普通高考数学全国卷

普通高考数学全国卷（精选12篇）

普通高考数学全国卷 篇1

在课程改革不断推行的今天, 高中数学教材内容也在不断地变化.为了使高中数学教学更好地与大学教学教育接轨, 近年来高中数学增加了向量、概率、导数等内容.从2004年开始, 概率已成为全国高考数学必考的内容之一, 且近几年概率部分在高考数学全国卷 (Ⅱ) 中均以大题出现.下面笔者就近几年高考数学全国卷 (Ⅱ) 考查的概率内容, 谈谈概率题在高考数学中的变化趋势.

例1 (2004.全国卷Ⅱ.理.18)

已知8支球队中有3支弱队, 以抽签的方式将8支球队分为A、B两组, 每组4支.求:

(1) A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率;

(2) A组中至少有两支弱队的概率.

(1) 解法一:记"A、B两组中有一组恰有两支弱队"为事件M, 则undefined为"A、B两组中一个小组有3支弱队1支强队, 另一个小组全为强队".则

因为undefined.

所以undefined.

所以A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率为undefined.

解法二:记"A、B两组中有一组恰有两支弱队"为事件M, 则事件M有两种情况:

①A组中有两支弱队两支强队;②B组中有两支弱队两支强队.

因为undefined.

所以A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率为undefined

(2) 解法一:记"A中至少有两支弱队"为事件N, 则事件N有两种情况:①A组两支弱队两支强队;②A组三支弱队一支强队.

因为undefined.

所以A组中至少有两支弱队的概率undefined.

解法二:因为3支弱队分到A、B两组, 无论怎样分配, A、B两组中至少有一组有两支弱队.则"A、B两组中至少有一组有两支弱队"为必然事件, 其概率为1.对于A、B两组来说, 至少有两支弱队在某组的概率是相同的, 所以A组中至少有两支弱队的概率为undefined.

评析 本题主要考查排列、组合、概率等基本概念和相互独立事件、互斥事件的计算, 重点要求学生掌握排列、组合及概率中的基本概念、基本技能与基本方法.

例2 (2005.全国.卷Ⅱ.理.19)

甲、乙两队进行一场排球比赛, 根据以往经验, 单局比赛甲队胜乙队的概为0.6.本场比赛采用五局三胜制.既先胜三局的队获胜, 比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数, 求的概率分布和数学期望. (精确到0.0001)

解:在五局三胜制的比赛中, 需要比赛的场数ξ的所有取值为3, 4, 5.

①当ξ=3时, 甲队与乙队的比分为3:0或0:3,

所以P (ξ=3) =Cundefined× (0.6) 3× (0.4) 0+Cundefined× (0.6) 0× (0.4) 3=0.28;

②当ξ=4时, 甲队与乙队的比分为3:1或1:3,

所以P (ξ=4) =Cundefined× (0.6) 2× (0.4) 1×0.6+Cundefined× (0.6) 1× (0.4) 2×0.4=0.3744;

③当ξ=5时, 甲队与乙队的比分为3:2或2:3,

所以P (ξ=5) =Cundefined× (0.6) 2× (0.4) 2×0.6+Cundefined× (0.6) 2× (0.4) 2×0.4=0.3456;

所以ξ的分布列为:

所以Eξ=3×0.28+4×0.3744+5×0.3456=0.84+1.4976+1.728=4.0656.

所以ξ的数学期望为4。0656.

[评析]本题是高考概率的一道综合应用题目, 难度适中.本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望等概念, 要求学生具备运用概率知识分析问题、解决问题的能力.

例3 (2006.全国.卷Ⅱ.理.18)

某批产品成箱包装, 每箱5件, 一用户在购进该批产品前先取出3箱, 再从每箱中任意出取2件产品进行检验.设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品, 其余为一等品.

(I) 用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数, 求ξ的分布列及ξ的数学期望;

(II) 若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品, 用户就拒绝购买这批产品, 求这批产品被用户拒绝的概率.

解: (I) 用户取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品, 则ξ可能的值为0, 1, 2, 3.

①当ξ=0时, 从第二箱中的4件一等品中抽2件, 然后从第三箱中的3件一等品中抽2件.

所以undefined;

②当ξ=1时, 有两种抽法: (1) 从第二箱中1件二等品中抽1件, 从4件一等品中抽1件, 然后从第三箱中的3件一等品中抽2件; (2) 从第二箱中的4件一等品中抽2件, 然后从第三箱中的3件一等品中抽1件, 2件二等品中抽1件.

undefined;

②当ξ=2时, 有两种抽法:⑴从第二箱中1件二等品中抽1件, 从4件一等品中抽1件, 然后从第三箱中的3件一等品中抽1件, 2件二等品中抽1件;⑵从第二箱中的4件一等品中抽2件, 然后从第三箱中2件二等品中抽2件.

undefined;

③当ξ=3时, 从第二箱中1件二等品中抽1件, 从4件一等品中抽1件, 然后从第三箱中的2件二等品中抽2件.

undefined;

ξ的分布列为:

ξ的数学期望.

undefined;

(II) 抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品, 用户就拒绝购买这批产品.当用户拒绝购买该产品时, 这批产品被拒绝的概率为undefined.

所以, 这批产品被用户拒绝的概率为undefined.

[评析]本题是高考概率的一道综合应用题, 难度较大, 考查学生运用概率知识分析问题、解决问题的能力.知识点方面, 主要考查组合、离散型随机变量的分布列和数学期望等知识.本题在考查基础知识的同时, 要求学生准确理解题意, 找出题目的隐藏条件:第一箱中有0件二等品.第一箱产品中没有二等品, 因此求ξ=0时的二等品的概率时, 不需要考虑第一箱产品的情况, 只考虑第二、三箱产品中二等品的情况即可.同时, 还要求学生不重不漏的进行分类.

从近几年的高考试题来看, 高考数学全国卷 (Ⅱ) 概率题不仅考查了学生的基础知识, 而且考查了学生分析问题、解决问题的能力.试题均以大题出现, 要求学生具备分类讨论的数学思想, 命题的重点是离散型随机变量的分布列和数学期望, 难点是求离散型随机变量的分布列.

普通高考数学全国卷 篇2

高考数学试题很好的体现了“落实立德树人根本任务，贯彻德智体美劳全面发展教育方针，坚持素养导向、能力为重的命题原则，体现了高考数学的科学选拔和育人导向作用。”紧密联系社会实际，设计真实的问题情境，体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，很好把握了稳定与创新，对引导中学数学教学将起到积极的作用。

一、整体保持稳定

1.所考查的题型是近几年高考考过的、学生平时见过的类型，没有学生感觉很不熟系的题目。例如的维纳斯身高估算，学生上手比较容易;如理科第5题与全国I卷19题第一问类型基本一致，通过散点图判断变量间的关系类型;理科压轴题第12题与浙江第9题类似。

2.回归原来的数学高考模式，没有在概率统计题上进行再创新，各种题型的顺序与及之前的高考题基本保持一致，没有像、20那样进行较大幅度的改革。

二、加强数学核心素养的考查

1.试题难度分布明显，考生能够清晰地感受到每道题的难度，能不能很好的完成试卷主要取决于个人的数学核心素养。

2.加强了运算求解能力的考查，17、18、19题运算量都比以前略大，第20题解析几何运算能力要求比往年高，但是像19题可以通过分析避免复杂的讨论，所以也不是单纯地考查运算能力，还要求具有很强的分析问题的能力。

3.压轴题重视能力考查。如理科第12题不仅考查考生运用所学知识分析、解决问题的能力，同时也考查学生的观察能力、运算能力、推理判断能力与灵活运用知识的综合能力;如理科第21题考查利用导数判断函数单调性的方法、导数公式和导数运算法则，综合考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力、推理论证能力、分类与整合的能力以及数学语言表达能力。

4.体现了“五育并举”的教育方针和数学的实际应用价值。如文科、理科第3题以世界建筑奇迹古埃及胡夫金字塔为背景，设计了正四棱锥的计算问题，将立体几何的基本知识与世界文化遗产有机结合。

理科第19题以三人的羽毛球比赛为背景，将概率问题融入常见的羽毛球比赛中，以参赛人的获胜概率设问，重在考查考生的逻辑思维能力，对事件进行分析、分解和转化的能力，以及对概率的基础知识特别是古典概率模型、事件的关系和运算、事件独立性等内容的掌握。

文科第17题以工业生产中的总厂分配加工业务问题为背景，考查学生应用所学的概率和统计知识对现实社会中实际数据的分析处理能力。

三、与往年相比的变化

1.前两题复数、集合互换位置。

2.文科17题是统计应用题，与往常的解三角形、数列不同。

3.以前数学文化的考查多以中国传统数学文化为载体，这次以金字塔为背景，体现了我们的文化更加开放、包容与自信。

4.概率统计问题往年以统计问题考查学生对数据的处理能力，今年是以概率计算为主，考查学生分析问题的能力。

5.文理相同题目更多。文理的第3、5、7、13、22、23题完全一样，理科第10题为文科12题，理科18题立体几何题为文科19题，理科20题圆锥曲线压轴题是文科的21题，这是以前没有出现过的。文科试题整体难度高于往年，体现了数学将来不分文理的改革趋势。

6.加强了空间想象能力的考查。第3、10 、16题都是立体几何问题;第16题将立体几何中的折叠问题与解三角形相结合，具有一定的新意。

今年的高考试题充分说明，我们平时的教学要以课程标准为指导，深入研讨高考典型问题所涉及到的数学核心素养，坚持素养导向、能力为重的命题原则，并将这些理念融入到日常教学工作中去，就能够落实立德树人的根本任务，贯彻德智体美劳全面发展的教育方针。

学好高中数学的方法

1快速提高高中数学成绩第一阶段:：掌握每一个公式定理做课本的例题，课本的例题的思路比较简单，其知识点也是单一不会交叉的，如果课本上的例题你拿出来都会做了，说明你已经具备了一定的理解力。

做课后练习题，前面的题是和课本例题一个级别的，如果课本上所有的题都会做了，那么基础夯实可以告一段落。

2快速提高高中数学成绩第二阶段：进行专题训练提高数学成绩1.做高中数学题的时候千万不能怕难题!有很多人数学分数提不动，很大一部分原因是他们的畏惧心理。有的人看到圆锥曲线和导数，看到稍微长一点的复杂一点的叙述，甚至看到21、22就已经开始退却了。这部分的分数，如果你不去努力，永远都不会挣到的，所以第一个建议，就是大胆的去做。前面亏欠数学这门学科太多，就算让它打肿了又怎样，后面一点一点的强大起来，总有那么一天你去打它的脸。

