条件概率解决方案

条件概率解决方案（精选7篇）

条件概率解决方案 篇1

摘要：“淹没问题”的提出是当代知识论“价值转向”的一个标志性事件,它主要用于攻击可靠论,认为可靠性的价值会被真的价值所“淹没”。为此,戈德曼和奥尔森提出条件概率解决方案,即可靠性的价值主要体现在它提高了未来真信念的概率。该方案失败的根源在于可靠论本身以及其背后所隐含的传统知识论分析路径。在威廉姆森的“知识第一”的知识论纲领下,一种新的条件概率解决方案是可行的,即根据证据概率表明,知识比真信念更持久,因此,更有价值。

关键词：淹没问题,价值转向,可靠论,条件概率解决方案,知识第一

条件概率解决方案(The Conditional Probability Solution)是由戈德曼(A.Goldman)和奥尔森(E.Olsson)提出了一个非常有意思的解决淹没问题(Swamping Problem)的方案。根据淹没问题,如果我们假定简单可靠论和认知价值一元论(epistemic value monism)或求真主义(veritism),那么可靠论不能够解释知识为什么比单纯真信念更有价值。这种方案引发了学界激烈的争论,本文首先证明戈德曼和奥尔森的条件概率解决方案是无效的,并最终尝试在威廉姆森的“知识第一”的知识论纲领下提出一种新的条件概率方案来解决淹没问题。

一“淹没问题”的提出

淹没问题一经提出便被视为可靠论的一种标准反驳之一,它最早由扎戈泽博斯基提出,用于攻击可靠论,她提出了一个经典的咖啡案例来说明可靠论是如何“被淹没的”:想象你面临一个选择,选择你面前的两杯咖啡中的一杯,你所知道的信息仅仅是,咖啡A是通过一台可靠的咖啡机生产出来的,而另一杯咖啡B则是有一台不可靠的咖啡机生产出来的。你自然地就会选择咖啡A。但是,假设告诉你一个新的信息,这两杯咖啡的味道同样好。你这时很可能就是无所谓选哪一杯了。[1]

这个例子特别形象地描绘了可靠论将在知识的价值问题上将要遭遇的情况:可靠的信念形成过程的价值被真信念的价值淹没。有些学者认为导致淹没问题的罪魁祸首不是可靠论,而是一种认知价值观,即求真主义。从认知的角度看,认知的唯一目的就是获得真信念,而任何在认知上有价值的东西都必须与真相关。例如,戈德曼和奥尔森认为问题的症结就在于口味成为了选择咖啡的最终依据,因此必然会导致淹没现象的发生。因此,他们认为淹没问题不仅仅是由可靠论引发的,而是可靠论与求真主义结合的产物。[2]27-31然而,普里查德认为,淹没问题的适用范围更广,他认为只要假定了求真主义,任何以真信念+X的形式来分析知识的方式最终都要遭遇淹没问题:X的价值最终都会被真的价值所淹没。[3]

根据上述分析,存在两条可靠论辩护的路径:一条就是放弃求真主义,选择认知价值多元论;另一条就是保留求真主义,即坚持认知价值一元论,但是细化可靠的信念形成过程的认知价值。戈德曼和奥尔森的条件概率解决方案则属于后者,这一点在奥尔森那里表现的比较明显,他在《可靠论、稳定性和知识的价值》一文中说:“这篇文章的目的就是要证明价值问题本身不是放弃可靠论或求真主义的好理由”。[4]345

总之,淹没问题试图表明,如果认知价值仅仅由真及其相关因素构成,那么使真信念成为知识的属性本身并不增加任何认知价值。因此,它实际上击中了当代知识论(以JTB为代表的知识三元分析路径)的要害,而解决这个问题的最好方式就是重新审视和修正整个当代知识理论的基本形态和内涵,改变传统的知识分析方式。

二条件概率解决方案

条件概率解决方案主要体现在如下这段话中:“什么额外有价值的属性把知识同真信念区分开来?就是让我们的未来信念以相似的方式很可能也是真的属性。更精确地说,在可靠论的视野下,S有条件地知道p与比S单纯真的相信p相比,在未来拥有更多真信念的概率更大。让我们把这种解决知识的额外价值问题的解决方案称为条件概率解决方案。在此,概率应该被客观地解释。”[2]28

戈德曼和奥尔森认为这种方案要成为可行的,需要主要指如下四个经验条件:

非唯一性:一旦你遭遇一个特定类型的问题,你就有可能在未来面对同样类型的其他问题。

跨时间通达:一个方法一旦被使用,通常对未来产生的类似问题都是适用的。

学习:一个方法一旦被毫无问题的使用就倾向于在未来的类似问题上再次被使用。

普遍性:一个方法在某种情境下是可靠的(或不可靠的),那么在未来的类似问题上也很可能是可靠的(或不可靠的)。[2]29

这四个条件是为了保证我们的可靠的信念形成过程能够被重复使用,然而,正是因为它是经验的,所以需要我们对可靠过程本身有所把握和理解,确认或相信它们是可靠的,从而最终导致这种方案与外在主义的精神冲突。

在笔者看来,淹没问题的症结在于可靠论自身,它假设真是唯一的非工具性的认知价值(即认知价值一元论),而可靠性则只拥有与真的非工具性价值相关的工具价值,因此它不能够解释知识超出真信念的额外价值,也就是说,这种额外价值必须是非工具性的,认知的价值。一开始,奥尔森也是这样认为的,他说:“如果我们赋予可靠生产以最终的认知价值,淹没论证显然就会失效。”[4]344不过,随后在正式提出条件概率解决方案的时候,这种立场悄然改变,因为这种方案实际上没有引入任何新的认知价值,因为可靠性在此相当于是助真性(true-conduciveness)。

三条件概率解决方案的有效性

对于条件概率解决方案,从它与辩护对象、处理的对象和自身的关系角度来看,存在如下几种可能的反驳方式:1.证明它与外在主义是不相容的;2.证明它本身存在的内在问题。笔者在第四部分将证明,其中最具有建设性的反驳方式其实是第三种反驳,并指出这种反驳对于未来知识的价值问题的解决的意义。

1. 条件概率解决方案与外在主义不相容。

我们知道,条件概率解决方案需要诉诸四个经验条件,那么这也就意味着我们需要对这四个条件有所把握,然而,这就会导致与可靠主义的知识分析原则相冲突,因为可靠主义并不要求我们对信念形成过程及其条件的把握,这显然是内在主义的要求。因此,从单纯外在主义的角度来看,这种解决方案显然越界了。这种冲突最为明显的体现在第三个经验条件上,即学习条件。戈德曼和奥尔森是通过现代版的柏拉图的拉里萨案例(Larissa example)来解释学习条件的:如果你曾经使用过一个既定的方法,并且其结果无异议,那么你很可能在相似的情况下再次使用它,如果可行的话。一旦你使用过没什么明显问题的导航系统,那么你就有理由相信它应该再次有效。因此,你决定在第二个岔路口也信赖它。

在这个案例中,戈德曼和奥尔森其实已经不自觉地使用了内在主义的术语,例如“有理由相信”、“决定”等,即这个案例表明学习条件预设了主体必须首先拥有关于其使用的方法及其可靠性的某些信念,而这显然属于内在主义的范畴。如果这是真的,那么,根据条件概率解决方案,可靠论的知识要具有额外的价值则必须满足某些内在主义的条件。因此,结论就是,条件概率解决方案是与外在主义的精神不相容的。雅格尔(C.Jger)基本上采取了这条进路,不仅如此,他还提出了一个建议来避免不相容问题,即回答如何在不诉诸内在主义要求的前提下保留能够让条件概率解决方案保持效力的经验条件。他的建议就是寻找一种无意识的归纳机制,这种机制能够让主体产生一种倾向或趋势再使用成功的认知过程和方法,同时防止再次使用不成功的认知过程和方法的倾向。最终,雅格尔认为寻找到这种机制的希望渺茫。[5]

