高三数学中的思想方法（精选12篇）
高三数学中的思想方法 篇1
著名日本数学家米山国藏指出,“作为知识的数学,出校门不到两年可能就忘了,深深铭记在头脑中的唯有数学的精神、数学的思想、数学的研究方法和着眼点,这些都随时随地发生作用,使人们终身受益.”数学的精髓不在于知识本身,而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法. 本文就“认识概率”这章中常用的一些基本的数学思想方法作简单介绍,为后继进一步学习概率统计知识作好铺垫.
一、枚举思想
枚举思想是解决概率问题的一个重要思想方法,一些简单的问题,通过枚举法即可获解.
例1 (2014·金华)一个布袋里面装有5个球,其中3个红球,2个白球,每个球除颜色外其他完全相同,从中任意摸出一个球,是红球的概率是( ).
A.1/6B.1/5C.2/5D.3/5
【分析】首先根据题意利用枚举法可得,摸出的球可能是红1,红2,红3,白1,白2,共五种情况,所以是红球的概率为3/5.
【答案】选D.
【点评】本题中“袋中的五个球”被抽到的可能性相等,且该实验出现的结果为有限多个,从而应用“枚举思想”解决了本题.这两个特点也正是能运用枚举法求解的两个基本特征. 另外,本题还巩固了简单概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=m/n.
二、方程思想
方程思想是指解决数学问题时,先分析问题中的等量关系,设出未知数,建立方程或方程组,然后求解方程(组),使原问题获解.这一思想方法,在概率解题中应用广泛.
例2 (2014·泰州)某篮球运动员去年共参加40场比赛,其中3分球的命中率为0.25,平均每场有12次3分球未投中.
(1)该运动员去年的比赛中共投中多少个3分球?
(2)在其中的一场比赛中,该运动员3分球共出手20次,小亮说,该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球,你认为小亮的说法正确吗?请说明理由.
【分析】(1)设该运动员共出手x个3分球,则3分球命中0.25x个,未投中0.75x个,根据“某篮球运动员去年共参加40场比赛,平均每场有12次3分球未投中”列出方程,解方程即可;
(2)根据概率的意义知某事件发生的概率,就是在大量重复试验的基础上事件发生的频率稳定到的某个值,由此加以理解即可.
解:(1)设该运动员共出手x个3分球,根据题意,得0.75x/40=12,解得x=640,
0.25x=0.25×640=160(个).
答:该运动员去年的比赛中共投中160个3分球.
(2)小亮的说法不正确.
3分球的命中率为0.25,是相对于40场比赛来说的,而在其中的一场比赛中,虽然该运动员3分球共出手20次,但是该运动员这场比赛中不一定投中了5个3分球.
【点评】此题考查了一元一次方程的应用及概率的意义. 解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程及正确理解概率的含义.
三、函数思想
函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.
例3 (改编)已知一纸箱中装有5个只有颜色不同的球,其中2个白球,3个红球.
(1)求从箱中随机取出一个白球的概率是多少?
(2)若往装有5个球的原纸箱中,再放入x个白球和y个红球,从箱中随机取出一个白球的概率是1/3,求y与x的函数解析式.
【分析】(1)从装有5个只有颜色不同的球的纸箱中摸出一个球,共有3+2=5(种)不同的结果,其中摸到白球的结果有2个,所以取出一个白球的概率是2/5;
(2)往装有5个球的原纸箱中,再放入x个白球和y个红球后,箱中共有球5+x+y(个),其中白球2+x(个),根据取出一个白球的概率是1/3列出关于x、y的方程,然后用含x的代数式表示y,即可得到y与x的函数解析式.
解:(1)取出一个白球的概率
(2)∵取出一个白球的概率
【点评】函数思想是一种重要的数学思想方法. 函数思想的实质是用联系和变化的观点研究数学对象,并抽象其数量特征,建立函数关系,运用函数的知识,使问题得到解决. 这种思想方法的特点在于揭示问题的数量关系的本质特征,重在对问题的变量进行动态研究.
四、数形结合思想
数学家华罗庚说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休.”“数”和“形”之间有着密切的联系,在一定条件下,可以相互转化,相互渗透. 根据研究问题的需要,把图形性质的问题转化为数量关系的问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,进而探求问题的解答的思想方法即数形结合的思想方法. 本章中,利用表格、频率分布折线图、图形面积等探求概率的过程,便体现了“数形结合的思想方法”.
例4 (2014·邵阳)有一个能自由转动的转盘如图1,盘面被分成8个大小与形状都相同的扇形,颜色分为黑白两种,将指针的位置固定,让转盘自由转动,当它停止后,指针指向白色扇形的概率是______.
【分析】只要先弄清黑色区域面积和整个图形的面积关系即可.
【解答】根据题意,这个转盘是将“圆平均分成了8份”而制得,所以圆分得的8块图形的面积相等,故黑色区域的面积是整个图形面积的一半.所以,转盘指向白色区域的可能性为1/2.
【点评】本题借助图形面积使问题获解,体现了数形结合的思想,同时本题解答时也渗透了“整体的数学思想”.
五、分类讨论思想
在解决一些稍复杂的概率问题时,如问题中含有多种可能的情况,往往需要考虑各种情况对应的结果数,这就需要进行分类讨论.
例5 (改编)已知关于x的不等式ax+3>0(其中a≠0).
(1)当a=-2时,求此不等式的解,并在数轴上表示此不等式的解集;
(2)小明准备了十张形状、大小完全相同的不透明卡片,上面分别写有整数-10、-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1,将这10张卡片写有整数的一面向下放在桌面上. 从中任意抽取一张,以卡片上的数作为不等式中的系数a,求使该不等式没有正整数解的概率.
【分析】(1)当a=-2时,不等式ax+3>0为-2x+3>0,解之得x<3/2;
(2)当a取-10、-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1时分别计算ax+3>0的解集,只有当a=-1和a=-2时,不等式有正整数解,取其他值时,不等式没有正整数解,所以该不等式没有正整数解的概率是8/10=4/5.
解:(1)x<3/2,在数轴上正确表示此不等式的解集如图2所示.
(2)用列举法
取a=-1,不等式ax+3>0的解为x<3,不等式有正整数解.
取a=-2,不等式ax+3>0的解为x<3/2,不等式有正整数解.
取a=-3,不等式ax+3>0的解为x<1,不等式没有正整数解.
取a=-4,不等式ax+3>0的解为x<3/4,不等式没有正整数解.
……
∴整数a取 -3至 -10中任意一个整数时,不等式没有正整数解.
∴P(不等式没有正整数解)=8/10=4/5.
评注:分类讨论思想是重要的数学思想方法,分类时要求正确选择分类的标准,做到不重复不遗漏,同时本题也渗透了“枚举思想”等思想方法.