2.错题本怎么用。和记笔记一样，整理错题不是誊写不是照抄，而是摘抄。你只顾着去采撷问题，就失去了理解和挑选题目的过程，笔记同理，如果老师说什么记什么，那只能说明你这节课根本没听，真正有效率的人，是会把知识简化，把书本读薄的。先学学你能思考到答案的哪一步，学着去偷分。当然，因人而异，如果你觉得还有哪些题需要整理也可以记下来。

3.高中数学试卷怎么做?我的习惯是模拟题做专题练习，即我复习三角函数，我就一天做五套卷子的函数，练选择题，我就刷选择题。高考卷子则是完全模拟，而且优先挑自己省的以及和自己省相似的卷子模拟，时间的跨度以三年内的为准，因为我当年是课改的第二年，所以第一年的卷子我做的特别细致。

学数学的小窍门

1.数学要求具备熟练的计算能力，所以课后还有做足一定量的练习题，只有通过做题练习才能拥有计算能力。

2.课前要做好预习，这样上数学课时才能把不会的知识点更好的消化吸收掉。

3.数学公式一定要记熟，并且还要会推导，能举一反三。

4.数学重在理解，在开始学习知识的时候，一定要弄懂。所以上课要认真听讲，看看老师是怎样讲解的。

5.数学80%的分数来源于基础知识，20%的分数属于难点，所以考120分并不难。

6.数学需要沉下心去做，浮躁的人很难学好数学，踏踏实实做题才是硬道理。

7.数学要想学好，不琢磨是行不通的，遇到难题不能躲，研究明白了才能罢休。

8.数学最主要的就是解题过程，懂得数学思维很关键，思路通了，数学自然就会了。

9.数学不是用来看的，而是用来算的，或许这一秒没思路，当你拿起笔开始计算的那一秒，就豁然开朗了。

10.数学题目不会做，原因之一就是例题没研究明白，所以数学书上的例题绝对不要放过。

点击查看：高中学好数学的方法和技巧

11.数学可以搞题海战术，没毛病，但问题是光做题不总结，这样即使做再多题目又有何用?

12.学好数学的有效方法就是善于纠错，哪里错了就及时改正，并做相关习题巩固训练。

13.学数学最重要的就是解题能力。要想会做数学题目，就要有大量的练习积累，知道各类型题目的解题步骤与方法，题目做多了就有手感了，再拿出类似的题目才会有解题思路。

14.举一反三，举三反一，培养数学思维的广度和深度。简单的说就是一题多解、多题一解训练知识的纵横联系，为建立自己的数学知识体系打下基础

15.每天要规划出学习数学的时间，只有时间保证了，才能提高学习成绩。不要自由散漫，有时间就学，没有时间就不去碰，这要是学不好的。

16.如果数学还是学不会，可以再看一些数学学习经验、方法及笔记，有现成的前辈总结的经验干嘛不用?

17.做完题要学会总结。对于做过的题型及做错的题目要善于进行分类总结，再遇到类似的题目要会分析，知道哪里容易出现问题，然后尽量去避免。同时在做题和总结过程中，要学会举一反三，抓住考点去复习。

18.数学除了一些学习上的方法和窍门外，答题时也要讲究策略，不会的果断放弃。

19.考试时合理分配答题时间，选择题和大题按照规划的时间作答，超出时间还算不出来就做下一道题。

20.数学有些名人小故事可以看看，很有意思，对数学学习也有一些帮助。

普通高考数学全国卷 篇3

审题（1）1.1，题设是含有参数的恒等式，求出解析式需确定f（0）和f ′（1）.适当的两次变量赋值得两个方程联立求解，正确得出解析式也为下一步解题开辟蹊径.

解析：（1）令x=0，f（0）=f ′（1）e-1?圯f ′（1）=ef（0）.f ′（x）=f ′（1）ex-1-f（0）+x，令x=1，f ′（1）=f ′（1）-f（0）+1?圯f（0）=1，∴f ′（1）=e， ∴f（x）=ex-x+■x2.

点评：恒等式用任意数赋值理论上都是成立的，求出参数f（0）和f ′（1）方向.若直接令x=1极易进入一个误区.出现多余的f（1）的问题，但明确的是要列出关于f（0）和f ′（1）的方程.先对函数求导再赋值，是应变能力的牛刀小试.

审题（1）1.2，单调性若不能由函数定义和基本函数单调性运算法则来确定，就得由导函数方程零点左右的正负的特征来确定.

解析：（1）f ′（x）=ex-1+x，设y1=ex-1，y2=x，f ′（x）=y1+y2（如图1） .

y1′（0）=1，y2′（0）=1且y1（0）=0，y2（0）=0.y1与y2在（0，0）处相切.

即f ′（x）=0?圯x=0.

且当x∈（-∞，0），f ′（x）=y1+y2＜0，f（x）■；x∈（0，+∞），

f ′（x）=y1+y2＞0，f（x）?襖.

点评：ex-1+x=0是超越方程，在教材中是借助计算机用二分法可求函数零点的近似解.若试估算值三次以上，用不完全归纳得出结论有失数学的严谨.否则，束手无策.事实上，若直观和抽象结合的原则成为教学的常态，应用函数的基本性质，可以迅速、准确得出解及两侧正负形态，单调性由然而出.但给出的标准答案都没有得出根据，导数数量特征是单调性的直接根据，零点及左右正负的推理结论是判定单调性的前题，从而成为必要环节.粗心和回避不是数学应有的品质.

审题（2）1.1，题设是经验过的不等式恒成立的形式，若h（x）=ex-（a+1）x存在极小值，则是由a表达的，从而可建立a与b的不等关系式，但如何能构造出（a+1）b及其本身的意义不能先觉.只能沿着对参数a，b限制并分类的方向讨论.可得到解题的操作方法.

解析：（2）（方法1）略.

小结：由抽象到抽象是数学认可的方法，难也可贵.从解题实践层面能操作，摸着石头过河也是值得的探索，浪费时间是不可避免.

审题（2）1.2，由题设可直接整理成ex≥（a+1）x+b形式，这是曲线和切线关系的基本函数不等式，如图2.

y3=ex切线是直线系y4=（a+1）x+b中b最大的形态.（a+1），b本身的意义是斜率和截距，因此，写出切线方程，用待定系数法.可获取（a+1）b是关于切点的函数表达式.

解析：（2）（方法2）设（x0，y0）是y3=ex上的切点，则切线y=■x+（1-x0）■（（a+1）b）max=（■（1-x0）■）max.设k（x0）=■（1-x0）.令ｋ′（x0）=0?圯x0=■.

由ｋ′（x0）=■（-2x0+1）图像.在x0=■两侧左正、右负.ｋ（x0）max=k（■）＝■e.即：（（a+1）b）max=■e.

点评：虽然两种解法殊途同归，难易和繁简程度各不相同.一切理念的过程和形态都源于直观形态.如果数形结合成为教学实践层面的常态.对一些试值费时、推理费力的题目，可以化腐朽为神奇.

例1． 当x∈（0，2）时，证明：ln（x+1）+■-1＜■.

解析：设y1=ln（x+1），y2=■.y1、y2在（0，0）处的切线为y3=x，y4=■x+1，∴y1y2是凸函数，x∈（0，2）时y1＜y3，y2＜y4.

若x+■x+1-1＜■?圯ln（x+1）+■-1<■.

即：1＜■. ∵x∈（-1，+∞）时，设：y=■ ■ .

∴x∈（0，2），y ■ ， ∴y∈（■，4）.

∴ln（x+1）+■-1<■.

小结：对数式和无理式转化为整式，同时用曲线与切线放大的原因是h（x）=■在x∈[0，2]时增得较快，而k（x）=ln（x+1）+■-1增长较慢，且有相同的零起点.正是心中有图，化生为熟.当然，心中有量，放缩得当.否则，放缩有风险.

例2． 已知点P在曲线在y=■上，?琢为曲线在点P处的切线的倾斜角，则?琢的取值范围是（　　）

Ａ. [0，■） B. [■，■） Ｃ. （■，■] D. [■，?仔）

解析：由图像y1=ex+1.作图像y2=■，y=4y2，如图3.

由■+■=4，且y为减函数.当x→+∞或x→-∞时，y′→0，?琢→?仔.当x=0时，y′=-1，?琢min=■.选D.

小结：作倒数图像主要是用函数性质和分数的性质，而不是大量描点.发现曲线y是关于点（0，2）的中心对称图形.因此，由特征点和性质做出图像到洞察结论可以用秒来计量.

点评：对于数形紧密结合的题目来说，积极主动用图诱发数与式的关系，具有穿透力，解题简捷容易.简单解法体现了对数学本身内在要求真正理解和常态解题实践的应验.

（作者单位：辽宁省大连开发区大治学校）

普通高考数学全国卷 篇4

一、特色选择题

例1 (全国新课标卷 Ⅰ 第12题)设函数f(x)=eｘ(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x０使得f(x０)<0,则实数a的取值范围是( ).

简评:本题虽然是一个导数应用问题,但如果无视选择题特点,单靠导数会很繁琐.另外, 笔者认为本题立意也在于考查函数增长快慢的知识,检测考生的直觉意识.

对于a=3/4,为探究f(x)=eｘ(2x-1)+3 4 (1-x)的图象与单调性特征,我们先分析函数y=ex(2x-1).由y′=ex(2x+1),可知它在区间(-∞,-1 /2 ]上是单调递减,在区间[-1 /2 ,+∞)上单调递增,当x=-1/ 2时.根据指数函数与一次函数增长 快慢的知识,y=ex(2x-1)的图象以x轴的负半轴为渐进线;再结合当x=0时,y=-1,当x=1时y=3e,作出其图 象,如图1.因此,函数的图象以直线y=3 4 (1x)向左上的方 向为渐近 线,再结合函 数y= ex(2x-1)与y=3 /4 (1-x)在区间(0,+∞)上增长的快慢,可绘制函数f(x)的图象,如图2.其中,因此a=3/ 4满足题设,否定选项C,故选D.

例2 (全国新课标卷 Ⅱ 第12题)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1) =0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( ).

(A)(-∞,-1)∪(0,1)

(B)(-1,0)∪(1,+∞)

(C)(-∞,-1)∪(-1,0)

(D)(0,1)∪(1,+∞)

解析:令δ(x)=ｆ（ｘ）/x(x≠0),由题意知δ(x)是偶函数.由δ(-x)=δ(x),得δ′(-x)=-δ′(x),即导函数δ′(x)是奇函数.由结合已知条件可知,当x>0时,δ′(x)<0,所以δ(x)在(0,+∞)上单调递减. 又δ(x)为偶函数,由对称性知δ(x)在(-∞,0) 上单调递增.再由f(-1)=0,得δ(-1)=δ(1) =0,所以当x∈(0,1)时,δ(x)>0,f(x)>0, 当x∈(-∞,-1)时,δ(x)<0,f(x)>0.所以不等式f(x)>0的解集是 (- ∞,-1)∪ (0, 1).故选A.

