等边三角形（精选12篇）
等边三角形 篇1
本节课是在学生已经学习了“等边三角形”定义及“三个角都相等的三角形是等边三角形”的基础上, 边和角两个角度来学习“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的等边三角形的第二个判定.本人对教学的引入、探究、应用等各个环节进行了深刻反思.
一、知识回顾, 合作探究
等边三角形的判定:①三条边都相等的三角形是等边三角形;②三个角都相等的三角形是等边三角形.
师:等边三角形的判定是从三角形的哪些角度得来的?
生:从边和角两个角度.
问题1:三角形中满足两条边和一个角, 能否成为等边三角形?请回答问题:等腰△ABC中, AB=AC, 请补充一个条件, 使△ABC为等边三角形.你是借助于哪个判定得出的?
(学生思考后, 自己填写, 讨论交流)
生:添加条件AC=BC, 借助于等边三角形的定义.
师:很好, 不难看出, 无论添加条件AC=BC或者AB=BC, 都是通过从边的角度得到等边三角形的.还有没有其他的想法?
生:添加条件∠A=60°, 借助于“三个角都相等的三角形是等边三角形”.
师:∠A为顶角, 那么还有其他添加角的方法吗?
生: (补充回答) 添加条件∠B=60°, 借助于“三个角都相等的三角形是等边三角形”.
师:请具体说出证明过程.
生:如果∠B=60°, 借助于AB=AC, ∠B=∠C, 因为∠A+ ∠B+ ∠C=180°, 所以∠A= ∠C=60°.故△ABC为等边三角形.
【反思】学生先入为主地从边和角分别单独解决了问题, 结合边和角一起解决等边三角形的判定过渡很自然, 也揭示了它们之间内在的联系和区别, 从而使学生顺利进入本节课的问题情境中, 也使他们大脑真正“动”起来.因此在数学教学中, 在引入环节中创设有价值、有效的、衔接紧密的问题情境对一节课探究课是非常必要的.
二、证明猜想, 形成结论
师:根据以上探究, 请同学们总结出一种新的判定等边三角形的方法. (提示:从边和角两个角度来总结)
生:等腰三角形中有一个角是60°, 那么这个三角形是等边三角形.
师:在熟悉定义和“三个角都相等的三角形是等边三角形”的基础上, 从角和边两个角度总结:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
问题2:那么如何验证“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这个判定的正确性?请大家给出证明过程.
(学生自己先写出证明过程, 教师请两位证明过程不一样的学生板书.)
两名学生板书如下解法:
(1) 已知:△ABC中, AB=AC, ∠A=60°.
求证:△ABC为等边三角形.
证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠A+∠B+∠C=180°, ∠A=60°.
∴∠B+∠C=120°,
∴∠B=∠C=60°.
∴∠A=∠B=∠C=60°.
∴△ABC为等边三角形 (三个角都相等的三角形是等边三角形) .
(2) 已知:△ABC中, AB=AC, ∠B=60°.
求证:△ABC为等边三角形
证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C=60°.
∵∠A+∠B+∠C=180°.
∴∠A=∠B=∠C=60°.
∴△ABC为等边三角形 (三个角都相等的三角形是等边三角形) .
师:请大家观察两位同学的证明过程的相同点和不同点.
生:相同点是两个都用了同一个判定:三个角都相等的三角形是等边三角形.
师:那么不同点是什么呢?
生:不同点在于条件, 一个是∠A=60°, 另一个是∠B=60°.
生: (补充回答) 一个是顶角, 一个是底角.
师:两位同学都回答得不错.两种方法体现了数形结合的数学思想.要借助于“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”判定三角形是等边三角形.60°的角可以是顶角也可以是底角, 但必须首先满足三角形是等腰三角形.
【反思】此过程是学生实践的过程.最先没有教师的讲解和提示, 由学生自己动手验证.学生出现两种解答方法, 一个是用顶角, 一个是用底角.让学生自己找出不同点和相同点, 同时也是对刚刚问题2的再次证明和探究, 进而总结出更好的结论, 体现了数学分类讨论的数学思想.因此, 在实践过程中, 一定要本着“以学生为本”的原则, 解决课堂上需要解决的问题, 即便是临时出现的为预测的源于学生的问题时 (比如本节课学生出现的两种方法) , 教师也要跟着学生走, 引领学生走, 而不是学生被老师牵着走.一节好的探究课不是教师完美的课, 而应该将主动权还给学生.探究过程中教师好比“导演”, 不仅要全面考虑探究过程中可能出现的新思路, 还要善于用激励性的语言鼓励学生进行合作探究活动.
一节好的探究课是学生与老师共同探索、一起进步的平台.“让学生掌握解决问题的方法;具备终身学习的能力”是学校教育永远的灵魂.让学生探究不等于教师在看戏, 教师应该扮演好新的角色, 那就是:激活探究气氛, 防止两极分化.
