在小学数学教学中渗透数学建模思想

在小学数学教学中渗透数学建模思想（精选8篇）

在小学数学教学中渗透数学建模思想 篇1

在小学数学教学中渗透数学建模思想

从教十多年以来，深刻领悟到“授之以渔”的重要性。教师在教学过程中要采取有效措施，加强数学建模思想的渗透，提高学生的学习兴趣，培养学生用数学意识以及分析和解决实际问题的能力。现结合自己的教学实践谈谈对小学生形成数学建模思想的思考。

一、积累表象，感知数学模型

感性材料是学生建立数学模型的基础，因此教师首先要给学生提供丰富的感性材料，多侧面、多维度、全方位感知某类事物的特征或数量间的相依关系，为数学模型的准确构建提供平台。如“表内乘法”模型构建的过程就是一个不断感知、积累的过程。首先学习“2-6的乘法口诀”的算法，初步了解乘法的意义，学会能用找规律的方法算出几个相同加数的和，感知乘法口诀的来源及编制的方法；接着采取半扶半放的方式学习“

7、8的乘法口诀”，进一步引导学生感知归纳法、演绎法更广的适用范围；最后学习“9的乘法口诀”，运用以前已有的思想和方法灵活解决相关的计算问题。在此过程中，学生经历了观察、操作、实践等活动，充分体验了“表内乘法”的内涵，为形成“表内乘法”的模型奠定了坚实的基础。

二、参与研究，构建数学模型

动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。学生的数学学习活动应当是一个主动、活泼的、生动和富有个性的过程。因此，在教学时我们要善于引导学生自主探索、合作交流，对学习过程、学习材料、学习发现主动归纳、提升，力求建构出人人都能理解的数学模型。学习过程中学生有时独立思考，有时小组合作学习，有时是独立探索和合作学习相结合，学生在新知探索中充分体验了数学模型的形成过程。

三、联系实际，应用数学模型

从具体的问题经历抽象提炼的过程，初步构建起相应的数学模型，还要组织学生将数学模型还原为具体的数学直观或可感的数学现实，使已经构建的数学模型不断得以扩充和提升。如“鸡兔同笼”的问题模型，是通过研究“鸡”、“兔”建立起来的，但建立模型的过程中不可能将所有的同类事物一一列举。因此，教师要带领学生继续扩展考察的范围，分析当情境、数据变化时模型的稳定性。可以出示如下问题让学生分析：“两车共有126人，如果从一辆车每8人中选一名代表，从乙车每6人中选一名代表，正好选出17名代表。甲、乙两车各有多少人？”这样，使模型的外延不断得以丰富和拓展。

在小学数学教学中渗透数学建模思想 篇2

数学思想方法的渗透主要是在具体知识的教学过程中实现的,因此,要贯彻渗透性原则,就要不断优化教学过程,比如概念的形成过程,公式、法则、性质、定理等结论的推导过程,解题方法的思考过程,知识的小结过程等。只有在这些过程的教学中,数学思想方法才能充分展现活力,取消或压缩思维过程,把数学教学看做是知识结论的教学,就失去了渗透数学思想方法的机会,使数学思想方法无用武之地。数学概念、法则、公式、性质等知识都写在教材中,是有“形”的,而数学思想方法却隐含在数学知识体系里,是无“形”的,并且不成体系地散见于教材各章节中。教师讲不讲,讲多讲少,随意性较大,常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉,对学生的要求是能领会多少算多少。因此,教师首先要更新观念,从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识,把掌握数学知识和渗透数学思想方法纳入教学目标,把数学思想方法教学的要求融入备课环节。

一、在学生已有认知的基础上渗透数学思想

新课标强调:“从学生已有的生活经验出发,让他们亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,进而使学生在获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”教学实践也证明,在数学教学中,借助数学原型,构建数学模型,可以加深学生的理解,提高课堂教学效率。在此,简单介绍一种实施新课程数学基础知识教学的方法———原型教学。例如:小学学习的长度单位、图形、面积、质量单位等都来源于生活,但这些并不是生活本身的摹本,它具有高度的抽象性,这对以具体形象为主、生活经验匮乏的小学生来说,难以透彻地理解。教师要善于把抽象的数学知识还原成学生看得见、摸得到、听得到的生活情境,让学生走进生活,感受生活,在生活体验中理解感悟,使知识、技能同步发展,相得益彰。引导学生有意识、有目的地观察生活中的数学问题,既有利于学生发现生活中的数学信息,培养和提高观察能力,又有利于教师引导学生对抽象的知识进行总结和概括。

二、在学生认知发展过程中渗透数学思想

新课标明确提出:学生学会从数学的角度提出问题、理解问题,并能综合运用所学的知识和技能解决问题,提高实践能力和创新精神。课堂是组织学生学习的主阵地,在课堂教学过程中,如何集中学生的注意力、使学生专注听讲、提高课堂教学质量,是每一个教师不可回避的重要问题。小学生由于年龄特点及其他原因,注意力不集中、爱走神,听课质量不高。这就要求教师结合学生的心理特点,研究有效的数学教学策略。不质,为此,小学数学教学应努力培养学生终身学习的兴趣与愿望,持之以恒的态度,严谨、负责的精神,良好的人际交往能力。

3.依据大纲、活用教材,鼓励学生实践与创新。

培养学生的创新精神和实践能力是素质教育的重要任务。纵观现行教学大纲与初中数学教材,可以发现,初中数学教材中蕴含着丰富的此类教育素材。比如,计算题的一题多解,应少学生感到数学虽有趣但难学,理解运用更是困难,花了不少精力,但收效不好。究其原因,很大程度上是因为学习方法不当,没能完全掌握数学概念、数学定理,违背认知规律,当然就无法灵活运用,完成知识的迁移。如学习了长方形、正方形的周长和面积后,可让学生做一回装修设计师:如果你家的地面要重新装修,你能为爸妈提供一份装修建议表吗?我们可以从下面几个问题入手:1.算出每间房间的长和宽分别是多少米,每间房间的面积分别是多少平方米。2.根据家庭的经济条件和自己的爱好,在材料表中选择你需要的材料,算出所需材料的量及所需的钱数。3.如果在客厅、餐厅的四周贴上大理石条,共需要多少平方米?

老师应根据学生认知特点及记忆规律,科学地实施课堂教学。心理学家艾宾浩斯经过长期研究发现,人的遗忘是有规律的,我们应根据遗忘规律合理安排课堂结构,让学生及时理解和掌握所学的知识,取得事半功倍的效果。

三、在学生思考问题过程中渗透数学思想

任何数学问题的解决过程,都是由未知向已知转化的过程。通过转化归结为已经解决或较容易解决的问题,以求得问题的正确解答。如果在学生获得知识和解决问题的过程中有效地引导学生经历知识形成的过程,让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中看到知识承载的方法、蕴涵的思想,那么,学生所掌握的知识就是鲜活的、可迁移的,学生的数学素质就能得到质的飞跃。如在“面积与面积单位”一课教学中,当学生无法直接比较两个图形面积的大小时,引进“小方块”,并把它一个一个地铺在被比较的两个图形上,这样,不仅比较出了两个图形的大小,而且使两个图形的面积都得到了“量化”,使形的问题转化为数的问题。在这个过程中,学生亲身体验到小方块所起的作用。接着又通过“小方块大小必须统一”的教学过程,使学生深刻地认识到:任何量的量化都必须有一个标准,而且标准要统一,很自然地渗透了“单位”思想。又如几何教学中运用变换思想,将原图形通过割补、分割、平移、翻折等方式加以“变形”,把未知图形的面积计算问题转化成已知图形的面积计算问题,变难为易,求解水到渠成。小学课本中,除了长方形的面积计算公式之外,其他平面图形的面积计算公式也是通过变换原来的图形得到的。

数学知识对学生的发展是非常重要的,但并不是最重要的,真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用,并使其终生受益的是数学思想方法。所以,教师在教给学生数学知识的同时,要重视挖掘知识发生、形成和应用过程中所蕴藏的数学思想方法,不失时机地渗透数学思想方法,指导学生运用数学思想方法科学地思考问题,培养学生探索规律、解决问题的能力,促进学生数学素养的提高。

参考文献

[1]吴明富.在数学教学中渗透数学思想方法的探索与实践[J].

