三角函数的有界性

三角函数的有界性（共5篇）

三角函数的有界性 篇1

在教学过程中, 有很多知识点具有“多重价值”———通过对其产生过程的深入探究可以加深对数学本质的认识, 通过对其表现形式进行直接使用可以加深对该知识点的理解, 通过将其与其他知识综合应用可以派生出多样的题型, 通过对其表达形式的发散联想可以产生特殊问题解决的特殊方法等. 正弦函数有界性是具有这种“多重价值”的知识点之一.

下面我们就从正弦函数有界性说起.

一、怎样理解有界性

在平面直角坐标系中我们可以刻画任意角α的正弦线, 显示如下:

在角α终边绕着原点旋转过程中会发现当其位于y轴正半轴时正弦达到最大值1, 当其位于y轴负半轴时正弦达到最小值 - 1, 从而可以发现 - 1≤sinα≤1, 即sinα存在下确界 - 1, 上确界1.

二、怎样证明有界性

我们应追求解决方法的多样性.

1. 研究定义

2. 利用同角三角函数关系

3. 利用万能公式

正弦函数有界性是一个简单的知识, 这样的知识随处可见, 但是我们如果能细细品味个中三味, 会给我们很多意想不到的发现.

三、怎样应用有界性

1. 对于正弦函数有限性而言, 可以将之看作一个有固定范围的整体进行函数值域的研究

由上述问题受到启发, 还可以将sinx作为整体取代任意函数中的x求其值域.

2. 正弦函数有界性又会给我们解决自变量范围有界的问题带来灵感

原函数可理解为图形x2+ y2= 1 ( x≥0) 上点 ( cosα, sinα) 与定点 ( - 1, 1) 连线的斜率, 由图可知y∈[- 2, 0].

由此可见, 知识之间是相互关联的, 我们不妨对知识多角度探究, 可以有更多的发现.

三角函数的有界性 篇2

P了又P的有界性和无界性

“P了又P”是有界的还是无界的与“P了又P”中成分的性质和该结构本身的语义以及结构之外的时间参照点都有关系.文章从静态的`角度考察了“P了又P” 中谓词的小类和句法语义上的差别,从动态的角度分析了“P了又P”无界的相对性和有界的绝对性.

作 者：王红斌 WANG Hong-bin  作者单位：北京第二外国语学院,中文系,北京,100024 刊 名：语言与翻译（汉文版）  PKU英文刊名：LANGUAGE AND TRANSLATION 年，卷(期)： “”(1) 分类号：H043 关键词：语义功能   有界与无界   连续与间断   语义特征  

三角函数的有界性 篇3

关键词：复变函数,一致连续,有界闭区域

连续是函数的一个非常重要的性质, 闭区域上连续函数的性质具有很高的研究价值。闭区间上的一元连续实函数具有有界性、一致连续性等非常重要的性质, 多元连续实函数在闭区域上也有类似的性质, 这些很多数学教材中都有详细的讲解, 但是对于复变量函数的一致连续性定义, 以及在闭区域上的有界性和一致连续性, 作者在很多有关复变量函数的教材中均未见到。在此, 我们加以研究并给予补充。

定义1:设复变函数) 在区域上有定义, 如果对于任意给定的正数总存在正数使得对于区域上的任意两点时, 就有那么称在区域上是一致连续的。

定理一 (一致连续性定理) :若) 在有界闭区域B内连续, 则必然一致连续。证明:由于) 在B上连续, 所以取, 对于B上任意一点都存在δz (此δ不仅依赖于还依赖与故记作δz) , 使得当立。对于B内每一点z都用与之相应的的一半为半径作开邻域显然, 开邻域族覆盖了区域B, 由有限覆盖定理知, 从上述开邻域族中可以选出有限个将B覆盖, 不妨设为m个, 记作:并

今设为B中满足条件的任意两点, 由于上述m个开邻域覆盖了B, 所以z必然属于其中某一个

这就是说, 对于B内任意两点只要满足就有所以f (z) 在有界闭区域B上一致连续。

定理二 (有界性定理) :在有界闭区域B上的连续函数ω=f (z) 具有有界性 (即存在常数

证明:由一致连续性定理知, 对于上任意两点, 即取一存在一个常数使得只要

下面我们证明函数ω=f (z) 在有界闭区域B上是有界的, 对于B中每一个点z, 都取一个以z为中心, 半径为δ的开邻域U (z, δ) , 则此开邻域族必然将B覆盖, 由有线覆盖定理可知, 可从中选出有限个开邻域将B覆盖, 不妨设为k个, 并记作:

并且取中最大的一个记作则在B中任意取一点z, 它必然属于中的某一个开邻域, 记此邻域为所记, 便得

因此, 连续函数ω=f (z) 在有界闭区域B上是有界的。

参考文献

[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数.第四版.高等教育出版社.

