极限概念的教学

极限概念的教学（共7篇）

极限概念的教学 篇1

一、极限概念教学中的问题

极限概念不仅是初等数学和高等数学的分水岭, 更是高等数学的基础. 所以, 理解极限的思想, 掌握极限的概念和方法是学生步入大学学习高等数学的第一道门槛, 因而教师对极限概念的教学也成为了高等数学教学重中之重.然而, 就像极限理论的发展迂回曲折一样, 学生对极限概念的学习也面临着许多艰难险阻, 这些困难如果没有很好地解决, 可能会对后面微积分的学习产生不良影响. 接下来我们具体分析极限概念教学中的问题[1].

1. 感性到理性

学习的发展过程本身就是从简单到复杂, 从具体到抽象, 从感性到理性, 从有形到符号, 而高等数学更是复杂、抽象、理性、符号的集成, 因而, 这门课对学生的抽象、理性, 符号语言认识思维能力也就提出了较高的要求和挑战. 而教师在这其中也扮演了十分重要的角色, 特别是如何解决感性到理性、有形到抽象等等的过渡, 是奠定一堂课效果的基石.

而极限概念中的无限思想, 正是现代数学的标志. 学生过去对无限的理解基本来源于经验认识, 例如, 有的从宇宙的浩瀚无际来理解无限, 有的把天上的星星数也数不清就认为是无限多颗, 也有的把树上的叶子来比喻无限多等等, 所以学生对无限的理解并不一致, 甚至是对于极限中的无限的思想来说是错误的认识. 所以, 帮助学生突破过去从感性上对无限可能错误的理解, 并建立起学生在理性上对无限在数学中的认识, 是极限概念教学中的第一步. 进一步到极限概念的描述性定义的理解, 也同样面临着把学生感觉中对过去极限的经验认知, 转化为用理性语言描述的知识的感性到理性的跨越.

2. 描述性概念到抽象符号语言定义

当学生达到第一步理性上对极限概念的理解接受后, 接下来要面对的第二个需要跨越的障碍就是极限定义中抽象的符号语言的障碍[2].

以数列极限定义为例[3], 用符号语言可简要表述为:

可以看出, 符号语言定义高度抽象概括, 逻辑结构严密而又复杂. 而数学符号语言又属于人工符号语言系统而非自然语言系统, 所以这自然又成为学生学习、接受和理解极限定义的又一个障碍, 这也是教学中的难点.

3. 认识符号语言到掌握、习惯抽象符号语言

当学生完成第二步, 接受并理解极限的符号语言定义后, 面临的第三个问题就是如何掌握并习惯这种符号语言, 进而熟练地运用符号语言来解决证明极限等相关的问题.

同样以数列极限为例, 当需要去证明数列{ an} 的极限是A时, 需要验证的关键问题为是否存在定义中的N, 而N的确定, 则需要去求解不等式| an- A | < ε, 当解出n的范围时, 才能由此通过定义中的ε去确定N, 最后才能因此得出符合定义中的条件而来的数列{ an} 的极限是A的结论. 因为证明的整体分析的逻辑过程, 并不是简单地按照定义中语句顺序, 因而这再一次挑战了学生对数列极限定义的理解, 并同时对学生的逻辑思维及理解力提出了较高的要求, 而教师在其中也起着重要的作用, 这也是整个极限定义教学中的重点、难点和关键问题.

二、极限概念的教学方法探讨

针对以上提到的三点问题, 教师在教学过程中可以设计不同的方法来解决相对应的问题. 下面逐一针对以上的三种问题来讨论相适应的解决方法.

1. 数形结合

首先, 针对学生对极限概念的理解上的从感性到理性跨越的问题, 可以采用数形结合的方法来解决[4]. 因为从极限的理论上来看, 极限的概念是复杂和高度抽象的, 学生直接接受这种复杂、高度抽象的概念比较困难, 所以需要先让学生充分感知和体验极限概念的定性描述, 亲身经历从具体到抽象的过程. 而数形结合是一个很好的化抽象为形象的方法, 所以在开始介绍极限概念的同时, 以数列极限为例, 教师应当列举一定数量的存在极限的数列实例, 这些实例尽量具体、简单, 并且可以清晰地在坐标系中画出来, 引导学生通过图像可以很轻松地观察并判断出这些数列的变化趋势. 有了这样的体会, 学生基本就可以接受“随着n增大, 数列{ an} 越来越接近某个常数A, 则称A为数列{ an} 的极限”这样相对抽象的数列极限的描述性定义.