简评:本题把函数的奇偶性与导数应用融为一体,基于导数运算考查考生构造函数的能力,以及借助几何直观探究函数性质的基本技能.

二、特色填空题

例3 (全国新课标卷 Ⅰ 第16题)在平面四边形ABCD中,∠A= ∠B= ∠C=75°,BC =2,则AB的取值范围是_____.

解析:如图3,作出四边形ABCD,连结BD,记∠CBD=α, 则0°<α<75°,∠ABD=75°-α, ∠ADB=30°+α,∠BDC=105° -α.

在 △CBD与 △ABD中,分别应用正弦定理,得

令15°-α=t,则-60°<t<15°,可得

,易知其在定义域内为递减的,所以,即

故AB的取值范围是

简评:上述解法是把已知边BC和欲求边AB通过两个三角形关联建立目标函数,其定义域易于确定,计算稍显繁琐.如果连结AC,如图4,引入∠BAC= α,可用正弦定理简捷建立目标

例4 (全国新课标卷Ⅱ第16题)设Sn是数列 {an}的前n项和,且a1= -1,an+1= SnSn+1,则Sn=_______ .

解析:把aｎ＋１=Sｎ＋１-Sｎ代入aｎ＋１= SｎSｎ＋１,得Sｎ＋１-Sｎ=SｎSｎ＋１,即Sｎ＋１(1-Sｎ) =Sｎ.由a１=-1,得S１=-1,S２=-1/2,继续推导,得S3= -1 /3 ,S4= -1 /4 ,….假设

简评:本题也可以 这样求解:由,再讨论Sn≠0.若存在某个n0∈N*,使得Sn0Sn0+1=0,则必

即依次继续 下去,得到aｎ=0(n∈N＊),这与a１=-1矛盾.

所以Sｎ=-1/n(n∈N＊).

三、特色解答题

例5 (全国新课标卷 Ⅰ 第20题)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=x2/ 4与直线l:y=kx +a(a>0)交于M,N两点.

(Ⅰ)当k=0时,分别求出曲线C在点M , N处的切线方程;

(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.

(Ⅱ)存在点P(0,-a)满足条件∠OPM =∠OPN.

记M(x１,y１),N(x２,y２)(x１<x２),则证明∠OPM=∠OPN,即证kＰＭ=-kＰＮ.

简评:本题注重检测考生化归与转化技能, 需识别出题 设条件∠OPM = ∠OPN的本质———两条直线关于x轴对称.有幸的是此题正好是笔者的拙著《高校自主招生十二讲》(中国科技大学出版社,2015)中的一个结论(详见第七章第一节).当然,本题也可以按照斜率直接求出目标点:设所求点P(0,t),由kPM+kPN=0,得,即,利用根与系数的关系将 上式转化为,即t=-a,即所求点为 P(0,-a).

无独有偶,2015年北京卷解析几何解答题碰巧以椭圆给出类似的设计,本质上都是选用两角的正切构建角相等的代数条件,但是北京卷涉及两个相似的直角三角形,可以直接以比例建构对应的代数条件.

例6 (北京卷第19题)已知椭圆的离心率为21/2/2 ,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M .

(Ⅰ)求椭圆C的方程,并求点M的坐标 (用m,n表示).

(Ⅱ)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM= ∠ONQ?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.

解析:(Ⅰ)由.再由椭圆过点P(0,1),得b=1,所以椭圆

由题意,得直线PA:y=(n-1) /mx+1.

(Ⅱ)由题意,得B(m,-n),所以把点M坐标中的“n”换成“-n”,即得N(m /(1+n ),0).

设满足条件的点Q(0,t)(t≠0),由条件 ∠OQM= ∠ONQ,得Rt△ONQ∽Rt△OQM (如图5).所以OQ2=OM·ON,即t2=m/ (1-n) · m/( 1+n)=m2/(1-n2).再由m2/2+n2=1,得t2=2.

故存在满足 题设条件 的点Q (0,21/2)或Q(0,-21/2).

例7 (全国新课标卷 Ⅱ 第20题)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O, 且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,记线段AB的中点为M .

(Ⅰ)证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

(Ⅱ)若l过点(m /3 ,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形? 若能,求出此时 直线l的斜率;若不能,说明理由.

解析:(Ⅰ )设l:y=kx+b(bk≠0),记A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2).

(Ⅱ)由直线l过点D(m /3 ,m),得k>0.

由(Ⅰ)可得OM:y=-9/ kx.

因为四边形OAPB是平行四边形的条件是,即x1+x2=xP,所以

故四边形OAPB可以是平行四边形,此时k=4-71/2或k=4+71/2.

例8 (全国新课标卷 Ⅰ 第21题)已知函数f(x)=x3+ax+1/ 4 ,g(x)=-ln x.

(Ⅰ)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x) 的切线?

(Ⅱ)用min{m,n}表示m,n中的最小值, 设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论函数h(x)零点的个数.

解析:(Ⅰ)f′(x)=3x2+a,如果a≥0,则f(x)是单调递增函数,与x轴相交,不相切,所以a<0.令f′(x)=0,得

f(x),f′(x)随x的变化情况列表如下:

若切点是极大值点,则f( (-a/3)1/2)=0,无解.若切点是极小值点,则f( (-a/3)1/2)=0,解得a=-3 4.

(Ⅱ)由(Ⅰ)中表格可理解函数f(x)的图象的升降情况,在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)与y=g(x)的图象,如图6所示, 两者总有一个交点P,点P与直线x=1的位置关系是影响函数h(x)的零点个数的一个要素.令f(1)=0,得到a=-5 /4.

记函数h(x)的零点个数为N,结合动态图象,得到有以下结果.

上述五个 结论依次 对应于图 象7,8,9, 10,11.

简评:本题以数学直觉立意,检测同学们数形结合的自觉意识、过硬的数学表达能力以及清晰的运算求解能力.

例9 (全国新课标卷 Ⅱ 第21题)设函数f(x)=emx+x2-mx.

(Ⅰ)证明:f(x)在(- ∞,0)上单调递减, 在(0,+∞)上单调递增;

(Ⅱ )若对任意x1,x2∈ [-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求实数m的取值范围.

解:(Ⅰ)证明:f′(x)=memx+2x-m.

因为f″(x)=m2emx+2>0,所以f′(x)在R上单调递增.

令f′(x)=0,得x=0.列表如下:

故f(x)在 (- ∞,0)上单调递 减,在 (0, +∞)上单调递增.

(Ⅱ)由 (Ⅰ)可知,当x1,x2∈[-1,1]时, |f(x1)-f(x2)|max=max{f(-1)-1,f(1)-1},所以题设 条件等价 于

令当且仅当x=0时,取“=”,所以δ(x)是增函数,列表如下:

所以条件(*)化为以下两种情形.

情形一:当x≥0时,em-m≤e-1,记g(x) =ex-x,x∈[0,+∞),则g′(x)=ex-1≥0, 所以x∈[0,+∞),g(x)是增函数,且g(1) =e-1.所以0≤m≤1.

情形二:当x<0时,e-m+m≤e-1,记h(x)=e-x+x,x∈(- ∞,0),则h′(x)=1-e-x<0,所以x∈(- ∞,0),h(x)是减函数, 且h(-1)=e-1.所以-1≤m<0.

普通高考数学全国卷 篇5

试题解读

试题把握时代精神，落实立德树人根本任务，依托高考评价体系，加强关键能力考查，对接课程标准，与高中育人方式改革同向同行，助力高考综合改革平稳实施。

科学考查，突出语文关键能力

科学考查语文学科关键能力，既是深化高考考试内容改革的基本要求，也是高考语文命题的一贯追求。依据《中国高考评价体系》，关键能力是指进入高等学校的学习者，在面对与学科相关的生活实践或学习探索问题时，必须具备的高质量地认识、分析、解决问题的能力。试题以阅读理解、信息整理、应用写作、语言表达、批判性思维和辩证思维等六项关键能力为突破点，探索学科能力考查的科学途径。

1.取材多样，考查阅读理解能力和信息获取能力

阅读是获取知识信息、提高认知的基本途径，关系着一个人德、才、学、识的完善和提升。在考查阅读理解、信息整理能力方面，试题重视对“读什么、如何读”的引导，提升思维能力和审美水平。以全国Ⅰ卷的文学类阅读为例，材料节选自海明威的短篇小说《越野滑雪》，小说长于对滑雪的精彩描述和主人公细微的心理描写，试题由此出发，引导学生突破传统阅读惯性，与作品对话，产生情感共鸣。

在信息化时代，人们获取各类信息时拥有了前所未有的便利条件，甄别信息、整理信息、评估信息、利用信息成为重要的语文能力。全国Ⅰ卷实用类阅读聚焦“新基建”，引导学生从多个文本中全面获取这项政策的出台背景、基本内涵、发展前景和国际反响等相关信息，试题主动适应信息时代特点，加大了对信息整理能力的考查力度。

2.巧设情境，聚焦语言表达和应用写作能力

应用写作的适用范围非常广泛，凡是个人、集体、社会生活中所需要的书面交流与表达，都可以成为应用写作的考查内容。以今年的作文试题为例，既有过去常见的应用性文体，如全国Ⅰ卷写一篇参加“历史人物评说”主题班会的发言稿，全国Ⅱ卷写一篇“携手世界，共创未来”的演讲稿，全国Ⅲ卷给高一新生写一封“如何为自己画好像”的信;也有新的应用写作形式，如新高考Ⅱ卷要求学生以《中华地名》节目主持人身份，写一篇“带你走近_________”的主持词。语言表达能力是人们学习、工作、生活中应该具备的基本能力。语言文字运用模块重点考查语句补写、文段压缩、语病辨析、成语和标点符号的使用等，突出语言表达能力的考查，有助于引导学生活学活用。如新高考Ⅰ卷第20题要求学生分析不同语言形式的表达效果，引导学生从语言环境、语体风格、逻辑重心等方面进行思考，考查学生对语言表达正误好坏的判断能力，让学生通过学习获得更强语言表达能力。又如，浙江卷的第6题给出两组宣传抗疫的图片，要求学生为图片拟出标题，并简要评价图片的创意，既给学生一个相对自由的语言发挥空间，又能考查出语言表达的概括力和精确度。