作为回应,奥尔森一方面承认雅格尔确实指出条件概率解决方案的一个缺点,同时又认为这个缺陷并非不可弥补,雅格尔的建议其实可以满足。具体来说,他区分了强学习条件和弱学习条件:

强学习条件:人们拥有再使用一个信念形成过程的倾向,如果那个过程被证明是可靠的;

弱学习条件:人们拥有再使用一个信念形成过程的倾向,如果那个过程没有被证明是不成功的。[6]

奥尔森认为前者是雅格尔认为希望渺茫的原因所在,他认为条件概率解决方案只要满足后者就够了。奥尔森提出的理由大致是说,我们不需要证明信念形成过程的可靠性,而是诉诸认知心理学把信念形成过程的选择固化于认知主体,类似于我们的生物本能。然而,这种反驳没有触及问题的关键,因为即使奥尔森的解释是合理的,条件概率解决方案是否能够解决价值问题依然存在。

2. 条件概率解决方案的内在问题。

条件概率解决方案的核心构件是这样一个条件概率不等式,奥尔森称为可靠性-行动论题(简称RAT):

P(S将到达拉利萨|S可靠地获得关于拉利萨在哪里的信念)>P(S将到达拉利萨|S拥有关于拉利萨在哪里的单纯真信念)[4]347

因此,对条件概率解决方案最为直接的反驳就是否定掉这个论题。首先我们承认关于拉里萨在哪里的单纯真信念本身是有价值的,而且可靠的信念形成过程提高了成真的概率,但是这是否意味着这个信念形成过程本身就是有价值的呢?霍瓦斯(J.Horvath)与戴维斯(W.A.Davis)和雅格尔分别用形式化的方式证明能提高概率的东西并不一定能增加价值,笔者则比较喜欢用柯万维戈的巧克力案例已经说明了这一点:“假设我想买巧克力。我谷歌搜索了我周边的几个地方。我搜出了两个帖:一个名为‘在韦科出售巧克力的地方’;另一个名为‘在韦科很可能出售巧克力的地方’。我们假设两个清单都是精确的,并且第二个清单源自相互关联:买食物的地方很可能卖巧克力,买硬糖的地方同样如此,等等。……那么,我们注意到如果我所关心的只是巧克力的话,那么使用同时卖巧克力的地方和很可能卖巧克力的地方的清单并不比只包含卖巧克力的地方的清单。”[7]

更极端的情况是,我们可以想象一下功能失常的案例,如果我们正常的记忆或知觉能力突然失常了,但是它是可靠的,由此它会获得一系列错误的信念,导致严重的后果,因此,在这种情况下,可靠的信念形成过程不仅不能增加价值,反而会减损价值。

此外,我们看到,如果上述这个不等式是真的,那么这意味着一个可靠的过程使得某一真信念的概率提高到或超出某一临界概率,例如P>0.5。如果S拥有一个可靠地获得的真信念p,那么S使用了T类统摄K类信念的过程;信念p属于K类,S的每一个K类信念都是T类可靠过程的产物,并且使得这类信念的成真概率提高到临界概率以上。问题在于,T类过程不仅仅是信念p更有价值的原因,而且它还是所有K类信念更有价值的共同原因,因此,这就会导致这样一个后果,条件概率解决方案试图用当前真信念的成真概率来解释未来信念成真的概率,而实际上却是一个共同的原因解释了上述两者,即当前真信念与未来真信念之间的因果依赖性并不存在。

综上所述,条件概率解决方案是失败的,它存在各种各样的问题,而且每一个问题都是致命的。究其原因,一方面是可靠论本身存在的缺陷,即它不是一种对知识的充分分析;另一方面,价值问题确实击中了传统知识分析方式的软肋,而可靠论显然还处于传统思路当中,因此,似乎最为简单直接的应对方式就是放弃可靠论,放弃传统知识分析方式。

四淹没问题的解决:一种新条件概率解决方案

下面,笔者将在威廉姆森的启发下,试图在新的知识分析方法下对价值问题提供一种可能的解决方案。威廉姆森一反传统知识论用信念来分析知识的做法,转而用知识来分析信念,他认为“知识是核心的而非从属于信念。它能够使我们放弃根据信念来陈述知识的充分必要条件的尝试,却无须放弃知识论本身”[8]5。并且,他更进一步地把确证视为是知识赋予信念的一种地位。

根据威廉姆森的观点,知识比真信念更持久稳固(persistent),他的意思是指与单纯真信念不同,知识更不容易受到未来证据的合理的破坏,虽然这不是说它在这种破坏下是绝对无懈可击的。[8]98所以,知识与真信念具有不同的概率关系,我们可以用如下条件概率不等式来表达:

P[(Bap&p)|Kap]]>P[(Bap&p)|(Bap&p)&┓Kap](Bap代表“相信p”;Kap代表“知道p”)

这个不等式表明知道p比真信念p具有更多的工具价值,因为知识具有真信念所没有的持久性的标志。当然,这种分析的有效性还取决于威廉姆森的知识观,他在知识与真信念之间做出这种区分之后,马上强调“我们不应当期望根据持久的真信念来定义知识”。[8]99之所以如此,是因为知识与真信念之间具有非常重要的心理学差异,在本质上来说,它们并不是同一种心理状态的不同层次,而是完全不同的两种心理状态,即知识是排除了各种不合理性的心理状态,而信念仅仅是一种应激性的心理状态,它不包含反思性的环节。

事实上,威廉姆森关于知识的分析不仅在于把知识与真信念进行有效区分,同时更进一步在知识与信念之间建立一种更强的联系,即知识为信念奠基,而其重要的连接纽带就是证据。在他看来,知识就是证据的总体,即E=K。因此,威廉姆森实际上持一种“证据主义”的知识论立场,不过,它与笛卡尔传统的证据主义完全不同,后者在当代的主要倡导者就是菲尔德曼(R.Feldman)。[9]概略地来说,它是一种外在主义的证据主义,主张知道是一种事实性的心理状态,只能通过外在主义的路径来解释:首先,他否认了我们的心理状态是纯粹内在之物和纯粹外在之物的合取这一内在主义的基本假设,而是认为心理状态是不可能通过内外的方式来区分的;其次,他进一步持一种温和的物理主义主张,即主体的全部内部物理状态和外部环境的全部物理状态共同决定着世界的总体状态;最后,他认为所有的证据本质上是外在的,而知道是一种典型的外在的心理状态。

正是对内在主义的批判和对外在主义立场的辩护导致了威廉姆森洞见到了其背后所隐藏的知识分析路径的根本分歧,内在主义为被他称为“还原主义的知识纲领”提供了深刻的动机,主张根据相信、真理与其他因素来分析知道,而外在主义则彻底抛弃了这条路径,转向完全相反的路径,把知道视为更为基本的心理状态,进而用它来分析相信和真理。而正是这种路径分歧导致我们在价值问题上能够求助于威廉姆森的知识论方案,因为不仅上一节的论证表明戈德曼和奥尔森的条件概率解决方案失败的根由在于可靠论背后所主张的知识分析路径的根本缺陷,而且还因为价值问题在本质上处理的正是知识与真信念的关系问题,当我们意识到传统路径的失败之后,最为合理和自然的方式就应该重新理解和建构它们之间的关系,而威廉姆森恰恰提供了这种方案。

回答威廉姆森式的条件概率方案,这个方案的本质在于在以证据为纽带的知识和真信念的新关系中,我们能够更清楚地看到条件概率在其中发挥的作用,因为证据本质上是一种条件概率关系,而这一点,威廉姆森有充分的论述,他正是通过证据概率来刻画证据和知识,主张证据本身就有证据概率1。[8]263-298

