少自由度并联机构

少自由度并联机构（精选7篇）

少自由度并联机构 篇1

电力行业是国民经济发展的基础,安全、可靠、 充足的电力供应,直接关系到国民经济的发展和社会的和谐稳定［1］。近年来,经济的飞速发展对电能需求进一步提高,输电走廊趋于饱和,并且输、配电站的选址又有诸多限制,所以输电线路不可避免地经过煤矿开采、冻土等基础变形区［2］。目前在我国煤矿采空区已建成的输电线路中已有多处铁塔基础发生沉降、倾斜或滑移,如内蒙古乌海伊公线50号铁塔,山西省长治市境内的110 k V漳库I、II回15 ~22号铁塔,库襄线2 ~ 6、17 ~ 44号铁塔,220 k V漳长I、II回11 ~ 15号铁塔,阳淮500 k V输电线路第3回的S号塔及第2回的G号铁塔,贵州省境内的220 k V输电线路站鸡I回021铁塔,西安110 k V北西线25号铁塔等［3］,这些安全隐患有可能导致许多不堪设想的事故。

1地表变形对铁塔的损害机理

1. 1地表下沉对高压输电铁塔的影响

地下开采导致的地表下沉会引起输电铁塔基础的下沉,实测表明,基础下沉量与该处的地表下沉量基本一致,特别是在高潜水位矿区,地表下沉将导致地下潜水位相对上升。当地表下沉致使地面潜水位接近或高于铁塔基础底面时,基础土被水浸泡软化和低气温情况下的冻胀现象都将严重威胁铁塔基础的稳定性。铁塔基础底面的不均匀沉降将导致铁塔上层部分内部产生附加应力,当铁塔构件的内力在附加应力的作用下超过材料的许用应力时,将导致铁塔结构的破坏,引发安全事故。根据电力部门的实践经验,对于根开在4 ~ 7 m的自立式直线塔的不均匀沉降量必须控制在12. 7 ~ 25. 4 mm之间才能保证其自身的稳定性［4］。

1. 2地表倾斜对高压线塔的影响

输电铁塔基础底面积小,高度大,属于杆状构筑物,对倾斜变形敏感。地表倾斜通过地基与高压铁塔基础之间的相互作用传递到铁塔,铁塔倾斜导致倾覆力矩的增加以及档距、高差变化,改变了输电线路的运行工况,从而产生诸如绝缘子串倾斜、横担变形、导线弧垂超标等安全问题。地表倾斜对输电线路影响较复杂,影响的对象包括铁塔及其基础、绝缘子串、线路档距等,主要体现在: 1对输电铁塔及基础的影响; 2对档距、弧垂和悬垂串的影响; 3对近地距离的影响。

1. 3地表水平变形对高压线塔的影响

地表水平变形通过铁塔基础的底面和侧面,使塔基受到附加的拉伸或压缩应力作用。地表水平变形,尤其是拉伸变形,对塔基的破坏作用很大。塔基抵抗拉伸能力远小于抵抗压缩的能力,所以较小的地表拉伸变形可能使塔基产生开裂性裂缝。

1. 4地表曲率对塔基的影响

地表曲率变形表示地表的倾斜程度,由于出现了曲率变形,地表形状将由原来平面变成曲面。在正负曲率作用下,各有两种情况,一种是塔基全部切入地基,另一种是塔基部分切入地基。塔基在受到正负曲率影响下,将按地基反力重新分布,改变了铁塔各部分原有的应力平衡状态。地表曲率的影响将使塔基受到附加的弯矩和剪力作用。一般情况下, 地表的拉伸变形和正曲率变形同时出现,地表的压缩变形和负曲率变形也同时出现。

通过上述分析可以看出,对输电线路有明显影响的变形指标是下沉、倾斜和水平移动。下沉、水平移动以及倾斜变形通过地基与高压线塔基础的相互作用后改变了高压线塔的空间位置,进而引起诸如档距、悬垂串偏斜、弧垂等运行参数超标［5］。其具体影响过程见图2。

2实验装置设计及几何建模

2. 1实验装置模型要求

为了完成对基础变形的模拟,实验装置需要满足以下几点要求:

1) 能对实验室状态下的四个塔脚点X、Y、Z三个方向位移调节;

2) 四个塔脚点的位移调节保证互不干涉,且每个塔脚点的位移调节也应互不干涉;

3) 根据实验条件下有足够的调节空间,即X、 Y、Z三个方向的位移调节量需满足实验条件;

4) 装置在实验过程中必须能够实现自锁,即在某一可调范围内的空间位置,每个塔脚点都能自锁并保证自由度为0;

5) 保证足够的机械强度、刚度,要保证装置在施加荷载过程中不被破坏,并且避免因装置自身变形导致的误差,装置调节过程中应每个方向应施加不小于10 000 k N的力。

2. 2装置模型选取及依据

目前,关于基础变形对铁塔影响以理论研究为主,或对发生基础变形区域的铁塔收集数据进行分析,涉及单独实验的很少［6］。本次设计需依据试验要求对装置选取合适的模型,目前能调节三个方向位移的机械结构主要有导轨式结构( 如图3) 和机器人中应用的多自由度结构( 如图4) 。

对比两种结构,前者结构简单易于调节,但此装置的承力性能较差,图4所示的结构虽然较复杂,但是结构稳定、承力功能和刚度较好,能满足实验要求。由于其具有六个自由度的调节功能,且控制系统复杂,因此本实验选择了功能类似,结构相对简单的装置,如图5。

2. 3少自由度并联机构介绍

所谓并联机构,即有多个自由度且驱动器分配在不同环路上的闭式多环机构。并联机构具有刚度大、承载力强、位置精度高、响应快等优点,应用前景十分广阔。

少自由度并联机构新构型有着不同的理论方法,现采用的是利用螺旋理论来分析新型少自由度并联机构,即利用力螺旋与运动螺旋的对偶关系,以及运动与约束、运动螺旋与反螺旋的对应关系,建立复杂少自由度并联机器人机构类型的综合数学模型［7］。可以通过计算机仿真验证其运动特性及控制方式。

3运动特性仿真及控制仿真

3. 1机械系统动态仿真步骤

机械系统的仿真一般步骤如图6。

如图7所示,应用Adams建立模型并给装置添加驱动,在静平台转轴处添加转动驱动,将步长设置为5 000,进行模拟可以观察动平台运动效果,进而观察每个构件的运动速度,角速度,加速度及位移。 图8是上述模拟过程中动平台在X、Y、Z三个方向的位移随时间变化情况。

为了验证其运动特性,需要观察运动过程中动平台的角速度,如图9。在图中可看出动平台的角度在10－ 9数量级,可以忽略不计。

由模拟得出的位移及速度变化图可以得出以下结论:

1) 该装置具有三个方向的移动自由度,在模拟过程中角速度几乎为零,不具有转动自由度;

2) X、Y两个方向的移动具有很好的一次性,即可以通过两个转动副的协调驱动实现其沿X或Y的单向运动;

3) 此装置动平台在Z方向有位移,随时间变化呈非线性,但位移量很小,可以忽略。

3. 2可行性分析

由上述模拟结果可以看出此装置在动平台单转动副驱动下的运动特性: X、Y方向呈线性变化,Z方向的位移量很小,可以忽略。所以通过转动副驱动只能实现X、Y的方向的移动控制,且实现单向运动时有如下困难:

1) 协调性问题不易解决,单向运动需要两个转轴按一定速率比运动;

2) 动力不易添加,由于此装置在改变位移时需要很大的力,所以转动副处的需要的转矩非常大,所以能控制转动速度的动力很难添加;

3) 自锁问题不易解决,装置改变塔脚点位移后需要通过自锁机构锁定动平台位置,一般机械机构中转动自锁靠涡轮蜗杆来实现,但这种机构会与动力添加产生矛盾;

