初中数学竞赛分级训练

初中数学竞赛分级训练（精选11篇）

初中数学竞赛分级训练 篇1

2014年初中数学全能竞赛训练题

1、已知 0

2、已知x3x2x10,那么1xx2x3x1995

3、凸九边形共有对角线

4、方程1x21x2。.x3

4x2x240的解是。

5、若xabc, 则x的值为bccaab6、多项式5x24xy4y212x25的最小值为。

39的全部实根之积为。x23x7

113.8、设x0,且x1,x3xx7、方程x3x29、三角形的三边a,b,c适合 abc33810a24b26c，则此三角形为（）

A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形 22210、方程xx3x20的实根个数为

x194910010适合（）

11、方程x19970701

A.没有实数根

C.两根倒数和大于-1；B.有一个整数根 D.以上结论都不对 2

ax2y

312、方程组的解适合yx0,则a的取值范围为。2xy1

13、已知实数x,y,z,适合xy6,z2xy9,则z.14、甲、乙、丙三人做某工作，甲独做所需时间为乙、丙合作所需时间的3倍，乙独做所需时间为甲、丙合作所需时间的2倍，则丙独做所需时间为甲、乙合作所需时间的倍。

15、某班学生不足100人，有若干筐苹果，每筐苹果100个，若分给男生每人4个，女生每人3个，则余5个苹果，若分给男生每人3个，女生每人4个，则余10个苹果，该班学生有个。

16、如图，BAC90,AFBC,BDDCCF1,AC3

.A B F C

初中数学竞赛分级训练 篇2

浙江大学城市学院从2002年开始参加中国竞赛, 从2004年开始参加美国竞赛, 并在两项赛事上均取得不错的成绩。本文根据近几年的参赛经验就竞赛赛前训练的组织和实施做一总结和探讨。

一、训练的组织时间安排

中国竞赛每年进行一次, 时间一般安排在9月下旬, 每次竞赛时间为3天3夜共72小时。为顺利完成竞赛并取得较好的成绩, 赛前训练需进行系统地统筹安排。

在竞赛前一年 (大一下学期) 安排一次全校性数学建模 (以下简称数模) 讲座。讲座主要分析一些仅利用大一知识就能解决的并带有很强趣味性的日常生活问题、社会热点问题, 让大家对数模有个简单的了解, 并激发对数模的好奇心, 进而选修数模课程。

考虑到浙江大学城市学院学生的数学基础较为薄弱, 我们在大二上学期开设数学建模选修课。该课程主要介绍数模基本思想、常用建模方法, 以及较为经典的建模案例, 以激发该院学生的学习数学知识的兴趣。此后我们还在大二下学期开设数学实验选修课, 该课程主要介绍一些建模软件, 要求学生直接利用软件编程求解一些简单的数学模型, 提高设计算法和算法实现的能力。

为了让学生了解和掌握更多的数学方法、数学技术, 我们在暑期 (7月中下旬) 对参加数模竞赛感兴趣的同学集中开设数学建模培训班, 介绍选修课以外的一些必备数学知识, 并给学生指导论文写作等。

培训班结束后我们再组织为期一个月 (8月) 的数学建模讨论班, 培养学生发现问题、分析问题和应用数学知识建立数学模型解决实际问题的实践能力。根据讨论班中的表现, 我们选拔出一些优秀学生参加9月份的中国竞赛。

二、训练的组织内容和方法

1. 数学建模选修课。

数学建模就是利用数学思想、方法将实际问题提炼、加工成数学问题, 然后应用数学技术求解数学问题, 并将其数学结果反馈到实际问题中去的全过程。开设数模课程的目的就是希望能让学生具备一定的建模能力, 能够模仿建立一些简单的数学模型。

针对浙江大学城市学院学生数学基础相对较差和对数学恐惧的特点, 我们在教学中挑选了许多趣味性较强的实例, 先激发学习兴趣, 进而介绍通俗易懂的相关理论, 再引导他们研究一些较简单的课题, 以便让他们从中体会到学习数学知识的重要性, 努力促进他们的转化。

在教学方法上, 我们采用启发式教学方法, 让学生积极主动参与到提出假设、建立模型、模型求解、模型检验、模型的改进的全过程, 领悟经典案例的思想方法, 激发学生学习兴趣。

2. 数学实验选修课。

选修数学建模课程后, 学生基本上可以仿照经典案例建立一些简单的数学模型, 但建模更重要的是模型的求解, 为此我们开设数学实验选修课, 希望学生能够利用一些软件求解一些简单的数学模型, 以增强学生的成就感。

我们选择的软件是数学软件Matlab和优化软件lingo/lindo。教学重点重在激发学生自己动手和探索的兴趣而不在于讲授软件的多少内容, 所以只是对核心部分做一简要介绍, 大部分时间是让学生通过动手去亲身体验。我们要求学生在机房完成简单建模案例的分析、建模、编程求解等诸环节, 以增强他们的动手能力, 亲身体验到成功的乐趣, 激发他们进一步求解复杂模型的兴趣。

3. 数学建模培训班。

数模竞赛的题目一般是来源于工程技术和管理科学等方面的实际问题, 选修课中所学不可能都能用上。所以要想成功地解决竞赛题目, 还需要给学生补充一些数学知识、数学技术, 以及一些必备的技能。

我们在培训班给学生介绍一些其他的数学模型如统计模型、图论等, 还介绍一些如层次分析法、模糊数学等新的数学技术。此外我们还传授一些搜索文献资料和撰写科技论文等技能和技巧。

培训班的教学方法是理论教学与实验教学相结合的方法, 以实践教学为主, 在讲授基本理论或方法之后马上让学生动手做相关的实验, 以期达到快速领悟基本思想的目的。

4. 数学建模讨论班。

到目前为止, 学生还没有真正经历过一次真正完整的建模过程, 所以在竞赛之前安排了最后一个环节让学生进行亲身体验, 进行实战演习, 并通过数模讨论班达到共同进步。

安排学生三人组队在3天~7天内完成一篇论文, 然后每组在讨论班上向所有同学及老师报告, 并让大家讨论, 对听讲者提出疑问或建议报告者需做出合理的解答。数模讨论班环节是整个体系中的关键环节, 讨论班上不同的思想火花不断地进行碰撞、交融, 所有小组都能够通过讨论而达到共同进步。

