输出反馈

2024-10-14

输出反馈（精选7篇）

输出反馈篇1

1 概述

众所周知, 由于系统的状态变量常常不能直接测量, 因此用状态变量作反馈改善系统的性能 (如配置极点等) 难以直接做到, 但系统的输出量总是可以量测的物理量, 因此用输出量进行反馈是物理上能够直接实现的方法, 它在系统设计中具有现实意义。尤其在某些特殊情况下, 可以使所有极点移到左半平面, 但在用静态输出反馈配置极点过程中, 涉及到一个相容性问题[1], 如果相容性条件不满足, 则只能研究在各种意义下的近似解, 但这些解未必导致特征值近似符合要求。为了克服这种求解的不确定性, 本文针对严格正则有理函数阵, 设计出仅利用输出反馈就能使系统稳定的方法, 该方法直接基于输出量的量测, 克服了状态反馈中引入观测器所导致的系统结构复杂性, 因而在工程应用上具有重要意义。

2 问题的描述

考虑线性时不变系统方程:

其中, 分别为的实常量矩阵, 在系统上加上线性输出反馈A, B, Cn n, n p, q p

式中, H是的常值矩阵, 为维输入向量。通常称 (2) 式为静态输出反馈控制律, 联合 (1) 式和 (2) 式。可以得到闭环系统的动态方程为:p q v p

现考察静态输出反馈在极点配置上一个可能的结果。

3 主要结果

引理一[2], 设B∈Cm×n, C∈Cn×m, 则有

考虑一个n×1的有理传递函数阵G (s) , 其极点多项式为:

不失一般性, 设有理传递函数阵G (s) 为:

同时, 假设有理传递函数阵G (s) 的状态空间实现为:

观察闭环系统的特征多项式:

第三个等式用到了引理的结果, 式中H=[h1, h2, …, hn]

令期望的极点多项式为:

利用多项式恒等的条件有:

根据线性方程组解的理论, 在的条件下有

(1) 如果 , 方程组有唯一解

(2) 如果 , 方程组有无穷多解

总结以上讨论, 得到下列结果:

定理2 设系统G (s) n为n×1的有理函数阵, 且δG (s) n, (δ为G (s) 的极点多项式的阶) , 如果期望的极点多项式满足 , 则可以利用静态输出反馈来配置。

4 举例

例一, 设有多变量系统

其实现为

如果期望极点多项式为 ;

设输出反馈增益阵为:H=[h1h2h3], 根据上述算法得下列方程:

此时闭环系统的矩阵的特征值A+BHC为-1, -1-2。

例二, 设有多变量系统

其实现为:

如果期望的极点多项式为:

, 设输出反馈增益阵为:

同样根据上述算法得到下列方程:

方程组有无穷多解, 而此时闭环系统矩阵的特征值为:-1, -1, -2。

结束语

输出反馈控制律中的H增益阵与闭环极点之间的关系是复杂的, 可以说仍是线性控制理论至今尚未解决的问题。应该说本文所讨论的是一种非常特殊的情形, 其应用前景尚无法预见。

参考文献

[1]程鹏.线性系统理论[M].北京:北京航空学院出版社, 1987, 12.

[2]谢世杰.控制理论与制导技术[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 1998, 11.

[3]K zhou, J Doyle and K Glover.Robust andoptimal control.Prentice-Hall.1999.

输出反馈篇2

直升机地面共振的输出反馈最优控制

在导出采用SAS的桨距控制的直升机“地面共振”空间模型的状态方程和输出方程的基础上,研究抑制直升机“地面共振”的控制律综合设计方法.鉴于工程实用性,宜采用可测得的输出作反馈控制;由于直升机旋翼工作转速范围宽,反馈控制应保证旋翼从起动到最大工作转速范围内闭环系统全速稳定.因此,提出并研究满足上述要求的基于输出反馈的`次最优控制法与基于观测器的输出反馈最优控制法.仿真计算表明了这些方法对抑制直升机“地面共振”的有效性.

作者：顾仲权陈爱华 Gu Zhongquan Chen Aihua 作者单位：南京航空航天大学飞行器系,南京,210016 刊名：南京航空航天大学学报 ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF NANJING UNIVERSITY OF AERONAUTICS & ASTRONAUTICS 年，卷(期)： 31(4) 分类号：V214.42 关键词：直升机动稳定性主动控制地面共振

网络控制系统动态输出反馈控制篇3

网络控制系统由于具有安装维护简单、高可靠性等优点, 在过去几十年的到了广泛的关注。然而, 将网络引入控制系统中将会带来诸如:丢包、时延等挑战, 这些负面影响将会严重影响系统性能, 因此研究具有丢包和时延的网络控制系统具有重要的意义。

现有文献大都针对具有丢包和时延的网络控制系统状态输出反馈进行了研究[1,2,3,4,5,6]。然而, 在现实世界中, 系统的状态并不是都能量测的。通过采用动态输出反馈控制, 可以获得受控系统的状态。由于动态输出反馈控制器较状态反馈控制具有一般新, 因此受到广泛的关注[7,8,9]。文献[10]研究了具有时变时延的不确定随机系统的全维动态输出反馈控制问题。针对连续时间和离散时间两种切换线性系统, 文献[11]研究了相应的动态输出反馈H∞控制问题。

基于现有文献分析, 对传感器到控制器信道存在时延和丢包, 控制器到执行器信道存在时延的连续时间网络控制系统, 考虑量测输出的非均匀分布特性并引入线性估计方法估计量测输出, 该文研究了相应的动态输出反馈控制器设计问题。