4) 构件强度问题,由于转动副处转矩非常大, 所选材料尺寸会很大,从而影响整个机构空间尺寸及布置方式。

综上所述,此装置在转动副上加不能完成对踏脚点的Z方向位移调节,且对X、Y方向的调节不易控制,所以需要改变驱动方式。

3. 3驱动方式的选择及控制实现

由上节结论可知,需通过改变驱动方式来实现其调节功能。另外两个运动副分别为圆柱副和移动副,而在圆柱副处添加驱动不能解决Z方向行程不足的问题,所以选择在移动副处添加驱动。为了使控制方便精准,驱动构件选择液压缸。这种控制方式有如下优点:

1) 解决了Z方向行程不足的问题,Z方向的行程可通过三个液压缸的同步伸缩完成;

2) 系统受力状况好,装置的动平台由液压缸控制,主要控制力为液压缸的轴向力;

3) 提高了装置刚度,刚度主要由连接件的轴向变形决定［7］,改为液压缸后就能通过液压缸的伸缩弥补由轴力引起的微小变形;

4) 控制精度高,液压缸具有较高的控制精度, 能减小由装置引起的误差。

这种驱动方式需解决如何控制上平台按设定方向及位移移动的问题。目前解决这种问题的主要方法有正解法和反解法,而这两种方法在计算上都比较复杂,上海交大提出了一种基于虚拟仿真技术的实时仿真控制［8］。这种控制方法基本思想是通过仿真让动平台运动到预定位置,反解出液压缸的运动曲线后,将此运动曲线作为控制器的输入数据完成对平台的实时控制。现采用上述方法。控制图如图10。

下面模拟两种工作状况,并得出运动曲线及液压缸的长度变化曲线。工况一: 给上平台加两个方向的位移驱动,X方向给定速度20 mm/s,Z方向速度20 mm/s,运动时间为1 s,步数1 000。如图11。

图11是动平台位移曲线。

图12是三个连接件的长度变化。

由工况一的运动曲线可以得出以下结论:

1) 该平台能实现预定位移单双向运动( 单向平动已在装置运动特性中说明过) ,且不产生干涉( 模拟中Y方向没有位移) ;

2) 可以通过仿真模拟得出运动过程中三个连接杆的长度,且有较高精度。该装置在实际工作过程中还可能有三向位移调节需求。

工况二将模拟该装置三向运动特性并验证其控制方法。工况二给上平台加三个方向的位移驱动, X、Y、Z三个方向都给同样的速度20 mm / s,运动时间为1 s,步数1 000。如图13。

图14是连接杆长度变化。

由上面的运动曲线可知该装置可以实现预定三向位移的调节功能,所得运动曲线符合要求,且三个方向位移互不干涉。测得杆长变化精准,可以实现其控制功能。

综上所述,改变该装置的驱动方式后,能够达到实验对装置的需求,同时也能通过基于虚拟仿真的实时控制方法解决其控制难题。

4结论

设计了基础变形实验模拟装置,主要工作如下。

1) 选取了机器人中的少自由度并联机构作为装置模型,该机构具有刚度大,精度高结构紧凑等优点,是实验装置的理想模型。

2) 建立了装置的三维模型,并通过计算机软件实现了其运动特性的模拟,证明了适用性。

3) 选择了合适的驱动方式使装置满足了实验的行程需求,并利用仿真模拟解决了装置的控制问题。

4) 根据装置的使用条件,对装置进行了机械结构设计,并对装置进行了强度校验。

主要创新点是少自由度并联机构的引入,设计过程中解决的难题是改变驱动方式后的控制问题。 设计的装置满足了实验需求,装置刚度大,精度高, 结构紧凑,效果比较理想,可以应用于铁塔基础变形实验。

少自由度并联机构 篇2

2012年Reza Sabzehgar等[4]首次将结构简单可靠性高的少自由度并联机构引入汽车馈能悬架;遗憾的是,该文献未能进一步说明其运动学、动力学特性,且其自由度存在冗余问题。少自由度并联机构是一类自由度小于六的并联机构构型,具有机构构型简单、驱动件少、控制方便、容易制造及成本较低等优点;并且可以通过控制得到设计要求的自由度[5,6],和传统的串联机构相结合容易形成混联运动机构,可以使串并联结构的优势互补[7,8]。然而,自由度减少会最终导致动平台的耦合运动,运动学和动力学分析也变得非常复杂[9]。针对这一问题,2013年黄真等[10]结合旋量理论用虚设机构法建立的少自由度运动学模型,提出了分析并联机构运动学的影响系数法;其特点是机构越复杂,方法越适用,性能也越优。

前述并联机构模型大多数基座是固定的,研究主要集中在其末端执行器的运动状态上。本文为了将悬架的垂直振动转化为馈能电机的旋转运动,采用逆向思维方法,提出一种少自由度并联机构;此机构的执行器沿z轴移动、基座绕z轴转动的模型,利用旋量理论分析该结构的运动学特性,采用空间投影法讨论其结构参数对机构性能的影响,最后通过数值解与ADAMS仿真结果比较,验证了此种分析方法的正确性和所建模型的有效性。

1 少自由度并联机构分析

1.1 少自由度并联机构描述

如图1所示,该并联机构由末端执行平台A(简称执行平台),旋转动基座B(简称动基座)和三条支链li(i=1,2,3)组成。平台上的球关节Ai,Bi相对于执行平台A的中心O'和动基座B的中心O均匀分布。每个支链均通过连杆li将执行平台A上的球铰Ai与动基座B上的球铰Bi连接,执行平台A通过移动副与车身连接,动基座B通过旋转副与电机链接。末端执行平台A作为输入端,将悬架的垂直振动通过该并联机构转化成基座的旋转运动。

1.2 自由度分析

利用修正的Kutzbach Crubler公式一般形式,根据公式(1)计算空间并联机构的自由度。

式(1)中:d=6-λ,d为机构的阶数,λ为公共约束数目;n为总构件数;g为运动副的数目;fi为第i个运动副的自由度数;v为多环并联机构在去除公共约束的因素后的冗余约束的数目,且有v=k-t,k为多环并联机构所有支链的反螺旋去除公共约束后的反螺旋系的最大无关组,t为多环并联机构所有支链的反螺旋去除公共约束后的反螺旋系最大无关值;ζ为机构中存在的局部自由度数。图1所示中间约束支链为PR型,由旋量理论可得该支链的螺旋系统为

该运动螺旋系的2个运动螺旋线性无关;通过式(2)可得到该螺旋系的反螺旋系为

即该反螺旋系限制了动平台绕x轴与y轴的转动和沿x轴与y轴移动,则有t=4,k=4,因此可得v=0;结构相同的3条支链存在局部自由度,即ζ=3。

根据式(1)的机构的自由度为

与馈能悬架系统输入为悬架垂向振动,输出为电机转动的运动学设计目标吻合,而文献提出的并联机构,其刚体模型的自由度F=-2,存在过约束问题。

2 运动学特性分析

2.1 逆运动学分析

与大部分并联机构1动1静两个平台不同,本文提出的机构包含两个动平台,因此将参考坐标系固结在动基座上,利用坐标变换实现与之类似的结构。

根据图1所示结构,建立动基座坐标系O(x,y,z)和末端执平台坐标系O'(x',y',z')。x轴指向与B1B2平行,z轴指向与中心轴线平行,y轴方向由右手准则确定。末端执行平台坐标系中的x'轴,y'轴,z'轴方向与坐标系O(x,y,z)中的x轴,y轴,z轴方向平行。