高三数学中的思想方法 篇2
①基础知识的复习中要充分展现知识形成发展过程，揭示其中蕴涵的丰富的数学思想方法。如讨论直线和圆锥曲线的位置关系时的两种基本方法：一是把直线方程和圆锥曲线方程联立，讨论方程组解的情况;二是从几何图形上考虑直线和圆锥曲线交点的情况，利用数形结合的思想方法，将会使问题清晰明了。②注重知识在整体结构中的内在联系，揭示思想方法在知识互相联系、互相沟通中的纽带作用。
如函数、方程、不等式的关系，当函数值等于、大于或小于一常数时，分别可得方程，不等式，联想函数图象可提供方程，不等式的解的几何意义。运用转化、数形结合的思想，这三块知识可相互为用。
2、用数学思想方法指导解题练习，在问题解决中运用思想方法，提高学运用数学思想方法的意识。
浅议小学数学中的数学思想方法 篇3
[关键词]：数学思想方法 小学数学
数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。 而小学数学教材是数学教学的显性知识系统，看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的 心智活动过程。 而数学思想方法是数学教学的隐性知识系统。 因此，教师在小学数学教学中，要使“数学方法”与“数学思想”结合，于无形之中让学生在学习数学的时候了解到解决问题的思路以及由来，从而培养学生的解决问题以及数学能力，从而学会独立借用数学思想解决问题。正所谓“授之以鱼，不如授之于渔”，要让学生知道如何解决这道题的同时，更知道解决问题的思想，从而受到启发，能解决于此类似或相关甚至变换、延伸出来的问题，提升学生数学素质。
一、数形结合的思想方法
数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。
例如，我们常用画线段图的方法来解答应用题，这是用图形来代替数量关系的一种方法。我们又可以通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等，这些都体现了数形结合的思想。
二、集合的思想方法
把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法，继而把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。集合思想作为一种思想，在小学数学中就有所体现。在小学数学中，集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。
如用圆圈图（韦恩图）向学生直观的渗透集合概念。让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系，如长方形集合包含正方形集合，平行四边形集合包含长方形集合，四边形集合又包含平行四边行集合等。
三、化归思想
化归思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个 较简单的问题。应当指出，这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”。它具有不可逆转的单向性。
例： 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次可向前跳4 1/2 米，黄鼠狼每次可向前跳2 3/4米。它们每 秒种都只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔12 3/8米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另 一个跳了多少米？
这是一个实际问题，但通过分析知道，当狐狸（或黄鼠狼）第一次掉进陷阱时，它所跳过的距离即是它每 次所跳距离4 1/2（或2 3/4）米的整倍数，又是陷阱间隔12 3/8米的整倍数，也就是4 1/2和12 3/8的“ 最小公倍数”（或2 3/4和12 3/8的“最小公倍数”）。针对两种情况，再分别算出各跳了几次，确定谁先掉 入陷阱，问题就基本解决了。上面的思考过程，实质上是把一个实际问题通过分析转化、归结为一个求“最小公倍数”的问题，即把一个实际问题转化、归结为一个数学问题，这种化归思想正是数学能力的表现之一。
四、极限的思想方法
极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节，了解它有重要意义。
现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透。在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想；在循环小数这一部分内容中，1÷3=0.333…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的；在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。
那如何加强数学思想方法的渗透呢？
要在教学中时刻提醒数学思想的渗透并注重反复性。
作为教师首先 要更新观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识，把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时 纳入教学目的，把数学思想方法教学的要求融入备课环节。其次要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数 学思想方法渗透的各种因素，对于每一章每一节，都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透，渗透哪 些数学思想方法，怎么渗透，渗透到什么程度，应有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学要求。
分式中的数学思想及方法 篇4
一、类比思想
类比是指在不同的对象之间,根据它们某些方面的相似之处进行比较,通过联想和预测推出在其他方面也可以相似,从而去建立猜想和发现规律的方法. 通过类比可以发现新旧知识的异同点,利用已有知识来研究新知识. 分式这一章中,类比思想一直贯穿始终,分式的概念,分式的基本性质,分式的通分、约分、最简分式,分式加减、乘除、乘方运算及混合运算,都是直接通过与分数类比,通过实例,观察异同点,总结归纳出来的. 分式方程的解法及应用也可以类比一元一次方程.
二、转化思想
转化是一种重要的数学思想,应用非常广泛. 转化思想是将陌生的或不易解决的问题,设法通过某种手段转化为我们熟悉的或已经解决的或易于解决的问题,从而使原问题获得解决的一种思想方法. 这样不但有利于培养创新思维能力,同时也降低了对新知识理解的难度,一举多得.
本章很多地方都体现了转化思想. 如异分母分式加减法转化为同分母分式的加减法;分式除法转化为分式乘法;分式方程转化为整式方程.
1. 分式有无意义或分式值为零时的转化
例1 (1)(2014·广西贺州)分式2/x-1有意义,则x的取值范围是_______.
(2)(2014·毕节)若分式x2- 1/x - 1的值为零,则x的值为_______.
(3)(2013·钦州)当x=_______时,分式3/x-2无意义.
【分析】这三道题是将有关分式问题转化成方程的问题来解决. 第(1)题,如果分式有意义,则分母不为零,可先列方程x1=0,解得x=1,所以当x≠1时分式有意义;第(2)题当分式的值为0时,则分子等于0且分母不等于0,解得x=-1. 所以当x=-1时x2-1/x-1的值为0;第(3)题,当分式无意义时,则分母为0,即x-2=0,解得x=2.
2. 异分母分式加减时的转化
例2 (2014·广西玉林)先化简,再求值
【分析】异分母分式相加减时,通过通分转化成同分母分式再进行加减.
3. 分式的除法的转化
【分析】分式除以分式时,把除式的分子分母颠倒位置后,与被除式相乘,从而转化为分式的乘法.
【分析】解分式方程的基本思想是转化,即把分式方程的分母去掉,使分式方程转化成整式方程,就可用解整式方程的方法来求解,所以在学习过程中要树立“转化”的数学思想. 解分式方程一定要注意验根. 分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
解:去分母得这一步就是转化思想的具体应用),
去括号得
解得:x=2,
经检验x=2是增根,原方程无解.
三、数学方法和数学建模思想
本章的数学方法有分解因式、通分、约分、去分母等等. 在运用数学知识解决实际问题时,首先要构建一个简单的数学模型,然后通过数学模型去解决实际问题.分式方程就是一个重要的模型. 经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程,体会分式方程的建模思想,对培养利用方程模型解决实际问题具有重要意义.
例5 (2014·云南)“母亲节”前夕,某商店根据市场调查,用3 000元购进第一批盒装花,上市后很快售完,接着又用5 000元购进第二批这种盒装花. 已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍,且每盒花的进价比第一批的进价少5元 . 求第一批盒装花每盒的进价是多少元?
【分析】设第一批盒装花的进价是x元/盒,则第一批进的数量是3 000/x,第二批进的数量是5 000/x-5,再根据等量关系“第二批进的数量=第一批进的数量×2”可得方程.
解:设第一批盒装花的进价是x元/盒,则
经检验,x=30是原方程的根.