3.深入探究，提升批判性思维和辩证思维能力

批判性思维属于高阶思维能力，要求学生在面对各种复杂问题时运用已有知识进行审慎思考、分析推理。辩证思维是辩证唯物主义哲学在思维领域的鲜活表征，要求学生用联系、发展、全面的观点看待事物和思考问题。试题加强了对批判性思维和辩证思维能力的考查。比如全国Ⅲ卷作文“如何为自己画好像”，通过设置充分的思辨空间，由浅入深地考查了学生对这两项能力的综合运用。首先，学生需要对试题材料进行细读辨析，挖掘其中内含的逻辑关系：认识自我的困难，如何克服这一困难，以及认识自我的意义，这三个环节构成辩证统一的整体。其次，学生还要运用辩证思维从中提炼出三对重要的辩证关系：自我作为认识的主体与客体、镜子与自画像、个体与社会。最后，写作任务将学生拉到生活实践中，一方面促使学生批判性地探究，“画好像”中“好”的标准何在、具体内涵是什么;另一方面启发学生认识到，“画好”的关键在于处理好上述三对关系。整个作文题的材料、情境和任务设置，就在“如何”的思考与“画好”的求索中，使学生体会到理论思辨与现实实践的辩证统一。上海卷作文“转折”从个体、群体和人类等角度，引导学生关注发展进程中的转折，思考人在转折中发挥的重要作用，考查学生的思维品质和能力。全国II卷第15题，要求学生回答王安石《读史》诗所阐述的道理，引导学生保持批判精神，善于分辨，切忌盲从。

普通高考数学全国卷 篇6

12.数列{an}满足an+1+（-1）nan=2n-1，则{an}的前60项和为：

。

A.3690B.3660

C.1845D.1830

16.设函数f（x）= 的最大值为M，最小值为m，则M+m= 。

【第12题的分析】

本题可以当做以“递推数列求和”形式来考查“归纳推理”这种数学方法的经典例题。搞清立意加以耐心不难解得此题。由递推式可得：

（1）a2-a1=2×1-1=1

（2）a3+a2=2×2-1=3

（3）a4-a3=2×3-1=5

（4）a5+a4=2×4-1=7

（5）a6-a5=2×5-1=9

（6）a7+a6=2×6-1=11

（7）a8-a7=2×7-1=13

（8）a9+a8=2×8-1=15

…

（57）a58-a57=2×57-1=113

（58）a59+a58=2×58-1=115

（59）a60-a59=2×59-1=117

由（1）+（3）+（5）+（7）+…+（57）+（59）得：

S偶-S奇=1+5+9+…+113+117=■=1770

S偶=1770+S奇

由{（2）-（1）}+{（6）-（5）}+{（10）-（9）}+…+{（58）-（57）}得：

a1+a3+a5+a7+…+a59=2+2+2+2+…+2=2·15=30

即S奇=30则有S60=S偶+S奇=1770+2·30=1830

【第16题的分析】

本题用求函数最值形式去考查奇函数的性质：奇函数的最值互为相反数。先“分离常数”再“构造新函数”，即可解得。

f（x）= =1+

设g（x）= （其中x∈R）可知g（x）为奇函数

g（x）=f（x）-1则g（x）max=M-1

g（x）min=m-1

M+m=g（x）max+g（x）min+2=0+2=2。

第12题许多考生力求得出通项公式而误入歧途，还有考生没有列出足够的等式，且式中符号又交替规律不明显而被迫放弃。说明教学中对新课标理解还有偏差。新教材数列的知识设置和思路安排就是通过大量的观察，归纳出内在的规律。对知识的导引必须要充分。而第16题从一个全新的角度来考查函数的性质可称经典。考生习惯用导数来求最值，然而此题出现超越方程，无法解出。这又暴露出备考时对考纲的贯彻不到位，函数性质也是客观必考的点。如能注意到这些，有针对性地解题会更顺利些。

精彩的试题不仅结构简洁、形式优美、解法奇特、具有良好的区分度，关键还在于它能够给我们带来“认知结构”上的冲击。第12题强化“归纳推理”对数列的支撑。第16题又是传统的函数上的精进。只有充分发挥高考导向功能，才能推动中学数学教学向纵深发展。

普通高考数学全国卷 篇7

(Ⅰ) 若直线MN的斜率为3/4, 求C的离心率;

(Ⅱ) 若直线MN在y轴上的截距为2, 且|MN|=5|F1N|, 求a, b.

高考参考答案 (Ⅰ) 根据及题设知M (c, b2/a) , 2b2=3ac, 将b2=a2-c2代入2b2=3ac, 解得c/a=1/2, c/a=-2 (舍去) , 故C的离心率为1/2.

(Ⅱ) 由题意, 原点O为F1F2 的中点, MF2与y轴平行, 所以直线MF1与y轴的交点D (0, 2) 是线段MF1的中点, 故b2/a=4, 即

由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.

设N (x1, y1) , 由题意知y1<0, 则

代入C的方程, 得

将 (1) 及代入 (2) 得

解得a=7, b2=4a=28.故a=7,

别解1直线MF1与y轴的交点为D (0, 2) , 因为|MN|=5|F1N|, 所以又因为|MF1|+|MF2|=2a, 所以即

作NP与x轴垂直, 垂足为E, 则△NEF1∽△DOF1, 所以N (-3/2c, -1) .因为N在椭圆上, 所以

以下同参考答案.

别解2设|MF1|=4t, |F1N|=t, t>0.

因为|MF1|+|MF2|=|NF1|+|NF2|, 所以4t+4=t+|NF2|, 即|NF2|=3t+4.又因为42+ (2c) 2= (4t) 2, 即4t2=4+c2, 所以

即t=5/2, 所以2a=4t+4=14, a=7, 从而

别解3设直线MN的方程为:y=2/cx+2.又设M (x1, y1) , N (x2, y2) .因为|MN|=5|F1N|, 所以, 所以

(x2-x1, y2-y1) =5 (x2+c, y2) ,

由题设得M (c, b2a) , 所以

将其代入椭圆方程, 得

因为点N在直线MN上, 所以

由 (1) (2) 得

别解5设直线MN的方程为:y=kx+2.又设M (c, y1) , N (x2, y2) .

因为MN在y轴上的截距为2, 原点O为F1F2 的中点, 所以y2=4, 即M (c, 4) .因为|MN|=5|F1N|, 所以x2=-3/2c.

(b2+a2k2) x2+4a2kx+4a2-a2b2=0, 所以

又因为k=2/c, 所以

别解6由题意得M (c, b2/a) , F1 (-c, 0) .直线MF1的方程为

当x=0时,

普通高考数学全国卷 篇8

2011年河南省高考使用全国新课程卷, 其数学压轴题是第21题.本题表面上看似基本, 但同历届高考试题一样, 命题者所给的参考答案隐藏了试题立意本质和其中蕴含的丰富的数学方法.数学压轴题大都基于边缘载体, 凸显数学方法.

一、试题解答

题目:已知函数$f\left(x\right)=\frac{a\text{l}\text{n}x}{x+1}+\frac{b}{x}$, 曲线$y=f\left(x\right)$在点$\left(1,f\left(1\right)\right)$处的切线方程为x+2y-3=0.

(Ⅰ) 求a, b的值;

(Ⅱ) 如果当x>0, 且x≠1时, $f\left(x\right)>\frac{\text{l}\text{n}x}{x-1}+\frac{k}{x}$, 求k的取值范围.

为节省篇幅, 我们直接给出 (Ⅰ) 的结果a=b=1, 下面只就$f\left(x\right)=\frac{\text{l}\text{n}x}{x+1}+\frac{1}{x}$解答 (Ⅱ) .

解法一:作差, 分离出本质, 舍弃无关因素, 简化问题.

$\begin{array}{l}\because f\left(x\right)-\left(\frac{\text{l}\text{n}x}{x-1}+\frac{k}{x}\right)\\ =\frac{\text{l}\text{n}x}{x+1}-\frac{\text{l}\text{n}x}{x-1}+\frac{1-k}{x}=\frac{-2\text{l}\text{n}x}{x{}^2-1}+\frac{1-k}{x}\\ =\frac{1}{x{}^2-1}\left[-2\text{l}\text{n}x+\left(1-k\right)\left(x-\frac{1}{x}\right)\right]‚\end{array}$

∴即求实数k的取值范围, 使得

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}-2\text{l}\text{n}x+\left(1-k\right)\left(x-\frac{1}{x}\right)<0,\forall x\in \left(0,1\right)‚\\ -2\text{l}\text{n}x+\left(1-k\right)\left(x-\frac{1}{x}\right)>0,\forall x\in \left(1,+\infty \right).\end{array}\\ (※)\end{array}$

取$\phi \left(x\right)=-2\ln x+\left(1-k\right)\left(x-\frac{1}{x}\right),$

$$

由均值不等式可知,

$\frac{2x}{x{}^2+1}\le 1,\forall x\in \left(0,+\infty \right)$, 且x=1时取“=”,

所以$\left(\frac{2x}{x{}^2+1}\right){}_{\max }=1\left(x>0\right).(☆)$

当1-k≥1, 即k≤0时, ${\phi }^{\prime }\left(x\right)\ge 0‚\phi \left(x\right)$在$\left(0,+\infty \right)$上单调递增, 从而有$\phi \left(x\right)>\phi \left(1\right)=0,\forall x\in (1,+\infty )$以及$\phi \left(x\right)<\phi \left(1\right)=0,\forall x\in \left(0,1\right)$, 即不等式组 (※) 成立.

当k>0时, 有1-k<1, 根据 (☆) , 存在x0>1, 使得$\frac{2x}{x{}^2+1}>1-k,\forall x\in \left(1,x{}_0\right)$, 即在区间$\left(1,x{}_0\right)$上, ${\phi }^{\prime }\left(x\right)<0$, 从而$\phi \left(x\right)$在$\left[1,x{}_0\right)$上递减, 则对一切$x\in \left(1,x{}_0\right)$, 均有$\phi \left(x\right)<\phi \left(1\right)=0$, 即$f\left(x\right)<\frac{\text{l}\text{n}x}{x-1}+\frac{k}{x}.$

综上所述, 满足要求的实数k的取值范围是$\left(-\infty ,0\right].$

解法二:分离参数, 确立参数限定方向, 凸显极限妙算.

