课本实验的整合与拓展

课本实验的整合与拓展（共8篇）

课本实验的整合与拓展 篇1

充分发挥教材例题的教育功能

——谈教材例题的挖掘与拓展

汤敬鹏（兰州市第五十七中学 730070）

笔者经常去本市的一些重点学校听示范课、观摩课，发现一些教师在教学中并不太在喜欢使用课本中的例题，而往往是从一些教辅材料中转引例题或者干脆使用高考题，与他们交流这是为什么，他们普遍认为教材中的例题过于简单，对训练学生（特别是好学生）的数学思维并没有多大帮助，对此，笔者并不能苟同，笔者通过多年的教学实践认识到，教材中的多数例题具有较强的基础性，入口浅，利于学生（特别是初学者）进入，有助于学生双基的夯实，同时，教材中的许多例题还能进行深入的挖掘与拓展，这对于深化学生的数学思维能力是非常有帮助的，因此，笔者认为教师必须对教材中例题的教育价值要有充分的认识，认真研究这些例题，从不同方面对这些例题进行挖掘与拓展，使教材的教育功能得到最大的发挥。现以人教版全日制普通高级中学教科书《数学》各册中的几道例题为例，说明如何对教材中的例题进行拓展。

一、方法拓展

数学问题的一题多解是常谈常新的话题，对学生进行一题多解的训练，可以培养学生思维的灵活性与广阔性，不同的方法对同一题来说也许难简各异，但它们却可应用于不同的背景之下，对某题来说较难的方法，在另一题的背景之下也许会成为通法甚至是唯一方法，而且多解常常沟通了数学中多方面的知识甚至其它学科的知识，这对夯实学生的基础也是非常有利的。例：求证7

2教材中的基本证法是分析法，利用分析法证明之后，可让学生再利用综合法及平方后作差比较的方法进行证明，完成后，教师继续提示学生，在有关二次根式的问题中，除了可通过平方进行转化，还可怎样转化，引导学生发现分子有理化的方法：

725

3222 由于7，所以2

成立，故原不等式成立

之后，教师引导学生观察根号下各数的关系，可发现它们成等差数列，于是原不等式可22变形成为：3737()(7)，由此学生又发现此题还可利用前一节课习题中222

22的均值不等式abab（当且仅当a=b时，取“=”）进行证明。

在课外兴趣小组活动中，教师承接以上方法，引导学生探究这种方法的数学本质，发现这种方法与函数yx的凹凸性有关（函数的凹凸性在前面已结合高一上册教材中第二章复习参考题B组第三题在课外兴趣小组向学生介绍过），因此只要证明了该函数的凹凸性，也就能够证明原不等式成立，这样学生又掌握了利用函数凹凸性证明不等式的方法。

二、联系拓展

辩证唯物主义认为事物是普遍联系的，在数学中，不同的数学分支间也都具有这种联系性，有的显而易见，有的则较为隐蔽，数学教学的一个功能就是要向学生揭示这种关系，这个揭示关系的过程，可以使学生的知识体系得到整合，并逐渐对数学中的各种思想方法如转

化、数形结合等思想产生较为清晰的认识。对数学解题方法的拓展其实也是一种联系性的拓展，但数学教学中的联系性拓展还不仅局限于此，它还包括对数学教学内容之间的前后串联、课本例题的深化引申、课后习题的整合统一等。例：如图，OA与OB不共线，APtAB（t∈R），用OA，OB表示

OP

这是平面向量的一个重要例题，例题的结论是平面向量基本定理的一种特殊形式，由例题可得：OP=xOA+yOB（其中x+y =1），解决例题后，教师要引导学生探究其逆命题：“如果OA与OB不共线，对于点P满足关系式OP=xOA+yOB（其中x+y =1），那么P、A、B三点共线。”是否成立。学生通过探究，发现此命题是成立的。但对例题的拓展并不仅限于此，在学习空间向量时，教师可以再一次向学生呈现这个例题，并通过类比的方法，将此例题的结论引向空间，得到一个新的问题：已知、、不共面，=m+n（m∈R，n∈R），试用，经思考，学生可以得到结论：，表示。=x+y+z（其中x+y+z=1），这是空间向量基本定理的一种特殊形式，由于学生经历了平面向量中的探究过程，他们必然会思考这个命题的逆命题是否成立，而其逆命题恰好是教材中有关空间向量内容的一道例题：“对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，试问满足向量关系式=x+y+z（其中x+y+z=1）的四点P、A、B、C是否共面？”如果教师不如此引导，学生由于遗忘等原因，是不可能将两道例题联系起来的，而现在通过教师的拓展引导，两道不同章节的例题在学生的知识体系中建立了联系，这种联系并不是形式上的联系，而是在数学思想层面上产生的联系，因为后面的命题是前面命题在空间上的类比物，教师通过这种拓展，既对学生的知识体系进行了整合，又让学生经历了一次通过类比发现问题的过程，从而使他们的数学思维又一次向纵深发展。

三、背景拓展

一些例题本身具有丰富的生活背景或数学背景，如果教师能够对这样的例题进行深入的挖掘，必可以深化学生对数学本质的认识，从而提升其数学思维的深度。

例：已知a，b，m都是正数，并且a bmb

对于本例，我们可以利用它所具有的生活背景进行挖掘，教学中教师先提出问题：“糖水中加糖（在没有达到饱和度的前提下）味道会怎样？请你将这个生活现象提炼成一个不等式”。教师提示学生从浓度方面进行考虑，在学生提炼出上述不等式并利用比较法证明之后，教师接着提出问题：“在建筑中，把窗户面积与房间面积的比称为采光率，采光率越高，房间越明亮，如果把窗户面积与房间面积增加相同的面积，房间会变亮还是会变暗？为什么？”这个问题既是对前面不等式的应用，又使学生体会到不同的生活背景有时往往蕴涵了同样的数学模型这样一种数学模型化思想。之后，教师又借助不等式所具有的糖水浓度背景，继续进行深入挖掘，提出问题：“糖水加糖会变甜，那么加糖越多，就会越甜，这个现象又可抽象出什么不等式？”学生思考后又得到一个新的不等式：如果0m2>0，那么am1>am2，教师接着提问：“这个不等式还能加长吗？”在这个问题的引导下，学生bm1bm

2通过思考又得到以下不等式串：如果0m2>„>mn>0，那么am1>am2>„ bm1bm2>amn，教师继续引导：“这个不等式串中的各式具有相同的结构，这会让你联想到什么？”bmn

学生思考后发现这组不等式体现了函数y=ax在区间［0，＋∞）是增函数，教师接着引导bx

学生反过来思考：“如果知道这个函数的单调性，也就能够证明前面的一系列不等式”，这样师生共同挖掘出这道例题的函数背景，同时也通过对背景的思考，学生又获得了利用函数单调性证明不等式的方法。

四、思想拓展

数学教学不仅要让学生掌握一定的数学知识，更重要的是要让学生理解蕴涵在这些知识中的丰富的数学思想，数学思想方法对学生思考问题、解决问题更具有普遍性与指导性及一般性意义，因此对学生而言更为重要，例题的教育价值是否能够充分发挥出来，完全取决于例题中的数学思想是否被教师充分的挖掘与展现。

例：用数学归纳法证明：x2n-y2n能被x+y整除（对于多项式A，B，如果A＝BC，C也是多项式，那么A能被B整除）

教师在证明完这道例题后，追问一句：“既然x2n-y2n能被x+y整除，那么x+y整除x2n-y2n后得到的又是一个什么样的式子呢？”学生会发现，刚使用的数学归纳法是不能解决这个问题的，怎么办，学生想到n分别取1、2、3、4等去进行归纳，寻找规律，以发现结论，学生通过归纳，猜想x2n-y2n=(x+y)[x2n-1-x2n-2y+x2n-3y2+„+x2n-r(-y)r+„-y2n-1]，(r=1,2,„,2n)，但这个结论又如何证明呢？由于这是与自然数有关的命题，学生很自然地想到了数学归纳法，在这个过程中，学生不仅进一步体验了由特殊到一般进行归纳的数学方法、先猜想后证明的数学研究过程，而且体会到在解决与自然数集有关的问题时，归纳法是发现问题的一种重要方法，而数学归纳法是不能用于发现问题的，它只能用于证明已发现的结论，从而他们可以理解到数学归纳法的本质不是归纳，而是一种特殊的演绎。