2. 定义翻译法

接下来, 在接受了相对抽象的描述性定义后, 学生面临的第二个障碍是如何理解高度抽象的符号语言描述的定义, 我们打算采取的方法是翻译法[5]. 实际上, 从相对抽象的描述性定义, 到符号语言定义, 这就是两种语言之间的转换问题, 如何从一种语言过渡到另一种语言, 好的翻译本身就可以看成是重要的方法. 在这里, 我们仍以数列极限定义为例, 可以先翻译描述性定义中的“数列{ an} 越来越接近某个常数A”这句话. 从数学的角度来解释就是“数列{ an} 和某个常数A的距离越来越接小”, 而距离可以进一步用两个值作差取绝对值的数学公式来表示, 在翻译“越来越小”的时候就可以引入“ε ( 任意一个很小的数) ”的概念. 而当翻译出“数列{ an} 越来越接近某个常数A”这句话为“ε >0, | an- A | < ε”后, 接下来可以插入描述性定义的前半句“随着n增大”的翻译. 在这里的关键是让学生认识到n的值取决于ε的大小, 所以可以在极限存在的数列实例中先赋予ε具体的几个值, 让学生看到要满足| an- A | < ε不等式时, n的取值范围是由ε来决定的, 而且最终求得的结果都是n大于某个跟ε有关的式子. 由此可以让学生经历并理解“随着n增大, 数列{ an} 越来越接近某个常数A”的数学过程, 并随之翻译出“随着n增大”的数学表达方式为:当n > N时. ”接下来, 调整语序, 在定义中另外出现的ε和N需要先行说明, 放在开始的位置, 这样“随着n增大, 数列{ an} 越来越接近某个常数A”就可以很顺利地翻译成: “ε > 0, , 当n > N时, 有| an- A | < ε成立”. 而描述性定义中的最后一句“则称A为数列{ an} 的极限”, 写成只是单纯性的符号性记法, 在这里就不赘述了.

3. 理论与实践相结合

在通过翻译法引出了极限的符号语言定义后, 最后一步就是让学生熟悉、掌握并习惯使用它来证明极限的存在问题. 这也是极限定义教学中的重点和难点. 在这里, 教师可以通过实践来向学生展示抽象的极限定义如何在具体的实例中使用. 同样以数列极限为例, 因为在定义的翻译中已经展现了N的值确定的由来, 即通过求解| an- A | < ε的不等式, 由最后解出的n的范围来确定N的值, 所以在证明的过程中, 也可以理所当然地用这样的步骤来确定N的值. 虽然学生可能一开始在感觉上不习惯、不适应, 但整个定义来龙去脉的过程如果已经在定义的讲解中让学生在理性上接受了, 接下来就可以在实践中去适应这样的思维、逻辑和步骤, 通过教师讲解的一些实例, 再加上学生练习的一些实例, 最终就可以克服学生感觉上的不习惯, 变成学生熟悉并习惯的数学语言和思维.

三、总 结

极限的概念、思想是高等数学的第一道门槛, 本文讨论了在教学中学生最容出现的三类问题对应的解决方案. 教学相长, 在教学的过程中, 学生出现的问题也是教师提高自身素养的机会, 而教师的成长和进步, 也可以使学生在学业上得到更及时有效的帮助. 因而在教学过程中, 可以继续去发现、了解学生的问题, 并同时借鉴更多的优秀经验来解决这些问题, 不断地提升教师自身能力和素质, 促进教学更顺利、有效地进行.

摘要：极限的概念、思想是高等数学的第一道门槛, 本文主要讨论了教师在极限概念的教学中, 学生最容出现的三类问题, 以及这些问题对应的解决方案.

关键词：极限,教学方法,符号语言

参考文献

[1]李莉, 谢琳.关于学习极限概念认知障碍的研究与分析[J].数学教育学报, 2006年2月, 15 (1) :42-44.

[2]邵光华, 刘明海.数学语言及其教学研究[J].课程·教材·教法, 2005 (2) .

[3]同济大学数学系.高等数学 (第六版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

[4]杨泽恒.数学分析课程极限理论教学的一些实践与思考[J].大理学院学报, 2007, 6 (10) :82-84, 87.

[5]高兴佑, 向长福.如何破解极限定义教学难题[J].数学教育学报, 2011年10月, 20 (5) :96-98.

