反证法证明

2024-05-14

反证法证明（共11篇）

反证法证明篇1

2.2.2直接证明与间接证明—反证法

班级：姓名：

【学习目标】：

（1）了解间接证明的一种方法—反证法及其思维过程，特点

（2）通过反证法的学习，体会直接证明与间接证明之间的辩证关系，掌握对立与统一的思想和方法（3）通过反证法的学习，培养慎密思维的习惯，开拓数学视野，认识数学的科学价值和人文价值。

【学习过程】：

1：反正法是的一种基本方法，假设原命题，经过正确的推理，最后的出，应此说明假设，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法。

2：用反证法证明命题的步骤，大体上分为：

（1）反证：假设原命题的结论，即假设结论的反面成立；（2）归谬：从出发，通过推理论证，得出矛盾；（3）结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。课堂练习

例1：求证：两条相交直线有且只有一个交点例

：

已

知

a,b,c

是互不相等的实数，求证：

yax22bxc,ybx22cxa和ycx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有

两个不同的交点，变式训练：若下列三个方程：x24ax4a30,x2(a1)xa2=0，x22ax2a0

中至少有一个方程有实根，求a的范围。

例3：求证当x2bxc20有两个不相等的非零实根时bc0

变式训练：已知实数p满足不等式(2p1)(p2)0，用反证法证明：关于x的方程x22x5p20无实根

【课后检测】：校本教材P75课时作业

反证法证明篇2

关键字:反证法逻辑原理思维方式运用步骤

我们在平时做题时常常遇到一些数学证明题在其证明过程中会出现直接证明非常困难, 甚至无法证明, 这时我们采用反证法往往可以收到非常好的效果.反证法是一种非常重要的数学证明方法, 它在数学证明中有着不可替代的作用。但是在实际教学中学生在运用这一方法做题时, 往往只会模仿教师的例题演示, 机械地照搬照抄, 一旦遇到比较陌生的题目就束手无策了.究其原因是由于学生对该方法的实质、逻辑原理理解不深刻, 做题只是照葫芦画瓢, 故而常常出错。本文就反证法的定义、逻辑原理、证明模式和步骤等作出较为深刻的说明, 并通过典型例题的演示让学生能对反证法的运用有更加深刻的认识, 从而提高其运用反证法解题的能力.

一、反证法的定义及实质

反证法是一种间接证明方法, 即肯定命题的题设而否定其结论, 然后从被否定的结论出发通过推理导出矛盾, 进而证明命题.它的最大特点就是采用逆向思维方式, 不直接证明结论, 而是间接地去否定与事物相反的一面, 从而得出事物真实的一面, 是一种让步的、间接的证明方法.反证法是反设后通过“归谬”使命题得到证明的方法, 所以反证法也叫“归谬法”.在实际教学中有些命题的反面不只一个, 这时学生往往无法给出正确的否定形式。我们通过对定义的理解, 如果我们设原命题为p, 那么其否定形式就是p, 具体的方法是:在原命题的题设下找到所有可能的结果设为全集u, 原命题p即为u的子集A, 那么就是我们所要的。然后将中的每个结果一一驳倒.

二、反证法的逻辑原理

反证法逻辑上的理论依据是形式逻辑中的两个基本规律———矛盾律和排中律.

矛盾律是亚力士多德形式逻辑的基本规律之一, 其基本内容是:在同一个论证过程中, 对同一对象的两个互相矛盾的、对立的判断, 其中至少有一个是假的, 它的公式是:A不是.在同一论证过程中, 对同一对象的两个互相矛盾 (对立) 的判断其中至少有一个是伪的, 它的符号表示为.

排中律是形式逻辑的又一个基本规律, 其基本内容是:在同一个论证过程, 对同一对象的肯定判断和否定判断, 这两个互相矛盾的判断必有一个是真的, 它的公式是:或者是A或者是, 排除了第三种情况的可能, 在数学论证中常常根据排中律进行推理.在同一论证过程中, 对同一对象的两个互相矛盾的判断, 不能同为伪, 其中必有一个是真的, 它的符号表示为.

三、反证法的步骤

反证法证明问题的一般步骤是:

第一步, 审题析意, 分清命题的前提和结论.

第二步, 否定结论, 作出反设.假定结论不成立, 则结论的反面一定成立.如果结论的反面只有一种情况, 则只须作出一种反设;如果结论的反面不止一种情况, 则对每一种情况都必须作出反设.

第三步, 进行推理, 导出矛盾.作出反设后, 从反设出发, 根据真实论据, 进行正确推理, 导出矛盾.这里所说的矛盾可以是与已知公理、定理、定义、题设相矛盾, 也可以与反设相矛盾, 也可以是自相矛盾.

第四步, 否定反设, 肯定结论.由反设推出矛盾, 推理论据真实, 推理方法正确, 因而反设必不成立, 从而得出命题结论成立.

四、几类典型例题

1. 基本定理或初始命题的证明.

在数学中, 许多基本定理是使用反证法来证明的, 例如“过直线外一点只有该直线的一条平行线”, “过平面外一点只有该平面的一条垂线”, “两直线异面”的判定等都是使用反证法来证明的, 因为在证明这种基本定理时, 往往没有相应的判定定理, 而直接用定义证明又非常困难, 这时常用反证法.

例1如果三角形中有两个角的平分线相等, 那么这个三角形是等腰三角形.

如图:ΔABC中BE、CF是∠ACB、∠ABC的平分线, 且BE=CF, 要证明△ABC是等腰三角形, 只要证明AB=AC即可, 我们使用反证法.

证明:假设ΔABC不是等腰三角形 (假设命题结论不成立) , 不妨设AB

∵BE、CF是∠ABC、∠ACB的平分线,

∴∠2<∠1,

做FG=BE, 且FG//BE.