等边三角形 篇2
但不足之处也有几点：
1、重点备教材，而对学生可能出现的问题却备得不够。如在学生动手拼两个直角三角形成等边三角形时，还有一些细节没有处理好。
2、在教学过程中，语言不够简炼。还要苦练基本功，提高自己的`授课水平。
3、学生板演时字迹潦草，强调书写及规范解题步骤。
三角形的性质 篇3
■ （2011江西）如图1，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=______.
■ 90°.
■ 本题主要考查三角形内角和定理和内心的基本性质. 因为三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，所以PA，PB，PC是△ABC的内角平分线，即∠PBC+∠PCA+∠PAB=■（∠ABC+∠ACB+∠BAC）=180°×■=90°.
■ （2011山东菏泽）将一副三角板按图2所示叠放，则角α等于（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
■ D.
■ 本题主要考查三角形的外角性质以及三角板的特殊角． 根据三角板的特殊性容易求得∠1的度数为45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可求得角α为75°．
■ （2011广东茂名）如图3，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建了三个加工厂A，B，D，已知AB=BC=CD=DA=5 km，村庄C到公路l1的距离为4 km，则村庄C到公路l2的距离是（ ）
A. 3 km B. 4 km
C. 5 km D. 6 km
■ B.
■ 本题主要考查角平分线的性质. 由已知能够注意到四边形ABCD是菱形，而菱形的对角线平分对角则成了解题的关键． 根据菱形的对角线平分对角，作出辅助线，即可证得CE=CF=4 km．
■ （2011广西河池）如图4，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，下述结论错误的是（ ）
A. BD平分∠ABC
B. △BCD的周长等于AB+BC
C. AD=BD=BC
D. 点D是线段AC的中点
■ D.
■ 在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC与∠C的度数. 又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，继而可求得∠ABD的度数，于是可知BD平分∠ABC. 可得△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=AB+BC. 可求得∠BDC的度数，进而求得AD=BD=BC．
■ （2011黑龙江）在△ABC中，BC ∶ AC ∶ AB=1 ∶ 1 ∶ ■ ，则△ABC是（ ）
A. 等腰三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
■ D.
数三角形与三角形数 篇4
数图形个数的问题在小学很常见, 典型的就是数三角形的个数.如下图, 数一数图1与图2中三角形的个数.
在解决这两个问题之前, 先介绍一下三角形数.古希腊人用“小石子”表示数时, 发现自1开始的连续自然数之和都可以摆成三角形的形状, 因此后人就把形如自1开始的连续的自然数的和称为“三角形数”. (《整数问题》郜书竹)
如图3:1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ……
三角形数数列的通项公式为:
取三角形数数列的奇数位组成子列1:
1, 6, 15, 28, 45, ……
子列1的通项公式为
取三角形数列的偶数位组成子列2:
3, 10, 21, 36, ……
子列2的通项公式为
通过观察发现尖朝上的三角形的个数是三角形数的求和结果, 尖朝下的三角形个数是三角形数奇数项或偶数项求和的结果.那么数三角形与三角形数之间究竟存在怎样的关系?如何利用三角形数来数三角形呢?
对比三角形数与数三角形的问题, 观察发现 (如图4) :
假设当n=2k+1时, 尖朝上的三角形的个数共有:
尖朝下的三角形的个数共有:
3+10+…+k (2k+1) , 即偶数位组成子列2求和.
假设当n=2k时, 尖朝上的三角形的个数共有:
尖朝下的三角形的个数共有:
1+6+…+k (2k-1) , 即奇数位组成子列1求和.
最后将尖朝上的三角形与尖朝下的三角形个数相加, 得出的结果就是三角形的总个数了.这样我们就利用三角形数, 将数三角形的问题解决了!
