状态反馈

状态反馈（精选8篇）

状态反馈 篇1

摘要：为了解决三轴转台的非线性和耦合问题,根据其运动模式,建立了更为简洁的动力学模型。分析模型并从补偿柯式力的角度,提出用状态反馈抵消模型的非线性和耦合,给出无需加速度的状态反馈解耦算法。利用solidworks建立了转台的物理模型,然后利用cosmos/motion插件对模型进行运动学和动力学分析,并验证了所建模型的准确性和状态反馈解耦算法的有效性。

关键词：三轴转台模型,状态反馈,解耦,cosmos/motion

三轴转台有强非线性和三个轴相耦合的特点[1],因此了解和分析三轴转台的模型有重要的意义。知道了转台精确的数学模型,可更加有效和有针对性地进行控制器设计,以达到提高控制精度和满足设计要求。

文献[2,3]对三轴转台的模型有具体的描述,并设计了控制器进行解耦,此外,文献[4,5]还考虑了电机环节,但其中需要引入加速度量来实现解耦。现对该方法进行了改进,建立了更为简洁的转台模型并提出无需加速度的状态反馈解耦方法,并进行验证。

转台的尺寸和固有频率对于转台控制系统设计有重要影响,文献[6]讨论了如何在这些约束下对转台结构进行优化设计。现对转台结构的简化情况进行讨论,设三轴转台各环以转轴对称,即可简化为定点运动的刚体。以不动点为原点,其中X1Y1Z1坐标系位于内环,X2Y2Z2坐标系位于中环,X3Y3Z3坐标系位于外环;设定的旋转次序为绕Z3轴旋转ψ角,绕Y2旋转θ角,绕Z1旋转φ角。下面将在这个前提下建立转台的动力学模型,并在所建模型基础上提出状态反馈解耦控制率,然后在仿真实验中验证所建数学模型的准确性和解耦算法的有效性。

1三轴转台的建模

1.1内环模型

中环对内环的力矩在OX1Y1Z1中三个坐标轴上的投影分量分别为MX1、MY1、MZ1,其中MZ1由内环电机产生。假设内环为轴对称结构,则有其关于X轴的转动惯量等于其关于Y轴的转动惯量,即A1=B1,所以有

$\begin{array}{l}A{}_1\dot{\omega }{}_{X1}-(A{}_1-C{}_1)\omega {}_{Y1}\omega {}_{{\rm Z}1}={\rm M}{}_{X1}(1)\\ A{}_1\dot{\omega }{}_{Y1}-(C{}_1-A{}_1)\omega {}_{{\rm Z}1}\omega {}_{X1}={\rm M}{}_{Y1}(2)\\ C{}_1\dot{\omega }{}_{{\rm Z}1}={\rm M}{}_{{\rm Z}1}(3)\end{array}$

由$\overrightarrow{\omega }{}_1=\dot{\psi }e{}_{{\rm Z}1}+\dot{\theta }e{}_{Y2}+\dot{\phi }e{}_{{\rm Z}3}$,根据旋转的顺序,可易得三个坐标轴标准方向向量之间的关系。根据这种关系,带入$\overrightarrow{\omega }$1的表达式,将其整理可后可得

$\left[\begin{array}{c}\omega {}_{X1}\\ \omega {}_{Y1}\\ \omega {}_{{\rm Z}1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\dot{\theta }s\phi -\dot{\psi }s\theta c\phi \\ \dot{\theta }c\phi +\dot{\psi }s\theta s\phi \\ \overline{\phi }+\dot{\psi }c\theta \end{array}\right](4)$

将其求导可得

$\left[\begin{array}{c}\dot{\omega }{}_{X1}\\ \dot{\omega }{}_{Y1}\\ \dot{\omega }{}_{{\rm Z}1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\ddot{\theta }s\phi -\ddot{\psi }s\theta c\phi +\dot{\theta }\dot{\phi }c\phi -\dot{\psi }\dot{\theta }c\theta c\phi +\dot{\psi }\dot{\phi }s\theta s\phi \\ \ddot{\theta }c\phi +\ddot{\psi }s\theta s\phi -\dot{\theta }\dot{\phi }s\phi +\dot{\psi }\dot{\theta }c\theta s\phi +\dot{\psi }\dot{\phi }s\theta c\phi \\ \ddot{\phi }+\ddot{\psi }c\theta -\dot{\psi }\dot{\theta }s\theta \end{array}\right](5)$

由式(4)和式(5)代入式(1)～式(3),整理可得

$\begin{array}{l}{\rm M}{}_{X1}=A{}_1\ddot{\theta }s\phi -A{}_1\ddot{\psi }s\theta c\phi +A{}_1\dot{\theta }\dot{\phi }c\phi -\\ A{}_1\dot{\psi }\dot{\theta }c\theta c\phi +A{}_1\dot{\psi }\dot{\phi }s\theta s\phi -\\ (A{}_1-C{}_1)(\dot{\theta }c\phi +\dot{\psi }s\theta s\phi )\times \\ (\dot{\phi }+\dot{\psi }c\theta )(6)\end{array}$

$\begin{array}{l}{\rm M}{}_{Y1}=A{}_1\ddot{\theta }c\phi +A{}_1\ddot{\psi }s\theta s\phi -A{}_1\dot{\theta }\dot{\phi }s\phi +\\ A{}_1\dot{\psi }\dot{\theta }c\theta s\phi +A{}_1\dot{\psi }\dot{\phi }s\theta c\phi +\\ (A{}_1-C{}_1)(\dot{\theta }s\phi -\dot{\psi }s\theta c\phi )\times \\ (\dot{\phi }+\dot{\psi }c\theta )(7)\end{array}$

$C{}_1\ddot{\phi }+C{}_1\ddot{\psi }c\theta ={\rm M}{}_{{\rm Z}1}+C{}_1\dot{\psi }\dot{\theta }s\theta (8)$

设中环对内环的力矩在OX2Y2Z2中三个坐标轴上的投影分量分别为M′X1、M′Y1、M′Z1,二号坐标系和三号坐标系标准方向向量的变换关系,可得

$\{\begin{array}{c}{{\rm M}}^{\prime }{}_{X1}={\rm M}{}_{X1}c\phi -{\rm M}{}_{Y1}s\phi \\ {{\rm M}}^{\prime }{}_{Y1}={\rm M}{}_{X1}s\phi +{\rm M}{}_{Y1}c\phi \\ {{\rm M}}^{\prime }{}_{{\rm Z}1}={\rm M}{}_{{\rm Z}1}\end{array}(9)$

代入式(6)～式(8)后可得

$\begin{array}{l}{{\rm M}}^{\prime }{}_{X1}={\rm M}{}_{X1}c\phi -{\rm M}{}_{Y1}s\phi =\\ -A{}_1\ddot{\psi }s\theta +(A{}_1\dot{\theta }\dot{\phi }-A{}_1\dot{\psi }\dot{\theta }c\theta )-\\ (A{}_1-C{}_1)\dot{\theta }(\dot{\phi }+\dot{\psi }c\theta )(10)\end{array}$

$\begin{array}{l}{{\rm M}}^{\prime }{}_{Y1}={\rm M}{}_{X1}s\phi +{\rm M}{}_{Y1}c\phi =A{}_1\ddot{\theta }+A{}_1\dot{\psi }\dot{\phi }s\theta -\\ (A{}_1-C{}_1)\dot{\psi }s\theta (\dot{\phi }+\dot{\psi }c\theta )(11)\end{array}$

M′Z1=MZ1 (12)

1.2中环模型

外环对中环的力矩在OX2Y2Z2中三个坐标轴上的投影分量分别为MX2、MY2、MZ2,其中MY2由中环电机产生,内环对中环的反作用力矩在OX2Y2Z2中的投影为M′X1、M′Y1、M′Z1。假设内环为轴对称结构,则有其关于X轴的转动惯量等于其关于Z轴的转动惯量,即A1=C1,所以有

$\begin{array}{l}A{}_2\dot{\omega }{}_{X2}-(B{}_2-A{}_2)\omega {}_{Y2}\omega {}_{{\rm Z}2}={\rm M}{}_{X2}-{{\rm M}}^{\prime }{}_{X1}(13)\\ B{}_2\dot{\omega }{}_{Y2}={\rm M}{}_{Y2}-{{\rm M}}^{\prime }{}_{Y1}(14)\\ A{}_2\dot{\omega }{}_{{\rm Z}2}-(A{}_2-B{}_2)\omega {}_{X2}\omega {}_{Y2}={\rm M}{}_{{\rm Z}2}-{{\rm M}}^{\prime }{}_{{\rm Z}1}(15)\end{array}$

由$\overrightarrow{\omega }{}_2=\dot{\psi }e{}_{{\rm Z}1}+\dot{\theta }e{}_{Y2}$,整理后并求导分别可得

$\left[\begin{array}{c}\omega {}_{X2}\\ \omega {}_{Y2}\\ \omega {}_{{\rm Z}2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\dot{\psi }s\theta \\ \dot{\theta }\\ \dot{\psi }c\theta \end{array}\right](16)\left[\begin{array}{c}\dot{\omega }{}_{X2}\\ \dot{\omega }{}_{Y2}\\ \dot{\omega }{}_{{\rm Z}2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\ddot{\psi }s\theta -\dot{\psi }\dot{\theta }c\theta \\ \ddot{\theta }\\ \ddot{\psi }c\theta -\dot{\psi }\dot{\theta }s\theta \end{array}\right](17)$