这种条件概率解决方案的优点在于,首先,它完全秉持了一种外在主义的立场,并且没有戈德曼和奥尔森所谓的经验条件,当然这主要是因为该方案不需要再诉诸当前信念与未来信念之间的某种关系,它所处理的价值只是知识对于真信念之间的工具价值,因此,不存在不相容性的问题;其次,该方案的不等式源于证据概率本身的刻画,因此基于E=K,它们本质上是一种同一关系,而不是像戈德曼和奥尔森方案中的概率关系是一种因果关系,因此具有先天的优势;最后,匹配问题在此是不存在的,因为这种方案否定了知识是有真信念来构成的,因此,不需要解释扎戈泽博斯基等所质疑的价值传递的可能性,而是在相对独立的关系中处理知识和真信念的价值差异:真信念是一种缺乏证据的心理状态,而知识则本身等于证据,证据的价值构成了两种的价值差异的关键所在,而后者与真信念没有直接的支持关系,因此,不存在价值传递的问题。

五结语

总体来说,淹没问题本身对于当代知识论的研究是意义深远的,主要表现为如下几个方面:

1. 有助于我们重新设想知识论的整体框架;

当代知识论的价值转向打开了一个新的问题领域,即价值驱动的知识论(value-driven epistemology)。价值驱动的知识论以价值问题(Value Problem)为主轴,试图解释知识超出真信念的独特价值的知识理论,它与传统知识论的区别主要是方法论意义上,即类似于“语言学转向”,并不否认其他方法的有效性,而是提供一种补充性的方法,试图“带来一种更少限制和理智上更丰富的设想知识论的全新方式,而不是传统上把知识论仅仅限定为‘关于知识的理论’的方式”。[10]

2. 有助于我们重新理解和解决内在主义/外在主义之争;

当代知识论自自然化转向之后,外在主义一度占据上风,而这有赖于外在主义在解释知识时具有比内在主义更弱的要求,尤其是不需要对知识确证条件本身的把握,而只需信念形成过程本身是可靠的就行。内在主义者一度缺乏非常有效的武器来攻击外在主义,而价值问题的提出则似乎一下子把外在主义,尤其是作为其主要形式的可靠论,打入尘埃。正如本文尝试从外在主义的立场上来回应淹没问题所做的努力那样,外在主义其实并没有被轻易打败。同时,也把内在主义与外在主义之争一下子拖入了一个新的知识论领域,并且让一直处于主流知识论领域的德性知识论者们能够理直气壮地进入主流知识论的讨论之中。

3. 有助于我们深入解析知识的本质和结构;

如上所述,对知识的价值探究实际上是对知识的本质探究,威廉姆森式的条件概率解决方案更是对知识的结构进行了一次彻底的改造,从根据信念和真来定义知识,转而用知识来定义信念。此外,从更大的视角来看,自知识论的价值转向之后,知识必然要包含一个价值维度,以便应对知识的价值问题。

参考文献

[1]ZAGZEBSKI L.The search for the source of epistemic good[J].Metaphilosophy,2003,34:13.

[2]HADDOCK A,MILLAR A,PRITCHARD D,et al.Epistemic value[C]∥GOLDMAN A,OLSSON E.Reliabilism and the value of knowledge.Oxford:Oxford University Press,2009.

[3]REISNER A,STEGLICH-PETERSEN A,et al.Reasons for belief[C]∥PRITCHARD D.What is the swamping problem.Berlin:Springer,2009:248-249.

[4]OLSSON E J.Reliabilism,stability,and the value of knowledge[J].American philosophical quarterly,2007,44.

[5]JGER C.Process reliabilism and the value problem[J].Theoria,2011,77:209-210.

[6]OLSSON E J,JNSSON M L.Kinds of learning and the likelihood of future true beliefs:reply to Jger on reliabilism and the value problem[J].Theoria,2011,77:219.

[7]HADDOCK A,MILLAR A,PRITCHARD D,et al.Social epistemology[C]∥KVANVIG J L.The swamping problem redux:pith and gist.Oxford:Oxford University Press,2010:96.

[8]威廉姆森.知识及其限度[M].北京:人民出版社,2013.

[9]FELDMAN R,CONEE E.Evidentialism[M].Oxford:Oxford University Press,2004:83-107.

[10]HENDRICKS V,PRITHCARD D,et al.New waves in epistemology[C]∥RIGGS W.The value turn in epistemology.London:Palgrave Macmillan,2008:300.

概率中的条件概率 篇2

条件概率是在解决各种实际问题的实践过程中发展起来的, 在国民经济、工农业生产、近代物理、气象、地震、生物、医学、金融、保险等很多领域都有大量应用, 具有丰富的实际背景.因此, 与其他数学内容相比, 条件概率课程的学习, 更有利于促进学生形成良好的科学品质.主要包括培养学生探索、创新、决策、合作等精神.当条件概率在教学中逐步扮演重要角色的时候, 充分认识概率统计课的教育价值, 发挥它的育人功能, 必能促进学生综合素质的提高.

正如著名数学家拉普拉斯说的:“虽然它 (概率统计) 是从考虑某一低级的赌博开始的, 但它却成为人类知识中最重要的领域……生活中最重要的问题, 其中绝大多数在实质上只是概率问题.”

二、条件概率概述

1.条件概率的含义

在事件B已经发生的条件下考虑事件A的概率, 则这种概率称为事件A在事件B已经发生条件下的条件概率, 记为P (A|B) .

例1 一批同类产品共14件, 其中由甲厂提供的6件中有4件优质品, 由乙厂提供的8件中有5件优质品.试考察下列事件的概率.

(1) 从全部产品中任取的一件是优质品;

(2) 从甲厂提供的产品中任抽1件, 而被抽的这一件是优质品.

解 设A=“抽到的产品是优质品”, B=“抽到甲厂提供的产品”。

$\begin{array}{l}(1){\rm P}(A)=\frac{9}{14}.①\\ (2){\rm P}(A|B)=\frac{4}{6}.②\end{array}$

如果把事件B已经发生这个前提看作是形成条件概率P (A|B) 的附加条件, 则相对而言, 仅在原有样本空间Ω上求出的概率P (A) 可称为无条件概率.这样, 给定题设下的P (A) 与P (A|B) 不仅数值不相等而且意义也是不同的.下面讨论它们的关系.

沿用例1的题设、记号以及事件.

AB=“从全部产品中任抽的一件既是甲厂的产品又是优质品”, 故${\rm P}(B)=\frac{6}{14}‚{\rm P}(AB)=\frac{4}{14}.$

于是${\rm P}(A|B)=\frac{4}{6}=\frac{\frac{4}{14}}{\frac{6}{14}}=\frac{{\rm P}(AB)}{{\rm P}(B)}.③$

类似地, 从优质品中任抽一件, 而该优质品由甲厂提供的概率为

${\rm P}(B|A)=\frac{4}{9}=\frac{\frac{4}{14}}{\frac{9}{14}}=\frac{{\rm P}(AB)}{{\rm P}(A)}.④$

上述两式表达了条件概率与无条件概率的关系, 而且可以证明, 在古典概型下, 只要P (B) >0或P (A) >0, 那么表达式③或④总是成立的.

2.条件概率的计算方法

方法一 在问题中根据事件B发生的结果 (包含基本事件) , 缩减样本空间为B, 在B中求事件A发生的概率, 即为条件概率P (A|B) , 如表达式②.

方法二 利用条件概率公式${\rm P}(A|B)=\frac{{\rm P}(AB)}{{\rm P}(B)}$, 在样本空间Ω中求概率P (AB) 和P (B) , 再求条件概率P (A|B) , 如表达式③.

三、有关条件概率的三个重要公式

以条件概率为基础, 可得出乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式.