下面利用三角形数解决图1数三角形的问题.如图1, n=4, k=2, 尖朝上的三角形的个数共有:
等边三角形教学设计 篇5
一、教材分析
“等边三角形”是初中数学教学的重要内容，共有两课时。其中第一课时的内容是等边三角形的概念、性质、判定和相关知识的应用。该节内容是在等腰三角形的基础上学习。
二、学生分析
1、学生是八年级的学生。
2、学生已经建立了对几何的学习兴趣和基本的几何学习方法。
3、学生已经学习了三角形、等腰三角形和轴对称的内容。
4、学生应用所学知识解决实际问题的能力需要进一步加强。
5、学生使用规范的几何语言书写几何解题过程的能力需要进一步加强。
三、教学目标
1、知识与技能
1）了解等边三角形是特殊的等腰三角形，等边 三角形是轴对称图形； 2）会阐述、推证等边三角形的性质和判定方法。
2、过程与方法
经历“猜想—验证—总结归纳—应用”的探究过程，培养探究数学问题、解决问题的能力。
3、情感、态度与价值观
1）体验数学充满着探索与创造，感受数学的严谨性，对数学产生强烈的好奇心和求知欲。
2）在学习中获得成功的体验,感受数学学习的乐趣, 建立自信心。
四、重点难点
1、重点：等边三角形的性质和判定。
2、难点：等边三角形性质的应用。
五、教学方法
本节课从“引导学生学习的方式、启发学生思考的方法、规范学生表达与书写的思路”的层面讲授新内容，帮助学生“猜想-验证-总结归纳-应用”新知识，从而达到学习新课的目的。
六、教学用具
本节课使用多媒体教学，采用PPT与几何画板相结合的方式。
七、教学过程
（一）导入
用PPT展示一组生活中的图片，让学生观察并发现其中蕴含的几何图形——等边三角形，理解数学源于生活的道理。从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等三个方面阐述本节课的学习目标。
（二）新知探究
1、探究定义
定义：三边相等的三角形是等边三角形。探究过程：
师：如何定义等边三角形? 生：从“等边”两个字考虑，与等腰三角形的定义类比，和同学讨论，试着给出等边三角形的定义。认真观察等边三角形发生变化时三条边的变与不变，在自己感性认识的基础上达到理性认识的目的，并确定等边三角形的定义。
等边三角形是特殊的等腰三角形。
师：引导学生从“三角形按边分类”的结果考虑等边三角形与等腰三角形的关系，并用几何画板演示由一般三角形到等腰三角形再到等边三角形的变化过程。
生：先回顾三角形按边分类的结果，然后猜想等边三角形与等腰三角形的关系，然后仔细观察几何画板上由一般三角形到等腰三角形再到等边三角形的变化过程中三条边在数量上的变化，验证自己的猜想，确定结果。第二定义：腰和底相等的等腰三角形是等边三角形。
2、探究性质
1）从边和角的角度探究性质
性质1：等边三角形的三条边都相等。
性质2：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
探究过程： 师：引导学生分别从边和角的角度出发，探索等边三角形的性质。生：先利用刻度尺和量角器度量自制的等边三角形的边和角，根据自己的度量数据猜想等边三角形有什么性质，然后仔细观察几何画板上随着等边三角形的位置和大小的变化，它的边长和角的度数各有什么变化，进而验证自己的结论，最后用已学的知识进行严格的几何证明。2）从重要线段的角度探究性质
性质3：等边三角形三边都存在“三线合一”，即等边三角形每个内角的平分线、该角对边的中线、高相互重合。探究过程：
师：引导学生发现等腰三角形中“三线合一”的性质在等边三角形中依然存在，并且更加深刻。
生：在自制的等边三角形中做任何一个角的平分线，与对边有一个交点。然后用刻度尺度量被交点分成的两部分的长度，用量角器度量中线与边相交所形成的两个角的度数。根据自己度量所得到的数据猜想该中线又是等边三角形的什么重要线段。在猜想的基础上观察几何画板上演示的动画，根据几何画板给出的数据进一步验证自己的猜想。最后用所学的知识证明自己的猜想。
3）从对称的角度探究性质
性质4：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，每条边上的中线（每条边上的高、每个角的平分线）所在的直线是它的对称轴。探究过程：
师：引导学生从等腰三角形的对称性出发，考虑等边三角形是否也具有对称性，如果有对称性，等边三角形有几条对称轴，如何找出来。
生：回顾轴对称图形的定义和等腰三角形的对称性，并根据这些知识将等腰三角形的对称性延伸到等边三角形中，然后思考等边三角形的对称性与等腰三角形的对称性有什么不同。观察几何画板上演示等边三角形对称的动画，根据看到的结果找出对称轴并加以证明。
3、探究判定
1）在“任意三角形”上探究判定 判定1：三条边都相等的三角形是等边三角形。
探究过程：
师：引导学生从边的角度出发思考，当一个三角形三边满足什么条件时这个三角形是等边三角形。
生：根据定义得出当三角形的三角边相等时，这个三角形是等边三角形。判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形。
探究过程：
师：引导学生从角的角度出发思考，当一个三角形的三个角满足什么条件时这个三角形是等边三角形。