三、训练的成效

城市学院的学生已经获得多个美国赛一等奖和中国赛一等奖, 但这些成绩仅仅是训练的短期成效的体现, 训练的长期成效会在训练之后学生的学习和生活中以及毕业后的工作中陆续体现出来。目前看来, 训练对激励大学生积极学习数学知识, 对学生开拓知识面, 对培养学生发现问题、分析问题和应用数学知识和计算机技术解决实际问题的实践能力, 对提高学生的综合素质, 启迪学生创新意识和合作意识, 培养学生的创新能力和团队协作能力帮助很大。

摘要：本文对数学建模竞赛赛前训练的组织和实施进行了探讨, 赛前训练需系统地统筹安排, 数学建模课程、数学实验课程、培训班、讨论班四位结合的方法效果较好。

关键词：数学建模竞赛,训练,组织和实施

参考文献

[1]孙友莲:首届全国研究生数学建模竞赛的实践启发[J].中国研究生, 2005, (06) :24.25

[2]李大潜:中国大学生数学建模竞赛[M].北京:高等教育出版社, 2001.12

初中数学竞赛分级训练 篇3

[关键词]初中体育训练竞赛身心发展影响研究

[中图分类号]G633.96[文献标识码]A[文章编号]16746058（2016）240073

一、研究目的

青少年的身体素质关乎国家和民族的未来，是一个地区发展的动力，更是教育的根本目的。阳光体育运动在甘肃省中学的实施，使中学体育教育状况发生了什么样的改变，政府、教育部门应该根据发展状况出台什么样的政策以促进甘肃省中学阳光体育运动可持续发展，都是本文期待解决的问题。本文通过对初中体育训练与竞赛对中学生身心健康影响的分析，提出具有针对性的体育训练与竞赛的可行性对策，推动甘肃省中学阳光体育运动可持续发展，最终提高甘肃省中学生的身体健康水平，乃至促进学生形成终身体育意识。

二、研究方法

1.文献资料法

通过参阅教育学、体育学、学校体育学、体育社会学、教学论等相关书籍，借助甘肃省各大学图书馆，查阅万方数据库、维普数据库、中国知网、中国期刊全文数据库、中国教育网等相关的网站获得了一定数量的文献资料，并对以上文献资料进行了系统的归纳与述评，从而了解目前我国阳光体育领域的研究现状和研究动态，为本研究提供坚实的理论基础和有效的解决问题的思路。

2.面谈法

通过对甘肃省各中学的政府领导、相关专家、学校校长、教师和学生进行面谈，以更全面深刻地了解甘肃省中学实施阳光体育的状况，从而有针对性地提出促进甘肃省中学阳光体育运动可持续发展的对策。

三、结果与分析

1.有利于提高学生的身体素质

（1）促进学生体格发育

中学阶段是学生身体生长和发育的关键阶段，通过科学的体育训练和竞赛活动，可以促进学生的新陈代谢活动，有利于学生身体对糖的代谢和调节，从而保持健康的体形。同时，中学生适当地参加一些体育训练和竞赛活动，通过跳、跑、投、掷等运动，可以锻炼骨骼、肌肉及关节等部位，从而促进身体对各种矿物元素的吸收，有利于骨骼的发育。

（2）促进学生神经肌肉发育

根据科学分析表明，加强中学生体育训练和竞赛活动，可以有效改善中学生的神经肌肉系统调节能力，提高神经中枢系统对于各种复杂情况的应对能力。另外，体育训练和竞赛还可以改善骨骼肌的新陈代谢能力，加强机体运输氧的能力，确保大脑在紧张的学习中能获得充足的养分，为学习奠定基础。

（3）促进学生心肺功能发育

加强体育训练和竞赛活动，可以降低中学生的心脏负荷，减缓心率跳动频率，从而增强心脏的功能，保障冠状动脉有充足的血流，以便于为心肌提供所需要的营养。同时，体育训练与竞赛还能增强呼吸肌，扩大胸廓，有利于肺组织的生长发育和肺的扩张，提高中学生的肺活量。

2.有利于提高学生的感知能力

在中学体育课堂教学过程中，教师组织学生开展各种项目的体育训练和竞赛，在此类活动中，学生需要根据项目的内容快速做出反应，准确地判断并配合身体来完成各种复杂的肢体动作。通过这种长期的科学锻炼，可以有效提升学生的感知能力和反应能力，促使学生变得更加敏锐和灵活。

3.有利于提高学生的心理素质

根据相关部门统计，我国中学生群体中有半数以上都是独生子女，他们从小在家庭中娇生惯养，人际关系相对单一，与人相处的能力相对较弱。再加上许多中学生由于家里父母望子成龙观念的影响，自身学习压力大，负担重，在繁重的学习过程中由于感情疏通不顺畅而容易产生不同程度的抑郁症、自闭症等，造成性格方面存在缺陷，如自私自利、自闭、狂妄自大等，从而影响到心理健康发展。中学体育教师有责任完善学生的心理素质，同时培养学生的良好品格。例如，在体育课堂上教师可以带领学生开展一场篮球竞赛活动。现代篮球运动从本质上来讲已经远超过了单纯的游戏功能，篮球运动以其丰富多彩的实践内容成为人们最热爱的体育项目之一，它不仅能开发人们团结协作的智慧，更能够陶冶情操、修养身心，让人们在复杂的环境下通过各种规律性的运动来实现锻炼。因此，从这个角度来讲，现代篮球运动的价值已经远超出了单纯的健身和娱乐功能，它可以说是一种锻炼人性格与品质的运动项目。

4.有利于培养学生的竞争意识

竞争是现代社会中不可或缺的现象。中学生虽然大部分时间都在学校中，但他们迟早要步入社会中来。尽管学生眼前的任务只是学好科学知识，但如果学生在学习过程中缺乏竞争意识，那么在学习过程中将寸步难行，在毕业后将很难适应现代充满竞争的社会。而通过体育课堂上有效的训练和竞赛活动，无疑可以提高学生的竞争意识。

例如在足球运动中，将学生分成两个队伍进行比赛，无论是直接参与的队员，还是站在一旁助威、观赏的学生，大家都积极参与，气氛热烈。因此，有人说足球竞技是一项浓缩着社会性、群众性和竞技性的社会群体性运动。人们在运动场上通过热情洋溢的竞技，形成的良好品行和行为习惯，可以迁移到日常行为模式中并受到社会的认同和接纳。在足球场上不论尊卑，不讲资历，用拼搏和实力说话，可以培养学生积极向上、勇于进取、不满足现状、超越自己和创新的竞争意识。

