整式的乘法

整式的乘法（共6篇）

整式的乘法 篇1

整式乘法与因式分解是代数式的恒等变形, 是中考基础知识的测试中必不可少的一部分内容. 现以近年来部分中考题为例, 就几种常见类型分别加以说明.

一、考查整式的运算能力

对于整式的乘法, 中考中多以考查乘法公式的运用为主, 常常与化简求值联系在一起.

例1 先化简, 再求值:

当x=1时, 原式=4×1+5=9.

【点评】本题是整式的乘法与加减法的混合运算, 计算时注意完全平方公式与平方差公式不要用错.

二、考查利用因式分解的结果求值

例2 已知 (2x-21) (3x-7) - (3x-7) (x-13) 可分解因式为 (3x+a) · (x+b) , 其中a、b均为整数, 则a+3b=_______.

则a=-7, b=-8,

∴a+3b=-7-24=-31.

故答案为-31.

【点评】本题需要首先提取公因式3x-7, 再合并同类项即可得到a、b的值, 进而可算出a+3b的值. 本题主要考查了提公因式法分解因式, 关键是找准公因式.

例3 多项式x2+mx+5因式分解得 (x+5) (x+n) , 则m=_______, n=_______.

【点评】本题考查了同学们逆向思维的能力. 应用多项式的乘法, 通过比较各项的系数得出关于m、n的二元一次方程组, 从而求出m、n的值.

三、换元法在因式分解中的应用

例4 把 (x2+7x-5) (x2+7x+3) -33分解因式.

【点评】在因式分解中, 把多项式中某些部分看作一个整体, 用一个新的字母代替 (即换元) , 不仅可以简化要分解的多项式的结构, 而且能使式子的特点更加明显, 以便于观察出如何进行因式分解.

四、利用因式分解解决问题

例5 老李师傅在制作零件时, 要在半径为R cm的圆形钢板上钻四个相同的半径为r cm的圆孔, 老李师傅测量出R=7.8 cm, r=1.1 cm时, 请你帮他计算一下圆形钢板的剩余面积. (结果保留π)

【分析】剩余部分的面积, 即为大圆的面积减4个小圆的面积. 因为数字为小数, 计算起来不方便. 先因式分解, 后计算, 就简单多了.

答:剩余部分的面积为56πcm2.

例6小明制作了一个房子模型, 如图1所示, 要把其中的这一面墙涂上颜色 (小正方形窗户除外) , 那么涂色的面积是多少?

【分析】涂色的面积应该是三角形的面积加正方形的面积再减去小正方形的面积. 可利用平方差公式对部分式子进行因式分解, 从而简化计算.

答:涂色的面积是143.

【点评】如果由实际问题得到的代数式, 满足平方差公式的结构特点, 而且分解后, 两个数的和或两个数的差运算较简单, 通常应用平方差公式.

五、逆向思维在因式分解问题中的应用

例7试说明257-512能被120整除.

【分析】因为25=52, 所以可把257整理成5的幂的形式, 再逆用同底数幂的乘法法则变成512·52-512, 最后逆用分配律提取公因式, 并整理为含有因数120的形式即可.

因此257-512能被120整除.

例8 计算: (a+b+2c) 2- (a+b-2c) 2.

【分析】观察式子的整体结构, 若逆用平方差公式, 就可以使一些项消去, 从而简化运算.

【点评】同学们如果能学会逆向思维解题, 不仅可以减少运算量, 优化解题过程, 提高解题能力, 而且能培养思维的灵活性和发散性, 使掌握的数学知识得到有效迁移.

六、从图形角度看乘法公式

例9 从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后, 将其裁成四个相同的等腰梯形 (如图2) , 然后拼成一个平行四边形 (如图3) . 那么通过计算两个图形阴影部分的面积, 可以验证成立的公式为 ()

A. (a-b) 2=a2-b2

B. (a+b) 2=a2+2ab+b2

C. (a-b) 2=a2-2ab+b2

D. (a+b) (a-b) =a2-b2

解:正方形中的阴影部分的面积可表示为a2-b2;而平行四边形的高为a-b. 则平行四边形中的阴影部分的面积可表示为 (a+b) · (a-b) . 于是 (a+b) (a-b) =a2-b2, 故选D.