五、文化拓展

在数学教学中渗透数学文化可以对学生健全的人格形成产生良好影响，张奠宙先生说“数学文化必须走向课堂”，但如何让数学文化走向课堂，这是我们必须认真思考的，对一些例题进行深入挖掘，挖掘出其所蕴涵的数学文化内涵，是数学文化走向课堂的一种重要方式。

例：已知数列{an}的第一项是1，以后每一项的各项由公式an=1+1给出，写出这个an

1数列的前五项。

此例较易解答，但如不对其进行挖掘与拓展，例题的教育功能就不能达到最大，教学中教师可以这样进行拓展：学生解答之后，教师要求学生用计算器再计算后续几项，学生通过计算后发现，当n逐渐增大时，an的近似值为1.618，结合初中所学，学生知道这个近似值是黄金分割数，教师顺势引导学生进行探讨，教师提出下列问题引导学生思考：①当n足够大时，根据计算的结果，每一项和它的前一项的近似值应该有什么关系？②而根据递推公式，它们之间又有何关系？③综合利用这两个关系，我们可以形成什么样的关系式？学生思考讨论后得到以下解释：设当n逐渐增大时，an的近似值是x，则x=1+1，即x-x-1=0，2x

其解之一即为1≈1.618是黄金分割数。得到这个解释之后，教师又引导学生进行如下的操作：a2=1+1=1+1，a3=1+1=1+1，a4=1+1=1+1，„„，由于当n逐渐增

1a1a2a31111111

大时，an的近似值为15，于是学生得到了黄金分割数的无穷连分数表达式，即

151211

111...。由无穷个1居然能够表示一个无理数，这引起了学生极大的兴趣，一些学生积极思考后提出：黄金分割数的倒数是黄金分割比51≈0.618，它比黄金分割数2

小1，因此它也可写成无穷连分数：1

2

1

111

1...，它的近似分数应该是例题中各数的1235813„。在学生获得了这些在书本中没有的知识后，教师并没有倒数，即 1，123581321

停止引导，而是又提出新的问题：“上面分数的分子1，1，2，3，5，8，„组成一个新的数列，你能写出这个数列的递推公式吗？”学生得到递推公式：a1=a2=1，an=an-1+a=-2(n≥3)，之后教师又给出著名的斐波那契“兔子问题”让学生思考，学生在教师引导下，发现其结果正是上一个问题中数列的各项，教师向学生介绍，这就是数学史中著名的“斐波那契数列”，之后教师给出其通项公式：an1[(1)n(15)n]，学生惊喜地发现，这个通项公22式中正藏有黄金分割数与黄金分割比，学生不由惊叹道，这两个数列可真有“亲戚”关系啊！教师接着利用多媒体展示一些自然现象中所隐藏的“斐波那契数列”，看到在习以为常的自然现象中竟有如此精妙的数学原理，学生叹为观止。对例题文化性的拓展，极大的激发了学生的学习兴趣，也丰富了学生的视野，例题的教育功能得到了最大的发挥。

以上是笔者对于课本例题如何拓展结合自己多年的实践所进行的一些思考，虽然文中按照五个方面进行了阐述，但实际对例题进行拓展时，这五个方面往往是相互融合的，如对例题进行方法拓展时，其中必然蕴涵在数学思想方法上的拓展，而问题一旦深入到数学思想的层面，也就必然会融入数学文化的要素。教师要对课本例题进行恰如其分的拓展，就必须对课本例题的教育功能有充分的认识，对数学及数学文化有较为深刻的理解。这样，数学教师才能跳出题海，数学教学才能真正做到反璞归真。

作者简介：汤敬鹏，男，36岁，硕士，民进会员，甘肃省兰州市第57中学数学高级教师，数学教研组长，从事数学教学工作十余年，至今已发表数学教育教学论文二十余篇，其中有多篇获国家级、省级、市级优秀教育论文奖。联系电话：***，电子邮箱：litianfeng723@sina.com

课本实验的整合与拓展 篇2

这个问题的解答比较容易,请自己完成.

【演变过程】将课本中的这道习题变换一下情境,即将“在兔舍外面开辟一个长方形活动场地”置换为“在校园里利用围墙的一段围成一个矩形花园”,将“兔舍墙面宽6 m”改为“校园围墙最长可利用25 m”, 将“长13 m的旧围栏”置换为“50 m长的墙的材料”,面积由“20 m2”改为“300 m2”,即可得到下列中考题.

【考题在线】(2012·湖南湘潭)如图1, , 某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m),现在已备足可以砌50 m长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300 m2.

【思路分析】根据可以砌50 m长的墙的材料,即总长度是50 m,设AB=x m,则BC= (50-2x) m,再根据矩形面积公式列一元二次方程求解即可.

【满分解答】设AB=xm,则BC=(50-2x)m. 根据题意可得,x(50-2x)=300,解得:x1=10, x2=15. 当x1=10时,BC=50-2x=30>25(舍去); 当x2=15时 ,BC=50-2x=20<25(符合要求). 故可围成AB长为15米,BC为20米的矩形.

【拓展变式】对上述问题中长方形的个数、形状和可利用的墙长进行变换,可得到许多新问题:

变式1:某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD,现在已备足可以砌50 m长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300 m2. 如果围墙MN最长可利用a m,围成长方形的长和宽各是多少?

【思路点拨】先用上述试题的解法求出AB和BC的长,再结合围墙MN最长可利用的长度a m的变化来确定问题的解的情况: 当a≥30时,问题有两解;当20≤a<30时,问题只有一解;当a<20时,问题无解.

变式2:如图2,要建一个长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场,设它的长度为x m.

(1)要使鸡场面积最大,鸡场长度应为多少?

(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场长应为多少?

比较(1)(2)的结果,你能得到什么结论?

【思路点拨】(1) 设鸡场的长为x m,则宽为1/3 (50-x) m,利用矩形面积公式构造二次函数,再用配方法求出二次函数取最大值时鸡场的长度;(2) 设鸡场的长为x m,则宽为,利用矩形面积公式构造二次函数,再用配方法求出二次函数取最大值时鸡场的长度. 观察 (1)、(2)可知,要使鸡场面积最大,它的长与n无关,总等于篱笆总长的一半.

变式3:如图3,有一面积为150 m2的半圆形鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18 m), 半圆弧用竹篱笆围成,问竹篱笆的长度是多少m?

【思路点拨】设半圆的半径为r米,可用半圆的面积公式求出r,检验2r是否小于18, 再求出半圆周长,即得竹篱笆的长度.

【参考答案】

变式1:设AB=x m,则BC=(50-2x) m. 根据题意可得,x(50-2x)=300,解得:x1= 10,x2=15. 当x=10时,BC=30;当x=15时,BC= 20. 所以,当a≥30时有两解 ,即可围成AB长为10米,BC为30米或AB长为15米,BC为20米的矩形;当20≤a<30时,只有一解:可围成AB长为15米,BC为20米的矩形;当a< 20时,问题无解.

变式2:(1) 设鸡场的长为x m,面积为y m2, 则宽为1/3 (50-x) m,y=x×1/3 (50-x) =-1/3 (x-25)2+(625)/3 ,所以当x=25 m时,鸡场面积最大;(2) 设鸡场的长为x m,面积为y m2, 则宽为所以当x=25 m时,鸡场面积最大. 由(1)、(2)的结果可以得出结论:不论鸡场中间有几道隔墙,要使鸡场面积最大,它的长总等于篱笆总长的一半.