在小学数学教学中渗透数学思想 篇3

一、在分析教材时挖掘数学思想

小学教材中数学思想方法呈现隐蔽形式，教师要认真挖掘蕴含在数学知识中的数学思想，有意识地把掌握数学知识和渗透数学思想方法整合到教学目标之中，并把数学思想方法教学的要求融入设计环节。教师要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以渗透数学思想方法的各种因素，对于每一节课的教学，都要考虑如何渗透数学思想方法，渗透哪些数学思想方法，渗透到什么程度，做到心中有数。

如“除数是小数的除法”这一节课，就要具有落实转化思想方法的教学目标，要明确如何把除数是小数除法转化成除数是整数除法等。又如在“圆的面积”这节中圆面积的求法：先把圆分成相等的两部份，再把两个半圆分成若干等份，然后把它剪开，再拼成近似于长方形的图形。如果把圆等分的份数越多，拼成的图形越接近于长方形。这时长方形的面积就越接近圆的面积。这部分内容应让学生体会到这是一种用“无限逼近”的方法来求得圆面积，这样就渗透了极限思想。

二、在教学过程中渗透数学思想

由于数学思想方法比数学知识更抽象。为此，数学思想方法是有机渗透于数学教学活动的过程，同时要着重引导学生领会与应用。在探究活动中，教师应创设情境，营造民主氛围，让学生主动参与数学教学活动过程，并根据学生亲身的体验，逐步领悟数学思想方法。如教学“小数乘以整数”一课时：

师出示：创设买东西的情境。

师：从情境图中得到哪些信息？要求什么问题？

生：王阿姨买了3块蛋糕，每块蛋糕1.5元。要求3块蛋糕多少元？

师：怎么列式计算？

生：1.5×3=？

师：1.5×3=？怎么算呢？请大家联系已经学过的知识，先想一想、再尝试地算一算？

师指名汇报。

生1：1.5×3就是3个1.5相加，1.5+1.5+1.5=4.5（元）。

生2：1.5元=15角，15×3=45（角），45角=4.5元。

师：同学们可真了不起，想出这么好的办法来解决这个新问题。老师听出来了，在不知不觉中你们都把新问题转化成了旧知识。

（板书：新问题——旧知识）

师：把新问题转化成已经学过的旧知识来解决，这种方法就是转化法。它将需要解决的问题，转化成已经学过的旧知识，最后达到解决问题的一种方法。

（通过引导学生应用以前所学过的小数加法和元、角的知识，将它化未知为已知，从而体验到运用“转化”思想解决新问题的价值。）

又如教学“圆的面积”一课时：

师：请大家回顾一下，三角形、梯形的面积计算公式是怎样推导出来的？

生：（略）

师：用课件演示，想一想：这些图形面积公式的推导过程有什么共同点？

生1：都要把它转化成平行四边形来推导。

生2：都要运用拼凑割补的方法。

……

师：是呀！我们学习一种新图形的面积时，都要运用割、移、拼、补等方法，将它转化成已经学过的图形，再根据两者之间的关系，推导出新图形的面积计算公式。那么，大家是否也可以把圆转化成一个已学过的图形来推导出圆的面积计算公式呢？

师：下面请大家先独立思考，小组合作交流，再动手剪一剪、拼一拼，能否把圆转化成学过的图形？并借助已学过的图形来推导圆面积的计算公式。

师：请告诉老师你们小组把圆怎样转化成了什么图形？

生1：我们小组把圆转化成一个近似的平行四边形。

生2：我们小组把圆转化成一个近似的三角形。

生3：我们小组把圆转化成一个近似的长方形。

……

师：大家真了不起！把圆转化成了这么多近似的图形。

师：请看大屏幕，老师怎样把圆剪、拼，然后转化成一个近似的长方形。（课件演示）请大家想一想：如果把圆平均分的份数越多，拼成的图形会怎样呢？

生4：平均分的份数越多，每一份就会越细，拼成的图形就会越接近于长方形。

……

这样，让学生经历知识的形成过程，渗透转化、极限的数学思想。

三、在归纳总结时提炼数学思想

在课堂教学的小结或总结时，教师可以对所渗透的数学思想方法进行适时概括和提升。这样，不仅可使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在规律，而且可使学生感悟到数学思想方法对于学习数学的重要性。

如在几何形面积教学中运用转化思想，将原图形通过割补、分割、平移、翻折等途径加以“变形”，把未知的面积计算问题转化成已知图形的面积计算问题，可使题目变难为易，求解水到渠成。教材中，除了长方形的面积计算公式之外，其他平面图形的面积计算公式也都是通过变换原来的图形得到的。即：平行四边形通过割补、平移转化成长方形，三角形和梯形可以转化成平行四边形来求出面积，圆通过分割转化成长方形。为此，在总结时，引导学生回顾这一章节学习过程中应用到的数学思想与方法。这样，不仅使学生明确不同图形面积的计算方法，而且领悟到比面积计算公式更重要的东西，就是数学思想与方法。

总之，在平时教学时，只有教师重视对数学思想方法的研究，明确数学思想方法，才能在教学中有效渗透。只有让学生亲身经历、感受、理解、掌握和领悟数学思想方法，才能真正让数学思想方法与知识能力形成的过程共同生成。

在小学数学教学中渗透数学建模思想 篇4

浅谈在小学数学教学中如何渗透数学思想方法

周 冰

数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。小学数学课程标准在总体目标中提出：“通过义务教育阶段的数学学习，使学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事实、数学活动经验)以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”数学思想方法是数学的灵魂，作为小学数学教师，我们应如何有意向小学生渗透教材所蕴含的数学思想，并且让小学生感受数学思想方法的奇妙呢?现结合人教版五年级数学教学谈谈笔者个人的一些经验和感悟，以供同仁们参考。

一、认真钻研教材，理解教学内容，感悟数学思想，注重教材的整体性

钻研教材是小学数学教师形成数学教学能力的基础，小学数学教师只有通过钻研小学数学教材，掌握小学数学教材特点，明确小学数学教学的目标，了解了小学数学教学的规律和内容，娴熟地运用和掌握了行之有效的教学方法，才会形成成熟的小学数学思想和方法。各年级的数学教材中都蕴藏着丰富的数学思想方法，作为小学数学教师应该在精心钻研教材时，发现并挖掘教材中蕴含的数学思想方法，从中领会到数学思想方法的内涵及魅力。

小学数学教材是小学数学教师进行教学的主要依据，是教师备课的基础性资源。教师要教好课，必须研究教材、掌握教材。准确理解教学内容，首先要了解小学数学各册教材的内容及其编排意图，知道教材的前后联系，避免教学时的前后脱节或不必要的重复。其次，要深入分析研究自己当前所教的一册教材，着重弄清全册的基础知识和注意培养的基本技能，各章节的.教学目的要求，编排顺序，教学的重点和难点，以及每节教材中的例题、习题的配合情况。最后对准备教的一节或一段教材进行细致的分析与研究，包括掌握教学目标，明确所教教材的地位、重点、难点和关键，研究练习题。小学数学课堂教学的实践表明，一些低效的教学行为在很大程度上与教师对教材内容的理解和把握有关，由于教师对小学数学教材的钻研不够，不能准确地领会教材编写意图，理解教学内容的地位和作用，导致许多低效、甚至是无效的教学效果。事实上，准确理解教学内容，注重教材的整体性，更加有利于教师选择教学方法，设计教学方案，提高教学的目的性和有效性。

二、灵活处理教学内容，注重教材的结构性，将数学思想合理有效地渗透在教学中

小学数学教材中蕴藏着丰富的数学思想方法，小学数学教师要做课堂的有心人，抓住契机，在不显山不露水的状态下有意向学生渗透数学思想方法，使学生能对数学思想有所感，有所悟，从而感受数学的魅力。

1.在小学数学教学中渗透数形结合思想

我国数学家华罗庚曾说：“数缺形时少知觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事非。”数和形是数学研究的主要对象，而数离不开形，形离不开数。小学数学教师要善于引导学生借助一些简单、直观、形象的图形使一些复杂的问题简单化，抽象的问题形象化。如教学《真分数、假分数和带分数》时，教师可以给出一组表示分数的图形，让学生观察、比较每个图形所表示的分数，比较分数的分子和分母的大小。在学生给出得数后，教师可追问：“这些分数比1大还是比1 小?为什么?”运用直观图形和分数结合，就可帮助学生轻松理解建构数学概念的含义。