答:第一批盒装花每盒的进价是30元.
【点评】本题考查了分式方程的应用.注意,分式方程需要验根,这是易错的地方.
四、整体思想
整体思想就是对问题一一求解比较困难时,把注意力和着眼点放在要解决的问题的整体结构上,认真分析题意,从全局出发,通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理,使问题得到简洁巧妙解答的一种方法.
【分析】化简原式可以得到x2/x+1,要求x2/x+1的值,则要求出x的值,可现阶段又没有学过如何解这个方程,那怎么办呢?联想整体思想,看看条件,易得x2=x+1,即将x+1看作一个整体,代入求值即可.
例7 (2014·山东济宁)已知x+y=xy,求代数式1/x+1/y-(1-x)(1-y)的值.
【分析】考点:分式的化简求值. 首先将所求代数式展开化简,然后整体代入即可求值.
【点评】在思考数学问题时,不能只着眼于它的局部特征,而整体思想是把联系紧密的几个量作为一个整体来进行运算的数学思想,运用这种思想可以将复杂问题简单化,达到简捷解题、出奇制胜的效果. 一般地,运用整体思想的方法有整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑和整体构造等.
五、分类讨论思想
分类讨论思想是在对一个复杂问题出现的情况进行全面分析思考的基础上,将其转化为几个简单的子问题,进而在既不重复也不遗漏的情况下处理和解决问题的思想方法.
例8若分式2-x/1+x的值为负数,试确定x的取值范围.3
【分析】分式2-x/1+x的值为负数,即分式的分子2-x与分母1+x的符号相反.
【分析】对于不确定因素的问题,我们需要分类进行讨论,本题中不能直接确定分子分母的符号,我们就应该分类讨论,分类讨论时要不重复也不遗漏.
数学思想方法是形成数学能力、数学意识的桥梁,是灵活运用数学知识、技能的关键. 只有掌握数学思想方法,才能真正领悟到数学的真谛,解题才能得心应手.
跟踪练习
1. (2014·江苏泰州)已知a2+3ab+b2=0(a≠0,b≠0),则代数式b/a+a/b的值等于_____.
2. (2014·四川凉山)先化简,再求值:
3. (2014·新疆)解分式方程
参考答案
1. -3.
数学思想方法在数学教学中的应用 篇5
数学思想方法在数学教学中的应用
姓名：高
媛 单位：四群中学
数学思想方法在数学教学中的应用
数学做为一门基础性学科，在日常生活和各个领域都有着较为广泛地应用。而数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，它贯穿于我们的整个数学教学过程中。在教学工作中数学思想方法不仅是对课本知识简单传授，更要注重对学生数学思想方法的渗透和培养，把数学思想方法和数学知识、技能综合起来，不断提高学生的思维能力、解题能力，从而解决生活中的实际问题。下面就几种常用的数学思维方法及其在数学教学中的应用，谈一些看法和体会。
一、符号与变元思想方法
用符号化语言和在其中引进变元，它能够使数学研究的对象更加准确、具体、形象简明，更易于揭示对象的本质。一套形式化的数学语言极大地简化加速思维过程，例如：将文字化的数学题用代数式表示，就会是题又繁琐变得一目了然；有如：平方差公式公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2就是采用符号化语方来表述，当a、b代的任意数、单项式、多项式等代数式都成立，这样的字母表示“变元”，初中教材中的公式、法则、运算律等绝大多数都是用含有变元及符号组合，来表示某一般规律和规则的，这种用符号表达的过程，反映了思维的概括性和简洁
二、数形结合思想方法
“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用。又如如用线段图解应用题的思想，有关解直角三角形的知识的题型，数形结合可使思维更快。
三、化归思想方法
在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。在我们的教学和学习中也经常用到化归思想，如把有理数的减法运算转化为加法运算，除法运算转化为乘法运算，最后转化为算术数的运算；把一元一次方程转化为最简方程；把异分母转化为同分母；将多元方程转化为一元方程；将高次方程化为低次方程；将分式方程化为整式方程；将无理方程化为有理方程；把求 负数立方根问题转化为求正数立方根的问题；把多边形转化为三角形或特殊四边形等等。例如一元二次的根与系数关系的应用就是化未知为已知的转化思想的应用。
四、.分类讨论思想方法
当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。数学分类须满足两点要求：①相称性，即保证分类对象既不重复又不遗漏。②同一性，即每次分类必须保持同一的分类标准。（注意同一数学对象，也可有不同的分类标准）在教材中有许多处体现分类思想方法如在概念的形成中有：有理数的概念、绝对值的概念等；在几何证明中有：已知同园中两条平行弦，求两线之间的距离；圆周角定理的证明、弦切角定理的证明等；在运算的法则中有：一元一次不等式（组）的解法、一元二次方程根的判别等，在图形（像）的性质中有：点、直线、圆之间的位置关系、函数图像的性质等，这些命题都要分类。可见，分类思想在初中数学中占有重要的地位。分类思想对培养学生思维的条理性、缜密性及提高学生分面、周密地分析问题和解决问题能力都有着重要的作用。
五、函数与方程思想方法
方程思想是指运用适当的数学语言，从数学问题的数量关系出发，将此问题中的条件转化为各种数学模型（可以是方程，可以式不等式，或者是方程和不等式的混合），然后运用方程或不等式的解答方式求解。而函数思想是指构造函数的性质去处理问题，整理出函数解析式和利用函数的特点解决。同时，函数的研究不能离开方程，函数和方程可以使问题变得简洁、清晰，可以化繁为简，变难为易。例如对于函数y=f(x)(其中f(x)为x的一元一次或一元二次式)，当y=0时，就转变为方程f(x=0)，也可以把函数式f(x)看做二元方程y-f(x)=0。利用函数方法解答方程，运用方程公式解答函数，方程与函数的思想在数学解题中有着广泛的应用。
六、整体变换思想方法
整式乘除中的数学思想方法 篇6
一、化归思想
例1 已知ax=2,ay=3,az=6,求a3x+2y-z的值。
分析 求解本题的关键在于寻找求值式与已知的关系,可用下面两种解法。
解法一 由ax=2,得(ax)3=23,即a3x=8。
由ay=3,得(ay)2=32,即a2y=9。
又az=6,∴ a3x•a2y÷az=8×9÷6=12,即a3x+2y-z=12。
解法二:a3x+2y-z=a3x•a2y÷az=(ax)3•(ay)2÷az=22×32÷6=12。
二、整体思想
例2 已知10a=10,10b=6,求102a+3b的值。
分析 由于10a=10,10b=6,我们不便将a,b分别求出,但从问题102a+3b入手,我们不难发现102a+3b=(10a)2(10b)3,利用整体代入,将问题解决。
