高中立体几何初步小结

高中立体几何初步小结（通用6篇）

高中立体几何初步小结 篇1

第二章几何图形的初步认识单元小结

单元内容概述

本章的主要内容是图形的初步认识，主要介绍了生活中的多姿多彩的图形（立体图形、平面图形），以及最基本的平面图形——点、线、角等，都是从现实生活中熟悉的物体入手，使对物体的形状逐步由模糊的、感性的认识，上升到抽象的数学图形的理性认识.单元教学重点

重点：线段、射线、直线与角的有关概念和性质

单元教学难点

难点：线段的长短比较，角的大小比较及关于线段、角的有关运算

知识点梳理

1．几何体是从实物中抽象出的数学模型。识别几何体，应以直观观察为主，一般特征以观察者获得的形象感觉加以表述即可，如圆柱：特征如两个底面是相等的圆等。圆锥：特征如象锥子，底面是个圆等。棱柱：特征如底边是多边形，侧面是长方形等。但这类特征并非是要做出严密的、科学的结论，可因观察者的视角变化而变化 例1 如图1所示，是三棱锥的立体图形是（）

图1

分析：解决本题的关键是根据图形特征，区分三棱锥与圆锥、四棱锥、五棱锥，可从底面的形状入手进行判断。B中的底面是圆，故不是棱锥，C的底面是四边形，D的底面是五边形，它们都不是三棱锥，只有A是三棱锥。解：A 2．生活中的立体图形都是由最基本几何图形组成的，其中线是由点组成的，面是由线构成的，体是由面围成的。用运动的观点看，即“点动成线、线动成面、面动成体”。例2 将一个直角三角形ABC绕它的一边旋转，试画出旋转后所得到的几何体.分析：由于题目中没有说明绕哪条边旋转，考虑到直角三角形有三条边，所以必须分三种情况，得到三个不同的几何体.解：如图2分别沿三条边旋转一周，得到如图3所示的三个几何体：

注：在旋转过程中，若点在“轴”上，则旋转一周后该点的位置不变；若点不在“轴”上，则旋转一周后形成一个圆；与“轴”重合的线段旋转一周后仍然与轴重合；与“轴”垂直的线段旋转一周后得到一个平面（圆）；与“轴”不垂直的线段旋转一周后得一个曲面.3.线段、射线、直线

(1)线段、射线、直线的定义

①线段：线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线.线段可以量出长度.②射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有一个端点.射线无法量出长度.③直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线，直线没有端点.直线无法量出长度.4.线段、射线、直线的表示方法

（1）线段的表示方法有两种：一是用两个端点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示.（2）射线的表示方法只有一种：用端点和射线上的另一个点来表示，端点要写在前面.（3）直线的表示方法有两种：一是用直线上的两个点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示.例3 如图（3），A、B、C、D为平面内每三点都不在同一直线的四点，那么过其中的两点，可画出6条直线，那么A、B、C、D、E为平面内每三点都不在同一直线的五点过其中两点可以画几条直线？若是n个点呢？

析解：对于已知四点A点与其他三点各确定一条直线，共3条直线，过B、C、D也各有三条直线，这样共有12条直线，但每条都重复一次，所以应该是对于已知五个点，类似地可以得到：对于n个点，就可以得到

1436条； 215410； 21n(n1)条。25.直线公理：过两点有且只有一条直线.简称两点确定一条直线.例4 怎样使栽种的树在一条直线上，请说明其中的道理。分析：利用“两点确定一条直线”解答 解：只要确定两个树坑的位置，就能确定同一行树坑所在的直线。6.线段的比较（1）叠合比较法；（2）度量比较法.例5.如图五，有一张三角形纸片，你能准确的比较线段AB与线段BC的长短吗？

析解：把边BC折到AB上，可知点C在线段AB上，所以AB＞BC。此题也可以用度量法。

CA图五B

7.线段公理：“两点之间，线段最短”.连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离.例6如图1，河流L两旁有两个村庄A、B，现要在河边修一个水泵站，同时向A、B两村供水，问水泵站修在什么地方才能使所铺设的管道最短？试在图中标出水泵站的位置.ALP图 1B

分析：把两村庄A、B看作平面内的两个点，连接AB与河流L交于点P（如图1所示），根据线段的性质：两点之间，线段最短.可知在点P处修建水泵站能使铺设的管道最短.解：连接AB交河流L于点P，则P点即为所求的水泵站的位置。

8.线段的中点：如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫这条线段的中点.若C是线段AB的中点，则：AC＝BC＝

1AB，或AB＝2AC＝2BC.2例7 如图4，P是线段MN上一点，A为MP中点，B为MN中点，试探究线段PN与AB的数量关系，并说明理由．

解析：PN=2AB．

理由：因为A为MP中点，所以MA =－

111MP。同理，MB=MN．所以AB=MB－MA=MN222111MP=（MN－MP）=PN，即PN=2AB． 2229.角的概念：（1）角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。两条射线叫角的边，共同的端点叫角的顶点.（2）角还可以看成是一条射线绕着他的端点旋转所成的图形.10.角的表示方法：角用“∠”符号表示.（1）分别用两条边上的两个点和顶点来表示（顶点必须在中间）.（2）在角的内部写上阿拉伯数字，然后用这个阿拉伯数字来表示角.（3）在角的内部写上小写的希腊字母，然后用这个希腊字母来表示角.（4）直接用一个大写英文字母来表示.例8 如图1，下列表示角的方法错误的是（）．．