5.有助于培养学生的个性和适应社会的能力

个性是体现一个人品质、思想及性格等综合素质有别于他人的主要特征，个性的发展与体育运动及竞赛活动有着直接的关联。社会适应能力指的是一个人把自我态度和自我行为转化为社会的态度与行为的能力。在训练和竞赛活动中，要求学生彼此之间学会沟通、交流、合作，这些因素都会提高学生的人际交往能力，从而增强学生对于社会的适应能力。体育训练和竞赛对于学生人格发展有着积极、全面的促进作用。在整个竞赛活动中，学生积极参与到活动中去，充分展现自己的才华，张扬自己的个性，同时也能够学会拼搏、团结与沟通。在体育竞赛中，学生为了完成目标，就要建立起平等、民主、自由、坦诚的人际交往关系，彼此之间本着相互信任，相互尊重的态度去合作，这无疑会促进他们人际交往能力的提高，进而促使其踏入社会时更好地适应社会。另外，通过开展不同类型的体育竞赛还能活跃课堂气氛。活泼好动是中学生的特征之一，如果能正确地引导，则可以培养学生的兴趣。因此，鼓励学生参加多样化的竞赛活动，可以满足学生的兴趣需要。

四、结论与建议

总之，在中学阶段有效地开展体育训练与竞赛，不仅可以提高学生的身体素质，还能够健全学生的心灵与人格，提高学生的社会适应能力，改变学生不良的生活习惯，对于学生将来进一步发展有很大的帮助。所以，体育训练和竞赛应当作为中学生素质教育中的一个重要组成部分，引起教师和中学生的共同关注。而作为管理者，校方和教师也应当为学生提供更多的锻炼自己、发展自己的平台。

[参考文献]

[1]郭科明.高校竞技体育改革之——对高校运动训练现状分析与发展思考[J].北京体育大学学报，2013（7）.

[2]姚萍.学校体育竞赛存在的问题与改革思路[J].现代中小学教育，2012，12：6-7.

[3]周志荣.论加强课外体育活动的组织对学生身体素质发展的影响[J].吉林体育学院学报，2013，13（1）：87—89.

初中数学竞赛分级训练 篇4

一、算式谜

1.在下面的数中间填上“+”、“-”，使计算结果为100。1 2 3 4 5 6 7 8 9=100 2.ABCD＋ACD＋CD=1989，求A、B、C、D。

3.□4□□－3□89=3839.4.1ABCDE×3=ABCDE1，求A、B、C、D、E。

5.二、找规律

6.找找规律填数

（1）75，3，74，3，73，3，（），（）；（2）1，4，5，4，9，4，（），（）；（3）3，2，6，2，12，2，（），（）；（4）76，2，75，3，74，4，（），（）；（5）2，3，4，5，8，7，（），（0）；（6）2，1，4，1，8，1，（），（）。7.在（）内填入适当的数（1）1，1，2，3，5，8，（），（）；（2）0，2，2，4，6，10，（），（）；（3）1，3，4，7，11，18，（），（）；（4）１，１，１，３，５，９，（），（）；（5）0，1，2，3，6，11，（），（）；

8.找规律在（）内填上合适的数（1）0，1，3，8，21，55，（）；（2）2，6，12，20，30，42，（）；（3）1，2，4，7，11，16，（）。

9.下面的数列排列有一定规律，找出它的变化规律，在（）内填上合适的数。

（1）1，6，7，12，13，18，19，（）；（2）1，3，6，8，16，18，（），（）；（3）1，4，3，8，5，12，7，（）

（4）1000，970，200，180，40，30，（），（）。

三、排列组合 小华、小花、小马三个好朋友要在一起站成一排拍一张照片。三个人争着要站在排头，无法拍照了。后来照相师傅想了一个办法，说：“我给你们每人真的不掉线吗？？、？？？？？？？？？？？？

10.站在不同位置都拍一张，好不好？”这下大家同意了。那么，照相师傅一共要给他们拍几张照片呢？

11.二（1）班的小平、小宁、小刚、小超4人排了一个小块板，准备“

六、一”演出。在演出过程中，队形不断变化。（都站成一排）算算看，他们在演出小快板过程中，一共有多少种队形变化形式？

12.“69”顺倒过来看还是“69”，我们把这两个顺倒一样的数，称为一对数。你能在“0，1，6，9，8”这五个数中任意选出3个，可以组成几对顺倒相同的数？

13.有五种颜色的小旗，任意取出三面排成一行表示各种信号。问：共可以表示多少种不同的信号？

14.用数码0、1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的三位数？

四、简单推理

15.红、黄、蓝三个盒子，两个盒子是空的，一个盒子放了乒乓球，每个盒子盖上都写入一句话：红盒上写着“乒乓球不在这里”；黄盒上写着“乒乓球不在这里”；蓝盒上写着“乒乓球在红盒里”；不过，其中只有一句话是真的，想一想：乒乓球究竟在哪个盒子里？

16.甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两个人都要赛一场，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同，问丁胜了几场？

17.A、B、C、D、E五人参加乒乓球单打比赛，每两人都要赛一盘，并且只赛一盘，规定胜者得2分，负者得0分，现在知道比赛结果是：A和B并列第一名，C是第三名，D和E并列第四名，那么C得多少分？

18.二年级举行数学竞赛，马林、王强和李伟取得了前三名，已知马林不是第一名，李伟不是第一名也不是第二名，（）是第一名，（）是第二名，（）是第三名。

19.四个小朋友称体重，甲比乙重；乙比丙轻；丙比甲重；丁最重。这四个小朋友体重按从轻到重的顺序是怎样的？

五、图形计数

20.下图共有()个长方形.()长方形.21.个长方形.()数一数图中三角形的个数.个

真的不掉线吗？？、？？？？？？？？？？？？()个三角形.()

22.下图共有()

个三角形.个平行四边形.23.数一数,右图中有多少个正方形?