将式(16)和式(17)代入式(13)～式(15)可得,

$\begin{array}{l}{\rm M}{}_{X2}=-A{}_2\ddot{\psi }s\theta -A{}_1\ddot{\psi }s\theta +\\ (A{}_1\dot{\theta }\dot{\phi }-A{}_1\dot{\psi }\dot{\theta }c\theta )-\\ (A{}_1-C{}_1)\dot{\theta }(\dot{\phi }+\dot{\psi }c\theta )-\\ A{}_2\dot{\psi }\dot{\theta }c\theta -(B{}_2-A{}_2)\dot{\theta }\dot{\psi }c\theta (18)\end{array}$

$\begin{array}{l}B{}_2\ddot{\theta }={\rm M}{}_{Y2}-A{}_1\ddot{\theta }-A{}_1\dot{\psi }\dot{\phi }s\theta +\\ (A{}_1-C{}_1)\dot{\psi }s\theta (\dot{\phi }+\dot{\psi }c\theta )(19)\end{array}$

$\begin{array}{l}{\rm M}{}_{{\rm Z}2}=A{}_2\ddot{\psi }c\theta +{\rm M}{}_{{\rm Z}1}-A{}_2\dot{\psi }\dot{\theta }s\theta -\\ (B{}_2-A{}_2)\dot{\theta }\dot{\psi }s\theta (20)\end{array}$

设外环对中环的力矩在OX3Y3Z3中三个坐标轴上的投影分量分别为M′X2、M′Y2、M′Z2,根据标准方向向量的转换关系,可得

$\{\begin{array}{c}{{\rm M}}^{\prime }{}_{X2}={\rm M}{}_{X2}c\theta +{\rm M}{}_{{\rm Z}2}s\theta \\ {{\rm M}}^{\prime }{}_{Y2}={\rm M}{}_{Y2}\\ {{\rm M}}^{\prime }{}_{{\rm Z}2}=-{\rm M}{}_{X2}s\theta +{\rm M}{}_{{\rm Z}2}c\theta \end{array}(21)$

式(18)～式(20)代入式(21)后整理得

$\begin{array}{l}{{\rm M}}^{\prime }{}_{X2}={\rm M}{}_{X2}c\theta +{\rm M}{}_{{\rm Z}2}s\theta =-A{}_1\ddot{\psi }s\theta c\theta +{\rm M}{}_{{\rm Z}1}s\theta +\\ (A{}_1\dot{\theta }\dot{\phi }-A{}_1\dot{\psi }\dot{\theta }c\theta )c\theta -\\ (A{}_1-C{}_1)\dot{\theta }(\dot{\phi }+\dot{\psi }c\theta )c\theta -\\ A{}_2\dot{\psi }\dot{\theta }-(B{}_2-A{}_2)\dot{\theta }\dot{\psi }-\\ (B{}_2-A{}_2)\dot{\theta }\dot{\psi }s{}^2\theta (22)\end{array}$

M′Y2=MY2 (23)

$\begin{array}{l}{{\rm M}}^{\prime }{}_{{\rm Z}2}=-{\rm M}{}_{X2}s\theta +{\rm M}{}_{{\rm Z}2}c\theta =A{}_2\ddot{\psi }+A{}_1\ddot{\psi }s{}^2\theta +\\ {\rm M}{}_{{\rm Z}1}c\theta -(A{}_1\dot{\theta }\dot{\phi }-A{}_1\dot{\psi }\dot{\theta }c\theta )s\theta +\\ (A{}_1-C{}_1)\dot{\theta }(\dot{\phi }+\dot{\psi }c\theta )s\theta (24)\end{array}$

1.3外环模型

基座对外环的力矩在OX3Y3Z3中三个坐标轴上的投影分量分别为MX3、MY3、MZ3,其中MZ3由基座电机产生,中环对外环的反作用力矩在OX3Y3Z3中的投影为M′X2、M′Y2、M′Z2。假设外环为轴对称结构,则有其关于X轴的转动惯量等于其关于Y轴的转动惯量,即A1=B1,所以有

$\begin{array}{l}A{}_3\dot{\omega }{}_{X3}-(A{}_3-C{}_3)\omega {}_{Y3}\omega {}_{{\rm Z}3}={\rm M}{}_{X3}-{{\rm M}}^{\prime }{}_{X2}(25)\\ A{}_3\dot{\omega }{}_{Y3}-(C{}_3-A{}_3)\omega {}_{{\rm Z}3}\omega {}_{X3}={\rm M}{}_{Y3}-{{\rm M}}^{\prime }{}_{Y2}(26)\\ C{}_3\dot{\omega }{}_{{\rm Z}3}={\rm M}{}_{{\rm Z}3}-{{\rm M}}^{\prime }{}_{{\rm Z}2}(27)\end{array}$

由$\overrightarrow{\omega }{}_3=\dot{\psi }e{}_{{\rm Z}1}$,代入式(25)～式(27)整理可得,

$\begin{array}{l}{\rm M}{}_{X3}=-A{}_1\ddot{\psi }s\theta c\theta +{\rm M}{}_{{\rm Z}1}s\theta +\\ (A{}_1\dot{\theta }\dot{\phi }-A{}_1\dot{\psi }\dot{\theta }c\theta )c\theta -\\ (A{}_1-C{}_1)\dot{\theta }(\dot{\phi }+\dot{\psi }c\theta )c\theta -A{}_2\dot{\psi }\dot{\theta }-\\ (B{}_2-A{}_2)\dot{\theta }\dot{\psi }-(B{}_2-A{}_2)\dot{\theta }\dot{\psi }s{}^2\theta (28)\end{array}$

MY3=MY2 (29)

$\begin{array}{l}C{}_3\ddot{\psi }={\rm M}{}_{{\rm Z}3}-A{}_2\ddot{\psi }-A{}_{1}s{}^2\theta \ddot{\psi }-{\rm M}{}_{{\rm Z}1}c\theta +\\ (A{}_1\dot{\theta }\dot{\phi }-A{}_1\dot{\psi }\dot{\theta }c\theta )s\theta -\\ (A{}_1-C{}_1)\dot{\theta }(\dot{\phi }+\dot{\psi }c\theta )s\theta (30)\end{array}$

由式(8),式(19)和式(30)可以看出,不同轴之间的干扰项分量都包含角速度相乘的部分,这与柯式力形式相同,而实际上轴间耦合就是通过柯式力实现的。文献[7]讨论了用自适应模型跟踪的方法进行解耦设计,文献[8]提出了用动态补偿器进行解耦的方法。下面将从补偿柯式力干扰的情况提出状态反馈解耦算法。

2三轴转台的状态空间模型和反馈解耦

从式(8),式(19)和式(30)中整理可得

$\begin{array}{l}C{}_1\ddot{\phi }+C{}_1\ddot{\psi }c\theta ={\rm M}{}_{{\rm Z}1}+C{}_1\dot{\psi }\dot{\theta }s\theta =\\ {\rm M}{}_{{\rm Z}1}+F{}_1={{\rm M}}^{\prime }{}_{{\rm Z}1}(31)\end{array}$

$\begin{array}{l}(A{}_1+B{}_2)\ddot{\theta }={\rm M}{}_{Y2}-A{}_1\dot{\psi }\dot{\phi }s\theta +\\ (A{}_1-C{}_1)\dot{\psi }s\theta (\dot{\phi }+\dot{\psi }c\theta )=\\ {\rm M}{}_{Y2}+F{}_2={{\rm M}}^{\prime }{}_{Y2}(32)\end{array}$

$\begin{array}{l}(C{}_3+A{}_2+A{}_{1}s{}^2\theta )\dot{\psi }={\rm M}{}_{{\rm Z}3}-{\rm M}{}_{{\rm Z}1}c\theta +\\ A{}_1(\dot{\theta }\dot{\phi }-\dot{\psi }\dot{\theta }c\theta )s\theta -\\ (A{}_1-C{}_1)\dot{\theta }(\dot{\phi }+\dot{\psi }c\theta )s\theta =\\ {\rm M}{}_{{\rm Z}3}-{\rm M}{}_{{\rm Z}1}c\theta +F{}_3={{\rm M}}^{\prime }{}_{{\rm Z}3}(33)\end{array}$

整理式(31)～式(33),可得

$\begin{array}{l}\ddot{\psi }=\frac{1}{C{}_3+A{}_2+A{}_{2}s{}^2\theta }{{\rm M}}^{\prime }{}_{{\rm Z}3}(34)\\ \ddot{\theta }=\frac{1}{B{}_2+A{}_1}{{\rm M}}^{\prime }{}_{Y2}(35)\\ \ddot{\phi }=\frac{1}{C{}_1}{{\rm M}}^{\prime }{}_{{\rm Z}1}-\frac{c\theta }{C{}_3+A{}_2+A{}_{2}s{}^2\theta }{{\rm M}}^{\prime }{}_{{\rm Z}3}(36)\end{array}$

将式(34)～式(36)写成状态空间方程的方式,即

$\left[\begin{array}{c}\dot{\psi }\\ \ddot{\psi }\\ \dot{\theta }\\ \ddot{\theta }\\ \dot{\phi }\\ \ddot{\phi }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\psi \\ \dot{\psi }\\ \theta \\ \dot{\theta }\\ \phi \\ \dot{\phi }\end{array}\right]+B\left[\begin{array}{c}{{\rm M}}^{\prime }{}_{{\rm Z}1}\\ {{\rm M}}^{\prime }{}_{Y2}\\ {{\rm M}}^{\prime }{}_{{\rm Z}3}\end{array}\right](37)$

