结论认识

2024-06-10

结论认识（精选4篇）

结论认识篇1

《数学课程标准》强调:推理是数学的基本思维方式, 也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。教育心理学表明:在小学高年级阶段, 学生的思维正从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡, 在学生的学习活动过程中, 需要在一定的阶段适时提高, 加以抽象, 并及时加以归纳和概括, 否则就不能有效地发展逻辑思维能力。苏教版小学数学教材十分重视学生对数学学习过程的“经历”, 结论性语言的归纳呈现较少。这虽然有助于学生真正理解知识, 避免依赖记忆的现象发生, 但也会使部分学生掌握知识不扎实, 教师对教学目标的把握出现偏差, 忽视对学生归纳、概括能力的培养, 进而影响学生逻辑思维能力的发展。

一、小学数学课堂教学中结论归纳的意义

《数学课程标准》认为:“推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发, 凭借经验和直觉, 通过归纳和类比等推测出某些结果。在解决问题的过程中, 合情推理有助于探索解决问题的思路, 得出结论;演绎推理用于证明结论的可靠性。推理能力的发展应该贯穿在整个数学学习过程中。”在小学数学教学中要重视学生推理能力的培养, 演绎推理与合情推理同样重要, 归纳法不能代替演绎法, 同样演绎法也不能代替归纳法。

1.结论归纳有助于学生更好地掌握所学知识

在教学时, 我们经常会发现学生在学习过程中能够比较到位地理解所学知识, 但在具体运用时会出现一定的困难, 究其深层次原因, 还是学生对知识的掌握不到位。因此, 教师不能仅仅满足于学生表面上对所学内容的理解, 还应该重视组织学生对所学内容进行提升, 通过结论的归纳来帮助学生更加到位地理解所学的数学知识, 从而真正地掌握所学知识, 并应用知识解决生活中的实际问题。另外, 结论的归纳还可以帮助学有困难的学生更加有效地进行学习, 降低了他们的学习难度。

2.归纳推理有助于学生数学能力发展

归纳法是从特殊到一般, 优点是能体现众多事物的根本规律, 且能体现事物的共性;缺点是容易犯不完全归纳的毛病。而演绎法是从一般到特殊, 优点是由定义根本规律等出发一步步递推, 逻辑严密结论可靠, 且能体现事物的特性;缺点是缩小了范围, 使根本规律的作用得不到充分的展现, 演绎法教学能为学生打下扎实的基础, 但不利于创新。与演绎法教学相比, 尽管归纳法教学不重视系统地传授知识, 学生得到的知识相对不系统, 基础也相对不扎实, 但它能抓住一些重要问题引导展开探究, 并注重在得出结论后进行验证, 这种探究式教学, 非常有利于学生创新能力的培养。所以小学阶段的数学教学活动, 在注重演绎教学的同时也要关注通过归纳教学来培养学生的思维能力和创新能力。

3.合理处理信息、归纳推理是现代社会对人才的要求

归纳法是人类认识客观世界的一种重要思想方法, 人们对事物的认识, 总是从个别事物开始, 先认识一个个具体事物的属性, 然后才逐步认识一类事物的一般属性。而现在是一个知识爆炸的社会, 信息来源的途径广泛, 人们获得的信息量呈几何级地增长, 如何从繁多的信息中合理进行筛选, 进而进行归纳推理, 为我所用, 这是当代人必须具备的素质之一。而数学作为思维性的学科, 承担了从小培养学生归纳推理能力的任务。因此, 我们必须充分重视在小学数学教学的活动中组织学生经历归纳、推理的过程, 进而使学生逐步提高归纳、推理的能力, 以使学生今后更加顺利地适应社会的发展。

二、小学数学课堂教学中结论归纳的现存问题分析

从目前的小学数学课堂教学来看, 大多数的课堂都有结论归纳的环节, 但通过课堂观察不难发现, 无论在结论归纳的内容、过程、形式还是主体等方面, 都存在许多不当行为。