求实数k, 使得$\frac{\text{l}\text{n}x}{x+1}+\frac{1}{x}>\frac{\text{l}\text{n}x}{x-1}+\frac{k}{x},\forall x\in \left(0,1\right){\displaystyle \cup \left(1,+\infty \right)}$, 即求实数k, 使得$\frac{1-k}{2}>\frac{x\text{l}\text{n}x}{x{}^2-1},\forall x\in \left(0,1\right){\displaystyle \cup \left(1,+\infty \right)}.$

取$\phi \left(x\right)=\frac{x\text{l}\text{n}x}{x{}^2-1},x\in \left(0,1\right){\displaystyle \cup \left(1,+\infty \right)}$, 则

$\begin{array}{l}\phi \text{'}\left(x\right)=\frac{\left(1+\text{l}\text{n}x\right)\left(x{}^2-1\right)-2x{}^2\text{l}\text{n}x}{\left(x{}^2-1\right){}^2}\\ =\frac{x{}^2-1-\left(1+x{}^2\right)\text{l}\text{n}x}{\left(x{}^2-1\right){}^2}\\ =\frac{x{}^2+1}{\left(x{}^2-1\right){}^2}\left(\frac{x{}^2-1}{x{}^2+1}-\text{l}\text{n}x\right)‚\end{array}$

取$\tau \left(x\right)=\frac{x{}^2-1}{x{}^2+1}-\ln x,x\in \left(0,+\infty \right)$,

$\begin{array}{l}\text{则}\tau \left(1\right)=0‚{\phi }^{\prime }\left(x\right)=\frac{x{}^2+1}{\left(x{}^2-1\right){}^2}\tau \left(x\right)‚\\ {\tau }^{\prime }\left(x\right)=\frac{2x\left(x{}^2+1\right)-2x\left(x{}^2-1\right)}{\left(x{}^2+1\right){}^2}-\frac{1}{x}\\ =\frac{-\left(x{}^2-1\right){}^2}{x\left(x{}^2+1\right)}\le 0‚\end{array}$

∴造表如下:

$\begin{array}{l}\text{故}\frac{1-k}{2}\ge \underset{x\to 1}{{\displaystyle \lim }}\frac{x\text{l}\text{n}x}{x{}^2-1}=\underset{x\to 1}{{\displaystyle \lim }}\left(\frac{x}{x+1}\cdot \frac{\text{l}\text{n}x-\ln 1}{x-1}\right)\\ =\underset{x\to 1}{{\displaystyle \lim }}\frac{x}{x+1}\cdot \underset{x\to 1}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{l}\text{n}x-\ln 1}{x-1}\\ =\frac{1}{2}\left(\text{l}\text{n}x\right)´|{}_{x=1}=\frac{1}{2x}|{}_{x=1}=\frac{1}{2}‚\\ \therefore k\le 0‚\text{这}\text{就}\text{是}\text{所}\text{求}\text{实}\text{数}k\text{的}\text{取}\text{值}\text{范}\text{围}.\end{array}$

上述极限$\underset{x\to 1}{{\displaystyle \lim }}\frac{x\text{l}\text{n}x}{x{}^2-1}=\frac{1}{2}$, 也可以通过建构不等式组, 应用两边夹的方法求得, 这样更能揭示试题的本质.

事实上, 取, 则$\phi \left(0\right)=0‚{\phi }^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}$.令${\phi }^{\prime }\left(x\right)=0$, 得x=1, 列表如下:

$\therefore \ln \left(1+x\right)\le x,\forall x\in \left(-1,+\infty \right)$, “=”仅在x=0时取到.

应用这个熟知的不等式, 对$x\in \left(0,+\infty \right)$, 一方面, 由$x-1\in \left(-1,+\infty \right)$, 得$\ln x=\ln \left(1+x-1\right)\le x-1$;另一方面, 由$\frac{1}{x}-1\in \left(-1,+\infty \right)$, 得

$\begin{array}{l}-\ln x=\ln \frac{1}{x}\le \frac{1}{x}-1‚\text{即}1-\frac{1}{x}\le \ln x.\\ \therefore 1-\frac{1}{x}\le \ln x\le x-1,\forall x\in \left(0,+\infty \right)\end{array}$

, “=”在x=1处取到. (这个不等式组等价于图1)

故1x+1<xlnxx2-1<xx+1, x∈1, + () !, x x+1<xlnx x2-1<1x+1, x∈0, (1) 烅烄烆.∵lim x→111+x=12, lim x→1x x+1=12, ∴lim x→1+xlnx x2-1=12=limx→1-xlnx x2-1,

故$\underset{x\to 1}{{\displaystyle \lim }}\frac{x\text{l}\text{n}x}{x{}^2-1}=\frac{1}{2}.$

二、试题分析

本题考查函数求导、求切线方程以及根据单调性推证不等式、探求参数取值范围的能力.题目难度合适, 给数学成绩优秀的学生以欣喜, 是一道十分优秀的高考压轴试题.同时, 我们也认为, 这道试题基于高中数学中导数及其应用这一边缘知识, 凸显出许多重要数学方法.从上述两个解法可以看出, 本试题涉及比较系数、分类讨论、充分性分析、反例否定、化归、两边逼夹等等, 这些都是中学数学中重要的数学思想方法, 试题深刻地考查了学生分析问题与解决问题的能力, 尤其凸显了探求充分条件以及构造反例作出否定的能力.上述对极限计算的深入分析过程中, 获得的不等式组$1-\frac{1}{x}\le \ln x\le x-1,\forall x\in \left(0,+\infty \right)$, 能否揭示出命题者基于两个“上凸”函数$y=1-\frac{1}{x}\left(x>0\right)$和$y=\ln x\left(x>0\right)$在x=1处存在公切线构建试题的初衷?基于图象直观构建代数关系, 这就是极其重要的数形结合思想.

三、考前讲座的思考与启示

考前两周, 我在学校做“巅峰生数学考前讲座”, 题目是“切实掌握导数及其应用问题的解法”, 我重点给学生总结了2003年高考考查导数以来全国卷与各省市卷中有关导数及其应用试题的设计特点、考查本质以及解法特点.我们都知道, 无论是全国卷还是各省市卷所给参考答案都是作差构造辅助函数, 因此, 我在教学中十分注重这种构造辅助函数的方法, 如同本题之解法一.我在做这个讲座时, 着重阐述和强调了这种“通法”, 同时, 我也发现, 学生对这种方法存在严重困惑:其中的分类讨论因素抓不住, 因此用不好这个“通法”.为此, 我列举典型试题, 引导学生总结“通法”的内涵:第一步, 作差, 构造出辅助函数$\phi \left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$ (带参数k的函数) ;第二步, 找到$\phi \left(x\right)$的零点x0 (在定义域中) , $\phi \left(x{}_0\right)=0$;第三步, 根据题意, 探求$\phi \left(x\right)$在x0两侧的单调性, 为之构建参数k满足的充分条件.学生领悟了引起“通法”对参数分类讨论的关键因素是第三步, 我再设计一套专项练习辅助训练, 学生切实掌握了“通法”.

原来学生用不好“通法”, 普遍利用“分离参数法”转化为一个恒成立问题, 但他们也有一个困难:在获得参数限定方向之后, 往往面临的是极限计算, 并且通常是$\frac{0}{0}$型, 0·∞型, $\frac{\infty }{\infty }$型, ∞-∞型, 等等.这类“未定式”极限计算既是难点, 也存在丰富的算法技巧.但是, 极限计算在新课程中没有专门内容, 作为边缘知识, 学生当然没有多少“招式”.据我所知, 很多老师告诉学生洛必达 (L'Hospital) , 让学生直接套用, 这样做毫无疑问与新课程理念格格不入.为此, 我在讲座中引导学生对遇到的“未定式”极限计算进行总结, 发现成为“未定式”极限的原因在于极限式中的“零因子”, 大都可以通过代数式分解, 隔离出“零因子”, 使之归结为某个函数在某一点的导数, 从而用导函数代入完成极限计算, 这就是我上面给出的解法二.再如, 我在给学生做讲座的题材中重温了2011年郑州市“三模”中的一道试题:函数$f\left(x\right)=ax-\left(a+1\right)\ln \left(x+1\right)$, 其中a>-1. (Ⅰ) 求$f\left(x\right)$的单调区间; (Ⅱ) 当a>0时, 记$f\left(x\right)$的最小值为$g\left(a\right)$, 求实数t的取值范围, 使得$g\left(a\right)<t,\forall a\in \left(0,+\infty \right).$

对这道题, 如果用分离参数法化成一个恒成立的参数题, 最后面对的极限计算是

$\begin{array}{l}t\ge \underset{a\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}f\left(a\right)=1-\underset{a\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}\left(a+1\right)\ln \left(1+\frac{1}{a}\right)\\ =1-\underset{a\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}a\ln \left(1+\frac{1}{a}\right)\\ \stackrel{x=\frac{1}{a}}{{\displaystyle =}}1-\underset{x\to 0+}{{\displaystyle \lim }}\frac{\ln \left(1+x\right)}{x}\\ =1-\underset{x\to 0+}{{\displaystyle \lim }}\frac{\ln \left(1+x\right)-\ln \left(1+0\right)}{x-0}\\ =1-\left(\ln \left(1+x\right)\right)\text{'}|{}_{x=0}=1-\frac{1}{1+x}|{}_{x=0}=0.\end{array}$

我不断思考, 多年以来, 高考参考答案为什么一直采用作差、构造辅助函数方法, 从不采用分离参数法?通过钻研、思考与总结, 我略有所知:好像是在回避极限计算技巧, 更好地培养通性通法.这样, 命题者所给参考答案虽然隐藏了丰富的方法、技巧, 甚至试题设计之本源, 但给我们的教学留下了组织探究的好题材.同时, 这样做也是基于新课标的精神“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容, 克服‘双基异化倾向’”.

在日常教学中, 我唯一使用的教辅资料就是全国和各省市历年高考试题.我在这次讲座中选择许多优秀试题作为例子, 譬如2010年全国高考湖北省理科试卷第21题:

函数$f\left(x\right)=ax+\frac{b}{x}+c\left(a>0\right)$的图象在点${\rm T}\left(1,f\left(1\right)\right)$处的切线为l:y=x-1.

(Ⅰ) 用a表示b, c;

(Ⅱ) 求a的取值范围, 使得$f\left(x\right)\ge \ln x$在区间$\left[1,+\infty \right)$上恒成立;

(Ⅲ) 求证:$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}>\ln \left(n+1\right)+\frac{n}{2\left(n+1\right)}\left(n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*}\right).$

通过与学生一起探究, 我们发现两个不等式$\ln x<\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})(x>1)$以及$\ln x>\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})(0<x<1)$, 这是否说明命题者根据两个函数$y=\text{l}\text{n}x\left(x>0\right)$与$y=\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(x>0\right)$的图象在x=1处发生交叉 (如图2) 这一几何直观, 首先构建出上面两个代数不等式, 再经代数演变设计出本题呢?对比图1与图2, 这真是无独有偶!今年全国新课程理科数学试卷第21题似乎复制了湖北省去年理科卷第21题的构建过程, 或者说湖北省这道试题的构建方法在今年全国新课程理科数学试卷中得以重现?