三角函数的有界性 篇4

Theta(t)型奇异积分算子在Banach空间值上的加权有界性

本文借助于Calderón-Zygmund分解理论和Hardy空间的原子分解理论,把实值上的几个结果推广到了Banach值的情形,得到了theta(t)型奇异积分算子在Banach值加权空间上的.有界性,以及在Banach值加权Hardy空间上的有界性.这些结果是theta(t)型奇异积分算子有界性的完善和补充.

作 者：赵凯 周淑娟 马丽敏 ZHAO Kai ZHOU Shu-juan MA Li-min  作者单位：赵凯,周淑娟,ZHAO Kai,ZHOU Shu-juan(青岛大学数学科学学院,山东,青岛,266071)

马丽敏,MA Li-min(青岛农业大学理学院,山东,青岛,266109)

刊 名：数学杂志  ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF MATHEMATICS 年，卷(期)：2007 27(6) 分类号：O174.2 关键词：θ(t)型奇异积分算子   LpB,ω((R)n)空间   H1B,ω((R)n)空间   有界性  

三角函数的有界性 篇5

例题（2014·北京）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足-M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值.例如，图1中的函数是有界函数，其边界为1.

(1）分别判断函数y=(x>0）和y=x+1(-4<x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；

(2）若函数y=-x+1(a≤x≤b,b>a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；

(3）将函数y=x2(-1≤x≤m,m≥0）的图像向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1?

【思路突破】

(1）特值引路助理解

两个熟悉的函数（反比例函数、一次函数）都限制了自变量的取值范围，可以画出如下的草图分析，如图2、图3:

容易发现，图2中的曲线y值最大值无穷大，即它不是有界函数；而图3中，由于限制了自变量x的取值范围，所以函数图像只是直线的一部分，上限为3，下限为-3，符合有界函数的定义，边界值M=3.

(2）一次函数试身手

读懂新定义并经历（1）中的特值体验后，可以给出如图4这样的草图，根据函数最大值是2知道点A应该落在直线y=2上，向右下方延伸最多能到直线y=-2，但不能再延长，再延长就会突破下方的“边界值2”！这样-2≤-b+1≤2，再由“b>a”知点B不能与点A重合，解这个不等式组可得-1<b≤3.

(3）二次函数来把关

先分析函数y=x2(-1≤x≤m,m≥0）的图像特点，发现它的顶点是最低点，最高点是个隐含信息需要解读.可以设想当m>1时，向下平移后顶点就低于直线y=-1，这不符合边界值≤t≤1这个限制，故0≤m≤1.再分两种情况讨论，如图5和图6,

在图5中，图像的最高点A落在直线y=1上，向下平移落在直线y=时，这个平移区间符合要求，此时平移后的点A′的坐标是（-1,1-m），有不等式≤1-m≤1，解得0≤m≤;

在图6中，向下平移后图像的最低点M落在直线y=-和y=-1区间时也符合要求，此时M点的坐标是（0,-m），有不等式-1≤-m≤-，解得≤m≤1.

综上，0≤m≤或≤m≤1.

【简洁解答】

(1）函数y=(x>0）不是有界函数；y=x+1(-4<x≤2）是有界函数，边界值M=3.

(2）函数y=-x+1(a≤x≤b,b>a）中y随x的增大而减小，

当x=a时，y=-a+1=2，则a=-1.

当x=b时，y=-b+1，则

解这个不等式组得-1<b≤3.

(3）当m>1时，函数向下平移后顶点就低于直线y=-1，这不符合边界值≤t≤1这个限制，故0≤m≤1.

对于函数y=x2(-1≤x≤m,m≥0）来说，当x=-1时，y=1，对应着点（-1,1），而顶点（0,0），这两个点都向下平移m个单位后得到点（-1,1-m）、（0,-m),

∴≤1-m≤1或-1≤-m≤-;

综上，0≤m≤或≤m≤1.

【解后反思】

1.决定性的一步

关键是读懂题意，一步一步向上走.问题表述很简洁，但是受到的自变量取值范围限制很多，进一步理解函数值域也是很关键的.

2.有什么值得一学