六、巧算简算

24.计算

（1）9999＋999＋99＋9（2）1797－（797－215）

（3）999×999＋2999（4）125×4×8×25（5）26×101（7）999×111＋333×667（8）1＋2＋3＋4＋……＋99＋100

七、平均问题

25.期中考试小明3科的平均成绩是95分，数学得了99分，英语得90分，语文得了多少分？

26.小李参加了5科的期末考试，数学成绩没有公布，其他4科的平均成绩是90分，如果将数学成绩加进去，小李5科的平均成绩是92分。小李的数学成绩是多少？ 27.小明从家到学校的路程是 540米，小明上学要走9分，回家只用6分，那么小明往返一次平均每分走多少米？

28.一位登山运动员以每小时6千米的速度从山脚登上山顶，又以每小时4千米的速度立即从山顶按原路返回山脚。在一个上下的过程内平均速度是多少？

29.一次数学考试中，小明和小王的成绩之和是196分，小明和小英的成绩之各是198分，小英和小王的成绩之和是194分。求3人的平均成绩。

八、等量代换

30.一包巧克力的重量等于两袋饼干的重量，4袋牛肉干的重量等于一包巧克力的重量，一袋饼干等于几袋牛肉干的重量？ 31.一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3只鸡的重量等于4只鸭的重量。一只小猪的重量等于几只鸭的重量？

32.一头牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等，也和6只羊一天吃草的重量相等，已知一头牛一天吃青草18千克，一只兔子和一只羊一天共吃青草多少千克？

33.A＋A＋A＝18，A＋B＝10。A和B各是多少？

34.少？ A－B＝8，A＋A＋B＋B＝20。A和B各是多

九、重叠问题

真的不掉线吗？？、？？？？？？？？？？？？ 35.有两块木板各长80厘米，钉在一起的地方长10厘米，钉好后共长多少厘米？

36.有两块同样的木板钉在一起后长88厘米，中间重叠的地方长8厘米，这两块木板各长多少厘米？

37.两根钢条焊接后长4米，已知一根长233厘米，焊接的地方长10厘米，另一根钢条长多少厘米？

38.丁老师出了两道数学题给数学兴趣小组的18名同学做，做对第一道题的有10名同学，做对第二道题的有12名同学，没有一道也没有做对的同学。两道题都做对了的同学有几名？

39.丁老师出了两道数学题给数学兴趣小组的18名同学做，做对第一道题的有10名同学，做对第二道题的有12名同学，有3名同学一道题也没有做对。两道题都做对了的同学有几名？

十、合理安排 40.长时间？ 课本中的烙饼问题拓展：烙2000块饼要多41.类似课本中的沏茶问题

十一、定义新运算

42.（5★4）规定：x★y=(x+y)+(x-y)，求13★5；13★43.规定A▲B=(A+B)×(A-B).求27▲9。

44.规定：m◎n=(m+n)×(m-n);求30◎（5◎3）。

45.如果1☆5=1+11+111+1111+11111，2☆4=2+22+222+2222，3☆3=3+33+333，4☆2=4+44，那么7☆4=_____________

十二、和差问题

46.明明星期天上街买衣服,花75元钱买了一条裤子和一件上衣,已知上衣比裤子贵15元,明明买上衣花 元.47.小梅与张芳今年的年龄和是39岁,小梅比张芳大3岁,张芳今年 岁.48.买一支自动铅笔与一支钢笔共用10元,已知铅笔比钢笔便宜6元,那么买铅笔、钢笔各花 元.49.学校做扫除,张娟和陈芳一共擦玻璃31块,又知张娟比陈芳少擦9块,张娟、陈芳各擦玻璃 块.50.小兰期末考试时语文和数学平均分是96分,数学比语文多4分,问小兰语文 分,数学 分.51.两个水桶共盛水50千克,如果把第一桶里的水倒出6千克,两个水桶中的水就一样多了.第一桶原盛水 千克.52.甲筐里有苹果30千克,乙筐里有桔子若干千克,如果从乙筐里取出12千克桔子,苹果就比桔子多10千克,乙筐原有桔子 千克.53.甲乙两船共载客623人,若甲船增加34人,乙船减少57人,这时两船乘客同样多,甲船原有乘客 人.十三、和倍问题

54．三年级一班和二班少先队员共做好事360件，二班做好事的件数是一班的2倍，三年级一班和二班少先队员共做多少件好事? 55．

妹有课外书20本，姐姐有课外书25本，姐姐给妹妹多少本后，妹妹课外书是姐姐的2倍? 乙两个粮库原来共存大米320吨，后来从甲粮库运出40吨，给乙库运进真的不掉线吗？？、？？？？？？？？？？？？

56．0吨，这时甲库存的大米是乙库的２倍，两个粮库原来各存大米多少吨? 57．

果店运来水果380千克，其中苹果比梨的3倍还少40千克，水果店运来苹果和梨各多少千克? 58．

两个油桶共存油240千克，如果把乙根的油注入甲桶40千克，这时甲桶存油正好是乙桶存油的3倍，甲、乙根原来各存油多少千克?

妹

2水

乙

十四、差倍问题

59． 妈妈的年龄是小刚的3倍，妈妈比小刚大24岁，小刚和妈妈今年多少岁？

60． 仓库存有大米和面粉。已知存放的面粉比大米多4500千克，存放面粉的重量比大米的3倍还多700千克，求仓库存有大米和面粉各有多少千克？

61． 学校原来排球的个数比足球多50个，如果再买40个排球，排球的个数就是足球的3倍，求原有足球、排球各多少个？

62． 甲有36本课外书，乙有24本课外书，两人捐出同样多本书后，甲剩下的书本数是乙剩下书本数的3倍，两人各捐多少本书？

63． 两根同样长的铅笔，第一根用去14厘米，第二根用去2厘米后，第二根的长度是第一根的5倍，两根铅笔原来各有多少厘米？ 64． 妈妈比小兰大24岁，今年妈妈的年龄是小兰年龄的5倍，多少年后，妈妈年龄是小兰年龄的3倍？

十五、年龄问题

65． 爸爸、妈妈现在的年龄和是72岁，5年后，爸爸比妈妈大6岁。今年爸爸和妈妈各多少岁？

66． 今年父亲比儿子大28岁，明年父亲的年龄正好是儿子的5倍，父子今年的年龄各是多少岁？

67． 方方今年11岁，她妈妈今年43岁，几年后妈妈的年龄是女儿的3倍？几年前妈妈的年龄是女儿的5倍？

68． 芳芳家有三口人，三个人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，问：三人各是多少岁？ 69． 王英5年前的年龄等于李明7年后的年龄，王英4年后与李明3年前的年龄和是35岁。李明、王英两人今年各多少岁？