A． ∠1与∠AOB表示同一个角

B.∠AOC也可用∠O来表示

C.图中共有三个角: ∠AOB，∠AOC，∠BOC

D.∠β表示的是∠BOC 分析：当以一个点为顶点的角只有一个时,才能用表示这个角的顶点的大写字母表示。另外∠

1、∠

2、„还有∠α、∠β„等都是为了表示角时方便。这在以后的学习中你会有更深的体会。故本题选B。

解：B 11.角的度量：会用量角器来度量角的大小.12.角的单位：角的单位有度、分、秒，分别用“°、′、″”表示.角的单位是60进制与时间单位是类似的.度、分、秒的换算：1°＝60′，1′＝60″.例9．(1)将26.38°化为度、分、秒；(2)将35°40′30″化为度.分析：把度化成度、分、秒的形式，一般都是把度的小数部分化成分，把分的小数部分化成秒；把度、分、秒的形式化成度，一般地是先把秒化成分，再把分化成度.解：(1)26．38°=26°+0.38×60′=26°+22.8′=26°+22′+0.8×60″= 26°+22′+48″=26°22′48″；

11（2）30″=×30=0.5′,40.5′=×40.5=0.675°，6060所以35°40′30″=35.675°.0o＇０11说明：第（2）题也可用1′=，1″=直接计算.60360013.锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小：（1）平角：角的两边成一条直线时，这个角叫平角.（2）周角：角的一边旋转一周，与另一边重合时，这个角叫周角.（3）0°＜锐角＜90°，直角＝90°，90°＜钝角＜180°，平角＝180°，周角＝360°.14.画两个角的和，以及画两个角的差：（1）用量角器量出要画的两个角的大小，再用量角器来画.（2）三角板的每个角的度数，30°、60°、90°、45°.例10.计算 55°23′+16°35′.分析：角度相加，应是度与度相加，分与分相加，秒与秒相加.但要注意度、分、秒之间的进位是60进制，进位时，60″=1′，60′=1°.解： 55°23′+16°35′

=(55°+16°)+（23′+35′）=71°+58′=71°58′

说明：本题也可用竖式计算如下：

48°39′40″

＋

67°41′35″

（对齐位）

115°80′75″

（做加法）即

116°21′15″

（由低位向高位满60进1）例11.计算108°28′15″-54°35′30″.分析：角度相减，度与度相减，分与分相减，秒与秒相减.当分与分相减不够减时，应向度借，当秒与秒相减不够减时，应向分借，借位时，1° = 60′，1′= 60″.解：

108°28′15″-54°35′30″

=107°87′75″-54°35′30″

=(107°-54°)+(87′-35′)+（75″-30″）=53°52″45″.说明：本题也可用竖式计算如下：

108°28′15″

54°35′30″

（对齐位，由低位向高位借1做60）

53°52′45″

（做加法

15.角的平分线：从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线.若BD是∠ABC的平分线，则有：∠ABD＝∠CBD＝

1∠ABC；∠ABC＝2∠ABD＝2∠CBD.216.方位角

方位角就是用角度和方向表示位置的角。

例12 如图2，小明有一张地图，其中有A、B、C三地，但地图被墨迹污染了，C地的具体位置看不清楚了。但他知道C地在A地北偏东30°，在B地南偏东45°。你能帮他确定C地的位置吗？

析解：由已知C地在A地北偏东30°方向上，所以在A地位置作出北偏东30°方向的射线AP，则C地一定在AP上。但还不能确定具体位置。再由已知C地在B地南偏东45°方向上，在B地位置作出南偏东45°方向的射线BQ。射线AP与射线BQ的交点就是C地的位置（如图3）。17.互余，互补及性质

0当两个角的和等于90°时，我们就称这两个角互为余角，简称互余；如图6，∠1+∠2=90，则∠1与∠2互为余角.0当两个角的和为180°时，我们就称这两个角互为补角，简称互补。如图7，∠1+∠2=180，则∠1与∠2互为补角.00在图6中，如果∠1+∠2=90，∠2+∠3=90，则有∠1=∠3，即同角或等角的余角相等.在图7中，如果∠1+∠2=180，∠2+∠3=180，则有∠1=∠3，即同角或等角的补角相等.例13（黑龙江中考题）已知，∠β与∠α互余，且∠α=40°，则∠β的补角为

度。析解：根据“互余两角之和等于90°，互补两角之和等于180°”可求解。因为∠β＋∠α=90°，∠α=40°，所以∠β=50°，所以∠β的补角为180°－∠β=180°－50°=130°。00单元学法指导

1.要通过直观感知、具体操作确认等实践活动，区分图形，探索出图形的特征和性质，培养空间想象力.2.要注意多观察、分析实物，勤动手操作，勤动脑联想，同时又要注意对图形语言的理解和符号语言的运用.3.要淡化概念识记、套用公式、模式，达到在做中学，在学中做.

高中立体几何初步小结 篇2

教学目的

1.复习《立体几何初步》的相关知识及基本应用

2.掌握典型题型及其处理方法

教学重点、难点

《立体几何初步》的知识梳理和题型归类以及重点题型的处理方法

知识分析

1.多面体的结构特征

对于多面体的结构要从其反应的几何体的本质去把握，棱柱、棱锥、棱台是不同的多面体，但它们也有联系，棱柱可以看成是上、下底面全等的棱台；棱锥又可以看作是一底面缩为一点的棱台，因此它们的侧面积和体积公式可分别统一为一个公式。

2.旋转体的结构特征

旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转生成的，一定要弄清圆柱、圆锥、圆台、球分别是由哪一种平面图形旋转生成的，从而可掌握旋转体中各元素的关系，也就掌握了它们各自的性质。

3.表面积与体积的计算

有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式法为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素。