坐标系O'(x',y',z')下,Ai(1,2,3)的坐标可以表示为

坐标系O(x,y,z)下,Bi(1,2,3)的坐标可以表示为

Ai相对于参考坐标系O(x,y,z)的位置坐标可以表示为

式(7)中,矢量OMO是动坐标系上的原点O'点相对于定坐标系O(x,y,z)的位置坐标;TMO为动坐标系O'(x',y',z')相对于参考坐标系O(x,y,z)的旋转变换矩阵,则TMO可以表示为

根据几何关系,结合机构刚性杆长度不变的特性,可得机构的位置方程。

方程组(9)是关于l1,l2,l3,θ,z的少自由度并联机构的位置逆解方程,位置参数θ,z由初始条件所决定。

2.2 正运动学分析

对于本文的少自由度并联机构,可以借助牛顿迭代法求得正解。

由杆长可得

此并联机构的位姿方程组也可以表示为

式(11)中,F(M,L)=[F1(M,l1)F2(M,l2)F3(M,l3)]T,M=(θ,z)T,L=(l1l2l3)T。

式(12)也可以记做

由式(11)可知

根据牛顿迭代法,其解可以表示为

牛顿迭代法只要给定一个初始近似解U0,并设定迭代精度ε(|Uk+1-Uk|≤ε,就可以得到满足此精度的解Uk+1。

2.3 速度分析

该机构输入速度和输出速度之间的关系是由雅克比矩阵决定,由动平台铰接点Ai的速度

式(15)中,VO'为执行平台的平移速度,ω为动平台角速度ω=(ωx,ωy,ωz)T,VAi为铰链中心Ai在参考坐标系O(x,y,z)中的运动速度;rAi是运动坐标中心点O到铰接点Ai的位置向量。

第i杆的输入速度为VAi沿单位矢量Si的量,可以表示为

将式(17)代入式(16)可得

该并联机构的Jacobin矩阵为

考虑到有3个支链机构,因此将有3个方程组合得到一个矩阵方程。

式(19)中,

该机构速度正解形式为

2.4 机构位置关系的几何分析

2.4.1 几何投影关系

少自由度并联机构的正位置分析即已知平移动平台的输入函数,求解动基座中心点O相对于末端执行器平台中心O'的旋转角度θ。执行平台沿z轴往复运动,则动基座会转过一定角度θ,如图2所示。连接A'iB'i,定义长度为l;点N为点A'3在动基座上的投影,连接A'1N,取长度为δ,即两动平台之间的空间距离OO';连接B'3N,定义长度为m。

(1)投影关系分析。根据图2空间投影关系可得:

m在动基座上的投影表示为

由图3可知,m在x方向和y方向的投影可以表示为

式(22)中:h为动平台的高,;a为动平台的边长;θ为旋转动平台的旋转角。

故而有

将公式(16)带入公式(15)得

由公式(17)变形得:

对公式(18)做进一步讨论,可以得到以下结论。

(1)θ=2kπ;(k∈Z)时,l2-δ2=a2/12;θ=(2k+1)π;(k∈Z)时,l2-δ2=9a2/12。

(2)θ=π/2±kπ;(k∈Z)时,l2-δ2=5a2/12。

根据GB 1985乘用车减振器的动行程为2~5cm,由于δ过大会影响车辆行驶的平顺性,故本文取a∈[0,200],l∈[0,200],θ∈[-π/2+2kπ,π/2+2kπ];k∈Z。

(2)旋转周期分析。图4中6)z(t)为末端执行平台的速度,由于铰接点均匀分布,因此作用在铰接点处的力的大小相等,铰接点出速度也相等,大小均为z6)(t),方向垂直向下。利用几何法,将此垂向速度分解为沿连杆的速度v1和垂直于连杆的速度v2,由于连杆上的速度处处相等,都为v2,此速度与垂直方向的夹角也为θ,由于旋转动平台的力是由连杆提供,因此将v1沿作用力的方向分解为垂直于旋转动平台的速度v11和线速度v12。

由图4可得

由圆周运动可知

式(28)中,rbi为旋转动平台的旋转半径。

因此

由周期T可知,旋转动平台的运动周期是

由于旋转角度θ与杆长li和并联机构的空间位置hi有关,因此可以得出此机构运动周期的一般表达式为

式(31)中,hi(t)=H-6)z(t)t。

2.4.2 结构参数分析

对于公式(17),固定l,a,θ中的一个参数,研究其余两个参数的关系。

(1)旋转角度θ(θ=0)一定,连杆长度l和动平台边长a的关系如图5所示。

从图5可知,对于边长a相同的动平台,随着连杆长度l的增长,平台间距δ近似线性增大,l与δ正相关;对于杆长l相等的连杆,随着边长a的增加,其平台间距δ略有减小,a与δ呈弱的负相关。要使δ>0,必须有,对于的值,δ不存在。而对于9个极小值(图中尖锐突起点)而言,随着a的增大,l与δ的线性域缩短。经分析,图中线形部分(即有效工作行程)范围有限,由于构件的惯性原因容易进入死区,结构参数设计中应予避免。

旋转角度θ取其他固定值时,具有相类似的结论。

(2)当连杆长度l(l=150 mm)一定,动平台边长a和旋转动平台旋转角θ的关系如图6所示。

由公式(15)可知,连杆l在动平台上的投影长度m由动平台边长a和旋转动平台旋转角θ决定,故而m在笛卡尔坐标系下的空间的位置函数可以由图6中的参数设计曲面表示,在工程上也表征了馈能发电机输入端的结构运动关系。对于边长a相同的动平台,随着旋转动平台角度θ的变化,边长a与空间距离δ为呈周期性关系,周期为2π,并且随着动平台的边长a增大,这种趋势更加明显;对于同一个旋转角θ值,随着动平台的边长a的增加,其空间距离δ的值会减小,且非线性程度非常高。因此,相对于汽车悬架,此处的动平台的旋转角不宜过大,以避免δ迅速减小可能引起的悬架击穿问题。

(3)当动平台的边长a(a=200 mm)一定,连杆的长度l和旋转动平台角度θ的关系如图7所示。

从图7可知,此曲面同样也是表示少自由度并联机构在空间的位置函数,对于同一个旋转角度θ值,随着连杆长度l的增大,其空间距离δ的值会增大,连杆越长,空间斜率越大,曲线越陡峭;对于相同的连杆长度l,随着旋转动平台角度θ的变化,其空间位置函数δ与旋转角变化趋势是一致的。

3 数值算例与仿真验证

3.1 数值算例

设执行动平台边长a=100 mm,动基座边长b=200 mm,两平台的厚度h=10 mm,所用构件材料均为钢材,密度ρ=7.8 kg/mm2,重力加速度g=9.8m/s2,其质心的运动规律为z=10sint。

平台的位置反解见表1,与此对应的平台的位置正解见表2。

3.2 仿真分析

3.2.1 正弦输入

为了分析少自由度并联机构的运动性能,分别以1 Hz、2 Hz和5 Hz的正弦波作为约束支链的驱动函数,振幅均为±11 mm,得到少自由度并联机构末端执行平台和动基座位移、速度和角度,如图8~图10。

图8中末端执行平台的相对位移即为输入。图9和图10可知,频率越高,少自由度并联机构的动基座的旋转速度越大,转化能量的效率越快,但其旋转的角度的最大值输入的频率无关,仅由幅值和系统结构参数确定;由图10可知,旋转角度的数值解与仿真结果的误差小于2%,主要是由于模型未考虑其间隙,但基本上是吻合的,有效的验证了所建模型的有效性。对于正弦输入,其输出和输入的周期近似为两倍关系,与公式(30)的推导相吻合,当不考虑质量参数时,此两倍关系只与动平台的边长a,杆长l有关,与其他参数无关。

3.2.2 阶跃输入

调用ADAMS/View中的阶跃函数F=STEP(tim,0,0,10,5)作为驱动输入,计算得到少自由度并联机构末端执行平台和动基座位移、速度和角度,如图11和图12。