连结EG、CG, 则FG=BE=CF, 且四边形BEGF是平行四边形, ΔCGF是等腰三角形,

∴∠3=∠1, ∠3+∠5=∠2+∠4,

∠2<∠3, 从而∠5<∠4圯在ΔCEG中, CE

在ΔBCE和ΔCBF中, ∵BC=BC, BE=CF, 且CE

∴∠EBC<∠FCB, 即∠ABC<∠ACB, ∴∠ABC<∠ACB, 与∠ACB<∠ABC相矛盾 (推出自相矛盾的结论) , ∴AB

AB>AC (命题结论的另一否定方面成立, 并以此为条件) 圯∠ACB>∠ABC, 同理可得∠ACB<∠ABC与∠ACB>∠ABC相矛盾, ∴AB>AC不成立.

由于AB>AC和AB>AC均不成立, 从而AB=AC, 即假设ΔABC不是等腰三角形不成立 (命题结论的否定方面均不成立) .

∴ΔABC是等腰三角形 (确认命题的结论成立) .

2. 结论为以“至少”、“至多”、“任一”、“唯一”、“无一”、“全部”等形式出现的命题.

以“至少”、“至多”、“任一”、“唯一”、“无一”、“全部”等形式出现的问题, 其中的数量概念不容易直接把握, 但其反面往往比较容易把握, 因此适宜用反证法来推证, 但是一定要注意在证明中要注意数量概念的否定含义, 不要弄错和混淆.

例2如果数列{an}存在极限, 那么只有一个极限.

证明:假定数列{an}存在着两个不同的极限A, B, 且A

由于γN1, an>γ,

由于A<γ, 则存在N2,

当n>N2时, an<γ,

取大于N1, N2的N, 当n>N时, 必有an<γ且an>γ, 这是不可能的 (矛盾的) , 从而假设不成立.

如果数列{an}有极限, 那么只有一个极限.

综上所述, 利用逆向思维培养反证法的解题能力关键在于:

第一, 必须掌握这一结构程式和对这一结构规范化的表述, 尽量起到分散难点化.

第二, 正确地引入假设, 进行逻辑推理教学, 在命题中找其关键字, “任何”, “存在”、“至多”、至少”、“唯一”、“不多于”和“不少于”等等.

宜用反证法证明的命题篇3

〔中图分类号〕 G633.63〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2007）10（B）—0049—01

Ⅰ.关于否定性的命题

当命题中含有“不存在”、“不可能”之类的否定性结论时，命题可采用反证法.

例1：圆内非直径的两弦相交不能互相平分.

已知：弦AB、CD相交于P.

求证：AB、CD不能互相平分.

分析：这个命题的结论是否定的，是“不能互相平分”，它的反面是“能互相平分”.结论的反面比结论本身易证，可用反证法.

证明：假设AB、CD互相平分.

∵AB、CD不是直径，

∴点P与O不重合.

连接OP，

∵AP=PB，∴OP⊥AB.

同理可证OP⊥CD.

这就是说，过点P有两条直线AB、CD都垂直于OP，这与“过一点只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.

∴ AB、CD不能互相平分.

Ⅱ.某些唯一性的命题

命题中含有“唯一存在”、“只有一个”之类的结论，宜用反证法.

例2：求证两直线相交，只有一个交点.

已知：直线a和b交于点O.

求证：直线a和b只有一个交点O.

证明：假设直线a和b相交不只有一个交点O，那么a和b至少有两个交点O、P.这时，直线a是由O、P两点确定的直线，直线b也是由O、P两点确定的直线.这样，由O、P两点就确定了两条直线.这与公理“两点只能确定一条直线”相矛盾.

∴两条直线相交，只有一个交点.

Ⅲ.关于“最多”、“最少”之类结论的命题

例3：求证三角形的内角中，最多只能有一个钝角.

已知：任意一个三角形.

求证：三个内角中，最多只能有一个钝角.

证明：假设还有一个内角是钝角，则这两个内角和大于180°，这与“三角形内角和定理”相矛盾.

∴三角形的内角中，最多只能有一个钝角.

Ⅳ.难于直接使用已知条件导出结论的命题

例4：一个三角形中有两个角的平分线相等，则这个三角形是等腰三角形.

已知：△ABC中，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线.且BE=CF.

求证：△ABC是等腰三角形.

证明：假设AB>AC，则∠ACB>∠ABC.

于是∠BCF>∠CBE.

在△BCF和△CBE中，BC= BC，BE=CF,∠BCF>∠CBE，

∴ BF >CE.(1)

作平行四边形BEGF，则∠1=∠FBE=∠CBE<∠FCE.

而FC=FG，连结CG，则∠FGC=∠FCG.

∴∠2>∠3，∴CE>GE，即BF

故AB>AC不成立.

同理，可证AB

∴只有AB=AC.

Ⅴ.某些起始命题

在各个数学分支中，按照公理化方法，最初建立的仅是数量不多的定义和公理.因此，对于证明某些起始性质或定理的预备知识不够.直接证明有困难，宜用反证法.

例5：切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

已知：直线AT是⊙O的切线，A为切点.

求证：AT⊥OA.

分析：到学切线性质为止，关于切线的知识仅知道两条：①切线和圆有且只有一个公共点；②圆心到切线的距离等于半径.没有更多的定理可作论证依据，此时，可用反证法.

证明：假设AT与OA不垂直.过O作OM⊥AT，交AT于M.

由垂线段最短，得OM

∵圆心到直线AT的距离小于半径，∴AT与⊙O相交.这与已知相矛盾.

∴AT⊥OA.

以上几类命题，用反证法一般都能收到良好的效果.此外，涉及到对象无法一一列举的命题，如：求证素数有无穷多个，以及某些定理的逆命题不宜用反证法.不过，这在初中阶段很少出现，所以这里不再赘述.