生：根据等腰三角形判定方法的得出过程，思考一个三角形的三个角满足什么条件时，该三角形是等边三角形。观察几何画板中一个斜三角形变化成等边三角形时，随着三个角的度数由任意的度数变化成60°时，三边的边长有什么变化，最后满足了什么条件。依此归纳判定方法，并进行证明。在所得的判定方法的基础上，根据老师的提示得出该判定方法的一个推论： 两个角相等并且都等于60°的三角形是等边三角形。2）在“等腰三角形”上探究判定
判定3：腰和底相等的等腰三角形是等边三角形。探究过程：
师：引导学生从边的角度出发思考，当等腰三角形的边满足什么条件时这个等腰三角形是等边三角形。
生：根据第二定义得出当等腰三角形的底边和腰边相等时，这个等腰三角形是等边三角形。
判定4：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。探究过程： 师：引导学生从角的角度出发思考，当等腰三角形的角满足什么条件时这个等腰三角形是等边三角形。
生：考虑等腰三角形在角之间已经满足的关系，在这个基础上考虑，这些角进一步满足什么条件时该三角形是等边三角形。在老师的帮助下得出有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形的结论，然后分别以60°的角为顶角和底角两种情况进行证明。
（三）应用小结
1、新知应用
1）△ABC是等边三角形，以下三种分法分别得到的△ADE是等边三角形吗，为什么？
①过边AB上一点D作DE∥BC，交边AC于E点.②作∠ADE＝60°，D、E分别在边AB、AC上.③在边AB、AC上分别截取AD＝AE.2）等边三角形三条中线相交于一点。画出图形，找出图中所有的全等三角形，并证明他们全等。
2、课堂小结
我数三角形 篇6
我们也想比大人还厉害呢，所以大家都认真地数了起来。不一会儿，好多同学都有答案了。有的说有10个，有的说有20个，还有的说有25个，也有的说有30个，胡老师都摇摇头。我的答案是35个，胡老师高兴地点了点头。
我是这样数的：先数单个的三角形，它们都在中间小小的五边形的周围（要是把中间的小五边形涂上颜色，数起来就更方便了），共有10个；接着数由两个三角形组合成的三角形，它们也在小五边形的周围，共有10个；再数由三个小三角形组成的大三角形有5个；然后数由两个小三角形与中间的小五边形组成的大三角形，也有5个；最后数由四个小三角形与中间小五边形组成的更大的三角形也是5个。全部加起来一共有35个三角形。
胡老师说，只有像我这样有规律地数才不会漏掉或重数。同学们都向我竖起了大拇指，我高兴极了！
（指导教师 胡宏伟）
等边三角形 篇7
2007年, 我在浏览北京大学学生办的网站时, 读到如下题目:如何将一个钝角三角形剖分成有限个锐角三角形?原网页下方网友回复中, 提供了如下的答案:
读过后, 我逐渐想到四个问题:一是原网页给出的答案是针对一个特定等腰钝角三角形.对于任一非锐角三角形, 答案是否一定存在?二是原网页给出的答案仅是一图示.在本题目存在解答的前提下, 如何叙述一个规范的剖分过程?三是我将所分得锐角三角形份数最少的分法称作关于该问题的最佳解 (下同) .本题的最佳解应是多少种?四是本题若有解答, 答案显然不是唯一的.这从任一个锐角三角形又可被被分成4个锐角三角形 (如图2) 得到论证.所以本题若有解答, 则解法有无穷多种.即使是最佳分法, 若考虑该分法中每一条线段, 均可在一定数值范围内变动, 对应解法无穷多.若不计其一定范围内的度量差异, 最佳解法是否是唯一的?经过研究, 我找到了四个问题的肯定解答, 下面予以介绍.
二、相关定义
定义一 在平面闭区域△ABC上取其顶点A, B, C及其他有限个点, 组成点集P={p1=A, p2=B, p3=C, p4, …, pn}, 其中n≥4.然后在集合P中全部可能的点对 (pi, pj) (其中i≠j) 中选取若干个点对, 将其连接得到线段集合E={a1, a2, a3, a4, …, am}, 其中当点集P中包含△ABC边界BC, CA, AB的内点时, 则E中包含该边界被这些分点分割成的线段, 否则包含该边界线段, 显然m≥5.另外规定该集合中任两线段无公共点.同时, 集合P中任何一点至少为集合E中两条线段的端点.集合E中的线段首尾相接组成k个封闭折线, 将区域△ABC分割成k个闭区域, Ω={ω1, ω2, …, ωk}, 其中k≥2, 任两区域间除边界外, 无其他公共点;且任两区域均无包含关系.则对于△ABC进行了一次k—剖分.若规定上述k个小区域均为三角形, 则对于△ABC进行了一次k—三角形剖分.若规定上述k个小区域均为锐角三角形, 则对于△ABC进行了一次k—锐角三角形剖分.参考上述规定, 在对△ABC进行一次k—锐角三角形剖分时, 显然有m≥6, k≥4.
定义二 在平面上给定非锐角三角形ABC, 若存在对△ABC进行一次k—锐角三角形剖分的方法, 则称为对该非锐角三角形进行锐角三角形剖分问题的一个解.
定义三 对一非锐角三角形ABC, 若存在一种k—锐角三角形剖分, 它是该三角形全部可能的k—锐角三角形剖分中, k值中最小的.则称该解为该三角形进行锐角三角形剖分问题的最优解.