另外, 我在讲座中反复强调大家熟知的不等式$\ln \left(1+x\right)\le x,\forall x\in \left(-1,+\infty \right)$, 并阐述不少试题有它的影子, 甚至是直接应用.再看看本文前面给出的解法二, 为两边夹构建的不等式组$1-\frac{1}{x}\le \ln x\le x-1,\forall x\in \left(0,+\infty \right)$, 不正是基于不等式$\ln \left(1+x\right)\le x,\forall x\in \left(-1,+\infty \right)$ 这么巧!只能说我的讲座有幸撞上了!

普通高考数学全国卷 篇9

关键词：特色,亮点,启示,数学文化

2013年高考数学新课标全国卷是以《课程标准》《考试大纲》为依据, 试卷的结构保持了新课程高考数学试卷的一贯风格, 试题设计体现了“大稳定、小创新”的稳健、成熟设计理念.今年试卷贴近中学教学实际, 在坚持对五个能力、两个意识考查的同时, 注重对数学思想与方法的考查, 体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色.以支撑学科知识体系的重点内容为考点来挑选合理背景, 善于应用知识之间的内在联系进行融合构建试卷的主体结构, 在新课程新增内容和传统内容的结合处寻找创新点, 考查更加科学.试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质, 考查考生对数学本质的理解, 考查考生的数学素养和学习潜能.从考试性质上审视这份试卷, 它有利于中学数学教学和课程改革, 有利于高校选拔有学习潜能的新生, 是具有较高的信度、效度, 必要的区分度和适当的灵活度的可圈可点的试卷.从采分“点”、主干“线”、覆盖“面”、运算与思维的“量”、创新与探究的“度”等方面, 全面引领素质教育继续深入扎实推进, 起到了很好的示范作用.

一、特色解读

1. 考查全面

命题重视对基础知识的考查, 考查的知识点达到85%以上.对重点知识点 (如函数、数列、不等式、三角、概率统计、立体几何、解析几何等) 既考查全面, 又有一定深度.

2. 难度合理

全卷设计入口容易, 在难度顺序上科学合理, 比例恰当, 布点有序, 符合考生的思维方式.试题层次分明, 区分度好, 不偏不怪.有三分之一以上的基础题, 只要考生能够认真学习高中数学基础知识, 就能得到基本分;有三分之一以上的中档试题, 保证中等水平的考生能够考出正常成绩, 产生一定的区分度;有近三分之一的能力题, 使高等学校选拔人才有一定的空间, 尤其是难题的难度适中, 克服了以往有时“难题成废题”的不科学现象.

3. 注重思想, 揭露本质

试题充分体现出对数学思想方法的考查, 体现数学学科的特点和本质.既对传统数学思想方法作重点考查, 如函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想等, 又对新课程中的思想方法作适度考查, 如必然与或然思想、离散与连续思想、统计与分析思想、分类与整合思想、类比与归纳思想等.对前者的考查要求高, 难度大, 考查灵活, 对后者的考查难度适中, 既体现了个性, 也体现了共性、试卷特点评析.如全国课标卷 (Ⅰ) 理科第19题突出考查对互斥事件、相互独立事件等概念的理解.因此, 在教学中概念的引入应当注重进行探究, 在概念形成过程中应当加强学生的合作讨论达到正确认识概念的本质, 在概念的巩固阶段应当在实际环境中运用概念体现学以致用.

二、特点分析

1. 注重基础考查, 试题区分度明显

纵观全卷, 选择题简洁平稳, 填空题难度适中, 解答题层次分明.选择、填空题考查知识点单一, 注重了对基础知识、基本方法、基本技能及高中数学主干知识的考查, 有利于稳定考生情绪, 也有助于考生发挥出自己理想的水平.而在解答题中, 每道题均以多问形式出现, 其中第一问相对容易, 大多数考生能顺利完成;而第二问难度逐渐加大, 灵活性渐强, 对知识的迁移和应用知识解决问题的能力要求较高, 给个性品质优秀、数学成绩良好的考生留有较大的展示空间.

2. 淡化技巧重视通法, 能力立意强化思维

试题淡化特殊技巧, 注重通性通法和对数学思想方法的考查.如全国课标卷 (Ⅰ) 理科:第 (11) 、 (16) 、 (20) 题考查了数形结合思想, 如第 (9) 、 (12) 、 (15) 题涉及函数与方程思想, 如第 (20) 、 (21) 题涉及分类讨论思想等.试卷突出对五个能力和两个意识的考查.如全国课标卷 (Ⅰ) 理科:第 (11) 、 (16) 、 (17) 、 (20) 题重点考查数学思维能力, 第 (8) 、 (18) 题考查空间想象能力;第 (12) 、 (19) 、 (20) 题综合考查思维能力、运算能力、实践能力、创新意识和应用意识等.

3. 诠释考试说明内涵, 运算能力决定成败

试题以高中内容为主, 但高层次包括低层次的内容, 例如在立体几何中考查平面几何的性质和数值的运算, 在解三角形和解析几何中包含着方程思想, 试题表述比较常规, 运算能力与运算手段决定了考试的成败.

4. 渗透数学文化, 凸显数学美学功能

克莱因指出:“数学是形成现代文化的主要力量, 也是这种文化极其重要的因素.”如全国课标卷 (Ⅰ) 理科:第 (4) 、 (5) 、 (13) 、 (18) 题渗透勾股定理;第 (12) 题以数列为背景, 渗透三角形周长为定值, 研究面积的变化规律;第 (13) 题是填空题第一题, 以向量中三点共线的结论为背景, 考查数量积基本计算.全国课标卷 (Ⅱ) 理科第21题涉及泰勒公式.

5. 通性通法, 灵活应用

高考倡导通性通法, 淡化特殊技巧, 注重灵活应用, 有效区分不同思维层次的考生.在高考中对数学思想方法的考查是与数学知识的考查相结合进行的, 是通过对数学知识的考查来反映考生对数学思想方法的理解和掌握程度, 但在高考考查中又不是机械地照搬运用某种思想和方法, 而是要考生灵活应用数学思想方法来解决数学问题, 也就是考查考生的能力.要充分认识数学思想方法在提高解题能力上的重要性, 因此, 在进行教学时, 我们要有意识地渗透数学思想方法, 提升灵活应用能力.如全国课标卷 (Ⅰ) 理科第21题突出考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想.这就要求我们在教学中把数学思想和方法变成学生自己能灵活运用的东西, 而不是只能机械照搬.

普通高考数学全国卷 篇10

一、反对猜题押题的旗帜一贯是鲜明的

2016年高考前夕, 各种数学复习资料汗牛充栋, 声称可以猜到高考真题的模拟卷更是铺天盖地.在资料如此泛滥的环境下命制高考题, 为了有意识地回避这些资料, 其难度可想而知.为了体现国家高考的公正、公平和公开性, 坚决反对通过猜题押题来应对高考数学, 从考试指挥棒的功能看, 2016年高考数学 (全国新课标Ⅲ卷) 试题最大的亮点就在于真正全面规避了考前对高考数学的各种猜测与各种模拟.

例1某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况, 绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃, B点表示四月的平均最低气温约为5℃。下面叙述不正确的是 (%) .

(A) 各月的平均最低气温都在0℃以上

(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大

(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同

(D) 平均最高气温高于20℃的月份有5个

解:由图象可知, 0℃在平均最低气温区域的内部, 所以, 各月的平均最低气温都在0℃以上, 故A选项正确;七月的平均温差大于5℃, 一月的平均温差小于5℃, 故B选项正确;三月和十一月的平均最高气温大约为10℃, 所以, 三月和十一月的平均最高气温基本相同, 故C选项正确;平均最高气温高于20℃的月份为六、七、八三个月, D选项错误.

说明:本题是2016年高考全国新课标Ⅲ卷文科数学第 (4) 题, 也是理科数学第 (4) 题.该题不涉及高中数学知识, 考前的所有资料和模拟题也不曾提及.从解答过程看, 解答本题的关键是读懂题目给出的“一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图”, 所涉及的数学知识几乎不超出小学数学的范围.由于考生缺乏解决新颖问题的意识, 一些考生连读题的耐心都没有, 一看题目表面比较新, 比较“怪”, 就完全放弃了.还有些考生用头脑中的数学问题类型来“框”“套”, 由于“框”“套”不成功, 最后只能望题兴叹.就这样, 一道既不需要“想”, 也不需要“算”的小学数学题, 最后成了2016年云南省高考数学12个选择题中得分比较低的题目.

可见, 随着人们对创新意识和创造能力的重要性的认识不断深入, 高考数学试卷中难免会出现一些全新的问题, 这是高考命题的必然趋势, 考生要有接受、解答新题的思想准备.

面对这种与高中数学没有直接关系的新题, 考生必须能够静下来读懂题意, 弄清楚题目中的已知条件和未知要素, 利用头脑中的数学知识和思想方法逐步把陌生的问题转化为熟知的数学问题.否则, 就像该题一样, 即使问题很简单, 学生仍然摆脱不了失分的厄运.

考后统计结果为:

从2012年开始, 云南省的高考数学卷中, 几乎每年都有一至两道看似与高中数学没有直接关系的试题, 谁能猜到呢?

例2定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项, 其中m项为0, m项为1, 且对任意k≤2m, a1, a2, …, ak中0的个数不少于1的个数.若m=4, 则不同的“规范01数列”共有 () .

(A) 18个%%%%% (B) 16个%% (C) 14个%%%% (D) 12个

解:由题意可知, a1=0, a8=1, 则具体情况如下表所示:

正确选项为C.

说明:本题是2016年云南省高考理科数学第 (12) 题.问题本身及解答方法超出了所有资料和模拟题的预测, 解答这样的问题, 用初中数学中的列表法或树状图显然更有效, 与高中数学有什么关系呢?

自1999年开始, 高考大纲明确指出高考数学是能力考试.从此, 高考数学命题从知识立意转向能力立意.能力立意最基本的追求就是创新.因为模仿与数学能力的定义格格不入.然而, 数学教学的现实往往会使考生对高考数学产生误解, 甚至对考试题型、解决问题的方法、试卷内容、形式、结构与难易程度等形成思维定式.所以, 高考数学无论是内容、形式、结构还是难易程度, 都有意识地规避各种复习资料对当年高考数学中所谓“重点”“热点”的预测, 也都有意识地否定学生头脑中通过训练形成的关于当年高考数学的种种期待.这是由高考数学是能力考试这一性质决定的, 具有必然性, 不受人的主观意志左右.