对课本习题的探究与拓展 篇3

【关键词】 课本 习题探究 拓展 高中数学

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-067X（2014）08-060-01

原题：普通高中课程标准实验教科书<数学>必修Ⅳ第146页复习参考题B组第7题。如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点。当△APQ的周长为2时，求∠PCQ的大小。

一、探究原题

原题是对运动过程中的不变量的研究。当点P在线段AB上运动时，满足条件的点Q随之在线段AD上运动。当点P确定后，点Q是以点A、P为焦点，以2-AP的长为长轴的椭圆与线段AD的交点。因此当点P确定后，点Q的位置不能用尺规作出。△CPQ随点P的运动而变化，但∠PCQ不变，是一个定值。原题考查了两角和的正切公式，代入消元，整体求值以及构造方程的思想方法。是一道难题。

二、改编意图

1. 由对原题的探研知△CPQ随点P的运动而变化，因此△CPQ的面积也在变化，那么△CPQ的面积是否有最大值或最小值？由此得改编后的命题1。命题1考查了三角恒等变换，三角函数的值域，不等式的性质等知识。

2. 利用原题的图形以及原题的命题意图，将“△APQ的周长为2”改为：PQ=t（1

三、改编后的命题及其参考答案

命题1：如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点。当△APQ的周长为2时，①求∠PCQ的大小；②求△CPQ的面积S的最大值或最小值。

改编题2：如图所示，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的动点。如果PQ长为定值■.①设∠APQ=α，则求sinα+cosα的取值范围；②求△CPQ的面积S的最大值或最小值。

改编题1参考答案：①设AP=x，AQ=y，∠BCP=α，

∠DCQ=β，则tanα=1-x，tanβ=1-y，于是tan（α+β）=■.

又△APQ的周长为2，即x+y+■=2

变形可得： xy=2x+y-2

于是tan（α+β）=■=■=1

又0<α+β<■，∴α+β=■，∠PCQ=■-α+β=■.

②由①得CP=■，CQ=■，所以

S=■·■·■·sin■=■.

由①得β=■-α，所以，

cosαcosβ=cosαcos（■-α）=■cos2α+cosαsinα

=■+cos2α+sin2α=■sin（2α+■）+■

∵0<α<■，∴■<2α+■<■，

所以■<2α+■<1

于是■

当且仅当α=■时取等号，所以S的最小值是■-1，无最大值。

改编题2参考答案：①根据题意可知，α∈（0，■），则有

sinα+cosα=■（■sinα+■cosα） =■sin（α+■）

∵α∈（0，■），∴α+■∈（■，■）

∴■

所以sinα+cosα的取值范围是（1，■]

②设∠APQ=α，则AQ=PQ·sinα=■sinα，AP=PQcosα=■cosα，DQ=1-AQ-1-■sinα，BP=1-AP=1-■cosα，

∴S=1-S△CDQ-S△CBQ-S△APQ=1-■（1-■sinα）-■（1-■cosα）

-■·■sinα·■cosα=■sinα+cosα-■sinαcosα①

设sinα+cosα=t②，由（1）知t∈（1，■].将①式两边平方，得：

1+2sinαcosα=t2，∴sinαcosα=■③

将②，③代入①得：S=■t-■·■=■t-3t2+8t+3

=-■（t-■）2+■

当t∈（1，■]时， St单调递增，此时■

当t∈（■，■]时， St单调递减，此时■≤y≤■；

所以当t=■，即sinα=■时， S有最大值■，

因为■<■，所以S无最小值.

综上，当sinα=■时，S的最大值为■，无最小值.

信息技术与美术整合的实验 篇4

构想：在传统的美术课堂中，主要通过挂图、书本和录象等有限形式对学生传递信息，将信息技术引入课堂后，通过计算机的图、文、声、象并茂的特点，甚至三维虚拟现实等多方位信息用于制作课件，使教学内容更丰富，涉及面更广，能够优化课堂教学，提高教学效率。

做法：传统教学中，教师在备课和教具的准备上颇费心思，尤其是实践设计课，如初中课本的《贺卡设计》、《装帧设计》、《招贴设计》和《标志设计》等，教师既要准备大量的图例，又要考虑在有限的课时内解决难点问题，学生练习、反馈的时间明显不足，在不能增加课时的情况下，对教学质量的`要求则明显降低，因此，在计算机教学软件的编制中，我们紧抓重点、难点，将原来以教师的讲授为主转变成以学生主动探讨为主，学生间协作学习相结合等灵活多样的教与学的形式，充分发挥信息技术的作用。如：在制作《招贴设计》课件时，选用多幅著名的和平运动招贴画，从内容、形式多方面进行分析演示，使学生对招贴画的设计构思进行全面了解，并在设计步骤上设置相应的从低到高、从简单到复杂的操作练习，使学生加深了对重点、难点内容的理解，达到突出重点、突破难点的效果。

教学流程见下图：

程序步骤

教师活动

信息技术与中学实验课程整合 篇5

难等现实难题。本文正是针对实验教学的新特点，对上述问题做了较为深入的探讨。另外，文中还对信息技术与实验课程如何实现有效整合，以及整合的具体模式，网络环境下的教学设计，实验课件设计的理论基础等相关问题作了一定程度的探讨。

【关键词】信息技术;实验课程;实验教学技术;网络技术;实验教学改革

引言

时代已经进入21世纪，这个以知识经济为主体的时代，对知识型劳动者的需求大量增加，人们对知识的欲望空前提高。信息技术在教育领域的普及渗透，使我国教育领域发生着日新月异的变化,使教育信息化迅速明显加快。实验教学作为实践能力培养的重要手段，业已随着信息技术的迅猛发展，信息化速度大大加快。现今实验教学过程中己很少有单纯的传统教学仪器，一般都用计算机做终端，形成新一代智能化实验教学仪器，以弥补传统教学仪器的不足。本文研究的重点正是新形势下信息技术与实验课程的有效整合。

实验是科学的基础，是科学发展的动力源泉，实验教学在现代教学中占有重要的位置。实验教学的基本目的是让学习者学习实验的测量方法、学科基本研究方法和科学思维。在中学实验教学中，学生是实验教学的主体，在实验教学中具有能动性，对实验加以理解和体验；无论是课堂实验还是家庭实验，都成为实验教学资源开发的重要组成部分。从这一角度上讲，学生也是实验教学的一种资源。但是目前中学实验课程中普遍存在的问题是，学生学习兴趣低下，知识面窄，发现问题、分析问题与解决问题，以及动手操作的能力下降，这已成为中学的实验教学迫在眉睫需要解决的问题。开展信息技术与实验教学整合的实践与研究，就是要解决这些问题，寻求现实的可操作性的途径和方案，促进技术优势转化为教学效益，推进信息技术在实验教学过程中的效用，因此信息技术与实验教学整合的实践与研究，具有重要的现实意义。

信息技术在实验教学中的应用主要是进行计算机辅助实验教学(CAI)，即利用计算机接口技术、多媒体技术和虚拟仿真技术对实验进行数据采集、储存、处理和监控以及对实验进行模拟、重现的教学过程。充分发挥信息技术的多种优势，与传统实物实验优势互补，化抽象为形象，提高实验的效果。开展计算机辅助实验教学研究，可以解决传统实验教学模式中难以解决的一些问题，是实现实验教学最优化的一个重要途径。

信息技术应用于实验课程的教学，其作用不仅是改变传统的实验教学手段，更重要的是将信息化(数字化、多媒体化、智能化和网络化)的教学内容和方式融于实验学科课程教学的过程之中，实现新的更高的教育教学目标和更好的教学效果。信息技术与课程整合将带来课程内容的不断革新，信息技术的高速发展，要求传统的课程必须适应信息化社会发展的要求，增加与信息技术相关的内容并要求各门课程都必须根据时代发展，革新原有课程内容。信息技术与课程的整合将是课程内容革新的一个有利促进因素。

信息技术与实验整合，有利于规范实验的操作。实验的基本操作是实验教学的重要内容。学生只有掌握了规范的实验操作，才能保证安全地进行实验和得到准确的结果。利用多媒体可通过视频信息为学生展示规范、严格的操作过程。同时也可以模拟出错误操作后造成的不安全后果。

