)重新阐述为:

则

其中B+=(BTB)-1BT是假逆变。

状态方程式(8)可描述为:

假设

其中η>0。

3 模糊滑模控制器的设计

3.1 滑模控制器设计

设r为位置指令,则误差为:

设全局动态滑模面为:

其中c>0,F(t)是为了达到全局滑模面设计的函数。

为了实现全局滑模,函数需要满足以下3个条件:

其中e0和为t=0时的位置误差及其导数。条件(1)使系统状态位于滑模面,条件(2)保证了闭环系统的稳定,条件(3)是滑模存在的条件的要求。

根据以上3个条件定义F(t)为:

定义Lyapunov函数为:

则

因此可设滑模控制律为

将控制律(17)代入式(16)得

则

综上所述,根据李亚普诺偌夫稳定性定理,可得系统(6)输出渐近跟踪指令r。

在滑模控制律式(17)中,切换增益K(t)的值是造成抖振的原因。K(t)用于补偿不确定项E(t),以保证滑模存在性条件得到满足。如果E(t)时变,则为了降低抖振,采用模糊规则,根据滑模到达条件对切换增益K(t)的值进行有效的估计,使K(t)也时变。

3.2 模糊控制器的设计

滑模存在的条件为

当系统到达滑模面后,将会保持在滑模面上。由于K(t)为保证系统得以到达滑模面的增益,因此其值必须足以消除不确定项的影响。

模糊规则如下:

由式(22)和式(23)设计如下模糊系统:为输入,ΔK(t)为输出。系统输入输出的模糊集定义如下:

其中NB为负大,NM为负中,ZO为零,PM为正中,PB为正大。

模糊系统的输入隶属函数如图1所示,模糊系统的输出隶属函数如图2所示。

选择如下模糊规则:

采用积分的方法对的上界进行估计

其中G为比例系数,G>0。

再用代替式(17)的K(t),则控制律变为

控制系统的结构图如图3所示。

4 系统仿真分析

以永磁同步电机模型的位置跟踪为例,被控装置包括转台、减速器和执行电机,折算到电机轴上的转动惯量为0.0196 kg·m2,额定转速为1600 r/min,额定电流为3 A,磁极对数为2,阻尼系数为0.0028。期望信号为r=sin(2πt),系统不确定项和外部扰动为E(t)=2sin(t)。本文采用控制律式(26),取G=200,C=150,λ=10,得仿真结果如图4和图6所示,采用传统的控制律式(17),取D=200,C=150,仿真结果如图5和图7所示。可见基于模糊规则的滑模控制已经解决滑模变结构控制的“抖振”问题。

5 结束语

从以上仿真结果可知,基于模糊规则的滑模控制可有效地消除干扰项,从而消除“抖振”,而且系统对外部干扰力矩有很强的鲁棒性,并且参数变化的情况下,仍能保持系统的鲁棒稳定性,跟踪精度和暂态性能良好。

摘要：为了实现高性能永磁同步电动机伺服系统快速而精确的位置跟踪控制,在滑模控制策略中引入模糊控制算法,设计了基于模糊规则的滑模控制器。通过理论分析和控制仿真,证实了模糊滑模控制很好地解决了抖振问题,对参数变化和负载扰动具有较强的鲁棒性,永磁同步电机可获得优良的位置跟踪效果。

关键词：滑模控制,模糊控制,永磁同步电机,模糊规则

参考文献

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基于目标全息反馈的励磁滑模控制篇6

励磁控制系统作为现代电力系统的不可或缺的部分,在维持电力功角系统稳定,抑制电压波动方面起着重要作用。在以往的设计思路中,微分几何理论作为一种严密的数学理论能将仿射非线性系统转化为Brunovsky标准型,从而为精确线性化提供了有利的条件,也得到广泛的应用。文献[1,2,3,4,5]分别从电力系统的各个角度证明了微分几何理论在不同机电控制系统中的有效性。但基于微分几何理论的设计方法中控制目标的选取需满足特定的条件,因此其控制目标选取缺乏一定的灵活性,无法完全满足实际需要。文献[7]提出了目标全息反馈法,通过严谨的数学证明,将系统运行时的发电机电磁功率,机端电压和角速度作为状态变量置于统一的状态方程组中,克服了微分几何理论中无法灵活选取状态变量的缺点。文献[6,7,8]的结果证明了目标全息反馈法的有效性。另外,直接基于微分几何理论的反馈线性化要求系统的参数完整,而实际中的参数总是含有一定的不确定性,就给直接基于微分几何法的应用带来一定的困难。