十六、周期问题

70． 运动场上有一排彩旗，一共34面，按“三红一绿两黄”排列着，最后一面是（）。

71． “从小爱数学从小爱数学从小爱数学„„”依次排列，第33个字是（）。

72． 班同学参加学校拔河比赛，他们比赛的队伍按“三男二女”依次排成一队，第26个同学是（）。

73． 有一列数：1，3，5，1，3，5，1，3，5„„第20个数字是（），这20个数的和是（）。74． 甲问乙：今天是星期五，再过30天是星期（）。乙问甲：假如16日是星期一，这个月的31日是星期（）。

甲、乙、丙、丁4人玩扑克牌，甲把“大王”插在54张扑克牌中间，从真的不掉线吗？？、？？？？？？？？？？？？

75． 上面数下去是第37张牌，丙想了想，就很有把握地第一个抓起扑克牌来，最后终于抓到了“大王”，你知道丙是怎么算出来的吗?

十七、还原问题

76． 有一位老师，他的年龄乘2，减16后，再除以2加上8，结果恰好是38，这位老师今年几岁？

77． 小虎做一道减法题目时，把被减数十位上的6错写成了9，减数个位上的9错写成了6，最后所得的数差是577，这题的正确答案应该是多少？ 78． 某人去储蓄所取款，第一次取了存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半还少10元，第三次取了存款15元，这时还剩125元，他原来有多少元存款？

79． 一个书架分上、中、下三层，一共放书384本，如果从上层取出与中层同样多的本数放入中层，再从中层取出与下层同样多的本数放入下层，最后又从下层取出与现在上层同样多的本数放入上层，这时三层书的本数相同，求这个书架上原来上、中、下各放几本书？

十八、植树问题

80． 在一块长100米，宽80米的长方形地的周围种树，每隔若干米种一棵，共种了20棵，求每两棵之间的距离。81． 在一条长250米的路两旁栽树，起点和终点都栽，一共栽了102棵，每两棵相邻的树之间的距离都相等，你知道是多少米吗？

82． 四年级的全体学生参加广播操比赛，排成4路纵队入场，队伍长230米，每队中前后两人相距2米。四年级共有多少名学生？

83． 有320盆菊花，排成8行，每行中相邻两盆菊花之间相距1米，每行菊花长多少米？

84． 有一根木料长20米，先锯下2米长的损坏部分，然后把剩下的木料锯成一样长的木条，又锯了5次，每根短木条长多少米？

十九、简单方阵

85． 学校组织一次团体操表演，把男生排列成一个实心方阵，又在这个实心方阵四周站一排女生。女生有72人参加表演，男生有多少人？ 86． 在正方形的广场四周装彩灯，四个角上都装一盏，每边装25盏，问这个广场一共需装彩灯多少盏？

87． 运动会上，在正方形操场四周站着执旗的同学28人，如四个角上都站一名同学，求这个操场每边站台多少个学生？

88． 小强用棋子排成了一个每边11枚的中空方阵，共2层，求这个方阵共用多少枚棋子？

二十、巧算周长和面积

89． 下图“十”字的横与竖都长6厘米.问“十”间的周长是 厘米.90． 求下图上“凹”形的周长.单位:厘米 真的不掉线吗？？、？？？？？？？？？？？？

91． 下图是由若干个相等的正方形组成的“土山”两个字,已知每个正方形的边长是3厘米,这两个字的周长分别是、厘米.92． 下图是由三个相同的长方形纸片组成的一个“5”字,已知长方形长4厘米,宽2厘米,“5”字周长是 厘米.（93题图）

93． 求下图周长.单位:厘米

94． 北京某四合院子正好是个边长10米的正方形,在院子中央修了一条宽2米的“十字形”的路,如图.这条“十字形”路的面积是平方米?（95题图）

初中数学知识竞赛方案 篇5

（2012-2013学年第二学期）

为激发中学生学习钻研数学知识的兴趣，逐步形成勇于实践、敢于创新的思维和良好品质，拓展学生的知识面，提高学生的数学素养，发展学生的个性特长。我校决定在2013年4月24日下午课外活动举行中学数学知识竞赛活动。特拟实施方案如下：

一、竞赛方式：采用问答题的形式，时间每题1分钟。

二、竞赛内容：

1,出题范围是各年级本学年（含上学期）学过的内容。按各年级的教材基础 70%，综合知识 30%。,题目要求具有灵活性、技巧性、思维性和科学性。，题型：题一,基础题，每人回答2道题。题二,综合题，以班级为单位，合作交流做题，选出一个代表回答问题，回答错误，本班的观众里一人可以举手回答，可以另外加分。题三,抢答题，各年级共5道题，提完问题先举手的选手回答。

三、竞赛时间：

报名时间：2013年4月18-4月22日

参赛时间：2013年4月24日（星期三，第七节课）

四、竞赛地点：多媒体教室

五、参加对象：七，八，九年级，每班5人。

六、竞赛办法：、竞赛以个人和班级为单位，试题均以走进生活，解决实际问题，提高学生的思维能力的题型为主。、每班由数学老师选拔学生报名参赛，并将参赛名单于4月22 日

下午报组长处。

七、奖励办法：、每个年级设一等奖1人，二等奖1人，三等奖1人。、以班级为单位，一等奖1名，二等奖1名。

阿热勒托别乡牧寄校初中理科组

初中部数学竞赛方案 篇6

为了鼓励我校初中生学好现行课本内容的基础，激发学习数学的兴趣和热情，增强对数学的悟性，享受数学带来的乐趣，提高思维素质与学生的实践能力与创新能力，我数学教研组特定于5月15日中午七八九举行一次数学竞赛，具体竞赛方案如下：

一．竞赛组织的教师：

七年级组：何老师负责出试卷，监考舒老师，改卷：初一全体数学老师。

八年级组：李老师负责出试卷，监考李老师，改卷：初二全体数学老师。

九年级组：谭老师负责出试卷，监考谭老师，改卷：初三全体数学老师

二．参赛人员：

由七八九年级各数学老师或班主任从班上选取5名学生参加竞赛。

三．奖项设置：

每年级组设置一等奖2名，二等奖3名，三等奖4名。奖品：一等奖：钢笔1支；二等奖：硬皮笔记本1本；三等奖：软皮笔记本1本；各加奖状一张(钢笔共2支，硬笔记本共3本，软笔记本共4本）。