信息技术与实验整合，有利于突破性质实验中的疑难点，物质的性质实验在中学实验中占很大的比重，这些实验中有一部分却属于疑难实验，有的因为反应速度过快稍纵即逝，通过信息技术与实验的有效整合可以放大实验的过程引导学生从多角度进行观察。这些经过信息技术整合后的模拟实验都是物质性质实验的有益补充。

信息技术与实验整合可以模拟放大微观过程，促进对基本概念和原理的理解。有些实验的概念和原理比较抽象，这类实验在学生已感知实验事实的基础之上，很难形成理性认识。要真正认识实验现象的本质和规律。信息技术无疑在对促使学生对概念和原理的理解上有明显的优势。通过计算机的模拟功能，用图像化的形式来显示微观运动的动态过程，为学生提供形象直观的感性材料。

课本实验的整合与拓展 篇6

该设计案例为苏教版必修一第四章第一节“物质跨膜运输的方式”中的探究实验。在此之前，学生已经学习了渗透的原理，对半透膜、渗透作用及渗透装置的组成有了一定的认识。具有这样的知识基础上，教师引导学生探究植物细胞的质壁分离和复原，使学生能够充分理解一个成熟的植物细胞与外界溶液一起构成典型的渗透系统。学生只有通过实验操作和观察质壁分离和复原的现象，获得细胞吸水、失水与外界溶液浓度关系的感性认识，才能深入理解成熟的植物细胞是一个渗透系统以及影响细胞渗透吸水的内外条件。

学生先根据教材内容完成探究实验的过程，然后再进一步探究以下问题：

（1）不同浓度的试剂对同一种植物材料吸水和失水的影响；

（2）同一浓度的试剂对不同种植物材料吸水和失水的影响，比较出不同种植物的细胞液浓度大小；

（3）不同种试剂对植物细胞失水和吸水的影响；

（4）死亡的植物细胞能否发生渗透作用？

通过一系列的实验，师生共同参与，学生自主探究，让学生经历“提出问题-作出假设-设计实验-实施操作-观察结果-得出结论”的探究历程，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神。教师借助多媒体手段，以突出重点，突破难点，增加知识容量，提高课堂效率。

2.与学生生活实际的联系

生活中很多现象都与植物细胞的吸水与失水有关，例如：泡在盐水中的萝卜条会变软，泡在清水中的萝卜条会更加硬挺；泡菜制作时加入一些盐，水分就会渗出来；农作物施肥过多，就会造成“烧苗”的现象等。通过本实验的学习，使学生更深入地理解生活中的这些现象，并作出合理解释。

3.教学目标

3.1知识目标

（1）理解植物细胞通过渗透作用吸水或失水的原理。

（2）学会观察植物细胞质壁分离与复原的方法。

3.2能力目标

（1）通过实践，掌握临时装片的制作方法和实验的一般步骤；

（2）进一步熟悉高倍显微镜的使用；

（3）通过课本实验的学习，提出可行性的探究问题，并小组讨论制定探究方案，尝试得出结论。

3.3情感、态度与价值观目标

（1）亲手实验，激发学习生命科学的兴趣，分析生活中与渗透作用有关的现象；

（2）体会科学研究的乐趣，培养在科学研究中一丝不苟的科学态度和实事求是的科学精神；

（3）学会合作分工，与他人分享实验成果。

4.教学重点、难点及解决的教学策略

（1）教学重点：引导学生探究实验，确定实验的材料、试剂的种类与浓度，并进行应用创新。

教学策略：用不同浓度的蔗糖溶液探究实验的结果，用课件展示成熟植物细胞的结构图，分析其与渗透系统的关系。在此基础上让学生讨论选择紫色洋葱的外表皮细胞和0.3g/ml的蔗糖溶液的原因，并且进一步分析浓度大小对质壁分离的影响。

创新之处：①用绿色植物的叶肉细胞代替紫色洋葱的外表皮细胞，重复该探究实验。

②用无色的洋葱表皮细胞代替紫色洋葱的外表皮细胞，但在外界溶液中滴加胭脂红溶液对其染色，再观察实验的结果。

③用0.3g/ml的kn03溶液代替0.3g/ml的蔗糖溶液再观察结果。

（2）难点：临时装片的制作，在探究实验过程中培养学生的实践能力和创新能力。

教学策略：教师示范制作临时装片，并强调制作时的注意点：材料要薄，不能有气泡等。接着让学生自主探究，再由不同小组的学生展示自己的实验结果并描述实验过程以及对实验结果的分析，进而让学生提出更多需要探究的问题。

5.课前准备

（1）教师要求学生复习渗透作用原理及其发生条件，并做好预习，理解实验原理，了解实验目的、要求和方法步骤；

（2）材料器具：洋葱，菠菜，质量浓度分别为0.1g/ml、0.3g/ml、0.5g/ml、0.7g/ml的蔗糖溶液，0.3g/ml的kno，溶液、胭脂红染液（一种水溶性的大分子食用色素，呈红色），1mol/l的醋酸溶液，清水，显微镜，镊子，滴管，载玻片，盖玻片，吸水纸等。

6.教学过程

6.1导入

（1）复习渗透装置，教师引导学生思考：渗透作用发生的条件有哪些？

（2）教师联系学生的生活，出示一些常见现象：泡在盐水中的萝卜条会变软，泡在清水中的萝卜条会更加硬挺。并提出问题：为什么会出现这样的现象？植物细胞能否构成渗透装置？

学生学习教材中的相关内容，分析成熟的植物细胞结构，并与渗透装置作比较。

教师引导学生讨论：若将一个成熟的植物细胞放置到浓度高的溶液中，细胞液中的水分子将向细胞的哪一侧运动？如果细胞壁的伸缩性小于原生质层的伸缩性，将会出现什么有趣现象？

6.2开展观察植物细胞的质壁分离与质壁分离复原的实验

（1）实验原理：

把成熟的植物细胞放置在某些对细胞无毒害的物质溶液中。

①当细胞液的浓度外界溶液的浓度时：

外界溶液中的水分子通过原生质层进入到细胞液中，发生质壁分离的细胞的整个原生质层会慢慢地恢复成原来的状态，使植物细胞逐渐发生质壁分离复原。

（2）实验步骤：

课本实验的整合与拓展 篇7

在教辅材料大行其道的今天, 我们发现有一些教师在平时教学中并不太愿意使用教材中的课后习题, 他们觉得课后习题难度不大, 对学生的训练价值不高, 相比之下, 他们更喜欢使用有一定难度的课外教辅材料.对于这种做法, 笔者不敢苟同, 笔者认为, 课后习题是一种重要的教学资源, 它是教材编写者经过认真思考, 精心选择与编写而成的, 它们具有很强的针对性与较高的训练价值, 课后习题中含有大量需要我们挖掘的宝藏.作为教师, 不仅要使用课后习题, 更要精心处理课后习题, 使课后习题的教育价值得到充分的发挥.笔者现就人教版普通高中数学教材 (以下简称“教材”) 中课后习题的使用, 谈谈自己的看法, 本文所用例题均为教材中的课后习题.

1.1 利用课后习题纠错示错, 巩固数学双基

每节课后的习题, 都针对本节所学内容而编制, 具有很强的针对性与基础性, 课后作业有助于学生加深对新学概念的理解, 有助于学生对所学知识进行应用, 一些习题中还针对学生可能产生的知识误区或知识盲点, 埋藏有知识“陷井”, 这样可以帮助学生从反面理解概念, 或提醒学生关注其盲点.教师要善于利用这些习题, 帮助学生从正反两方面掌握概念、夯实基础.

例1 在等比数列{an}中, 已知$a{}_3=1\frac{1}{2}‚S{}_3=4\frac{1}{2}$, 求a1与q.