数列极限概念的教学探讨 篇2

首先, 在数列极限概念的引入时, 应采用“形象化”, 给学生一开始对数列的极限就有一个比较生动、清晰的概念, 在教学中首先给一些具体数列.

例1战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过的一句话:“一尺之木, 日取一半, 万世不竭.”也就是说一根一尺长的木棒, 每天截去一半, 这样的过程可以一直无限地进行下去.

将每天截后的木棒排成一列, 用数列表示:

这个表达式反映了每天所剩余的木棒长度如何随着天数改变的变化规律, 观察它具有这样的变化趋势:当天数n无限增加时, 剩余的木棒长度总是存在且剩余的木棒长度无限接近常数0.

以 (1) 为例, 将数列的数表示在数轴上 (图1) , 让学生观察数列的变化趋势是什么.经过观察, 有的学生回答:“数列 (1) 的各项, 随着n的无限增大, 而无限地接近1.”

再提示学生用同样的方法观察 (2) , 得出他们的观察结果.然后, 综合例1、例2教师给出数列极限的直观定义 (描述性定义) :

定义1设{xn}为一数列, A为一常数, 如果当n无限增大时 (n→∞) , xn无限地接近于常数A, 那么我们就称数列{xn}以常数A为极限, 记为=A.

这个定义使用了“无限增大”和“无限地接近”的说法, 充分体现出运动变化的观点, 并且揭示了数列极限概念的实质.“无限增大”要多大?“无限地接近”要接近到什么程度?这又是一个需要澄清的概念, 我们必须把这种无限的变化过程加以割断, 通过一连串的有限数值来表达无限.以 (1) 为例, 所说“当n无限增大时, 对应值无限接近1”的意思是:当n充分大时, 与1可以任意接近, 要多接近就能有多接近.换句话说:n充分大时, 数列{xn}的项与1的距离可以任意小, 即可以任意小, 要多小就能有多小, 即距离和项数成了关键.

为了验证这个判断, 用“给距离找项数”的方法:

给定, 只要n>999时, 有

给定, 只要n>9999时, 有

尽管……距离一次比一次小, 但它们都是一些确定的值.

实际上一旦给定具体的距离值, 就总有比它小的, 势必还需继续给出更小的正数, 但是更小的正数是无穷无尽的, 因此我们就干脆不指定具体的数字, 而引用一个字母“ε”代表, 对于任给的每一个正数ε, 不论它有多么小, 总存在着一个正整数N, 使得N后面的所有项xn与1的距离都小于这个正数, 所以1是该数列的极限.

通过以上的验证, 弄清了“无限增大”与“无限地接近”的实质, 把以上的讨论加以抽象概括, 便得到了数列极限的精确定义 (即ε-N定义) :

定义2设有数列{xn}和一常数A, 如果对于任给定多么小的正数ε, 总存在一个自然数N, 当n>N时, 恒有|xnA|<ε成立, 则称A为数列{xn}的极限, 记为=A.

于是, 学生对数列极限的理解经历了从形象化、直观化到精确化、抽象化的过程.

浅析函数极限概念的教学策略 篇3

关键词：高等数学,极限,“ε-”语言,教学

极限概念是《高等数学》的理论基础和应用基础, 无论是微分学还是积分学都是建立在极限的基础之上的, 但对刚进大学的学生来说, 他们的学习方式还是学习初等数学的模式, 故在极限概念和“ε-”语言的学习中, 常常使很多人感到困难, 甚至束手无策, 这无疑给学生在知识和心理上都造成了障碍, 长此以往学生就对这门学科丧失了信心。为此, 在《高等数学》的教学中, 极限的教学值得我们去探索。下面本文主要针对函数极限的教学谈谈教学处理方法。

1实例引入, 以初等函数及其图形为工具, 增强感性认识

以函数图形为工具, 引入函数的极限概念时, 要求学生注意观察在自变量的某种变化过程中, 函数值的变化趋势 (即图形的变化趋势) , 并指明这就是函数极限所要研究的内容。例如,

函数y=x2, 当x→1时, y=x2→1;当x→2时, y=x2→4

函数

函数

在上述观察的基础上, 得出以下结论:

(1) 同一函数在自变量的不同变化过程 (指点不同或从同一点的不同方向) 中, 极限一般不相同; (2) 同一函数在自变量的不同变化过程中, 极限可能存在也可能不存在; (3) 当函数在自变量的某种变化过程中, 极限不存在时, 函数值的变化趋势也是各不相同的; (4) 对于不属于定义域的点来说, 函数在此点的极限可能存在, 也可能不存在; (5) 对于属于定义域的点来说, 函数在此点的极限可能正好等于该点的函数值。