竞赛时间：2013年5月15日（星期三）中午

四．考场安排：

考场设在小学部二楼多媒体教室，实行单人单桌考试制度。

初中部数学教研组

全国初中数学知识竞赛辅导方案 篇7

王选民

为了在全国数学知识竞赛中取得优异成绩，将对学生辅导方案总结如下：

一、了解掌握优生的特点

一般我们选择参加竞赛的学生都是学优生，当我们与“优生”进行面谈时，应该清醒地认识到，他们能成为“优生”，是学生家长和老师共同教育的结果。尤其要看到这些“优生”的两重性：一方面，他们的行为习惯、学习习惯、学习成绩以及各种能力比一般学生在这个年龄容易出现的毛病外，也存在着他们作为老师的“好学生”、家长的“好孩子”所特有的一些毛病。

具体说来，“优生”一般具有以下特点：

1、思想比较纯正，行为举止较文明，自我控制的能力比较强，一般没有重大的违纪现象。

2、求知欲较旺盛，知识接受能力也较强，学习态度较端正，学习方法较科学，成绩较好。

3、长期担任学生干部，表达能力、组织能力以及其它工作能力都较强，在同学中容易形成威信。

4、课外涉及比较广泛，爱好全面，知识面较广。

5、由于智力状况比较好，课内学习较为轻松，因而容易自满，不求上进。

6、长期处于学生尖子的位置，比较骄傲自负，容易产生虚心。

7、有的“优生”之间容易产生互相嫉妒、勾心斗角的狭隘情绪和学习上的不正当竞争。

8、从小就处在受表扬、获荣誉、被羡慕的顺 境之中，因而他们对挫折的心理承受能力远不及一般普通学生。

以上几点，只是就一般“优生”的共性而，当然不一定每一个“优生”都是如此。

辅导优生的具体措施

1、创设能引导学优生主动参与的教育环境。

2、了解学生在兴趣、学习偏好、学习速度、学习准备以及动机等方面的情况。这些资料为教师制定活动和计划时的依据，也是“促进学生主动地、富有个性地

学习的需要”。

3、为尖子设计学习方案。学优生学习新知识时，比其他学生花的时间少，他不需要很多的练习就已经理解新知识，因此，做的练习也少。让他们做那些已经理解的题目就很多难让学生体会到智力活动的乐趣。长此以往，反而可能在一定程度上降低学生对于智力生活的敏感性。教师应该备有不同层次介绍同一主题的资料，采用向学生布置分组作业的方法，从众多的方案和活动中选取与他们的知识、技能水平相当的项目，指定他们完成。

4、解决学优生心理问题：学优生在心理状态上，易产生骄气，居高临下，听不进半点批评，心理脆弱。在价值取向上，易产生唯我独尊，以自我为中心的个性倾向和价值取向，不把其他同学的感觉、好恶、需要放在一定的位置；在行为方式上，由于始终把自己当学优生，与一般同学不一样，束缚了自己，娱乐活动不愿参加，集体劳动怕吃苦。

针对这种状况，教学中应注意：

学优生学习成绩优异，但不能“一俊遮百丑”。在鼓励保持学习上的竞争姿态和上进好胜的同时，要创造条件和环境，磨练他们的意志，培养他们的创造能力，规范他们的行为意识。

5、开展数学课外活动，开阔学优生的视野。学优生学有余力，在基础知识已经掌握的情况下，可为他们开展丰富的课外活动，如解答趣味数学题，阅读有关数学课外读物，撰写学习数学的专题论文等。此外老师也可通过数学专题讲座或数学家报告会给学优生提供更多锻炼机会。

初中数学竞赛分级训练 篇8

为了增强广大学生热爱数学，学习数学的积极性，拓宽数学知识视野，将举办本次数学知识竞赛。具体通知如下：

一、竞赛时间：第十二周星期二8:30—10:30

二、竞赛地点：多媒体教室

三、竞赛人员：每班选派五名同学

四、试题命制：何建

五、试题印制：胡小辉

六、竞赛方式：问卷式

七、监考人员：

七年级：李双、八年级：容光、九年级：陈晓宇

八、评卷人员：

七年级：朱小军、八年级：王宝、九年级：杨正权

九、评奖方式：

七、八年级：一等奖1名、二等奖：3名、三等奖：5名 九年级：一等奖1名、二等奖：2名、三等奖：3名

十、几点要求：

1、各数学老师要认真组织，对参赛学生加以辅导。

2、各监考人员要严肃考风考纪，不对考生作任何答题暗示。

3、各评卷人员做到公平公正，不徇私舞弊。

4、评卷工作结束后，将成绩及试卷交回何建老师处。

初中理科教研组

初中数学竞赛分级训练 篇9

一、选择题（30分）

2n42(2n)1.化简，得（）。n32(2)（A）2n1177

(B)2n(C)

(D)884abbcca，（）。222答案：C 2.如果a,b,c是三个任意整数，那么（A）都不是整数

（B）至少有两个整数

（C）至少有一个整数

（D）都是整数 答案：C 3.如果a,b是质数，且a13am0,b13bm0,那么（A）

22ba的值为（）。ab123125125123或（C）或2

（B）

（D）22222222答案：B 4.如图，若将正方形分成k个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k的值为（）

……

（A）6

（B）8

（C）10（D）12

答案：B 5.如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点D,且PB=4，PD=3，则ADDC等于（）。

（A）6

（B）7

（C）12

（D）16

答案：B

b)，则a和b之间的大小关系是6.若a,b是正数，且满足12345(111a)(111（）。

（A）ab

（B）ab

（C）ab

（D）不能确定

答案：A

二、填空题（30分）7.已知：x3232,y3232。那么

yx____________。x2y2答案：970 8.若x2xyy14,y2xyx28,则xy的值为____________。

答案：6或-7 9.用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于____________。答案：63或10

10.销售某种商品，如果单价上涨m％，则售出的数量就将减少总金额最大，那么m的值应该确定为____________。答案：25 11.在直角坐标系xOy中，x轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）、Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x____________。答案：

m。为了使该商品的销售1505 212.已知实数a,b满足a2abb21,且taba2b2，那么t的取值范围是____________。答案：3t

三、解答题（60分）

13.某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次。在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环。他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数。如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环。那么他在第10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）