本文首先通过目标全息反馈法选取实际中比较关注的变量组成全新的Brunovsky标准型的状态方程组,接着按照最优反馈法得到滑模控制部分状态反馈的表达式;最后通过仿真验证本文方法的有效性。

1单机无穷大系统数学模型

发电机单机无穷大系统的三阶模型为

${\begin{cases} δ^{&} = ω_{0} (ω - 1) \\ ω^{&} = \frac{1}{Τ_{J}} (Ρ_{m} - Ρ_{e} - D (ω - 1)) \\ E_{q}^{&^{'}} = - \frac{x_{d \sum}}{Τ_{d 0}^{´} x_{d \sum}^{´}} E_{q}^{´} + \frac{(x_{d} - x_{d}^{´}) U_{s} \cos δ}{Τ_{d 0}^{´} x_{d \sum}^{´}} + \frac{1}{Τ_{d 0}^{´}} E_{f} \end{cases} (1)$

其中: $Ρ_{e} = \frac{E_{q}^{´} U_{s}}{X_{d \sum}} \sin δ + U_{S}^{2} \frac{X_{d \sum}^{´} - X_{d \sum}}{2 X_{d \sum}^{´} X_{d \sum}} \sin 2 δ$

式中:δ为发电机功角;ω为发电机转速;ω0为发电机的稳态转速;TJ为机械转动惯量;D为机械阻尼系数;Pm为原动机机械功率;Pe为发电机电磁功率;E′q为q轴暂态电势;Ef为励磁的控制输入;T′d0为发电机定子开路时励磁绕组的时间常数;Ut为发电机机端电压;US为无穷大母线电压;xd为发电机的d轴同步电抗;xd∑为计入了输电系统总电抗后的d轴总同步电抗;x′d为发电机d轴暂态电抗;x′d∑为计入了输电系统总电抗后的d轴暂态总电抗。式(1)中除了δ的单位为弧度以外,其余的均为标幺值。

2目标全息反馈法

对于如下的标准形式的仿射非线性系统

式中:x为系统的状态变量;y=h(x),为输出向量;u为控制变量。

如果y是式(2)输出量期望跟踪的目标,则可以得到多目标方程为

ei=yi-yir(i=1,2L,n) , (3)

要想解决式(2)所表示系统的多目标跟踪问题,在多目标方程式(3)中,寻找某输出量yi与式(1)具有一阶关系度,并把该量标记为ym,于是有

y&=Lfhm(x)+LgL0fhm(x)u (4)

综合式(3)和(4),我们可以得到下面的方程

Z&=AZ+Bv (5)

式中v=Lfhm(x)+LgL0fhm(x)u-y&my,A和B为Brunovsky标准型,Z=[e1,e2L,em]T。

经过上述变换之后,系统原来的非线性因素都被变换到虚拟控制输入v中。

3滑模控制

滑模控制的主要目的是使状态轨迹达到预定的滑模面上,并沿着它收敛到状态原点。

对于如下的定常系统

x&=Ax+Bu (6)

其中A,B为n×n,n×1定常矩阵,x为状态变量,u为控制输入。

其对应的切换面为

s=CTx (7)

式中CT为定常的n维行向量。滑模控制器的设计的主要任务之一就是行向量C的确定。

滑模变结构控制在滑动模态下会产生高频抖振,为了减弱抖振采用趋近率的方法,本文采用指数趋近率的形式:

s&=-εsign(s)-ks,k>0,ε>0 ; (8)

同时(8)求导可得

s&=CTx&=CT(Ax+Bu) ; (9)

联立式(8)和(9)式可得

$u = \frac{1}{C^{Τ} B} (- C^{Τ} A x - ε s i g n (s) - k s)$ 。 (10)

合理地选择参数ε和k能够保证滑动模态的动态品质以及减弱控制信号的高频抖振。

为了更好地处理滑模控制出现的高频抖振问题,本文采用准滑动模态控制原理,即用饱和函数sat(s)代替滑动模态中的符号函数sign(s),sat(s)的表达式为[9]