学生在解答这道习题时, 首先会想到用等比数列求和公式$S{}_n=\frac{a{}_1(1-q{}^n)}{1-q}$及等比数列通项公式an=a1qn-1来求解, 但初次使用公式时, 学生往往会忽略等比数列求和公式有q≠1的限制, 从而引起解答的错误, 教师在讲评作业时, 先要提醒学生注意这个限制条件, 做题时首先要判断这个等比数列是否为非零常数列, 若是, 则需使用Sn=na1来进行计算;之后, 教师要提出问题, 这种已知Sn, 求a1和q的问题, 是否可以不按q=1和q≠1进行分类讨论, 进而指出, 利用数列求和定义Sn=a1+a2+…+an解决这类问题, 可以避开讨论.

$\begin{array}{l}\text{解}\text{因}\text{为}a{}_3=1\frac{1}{2}‚\\ S{}_3=\frac{a{}_3}{q{}^2}+\frac{a{}_3}{q}+a{}_3=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{q{}^2}+\frac{1}{q}+1\right)=\frac{9}{2}‚\end{array}$

所以$\frac{1}{q{}^2}+\frac{1}{q}-2=0$, 解得q=1或$q=-\frac{1}{2}.$

当q=1时, $a{}_1=a{}_3=\frac{3}{2}$;

当$q=-\frac{1}{2}$时, $a{}_1=\frac{a{}_3}{q{}^2}=6.$

教师不仅要引导学生对自己的错误进行反思, 还要引导学生去发现课本习题编制的不完善或错误之处, 这不仅使学生的基础进一步得到巩固, 还能培养学生形成质疑反思的意识.

例2 已知:$f(x)=\lg \frac{1-x}{1+x}$.求证:$f(a)+f(b)=f\left(\frac{a+b}{1+ab}\right).$

学生在做这道习题时, 往往不假思索地进行证明, 在作业讲评时, 教师可提出问题:$f(-5)+f(3)=f\left(\frac{1}{7}\right)$成立吗?以引导学生去发现这道习题存在的问题.学生在计算定义域后, 发现此题应给出a, b的范围, 使得$a‚b‚\frac{a+b}{1+ab}$在定义域 (-1, 1) 内.通过此题, 学生进一步认识到解决函数问题先求函数定义域的重要性.学习不等式后, 学生可探知, 只需满足a, b∈ (-1, 1) 即可.

1.2 借用课后习题铺垫, 形成引燃新知识的导火索

新知识既可以为了解决新问题而产生, 也可以由与旧知识的联系而产生.借助以前章节的课后习题引入新课, 可以使学生在熟悉的背景下感知学习新知识的必要性;而利用新课后的课后习题引入新课, 之后再加以解决, 可使教学前后呼应, 从而激发学生的学习热情, 提高教学的效率.

例3 在学习椭圆的参数方程这一知识时, 可以先让学生做前一章的复习参考题中的一道习题:用描点法画出参数方程

$\{\begin{array}{l}x=5\cos \theta ‚\\ y=3\sin \theta \end{array}(\theta$

为参数) 表示的图形.

学生作图后可以发现图形是一个椭圆, 这时可以引导学生结合同角正、余弦的平方关系消参, 得到椭圆的标准方程, 学生从而知道, 这种参数方程表示的是椭圆, 之后给出课本中的例题 (用同心圆画椭圆) , 通过对例题的分析, 可以得到动点P的坐标满足参数方程

$\{\begin{array}{l}x=a\text{c}\text{o}\text{s}\theta ‚\\ y=b\text{s}\text{i}\text{n}\theta ‚\end{array}$

由于前面习题的铺垫, 学生立即发现P点的轨迹是一个椭圆, 这样, 学生较为轻松地获得了有关椭圆参数方程的知识.

1.3 探寻习题间的联系, 整合学生的知识体系

单独一道数学习题的教育功能也许并不很大, 但如果能够将多道习题串珠成线, 形成题组, 让学生探寻其中的联系, 学生将体会其中蕴涵的特殊与一般、抽象与具体、相互转化等种种关系, 那么数学习题的教育功能将成倍增长.

例4 在“直线与圆的方程”一节的复习课中, 教师可将本章各节及复习题中的下列课后习题串联成题组供学生使用.

(1) 求经过两条曲线x2+y2+3x-y=0和3x2+3y2+2x+y=0交点的直线的方程;

(2) 两条曲线的方程是f1 (x, y) =0和f2 (x, y) =0, 它们的交点是P (x0, y0) .求证:方程f1 (x, y) +λf2 (x, y) =0的曲线也经过点P (λ是任意实数) ;

(3) 求经过两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点, 且垂直于直线3x-2y+4=0的直线方程;

(4) 求经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点, 且平行于直线4x-3y-7=0的直线方程;

(5) 求经过两条直线y=2x+3和3x-y+2=0的交点, 且垂直于第一条直线的直线方程;

(6) 直线ax+2y+8=0, 4x+3y=10和2x-y=10相交于一点, 求a的值;

(7) 求证:不论m取任何实数, 方程 (3m+4) x+ (5-2m) y+7m-6=0所表示的曲线必经过一个定点, 并求出这一点的坐标;

(8) 求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点, 并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程;

(9) 求两圆x2+y2-10x-10y=0, x2+y2+6x+2y-40=0的公共弦长;

(10) 判定两圆x2+y2-6x+4y+12=0, x2+y2-14x-2y+14=0是否相切;

在练习时, 学生先用求交点及直线方程的两点式求得习题 (1) 的答案, 随后教师要引导学生观察所得直线方程与两圆方程相减后所形成的方程是相同的, 从而引发学生思考为什么会出现这样的情况, 是偶然的, 还是必然的?之后再给出习题 (2) , 两道习题相结合, 在教师的引导下, 学生自然而然地产生了过两条曲线的交点的曲线系的知识, 并能意识到习题 (1) 是λ=-1的情形, 从而总结出相交两圆的公共弦方程就是两圆方程相减消去二次项后所得的方程.之后, 给出习题 (3) — (9) , 对学生刚形成的新知识进行应用, 其中习题 (9) 可先由两圆的方程相减, 求出公共弦方程, 再利用点到直线的距离公式、垂径定理及勾股定理加以解决.习题 (10) 可先由两圆的方程相减, 求出直线方程, 再求出两圆圆心到直线的距离, 由距离与半径的关系可以判断出两圆都与直线相切, 又由于两圆的连心线与直线垂直, 因此两圆相切, 由习题 (10) 学生可以得出结论:当两圆相切时, 两圆方程相减所得的直线方程就是两圆的公切线方程.

以上各题学生在平时作业中已经完成过, 在复习课中再次出现, 既是一次复习, 更是一次提升, 因为这时学生不仅使用了与过去不同的方法, 而且获得了新知.另外, 以题组来整合知识, 可以引导学生以整体的眼光去审视所学的内容, 这对整合学生的知识是非常有帮助的.

1.4 深入挖掘习题隐藏的价值, 开发新的探究点

奥加涅相说:“必须重视, 很多习题潜在着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可能性……”如果教师能够做为一名有心人, 认真地对课后习题进行研究, 那么他一定会发现, 许多课后习题经过增减条件、改变结论、抽象具体化等方法的改造, 都能使它的教育价值得到进一步地扩展.特别是在高考总复习中, 对课后习题进行开发与改造, 往往可以起到事半功倍的作用, 使高考复习更有效率.

例5 我们可以利用例2中的习题进行拓展, 提出问题链:

(1) 求f (0) ;

(2) 求y=f (x) 的定义域;

(3) y=f (x) 是奇函数还是偶函数?

(4) y=f (x) 具有怎样的单调性?

这4个问题属于常规问题, 通过解决这些问题, 学生可以知道f (0) =0, 这个函数的定义域是 (-1, 1) , 它是一个奇函数, 在定义域内为减函数, 这4个问题是为后面问题做的铺垫.接着对问题抽象化:

(5) 已知函数y=f (x) 的定义域为 (-1, 1) , 对于定义域内的任意x, y, 均满足$f(x)+f(y)=f\left(\frac{x+y}{1+xy}\right).①$求f (0) ;②判断函数的奇偶性.

由于有了前4个问题的铺垫, 学生较容易猜测出问题 (5) 的结论, 并且较为轻松地加以解决.

解 ①令y=0, 则有f (x) +f (0) =f (x) , 所以f (0) =0.