1.形式缺少必要的物化

教师们在对结论归纳的处理时, 普遍将结论的归纳停留在语言的表达上, 必要的板书没有到位。从课堂中对学生学习情况的观察来看, 在有板书呈现的课中, 学生普遍掌握得比较到位;而仅仅将结论的归纳停留在口头的课中, 虽然绝大多数的学生掌握得比较扎实, 但少数学习困难的学生学习情况令人担忧, 特别是在一些概念的理解中, 他们不能很好地把握本质。另外值得注意的是, 在公开课的教学中, 教师往往都有结论归纳的环节, 而且也能重视以恰当的形式呈现归纳的成果, 但在平时的教学中, 教师对结论归纳的重视程度不够, 这也说明了教师虽然有归纳的意识, 但还没有真正地转变为教师的教学行为。

2.过程缺少有序的渐进

归纳的最终结果是形成结论, 而在调查中, 可以发现绝大多数的结论归纳仅仅体现在最终的结论小结上, 而缺少了在学习过程中的逐步引领、逐步体会、逐步归纳, 使结论的归纳只有结果而没有过程。《数学课程标准》强调教学的目标是多元的, 包括“知识与技能”“过程与方法”“情感态度与价值观”, 因此只落实知识性目标而没有落实过程性目标的教学是不完整的。真正有效的结论归纳必然伴随着学生学习过程中逐步深入的体验。

3.内容缺少适当开放

从目前的小学数学课堂教学来看, 教师在结论归纳的过程中普遍比较重视对知识的归纳, 但很少把学习方法的归纳、数学思想的归纳纳入到结论归纳的范畴中。很多教师的课堂归纳只是就事论事, 不能很好地引导学生进行认知提升与思维升华。这种只重知识归纳忽视学法归纳的现象, 表明教师的观念还是停留在知识本位的误区上, 实现学生数学综合素质的提高依然没有得到充分的重视。

4.教材缺少正确解读

课改以来, 教材的编排较以往有了很大的改变, 如问题的呈现方式、学生的学法指导等, 其中减少了结论性的语言描述也是教材的一大特点, 其目的是为了防止学生的机械模仿与死记硬背。但教师在具体实施教学活动时, 片面地理解了教材的编写意图, 害怕被扣上教学越位的帽子, 往往不敢进行必要的小结与指导, 从而淡化了结论归纳的行为。这样教学的后果就是教师教得不到位, 学生学得不到位, 对知识的掌握不够扎实与深入, 相应的数学能力发展缺失。教材中淡化结论性的描述, 而增加以主题图为主要形式的思维过程的呈现, 并不意味着教学中不需要进行必要的结论归纳, 而是希望通过思维过程的展示, 使学生获得学习方法的指导, 从而加深学习过程的体验, 以更加牢固地掌握所学的知识。从这一点上来说, 教材的处理是对过去教学中重结论轻过程弊端的纠正, 而实际教学中教师则显得矫枉过正了。

三、小学数学课堂教学中结论归纳的基本策略

1.需要关注学生综合素养提高

学生素质的提高不仅体现在对知识的掌握上, 更应该在数学能力与数学思维上得到发展。《数学课程标准》指出:“课程内容不仅包括数学的结论, 也应包括数学结论的形成过程和数学思想方法。”结论的归纳不应该局限于知识型的目标, 也要包括过程性的学习目标, 还包括学习的方法、数学思想等。而且与知识的归纳相比, 学习方法的归纳、数学思想方法的渗透更有利于提高学生的数学综合素养。如果能够在学习过程中获得比知识和能力更加上位的思想方法的认识, 并在结论归纳的过程中作为归纳的重要内容引导学生加以体验, 那么学生的数学综合素养的提高就更易于实现了。