高中数学反证法篇4

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

Ⅰ、题组：

1.已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。

A.至多一个实根B.至少一个实根C.一个实根D.无实根

2.已知a<0,－1

A.a>ab> abB.ab>ab>aC.ab>a> abD.ab> ab>a

3.已知α∩β＝l，aα，bβ，若a、b为异面直线，则_____。

A.a、b都与l相交B.a、b中至少一条与l相交

C.a、b中至多有一条与l相交D.a、b都与l相交

4.四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。

5.A.150种B.147种C.144种D.141种

S 例1.如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB 上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。

2222例2.若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。

例3.给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝222221x1(其中x∈R且x≠)，证明：①.经过这个函数ax1a

图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴；②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。练习：

1.已知f(x)＝x，求证：当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)。1|x|

2.已知非零实数a、b、c成等差数列，a≠c，求证：1、1、1不可能成等差数列。abc

3.已知f(x)＝x＋px＋q，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1。

24.求证：抛物线y＝x－1上不存在关于直线x＋y＝0对称的两点。22

反证法证明篇5

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：

一、复习准备：

1.已知 “若a1,a2R，且a1a21，则

11a

2，试请此结论推广猜想.4”

1a1

1a2

....

1an

2 n）

（答案：若a1,a2.......anR，且a1a2....an1，则2.已知a,b,cR，abc1，求证：

1a1b1c9.先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？

二、讲授新课： 1.教学例题：

① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.分析：运用什么知识来解决？（基本不等式）→板演证明过程（注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点

② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示：

要点：顺推证法；由因导果.bca



acb



abc

3.③ 练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证

④ 出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.求证：为△ABC等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边角关系？→ 板演证明过程→ 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2.练习：



① A,B为锐角，且tanAtanBAtanB求证：（提示：算tan(AB)）AB60.② 已知abc, 求证：

1ab



1bc



4ac

.3.小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论Q1,Q2,，直到最后的结论是Q.运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：

1.求证：对于任意角θ，cos4sin4cos2.（教材P52 练习1题）（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2.ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证：3.作业：教材P54A组 1题.1ab



1bc



3abc

.第二课时2.2.1综合法和分析法

（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：

一、复习准备：

1.提问：基本不等式的形式？

2.讨论：如何证明基本不等式ab

2(a0,b0).（讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）

二、讲授新课：

1.教学例题：

① 出示例

1

讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？

→ 板演证明过程（注意格式）

→ 再讨论：能用综合法证明吗？→ 比较：两种证法

② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示：

22要点：逆推证法；执果索因.1331③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：(xy)2(xy)3.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例4：见教材P48.讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）⑤ 出示例5：见教材P49.讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）

2.练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为

形边长为l4ll2，截面积为(l22)>().24ll2)，周长为l的正方2，截面积为()2，问题只需证：（43.小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,，直到所有的已知P都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.（框图示意）

三、巩固练习：

2221.设a, b, c是的△ABC三边，S

是三角形的面积，求证：cab4ab.略证：正弦、余弦定理代入得：2abcosC4absinC，即证：2cosC

CCcosC2，即证：sin(C

2.作业：教材P52 练习2、3题.6)1（成立）.第三课时2.2.2反证法

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）

2.提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”.讨论如何证明这个命题？

3.给出证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，即O是l与m的交点。

但 ∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)

∴ 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.二、讲授新课：

1.教学反证法概念及步骤： A① 练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么ab

② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立

应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.注：结合准备题分析以上知识.2.教学例题：

① 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？

与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，∵P不是圆心，连结OP，则由垂径定理：OPAB，OPCD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），∴不被P平分.② 出示例

2.（同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为m/n）

m/n（m,n为互质正整数），从而：(m/n)23，m23n2，可见m是3的倍数.设m=3p（p是正整数），则 3n2m29p2，可见n 也是3的倍数.这样，m, n就不是互质的正整数（矛盾）.m/n.③ 练习：如果a1为无理数，求证a是无理数.提示：假设a为有理数，则a可表示为p/q（p,q为整数），即ap/q.由a1(pq)/q，则a1也是有理数，这与已知矛盾.∴ a是无理数.3.小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确.注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）

辩证法思维篇6

思维与语义的关系

思维，作为对于对象的认识和把握的意识活动，从来不是单独的、空洞的意识过程，而总要有它的载体。这个载体，就是在文化中形成并对应于一定的主客体情况的语言符号。思维与语言符号相同一，思维借助于语言符号而进行，这是一般的公论。

另一方面，除了今日的机器思维之外，任何思维都属于一定的主体，由这个主体的主体性(主观精神)所支配，所控制，这也是一个客观的事实。对于认识着的思维而言，思维总是在其主体性的控制支配之下，运用着语言符号去把握、去表达客观对象的某种规定，某种意义，借以形成确定的认识。符号学已经指出：思维主体对语词意义的运用，形成了思维的语用侧面;语言对客观规定的表达，或者说所运用的语言的客观含义，就形成了思维的语义侧面。思维的活动和思维对于语言的运用(语用功能)，目的都在于让其语义能正确表达主体对客观情况的认识。因为，语义的主要功能在于认识，而这种表述本身又形成了语构。因此，可以说，借助于语言符号而进行的认识和把握着客观内容的思维，总有(或者说总要形成)它的语用(语言与思维主体的关系)、语义(语言与思维客体的关系)和语构(语言与自身系统或语言自身的结构系统的关系)三位一体的三重规定性。在这里，语用、语义、语构是互相体现的，语构作为一种结构形态，不过是语用与语义的表现形态。对于语用和语构，我们这里不讨论。要认识辩证思维的本质特征，我们只要集中于语义这一侧面就够了，只是要记住：语义是语用的结果，并且体现于语构之中，它不是孤立存在的。集中于语义这个侧面，是从内容上、认识上考察辩证思维方式的必然要求。

科学解题中反证法的应用篇7

一、学生经常会向教师提出各种各样的问题, 有些问题直接论证或说理解释很困难, 而采用反证法就比较容易

例1.在使物体处于匀速直线运动状态下测量摩擦力的大小时 (华师大版《科学》八上第19页的活动) , 同学们经常问:“拉木块的力总应该比摩擦力大, 哪怕大一点点也成, 总不应该与摩擦力相等, 若两个力一样大, 木块能沿着拉力的方向运动吗?木块能不能沿着摩擦力的方向运动呢?”对于学生提出的问题, 我做了如下的解释:如图1所示, 木块在拉力和摩擦力的作用下运动, 可分为两个物理过程:

