巧用反证法证明不等式

2024-11-27

巧用反证法证明不等式（精选5篇）

巧用反证法证明不等式篇1

用反证法证明不等式

一、反证法的含义

反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立．”这种证明的方法，叫做反证法．

二、反证法的严密性

数学证明方法可分为直接证法和间接证法，从原命题所给的条件出发，根据已有的公理、定义、法则、公式，通过一系列的推理，一直推到所要证明的命题的结论，这种证法叫做直接证法．有些命题不易用直接证法去证明，这时可通过证明它的等价命题真，从而断定原命题真，这种证法叫做间接证法．数学中常用的间接证法有反证法．

既然反证法是间接证法，那么反证法也是通过证明原命题的等价命题从而证明原命题的．

三、反证法证题的步骤

用反证法证题一般分为三个步骤：

1、假设命题的结论不成立；

2、从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；

3、由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．

即：提出假设——推出矛盾——肯定结论．

四、反证法的分类

反证法中有归谬法和穷举法两种．

原命题的结论的否定只有一种情况，只要把这种情况推翻，就可以肯定原命题结论成立，这种反证法叫做归谬法；如果原命题的结论的否定不止一种情况，那么就必须把这几种情况一一否定，才能肯定原命题结论成立，这种反证法叫做穷举法．

五、反证法中常见的矛盾形式

（1）与已知条件即题设矛盾；

（2）与假设即反设矛盾；

（3）与已知的定义、公理和定理矛盾，即得出一个恒假命题；`

（4）自相矛盾．

六、反证法的适用范围

（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；

（2）命题的结论以否定形式出现时；

（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时；

（4）命题的结论以“唯一”的形式出现；

（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；

（6）关于存在性命题；

（7）某些定理的逆定理．

总之，正难则反，直接的东西较少、较抽象、较困难时，其反面常会较多、较具体、较容易．

反证法有进也用于整个命题论证过程的某个局部环节上．

七、用反证法证明不等式举例

例已知、、、，且

.求证：、、、中至少有一个是负数.选题意图：本题考查利用反证法证明不等式.证明：假设、、、都是非负数，∵

∴

又

∴

这与已知

.矛盾.，.∴、、、中至少有一个是负数.

巧用反证法证明不等式篇2

题目:2013年高考文科数学全国课标卷Ⅱ, 第24题 (选修4 -5:不等式选讲) 设a, b, c均为正数, 且a +b +c =1. 证明:

用基本不等式证明不等式时灵活性强、要求较高的技巧, 往往使许多学生不知从何入手。利用基本不等式解题的关键在于凑“定和”或“定积”, 运用“拆”“凑”“平衡”等方法使“和式”或“积式”变为定值, 把问题转化为基本不等式形式再来求解.

证法二:利用柯西不等式

排序不等式也是基本而重要的不等式, 它的思想简单明了, 便于记忆和使用, 许多重要不等式可以借助排序不等式得到证明.

在证明不等式时, 要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明, 不等式的证明方法很多, 解题时既要充分利用已知条件, 又要时刻瞄准解题目标, 只有兼顾条件与结论, 才能找到正确的解题途径.

摘要：在普通高中课程标准试验教科书《数学》 (不等式选讲) 专题介绍了一些重要的不等式 (基本不等式、柯西不等式、排序不等式) 及其应用。通过一道高考数学中出现的不等式证明试题, 从不同角度借助这些不等式对该题进行证明以加深对这些重要不等式数学本质的理解, 可提高学生的逻辑思维能力和分析问题能力、解决问题能力。

关键词：高中数学,柯西不等式,排序不等式

参考文献

巧用反证法证明不等式篇3

关键词：辩证法；证明三角条件恒等式；角度；函数

《矛盾论》是毛泽东一九三七年八月写的哲学经典著作，论述了矛盾普遍性和矛盾特殊性的原理．它指出：矛盾的普遍性包括两方面的含义，一方面是指矛盾存在于一切事物的发展过程中，另一方面是指每一事物的发展过程中存在着自始至终的矛盾运动.

在复杂的事物的发展过程中，有许多的矛盾存在，其中必有一种是主要的矛盾，由于它的存在和发展规定或影响着其他矛盾的存在和发展. 因此，不管怎样，事物在发展过程的各个阶段中，只有一种主要的矛盾起着领导的作用，是完全没有疑义的. 由此可知，任何过程如果有多数矛盾存在的话，其中必定有一种是主要的，起着领导、决定的作用，其他则处于次要和服从的地位. 因此，我们研究任何过程，如果是存在着两个以上矛盾的复杂过程的话，就要用全力找出它的主要矛盾. 而且，我们认为，只要捉住了这个主要矛盾，一切问题就迎刃而解了，这是马克思研究资本主义社会告诉我们的方法. 万千的学问家和实行家，不懂得这种方法，结果如堕烟海，找不到中心，也就找不到解决矛盾的方法.