在学生对函数极限有了一定的感性认识时, 我们必须及时给学生指出, 用这种观察图形的方法得到的函数极限是不严密的, 而且用中学的描点法有时很难画出函数的精确图形, 这就会导致从图形得不到函数的极限, 因此我们必须建立和数列极限的“ε-N”语言一样的严格定义。

2 以数列极限为基础, 类比得出函数的极限

数列实际上也是函数, 即xn=f (n) , 其自变量n只能取正整数, 其“ε-N”语言定义为:当n>N时, 有xn-A<ε成立。

此处在自变量n→∞的过程中, 自变量n的取值是一个一个的离散的, 当我们把自变量的取值进行连续化处理后, 就可首先类比得到一般函数y=f (x) 在自变量x→+∞的过程中的极限定义:

然后再在上式中将x更换为-x, 则可得

将上两式综合后, 则可得

自变量的变化过程除了以上三种, 还有以下三种情形在讨论自变量在这三种变化过程中的极限时, 首先联系到由感性认识得到的结论4可知自变量的取值范围中必须把点x0去掉, 其次注意到x0为有限值, 当x无限接近x0, 可用这两点之间的距离无限小来反映, 则依次可类比得到:

3 两种记忆和理解函数极限的方法

3.1从定义的模块结构出发

从上面的定义 (1) — (6) 可以看出, 它们的模块结构如下

3.2从极限的几何意义出发

所示:limf (x) , 存在正的常数, 满足一定的范围, 有f (x) -A<ε成立, 由此可以看出几类极限的主要不同之处, 一是正的常数取法, 有时取得较大 (当x→+∞, -∞, ∞时) , 有时取得较小 (当x→x0+, x0-, x0时) ;二是在于自变量的取值范围, 而且单侧极限中自变量的取值范围只是相应双侧极限中自变量的取值范围的一半, 这样记忆量可大大的缩少。

从上两图可以看出, 当limf (x) =A时, 相应自变量的取值范围内的任一点处的函数值在区间[A-ε, A+ε]内, 即此时函数的图形介于直线y=A-ε和y=A+ε之间, 这样可帮助学生形象的记住函数的极限概念。

极限理论是经过近200多年才建立起来的, 教和学都不容易。但只要我们在教学中充分利用几何直观, 而且由浅入深, 一步一步的引入定义, 就会使学生的学习困难减少一些。

参考文献

[1]苏莹, 极限概念的教学心得, 徐州教育学院学报, 2008.9, 23 (3) :130-131

[2]蒙诗德, 数列极限概念的教学探讨和实践.2009.3, 25 (3) :1-3

[3]卫艳荣、段志霞, 极限概念教学探索.新乡教育学院学报.2009.3, 22 (1) :109—110

[4]赵建功、陈宏道, 极限概念教学策略.中州大学学报.2004.7, 21 (3) :113—114

高职数学极限概念引入的教学探讨 篇4

日本著名数学教育家米山国藏指出:“学生所学的数学知识, 在进入社会后几乎没有什么机会应用, 因而这种作为知识的数学, 通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。然而, 不管他们从事什么工作, 惟有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法能随时地发生作用, 使他们受益终身。”如何利用极限概念引入教学, 使学生从初等数学平稳过度到高等数学, 提高学生的学习动力, 领会其中的数学思想和方法是值得大家探讨的。

一、东西相映, 殊途同归

我国三国时魏国人刘徽在《九章算术·圆田术》注中, 用割圆术证明了圆面积的精确公式。 (利用圆的内接正多边形的面积接近于圆的面积的方法来计算圆周率) 算出:3.141024<π<3.142709。刘徽的割圆方法, 概括为一般的几何学问题, 实际上就是求解单位圆内正n边形和外切正n边形与圆周率的关系。刘徽的方法是以1尺为半径作圆, 作圆内接正6边形, 然后逐渐倍增边数, 计算出正12边形、正24边形、正48边形和正96边形的面积, 舍弃了分数部分后得。算到192边形的面积, 得到π=157/50=3.14, 又算到3072边形的面积, 得到π=3927/1250=3.1416, 称为“徽率”。