$s a t (s) = {\begin{cases} 1, s ＞ Δ \\ \frac{1}{Δ}, | s | \leq Δ \\ - 1, s ＜ - Δ \end{cases}$

其中:Δ为边界层。

对于经过反馈线性化之后的式(2)所表示的系统,可以通过式(10)求得其反馈增益。在这里用u0来表示经过反馈线性化之后的控制输入,其表达式为

$u_{0} = \frac{1}{C^{Τ} B} (- C^{Τ} A x - ε s a t (s) - k s) (11)$

综合式(5)、(10)和(11),我们可以得出励磁控制输入的表达式为

$u = \frac{u_{0} - C_{v 1}}{C_{v 2}}$ 。 (12)

4设计步骤

4.1 首先应用目标全息反馈法在单机无穷大系统选取期望的跟踪值ei=[Pe-Pe0,ω-ω0,Ut-Ut0]T,(i=1,2,3),v=Cv1+Cv2Ef,

其中:

$\begin{array}{l} C_{v 1} = \frac{1}{U_{t}} [(\frac{x_{q} U_{s} \cos δ}{x_{q \sum}} - \frac{x_{d}^{´} U_{s} \sin δ}{x_{d \sum}^{´}}) (ω - 1) ω_{0} - \frac{(x^{'}_{d \sum} - x_{d}^{´}) x_{d \sum}}{x_{d \sum}^{´} Τ_{d 0}^{´} \sin δ} Ρ_{e} + (x_{d \sum}^{´} - x_{d}^{´}) x_{d \sum} \times \frac{(x_{d}^{´} - x_{q}) U_{s} \cos δ}{(x_{d \sum}^{´})^{2} Τ_{d 0}^{´} x_{q \sum}} Ρ_{e} + \\ \frac{(x_{d \sum}^{´} - x_{d}^{´}) (x_{d} - x_{d}^{´})}{(x_{d \sum}^{´})^{2} Τ_{d 0}^{´}} U_{s} \cos δ 2 〗; \end{array}$

$C_{v 2} = \frac{x_{d \sum}^{´} - x_{d}^{´}}{U_{t} x_{d \sum}^{´} Τ_{d 0}^{´}} .$

得到需要的Brunovsky标准型,系统中所有的非线性因素归结到含有机端电压的状态方程中。

4.2 应用最优控制法设计经过反馈线性化之后的控制变量

$u = \frac{1}{C_{v 2} C^{Τ} B} (- C^{Τ} A x - ε s a t (s) - k s) - \frac{C_{v 1}}{C_{v 2}}$ 。

5仿真分析

本文算例中单机无穷大系统的主要参数为Xd=1.305,X′d=0.293,XT=0.115,H=3.2,T′d0=4.45,D=0,Pe0=0.751 6,δ0=0.338 3,Ut0=1.00,Us0=1.0,ω0=377rad/s。

考虑到实际中物理元件的承受能力,设置了励磁限幅作用,上下限值分别为±11.5。

分别采用以下两种励磁控制器:

a. AVR+PSS,励磁系统AVR采用机端电压的偏差值作为输入信号,PSS采用转速的偏差作为输入信号。

b. 本文设计的励磁控制器,滑模切换面的参数通过文献[16]提出的方法得到:

s=c1e1+c2e2+e3

其中:c1=0.33,c2=-26.3,k=61.3,Δ=0.2,ε=2.

5.1原动机输入扰动

在0.1 s时,原动机的输入功率Pe发生10%的阶跃扰动,动态响应曲线分别如图1所示,其中实线代表本文提出励磁控制器,虚线则对应AVR+PSS控制器。

从图1可以看出,在两种不同励磁控制器用下,缩短了机端电压和电磁功率的调节时间。从仿真曲线上看,本文提出的励磁控制器使得功率振荡受到一定的抑制,而且减少了机端电压的高频波动。因此该励磁控制器能够改善了系统的小干扰稳定性。