然而，这种情形不是固定的，矛盾的主要和非主要的方面互相转化着，事物的性质也就随着起变化. 在矛盾发展的一定过程或一定阶段上，主要方面属于甲方，非主要方面属于乙方；到了另一发展阶段或另一发展过程时，就互易其位置，这是依靠事物发展中矛盾双方斗争的力量的增减程度来决定的.

我们常常说“新陈代谢”是宇宙间普遍的永远不可抵抗的规律. 依事物本身的性质和条件，经过不同的飞跃形式，一事物转化为其他事物，就是新陈代谢的过程. 任何事物的内部都有其新旧两个方面的矛盾，形成一系列的曲折的斗争. 斗争的结果，新的方面由小变大，上升为支配的东西；旧的方面则由大变小，变成逐步归于灭亡的东西. 而一当新的方面对于旧的方面取得支配地位的时候，旧事物的性质就变化为新事物的性质. 由此可见，事物的性质主要是由取得支配地位的矛盾的主要方面所规定的. 取得支配地位的矛盾的主要方面起了变化，事物的性质也就随着起变化. ?摇?摇

在研究矛盾特殊性的问题中，如果不研究过程中主要的矛盾和非主要的矛盾以及矛盾之主要的方面和非主要的方面这两种情形，也就是说不研究这两种矛盾情况的差别性，那就将陷入抽象的研究，不能具体地懂得矛盾的情况，因而也就不能找出解决矛盾的正确的方法. 这两种矛盾情况的差别性或特殊性，都是矛盾力量的不平衡性. 世界上没有绝对平衡发展的东西，我们必须反对平衡论或均衡论. 同时，这种具体的矛盾状况以及矛盾的主要方面和非主要方面在发展过程中的变化，正是表现出新事物代替旧事物的力量.

我们要在生活和工作中用好矛盾论，主要还是一个“主次矛盾”和“度量掌握”问题.

“十指皆有不齐，荷花皆有高低”，说的就是我们先要看清事物间的区别和不同，再分析你的需要目的，而取相应部分. 只有我们做到知己知彼后，尽量扬长避短，优化自己所掌握的有限资源，才能达到最大效应或效益.

因此，发现矛盾、认清矛盾的两面性甚至是多面性、特殊性，进而找出、抓住主要矛盾，集力击之，这就是我们要采取的正确的方法.

下面，我用“矛盾论”的思想就三角条件恒等式的证明方法与同学们做一些交流.

以角度为主要矛盾，得到“配角法”的思路

同学们在遇到三角条件恒等式的证明问题的时候，常常因为函数名和角的关系不知所措，我们认为，函数名和角就是一对矛盾，当我们碰到矛盾时，我们怎么解决这个问题呢？我认为，我们可以利用辩证法中的矛盾论的思想来解决. 在这类问题中，角的变化是主要矛盾，函数名的变化是次要矛盾. 因为“在复杂的事物的发展过程中，有许多的矛盾存在，其中必有一种是主要的矛盾，由于它的存在和发展规定或影响着其他矛盾的存在和发展”.

请看下面的例子：

例1已知sinβ=msin（2α+β），求证：tan（α+β）=tanα.

分析这是一个比较典型的三角条件恒等式的证明问题，我们的学生拿到这类问题之后，常常因为条件与结论之间不仅函数名不一样（sin与tan），角度也明显不同（条件是β、2α+β两种角度；结论是α+β、α两种角度），从而茫然不知所措，往往有种害怕的心理. 其实这类问题并不可怕.

我们抓住主要矛盾分析一下：主要矛盾就是角度，条件和结论中的角度之间的关系是什么样的呢？有什么联系呢？

下面的式子就是这种联系：把β看做两个角度之差，把2α+β看做两个角度之和，有β=（α＋β）－α，2α+β=（α＋β）＋α.

好了，我们暂时不关心函数名，只做角度的调整. 我们坚信，如果角度调整到位，函数名也一定会有所变化，这种变化就是条件到结论的转化. 下面，让我们看看证明的过程.

证明由条件sinβ=msin（2α+β）变形得sin（α+β－α）=msin（α+β+α）.

现在利用两角和与差的关系式展开变形得（评述：这就是转化的过程）

sin（α+β）cosα－cos（α+β）sinα=m［sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα］.

也即：（1－m）sin（α+β）cosα=（m+1）•cos（α+β）sinα.

再将此式左右相除，即得结论：tan（α+β）=tanα.

反思此题紧紧抓住角度的变化这一主要矛盾，顺利地解决了这个貌似困难的问题. 其实，这种方法就是我们常说的“配角法”，这种方法的要点是抓住角度是这种问题的主要矛盾，发现条件和结论之间的角度关系，进而促进条件和结论的转化. 我们再举一个例子，看看“配角法”这个方法是否具有普遍性.

例2已知sinα=Asin（α+β），且A<1，求证：tan（α+β）=.

分析条件的角度是α，α+β，结果中的角度是β，α+β，它们之间是什么关系呢？

α+β－β=α.

证明我们将条件转化为sin［（α+β）-β］=Asin（α+β）

我们将此式展开即可得到结论.

例3已知2sinβ=sinα+sinγ，求证：2tan=tan+tan.