(1) 开始运动的过程:木块在拉力的作用下, 由静止开始运动, 同时也受到摩擦力, 此时拉力F大于阻力f (如图1甲所示) , 物体的运动状态在不断的改变。

(2) 木块作匀速直线运动过程:木块仍受到拉力F和摩擦力f (如图1乙所示) , 拉力F和摩擦力f怎见得其大小相等呢?我们可以用反证法来说明:如果F>f, 合力 (F-f) 将沿着F的方向, 则木块会越来越快地运动;如果F<f, 木块的运动则会越来越慢;木块在这两种情况下都不会作匀速直线运动。所以, 木块只有在F=f时才能作匀速直线运动, 拉力和摩擦力彼此平衡, 它们对木块的作用效果 (改变物体的运动状态方面的效果) 就相互抵消了, 木块由于本身具有惯性, 仍沿原来运动方向作匀速直线运动。

二、某些问答题, 如果直接从题目已知条件出发是不易回答的, 对这类题目指导学生用反证法论证答案, 则效果颇佳, 克服了初中学生在答题时, 该说的话说不出, 要讲的道理讲不明的毛病

例2.问:在连通器里如果只有一种液体, 在液体不流动的情况下, 各容器中的液面相平, 为什么?

上述问题, 实际上是要求证明“连通器原理”, 课本上 (华师大版《科学》八上) 是直接给出结论, 没有详细的说明, 比较笼统, 用反证法则显得更有说服力。假设各容器中液面不相平, 即图2所示h1≠h2, 在连通器底部正中间取一液片AB。因为液体不流动, 所以液片静止, 由二力平衡条件得:液片AB受到的压力F1=F2, 根据压强的定义, P=F/S可得, F1=P1S1, F2=P2S2, 代入上式并考虑到了S1=S2, 则有P1=P2。由于P1=ρgh1, P2=ρgh2, 且连通器只有一种液体, 则有h1=h2, 才能保证P1=P2, 因而假设不成立, 从而证明了连通器里如果只有一种液体, 在液体不流动的情况下, 各容器中的液面总保持相平这一结论。

三、学生由于生活经验的干扰, 很难摆脱一些错误的生活常识

如“有力作用在物体上物体才运动”。教师在帮助学生正确建立“运动和力”的关系时, 常常用很多语言作费力的解释, 效果却很差, 而用反证法则收到事半功倍的效果。

例3.一些学生认为“物体速度越大, 其惯性就越大”, 对此我们可以从下面两个方面阐述:假设物体的速度越大, 它的惯性就越大, 那么物体的速度越小, 它的惯性也就应该越小, 依次推离, 静止的物体速度为零, 它也就不应该具有惯性。显然, 这与静止的物体有惯性相矛盾, 矛盾的结果, 说明假设错了。又如, 一些学生认为“物体越重下落越快”, 教师即可用逻辑推理说明如下:假设重的物体下落得快, 轻的物体下落得慢, 那么, 如果把重的物体和轻的物体绑在一起又将会有怎样的后果呢?由于重的物体下落得快, 轻的物体下落得慢, 下落快的重物将带着轻的物体使它落得快些。而轻的物体将影响重物使其下落慢些。因而两物体绑起来后其下落的速度将要介于二者之间, 是不是这样呢?这时同学们议论纷纷, 紧接着教师问道:“轻重两物体绑在一起变得更重了, 按上述的结论, 它是不是应该落得更快?”两个结论是矛盾的, 而这种情况的推理又都是正确, 矛盾原因只能说明假设错了, 从而也证明了:物体越重下落越快, 这个观点是错误的。

四、在科学教学中运用反证法推出的结论有时很荒谬, 甚至是十分可笑的

学生在笑声中纠正了错误, 学到了知识。这样既活跃了课堂气氛, 又能提高学生学习科学的兴趣。同时, 对学生理解掌握科学概念突破一些教学难点, 起到了较好的作用。

例4.用力将重物压在竖直墙壁上静止, 墙面这时受到压强, 同时重物受到摩擦力的作用。尽管反复讲, 力F的增大只能是增大对墙的压强, 不管压力如何增大, 摩擦力最大等于物重。可有的学生不能接受上面的讲述, 此时教师可用反证法来阐述如下:假若摩擦力f随力F的增大而增大的话, 当力F增大到大于重力时, 此物体就要向上跑, 这就意味着我们用力不大时物体还能压到墙上, 用力大了物体反而压不住, 还要向上跑, 学生听到这儿, 哄堂大笑, 在笑声中他们也看到了自己想法的谬误, 使他们感到不明确概念、不掌握知识是不行的, 从而增强了学习科学的自觉性。

又如学了“压力和压强”这部分内容, 并做了“往墙上按图钉, 求墙壁受到的压强”这类练习题 (如图3) 后, 在比较固体和液体的性质时, 有些学生往往会得出“固体能够传递力”的片面结论, 错误地认为“一个力可以将大小和方向不变地传递到其接触的另一个物体上”, 这种含糊的错误看法, 将给进一步学习埋下隐患, 其实“固体传递力”是有条件的。尽管在初中阶段讨论这些条件是有困难的, 但通过一些实例可以使学生认清这一点。

例5.如图4所示, 叠放在水平地面上的两个物体A和B处于静止状态, 这时物体A对地面的压力等于GA+GB= (m A+m B) g, 而它的反作用力地面对物体A的支持力亦为 (m A+m B) g, 假设这个力能移到物体B上, 那么叠放在物体A上的另一个物体B, 将会因所受到向上的力 (m A+m B) g, , 大于它自身的重力而竖直向上飞起, 显然这是不可以的, 故假设是错的。

五、学生对某些似是而非的问题, 常常搞不清楚, 甚至在教师告诉了答案或结论之后, 也还有疑虑

例6.一物体A放在光滑的互相垂直的拐角处, 如图5所示, 虽然物体和墙面相互接触, 但它们之间没有相互挤压, 则物体不受墙壁的推力作用。此结论正确, 正面论证不易使人信服。可用反证法证明如下:假设墙面对A有推力的作用, 则此力应水平向右, 但由于地面是光滑的, 对A没有摩擦, 这样A在水平方向只受一个向右的作用力, 如图6所示, 因此物体A要向右运动。但物体A并不会向右运动, 而是保持静止状态。因而假设不成立, 即墙面对A的推力是不存在的。