定义四 在平面上给定非锐角三角形ABC, 若存在对△ABC进行锐角三角形剖分的两解.这两解之间满足: (1) 第一解对应的顶点集合为P={p1=A, p2=B, p3=C, p4, …, pn}, 第二解对应的顶点集合为P′={p1=A, p2=B, p3=C, p4, …, pn}, 其包含的顶点数相同; (2) P和P′间可建立起一种对应关系, 使P中的任何两点组成的点对与P′中的对应点组成的点对同时存在或不存在相连接的线段, 则称这两组解同构.
三、本文的主要结论
定理一 对于任一非锐角三角形, 均存在7—锐角三角形剖分.对于任一非锐角三角形的7—锐角三角形剖分均可给出具体的尺规作图法.
定理二 对任一非锐角三角形, 7—锐角三角形剖分是它的最优解.
定理三 对任一非锐角三角形进行锐角三角形剖分, 两相异的最优解间必是同构的.
四、定理一的证明
(一) 将任一非锐角三角形进行7—锐角三角形剖分的规范尺规作图方法:
设△ABC是给定的非锐角三角形, 其中∠BAC为非锐角.作法如下:
1.在△ABC中分别作∠A, ∠B, ∠C的内角平分线, 其交点为I, 即△ABC的内心, 连接IA, IB, IC. (如图3)
2.作△ABC的内切圆⊙I (如图4) , 连接IA, IB, IC.设IB, IC分别交⊙I于D和E两个点.
3.过D, E两点分别作⊙I的切线, 分别交AB, BC于点F, G;过点E作⊙I的切线, 分别交AC, BC于点H, J. (如图5)
4.连接IA, IF, IH, IJ, IG, 至此, 已对非锐角三角形ABC进行一次7—锐角三角形.这七个锐角三角形是△AIF, △AIH, △BFG, △CHJ, △IFG, △IHJ, △IJG. (如图6)
(二) 上述作法正确性的证明:
如图7, 先说明△BFG和△CHJ是锐角三角形.根据题设∠BAC是非锐角, 故∠B和∠C必是锐角.据上法, BF=BG, CH=CJ, 而顶点是锐角的等腰三角形必是锐角三角形.从而得证.再说明△IFG是锐角三角形.根据上面作法得知, FI应是∠GFA的角平分线, GI应是∠FGC的角平分线, 故得知, ∠IFG和∠IGF都是锐角, undefined.所以undefined
从而证得△IFG是锐角三角形.用同样的方法可以证明△IJH也是锐角三角形.
再来证明△IGJ也是锐角三角形.上面刚证得undefined, 均为锐角, 而undefined也是锐角.从而得证.
最后说明△AIF和△AIH均是锐角三角形.上面已证得undefined, 根据上面作法知undefined, 故undefined
因为 (2∠BAC+B-π) >0, 所以undefined, 故得知△AIF是锐角三角形;同法可证明△AIH也是锐角三角形.
经过证明可知, 被剖分出来的7个小三角形:△AIF, △AIH, △BFG, △CHJ, △IFG, △IHJ和△IJG均为锐角三角形.因此, 对于任一非锐角三角形, 均存在7—锐角三角形剖分.
五、定理二、定理三的证明
1.若对非锐角三角形ABC (∠BAC是非锐角) 进行锐角三角形剖分, 显然, 过A点的线段AP是必定存在的.
2.线段AP的另一端点P必定落在△ABC的内部, 即不能落在边BC上.否则∠APB, ∠APC两者其一会是直角或钝角, 如此便把原非锐角三角形分成了一锐角三角形和一非锐角三角形.这样即使用最优解继续法剖分剩下的那个非锐角三角形, 最后得到的总锐角三角形个数也会多出最优解一个.这样的作法不能称为最优.因此, 点P一定在△ABC内部, 且0°<∠BAP, ∠CAP<90°, 如图8所示.
3.按照定义一, 与点P相连接的线段除AP外, 必定还有其他的线段存在.下面我们说明与点P连接的线段不能少于5条.否则的话, 以P为顶点的角中至少有一个是非锐角.若要将P点周围的周角剖分成若干个锐角, 则最少需要从P点引出五条直线.
4.以P为一端的线段, 另一端落在△ABC同一边上的个数不多于2.这是因为 (如图9) 若落在BC边上端点多于2, 设为Q1, Q2, Q3, 则△PQ1Q2与△PQ2Q3中至少一个是非锐角三角形.将非锐角三角形中的一个子图仍是非锐角三角形的剖分.该解法必不是最优的.
5.同样, 一段在点P另一端落在一腰上的点数为2, 设为P1, P2 (图10) , 那么算上线段AP共有三条从点P引出的直线与此腰相交.这样在△APP1与△PP1P2中至少有一个是非锐角三角形.将非锐角三角形中一子图仍是非锐角三角形的剖分.该解法必不是最优的.
6.所以, 若将一端连接P点的线段定为5条, 除PA外, 另外四个端点符合最优解要求的分配方案是:AB, AC边上个一个点, BC边上两个点, 如图11所示.