2.在小学数学教学中渗透化归思想

转化与化归思想是小学数学学习中常用的思想方法。五年级数学教师都清楚《多边形的面积》这一单元是向学生渗透转化与化归思想的绝佳时机，而平行四边形面积、三角形面积和梯形面积中，又数平行四边形面积的转化最重要。只要学生理解并掌握了将平行四边形面积转化为已经会算的长方形面积的方法，后面再学三角形面积和梯形面积就可迎刃而解了。 教师在教学时可先给学生创设一个故事情境：从前有个农夫有两个儿子和两块地，一块地为长方形，一块地为平行四边形，一天他把这两块地分给两个儿子。可是两个儿子看到地后都觉得父亲不公平，都认为对方的地比自己的大。你有什么办法帮帮农夫吗?学生听完故事后兴趣高涨，有的说长方形的面积大，有的说平行四边形的面积大，还有的说两个一样大。此时教师可发给学生两个完全一样的平行四边形，让学生思考并尝试能否把平行四边形转化成能算面积的图形。学生思考后很快就想到把平行四边形通过一剪一拼转变成一个长方形。这时教师再让学生拿出另一个平行四边形和剪拼后的长方形比一比，学生很快得出剪拼后两个图形的面积不变，而剪拼后的长方形的长就是原来平行四边形的底，剪拼后的长方形的宽就是原来平行四边形的高，由长方形面积计算公式可推导出平行四边形面积的计算公式。学生通过剪拼转化和教师小结性的板书，转化思想已深深烙在脑海中。再学三角形面积和梯形面积时，学生就会很自然地在已有的认知经验基础上利用转化的思想方法来学习新知。

3.在小学数学教学中渗透类比思想

笔者在教学小学数学《分数的基本性质》一课时：首先出示“1÷2=? 2÷4=?4÷8=”，然后向学生提问：“你发现了什么?”有的学生根据商不变的规律发现得数都是0.5;有的学生根据分数与除法的关系得出商不变。此时教师让学生采用折纸、涂色的操作活动得出分数的基本性质，并再次让学生思考：“分数的基本性质能不能根据分数与除法的关系和商不变的性质来说明呢?”从而让学生发现分数的基本性质和商不变性质在内容上、在语言描述上有很大的相似性。

4.在小学数学教学中渗透优化思想

在小学数学课堂教学中，教师要站在学生的立场，引导学生独立思考，引导学生与人交流，在交流中呈现自己的想法，在倾听别人的陈述中进行比较和选择，从而在多种方法中挑选出最优的方案。如教学《找次品》一课时，我先出示9瓶矿泉水，并告诉学生这其中有8瓶是一样重的，有一瓶是比较轻的，让学生采用小组合作、动手探究的方式用天平找出次品。学生在合作探究后得出多种方案。此时，教师再引导学生从多种多样的方法中观察、对比、交流，让学生借助列表、画图等方式找出最优的方案，体会优化思想。

在小学数学教学中渗透数学建模思想 篇5

“小学数学基本思想”解读

刘玉和

《数学课程标准》（2011版）在总体目标中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验……”把“基本思想”作为“四基”之一，这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位。那么，什么是数学基本思想？数学“基本思想” 蕴涵在教材的哪些内容之中？教学中怎样帮助学生获得“基本思想”呢？

一、什么是数学基本思想？

数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。

史宁中教授指出：基本数学思想不应当是个案的，而必须是一般的。这大概需要满足两个条件：一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想。二是学习过数学的人所具有的思维特征。这些特征表现在日常的生活之中。这就可以归纳为三种基本思想，即抽象、推理和模型。通过抽象，人们把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象，其思维特征是抽象能力强；通过推理，人们得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展，其思维特征是逻辑能力强；通过模型，人们创造出具有表现力的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁，其思维特征是应用能力强。

1、什么是抽象 抽象是在思维中抛开对象的非特有、非本质属性，从中抽取对象的特有属性或本质属性的方法。

数学中抽象主要包括两方面的内容：数量与数量关系的抽象，图形与图形关系的抽象。通过抽象得到数学的基本概念，这些基本概念包括：数学研究对象的定义、刻画对象之间关系的术语和符号以及刻画对象之间关系的运算方法。

例如：人们经过长期的实践，把1个鸡蛋、1只羊、1头牛……抽象成数字“1”符号，继而形成了自然数，并且用十个符号和位数表示。后来又抽象出了数之间的大小、运算关系。至于图形与图形关系的抽象最明显的体现是构成几何学的基本要素的“点、线、面”就是抽象的结果。

2、什么是推理

所谓推理，是指从一个命题判断到另一个命题判断的思维过程，其中命题是指可供是否判断的语句；所谓有逻辑的推理，是指所涉及的命题内涵之间具有某种传递性。推理一般包括合情推理和演绎推理。

合情推理。合情推理是从已有事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果的思维过程。合情推理是命题内涵由小到大的推理，是一种从特殊到一般的推理。合情推理包括归纳推理和类比推理。归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般结论；类比推理由两类对象具有某些类似特性和其中一类对象的某些已知特性，推出另一类对象也具有这些特性的推理。简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。因此，通过合情推理得到的结论是或然的。人们借助合情推理，从经验过的东西出发推断未曾经验过的东西，这便是所说的“看”出数学结果，看出的数学结果不一定是正确的，但指引了数学研究的方向。便于探索思路、发现结论。

例如：（三角形的内角和180度）

演绎推理。演绎推理是命题内涵由大到小的推理，是一种从一般到特殊的推理。因此，通过演绎推理得到的结论是必然的。演绎推理包括三段论、反证法、数学归纳法、算法逻辑等。人们借助演绎推理，按照假设前提和规定的法则验证那些通过推断得到的结论，这便是数学的“证明”，通过证明得到的结论是正确的，但不能使命题的内涵得到扩张。例如：乘积是1的两个数互为倒数，因为3×1/3=1，所以3和1/3互为倒数。注意：不可能把抽象和推理截然分开：抽象的过程要依赖推理；而两种形式的推理、特别是合情推理的过程要依赖抽象。

3、什么是模型

数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征，数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念，定理，规律，法则，公式，性质，数量关系式，图表，程序等都是数学模型。

数学模型思想是指用数学的语言描述现实世界所依赖的思想。数学模型使数学走出数学的世界，是构建数学与现实世界的桥梁。通俗地说，数学模型是借用数学的语言讲述现实世界的故事。

例如：小学两个典型的模型：路程=速度×时间 总价=单价×数量

二、小学阶段主要的数学思想有哪些？

抽象、推理和模型是数学的基本思想，是最高层面的思想，在实践中又派生出很多与具体内容结合的具体思想。

在小学阶段，具体数学思想主要有符号化思想、化归思想、分类思想、方程思想、集合思想、函数思想、数形结合思想、统计与概率思想等等。

（一）符号化思想

1、符号化思想的概念。

数学符号是数学的语言，数学世界时一个符号化的世界，数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用：因为数学有了符号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了数学的普及和发展；国际通用的数学符号的使用，使数学成为国际化的语言。符号化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。

2、符号化思想的具体应用。

知识领域 知识点 具体应用

数

数的表示

阿拉伯数字：0~9 与

中文数字：—、+ 代

数

百分号：% 负号：— 用数轴表示数

数的运算

+、—、×、÷、（）、〔〕 a2(平方)、b3(立方)数的大小关系 =、≈、＞、＜ 运算定律

加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 方程 ax+b=c 数量关系

时间、速度和路程：S=vt 数量、单价和总价：a=np 正比例关系：y／x=k 反比例关系：xy=k 用表格表示数量间的关系

应用拓展

‰

大括号：｛｝

≤、≥、≠

a(b-c)=ab-ac

用图象表示数量间的关系

图 用字母表示计 长度单位：km、m、dm、cm、mm 形 与 几 何

容积单位：L（升）、mL（毫升）质量单位：t、kg、g 用符号表示 图形 量单位

面积单位：km2、m2、dm2、cm2、mm2、hm2(公 顷)

体积单位：m3、dm3、cm3

用字母表示点：三角形ABC用符号表示角：∠

1、△ABC线段AB射线c、∠

2、∠

3、∠4 两线段平行：AB∥CD 两线段垂直：AB⊥CD

直线l ◇ABCD 用字母表示公三角形面积：S=1／2ab 式

平行四边形面积：S=ah 梯形面积：S=1／2（a+b）h 圆周长：C=2πr 圆面积：S=πr2

长方体体积：V=abc 正方体积：V=a3 圆柱体积： V=sh

圆锥体积：V=1／3sh 统计与 概率 统计图与统计用统计图表述和分析各种信息 表 可能性

用分数表示可能性的大小

符号化思想作为数学基本的、广泛应用的思想之一，教师和学生无时无刻不在与它们打交道。教师在教学中应把握好以下几点。（1）在思想上引起重视。《数学课程标准》把培养学生的符号意识作为必学的内容，并提出了具体要求，足以证明它的重要性。因此，教师在日常教学中应给予足够的重视。

（2）把培养符号意识落实到课堂教学目标中。教师在每堂课的教学设计中，要明确符号的具体应用，并纳入教学目标中。创设合适的情境，引导学生在探索中归纳和理解教学符号化的模型，并进行解释和应用。