又如, 一架天平左盘是盛水的杯子, 右盘加砝码使之平衡, 要求学生猜测当一手指伸入水中时会发生什么现象。在测试时, 学生通常都猜测天平仍保持平衡, 理由是手指仅与水接触且是悬着的, 显然这一猜测与事实不符, 虽然学生看到了实验结果, 但还是难以理解, 最好用反证法来解释一下。

如图7所示, 选择杯水为研究对象, 设水中未插入手指时, 杯水所受重力为G, 所受盘的托力为N, 右盘砝码所受的重力为G′.因天平平衡, 杯水静止。所以杯水受二力平衡, 即G=N, 且G=G′, 那么当缓慢将手指浸没水中时, 由于水对手指有一浮力F′, 则根据力作用的相互性, 手指必对水有一竖直向下的压力F′, 所以G+F′>N, 而N=G′, G+F′>G′, 故左盘下沉, 即天平失去平衡, 可见假设天平仍然平衡错了, 实验结果加之理论解释, 使学生心服口服, 也解除了疑惑。

数学竞赛中的反证法篇8

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法.用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”.

例1 证明当p, q均为奇数时，曲线y=x2-2px+2q与x轴的交点横坐标为无理数.(2009清华大学夏令营选拔考试)

思路分析

要说明二次方程无有理解，目前倒没有什么直接的判断方法，因此采用反证法.

证明

反设交点横坐标为有理数，即存在交点横坐标为x=uv ((u, v)=1)，则uv2-2puv+2q=0，即u2-2puv+2qv2=0， u2=2(puv-qv2)①为偶数，于是u为偶数.

又(u, v)=1，得v为奇数.

另外由①有v|u2，从而v|u.又(u, v)=1，得v=1.

设u=2s，则4s2-4ps+2q=0，即2s2-2ps+q=0， q=2(ps-s2)为偶数，与已知条件的奇偶性矛盾.

从而反设不成立，说明结论成立.

即曲线y=x2-2px+2q与x轴的交点横坐标为无理数.

解题回顾

在简单整数理论中，反证法是常用的方法.主要适用的情况就是我们正面不能处理的时候，来假设结论不成立，利用假设作为条件，通过推演出矛盾，最终否定假设.在简单整数理论中，很多时候推出的矛盾是奇偶矛盾，比如说最经典的反证法证明2是无理数.

例2 已知1与90之间的19个（不同的）正整数，两两的差中是否一定有三个相等？（1990年匈牙利数学竞赛题）

分析

这类问题要从正面来处理，非常困难.可考虑从反面出发：没有三个相等的情况，最多两个相等，从而我们能得到怎样的信息呢？如果按大小顺序排列的话，那么产生18个差，这些差至多两个相等，也就形成了一些重叠，从而至少有9个不同的数，于是设法找到存在性或者矛盾的方面.

证明

设这19个数为1≤a1＜a2＜…＜a19≤90.

由于a19-a1=(a19-a18)+(a18-a17)+…+(a2-a1)，

反设右边的18个差中无三个相等，而只有两个相等，且取最小的，则

a19-a1＞2×(1+2+…+9)=90,

这与a19-a1≤90-1=89矛盾.所以反设不真.故两两的差中定有三个相等.

解题回顾

虽然从形式上来看没有用到“抽屉原理”，但用到了抽屉原理的思想，即18个数放到9个盒子中，最平均的情况就是每个盒子两个，否则就出现我们要证明的结果：三个数在一个盒子里，即存在三个差相等.由此，我们在讨论问题的过程中，不能仅仅盯着定理和原理能否使用，而是应该理解和挖掘定理和性质本身的数学思想，从而在解决问题的过程中灵活运用.

例3 已知以a1为首项的数列{an}满足：an+1=an+c， an＜3，and，an≥3.

当0＜a1＜1m（m是正整数）， c=1m， d≥3m时，求证：数列a2-1m， a3m+2-1m， a6m+2-1m， a9m+2-1m成等比数列当且仅当d=3m.（2008年上海高三数学竞赛试题）

思路分析

充分性证明“当d=3m时，数列a2-1m， a3m+2-1m， a6m+2-1m， a9m+2-1m成等比数列”它只要代入验证就可以了，没有任何的技巧和复杂的计算，必要性证明“已知数列a2-1m， a3m+2-1m， a6m+2-1m， a9m+2-1m成等比数列，求证d=3m”时，直接证明比较困难，我们要学会跳出正面冲突，从反面考虑问题，就可以找到解决问题的办法，基本的策略是列举法，找出矛盾，使问题得以解决.

证明

充分性略，下证必要性：反设d≥3m+1，

则有a1, a2=a1+1m, a3=a1+2m, …, a3m+1=a1+3mm=a1+3，

a3m+2=a1+3d＜1m, a3m+3=a1+3d+1m, …,

a6m+1=a1+3d+3m-1m＜3，

a6m+2=a1+3d+3＞3, a6m+3=a1+3d+3d＜1m, …,

a9m+1=a1+3d+3d+3m-2m,

a9m+2=a1+3d+3d+3m-1m＞2， ….

所以a2-1m＞0, a3m+2-1m＜0, a6m+2-1m＞0, a9m+2-1m＞0.

故数列a2-1m， a3m+2-1m， a6m+2-1m， a9m+2-1m不是等比数列.

所以，数列a2-1m， a3m+2-1m， a6m+2-1m， a9m+2-1m成等比数列时，d=3m.

解题回顾

正难则反，是数学解题一个规律.正面解决困难的时候,我们有必要调整方向,从问题的反面入手,相当于增加了一个条件,在本题中d≥3m+1比d=3m要收缩的多,数列增加就慢了,所以原来d=3m时刚好是满足的,现在就要向后推移了,自然就应当存在矛盾,这时直觉的定性分析也帮上了忙.