2.需要师生共同参与

结论归纳的主体不应只是教师, 更应体现学生的主体地位。在结论归纳的过程中, 学生无疑是归纳的主体, 教师应该给学生提供自主发表意见的机会, 引导学生在独立思考、同伴合作等基础上对所学的内容进行归纳。但是在强调学生主体的同时并不意味着放弃教师的指导作用, 相反地对教师提出了更高的要求, 教师应该根据学生学习的实际情况进行适度的参与和指导, 要求教师做到指导时既不越位, 又要到位。教师的指导具体到结论归纳中可以有以下几方面:一是学习的过程中, 有意识地引领学生在重点处多“停步驻足”, 加深体验, 这样可以帮助学生丰富表象经验, 从而有利于最终归纳出结论。二是在学生归纳有困难时, 教师的适时指导能使学生有“柳暗花明又一村”的收获。三是学生归纳不规范、不科学时, 教师的适时介入, 能够帮助学生得出正确的结论。如:“商不变的规律”在概括时, 很多学生都会说成“被除数和除数同时乘或除以相同的数, 商不变”, 而忽略了“0除外”这一限制。

3.需要遵循学生差异性

教学强调要因材施教, 在小学数学结论归纳过程中同样应该遵循这一原则, 使不同的学生在归纳过程中得到不同的发展, 得到良好的发展。在结论归纳的过程中, 部分学生可能在自我体验的基础上能够自主提炼出结论, 而在课堂教学中总还有一部分学生由于自身的基础、学习水平不够而无法及时、准确地归纳得出相应的结论。这时教师就应该关注学生的差异性:一是对不同的学生, 在结论归纳时要有不同的标准。学有困难的学生如果能够大致描述出结论已经是很可贵的了, 而对于学习能力比较强的学生, 则应该要求他们能够用比较规范的语言进行结论的描述, 并注意表达的逻辑性与语言的科学性。二是要发挥学生之间的互助作用, 可以是小组内的交流, 必要时教师还要对学有困难的学生进行单独指导。

4.需要过程与结论有效结合

如果在教学过程中学生缺少了深刻的过程体验, 这样的教学只能是灌输式教学, “重结果轻过程”是以往教学中存在的突出问题, 也是一种明显的教学弊端。随着新课程改革的大力推进, 广大教师普遍认识到不仅要注重教学的结果, 也要注重教学的过程, 主张学生在感知、概括、应用的基础上获取知识。但是在这一理念的实施过程中, 出现了前面所提的矫枉过正的现象, 即一些必要的概括、小结被省略了。从辩证唯物法的角度来看过程与结论是辩证统一的关系, 两者是不可分割的统一体, 任何过程都有结论, 任何结论也都离不开过程。对结论准确定位, 才能把握过程的方向, 缺失了过程的教学, 结论必然是机械和无生命力的, 缺失了结论的教学, 其过程必然是盲目和无发展意义的。《数学课程标准》强调“课程内容的组织要处理好过程与结果的关系”, 因此在教学活动中, 结论的归纳与学生的学习过程体验是密不可分的, 在教学过程中, 教师要善于促进学生思维的条理化, 不仅要在学习过程中通过归纳形成结论, 更应该注重在每个学习环节之后引导学生加以体会、反思、小结, 以使得结论的归纳在教学过程中逐渐凸显。

以板书的形式来呈现结论, 也可以有诸多的方式, 如:结语型、口诀型、表格式、结构式等。结语型的结论可以帮助学生形成规范的语言描述, 使学生从本质上把握所得到的结论, 体会到数学语言的严谨性。口诀型的结论可以帮助学生以最简洁的方式掌握所学的知识, 例如: 在四年级的认识平行中, 教师对学生画平行线的方法进行指导, 提炼出口诀“一合、二靠、三移”, 使学生比较直观地掌握了平行线的画法。表格式的结论可以帮助学生把所学的相关知识进行直观的对比, 加以区分, 使学习所得更加清晰。而在复习课中, 采用结构式可以在黑板上直观地建立单元知识之间的体系, 帮助学生建构知识之间的脉络, 完善认知结构。

结论认识篇2

结论是新课程教学的难点。课堂开放了、丰富了、多变了、复杂了之后，结论就可能出现无序状态。因而易使学生产生简单而片面的理解。假设就是教学中教师运用教学机智使“节外生枝”成为“锦上添花”，更有严重对峙的状况出现;没有假设就直接得出结论，往往时间一长，无意中扼杀了学生自由的天性，泯灭了学生智慧的火花。从而表现出思维的定势和封闭。让学生漫无边际地假设(假想)如天马行空，毫无根据的信口雌黄，教学中常常出现一假设就死(准备不充分而无从验证或材料不齐无法验证)。因此，有必要对课堂教学的假设和结论作些深入的思考。