(3)引导学生认识符号的特点。

让学生逐步明确，数学符号不仅可以表示数、数量关系，还可以参与运算和推理证明。理解数学符号的高度概括性和简捷性。

（4）符号意识的培养是一个长期的过程。符号意识的培养应用贯穿于数学学习的整个过程中，学生首先要理解和掌握数学符号的内涵和思想，并通过一定的训练，才能利用符号进行比较熟练地运算、推理和解决问题。

例如：教学“甲乙两个数的和是58，甲数比多36。求甲乙各是多少？”这样的问题，当学生已经掌握这类问题的特点和解答方法之后，可以设计这样的练习题： A + B = 18 A-B = 2 求：A=？ B=？

（二）化归思想

1、化归思想的概念。

人们面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，这种思想方法称为化归（转化）思想。

2、化归所遵循的原则。化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规划为常规，从而解决各种问题。因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：

（1）数学化原则，把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型。（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。（4）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题。

3、化归思想的具体应用。

知识领域

知识点

数的意义

应用举例

整数的意义，用实物操作和直观图帮助理解 小数的意义：用直观图帮助理解 分数的意义：用直观图帮助理解 负数的意义：用数轴等直观图帮助理解

四则运算乘法的意义：若干个相同的数相加的一种简便算法 的意义

除法的意义：乘法的逆运算

四则运算的法则

小数乘法：先按照整数乘法的方法进行计算，再点小数点 小数除法：把除数转化为整数，基本按照整数的方法进行计算，需要注意被除数小数点与商的小数点对齐。分数加减法：异分母加减法转化为同分母加减法 分数除法：转化为分数乘法

四则运算a+b=c c-a=b 各部间的整数加减法：用实物操作和直观图帮助理解算法 小数加减法：小数点对齐，然后按照整数的方法进行计算 数 与 代 数

关系 ab=c a=c÷b

简便计算 利用运算定律进行简便计算 图

形 与 几何

统计与

方程

解方程：解方程的过程，实际就是不断把方程转化为未知数前边的系数是1的过程（x=a）

化繁为简：植树问题、鸡兔同笼问题等

化抽象为直观：用线段图、图表、图像等直观表示数量之

解决问题间的关系，帮助理解。的策略

化实际问题为数学问题 化一般问题为特殊问题 化未知问题为已知问题

三角形内通过操作把三个内角转化为平角 角和

多边形的转化成三角形求内角和 内角和

正方形的面积：转化为长方形求面积

平行四边形求面积：转化成长方形求面积

面积公式

三角形的面积：转化为平行四边形求面积 梯形的面积：转化为平行四边形求面积 圆的面积：转化为长方形求面积

组合图形面积：转化为求基本图形的面积

正方体的体积：转化为长方体求体积 体积公式

圆柱的体积：转化为长方体求体积 圆锥的体积：转化为圆柱求体积

统计图和运用不同的统计图表述各种数据 统计表 概率

可能性 运用不同的方式表示可能性的大小

例如：《组合图形面积》一课就充分体现了“化归思想”。

（三）方程和函数思想

1、方程和函数思想的概念。

方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，也是解决实际问题的重要工具，他们都可以用来描述现实世界的数量关系，而且他们之间有着密切的联系。（1）方程思想。

含有未知数的等式叫方程，判断一个式子是不是方程，只需要同时满足两个条件;一个是含有未知数，另一个必须是等式。方程思想的核心是将问题中未知量用数字以外的数学符号（常用x、y等字母）表示，根据数量关系之间的相等关系构建方程模型。方程思想体现了已知与未知数的对立统一。(2)函数思想。

设集合ab是两个非空数集，如果按照某种确定的对立关系f，如果对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数y和它的对应，那么就称y是x的函数，记作y=f(x)。其中x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；y叫做函数或因变量，与x相对应的y的值叫做函数值，y的取值范围b叫做值域。函数思想体现了运动变化的、普遍性的观点。

2.方程和函数思想的具体运用.小学数学在学习方程之前的问题,都通过算术方法解决,在引入方程之后,小学数学中比较复杂的有关数量关系的问题,都可以通过方程解决,方程思想是小学思想的重要思想,其中一元一次方程是小学数学的必学内容,在小学数学里没有学习函数的概念,但是有函数思想的渗透,与正比例函数和反比例函数最接近的正比例函数和反比例函数是小学数学的必学内容.另外,在小学数学的一些知识中也会渗透函数思想,如数与数的一一对应体现了函数思想.方程和函数是小学数学与初中数学衔接的纽带.小学数学中方程和函数思想的应用如下表.思想

知识点 方法

方程 方分数,百分程 数和比例 思想 等量代换

鸡兔同笼 加法 积的变化规律

二(三)元一次方程思想的渗透 用方程解决鸡兔同笼问题

一个加数不变,和随着另一个加数的变化而变化,可表示为Y=KX.渗透正比例函数思想

用一元一次方程解决整数和小数等各种问题

应用举例

用一元一次方程解决分数,百分数和比例等各种问题

一个因数不变,积随着另一个因数的变化而变化, 表示为Y=KX.渗透正比例函数关系

商的变化规除数不变,商随着被除数的变化而变化,可表示为Y=XK,渗透正比例函数思想, 被除数不律

函数 正比例关系 思反比例关系 想

数列

正比例关系改写成Y=KX,就是正比例函数 反比例函数改写成Y=XK,就是反比例函数 变, 商随着除数的变化而变化, 可表示为Y=XK, 渗透反比例函数思想

等差数列,等比数列,一般数列的每一项与序号之间的对应关系,都可以看作是特殊的函数关

系.长方形,正方形,平行四边形,三角形,梯形的面积公式,长方体.,正方体,圆柱,圆锥的体积公

式,圆的周长和面积公式都渗透了函数思想 函数的列表法与统计表都有相似之处 空间与图形

统计图表

（四）分类讨论思想 1.分类讨论思想的概念。

人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适应于各种科学的研究；同时也是数学领域问题较常用的思想方法。2.分类讨论思想的具体应用

思想方法 知识点

应用举例

分类 一年级上册物体的分类，渗透分类思想、集合思想

分类讨论思想 数的认数可以分为整数、0、负数 识

有理数可以分为整数和分数（小数是特殊的分数）

整数的整数可以分成奇数和偶数 性质

正整数可以分为

1、素数和合数

平面图形中的多边形可以分为：三角形、四边形、五边形、六边形…… 三角形按角可以分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

三角形按边可以分为：不等边三角形、等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为等边三角形和腰与底边不相等的等腰三角形

四边形按对边是否平行可以分为：平行四边形、梯形和两组对边都不平行的四边形

统计 数据的分类整理和描述

排列组分类讨论是小学生了解排列组合思想的基础 合

概率 排列组合是概率计算的基础

植树问先确定是几排树，再确定每排树的情况：两端都不栽、一端栽一端不栽、题 两端都栽

抽屉原构建抽屉实际上是应用分类标准，把所有元素进行分类 理

图形的认识

例如：教师的板书

（五）统计思想 1．统计思想的概念。现实生活中有大量的数据需要分析和研究，如人口数量、物价指数、商品合格率、种子发芽率等等。有时需要对所有的数据进行全面调查，如我国为了掌握人口的真实情况，曾经进行过全国人口普查。一般情况下不可能也不需要考察所有对象，如物价指数、商品合格率等，就需要采取抽样调查的方法收集和分析数据，用样本来估计总体，从而进行合理的推断和决策，这就是统计的思想方法。在统计里主要有两种估计方法：一是用样本的频率分布估计总体的分布，二是用样本的数据特征（如平均数、中位数和众数）估计总体的数据特征。2．统计思想的具体应用。

小学数学中统计的知识点主要有：象形统计图、単式统计表、复式统计表、单式条形统计图、复式条形统计图、单式折线统计图、复式折线统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数等。这些知识作为学习统计的基础是必须掌握的，但更重的是能够根据数据的特点和解决问题的需要选择合适的统计图表或者统计量来描述和分析数据、做出合理的预测和决策。3．统计思想的教学。

《课程标准》的颁布和实施，赋予了统计更加丰富的内涵。教师要全面理解《课程标准》关于统计知识的内容和理念，在教学中要注意以下几点。

第一，注意过程性目标的教学。让学生经历数据的收集、整理、描述、分析、推断和决策的过程。包括设计合适的调查表、选择合适的统计图表和统计量描述数据、科学地分析数据并做出合理的决策。统计的教学要改变以往注重统计知识和技能这种数学化的倾向，要让学生经历统计的全过程，把统计与生活密切联系起来，让学生学习活生生的统计，而不是仅仅回答枯燥乏味的纯数学问题。