【点评】此类题的解题关键是抓住两个图形 (这里是阴影部分) 的面积相等, 列出每一个图形有关面积计算的代数式即可.

例10 将大小相同的4块长、宽分别为a、b (a>b) 的长方形纸片拼成如图4所示形状, 从中你能发现 (a+b) 2与 (a-b) 2的关系吗?

解:大正方形边长为a+b, 小正方形边长为a-b.

∴整体计算:大正方形面积为 (a+b) 2, 局部计算:大正方形面积为 (a-b) 2+4ab.

∴ (a+b) 2= (a-b) 2+4ab.

可变形为: (a+b) 2-4ab= (a-b) 2

(a+b) 2- (a-b) 2=4ab.

【点评】利用同一个图形面积的两种不同表示方法, 抓其面积的不变特征, 就可以得到相应的乘法公式. 本题考查了同学们思维的多样性.

整式的乘法 篇2

第一课时

积的乘方

复习导入

前面我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方这两个运算性质，请同学们通过完成一组练习，来回顾一下这两个性质：（1）

（2）

（3）

（4）

二、合作探究

（1）(3×5)7

——积的乘方 =(35)(35)(35)

——幂的意义

7个(35)=(333)×(555)

——乘法交换律、结合律

7个37个5=37×57；

——乘方的意义

（2）（ab）2 =(ab)·(ab)=(a·a)·(b ·b)= a（）

b()

(3)

（a2b3）3 =(a2b3)·(a2b3)·(a2b3)=（a2 ·a2· a2)·(b3·b3·b3)= a（）(4)

(ab)n

=(ab)(ab)(ab)

——幂的意义

n个ab=(aaaa)·(bbbb)——乘法交换律、结合律 n个an个b=anbn ．

——乘方的意义

由上面三个式子可以发现积的乘方的运算性质：

积的乘方，等于把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘． 即：(ab)n=an·bn

三、知识应用，巩固提高

例题3 计算（1）(2a)3；（2）(－5b)3；（3）(xy2)

2；

（4）(-2x3)4．

（5）(－2xy)4

（6）（2×10）2

说明：（5）意在将(ab)n=anbn推广，得到了(abc)n=anbncn 判断对错：下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？

①

②

③

补充例题： 计算：

（1）

（2）

b()逆用公式：（ab）annbn，即

abnnab）（n预备题：（1）

（2）例题：（1）0．12516·(－8)17；

（2）已知2m=3，2n=5，求23m+2n的值．

五、课堂作业

1、计算（1）[4(xy)2]3（2）(ts)3(st)

5152、逆用公式（1）(9)5(2)(33)（2）(0.125)

2010(8)2011

3、（1）若6482，则x________（3）已知164

2第2课时

整式的乘法1

一、复习提问

同底数幂，幂的乘方，积的乘方三个法则的区分。

二、合作探究

光的速度约为3×105千米／秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？

（1）怎样计算（3×105）×（5×102）?计算过程中用到哪些运算律及运算性质？（2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac5•bc2怎样计算这个式子？ 说明：（3×105）×（5×102），它们相乘是单项式与单项式相乘．

ac5•bc2是两个单项式ac5与bc2相乘，我们可以利用乘法交换律，结合律及同底数幂的运算性质来计算：ac5•bc2＝（a•b）•（c5•c2）=abc5+2=abc7．

单项式乘以单项式的运算法则及应用

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． m2n252x，2793nm3，求m、n的值

例4 计算：

（1）（－5a2b）（－3a）；

（2）（2x）3（－5xy2）．

练习1（课本）计算：

（1）3x25x3；

（2）4y（－2xy2）；

（3）（3x2y）3•（－4x）；（4）（－2a）3（－3a）2．

练习2（课本）下面计算的对不对？如果不对，应当怎样改正？

（1）3a3•2a2 = 6a6；

（2）2x2 • 3x2 = 6x4 ；

（3）3x2 • 4x2 = 12x2；

（4）5y3 • y5 = 15y15．

三、巩固提高

1．（-2x2y）·(1/3xy)2.(-3/2ab)·(-2a)·(-2/3a2b2)3.(2×105)2·(4×103)

24.(-4xy)·(-xy)·(1/2y)