一、假设和结论是对立统一的

假设和结论是对立的。任何假设都具有预设性、假定性、探索性、科学性和预见性。假设是化学教学的基本要求，教学是有目标、有计划的活动，教学过程(运行)也需要一定程序，并且因此表现出相对的封闭性、模式性和固定性。而人(学生)是不可限定的，教学不能限定人(学生)，教师只能引导人全面、自由、积极地发展，所以教学也应当是开放的，假设也应当是自由的、开放的、多样的和辐射的。假设主要关注的是教学过程的合理化流程，而结论则是假设的结果，设定的反证、知识体系的综合文本的概括，其主要关注的是教学过程的变化和生成。

假设和结论更是统一的。没有假设的“开放性、自由性、多样性和辐射性”的教学，就容易产生远离结论的文本;没有结论导向资源的教学，往往是中看不中用的，容易形成结论唯一性、片面性，失去了结论的深度和广度，而学生流失的则是活力、人文气息和创造精神。在化学教学中，我们应注意到初中九年级学生的知识基础、年龄特点、心理特征、思维特性等诸方面因素决定了知识结论的品质，决定了学生的学习过程中会出现一些相似的结论状态，它不会因为学生个体的不同(含性别不同)、环境的不同而有太大差异。例如，在学习“盐”时，由于受中文表达习惯等因素影响，在学生脑海中必然会产生：“我家里有，能食用，有咸味，白色晶体”等，学生在生活中已经存在“盐”的概念。诸如“水银就是银，干冰就是冰”这些与“生”(学生)俱来的结论通常不会以客观或主观的控制为转移。在教学中，教师只有通过适宜的情境，科学的启发和诱导，假设好这些与“生”俱来的结论，准备好相应的教学资源，教师心中有数，一一对应地期待结论，引领结论，验证假设后从中获得新的结论，更能获得从“旧结论—假设—验证—新结论”的教学过程给予我们兴趣和情感满足的最大需求。

可见，假设不仅是一种方法，还是一种结果，一种思想，假设与结果是对立统一的。即有效假设往往具有一定预见性、科学性，可检验性和推测性，而结论是由推断所得文本，是一种结果的概括，结论则体现出明显的时代性、地域性，更具有可塑性和发展性。

二、精彩的结论基于充分的假设

备课的过程就是假设的过程，在某种程度上，结论的质量依赖于假设的质量，教师备课的谋略不可能做到“丝毫不差”，但可以假设得细一点、全一点、精一点、巧一点，能动地为教学过程的多样性和不确定性假设出多种渠道，巧妙且有创造性的假设能与结论相得益彰，使课堂教学亮点闪烁，光彩照人。准确地说，精彩的结论基于充分的假设。那么，在化学教学中如何假设才有利于产生正确的结论呢?

1. 假设的基本环节

我们现行教学为班级授课制，学生不是工厂里生产出来“同一规格”的产品，每个学生都是有自己智力特点和不同发展方向的潜在人才，他们的天赋异彩纷呈。教学目标在于价值定位，则规定学生需要达到某一程度的终点。如果教学中采用假设的教学方法去达到目标，它的基本环节和主要步骤如下：

单元课题→收集资料→提出假设→推理判断→验证判断→得出结论→体现单元课题

2. 假设在化学教学中的运用

假设在化学教学中的运用还是比较常见的，下面从化学研究的学科特点例证如下：

(1)有关物质组成的假设———水的化学式的推断(表1)

(2)有关物质性质的假设———CO2的水溶液使石蕊变红色的推断(表2)

(3)有关物质变化的假设———化学反应中反应物和生成物质量之关系的推断(表3)

(4)有关物质应用的假设———化肥和农药使用的利弊推断(表4)

新课程强调从学生已有的生活经验出发，让学生用亲身经历成果来促进新的学习，获得新的知识。因此，我们应从假设到形成结论的全过程都作精巧的设计，教师把精力放在研读教材，研究学生上，继而进行教学内容的结构重组，使知识的逻辑与学生的认知规律相结合，让知识内容走近学生，让学生走进生活，更好地让学生产生知识结论。