第二，认识统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题。学会用数据说话，能使我们的思维更加理性，避免感性行事。从小学开始就要让学生认识统计对决策的重要作用，为将来的进一步学习和走向社会培养良好的统计意识。如作为市场经济和信息化社会的公民，每个人无不与经济活动和投资理财打交道，如果能够根据影响经济运行的各种主要数据进行合理的分析和推断，做出正确的投资理财决策、使自己的投资不断保值和升值，对于每个公民意义重大。

第三，能对给定数据的来源、收集和描述的方法，以及分析的结论进行合理的质疑。、第四，对有关概念应正确理解，应注重知识的应用，避免单纯的数据计算和概念判断。

（六）概率思想 1.概率思想的概念。

表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。生活中的事件可以分为两类：一类是确定事件，在一定条件下一定发生的和一定不会发生的，这些事件都是确定事件；另一类是随机事件，就是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，随机事件表面上看杂乱无章，但是大量地重复观察这些事件时，这些随机事件会呈现规律性，这种规律叫统计规律，概率论是研究随机现象的统计规律性的一门科学学科，概率思想的意义在于揭示和把握规律，充分地利用规律为人类服务。（1）事件的分类。

事件可以分为确定事件和随机事件，其中确定事件又可以分为必然事件和不可能事件。在一定条件下一定发生的是必然事件，一定不会发生的是不可能事件。（2）频率与概率的区别和联系。

随机事件发生的可能性的大小是概率论研究的主要内容，通过试验来观察随机事件发生的可能性的大小是常用的方法。在相同的条件下，重复进行n次试验，某一事件A出现的次数是m，m/n就是事件A出现的频率。如果试验的次数不断增加，事件A发生的频率稳定在某个数上，就把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。

事件的概率是确定的、不变的常数，是理论上的精确值；而频率是某次具体试验的结果，是不确定的、变化的数，尽管这种变化可能性非常的小。

这里的概率是用频率来界定的，在等可能性随机试验中，虽然频率总是在很小的范围内变化，但我们可以认为频率和概率的相关性非常的强。也就是说，在一次试验中，事件A出现的频率越大、事件A的概率就越大；事件A出现的频率越小、事件A的概率就越小。反之亦然。

（3）两种概率模型 古典概模：试验中所有可能出现的基本事件是有限的，每个基本事件出现的可能性相等。如比较经典的投硬币和掷骰子试验，都属于这种概率模型。

几何概型：试验中每个基本事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积、体积）成比例。如比较常见的转盘游戏，就是几何概率模型。2.概率思想的具体应用。

概率思想主要应用于统计与概率领域。一是小学数学第一、第二学段都安排了可能性的内容。（新课标2011版把这一内容调整到第二学段）3.概率思想的教学。

这部分内容的教学应注意以下几点。

第一，随机事件的发生是有条件的，是在一定条件下，事件发生的可能性性有大有小；条件变了，事件发生的可能性大小也可能会变化。如种子的发芽率与很多因素有关，如种子的质量、保存期限、温度、水分、土壤、阳光、空气等等。在各种条件都合适的情况下，发芽率可能高达90%；条件不合适发芽率可能降到50%甚至不发芽。

第二，避免把频率与概率混淆。如最经典的就是掷硬币试验去验证概率。从概率的统计定义而言，做抛硬币试验是可以的，可以使学生参与实践活动、经历知识的形成过程、提高学习的兴趣。关键是广大教师心中要明白：试验次数少的时候频率与概率的误差可能会比较大，但是试验次数多，也不能每次都保证频率与概率相差很小，或者说试验次数足够大的两次试验，也不能保证试验次数多的比试验次数少的误差小。这是随机事件本身的特点决定的，教师要通过通俗的语言使学生清楚这一点。这样在抛硬币时出现什么情况都是正常的，在学生操作的基础上，有条件的可通过计算机模拟试验，还要呈现数学家们做的试验结果，使学生理解概率的统计定义。

第三，创设联系学生生活的情境，要注意每个基本事件是否具有等可能性。如下面的题目就不合适：全班50个学生，选一人代表全班参加科普知识竞赛，张三被选中的可能性是多少？事实上参加竞赛是有一定条件的，如需要学习好、知识面宽等等，每个学生被选中的可能性是不相等的。第四，概率是理论上的精确值，但是随机事件在具体一次试验中可能出现意外，即频率与概率有一定偏差。随机中有精确，精确中有随机，这是对待概率的一种科学态度。例如；（摸球游戏）

（七）集合思想 1.集合的概念。

把指定的具有某种性质的事物看作一个整体，就是一个集合（简称集），其中每个事物叫做该集合的元素（简称元）。给定的集合，它的元素必须是确定的，即任何一个事物是否属于这个集合是明确的。如“学习成绩好的同学”不能构成一个集合，因为构成它的元素是不确定的；而“语文和数学的平均成绩在90分及以上的同学”就是一个集合。一个给定集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现。只要两个集合的元素完全相同，就说这两个集合相等。

2.集合思想在具体应用。

（1）教材中的习题

15的因数 20的因数 20和15的公因数

（2）教师自己设计的习题：把图形名称填在相应的圈内。四边形 梯形 长方形 正方形平行四边

（八）数形结合思想 1.数形结合思想的概念。

数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数学是研究实现世界的数量关系与空间形式的科学，数和形之间是既对立又统一的关系，在一定的条件下可以相互转化。这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等，这里的形是指几何图形和函数图象。

数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化，使得原本需要通过抽象思维解决的问题，有时借助形象思维就能够解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。众所周知，小学生的逻辑思维能力还比较弱，在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题；教材的编排和课堂教学都在千方百计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助数形结合思想中的图形直观手段，可以提供非常好的教学方法和解决方案。如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题，经常要借助图形来理解和分析，也就是说，在小学数学中，数离不开形。另外，几何知识的学习，很多时候只凭直接观察看不出什么规律和特点，这时就需要用数来表示，如一个角不是直角、两条边是否相等、周长和面积是多少等。换句话说，就是形也离不开数。因此，数形结合思想在小学数学中的意义尤为重大。3.数形结合思想的具体应用。

数形结合思想在数学中应用大致分为两种情形：一是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，可称之为“以数解形”；二是借助形的几何直观性来阐明某些概念及数之间的关系，可称之为“以形助数”。

数形结合思想在小学数学的四大领域知识的学习都有非常普遍和广泛的应用，主要体现在以下几个方面： 一是利用“形”作为各种直观工具帮助学生理解和掌握知识、解决问题，如从低年级借助直线认识数的顺序，到高年级的画线段图帮助学生理解实际问题的数量关系。例如；计算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64=？

明显看出再加上一个1/64就等于1，所以，正确结果应该是：1-1/64=63/64

二是数轴及平面直角坐标系在小学的渗透，如数轴、位置、正反比例关系图象等，使学生体会代数与几何之间的联系。这方面的应用虽然比较浅显，但这正是数形结合思想的重点所在，是中学数学的重要基础。

X Y 从图象中就能明显看出X与Y这两个量的正比例关系。

例

三是统计图本身和几何概念模型都是数形结合思想的体现，统计图表把抽象的、枯燥的数据直观地表示出来，便于分析和决策。

四是用代数（算术）方法解决几何问题。如角度、周长、面积和体积等的计算，通过计算三角形内角的度数，可以知道它是什么样的三角形等等。

（九）极限思想

1.极限思想的概念。

在数学上，如果某个变化的量无限地逼近于一个确定的数值，那么该定值就叫做变化的量的极限。我们知道，在小学数学里有些问题不是通过初等数学的方法解决的，如圆的面积，无法直接按照求长方形面积的方法来计算，无法直接按照求长方形面积的方法来计算。我国古代数学家刘徽为了计算圆的面积和圆周率，曾经创立了“割圆术”，具体做法是：先作圆的内接正六边形，再作内接正十二边形……随着边数的不断增加，正多边形越来越接近于圆，那么它的面积和周长也越来越接近于圆的面积和周长。刘徽在描述这种做法时说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”。也就是说，随着正多边形的边数无限增加，圆内接正多边形就转化为圆，这种思想就是极限思想，即用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想。2.极限思想的具体应用。

极限思想在小学数学中的应用和渗透，主要体现在以下几点。

（1）在数的认识中体会有限与无限的思想。小学生从一年级开始就认识自然数0、1、2、3、…同时知道每个自然数加1就等于它的后继数。到了认识亿以内的数时，进一步知道了最小自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。也就是说，任意给定一个足够大的自然数N，只需要把它加1就会得到一个更大的自然数N+1，N+1＞N，所以总是找不到一个最大的自然数，从而体会到自然数数列的无限多和趋向无穷大。由此可以推广到奇数、偶数、一个数的倍数、两个数的公倍数等都没有最大的，都有无限多个。在学习分数的基本性质时，学生知道分母不同、分数值相等的分数有无限多个。在学习小数时，首先认识的是有限小数，然后认识无限循环小数，还知道圆周率是无限不循环小数。（2）在数的计算中体会极限思想。