5.2三相短路扰动

故障2为输电线路0.1 s时发生瞬时的三相短路,持续时间为0.1 s。功角δ、角速度ω、发电机有功功率Pe、机端电压Ut的动态响应曲线分别如图2所示。

从图2可以看出,在两种不同励磁控制器用下,除了本文功角曲线的幅值略大于AVR+PSS外,其他的三个均小于AVR+PSS。并且从仿真曲线上看,本文提出的励磁控制器使状态变量有效地抑制了振荡幅值,减少了调节时间,同时电压的高频振荡也得到明显的抑制。因此该励磁控制器也可以改善系统的暂态稳定性。

6结论

本文将目标全息反馈和滑模控制应用于发电机的励磁系统控制,其中目标全息反馈可以灵活地选取系统较为关心的指标作为系统的状态变量,实现协调了系统的协调控制。反馈线性化之后的滑模面参数可以使用最优反馈法整定,规范了参数的选择过程,同时也降低了参数选择的难度。仿真结果证明了上述方法的有效性。

摘要：应用目标全息反馈法将系统中非线性因素转换到含有控制输入的状态方程中,转换后的系统中非线性因素转移到最后一阶方程中,然后使用最优反馈法来求得系统的滑模切换面的行向量。为抑制滑模控制器可能出现的抖振现象,故用饱和函数取代了符号函数。最后MATLAB的仿真结果证明了该方法的有效性。

关键词：目标全息反馈,布鲁克斯标准型,反馈线性化,滑模控制

参考文献

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受扰变时滞离散系统的滑模控制篇7

在实际生活中, 时间滞后 (时滞) 普遍存在, 如化工过程中的温度采样具有时滞, 通信中的信号传输具有时滞。因此, 研究具有时滞的离散系统的控制器设计与系统分析问题成为众多学者普遍关注的问题。鉴于滑模控制方法处理非线性问题的有效性, 用滑模控制方法研究离散控制系统具有重要的意义。针对时滞离散控制系统的研究目前已有若干成果[5,6], 但对于时滞离散滑模控制问题的研究报道并不多见, 特别是变状态时滞的离散控制系统的研究较少。现研究了外部扰动是已知结构的确定函数的变状态时滞离散系统的滑模控制问题。通过引入δ函数将变时滞离散系统转化为常时滞的系统, 对满足匹配条件的外部干扰, 设计线性切换函数, 给出了保证滑模面上状态运动渐近稳定的充分条件。基于内模原理, 针对切换函数和干扰模型, 设计了可以实现干扰抑制的反馈控制律, 保证系统状态可以到达滑模面, 实现系统状态渐近稳定。

1 问题描述

考虑干扰满足匹配条件的变状态时滞离散系统

$\bar{x} (k + 1) = \bar{A} \bar{x} (k) + \bar{A}_{d} \bar{x} (k - d (k)) + \bar{B} [u (k) + f (k)] (1)$

其中 $\bar{x}$ ∈Rn, u∈Rm是系统的状态向量与输入向量, f∈Rm是已知动态特性的外来扰动信号。 $\bar{A}$ , $\bar{B}$ , $\bar{A}$ d均为适当维数的矩阵。矩阵 $\bar{B}$ 是列满秩的。0≤ d (k) ≤d是关于k的整函数。系统的初始条件为

$\bar{x} (0) = \bar{x}_{0} ‚ \bar{x} (i) = 0 (i < 0)$ 。

外来扰动信号模型

${\begin{cases} ω (k + 1) = Γ ω (k) \\ f (k) = F ω (k) 。 \end{cases}$

其中ω (k) ∈Rl, F∈Rm×l, Γ∈Rl×l是能控标准型。设

$\bar{B} = [\begin{matrix} B_{1} \\ B_{2} \end{matrix}]$

, 则det (B1) ≠0, B1∈Rm×m。对系统 (1) 作非奇异线性变换 $x (k) = Τ \bar{x} (k)$ 。

则状态方程转化为标准型

${\begin{cases} x_{1} (k + 1) = A_{11} x_{1} (k) + A_{12} x_{2} (k) + A_{d 11} x_{1} (k - d (k)) + \\ A_{d 12} x_{2} (k - d (k)) + B_{1} [u (k) + f (k)] \\ x_{2} (k + 1) = A_{21} x_{1} (k) + A_{22} x_{2} (k) + A_{d 21} x_{1} (k - d (k)) + \\ A_{d 22} x_{2} (k - d (k)) \end{cases} (2)$