2 问题描述

考虑如下连续时间动态输出反馈网络控制系统

其中, x (t) ∈Rn, u (t) ∈Rp, y (t) ∈Rq, z (t) ∈Rm和ω (t) ∈Rr分别为状态向量、控制输入、量测输出、被控输出和外部扰动, 且ω (t) ∈L2[t0, ∞) ;A, B1, B2, C1, C2, D为具有适当维数的已知定常矩阵。

动态输出反馈控制器为

其中, xc (t) ∈Rn为控制器状态向量, Ac, Bc, Cc为待求实矩阵。

对t∈[tk+τk, tk+1+τk+1) , 针对传感器到控制器信道存在时延和丢包, 控制器到执行器信道存在时延的连续时间网络控制系统, 考虑量测输出到达时刻的非均匀分布特性, 同时引入基于线性估计的量测输出估计方法, 我们可以建立如下增广闭环系统

其中

3 动态输出反馈控制器设计

考虑传感器到控制器信道上的时延和丢包, 控制器到执行器信道上的时延, 本小节给出了闭环系统 (4) 的动态输出反馈控制器的设计问题。

定理给定的正标量ε1, ε2, h, δ, τm, τM, γ, 及标量λˉ∈[0, 1], 若存在对称正定矩阵X, Y, 及矩阵Â, B̂, Ĉ, 使得如下矩阵不等式成立

其中

则 (4) 所示的闭环系统为均方渐近稳定, 且有H∞范数界γ。动态输出反馈控制器 (2) 的参数为

其中S和W为非奇异矩阵且满足SWT=I-XY。

4 数值例子

考虑如下开环不稳定网络控制系统

假定τm=0.05, τM=0.05, h=0.1, ε1=2, ε2=0.6, δ=2, , 相应地, 我们可以得到η=0.55。应用定理给出的控制器设计方法, 可得到系统 (4) 的H∞范数界γ=0.8122。同时, 我们还可得到动态输出反馈控制器增益为

假定系统 (4) 的初始状态为ξ0=[0.2-0.2-0.5 0.3]T, 外部扰动为

传感器到控制器信道上的区间时变时延d (t) 及控制器到执行器信道上的区间时变时延τ (t) 的曲线分别如图1和图2所示。系统的状态响应曲线和被控输出曲线如图3所示, 由图3我们不难验证本文所提出的动态输出反馈控制器设计方法的有效性。

5 结论

针对传感器到控制器信道存在时延和丢包, 控制器到执行器信道存在时延的网络控制系统, 考虑量测输出到达时刻的非均匀分布特性, 并引入线性估计方法, 建立了基于动态输出反馈控制的网络控制系统模型。基于该系统模型, 给出了动态输出反馈控制器设计方法。通过数值例子验证了本文提出方法的有效性。

摘要：考虑传感器到控制器信道上的丢包和时延以及控制器到执行器信道上的时延, 该文研究了连续时间网络控制系统动态输出反馈控制问题。通过考虑量测输出到达时刻的非均匀分布特性并引入线性估计方法估计量测输出, 建立了新的网络控制系统模型。基于新建模型, 给出了动态输出反馈控制器设计准则。最后通过数值例子验证了该文提出了控制器设计方法的有效性。

关键词：网络控制系统,动态输出反馈,线性估计方法,丢包,时延

参考文献

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输出反馈篇4

基于无线传感器网络实现的网络控制系统由于在理论和实践两方面具有重要意义, 受到学者和企业广泛关注[1,2]。一类基于无线传感器网络实现的网络控制系统, 如图1所示。

s (t) —设定值;u (k) —控制信号;d1—控制器-执行器之间的网络延时;d2—传感器-控制器之间的网络延时;y (k) —输出反馈信号

在图1所示网络控制系统中, 由于路由改变引起的跳数改变是网络传输延时发生变化的主要来源[3]。网络延时在一定程度上会降低系统的性能, 甚至使闭环系统不稳定[4];如何准确描述具有可变延时的网络控制系统动态并据此设计相应的稳定化控制器, 对于无线传感器网络和网络控制系统的深入研究和工程应用十分重要。

针对图1所示无线网络控制系统, 文献[5]分析了控制系统的特点, 但是, 没有考虑可变延时对控制系统性能的影响, 也没有给出具体的控制器设计方法;文献[6]针对通过点对点无线通讯连接实现的闭环控制系统, 提出了一种LQR输出反馈控制器, 然而, 由于其考虑的点对点无线连接不是真正意义上的网络, 其结果不具有一般性;文献[7]分析了一种采用无线传感器网络实现的无线网络控制系统, 并给出了一种根据数据包传输过程中的转发次数 (或跳数) 进行控制器增益调整的调度算法, 由于软件模拟工具的局限性, 所推导调度算法的一般性和有效性仍需要进一步评估。

本研究论述上述无线网络控制系统的稳定化控制器设计问题。

1 模型定义及稳定性分析

针对如图1所示无线网络控制系统, 为了简化分析且不失一般性, 假设传感器与控制器之间采用无线传感器网络连接, 数据包在无线网络上传输产生延时, 延时大小主要依赖于传输过程中的跳数L, L与网络延时之间的统计关系已知;控制器和执行器之间采用有线电缆连接, 数据传输延时忽略不计。

考虑如下离散时间线性动态方程描述的无线网络控制系统:

式中 x (k) , u (k) —系统的状态向量和控制向量, x (k) ∈Rn, u (k) ∈Rm;y (k) —系统的输出向量, y (k) ∈Rl;A, B, C—适当维数的实常数系数矩阵。

针对式 (1) 的网络控制系统, 考虑如下LQR输出反馈控制器设计问题, 即假设存在控制器:

使得如下性能指标最小化:

$J = \min_{Κ} \sum_{i = 0}^{\infty} [y^{Τ} (i) R y (i) + u^{Τ} (i) Q u (i)] e^{σ i} (3)$

式中, σ≥1。由线性控制系统理论可知, 如果满足约束条件的控制器存在, 则式 (1) 和式 (2) 所构成闭环系统的极点将位于半径为 $\frac{1}{σ}$ 的圆盘内。

联立式 (1) 和 (2) , 则应用到被控对象的控制命令具有如下形式:

式中 rs (k) —闭环网络控制系统中的时变延时;通过对无线传感器网络的分析[8]可知, rs (k) 是一个有界的整数序列, 即rs (k) ∈{0, 1, …, h}, h是网络延时的上界。

利用增广向量法, 考虑所有可能的延时, 得到如下增广状态向量:

$\bar{x} (k) = [x^{Τ} (k) x^{Τ} (k - 1) \dots x^{Τ} (k - h)]^{Τ} (5)$

在任意时刻k, 利用增广状态向量描述的开环控制系统为:

$\begin{array}{l} \bar{x} (k + 1) = \bar{A} \bar{x} (k) + \bar{B} u (k) \\ y (k) = \bar{C}_{r_{s}} (k) \bar{x} (k) (6) \end{array}$

式中, , 表示除了第rs (k) 维外, 其他元素为0。

将式 (4) 代入式 (6) , 可得到如下闭环控制系统:

$\begin{array}{l} \bar{x} (k + 1) = (\bar{A} + \bar{B} Κ \bar{C}_{r_{s}} (k)) \bar{x} (k) \\ y (k) = \bar{C}_{r_{s}} (k) \bar{x} (k) (7) \end{array}$

注意到rs (k) 是时变的, 由文献[9]可知, 闭环控制系统 (7) 可看作一个切换控制系统, 系数矩阵 $\bar{A} + \bar{B} Κ \bar{C}_{r_{s}} (k)$ 根据网络延时的变化, 在h+1个工作点之间进行切换。

这样, 闭环控制系统 (7) 的整定问题就转化为切换系统 (8) 的整定问题:

$\bar{x} (k + 1) = A_{i} \bar{x} (k) (8)$

式中, $A_{i} = \bar{A} + \bar{B} Κ \bar{C}_{r_{s}} (k)$ ;i=0, …, h。

在任意采样时刻k, 假设由跳数L所产生的延时rs (k) 是可测的, 则系统 (8) 的切换顺序是已知的, 因此, 系统 (8) 能被进一步描述为如下形式:

$x (k + 1) = \sum_{i = 0}^{h} ξ_{i} (k) A_{i} x (k) (9)$

其中, ξi (k) =[ξ0 (k) … ξh (k) ]T, 且工作点=Ai时, ξi=1, 否则, ξi=0。

定理如果存在h+1个正定对称矩阵Pi (i=0, …, h) , 使得如下线性矩阵不等式组:

$\begin{array}{l} [\begin{matrix} Ρ_{i} & A_{i}^{Τ} Ρ_{j} \\ Ρ_{j} A_{i} & Ρ_{j} \end{matrix}] > 0 \forall (i, j) \in Ι \times Ι \\ Ρ_{i} > 0 \forall i \in Ι \\ Ι = {0, 1, \dots, h} (10) \end{array}$

成立, 式 (9) 所描述的切换系统渐进稳定。

证明在定理条件下, 考虑式 (9) 所描述的切换系统, 定义如下的Lyapunov泛函:

$V (k, x (k)) = x^{Τ} (k) (\sum_{i = 0}^{h} ξ_{i} (k) Ρ_{i}) x (k)$

将式 (9) 代入泛函V (k, x (k) ) , 利用文献[10]中的相关结论, 即可证明泛函V (k, x (k) ) 沿系统 (9) 的任意运动轨迹的前向时间差分导数为负定, 由Lyapunov主稳定性定理可知, 闭环系统渐近稳定。

2 LQR输出反馈控制器设计

如果满足约束条件的输出反馈控制器存在, 则式 (1) 和式 (2) 所构成闭环系统的极点将位于半径为 $\frac{1}{σ (k)}$ 的圆盘区域内。由此可见, σ (k) 的取值大小决定了系统的稳定性域范围大小。另外, 由上述稳定性分析可知, 在保持系统闭环稳定的前提下, 系统的所有极点满足:

$| e i g (A + B Κ C) | \leq \frac{1}{σ (Κ)} (11)$

由式 (11) 可知, 如果σ (k) 选择较大的数值, 则稳定性域 $\frac{1}{σ (k)}$ 较小, 此时, 系统极点具有较小的幅度, 这意味着闭环系统具有较快的响应性。

考虑到不同的σ (k) 取值对系统响应的快速性、稳定性域等具有重要影响, 如果以σ (k) 的优化为目标, 则输出反馈控制器的设计可以转化为以下优化过程:

优化过程:

(1) 在任意采样时刻k, 计算跳数L;

(2) 根据跳数L, 设置此时的σ (L) =1, 并给定适当的权重矩阵R、Q;

(3) 利用式 (3) 计算控制器反馈增益K (L) , 并判断K (L) 是否满足式 (10) ;

(4) 如果式 (10) 不成立, 则对于给定的R、Q和σ (L) , 方程无解, 此时, 需要重新选择权重矩阵R、Q或改变σ (L) ;并重复上述步骤;