根据《隋书·律历志》的记载, 祖冲之的方法把一丈化为一亿忽, 以此为直径求圆周率。他计算的结果共得到两个数:一个是盈数 (即过剩的近似值) , 为3.1415927;一个是朒数 (即不足的近似值) , 为3.1415926。圆周率真值正好在盈朒两数之间。《隋书》只有这样简单的记载, 没有具体说明他是用什么方法计算出来的。不过, 从当时的数学水平来看, 除刘徽的割圆术外, 还没有更好的方法。祖冲之很可能就是采用了这种方法。因为采用刘徽的方法, 把圆的内接正多边形的边数增多到24576边时, 便恰好可以得出祖冲之所求得的结果。日本数学家三上义夫曾建议把355/113 (约等于3.1415927) 这个圆周率数值称为“祖率”, 来纪念这位中国的大数学家。

公元前240年, 阿基米德在他的论文《圆的量度》中记载了这样一个方法:从圆内接和外切正6边形开始, 每次把边数加倍, 用一系列的内接和外切正多边形来穷竭圆周, 从而求得圆的周长与其半径之比。阿基米德求得圆内接和外切正96边形的周长, 估算出π的数值为:310/71<π<31/7, 即在3.140845…与3.142857…之间。以后, 许多数学家就是用这种方法计算圆周率的。在这个问题的解决上明显地表现出实用性、计算性、算法化中国古代数学和追求逻辑的严密性和形式完美性的西方古代数学竟然交相辉映, 殊途同归。都采用内接和外切正多边形来穷竭圆周, 体现了极限的思想, 还含有曲直转化的思想。从求“圆周率”的演义中, 体现了人类对真理的不屈追求, 本身就是一个“求极限”的过程。通过对次例的引入, 能加强学生对极限概念形成表象。

二、透过现象, 揭示本质

公元前2世纪, 我国战国时代哲学家庄周所著的《庄子天下篇》引用过一句话:“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭。”也就是说, 一根一尺长的木棒, 每天截去一半, 这样的过程可以一直无限制地进行下去。将每天截后的木棒排成一列其长度组成的数列为$\left\{\frac{1}{2{}^{\text{n}}}\right\}$。

古希腊时代, “芝诺悖论”有好几个, 最著名的是“飞矢不动”和“阿基利斯追不上乌龟”。

“阿基利斯追不上乌龟”中的“阿基利斯”也是一个古希腊人物, 也就是“特洛伊战争”中那个著名的希腊将领。传说中, 阿基利斯武艺高强, 而且奔跑速度极快。这个悖论有一个假设的前提, 就是说, 阿基利斯与乌龟赛跑, 如果让乌龟先跑一步, 阿基利斯就永远追不上乌龟。芝诺的解释是这样的:假设乌龟先跑出了100米, 阿基利斯要追上乌龟, 就必须先到达50米的地方。但是, 当阿基利斯到达50米的时候, 乌龟与阿基利斯的距离不是50米, 而是50米再加一点, 比方说是60米。如此推论循环下去, 只要乌龟不停下脚步, 阿基利斯便永远只能更接近乌龟, 而不能追上或超过乌龟。学生受知识水平所限, 暂时找不到错误症结, 但却能产生强烈的兴趣和探究心理, 这时再不失时机告诉他们, 要弄清这一问题须先学习一种新的武器—极限。

在上述两个例子中, 反映了人们最初对无限的认识, 实际上是把一个有限的距离无限分割, 以有限的境界来探讨无穷小量的极限。“芝诺悖论”在古希腊出现之后, 经历了2000年左右, 才由牛顿、莱布尼茨等人的微积分学找到了真正错误所在。在教学内容上, 除讲授必要的数学原理和数学方法外, 还要注重数学文化的介绍, 并适量介绍一些数学的背景知识与数学应用的生动实例, 也就是数学史方面的内容。加深学生对数学的感性认识, 加强数学修养和数学素养的熏陶, 以激发高职大学生学习数学的兴趣。孔子曰:“知之者不如好之者, 好之者不如乐之者。”学生有了兴趣, 就会产生探究的心理, 思维就会高度活跃, 能力就会得到最大程度的发挥。

三、重新建构, 推陈出新

1. 0.999999……=1

谁都知道, 1/3=0.333333……而两边同时乘以3就得到1=0.999999……不是很简单吗?真对吗?因为左边是一个“有限”的数, 右边是“无限”的数。并且无限小数能否做乘法至今尚未解决。那么, 换一种做法就容易接受, 使学生理解“极限”可以是有限的。

10×0.999999……—1×0.999999……=9=9×0.999999……

∴0.999999……=1

2.“无理数”算是什么数?