式 (2) 中

$\begin{array}{l} x (k) = [\begin{matrix} x_{1} (k) \\ x_{2} (k) \end{matrix}] ‚ Τ = [\begin{matrix} Ι_{m} & 0 \\ - B_{2} B_{1}^{- 1} & Ι_{n - m} \end{matrix}] ‚ \\ B = Τ \bar{B} = [\begin{matrix} B_{1} \\ 0 \end{matrix}] ‚ A = [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix}] ‚ \\ A_{d} = [\begin{matrix} A_{d 11} & A_{d 12} \\ A_{d 21} & A_{d 22} \end{matrix}] 。 \end{array}$

x1 (k) ∈Rm且Aij, Adij (i, j=1, 2) 均为相应的适当维数的矩阵。

2 滑模控制律设计选择线性切换函数

s (k) =Cx (k) =x1 (k) +C2x2 (k) (3)

当运动到达滑模面s (k) =0时, 系统在滑模面上的运动方程为

x2 (k+1) =A0x2 (k) +Ad0x2 (k-d (k) ) (4)

式 (3) 中A0=A22-A21C2, Ad0=Ad22-A21C2, A0具有合适的给定极点, 且都在单位圆内, C2由极点配置方法选择。

引理1 若存在对称正定矩阵P, Q使得以下矩阵不等式成立ATd0PAd0-Q<0且

AT0PA0-P+dQ-AT0PAd0 (ATd0PAd0-Q) -1ATd0PA0<0

则系统 (4) 渐近稳定。证明见附录。

在滑模面附近的运动方程

${\begin{cases} x_{2} (k + 1) = A_{0} x_{2} (k) + A_{d 0} x_{2} (k - d (k)) + A_{21} s (k) \\ ∥ s (k) ∥ \leq ε \end{cases} (5)$

令

$z (k) = [\begin{matrix} x_{2} (k) \\ x_{2} (k - i) \end{matrix}], (1 \leq i \leq d)$

;

$\begin{array}{l} X = - [\begin{matrix} A_{0}^{Τ} Ρ A_{0} - Ρ + d Q & A_{0}^{Τ} Ρ A_{d 0} \\ A_{d 0}^{Τ} Ρ A_{0} & A_{d 0}^{Τ} Ρ A_{d 0} - Q \end{matrix}] ‚ \\ Y = [\begin{matrix} A_{0}^{Τ} Ρ A_{21} \\ A_{d 0}^{Τ} Ρ A_{21} \end{matrix}] ‚ Ζ = A_{21}^{Τ} Ρ A_{21} 。 \end{array}$

引理2 非理想状态下, 系统 (5) 在滑模面附近的运动最终进入有界区域Ω。

其中Ω=Ω1∩Ω2, Ω1={‖s (k) ‖≤ε}。

$Ω_{2} = {∥ z_{2} ∥ \leq \frac{λ_{2} + \sqrt{λ_{2}^{2} + λ_{1} λ_{3}}}{λ_{1}} ε}, λ_{1} = ∥ X ∥$ 。

λ2=max{‖AT0PA21‖, ‖ATd0PA21‖}, λ3=‖Z‖。

ε是较小的正数, 由s的运动情况决定。

取控制律

u (k) =ueq (k) +v (k) , 其中ueq保证系统在理想状态下到达滑模面, v来补偿干扰对系统运动的影响

ueq (k) =- (CB) -1[CAx (k) +CAdx (k-d (k) ) ]。

将u代入 (3) 则滑模面方程为

s (k+1) =CB[v (k) +f (k) ]。

期望运动到达滑模面, 故将s看作系统输出y, 希望得到 $\lim_{k \to \infty} y (k) = 0$ , 此时将该运动过程描述为如下受控系统

${\begin{cases} s (k + 1) = C B [v (k) + f (k)] \\ y (k) = s (k) 。 \end{cases}$

由于干扰结构已知, 故可以植入如下干扰模型

xc (k+1) =Acxc (k) +Bcs (k) 。

其中Ac∈Rml×ml, Bc∈Rml×m;

$A_{c} = [\begin{matrix} Γ \\ ⋱ \\ Γ \end{matrix}] ‚ B_{c} = [\begin{matrix} β \\ ⋱ \\ β \end{matrix}] ‚ β = [\begin{matrix} 0 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix}]$