解102a+3b=102a•103b=(10a)2(10b)3=102×63=100×216=21600。
三、分类讨论思想
如果问题中包含多种情况,必须按可能出现的所有情况来分别讨论,得出相应的答案,这种解决问题的思想方法叫做分类思想。
例3 已知2a|m-1|b3与-3a2b|n|的和是单项式,求m、n的值。
分析 根据两个单项式的和是单项式可知,这两个单项式是同类项,根据同类项的特征可求m、n的值。
解 |m-1|=2,|n|=3,所以m-1=2或m-1=-2,n=3或n=-3,所以m=3或m=-1,n=3或n=-3,可得:m=3,n=3或m=3,n=-3或m=-1,n=3或m=-1,n=-3。
四、字母代数思想
字母代数思想即用字母代替数,在解决一些较复杂的数的计算中,如果能恰当地利用字母去代替数值,从而将数字计算转化为数学式子的化简,可使计算明快简捷。
例4 已知M=2008×2009-1,N=20082-2008×2009+20092,试比较M、N的大小。
分析 题目中数字较大,为了运算简便,可设2008=a。
解 设2008=a,那么M=a(a+1)-1=a2+a-1,
N=a2-a(a+1)+(a+1)2=a2+a+1。
因为M-N=(a2+a-1)-(a2+a+1)=-2,所以M 五、构造思想 例5 计算11×101×10001。 分析 若直接相乘,计算量很大,但仔细观察可知:11=10+1,101=100+1,10001=10000+1,所以在原式中只要乘以(10-1),即可连续运用平方差公式计算。 解 原式=(10-1)(10+1)(100+1)(10000+1) =(102-1)(102+1)(104+1)=(104-1)(104+1) =(108-1)=×99999999=11111111。 六、数形结合思想 数形结合思想,就是将数(量)与形(图)结合起来解决问题的一种数学思想方法。利用数形结合思想解决有关问题可化难为易,直观明了。 例6 如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中的空白部分面积的不同表示方法,写出一个关于a,b的恒等式?摇?摇?摇?摇 ?摇。 分析 根据图中的面积写一个等式,需要用两种方法表示空白正方形的面积。首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成的,所以空白正方形的面积等于大正方形的面积剪去四个矩形的面积,即(a+b)2-4ab,空白正方形的面积也等于它的边长的平方,即(a-b)2,根据面积相等有(a+b)2-4ab=(a-b)2。实际上该题是利用正方形的面积验证平方式(a+b)2与(a-b)2之间的关系。 解 填(a+b)2-4ab=(a-b)2或(a-b)2+4ab=(a+b)2或(a+b)2-(a-b)2=4ab。 七、逆向思维的思想方法 例7 已知a=x+10,b=x+9,c=x+11,求代数式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值。 分析 本题是一道求值问题,如果将a,b,c的值直接代入计算,则非常麻烦,观察已知条件及所求式子,联想所学习的数学知识,可以通过逆用完全平方式解决。 解 由已知,得a-b=1,b-c=-2,c-a=1, 所以a2+b2+c2-ab-bc-ac=(a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2) =[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]。 数学思想方法已成为中学数学教学内容的重要组成部分.教师在进行中学数学教学的过程中, 必须做到让学生在知识学习的过程中, 渗透和体验数学思想方法, 并且要充分把握住讲课的过程中的概念的形成、结论的推导、方法的思考、规律的揭示以及问题的发现这些环节, 对学生进行思维训练, 培养学生的数学思想方法的形成. 由于圆的教学的抽象性以及现实生活中的形象性的结合, 再加之初中教材中对于圆这一章的处理不够精妙, 使得学生感觉知识点繁杂, 学习过程中往往感觉比较吃力.笔者就这一章节中所体现出的三种数学思想方法进行一一梳理, 并希望学生对该章节的学习形成系统, 真正掌握到数学的精髓之处. 1.分类讨论的数学思想方法 由于数学的抽象性以及概括性, 通常其涉及的问题和对象都比较多元化, 因此很难用一种大而化之的方法来解决, 必须采取分情况一一进行讨论, 而这种方法就是数学中常常用到的分类讨论思想. 初三教材中的圆, 基本上在每个小节都牵涉和体现到了分类讨论思想的运用.比如, 在研究点与圆的位置关系时, 要分圆外、圆上、圆内三种情况;研究直线与圆的位置关系时, 要分相离、相切、相交三种情况;在解决圆与圆的相切问题时, 要分清楚是外切还是内切;在计算弧对应的圆周角时, 要弄明白这段弧是优弧还是劣弧.另外在研究圆周角定理时以及解决题目中常出现的动点以及动弦的问题时, 也涉及了分类讨论思想的运用.而这种思想对于普遍的初中学生来说, 掌握是比较困难的, 通常他们在运用这种思想的时候, 经常会讨论不周到、不全面. 例1 半径为5 cm的圆O中, 弦AB//弦CD.又AB=6 cm, CD=8 cm, 则AB和CD两弦的距离为. 不少学生只填写7 cm, 而漏掉另一答案1 cm.这是因为他们在考虑问题时, 只想到了两弦分别在圆心的两侧, 没考虑到另一种情形:两弦在圆心的同侧. 因此, 针对该种情况, 教师要对学生加强这方面的强化训练, 同时在日常的教学活动中, 就应该要从各方面来渗透分类讨论的数学思想. 2.数形结合的数学思想方法 数学以现实世界的数学关系与空间形式作为其研究的对象, 而形与数是互相联系的, 也是可以相互转化的.把问题的数量关系转化成图形的性质问题, 或者把图形的性质问题转化为数量的关系问题, 是数学活动中的一种十分重要的思维策略, 这种处理问题的思想, 就是数形结合的基本思想方法. 在初三的圆这一章的教学中, 不管是教材的举例还是教材课后的习题中, 都不乏这种思想方法.比如说教材在引进圆的概念的时候, 就采取了数与形相结合的思想;在研究直线与圆的关系时, 也把形转变成数来进行进一步的解决;另外在课后题目的设置中, 中点弦定理的证明也正是进一步深化了该数学思想方法的运用. 3.方程和函数的数学思想方法 方程的思想和函数的思想是处理常量数学与变量数学的重要思想, 在解决一般数学问题中具有重要的方法论意义.在中学数学中, 方程与函数是极为重要的内容, 对各类方程和基本初等函数都作了较为系统的研究.对于一个较为复杂的问题, 常常只需要寻求等量关系, 列出一个或几个方程或函数关系式, 就能很好地得到解决. 在初中的圆的教学过程中, 圆所涉及的数量关系比较多, 同时它们之间的转化关系也比较多, 另外还可以与三角形的相关知识进行串联, 因此在解决圆的问题时, 方程和函数的数学思想方法的运用是最为广泛的.