解题与听课研究

解题与听课研究（共9篇）

解题与听课研究 篇1

做任何事情都要讲究方法。中学数学中掌握更多科学方法, 是教师钻研教材的钥匙, 具有积极的指导意义。数与形结合的思想, 有助于学生思维的开拓、创新, 提高学生的学习效果, 使问题的解决具有独特策略, 把复杂问题简单化、抽象问题具体化, 达到化难为易的目的。

解题是实现中学数学教学的一种手段, 是教学活动的重要形式。解题教学是教师对学生运用知识进行独立思考活动的指导过程, 也是使学生掌握数学基础知识, 培养基本技能, 提高数学能力和发展智力的必要途径。通过解题, 我们还可以培养学生辩证唯物主义世界观, 以及刻苦钻研精神和独立工作能力等优良品质。

数学在其漫长的发展过程中, 不仅建立了严密的知识体系, 而且形成了一套行之有效的方法。一般认为数学思想方法的概括, 是贯穿于该类数学方法中的基本精神、思维策略和调节原则。它制约着数学活动中主观意识的指向, 对方法的取舍具有规范和调节作用。形和数这两个概念, 是数学的两块基石。数学大体上都是围绕这两个概念的提炼、演变、发展而展开的。在数学发展过程中, 形与数常常结合在一起, 在内容上互相联系, 在方法上互相渗透, 在一定条件下互相转化。

早在数学的萌芽时期, 人们在度量长度、面积和体积的过程中, 就把数和形联系起来了。我国宋元时期, 系统引进了几何问题代数化的方法, 用代数式描述某些几何特征, 圆形中的几何关系表达成代数之间的代数关系。17世纪, 法国数学家笛卡尔, 通过建立坐标系, 建立了形与数之间联系, 创立了解析几何学。后来, 几何学中许多长期没有解决的问题, 如尽规作圆三大不能问题, 最终也都借助代数方法得到解决。形与数的内在联系, 也使许多代数学和数学分析课具有鲜明的直观性, 而且往往由于借用了几何术语或运用了几何的类比从而开拓了新的发展方向。例如, 线性代数正是借用了几何空间、线性等概念与类比方法, 把自己充实起来, 从而获得迅猛的发展。形与数的结合正是在上述背景下逐步形成的。它在数学数学与数学发展中的重要意义, 正如在《数学发展史》中法国数学家拉格朗日所指出:“只要代数同几何分道扬镳, 它们的发展就缓慢, 它们的应用就狭窄, 但是两门科学结合成伴侣的, 它们就互相吸取新鲜的活力, 从那以后, 就以快速的步伐走向完善。”因此, 在教学中我们必须重视形与数相结合思路的应用。

在现实世界中, 形与数不可分离地结合在一起。这是直观与抽象相结合、感知与思维相结合的体现。形与数相结合不仅是数学自身发展的需要, 而且是加深对数学知识的理解、发展智力、培养能力的需要。从表面上看, 中学数学内容可分为形与数两大部分, 中学代数是研究数和数量关系的学科, 中学几何是研究形和空间形式的学科, 中学解析几何是数与形结合的内容。从以下几例便能说明其数形结合妙之所在。

1.研究数与数轴相结合。在中学所学的实数中, 把每一个数与相应的点对应, 把这些点按顺序构成一条直线。又由数与数轴上的点反映了二者之间的“一一对应”关系, 能直观地通过数轴反映数之数之间的连续性、稠密性, 使得中学数学更加具体、生动。

2.当在平面上建立了坐标系后, 平面上的点与有序实数对之间建立起一一对应的关系, 任何一条直线都可以写成关于X、Y的二次方程, 任何X、Y的二元一次方程都表示一条直线。这样我们就可以利用直线的方程讨论两直线的位置关系、两条直线所成的角、点到直线的距离, 这种通过方程研究图形性质的方法提示了“数”与“形”的内在联系。首先根据图形特点, 建立适当的直角坐标系 (所谓适当, 就是保证题目的解证过程中运算简便, 过程简单, 结果明确) ;其次根据已知条件, 标出已知点坐标, 给出已知直线或曲线的方程, 然后由题设或图形的几何性质, 已知的点或曲线方程, 推导出要求或要证结果。由上题可看出, 用这样的方法解证题目, 思维流畅, 方法灵活, 几何问题完全通过代数方法得到解决。

“横看成岭侧成峰, 远近高低各不同”。“数形结合”仿佛神来之笔, 为问题的解决提供了探索途径, 其独到的思维风格给人以享受, 并且带给人以成功的巨大喜悦。

3.研究函数与其图像相结合。函数是数学的概念之一。函数是贯穿整个数学的一个重要的、抽象的概念, 函数作为两个集之间的特殊关系贯穿整个数学课程。函数作为运算出现, 例如两个数的和与这个数对应;在初中代数中, 函数表示两个数量之间的关系:在几何中函数表示下一个点集到它的象集的变换 (平移、对称、旋转等) 。如研究二次函数y= (x+a) 2+b, 根据作图法画函数的图像, 是一个由数到形的变化。对学生来说, 图像性质是最难掌握的, 尤其二次函数的图像的变化, 需要高度的数形结合的思路, 包括“看图算数”与“以数想图”两方面。前面作图时已有了数到形的变化。如果改变图形的形状、大小、位置后, 函数式中的系数又随之怎样变化呢?

