三次数学危机

三次数学危机（共3篇）

三次数学危机 篇1

在数学发展的过程中, 人们的认识是不断变化的.在各个历史阶段, 人的认识又有一定的局限性和相对性.当一种“反常”现象用当时的数学理论解释不了, 并且因此影响到数学的基础时, 我们就说数学发生了危机.许多学者并不赞成使用“危机”这个词, 因为它们并没有太大阻碍数学的发展.在历史上, 数学曾发生过三次危机, 这三次危机从产生到消除所经历的时间各不相同, 但都极大地推动了数学的发展, 成为数学史上的佳话.

第一次数学危机是指毕达哥拉斯悖论.他们一直认为宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比.可是在勾股定理的应用中他们却发现了一些直角三角形的斜边不能表示为整数或整数之比的情形, 如直角边长均为1的直角三角形就是如此.这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条, 导致了当时认识上的“危机”, 从而产生了第一次数学危机.这个悖论表明, 几何学的某些真理与算术无关, 几何量不能完全由整数及其比来表示, 反之却可以由几何量表示出来, 为此整数的权威地位开始动摇, 而几何学的地位开始升高了.第一次数学危机使得数学家们正式研究了无理数, 给出了无理数的严格定理, 提出了一个含有有理数和无理数的新数类——实数, 并建立了完整的实数理论.这样, 第一次数学危机就告一段落了.第一次数学危机的产生导致了以后数域的扩展, 为数学的发展作出了不朽的贡献.

一波未平, 一波又起.17世纪, 牛顿和德国数学家莱布尼兹首创了微积分, 当时微积分只有方法, 没有严密的理论作为基础, 许多地方存在着漏洞, 使得英国哲学家贝克莱的矛头直接指向了微积分的基础——无穷小的问题, 导致了第二次数学危机的产生, 即贝克莱悖论——无穷小是零吗?由于第二次数学危机的出现咄咄逼人, 逼得数学家们不得不认真地对待“无穷小量”, 设法克服由此引起的思维上的混乱, 去解决问题.在这悖论的解决上法国数学家柯西起了举足轻重的作用.他建立了极限理论, 提出了“无穷小量是以零为极限但永远不为零的变量”, 把微积分建立在坚实的极限理论之上.悖论所产生的危机使得数学衍生出新的问题, 接着解决这些问题, 使得数学逐渐的形成新的理论体系, 不断地进行完善.所以说数学发展到一定的阶段, 危机就成为推动数学发展的主要动力.

数学史上第三次危机, 是由于突然地冲击而出现的.这次危机是在康托的一般集合理论的边缘发现悖论所造成的.其中最著名的是英国数学家罗素所给出的“罗素悖论”, 它涉及某村理发师的困境.理发师宣布了这样一条原则:他给所有不给自己刮脸的人刮脸, 并且, 只给村里这样的人刮脸.当人们试图回答下列疑问时, 就认识到了这种情况的悖论性质:“理发师是否自己给自己刮脸?”如果他不给自己刮脸, 那么按原则就该为自己刮脸;如果他给自己刮脸, 那么他就不符合他的原则.当然这是通俗化的一个比较具体的例子.罗素悖论的出现使整个数学大厦动摇了, 这一动摇所带来的震撼是空前的.罗素认为:要避免悖论只要遵循消除恶性循环的原理:“凡是涉及一个集体的整体对象, 它本身不能是该集体的成员.”为此, 罗素提出了至今仍然是数理逻辑中的主要系统的分支类型论.最终, 经过数学家们的许多努力, 对集合的任意性加以适当的限制, 共同形成了一个完整的集合论公理体系, 不仅消除了罗素悖论, 而且消除了集合论中的其他悖论, 第三次数学危机也随之销声匿迹了.

从三次危机中我们学到了数学家们的一些哲学思想, 这些哲学思想在数学的发展中起着举足轻重的作用.对数学理论所坚持的清晰性、易懂性原则, 更应以之作为对一个堪称完善的数学悖论的要求.因此, 清晰性、易于理解的问题吸引着人们的兴趣, 而复杂的问题却使人望而却步.在通向隐藏真理的曲折道路上, 它应该是指引我们前进的一盏明灯, 并最终以成功的喜悦作为对人们的报偿.数学史上的这三次危机不仅对整个数学的发展, 而且对现代数学也起着非常重要的作用.由于每次危机的提出都使数学家们有新思想的产生, 而导致了数学理论的严谨性.就拿第二次危机来说, 极限概念的提出为我们现在学习微积分带来了方便, 并且使数学更具有多样性, 产生了连续性、微分和定积分.由此可以看出数学危机在推动数学发展中的丰功伟绩.

摘要：数学史是一部漫长而曲折的历史, 在这部历史长河中三次数学危机又是整个数学发展过程中的关键点.正因为每次危机数学家们都有新思想的产生, 而促进了数学的不断发展, 极大地推动了数学的进程.所以说三次数学危机对数学的发展起了不可磨灭的作用.

关键词：危机,悖论,无理数,无穷小量,集合

参考文献

[1]H.伊夫斯.数学史的里程碑.北京:北京科技大学出版社.

[2]徐品方.数学简明史.北京:学苑出版社.

[3]王方汉.历史上的三次数学危机.数学通报, 2002 (5) .