教师在培养学生的方程和函数的数学思想方法的形成过程中就应该给学生灌输“一方程 (等式) 对应一未知元”的终极数学思想, 同时引导学生利用相关已知条件来建构相关方程或等式. 例2 (2011年无锡) 如图1, 已知O (0, 0) , A (4, 0) , B (4, 3) .动点P从O点出发, 以每秒3个单位的速度, 沿△OAB的边OA, AB, BO做匀速运动;动直线l从AB位置出发, 以每秒1个单位的速度向x轴负方向做匀速平移运动.若它们同时出发, 运动的时间为t秒, 当点P运动到O时, 它们都停止运动. (1) 当P在线段OA上运动时, 求直线l与以点P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围. (2) 当P在线段AB上运动时, 设直线l分别与OA, OB交于C, D, 试问:四边形CPBD是否可能为菱形?若能, 求出此时t的值;若不能, 请说明理由, 并说明如何改变直线l的出发时间, 使得四边形CPBD会是菱形. 解析 (1) 根据点P与直线l的距离d<1分为点P在直线l的左边和右边, 分别表示距离, 列不等式组求范围. (2) 四边形CPBD不可能为菱形.依题意可得AC=t, OC=4-t, PA=3t-4, PB=7-3t.由CD//AB, 利用相似比表示CD, 由菱形的性质得CD=PB可求t的值.又当四边形CPBD为菱形时, PC=PB=7-3t, 把t代入PA2+AC2, PC2中, 看结果是否相等, 如果结果不相等, 就不能构成菱形.设直线l比P点迟a秒出发, 则AC=t-a, OC=4-t+a, 再利用平行线表示CD, 根据CD=PB, PC//OB, 得相似比, 分别表示t, 列方程求a即可. 本题考查直线与圆的位置关系, 运用相似比、边相等等关系, 用代数的方法, 列方程求解. 4.化归转换的数学思想方法 化归, 即转化与归结的意思.把有待解决或者未解决的问题, 通过转化过程, 归结为所熟悉的规范性问题或者已解决的问题中去, 从而求得问题解决的思想.这种思想, 是初中阶段接触的最为广泛的一种数学思想, 在圆这一节的教学过程中, 通常要求学生在解决相关问题时将未知转化为已知, 将题目中不确定的关系转化为确定的关系, 将一般情况转化为特殊情况来处理.因此, 教师要对化归转换的思想加以重视. 在圆的教学中, 相似变换、射影变换以及等积变换都是常用的变换.另外, 这一章节还要求学生能掌握将不规则图形变换成规则图形来求解相关问题的能力, 比如把扇形转换成三角形与一弓形的组合图形, 进而可以利用相关公式来求取弓形的面积或者其他相关因素. 例3 如图2, ⊙A, ⊙B, ⊙C两两不相交, 且半径都为0.5 cm, 则图中阴影部分的面积之和为 ( ) . 解析 图中阴影部分为三个扇形, 所以只要求出扇形的面积即可.但求扇形的面积必须知道圆心角的度数, 如何求出这三个扇形的圆心角的度数呢?显然是比较困难的, 因为这是一个普通的三角形.我们观察到三个圆的半径相同, 于是考虑将三个圆心角拼在一起, 这样就可以利用三角形的内角和定理来解决了.三个扇形圆心角的度数之和为三角形的内角和, 即180°, 所以阴影部分的面积之和为 数学思想方法是数学的灵魂.因此, 教师在日常的数学教学中要引导学生细心观察给出的图形, 探寻进行转化的途径和方法是解决此类问题的关键. 5.对称转换的数学思想方法 对称, 是一种生活中常见的现象, 并且人类的审美观往往对于对称的图形产生一种平衡以及和谐的感觉.而对称转换, 在圆这一章的教学中运用得淋漓尽致.教材在推导定理以及结论的时候, 充分地体现到了这点.比如在推导垂径定理的时候, 巧妙地利用了圆的对称性这一性质, 推导出了垂径定理;利用圆的旋转不变性, 很快便推导出弧、弦、圆心角之间的关系式. 以垂径定理与圆心角与弧的关系定理为例, 在这两个定理的叙述过程中, 我们不禁质疑:把一张圆形的纸片沿着任意一条直径对折, 直径两侧的两个半圆为什么能够互相重合?为什么在同圆中, 点A与点A′重合, 点B与点B′重合, 弧AB就能与弧A′B′重合? 不妨选择下面的定理进行讨论: 定理 在同圆中, 相等的圆心角所对的弧相等. 分析 我们从课本86页倒数第二行开始:我们把∠AOB连同弧AB绕圆心O旋转, 所以点A与点A′重合, 点B与点B′重合, 这样弧AB与弧A′B′必重合. 假若不然, 不妨设此时弧AB内存在一点M, 它不能与弧A′B′内任意一点重合, 即M不在弧A′B′上 (显然M在∠AOB或∠A′O′B′内) . 由于M在弧AB上, 根据圆的集合定义第 (1) 条, M与圆心O的距离一定等于定长r (圆半径长r) , 再根据圆的集合定义第 (2) 条 (在∠A′O′B′内) 与定点O的距离等于定长r的点一定在弧A′B′上.这就与假设点M不在弧A′B′上矛盾. 由反证法, 可知点M必在弧A′B′上, 于是弧AB与弧A′B′必重合. 从上述分析过程可以发现, 对称问题的根源在于圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 总而言之, 应深入挖掘教材中圆的数学思想, 用数学思想指导课堂教学, 让学生在知识学习的过程中, 渗透和体验数学思想方法, 通过小结复习讲座, 提炼和概括数学思想方法, 通过相关问题的解决, 掌握和深化数学思想方法, 进而引导学生在学数学、用数学的过程中理解和掌握数学思想方法, 并促进其思维能力的发展. 参考文献 [1]周伟扬.重视数学思想在教学中的渗透——以“圆”的教学为例.教学月刊, 2010 (9) . [2]沈顺良.几何复习中渗透数学思想的凸现——圆的有关位置关系教学案例分析.黑龙江教育, 2010 (12) . 关键词：小学数学,思想方法,渗透教学 新课程标准充分强调, 在小学数学教学中, 要有意识地培养学生一些基本的数学思想方法, 从而加深对数学概念、公式、定理的理解, 这是素质教育的关键部分, 也是提高学生数学学习能力的重要途径。 一、小学数学教学的思想方法 在小学数学教学中, 有哪些思想方法值得推广运用呢?笔者从自己的教学和众多教师的经验中总结了以下几点: 1. 点线面的思想方法。 点线面的思想方法就是从一个知识点出发, 用线条或面积的形式来诠释这个知识点, 同时将知识点表达得更直观、更简洁, 让理解能力还不够强的小学生更容易掌握这个知识点。比如出题如下: 春天到了, 学校里组织植树, 一班植树25棵, 二班植树比一班多13棵, 那么, 他们一共植树多少棵呢?对小学生来说, 就要先找到知识的关键点, 画出线条来表示数量关系, 这样他们就能总结出, 多出的话就加上去, 少了的话, 就减下去的一种思维模式, 答案也更准确快捷。 2. 化解归纳的思想方法。 化解归纳是基本而典型的数学思想。化解就是化生为熟、化难为易、化繁为简、化曲为直等, 归纳就是从一些简单、个别、特殊的情况中, 分析总结出一般的数学规律或性质。化解归纳是数学教学中最常用的一种思想方法。