通过图形, 我们就可以总结出有关结论。这又是形到数的变化, 再如指数函数的有关教学通过图解, 充分说明了这又是一个数形结合思路贯穿于始终。有关数形结合的思路在数学学习中随处可见:代数方程可表示各种关系, 它可解决有关长度、面积等问题;一元一次方程、二元一次方程分别表示平面直线、二次曲线等。

在数学解题时, 我们要注意把形和数结合起来考察, 根据问题的具体情况, 把图形性质的问题转化为数量关系的问题, 或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题, 使复杂问题简单化, 抽象问题具体化, 化难为易, 获得简便易行的成功方案。以形数相结合的思路进行教学, 这就要求我们切实掌握形数相结合的观点, 钻研教材, 理解数学中的有关概念、公式与法则, 掌握数形结合进行分析问题和解决的方法, 从而提高运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和解题能力。

解题与听课研究 篇2

对于一些典型问题的典型方法(通性通法)，要理解方法的适用条件，掌握具体的解题思路和一套通用规则，熟悉操作步骤，力争“一看就会，一做就对”。

2、先审题，再答题;多动脑，再动手。不能简单机械地套公式，而要训练正确的思维方式，严格规范地按“解题程序”走，避免“凭感觉”、“想当然”。

总之，加强审题的意识，养成具体分析的习惯，提高解题的能力。

3、具体来讲，我们面对一道题目，首先不是回想这道题是否在哪里做过、可以套用什么结论或公式，而应从以下几个方面来考虑：

(1)题目要解决什么问题?

(2)题目提供了哪些已知条件?

(3)题目中有哪些关键的字词句，它们隐含了什么条件?

(4)题目中描述了哪几个过程?有哪几个关键点?每个过程遵循什么规律?过程与过程之间靠什么联系起来?

(5)根据题目所描述的情境，画出草图(受力分析图、过程分析图)，在头脑中建立物理情景和模型。

解题与听课研究 篇3

摘 要： 在高中物理课程教学过程中，学生学习该项课程有一定难度，如何提高学生解题能力，是物理教师应当着重关注的问题。本文通过分析高中物理课程的特点，对如何培养学生的解题能力谈几点看法。

关键词： 高中物理教学 解题能力 培养方法

高中物理课程是对初中物理课程所学知识的深化和扩展，同时是大学物理课程学习的基础，其学习效果将直接影响高考成绩及以后对物理课程的学习。由于课程中包含的光学、力学、电场、磁场、机械运动等逻辑性较强并且对学生的抽象思维要求较高的内容，学生在学习过程中可能因无法理解某些物理现象而导致解题能力不能有效提高。针对这些情况，高中物理教师应当对学生采取相应的解决办法以提高学生解题能力和学习成绩。

一、高中物理课程的特点

高中物理课程是一门相对复杂且抽象的课程，对于学生的理解能力、逻辑能力及思维抽象能力都有较高要求。因此，学生应当仔细观察生活中常见的一些物理现象，例如水杯中筷子的“折断”，通过课程系统学习解答疑惑，理解和掌握物理概念和物理规律，解题能力也能得到相应提升。

学生学习高中物理课程的另外一个阻碍是学生没有很好地适应学习物理的思维方式转变。现行的高中物理教材是以经典物理学基础知识为主，旨在培养学生物理思维，高中物理课程与初中物理课程之间的衔接不大，导致无法掌握物理抽象学习思维、不善于总结物理规律的学生的学习成绩一直不高。以培养高分解题能力为目的的学习方式也使得学生对高中物理课程的学习感到枯燥乏味从而导致成绩无法有效提高。

二、学生解题能力的培养

了解到高中物理课程的特点后，结合学生在学习的过程中遇到的问题及教学大纲要求，有针对性地培养学生物理解题能力，学生才能更好地提高学习成绩。第一，要求学生理解并熟记重要的物理定理、定理及法则等。第二，对于知识点的掌握不能局限于某一个方面，应当对知识点之间的联系做归纳总结，使学生对知识点的掌握更灵活透彻。第三，培养学生的逆向思维能力有助于找到解题方向。下面对如何培养学生的物理解题能力进行详细论述。

1.培养学生学习物理的兴趣。

兴趣是最好的老师。通过高中物理兴趣培养，可以充分调动学生学习积极性，有效提高学生物理学习效率。浓厚的学习兴趣能促使学生形成获取知识、求解疑惑的最大动力。物理教师凭借良好的专业知识，并且使用风趣幽默、通俗易懂的语言，以生活中常见的现象为例，吸引学生注意力，对提高学生学习兴趣有非常大的帮助。通过兴趣的培养，学生对基本原理的掌握会更加深刻，相应的，解题能力也能得到提高。