②令y=-x, 则有f (x) +f (-x) =f (0) =0, 所以y=f (x) 是奇函数.

之后, 再提出开放性问题:

(6) 能否判断这个函数的单调性?若能, 请说明这个函数的单调性;若不能, 试加入一些条件使它有确定的单调性.

在进行这个问题的探究时, 教师先引导学生复习判断函数单调性的方法:①利用定义;②使用导数;③借助图像;④复合函数单调性判断方法——同增异减.由于这个函数既没有函数解析式, 又没有图像, 因此只能使用定义来判断单调性.大部分学生都能想到:先设-1<x2<x1<1, 则$f(x{}_1)-f(x{}_2)=f(x{}_1)+f(-x{}_2)=f\left(\frac{x{}_1-x{}_2}{1-x{}_{1}x{}_2}\right)$, 这时只要知道$f\left(\frac{x{}_1-x{}_2}{1-x{}_{1}x{}_2}\right)$的符号, 就可以判断函数的单调性了.这时教师引导学生进行讨论, 结合习题中的原型函数, 通过讨论, 有学生提出可为此题增加如下条件:当x>0时, f (x) >0;或当x>0时, f (x) <0.也有学生提出可加入以下条件:对于定义域内的任意x, y, 均有当$\frac{x}{y}＞0$时, $f\left(\frac{x}{y}\right)＞0$.还有学生提出将定义域改为{x|x≠±1}, 并加入条件当x>0时, f (x) >0;或当x>0时, f (x) <0.

对问题一般化, 还可得出下列问题:

(7) 若$f(x)=\lg \frac{m-x}{m+x}(m＞0)$, 则$f(a)+f(b)=f\left(\frac{？}{？}\right)$

解 令a=mc, b=md, 则$c=\frac{a}{m}‚d=\frac{b}{m}$.所以

$\begin{array}{l}f(a)+f(b)=\lg \frac{1-c}{1+c}+\lg \frac{1-d}{1+d}\\ =\lg \frac{1-\frac{c+d}{1+cd}}{1+\frac{c+d}{1+cd}}=\lg \frac{m-\frac{mc+md}{1+cd}}{m+\frac{mc+md}{1+cd}}\\ =\lg \frac{m-\frac{a+b}{1+\frac{ab}{m{}^2}}}{m+\frac{a+b}{1+\frac{ab}{m{}^2}}}=f\left(\frac{a+b}{1+\frac{ab}{m{}^2}}\right).\end{array}$

(8) 若$f(x)=\lg \frac{a-x}{b+x}(a＞0‚b＞0$, 且a≠b) , 问函数y=f (x) 的图像是否为中心对称图形?若是, 请写出对称中心的坐标;若不是, 请说明理由.

解 令$x=x^{\prime }+\frac{a-b}{2}$, 则

$f(x)=g(x^{\prime })=\lg \frac{\frac{a+b}{2}-x^{\prime }}{\frac{a+b}{2}+x^{\prime }}.$

由于y=g (x′) 的图像关于原点对称, 而y=f (x) 的图像是由y=g (x′) 的图像向左或向右平移而得到的, 因此, y=f (x) 的图像是中心对称图形, 其对称中心为$\left(\frac{a-b}{2}‚0\right).$

通过对这道作业题的延伸与拓展, 学生既巩固了基础知识, 又拓展了思维, 同时也进一步掌握了抽象函数问题的解答方法, 课堂教学效率很高.

1.5 直击高考试题, 显露课后习题的母题本源

高考的宗旨是“源于教材, 高于教材”, 给教学带来的启示是, 我们在高考复习以及平时的教学中, 与其到处寻找各种各样的资料, 不如在课后习题的处理上下足功夫.教学中, 教师必须很好地处理每一道课后习题, 深入挖掘其教育价值, 将其中一些习题的高考母题本源显露出来, 引导学生重视对课本的使用.

例6 在椭圆$\frac{x{}^2}{48}+\frac{y{}^2}{20}=1$上求一点, 使它与两个焦点的连线互相垂直.

教师可针对此题专门进行一堂习题课教学.教学时, 教师可先引导学生探寻解题的方法.可获得以下方法:设P (x, y) 为所求的点, F1, F2为焦点.

方法1 可以利用直线PF1与直线PF2的斜率乘积为-1, 及P在椭圆上求出P点的坐标.

方法2 利用$\overrightarrow{{\rm P}F{}_1}$与$\overrightarrow{{\rm P}F{}_2}$的数量积为0, 及P在椭圆上求出P点的坐标.

方法3 利用勾股定理可得PF${}_1^2$+PF${}_2^2$=F1F${}_2^2$, 再利用两点距离公式及P在椭圆上求出P点的坐标.

方法4P在以F1F2为直径的圆上, 利用此圆的方程与椭圆方程联立可求出P点的坐标.

方法5 利用椭圆定义知${\rm P}F{}_1+{\rm P}F{}_2=8\sqrt{3}$, 又知PF${}_1^2$+PF${}_2^2$=28, 可求得PF1·PF2的值, 再利用△F1PF2的面积可求出P点的纵坐标, 代入椭圆方程即可求得P点的横坐标.

方法6 利用焦半径公式及勾股定理可求出P点的横坐标, 再代入椭圆方程即可求得P点的纵坐标.

承接方法4, 教师要引导学生继续探讨如下问题:

(1) 在椭圆$\frac{x{}^2}{16}+\frac{y{}^2}{9}=1$上找一点, 使它与两个焦点的连线互相垂直.

以此问题使学生发现, 并非所有椭圆上都会存在一点使它与两焦点的连线互相垂直, 于是就产生了下列问题:

(2) 当椭圆$\frac{x{}^2}{a{}^2}+\frac{y{}^2}{b{}^2}=1$满足什么条件时, 椭圆上存在一点, 使它与两个焦点的连线互相垂直?

(3) 在椭圆上与两个焦点的连线互相垂直的点若存在, 它会有几个?

(4) 满足什么条件时, 椭圆上的点P与两个焦点连线之间的角始终为锐角?满足什么条件时, 椭圆上的点P与两个焦点连线之间的角可以出现钝角?

探究结束后, 向学生提供下列高考试题进行练习与继续探究:

(5) (2004年湖北高考) 已知椭圆$\frac{x{}^2}{16}+\frac{y{}^2}{9}=1$的左右焦点分别为F1, F2, 点P在椭圆上, 若P, F1, F2是一个直角三角形的3个顶点, 则点P到x轴的距离为 ( ) .

$(\text{A})\frac{9}{5}(\text{B})3(\text{C})\frac{9\sqrt{7}}{7}(\text{D})\frac{9}{4}$

(6) (2004年湖南高考) F1, F2是椭圆C:$\frac{x{}^2}{8}+\frac{y{}^2}{4}=1$的两焦点, 在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为.

(7) (2004年全国Ⅱ) 设椭圆$\frac{x{}^2}{m+1}+y{}^2=1$的两个焦点是F1 (-c, 0) , F2 (c, 0) (c>0) , 且椭圆上存在点P, 使PF1与PF2垂直, 求实数m的取值范围.

(8) (2004年全国高考) 椭圆$\frac{x{}^2}{9}+\frac{y{}^2}{4}=1$的焦点为F1, F2, 点P为其上动点, 当∠F1PF2为钝角时, 点P横坐标的取值范围是.

参考文献

[1]汤敬鹏.等比数列求和莫忘定义[J].中学生数学, 2007, (6上) .

[2]汤先键.高中代数第一章的几个问题[J].数学教学研究, 2001, (1) .

[3]华志远.数学探究从课本题扬帆起航[J].数学通报, 2007, (3) .

课本问题的拓展延伸 篇8

原题 （苏科版教材九年级下册第八章第2节练习）某班50名同学的身高如下（单位：cm）：

150，148，159，156，157，163，156，164，156，159，169，163，170，162，163，164，155，162，153，155，177，165，160，161，166，159，161，157，155，167，162，165，159，147，163，172，156，165，157，164，152，156，153，164，165，162，167，151，175，162.