认识三角形 篇8
三角形是最常见的几何图形之一, 在日常生活和生产中随处可见。三角形是多边形中最简单的一种, 任何复杂的多边形问题, 都可以通过将多边形分解成若干个三角形, 运用三角形知识来解决。三角形的许多重要性质是进一步研究其他几何图形的基础, 三角形的教学是培养学生逻辑能力的一个重要工具, 这一部分知识对学生以后的学习和工作都有着极其重要的作用。
义务教育课程标准实验教科书 (人教版) 将这一部分内容编排在四年级下册第五单元, 旨在进一步丰富学生对三角形的认识。本期选编的三篇稿件:《“三角形的内角和”教学设计》通过拆和拼等活动, 加深学生对“三角形的内角和是180°”的认识;《用导学案教学“三角形的特性”的尝试》为三角形教学打开了一个新的视角, 《对一道习题教学的三次改进和思考》就“三角形的三条边应满足什么条件”的教学进行了精益求精的探索。如何加强概念教学, 加深学生对知识的掌握, 仁者见仁, 智者见智, 期待同仁精彩的阐释。
如何学好三角形 篇9
一、理解概念,认识各部分名称.
1. 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所形成的图形叫做三角形. 如图 1.
“三角形”可以用符号“△”表示( 如图1) ,记作△ABC. 三角形,有三条边用AB,BC,CA. ( 或a、b、c)表示.
有三个内 角,用∠A,∠B,∠C,或∠BAC,∠ABC,∠ACB) 表示 .
有三个顶点用点A、点B、点C表示.
二、掌握三角形中各边和各角的关系,并会按边、角分类.
1. 三角形的三边关系.
1三角形任意两边之和大于第三边,如图1.
即 a + b > c,a + c > b,b + c > a.
2三角形任意两边之差小于第三边.
即 a - b < c,a - c < b. b - c < a.
2. 三角形三个内角的关系,三角形三个内角和等于180°. 即∠A +∠B + ∠C = 180°.
3. 三角形按边分类.
1三边都相等的三角形叫等边三角形,如图2. 即AB = BC = AC.
2有两条边相等的三角形( AB = AC) . 叫等腰三角形,如图3.
3三条边都不相等的三角形,叫不等边三角形,如图4.
4. 三角形按角分类.
1三个角都是锐角的三角形. 叫锐角三角形,如图5.
2有一个角是直角的三角形,叫直角三角形,如图6.
直角三角形可以用符号“Rt△ABC”表示. 在直角三角形中,两个锐角互余.
即当∠C = 90°时,∠A + ∠B = 90°.
3有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形,如图7.
三、掌握三角形内各种线段的特点和作用 .
1从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段称三角形的高. 如图8中的AD是BC边上的高. 三角形有三条高.
三角形的三条高所在的直线交于一点,这一点也叫三角形的垂心。
2在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线,如图9. D、E、F分别是BC、AC、AB的中点。三角形有三条中线 . 如图9中的AD、BE、CF.
三角形的三条中线交于一点,这一点称为三角形的重心,如图9中的O点 .
3在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线,如图10.
AD是△ABC的一条角平分线,三角形有三条角平分线,三角形的三条角平分线交于一点,这一点称为三角形的内心,如图10中的O点 . 内心到三角形三边的距离相等 .
4在三角形中,过一边的中点并垂直于这条边的直线叫做这个三角形一条边的垂直平分,线如图11. 三角形三条垂直平分线交于一点. 这一点也叫这个三角形的外心.
四、掌握三角的特性.