例如：计算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+……=？ 0.999……=？（3）在认识图形时渗透无限的思想。与自然数列的趋向无穷大类似，有些图形也具有无限长的特性，如直线、射线、角的边、平行线等，都具有无限延伸的特性，可以渗透无限的思想。

（4）在圆的面积、圆柱的体积的计算中渗透极限思想。

如上所述，在小学数学中圆的面积不能像求长方形的面积那样直接利用公式计算，圆柱的体积不能像长方体那样直接利用公式计算，利用极限思想可以解决这些问题。如计算圆的面积时，先把圆平均分成若干等份，拼成近似的长方形，但它还不是长方形，仍然无法直接按照求长方形面积的方法来求；因为把一个圆不论进行怎样细小的有限次的分割拼补，都无法真正拼成一个长方形；这时只有借助极限思想，把圆分割的越细小所拼成的图形就越接近于长方形，可以这样无限地分下去，拼成的图形面积就越趋向于长方形的面积，最后通过取极限来得到它的面积，这是极限思想在小学数学中最完美的体现。也就是说，极限思想是这样操作的理论基础和计算精确性的保证。

对有关极限的一些概念、教学要求和解题方法应准确把握。极限思想是用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想，这里要抓住两个关键语句：一个是变化的量是无穷多个，另一个是无限变化的量趋向于一个确定的常数，二者缺一不可。

应该明确，数学基本思想在小学主要是潜移默化地渗透和感悟阶段。不能作为知识点教给学生，避免拔苗助长。要以数学思想方法为引领分析问题，解决问题，在解决问题的过程中，经过反思、感悟，逐渐提升对数学思想的认识。

在小学数学教学中如何渗透集合思想的几点做法

集合是近代数学中的一个重要概念。集合思想是现代数学思想向小学数学渗透的重要标志，在解决某些数学问题时，若是运用集合思想，可以使问题解决得更简单明了。集合论的创始人是德国的数学家康托（1845——1918），其主要思想方法可归结为三个原则，即概括原则、外延原则、一一对应原则。自集合论创立以来，它的概念、思想和方法已经渗透到现代数学的各个分支中，成为现代数学的基础。瑞士数学家欧拉（1707——1787）最早使用了表示两个非空集之间的关系的图，现称欧拉图。英国数学家维恩最早使用了另一种图即可以用于表示任意的几个集合（不论它们之间的关系如何，都可以画成同一样式），又称“维恩图”，用维恩图表示集合，有助于探索某些数学题的解决思路。

布鲁纳曾说，掌握基本的数学思想方法能使数学更易于理解和记忆，领会基本数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路”。数学思想方法不但对学生学习具有普遍的指导意义，而且有利于学生形成科学的思维方式和思维习惯。

集合思想包括概念、子集思想、交集思想、并集思想、差集思想、空集思想、一一对应思想等，作为数学思想方法的一种，在教学中是具有很大的指导意义的。那么，在小学数学教学中我们应该如何应用集合思想进行教学活动呢?

一、集合概念在小学数学教学中的应用

集合思想的概念在教学中是不必向学生作解释的，教师主要指导学生看懂集合图的意思，会根据集合图来解题或者帮助解题。图形本身直观地应用了集合的表示方法——图示法，因此在小学低年级中运用这个方法对于教学是很有帮助的。

在认数教学中，教师要结合各种集合图，可以是选用书本上的，也可以是选用一些生活中常见的事物自己画。同时还可以反过来给学生一个数字，让学生画集合图，这样既可以让学生开动脑筋发挥自己的想象，也可以让学生更了解集合中的元素与基数概念的联系。

在日常教学中，教师还要让学生理解一些用来描述集合的常用术语，如“一些”、“一堆”、“一组”、“一群”等。比如说，在小学数学教材北师大版一年级（上册）的第四单元分类中，就出现了这么一张图，让学生观察，要求把玩具放一堆，文具放一堆,服装鞋帽放一堆,这种把具有同一种属性的东西放在一起，这就是集合的整体概念。

在认识0-10的十一个数字中，每个数字都有一张相应的集合图，也就是告诉学生，一个集合中有几个元素就用“几”来表示。如北师大版一年级（上册）第4页找一找的活动中“1”可以表示图里的一座房子；“2”可以表示图里的两个人。这就很形象的把集合中的元素与基数的概念有机的联系起来。

二、子集、交集、并集、差集、空集思想在小学数学教学中的应用

1、子集思想在小学数学教学中的应用

教学数的大小这一问题时，就可以应用子集思想。如北师大版二年级(下册)第36页试一试中,给出一些数，组成一个数的集合，元素有387、99、809、345、1725、4300等。同时给出要求，先把给出的数分类，再比较大小。这把数分类就相当于是把整个数的集合中的元素，按要求分别把他们放入三个子集合中。（如下图）对于这类问题，应用集合思想就能让学生非常直观、容易地理解。

2、交集思想在小学数学教学中的应用

如有这么一道应用题：一个班有48人。班主任在班会上问：“谁做完了数学作业？”这时有42人举手。又问：“谁做完了语文作业？”这时有37人举手。最后又问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。请问：这个班语文、数学作业都做完的有几人？

一看这道题就会想到要用维恩图来算比较简单。画一个长方形表示全集，完成语文作业的学生集合（A），完成数学作业的学生集合（B），A、B有相交部分

因为A内的两部分表示人数和就是完成语文作业的人数（37人），所以A外、B内的那部分表示的人数为48-37=11（人），者是 完成了数学作业但没有完成语文作业的人数。因此，语文、数学两种作业都完成了的人数是42-11=31人。

教学公约数、公倍数这一内容时，也通常应用交集思想，如 ： 12的约数 18的约数

3、并集思想在小学数学教学中的应用

在小学一年级的教材中，并集被用于说明加法的意义，如北师大版一年级（上册）第22页解决“有几只铅笔”这个问题，一幅图中小朋友左手里拿了两只铅笔，右手里拿了三只铅笔，另一幅中小朋友把两只手合在一起，就是把左手和右手中的铅笔并在一起。2＋3＝5（只）

还有北师大版一年级(上册)第68页11～20各数的认识中，对于“11”,先把10根小棒捆成一捆，组成十位上的“1”，然后再数1根组成“11”了。同理在教学12、13、14、15等数时，也都应该采用并集思想。

又如，北师大版一年级(上册)第72页:9＋5＝? 教材中显示把5根小棒分成1根和4根,把1根和9根结合在一起，组成十根捆在一起，作为十位上的“1”，这也运用了并集思想。

4、差集思想在小学数学教学中的应用

在小学一年级的教材中，差集被用于说明减法的意义。如北师大版一年级（上册）第26页“摘果子”树上原有5个苹果，被小朋友摘走2个，就剩下树上（集合）的3个苹果（元素）：5－2＝3（个）

又比如说还是本页的“做一做”：图中总共有5个圆圈，其中4个圆圈用线划去，表示去掉的，就剩下5－4＝1（个）了。在教材中一般用线划去或虚线圈起来的都是要剪掉的部分.5、空集思想在小学数学教学中的应用

空集表示这个集合没有元素。空集思想的应用主要出现在教学“0”的时候，如北师大版一年集（上册）第8页“小猫钓鱼”，每只小猫的袋子表示集合，袋子里的鱼表示元素。第一幅图里，袋子里有三条鱼，该集合里有3个元素；第二幅图里，袋子里有两条鱼，该集合里有2个元素；第三幅图里，袋子里有一条鱼，该集合里有1个元素；第四幅图里，袋子没有鱼，该集合中没有元素，也就是空集。三、一一对应思想在小学数学教学中的应用

一一对应思想在教材中体现的较多，在比较两个集合所包含的元素的多少时就一定得用建立一一对应关系的方法来解决，同时，“一一对应”思想也是现代函数思想的基础。一一对应思想在小学数学教材中主要以两种形式呈现：第一种是比多少，第二种是由一个集合经过对应法则得到另一个集合。