当前, 高考招生各个方面都提倡实施阳光工程.因此, 2016年云南省高考数学试题从内容、形式到难度都与大家的期望大相径庭, 这不仅体现了高考数学是能力考试这一性质, 而且也符合当前教学改革的趋势.可以这样预测, 在教育教学改革大力推进以及各方面又好又快地发展的今天, 高考数学更加突显能力考试这一性质, 加之招生考试各个方面都要全面体现公正、公开与公平, 这些都将导致反对猜题押题成为高考数学命题的主旋律, 试题的内容、形式与难度都要服从这个主旋律.

1999年立体几何没有出现大家期待的“串联填空”解答题;2000年的应用题没有以国企改革、医疗改革为背景命题;2001年文、理同考了一道复数方面的解答题;2002年出现了先大胆猜想, 然后以数学归纳法证明数列问题的新题型;2003年没有出现折纸问题;2004年立体几何试题从形式到内容以及难度都超越了各个方面的预测, 选择题共12个, 而不是众多“权威内部”消息所猜测的10个;2005年的数列试题;2006年的三角函数试题……2016年几乎整份试卷的内容、形式和难度都与社会上的各种预测出入很大.这些都在有针对性地否定人们关于考什么和不考什么的种种猜测.

2003年, SARS传染病严重影响了全国各行各业, 学校教学也不例外.在这种情势下, 没有哪个地方预测到高考数学会那么难.同样, 在大力倡导减轻学生过重的课业负担, 全面推进新课程改革的2012年, 又有谁能够预测到数学课标卷会那么难呢?

人们对1999年以来的全国高考数学试题尽管有各种不同的看法, 但每年的全国高考数学试题, 无论是考试内容还是难易程度, 都与考前预测出入很大, 可以说这是有意识、有目的地在否定考前的各种预测.这一点, 一直是数学教育界公认的全国卷高考数学的一大亮点, 也是与其他省市单独命制的试题相比最为显著的优势之一.

其实, 早在1999年, 高考数学《考试说明》就明文指出不刻意追求知识覆盖面, 只是把数学作为考查能力的素材, 这一规定也就成了日后命题方面反对猜题押题的制度与技术保障.

纵观1999年以来的全国高考数学试卷, 难度、内容的形式与结构都突出了这一亮点, 即规避考前有关考试猜测与各种应试热点的因素, 因此, 老师们在复习备考2017年云南省高考数学时, 从指导思想上就要坚决摒弃各种道听途说的猜测, 更不能迷信许多资料对高考数学试题的种种猜想, 以及所谓的“权威”模拟题, 而应该把所有精力都放在夯实学生数学基础、培养学生数学能力方面, 这才是提高学生高考数学成绩行之有效的捷径.

二、强调数学教科书的工具与示范作用

高考数学是基础考试, 与数学竞赛有本质区别.其基础性的一面表现在阅读问题、理解问题、解决问题所涉及的知识与方法都是数学科学中非常典型且通用的, 而不是孤立的解题技巧.高考数学的基础包括数学教科书中的知识、结论、思想方法以及它们之间的内在联系.数学教科书是高考数学内容、形式及其结构的主要载体.考生要想打下坚实的数学基础, 说到底, 就是要运用数学教科书所涉及的结论与事实、思想与方法之间的内在联系, 把它们建构成纵横联系、泾渭分明的整体网络结构.也就是要解决好“是什么 (知识结论问题) , 为什么 (知识联系问题) , 怎么用 (能力表现问题) ”三个层次的问题.2016年云南省高考数学中任何一个问题的解答方法, 都可以用教科书的理论体系阐述“是什么问题”和“为什么这个问题要用这种方法”, 许多问题直接源于教科书, 这些都表明2016年的高考数学特别重视对数学基础的考查, 即强调教科书的工具与示范作用.

有些考生在一些容易得分也应该得分的问题上失分, 主要原因还是没有弄清楚“是什么”这个问题, 犯了似是而非的错误;也有许多考生会背具体的结论但不会用, 问题的根源还在于不清楚“为什么”这个问题.考生普遍反映2016年的高考数学试题看似不难, 阅读参考答案也感觉很简单, 但在考场上, 为什么就想不到相应的解法呢?说到底, 还是因为考生的数学基础不牢固, 对数学教科书上的知识掌握得不扎实.

例3下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量 (单位:亿吨) 的折线图.

(Ⅰ) 由折线图看出, 可用线性回归模型拟合y与t的关系, 请用相关系数加以说明;

(Ⅱ) 建立y关于t的回归方程 (系数精确到0.01) , 预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.

解: (Ⅰ) 由折线图中的数据和附注中的参考数据, 可得

因为y与t的相关系数近似为0.99, 说明y与t的线性相关性很强, 从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.

所以, y关于t的回归方程为:

将2016年对应的t=9代入回归方程得

所以, 预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨.

说明:本题是2016年云南省高考文科数学第 (18) 题, 也是理科数学第 (18) 题, 属于线性相关系数及线性回归方程的求解与应用这一部分的典型问题, 在数学教科书上给出了解决问题的详细过程.它与下题同出一辙.

例4 (2014年云南省高考理科数学第19题) 某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位:千元) 的数据如下表:

(Ⅰ) 求y关于t的线性回归方程;

(Ⅱ) 利用 (Ⅰ) 中的回归方程, 分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况, 并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

题目本身已经明确地告诉考生解决问题要算哪些量, 同时还给出了相关的计算公式, 从解答过程看, 只需要把有关数据代入公式计算即可.本来应该是个简单问题, 但由于我们不重视数学教科书, 加上这类问题2014年云南省高考数学曾经考过, 在很多教师眼中, 这类问题除了要求考生机械地进行计算, 几乎没有考查考生其他方面的数学能力.在信息技术已经渗透到社会生活的方方面面的今天, 有谁能够猜到这样的题会成为2016年云南省高考数学的解答题呢?因为没有思想准备, 这个题目自然也就成了难题.难到什么程度, 请看统计结果:

本题得分不高, 笼统地讲是数学基础不扎实, 实质上是考生对数学教科书不熟悉.

在数学家眼里, 数学的本质绝对不是孤立的问题与解法, 而是一套理论体系与思想方法.学习数学, 核心就是要构建一套理论体系与思想方法.在这个过程中, 我们要揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质.数学课程要讲逻辑推理, 更要讲道理, 通过分析典型例子和引导学生自主探索, 使学生理解数学概念和结论的形成过程, 体会蕴含在其中的思想方法, 把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态.在数学家眼里, 高中数学教科书是高中数学理论体系与思想方法的教育形态的载体.

只有吃透数学教科书上的例题、习题, 才能全面、系统地掌握基础知识、基本技能和基本方法, 构建数学的知识网络, 以不变应万变.高考数学试题虽然不可能单纯地考查背诵、记忆的内容, 但认真分析高考数学试卷, 我们不难发现, 许多题目都能在课本上找到“影子”, 而教育部考试中心数学学科的负责人多次指出高考数学的每一个问题都源自教科书.

高考试题千变万化, 异彩纷呈, 但无论怎样变化、创新, 都是基本数学问题的组合.所以, 对基本数学问题的认识, 基本数学问题解答模式的研究, 以及对基本问题所涉及的数学知识、技能、思想方法的理解, 都是数学复习课的重心.多年的高考试题表明:基础题、中档题不需要题海, 高档题靠题海也解决不了.在复习中, 切忌“高起点、高强度、高要求”, 所谓“居高临下”, 往往投入很大, 却收效甚微, 甚至使学生丧失学习数学的兴趣和信心.因此, 教师要引导学生重视基础, 切实抓好“三基” (基础知识、基本技能、基本方法) .最基础的知识就是最有用的知识, 最基本的方法也是最有用的方法.在复习过程中, 我们必须重视数学教科书, 夯实基础, 以课本为主, 重新全面梳理知识、方法, 注意知识结构的重组与概括, 揭示其内在联系与规律, 从中提炼出思想方法.在深化知识的过程中, 切忌孤立地对待知识、方法, 而应自觉地将其前后联系, 纵横比较、综合, 自觉地将新知识及时纳入已有的知识系统中去, 融概率与统计、代数、三角函数、立体几何、解析几何、简易逻辑基础、计算机基础于一体, 进而形成一个条理化、有序化、网络化的高效的有机认知结构.

高考数学试卷上所谓的难题、综合题, 并非无从下手, 更不会“偏”和“怪”, 也都遵循一定的规则.从高考数学是能力考试这一性质来看, 高考数学中的难题、综合题也都是在对教材的内容进行引申的基础上命制的.

当前, 许多教师不重视数学教科书, 更不重视《普通高中数学课程标准 (实验) 》, 这是导致考生不会使用教科书的关键因素, 也是影响考生高考数学分数的重要因素.

高中数学教科书把《普通高中数学课程标准 (实验) 》中纲领性、抽象的规定具体化.可以这样讲, 高中数学教科书是《普通高中数学课程标准 (实验) 》中数学内容的载体, 学生学习数学基本上是以数学教科书为主要依托.

高考数学《考试大纲》是依据《普通高中数学课程标准 (实验) 》制定的, 它们之间没有什么矛盾, 但功能不同, 因此, 会有一些不同之处.《普通高中数学课程标准 (实验) 》是整个高中数学教学的依据, 而《考试大纲》只是为高考的需要而制定的, 因此, 课程标准的覆盖面比考试大纲更广一些.比如说, 有一些数学知识对学生的发展是必不可少的, 但未必需要考试.如, 一些重要的数学方法与难题的简介, 一些历史人物、数学历史发展情况的介绍, 以及一些综合实践活动内容, 这些都可以开阔学生的视野, 对一个人智能的发展具有重要的意义, 但是高考数学不需要也不可能对这些知识进行考查.这是因为就学生目前的知识基础而言, 难以真正理解这些知识, 而如果只考查一些表面的东西, 鼓励学生简单地死记硬背, 则不能考查学生真实的数学能力与数学素养, 显然, 这不符合高考数学以考查能力为主这一宗旨.

同样, 有些能力对学生的发展很重要, 但是由于受到考试形式和规模的限制, 高考无法进行考查, 如, 高中数学教科书中有关研究性学习中的动手实验和探究能力等.也正是因为如此, 才有必要制定《考试大纲》.因此, 对于教师而言, 要想正确地指导学生备战高考, 弄清《考试大纲》的要求很重要.但是, 一个人许多方面的能力是相互关联的, 有些内容, 虽然高考数学《考试大纲》中没有明确要求, 但对开阔学生的视野, 提高学生思维的灵活和深刻程度, 提高学生在考场上的应变能力很有用, 从而对提高考试成绩也有间接的作用.对于这些内容, 在复习时也不能完全丢开不管.