三角形的面积 篇10
三角形的面积计算公式较多。归纳一下, 大致有以下几组:
undefined (三角形的面积等于底与相应高的积的一半)
undefined (三角形的面积等于两边及夹角正弦的乘积的一半) , 这组公式还可变为undefined是三角形的外接圆的半径)
undefined (其中undefined (海伦-秦九韶公式 )
的绝对值 (其中 (x1, y1) , (x2, y2) , (x3, y3) 是三角形三个顶点的坐标) 。
三角形的面积计算方法较灵活。常见的方法有分解法、割补法、等量代换法和通过面积比等于相似比的平方来转换等。
为了避免给人一种空中楼阁式的云里雾里的感觉, 笔者不再纸上谈兵, 而是结合几道例题来具体演练一下:
例1:如图1, 矩形ABCD中, AD=2AB=2, 点E为边BC的中点, 求三角形ADE的面积。
[分析]把AD看做△ADE的底, 点E到AD的距离即BA看做高, 用法一, 无疑是解法中的上上之选;用割补法即用矩形ABCD的面积减去△ABE和△DCE的面积, 使用法二, 自然也能得心应手;注意到△ABE和△DCE是等腰直角三角形, 从而算出AE、DE和∠AED, 在△AED中进行相关的计算, 想必会水到渠成;如果以B为原点、BC为x轴、BA为y轴, 建立直角坐标系, 进而得到A (0, 1) 、D (2, 1) 和E (1, 0) , 死搬硬套地用行列式法求面积, 也用多不了太多时间, 但多少给人一种东施效颦的感觉;至于在等腰直角三角形△ADE中求得undefined, 还去用海伦—秦九韶公式, 也不是不行, 则明显有些画蛇添足了。
[答案]S△AED=1。说明一下, 由于难度较低, 加之篇幅限制, 该例题的解题过程从略。
例2:如图2, 梯形ABCD中, AD//BC, 梯形的面积为9cm2, S△AOD=1cm2, 则△BOC的面积为__。
[分析]这是一道初三数学竞赛试题。据说目的是让考生在三角形的面积的综合处理能力方面进行竞赛。涉及到下列知识点: (1) 同底等高的两个三角形的面积相等; (2) 同高的两个三角形的面积比等于底的比; (3) 两个相似三角形的面积比等于相似比的平方。
[解]因为AD//BC, 所以△AOD∽△COB, 设AO∶OC=1∶x, 则S△COB=x2, 又AD//BC, 所以S△BAD=S△CAD, 所以S△BAO=S△CDO, 又S△BAO∶S△DAO=BO∶OD=x∶1, 注意到S△AOD=1, 就可得到方程1+x+x+x2=9, 解得, 正数x=2, 于是S△BOC=4cm2。
例3:如图3, AB=3, AC=5, BC=7, 求三角形ABC的面积。
[分析]已知三边求面积, 选用海伦—秦九韶公式即法一, 无疑是上策;有了三边, 先用余弦定理求出最大角, 再转为正弦, 然后使用公式undefined, 即法二, 虽然繁了点, 却是高中生司空见惯的解法;把原三角形分成两个直角三角形, 即法三, 即使有点出人意料, 也对培养思维颇有帮助。
[解]法一:因为undefined, 所以undefined
法二:由余弦定理, 可得undefined, 于是∠BAC=120°, 所以undefined。
法三:作AD⊥BC于D, 设BD=x, 则32-x2=52- (7-x) 2, 解得, undefined, 于是undefined, 所以undefined。
例4:如图4, 椭圆的离心率为undefined, 左右焦点分别为F1、F2, 过F1作倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B, 若undefined, 求椭圆的方程和△F2AB的面积。
[分析]视AB为底, 只要设法求出点F2到AB的距离d, 用undefined即可求解, 见法一;把△F2AB分解成共底的两个三角形△AF1F2和△BF1F2, 则所求面积等于undefined, 见法二。
[解]法一:因undefined, 所以undefined, 椭圆方程可设为5x2+9y2=5a2, ①, 又直线AB为undefined, 由①、②消去y, 得32x2+36ax+7a2=0, 设A (x1, y1) 、B (x2, y2) , 则undefined, 所以a=3, 于是椭圆方程为undefined。直线AB为undefined, 所以, F2 (2, 0) 到直线AB的距离为undefined, 从而△F2AB的面积为undefined
法二:因为undefined, 所以undefined, 椭圆方程可设为5x2+9y2=45m2 (m>0) , (1) , 又直线AB为undefined, 由 (1) 、 (2) 消去x, 得32y2-20my-75m2=0, 设A (x1, y1) 、B (x2, y2) , 则undefined, 于是undefined, 所以m=1, 椭圆方程为undefined, 又
undefined
从上面四个例题, 我们可以清楚地看到, 三角形面积的计算名副其实地“解无定法”。正因为其解题的灵活性不可捉摸, 人类一直在探索着三角形面积的计算:秦九韶源于土地测量尝试着;海伦通过图形的变换探讨着;牛顿和莱布尼兹借助于微积分提高着……
三角形面积的计算虽然重要, 但在各类考试中, 一般并不单独命题。因此在考场上, 我们更要根据试题, 灵活地加以应用。
例5:如图5, 在直三棱柱ABC-A′B′C′中, ∠BAC=90°, AB=BB′=1, 直线B′C与平面ABC成30°角, 试求:①点C′到平面AB′C的距离;②二面角B-B′C-A的大小。
[分析]如果你的立体感不强, 这类计算就会选择间接法。本题与三角形的面积, 便出现了某些联系:①会通过等积法转化;②通过面积射影公式来求解。
[解]因为BB′⊥面ABC, 所以undefined
①因为B′A′⊥A′C′, B′A′⊥AA′, 所以B′A′⊥面ACC′。
同理CA⊥面ABB′。设点C′到平面AB′C的距离为h, 因为VC′-AB′C=VB′-ACC′, 所以undefined, 易得, undefined。
②作AD⊥BC于D, 易证AD⊥面BCB′, 则△AB′C在平面BCB′内的射影为△DB′C, 因为undefined (或undefined, 所以undefined。
摘要：三角形的面积是人们的“终身伴侣”;计算公式较多;计算方法较灵活;人类一直在探索着。
解析三角形的难点 篇11
近年来，各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查数学基本知识与方法，而且考查了思维的深刻性. 在解决此类问题时，同学们常因考虑不周导致失分，因而成为三角形问题的一个难点.