其中

$B=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1}{C{}_3+A{}_2+A{}_{2}s{}^2\theta }\\ 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{B{}_2+A{}_1}& 0\\ 0& 0& 0\\ \frac{1}{C{}_1}& 0& -\frac{c\theta }{C{}_3+A{}_2+A{}_{2}s{}^2\theta }\end{array}\right](38)$

设反馈控制率为

${\rm K}=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& {\rm K}{}_{15}& {\rm K}{}_{16}\\ 0& 0& {\rm K}{}_{23}& {\rm K}{}_{24}& 0& 0\\ {\rm K}{}_{31}& {\rm K}{}_{32}& 0& 0& {\rm K}{}_{35}& {\rm K}{}_{36}\end{array}\right](39)$

则带入之后的特征矩阵为

$A^{\prime }=A+B{\rm K}=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]+$

$\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1}{C{}_3+A{}_2+A{}_{2}s{}^2\theta }\\ 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{B{}_2+A{}_1}& 0\\ 0& 0& 0\\ \frac{1}{C{}_1}& 0& -\frac{c\theta }{C{}_3+A{}_2+A{}_{2}s{}^2\theta }\end{array}\right]\times$

$\left[\begin{array}{ccc}C{}_1{{\rm K}}^{\prime }{}_{31}c\theta & 0& {{\rm K}}^{\prime }{}_{31}(C{}_3+A{}_2+A{}_{2}s{}^2\theta )\\ C{}_1{{\rm K}}^{\prime }{}_{32}c\theta & 0& {{\rm K}}^{\prime }{}_{32}(C{}_3+A{}_2+A{}_{2}s{}^2\theta )\\ 0& {{\rm K}}^{\prime }{}_{23}(B{}_2+A{}_1)& 0\\ 0& {{\rm K}}^{\prime }{}_{24}(B{}_2+A{}_1)& 0\\ ({{\rm K}}^{\prime }{}_{15}+{{\rm K}}^{\prime }{}_{36}c\theta )C{}_1& 0& {{\rm K}}^{\prime }{}_{35}(C{}_3+A{}_2+A{}_{2}s{}^2\theta )\\ ({{\rm K}}^{\prime }{}_{16}+{{\rm K}}^{\prime }{}_{36}c\theta )C{}_1& 0& {{\rm K}}^{\prime }{}_{36}(C{}_3+A{}_2+A{}_{2}s{}^2\theta )\end{array}\right]$

(40)

简化整理后可得

$A^{\prime }=[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ {{\rm K}}^{\prime }{}_{31}& {{\rm K}}^{\prime }{}_{32}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& {{\rm K}}^{\prime }{}_{23}& {{\rm K}}^{\prime }{}_{24}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\begin{array}{cc}0& 0\\ {{\rm K}}^{\prime }{}_{35}& {{\rm K}}^{\prime }{}_{36}\\ 0& 0\\ 0& 0\\ 0& 1\\ {{\rm K}}^{\prime }{}_{15}& {{\rm K}}^{\prime }{}_{16}\end{array}](41)$

进而由式(31)～式(33)可知,

$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{c}{{\rm M}}^{\prime }{}_{{\rm Z}1}\\ {{\rm M}}^{\prime }{}_{Y2}\\ {{\rm M}}^{\prime }{}_{{\rm Z}3}\end{array}\right]={\rm K}[\begin{array}{cccccc}\psi & \dot{\psi }& \theta & \dot{\theta }& \phi & \dot{\phi }\end{array}]{}^{\text{Τ}}=\\ \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -c\theta & 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\rm M}{}_{{\rm Z}1}\\ {\rm M}{}_{Y2}\\ {\rm M}{}_{{\rm Z}3}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}F{}_1\\ F{}_2\\ F{}_3\end{array}\right](42)\end{array}$

从而可以得

$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{c}{\rm M}{}_{{\rm Z}1}\\ {\rm M}{}_{Y2}\\ {\rm M}{}_{{\rm Z}3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ c\theta & 0& 1\end{array}\right]\\ ({\rm K}[\begin{array}{cccccc}\psi & \dot{\psi }& \theta & \dot{\theta }& \phi & \dot{\phi }\end{array}]{}^{\text{Τ}}-\\ [\begin{array}{ccc}F{}_1& F{}_2& F{}_3\end{array}]{}^{\text{Τ}})(43)\end{array}$

$F{}_1=C{}_1\dot{\psi }\dot{\theta }s\theta (44)$

$F{}_2=-A{}_1\dot{\psi }\dot{\phi }s\theta +(A{}_1-C{}_1)\dot{\psi }s\theta (\dot{\phi }+\dot{\psi }c\theta )(45)$

$F{}_3=A{}_1(\dot{\theta }\dot{\phi }-\dot{\psi }\dot{\theta }c\theta )s\theta -(A{}_1-C{}_1)\dot{\theta }(\dot{\phi }+\dot{\psi }c\theta )s\theta (46)$

由式(43)便可求得使系统镇定的输入量,并且通过设计式(41)中对角线上字块的K值,便可方便地设计满足要求的极点。其中F1、F2、F3为状态量的函数,而角度和角速度以及正余弦都可以方便地由数字芯片求得。在式(43)中补偿了柯式力,当取K′35=K′36=0时,就实现了解耦;当取非零时,仍可实现系统镇定。

仿真实验是检验设计方案的重要步骤,文献[9,10]分别用Pro/Animation和ANSYS对模型进行了运动分析。前面的讨论中建立了转台的动力学模型,并在此模型基础上建立了状态反馈解耦算法。以下将在仿真实验中验证数学模型的准确性和解耦算法的有效性。

3模型的cosmos/motion验证

根据solidworks所搭建物理模型,对于内环,X轴的惯量A1等于Y轴的惯量B1等于57.34 kg·m2,Z轴的惯量C1等于45.578 2 kg·m2;中环X轴的惯量A2等于Z轴的惯量C2等于6 430.43 kg·m2,Y轴的惯量B2等于2 624.42 kg·m2;外环X轴的惯量A3等于Y轴的惯量B3等于115 280 kg·m2,Z轴的惯量C3等于110 517 kg·m2。下面将在给定状态下,利用不同的输入输出,比较数学模型的simulink输出和solidworks输出。

3.1验证数学模型的准确性

solidworks软件能够在给定输入驱动电机力矩下,输出角速度、角加速度信息。为验证数学模型的准确性,这里将在同一初始状态和输入力矩下,比较solidworks输出和simulink输出。

当初始状态为零,外环和中环的不输出力矩,内环输出力矩MZ1为正弦信号,且其频率为120°/s,幅值为10 N·m,平均值为40 N·m时,可得simulink输出和solidworks输出的三个轴的加速度分别为图1和2。容易看出15 s内,在正弦输入下,数学模型可以比较真实地还原物理模型的实际情况。

3.2验证解耦算法的准确性

文献[2]中指出三轴转台系统是可逆系统,同时solidworks软件也有相应功能,即在给出规定的加速度输出下,输出需要的力矩输入。这里为验证状态反馈解耦方法的准确性,将比较solidworks驱动力矩输出与通过解耦算法算得的simulink力矩输入。

当取零初始状态,由数学模型可知,为使系统输出恒定加速度,输入满足

$\begin{array}{l}{\rm M}{}_{{\rm Z}1}=C{}_1(\ddot{\psi }c\theta +\ddot{\phi })-F{}_1(47)\\ {\rm M}{}_{Y2}=3(B{}_2+A{}_1)-F{}_2(48)\end{array}$

$\begin{array}{l}{\rm M}{}_{{\rm Z}3}=15(C{}_3+A{}_2+A{}_{2}s{}^2\theta )+\\ C{}_{1}c\theta (\ddot{\psi }c\theta +\ddot{\phi })-(F{}_{1}c\theta +F{}_3)(49)\end{array}$

零初始状态下,为使输出角加速度为$\ddot{\psi }=15°/\text{s}{}^2‚\ddot{\theta }=3°/\text{s}{}^2‚\ddot{\phi }=90°/\text{s}{}^2$。可由式(47)～式(49)求出所需输入力矩,同样solidworks也可根据输出求出输入力矩。图3为simulink输入力矩,图4为solidworks输入,误差小于0.1%。易知25 s内数学模型可以真实还原物理模型输入。

3.3验证陀螺进动现象

三轴转台的结构与三轴陀螺的结构相同,同样的在内环高速旋转时,对外环施加力矩,可以观察到中环进动的现象。取$\theta (0)=90°‚\dot{\phi }(0)=9000°/\text{s}‚$其他状态为零,内环和中环不输出力矩,外环力矩MZ3=4 N·m时,由图5可看到中环发生进动,而当θ接近90°时,外环轴脱离小幅震荡开始转动,如图6。

4结论

针对三轴转台有强非线性和三个轴相耦合的特点,根据三轴转台的运动形式,建立了更为简洁的动力学模型。根据所建模型列出状态方程,提出无需加速度的状态反馈解耦算法,并为设计特征矩阵特征值创造了条件。利用solidworks设计了一个转台模型,并利用cosmos/motion插件对该模型进行仿真和动力学分析。将模型的输出与所建数学模型输出进行比较,验证了模型的准确性和反馈控制率的有效性。