三、化学教学中的假设带给我们的启示

在现实教学过程中，有偶发事件是必然的，化学科又是一门以实验性为基准的学科，实验教学往往受药品、仪器、条件、操作程序等诸方面因素变化而定的。因此，偶发事件不是化学教学中的意外，而是教学过程的常态和必然，只不过是它出现的规律不易把握，并且又没有固定的处理套路。所以教师应在教学设计上下功夫，课前精心准备，对有可能发生的一切都要做到心中有数。让教师在课堂中不断留意学生的变化与反应，捕捉偶发的教育契机与智慧火花，并对学生的反应作出相应的回应。教师在课堂中力求做到从假设到结论全流程让学生讨论，规律让学生发现，学法让学生总结，结论让学生评价后生成。

从构成假设的基本环节和假设的应用实例可以看出，每个环节都需要学生参与，都需要学生充分发挥积极性和主动性去亲身体验，都需要以科学事实和科学规律作基础，以实验为基准点去验证科学事实和科学规律，并把学习的视野从课堂中拓宽到课前课后。课前的积累，课中的碰撞，课后的拓展，把课内课外的全过程沟通起来。

怎样看待数学结论篇3

一、结论的准确性

笔者认为, 总结结论的首要前提是其准确性。作为教师, 有一定的研究精神是值得提倡的, 但自己总结出来的结论一定要检验其可行性和准确性, 如同研发出一种新药品一样, 首先要做实验得出其临床效果和毒副作用后方能投入批量生产救治患者。任何一个数学结论, 自己一定要反复验证、推敲、确认无误后, 才可使用。

案例1:人教版必修 (5) 第62页有这样一道题:

已知等比数列an的前n项和为Sn, 求证S7, S14-S7, S21-S14也成等比数列

笔者在听课时曾见过有老师讲完此题后给出如下结论:

若等比数列an的前n项和为Sn, 则Sn, S2n-Sn, S3n-S2n……, 也成等比

证明: (1) 若q=1, 则Sn=n, S2n-Sn=n, S3n-S2n=n……, 成立

(2) 若q≠1, 则Sn, S2n-Sn=qnSn, S3n-S2n=qn (S2n-Sn) 成立

看似严密无懈可击, 试问若:an= (-1) n, S2=0, S4-S2=0, S6-S4=0成等比吗?

举此一例, 此结论瞬时土崩瓦解, 类似这种错误的结论不是少数, 所以教师对待结论要谨慎, 防止误导学生。

二、结论的实用性

犹如现在普通家庭的购物理念一样, 买东西要实用。总结结论也要讲究此原则。实用的结论往往可以解决大问题, 不适用的也许成了记忆的累赘。

案例2:对勾函数在高中阶段出现的频率是很高的, 2010湖北高考试题压轴题就考察了有关对勾函数的结论。通常对勾函数指的是形如“”的函数, 我们在此基础上可以总结如下结论。

形如“”的两类函数, 我们形象地称为“姊妹”函数。

利用此结论解决含有此类函数的问题非常直观方便, 即非常实用。

案例3:求形如cn=an·bn (其中an等差, bn等比, q≠1) 的前n项和Sn, 一般用我们熟知的“错位相减”法求解, 笔者曾对其一般情况的公式推导了如下结论:

若:cn= (an+b) ·xcn+d (x≠1, 0) , 则其前n项和

此公式形式复杂且无规律, 作为教师钻研一下是可以的, 对于学生则非常不实用。若强行记忆无疑是增加学生的记忆负担。

三、结论的简洁性

既然是数学结论, 那么一定要简洁 (形式统一、对称等) 从而便于记忆, 便于掌握。

案例4:如图, 若SA, SB, SC两两互相垂直, SA=a, SB=b, SC=c, S到面ABC的距离为h, 三棱锥S-ABC外接球半径为R, 内切球半径为r, 笔者对此几何体推导出以下几组结论 (证明略) 。