1.乘法公式

一方面, 由已知的P (B) 和P (AB) 去求P (A|B) 用表达式③.

另一方面, 从已知的P (B) 和P (A|B) 去求P (AB) , 有

P (AB) =P (B) ·P (A|B) . (3.11)

公式 (3.11) 叫做乘法公式.

从 (3.11) 式出发可以导出更一般的乘法公式, 即为下面的定理:

若P (A1A2…An-1) >0,

则P (A1A2…An) =P (A1) P (A2|A1) P (A3|A1A2) …P (An|A1A2…An-1) . (3.12)

(3.11) 式的重要性在于:有时从条件概率的直观意义出发比较容易得出P (A|B) 的值, 然后用公式 (3.11) 求出比较复杂的事件AB的概率.

2.全概率公式

有一类事件, 可以借助另外的事件组分解为若干比较简单的事件, 把这些简单事件的概率叠加起来, 就可以计算该事件的概率, 这就是全概率公式.

设A1, A2, …, An为一完备事件组, 则对任一事件B, 有

P (B) =${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$P (Ai) P (B|Ai) . (3.21)

公式 (3.21) 称为全概率公式.

全概率公式将事件B分解为BA1, BA2, …, BAn共n个互不相容事件的和, B=BΩ=B (A1+A2+…+An) =BA1+BA2+…+BAn.

如果概率P (Ai) , P (B|Ai) (i=1, 2, …, n) 易算, 则

P (B) =${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$P (BAi) =${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$P (Ai) P (B|Ai) .

所以全概率公式的思想方法是化整为零, 关键是恰当地选取与该事件相关的完备事件组A1, A2, …, An, 且概率P (Ai) , P (B|Ai) (i=1, 2, …, n) 易算.

例2 假设明天的天气与今天的天气相同的概率为$\frac{1}{3}$, 而新年第一天是晴天的概率为$\frac{1}{4}$, 试求第n天仍是晴天的概率.

解 设Ai=“第i天为晴天”, i=1, 2, …求P (An) .它是一个与n有关的量, 为了计算它, 建立P (Ai) 与P (Ai-1) 间的递归关系.显然$A{}_{i-1}‚\overline{A}{}_{i-1}$为完备事件组, 由全概公式得

$\begin{array}{l}{\rm P}(A{}_i)={\rm P}(A{}_{i-1}){\rm P}(A{}_i|A{}_{i-1})+{\rm P}(\overline{A}{}_{i-1}){\rm P}(A{}_i|\overline{A}{}_{i-1})\\ =\frac{1}{3}{\rm P}(A{}_{i-1})+\frac{2}{3}[1-{\rm P}(A{}_{i-1})]\\ =\frac{2}{3}-\frac{1}{3}{\rm P}(A{}_{i-1})(i\ge 2).\end{array}$

将上式改写为:${\rm P}(A{}_i)-\frac{1}{2}=-\frac{1}{3}\left[{\rm P}(A{}_{i-1})-\frac{1}{2}\right](i\ge 2).$

于是${\displaystyle \prod _{i=2}^n}$$\left[{\rm P}(A{}_i)-\frac{1}{2}\right]=$${\displaystyle \prod _{i=2}^n}$

$\begin{array}{l}\left(-\frac{1}{3}\left[{\rm P}(A{}_{i-1})-\frac{1}{2}\right]\right)‚\\ {\rm P}(A{}_n)=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{3}\right){}^{n-1}\left[{\rm P}(A{}_1)-\frac{1}{2}\right].\end{array}$

根据题意, ${\rm P}(A{}_1)=\frac{1}{4}$, 从而

${\rm P}(A{}_n)=\frac{1}{2}+(-1){}^n\frac{1}{4\cdot 3{}^{n-1}}.$

3.贝叶斯公式

全概率公式解决的问题是借助完备事件组{Ai}来计算某一事件B的概率, 若已知发生了某一事件B, 求完备事件组中某个Ai发生的条件概率, 可用下述定理表述.

设A1, A2, …, An是一完备事件组, 对于任意的事件B, 若P (B) >0, 则有

${\rm P}(A{}_j|B)=\frac{{\rm P}(A{}_{j}B)}{{\rm P}(B)}$

=$\frac{{\rm P}(A{}_j){\rm P}(B|A{}_j)}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\rm P}}(A{}_i){\rm P}(B|A{}_i)}$, (j=1, 2, …, n) . (3.31)

公式 (3.31) 称为贝叶斯公式.公式的实际背景是:已知出现了试验“结果”B, 要求推断哪一种“原因” (Aj) 产生“结果”B的可能性大.比较各个P (Aj|B) 的大小, 若P (Ak|B) 是诸P (Aj|B) 中最大的, 这表明产生“结果”B的最可能“原因”是Ak.

由上面可以看出, 全概率公式是“由因导果”, 而贝叶斯公式是“由果溯因”, 所以全概率公式和贝叶斯公式是相反的两个过程.

结论:乘法公式是事件求交的概率, 全概率公式是求一个复杂事件的概率, 而贝叶斯公式是求一个条件概率.

四、条件概率在现实生活中的应用

伊索寓言“孩子与狼”讲的是一个小孩每天到山上放羊, 山里有狼出没.第一天, 他在山上喊:“狼来了!狼来了!”山下的村民闻声便去打狼, 可到山上, 发现狼没有来.第二天仍是如此.第三天, 狼真的来了, 可是无论小孩怎么喊叫, 也没有人来救他, 因为前两次他说了谎, 人们不再相信他了.

现在用贝叶斯公式来分析此寓言中村民对这个小孩的可信程度是如何下降的.

首先记事件A为“小孩说谎”, 记事件B为“小孩可信”.不妨设村民过去对这个小孩的印象为

${\rm P}(B)=0.8‚{\rm P}(\overline{B})=0.2.(4.1)$

我们用贝叶斯公式来求P (B|A) , 即这个小孩说了一次谎后, 村民对他可信度的改变.

贝叶斯公式中概率P (A|B) 和${\rm P}(A|\overline{B})$的含义是:前者为“可信” (B) 的孩子“说谎” (A) 的可能性, 后者为“不可信”$(\overline{B})$的孩子“说谎” (A) 的可能性.在此不妨设${\rm P}(A|B)=0.1‚{\rm P}(A|\overline{B})=0.5.$

第一次村民上山打狼, 发现狼没有来, 即小孩说了谎 (A) .村民根据这个信息, 对这个小孩的可信程度改变为 (用贝叶斯公式)

$\begin{array}{l}{\rm P}(B|A)=\frac{{\rm P}(B)\cdot {\rm P}(A|B)}{{\rm P}(B)\cdot {\rm P}(A|B)+{\rm P}(\overline{B})\cdot {\rm P}(A|\overline{B})}\\ =\frac{0.8\times 0.1}{0.8\times 0.1+0.2\times 0.5}=0.444.\end{array}$

这表明村民上了一次当后, 对这个小孩的可信度由原来的0.8调整为0.444, 也就是 (4.1) 调整为

${\rm P}(B)=0.444‚{\rm P}(\overline{B})=0.556.(4.2)$

在此基础上, 再一次用贝叶斯公式计算P (B|A) , 亦即这个小孩第二次说谎后, 村民对他的可信程度改变为

${\rm P}(B|A)=\frac{0.444\times 0.1}{0.444\times 0.1+0.556\times 0.5}=0.138.$

这表明村民们经过两次上当, 对这个小孩的可信程度已经从0.8下降到了0.138.如此低的可信度, 村民们听到第三次呼叫时怎么会再上山打狼呢?

这个例子启发人们:若某人向银行贷款, 连续两次未还, 银行还会第三次贷款给他吗?