例4 证明如果在取三个不同的整数值时，变量x的整系数多项式的值的绝对值都是1，那么这个多项式没有整数根.（2005年江苏竞赛初赛题）

证明

设整系数多项式f(x)对于三个不同的整数a, b, c有

|f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=1.(1)

假定f(x)有整数根x0，则f(x)=(x-x0)Q(x). (2)（这里Q(x)是整系数多项式）

由(1)(2)可知，|(a-x0)Q(a)|=|(a-x0)||Q(a)|=1.

由于Q(a)是整数，则|a-x0|=1，同理|b-x0|=1, |c-x0|=1.

从而三个数a-x0, b-x0, c-x0中必有两个相等，因此a, b, c中某两个相等.

这与已知矛盾，从而f(x)没有整数根.

解题回顾

(1) 运用了性质：多项式f(x)，对于a, b∈R, a≠b， a-b必为f(a)-f(b)的因子；

（2）研究含有否定词“不存在”，“没有”，“不相等”，“不可能”等有关命题时，我们常用的策略是从反面考虑问题，即正难则反.

例5 已知函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，且f(x)=x没有实数根，问：f(f(x))=x是否有实数根？并证明你的结论.（2009年上海交大自主招生试题）

nlc202309031240

解析

反证法.若存在f(f(x0))=x0，令f(x0)=t，则f(t)=x0，即(t, x0)是y=f(x)图象上的点.又f(x0)=t，即(x0, t)也是y=f(x)图象上的点.显然这两点不重合，且这两点关于直线y=x对称.而y=f(x)=ax2+bx+c是连续函数，故y=f(x)=ax2+bx+c与y=x必有交点，从而f(x)=x有实数解，矛盾！

解题回顾

利用反证法，使问题的解决直观明了.同时，本题的结论对一般的连续函数f(x)也成立，其运用的处理方法，是可以值得借鉴.

例6 （2008年北大自主招生试题）实数ai(i=1, 2, 3), bi(i=1, 2, 3)满足a1+a2+a3=b1+b2+b3， a1a2+a2a3+a3a1=b1b2+b2b3+b3b1， min(a1, a2, a3)≤min(b1, b2, b3).

求证：max(a1, a2, a3)≤max(b1, b2, b3).

思路分析

本题直接证明十分困难，于是我们想到正难则反，利用反证法，结合函数构造，来完成证明.

解析

不妨设a1≤a2≤a3, b1≤b2≤b3，则a1≤b1.下证a3≤b3.用反证法.若a3＞b3，构造两个函数f(x)=(x-a1)(x-a2)(x-a3), g(x)=(x-b1)(x-b2)(x-b3).由已知条件a1+a2+a3=b1+b2+b3， a1a2+a2a3+a3a1=b1b2+b2b3+b3b1，知f(x)=g(x)+b1b2b3-a1a2a3.一方面f(a1)=g(a1)+b1b2b3-a1a2a3=0， f(a3)=g(a3)+b1b2b3-a1a2a3=0，故g(a1)=g(a3).另一方面，g(a1)=(a1-b1)(a1-b2)(a1-b3)， a1-b1≤0, a1-b2≤0， a1-b3≤0，所以g(a1)≤0；而g(a3)=(a3-b1)(a3-b2)(a3-b3), a3-b1＞0, a3-b2＞0， a3-b3＞0,所以g(a3)＞0，这与g(a1)=g(a3)矛盾.故a3≤b3, max(a1, a2, a3)≤max(b1, b2, b3).

解题回顾

数学竞赛考试是智慧的较量，尤其是面对困难如何摆脱的智慧.现在的数学竞赛、自主招生考试、高考必然出现“生题”“新题”，对此考生可能一时无法把握，使思考困顿，解题停顿.这些战略高地以单一的方式一味死攻并非上策，要学会从侧翼进攻，要有“战略迂回”的意识从侧面或反面的某个点突破，往往会出奇制胜.本题思维要求高，是一道难度较大的试题.

牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”.一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显、具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆.

巩固训练



1 证明：若f(f(x))有唯一不动点，则f(x)也有唯一不动点.（2010年浙江大学自主招生试题改编）

2 已知函数f(x)=13x3-2x2+3x （x∈R）的图象为曲线C,求证不存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点.（2009年东南大学自主招生试题）

3 已知有整系数a1, a2, …, an的多项式f(x)=xn+a1xn-1+…+an-1x+an，对四个不同的整数a, b, c, d使得f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=5，证明：不存在整数k使得f(k)=8.（2009年四川竞赛初赛题）

3 设f(x)=ax2+bx+c，已知f(1), f(2), f(3), f(4), f(5)都是质数，求证：f(x)不能分解成两个整系数的一次式的乘积.（2010年福建数学竞赛初赛题）

1 证明：不妨设x0是f(f(x))的唯一不动点，即f(f(x0))=x0，令f(x0)=t，则f(t)=x0，那么，f(f(t))=f(x0)，而f(x0)=t，即f(f(t))=t，这说明t也是f(f(x))的不动点.有f(f(x))有唯一不动点，知x0=t，从而f(t)=t，这说明t也是f(x)的不动点，存在性得证.

下证唯一性.假设若f(x)还有另外一个不动点t0，即f(t0)=t0 (t≠t0)，那么f(f(t0))=f(t0)=t0，这说明f(f(x))还有另外一个不动点t0，与题设矛盾.

解题回顾 当f(x0)=x0时，我们称x0为函数f(x)的不动点.利用不动点原理可以解决某些数学问题，它是自主招生考试中的热点问题.

2 证明：反设存在过曲线C上的点A(x1, y1)的切线同时与曲线C切于两点，另一切点为B(x2, y2)， x1≠x2.

则切线方程是：y-13x31-2x21+3x1=(x21-4x1+3)(x-x1)，

化简得：y=(x21-4x1+3)x+-23x31+2x21.

而过B(x2, y2)的切线方程是y=(x22-4x2+3)x+-23x32+2x22，

由于两切线是同一直线，

则有：x21-4x1+3=x22-4x2+3，得x1+x2=4.