(5) 如果式 (10) 成立, 则改变σ (L) 的取值, 并重复上述步骤, 直到取得满意的性能指标为止。

求解上述优化过程, 所得到的控制器是满足一定的稳定性、快速性等性能指标的稳定化控制器。

3 实验分析

笔者使用基于无线传感器网络的电机电流控制实验平台[11], 来验证所提出控制算法的有效性。所使用的实验装置, 如图2所示。

整个实验装置由20个节点组成, 分布在一座平面面积约3 000 m2的实验楼中, 每个节点的信号传输距离约25 m, 所有节点组成一个基于IEEE 802.15.4/Zigbee协议的无线传感器网络;其中, 传感器节点通过底座与电机驱动电路连接, 控制器节点通过底座接口与主控制器连接, 传感器节点与控制器节点分布在不同楼层中, 相距500 m, 控制信号通过有线电缆传输, 采样信号通过无线网络传输;采样时间、节点间时间同步、数据记录等设置同文献[11]。

考虑实验装置的硬件特性, 经过Matlab仿真和实验分析, 得到如下控制模型:

$x (k + 1) = [\begin{matrix} 1.825 & - 1.104 & 0.223 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}] x (k) + [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] u (k) (12)$

y (k) =[0.001 43 0.004 0.007]x (k) (13)

取Q=R=1, σ=1/0.85, 最小化式 (3) , 可计算得到如下控制器增益:

K∈{-1.192 7 -1.443 9 -1.722 5} (14)

当K=-1.192 7, K=-1.443 9和K=-1.722 5时, 通过计算对应系数矩阵 $\bar{A} + \bar{B} Κ \bar{C}_{r_{s}} (k)$ 的最大特征根, 可得到在保持系统闭环稳定的情况下, 系统最大容许的网络延时分别为6T、5T和3T。

通过在TrueTime网络模拟器[12]中的大量仿真和具体装置上的网络实验, 数据包传输时经历的跳数L与对应网络延时之间的关系, 如表1所示。

由表1可知, 当0≤L≤2时, 网络延时为0～3个采样周期, 取K=-1.722 5, 则系数矩阵 $\bar{A} + \bar{B} Κ \bar{C}_{r_{s}} (k)$ 的最大特征根小于1;类似地, 当3≤L≤6时, 取K=-1.443 9;当7≤L≤10时, 取K=-1.192 7。此时, 系统 (12) 、 (13) 可转化为式 (7) 所描述的切换控制系统, 由线性矩阵不等式 (10) 和前面分析可知, 对应的切换控制器为:

${\begin{cases} Κ_{1} = - 1.722 5, r_{s} = 0, 1, 2, 3, 0 \leq L \leq 2 \\ Κ_{2} = - 1.443 9, r_{s} = 1, 2, 3, 4, 5, 3 \leq L \leq 6 \\ Κ_{3} = - 1.192 7, r_{s} = 4, 5, 6, 7 \leq L \leq 10 \end{cases} (15)$

在切换控制器 (15) 作用下, 设定电流为800 mA时, 电机电流变化曲线, 如图3所示;网络延时的变化曲线, 如图4所示。

从图3可以看到, 在切换控制器的作用下, 电机相电流能够跟随设定电流值的变化, 并且使误差渐进收敛到零, 从而验证了所提出控制算法的有效性。从图4可以看到, 实验装置中采用的无线传感器网络为传感器—控制器之间的数据传输引入了随机网络延时。

需要注意的是, 从图3所示曲线中可以看到, 整个系统的调节时间较长, 超调量较大, 在到达稳态值以后, 仍然存在轻微的振荡现象, 这是因为所提出的控制器本身会随着数据包的延时时间进行切换, 这种切换带来了控制器工作点的切换, 造成了电流值的振荡;另外, 由于存在控制模型的不精确、使用了较长的采样周期等因素, 系统的性能受到影响。

4 结束语

针对一类基于无线传感器网络实现的闭环控制系统, 考虑多跳通讯对闭环网络控制系统的影响, 本研究提出了一种基于客户机—服务器模型的LQR输出反馈控制策略, 通过增广向量法并利用相关文献的结论, 将闭环系统转化为一个切换控制系统, 利用Lyapunov稳定性定理和线性矩阵不等式等工具得到了闭环系统稳定性条件。在此基础上, 将LQR输出反馈控制器设计问题转化为优化问题, 给出了优化过程的执行步骤。最后, 将该算法应用到基于无线传感器网络的实验系统中。实验结果表明:在可变延时存在的情况下, 所提出的控制策略能够使控制系统保持稳定。

参考文献

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输出反馈篇5

负虚系统是一类满足负虚频率响应条件的Lyapunov稳定系统:对于ω∈ (0, ∞) , j[G (jω) -G^* (jω) ]≥0。负虚系统广泛存在于工程领域中, 例如, 配置有力制动器和位置传感器的轻阻尼柔性结构[[1,2,3,4,5,6]、柔性机械臂[[7]、纳米级定位系统[[8]和RLC电路网络[9]等。自从2008年Lanzon等人首次提出负虚系统的概念[[1], 负虚系统理论就受到了广泛的关注。后续学者对负虚系统的定义做了一系列的修正和推广[[2,7], 广义负虚系统[[9]、α-和D-负虚系统[[6]也得到了深入的研究。

在工程系统中, 参数不确定性是比较常见的, 给控制器综合带来了挑战。其中, 一类重要的不确定系统满足严格负虚性质, 例如轻阻尼结构中的未建模溢出动态[[1]。互联负虚系统的内稳定结果给这类不确定系统的稳定性分析和控制器综合提供了理论依据[[1,2]。考虑图1所示的线性分式变换结构, G (s) 是受控对象, Δ (s) 为严格负虚不确定项, 设计反馈控制器使得闭环系统Gcl (s) 满足负虚性质, 如果闭环系统Gcl (s) 和Δ (s) 正反馈互联结构的直流环路增益严格小于1, 那么该闭环不确定系统是鲁棒稳定的。基于状态反馈的负虚控制器设计问题得到了广大学者的深入研究[[3,4,5,6,8]。