14.如图，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A,B两点，并交ST于点C。

求证：131111().PC2PAPB

答案：P，A，C，B四点成调和点列（德站解答）

15.如图，已知圆O的两条半径OA与OB互相垂直，C为弧AmB

BAo上的一点，且ABOBBC，求OAC的度数。

222

初中数学竞赛分级训练 篇10

第三十一讲复习题

1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．

2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．

5．已知

求ab＋cd的值．

为任意正数，证明1＜s＜2.7．设a，b是互不相等的正数，比较M，N的大小．

8．求分式 的值．

9．已知：

求证：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．

11．已知实数x，y满足等式

求x，y的值．

12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．

13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．

14．已知三个二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，试求整数a和整数b的值．

15．如图2-178所示．在△ABC中，过点B作∠A的平分线的垂线，足为D．DE∥AC交AB于E点．求证：E是AB的中点．

16．求证：直角三角形勾股平方的倒数和等于弦上的高的平方的倒数．

17．如图2-179所示．在△ABC中，延长BC至D，使CD=BC．若BC中点为E，AD=2AE，求证：AB=BC．

18．如图2-180所示．ABCD是平行四边形，BCGH及CDFE都是正方形．求证：AC⊥EG．

19．证明：梯形对角线中点的连线平行于底，并且等于两底差的一半．

20．如图2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中点．求证：

CD=CE．

21．如图2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF过M且平行于AD，EC和FB交于N，GH过N且平行于AD．求证：

22．如图2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中点，N是BC的中点，P是CD延长线上的一点，PM交AC于Q．求证：∠QNM=∠MNP．

23．在(凸)四边形ABCD中，求证：

AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．

24．如图2-184所示．AD是等腰△ABC底边BC上的高，BM与BN是∠B的三等分角线，分别交AD于M，N点，连CN并延长交AB于E．求证：

25．已知n是正整数，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．

26．求具有下列性质的最小正整数n：

(1)它以数字6结尾；

(2)如果把数字6移到第一位之前，所得的数是原数的4倍．

27．求出整数n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．

28．把 1，2，3，„，81这 81个数任意排列为：a1，a2，a3，„，a81．计算

丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，„，丨a79-a80＋a81丨；

再将这27个数任意排列为b1，b2，„，b27，计算

丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，„，丨b25-b26＋b27丨．

如此继续下去，最后得到一个数x，问x是奇数还是偶数？

29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，30．设凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求证：

BC＋AD＞AB+CD．

31．如图2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面积，若AD=a，BC=b，求EF的长．

32．四边形ABCD的面积为1，M为AD的中点，N为BC的中点，的面积．

33．已知一元二次方程

x2-x+1-m=0 的两实根x1，x2满足丨x1丨+丨x2丨≤5，求实数m的取值范围．

34．求所有的正实数a，使得方程x2-ax＋4a=0仅有整数根．

35．求证：当p，q为奇数时，方程

x2＋px＋q=0

无整数根．

36．如图2-186．已知圆中四弦AB，BD，DC，CA分别等于a，b，c，d(且cd＞ab)．过C引直线CE∥AD交AB的延长线于E，求BE之长．

37．设A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整数，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．

38．在梯形ABCD中，与两条平行底边平行的直线和两腰AB，CD交于P，Q(图2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？

39．在平行四边形ABCD中，设∠A，∠B，∠C，∠D的平分线两两相交的交点分别为P，Q，R，S，那么四边形PQRS是什么图形？如果原来的四边形ABCD是矩形，那么四边形PQRS又是什么图形？

40．在直角三角形ABC中，以边AB，BC，AC为对应边分别作三个相似三角形，那么这三个相似三角形面积之间有什么关系？

41．如果三角形的三边用m2＋n2，m2-n2，2mn来表示，那么这个三角形的形状如何？如果m2＋n2=4mn，又将怎样？

42．在圆柱形容器中装水，当水的高度为6厘米时，重4.4千克，水高为10厘米时，重6.8千克，试用图像表示水高为0～10厘米时，水高与重量之间的关系，并预测当水高为8厘米时，水重为多少千克？

43．有7张电影票，10个人抽签，为此先做好10个签，其中7个签上写“有票”，3个签上写“无票”，然后10个人排好队按顺序抽签．问第一人与第二人抽到的可能性是否相同？

44．在直径为50毫米(mm)的铁板中，铳出四个互相外切，并且同样大小的垫圈(图2-188)，那么垫圈的最大直径是多少？

45．唐代诗人王之涣的著名诗篇：

白日依山尽，黄河入海流． 欲穷千里目，更上一层楼．

按诗人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？试化成数学问题加以解释．

46．在一个池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB为水草在水面上的部分，如图2-189，问如何利用这根水草测出水深？

47．在一条运河的两侧有两个村子A，B，河的两岸基本上是平行线．现在要在河上架一座桥与河岸垂直，以便使两岸居民互相往来，那么这座桥架在什么地方，才能使从A到B的路程最近呢(图2-190)？

48．要在一条河边修一座水塔，以便从那里给A，B两个城市供水(设A，B在河岸EF的同侧)，那么水塔应建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B两市供水管道总长度最短(图2-191)？

49．三个同学在街头散步，发现一辆汽车违反了交通规则．但他们没有完全记住这辆汽车的车号(车号由4位数字组成)，可是第一个同学记住车号的前两位数是相同的，第二个同学记得后两位数也相同，第三个同学记得这个四位数恰好是一个数的平方数．根据这些线索，能找出这辆汽车的车号吗？

50．图2-192是一个弹簧秤的示意图，其中：图(a)表示弹簧称东西前的状况，此时刻度0齐上线，弹簧伸长的初始长度为b．图(b)表示弹簧秤上挂有重物时，弹簧伸长的状况．如果弹簧秤上挂上不同重量的砝码，那么弹簧秤的长度也相应地伸长．现获得如下一组数据：

(1)以x，y的对应值(x，y)为点的坐标，画出散点图；

初中数学竞赛分级训练 篇11

第十二讲平行线问题

平行线是我们日常生活中非常常见的图形．练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段．

正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识．

正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象．历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何)，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用．

现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理基础之上的：“在平面中，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”．