■ （2010山东济南）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4■，点E是折线段A－D－C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点，在点E的运动过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（ ）
A． 2个?摇?摇?摇B． 3个?摇?摇?摇C． 4个?摇?摇?摇D． 5个
■
■?摇要使△PCB为等腰三角形，则定边长CB有两种可能：一是CB为底，可根据A与P关于BE对称，确定有两点P. 二是CB为腰，此时有两种情况，一种是B为顶点、C为底边的端点，此时无满足条件的点P；另一种情况是，C为顶点、B为底边的端点，此时有两点P. 综上可知，共有4个，答案为C.
■三角形中的动态问题
三角形中的动态问题按图形分，有点、线、三角形运动变化三类；按运动类型分，有平移、翻折、旋转三类. 解题时，需在运动变化的过程中研究相伴随的数量关系（如等量关系、变量关系）、图形位置关系（如图形的特殊状态、图形间的特殊关系）等. 策略为“以静制动”，即把动态问题变为静态问题，抓住变化中的“不变量”，以不变应万变.
■ （2011广东）如图2，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止. 不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于点G，H，如图3.
■
■
（1）始终与△AGC相似的三角形有______及______.
（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图3的情况说明理由）.
（3）当x为何值时，△AGH是等腰三角形？
■?摇（1）由∠GCA=∠H+∠CAF=45°，∠GAF=∠GAC+∠CAF=45°知∠GAC=∠H，又∠AGC=∠HGA，所以△AGC∽△HGA. 由∠AGC=∠B+∠BAG=45°+∠BAG，∠BAH=∠BAG+∠EAF=∠BAG+45°知∠AGC=∠BAH. 又∠GAC =∠H，所以△AGC∽△HAB. 故答案为△HGA及△HAB.
（2）由（1）可知△AGC∽△HAB，所以■=■，即■=■，所以y=■.
（3）由（1）知△AGC∽△HGA，所以要使△HGA是等腰三角形，只需要△AGC为等腰三角形即可. 要使△AGC为等腰三角形，有以下三种情况：
①当∠GAC=∠ACG=45°时，△AGC为直角三角形. 所以x=AC·sin∠ACG=AC·sin45°=■.
②当∠AGC=∠ACG=45°时，点G与点B重合，所以x=BC=■=9■.
③当∠AGC=∠GAC时，x=CG=AC=9.
含有30°的直角三角形 篇12
1. 探索─发现─猜想─证明直角三角形中有一个角为30°的性质。
2.有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用。
3.培养学生的推理能力和数学语言表达能力, 感受数学的严谨性, 激发学生的好奇心和求知欲。
【教学重难点】
重点:含30°角的直角三角形的性质定理的证明与运用。
难点:含30°角的直角三角形的性质定理的证明。
【探索与实践】
活动一:用两个全等的含30°角的直角三角尺, 你能拼出一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?能观察出30°的角所对的直角边与斜边的关系吗?说说你的理由。
活动二:用你的30°角的直角三角尺, 把斜边和30°角所对的直角边量一量, 你有什么发现?
(学生在老师的引导下动手操作, 并用自己的语言叙述自己探索的结论)
活动三:让学生把课前做的30°的直角三角形进行折叠, 来验证他们自己发现的结论的正确性。
(让学生介绍他们的折叠是怎样验证他们的结论的)
从而得出在直角三角形中30°的角所对的直角边与斜边的关系:定理:在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半。
即:在Rt△ABC中, 已知∠C=90°, ∠A=30°,
则或者AB=2BC。
活动四:提问:那么能用你们拼接的方法和折叠的方法来证明这个结论吗?
(学生回答后教师再板书一种证明方法)
活动五:模仿
1. 如图1, 已知在Rt△ABC中, ∠C=90°, ∠B=30°, 则下列结论正确的是 ()
2.如图2, 在△ABC中, ∠ACB=90°, ∠A=30°, CD⊥AB, AB=4, 则BC=____, BD=____。
活动六:应用
如图3是屋架设计图的一部分, 点D是斜梁AB的中点, 立柱BC、DE垂直于横梁AC, AB=7.4m, ∠A=30°, 立柱BC、DE要多长? (由学生回答他们的分析和解题过程, 最后老师一定要板书规范的书写格式)
活动七:提高训练:
1. 如上题, △DBC是什么形状, 支柱DC要多长?为什么?
2. 如上题若没有AB的长, △DBC的形状会变吗?
3. 如图4, 若BC⊥AC, DC⊥AB, DE⊥AC, 图中有几个的直角三角形, 支柱要多长?
4. 如图4, 你能找出BD与AD有什么关系吗?
【课堂小结】
1.你今天学会了什么?