4.三视图与直观图的画法

三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化。

5.直线和平面平行的判定方法

（1）定义：aa//；

（2）判定定理：a//b，a，ba//；

（3）线面垂直的性质：ba，b，a，a//；

（4）面面平行的性质：//，aa//。

6.线线平行的判定方法

（1）定义：同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线；

（2）公理4：a//b，b//c，a//c；

（3）平面几何中判定两直线平行的方法；

（4）线面平行的性质：a//，a，ba//b；

（5）线面垂直的性质：a，ba//b；

（6）面面平行的性质：//，a，a//b。

7.证明线面垂直的方法

（1）线面垂直的定义：a与内任何直线垂直a；

m、n，mnAl

（2）判定定理1：lm，ln；

（3）判定定理2：a//b，aab；

（4）面面平行的性质：//，aa；

（5）面面垂直的性质：，l，a，ala。

8.证明线线垂直的方法

（1）定义：两条直线所成的角为90°；（2）平面几何中证明线线垂直的方法；

（3）线面垂直的性质：a，bab；（4）线面垂直的性质：a，b//ab。

9.判定两个平面平行的方法

（1）依定义采用反证法；

（2）利用判定定理：

//，b//，a，b，abA//；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；

a，a//；

（4）平行于同一平面的两个平面平行；

//，//。

10.平行关系的转化

由上面的框图易知三者之间可以进行任意转化，因此要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程，在解题时把握这一点，灵活确定转化的思路和方向。

11.判定两个平面垂直的方法

（1）利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角。

（2）判定定理：a，a

12.垂直关系的转化

在证明两平面垂直时一般先从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。故熟练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键。

【典型例题】

例1.图中所示的是一个零件的直观图，画出这个几何体的三视图。

例2.在球面上有四点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的表面积和体积。

解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面半径为r，球心到截面距离为d，球半径为R，则R2r2d2。

例3.如图，已知P为△ABC外一点，PA、PB、PC两两垂直且PA＝PB＝PC＝a，求P点到平面ABC的距离。

例4.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点。

（1）求证：MN//平面PAD；

（2）求证：MN⊥CD；

（3）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD。

例5.正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB1BC1，求证：AB1A1C。

例6.已知正方体ABCD一A1BlC1D1的棱长为a，O为面A1BlC1D1的中心，求点O到平面C1BD的距离。

【模拟试题】

一.选择题（每小题5分，共60分）

1.给出四个命题：

①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；

②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体；

③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；

④长方体一定是正四棱柱。

其中正确命题的个数是（）

A.0

2.下列四个命题： B.1

C.2

D.3

①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；

②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；

③棱锥的所有面可能都是直角三角形；

④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。

正确的命题有________个

A.1

B.2

C.3

D.4

3.长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（）

A.12 B.24

C.214

D.414

4.湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为8cm的空穴，则该球的半径是（）

A.8cm B.12cm

C.13cm

D.82cm

5.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（）

12

A.2 14B.4

12C.

14D.2

6.已知直线l平面，直线m平面，有下面四个命题：

①//lm；②l//m；③l//m；④lm//。

其中正确的两个命题是（）

A.①②

B.③④

C.②④

D.①③

7.若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（）

A.63cm B.6cm

C.218

D.312

38.设正方体的全面积为24cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（）

A.6cm3 32cm3B.3 8cm3C.3

4cm3D.3

9.对于直线m、n和平面、能得出的一个条件是（）

A.mn，m//，n//

C.m//n，n，m

B.mn，m，n D.m//n，m，n

10.如果直线l、m与平面、、满足：l，l//，m，m，那么必有（）

A.和lm

B.//，和m// D.且

C.m//，且lm

11.已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为（）

A.1：3 B.1：2

C.2：3

D.1：3

12.向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（）

二.填空题（每小题4分，共16分）

13.正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是__________。

14.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为14cm3，则棱台的高为____________。

15.正三棱柱的底面边长为a，过它的一条侧棱上相距为b的两点作两个互相平行的截面，在这两个截面间的斜三棱柱的侧面积为____________。

16.已知、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断：

①m⊥n，②，③n，④m。

几何初步知识教学要求综述 篇3

数学的内容不外乎数与形两大部分，小学数学教学的内容也不例外。新颁布的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用)》(下称“新大纲”)对几何初步知识的教学作了一些重要的改革，教学要求更加明确。现就我个人的体会，从“历史的回顾”、“三点重要的改革”以及“具体的教学要求”三个方面分别阐述，和广大老师们共同讨论。

一、历史的回顾

我国对几何学的研究有着悠久的历史，翻开二千多年前已经成书的《九章算术》看一看，书中对许多平面图形及其面积的求法已有详细的记载。首先，它把一些平面图形称之为“田”，如方田(指正方形)、直田(指长方形)、圭田(指三角形)、斜田(指梯形)。这里充分说明人们是在一系列测田亩、定四时的农业活动中，逐步形成一些几何形体概念的。同时，书中还记载了三角形的面积是“半广以乘正从”，这里讲的“广”是指矩形，“正从”是指高，意思是把三角形割补成矩形，取其底长的一半再乘高，便是三角形的面积;再看圆的面积，“半周半径相乘得积步”，“积步”是当时的面积单位“平方步”，就是说圆周的一半与半径相乘，用今日的圆面积公式表示，即。至于祖冲之的圆周率，更是早于印度半个世纪，早于欧洲一千多年。我国辉煌的几何学成就，是我国宝贵的文化遗产之一。

然而，几何作为一门学科开设，在我国基础教育，尤其是小学教育中，则是很晚的事了。一直到清政府制定的《奏定学堂章程》(19)中，才明确在小学设算术课，其中有一章和几何有关，就是“求积”，内容是田亩的算。

解放以后，随着科学技术的进步，几何初步知识在小学算术中所占的地位也逐步明确。1952年的《小学算术教学大纲(草案)》规定的内容是：直线、线段、直角、正方形和长方形(包括面积)、正方体和长方体(包括体积)。1956年的《小学算术教学大纲(修订草案)》又增加了角、三角形的认识及其面积等内容。1963年《全日制小学算术教学大纲(草案)》又增加了以下内容：垂线和平行线，圆(包括周长与面积)，平行四边形和梯形(包括它们的面积)，圆柱、圆锥、棱柱、棱锥(包括它们的面积);同时还学习一些最简单的作图和测量。1963年的大纲是学习几何知识最多的一个大纲。