2.准确理解物理基础知识。

通过对物理发展史的了解，我们可以看出很多定理、定律、公式一类的知识是经过了前人无数次的证明和检验总结得出的，这些知识对于高中生而言是不可改变的基础知识。因此，学习这类知识必须做到熟记于心，在解题过程中逐渐将其熟练运用，最终达到完全掌握的效果。而解题的目的也是主要是考查学生对于重要基础知识的熟悉和掌握程度，所以，准确理解物理基础知识是提高解题能力的基础。

3.掌握学习方法，优化计算题过程。

在解答计算题时，最重要的一步是认真清楚地审题。通过审题找出题目给出的条件和问题，排除干扰因素，然后找出题目考察的知识点，再根据该类知识点的一般解题思路和步骤画示意图、草图、过程图等，使得物理情境更加清晰地展示出来。接下来采用解析法或者综合法进行解题，此时学生对于物理基础知识的掌握和推理能力的程度就能体现出来。审题不清可能导致错误理解题意使解题错误，或者是漏用已给的条件使解题过程变得极其复杂。理解题意，然后按照在高中物理课程中训练的解题思路，选择更为简便的方式解决问题，那么解题能力将得到快速提升。

4.整合知识点，发散思维。

高中物理课程涉及多个领域的抽象知识，在生活中应用时常常会结合多个知识点，在考试中也一般是多个知识点在一个考题中出现。学生在解题时要注意发散思维，在多个知识点同时出现时进行联想，理清相互之间的关系，灵活应对题中出现的变化。例如在电磁学题目中，小球以固定的加速度进入磁场，小球同时受到重力和磁场的作用，这个题就同时考察了力学和磁场两个知识点，解题时要注意磁场的方向对力学解题过程是否有影响等问题。由此可以看出，高中物理课程具有系统性和综合性，高中生学习物理的过程是一个不断积累的过程，最终达到解题能力不断提高、学习成绩得到提高的效果。

5.重视改错，对知识盲点各个击破。

在高中学习阶段，物理教师会让学生做大量题，通过考查学生学习情况相应地调整教学进度和计划，有针对性地帮助学生复习。但是每个人对各个知识点的掌握程度不同，所以学生自己应当针对个人学习情况制订有效的复习计划，对知识盲点逐个击破。每人准备一个改错本，记下做错的题并写明原因，一方面比较完整地反思做错的原因，再次复习相应的知识点，另一方面在阶段性复习时作为一份能反映自身情况的复习资料。认真制作并使用改错本能大大降低此次做错的题在下次考试中再次犯错的概率。

三、结语

学习高中物理课程是一个由浅入深、循序渐进的过程，为培养学生的逻辑能力和思维抽象能力发挥了很大作用。但是，我们也看到了学习高中物理课程的难度。提高高中学生的物理解题能力是物理教师的长期工作，也是提高学生物理成绩的重要手段。因此，物理教师在教学过程中要结合学生实际情况，不断改进教学方式，创新解题思路，从而使学生的物理思维得到发展和完善。

参考文献：

[1]徐修晓.高中物理教学中培养学生创造性思维的思考[J].基础教育研究，2013（20）.

[2]刘海珍.利用物理多解问题，提高学生解题能力[J].学周刊，2012（01）.

解题与听课研究 篇4

关键词：初中数学,解题错误,分析,对策

一、学生数学解题错误分析

1. 小学数学的干扰

在初中一开始, 学生学习小学数学形成的某些认识会妨碍他们学习代数的初步知识, 使其产生解题错误. 在小学里, 老师强调: 假分数都可以化成整数或带分数. 小学生对此深信不疑. 升入初中后, 情况发生了根本性改变:运算结果一般写成假分数形式. 学生对此很不理解, 所以他们经常受此思维的影响, 出现了错误.

再有, 学生习惯于算术解法解应用题, 这会对学生列方程解应用题产生干扰. 例如, 在求两车追及问题时 (甲、乙两人从相距10 km的两地同时骑车出发, 同向而行, 甲每小时行18 km, 乙每小时行16 km, 经过多少时间甲追上乙) , 不少同学列出的“方程”为x = 10÷ (18 - 16) , 由此可以看出学生拘泥于算术解法的痕迹. 而初中需要列出18x - 16x = 10这样的方程, 这表明了学生对已知数和未知数之间的相等关系的把握程度.

2. 初中数学前后知识的干扰

随着初中知识的展开, 初中数学知识本身也会前后相互干扰. 这种知识的前后干扰, 常常使学生在学习新知识时出现困惑, 在解题时选错或用错知识, 导致错误的发生.