三次数学危机 篇2

数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。

2 三次数学危机

第一次数学危机发生在古希腊，源于毕达哥拉斯的以数为基础的宇宙模型和数是可公度的信条。毕达哥拉斯认为，事物的本质是由数构成的，并以数为基础，构造了宇宙模型[1].在毕达哥拉斯看来，数就是整数或整数之比。但这一信条后来遇到了困难。因为有些数是不可公度的。这一矛盾，导致了毕达哥拉斯关于数的信条的破产，并进一步导致了毕达哥拉斯以数为基础的宇宙模型的破产。这在当时产生的震动太大了，因此历史上称之为第一次数学危机。

17、18世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机[2].在17世纪晚期，形成了微积分学。牛顿和莱布尼茨被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于把各种有关问题的解法统一成微积分，有明确的计算步骤，微分法和积分法互为逆运算[3].由于新诞生的微积分方法中隐含着逻辑推理上的严重缺陷，导致了无穷小悖论[4].当时牛顿等人不能自圆其说，而且，其后一百年间的数学家也未能有力的回答贝克莱的质问，由此而引起数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成第二次数学危机.

19世纪末分析严格化的最高成就--集合论，似乎给数学家们带来了一劳永逸摆脱基础危机的希望。庞加莱甚至在19巴黎国际数学大会上宣称：现在我们可以说，完全的严格性已经达到了![5]但就在第二年，一场摇撼整个数学大厦基础的暴风雨来临了，英国数学家罗素以一个简单明了的集合论悖论打破了人们的上述希望，引起了关于数学基础的新争论。他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。

三次数学危机 篇3

六年级数学第三次月考试卷分析---六年级数学教研组

为了迎接全区统一考试，学校组织了六年级第三次月考，通过这次考试，我们从中发现了一些问题。为了统考取得优异的成绩及更好地提高教育教学质量，现针对这次数学考试情况做如下分析：

一、考情汇总

本次六年级数学月考，参加考试的学生共有528人，平均分为70.33分，100分共7人，90分到99分共72人，80分至89分共102人，70分至79分共124人，60分至6 9分共85人，60分以下共138人。

二、试卷分析

试卷以不同的题型，从不同的角度，对六年级上册1至5单元所学的知识进行了全面地考查。题型多样，形式灵活。

1、重视基本知识与基本技能考查的同时，注重数学思想，基本活动经验的考查。

2、不再单纯考查学生对知识的记忆，加强了探究能力，创新能力和解决问题能力考察。

3、注重解决问题策略的多样性，鼓励学生用不同知识和方法灵活解决问题，发展学生个性。

4、计算能力考查，注重计算技巧。

5、应用题的内容由远离生活向贴近生活转变，注重知识的综合运用。

三、答卷分析

从全校学生答题试卷情况来看，学生对基础知识、概念（如倒数、圆面积推导公式、分数乘除法的意义、单位“1”）等掌握的不牢固，运算能力还没有过关，解决问题能力欠佳，主要反映在：

1、基础知识掌握不牢固。填空题第2、5、8、11、12题，判断题第1、2、5、7题这几道题上就反映学生基础知识掌握不牢。

2、计算能力还需要加强，尤其是能运用简便方法的，学生对一些运算定律掌握不牢，在教学中应注意，尤其是乘法分配律，学生容易混淆，不会灵活运用。

3、实践与应用中的数量关系分析，理解能力有待提高。学生不会找单位“ 1”，应用题的数量关系分不清，审题不透彻，导致错误。主要反映在图形题，解决问题第5、6、7题上。

4、缺乏良好的学习习惯，有些同学卷面不整洁，字迹潦草，计算粗心，审题马虎，出现漏题现象。

四、总结反思：

从这次月考分析来看，我认为今后在教学中可以从以下几个方面来改进：

1、重视基础知识的教学，强化知识的运用和延伸。让学生牢固掌握有关概念、公式、法则，让学生的学习不仅知其然，还知其所以然。抓好“培优补差”工作，因材施教，使每个学生都能学到不同的数学知识，得到不同的发展，每个学生都能体验到成功的乐趣。

2、教学中要重在凸现学生的学习过程，培养学生的分析能力。在平时的教学中，教师要引导学生分析问题，结果要求什么，已知什么条件，由已知条件怎样推导出问题。解决应用题还有一个很重要的方法，就是划线段示意图。学生能很熟练的运用。另教师应尽可能地为学生提供学习材料，创造自主学习的机会，要让学生的思维得到充分的展示，让他们自己来分析题目，设计解题的策略，多做分析和编题等训练，让有的学生从“怕”数学到喜欢数学。

3、针对单位“1”的问题进行强化。学会找单位“1”，如：苹果树是梨树的3/4，把梨树看成单位“1”，苹果树比梨树多3/4，把梨树树看成单位“1”。学会转化单位“1”，抓不变量解题。

4、多做多练，切实培养和提高学生的计算能力。学生在做题时要说题目的算理，明确计算方法，能口算的就一定要口算，能简便的一定要简便运算，熟练掌握常见的简便运算的类型。可运用小组合作学习的模式，优生带后进生。

5、重视学生学习习惯的培养。如果只关注学生是否掌握“四基”，能否正确解题，而忽视对学生良好的学习习惯的培养，是数学教育的严重失误。学生答题字迹潦草，格式混乱，审题不认真，计算不细心，反映出学生学习态度不端正，做事浮躁，责任意识淡薄。本次测试学生的过失性失分相当普遍，严重地影响了学生的成绩。所以，要让学生做到上课认真听，作业按时完成、消化。