5.(-1/2ab2c)·(-1/3abc)·(12ab)6.(-ab3)·(-ab)22

32323

n+1n22322 7.(-2xy)·(-3xy)·(-1/2xz)8.-6mn·(x-y)·1/3mn·(y-x)

四、课堂小结

（1）积的系数等于各系数的积，应先确定符号。（2）相同字母相乘，是同底数幂的乘法。

（3）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把该因式丢掉（4）单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。（5）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

五、课堂作业

1、（1）5x(ax)(2.25axy)(1.2xy)（2）xy(0.5xy)(2x)xy

2、已知：x4,y

ab3、若23，26，212，求证：2b=a+c.c1322252233

112215，求代数式xy14(xy)x的值.874

整式的乘法

（二）课后做作业

1、计算（1）(2103)3（2）(xy2z3)

22、逆用公式（1）212(1122)

3、（1）若x38a6b9，则x________

4.计算下列各题（1）4xy2(3238xyz)

（3）3.2mn2(0.125m2n3)

2）(3a3b2)(213a37b3c)

4）(1xyz)2x2y2323(5yz3)4

整式乘法与因式分解中的数学思想 篇3

一、字母代数思想

课本中在得出同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方法则时，都是通过具体的数值计算结果，然后再运用字母代替具体的数值，从而得出这些法则。这种用字母代替具体数值进行思考的方法，就是字母代数思想。

点评 通过字母代替数，不仅使原式的形式变得非常简单，更主要的是将繁杂的乘法计算变成简单的单项式与二项式的积。

点评 本题设正方形EFGB的边长为a，这个看似不起眼的字母，其实起着“牵线搭桥”的作用，这样可以表示出正方形EFGB的面积、△CEF的面积和△AGF的面积，从而顺利表示出阴影部分的面积，进而求出其大小。

二、对应思想

根据单项式与多项式相乘的法则可知，结果的项数与多项式的项数对应相等；根据多项式与多项式相乘的法则可知，在合并同类项之前，结果的项数与两个多项数的项数之积对应相等，这里面就蕴含着一种对应思想。

解 中间空的部分是一个边长为a-b的正方形，其面积为（a-b）2，故答案选C。

整式的乘法 篇4

一、转化思想

“转化”是研究数学问题的一种基本思想.在解决数学问题时,总的指导思想是把所求问题通过变换,化归为在已知条件下能够解决的问题.在本单元中,要求某些特殊类型的多项式的值,可以借助因式分解将多项式变形后再求解,这样做往往能够化繁为简.

【点评】本例(1)中的转化可以从条件出发,也可以从结论出发,但目标都是对x3进行降次;(2)是关于大数值的计算问题,若直接计算将十分繁琐,而通过用字母表示数的方法将原问题转化成整式的计算问题,便可帮助我们达到化繁为简、出奇制胜的目的.

二、分类讨论

分类讨论是十分重要的数学思想.本单元在涉及完全平方式问题时,由于中间项系数可正可负,所以结果往往有两解.

【点评】完全平方式可定义为:a2±2ab+b2,这样的多项式都是两个数的平方和加上或减去这两个数积的2倍,因此,完全平方式中间项的系数可正可负,故(1)中m的值应为两解.第(2)小题在分类时要做到不重复、不遗漏,标准要统一,思考要全面.

三、数形结合

著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微.”学习整式的乘法和因式分解,我们不仅要能从“数”的角度熟练进行运算,而且要能从“形”的角度理解公式、法则的几何背景,既要学会算法,也要弄清算理,真正做到数形结合,融会贯通.

例3如图1是一个边长为(m+n)的正方形,小颖将图1中的阴影部分拼成图2的形状,由图1和图2能验证的式子是( ).

A.(m+n)2-(m-n)2=4mn

B.(m+n)2-(m2+n2)=2mn

C.(m-n)2+2mn=m2+n2

D.(m+n)(m-n)=m2-n2

【解析】由题意可知,拼图前后阴影部分的面积保持不变.

∵一个小直角三角形的斜边长的平方为m2+n2,

【点评】完成本题一定要抓住两个图形中阴影部分的面积相等,由图1可知,四个直角三角形的直角边均为m、n,拼图前阴影部分面积可以用大正方形的面积减去小正方形的面积表示,拼图后阴影部分可以分成上下两个三角形,也可以分成左右两个三角形,还可以分成四个三角形,只要抓住拼图前后阴影部分面积相等,就能得出正确答案,体现了数形结合的数学思想.