经过十年**后，1978年在调查研究基础上，颁布了《全日制十年制学校小学数学教学大纲(试行草案)》，对1963年规定的内容作了调整，删去较难的棱柱、棱锥，增加了扇形。现行教学大纲(指1986年由国家教委正式制订的《全日制小学数学教学大纲》)规定的内容与1978年的相同。

综上所述，我们可以看到小学几何初步知识的内容是随着科技的进步和基础教育的发展而逐步增加、逐步完善的。因为学一些几何知识是适应小学生以后进一步学习以及将来参加生产建设的需要的，这是一个方面。而另一方面，还可以看到，几十年来，我国小学几何初步知识的教学仍始终未能完全突破“以求积为中心”的传统观念，忽视了空间观念的培养，而这个问题，则在新大纲中得到了较好的解决。

二、新大纲中的三点改革

(一)明确小学几何初步知识的性质――直观几何(实验几何)。

从几何发展的历史中可以看到，人们对几何图形的认识首先根据生活、生活实践的经验，依靠直觉观察、反复实验而形成的(这一点在第一个问题中已经涉及)。很明确，不是靠后来人们整理时所运用的逻辑推理而形成的。再看一下，小学生的思维又正处在由直观表象思维为主向抽象逻辑思维为主的过渡阶段，他们对几何图形的`认识还相当于人类早期认识几何的阶段。因此，在小学阶段学的应该属于直观几何，就是要通过他们自己的拼拼摆摆、折折叠叠、量量画画等实际操作，认识图形的某些特性，积累一定的空间观念。这样，可以为今后升入中学逐步学习论证几何作好准备。这里我想举一个例子说明。小学里学习“三角形的内角和”时，总是用“撕角”拼成一个平角，或是用量角器量出三个角的度数，以此说明其内角和等于180°。这些方法看来是极为简单或者说是比较“低级”的，因为它的准确度是有限的。如果采用逻辑证明，便可使人确信无疑。如下：

∠1+∠2+∠3=180°

证明：过A点作BC的平行线DE，

∠1=∠4∠2=∠5(内错角相等)

∠4+∠3+∠5=180°

所以∠1+∠2+∠3=180°

但是，像上面这种推理方法，小学生是不能够接受的，只是通过孩子们自己动手撕撕、拼拼、量量、画画，直观地“证明”或“发现”它们的关系，积累比较丰富的感性认识，这样才有可能为将来学习论证几何打下良好的基础。

为此，新大纲一再指出：“通过直观学习一些几何初步知识……”，强调“几何初步知识的教学，要充分利用和创造各种条件，引导学生通过对物体、模型的观察、测量、拼摆、画图、制作、实验等活动，掌握形体的基本特征和面积、体积的计算方法，并注意在实际中应用，以利于培养初步的空间观念。

(二)突破“以求积为中心”的框子，加强空间观念的培养。

前面已经提到1963年的大纲是几何初步知识学得最多的，但是即使如此，这一大纲在加强“双基”的指导思想之下，提出了“以四则计算为中心”，与其相应的几何初步知识是“以求积为中心”，因此，对空间观念的培养仍是比较忽视。直到新大纲颁发前，虽然每个教学大纲都谈到“初步的空间观念”，但是什么是空间观念?应该怎样培养?这些问题都是含糊不清的。每次毕业考试中有关几何的题目，也都是停留于求面积和体积。

新大纲首先回答了什么是空间观念?空间观念是在空间知觉基础上形成起来的，它是形体的大小、形状及其相互位置关系在人脑中的表象。新大纲又第一次比较恰当而明确地指出了在小学阶段培养初步空间观念的“标高”。这里包括三点要求：一是要求学生听到某一图形的名称，就能在头脑中正确地再现它的形象;二是能够独立地看懂所画出的已学过的平面及立体图形，正确掌握它们的名称;三是能够在各种图形或模型中，正确地找出自己所需要的图形，恰当地把它们分类。最后，新大纲又指出要充分利用各种条件，让学生通过各种观察、实际操作等活动，获取和运用几何初步知识，并在运用过程中培养初步空间观念。这样，既明确了目标，又指出了途径，使初步空间观念的培养落实在实处。

(三)几何形体的认识从低年级起合理安排。

这也是新大纲的一大特点。小学生学习几何知识要由浅入深，空间观念也靠逐步积累。从一年级起，每一年级都编排一些几何初步知识，这是符合小学生的认识规律，又有利于数形结合的，同时，算术与几何交替学习，动手又动脑，也可更好地激发学生学习数学的兴趣。

三、具体的教学要求

新大纲对几何初步知识教学的具体要求，仔细分析起来可分为以下三个方面：

(一)空间观念;

(二)求积计算;

(三)实际操作技能(指简单的测量、画图等)。

现将各年级的具体教学要求列表如下：

要求

空间观念

求积计算

实际操作技能

年级

一年级

直观认识长方形、正方形、三角形和圆。(有知识点，但不提教学要求)

直观认识长方体、正方体、圆柱和球。(有知识点，但不提教学要求)