（1） 计算这50名同学身高的平均数和方差；

（2） 请用简单随机抽样方法，分别抽取样本容量为20的两个样本，并分别计算这两个样本平均数和方差，它们的结果一致吗？与总体的结果一致吗？

【解析】（1） 平均数为160.58 cm，方差为40.403 6 cm2；

（2） 用简单随机抽样方法，得到的样本一为：

150，151，160，166，172，167，165，156，153，167，159，164，164，157，175，157，162，161，156，159.

平均数为161.05 cm，方差为41.247 5 cm2，大体上与总体一致.

样本二为：

159，162，165，162，155，148，162，156，177，164，159，156，163，161，165，155，163，153，152，163.

平均数为160 cm，方差为36.8 cm2，大体上与总体一致.

说明：本题是典型的统计知识应用问题. 考查了平均数、方差等反映一组数据集中或离散程度的统计量，抽样的方法和用样本估计总体的统计思想. 下面对本题涉及的相关统计知识作适当的拓展探究.

延伸1：数据集中程度

例1 某中学数学兴趣小组12名成员的年龄情况如下：

则这个小组成员年龄的平均数是______，中位数是______.

【解析】本题考查加权平均数和中位数，典型的错误是误认为只有5个数据，从而得到平均数为=（12+13+14+15+16）=14，中位数为12、13、14、15、16最中间的数14. 其实，本题中共12个数据，正确解法为平均数=（12×1+13×1+14×3+15×5+16×2）

=14.5，中位数为第6和第7个数的平均数，即=15.

例2 某公司员工的月工资如下表：

则这组数据的平均数、众数、中位数中哪个统计量能客观描述该公司员工的总体收入情况.

【解析】这组数据的平均数为5 000元、众数3 000元、中位数3 000元. 由于这组数据中个别数据明显偏大，不宜用平均数5 000元反映这组数据的集中程度. 为了排除个别偏大数据对整组数据的影响，可采用中位数3 000元（反映中等水平）或众数3 000元（反映多数水平）描述这组数据的集中程度.

延伸2：数据离散程度

例3 下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则下列说法正确的是（ ）.

A. 甲比乙的成绩稳定

B. 乙比甲的成绩稳定

C. 甲、乙两人的成绩一样稳定

D. 无法确定谁的成绩更稳定

【解析】选B. 从平均数角度看，甲为9环，乙为9环；从极差角度看，甲为2环，乙为2环；但从方差角度看，甲为0.8环2，乙为0.6环2，所以乙比甲的成绩稳定.

说明：极差和方差虽然都可以反映一组数据的波动大小，但极差仅仅是关注了一组数据中的两个极端，而方差反映的是一组数据的平均波动大小，更能客观描述一组数据的离散程度. 有时极差大，方差可能反而小. 如原题中的样本一的极差为25 cm，方差为41.247 5 cm2；样本二的极差为29 cm，方差为36.8 cm2.

延伸3：合理选取样本

例4 要调查城区九年级8 000名学生了解禁毒知识的情况，下列调查方式最合适的是（ ）.

A. 在某校九年级选取50名女生

B. 在某校九年级选取50名男生

C. 在某校九年级选取50名学生

D. 在城区8000名九年级学生中随机选取50名学生

【解析】选D. 样本的选取要有代表性、广泛性和随机性，故应在城区8 000名九年级学生中随机选取部分学生. 男生或女生不能代表所有学生，一个学校的学生不能代表整个城区的学生.

延伸4：样本估计总体

样本估计总体是统计思想的应用. 样本的容量对估计总体的精度有影响，一般地，容量越大，精度越高.

例5 生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉100只雀鸟，给它们做上标记后放回山林；一段时间后，再从中随机捕获500只，其中有标记的雀鸟有5只. 请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约有______只.

【解析】设这片山林中的所有雀鸟为x只，由于先捕捉的100只雀鸟是这片山林中所有雀鸟的一个样本，利用样本估计总体可得=，解得x=10 000. 即这片山林中的所有雀鸟约为10 000只.

例6 2011年5月19日，中国首个旅游日正式启动，某校组织了由八年级800名学生参加的旅游地理知识竞赛，李老师为了了解学生对旅游地理知识的掌握情况，从中随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格、不及格4个级别进行统计，并绘制了如图的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）.

请根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1） 求被抽取部分学生的人数；

（2） 请补全条形统计图，并求出扇形统计图中表示及格的扇形的圆心角度数；

（3） 请估计八年级800名学生中达到良好和优秀的总人数.

【解析】（1） 被抽取部分学生的人数为10÷10%=100人；

（2） 正确补全条形统计图：（图略）圆心角度数为360°×（30÷100）=108°.

（3） 八年级800名学生中达到良好和优秀的总人数约为800×（1-10%-30%）

=480（人）.

（作者单位：昆山市玉山中学）

每年中考数学试题有将近30%的题目出自课本中的典型例题、练习题、习题或复习参考题，因此，同学们要做透课本中的典型例题和习题，要善于用联系的观点研究课本中题目的变式，善于在课本中寻找中考题的“影子”，探索试题与课本题目的结合点，必要时再将这些问题做恰当的分解或整合、延伸或拓展，努力使课本知识更加丰富鲜活. 本文从课本的一道习题出发，通过对其变式、探究、推广，做到举一反三，供同学们学习参考.

原题 （苏科版教材九年级下册第八章第2节练习）某班50名同学的身高如下（单位：cm）：

150，148，159，156，157，163，156，164，156，159，169，163，170，162，163，164，155，162，153，155，177，165，160，161，166，159，161，157，155，167，162，165，159，147，163，172，156，165，157，164，152，156，153，164，165，162，167，151，175，162.

（1） 计算这50名同学身高的平均数和方差；

（2） 请用简单随机抽样方法，分别抽取样本容量为20的两个样本，并分别计算这两个样本平均数和方差，它们的结果一致吗？与总体的结果一致吗？

【解析】（1） 平均数为160.58 cm，方差为40.403 6 cm2；

（2） 用简单随机抽样方法，得到的样本一为：

150，151，160，166，172，167，165，156，153，167，159，164，164，157，175，157，162，161，156，159.

平均数为161.05 cm，方差为41.247 5 cm2，大体上与总体一致.

样本二为：

159，162，165，162，155，148，162，156，177，164，159，156，163，161，165，155，163，153，152，163.

平均数为160 cm，方差为36.8 cm2，大体上与总体一致.

说明：本题是典型的统计知识应用问题. 考查了平均数、方差等反映一组数据集中或离散程度的统计量，抽样的方法和用样本估计总体的统计思想. 下面对本题涉及的相关统计知识作适当的拓展探究.

延伸1：数据集中程度

例1 某中学数学兴趣小组12名成员的年龄情况如下：

则这个小组成员年龄的平均数是______，中位数是______.

【解析】本题考查加权平均数和中位数，典型的错误是误认为只有5个数据，从而得到平均数为=（12+13+14+15+16）=14，中位数为12、13、14、15、16最中间的数14. 其实，本题中共12个数据，正确解法为平均数=（12×1+13×1+14×3+15×5+16×2）

=14.5，中位数为第6和第7个数的平均数，即=15.

例2 某公司员工的月工资如下表：

则这组数据的平均数、众数、中位数中哪个统计量能客观描述该公司员工的总体收入情况.

【解析】这组数据的平均数为5 000元、众数3 000元、中位数3 000元. 由于这组数据中个别数据明显偏大，不宜用平均数5 000元反映这组数据的集中程度. 为了排除个别偏大数据对整组数据的影响，可采用中位数3 000元（反映中等水平）或众数3 000元（反映多数水平）描述这组数据的集中程度.

延伸2：数据离散程度

例3 下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则下列说法正确的是（ ）.

A. 甲比乙的成绩稳定

B. 乙比甲的成绩稳定

C. 甲、乙两人的成绩一样稳定

D. 无法确定谁的成绩更稳定

【解析】选B. 从平均数角度看，甲为9环，乙为9环；从极差角度看，甲为2环，乙为2环；但从方差角度看，甲为0.8环2，乙为0.6环2，所以乙比甲的成绩稳定.