参考文献

[1]刘樾,王兴启.三轴转台运动耦合作用的仿真及实验研究.航空精密制造技术,2006;42(3):24—27

[2]曾庆双,王茂才,刘升才.三轴转台框架间动力学耦合及解耦研究.中国惯性技术学报,1997;5(3):44—49

[3]黄卫权,刘文佳.三轴仿真转台耦合问题的研究.弹箭与指导学报,2009;29(1):99—103

[4]张海朝,刘延斌.三轴转台跟踪控制研究.煤矿机械,2006;27(3):411—414

[5]刘延斌,金光,何惠阳.三轴仿真转台系统模型建立及解祸控制研究.哈尔滨工业大学学报,2003;35(3):323—328

[6]梁迎春,李国洪.三轴模拟转台的外框结构有限元优化设计.中国惯性技术学报,1998;6(4):81—83

[7]王茂,邵长东.带有轴间动力学解耦的三轴转台自适应控制.中国惯性技术学报,2003;11(5):5—11

[8]蒋晓刚,倪彬,徐月明.三轴惯导测试转台的交叉耦合问题及对策.机械设计与制造,2011;(6):266—267

[9]白清顺,王毓明,梁迎春.基于Pro/E的三轴转台装配与运动学仿真.中国惯性技术学报,2006;14(1):83—88

[10]耿雷,季旭,李海越.三轴转台运动学仿真与结构有限元分析.机械设计与制造,2008;(5):11—13

状态反馈 篇2

用GPS输出反馈实现大角度姿态状态跟踪控制

本文首次讨论并给出了利用星上GPS输出反馈,来实现卫星大角度姿态机动的自主非线性状态跟踪控制系统的设计.其中包括非线性状态反馈控制器的设计以及利用星上GPS伪距测量输出信息,采用修改的罗格里德参数描述姿态状态方程,实现星上实时状态跟踪控制的非线性估计器的设计.文中以EO-1/LandSat7卫星编队飞行为背景,给出了姿态测量信息的`获取、姿态状态估计和实时跟踪控制的数学仿真结果,验证了控制系统设计的可行性和正确性,精度指标满足要求.

作 者：邢光谦 休斯特・帕维斯 Guang Q.Xing Shabbir A.ParVez  作者单位：美国SPA公司 刊 名：前沿科学  ISTIC英文刊名：FRONTIER SCIENCE 年，卷(期)： 3(1) 分类号：V1 关键词：GPS输出反馈   大姿态角状态跟踪控制   非线性反馈控制   修改的罗德里斯姿态参数   GPS output feedback   large attitude angle state tracking control   non-linear feedback control   modified Rodrigues parameters  

状态反馈 篇3

分数阶微积分有三百多年的发展历史,它是传统的微积分的推广。由于数学基础的限制, 它在实际中的应用还是最近几十年的事情。实际上许多系统都具有分数阶的特征, 所以分数阶微积分已经应用到各个领域, 如控制理论、分形理论、粘弹性阻尼器、机器人以及混沌系统的研究中。分数阶微积分在控制和混沌中的应用越来越受到学者的重视, 逐渐地成为了一个热点的研究问题。如文献[1]研究了分数维的PIλDμ控制, 文献[2]研究了分数阶的自适应控制, 文献[3]研究了分数阶的蔡系统, 文献[4]研究了分数阶的Duffing系统, 文献[5]研究了分数阶的Lorenz系统的分数阶控制算法, 文献[6]研究了分数阶的陈氏系统, 文献[7]研究了分数阶的Lorenz系统。

虽然分数阶的混沌系统得到了较多的研究, 但是其控制方法的研究还比较少。本文首先研究了分数维Lorenz系统的平衡点的问题, 然后利用线性反馈的方法控制系统到平衡点, 并给出了使系统稳定的反馈系数的选取方法。最后通过仿真实例验证了此方法的有效性。

1 分数阶微积分的定义

分数维微积分有多种定义方式[8],主要有Riemann-Liouville(R-L)定义(1840年)、Grunwald-Letnikov定义、Caputo定义(1970年)、Fourier定义等。经常用到的是R-L定义和Caputo定义。Caputo定义有传统的易于物理上解释和实现的初始条件, 并且对常数的分数阶微分为0, 所以在实际的应用中用到较多的是Caputo定义。本文采用Caputo定义。

定义1:一元函数f(t)的α阶积分定义为[8]:

undefined

(t>a,α>0)

其中,a,t分别为积分的下界和上界,f(t)为被积函数,α为积分次数,Γ(α)是Γ函数。

定义2:一元函数f(t)的α阶维微分定义为[8]:

undefined

其中,m-1<α

定义3: 一元函数f(t)分数维微积分f(α)(t)的拉普拉斯变换定义为[8]:

undefined

其中,undefined为任意实数。

当初始条件为0时, 有undefined

2 分数阶系统稳定的充分条件

分数阶系统的稳定性问题在文献[9]中得到较多的研究:对于α阶的系统, 它的不稳定的区域是一个楔形区域, 顶点在原点, 以x轴为对称轴。当系统的极点落在此区域, 系统是不稳定的, 当系统的极点落在此区域以外的区域,系统是稳定的区域。如图所示, 容易知道整数阶系统的稳定区域包含在分数阶系统的稳定区域内(α<1)。从而, 利用整数阶系统的极点配置的方法,把系统的极点配置到左半平面, 所得到的系统是稳定的。当系统的各个状态用不同阶的微分方程来描述时, 如

undefined

, 则此系统的极点应该在由θ≤qπ/2;q=max{α,β,γ}描述的楔形区域之外。

3 分数阶的Lorenz系统

文献[10]研究了分数阶的Lorenz系统:

undefined

当a=10,b=8/3,c=28时,分数阶Lorenz系统有一个混沌吸引子。文献[7]通过仿真实验验证了分数阶的Lorenz系统在系统的阶次(α+β+γ)小于3的情况下, 也可以产生混沌的现象。由于本文中用的是分数阶微积分的Caputo定义, 它对于常数的微分为0, 由x(α)=0,y(β)=0,z(γ)=0不难得到系统的三个平衡点:

undefined

系统(1)在S0邻域线性化方程的系数矩阵为:

undefined

显然J1的特征值为

undefined

因此平衡点S0是不稳定的。系统(1)在S±邻域线性化方程的系数矩阵为:

undefined

易求得系统有正实根, 从而落在了图1所示的不稳定的楔形区域内, 故平衡点S±也是不稳定的。

4 控制方法

本文旨在设计一简单的反馈控制器u,使得所构成的闭环系统稳定。本文就采用线性状态反馈的方法, 将混沌系统控制到上述的任意的平衡点。传统的线性反馈控制方法是

undefined

的形式。其中X=(x,y,z)是系统的状态,A是线性化后的系数矩阵,undefined为控制目标, 即上述3个平衡点中的一个,K=(k1,k2,k3)为正反馈系数。此时系统只有一个平衡点undefined。

4.1 控制混沌系统到平衡点

一个简单的反馈控制器应该仅仅是状态的线性函数, 如果控制器仅仅是状态某一变量的线性函数, 则控制器的结构会更加简单。本节只对状态的变量y施加控制作用,且控制器受控系统变为

undefined

其中k为待定的正反馈系数,undefined为平衡点S0(0,0,0)中所对应的y的值。下面将系统式(3)控制到此稳定点。系统在S0的邻域线性化方程的系数矩阵为:

undefined

把a=10,b=8/3,c=28代入得

undefined

显然undefined1的特征方程为(λ+8/3)[λ2+(k+1)λ+10(k+1)-280]。其中一个特征根λ1=-8/3<0另外两个特征根满足λ2+(k+1)λ+10(k+1)-280。由一元二次方程的知识得出当k+1>0且10(k+1)-280>0时,系统的两个特征根具有负实部。此时, 可求得k>27。故k>27系统式(2)在平衡点S0附近的线性化系统的特征根都具有负实部。从而系统是稳定的。

4.2 控制混沌系统到平衡点

系统式(2)在S±的线性化方程的系数矩阵为

undefined

相应的特征值多项式为

undefined

(k1k2+k1k3+k2k3+ak2+ak3+

bk1+bk2+k1+k3+ab+bc)λ+

(k1k2k3+bk1k2+ak2k3+k1k3-

bck1+abk2+2abc)

为了简化运算,取k1=0,k2=3。当k3=1时, 由Routh-Hurwitz准则知, 系统的所有特征根具有负实部, 即特征根落在了图1所示的楔形区域外, 从而可以将混沌系统控制到平衡点S±。

5 仿真实例

选取α=0.95,β=γ=1, 初始条件为(10,0,10),在不加入控制时, 系统的周期性轨道如图2。当加入控制时, 选取k=28, 此时, 系统的极点都具有负实部, 它们都落在图1所示的楔形区域之外, 系统逐渐的稳定到其平衡点, 如图3所示。

6 结束语

讨论了分数阶的Lorenz系统的平衡点及其稳定性, 利用状态反馈的方法, 控制分数阶的Lorenz系统稳定到其平衡点。仿真试验验证了此方法的有效性。

参考文献

[1]Podlubny I.Fractional-order systems and PIλDμ-controllers[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1999,44(1):208-214.

[2]张隆阁,李俊民,陈国培.稳定的分数维模型参考自适应系统的设计[J].西安电子科技大学学报,2005,32(5):768-771.

[3]Zhang Longge,Li Junmin,Chen Guopei.The design of the stable fractional model reference adaptive control system[J].Journal of xdian university,2005,32(5):768-771.

[4]Hartley TT,Lorenzo CF,Qammer HK.IEEETrans CAS-I42(1995)485[Z].

[5]Arena P,Caponetto R,Fortuna L,et al.Proceedings of the ECCTD[J].Budapest,1997:1259-1263.

[6]严艳,张隆阁.Lorenz系统的分数阶控制算法[J].动力学与控制学报,2006,4(2):132-135.