我们知道, 形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的, 它的每一位都只有在不停计算之后才能确定, 且无穷无尽, 这种没完没了的数, 大大违背人们的思维习惯。

结合上面的一些困难, 人们迫切需要一种思想方法, 来界定和研究这种“没完没了”的数, 这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释, 极限的思想呼之欲出。具有从数学的角度看问题的出发点;有条理地理性思维, 严密地思考、求证, 简洁、清晰、准确地表达;在解决问题时、总结工作时, 具有逻辑推理的意识和能力;对所从事的工作, 能够合理地量化和简化, 周到地运筹帷幄。这就是我认为现代人应具有的数学素养。

微积分中关于极限概念的教学探究 篇5

1 以生动有趣的例子引入极限的概念

著名的数学家、数学教育家赵访熊 (1908-1996) 教授指出“在教学中注重实效, 反对照本宣科, 应该经常用一些形象化、生动有趣的例子来讲解数学的基本概念”。例如“国徽极限"的故事, “天安门上有个国徽, 国徽里还有个小天安门, 小天安门上还有个小国徽……, 我们可以想象空间中存在一个点, 在这个点周围有无穷多个天安门和无穷多个国徽。这个点就是天安门和国徽无穷系列的极限。这里讲的就是极限概念。

还有, 著名的刘徽“割圆术”的例子。公元263年, 中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割园”之说。所谓“割圆术”, 在圆内作内接正六边形, 每边边长均等于半径;再作正十二边形, 从勾股定理出发, 求得正十二边形的边长, 如此类推, 从内接n边形的边长可推知内接2n边形的边长。从圆内接正n边形每边边长, 可求得内接2n边形的面积。这样, 即使边数极多的内接正多边形面积也可以一步步求解。

根据极限观念, 刘徽指出:随着圆内接正多边形边数的增加, 它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积, “割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无所失矣”。通过这些例子的讲解, 可以引起学生的兴趣, 开阔学生思维的广阔性和灵活性, 激发他们学习微积分的热情。

2 引导学生知道微积分中极限思想的重要性

极限思想的运用是区别初等数学与高等数学的重要特征, 把初等数学中对常量的研究, 通过极限思想转变成微积分中变量的分析研究过程, 同时伴随着由有限到无限观念的转变。极限也是贯穿微积分的重要知识点, 可谓是没有极限思想就没有微积分。

极限概念是微积分最基本的概念, 微积分中大量的其他基本概念都是用极限概念来表达的, 例如连续、导数、定积分、级数、重积分概念、曲线积分概念及曲面积分概念等等。因此, 极限是研究无限的有力工具。例如在定积分的概念中, 先通过无限可分, 将有限的转化为无限的, 再利用极限来研究, 也就达到了利用极限来研究有限的目的由于极限概念是微积分的主要概念, 极限理论是微积分的主要理论, 极限是微积分的主要工具。因此, 学生学好搞好极限概念, 不仅能使学生学到必要的数学基本知识和技能, 而且能为学生进行后期的专业课学习打好基础, 增强学生的学习积极性。

3 帮助学生理解极限的概念

极限概念的重要性不言而喻。但学生难以很快地掌握极限, 极限概念的不理解, 容易造成了学生对于极限存在及可导、还续等概念关系的混淆。所以极限概念的教学更应该注重学生领悟的过程, 而不能操之过急。

最后, 极限概念是一个相当难度的概念, 极限概念的学习应该是一个长期的过程, 对极限概念的理解不是一蹴而就的, 需要学生在长期的学习屮慢慢感悟。

摘要：极限概念是微积分中至关重要的概念, 微积分中大量的基本概念都是用极限概念来表达的, 例如连续、导数、定积分、级数、重积分、曲线积分及曲面积分的概念等等, 因此, 极限概念的教学是一个值得研究的内容。

关键词：微积分,极限,导数

参考文献

[1]顾松.微积分极限概念的教学方法[J].广西高教研究, 1998, 02.

[2]赵雪莲, 王诗筠.极限是微积分的核心[J].科技信息, 2011, 11.

[3]施红英.对微积分“极限”思想方法教学的思考[J].甘肃广播电视大学学报, 2005 (09) .