2. S在ABC面的射影点为△ABC的垂心

4.S2△ABC=S2△SAB+S2△SAC+S2△SBC

以上结论应该是比较简洁了, 以结论5为例, 若写成则不是最简形式。

四、结论的重复性

所谓结论的重复性, 就是不要总结重复性的结论, 要突出共性。

案例5:笔者曾在某数学杂志上看到过如下的文章片段, 作者通过一道高考题推导出5组结论如下:

设等差数列an, bn的前n项和分别为Sn, Tn则:

笔者认为此5组结论均属于同一结论:若an为等差数列, Sn为其前n项和, 则:, 用此结论可以证明以上5组结论 (读者可证明) 。只需这样一个结论, 其上面5个结论就可很容易地得到, 何须如此大动干戈?因此数学结论要避免重复性, 不要人为地加重负担。

五、结论的根源性

任何数学结论都是利用现有的数学知识推导出来的, 所以数学结论一定要注重其根源, 须知道其推导原理和其涵盖的数学思想, 不要只记结论而忘掉了其本质和根源。

案例6:笔者曾写过“速求点关于特殊直线的对称点”一文, 其结论描述为:

若P (x0, y0) , P (x1, y1) 关于直线l:ax+by+c=0, 且a=b (即k1=±1) 对称,

则有:ax1+by0+c=0, ax0+by1+c=0

那么其推导原理又是什么呢?

求点P (x0, y0) 关于直线l:ax+by+c=0的对称点P (x1, y1) 的坐标, 解决此类问题的通法是解方程组:

这就是其根源, 还是用我们最常规的解法和思想。

六、结论的适用性

谈到结论的适用性, 是我们最拿不准的。数学结论必定不是课本上的定理, 做选择填空这类无需解题过程的题时可以应用, 那么解答题可以用吗?会扣分吗?笔者认为解答题还是不要滥用数学结论, 因为出题人的目的就是考察此问题的解题思路或推导原理。这个问题是笔者的个人见解, 具体要求还请相关专家给予解答。

一个有用的结论篇4

已知三角形的两边和其中一边的对角, 判断三角形解的个数问题是学生学习的一个难点.本文给出一个有用的结论, 可解该类问题, 仅供参考.

结论:在△ABC中, 给定A、B的正弦或余弦值, 则C有解 (即三角形存在) 的充要条件是cosA+cosB>0.

证明:1°必要性因为三角形存在, 所以A+B<π, 所以0<Α<π-B<π, 又因为函数y=cosx在区间 (0, π) 上为减函数, 所以cosA>cos (π-B) 即cosA>-cosB, 所以cosA+cosB>0.

2°充分性由1°反推即得.

例1 △AB C中, 三边分别为a、b、c, 此时内角分别为A、B、C, 下列条件下, 分别判断三角形解的个数.

(1) a=25, b=11, B=30°;

(2) a=15, b=10, A=60°;

$(3) b = 3, c = 2, \sin C = \frac{\sqrt{2}}{3} .$

解:由正弦定理

$(1) \frac{25}{s i n A} = \frac{11}{\sin 30 °} \Rightarrow \sin A = \frac{25}{22} > 1$ , 所以A不存在, 故符合条件的三角形不存在.

$\begin{array}{l} (2) \frac{15}{\sin 60 °} = \frac{10}{s i n B} \Rightarrow \sin B = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \cos B = \\ \pm \frac{\sqrt{6}}{3} . \end{array}$

当 $\cos B = \frac{\sqrt{6}}{3}$ 时, $\cos A + \cos B = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{3} > 0$ , 此时三角形存在一解;当 $\cos B = - \frac{\sqrt{6}}{3}$ 时, $\cos A + \cos B = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{6}}{3} < 0$ , 此时三角形无解, 故符合条件的三角形只有一个.

$(3) \frac{3}{s i n B} = \frac{2}{s i n C} \Rightarrow \sin B = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \cos B = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ , 由 $\sin C = \frac{\sqrt{2}}{3}$ 及 $c < b \Rightarrow \cos C = \frac{\sqrt{7}}{3}$ ;当 $\cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时, 显然cosB+cosC>0, 此时三角形存在一解;当 $\cos B = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时, $\cos B + \cos C = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{7}}{3} > 0$ , 此时三角形又存在一解.故符合条件的三角形有两个.