比如, 异分母分楼比较大小时, 要通过“通分”化归成同分母分数再比较大小;再比如, 在教学《三角形内角和》时, 先由直角三角形、等边三角形直观地算出其内角和度数, 接下来再进行一系列验证, 从而推导出一般三角形的内角和, 最后归纳得出, 所有三角形的内角和为180度。 3. 圈里圈外的思想方法。 从幼儿的早期教育开始, 教师就会让幼儿学会分门别类, 把一组对象放在一起进行比较, 或者讨论。就像是画一个圈, 把这一类型的东西放进圈里, 其它东西放在圈外, 然后有针对性地进行研究。小学数学教学更是需要这种思想方法。在小学数学教学中, 集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。用圆圈图 (韦恩图) 向学生直观地渗透集合概念, 让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性, 可以看作一个整体, 这个整体就是一个集合。利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系, 如长方形集合包含正方形集合、平行四边形集合包含长方形集合、四边形集合又包含平行四边行集合等。 4. 有限中无限的思想方法。 在小学数学教学中, 已经开始渗透许多无限的思想方法, 比如, 自然数是数不完的, 是无限多;奇数、偶数也是有无限多个;同样, 100÷30=3.3333……是一个循环小数, 也是无限的;而画一条直线, 也是可以无限延长的。这一切, 都体现了无限的思想方法, 通过这种无限的体现, 可以引导学生从近似中认识精确、从量变中认识质变, 这种理解对学生而言具有特别重要的意义。 除了这些思想方法, 小学数学教学中还常用到对应、函数、转化、假设等思想方法, 在教学中渗透和运用这些数学思想方法, 不但能增加学习的乐趣, 激发学生学习的热情和主动性, 还能启发他们的思维, 开拓数学学习的智慧。那么, 要如何做才能在教学中渗透和运用这些数学思想方法呢?不妨和笔者一起来探讨。 二、小学数学教学中思想方法的渗透 在笔者小学数学教学的几年时间里, 对于数学思想方法的渗透和落实主要分为三部分:课前, 课中, 课后。课前挖掘, 课中运用, 课后强化。笔者认为, 这三者密不可分, 缺一不可。 1. 课前深入挖掘数学资源。 作为教师, 在使用课本教材时, 会有意识地制定一个教学目标, 然后再从教学目标出发, 设计教学的过程和步骤, 从而有效地落实这些数学的思想方法。这就要求教师在课前要有意识地对教材进行深挖掘、细分析, 找到隐性的教学资源, 用化解归纳、无限等数学思想方法进行教学渗透, 从而让学生更具体地感知知识点, 进一步加强对这些知识点的理解, 从而自觉地进行分类, 让数学思想方法顺其自然地一一体现。 2. 课堂运用数学思想方法。 课前进行了深挖掘, 在课堂上, 教师就会引导学生, 结合一些具体的数学知识点, 发现问题、提出问题、分析问题、解决问题, 这一过程就是数学思想方法的渗透和落实。学生在这种潜移默化中理解、学习、运用数学思想, 逐步形成有效的数学思维方式, 受益终身。 渗透和运用数学思想方法的形式有很多种, 比如情境模拟, 小刚从学校到图书城, 然后回到家, 家、学校、图书城就形成一个三角形, 要比较哪边的距离最远, 哪边的距离最近, 就可以按比例画出相应的图形, 渗透了点线面的思想方法, 然后再进行分析, 这样就让学生经历了“观察——操作——猜想——验证”的教学过程, 渗透了化解归纳的思想方法。 3. 课后反思、强化数学思想方法。 除了在课堂上渗透运用外, 课后还要引导学生进行反思和理解, 为什么会用这种的思想方法?其他思想方法是不是更有效?这样不断进行训练, 才能让学生更清晰地理解这些思想方法, 进一步强化这些思想方法, 完成教学上的思想方法渗透和积累, 从而让学生能更加熟练地进行运用。思想方法的运用不是一次性的, 而要反复训练, 长期积累, 所以课后的引导和学习尤其重要, 教学中要对此进行一些抽查和实践, 让学生将这些思想方法进一步吸收消化, 为以后的学习打下坚实的基础。 关键词：初中数学,数学方法,数学思想 《数学课程标准》明确指出:“教师应激发学生的学习积极性, 向学生提供充分从事数学活动的机会, 帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法, 获得广泛的数学活动经验”。这就要求我们要把数学思想和数学方法作为一个重要的基础知识来学习, 作为一个优秀的数学教师, 应该在数学教学中重视数学思想和方法的渗透, 以下笔者就谈谈, 对数学方法和数学思想的理解和认识。 一、何为数学方法和数学思想 所谓数学方法就是解决数学问题的基本步骤, 它是数学思想的具体反映。在教学的初步阶段, 掌握数学方法至关重要。目前初中阶段, 主要数学思想方法有:数形结合思想、分类讨论思想、整体思想、化归思想、转化思想、归纳思想、类比思想、函数思想、辩证思想、方程与函数思想方法等。所谓数学思想, 就是对数学知识和方法的本质认识, 是对数学规律的理性认识。我们在解决数学问题所使用的方法中, 往往都体现着数学思想。数学思想是数学教学的内核和重中之重, 而数学方法则是数学教学的更为具体的内容。如果说数学思想是数学的灵魂, 那么数学方法则是数学的行为。学生在不断运用数学方法解决数学问题的过程之中所积累的经验, 会逐步地抽象和升级为数学思想。在初中数学教材中集中了大量的优秀例题和习题, 它们所体现的数学知识和数学方法固然重要, 但其蕴涵的数学思想却更显重要, 作为一个执教者, 在具体的数学教学中要加强对学生进行数学思想和数学方法的训练, 要善于挖掘例题、习题的潜在功能。 二、熟悉课程标准, 适时渗透数学方法与数学思想 《数学课程标准》是数学教学之根本, 课标中明确对数学方法和思想的教学分为三个层次, 即“了解”、“理解”和“会应用”。三个层次由低到高, 由简单到复杂。课标对各种数学思想和方法都提出了具体的要求层次, 如要求学生“了解”数学思想有:数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想和函数的思想等。要求“理解”和“会应用”的方法有:待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法、图像法等。在教学中, 要认真把握好“了解”、“理解”、“会应用”这三个层次, 不能随意设置难度, 否则, 学生初次接触就会感到数学思想、方法抽象难懂, 高深莫测, 从而导致丧失学习的信心。在初中数学教学中, 许多数学思想和方法是一致的, 两者之间很难分割。它们既相辅相成, 又相互蕴含。只是方法较具体, 而思想则抽象。因此, 在初中数学教学中, 加强学生对数学方法的理解和应用, 把握好渗透的契机, 重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程, 知识的形成、发展过程, 解决问题和规律的概括过程, 使学生在这些过程中展开思维, 从而发展他们的科学精神和创新意识, 形成获取、发展新知识, 运用新知识解决问题, 以致达到数学思想的境界, 使得数学方法和思想相互渗透。