所以, 在高考数学备考过程中, 教师应该以数学教材为依托, 指导学生全面复习, 对高考数学《考试大纲》没有列出的内容, 不必过分深究.不过要注意, 从2004年开始, 高考数学的题目大体上分为两类, 一类题目有意识地关注并考查考生的主观态度, 以数学教科书为素材, 考查考生对教科书的掌握程度, 对于那些根据典型问题与方法构建的“陈题”, 重在考查考生对基础知识与方法的积累, 即通常所说的对数学基础积累的考查.另一类题目考查较为深层的能力, 重点考查学生运用自己已经积累的基础知识与方法解决问题的能力, 即通常所说的对数学基础应用的考查.前者与数学教科书关系较紧密, 直接打下了教科书内容的烙印;后者基本上是从数学教科书的内容引申出去.因此, 依托数学教科书不等于捆死在教科书上.

普通高考数学全国卷 篇11

【关键词】高考英语；四川卷；分析；启示

一、听力部分

听力部分一共两节，分为短对话与长对话，满分30分。本套试卷听力有以下几个特点：

（1）选项同义转述题较多，譬如第一节第2小题；

2.What is the weather like now？

A.Its sunny B.Its rainy C.Its cloudy

原听力材料为：

Text 2：W：Peter，how is the weather now？Is it still raining？

M：No，but theres still lots of clouds.The weatherman said the sun wouldnt come out until next week.

因此正确选项为C。

（2）更注重对语境的考查。

（3）细节、推断题考查为主且全面；

（4）干扰项设置巧妙，譬如第19小题；

19.What will the tourists do in fifteen minutes？

A.Meet the speaks B.Go to their rooms C.Change some money

所对应的原听力材料关键句为：Go and leave your luggage in your rooms.Ill be seeing you here again in fifteen minutes.Goodbye for now！因此该题干扰项为B，而正确选项为A。

听力部分所涉及的内容均选自新课标要求的话题与难度，长对话约为7～10篇，共计851个单词，平均每分钟约为150～155个词。总体来讲，听力材料一般为显性信息，主要考察了学生的对于多个事实呈现的判断力与短时记忆的能力，主要为中学生进入高校后可能接触到的情境有关。

二、阅读理解部分

阅读理解部分分为两小节，第一节为阅读，分为A、B、C、D四篇，第二节为阅读七选五1，共15小题，每小题2分，共30分。A篇为应用文，话题设置为招聘篮球比赛统计助理的校园广告，共设3问；B篇为议论文，话题为如何实现人生价值，共设4问；C篇为说明文，话题为文化交汇交融现象，共设4问；D篇为科技说明文，话题为韩国科学家的研究成果，共设4问。七选五话题为探讨女性比男性长寿的生物学原因。文段合计1093词，题型大意理解3题、简单推断4题、细节理解6题、推测词义1题、篇章结构考察2题。总体来說，本套试卷的阅读理解有以下特点：（1）选材广泛；（2）内容丰富；（3）由浅入深；（4）考查全面；（5）设问科学；（6）干扰合理。七选五的特点为：（1）原词复现；（2）结构类似；（3）先总后分、先分后总。

三、英语知识运用

1.完形填空

完形填空分别考察了动词7项、形容词5项、副词4项、名词3项、介词1项。总体来说，本套试卷完形填空有以下几个特点：（1）结构紧凑；（2）语言地道；（3）倡导阅读；（4）激发兴趣；（5）设空科学；（6）区分度高。

2.语法填空

语法填空题型的话题设置融入了四川的元素，容易使考生产生区域文化认同感，讲述了如何抚养大熊猫幼崽。本套试卷的语法填空着重考查英语基础知识的运用，实词为主，兼顾虚词，尤其是动词的考查。

四、写作部分

1.短文改错

短文改错共10小题，每小题1分，满分10分。讲述了母亲节的行程。考点分布为：

2.书面表达

书面表达的题目为“The Season I Like Best”，要求写出三个要点：（1）你最喜欢的季节；（2）你喜欢该季节的理由一；（3）你喜欢该季节的理由二。以此根据内容以及语言划档给分。满分25分，较去年相比分数下降了10分。为了与全国卷接轨，2016年的四川高考英语卷不再像以往设置五个要点，这也是顺应新课改的要求，不过分注重形式，而是更加关注内容。

结语

总体而言，2016年全国普通高考英语（四川卷）试题平稳创新顺应新课改的要求，注重能力的同时又体现出探究性，试题难度梯度划分适当，贴近生活注重实际。为2017年与全国卷的接轨顺利开头。

【参考文献】

[1]辜向东，王秋艳.高考英语全国卷与各省市自主命题卷阅读理解试题内容效度分析[J].考试研究，2008

[2]教育部考试中心.普通高等学校招生全国统一考试大纲[M].高等教育出版社，2006-2010

普通高考数学全国卷 篇12

(C) 12-13i (D) 12+13i

点通1:分母实数化

,故选(A).

点通2:提取i

由3+2i=i(2-3i),则

,故选(A).

点评:分母实数化,是解决分式型复数的运算及其相关问题的基本策略.对于形如(a,b∈R),利用提取i更简单,即.

2.记cos(-80°)=k,那么tan100°=()

点通1:化成80°角

由cos(-80°)=cos80°=k,sin80°>0,则

点通2:化成-80°角

由于sin(-80°)<0,则

点通3:化成100°角

由于sin100°>0,cos100°=-cos(-80°)=-k,则

点评:对于遇到一个角的一种三角函数值,求其余五种三角函数值问题,通常是利用同角三角函数关系来解决,因此可统一成同一个角,同时要注意符号看象限.

3.若变量x,y满足约束条件则z=x-2y的最大值为()

(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D)1

点通1:图解法

如图1,作出可行域.经过原点(0,0)作直线lo:x-2y=0,作一组与l0平行的直线l:x-2y=z.则当l过(1,-1)点时,z值最大,

zmax=1-2×(-1)=3,故选(B).

点通2:角点法

是指在可行域的角点取到最值,共有三个角点,分别为(1,-1),(1,3),(-1,1).分别代入z=x-2y,比较后知过点(1,-1)时x-2y取最大值为3.故选(B).

点通3:变量代换

如图2,显然z的最大值为A点的纵坐标.

解得z=3,则zmax=3,故选(B).

点通4:巧解不等式

消去y,化为关于x的不等式组

再消去x,化为关于z的不等式组

解得-3≤z≤3.得zmax=3,故选(B).

点评:图解线性规划的最优解问题,通常是“三步曲”来解决.

(1)画可行域——在平面直角坐标系中作出可行域.

(2)作目标函数的等值线——即一组平行线;

(3)求出最终结果——平行移动目标函数的等值线,即可得到有唯一的最优解,或是无穷最优解,或无最优解.

点通1是通法,而点通2是解此类题简化方法,我们可以发现形如z=ax+by在可行域的顶角取到最值.点通3可避免“平移”,使目标函数值的范围一目了然,极大减少了出错的概率.

4.已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()

(A)(B)7 (C)6 (D)

点通1:用等比中项

点通2:用性质

由等比数列定义知,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9仍成等比数列.则有,故选(A).

点通3:用通项

由an=amqn-m,则有a7a8a9=(a1q6)(a2q6)(a3q6)=(a1a2a3)q18,得q18=2.所以,故选(A).

点评:方程的思想(即转化为基本量a1,d(q))是解决等差数列(或等比数列)的通法,但不一定是最好的方法.本题运用性质:若m+n=k+l(m、n、k l∈N*),则am·an=ak·al,使问题得以简解.记住常用的性质或结论,可大大提高解题速度.

5.的展开式中x项的系数是()

(A)-4 (B)-2 (C) 2 (D) 4

点通1:用表格

由x项的系数分别来自两个二项式的展开式中两项乘积的系数,应为如下表搭配:

因此,x项的系数是,故选(C).

点通2:先展开,再观察

故展开式中x项的系数为.故选(C).

评注:对两个二项式的积或可化为两个二项式的积的展开式中某项的系数问题,通常转化为乘法分配律,借助于表格法解决,即分别由对应项的乘积来组成.

6.某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有()

(A) 30种(B) 35种

(C) 42种(D) 48种

点通1:分类讨论

可分以下2种情况:

(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有种不同的选法;

(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有种不同的选法;

所以不同的选法共有种,故选(A).

点通2:正难则反

即都选A类选修课,共有种;都选B类选修课,共有种.

而不考虑条件限制,共有种.减去不合条件,即种,故选(A).

点评:本题是排列组合中典型问题,通常有直接法(这里是分类讨论法)和间接法(总体减去不合题意部分).

7.正方体ABCD—A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()

点通:寻找线面角

如图3,设上下底面的中心分别为O1、O,由OO1∥BB1,知OO1与平面ACD1所成角∠O1OD1就是BB1与平面ACD1所成角.不妨设棱长为1,则有

故选(D).

点评:本题若注意到DD1//BB1,那么∠DD1O就是BB1与平面ACD1所成角.另外,本题也可运用向量法来解决.

8.设a=log32,b=ln2,,则()

(A) a

(C) c

点通:化为同底

由于y=log2x在定义域上是增函数,则有log24>log23>log2e>1,

所以,

即c

点评:比较大小是常见题型,通常有作差法、作商法、单调性法、数形结合法,介值法等.

9.已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为()

(A)(B)(C)(D)

点通1:焦半径法

在双曲线中,a=1,b=l,,设点P(x0,y0)在双曲线上,由焦半径公式知

由余弦定理,得

得.

又点P(x0,y0)在双曲线上,故有,

点通2:焦三角形面积法

设点P的坐标为(x0,y0),则点P到x轴的距离就是|y0|.由面积公式,得.

的左、右焦点分别为F1、F2,P(x0,y0)为双曲线上任一点,并设∠F1PF2=θ,则焦点三角形面积公式.

点通3:定义法

解得,故选(B).

评注:回归定义,用基本量法,也是数学解题时一种常用方法.

10.已知函数f(x)=|lgx|,若0

点通:单调性法

由0

又函数在a∈(0,1)上为减函数,所以,

即a+2b的取值范围是(3,+∞).选(C).

评注:极易忽视a的取值范围,而利用均值不等式求得,从而错选(A).

11.已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么的最小值为()

点通1:用数量积公式

故选(D).

点通2:巧用三角函数

故选(D).

点通3:解析法

设圆的方程为x2+y2=1,设A(x1,y1),

12.已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为()(A)(B)

点通:割补法

过CD作平面PCD,使AB⊥平面PCD,交AB于P.设点P到CD的距离为h,则有

.