[7]Yan Yan,Zhang Longge.Fractional control algorithmof Lorenz system[J].Journal of Dynamics and control,2006,4(2):132-135.

[8]Chunguang Li,Guangrong Chen.Chaos inthe fractional order Chen sys-temandits control[J].Chaos Solions&Fractals,2004,22(3):549-554.

[9]Grigorenko I,Grogorenko E.Physical dynamics of the fractional Lorenz system[J].Physical reviewletters,2003,91(3):034101-1~4.

[10]Podlubny I.Fractional Differential Equations[M].San Diego,CA:Academic Press,1999.

状态反馈 篇4

近年来,在能源需求和环境保护的双重压力下,将分布式电源、储能装置、可控负载结合在一起的微电网获得了越来越多的重视和应用[1,2,3]。相对于交流微电网,直流微电网具有效率高、控制简单、可靠性高及电能品质好等优点,正逐步受到日益广泛关注[4,5,6,7]。然而,直流微电网中含有大量的电力电子装置,其特性相对于微电网表现为恒功率负载,可能引起直流微电网母线电压的不稳定[8,9,10,11]。

文献[12,13]对直流电网的稳定性问题进行了分析并提出了相应的稳定性准则,这些稳定性准则提出了直流电网稳定的充分条件和稳定裕度,但没有提出改善直流电网稳定范围的措施。文献[14,15]提出了修改系统电路结构或参数,增大系统的阻尼,从而提高直流微电网稳定性的方法,但这些方法会增加系统的体积和功耗。文献[16]通过增加有源阻尼信号改变大电网接口变换器的等效阻抗,进而提高直流微电网稳定性,然而该方法仅适用于微电网并网运行的工况。文献[11]提出在负荷点变换器中引入虚拟电容进而提高系统稳定性的方法,但该方法仅适用于单电源单负载的情况。文献[17]提出了通过改进的PID控制提高直流微电网电压稳定性的方法,但该方法仅适用于使用Buck变换维持直流母线电压的情况,并且控制器参数较多,在实际应用中难以确定合适的参数。本文通过引入线性状态反馈支路,抵消了恒功率负载对微电网稳定性的不良影响,提高了直流微电网的稳定性。该方法不仅适用于Buck变换器维持直流微电网母线电压的情况,而且适用于Boost变换器维持直流微电网母线电压的情况。

1 系统模型及其稳定性分析

典型的直流微电网结构如图1所示,其中包含大量的电力电子变换器。源侧AC/DC或DC/DC变换器连接于直流微电网,维持微电网母线电压。当负荷点变换器工作于恒压模式且控制性能良好时,负荷点变换器及其负载相对于直流微电网为恒功率负载[18]。而在通常气候条件下,为充分利用可再生能源,光伏和风电等分布式电源一般工作于最大功率点跟踪(MPPT)模式,此时的光伏和风电及其变换器可以看作是恒功率电源[19]。储能单元在其变换器的作用下,进行恒功率或恒流充放电,这时它们可以看作是恒功率源或恒流源。

为分析简便,以最常用的分布式电源经过Buck和Boost变换器接入直流母线维持微电网母线电压为例,来研究系统的稳定性。

1.1 Buck变换器维持微电网母线电压的情形

分布式电源经过Buck变换器接入直流母线维持微电网母线电压时,直流微电网的简化模型如图2所示。其中,E为Buck变换器的输入电压;L为Buck变换器的滤波电感;C为所有变换器电容并联后的等效电容;R为直接连接于直流母线的等效负载电阻;PCPL为等效的恒功率负载,其数值为恒功率负载的输入功率之和减去恒功率源的输出功率之和;ISE为恒流充放电控制的储能单元等效的恒流源。

根据电路结构,运用状态平均法列写电路方程,可得:

其中,d为Buck变换器的占空比,在开环控制中d为常数。对式(1)在其平衡点处进行小信号线性化,为使得系统的特征值实部小于零,可推导得出系统稳定的条件为[20]:

其中,UC为电容电压在平衡点处的稳态值。

1.2 Boost变换器维持微电网母线电压的情形

分布式电源经过Boost变换器接入直流母线维持微电网母线电压时,直流微电网的简化模型如图3所示。

由图3列写电路方程,可得:

对式(3)在其平衡点处进行小信号线性化,可得系统稳定的条件为[20]:

由式(2)和式(4)可知,要使得直流微电网稳定,系统中的恒功率负载功率必须小于直接连接于直流母线的负载功率,即阻性负载的功率。而一个典型的直流微电网约含有80%~85%的恒功率负荷、15%~20%的阻性负荷[16],因此系统难以稳定,需要采取措施,提高系统的稳定性。

2 基于线性状态反馈的直流微电网稳定方法

下面以Buck变换器为例,说明基于线性状态反馈的直流微电网稳定方法。根据式(1)可画出系统模型方框图如图4所示。图中VC在开环控制中为调制指令信号,在闭环控制中为闭环PI控制器的输出信号。VTr为三角载波信号的幅值,以下为分析方便,设VTr=1,即d=VC。从图中可以看出,恒功率负载的影响是方框图右下角中间的一条反馈支路,它给微电网带来了负增量阻抗,从而导致直流微电网不稳定。

为抵消恒功率负载的影响,在系统中引入一条线性反馈支路,如图5中左下角所示,线性反馈支路包括数乘器和微分器各一个。显然,反馈支路的引入并不改变系统的稳态平衡点(UC,IL)。通过合理选择反馈系数k,就可以抵消恒功率负载负增量阻抗的影响,提高系统的稳定性。

由图5可得:

由上式整理可得系统的状态方程为:

在平衡点处对式(6)进行小信号线性化,并整理为矩阵形式可得:

由式(7)整理可得系统的特征方程为:

由罗斯-霍尔维兹稳定性判据可知,系统稳定的充要条件为:

由式(9)可知,通过引入线性反馈支路,当反馈系数足够大时,反馈支路可以抵消恒功率负载负增量阻抗特性,增大了系统的阻尼,从而确保系统稳定。

3 低通滤波器在反馈支路中的应用

非线性反馈支路中的微分器虽然可以提高系统的稳定性,但会放大噪声,而电力电子变换器中会产生很多高次谐波,所以很少直接采用微分环节,可在微分环节前加入低通滤波器,如图6所示。

图中ωr为低通滤波器的截止角频率,显然其数值应小于Buck变换器的开关频率。为了分析k和ωr的取值范围,确保系统稳定,下面列写出系统的状态方程并进行小信号稳定性分析。

令:

由图6可得:

整理可得系统的状态方程为:

在平衡点处对式(12)进行小信号线性化,并整理为矩阵形式可得:

由式(13)整理可得系统的特征方程为:

由罗斯-霍尔维兹稳定性判据可得系统稳定的充要条件为:

经整理可知,为了使得微电网稳定,反馈系数k和截止角频率ωr需满足以下条件:

4 线性状态反馈在Boost变换器中的应用

如图7所示,为抵消恒功率负载的影响,在系统中引入一条含有低通滤波器的线性反馈支路。

令:

由图7可得:

整理可得系统的状态方程为:

由式(19)可知系统稳态时的电感电流可由下式求得:

在平衡点处对式(19)进行小信号线性化,并整理为矩阵形式可得:

将式(20)代入式(21),整理可得系统的特征方程为:

对比式(14)和式(22)可以看出,对于Boost变换器的特征方程,其二阶项的系数中k前的符号出现了负号项,这就意味着k的取值并不是越大越好。假设系统的参数如下:E=150 V,VC=0.25,L=8 m H,C=0.5 m F,UC=200 V,R=40Ω,PCPL=2 000 W,ωr=4 200 rad/s。k变化时系统极点的移动如图8所示。当k的取值较小时,随着k的增大,系统的特征根向s右半平面移动,这有助于增加系统的稳定性。但随着k的进一步增大,最终系统的特征根又开始向s左半平面移动,这可能导致系统不稳定。

5 仿真实验

为了验证前面提出方法的有效性,本文分别针对Buck和Boost变换器维持微电网母线电压的情形,采用MATLAB/Simulink搭建了直流微电网的仿真实验模型,其系统结构如图9所示。

5.1 Buck变换器维持直流母线电压的仿真

源侧变换器1为图6所示线性状态反馈控制的Buck变换器,E=400 V,VC=0.5,L=8 m H,C=0.5 m F,UC=200 V。源侧变换器2为恒功率控制的变换器,其输出功率为500 W。恒功率负载的功率为2 500 W,系统等效的恒功率负载为PCPL=2 000 W。阻性负载的电阻值R=40Ω。储能单元采用恒流充放电控制,其放电电流为3 A。变换器的开关频率为10 k Hz。仿真实验结果如图10和图11所示。

当系统没有加入反馈控制支路时,对式(1)进行线性化,可计算得出系统的特征值为25±j499.375,直流微电网母线电压uC与Buck变换器电感电流iL的波形如图10所示,由于特征值的实部大于零,直流母线电压和电感电流发散,直到电感电流下降到零,直流母线电压维持大幅度振荡。

当系统加入线性反馈支路和低通滤波器时,由式(16)可得系数ωr的取值范围为:ωr>50 rad/s。可取ωr=1 200 rad/s,k=1.5×10-5。由式(14)可得系统在平衡点的特征值分别为-492.953±j1 259.054、-164.094。由于特征值的实部都小于零,系统稳定。直流微电网母线电压uC与Buck变换器电感电流iL的波形如图11所示。