已有的状态反馈负虚控制器综合问题的研究结果依赖于全状态变量可测假设, 而在工程应用中, 全状态信息通常无法得到保证, 状态反馈的这个缺陷启发了本文对输出反馈负虚控制器综合问题的研究。在控制系统设计中, 鲁棒稳定性只是最基本的要求, 同时还要考虑系统的控制性能, 如H∞性能。

本文研究了线性系统的输出反馈负虚H∞控制器综合问题, 所设计的静态输出反馈控制器保证闭环系统满足负虚性质, 同时满足给定的H∞性能指标。文章给出了控制器设计的两个充分条件, 通过选取合适的相似变换矩阵, 证明了这两个充分条件的等价性。通过介绍一种右逆矩阵选择算法, 解决了输出反馈负虚H∞控制器设计条件的可解性问题。最后, 给出了一个Matlab数值仿真算例来验证所提出的控制器设计方法的有效性。

符号:文章使用了标准的数学符号, A>0表示对称正定矩阵, A+表示矩阵A的Morre-Penrose广义逆,  (A) 表示矩阵A的最大特征值, Ker (A) 表示矩阵A的零空间, *表示对称矩阵中对称项的缩写, sym (A) 表示A+AT。

1 问题描述

考虑线性时不变系统

其中, x∈Rn是状态向量, w∈Rm是干扰信号, 并且满足是控制输入, z∈Rm是控制输出, y∈Rq是测量输出。不失一般性, 假设C2是行满秩矩阵, D=DT。

对系统 (1) 设计静态输出反馈控制器

得到闭环系统

其中从w到z的闭环传递函数为

静态输出反馈负虚H∞控制器综合问题可以被描述为:

问题1:对于一个给定的H∞性能指标γ>0, 设计静态输出反馈控制器 (2) , 使得闭环系统 (3) 满足

1) Gcl (s) 是负虚系统;

2) Gcl (s) 渐近稳定, 并且满足

下面介绍文章用到的两个引理:

引理1[[5]:假设 (A, B, C, D) 是m×m维实有理正则传递函数矩阵G (s) 的一个状态空间实现。那么, G (s) 是负虚系统当且仅当

1) det (A) ≠0, D=DT;

2) 存在矩阵Y>0满足

AY+YAT≤0, B+AYCT=0.

引理2[[10]:假设C2∈Rq×n是一个行满秩矩阵, 矩阵Q∈Rn× (n-q) 的列向量是C2零空间Ker (C2) 的一组基。对于一个给定的n×n维对称矩阵Yˆ, 下面两个条件是等价的:

2) 是一个对称矩阵。

另外, 如条件1) 成立, 那么条件2) 也成立, 其中

2 静态输出反馈负虚H∞控制器综合

本节给出了静态输出反馈负虚H∞控制器综合问题的两个充分条件, 并介绍了一种右逆矩阵选择算法来计算输出反馈增益矩阵。

定理1:考虑线性时不变系统 (1) 和静态输出反馈控制器 (2) 。矩阵的列向量是C2零空间Ker (C2) 的一组基, R∈Rn×q是C2的右逆。对于一个给定的H∞性能指标γ>0, 如果存在矩阵

那么, 存在一个静态输出反馈增益矩阵F=XRYR-1使得闭环系统 (3) 是负虚系统, 同时满足H∞性能指标

证明:已知C2Q=0, C2R=I, 易得矩阵[ (R Q) ]非奇异。定义矩阵变量:

式 (7) 可写成

由YQ>0, YR>0可以得到Y>0。考虑式 (7) 、 (8) 所定义的变量代换, 式 (5) 、 (6) 可写为

对式 (7) 左乘矩阵C2可得

已知YR非奇异, 由式 (8) 可得

将式 (11) 代入到式 (9) 、 (10) 可得

矩阵F=XRYR-1为静态输出反馈增益矩阵, 上述不等式和等式可写为

根据有界实引理, 由式 (12) 成立可得, 闭环系统 (3) 是渐近稳定的, 同时满足H∞性能指标ǁGcl (s) ǁ∞<γ。

由不等式 (12) 可得det (A+B2FC2) ≠0,

根据引理1, 由式 (13) 、 (14) 成立可得闭环系统 (3) 是负虚系统。证毕。

定理1中的充分条件包含一个线性矩阵不等式 (LMI) 和一个线性矩阵等式, 在数值上是比较难解的。下面介绍一种方法来解决线性等式 (6) 的可解性问题。

定义, β≥0为一标量, 考虑矩阵不等式:

根据非严格Schur补引理, 可得 (15) 等价于

解线性矩阵不等式 (5) 和线性矩阵等式 (6) 的问题就可以转化为寻找下述优化问题最优解的问题:

如果最优解β充分小, 那么Φ (YQ, YR, XR) ≈0, 可以认为得到的解是满足条件 (5) 和 (6) 的。

注1:令β为一个充分小的、正的标量, 可以通过求解下述LMI优化问题, 得到最优的静态输出反馈负虚H∞控制器:

定理1中的矩阵R是C2的一个右逆, 其值并不唯一。矩阵R可分解成

其中, 矩阵是任意实数矩阵。矩阵L的取值会影响到LMI优化问题 (18) 的可解性, 下面介绍一种右逆矩阵选取算法, 解决优化问题 (18) 的Matlab数值求解问题。

算法1:1) 令β为一个充分小的、正的标量, 解下述LMI优化问题:

最优解为, 最优的状态反馈负虚H∞控制增益矩阵为。

2) 取C2零空间Ker (C2) 的一组基作为矩阵Q的列向量, 通过下式计算矩阵L

再通过式 (19) 计算矩阵R。

3) 根据矩阵Q、R和一个充分小的、正的标量β, 解LMI优化问题 (18) , 得到最优解为, 最优的静态输出反馈负虚H∞控制增益矩阵为

注2:式 (19) 和 (21) 给出了右逆矩阵R的一个选取策略, 其具体细节可参考文献[[11]。

基于约束Lyapunov问题, 下述定理给出负虚H∞控制器综合的第二个充分条件。

定理2:考虑线性时不变系统 (1) 和静态输出反馈控制器 (2) 。T∈Rn×n是一个对称正定矩阵, 对于一个给定的H∞性能指标γ>0, 如果存在矩阵Y∈Rn×n, Y>0, M∈Rq×q, N∈Rp×q满足

那么, 存在一个静态输出反馈增益矩阵F=NM-1使得闭环系统 (3) 是负虚系统, 同时满足H∞性能指标

证明:已知T为一对称正定矩阵, 那么存在一个非奇异矩阵T0∈Rn×n满足

对式 (22) 分别左乘对角块矩阵右乘该对角块矩阵的对称项, 可得

对式 (23) 左乘T0-1可得

对式 (24) 右乘T0-T可得

将式 (25) 代入式 (26) 、 (27) 和 (28) 可得:

已知C2行满秩, T0非奇异, 可得也是行满秩矩阵。而且, 由和Y>0可得。综上, 由式 (31) 可得, 矩阵M是非奇异矩阵。对式 (31) 左乘矩阵M-1可得

将式 (32) 带入式 (29) 、 (30) 可得

后面的证明过程与定理1类似, 易得存在一个静态输出反馈增益矩阵F=NM-1使得闭环系统

是负虚系统, 同时满足H∞性能指标

通过相似变换x=T0, 可将闭环系统 (33) 转化为闭环系统 (3) 。实际上, 这两个闭环系统是传递函数 (4) 的两个不同的状态空间实现, 即Gcl (s) =Gcl (s) 。相似变换不改变系统的负虚性质和H∞性能, 故闭环系统 (3) 也是负虚系统, 同时满足H∞性能指标证毕。

推论1:对于给定的矩阵T=RRT+QQT, 定理1中的充分条件与定理2中的充分条件是等价的。

证明: (⇒) 假设存在矩阵Y>0、M和N使得式 (22) 、 (23) 和 (24) 成立。将T=RRT+QQT代入式 (22) 、 (23) 和 (24) 可得

对式 (36) 左乘C2T, 可得M=C2YC2T。已知Y>0, C2行满秩, 可得M>0。令, 可以推出

已知是一个对称矩阵, 由引理2可知, 存在一个对称矩阵也就是说

已知矩阵非奇异, 由Y>0可以推出YR>0。

令XR=N, 由式 (34) 、 (35) 和 (37) 成立可以推出存在上述定义矩阵YQ>0、YR>0和XR使得式 (5) 、 (6) 成立。

假设存在矩阵YQ>0、YR>0和XR使得式 (5) 、 (6) 成立。令N=XR和

可得式 (34) 、 (35) 成立。对式 (38) 左乘矩阵C2, 并令M=YR, 可得

即式 (36) 成立。将C2T=C2 (RRT+QQT) =RT代入式 (34) 、 (35) 和 (36) 可得, 存在矩阵Y>0、M和N使得式 (22) 、 (23) 和 (24) 成立。

3 数值仿真

本节将给出一个Matlab数值仿真算例来验证文章所提出的静态输出反馈负虚H∞控制器设计方法的有效性。

例1:考虑图2所示的轻阻尼柔性结构, 其中, f是作用在质量块m1上的力, y1和y2分别表示两个质量块的位移。假设参数m1、m2、k1、d1、k2和d2已知, k3≥0和d3>0不确定。

通过牛顿第二定律, 可以得到柔性结构的动力学方程:

定义, 分别对式 (40) 和 (41) 进行拉氏变换可得

从f (s) 到y2 (s) 的传递函数的方框图模型如图3所示:

为设计如图1所示的负虚控制器, 可将不确定项这样, 图3所示的不确定系统就可以转化为如图4所示的形式, 其中为确定项, 是不确定项, 对于任意不确定参数k3≥0和d3>0, ∆ (s) 是严格负虚的, 并且满足∆ (∞) =0。这样就可以设计负虚控制器鲁棒镇定严格负虚不确定项∆ (s) , 取测量输出为, 闭环系统的方框图模型如图4所示, 其中F是静态输出反馈增益矩阵。

取状态变量为不确定系统的状态空间实现如下所示:

其中和分别是和的拉氏变换。ˆˆˆˆ

取m1=m2=1kg, k1=0N/m, d1=0.4Ns/m, k5=5N/m, d2=5Ns/m。利用算法1设计最优的静态输出反馈负虚H∞控制器, 其中的LMI优化问题可以通过Matlab中的YALMIP和Se Du Mi工具箱求解。

令β=10-10, 解LMI优化问题 (20) 可得

最优状态反馈增益矩阵为

对应闭环系统H∞范数为γK=1.3783。

取分别通过式 (21) 、 (19) 计算矩阵L、R:

解LMI优化问题 (18) 可得

最优的静态输出反馈增益矩阵为, 对应闭环系统H∞范数为γF=1.3805, 闭环传递函数 (4) 的伯德图如图5所示。

由图5可知, 当频率ω∈ (0, ∞) 时, 闭环系统Gcl (s) 的相角滞后在 (0, -π) 之间, 因此, 由静态输出反馈F得到的闭环系统Gcl (s) 是负虚系统。而且, Gcl (s) 的H∞范数γF与由状态反馈得到的闭环系统的H∞范数γK相差不到1%。