例如, 在学有理数的减法时, 教师反复强调减去一个数等于加上它的相反数, 因而3-7中7前面的符号“-”是减号给学生留下了深刻的印象. 紧接着学习代数和, 又要强调把3-7看成正3与负7之和 , “-”又成了负号 , 学生不禁产生到底要把“-”看成减号还是负号的困惑. 这个困惑不能很好地消除, 学生就会产生运算错误. 又如, 了解不等式的解集以及运用不等式基本性质3是不等式教学的一个难点, 学生常常在这里犯错误, 其原因就是受等式的性质2以及方程的解是一个数的干扰. 事实也证明, 把不等式的有关内容与等式及方程的相应内容加以比较, 使学生理解两者的异同, 有助于学生学好不等式的内容. 可见对比教学法对学生 错误的形成、前后知识的干扰有一定的作用.

3. 教师教学讲解风格 、方式、方法的影响

教师由于自身的教学风格、教学方式、教学方法水平等因素, 也会影响学生对知识的把握. 如教师在教学中带有口头禅, 常常自认为讲解清楚了, 而有的学生很不习惯于此, 而影响到学习的效果, 出现解题错误. 又如有的教师常常上课夹杂幽默, 有的学生就反感, 觉得冲淡主题. 再如教师常常采取“总—分—总”的课堂结构, 学生听惯了就厌倦.

二、提出解决学生数学解题错误的对策

在教学中, 学生不能顺利正确地完成解题, 产生解题错误, 表明其在解题过程中受到各种影响和干扰. 因此, 减少初中数学学生解题错误的方法就是预防和排除干扰. 为此, 教师应该在以下几方面做好工作:

1. 渗透数学观念和数学思想

在数学课堂教学中, 教师应充分关注学习内容的数学教育价值、地位作用, 关注这些知识是怎样形成和发展的, 其中蕴含了哪些数学思想等. 这需要教师先品数学再品教材, 只有让自己先对整个数学大厦有深刻了解, 才能比较准确地把握教材, 在教学中合理地渗透数学观念和数学思想.

数学思想是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓, 是数学知识、数学技能、数学方法的本质体现, 是形成数学能力、数学意识的桥梁, 是灵活运用所学知识、技能、方法的灵魂. 在实际教学中, 应当突出数学学科的特点, 渗透数学思想:1在概念教学中渗透数学思想;2在定理和公式的探求中挖掘数学思想;3在问题解决过程中强化数学思想;4及时总结以逐步内化数学思想. 就初中数学而言, 在新课程背景下常用的数学思想有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等.

2. 教学讲解过程要有针对性

预防错误的发生, 是减少初中学生解题错误的主要方法讲课之前, 教师若能够预见到学生学习本课内容可能产生的错误, 就能够在课内讲解时有针对性地指出并加以强调, 从而有效地控制错误的发生.

在课内讲解时, 要对学生可能出现的问题进行有针对性的讲解. 对于容易混淆的概念, 要引导学生用对比的方法, 弄清它们的区别和联系. 对于规律, 应当引导学生搞清它们的来源, 分清它们的条件和结论, 了解它们的用途和适用范围, 以及应用时应注意的问题. 教师要给学生展示揭示错误、排除错误的手段, 使学生会识别错误、改正错误.

例如, 在讲解一元一次不等式时, 老师在黑板上一口气板演解4个不等式题:

1 2 - 3x≥8 - x;2 -1 < (x + 5) /6;3 1 + x≥5 - x ;4 1 - x≤ - (x + 1) . 并把所得解集在数轴上表示.

经过学生的独立思考, 分组讨论, 可以诊断:

(1) 不等式的两边除以一个不等于零的数时 , 应考虑该数的正负, 从而决定不等号是否改变方向. 而第1题老师解的过程中没有注意到这一点, 从而导致结论的错误.

(2) 去分母时 , 不等式两边都乘以公分母6, 而第2题老师的解法中“-1”这一项却漏乘了6, 因此, 导致结果错误.

(3) 分数线不仅有“除号”的作用 , 而且也起着括号的作用, 因此, 去分母时, 分子上的多项式要用括号括起来, 而老师的解法中正好忽视了这一点.

(4) 此题解不等式的过程完全正确 , 但在数轴上表示不等式的解集是错误的, 在数轴上表示不等式解集时, 解集含有等号应画实心圆点, 而老师画的图中却画了空心圆圈.

正是由于初学“解一元一次不等式”时, 学生对不等式的概念、基本性质和同解变形掌握不好, 极易出现一些错误. 因此本案例以老师故意做错作业, 让学生批改作业的形式创设了师生平等交流的氛围, 调动了学生敢思敢说的积极态度, 让学生开“处方”治“毛病”, 为揭示错误、消灭错误打下了坚实的基础.