四、整体思想

例4 (1)已知x2-2x-3=0,则2x2-4x的值为( ).

A. -6B. 6

C. -2或6D. -2或30

(2)已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,求a2+b2和ab的值.

整式的乘法复习教案 篇5

整式的乘法复习教案

1、回顾本章内容，熟练地运用乘法公式进行计算；

2、能正确地根据题目的要求选择不同的乘法公式进行运算。

教学重点：正确选择乘法公式进行运算。

教学难点：综合运用平方差和完全平方公式进行多项式的计算。教学方法：范例分析、探索讨论、归纳总结。教学过程：

一、导学

1、平方差公式：ababa2b2

2、完全平方公式：(ab)2a22abb2

(ab)2a22abb2

3、计算

（1）abab

（2）abab

（xy1）(xy1)（3）x1(x21)(x1)（4）

二、探究

（abc）

（1）做一做 运用乘法公式计算：

（abc）＝abc2ab2ac2bc

得：（2）直接利用第（1）题的结论计算：(2x3yz)

分析（2）小题中的2x相当于公式中的a，3y相当于公式中的b，z相当于公式中的c。

解：(2x3yz)2＝[2x(3y)z]

＝(2x)2(3y)2z22(2x)(3y)2(2x)z2(3y)z

＝4x9yz12xy4xz6yz

三、精导

例1运用乘法公式计算：

（1）abab

（2）abab 22222222222222（abc）(abc)

（3）a3a3

（4）

2解：（1）abab 22＝[abab][(ab)(ab)] ＝2a(2b)2ab

想一想：这道题你还能用什么方法解答？（2）abab 22＝a2abb222a222abb2

2＝a2abba2abb

＝2a2b

（3）、（4）略

注意灵活运用乘法公式，按要求最好能写出详细的过程。

例3 一个正方形花圃的边长增加到原来的2倍还多1m，它的面积就增 加到原来的4倍还多21m，求这个正方形花圃原来的边长。解：略

四、提升

1、练习P49的练习题

2、小结：利用乘法公式可以使多项式的计算更为简便，但必须注意正

确选择乘法公式。

3、布置作业：

复习题 A组 第3题、第4题

整式的乘法 篇6

提公因式法分解因式的关键是正确找出多项式各项的公因式，其方法是选取各项系数的最大公约数作为公因式的系数，各项中相同字母的最低次幂作为公因式的因式. 注意分解后的多项式因式中不能再含有公因式. 另外，当多项式的第一项含有“-”时，一般要提出“-”，使括号里的第一项为“+”，在提出“-”时，括号里的各项都要改变符号.

注意：多项式中的第三项正好是公因式，提取后原位置不能漏1.

利用公式法对多项式进行因式分解，与学习乘法公式一样，首先要弄清公式的形式和特点，只有符合相关公式的特征才能运用相应公式分解.

学习因式分解应注意：

1. 因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，因此因式分解的对象是整式，不是整式不能分解因式. 如变形-1=+1-1，只是利用了因式分解的思想方法，但不是因式分解.

2. 因式分解的结果必须是几个整式的积的形式，把一个多项式的部分化为积的形式不是因式分解，如变形x2-4x+4=x（x-4）+4不符合因式分解的定义，因式分解的结果应该是x2-4x+4=（x-2）2.

3. 分解因式时，每一个多项式不一定只分解一次就可完成，对分解后的每一个因式要仔细检查，看其还能不能再分解，分解因式一定要分解到不能分解为止. 如因式分解：（a+b）2-9（a-b）2=（a+b）2-[3（a-b）]2=（a+b+3a-3b）（a+b-3a+3b）=（4a-2b）（-2a+4b）就没有分解彻底，两个括号内（4a-2b）（-2a+4b）都出现了公因式，需要继续提取，直到提完为止；另外，第二个小括号内首项为“-”，应把“-”号提出来，因此最终结果为-4（2a-b）（a-2b）. 总之，因式分解要分解到不能再分解为止，不能“半途而废”.

因式分解与整式乘法是互逆的关系：因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘，即“和差化积”，整式乘法是把几个整式相乘的形式化为一个多项式，即“积化和差”.我们可以利用多项式乘法来检验分解因式的结果是否正确.