继股票之后, 彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点.据统计, 全国100个人中就有3个彩民.“以小博大”是不少彩票购买者的共同心态.那么, 购买彩票真的能让我们如愿以偿吗?以36个号码中选择7个 (36选6+1) 的投注方式为例, 经计算, 中一等奖的概率为千万分之一点二, 全国13亿人口每人都去摸奖, 中一等奖的一共156人.所以购买者应怀有平常心, 既不能把它作为纯粹的投资, 更不应把它当成发财之路.

大学英语四级考试包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写作等.除写作外, 其余85道题是单项选择题, 每道题有A, B, C, D四个选项.不考虑写作分, 及格按60分算, 则85道题必须答对51题以上.如果凭碰运气和侥幸心理, 可以看成85重贝努利试验, 过关率为亿分之2, 所以靠运气通过考试是不可能的.因此, 我们在生活和工作中, 无论做什么事都要脚踏实地, 对生活中的某些偶然事件要理性地分析、对待.

参考文献

[1]余长安.概率论与数理统计.武汉:武汉大学出版社, 2007.

[2]夏宁茂, 等.新编概率论与数理统计.上海:华东理工大学出版社, 2006.

条件概率解决方案 篇3

很多概率问题往往不是简单直白的, 而是附加了一些条件, 在此基础上来求解事件的概率。例如, 在某事件A发生的前提下, 求解B事件的条件概率, 则可简记为P (B|A) 。

“条件概率”的基本概念:设A和B是两个不同的事件, 且P (A) ≠0, 那么称为在事件A发生的条件下, 事件B发生的条件概率。一般地, P (B|A) ≠P (B) , 且它满足以下三个条件: (1) 非负性; (2) 规范性; (3) 可列可加性。

二、利用“条件概率”计算

通过对现有的概率乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式的一点新的理解, 读者可以不用去考虑课本给出的全概率公式和贝叶斯公式, 只要对所给出的概率事件能够有足够的分析, 利用“条件概率”就可以进行计算。

1. 关于条件概率的判定。

上述对于如何区分条件概率事件进行了讨论, 那么对于主要标志是P (AB) 还是P (A|B) 取决于A、B两个事件在所述问题中是否是地位平等的, 也就是探索是否事件A、B存在一个必然事件和一个随机事件。如果事件A、B均为随机事件, 那么两者就是平等地位。实际在分析问题时, 不用探索其是否是平等事件, 因为条件概率P (A|B) 中, 事件A、B均为随机事件。对于具体的问题, 附加的条件若为事件B已经发生, 那么很明确其为条件概率事件, 因此, 附加条件是判断是否为条件概率的关键。举例分析:投掷一枚硬币, 第一次为正面时, 第二次也为正面的概率为条件概率;第一次第二次都为正面, 则不是条件概率。因此表述不当, 可能会造成分析的错误。正确判断是否为条件概率事件是十分重要的。

2. 条件概率的解题思路。

所研究的事件A是在事件B已经发生的前提下产生, 那么可以将事件A发生的概率按照条件概率进行分析。对于简单的条件概率, 这里主要论述两个基本的思路:一是根据条件概率的定义进行计算, 在其原来的样本空间中分析P (A) 及P (AB) , 再利用公式, 求解出P (B|A) 。二是在缩减的样本空间SA中计算B出现的概率。

三、概率公式的理解

在概率论学习中, 全概率公式、贝叶斯公式以及乘法公式, 是《概率统计》这门学科学习的重中之重, 也是研究生考试的一个重要常考点。倘若学习这门课程时, 按照课本的内容和顺序, 直接熟记其公式, 并仅仅学习如何套用公式解题的话, 对学生而言, 只是记住了公式的形式, 而在实际应用时, 并不能明白其实际的意义。其实, 应用这三个公式最重要的是准确找到其样本空间。这里着重讲解这三个公式的意义, 并研究如何确定其样本空间。

1. 对概率乘法公式的理解。

通过条件概率, 进行求积的事件的概率, 即为乘法公式。

(1) 设P (B) >0, 那么P (AB) =P (B) P (A|B) ;同理可知, 如果P (A) >0, 那么P (AB) =P (A) P (B|A) , 即为乘法公式。

(2) 推广:如果A1, A2, ...An为n个事件, 且P (A1A2…An-1) >0, 那么P (A1A2…An) =P (A1) P (A2|A1) …P (An|A1A2…An-1) 。

乘法公式一般应用于求解几个事件同时发生的概率。

例:盒中装有5个产品, 其中3个一等品, 2个二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求: (1) 取两次, 两次都取得一等品的概率; (2) 取三次, 第三次才取得一等品的概率;

解:令Ai={第i次取到一等品}

(也可直接按古典概型进行计算。)

2. 对全概率公式的理解。

全概率公式的定义如下:设Ω为随机的试验样本空间, 其中, 事件A为试验E的一个事件, 而B1, B2, B3...为样本空间Ω的一个划分, 并且P (Bi) >0 (i=1, 2, …, n) , 那么P (A) =P (B1) P (A|B2) +P (B2) P (A|B2) +…+P (Bn) P (A|Bn) , 即为全概率公式。

全概率公式的意义为, 对于A事件, 不能直接计算求解其概率时, 就要将其划分为若干个小的事件进行求解, 通过对小事件的概率的计算, 然后进行相加求和, 进而得到A事件的概率。当对A事件进行分割时, 不是直接将事件A进行分割, 而是先寻找Ω这个样本空间的一个划分, 例如B1, B2, …, Bn。这样就可将事件A分成了n个部分, 即为AB1, AB2, …, ABn, 那么事件A就可表示为A=AB1+AB2+…+ABn由此可以通过加法公式表示为P (A) =P (AB1) +P (AB2) +…+P (ABn) =P (B1) P (A|B1) +P (B2) P (A|B2) +…+P (Bn) P (A|Bn) , 这便是全概率公式的定义与思路。

不妨举例进一步解释全概率公式的含义。假设某个年级共有5个班级, 每个班共有40人, 男、女生各占一半, 如果选择其中1名学生当社联的主席, 那么这个职务为女生的可能性是多少?应该很快就能得出结果。设选中女生为事件A, 那么 (这个年级共有200人, 而女生共100人, 则所求即为0.5) 。事实上, 我们应该是以0.2的可能性在1班进行选取, 然后以0.5的可能性会选中女生;同样以0.2的可能性在2班进行选取, 再以0.5的可能性选中女生。依次可知, 以0.2的可能性在3班选取, 再以0.5的可能性选取到女生;以0.2的可能性在4班选取, 再以0.5的可能性选取到女生;以0.2的可能性在5班选取, 再以0.5的可能性选取到女生。这样的进行选择, 实际就是运用了全概率公式。此外, 完备事件组不一定唯一, 根据不同的思路, 就可以找出不同的完备事件组, 但是无论哪个完备事件组, 都可以解决问题。

3. 对贝叶斯公式的理解。

贝叶斯公式的定义如下:设试验D的一个样本空间是Ω, 其中A为试验E的一个事件, B1, B2, …, Bn为其样本空间Ω的一个划分, 并且可知P (A) >0, P (Bi) >0, 那么, , 此公式则被称为贝叶斯公式。