5.2 Boost变换器维持直流母线电压的仿真

源侧变换器1为图7所示线性状态反馈控制的Boost变换器,E=150 V,VC=0.25,L=8 m H,C=0.5m F,UC=200 V。系统中的其他设备参数同上节。仿真实验结果如图12和图13所示。

当系统没有加入反馈控制支路时,对式(3)进行线性化,可计算得出系统的特征值为25±j374.166,直流微电网母线电压uC与Boost变换器电感电流iL的波形如图12所示,由于特征值的实部大于零,直流母线电压和电感电流发散,直到电感电流下降到零,直流母线电压维持大幅度振荡。

当系统加入线性反馈支路和低通滤波器时,取ωr=6 800 rad/s,k=1.3×10-5,由式(22)可以得到系统在平衡点的特征值分别为-738.117±j73.882、-1 737.766。由于特征值的实部都小于零,系统稳定。直流微电网母线电压uC与Boost变换器电感电流iL的波形如图13所示。

由以上实验可知:无论是Buck变换器,还是Boost变换器,通过引入线性状态反馈支路,都可以抵消恒功率负载的负阻抗特性,从而实现了直流微电网母线电压的稳定运行。

6 结论

状态反馈 篇5

永磁同步电机 (PMSM) 系统是一种常见的多变量、强耦合的非线性系统, 在一定条件下会出现混沌现象。在生产工作过程中, 由于其混沌运动不可预知, 会产生意想不到的危险发生。电机运动系统的混沌现象是区别于传统的振荡的特殊动力学特性, 是电机动力学的新内容。

电机运动系统的混沌特性是固有存在的, 表面上看起来是无序的, 其实质是确定性的非线性的有序运动, 它受参数得影响很大, 即具有对初始条件的敏感性, 正是这一点, 可以运用它来控制电机混沌运动, 电机的混沌控制将形成新的实际应用, 例如提高电机运动系统的低速性能。混沌的应用将有可能形成电机混沌工程的新领域。

永磁同步电机的混沌现象

经过线性仿射和时间尺度变换, 同时本文我们只考虑负载为零, 控制电压也为零的情况。得到如下无量纲的永磁同步电机的混沌模型

令上式为0, 则可得该系统的平衡点

系统的Jacobi矩阵为

对于平衡点E (0, 0, 00) , 其Jacobi矩阵为

对应的特征方程为

根据劳斯—赫尔维茨 (Routh—Hurwith) 判据可知, 当满足

时, 系统的特征方程对应的特征值具有负实部, 则系统在平衡点E0处稳定。

A1A2<A3, 不满足稳定条件, 所以系统在平衡点E0不稳定。同样的方式可以得到平衡点, 1E2都不稳定。

从图中也可以验证出, x, y, z的相图呈现对时间的不稳定波动, 且无规律。此时系统不稳定, 处于混沌状态。

状态负反馈控制永磁同步电机

在现代控制理论中, 由于状态反馈可以提供较为丰富的状态信息及可以选择的自由度, 能使系统更容易获得优异性能, 故常常采用状态反馈法控制方法。反馈控制的优点在于不需要使用除系统输出或状态以外的任何有关给定被控系统的信息, 不改变被控系统的结构, 具有良好的轨道跟踪能力和稳定性。状态反馈法的一般形式为

X∈Rn, f (X) 是n维系统, u (X) 是n维控制向量。

对平衡点E0的控制

对于平衡点E0, 我们取控制器为

来实现改混沌电机的平衡点的控制。加入控制器, 受控系统变为

k1是反馈增益, zˆ是控制目标的z状态分量。当1k=0时, 受控系统还原为原来的混沌系统。

受控系统在平衡点领域的Jacobi矩阵所对应的特征多项式

受控系统在E0领域的Jacobi矩阵

相应的特征值方程为

λ3+ (.74+k1) λ2+ (2k1-1016.) λ+k1-108=0我们只研究反馈增益为正的情况, 根据Routh-Hurwith稳定判据, 当

时, 即满足1k>109时, 系统可以逐渐趋于平衡点E0。

对平衡点E1的控制

对于平衡点E1, 我们取控制器为

受控系统在E1领域的Jacobi矩阵

相应的特征值方程为

根据RouthHurwith稳定判据, 可以得出满足6719.32k>时, 系统可以逐渐趋于平衡点E1。

状态反馈控制的数值仿真

根据上面的计算分析, 通过在MATLAB中运用四阶龙格库塔方法进行数值仿真运算。

对PMSM混沌系统在系统运行100s时施加控制器u1, 反馈增益取k1=110, 满足Routh—Hurwith判据, 受控系统的各相图如图2所示。可以看出系统经过控制, 逐渐趋近于平衡点E0。

同样的道理, 对PMSM混沌系统在系统运行100s时施加控制器u2, 反馈增益取, 满足Routh—Hurwith判据, 受控系统的各相图如图3所示。可以看出系统经过控制, 逐渐趋近于平衡点1E。

总结

状态反馈 篇6

1 系统建模

质量—弹簧—阻尼系统的自由体图如图1所示, 从图中可以看出, 该系统受到3个力: (1) 外界的作用力F (t) ; (2) 来自弹簧的回复力-k*x (t) ; (3) 来自阻尼器的回复力-b*x軃 (t) 。

运用牛顿第二定律, 以及对系统进行受力分析, 可以得到如下运动方程:

其中m代表质量块的质量, b代表阻尼器的阻尼系数, k代表弹簧的弹性系数, x代表质量块的位移。

现在, 对运动方程进行拉普拉斯 (Lalpace) 变换。这样, 就可以得到质量—阻尼—弹簧系统的传递函数。

根据实际模型和仿真实验的需要, 选取参数如下:m=2kg, b=10Ns/m, k=20N/m。

2 状态反馈的极点配置

考虑一个线性时不变定常系统:

这里, x∈Rn是系统状态, u∈Rp是控制输入向量, A和B为合适维数的常数矩阵[2]。记{λ1, λ2, …, λn}为期望的闭环极点 (实数极点或为共轭复数极点) 。一般来说, 这样的闭环极点直接反映了系统的闭环系统控制性能指标如时域指标的超调量、上升时间、延迟时间, 或频域指标的幅值裕度、相角裕度等等, 这些都可以通过经验或公式来估算出来。

所说的状态反馈极点配置问题[3], 就是对如 (3) 式所示的系统, 确定状态反馈控制器增益矩阵K∈Rp×n。使得系统在控制率u=-Kx+v的作用下, 状态反馈闭环系统x觶= (A-BK) x+Bv的闭环极点为期望的极点, 其中v为参考输入。

这里, 我们假设 (3) 式描述的系统是完全能控的, 满足可任意地配置闭环极点的条件[4]。

仿真软件MATLAB里有专门进行极点配置的函数, 主要包括:

(1) acker函数。用法为:K=acker (A, B, P) 。这里, 矩阵A、B为状态空间模型参数数据, P是指定的期望的闭环极点, 返回值向量K是我们要求取的状态反馈控制器增益。

(2) place函数。用法为:K=place (A, B, P) 。同样, 矩阵A、B为状态空间模型参数数据, P是指定的期望的闭环极点, 返回值向量K是我们要求取的状态反馈控制器增益。

3 应用及仿真结果

根据经典控制理论的知识, 欠阻尼二阶系统的动态过程分析表达式如下:

我们首先可以根据实际控制系统的要求, 确定时域性能指标超调量σ%和ts调节时间, 然后计算期望的闭环极点位置。对于质量—弹簧—阻尼系统, 我们按照实际要求提出如下动态性能指标[5]: (1) 输出超调量σ%≤5%; (2) 调整时间ts≤0.5s。

由性能指标确定期望极点λ1, λ1。把上述动态性能指标代入 (4) 式得ζ≥0.707, ζωn≥8, 现取ζ=0.707, ζωn=9[6]。即:

又由 (1) 式可以得到系统的状态空间表达式, 再代入具体数值, 可以得到:

将MATLAB中的极点配置函数应用于以上讨论情况, 求出状态反馈矩阵K。K=[304.0000 26.0000], 即为满足上述要求动态性能指标的状态反馈增益矩阵。

画出极点配置后系统的单位阶跃响应曲线, 如图2所示。

在图2中, 可以得出:系统超调量σ%=4.32%≤5%, 调节时间ts=0.468s≤0.5s, 说明我们通过上述方法确定的状态反馈控制器增益矩阵是正确的。

4 结论

本文介绍了运用Matlab/Simulink进行系统建模[7], 以及利用相关函数对控制系统进行任意闭环极点配置的方法, 并用到质量、弹簧、阻尼器系统中, 取得了很好的效果。但是, 值得注意的是, 虽然配置极点后动态性能变得非常好, 但是出现了稳态误差不能消除的负面效果, 应该考虑加入积分环节消除稳态误差。

摘要：针对质量-弹簧-阻尼系统, 首先建立其模型, 分析稳定性与动态响应过程。然后, 利用Matlab相关函数对控制系统进行了闭环极点的任意配置, 求取状态反馈控制器增益, 使闭环系统控制性能如动态性能指标达到期望的要求, 最后给出了具体应用的仿真结果。

关键词：质量—弹簧阻尼系统,建模,极点配置

参考文献

[1]李林, 单长吉.质量—弹簧—阻尼系统的二次型最优控制的实现[J].西安文理学院学报 (自然科学版) , 2012, 15 (1) :96-98.

[2]张福恩.状态反馈极点配置的直接方法[J].自动化学报, 1986, 12 (2) :162-167.