如初中数学七年级上册课本《有理数》这一章, 在数轴教学之后, 就引出了“在数轴上表示的两个数, 右边的数总比左边的数大”, “正数都大于0, 负数都小于0, 正数大于一切负数”。而两个负数比较大小的全过程单独地放在绝对值教学之后解决。教师在教学中应把握住这个逐级渗透的原则, 既使这一章节的重点突出, 难点分散, 又向学生渗透了数形结合的思想, 学生易于接受。 三、适时提炼和概况, 将数学方法与思想完美结合 在数学教学的过程中, 提炼和概况非常重要, 它可以引导学生对知识进行总结归纳, 帮助学生梳理知识。在数学教材中数学思想、方法分散在各个不同部分, 而同一问题又可以用不同的数学思想、方法来解决。因此教学时教师要有意识地培养学生自我提炼、揣摩概括数学思想方法的能力, 这样才能把数学思想、方法的教学落在实处, 才能让数学方法和思想完美结合。如讲“利用待定系数法确定二次函数解析式”时, 可启发学生去发现确定解析式的关键是求出各项系数, 可把他们看成三个“未知量”, 告诉学生利用方程思想来解决, 那学生就会自觉的去找三个等量关系建立方程组。在这里如果单讲解题步骤, 就会显得呆板、僵硬, 学生只知其然, 不知其所以然。与此同时, 还要注意渗透其他与方程思想有密切关系的数学思想, 诸如换元、消元、降次、函数、化归、整体、分类等思想, 这样可起到拨亮一盏灯, 照亮一大片的作用。 总之在初中数学教学的过程中, 要熟悉课程标准, 把握数学方法和数学思想的三个层次, 要善于捕捉时机, 善于从具体的问题中提炼出具有普遍指导作用的数学思想方法, 不断向学生渗透、强化, 从而上升为数学思想, 建构全面完整的数学知识体系, 全面提升数学素养, 最终有效应用数学知识, 形成数学能力。 参考文献 [1]初中数学课程标准. [2]罗连慧.《初中数学教学创新情境探索》, 《中国科教创新导刊》, 2009 (9) . [3]张自力.《初中数学教学中如何渗透数学思想和数学方法》, 《理科爱好者·教育教学版》2010.2. 一、数形结合,优化解题 数形结合是数学解题中至关重要的思想方法,是数学规律性与灵活性的有机统一。它巧妙地将抽象枯燥的数学语言与形象直观的图象结合起来,通过“由数思形”、“由形想数”,使代数问题几何化,几何问题代数化,从而有效解题。 例1:已知直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围是(A) A.(-2,2)B.[-2,2] C.(-2,1)D.(-1,2) 解析:函数f(x)=x3-3x的导数为f'(x)=x2-3x。 令f'(x)≥0,解得x≤-1或x≥1; 令f'(x)≤0,解得-1≤x≤1,则函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,在(-∞,-1)上单调递增。在(-1,1)上单调递增。由此画出函数f(x)的图象,如图1所示。从图中可以看出:-2﹤a<2,故选项A正确。 【点评】许多函数问题,存在一定的几何背景。在运用数形结合思想解题时,要注意指导学生分析数学问题的几何意义,通过图形的属性及数量关系进行“数”与“形”的信息转换,从而启发思维,巧解难题。 二、分类讨论,化整为零 在对某些数学问题进行求解时,有时会遇到多个不同的情况,此时,需要对这些情况进行分类讨论,逐一思考、分析、求解,获取阶段性结果,然后综合归纳所有分析结果,得出最终的解答。 例2:设函数f(x)=x-2msinx+(2m-1)sinxcosx(m为实数)在(0,π)上为增函数,则m的取值范围为。 解析:∵f(x)在区间(0,π)上为增函数, 不等式(t-1)[(2m-1)t+(m-1)]>0在(-1,1)上恒成立。 【点评】本例题完全体现了分类讨论的原则。在运用分类讨论思想解数学题时,教师要注意指导学生严格遵循分类讨论的步骤和原则,做到不重复、不遗漏,使分类过程完整清晰。 三、等价转化,灵活变通 等价转化主要是把陌生、抽象、复杂的问题转化成熟悉、具体、简单的问题,从而寻找出解题的突破口,使问题快速获解。有效指导学生巧用等价转化思想解题,有助于培养学生思维的灵活性和变通性,增强学生的应变能力。 例3:设x,y∈R,且3x2+2y2=6x,求x2+y2的取值范围。 分析:设t=x2+y2,代入x2+2y2=6x中消去y,这样问题就转化为关于x的方程有实数解求参数t范围的问题,此时需要考虑x范围这一隐含条件。 解:∵3x2+2y2=6x∴6x-3x2=2y2≥0,得0≤x≤2 设t=x2+y2,则y2=t-x2,代入x2+2y2=6x中消去y,可得:x2-6x+2t=0 由0≤x≤2可得t∈[0,4]。故x2+y2的取值范围是:0≤x2+y2≤4 分析:解决此题需要对函数P的表达式进行等价变换. 【点评】当一个数学问题在原来的结构体系中,若直接求解存在一定难度时,可以通过适当的数学变换,使其等价映射到另一结构体系中去,从而使问题迎刃而解。 关键词：大学数学教学;数学思想;研究 数学是提高学生逻辑思维的学科，高等教育中的数学教育，同样具有这样的功能，并且对面临就业压力以及综合技能需要提高的大学生来说，学习数学更加重要。近年来，我国数学领域的相关学者对数学思想与大学数学教育的有机结合进行研究，并取得了一定的成绩。 一、数学思想的内涵和特征 研究数学思想的内涵和特点，对于我国大学数学教育的发展意义重大，下面进行具体分析：部分学者认为，数学思想内涵就是数学精神以及观念等，如果从广义上来看，还有数学家、数学史以及数学中的人文成分以及与社会的联系。数学学科的这些特性，决定了数学思想具有广泛性、抽象性、严密性等重要特征。 数学是一门工具学科，是学生认识世界以及改变世界的工具，可以说它的作用非常巨大，除了工具功能之外，数学还具有特有的思维方式以及表形方法，它与文学以及艺术等门类一样，也具有非常鲜明的思想价值，具体表现为，它能够不断训练人的思维，同时还对人们的世界观、道德等产生积极作用。数学是人类智慧相互作用的产物，是人类发展过程中的财富。 数学具有超越具体科学和普遍适用的特征，具有公共基础的地位，数学思想具有特殊性。从语言的角度来看，数学实际上又是一门特殊的语言，人们使用这种语言对各种大自然中存在的数学问题进行解释和研究，而使用这种语言的意识，就可以被称为数学思想，在高等数学教育中应用数学思想，对于提高学生应用数学的能力有非常积极的作用。 二、数学思想方法在高等数学教育中的作用 1.加强数学思想方法教学，有利于学生学习数学知识 高等教育的深奥之处在于能够将专业的知识应用于实际生活中，同时能够挖掘知识的深层含义，并反映出该专业的思想方法，在高等数学教学中也是如此。数学思想简而言之就是将数学知识运用于实际的想法，是揭示数学概念、原理以及规律的途径，因此在高等数学教育中合理应用数学思想，是现阶段数学高等教育中不可缺少的部分。在以往的数学教学中，教师往往过于重视理论知识的传授，对于数学内部深层含义的挖掘不够，学生根本无法从数学课堂上真正学习到运用数学知识的方法。所以说在高等数学教学中，强化对数学思想方法的教学，对于学生学习数学知识、运用知识都有积极的作用。 