在教学比多少时，教师首先要把集合中的元素一一的排列起来。如北师大版一年级（上册）第43页：

比 多

比 少

在教学第二种情况，一个集合经过对应法则得到另一个集合时，教师要向学生解释清楚对应法则是对已给出的集合中的每一个元素都起作用的。

如人教版三年级（下册）第23页

这类算式与算式的配对，也正是一一对应思想的应用。

小学数学教学中代数思想的渗透 篇6

数学思想方法是人们对数学知识和本质规律的认识，是分析、处理与解决数学问题的根本途径。代数思想方法是数学思想方法的重要内容之一，也是培养学生抽象思维能力重要素材。代数思想方法是初中（第三学段）数学教学的核心内容，但这并不意味着思维与小学数学教学无关。任何一种思维的训练都是要经过直观认识、模仿运用、理解记忆和灵活掌握四个阶段，并且要随着学生思维水平的提高而逐渐完成的。初中是学生形成代数思想的关键期，但如果没有小学阶段的直观认识和简单模仿的训练，就会使学生的思维进程受到阻碍，影响初中及以后的学习。有的家长会发现自己的孩子在小学阶段成绩非常好，但上初中以后，成绩却迅速下降。造成这种现象的重要原因之一就是在小学阶段代数思想方法渗透不到位，而是过分强调算术思维的训练，造成学生抽象思维不足。本文将探讨在小学数学教学中，对学生进行代数思想方法渗透的必要性和应注意的问题。

一、代数思想的作用

代数思想方法就是学生运用字母来代替具体数值进行思考的思维形式。它是一种特殊的抽象思维形式，它对小学数学主要有以下几方面作用：

1、用于刻划一定的数量关系或规律。如加法的交换律和结合律，分数与除法关系，整除性质等。用字母表示这些规律具有直观，简洁和易记等优点。如果单纯用语言记忆就比较繁锁。

2、用于概括和表示某类知识的共同特征。如应用题分类时，需要总结出某类问题的共同特征和一般的数量关系。这样便于学生从整体上把握一类问题，所总结的公式便于学生实现知识的正迁移，起到举一反三的效果，摆脱题海的困扰。

3、促进学生抽象思维的健康发展。当具体的形象思维积累到一定程度后，学生的思维必然向抽象思维发展，而代数思维训练恰好学生的抽象思维提供了具体而有效的素材。如果不及时引导学生归纳总结，就会阻碍学生抽象思维的发展。

4、有利于小学到初中的顺利过渡。具体思维水平无论多高也不能代替简单的抽象思维。小学阶段如果能够适当培养学生的代数思想的初步意识和简单模仿，就会使学生进入初中后，很快适应初中数学的符号语言，使代数思维水平迅速提高。

综上所述，虽然代数思想方法是初中数学教学的核心任务之一，但在小学阶段恰当地培养和运用代数思想方法，不仅不会影响学生的正常学习，而且还会促进学生对小学数学的深刻理解和掌握，并减轻学生的学习负担。教学中关键在于把握“适当”二字。

二、如何“适当”培养代数思想

适当培养学生的代数思想就是充分发挥代数思维在小学数学学习过程中的作用，适时提出有丰富直观背景的学生能够接受的抽象问题，引导学生思考，总结规律，掌握所学知识和技能，使学生在学习小学知识的同时，自觉或不自觉地受到代数思维的训练，要做好此项工作，我们应注意以下几点：

1、要摆正算术思维与代数思维的关系。算术思维是学生运用具体数学，在某种实际背景下，进行思考的思维形式。它是代数思维形成的前提，没有算术思维的一定程度积累就无法培养学生的代数思维，当算术思维达到一定程序之后，又必然向代数思维过渡。因此，教师首先要重点训练学生的算术思维，并时刻注意引出一些一般性结论，帮助学生总结规律，渗透代数思想，而不能盲目提高，过分强调抽象思维。

2、讲求教学方法。在培养代数思想的初期，绝不能马上引进字母或符号，而是引导学生归纳总结算术中的一般规律和方法，然后用自然语言进行正确的表述，并在具体表述的指导下，将一般规律正确运用于具体问题。经过这样一段类似训练后，学生就会感到这样叙述比较麻烦，从而引进符号，以简化表述过程，使学生从感性认识自然上升到理性认识。比如，加法交换律教学时，应让学生观察一组加法的结果，它们具有顺序不同但结果相的特点，然后总结出加法的交换律，经过一段学习后，再引入符号表示。

3、注意挖掘已有的抽象素材。小学阶段的主要任务是培养代数思想的意识，因此不能过早地引入抽象的代数符号和不必要的术语，以免增加学生的负担。现行小学数学教学内容中就有许多抽象的表达形式的原型。只要将其作简单变形就可以成为代数思维的极好素材，如填空题中，常见下列形式：27＋□＝91这里的“□”是用来表示要填的数的位置，如果换个写法，就变成了：27＋X＝91，求X的值，这样就变成了一个方程问题了。这种形式的变化，有利于学生代数思维的形成，但在初期不必给X起名叫“未知数”，而只要告诉学生这个数就可以。

4、难度要适当。就是说要针对不同的学生水平，提出适当的要求，绝不能将初中数学下放的小学，适合学生接受能力的训练才是有益的。要随着学生思维水平的发展逐渐提高要求，比如先只要求学生能听懂，会表述，然后再要求学生能套用、能理解，最后达到能迁移的程度，这就已经达到了小学阶段对代数思维的最高要求了。

总之，在小学数学教学中进行适当的代数思想方法训练不仅是必要的而且是可能的。小学数学给我们提供了丰富的具体素材。关键在于教师要根据教学内容和学生的思维水平，运用恰当的教学方法，提出切实可行的要求，对学生进行代数思维的初步训练，只有这样，才能减轻学生的课业负担，与初中数学的学习接轨。

讲求教学方法。在培养代数思想的初期，绝不能马上引进字母或符号，而是引导学生归纳总结算术中的一般规律和方法，然后用自然语言进行正确的表述，并在具体表述的指导下，将一般规律正确运用于具体问题。经过这样一段类似训练后，学生就会感到这样叙述比较麻烦，从而引进符号，以简化表述过程，使学生从感性认识自然上升到理性认识。比如，加法交换律教学时，应让学生观察一组加法的结果，它们具有顺序不同但结果相的特点，然后总结出加法的交换律，经过一段学习后，再引入符号表示。注意挖掘已有的抽象素材。小学阶段的主要任务是培养代数思想的意识，因此不能过早地引入抽象的代数符号和不必要的术语，以免增加学生的负担。现行小学数学教学内容中就有许多抽象的表达形式的原型。只要将其作简单变形就可以成为代数思维的极好素材，如填空题中，常见下列形式：31＋□＝87这里的“□”是用来表示要填的数的位置，如果换个写法，就变成了：31＋X＝87，求X的值，这样就变成了一个方程问题了。这种形

在小学数学教学中渗透数学建模思想 篇7

一、研读课标、梳理知识点,挖掘隐含其中的数学思想方法

俗话说“凡事预则立,不预则废”。如果一位教师从不研读课标,课前不对本节课的知识点中所隐含的数学思想进行梳理,在教案中对如何渗透数学数学方法不进行巧妙地预设,那么在课堂教学中,他不可能轻而易举地将数学思想方法穿插到教学的各个环节中去,只能用总结性的语言提出这节课中的数学思想,此时学生只能是被动地接受,因为这些数学思想方法是老师灌输给他们的,并不是他们自己发现的,这与新新课标中的教学理念背道而驰。

二、巧妙设计,在活动中体现数学思想方法

数学思想方法是一种高度抽象的理性认识及解题策略,要想掌握必须由表及里、循序渐进,而浅显易懂的小学数学恰好为它提供了一个很好的平台和生长点。由于小学数学内容是最基础最简单的,是与生活联系最密切的,也是最直观形象的。特别是小学低年级的内容,有很多是通过形象观察、动手操作或独立思考、交流讨论等活动得出的结论,这时候教师如果借助这些相对简单的知识点,有意识地渗透一些隐藏在他们中的某种数学思想方法,这种做法是很容易被学生接受的,当然,一定要将这种数学思想方法用小学生能够理解的语言表述出来,不要求他们记忆,只需要让他们去体会这种化难为易的答题方法即可。然后,再利用小学生表现欲强的特点,趁热打铁,让他们用这种方法解决一道同类型的题,此时,他们在愉悦的体验中,对这种数学思想方法有了直观认识,同时也积累了经验。