又-23x31+2x21=-23x32+2x22，

即-23(x1-x2)(x21+x1x2+x22)+2(x1-x2)(x1+x2)=0，

-13(x21+x1x2+x22)+4=0，即x1(x1+x2)+x22-12=0，

即(4-x2)×4+x22-12=0， x22-4x2+4=0，得x2=2.

但当x2=2时，由x1+x2=4得x1=2，这与x1≠x2矛盾.

所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点.

3 分析：注意到a, b, c, d是多项式f(x)-5的根，于是可以构造一个多项式f(x)-5，再利用因式定理，结合反证法得到证明.

证明：由已知，应有f(x)-5=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)g(x)，其中g(x)是整系数多项式.

如果有整数k使得f(k)=8，即(k-a)(k-b)(k-c)(k-d)g(k)=3.

但素数3不能有4个以上不同的因数，从而矛盾，

故不存在整数k使得f(k)=8.

3 反设f(x)=g(x)h(x)，其中g(x), h(x)都是整系数的一次式.

则f(1)=g(1)h(1)， f(2)=g(2)h(2)， f(3)=g(3)h(3)， f(4)=g(4)h(4)， f(5)=g(5)h(5)，

这上述5个等式的左端都是质数，因此g(1), g(2), g(3), g(4), g(5), h(1), h(2), h(3), h(4), h(5)中至少有5个是±1. 由于g(x)是整系数的一次式，因此g(1), g(2), g(3), g(4), g(5)是不同的数，即至多一个1，一个-1；同理h(1), h(2), h(3), h(4), h(5)中至多一个1，一个-1，矛盾.

所以反设不真，故原命题成立.

辩证法三个基本观点篇9

对立统一

又称对立面的统一和斗争的规律。它揭示了客观存在(自然界、人类社会和人类思维等)具有的特点，都包含着内在的矛盾性，都是矛盾的统一体.事物内部矛盾是事物发展变化的源泉、动力，推动事物发展。

质量互变

质量互变规律揭示了事物因矛盾引起的.发展过程和状态、发展变化形式上具有的特点，从量变开始，质变是量变的终结。

否定之否定

反证法在中学数学中的应用篇10

关键词反证法中学数学教学

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）21-0088-02

在数学证题当中常常会运用到反证法，牛顿说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。通常来说，反证法通常用以去证明的题型有：“至少”或“至多”、命题的结论以“否定形式”“无限”“唯一”等形式出现的命题；或是否定结论更简单、具体、明显的命题；或是直接去证明比较难解出的命题，变换其思维方式，从结论下手使用反面思考，可能问题会柳暗花明。

一、基本命题

例1.已知：如图1所示，AB⊥EF 于M，CD⊥EF 于N。求证：AB∥CD。

证明：假设AB，CD不平行，即AB，CD交于点P，则过点P有AB⊥EF，且CD⊥EF，与“过直线外一点，有且只有一条直线垂直与已知直线”矛盾。∴AB∥CD。

二、结论本身是以否定形式出现的一类命题

例2.求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。

证明：已知∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角。

求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角。

假如∠A、∠B、∠C中有两个钝角，不妨设∠A>90埃摇螧>90埃颉螦+∠B+∠C>180啊U庥搿叭切文诮呛臀80啊闭庖欢ɡ硐嗝埽省螦、∠B均大于90安怀闪ⅰK裕桓鋈切尾豢赡苡辛礁龆劢恰

三、关于唯一性、存在性的命题

例3.试证明：在平面上所有通过点（，0）的直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标x、y均为有理数的点）的直线有一条且只有一条。

证明：先证存在性

因为直线y=0，显然通过点（，0），且直线y=0至少通过两个有理点，例如它通过（0，0）和（1，0）。这说明满足条件的直线有一条。

再证唯一性

假设除了直线y=0外还存在一条直线y=kx+b（k≠0或b≠0）通过点，0），且该直线通过有理点A（x1，y1）与B（x2，y2），其中x1、y1、x2、y2均为有理数。

因为直线y=kx+b通过点（，0），所以b=-k，于是y=k（x-），且k≠0.又直线通过A（x1，y1）与B（x2，y2）两点，

所以 y1=k（x1-） ①

y2=k（x2-） ②

①-②，得y1-y2=k（x1-x2） ③

因为A、B是两个不同的点，且k≠0，所以x1≠x2，y1≠y2，

由③，得k=，且k是不等于零的有理数。

由①，得=x1-

此式的左边是无理数，右边是有理数，出现了矛盾。

所以，平面上通过点（，0）的直线中，至少通过两个有理点的直线只有一条。

综上所述，满足上述条件的直线有一条且只有一条。

四、结论以“至多”“至少”等形式出现的命题

问题以“至少”“至多”“最多”或“不多于”等方式出现的命题，我们能找到直接论证的理论根据很少，所以用直接证法有一定的困难。不过如果运用反证法，添加了否定结论这个新的假设，就可以推出更多的结论，从而容易使命题获证。

例4已知：如图3，四边形ABCD中，对角线AC=BD=1。

求证：四边形中至少有一条边不小于。

证明：假设四边形的边都小于，由于四边形中至少有一个角不是钝角（这一结论也可用反证法证明），不妨设∠A≤90埃萦嘞叶ɡ恚肂D2=AD2+AB2-2AD·AB·cosA

∴BD2≤AD2+AB2，

即BD≤<=1

这与已知四边形BD=1矛盾。

所以，四边形中至少有一条边不小于。

五、结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题

例5.求证：是无理数。（古希腊人引自百科全书）

分析：由于题目给我们可供使用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将表示为一个分数。

证明：假设是有理数，则存在a，b∈N，且a，b互质，使=→a2→2b2从而，a为偶数，记为a=2c，∴a2=4c2，∴2c2=b2，则b也是偶数。由a，b均为偶数与a，b互质矛盾，故是无理数。

六、“必然性”问题

例6.若x1，x2，…，xn，xn+1均为小于1的非负实数，试证：其中一定存在两个数，其差的绝对值小于。

证明：不妨设x1

反证法在高中数学中的运用篇11

在高中数学中, 许多问题并不是按照常规形式出现的, 学生在解决问题时如果一味地从常规思维, 按照“顺时针”的方式去思考问题, 有时很难找到答案.此时需要进行“逆时针”思考, 即从反证法的角度去思考问题.从教学实践上看, 反证法在数学问题的论证中是颇有价值的一种方法, 其使用具有一定的广泛性, 在各种类型的数学问题中的应用也是比较普遍的.特别是在一些繁难的问题中, 运用正向思维往往难以切入, 运用反证法解决问题, 将有其他的方法难以匹敌的重要作用, 可以让学生在“乱中取胜”, 或许我们可以说反证法是“数学家最精良的武器之一”.