[3]吕国建, 王情.MATLAB在线性系统综合中的应用[J].电气传动自动化, 2003, 25 (5) :30-34.

[4]陈侃松, 何翔.运用MATLAB语言进行控制系统极点配置的方法[J].中南民族学院学报 (自然科学版) , 2001, 20 (2) :34-37.

[5]杨平, 徐春梅, 王欢, 等.直线型一级倒立摆状态反馈控制设计及其实现[J].上海电力学院学报, 2007, 23 (1) :21-25.

[6]赵广元.MATLAB与控制系统仿真实践[M].北京:北京航空航天大学出版社, 2012.

状态反馈 篇7

关键词：李亚普诺夫方法,切换系统,自适应控制,状态反馈

切换系统是一类比较复杂的系统,它是混合动态系统中比较重要的一类,很多控制方面的研究人员把混合动态系统看成带有切换行为的连续系统,可见切换系统在混合动态中的地位是多么重要[1]。“切换”的概念不仅在工业中应用很广泛,它与我们的日常生活也密不可分。最简单的理解“切换”的例子是:开关。切换系统有两个特点:首先,切换动作是在两个以上的系统间切换,所以切换系统包含有限个子系统。其次,由于切换动作的引入,可能会使整个系统不稳定,俗话说:“无规矩不成方圆”,所以要完成整个切换过程,一个合适的切换规则也是必须的,通过切换规则来协调整个系统[2,3]。

自适应控制是一种比较复杂的反馈控制,不同于一般的反馈,自适应控制经过40多年的发展,无论是在理论上还是在应用上都取得了很大的进展,目前,自适应在飞行器控制、卫星跟踪系统、电子拖动、造纸过程控制、冶金过程控制和化工过程控制等方面都得到了应用,大幅度地提高了它们的稳态精度和动态品质[4,5]。在各种类型的自适应控制方案中,模型参考自适应控制(MRAC)应用最广泛,由参考模型规定了所要求的系统性能,模型参考自适应有下列两个优点:(1)可以确保对象的状态向量收敛于参考模型的的状态向量,而与对象的初始值无关。(2)在某些条件下,允许确定对象的动态参数,例如在自适应的作用下,对象的参数将收敛于参考模型的参数[6,7]。

现在充分分析切换系统的特性的基础上,在不需要任何先验知识的情况下,借助Lyapunuov第二法来推导模型参考自适应切换系统的控制规律,并保证系统全局渐进稳定[8]。最后将此方法应用于一个具体的仿真实例,仿真结果表明,将自适应控制的方法应用于切换系统显示出良好的稳定性。

1 问题描述

考虑多输入切换系统:

$\dot{X}{}_p=A{}_{p\sigma }X{}_p+B{}_{p}u$。

其中,σ(t)∈Ρ,Xp∈Rn,u∈Rm,Ap∈Rn×n,Bp∈Rn×m (1)

给出参考模型如下:

$\dot{X}{}_m=A{}_{m}X{}_p+B{}_{m}r(2)$

参考模型的参数的维数跟控制对象的参数的维数保持一致,并且为常数矩阵[9]。

2 自适应控制器的设计

在本文中设计自适应律的目的是想要使控制对象的状态能良好的跟踪参考模型的状态,以达到或接近理想的状态。要想达到或接近理想的状态,就要通过设计控制器U来实现,一般将控制器U设为:

$u={\rm K}r+FX{}_p(3)$

3 利用Lyapunuov第二法设计自适应律

将控制器U代入被控对象的状态空间表达式中,有:

$\dot{X}{}_p=(A{}_{p\sigma }+B{}_{p}F)X{}_p+B{}_p{\rm K}r(4)$

设系统状态误差向量为:

$e=X{}_m-X{}_p(5)$

那么可以得到:

$\dot{e}=A{}_{m}e+(A{}_m-A{}_{p\sigma }-B{}_{p}F)X{}_p+(B{}_m-B{}_p{\rm K}r)(6)$

设F*和K*分别为F和K的理想值,

$\overline{F}=F{}^{*}-F,\overline{{\rm K}}={\rm K}{}^{*}-{\rm K}$,那么可以得到:

$\dot{e}=A{}_{m}e+B{}_m{\rm K}{}^{*}{}^{-1}\overline{F}X{}_p+B{}_m{\rm K}{}^{*}{}^{-1}\overline{{\rm K}}r(7)$

关键是Lyapunuov函数的选取现选择式(8)的Lyapunuov函数,选取Lyapunuov函数的一般选取法:

$V=\frac{1}{2}[e{}^{\text{Τ}}{\rm P}e+\text{t}\text{r}$$(\overline{F}{}^{\text{Τ}}\Gamma {}_1^{-1}\overline{F}+\overline{{\rm K}}{}^{\text{Τ}}\Gamma {}_2{}^{-1}\overline{{\rm K}})](8)$

P=PT>0满足PAm + ATmP = -Q,Γ1、Γ2为正定对称矩阵,于是:

$\dot{V}=-\frac{1}{2}e{}^{\text{Τ}}Qe+$

$\text{t}\text{r}(\dot{\overline{F}}{}^{\text{Τ}}\Gamma {}_1^{-1}\overline{F}+X{}_{p}e{}^{\text{Τ}}{\rm P}B{}_m{\rm K}{}^{*}{}^{-1}\overline{F})+$

$\text{t}\text{r}(\dot{\overline{{\rm K}}}{}^{\text{Τ}}\Gamma {}_2^{-1}\overline{{\rm K}}+re{}^{\text{Τ}}{\rm P}B{}_m{\rm K}{}^{*}{}^{-1}\overline{{\rm K}})(9)$

对于任意不等于零的e,式(9)中等号右面的第一项都为负定的,所以可以选取:

$\begin{array}{l}\dot{\overline{F}}=-\Gamma {}_1(B{}_m{\rm K}{}^{*}{}^{-1}){}^{\text{Τ}}{\rm P}eX{}_p{}^{\text{Τ}}(10)\\ \dot{\overline{{\rm K}}}=-\Gamma {}_2(B{}_m{\rm K}{}^{*}{}^{-1}){}^{\text{Τ}}{\rm P}er{}^{\text{Τ}}(11)\end{array}$

当Apσ和Bp为常值或者缓慢变化时,那么可以假设:

F*≈0,K*≈0。

这样就可以得到自适应律为:

$\begin{array}{l}\dot{F}=\Gamma {}_1(B{}_m{\rm K}{}^{*}{}^{-1}){}^{\text{Τ}}{\rm P}eX{}_p{}^{\text{Τ}}(12)\\ \dot{{\rm K}}=\Gamma {}_2(B{}_m{\rm K}{}^{*}{}^{-1}){}^{\text{Τ}}{\rm P}er{}^{\text{Τ}}(13)\end{array}$

那么就可以推出F(t)和K(t)的自适应律,表达式如下:

F(t)=∫${}_0^t$Γ1(BmK*-1)TPeXpTdτ+F(0) (14)

K(t)=∫${}_0^t$Γ2(BmK*-1)TPerTdτ + K(0) (15)

至此,所要推导的自适应律已经有明确的表达式,但是需要有一些约束条件,因为对任意分段连续输入向量函数r,上面的适应律可以保证模型参考自适应系统是全局稳定的,即:

$\underset{t\to \infty }{{\displaystyle \lim }}e(t)=0$。

由e(t)=0,可以知道:

$B{}_m{\rm K}{}^{*}{}^{-1}\overline{F}X{}_p+B{}_m{\rm K}{}^{*}{}^{-1}\overline{{\rm K}}r=0$。

那么可以得到下面的恒等式:

$\overline{F}X{}_p+\overline{{\rm K}}r\equiv 0$。

上面的式子对于任何t都能成立的条件有:

(a)Xp和r为线性相关,并且$\overline{F}\ne 0,\overline{{\rm K}}\ne 0;$

(b)Xp和r恒为0;

(c)Xp和r为线性独立,并且$\overline{F}=0,\overline{{\rm K}}=0$。

显然,只有(c)可以保证参数是收敛的,那么就规定Xp与r线形独立。条件是:r(t)为有一定频率的方波或分段连续信号,分段连续信号是由q个不同频率的正弦信号构成的,其中$q>\frac{n}{2}$或$q>\frac{n-1}{2}$。在这样的输入下,可以保证广义误差矩阵渐进收敛。因为Xp和r不恒等于0,且彼此线形独立,

4 实例仿真

在这一部分,将以飞船的仿真来证明上述理论的结果。为方便陈述,在此,先假设两个线形模型可以描述飞船的动态特征,并且引用文献[10]的数据,另外还要对飞船的部分参数作简单说明。

飞船的状态是:x=(a,q)T,其中a代表飞船的迎角,q代表飞船的俯仰角速率。控制输入是:u=(ξe,ξc)T,ξe和ξc分别代表补助翼输入和鸭翼输入,Ma是马赫数(飞行速度除以音速),H代表高度,假设切换律是σ(t,Ma.H)→Ω{1,2},就是说根据飞船的马赫数和飞船的海拔高度,切换决策模块判断飞船在两个工作点附近,从而直接切换到某个参考模型和自适应控制器。

考虑切换系统由下面给出:

对于参考的切换模型,在此选择期望的特征值为λ1d = λ2d = -3.92±4i(d=1,2),所以有:

选取在切换率为

$\sigma (t,{\rm M}a,{\rm H})=\left\{\begin{array}{cc}1,& 0\le t\le 7{\displaystyle \cup }14\le t\le 20\\ 2‚& 7\le t\le 14\end{array}\right\}$

下的系统的响应,仿真结果如下图所示。

通过迎角,俯仰率的跟随曲线,可以看出切换系统的状态能够很好的跟踪参考模型的状态,从而证明了方法的正确性和有效性。可以将此方法应用到以后的工程操作中,引导机器达到期望的操作。

5 总结

本文根据模型参考自适应理论和李亚普诺夫方法推导出切换系统的自适应控制方法,不需要知道过多的系统的验前知识,后又通过飞船的模拟控制,通过仿真验证理论的有效性,能够获得很好的跟踪性能,未来的工作是将此理论进行更深入的研究和改进,由于上述理论要用到系统的全部的状态变量,但是许多实际系统中往往得不到系统的全部的状态变量,所以利用控制对象的输入输出来构成自适应规律的问题很有必要在未来的工作中呈现出来.