解题与听课研究 篇5

（二）教师为完成教学任务选择最合理的教学方法和手段。首先，教师要创立一个和谐的课堂环境，这种环境中如何提问，如何把教学目标转化为某一个问题，如何才能使学生自主地思考，这类问题是教师要考虑的，这是课堂的核心问题。课堂教学的内容不一样，会使教学方法也不一样。有的内容需要教师口述的，相当重要的，需要重复的强调的，就需要教师用自己的语言描述出来,最好用精练的语言描述，不要把简单问题复杂化；有的内容可以由旧知识过渡的，就可以通过巧妙的提问，给学生足够的时间思考，引导学生自己做数学。

（三）把问题引出后，选择恰当的方法让学生讨论，尽量使学生自己完成课堂教学任务中的数学问题，使学生觉得有成就感。当学生在讨论某一个问题遇到困难时，教师不能急于把解题过程讲出，需要按数学解题原则不断的提问，引导学生往正确的方向走。例题尽量让学生自己完成，例题的任务是让学生学会对某一类问题的思考，而练习是巩固这种解题思路。有时问题的表面会比较简单，学生对问题的看法比较浅薄，可以让学生先上来发表自己的观点，再引出讨论。在这个环节中，学生是主体，教师起学习助手的作用。

（四）把课堂教学的内容进行小结，把问题进行一般化处理，目的是使学生以后能触类旁通，举一反三。

“推门听课”与“邀请听课” 篇6

由于各学科均进行评比活动，学校参与评比的教师比较多，且又要在一两天的时间里完成备课和试讲，所以，笔者所在的学校一度出现了很多教师因为邀请不到领导听课而不断推迟试讲时间的现象，而一些学科主任也因不断被教师“邀请听课”而忙得不亦乐乎。

因为笔者也被教师频频“邀请听课”，所以能深刻感受到：上课的教师不仅能虚心接受建议，而且希望听课者尽可能多提意见和建议。由教师们主动“邀请听课”，笔者不禁想到了时下很多学校为提高教师“常态课”水平而实行的“推门听课”现象。

从学校角度看，实行“推门听课”，并无不当之处。因为作为学校的管理者应该且有必要走进“常态课堂”，了解教师真实的课堂状况;另一方面教师也只有上好“常态课”，才能提高教学质量，进而提高工作效率，减轻学生过重的课业负担。但从笔者了解到情况看，大部分教师似乎并不是很喜欢“推门听课”。因为不打招呼的“推门听课”会让教师产生紧张和担心的心理。“常态课”肯定比不了经过充分准备的优质课，听课者在教师讲课正精彩时推门而入，这在很大程度上会影响教师上课的情绪，分散师生的注意力。而且，不打招呼的“推门听课”对教师来说多少有些不尊重，会让上课教师感到很大的压力。

笔者曾听过这样一个故事：有一个中国中学的校长移民到美国，并且在一个学校工作，担任类似中国学校教导主任的职务。上班第一天，他的兴致很高，决心要像在国内一样兢兢业业，以自己的专业特长提高学校的教学质量。怎么做呢？深入课堂听课，而且听推门课，这样可以了解教师和学生真实水平。就这样，他在第一节课就进入了课堂。被听课班级的教师很客气地请他坐下，课后也很友好地与他交换意见。中午休息的时候，这位主任接到了“教育委员会”打来的电话，原因是有人投诉他听“推门课”，理由就是在不打招呼的情况下进入课堂是对教师的不信任和不尊重，使被听课教师感到很大的压力。

故事的真伪不去考证，但“推门听课”给上课教师带来很大压力却是不争的事实。毕竟，学校是一个以生命对生命、用心灵沟通心灵的充满人性关怀的特殊场所。

另外，大多数学校实行“推门听课”的主要目的，是通过听课来检查和督促教师是否认真备课和上课，课前准备是否充分，并以此作为诊断教师课堂教学行为的依据。管理者与教师是一种“检查”与“被检查”的督促关系。如果“推门听课”仅仅是是一种“检查”与“被检查”的督促关系，那么这种“推门听课”充其量只能保证教师认真备课和上课，而对教师改进课堂教学方法、提高教学水平作用可能并不大。

“清者自清，浊者自浊。”对于教学态度严谨的教师，有人听课与无人听课一个样，他们都会认真上课;对于教学态度不很严谨的教师，即便有人听课，他也不一定能上好课。

在大力倡导“人文关怀”和“民主管理”的今天，“推门听课”这种突然袭击式的听课方式，与现代教育管理理念不太合拍，不一定能获得预期效果，反而会给教师增加心理压力。“邀请听课”则多了几分人文、多了几分温馨。因此，作为管理者，如果有针对性地对一些需要帮助的教师，抱着帮助他们改进课堂教学方法、提高教学水平的心理，先提前通知，再由上课的教师发出邀请，课后，听者知无不言，言无不尽，被听者虚心接受建议，双方坦诚交流，那么这样的“邀请听课”，不论对听课者还是上课者，对提高课堂教学水平都会大有裨益，或许更易被教师接受。

其实，教学常规的执行、教学质量的提高、教师水平的提升和良好团队的打造，靠的是科学的管理和有效的制度，而不是突击检查。只有帮助教师苦练“内功”，才是提高教师“常态课”水平的有效途径。笔者无意反对“推门听课”，但创造条件让教师“邀请听课”的方法似乎更值得一试。

解题与听课研究 篇7

2010年高考数学浙江理科卷第16题如下:

已知平面向量α, β (α≠0, α≠β) 满足|β|=1, 且α与β-α的夹角为120°, 则|α|的取值范围是.