已知∆ (s) 为严格负虚不确定项, Gcl (s) 为负虚系统, ∆ (0) =1, Gcl (0) =0.9992, 显然直流环路增益条件λ (Gcl (0) ∆ (0) ) <1成立。由负虚系统正反馈互联结构的内稳定结果[[1,2]可知, 图4所示的闭环不确定系统是鲁棒稳定的。

4 总结

本文研究了静态输出反馈负虚H∞控制器综合问题, 给出了控制器设计的两个充分条件, 并介绍了一种右逆矩阵选择算法来计算反馈增益矩阵。文章所提出的控制器设计方法可以用来设计分散控制器、动态输出反馈控制器、H2控制器和混合H2/H∞控制器。未来将进一步研究离散时间负虚系统、广义负虚系统的控制器综合问题。

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输出反馈篇6

将传感器、控制器、执行器等通过实时网络构成的闭环反馈控制系统称为网络控制系统 (Networked Control System, NCS) 。若NCS中被控对象有多个输入量和输出量, 则称之为多输入多输出网络控制系统 (Multi-input and Multi-output Networked Control System, MIMONCS) , 如图1所示。

对比传统的点对点互连的控制系统, NCS具有安装简便、易于扩展和维护等优点。但同时网络也带来数据传输的时延等问题, 会给系统稳定性造成影响。

国内外学者研究得出的MIMONCS稳定条件, 一般是时滞相关的。我们知道, 控制系统中网络时延很难准确地测得, 尤其是Internet网络时延数据的统计规律都难以获得。目前, 基于Internet的远程网络控制系统很常见, 时滞相关的稳定条件有其实际应用的局限性。

本文研究建立输出反馈MIMONCS的数学模型, 并推导出时滞独立的鲁棒稳定条件。

1输出反馈MIMONCS的数学模型

假设被控对象为线性定常连续时间

系统, 由以下状态空间方程描述:

其中, xp (t) ∈Rnp, up (t) ∈Rm, yp (t) ∈Rr分别是被控对象状态向量、输入向量和输出向量。Ap为np×np矩阵, Bp为np×m矩阵, Cp为r×np矩阵。

为研究方便, 控制器Gc仍用线性时不变连续时间状态方程来描述:

其中, xc (t) ∈Rnc, uc (t) ∈Rr, yc (t) ∈Rm分别是控制器的状态向量、输入向量和输出向量。Ac为nc×nc矩阵, Bc为nc×r矩阵, Cc为m×nc矩阵, Dc为m×r矩阵。τc为控制算法在计算机内的计算时间。

由图1的信号关系, 可知:

其中, τcaj和τSCj分别为控制器Gc的输出ycj (t) j=1, 2, …, m经网络传输后作为执行器的输入upj (t) 的网络延迟和传感器的测量值ypj (t) , j=1, 2, …, r经过网络传输给控制器作为其输入ucj (t) 的网络传输延迟。令

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则,

根据式 (3) 并利用 (1) 和 (2) , 则:

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将式 (5) 代入式 (1) 的状态方程得到:

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同理, 将式 (4) 代入式 (2) 的状态方程得到:

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取

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作为网络控制系统的广义状态空间向量, 则有:

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其中,

为讨论方便, 令:

N=m+r+mr;Ar+j=Bj, j=1, 2, …, m;Am+j·r+i=Cji, j=1, 2, …, m, i=1, 2, …, r;τj=τscj, j=1, 2, …, r;τr+j=τcaj+τc, j=1, 2, …, m;τm+j·r+i=τcaj+τscj+τc, j=1, 2, …, m, i=1, 2, …r。

则, 输出反馈MIMONCS的状态方程为:

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2输出反馈MIMONCS的稳定性分析

我们总可以将系统 (7) 中的定常矩阵Aj分别分解为两个适当维数的矩阵之积, 即存在适当维数矩阵Pj和Qj使Aj=PjQj。

构造Lyapunov泛函:

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式中, λ为一大于零的标量, W为一对称正定矩阵。

V (x) 沿系统 (7) 的解, 对时间的求导数:

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而根据引理7.1有:

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故

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若undefined, 则

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系统稳定。所以系统稳定的条件可以描述为:

如果存在标量λ>0和对称正定矩阵使下列Riccati不等式方程成立:

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3数值算例

考虑一个双输入双输出连续时间线性时不变系统, 被控对象的数学模型为:

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利用输出反馈极点配置法, 可以推导该系统控制器的数学模型:

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假设两个传感器通过网络采用单包传输信号到控制器, 控制器也采用单包传输信号到两个执行器。采用输出反馈, 由图1信号关系可知:

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式中, τ=τca+τc+τ+sc。

这样, 闭环网络控制系统状态方程为:

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取W=I, P=I, Q=BpDcCp, λ=1, 则

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所以系统稳定。

4结束语

输出反馈篇7

在有限反馈信道状态信息 ( CSI) 研究中, 文献[3]提出, 只有同时反馈CDI和CQI, 系统才能同时获得复用增益和多用户分集。文献[4]利用和容量最大化, 得到信道增益门限, 但机会调度情况下无法把握用户等待时间。文献[5]利用累计分布函数选取最佳阈值, 表现出高的和速率。

为了降低计算复杂度, 提高系统运行效率。本文在保证较高系统和速率基础上, 提出了一种新的基于门限优化的用户选择与预编码方案。称之为次优门限预编码方案。

1 系统模型

考虑一个多用户MIMO系统, 基站配有Mt根天线, 共有K个单根天线用户, K ≥ Mt。K个用户经历瑞利块衰落信道。则用户i的发射信号:

式 ( 1) 中: ni表示用户i的加性高斯白噪声;是信道增益矢量; x为基站发射信号, 且信道输入满足E{ ‖x‖2} < P。

应用信道分解是信道幅度的平方, 是信道方向信息 (CDI) 。用户i根据 (2) 量化, 码本大小为N=2B。

式 (2) 中, B是量化位数, 是单位规范向量, ci={ci, 1, …, ci, N}为预先设定码本, ci, j是用户i的第j个Mt维单位范数矢量。在有限速率反馈系统, 每个用户反馈序号给基站, 而不是的全部信息。

2 次优门限的有限反馈预编码

2. 1 阈值的选取

为了进一步降低文献[5]中计算最优阈值的复杂度, 下面基于预先设定候选用户数思想进行次优求值。

基于每个用户的反馈位数, 基站与那些信道增益大于阈值 α 的用户通信。pi是用户i进行1 位反馈的概率

进行1 位反馈用户数的平均数量

因此, 通过满足E{ L} = L珔, 即可找到次优阈值α, L珔代表预先设定的用户数, Mr代表每用户配备的天线数, 则 ( 3) 可表示为

由于量化不完全 β 函数, 则有

由式 ( 4) 、式 ( 6) 有

已有大量文献表明 α 受L珔值的影响不大。文献[4]仿真表明, 基于最优化阈值方法的候选用户数量几乎是不变的。因此可根据[4]确定平均候选用户数。为了简便性, 可直接设定L珔= 2N ~ 3N。

2. 2 基于次优阈值的用户选择及预编码策略

本文基于次优阈值的反馈算法如下:

( 1) 首先根据系统要求, 确定总的反馈速率, 并根据文献[6]确定最优反馈用户数N, 再根据最优用户数由式 ( 7) 得到阈值 α。

(2) 当‖hi‖2>α, 进行1位反馈。设定Ii=1时反馈, Ii=0时不反馈, 且card{I|Ii=1}=L, 其中card{I|Ii=1}代表进行反馈的集合元素个数。从反馈候选用户中选出N个用户。

( 3) 基于用户相关性的用户选择算法, 用户子集选择过程如下:

①候选用户数为L, 则相关矩阵G为L × L, 其元素为gm, n, 代表用户m与用户n的相关程度, m, n ∈ { 1, …, L} 。令激活用户数为N, 则用户m与用户n的相关程度gm, n=| 〈Vm, Vn〉|2, Vi表示用户i对应的右奇异向量。

②对G的每行元素升序排列, 且对排序后的矩阵各行前N个元素相加最终得到Q= [q1, …, qL]T。则第一个用户序号S1表示为:

③当激活用户总数不超过Mt时, 利用式 ( 9) 寻找第i个用户 ( i ≤ 2) 的序号

当激活用户数大于Mt时算法结束。

以上算法中, 式 ( 9) 用来得到和其他用户相关系数最小的用户。S ( u) 代表已被选出的用户序号。

( 4) 应用ZFBF进行波束成形[6]。

3 仿真

在图1 中, 给出了在用户数不同的情况下, 次优阈值与最优反馈用户数之间的关系。图1 显示, 次优阈值随着系统用户数的增大而增大, 随着最优反馈用户数的增大而减小。

为了更好地对比不同时, 阈值与用户关系的变化。图2 取。由图可得与图1 类似的结论。

由图3 可以看出, 最优阈值方案下获得的候选用户数几乎是不变的, 而次优阈值获得的候选用户数由于是一个关于最优反馈用户数的比例函数, 所以其得到的候选用户数也是不变的。这里我们设定候选用户数L珔= 3N。可以看出, 当N=4 的情况下, 次优阈值方案获得的候选用户数略低于最优反馈方案, 当N=8、12、16 时, 次优阈值方案得到的候选用户数开始大于最优反馈方案。

图4 给出了理想反馈条件下, 不同方案的和速率性能。这里我们设定N = 4。由图可知, 基于最优阈值反馈的方案性能是最好的。基于次优阈值反馈方案的性能仅次之。且在用户数达到350 时, 二者差距进一步减小。这两种反馈方案均远远优于无阈值方案。

在图5 中, 当系统总上行反馈Z = 50 bits时, 对几种方案的性能进行仿真。可以得到, 次优反馈方案和速率略低于文献[4]的最优阈值方案, 但明显优于无阈值方案。当用户数K =300 时, 次优阈值方案与最优阈值的方案差距开始缩小。

当系统总的上行反馈量为Z = 100 bits时, 图6给出了几种方案的性能。可以得到与图5 类似的结论。

综合上述仿真实验可以得出, 基于阈值优化的系统性能明显优于无阈值的系统。基于次优阈值的系统性能略低于基于最优阈值的系统, 但计算更为简便。基于次优阈值的系统, 在降低函数的复杂度的前提下, 确保了达到较高的和速率性能。次优阈值方案, 基于最优用户数N, 确定预先设定用户数, 得到次优阈值。随着用户数的增加, 相应地提高阈值, 较为充分地利用了多用户分集, 大幅度降低了函数计算复杂度。

4 结论

在多用户MIMO反馈速率有限的系统中, 针对多用户分集与反馈速率相互制约问题, 提出次优阈值方案。根据阈值思想, 获得较简单的阈值求解方法。分析了多用户分集的次优阈值, 给出了基于次优阈值的反馈速率方案。在保证一定和速率的基础上, 降低了运算的复杂度, 仿真结果验证了方案的优良性能。

参考文献

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