。

将干扰模型与受控系统串联得联合系统

${\begin{cases} s (k + 1) = C B v (k) + C B f (k) \\ x_{c} (k + 1) = A_{c} x_{c} (k) + B_{c} s (k) \end{cases} (6)$

其中v是控制律, 设其具有如下形式

v (k) =-K1s (k) -Kcxc (k) 。

令

$σ (k) = [\begin{array}{l} s (k) \\ x_{c} (k) \end{array}] ‚ G = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ B_{c} & A_{c} \end{matrix}] ‚ Η = [\begin{matrix} C B \\ 0 \end{matrix}]$

。

则系统 (6) 可写为

σ (k+1) =Gσ (k) +Hv (k) +Hf (k) 。

引理3[7] 若 (Ac, Bc) 能控, 受扰联合系统 (8) 在控制律

$v (k) = - [\begin{matrix} Κ_{1} & Κ_{c} \end{matrix}] = - Κ σ (k)$ 。

的作用下闭环渐进稳定。K使N=G-HK具有指定极点。

定理在控制律

u (k) =- (CB) -1[CAx (k) +CAdx (k-d (k) ) ]-K1Cx (k) -Kcxc (k) 作用下, 系统 (2) 的运动状态进入原点的任意小邻域内.

证明:由引理1—3可知定理成立。

3 结论

给出了保证滑模面上状态运动渐近稳定的充分条件。基于内模原理, 设计了可以实现干扰抑制的反馈控制律, 保证切换函数渐近稳定, 最终实现系统状态渐近稳定. 由于没有采用带符号函数的趋近律设计方案, 不会有控制器结构的切换, 避免了可能由此激发的高频振荡。

附录

证明定义delta函数

$δ (n) = {\begin{matrix} 1 & n = 0 \\ 0 & n \neq 0 \end{matrix}$

, 则 $\sum_{i = 1}^{d}$ $δ (d (k) - i) = 1$ 。

由已知条件, 系统 (5) 可写为

x2 (k+1) =A0x2 (k) +Ad0 $\sum_{i = 1}^{d}$ δ (d (k) -i) x2 (k-i) 。

且取候选Lyapunov函数

V (k) =xT2 (k) Px2 (k) + $\sum_{i = 1}^{d} \sum_{j = k - i}^{k - 1}$ xT2 (j) Qx2 (j) 。

令x2 (i) = $\sum_{i = 1}^{d}$ δ (d (k) -i) x2 (k-i) 。

M=AT0PA0-P+dQ, N=AT0PAd0, R=ATd0PAd0-Q。

ΔV (k) =V (k+1) -V (k) =xT2 (k) Mx2 (k) +xT2 (k) ×

Nx2 (i) +xT2 (i) NTx2 (k) -

$\sum_{\begin{array}{l} j = 1 \\ j \neq i \end{array}}^{d}$

xT2 (k-j) ×

Qx2 (k-j) 。

对0≤i≤d, 有

ΔVi (k) =xT2 (k) Mx2 (k) +xT2 (k) Nx2 (k-i) +xT2 (k-i) NTx2 (k) -

$\sum_{\begin{array}{l} j = 1 \\ j \neq i \end{array}}^{d}$

$\begin{array}{l} x_{2}^{Τ} (k - j) Q x_{2} (k - j) + \\ x_{2}^{Τ} (k - i) R x_{2} (k - i) \leq [\begin{matrix} x_{2}^{Τ} (k) & x_{2}^{Τ} (k - i) \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} Μ & Ν^{} Ν^{Τ} \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{2} (k) \\ x_{2} (k - i) \end{matrix}] 。 \end{array}$

由所给条件及Schur补引理知ΔVi (k) <0, 所以ΔV (k) <0故系统 (4) 渐近稳定。证毕。

摘要：针对受扰变状态时滞的离散时间系统, 提出了基于切换函数运动方程的控制策略。基于内模原理, 设计了关于切换函数与干扰模型的反馈控制律, 实现了滑模控制器设计, 保证系统趋于滑模面并渐近稳定。

关键词：离散时间系统,变时滞,滑模,干扰模型

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