一、解法研究

本题是以平面向量为背景的范围问题, 由于平面向量是融数形于一体, 是代数、几何、三角等知识的交汇点, 因而解决此类问题可根据向量的数和形的双重特征, 探究解题的思路和方法.

1.数的角度解法1 由题得

α· (β-α) =|α|·|β-α|·cos120°,

则$\frac{\mathit{\alpha }\cdot \mathit{\beta }-|\mathit{\alpha }|{}^2}{-\frac{1}{2}|\mathit{\alpha }|}=|\mathit{\beta }-\mathit{\alpha }|.$

两边平方化简整理, 得

$\frac{4}{|\mathit{\alpha }|{}^2}(\mathit{\alpha }\cdot \mathit{\beta }){}^2-6\mathit{\alpha }\cdot \mathit{\beta }+3|\mathit{\alpha }|{}^2-1=0$,

$\begin{array}{l}\text{由}\text{Δ}\ge 0\text{得}(-6){}^2-4\cdot \frac{4}{|\mathit{\alpha }|{}^2}\cdot (3|\mathit{\alpha }|{}^2-1)\ge 0,\\ \therefore |\mathit{\alpha }|\le \frac{2\sqrt{3}}{3}.\end{array}$

又 由题知$|\mathit{\alpha }|>0,\therefore 0<|\mathit{\alpha }|\le \frac{2\sqrt{3}}{3}.$

解法2 设β-α=m, 则m+α=β,

两边平方, 得|m|2+|α|2+2α·m=|β|2.

又 α与m夹角为120°, |β|=1,

∴|m|2-|α||m|+|α|2-1=0,

$\begin{array}{l}\text{由}\text{方}\text{程}\text{有}\text{正}\text{根}\text{及}\text{Δ}\ge 0‚\text{得}(-|\mathit{\alpha }|){}^2-4(|\mathit{\alpha }|{}^2-1)\ge 0,\\ \therefore |\mathit{\alpha }|\le \frac{2\sqrt{3}}{3}.\end{array}$

又$\mathit{\alpha }\ne 0,\therefore 0<|\mathit{\alpha }|\le \frac{2\sqrt{3}}{3}.$

点评 解法1和解法2运用平面向量具有的代数特征, 转化为一个二次方程有解的代数问题使问题得以解决.

2.形的角度

解法3 如图, 半径为1的扇形, 圆心角∠AOC=120°, B为扇形圆弧上一点, 过B作BD//OC.设$\mathit{\alpha }=\overrightarrow{{\rm O}D}‚\mathit{\beta }-\mathit{\alpha }=\overrightarrow{DB},\overrightarrow{{\rm O}B}=\overrightarrow{{\rm O}D}+\overrightarrow{DB}$就可表示:β=α+ (β-α) .

由图知, 当直线BD与扇形相切 (即OB⊥BD) 时, $|\overrightarrow{{\rm O}D}|$最大, 最大值为

$\begin{array}{l}\frac{2\sqrt{3}}{3},\\ \therefore 0<|\overrightarrow{{\rm O}D}|\le \frac{2\sqrt{3}}{3},\text{即}0<|\mathit{\alpha }|\le \frac{2\sqrt{3}}{3}.\end{array}$

点评 联想到平面向量加法的平行四边形 (三角形) 法则, 充分利用图形的几何性质, 巧妙地把|α|转化为OD的长度, 体现平面向量的几何特征.

3.数和形的角度

解法4 如图, $\mathit{\alpha }=\overrightarrow{{\rm O}A},\mathit{\beta }=\overrightarrow{{\rm O}B},$

则$\mathit{\beta }-\mathit{\alpha }=\overrightarrow{AB}$, 由题知

$\begin{array}{l}△ABC\text{中}‚|\mathit{\alpha }|=|\overrightarrow{{\rm O}A}|‚\\ |\mathit{\beta }|=|\overrightarrow{{\rm O}B}|=1‚A=60°,\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{由}\text{正}\text{弦}\text{定}\text{理}\text{知}\frac{\mathit{\alpha }}{\text{s}\text{i}\text{n}B}=\frac{\mathit{\beta }}{\text{s}\text{i}\text{n}A},\\ \therefore |\mathit{\alpha }|=\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin B.\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{由}\text{分}\text{析}\text{知}0<B<120°,\therefore 0<\sin B\le 1,\\ \therefore 0<|\mathit{\alpha }|\le \frac{2\sqrt{3}}{3}.\end{array}$

点评 此解法利用平面向量的减法法则, 把向量问题转化为三角形中的问题, 结合正弦定理, 使问题得以解决, 充分体现了数形结合的思想.