初步认识直线和线段。

会量线段的长度(限整厘米)。

二年级

初步认识角和直角，知道角的各部分名称。

初步掌握长方形、正方形的特征，知道周长的含义。

直观认识平行四边形。

会计算长方形和正方形的周长。

会用三角板判断直角和画直角。会在方格纸上画长方形和正方形。

三年级

知道面积的含义。

认识面积单位(平方米、平方分米、平方厘米，公顷、平方千米)。

初步建立1平方米、1平方分米、1平方厘米的面积观念。

掌握长方形和正方形的面积计算公式。

四年级

认识射线和角(直角、锐角、钝角)。

知道角的大小。

初步认识垂线和平行线。

掌握三角形、平行四边形和梯形的特征。

△知道三角形内角和。

△认识组合图形。

掌握长方体、正方体的特征。知道体积的含义。

认识常用的体积单位(立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升)。

掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式。

掌握长方体和正方体的体积计算公式。

会计算长方体和正方体的表面积。

初步学会用测量工具在地面上测定直线和测量较短的距离。

会用量角器量角和按照指定的度数画角。

会用直尺和三角板画垂线、平行线、长方形和正方形。

五年级

认识圆。

认识扇形。

认识圆柱和圆锥。

△初步认识球的半径和直径。

掌握圆周长和圆面积的计算公式。会算圆柱的表面积和圆柱、圆锥的体积。

*通过介绍圆周率的史料，使学生受到思想教育。

会画圆。

(注)①△指选学要求，*指思想品德教育。

②六年制的要求总的与五年制相同，只是分为六年安排。

根据上表，分析如下：

(一)空间观念

小学生对几何图形的认识都基本属于表象阶段，因此，一般只描述其某些特征而不下定义。为了便于教师掌握其教学要求，新大纲中把它们由低到高分为“直观认识”、“初步认识”、“认识“和“掌握特征”四个层次。

直观认识――看到有关图形、实物或模型，能初步认识其外形，说出名称。

初步认识――较前者略高一些，能略知图形的一、两个简单的特征。

认识(知道)――较“初步认识”又略高一些，知道图形一般特征。

掌握特征――知道图形某些本质特征。这是认识的最高层次，但仍不要求对概念下定义。

新大纲中对大多数的平面及立体图形都分几个层次逐步要求，目的是加强空间观念的培养。例如：

1.直线、线段

一年级要求“初步认识”，即知道把一根长线拉紧，就成为直线;直线中的一段就是线段。四年级在认识射线同时，再进一步认识直线和线段，知道直线没有端点，可以无限延长;线段有两个端点;射线只有一个端点，另一端可以无限延长。

2.角

二年级“初步认识”，要求知道角有两条边和一个顶点，知道哪些实物的哪些部分是角。四年级要求“认识”，知道从一点引出两条射线，组成一个角，知道角的大小，知道角可分成直角、锐角、钝角、平角和周角。

3.长方形和正方形

一年级有直观认识长方形和正方形的内容，但不提要求，不作考核。二年级要初步掌握长、正方形的特征，到三年级已学了计算它们的周长和面积时，则要求进一步掌握它们的特征。

4.平行四边形

二年级要求“直观认识”，由于当时还不认识平行线，不可能知道平行四边形的特征，只要求通过实物直观地知道哪些是平行四边形，哪些不是，如解放军的领章是平行四边形;也可以从摆弄七巧板中，挑出平行四边形。这样，到四年级便要求“掌握特征”，知道两组对边分别平行的四边形就是平行四边形。

5.三角形

三角形是儿童在日常生活中最常见的图形之一。一年级只能“直观认识”，以后不断发展，四年级要求“掌握特征”，知道三角形的稳定性、三角形的分类、三角形的内角和。

6.长方体和正方体

由于小学生在入学前接触过长、正方体的实物，如积木等，为此，一年级只能“直观认识”，从外形能分辨什么样的物体是长方体，什么样的物体是正方体，四年级再要求“掌握特征”。这样逐步形成“体”的观念。

7.圆和圆柱

圆和圆柱在孩子们日常生活中也容易见到，但长期以来到高年级才认识，低于学生现有的认识水平。现改为一年级先“直观认识”，如认识圆盘面是圆形、罐头筒是圆柱体;到五年级再正式“认识”，知道圆心、半径和直径，知道同一圆内的半径、直径都相等;知道圆柱体上下两底面是相等的圆形，侧面展开是长方形。但这种认识都没有或没有真正地揭示其本质特征。

8.球

球体的认识是新大纲所增加的内容。分为两个阶段：一年级直观认识球，与直观认识圆同时进行，以便从外形上使儿童能开始体会一个是面，一个是体。到五年级则直观认识球的半径和直径，其目的也为以后学习打下一个最起码的基础。这部分作选学内容。

此外，还有一些图形是只在一个年级内集中一次编排，如四年级要求初步认识垂线和平行线，掌握梯形的特征;五年级要求认识圆锥。

(二)求积计算

几何求积是几何初步知识教学的重要内容之一，也有利于数形结合，发挥其相互为用的功能。新大纲对这部分的教学要求是：

1.必须在建立相应的空间观念基础上进行几何量的计算。例如，首先要求知道周长、面积、体积的含义，认识相应的计量单位(长度、面积、体积)，有的还要建立相应的观念，如初步建立1平方米、1平方分米、1平方厘米的面积观念，才能开始求积计算。

2.求积计算分两个层次：一是“会计算”，二是“掌握……计算公式”。显然，后者要求较高，而前者一般可不出现公式，学生根据图形的特征便可直接推知计算方法。

属于第一层次的有：会计算长、正方形的周长，长方体和正方体的表面积、圆柱的表面积和圆柱、圆锥的体积。

属于第二层次的有：掌握长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积公式;掌握长方体和正方体的体积计算公式;掌握圆周长和圆面积的计算公式。

3.整个求积计算的数据不应过繁。组合图形也一般控制在两个图形的组合。

(三)操作技能(主要指测量与画图)

测量与画图都从低、中、高年级由浅入深地进行训练。

1.测量：

(1)量线段的长度

一年级测量时限整厘米，以后随着学习辅助的长度单位，测量时不受这种限制;

四年级初步学会用测量工具在地面上测定直线和测量较短的距离。

(2)量角的大小

二年级先用直角板会判断直角;