2.加强数学思想方法教学，有利于培养学生的数学能力 高等数学要求掌握的数学能力主要包括运算能力、空间想象能力、思维能力以及运用数学知识分析题和解决问题的能力。在具备相应的数学知识的前提下，决定一个人数学能力的高低的主要因素是数学方法的掌握程度。数学方法是数学的精髓，通过讲解数学方法，使学生在数学活动中积累感性认识，随着感性认识的积累达到一定的程度，学生的认识便会发生质的飞跃，形成对一类数学活动的理性认识，即有关的数学思想。随着学生认识能力的不断提高，学生的数学能力也逐渐形成。因此，加强数学方法教学，有利于培养学生的数学能力。 3.加强数学思想方法教学，有利于提高学生素质 我国大力倡导素质教育，这就要求在数学、语文、英语这样的学科中，也应该深入挖掘其素质教育的内涵，将理论知识应用于实践，提高学生理论结合实践的能力。数学包含很多定理、公式，教师如果在课堂上只是传授这些知识，那么极易导致课堂气氛压抑，学生虽然知道了这些定理和公式，但是无法将其应用在实际的生活中，那么这样教学毫无意义。数学学科原本就是抽象的，是表现世界空间形式以及数量关系的一门学科，这是人们认识世界以及改造世界应该具备的基本能力。在高等数学教育中融入数学思想，就是使学生能够学以致用，学有所得，实现素质的全面提高。 参考文献： [1]商七一.从学科发展看数学思想方法的几次重大转变[J].湖北财经高等专科学校学报，2002（5）. [2]王文省，陈德新，周金锋.谈数学思想方法的应用[J].高等理科教育，2003（1）. [3]陆诗荣.浅谈数学思想方法的教学[J].牡丹江师范学院学报（自然科学版），2005（1）. [4]王文省，王树泽，郭文彬.数学思想方法及其功能[J].天津市教科院学报，2006（2）. 一、分类思想 分类是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点, 然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法. 例1将图1所示的几何体进行分类, 并说明理由. 【分析】几何体的分类不是唯一的, 我们首先观察各个几何体, 努力发现其共同点, 然后可根据其共同点进行适当的分类.若按柱体、锥体、球体分: (1) (3) (4) (5) 是柱体; (2) (7) (8) 为锥体; (6) 是球体.若按几何体表面有无曲面分: (1) (2) (4) (5) (8) 都是平面围成的几何体; (3) (6) (7) 都是带曲面的几何体;若按有没有顶点分: (1) (2) (4) (5) (7) (8) 都是有顶点的几何体; (3) (6) 是无顶点的几何体. 【点评】分类的原则是“不重不漏”.“不重”也就是说同一个几何体不能隶属于统一分类标准下并列的两个种类, “不漏”就是说题中所列举的所有图形都要能属于某个种类. 二、转化思想 所谓“转化”就是将要解决的问题归结为另一个较易问题或已经解决的问题.常见的转化有:未知向已知转化, 复杂问题向简单问题转化, 空间向平面转化, 多元向一元转化等, 都是转化思想的体现. 例2已知O为圆锥的顶点, M为圆锥底面上一点, 点P在OM上一只蜗牛从P点出发, 绕圆锥侧面爬行, 回到点P时所爬过的最短路线的痕迹如图2所示.若沿OM将圆锥侧面剪开并展开, 所得侧面展开图是 () . 【分析】蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段, 因此选项A和B错误;又因为蜗牛从点P出发, 绕圆锥侧面爬行后, 又回到起始点P处, 那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后, 位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点 (P′) 重合, 而选项C还原后两个点不能够重合. 【点评】解决路线最短问题, 应转化为“在同一平面内, 两点之间线段最短”, 也就是将原来的曲面或多面体表面展开成一个平面, 然后连接需求最短路线的两点. 三、数形结合思想 数形结合思想是一种通过数的抽象严谨、形的直观表意之间的相互转化来研究和解决问题的数学思想. 例3在一个正方形的纸板内有若干个点 (称为内点) , 用这些内点和正方形的4个顶点为三角形的顶点, 能画出多少个不重叠的三角形?如图3中分别画出了正方形内有一个内点、两个内点、三个内点的情形. (1) 根据上图, 完成下表. (2) 正方形内有100个内点, 能画出多少个不重叠的三角形? 【分析】 (1) 有1个点时, 内部分割成4个三角形;有2个点时, 内部分割成4+2=6 (个) 三角形;那么有3个点时, 内部分割成4+2×2=8 (个) 三角形;有4个点时, 内部分割成4+2×3=10 (个) 三角形;有n个点时, 内部分割成4+2× (n-1) = (2n+2) (个) 三角形; (2) 求出n=100时, 2n+2的值即可解答问题. 【点评】解决此类探究性问题, 一方面观察图形, 根据图形的形成过程探究规律, 另一方面分析已知数据, 根据数量特征探究规律, 将数与形有效结合起来, 寻找它们之间的联系, 从而解决问题. 四、类比归纳思想 归纳也叫做归纳推理, 是从个别或特殊的事物所作的判断扩大为同类一般事物判断的一种推理.类比就是相似, 换言之, 类比就是类似比较. 例418世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数 (V) 、面数 (F) 、棱数 (E) 之间存在的一个有趣的关系式, 被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型, 解答下列问题: (1) 根据上面多面体模型, 完成表格中的空格: (2) 你发现顶点数 (V) 、面数 (F) 、棱数 (E) 之间存在的关系式是______. (3) 某个玻璃饰品的外形是简单多面体, 它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成, 且有24个顶点, 每个顶点处都有3条棱, 设该多面体外表三角形的个数为x个, 八边形的个数为y个, 求x+y的值. 【分析】第 (1) 题只要数一数即可;第 (2) 题利用表格中的数据类比归纳得出E=V+F-2;第 (3) 题要注意每个顶点引出3条棱, 但每条棱都计算了两次, 所以棱数实际只有36条.然后根据前面关系式求出面数即可. 【高三数学中的思想方法】推荐阅读： 高三数学复习方法11-27 高三数学专题复习方法11-05 高三数学教学方法06-25 浅析高三数学复习方法07-22 高三文科数学复习方法10-24 高三理科数学复习方法12-19 做高三数学选择题技巧蒙题方法06-30 数学中的思想方法11-21 初中数学中的思想方法12-25 高三数学作业08-13圆教学中的数学思想方法 篇7
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