解法5 如图, ∠AOC=120°.

$\begin{array}{l}\text{设}\mathit{\alpha }=\overrightarrow{{\rm O}A}‚\mathit{\beta }-\mathit{\alpha }=\overrightarrow{{\rm O}C},\\ |\mathit{\alpha }|=m,|\mathit{\beta }-\mathit{\alpha }|=n.\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{如}\text{图}‚\text{建}\text{立}\text{平}\text{面}\text{直}\text{角}\text{坐}\text{标}\text{系},\text{可}\text{设}\mathit{\alpha }=(m,0)‚\\ \mathit{\beta }-\mathit{\alpha }=(n\cos 120°,n\sin 120°)=\left(-\frac{n}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}n\right),\\ \therefore \mathit{\beta }=\mathit{\alpha }+(\mathit{\beta }-\mathit{\alpha })=\left(m-\frac{n}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}n\right).\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{又}|\mathit{\beta }|=1,\therefore \left(m-\frac{n}{2}\right){}^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}n\right){}^2=1,\\ \therefore n{}^2-mn+m{}^2-1=0,\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{由}\text{Δ}\ge 0,\text{得}m{}^2-4(m{}^2-1)\ge 0,\\ \therefore 0<m\le \frac{2\sqrt{3}}{3}‚\text{即}0<|\mathit{\alpha }|\le \frac{2\sqrt{3}}{3}.\end{array}$

点评 通过建立适当的平面直角坐标系, 将向量坐标化, 充分体现了平面向量的代数和几何的双重特征.

二、解题感悟

本题的出彩之处, 在于试题设计形式平淡, 但内涵丰富, 在试题设计上, 体现了高考命题以能力为立意的命题指导思想, 有效地考查了学生运用知识分析问题和解决问题能力.体现了考查基础、考素质、考潜能的目标追求, 值得广大数学教师深入研究和探讨.

参考文献

解题与听课研究 篇8

波利亚的名言:“掌握数学就是意味着善于解题.”作为教师，要使得学生能够善于解题，就应引导学生研究怎样解题，与学生一起学会解题.

2. 过程呈现

例 当0≤x≤1时，不等式成立，则实数k的取值范围是_____.

在我校高三一次模拟测试中选用了该题.笔者认为该题可以进一步强化不等式恒成立问题的处理策略.因而，在讲评时仍作为重点予以了分析.

师:请同学们回忆一下，当时你们是如何处理这道题的?

生 (异口同声) :画图呗!

师:能不能具体些?

生1:令, y=kx，再作出它们的图像 (如图) .要使得不等式在x∈[0, 1]上恒成立，观察图像，可得实数k的取值范围是k≤1.

师:很好!生1利用数形结合的思想，小题小做，大大缩短了解题长度.我们处理不等式恒成立问题，还有没有其他方法呢?

生2:分离参数!当x=0时, k∈R;当0

师:确实如此，该如何往下进行?

生3:可以对分子进行研究.设, 则.因为0

师:生2和生3的解题过程能带给我们什么启示呢?

生:当方程f' (x) =0不好解时，可以对导数再研究.

师:很不错的感悟!尽管这一做法不一定每一次都能如愿, 但至少可以说是值得一试的举措.我们再反思他们的解题过程, 问题的本质就是要说明:当0

生4:不妨设，则，其中.当时，αcosα-sinα=-1<0;当时，αcosα-sinα= (α-tanα) cosα<0.故当0

师:妙!生4通过观察并对其结构进行分析，联想到α与tanα的大小，使得问题迅速得解，节省了解题时间.

通过对这道题的研究，使我们对不等式恒成立问题的处理有了很好的把握，同时在解题中也体会了众多的数学思想方法.真是不虚此行!

3. 一些感悟

试卷讲评是每一个教师经常遇到的课型.本文并未因上述例题是一道小题而轻视它的价值，而是将它很好地加以开发与利用.通过一题多解，让学生从中体会到解决不等式恒成立问题的通性通法，从不同解法中感受到数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想方法.对于例2的处理，开始并没有直接告诉学生怎么解，而是先分析学生思路受阻的原因，再引导学生利用数学归纳法去尝试，在尝试中去发现已知 (函数解析式) 与未知 (不等式) 的内在联系.在实现了已知与未知的沟通之后，又引导学生进一步对解法进行优化.最后，又从定积分的角度揭示出几何背景.让学生充分经历困惑、尝试与发现、反思与感悟、提高与升华的过程，使学生领悟到如何解，怎样解，为什么要这样解.