四年级会用量角器量角。

2.画图：

(1)画角

二年级会用三角板画直角;

四年级会用量角器和直尺按指定角度画角。

(2)画垂线和平行线

四年级会用直尺和三角板画垂线和平行线。

(3)画长方形、正方形和圆

二年级会在方格纸上画长、正方形;

四年级会用直尺和三角板画长、正方形;

五年级会用圆规画圆。

(四)进行思想教育

新大纲明确规定要通过圆周率的史料，介绍我国古代辉煌的数学成就，介绍我国古代的数学家祖冲之，有目的地向小学生进行爱国主义思想教育。有机而恰当地结合数学史实进行思想教育是新大纲的特色之一。

小学几何初步知识的三项具体教学要求是密切联系，相辅相成的。在教学前，我们要明确它们各自的教学目标;而在教学中，又应充分发挥它们相互促进的作用。这样才能收到较好的效果。

高中立体几何初步小结 篇4

在几何初步知识教学中渗透数学思想

镇江市润州区教科室，束宗德

数学的思想方法是数学的精髓，在初中数学新大纲中已把它列入基础知识的范畴，因此在小学数学教学中 适当渗透一些数学思想方法，对于开发学生智力，培养良好的思维品质以及加强中小学数学教学的衔接都将是 十分有益的。

一、渗透转化思想，构建知识网络

事物在一定条件下相互转化是最基本的唯物主义思想，可以及早让学生有所了解。例如梯形上底为3cm,下 底为7cm,高为4cm, 面积是多

1 1

少?S=─(3+7)×4=20(cm[2])。若上底为0呢?S=─×(0+7)

2 2

1

×4=14(cm[2])， 这时梯形转化成三角形，S△=─×7×4=14(cm

2

1

[2])，结果一致。若上底也为7cm呢?S=─×(7+7)×4=28(cm[2]

2

)，这时梯形转化成平行四边形，

附图{图}

这样就构建了三角形、梯形、平行四边形的知识网络，让学生看到它们之间的内在联系，加深了知识的理 解和记忆。

二、渗透整体思想，优化解题过程

整体思想注重问题的整体结构，将题中的某些元素或组合看成一个整体，从而化繁为简，化难为易。例如 已知

附图{图}

像这样把问题放到整体结构中去考虑， 就可以开拓解题思路，优化解题过程。

三、渗透化归思想，促进知识迁移

将生疏的问题转化成熟悉的、已知的问题，这是运用化归思想解题的真谛。随着问题的解决，认知不断拓 展，促进了知识的正迁移。例如三角形的内角和是180°，任意四边形的内角和是多少度呢? 连接对角线将四 边形分割成两个三角形， 这样就得到四边形的内角和是360°，以此类推不难求出凸五边形、凸六边形……的 内角和，学生很容易接受。

四、渗透函数思想，展示变化观点

函数研究两个变量之间相互依存、相互制约的规律。我们可以通过具体问题、具体数值向学生展示运动变 化的观点。例如当长方形周长为20cm时，长和宽可以如何取值?面积各是多少?其中哪个面积最大?列出表来 让学生填写： 周长cm 长cm 宽cm 面积cm[2]

20 1 9 9

20 2 8 16

20 3 7 21

20 4 6 24

20 5 5 25

20 6 4 24

20 7 3 21

20 8 2 16

20 9 1 9

20 …… …… ……

这里仅取整数，也可取小数，这样的长方形很多很多，面积最大的只有一个是其中的正方形。这里毋需提 出函数的概念，仅仅是数学思想的.渗透。

五、渗透数形结合思想，探究知识的奥秘

数是形的抽象概括，形是数的几何表现。通过数形结合往往可以使学生不但知其然，还能知其所以然。例 如正方形边长为5cm, 若边长增加3cm,面积是不是增加9cm[2]?不是。先看计算(5+3)[2]-5[2]=64-25 =39(cm[2])，再看图形：

附图{图}

面积增加的是阴影部分，而9cm[2]仅仅是其中阴影重叠的部分，这就非常清楚了。

六、渗透类比思想，指导应用知识

一些数学问题的解决思路常常是相通的，类比思想可以教会学生由此及彼，灵活应用所学知识。例如正方 体有12条棱，怎么算的呢?正方体由6个正方形封闭拼成，每个正方形4条边，共24条边，每两边重叠成一棱， 于是4×6÷2=12(条)。那么小足球上有多少条短缝呢? 先数清楚小足球由32块小皮缝成，其中黑的是五边 形有12块;白的是六边形有20块。总共有(5×12+6×20)条边，两条边缝成一条短缝，于是有(5×12+6× 20)÷2=90(条)短缝。 把实际问题归结为数学问题去解决，类比思想能发挥独特的作用。