图12可知,该并联机构动基座的旋转速度和旋转角度在5 s时迅速转换方向,该点及其附近是危险的工作区间,需要重点考虑结构惯性、冲击等问题。

3.2.3 随机输入

利用样条曲线Spline作为驱动输入,得到在随机输入下,该机构执行平台和动基座位移、速度和角度的变化关系,如图13和图14。

从图13和图14可知,动基座对随机输入具有明显的时滞特性,主要是由于前述输出周期增大的原因。

4 结论

(1)本问提出一种新型少自由度并联机构馈能悬架模型,利用旋量理论和牛顿迭代法求解出其位置正逆解,对其速度特性进行了分析,并利用几何投影法得到该机构动基座的旋转周期的一般表达式。对于正弦输入,该机构输出周期为输入周期2倍,并可根据边长a、杆长l的参数设计来实现转角幅值放大作用。

(2)通过空间投影法对该机构的结构参数,边长a、杆长l和旋转角θ之间的关系进行分析,可知对于给定其中某一参数,其他参数之间成一定的周期关系,且此周期与该机构的结构参数相关,此分析方法验证所建模型的正确性和有效性。

(3)通过数值分析可以得到该机构支链和旋转角的变化规律,由此可以说明该机构可以有效的将悬架的垂直移动转化为馈能电机的旋转运动。由仿真可知,该机构对外部激励反应灵敏,且转换效率高,也为该机构应用在馈能悬架中奠定了理论基础。

摘要：为回收汽车悬架振动能量,提出一种新型少自由度并联机构馈能悬架模型;该并联机构可以将悬架的垂向振动转化为该机构动基座绕z轴的一维转动,以驱动馈能电机回收能量。运用旋量理论对该并联机构的自由度进行分析,根据支链的约束条件,分别应用位姿变换公式和牛顿迭代法建立该并联机构的位置逆解和位置正解约束方程,求得4组实数正逆解。在位置分析基础上,采用一种简单的空间投影方法进行连杆速度的计算;并得到该并联机构动基座旋转周期的一般表达式。最后利用ADAMS进行正弦、阶跃和随机三种输入仿真,验证所建模型的有效性和正确性。

关键词：馈能悬架,少自由度,位置正解,投影法

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少自由度并联机构 篇3

随着激光应用技术的发展,三维空间曲线的激光切割以其先进、灵活、适应性强等特点,在国外的汽车工业、航空航天工业等诸多领域都得了广泛的应用。使用三维激光切割,不仅可以节省样板及工装设备,还大大缩短了生产准备周期[1,2,3]。

目前大多数三维激光切割机的主机传动机构均为串联方式。串联机构的切割头运动轨迹控制都是建立在笛卡尔坐标系中,动作控制过程的数学运算简单,但是机械结构复杂、笨重,设备动态响应速度差,零部件寿命低,无论光束以何种方式传输,都需要价格昂贵的三维激光切割头。针对上述问题,本文创新地设计了一种结构更加灵巧、刚性更大、惯性更小、精度更高的少自由度并联机构的数控激光切割机,它以光纤为光束传输介质,通过五个简单的直线驱动装置来实现对切割头在三维空间X、Y、Z、A、C五轴运动的控制。并运用多体动力学软件ADAMS对其在特定工况下的运动学特性进行了仿真,为进一步深入研究以及产品化提供了依据和参考。

1 机构设计

并联机床又称虚拟轴机床,是机床技术、机器人技术以及数控技术相结合的产物,与传统的串联机床相比,属于结构简单、数学运算复杂、知识密集型产品。它具有刚度大、响应快、精度高、适应性强、技术附加值高等突出优点,是近年来数控机床发展的重要方向[4,5,6]。

本文设计的少自由度并联激光切割机示意图见图1。图2为切割头局部示意图,图3为激光头安装支架的结构示意图。

1-机身;2-Y轴溜板;3-横梁

4,5,6,7-直线驱动装置;8-Z轴溜板;9-切割头;10-激光头安装支座;11-十字架;40,50,60,70-连杆

五个自由度及其定义方式如下:①X轴为横梁3沿机身1上的X向导轨的运动;②Y轴为溜板2沿横梁3上的Y向导轨的运动;③Z轴为溜板8沿Y轴溜板2上的Z向导轨的运动;④A轴为十字架11通过转动副与Z轴溜板8连接,并可在±90°的范围内进行旋转运动;⑤C轴为激光头安装支座10通过转动副与十字架11连接,并可在±90°的范围内进行旋转运动。

X轴运动控制与普通的龙门式二维激光切割机相同,而Y、Z、A、C四轴的运动是通过并联机构来实现的。活动连接于横梁3上且只能够沿Y向运动的四个可控的直线驱动装置4、5、6、7分别通过两端均为万向铰接的连杆40、50、60、70与激光头安装支架10相连接,通过四个直线驱动装置间的同向、反向驱动来完成对切割头安装支座10的位置与姿态的控制,进而实现切割头对空间曲线的切割。

通常,并联机构在其工作空间内会存在奇异点限制,当机构处于奇异点时,驱动装置将无法达成驱动命令而造成控制误差。在本文的机构设计中,零件10的四个万向铰接点在YOZ平面呈对称分布,而在XOZ面上的投影高度L1

2 运动学仿真

本文设计的少自由度并联五轴激光切割机是以少自由度并联机构为基础,多变量、高度非线性、多参数耦合的复杂系统。当激光切割头以一定的形式运动时,其速度、加速度与四个直线驱动装置的运动速度、加速度中间有严格的依赖关系。从机构学角度来看,激光切割头在笛卡尔坐标中的运动是四个可控直线驱动装置运动的非线性映射,即直线驱动装置间的相互位置与切割头位姿间的对应关系是非线性的。运动学仿真的目的是通过考察各可控直线驱动装置及各部件的相对运动状态,检验机构是否发生干涉,考察和评价系统的速度和加速度特性。系统的速度、加速度、驱动力以及惯量比等诸多参数都是在设计时必须重点考虑的指标,这些参数是否匹配合理对系统性能具有决定性的影响。传统方法对上述参数及其在不同位置的变化情况进行定量分析有很大困难,而ADAMS却能够有效地处理此类复杂问题。因此,运用多体动力学分析软件ADAMS对系统的各个参数及其变化过程进行仿真具有重要的意义。

在ADAMS中建立的动力学模型如图4所示。篇幅所限,本文仅对Z轴、A轴及C轴在各自的行程范围内进行了逆运动学仿真,得到了Z轴在其最高定位速度90 m/min以及A轴、C轴在最高定位角速度270°/s匀速运动工况下,四个直线驱动装置的速度曲线,仿真结果如图5～图7所示。

本文通过运动学分析,确定了在特定工况下可控直线驱动装置的速度曲线,为后期的结构设计、驱动参数的选择以及运动控制提供了理论依据和数据参考。影响机床性能的因素很多,本文在运动学仿真过程中考虑的因素有限,其结果具有一定的局限性,还需要作进一步深入的研究。

3 总结

并联机构在三维激光切割领域的应用是个全新的课题,是机器人技术向激光加工领域的扩展,能给激光加工的发展带来全新的变化,对激光切割机产品设计的创新具有重要意义。本文结合三维激光切割的特点,采用全新的方法设计的少自由度五轴联动激光切割机具有结构简单、零部件数目少、刚度大、动态响应速度快、切割精度高等特点,虽然机床硬件简单,但控制系统软件复杂,故具有更高的技术附加值。

并联五轴激光切割机涉及到光、机、电、机器人等诸多方面的内容,是一个复杂的系统。由于研究水平有限,本文难免有浅陋之处。激光切割机的发展是一个长期的、艰辛的过程,需要多方面的工作,笔者认为我们可以在以下几个方面进行更深入的研究:

(1)开发高性能数控系统或者对现有数控系统进行二次开发,开发相应的三维切割CAM软件,实现自动编程功能和智能化控制。

(2)对机构的运动学、动力学特性以及温度变化对机构的影响进行深入的研究,为实际的物理样机制造提供系统的理论基础。

(3)对关键零部件以及各种专用激光切割系统进行研发,实现产品化。

参考文献

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少自由度并联机构 篇4

并联机构相对串联机构来说具有精度高、刚度重量比大、响应速度快的优点,目前是一个研究热点。但是研究最多的是空间六自由度的Steward类似机构,相对来说平面三自由度并联机构研究的比较少,在这种情况下,本文提出一种平面三自由度并联机构展开设计研究,并用实际案例进一步验证了设计结果。

2 机构描述

如图1所示,该并联机构主要由3个独立的分支组成。每个分支由一个球副S和两个移动副P组成,形成SPP运动链,其中两个移动副P共用一个滑块。三个球副Si(i=0,1,2)所确定的面为工作面即末端执行器;三个移动副Pi(i=0,1,2)所确定的面为基面即机座。

建立此并联机构,期望末端执行器能获得两个移动自由度和一个转动自由度,且该三个自由度均能在同一平面内完成。

3 机构分析

3.1 自由度计算

由空间机构学理论[1]可知,空间运动机构的自由度数可按约束螺旋求解法进行计算。

如图1所示,在机座中心建立固定坐标系(O′-X′Y′Z′),在末端执行器中心建立动坐标系(O-XYZ),设P21P22的长度为a,P21P23的长度为b,P11Sl的长度为l。根据螺旋理论,可求出末端执行器所有运动链终端约束所形成的线性空间为

再代入互易螺旋公式,即

可求得末端执行器的自由运动螺旋为:

该式表明末端执行器的自由度数为

类型为两个移动即沿X轴移动和沿Y轴移动;一个转动即绕Z轴转动。通过自由度计算分析,表明此机构综合是正确的。

3.2 运动学逆解

已知满足某工作要求时末端执行器的空间位置和姿态,以及各构件的结构参数,求关节变量,这是运动学逆解内容[2]。各关节变量的正确求解是并联机构成功控制的关键,也是控制系统所需的重要输入参数之一。根据并联机器人位置与姿态的描述和空间坐标变换理论,可以得到

式中:Si′为连杆P1iSi与末端执行器的连接点在固定坐标系{O′-X′Y′Z′}中的坐标矢量;Si为连杆P1iSi与末端执行器的连接点在动坐标系{O-XYZ}中的坐标矢量;P1i′为连杆P1iSi与移动副的连接点在固定坐标系{O′-X′Y′Z′}中的坐标矢量;矩阵T为动坐标系对固定坐标系的坐标变换矩阵。

已知三组移动副仅沿X、Y方向直线运动,连杆P1iSi始终垂直于XOY平面,显然连杆P1iSi长度

又根据杆长方程可得:

由式(1)和式(2),可解出:

式(5)即为末端执行器的位置逆解。当给定末端执行器的位姿和各构件的结构参数,便可由式(5)求出三组移动副的位置变量。

通过对图1所示并联机构进行分析,可为每组滑块的运动进行轨迹规划,并能够为伺服控制系统的实时控制提供参数,使各个滑块更好地协调工作,从而实现该并联机构的设计运动期望。

4 机构设计

该并联机构详细设计如图2所示,驱动单元2、电机座3、滚珠丝杠5及十字滑块4构成一条独立运动链,在机座1上横向布置两套运动链,在机座1上纵向布置一套。三套十字滑块均用球副与末端执行器6相连。要实现末端执行器6的运动期望,只需控制好三套独立的驱动单元。

1.机座2.驱动单元3.电机座4.十字滑块5.滚珠丝杠6.末端执行器

5 机构验证

惯性约束聚变(ICF)是产生聚变反应的一种方法[3],要实现ICF必须提供高能量的激光束。为此,ICF装置需要采用大量的大口径光学元件将主振荡器产生的n J能量级别的激光脉冲不断放大成MJ能量的激光脉冲。

基于洁净及结构的考虑,大口径光学元件绝大部分装在了离地数米高的桁架内洁净厢里。要实现装置的正确安装和拆卸须保证大口径光学元件与洁净厢的入口完全对正。本文所提出的3-SPP并联机构主要是解决上述问题。图3为该机构正在进行设计验证。验证结果表明,该机构能很好地满足设计要求,达到了运动期望[4]。

6 结论

本文所设计的一种3-SPP平面三自由度并联机构具有承载能力大、刚度和精度高等特点,验证结果表明该机构满足三种运动期望,达到了定位精度和可调范围指标,实现了对大口径光学元件姿态的精确调整。

目前该机构已经成功地应用于ICF实验中,并为ICF实验的顺利进行打下了坚实的基础。从实际使用情况来看,已经取得了比较满意的效果,但是该机构的定位快速灵敏性还需进一步提高和完善。

摘要：提出了一种3-SPP平面三自由度并联机构。针对该机构先从理论上进行了自由度数计算和运动学分析,然后完成了该机构的结构设计和样机试制,最后在大型激光器的大口径光学元件安装和拆卸中进行机构设计目标验证。实验结果表明,该机构满足设计运动期望,达到了定位精度和可调范围指标,实现了对大口径光学元件位姿的精确调整。

关键词：3-SPP,并联机构,位姿调整,运动期望

参考文献

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[3]钱民权,杨茂荣,潘清,等.激光驱动的光阴极研究[J].强激光与粒子束,1997,9(2):185-188.

少自由度并联机构 篇5

并联机构是随着机构学的发展而出现的一类新型机构。可以定义为由动平台 (或称末端执行器) 通过至少2个独立的运动链与定平台相连接, 具有两个或两个以上自由度且以并联方式驱动的一种闭环机构。它的出现可以回溯至1930年代, 早在1947年, Gough提出了闭环结构的机构设计基本原理, 并于1962年完成了轮胎检测装置的样机。1965年Stewart设计了飞行模拟器, 1978年Hunt系统地分析了并联机器人机构的运动链机构, 提出了多种可用于并联机器人的机构类型, 之后相继出现了更多的并联机构。多年来, 对并联机构的研究已经有了很大的进展, 各方面的研究已经全面展开, 并取得了可喜的成果。

相对其它传统机构而言, 并联机构具有刚度大、精度高、动态性能高等特点, 正适应了近代的机器对机构重载、高精度和高刚度的要求。因此被广泛应用于机床、医疗器械、娱乐设施、航空航天、移动机器人、精密定位装置以及工业机器人等领域。

目前的并联机构大都是以典型的Stewart构型为基础而开发出来的, 驱动构件多为单一的刚性驱动。而近年来新兴的一种柔索驱动的并联机构则是纯柔性驱动———并联柔索机构。所谓的并联柔索机构是近年来出现的一种新型机器人机构, 它是并联机构的一种新的衍生形式, 因此继承了并联机构的许多优点, 同时又由于机构用柔索驱动来代替连杆驱动, 大大降低了机构的重量, 从而进一步提高了机构的承载能力, 降低能耗, 并且可以实现高速作业。

2 并联机构新构型的设计初探

并联机构的构型设计是并联机器人机构学研究的重要内容之一, 也是并联机构设计的首要环节。所谓的构型设计就是研究开发并联结构制造装备。首先要解决的问题———构型以及整体布局。这一环节也常称为概念设计, 其主要目的是探讨满足一定条件下的机构的可能构型及相应的变化规律, 为合理选择构型提供必要的理论依据。