参考文献

[1] Liberzon D,Morse A S.Basic problem in stability and design ofswitched systems.IEEE Control System Magzine,1999;19(5),59-70

[2] Liberzon D.Switching in systems and control.U.S.A:BirkhauserBoston.Basel.Berlin,2003

[3] Lin Hai,Antsaklis P J.Stability and stabilizability of switched linearsystems:a survey of recent results.IEEE transactions on automaticconyrol,2007;54(2):308—322

[4]王林,基于模型参考自适应算法的张力控制系统研究,长沙:中南大学,2008

[5]周军,周凤岐,线形多变量模型跟踪控制系统的参考模型设计,控制理论与应用,1997;14(2):283—286

[6]李言俊,张科,自适应控制理论及应用.西安:西北工业大学出版社,2005

[7] Tao Gang.Adaptive control design and analysis.USA:A John Wiley&Sons,Inc.,Publication,2003

[8] Zhu Yahong Cheng Daizhan,Qin Huashu.Constructing commonquadratic lyapunov functions for a class of stable matrices.Acta Auto-matica Sinica,2007;33(2):202—204

[9] Chiang Mingli,Fu Lichen.Adaptive control of a class of unknownswitched linear systems with dwell time.ICROS-SICE InternationalJoint Conference,Japan,2009;723—728

状态反馈 篇8

在n阶状态反馈控制系统中, 当被控对象状态无法直接被测量情况下, 需借助观测器对状态进行重构。在系列观测器中, 现时观测器的重构值与系统输出值没有时间延迟, 使输出信号能得到及时反馈。而带有前馈输入的观测-状态反馈控制系统, 系统输出会较好地跟踪输入, 有效消除系统的静态误差。

在设计观测——状态反馈控制系统时, 状态反馈控制部分和观测器部分可以独立设计。前者主要考虑反馈闭环控制部分的动态性能指标, 在期望位置上选择配置一组相应的极点;后者则要求观测器的动态响应速率比闭环系统快2~5倍, 作为选择另一组极点的依据。

设计过程所建立的2n阶方程组, 通过矩阵运算或使用Ackermann公式, 可求解出系统的状态反馈矩阵和观测器增益矩阵, 使观测——反馈系统完全被确定。在输入为阶跃信号的情况下, 若要求系统稳态输出尽快跟踪到输入, 需加入前馈输入环节, 根据系统稳态输出误差为零的约束条件, 利用离散终值定理可确定前馈输入环节的增益。

此过程所建立的2n阶方程, 是一组带符号变量多元矩阵方程组, 要解出系统状态变量或观测器重构状态变量, 求解过程异常繁杂, 大多数文献只能用递推法求出前几个采样节拍的样值, 绝少有求出其通解。

本文介绍利用MATLAB符号数学工具箱 (Symbolic Math Toolbox) , 进行带符号变量的矩阵运算及方程组求解, 直接得出系统状态变量或重构变量的通式, 求解过程由编制的M文件自动完成。文章还使用Simulink仿真工具箱, 以伺服电机为控制对象, 对带前馈输入的观测——状态反馈控制系统进行数字仿真, 仿真结果和理论计算值十分接近, 证明本文的设计与求解过程是正确的。

1 带前馈输入的观测——状态反馈控制系统综述

在一个带ZOH的n阶被控对象中, 若系统采样周期Ts已知, 控制向量u (k) 幅度无界且为标量, 输入r (k) 为阶跃信号, 系统状态完全可控和完全可测, 一个带前馈输入的n阶观测-状态反馈控制系统空间表达式表示为:

式中A为状态矩阵, B为输入矩阵, C为输出矩阵, N为前馈增益矩阵, K为现时观测器反馈增益矩阵, L为状态反馈增益矩阵, e (k) 为重构误差, 其定义为:

由式 (1) 与系统输出方程可得:

由式 (2) 可得闭环系统脉冲传递函数:

由式 (3) 可得闭环系统特征方程:

据文献[1], 系统设计可分两部分独立进行, 状态反馈控制部分, 由闭环系统动态性能指标所期望的极点pi (i=0、1、2、…n) 及系统特征方程共同确定。

用Ackermann公式对式 (5) 进行运算, 可得状态反馈增益矩阵L。

观测器部分要求其动态响应速率比整个闭环系统快2~5倍, 由此可得出另一组期望极点qi (i=0、1、2、…n) , 且有:

求解式 (5) 可得观测器反馈增益矩阵K。

对于阶跃输入, 要求系统为无差输出。利用离散终值定理, 求解出前馈输入增益N。

若已知闭环系统初始状态X赞 (0) 和观测器初始状态, 可从式 (1) 和系统状态空间表达式的z变换中, 整理出X (z) 、X赞 (z) 的联立方程:

这是一组带符号变量z的多元矩阵方程组, 若要求解出状态变量X (z) 和X赞 (z) 的通解, 一般矩阵运算或数值计算法难于实现。

2 带前馈输入观测——状态反馈控制系统的CAD

设伺服电机位置控制系统的被控对象如式 (8) 所示。离散闭环控制系统所具有的动态特性类似连续系统ζ=0.4613、ωn=1.2261, 离散系统采样周期Ts=1s, 观测器动态响应速率为闭环系统的4倍, 使用现时观测器。设计带前馈输入的观测—状态反馈控制系统, 求出闭环系统状态变量x (k) 。

(1) 带ZOH伺服电机离散化被控对象离散化被控对象状态空间表达式为:

(2) 观测—状态反馈系统期望配置的极点状态反馈控制部分所需配置的极点为:

设现时观测器动态响应速率比整个闭环系统快4倍, 选择的极点为:

(3) 观测—状态反馈系统的增益矩阵

使用符号数学工具箱place函数, 求出状态反馈增益矩阵L:

式中L=[0.6100, 0.9760]

使用acker函数和利用对偶原理, 求出现时观测器增益矩阵K:

式中K=[0.0927, 1.1707]T

(4) 使用符号对象函数limit函数求出前馈输入增益N。

设输入r (k) 为单位阶跃信号, 利用式 (3) 与式 (6) , 求得前馈输入增益N。

N=0.9760

(5) 使用符号对象函数sym定义z为符号变量, 计算式 (7) 的X (z) 。

设被控对象与观测器的初始状态分别为:x (0) =[1, 1]T, X赞 (0) =[0, 0]T, 使用符号对象函数solve和subs, 求出系统状态变量X1 (z) 、X2 (z) 如图1所示。

(6) 使用deconv函数分别求出X1 (z) 与X2 (z) 前8个采样周期样值, 如表1所示。

以上过程编写成MATLAB的M文件, 运行程序自动完成本系统的设计。

3 带前馈输入的观测-状态反馈控制系统数字仿真

带前馈输入的伺服电机观测—状态反馈控制系统结构如图2所示。

使用Simulink仿真工具箱, 在输入信号r (k) =1, 初始状态x (0) =[1, 1]T和X赞 (0) =[0, 0]T情况下, 通过仿真可得状态变量x (k) 前8个节拍的采样值, 如表2示。x (k) 输出特性曲线如图3所示。

4 结束语

本文介绍的带前馈输入观测——状态反馈控制系统设计方法, 能有效地实现带符号变量多元矩阵方程组求解, 设计过程由计算机自动完成, 输出结果和仿真数据基本一致;本例中, 现时状态观测器初始状态取x (0) =[0, 0]T, 而闭环系统初始状态设为x (0) =[1, 1]T, 两者尽管不同, 但14个采样节拍后, 重构误差迅速收敛;前馈输入单元确保系统输出能跟踪到输入, 并维持稳态误差为零。可见本文介绍的方法是正确与实用的。

摘要：带前馈输入观测——状态反馈控制系统的设计过程, 涉及带符号变量的矩阵方程组求解, 其通解一般难于求出, 国内外大多数文献只能用递推法求其前几个采样值。借助MATLAB符号数学工具箱的有关函数, 直接进行带符号变量矩阵运算和方程组求解, 得到其准确的通解, 系统设计全过程由编制的M文件自动完成。仿真结果表明, 提出的设计方法和求解过程是正确的。

关键词：观测——状态反馈,前馈输入,控制系统

参考文献

[1]K OGATA.Modem Control Engineering (Third Edition) [M].Prince Hall Inc, 1998.

[2]K OGATA.Discrete-Time Control Systems (Second Edition) [M].北京:机械工业出版社, 2004.

[3]K J STRM, B WITTENMARK.Computer-Controlled Systems:Theory and Design (Third Edition) [M].Prince Hall Inc, 1997.

[4]徐丽娜.数字控制—建模与分析、设计与实现 (第2版) [M].北京:科学出版社, 2006.

[5]A Biran, M Breiner.MATLAB6for Engineers[M].Prentice Hall Inc, 2002.