关于函数极限概念教学的一点体会 篇6

首先我从“无穷”这个概念讲起。什么是无穷?有人说:“天上的星星就是无穷”;也有人说:“海滩沙粒的个数就是无穷”。当一个财主问阿凡提:“你的驴身上有多少根毛?”时,聪明的阿凡提回答:“它身上的毛和你头上的毛一样多。”巧妙的回答转移了问题的实质。以上的这些论述都解释不了“无穷”这个概念。接着我给同学们讲了希尔伯特“无穷旅店”的故事;

希尔伯特假设有这么一家旅馆,他有无穷多个房间,每个自然数都是房间的号码。一位旅客来住宿,可是不巧,所有的房间都有人,旅馆已经客满。怎么办?聪明的无穷旅馆的主人却自有办法。他把房间重新安排一下:1号房的客人到2号,2号房的客人到3号,3号房的客人到4号……所有的客人都安排了新的房间,空出了1号房间给了新来的客人。所有的客人都满意了。

严重的问题来了。有一个“无穷旅游团”,他们的成员号码用完了所有的自然数。怎么办?旅店主人又有了新办法。他请1号房间的客人到2号,2号到4号,3号到6号……这样,所有的奇数号码房间都空出来了,正好安排这个无穷旅游团的成员住。

希尔伯特巧妙的运用了有限说明了无穷。我接下来给同学们讲解函数极限的定义:

设函数y=f(x)的定义域为无穷区间,如果y=f(x)在→∞的过程中与常数有下列的关系,任给>0(为任意小的正数)总存在一个正数,当|x|>N时

这时我们称函数y=f(x)当→∞时以常数A为极限。

这个任意小的正数是我们随意给定的常数,就像旅店主人来了新客人。而这个正数是函数极限存在时可以找到的,就像旅店主人安排客人住宿的方法。怎么去找是我们证明函数极限存在的关键。

对于函数在一点的定义我是这样介绍的:

设函数y=f(x)在点x0的某个空心邻域内有定义。如果对于任意给定的ε>0(ε为任意小的正数),总存在正数,使得对于适合不等式0<|x0-x0|<δ的一切,对应的函数值都满足不等式

那么常数A就叫做函数f(x)当f→x0时,无限地和常数A接近要多近有多近,现在我们把这种非常接近的形式量化了,这个非常小的正数同学们可以随便给,如果函数的极限存在,我就可以找到一个很小的正数,当属于x0的空心邻域时,|f(x)-A|<ε。

通过这样的讲解,同学们对高中学过的函数极限概念有了一个全面和科学的认识,也激发了学生学习的积极性,(有的学生要更深一步的了解函数的极限定义我建议他们去看参考书)取到了比较好的教学效果。

以上的介绍是我在教学过程中的一点实践体会,有不妥之处请同行们批评指正。

参考文献

[1]《高等数学》(上册)第四版,同济大学数学教研室主编,高等教育出版社.

极限概念的教学 篇7

一、极限概念探究教学的重要性

当今社会发展的重点是可持续发展、和谐发展、创新发展…..并且随着信息技术的迅速发展, 高新科技也成为时代发展的标志, 这不仅意味着未来发展的方向更加注重创新、创造, 也意味着学生必须要具备全面和完整的技能, 来改造世界和社会。所以针对时代发展的需要, 大学生的学习也要体现出探究型的特点, 因为学生只有在亲身实践和探究才能去体会知识的内涵, 也才会从中萌发创新思想。对于极限概念的教学而言, 探究教学也是一种必备的方法, 不管是数列还是函数, 都有着其各自的定义和内在的联系。极限概念也是一个含有庞大子概念的系统, 每个子概念之间的关联也非常密切, 这也就是说学生必须要尽可能去探索每一个子概念, 从中发现关系, 从抽象的概念中去寻找内在的联系。在这样的状态下, 探究性学习就更加重要了。所以不管是社会发展的要求, 还是极限概念发展的要求, 探究教学都是非常必要和重要的。短期来看, 是为学生的专业知识学习提供科学的方法论指导, 长远来看便是能够为社会的创新发展奠定基础。

在现今大学数学的教学过程中, 教师仍然还是以一种符号化、说教化、理论化的方法来教导学生, 学生只能看着教师在黑板上板书或者看着教师放映PPT进行教学, 自己并不能够理解极限概念的真正意义。所以, 学生的学习也是一种被迫式的状态, 积极性不高、敷衍性高, 缺乏对实际的探索, 整个学习氛围都是一种完成任务式的情况。这样的状态就是对社会及其不负责的现象, 因此教师要积极转变教学方式, 从探究教学入手, 调动学生的学习热情, 让学生自己去探索和研究, 提高课堂的效率。这样才能够逐渐把学生从被动式的状态调整为主动式的状态, 从极限概念的探究学习中去寻找学习的意义, 去转变学习态度, 去强化自己的创造性思维。