例2 △ABC中, $a = x, b = 2, B = \frac{π}{4}, (1)$ 若该三角形有两解, 求x的范围; (2) 若该三角形只有一解, 求x的范围.

解:由正弦定理 $\frac{x}{s i n A} = \frac{2}{\sin \frac{π}{4}} \Rightarrow \sin A = \frac{\sqrt{2}}{4} x \Rightarrow \cos A = \pm \sqrt{1 - \frac{1}{8} x^{2}}$ , 显然 $1 - \frac{1}{8} x^{2} \geq 0$ , 得 $0 < x \leq 2 \sqrt{2} (*)$

当 $\cos A = \sqrt{1 - \frac{1}{8} x^{2}}$ 时, 显然cosA+cosB>0成立, 此时三角形已存在一解;当

$\cos A = - \sqrt{1 - \frac{1}{8} x^{2}}$ 时

(1) 欲使三角形再有一解, 应有

$\begin{array}{l} - \sqrt{1 - \frac{1}{8} x^{2}} \neq \sqrt{1 - \frac{1}{8} x^{2}}, 且 \cos A + \cos B = \\ - \sqrt{1 - \frac{1}{8} x^{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 \end{array}$

, 解得x>2且x≠2, 结合 (*) 得 $2 < x < 2 \sqrt{2} .$

故三角形有两解时x的范围为

${x | 2 < x < 2 \sqrt{2}}$

(2) 欲使三角形只有一解, 应有

$\begin{array}{l} - \sqrt{1 - \frac{1}{8} x^{2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{8} x^{2}} 或 \cos A + \cos B = \\ - \sqrt{1 - \frac{1}{8} x^{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2} \leq 0 \end{array}$

, 解得 $x = 2 \sqrt{2}$ 或0<x≤2, 结合 (*) 得三角形只有一解时, x的范围为

{x|0<x≤2或 $x = 2 \sqrt{2}}$

例3 已知△ABC中, $B C = a, A C = b, A < \frac{π}{2}$ , 什么情况下, 符合条件的三角形 (1) 不存在; (2) 只有一个; (3) 有两个?

解:由正弦定理

$\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} \Rightarrow \sin B = \frac{b}{a} \sin A$

若符合条件的三角形存在, 首先应有 $\frac{b}{a} \sin A \leq 1$ , 即a≥bsinA (*)

在 (*) 的前提下

$\cos B = \pm \sqrt{1 - (\frac{b}{a} s i n A)^{2}}$

显然当 $\cos B = \sqrt{1 - (\frac{b}{a} s i n A)^{2}}$ 时, cosB+cosA>0, 此时三角形已存在一解.

故 (1) 欲使符合条件的三角形不存在, 只需 $\frac{b}{a} \sin A > 1$ , 即a<bsinA即可.

(2) 欲使符合条件的三角形只有一个, 则 $\cos B = - \sqrt{1 - (\frac{b}{a} s i n A)^{2}}$ 时, 要么

$- \sqrt{1 - (\frac{b}{a} s i n A)^{2}} = \sqrt{1 - (\frac{b}{a} s i n A)^{2}}$ , 要么 $\cos B + \cos A = - \sqrt{1 - (\frac{b}{a} s i n A)^{2}} + \cos A \leq 0 .$

解得a=bsinA或b≤a, 结合 (*) 得:当a=bsinA或b≤a时, 符合条件的三角形只有一个.

(3) 欲使符合条件的三角形有两个, 则在

$\cos B = - \sqrt{1 - (\frac{b}{a} s i n A)^{2}}$ 时, 须使

$\begin{array}{l} - \sqrt{1 - (\frac{b}{a} s i n A)^{2}} \neq \sqrt{1 - (\frac{b}{a} s i n A)^{2}}, 且 \cos B + \cos A = \\ - \sqrt{1 - (\frac{b}{a} s i n A)^{2}} + \cos A > 0 同时成立 ‚ 解得 \end{array}$