如在教“植树问题”时,我首先以猜谜游戏“两棵小树十个叉,不长叶子不开花,能写会算还会画,天天干活不说话”导入,让学生猜一猜这是什么,学生很容易就猜到是“手”,然后我又引导学生认识手指的间隔,并让学生通过观察自己总结出“手指数=间隔数+1”这一规律。这样学生在玩的过程中轻而易举的认识了“间隔”,并知道了可以通过简单的举例,然后找共同点,再归纳总结出规律。就是这样一个小小的导入的环节,让学生在猜谜游戏中体会到了归纳思想的过程。紧接着我呈现了本节课要研究的问题:“同学们在全长100米的小路一边植树,每隔5米栽一棵树(两端都栽),一共要栽多少棵树?”这时学生纷纷猜测,有的说种20棵,有的说种21棵。“到底要栽多少棵?先让我们一起来回想一下上学路上的小树,我们不难发现小树之间也有间隔,前面我们已经知道了手指数与间隔数之间有规律,那么棵树与间隔数之间有没有规律呢?如果有,该怎么找规律呢?”我的问题刚抛出来就有学生迫不及待的喊出来说“有规律,100米太长了,我们可以先在10米,20米的路上种树找规律”,一语惊醒梦中人,这时有好多学生都相继又喊出了“5米”“15米”等,思路找到了,我又接着问“那我们怎么做才最简单有效呢?你们可以看看学具。”这时有学生说可以用小棒代替树通过摆小棒来找规律,还有学生说可以把小树画在作业纸上找规律,这时我对这两位学生提出了表扬,并鼓励大家,在下一环节要积极思考,我们要比一比谁做的又快又好。孩子们都特别兴奋,信心满满地开始动手操作了,很快就有学生发现了在两端都种时,棵数和间隔数之间的数量关系(棵数=间隔数+1),顺利地解决了上述问题。最后在总结全课时,我又一次表扬了找出找规律方法的两位学生,因为他们想到的“通过举几个简单的例子找规律”和“通过画图找规律”,这分别是数学家提出的很重要的两种数学思想方法,即归纳思想和数形结合思想,当然,我们现在可以将这两种思想方法简单地理解为找规律和画图。就这样在轻松的活动中,使学生自然而然地体验到了数学思想的深刻性。

三、注重渗透体验的反复性和经验积累的长期性

要使学生在解决问题时运用数学思想方法,在平时的教学中,光有几次体验是远远不够的。因为任何一种能化抽象为形象的精妙数学思想方法的掌握,都要在实践中经历一个反复渗透与长期积累的过程,这个过程可以使数学思想方法在学生的心中根深蒂固,并且逐步内化为学生自己的一种逻辑能力,在解决问题时,这种自身的逻辑能力就会自然而然的浮现在脑海中,为学生所用。

摘要：数学思想方法是学好数学、锻炼思维必不可少的工具,隐藏在数学课程的各类题型中,贯穿数学教学的始终。比如,数形结合思想、一一对应思想、分类讨论思想等,但随着新一轮的课改的到来,在掌握基本的数学知识与技能的同时,体会和运用数学思想与方法,在新课程中有着举足轻重的作用,其中新课程标准中四基之一的“基本思想”就是对此最强有力的说明。

关键词：小学数学,课堂教学,渗透体验

参考文献

[1]陈岳婷.对小学数学思想方法的教学渗透调查分析[J].时代教育,2016(2).

在小学数学教学中渗透数学建模思想 篇8

关键词：小学数学；影响；渗透数学思想

中图分类号： G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-864X（2015）09-0058-02

一、渗透数学思想在小学数学教学中的影响

数学能力要想得到进一步的发展，需要学生具备一定的数学基础。所以，在实际的数学教学中，授课教师应在教授数学知识的同时适当的渗透一些数学思想，让学生对于一些数学理论思想进行了解并且运用，使数学思想掌握起来更加容易。数学思想的掌握，可以使学生的思维能力以及逻辑能力在一定程度上进一步提升，对知识能够进行更加深入地分析与把握，了解数学知识的实质，在解决问题时会更加得心应手。

在实际的数学学习中，授课教师在授课方式中灵活运用基本的数学理论思想，通过解决问题的方式逐渐提高学生的数学能力水平，进而提高数学学习的效率。在数学教学中，提高 学生的数学素养是教师的重要任务，通过在授课知识传递时数学思想的渗透，可以使学生形成正确的数学理念。并且在学生解决实际问题时能够加强学生的能力水平，使自己对数学知识有一个纵向的掌握，有助于学生数学能力的提高，对于培养学生的数学素养也是十分重要的。

二、在课前准备阶段运用渗透数学思想

（一）合理安排教学内容。

《数学课程标准》在总体目标中指出：通过义务教育阶段的数学学习，使学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。所以在数学课程教学的过程中，授课教师要加强对学生培养数学理论思想的工作目标。授课教师在进行数学课程的备课阶段时，需制定符合当前时代学生所需数学能力的教学目标，旨在保证学生将数学知识与实际的解题能力有机的结合，提高学生的数学思想。它对整个教学活动具有导向、激励、评价的功能。离开了教学目标将使课堂教学活动迷失方向，教学情况与学习情况将得不到有效反馈，教学的评价将无法落实。进行“数学广角”教学时，教师要正确、合理地定位教学目标。在制定课时目标时做到内容全面、层次分明、要求适度。（二）明确理解教材的要求。

《数学课程标准》倡导学生“在生动具体的情境中学习数学”，要求“素材要密切联系学生的现实生活，运用学生关注和感兴趣的实例作为认识的背景”。但是存在部分授课教师在进行数学课程的授课时，只注重将知识联系实际生活，提高学生的学习兴趣，而忽略了学生对于基础数学理论知识的学习。分析教材，用好教材是每个数学授课教师在进行数学备课时应当注意的问题。分析和研究教材是每一个教师所做的日常工作。分析教材时要对全套教材有一个基本的了解。我们要对人教版数学教材中的11个“数学广角”单元的内容至少通读一遍，对教材编写的指导思想、编排意图、主要内容等做到心中有数。分析某一课时教材时，要对这一课时教材作全面分析，如本课时在本单元的地位，本课时的重点难点，如何处理教学内容等等。

（三）制定灵活多变的授课方式。

授课教师在进行数学课程的准备阶段时，应根据课堂所讲内容设置具有一定特色的授课方式进行传授数学知识。同时在教学过程中，授课教师在明确了教学内容后，恰当地选择教学方法，就成为十分重要的问题。在进行“数学广角”教学时，可采用灵活高效的教学方式，提高学生的学习效率，才能取得最佳的教学效果。常用的教学方法有：讲授法、谈话法、活动体验法、直观演示法、讨论法、尝试教学法、问题探究法（引导发现法）和情景教学法等等。

三、在授课过程中运用渗透思想

（一）在讲授知识时使用渗透思想。

数学概念是小学生进行数学知识的学习的基础，同时也是学生在解决问题时主要依赖的理论依据。概念是对知识的综合概括，但是较小学生来说数学理论知识具有较强的逻辑性，不易让小学生轻松的理解运用，特别是一些抽象性比较强的概念，对于小学生而言，理解起来难度更大。所以在这样的情况下，授课教师要在授课过程中增加渗透思想的强度，可以通过对概念的提炼，对学生渗透数学思想方法。同时授课教师应该加强对于课堂数学知识以及解题方法的汇总，同时在授课过程中可以引导学生通过对具体的知识特点的总结，加强对学生的知识归纳能力培养。通过学生对数学知识以及解题能力的汇总，学生不仅能够深入认识到数学归纳的思想，同时也能够对数学概念有更全面的理解。

（二）运用渗透思想进行课堂知识总结。

在小学生学习数学课程的学习过程中，应加强对于数学理论思想的学习强度。学生只有能够完全理解数学思想以及解题能力才能对数学题目的解题效率进一步提高。所以，授课教师在进行数学课程的教授过程中，除了要对学生进行引导，还要注重对知识的歸纳和总结，通过对于所学知识进行归纳，分类研究知识中蕴含的数学思想，给学生一个完整的知识梳理，才能够更好地帮助学生运用数学思想。教师要注重引导学生对学过的数学思想进行反思，可以通过梳理例题，综合分析数学思想，研究数学思想的运用。

四、课下渗透思想的使用

授课教师应加强对学生课后作业的关注度。一般来说，课后作业是学生对当前课堂所学的数学知识进行运用以及巩固的作用。授课教师在布置学生的课后作业时，需要参考本节数学课所学的数学知识以及用到的数学理论思想。此外，数学知识需要运用到具体的实际生活中，才能够更好地保证学生的学以致用，我们的数学教学中，很多知识是来源于生活的，通过具体的实际体验，能够实现小学生对数学思维的实际利用，提升小学生解决实际问题的能力。因此授课教师要注重对学生数学实践能力的培养，同时为他们提供一些具体的生活中的数学体验，让他们在具体的数学体验过程中，理解数学思想，运用数学思想，提高学生的学习效率。

参考文献：

[1]王林. 小学渗透数学思想方法的实践与思考[J]. 课程·教材·教法，2010，09：53-58.

[2]熊华. 加强数学思想渗透 发展数学思维能力——对人教版小学数学教材“数学广角”修订的几点思考[J]. 课程·教材·教法，2011，09：61-66.