在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理．下面我们举例说明这些知识的应用．

例1 如图 1－18，直线a∥b，直线 AB交 a与 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求证：∠C=90°

．

分析 由于a∥b，∠1，∠2是两个同侧内角，因此∠1+∠2=

过C点作直线 l，使 l∥a(或 b)即可通过平行线的性质实现等角转移．

证 过C点作直线l，使l∥a(图1－19)．因为a∥b，所以b∥l，所以

∠1+∠2=180°(同侧内角互补)．

因为AC平分∠1，BC平分∠2，所以

又∠3=∠CAE，∠4=∠CBF(内错角相等)，所以

∠3+∠4=∠CAE+∠CBF

说明 做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立，即“两条直线a，b被直线AB所截(如图1－20所示)，CA，CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线，若∠C=90°，问直线a与直线b是否一定平行？”

由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置)，因此，不妨模仿原问题的解决方法来试解．

例2 如图1－21所示，AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2．

分析 本题对∠A1，∠A2，∠B1的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的三个角的大小无关．也就是说，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案应是确定的．我们从图形直观，有理由猜想答案大概是零，即

∠A1+∠A2=∠B1． ①

猜想，常常受到直观的启发，但猜想必须经过严格的证明．①式给我们一种启发，能不能将∠B1一分为二使其每一部分分别等于∠A1与∠A2．这就引发我们过B1点引AA1(从而也是BA2)的平行线，它将∠B1一分为二．

证 过B1引B1E∥AA1，它将∠A1B1A2分成两个角：∠1，∠2(如图1－22所示)．

因为AA1∥BA2，所以B1E∥BA2．从而

∠1=∠A1，∠2=∠A2(内错角相等)，所以

∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即 ∠A1-∠B1+∠A2=0．

说明(1)从证题的过程可以发现，问题的实质在于AA1∥BA2，它与连接A1，A2两点之间的折线段的数目无关，如图1－23所示．连接A1，A2之间的折线段增加到4条：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有

∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2．

(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即

∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0．

进一步可以推广为

∠A1-∠B1+∠A2-∠B2＋„-∠Bn-1+∠An=0．

这时，连结A1，An之间的折线段共有n段A1B1，B1A2，„，Bn-1An(当然，仍要保持 AA1∥BAn)．

推广是一种发展自己思考能力的方法，有些简单的问题，如果抓住了问题的本质，那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况．

(2)这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题．

问题1 如图1－24所示．∠A1+∠A2=∠B1，问AA1与BA2是否平行？

问题2 如图1－25所示．若

∠A1+∠A2+„+∠An=∠B1+∠B2+„+∠Bn-1，问AA1与BAn是否平行？

这两个问题请同学加以思考．

例3 如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．

分析 利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能将∠1，∠2，∠C“集中”到一个顶点处，这是最理想不过的了，过F点作BC的平行线恰能实现这个目标．

解 过F到 FG∥CB，交 AB于G，则

∠C=∠AFG(同位角相等)，∠2=∠BFG(内错角相等)．

因为 AE∥BD，所以

∠1=∠BFA(内错角相等)，所以

∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG =∠1-∠2=3∠2-∠2 =2∠2=50°．

说明(1)运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线(平行线)的常用技巧．

(2)在学过“三角形内角和”知识后，可有以下较为简便的解法：∠1=∠DFC=∠C+∠2，即

∠C=∠1-∠2=2∠2=50°．

例4 求证：三角形内角之和等于180°．

分析平角为180°．若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决，下面方法是最简单的一种．

证 如图1－27所示，在△ABC中，过A引l∥BC，则

∠B=∠1，∠C=∠2(内错角相等)．

显然 ∠1+∠BAC+∠2=平角，所以 ∠A+∠B+∠C=180°．

说明 事实上，我们可以运用平行线的性质，通过添加与三角形三条边平行的直线，将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论．如将平角的顶点设在某一边内，或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处，不过，解法将较为麻烦．同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法．

例5 求证：四边形内角和等于360°．

分析 应用例3类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角．在添加平行线中，尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程．

证 如图1－28所示，四边形ABCD中，过顶点B引BE∥AD，BF∥CD，并延长 AB，CB到 H，G．则有∠A=∠2(同位角相等)，∠D=∠1(内错角相等)，∠1=∠3(同位角相等)．

∠C=∠4(同位角相等)，又 ∠ABC(即∠B)=∠GBH(对顶角相等)．

由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以

∠A+∠B+∠C+∠D=360°．

说明(1)同例3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变．

(2)总结例

3、例4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：

三角形内角和=180°=(3-2)×180°，四边形内角和=360°=2×180°=(4-2)×180°．

人们不禁会猜想：

五边形内角和=(5-2)×180°=540°，„„„„„„„„„„ n边形内角和=(n-2)×180°．

这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单．

(3)在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法．

例6 如图1－29所示．直线l的同侧有三点A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求证： A，B，C三点在同一条直线上．

分析A，B，C三点在同一条直线上可以理解为∠ABC为平角，即只要证明射线BA与BC所夹的角为180°即可，考虑到以直线l上任意一点为顶点，该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角，结合所给平行条件，过B作与l相交的直线，就可将l上的平角转换到顶点B处．

证 过B作直线 BD，交l于D．因为AB∥l，CB∥l，所以

∠1=∠ABD，∠2=∠CBD(内错角相等)．

又∠1+∠2=180°，所以

∠ABD+∠CBD=180°，即∠ABC=180°=平角．

A，B，C三点共线．

思考 若将问题加以推广：在l的同侧有n个点A1，A2，„，An-1，An，且有AiAi+1∥l(i=1，2，„，n-1)．是否还有同样的结论？

例7 如图1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．

求证：∠3=∠B．

分析 如果∠3=∠B，则应需EF∥BC．又知∠1=∠2，则有BC∥AD．从而，应有EF∥AD．这一点从条件EF⊥CD及∠D=90°不难获得．

证 因为∠1=∠2，所以

AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．

因为∠D=90°及EF⊥CD，所以

AD∥EF(同位角相等，两直线平行)．

所以 BC∥EF(平行公理)，所以

∠3=∠B(两直线平行，同位角相等)．

练习十二

1．如图1－31所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．

2．如图1－32所示．CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．

3．如图1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．问：EF与EG中有没有与AB平行的直线，为什么？

4．证明：五边形内角和等于540°．