说明：极差和方差虽然都可以反映一组数据的波动大小，但极差仅仅是关注了一组数据中的两个极端，而方差反映的是一组数据的平均波动大小，更能客观描述一组数据的离散程度. 有时极差大，方差可能反而小. 如原题中的样本一的极差为25 cm，方差为41.247 5 cm2；样本二的极差为29 cm，方差为36.8 cm2.

延伸3：合理选取样本

例4 要调查城区九年级8 000名学生了解禁毒知识的情况，下列调查方式最合适的是（ ）.

A. 在某校九年级选取50名女生

B. 在某校九年级选取50名男生

C. 在某校九年级选取50名学生

D. 在城区8000名九年级学生中随机选取50名学生

【解析】选D. 样本的选取要有代表性、广泛性和随机性，故应在城区8 000名九年级学生中随机选取部分学生. 男生或女生不能代表所有学生，一个学校的学生不能代表整个城区的学生.

延伸4：样本估计总体

样本估计总体是统计思想的应用. 样本的容量对估计总体的精度有影响，一般地，容量越大，精度越高.

例5 生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉100只雀鸟，给它们做上标记后放回山林；一段时间后，再从中随机捕获500只，其中有标记的雀鸟有5只. 请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约有______只.

【解析】设这片山林中的所有雀鸟为x只，由于先捕捉的100只雀鸟是这片山林中所有雀鸟的一个样本，利用样本估计总体可得=，解得x=10 000. 即这片山林中的所有雀鸟约为10 000只.

例6 2011年5月19日，中国首个旅游日正式启动，某校组织了由八年级800名学生参加的旅游地理知识竞赛，李老师为了了解学生对旅游地理知识的掌握情况，从中随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格、不及格4个级别进行统计，并绘制了如图的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）.

请根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1） 求被抽取部分学生的人数；

（2） 请补全条形统计图，并求出扇形统计图中表示及格的扇形的圆心角度数；

（3） 请估计八年级800名学生中达到良好和优秀的总人数.

【解析】（1） 被抽取部分学生的人数为10÷10%=100人；

（2） 正确补全条形统计图：（图略）圆心角度数为360°×（30÷100）=108°.

（3） 八年级800名学生中达到良好和优秀的总人数约为800×（1-10%-30%）

=480（人）.

（作者单位：昆山市玉山中学）

每年中考数学试题有将近30%的题目出自课本中的典型例题、练习题、习题或复习参考题，因此，同学们要做透课本中的典型例题和习题，要善于用联系的观点研究课本中题目的变式，善于在课本中寻找中考题的“影子”，探索试题与课本题目的结合点，必要时再将这些问题做恰当的分解或整合、延伸或拓展，努力使课本知识更加丰富鲜活. 本文从课本的一道习题出发，通过对其变式、探究、推广，做到举一反三，供同学们学习参考.

原题 （苏科版教材九年级下册第八章第2节练习）某班50名同学的身高如下（单位：cm）：

150，148，159，156，157，163，156，164，156，159，169，163，170，162，163，164，155，162，153，155，177，165，160，161，166，159，161，157，155，167，162，165，159，147，163，172，156，165，157，164，152，156，153，164，165，162，167，151，175，162.

（1） 计算这50名同学身高的平均数和方差；

（2） 请用简单随机抽样方法，分别抽取样本容量为20的两个样本，并分别计算这两个样本平均数和方差，它们的结果一致吗？与总体的结果一致吗？

【解析】（1） 平均数为160.58 cm，方差为40.403 6 cm2；

（2） 用简单随机抽样方法，得到的样本一为：

150，151，160，166，172，167，165，156，153，167，159，164，164，157，175，157，162，161，156，159.

平均数为161.05 cm，方差为41.247 5 cm2，大体上与总体一致.

样本二为：

159，162，165，162，155，148，162，156，177，164，159，156，163，161，165，155，163，153，152，163.

平均数为160 cm，方差为36.8 cm2，大体上与总体一致.

说明：本题是典型的统计知识应用问题. 考查了平均数、方差等反映一组数据集中或离散程度的统计量，抽样的方法和用样本估计总体的统计思想. 下面对本题涉及的相关统计知识作适当的拓展探究.

延伸1：数据集中程度

例1 某中学数学兴趣小组12名成员的年龄情况如下：

则这个小组成员年龄的平均数是______，中位数是______.

【解析】本题考查加权平均数和中位数，典型的错误是误认为只有5个数据，从而得到平均数为=（12+13+14+15+16）=14，中位数为12、13、14、15、16最中间的数14. 其实，本题中共12个数据，正确解法为平均数=（12×1+13×1+14×3+15×5+16×2）

=14.5，中位数为第6和第7个数的平均数，即=15.

例2 某公司员工的月工资如下表：

则这组数据的平均数、众数、中位数中哪个统计量能客观描述该公司员工的总体收入情况.

【解析】这组数据的平均数为5 000元、众数3 000元、中位数3 000元. 由于这组数据中个别数据明显偏大，不宜用平均数5 000元反映这组数据的集中程度. 为了排除个别偏大数据对整组数据的影响，可采用中位数3 000元（反映中等水平）或众数3 000元（反映多数水平）描述这组数据的集中程度.

延伸2：数据离散程度

例3 下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则下列说法正确的是（ ）.

A. 甲比乙的成绩稳定

B. 乙比甲的成绩稳定

C. 甲、乙两人的成绩一样稳定

D. 无法确定谁的成绩更稳定

【解析】选B. 从平均数角度看，甲为9环，乙为9环；从极差角度看，甲为2环，乙为2环；但从方差角度看，甲为0.8环2，乙为0.6环2，所以乙比甲的成绩稳定.

说明：极差和方差虽然都可以反映一组数据的波动大小，但极差仅仅是关注了一组数据中的两个极端，而方差反映的是一组数据的平均波动大小，更能客观描述一组数据的离散程度. 有时极差大，方差可能反而小. 如原题中的样本一的极差为25 cm，方差为41.247 5 cm2；样本二的极差为29 cm，方差为36.8 cm2.

延伸3：合理选取样本

例4 要调查城区九年级8 000名学生了解禁毒知识的情况，下列调查方式最合适的是（ ）.

A. 在某校九年级选取50名女生

B. 在某校九年级选取50名男生

C. 在某校九年级选取50名学生

D. 在城区8000名九年级学生中随机选取50名学生

【解析】选D. 样本的选取要有代表性、广泛性和随机性，故应在城区8 000名九年级学生中随机选取部分学生. 男生或女生不能代表所有学生，一个学校的学生不能代表整个城区的学生.

延伸4：样本估计总体

样本估计总体是统计思想的应用. 样本的容量对估计总体的精度有影响，一般地，容量越大，精度越高.

例5 生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉100只雀鸟，给它们做上标记后放回山林；一段时间后，再从中随机捕获500只，其中有标记的雀鸟有5只. 请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约有______只.

【解析】设这片山林中的所有雀鸟为x只，由于先捕捉的100只雀鸟是这片山林中所有雀鸟的一个样本，利用样本估计总体可得=，解得x=10 000. 即这片山林中的所有雀鸟约为10 000只.

例6 2011年5月19日，中国首个旅游日正式启动，某校组织了由八年级800名学生参加的旅游地理知识竞赛，李老师为了了解学生对旅游地理知识的掌握情况，从中随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格、不及格4个级别进行统计，并绘制了如图的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）.

请根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1） 求被抽取部分学生的人数；

（2） 请补全条形统计图，并求出扇形统计图中表示及格的扇形的圆心角度数；

（3） 请估计八年级800名学生中达到良好和优秀的总人数.

【解析】（1） 被抽取部分学生的人数为10÷10%=100人；

（2） 正确补全条形统计图：（图略）圆心角度数为360°×（30÷100）=108°.

（3） 八年级800名学生中达到良好和优秀的总人数约为800×（1-10%-30%）

=480（人）.