2.1 传统并联机构的构型

如图1所示, 可以看出该机构是由典型的Stewart平台演变而来的, 但与Stewart平台又有很大差别。由于机构采用4根定长杆进行驱动, 具有很高刚度。机构结构简单, 在空间运动中不会出现奇异问题, 因此采用此种机构进行研究。动平台在T1、T2、T3、T4处分别用铰链与4个连杆相连, 4个连杆均为定长杆。4个连杆的另一端分别在S1、S2、S3、S4处用铰链与沿机架移动的四个滑块相连, 其中S3和S4处的运动副为1个自由度的转动副 (R) , S1和S2处的运动副为2自由度的万向铰链 (U) , T1、T2、T3、T4处的运动副为球副 (S) 。根据Kutzbach Grubler公式, 该机构自由度为:

机构具有的运动分别为:沿Y、Z方向的移动、绕X方向的转动、绕T3-T4轴线的转动, 即运动平台的四个自由度为2个移动以及2个转动。当给S1、S2、S3、S4四个滑块确定的输入, 则该机构具有确定的相对运动。

2.2 构型设计总体思想及目的

并联机构虽然较传统的机构 (如串联机构) 存在很多优点, 但仍有很多不足之处。对于一般的传统并联机床及一些机械装备来说, 其连接件都是刚性杆件, 不具备柔性, 也存在如精度低、振动大等不足, 连接铰链刚度差, 也是并联机构不能得到更好应用的原因之一。

为了克服并联机构的诸多缺点, 我们在这里要提出的是一种新型的并联机构———基于刚柔结合的并联机构。即要结合并联柔索机构的特点, 在典型的STEWART并联机构基础上, 对机构进行改进和创新, 使其在保留传统并联机构特点的基础上, 充分利用上面提到的柔索机构的一系列特性, 将两者有效地结合在一起, 应用于新的并联机构构型中, 以此提高现有并联机构的性能。

2.3 改进并联机构的构型设计

新构型总体的设计思想是在传统并联机构的基础上, 为动平台加入驱动柔索, 使得在冗余驱动方式下, 不改变机构原有的运动形式, 对其进行预紧, 从而提高整个机构的运动性能 (包括机械性能、刚度以及振动特性等) 。即通过柔索的引用使其在保持并联机构自身特性基础上, 起到优化机构的作用。综上所述, 提出如下两种改进方式:

(1) 仿照并联柔索悬挂机器人 (PWSRs, Parallel Wire Suspended Robots) 中柔索的固定形式。将柔索的一端以套环固定在动平台上 (连接的套环相当于一个万向铰) , 这样当动平台运动时, 加入的柔索不会影响它的运动空间范围、运动形式和轨迹。另外一端固定在机构已有的铰链S3和S4上, 如图2所示。

由于柔索的驱动形式以及连接方式的特殊性, 在这种构型中所用的柔索应该是长度可以自由伸缩的构件。为了达到这一目的, 柔索用弹性系数较低的钢丝缠绕型弹簧制成。这样柔索会具有较好的弹性张力, 受力易变形。以期主要依靠诸如重力和弹簧力等被动力来张紧柔索。当滑块在立柱上来回运动时, 柔索因受力也会随之产生变形, 从而伸长和缩短。既不影响机构原有的运动形式和轨迹, 还可以提高整个机构的预紧能力, 从而提高机构精度。多加的2根柔索也参与承重, 使原来4根定长杆的平均承重减轻, 从而提高机构的刚度和承重能力。

在这种驱动方式里, 难点是如何准确地控制钢丝绳的伸长和缩短。主要是保证柔索不会产生永久性的变形, 使其始终随动平台运动的改变而伸长或者缩短, 以免影响机构的运动性能。在柔索的选材和拉力的计算上也将存在很多难点。解决的方法是:可以在柔索上安装拉力传感器, 以控制柔索受到的各个方向的拉力在其屈服强度范围内, 保证柔索不失效。

(2) 参考并联柔索驱动机器人 (PWDRs, Parallel Wire Driven Robots) 中柔索的固定方式。对比前一种构型, 在这种机构中柔索的连接形式应该是如图3所示。

区别于第一种机构, 这里只引入了一根柔索。柔索的一端与动平台以套环连接, 连接件套环相当一个万向铰, 可以实现周向运动, 从而使加入的单根柔索不影响机构的原有运动形式和轨迹;另一端则由电机来驱动, 在电机输出一端安装一个定滑轮, 柔索的一端就固定在滑轮上与电机相连。在防止柔索松弛的前提下, 通过主轴驱动, 带动滑轮转动并控制柔索的伸长和缩短随动平台的运动而同步变化, 与机构同步, 完成预期的运动。并能够始终保持柔索的张紧状态 (且张紧力为定值) 。为了实现柔索的定预紧力这一目的, 可以在柔索上安装张力传感器, 这样当张力在限制范围外时, 电机输出轴转动, 从而改变柔索的长度随动平台的运动而改变。一方面对整个平台始终有向上的牵引力, 从而减轻杆的承重, 提高机构的承重能力和刚度特性。另一方面, 又可以始终保持机构的预紧力, 使各个铰链和万向铰间能始终保持最小间隙状态, 从而提高机构的精度。

这样, 在柔索的机构和机械设计中, 要考虑到此处的柔索与柔索驱动并联机构中柔索的不同。柔索是钢丝缠绕的高弹性系数的材料, 受力变形很小, 且在机构允许的应力范围内不会发生永久性变形。因此在柔索制作工艺和材料选择采用‘多股螺旋压缩弹簧’。此种弹簧结构柔度较大, 在一定载荷的作用下, 还可以得到较小的振幅, 具有减振作用。

另外, 从受力和力矩的平衡方面来讲, 柔索位于平台的中心位置, 应该是平台的坐标原点处, 这样对于动平台在各个自由度方向上的运动形式、工作空间及轨迹不会有影响。

3 结论

本文在现有的典型并联机构构型的基础上, 提出两种基于刚柔结合的并联机构的改进方案, 并对其构型及其控制方式进行讨论, 重点对并联机构的构型和布局进行阐述, 因为并联机构的结构布局会对其性能产生较为显著的影响。这些构型的提出, 打破了传统设计思想, 为并联机构的构型改进, 并联机构的性能提高, 特别是更好的应用于实际生产中提供了理论依据。

参考文献

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少自由度并联机构 篇6

三自由度平面并联机床是由指运动平台上对称布置的移动副和转动副组成3自由的并联机构。任何类型的三自由度平面并联机器人其运动平台和机座均为正三角形形状。

1.1 分支运动链及机构的型

3-DOF平面并联并联机器人由移动副和转动副连接而成。图1所示是并联机器人在静止状态下的机构运动示意图, 按照从固定基座到动平台的顺序, 若用R表示转动副, P表示移动副, 它们分别是:RRR、RPR、RRP、RPP、PRR、PPR、PRP、PPP, 由于三个移动副PPP在平面上不独立, 即三个PPP无法给动平台带来独立的三个运动, 在实际中没有使用价值。因此, 3-DOF平面并联机床的三个分支链结构只可能是七种组合形式:RRR、RPR、RRP、RPP、PRR、PPR、PRP, 则平面并联机床的分支链结构只剩下如表1所示的八种。

1.2 机构的组成分析

并联机床机构的自由度由运动副数和类型、组件的数量和运动支链间的相互制约条件决定。不考虑可能存在重复约束、部分约束和负自由度的情况下, 并联机床平台的自由度F为

式中:F代表机床平台自由度;n代表机床组件的数量;p代表不同类型运动副的数量总和;iu为第i个运动副自由度的数目, 对于高副为1, 低副为2。

令ui=6-fi, 其中fi为第i个运动副的相对自由度数, 代入上式公式可得:

这就是空间机构自由度的一般形式的计算公式。而对于平面机构有

对于图1中3-R R R平面并联机床机构, 因此F=3。因此该并联机床具有三个自由度。由于它是平面并联机床, 所以这三个自由度分别为沿X和Y方向的平动和在X-Y平面内的转动。

2 并联机构的工作空间

并联机床的工作空间共有三种类型:1) 灵巧工作空间是在满足给定位姿范围时机器人末端可达点的集合;2) 可达工作空间是机器人末端可达点的集合;3) 全工作空间是给定所有位姿时机器人末端可达点的集合。

2.1 坐标系的建立及搜索方法

如图2所示, 为一个3-RRR平面并联机构, 其工作空间为末端执行器O点可达区域。工作空间在平面内的边界为曲线, 在三维空间其边界为曲面, 许多学者对并联机构末端执行器的位置进行正解和逆解, 本文以末端执行器的O点和其姿态为变量, 进行搜索求解器工作空间。

上述方程是并联机构末端O的坐标在工作空间必须满足的约束条件。当以一定规律移动O点或者改变末端执行器的姿态, 若出现方程 (4) 中任何一个公式不满足的情况, 该点Ai责不属于工作空间。点Ai (i=1, 2, 3) 的向量坐标为:

2.2 搜索的基本步骤

1) 建立坐标系XOY, 坐标系的原点为三角形C1 C2 C3的中心, 建立另一个坐标系X'O'Y', 坐标原点为末端执行器的运动中的可能位置, 坐标系X'O'Y'相对于坐标系XOY旋转角度为θ。坐标系X'O'Y'的极坐标公式为:

5) 重复以上步骤, 搜索下一条射线所能达到距离的最大值。

按照以上步骤用VB建立参数化设计界面。当姿态角为0的时, 程序得出的的工作空间, 同拓扑法求解的工作空间完全一致, 验证了程序的正确性。

2.3 定姿态的工作空间

在图2中平台的姿态可以用动坐标X'与固定坐标X的夹角j来唯一确定。把角度φ定义3-RRR的姿态角, 当姿态角保持不变的时候, 末端执行器的参考点O运动范围称为定姿态工作空间, 记为Wφ (O) 。

为了验证搜索的正确性可以用拓扑法求解定姿态的工作空间, 如图3所示, 如果只考虑支链1的约束时, 参考点O的运动范围可由子工作空间沿向量C1O平移得到, 同时考虑三条支链的约束时, 可令其他两个子工作空间沿CjO (j=2, 3) 平移得到的三个区域相交的部分为定姿态的工作空间, 图3阴影部分为定姿态角的工作空间。

在用搜索法求解定姿态的工作空间, 其方法同工作空间的搜索, 只需在第三步把姿态角固定求解出极径, 及为第i条射线运动的边界。其余步骤均为一样, 其搜索结果如图4所示, 结果完全一样, 验证了程序的正确性。

2.4 基于VB建立参数化输出界面

Visual Basic编译快捷, 能快速的找到语法错误, 根据上述搜索的步骤, 编写了3-RRR并联机器人的工作空间VB求解界面, 如图5所示。

其中内部边界为其灵活工作空间, 由于结构的对称导致工作空间的对称, 故这个结果又自检测性, 如果搜索的结果不对称, 则搜索结果是错误的。

3 结论

本章首先根据Jean-Pierre.Merlet的理论得到3-DOF的不同的组合形式, 分析组合3-DOF的运动副, 求解了3-DOF的自由度。其次介绍了迭代搜索法, 采用此种方法建立并联机器人的工作空间的参数化求解VB界面, 把杆长、基座和动平台作为变量输入到界面就能求解全工作空间, 灵活工作空间和定姿态工作空间。关于定姿态工作空间的求解。同时用拓扑法求解, 证明给搜索正确性。

摘要：本文首先对平面三自由度并联机床的的构型进行分析, 研究了分支运动链机构的型以及组成元素。随后以3-RRR为例, 应用迭代搜索法分析了并联机床的可达工作空间、灵活工作空间以及定姿态工作空间, 建立一种参数化设计界面。

关键词：并联机床,运动学,工作空间

参考文献

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少自由度并联机构 篇7

二自由度球面并联机构属于典型的少自由度并联机构,已在卫星天线、球面上点的定位设备[1]等中得到应用,还可用于人形机器人的踝关节。该机构的构型[2,3]、运动学分析[4,5,6,7]等方面的研究已有报道。

二自由度球面并联机构UP+R为8次超静定机构,两支链的构件属于球面曲杆,其静力学求解比较困难,迄今为止尚未见研究报道。

目前,少自由度并联机构静力学方面的研究已经取得了一定的进展。李永刚等[8]利用虚功原理,建立了少自由度并联机构输入和输出广义力间的完整映射;崔冰艳等[9]采用虚功原理法建立了一种基于二自由度正交球面并联机构的农业机器人新型肘关节的静力学传递方程;吴孟丽等[10]在传统的虚位移原理法中引入影响系数,并将其与广义坐标结合分析了一种三自由度并联机器人的静力学问题;Florence等[11]基于用圆柱副替换链接转动副的转换机构法解决了一种三自由度并联机构的超静定问题,求得了每个构件的受力;周玉林等[12]利用弹性小变形叠加原理完成了三自由度球面并联机构的静力学分析。

在少自由度并联机构的静力学研究中,除了文献[12]中得到了三自由度球面并联机构的静力学全解外,其他文献中一般是利用虚功原理,求得机构的输入与外载荷之间的关系(即力雅可比矩阵)的,这对选择机构的驱动电机比较方便,但是,这种方法不能求得机构每个构件及构件上任意点的力,难以满足机构设计者的全信息要求。因此,对机构静力学的全面求解有重要的工程价值。

本文采用拆杆法,建立机构的静力学平衡方程;基于构件弹性,利用小变形叠加原理建立变形协调补充方程;对二自由度球面并联机构UP+R进行静力学分析,求得机构中任何构件上任意一点(包括铰链点)处的力、力矩与机构外载荷、机构位姿的解析关系,进而得到在三种外载荷条件下构件上各力、力矩与机构位姿的关系图,形成该机构静力学计算的数据基础。分析表明,外力与力矩在构件上任意一点所产生的两部分力是各自独立的,并可以线性分离,为该机构的工程设计奠定了基础。

1 二自由度球面并联机构UP+R

二自由度球面并联机构UP+R由机架、动平台和两个支链组成。机架通过两个支链与动平台连接,形成并联闭环机构;其中支链1由连杆1和三个转动副组成,弧杆半径为r1,支链2由连杆2-1、连杆2-2(分别对应90°的圆心角)和三个转动副组成,弧杆半径为r2;两个伺服电机安装在机架上,电机轴互相垂直;动平台的两转动副轴线垂直,可以实现两个方向的转动;此机构的所有转动副轴线汇交于球心O。UP+R的具体结构如图1所示。

取机构动平台的中心O为各坐标系的原点,建立固定坐标系O0X0Y0Z0、动坐标系OXYZ、各连杆坐标系OXijYijZij[13](i=1,2,j=1,2,3,表示第i个支链的第j个转动副)。

其中,X0轴与支链1的电机轴线重合、沿O0E指向,Y0轴与支链2的电机轴线重合、沿O0A指向;Y轴与动平台两支撑销轴重合、沿OD指向,X轴与支链1的电机轴线重合、方向与OC方向相反;Zij分别与第i个支链的第j个转动副的轴线重合,正方向指向球外,Xij分别沿Zij与Zij+1所张成平面的外法线方向。

ui、wi、vi分别表示Zi1、Zi2、Zi3(i=1,2)坐标轴在静坐标系下的单位矢量,正方向指向外侧。

2 静力学平衡方程

在工程应用中,机构所受到的实际外载荷可简化为过球心的力F和作用在动平台上的力矩M。将机构中所有的活动构件按原尺寸分离出来,分别建立其静力学平衡方程(不考虑摩擦和重力)如下。