七、渗透反证法，训练缜密思维

高中立体几何初步小结 篇5

教学目标：

1、初步感知生活中立体的图形

2、动手制作立体图形，感受立体图形的形成过程

3、学会分类，能找出不同事物的共同点 课堂结构：

欣赏——初步抽象——制作了解——介绍特点——自我分类——反思小结 教学过程：

一、教师引言

同学们，看一看、想一想我们周围的世界，你会发现我们的世界是由许许多多的图形组成的，这些图形美化了我们的生活。下面我们来欣赏一组这样的图片。

二、欣赏物体

天安门——金字塔——世贸大厦（9.11）——比萨斜塔——家庭组图——杯子

三、立体图形的抽象

1、我们刚才看到的这些物体有的雄伟壮观，有的精巧别致，但都是由基本的立体图形（板书）组成。我们再来看一看它们包含哪些基本的立体图形？。

2、天安门——三棱柱金字塔——四棱锥笔筒——长方体 风车——圆锥、圆柱魔方——正方体足球——球

3、我们认识了这么多的立体图形，请同学们想一想，在生活还有哪些物体中像这些立体图形？

生：金砖、冰激凌蛋桶、子弹头、桌子…………

四、建立感性认识

1、过渡：我们刚才欣赏到的和同学们讲到的的一些立体图形，都是设计师精心设计制作的，今天我们也要当一回小小设计师，每个小组来制作的一个立体模型。

2、复习近平面图形

3、制作立体图形模型 1）教师出示制作提纲 [友情提示：

A.小组讨论，你们喜欢制作哪个图形，大概需要哪些材料？

B.先要观察材料，要动手比一比、想一想，有一个整体的构想后，才能用胶带粘。

C.制作模型时，要有分工，要有合作

D.制作完成以后，给你们的作品起个名字，并推荐一位同学向全班汇报作品的特点。] 2）小组讨论第一个问题，组长上来选取材料，有的小组向老师的借模型进行参考，也有的小组参考材料袋上的图形。

生甲：长方体，因为只要把六个长方形用胶带粘起来就行了？

生乙：我不希望第三个图形（圆柱体），他上面是个圆，没学过，不好做。生丙：用一张纸卷一下不就行了。生乙：没有上面的圆，弄不好就扁了？ ……

3）学生汇报，并把作品粘贴在小黑板上。

生甲：（正方体）我们做的立体图形每个面都是正方形。

生乙：（三棱锥）我们做的立体图形每个面都是三角形，我们给它起名字叫它稳定形，师：为什么？

生乙：三角形具有稳定性，我们这个图形所有的面都是三角形，所以它更加稳定。

生丙：（梯形坝）我们做的立体图形特点是有两个面都是梯形，其余的面都是长方形。

生戊：（圆柱体）我们制作的图形有点特别，更其他小组的不一样。师：你为什么用特别这个词语？

生戊：它上下用的是我们没有学过的圆形，中间用的是长方形，把他卷起来了，不直了。

……

五、初步独立自主地探索立体图形的特征

师：这些立体图形，他们长的形状不一样，但它们有些地方还是有共同特点的，请你们根据共同特点，把他们分分类？

每人自己先在作业纸上分一分 然后小组同学讨论一下，最后向全班同学汇报，你们这组同学是怎样想的？（两至三组）40’ 学生讨论。

学生甲组：我们把（长方体）、（正方体）、（三棱柱）（五棱柱）（六棱柱）、（梯形坝）成为一组，因为它们上下都一样大，（圆柱体）、（圆锥）、（球）成为一组，它们表面不是直的，是弯曲的。（三棱锥）、（棱锥）成为一组，因为它们有一头是尖的。

学生乙：既然一头是尖的（三棱锥）、（棱锥）成为一组，那么（圆锥）也应该加入到这一组。

学生丙：同样道理，（圆柱体）也是上下一样大的，他也应该归到到第一组去。

……

六、课堂总结

师：今天我们初步认识了这些立体图形，制作了立体模型，给它们起了名字，它们在数学上科学的名称到底叫什么，它们还有哪些的奥秘，今后我们在课堂上还会继续进一步研究与学习，如果同学们很有兴趣，回家以后可以自己进行自学。

那么，今天的每个同学的学习效果怎么样呢？请同学根据屏幕上的问题自己总结。

学习结果自我总结问题训练单

1、本节课我学到了什么？

2、本节课的学习主要采用了什么方法？

3、这种方法可以在哪些时候用？

4、哪个同学的表现，你最喜欢？简要说明。

高中立体几何初步小结 篇6

一、单选题

1．【湖南省长沙市2018年中考数学试题】将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（）

A． 【答案】D B． C． D．

点睛：本题考查立体图形的判断，关键是根据面动成体以及圆台的特点解答．

2．【河北省2018年中考数学试卷】如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（）

A． 北偏东30° B． 北偏东80° C． 北偏西30° D． 北偏西50° 【答案】A 【解析】【分析】根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案． 【详解】如图，AP∥BC，∴∠2=∠1=50°，∵∠EBF=80°=∠2+∠3，∴∠3=∠EBF﹣∠2=80°﹣50°=30°，∴此时的航行方向为北偏东30°，故选A．

【点睛】本题考查了方向角，利用平行线的性质得出∠2是解题关键．

3．【江苏省徐州巿2018年中考数学试卷】下列平面展开图是由5个大小相同的正方形组成，其中沿正方形的边不能折成无盖小方盒的是（）

A． 【答案】B B． C． D．

【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟记正方体的特征以及正方体展开图的各种情形是解题的关键.4．【浙江省湖州市2018年中考数学试题】如图所示的几何体的左视图是（）

A． 【答案】D B． C． D．

【解析】从左边看是一个正方形，正方形的左上角是一个小正方形，故选C．

5．【湖南省怀化市2018年中考数学试题】如图，直线a∥b，∠1=60°，则∠2=（）

A． 30° B． 60° C． 45° D． 120° 【答案】B

点睛：本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．

6．【吉林省长春市2018年中考数学试卷】如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）

A． 44° B． 40° C． 39° D． 38° 【答案】C 【解析】【分析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再利用平行线的性质解答即可． 【详解】∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCB=×78°=39°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°，故选C．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质等，解题的关键是熟练掌握和灵活运用根据三角形内角和定理、角平分线的定义和平行线的性质．

7．【湖南省郴州市2018年中考数学试卷】如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（）

A． ∠2=∠4 B． ∠1+∠4=180° C． ∠5=∠4 D． ∠1=∠3 【答案】D

【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟记平行线的判定方法是解题的关键.解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放型题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．

8．【湖北省荆门市2018年中考数学试卷】已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如图所示的位置摆放，若∠1=55°，则∠2的度数为（）