贝叶斯公式的应用范围很广, 对于很多的实际问题的解决也发挥了很大的作用。举例分析, 某一工厂生产某种产品, 有三种备选方案:小批量生产、中批量生产、大批量生产。该产品生产的决定性因素是市场对其的需求量, 根据资料分析可知, 大需求量的概率是30%, 假如市场有大的需求, 则分别选择小批量、中批量、大批量生产, 工厂可获利分别为10万、20万、30万;假如市场的需求量较小, 而分别选择小批量、中批量、大批量生产, 那么工厂获利分别为5万、2万、6万。为了更好地获益, 该工厂进行市场调研, 调研经费为3万, 从获取的资料可知, 市场的需求量较大的准确率为80%, 而市场需求量小的准确率为90%, 该怎样选取最佳方案呢?分析可知决策人拥有全部的信息, 那么就可以以最佳的方案获得最大的利益。然而实际情况存在很多不可预知的因素, 那么要想通过更多的信息来做出最合理的决策, 需要市场调研提供信息, 以便调整事件的先验概率, 使得经调整的后验概率更加接近实际。故需要进行研究分析, 根据上述的计算可知, 当工厂进行市场调研时, 工厂就可达到11.4288万的期望获益, 相比于比那些不市场调研的工厂, 要高于它们的6.4万元, 差值为5.0288万元。当市场调研价低于5.0288万时, 工厂就要进行市场调研工作, 因为进行市场调研费用为3万元。因此案例, 我们得到了后验风险决策的论断: (1) 要进行市场调研工作; (2) 依据调研结果进行工作安排。这个例子的结论就是, 当市场的需求量大时, 就进行大批量生产, 当需求量小时, 就进行小批量生产。通过运用贝叶斯条件概率, 可以得到先验概率和被修正的后验概率, 进而选择最佳方案, 降低风险, 获得最大效益, 这在实际应用中是相当重要的。

4. 乘法公式, 全概率公式和贝叶斯公式之间的联系。

当存在两个事件, 彼此之间不是相互独立的, 且互相排斥的情况, 在事件A发生情况下, 事件B发生的概率时, 即应用条件概率公式, 即为, 其中P (A) ≠0。当计算事件A与事件B同时发生时的概率, 即应用乘法公式, 即为P (AB) =P (B) P (A|B) =P (A) P (B|A) 。当将事件A看作为一个整体时, 并被事件B分割时的计算方法为全概率公式, 即为P (A) =P (AB1) +P (AB2) +…+P (ABn) =P (B1) P (A|B1) +P (B2) P (A|B2) +…+P (Bn) P (A|Bn) 。在条件概率和全概率的基础上进行变形的用途十分广泛, 主要是将其应用到先验概率事件和后验概率事件, 利用贝叶斯公式进行计算, 即为。当要求较为复杂且精确时, 则应用边际分布密度。如果将上述公式方法应用于较多的事件, A1, A2, …, An, B1, B2, …, Bn那么公式则将变为和的形式。

四、结语

通过以上对条件概率以及概率公式的理解和分析, 可以知道, 条件概率在《概率论》这门学科中显现出的重要性。条件概率作为概率论的一个相当重要的概念, 当然, 它也是概率统计学中一个重要的难点, 在概率论的整个知识体系中起着上下连贯的作用。通过本文对条件概率的研究分析, 介绍了其相关的概念和公式, 以及对其的一些新的解读, 读者若能够熟练的掌握并理解条件概率的定义和其相关知识, 对于他们之后进一步学习概率论的更深层次的问题是十分有帮助的。

摘要：条件概率属于概率论范畴中一个重要的概念, 本文主要从条件概率的定义, 对其的认识, 以及对现有的概率乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的新的理解方面进行了分析与阐述。只要对所已知的概率事件进行认真分析, 就可不考虑其他公式约束, 而利用“条件概率”对其进行计算和分析。

关键词：条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,样本空间

参考文献

[1]丁万鼎, 等.概率论与数理统计[M].上海科学技术出版社, 1999.

[2]张克军.关于条件概率及其应用的教学研究[J].徐州教育学院学报, 2008, (3) .

条件概率判断历史悬案 篇4

什么是条件概率

条件概率是概率论中的一个基本工具,在现实世界里很少存在单一的不受别的事件影响的情况,由于事件的概率经常会由于其他事件的影响而发生改变。在实际生活中,推断一个事件发生的可能性大小,比如“张三是杀人犯的可能性有多大?”“这个人能胜任该项工作的可能性有多大?”“明天会下雨的可能性有多大?”等往往需要根据一些条件或前提去推断,这个就是条件概率的思想。

例如,2007年某网站放出消息,说香港影星刘德华被暗杀,那么这个消息可靠吗?我们来做个简单的推断:

设事件A:刘德华被暗杀,则问题转化为:A发生的可能性到底有多大?即P(A)的大小。

直接推断A的概率很难,但可增加一个条件:随机事件B。

事件B:没有一家正规的报纸、电台报道刘德华被暗杀。

则在B发生的条件下,再来推断A的概率,即估计P(A/B)。

很明显,刘德华是国际巨星,著名的演员、歌唱家,全亚洲甚至全世界都有很多的粉丝。如果他真的被暗杀,重要媒体肯定要报道。

所以在B发生的前提下,随机事件A发生的可能性很小,即P(A/B)->0。

所以我们认为:刘德华被暗杀这个消息的可能性是微乎其微的,甚至是不可能发生的。

再例如,大家熟知的看羊小孩的故事,为什么开始人们相信这个小孩,后来就不相信了呢?

第一次小孩叫“狼来了!”,大家对他说”狼来了!”(设为A)的可信度为P(A),P(A)->1,即大多数人很相信小孩说的话;这里的P(A)称为先验概率。

后来,若干次发现上当受骗(B),则P(A/B)->0,即大多数人不再相信小孩的话。这里的P(A/B)称为后验概率。

条件概率P(A/B)与概率P(A)相同点都是求A的概率,不同之处是:后者参照的前提(即样本空间)是Ω,前者参照的前提是B,显然两个概率的意义、大小也不一样(类似于:以全校作为范围评定一个大学生优秀的级别和以一个班级作为范围评定他优秀的级别肯定是不一样的).

从分析的过程我们其实也可以发现:既然P(A)参照的前提条件是ΩΩ,我们把P(A)也可看成是条件概率:P(A/ΩΩ),很显然P(A)=P(A/ΩΩ)。

所以我们可以得出这样一个有趣的结论:条件概率是特殊的概率,任何概率也可以看成是特殊的条件概率。

条件概率的典型案例

条件概率在实际生活中有什么用途呢?这里举历史上两个著名刑事案例,说明条件概率在实际生活中的推断作用。

1. 辛普森(O.J.Simpson)杀妻案。

1994年前美式橄榄球运动员辛普森(O.J.Simpson)杀妻一案成为当时美国最为轰动的事件。此案当时的审理一波三折,辛普森(O.J.Simpson)在用刀杀前妻及餐馆的侍生郎·高曼两项一级谋杀罪的指控中以无罪获释,仅被民事判定为对2人的死亡负有责任。本案也成为美国历史上疑罪从无的最大案件。辛普森是当年著名的橄榄球明星,因为涉嫌杀害自己的妻子被起诉,引起轩然大波,当时估计全美有1亿人看了对这个案件的电视转播。

在9个月的马拉松式审判中,有一个用数学来辩护的小插曲。就是在对于虐待妻子这一条上,大律师Alan用概率的方法在法庭上辩解:美国每年有400万妇女被丈夫或男友殴打,可是美国每年只有1432名妇女被丈夫杀死,这样说明那些长期虐待妻子的男人最后出手杀人的概率也就1/2500,检方的说法不靠谱。Alan的辩词似乎听起来挺有道理,检察官一时“反应不过来”,提不出好的理由进行反驳,辛普森无罪获释。

案例分析:可是从概率的角度上看,Alan的辩词只是狡辩而已。我们定义事件A是一个美国人虐待了妻子,B是一个美国人杀了妻子。在事先没有任何给定信息的前提下,Alan律师估计的条件概率是P(B|A)=1/2500。

现实情况是:事件A已经发生,辛普森确实虐待了妻子,概率为1。他的妻子被杀的事情也已经发生,只是不清楚谁是凶手。P(B|A)中A、B真正的定义应该是:

A:一个人虐待了妻子并且妻子被杀

B:凶手正是这个人

根据资料,P(B|A)可以达到90%之高,也就是说在所有遭到谋杀的被虐美国妻子中,90%是被施虐者杀害。不过在庭审的时候,检方并没有能及时提出这个论点,不幸让Alan律师的诡辩得逞。

2. 行刺美国总统里根案。

1981年3月30日,美国总统里根在华盛顿希尔顿饭店召开的一次劳工集会上发表演讲后遭到枪击胸部受伤,同行的白宫新闻秘书詹姆斯·布雷迪、一名华盛顿当地警察以及一名联邦特工也在枪击中受伤。行刺的枪手是25岁的科罗拉多州失业青年Hinckley。

在1982年审判他时,Hinckley以精神病为理由作为其无罪的辩护。在18个医师中作证的医师是Daniel R.Weinberger,他告诉法院当给被诊断为精神分裂症的人以CAT扫描(计算机辅助层析扫描)时,扫描显示30%的案例为脑萎缩,而给正常人以CAT扫描时,只有2%的扫描显示脑萎缩。Hinckley的辩护律师试图拿Hinckley的CAT扫描结果为证据,争辩说因为Hinckley的扫描展示了脑萎缩,他极有可能患有精神病,从而免予受到法院的起诉。

案例分析:令A={该人是精神病患者}B={该人CAT扫描为脑萎缩}

由医师资料可以得知,P(B/A)=0.3,

一个国家所有人群中,得精神病的比例一般是比较低的,如是美国,不会超过1%,假定为1%,即P(A)=1%。

因为Hinckley已经CAT扫描为脑萎缩,要断定它是精神病人的概率是多大,即要计算P(A/B)

根据贝叶斯公式计算:

由结果可以看出,Hinckley的辩护律师试图拿Hinckley的CAT扫描结果为证据来证明Hinckley有精神病是没有多少说明力的(可信度只有0.1316)。

学好条件概率的三个要素 篇5

一、正确理解条件概型的意义

设A、B是两个事件, 且P (B) >0, 则称${\rm P}(A|B)=\frac{{\rm P}(AB)}{{\rm P}(B)}$为在事件B发生的条件下, 事件A发生的条件概率.一般情况下P (A|B) ≠P (A) , 其根本原因是“在事件B发生的条件下”和“没有事件B发生的条件下”我们考察的基本事件的总体发生了变化.

【例1】 一个家庭中有两个小孩, 假定男女出生率一样, 已知这个家庭有一个小孩是女孩, 问:另一个小孩是男孩的出生概率是多少?

错解:因为男女出生率一样, 所以当有一个小孩是女孩的情况, 另一个小孩为男孩或女孩的概率都为$\frac{1}{2}$, 即答案为$\frac{1}{2}.$

分析:引起错解的原因是错误地理解了题意.本题不是为了求单个某一次是男孩还是女孩的概率, 而是求在“有两个小孩, 且有一个小孩是女孩”的前提条件下, “另一个是男孩”的概率.

正解:“有两个小孩, 且有一个小孩是女孩”包含了以下三个等可能的基本事件:{ (男, 女) , (女, 男) , (女, 女) }, “另一个是男孩”包含了{ (男, 女) 、 (女, 男) }两个基本事件, 故所求概率为$\frac{2}{3}.$

【例2】 某种动物由出生算起活到15岁的概率为0.8, 活到20岁的概率为0.4, 求一只现在年龄为15岁的此种动物活到20的概率.

错解:因为活到20岁的概率为0.4, 所以所求答案为0.4.

分析:引起错误的原因是本题所求的概率是在“已经活到15岁”的条件下, 再求“活到20岁”的概率, 而不是单纯“活到20岁”的概率.

正解:设“活到15岁”为事件A, “活到20岁”为事件B, 则所求概率为${\rm P}(B|A)=\frac{{\rm P}(AB)}{{\rm P}(A)}=\frac{0.4}{0.8}=\frac{1}{2}.$

二、正确区分“条件概率”与“积事件概率”的区别

对于条件概率和积事件概率, 如果不能从本质上把它们区别清楚, 那么就会常常把应属于积事件概率的问题错误地当成条件概率的问题.有时出现了错误还不易被发现.

【例3】 13件产品中有3件次品, 从中不放回地逐个随机抽取, 设X表示取得第一件合格品时的抽取次数, 试求直到第二次才取到合格品的概率P (X=2) .

错解:设第i次取到合格品为事件Ai (i=1, 2) , 则由题意“直到第二次才取到合格品”, 即第一次没有取得合格品的条件第二次取得合格品, 故所求概率为

分析:条件概率求解的前提是在一定条件下的概率, 本题“直到第二次才取到合格品”容易将“第一次没有取得合格品”作为前提条件, 事实上, 根据题意, 本题属于一般的古典概率问题, 其基本事件总数为“从13件产品中取出2件”共有13×12个基本事件, 而所求事件即为“第一次没有取得合格品”与“第二次取得合格品”两个事件同时发生的积事件, 共有3×10个基本事件, 故所求概率为${\rm P}(\overline{A{}_1}A{}_2)=\frac{3\times 10}{13\times 12}=\frac{5}{26}.$

小结:该类问题的求解必须要理解题目中有没有“条件”及“条件”是什么.可将该题改成如下题:13件产品中有3件次品, 从中不放回地逐个随机抽取, 已知在第一次没有取到合格品, 则第二次才取到合格品的概率.则该题为条件概率问题, 由上题得其概率为${\rm P}(A{}_2|\overline{A{}_1})=\frac{5}{26}/\frac{3}{13}=\frac{5}{6}.$

三、合理选择求解条件概率的三种方法

求解条件概率问题有以下三种常用方法:①运用公式${\rm P}(A|B)=\frac{{\rm P}(AB)}{{\rm P}(B)}$ (公式一) ;②应用公式${\rm P}(A|B)=\frac{n(AB)}{n(B)}$ (公式二) ;③直接法.其中公式一侧重于积事件AB与事件B概率的计算, 公式二则侧重于积事件AB与事件B所含基本事件的计算, 直接法则在某些特定条件时直接加以求解.

【例4】 A表示事件“医学试验结果呈阳性”, B表示事件“肺部感染”.已知${\rm P}(B)=0.005‚{\rm P}(A|B)=0.95‚{\rm P}(\overline{A}|\overline{B})=0.95$, 若某人对这种医学试验反应呈阳性, 求他肺部受到感染的概率.

分析:$\because {\rm P}(B|A)=\frac{{\rm P}(AB)}{{\rm P}(A)}(*)$, 故只需求P (AB) 和P (A) .

∴P (AB) =P (A B) ·P (B) =0.95×0.005=0.0047. (1)

而P (A) 的求解是本题的关键

方法一:P (A) =P (AB) +P (A B) =P (AB) +P (AB) ·P (B) =P (AB) + (1-P (A B) · (1-P (B) ) =0.0047+0.05×0.995=0.0545. (2)

方法二:∵P (A B) =1-P (A) -P (B) +P (AB) ,

∴P (A) =1-P (A B) -P (B) +P (AB) =1-0.95-0.005+0.0047=0.0545. (2)

把 (1) (2) 式代入 (*) 式, 即得P (B A) ≈0.087.

小结:本题的难点在于如何才能灵活运用公式一.

【例5】抛掷两枚质地均匀骰子各一次, 求向上的点数之和为7时, 其中有枚点数是2的概率是多少?

分析:“向上的点数之和为7”显然为本题的条件, 所以是一个条件概率问题.记“向上的点数之和为7”为事件A, “有一枚的点数是2”为事件B.

方法二:事件A包含的基本事件为{ (2, 5) , (5, 2) , (1, 6) , (6, 1) , (3, 4) , (4, 3) }共6个, 事件B包含基本事件为{ (2, 5) , (5, 2) }共2个.