分析我们注意到本题看上去比较复杂，其主要矛盾是角度比较多，主要有六种角度：

β、α、γ、、、. 这些角度有什么关系呢？

－=；－=.

证明sinα－sinβ=sinβ－sinγ，利用和差化积公式得

2cossin=2cossin，变形有

= ，我们再利用角度变化的关系得

展开即有tan－tan=tan－tan.

整理即有2tan=tan+tan.

反思辩证法的思想让我们把问题简单化了.

以参数或某种函数为主要矛盾，得到“带入消元法”的思路

我们再看看例1，例1这个问题中，我们注意到m是条件和结论的中介，如果我们把m当做矛盾中的主要矛盾，我们就得到新的解法——带入消元法.

例1的证明方法2：由条件，m=.

所以tanα=tanα=tanα=•tanα=tan（α+β）.

我们再看例2的证明方法2：分类讨论.

（1）sinα+β=0?圯sinα=0?圯sinβ=0，所以左=右.

（2）sin（α+β）≠0，因为A=，

所以有：=

==tan（α+β）.

例4已知cosα=cosβcosγ，求证：tantan=tan2.

分析我们把条件中的cosγ和结论中的tan看做问题的主要矛盾，我们只要找到它们之间的联系，此问题就迎刃而解了. 所以tan2=.

证明因为cosγ=. 所以tan2=====tantan.

例5已知：sinθ=asinφ，tanθ=btanφ，且θ为锐角，b≠±1. 求证：cosθ=.

分析本题问题的主要矛盾是φ，抓住主要矛盾，我们很快发现结论并没有φ，这正是我们要解决的问题. 消去φ是本题的关键.

证明由条件得：cscφ=，cotφ=bcotθ. 因为=+1，则a2=b2cos2θ+1－cos2θ. 则cos2θ=，有cosθ=.

巧用数学归纳法证明不等式篇4

数学归纳法是解决与正整数有关的命题的数学方法，它是通过有限个步骤的推理，证明n取无限个正整数的情形。

第一步是证明n取第一个值n0时命题成立，这步是“归纳奠基”，没有这一就失去了命题递推的基础，如：有位同学这样用数学归纳法证明2+4+6+…+2n=n2+n+1(n∈N*)证明：假设当n=k时，等式2+4+6+…+2k=k2+k+1成立，当n=k+1时，2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k2+2k+1)+(k+1)+1，所以n=k+1时命题也成立，所以对于n∈N*命题都成立。这个等式是不成立的，证明过程中没有验证n=1是命题的正确性，因此忽略了递推的基础导致出错。

第二步是在假设n=k(k≥n0)成立的基础上，证明n=k+1时命题也成立，这步是“归纳递推”，没有这一步就失去了递推的依据，如：有位同学在研究数学{(n2-5n+5)2}时，发现n=1,2,3,4时，都有an=1，由此，他得出an=1(n∈N*)。其实a5=25，这个命题也是不成立的，证明过程是不完全归纳，没有证明第二步，命题的正确性无法传递下去。

可见，数学归纳法中的两个步骤缺一不可。

利用数学归纳法不仅可以证明与正整数有关的等式问题，整除问题，平面几何问题，还可以解决不等式的证明问题。

例1 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.（1）求r的值；（2）当b=2时，记bn=2(log2an+1)(n∈N*)证明：对任意n∈N*，不等式b1b11b21…nn1成立 b1b2bn分析：（2）要证的不等式为

21412n1…n1，第一步容易验证，第二242n步证明证明n=k+1时命题也成立时，需要用到假设n＝k时的命题，如果只是从左边向右边推导，需要放缩技巧，不容易证明，如果利用分析法寻找不等式成立的充分条件，问题就迎刃而解了。

解：（2）由（１）及ｂ＝２知ａｎ＝２所证不等式为

ｎ－１，因此ｂｎ＝２ｎ(n∈N)

*21412n1…n1． 242n3，右式＝2，左式＞右式，所以，ｎ＝１时，命题成立． 22k12141＊

k1，…②假设ｎ＝ｋ（ｋ≥１，ｋ∈Ｎ）时结论成立，即

2k24①当ｎ＝１时，左式＝则当n=k+1时，21412k12k32k32k3…，k1242k2(k1)2(k1)2k1要证n=k+1时结论成立，只需证

2k32k1k2，2k3(k1)(k2)，22k3k1k2(k1)(k2)由基本不等式得222法一：即证所以2k32k1k2成立，所以n=k+1时，结论成立.由①②可知，n∈N*，不等式

b1b11b21…nn1成立 b1b2bn法二：即证2k32(k1)(k2)，只需证(2k3)24(k1)(k2)，即证4k2+12k+9≥4(k2+3k+2)，即证9≥8，显然成立，所以2k32k1k2成立，所以n=k+1时，结论成立.由①②可知，n∈N*，不等式

b1b11b21…nn1成立 b1b2bn

22例2 已知数列{an}中，an≥0,a1=0,an+1+an+1-1=an.求证：当n∈N时，an

2**

222(ak+2+ak+1+1)>0