A． 80° B． 70° C． 85° D． 75° 【答案】A 【解析】【分析】如图，先根据三角形外角的性质求出∠4的度数，再根据平行线的性质求出∠5的度数，最后根据邻补角的定义进行求解即可得.【详解】如图，【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，结合图形灵活运用相关的知识解决问题是关键.9．【湖南省邵阳市2018年中考数学试卷】如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD=160°，则∠BOC的大小为（）

A． 20° B． 60° C． 70° D． 160° 【答案】D

【点睛】本题考查对顶角、邻补角，熟知对顶角、邻补角的图形特征以及对顶角相等的性质是解题的关键.10．【江苏省淮安市2018年中考数学试题】如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=35°，则∠2的度数是（）

A． 35° B． 45° C． 55° D． 65° 【答案】C 【解析】分析：求出∠3即可解决问题； 详解：如图，∵∠1+∠3=90°，∠1=35°，∴∠3=55°，∴∠2=∠3=55°，故选：C．

点睛：此题考查了平行线的性质．两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键．

11．【台湾省2018年中考数学试卷】如图，锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，甲、乙两人想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，其作法分别如下：

（甲）以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求；

（乙）作过B点且与AB垂直的直线l，作过C点且与AC垂直的直线，交l于P点，则P即为所求.对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（）

A． 两人皆正确 B． 两人皆错误 C． 甲正确，乙错误 D． 甲错误，乙正确 【答案】D 【解析】分析：甲：根据作图可得AC=AP，利用等边对等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定义可知：∠BPC+∠APC=180°，根据等量代换可作判断； 乙：根据四边形的内角和可得：∠BPC+∠A=180°． 详解：甲：如图1，乙：如图2，∵AB⊥PB，AC⊥PC，∴∠ABP=∠ACP=90°，∴∠BPC+∠A=180°，∴乙正确，故选：D．

点睛：本题考查了垂线的定义、四边形的内角和定理、等腰三角形的性质，正确地理解题意是解题的关键．

12．【湖北省恩施州2018年中考数学试题】如图所示，直线a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（）

A． 125° B． 135° C． 145° D． 155° 【答案】A 【解析】分析：如图求出∠5即可解决问题． 详解：

点睛：本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

13．【山东省聊城市2018年中考数学试卷】如图，直线点，若，则的度数是（），点是直线

上一点，点是直线

外一

A． B． C． D．

【答案】C

详解: 延长FE交DC于点N，∵直线AB∥EF，∴∠BCD=∠DNF=95°，∵∠CDE=25°，∴∠DEF=95°+25°=120°． 故选：C.点睛：此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确掌握平行线的性质是解题关键.14．【山东省菏泽市2018年中考数学试题】如图，直线上，若，则的度数是（），等腰直角三角形的两个顶点分别落在直线、A． B． C．

D．

【答案】C 【解析】分析：根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质进行计算即可.详解：

即

根据等腰直角三角形的性质可知：

故选C.点睛：考查平行线的性质和等腰直角三角形的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键.15．【湖北省孝感市2018年中考数学试题】如图，直线（），若，则的度数为 A． B． C．

D．

【答案】C

点睛：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．

16．【湖北省随州市2018年中考数学试卷】如图，在平行线l1、l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1、l2上，若∠l=65°，则∠2的度数是（）

A． 25° B． 35° C． 45° D． 65° 【答案】A

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． 17．【湖北省襄阳市2018年中考数学试卷】如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（）

A． 55° B． 50° C． 45° D． 40° 【答案】D 【解析】【分析】如图，根据平行线的性质求出∠3的度数即可解决问题.【详解】如图，∵AB//CD，∴∠3=∠1=50°，∵∠2+∠3=180°-90°=90°，∴∠2=90°-∠3=40°，故选D．

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 18．【新疆自治区2018年中考数学试题】如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE．若∠ABC=30°，则∠D为（）

A． 85° B． 75° C． 60° D． 30° 【答案】B

点睛：此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由CD=CE得出∠D=∠CED，由三角形内角和定理求出∠D．

二、填空题

19．【黑龙江省大庆市2018年中考数学试卷】已知圆柱的底面积为60cm，高为4cm，则这个圆柱体积为

3_____cm． 【答案】240 【解析】【分析】根据圆柱体积=底面积×高，即可求出结论． 【详解】V=S•h =60×4 =240（cm），故答案为：240．

【点睛】本题考查了圆柱体的体积，熟练掌握圆柱体的体积公式是解题的关键.20．【云南省昆明市2018年中考数学试题】如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC=29°18′，则∠AOC的度数为_____． 3

【答案】150°42′

点睛：此题主要考查了角的计算，正确理解互为邻补角的和等于180°是解题关键．

21．【贵州省（黔东南，黔南，黔西南）2018年中考数学试题】∠α=35°，则∠α的补角为_____度． 【答案】145 【解析】分析：根据两个角的和等于180°，则这两个角互补计算即可． 详解：180°﹣35°=145°，则∠α的补角为145°，故答案为：145．

点睛：本题考查的是补角，若两个角的和等于180°，则这两个角互补．

22．【湖南省湘西州2018年中考数学试卷】如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=_____．

【答案】60°

【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 23．【山东省淄博市2018年中考数学试题】如图，直线a∥b，若∠1=140°，则∠2=__________°．

【答案】40 【解析】分析：由两直线平行同旁内角互补得出∠1+∠2=180°，根据∠1的度数可得答案． 详解：∵a∥b，∴∠1+∠2=180°，∵∠1=140°，∴∠2=180°﹣∠1=40°，故答案为：40．

点睛：本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同旁内角互补．

24．【2018年湖南省湘潭市中考数学试卷】如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为__________．（任意添加一个符合题意的条件即可）

【答案】∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE

点睛：本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．

三、解答题

25．【湖北省宜昌市2018年中考数学试卷】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；

（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

【答案】(1)65°；(2)25°． 【解析】

分析：（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°；

（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．