小结:上述方法一及方法二分别运用了公式一和公式二来求解.

【例6】某单位有18个人, 其中O型血有9人, A型血有3人, B型血有4人, AB型血有2人, 现从中任选2人, 问:在第一人是A型血的条件下, 第二人是O型血的概率是多少?

分析:“第一人是A型血”为已知条件, 所以只需要求在余下的17人中取一人为O型血的概率.

解:因为第一人是A型血, 故只需求从余下17人中取一人为O型的概率, 显然为.

浅谈中学条件概率教学 篇6

一、课堂引入

例1 一个班级中有男生30人, 女生20人, 其中15人是团员, 在这个班级中任选一名学生.

(1) 这名学生是团员的概率是多少?

(2) 若已知这名学生是男生, 这名学生是团员的概率是多少?

分析 问题 (1) 是一个典型的古典概型问题, 学生很容易就能回答出来, 进一步, 在 (2) 中, 样本空间改变了, 样本空间不再是全体学生组成的集合, 因为知道选的这名学生是男生, 那么样本空间应该是男生组成的集合, 基本事件的个数变成了30个, 但这仍然是一个古典概型问题, 只不过样本空间缩小了而已.

解 设Ω表示“全体学生”, A表示“学生是团员”, B表示“已知学生是男生, 这名学生是团员”, 则

undefined

上述 (2) 中遇到的情况, 现实生活中经常遇到, 这就是下面我们要学习的条件概率问题.

二、条件概率的概念

在解决许多概率问题时, 往往需要在有某些附加信息 (条件) 下求事件的概率.如在事件A发生的条件下, 求事件B发生的条件概率, 记作P (B|A) .

定义 设A, B是两个事件, 且P (A) >0, 则称

undefined

为在事件A发生的条件下, 事件B的条件概率.相应地, 把P (B) 称为无条件概率.一般地, P (B|A) ≠P (B) .

注 用维恩图表达 (1) 式.若事件A已发生, 则为使B也发生, 试验结果必须是既在A中又在B中的样本点, 即此点必属于AB.因已知A已发生, 故A成为计算条件概率P (B|A) 的新的样本空间.

例2 某人忘记了电话号码的最后一个数字, 因而他随意地拨号.

(1) 他接通电话的概率?

(2) 求他已知最后一个数字是奇数时接通电话的概率.

分析 (1) 中基本事件总数是10, 而 (2) 中基本事件总数应该是5, 样本空间缩小了, 但仍然可以使用古典概型思想, 也就是在缩小的样本空间中计算古典概率, 所以应该是undefined

解 设Ω表示“接通电话”, A表示“随意地拨号, 接通电话”, B表示“已知最后一个数字是奇数时接通电话”, 则

undefined

例3 盒子中有10个球, 6白4红, 无放回地每次抽取一球, 记A表示“第一次取到白球”, B表示“第二次取到白球”, 求P (B|A) .

解 由条件概率的计算公式, 得

undefined

三、课堂小结

通过上述例题, 我们可以发现计算条件概率有以下两种方法:

(1) 在缩减的样本空间A中求事件B的概率, 就得到P (B|A) .

(2) 在样本空间Ω中, 先求事件P (AB) 和P (A) , 再按定义计算P (B|A) .

通过上面的讨论, 我们可以看出, 条件概率只是一种特殊的概率, 是在缩小的样本空间中计算的概率, 只要我们找准样本空间, 找准具体事件, 计算条件概率其实并不是一件很困难的事情.

参考文献

[1]盛骤, 谢式千.概率论与数理统计.北京:高等教育出版社, 2008.

条件概率的第三定义 篇7

思考问题( 见数学选修2—3第二章2. 2节) : 3张奖券中只有1张能中奖,现分别由3名同学无放回地抽取,如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券,那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少?

课本解法: 用A表示第一名同学没有抽到中奖奖券的事件,B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件,Y表示抽到中奖奖券,N表示没抽 到中奖奖 券,则B = { NNY} ,A = { N NY,N Y N} ,由古典概型可知,最后一名同学抽到中奖奖券的概率是n( B)/n( A)=1/2,由此引出条件概率定义: P( B |A) =n( AB)/n( A)

另一解法: 用A表示第一名同学没有抽到中奖奖券的事件,B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件,所有的基本事件为两张不中奖奖券和1张能中奖奖券,一名同学抽奖后,剩余的基本事件全体为Ω = { 1张中奖奖券,1张不能中奖奖券} ,含B的基本事件是{ 1张中奖奖券} ,由古典概型可知,最后一名同学抽到中奖奖券的概率是1/2,由此启发我们给出条件概率的另一定义: P( B | A) = A发生后剩余的含B的基本事件个数/A发生后剩余的基本事件总数.

本文称之为条件概率的第三定义. 本定义较之课本给出的条件概率定义,学生比较容易理解和掌握.

二、条件概率第三定义应用举例

例1 ( 见数学选修2—3第二章2. 2节P60页) 在5道题中有3道理科题和2道文科题,如果不放回地依次抽取2道题,求在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.

解设第1次抽到理科题为事件A,第2次抽到理科题为事件B,第1次抽到理科题后剩余的题数是4道,其中2道理科题,

由条件概率第三定义可知,

P( B | A) =2/4,即 P( B| A) =1/2.

例2 ( 见数学选修2—3第二章2. 2节P61页) 从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次,每次抽1张,已知第1次抽到A,求第2次也抽到A的概率.

解设第1次抽到A为事件B,第2次也抽到A为事件C,第1次抽到A后剩余的基本事件总数是51,第1次抽到A后剩余的A扑克牌有3张,

所以,依据条件概率第三定义得,P( C| B) =3/51

例3 ( 见数学选修2—3第二章2. 2节P61页) 100件产品中有5件次品,不放回地抽取2次,每次抽1件,已知第1件抽出的是次品,求第2次抽出正品的概率.

解设第1件抽出的是次品为事件A,第2次抽出正品为事件B,第1件抽出次品后剩余的基本事件总数是99,第1件抽出次品后剩余的含正品的基本事件个数为95,所以,依据条件概率第三定义得,P( B| A) =95/99.

例4 ( 见数学选修2—3第二章2. 2节P63页) 一个口袋内装有2个白球和2个黑球,那么( 1) 先摸出1个白球不放回,再摸出1个白球的概率是多少?

( 2) 先摸出1个白球放回,再摸出1个白球的概率是多少?

解记先摸出1个白球为事件A,再摸出1个白球为事件B,

( 1) 先摸出1个白球后剩余的基本事件总数为3,先摸出1个白球后剩余的白球个数是1,故依据条件概率第三定义得,P( B| A) =1/3.

( 2) 先摸出1个白球后剩余的基本事件总数为4,先摸出1个白球后剩余的白球个数是2,

故,依据条件概率第三定义得,P( B | A) = 2 /4,即P( B |A) =1/2.

运用条件概率第三定义解决以上例题,较之课本给出的定义,更简捷、更能抓住题目的本质.

三、条件概率的两种情形

条件概率P( B| A) 为在事件A发生的条件下,事件B发生的概率. 在事件A发生的条件下,事件B发生包括两种情形. 第一种情形: 事件A发生后,事件B才发生; 第二种情形: 事件A发生的同时,事件B也可能发生. 这两种情形的共同点是事件A、B都发生. 本文给出的条件概率第三定义适用范围是第一种情形. 如果是第二种情形,必须运用课本的条件概率定义.

例如,一个箱子中装有4个白球和3个黑球,一次摸出2个球,在已知它们的颜色相同的情况下,求该颜色是白色的概率?

解记摸出的2个球颜色相同为事件A,摸出的2个球是白球为事件B,由于事件A发生的同时,事件B也可能发生,故用课本给出的条件概率定义解决,