总之，解题是数学学习不可或缺的活动之一，在新的高考形势下，如何让学生尝试解题、感悟解题、学会解题是摆在我们面前的一个重要课题.与学生一起经历典型问题的解题研究过程，引领学生适度的解题反思，与学生共同积累解题经验，帮助学生提升解题能力，这是一个数学教师应有的教学态度，同时也是促进自身发展的有效途径，更是让学生脱离“题海战术”之苦、减轻学生负担、提高学生数学学习效率的理想之路.

参考文献

[1]罗增儒.数学解题学引论[M].西安:陕西师范大学出版社, 2008.

解题与听课研究 篇9

一、提高对初中学生分析以及解题能力的重视

在初中数学的教学过程中,教师如果想要提高初中学生的分析问题以及解题的能力,就要加强对分析及解题能力的重视。在教学的过程中不断地的加强对于分析以及解题能力的灌输。教师要不断的提高自身的综合素质,在教学的过程中不断的摸索和创造一些适合学生的分析以及解题能力的方法。只有教师提高对学生分析以及解题能力的重视和有针对的对学生进行训练才可以让学生不断的提高自身的解题和分析问题的能力。

二、加强学生的思维逻辑训练

数学在一定程度是具有抽象性和逻辑性的特点的,我们要不断地培养学生们的发散性思维,对学生们进行逻辑思维的训练,要根据学习的内容和学生的具体情况进行有目的的逻辑思维训练。首先教师在进行解题教学的前期要提前选择一个比较有代表性的题型,让学生们进行独立的自主的思考,然在在通过提问的方式对学生们的解题思路和思考方式进行了解,可以在提问的过程了解不同的解题观点和想法,教师可以让学生们进行小组探讨,不断地分析最有效率、最简单的解题方式。最后教师要根据学生们讨论出的结果请小组代表进行发表,有教师寻找出最可行的解题方法。在这个过程中,学生们可以通过自己的独立思考以及同学之间的协作研究等方式在无形之中提高自己的思维方式和逻辑严谨性。

三、正确的引导学生们掌握最基本的解题思路

在数学教学的实际教学过程中,无论何种习题都是可以按类划分的,基本上都是相应的解题方法的。在教学的过程中,教师可以把数学习题进行归类划分,让学生们自己去探索同类习题的解决方法。在平常的数学习题和考试的过程中,教师要有引导性的让学生们运用自己学习的知识、经验和面临的问题找到最适合的解题方法。在面临自己没有遇到过的题型时,要进行严密的思维分析利用学过的知识寻找解题思路。这也在无形之中提高了学生们对知识点的巩固和灵活运用,也在一定程度上提高恶劣学生的思维能力和分析问题解决问题的综合能力。在日常的教学活动中,教师就要有针对让学生们进行此类的训练。

四、拓展数学教学的思路,开展全面训练

在初中数学的教学过程中,教师要结合实际的工作情况,根据学生存在的实际问题,有针对的对学生进行开放性习题和新题型的拓展训练,这样可以不断的开拓学生的知识面,提高学生的创造性思维能力。现阶段的数学教学要求我们培养具有较强的数学素质和较强的创造性思维能力的人才但是在开放题的整体条件不充足也没有确定的结论,在一定的程度上意味着学生对于题意和解题方法上理解错误,所以我们要对学生进行开放性习题和新题型的拓展训练。 例如:8×86 = 688,这个算式,把乘数的个位数6 放在被乘数之首,十位数8 放在被乘数之尾,得688 即乘积,还有没有这样的算式?若有,请写出它们。同学们就会利用所学的知识来进行分析理解得出以下的结果:3×51=153 、6×21=126 、8×86=688 、42×5322=223524、4307×62=267034 、9×20781=187029 、5×9×31=1395 、6×801×381=1831086 、9×7×533=33579 、86×6×73=37668。

五、巩固知识点,进行总结

在初中数学的教学过程中,我们要正确的引导学生们巩固自己学习的知识点,对于自己做过的习题要进行回顾和探讨,要不断的进行分析和研究,自己要做要举一反三。这一方法对提高学生的分析和解决问题的能力是极为重要的。让学生养成一个反思解题过程、整理知识点以及对方法归类的良好的学习习惯,这样可以逐渐让学生对数学习题进行整理分析、总结归纳,建立一个系统的、清晰的知识网络结构。

结束语

数学学科是对思维性要求较强的学科。在初中的数学教学中培养学生的数学分析和解题能力,不仅可以全面的提高学生们对数学知识的综合运用能力,也可以大幅度的提高整体的成绩,同时也是对学生自身的思维逻辑能力、思想创新能力的一种拓展。我国初中数学教材的知识点内具有分布广和散的基本特点,这就对教师在教学过程中培养学生的分析和解题能力有了很高的要求。

参考文献

[1]田梅.初中数学教学如何培养学生的解题能力[J].语数外学习初中数学教学),2014(6):3.5.

[2]李开慧.关于中马初中数学教材的比较研究[J].数学教育学报,2005(1):5.