(1)动平台的三个铰链点分别受三个力和两个力矩的作用,即F12、R12、P12、M1r2、M1p2,F13、R13、P13、M1r3、M1p3和F23、R23、P23、M2r3、M2p3;w1、O12、q12和vi、Oi3、qi3(i=1,2)为固定坐标系下的单位方向矢量,如图2所示。平衡方程为

(2)连杆1与动平台的两个连接点处分别受三个力和两个力矩的作用,即F′12、R′12、P′12、M′1r2、M′1p2和F′13、R′13、P′13、M′1r3、M′1p3;连杆1与电机的连接点受三个力和三个力矩的作用,即F11、R11、P11和M1、M1r1、M1p1;u1、O11、q11为固定坐标系的单位方向矢量,如图3所示。平衡方程为

(3)连杆2-2的两个铰链点分别受三个力和两个力矩的作用,即F′23、R′23、P′23、M′2r3、M′2p3和F22、R22、P22、M2r2、M2p2;w2、O22、q22为固定坐标系下的单位方向矢量,如图4所示。平衡方程为

(4)连杆2-1与连杆2-2的连接点受三个力和两个力矩的作用,即F″22、R″22、P″22、M″2r2、M″2p2,连杆2-1与电机的连接点受三个力和三个力矩的作用,即F21、R21、P21、M2、M2r1、M2p1;u2、O21、q21为固定坐标系下的单位方向矢量,如图5所示。平衡方程为

由以上方程得到24个独立的静力学平衡方程。该机构具有8个过约束,超静定次数为8次,需要补充8个变形协调方程。

3 变形协调方程及方程组求解

为了便于研究,不考虑各转动副处的变形和间隙,并采取以下假设:连续性假设(即认为组成固体的物质毫无空隙地充满固体的几何空间)、均匀性假设(即认为从构件内任取一部分,不论其体积大小如何,其力学性能完全相同)、各向同性假设(即认为固体在各个方向上的力学性能完全相同),机构满足弹性小变形条件,动平台为刚体。

虽然机构的各杆件为弧形,但弧的半径相对杆件的截面尺寸较大,所以杆件可等效为直杆来分析它的变形[14]。杆件的轴向压缩(拉伸)变形和垂直杆件方向的剪切变形相对于扭转和弯曲变形较小,忽略不计。

为了便于描述构件变形,引入新的坐标系:设曲杆弧的切线方向为S方向,曲杆的曲率半径方向为Y方向,垂直于曲杆平面的方向为Z方向。

3.1 连杆2-1的变形

连杆2-1下端受6个约束,简化为固定端;上端受三个力F″22、R″22、P″22和两个力矩M″2r2、M″2p2的作用,如图6所示。

m21(θ)、m21t(θ)、m21w(θ)为上述作用力引起的连杆2-1任意截面θ处的力矩。当θ=90°时,m21(θ)引起的转角和挠度分为θ′21z和υ′21H;m21t(θ)引起的扭转角为Φ21;m21w(θ)引起的转角和挠度为θ′21y和υ′21V。

则连杆2-1上端的线位移、可传递到上连杆的角位移分别为

另外,支链1和支链2的变形使动平台和连杆2-2产生了微小的位姿调整,因此,连杆2-1相对于连杆2-2存在一个刚性的沿w2方向的牵连角位移,用γ2表示,如图7所示。

连杆2-1上端的实际角位移为

该角位移引起的连杆2-2上端的线位移为

3.2 连杆2-2的变形

连杆2-2与连杆2-1连接处受5个约束,简化为转动副;与动平台连接处受三个力F′23、R′23、P′23和两个力矩M′2r3、M′2p3的作用,如图8所示。

m22(θ)、m22t(θ)、m22w(θ)为上述作用力引起的连杆2-2任意截面θ处的力矩。当θ=90°时,m22(θ)引起的转角和挠度为θ′22z和υ′22H;m22t(θ)引起的扭转角为Φ22。

连杆2-2与动平台连接处的线位移和角位移分别为

根据小变形叠加原理,连杆2-2与动平台连接处的总线位移和总角位移分别为

3.3 连杆1的变形

为方便描述连杆1的变形,将连杆1拆分成连杆1-2和连杆1-3两段来进行研究,如图9所示。

连杆1-j与电机连接端简化为固定端;另一端受三个力F′1j、R′1j、P′1j和两个力矩M′1rj、M′1pj(j=2,3)的作用,如图10所示。

m1j(θ)、m1jt(θ)、m1jw(θ)为上述作用力引起的连杆1-j任意截面θ处的力矩。当θ=90°时,m1j(θ)引起的转角和挠度为θ′1jz和υ′1jH;m1jt(θ)引起的扭转角为Φ1j;m1jw(θ)引起的转角和挠度为θ′1jy和υ′1jV。所以,连杆1-2和连杆1-3上端点的线位移、可传递到上连杆的角位移分别为

3.4 动平台角位移与球心点线位移

动平台三个顶点的线位移在三条边上的投影分别相等,如图11所示。

从而,γ2可由将式(9)和式(10)代入式(12)中解得。

支链2、支链1-2和支链1-3传递给动平台的角位移分别为

另外,动平台三个顶点的线位移不同,所以在三个顶点处分别存在一个附加角位移,设其分别为ζ2、ζ12和ζ13,则动平台三个顶点的实际角位移分别为

动平台为刚体,所以其上的每一点都具有相同的角位移δi,即存在关系:

由上式解得ζ2、ζ12、ζ13。

动平台为刚体,球心点的线位移ΔO是唯一的。两条支链与动平台连接处的线位移与动平台的角位移的关系如图12所示。

有表达式:

因动平台为刚体,所以每一支链对应的中心点的线位移相等,即

将式(16)展开,得到5个独立的方程,即

第二支链与动平台连接处的线位移与球心点线位移在v2上的投影相等,即

联立式(1)、式(2)、式(3)、式(4)、式(17)、式(18)、式(12)的第二、第三式,可得32个独立方程,用Maple软件求得全部32个未知力和未知力矩。

分别对各个转动副处的力和力矩的矢量和求模,可得到各个转动副处的合力和合力矩。

4 单位外载荷下构件上力的数值计算

取机构的参数如下:r1=30mm,r2=50mm。

限于篇幅,在此给出3种载荷下,动平台绕X轴、Y轴的旋转角度φx、φy分别在[-π/2,π/2]内,计算步长为π/16时的6个转动副处的力fij和力矩mij(i=1,2;j=1,2,3)、输入力矩mk(k=1,2)与机构位姿φx、φy的变化关系图。

(1)载荷为输入力矩mk=0,力fij、力矩mij与机构位姿φx、φy的变化关系分别如图13、图14所示。

(2)载荷为输入力矩mk、力fij、力矩mij与机构位姿φx、φy的变化关系分别如图15、图16、图17所示。

(3)载荷为输入力矩mk、力fij、力矩mij与机构位姿φx、φy的变化关系分别如图15、图18、图19所示。

5 结论

(1)提出了一种新的二自由度球面并联机构UP+R,并解决了其静力学8次超静定问题。

(2)当载荷为纯力时,机构始终处于静止状态,构件上的力在全空间内随机构的位姿变化较平缓,与机构的特性无关;当载荷为纯力矩时,构件上的力在零点周围较大范围内,随着机构位姿变化较平缓,但是当姿态角接近±π/2时,力在部分区域出现较大的凸起,与机构特性相关。

(3)当载荷为力和力矩时,分别由力、力矩产生的构件上的两部分力是可以分离的,特别当F很大、M较小时,将F从机构的分支构件上卸掉,可改善机构受力特性。