一、反证法运用的策略背景

我们说反证法是高中数学中常用的, 而且是行之有效的方法.但是, 因为反证法是需要学生具备逆向思维的, 所以学生在学习中要面临何时采用反证法, 什么类型的问题适用于反证法的问题.在策略背景的采用上, 教师应该给予一定的指导.

所有的方法在使用时都存在着一个合理选取的问题.反证法虽被人们所青睐, 在高中数学中有着重要的作用, 不过这并不是说这种方法能够在所有的问题中显示出优势.高中学生在使用反证法或者其他方法的时候, 都必须根据问题的特点, 对症下药, 才可能很好地突出其应有的效果.

一般地说, 当问题具有下列特征时, 可考虑引进反证法, 借以思考和解决:

①从解题感觉上判断.一般学生在解题时, 都可以自己判断问题的难度, 当感觉从已知条件找不到直接下手的切入点, 或者用来推证的条件严重不足时, 就可考虑引进反证法.在这种情况下, 使用反证法多是有效的, 可以有效地促成学生的思路快速上路, 解决问题的过程也会因此而简单清晰.

②否定形式.在高中数学问题中, 有些命题是具备某种类型的特点的, 比如说已知信息中有用否定形式的:“没有……”“不是……”或“不能……”, 就说明此类问题具有反证法论证的特点.学生在看到这样的信息时, 就可以毫不犹豫地选择“反证法”.这样的信息观察, 能引导学生的思路迅速到位, 结论也极易获得.

③结论形式.从问题的结论往往也可以看出题目是否具有反证法的特征.比如结论是“唯一性”问题的论证, 或者是推证无理数、无限多等结论的问题论证, 使用反证法就会显示出绝对的优势.

④双向选择.其实, 高中学生在实际的问题解决中, 常常碰到的是有些数学问题既可用直接法推证, 又可用反证法突破.而在这种情况下, 学生就要考虑用反证法, 较之直接证法是否更简捷, 更容易思考, 更有效果.

二、反证法运用的实例探讨

数学问题类型繁多, 变化灵活, 这就决定了学生在问题求解过程中, 解决的方法也是不一而足, 各具千秋.而论证性问题是数学问题中的一个重要类型, 与此相关的问题可以说是万花竞开, 争奇斗妍, 但从宏观上看, 对这种类型问题的思考和论证大多数是可以用反证法的模式进行思考.当然, 我们应当仁不让地选择反证法以求问题解决, 为的是寻找高质量、高效率的解题方式.而反证法在实际的解题过程中确实起到了这样的功效, 下面我们通过一些案例来展现反证法解题的魅力.

1.应用反证法论证“唯一性”问题

如前所述, “唯一性”问题是反证法运用的一个重要标志.而从近几年来的数学命题情况看, 这种方式是比较流行的, 在各种资料和试题中屡有出现, 但是这种问题却又是让学生们颇感头痛的问题.如果学生没有反证意识, 在解题思路上不得其法, 从正面思考, 多是败退而回, 往往会致使问题搁浅.而在教学中, 教师若能想到从反面切入, 让学生有意识地利用反证法作用于问题, 那可以帮助学生把存疑和困惑解决掉.

例1 设AB是已知线段, k是已知数, M在AB上, 且符合条件AM∶MB=k, 求证M是唯一的.

解析这个问题是明显的“唯一性”问题的论证, 根据前边我们所分析的策略背景, 可以很快地考虑使用反证法.假如还有一个不同于M的M′, 也满足AM′∶M′B=k, 如图所示, 由题设可知 $\frac{A Μ^{'}}{Μ^{'} B} = \frac{A Μ}{Μ B}$ , 应用合比定理有 $\frac{A Μ^{'} + Μ^{'} B}{Μ^{'} B} = \frac{A Μ + Μ B}{Μ B} \Rightarrow \frac{A B}{Μ^{'} B} = \frac{A B}{Μ B} \Rightarrow Μ^{'} B = Μ B$ , 这与假设中的M和M′是不同的两点相矛盾, 因而M和M′必是重合的, 即M点是唯一的.

在这个问题中, 反证法的应用可以说是非常有效, 干脆利落.在假设还存在异于M的M′点的基础上, 根据已知条件, 充分灵活地运用合比定理, 很自然地推出了和题设条件相矛盾.

2.运用反证法解决较难的论证题

在高中数学问题中, 有很多题目都是具有一定难度的, 尽管在题目形式上是比较简单的, 但是要解决起来也还是存在相当难度的.这个时候, 与其运用直接解题思路, 苦思冥想, 不如运用反证法, 快速解题.

例2 已知p3+q3=2, 求证:p+q ≤2.

解析此题用直接法推证明显具有相当的难度, 如果在此改证它的逆否命题“若p+q>2, 则p3+q3≠2”那就不一样了.在此可考虑引进反证法.假设p+q>2, 则 $q > 2 - p \Rightarrow q^{3} > 8 - 12 p + 6 p^{2} - p^{3} \Rightarrow p^{3} + q^{3} > 6 (p^{2} - 2 p + \frac{4}{3}) = 6 [(p - 1)^{2} + \frac{1}{3}] \Rightarrow p^{3} + q^{3} > 2 + 6 (p - 1)^{2} \Rightarrow p^{3} + q^{3} > 2 ‚ ∴ p^{3} + q^{3} \neq 2$ .所以原命题得证.