二、探究教学应用在极限概念教学中的优势

极限概念是一个比较复杂和困难的概念, 其中包含了极限思想、辩证思想, 对这些问题的认识都需要一种探究式的态度去面对, 所以这就是极限概念所体现出探究就教学的优势。学生必须要在一个探究学习的环境中才能够对极限概念有着深刻的了解, 所以教师也要积极为学生创造更多的探究环境。对于学生来说, 极限概念内容的繁杂, 但是极限概念对于不同层次的学生有着不同的意义, 学生从探究中也能够找到属于自己和适合自己发展的内容, 更甚至把极限概念中的内容作为自己兴趣研究的内容, 这对今后数学、物理的持续发展也起着重要的作用。在探究过程中, 相关的资料和文献也是非常多的, 学生在探究时也可以参照这些文献资料, 所以从这个层面来看, 探究教学在极限概念的教学中起着优势性作用。

对于教师来说, 大学的教师一般都是具备较高的学历资历和专业性能力的人, 所以这也为探究性教学的开展提供了一定的教学能力保障。而有些教师也从事着某些科研活动, 与外界科学机构或者社会组织有着必要的联系, 因此这种情况也极大地给学生带来了锻炼机会, 让学生尽可能多地去接触实际生活中的科学探究, 为今后专业技能的发展奠定了重要的基础。并且教师在从事科研活动时, 学生群体也是一个重要的活动基础, 教师也可以与学生共同进步, 共同去实现科研活动的胜利。所以, 从这个层面来看也反应了探究教学的优势, 师生之间的合作和探索不仅是为学生的学业提供基础, 更为社会的科技进步提供了一定的保证。

三、极限概念教学中存在的问题和解决方案

在现今的极限教学过程中存在这样一个问题, 即教学是一种片面和孤立化的形式, 缺乏对学生情感和兴趣的研究。教师更多的是对学生进行知识的疏导, 强调学生去吸收知识, 而没有考虑到如何让学生吸收知识, 这是因为教师教学观念陈旧的原因。所以, 教师教学观念的转变十分重要, 如何加强学生在课堂的注意力是最为重要的, 因为大学生相对而言没有考试的巨大压力, 从而对平时的上课也松弛了许多, 这就反映了学生在课堂上根本就不会跟着教师的思路走, 更不用说到达教学的目标, 在面临考试时又临时抱佛脚, 或者采取作弊的形式蒙混过关, 这不仅对学生自己起到极其不利的作用, 更是对社会的发展进步起着阻碍性作用。所以, 教师在教知识前更应该考虑到教学生树立正确的学习态度, 提高学生的学习注意力, 让学生现有兴趣, 再去探究。

还有一点便是极限概念教学的创新力度的缺乏, 通常教师在教课时, 直接按照书本教材的内容来进行说教, 缺乏对知识的延伸和创新, 比如教师教授“ε-N”这个概念时, 就不会要求学生去探究这个概念背后存在的思想意义, 包括辩证思想和数学思想。极限概念应该是与生活实际相结合的, 而教师也缺乏这种结合生活式的教学方法, 导致学生从心理上抵触或者厌烦, 认为这种知识的学习是没有用处的。因此, 教师教学要加强创新理念的输入, 可以在讲解知识的过程中设置问题去让学生思考, 或者让学生亲自去演示自己的理解。而在这样的过程中, 学生的学习热情才会上升, 创造性思维也才会加强, 同时探究型学习的模式也才会逐渐体现出来。

总结

极限概念具有一定的复杂性和困难性, 这对学生的学习来说是一项艰巨的任务, 需要花费精力和时间去探讨。而对于教师而言, 教学方法的更新和改善才是最重要的内容, 学生需要一种探究学习的方法才能够强化学习能力, 提高对极限概念的理解。所以, 整个教学需要不断融入新活力、新思想, 才会越来越完善。

摘要：极限的概念是数学极限理论的重要部分, 也是大学数学课程中必须要掌握和应用的内容。在现今的大学数学发展过程中, 教师大多数仍以理论授课为主, 学生们也主要接受的是一种书面形式的教学, 而在极限概念的教学中, 探究才是一种帮助学生理解和应用的最好方法。

关键词：大学数学教育,极限概念,微积分

参考文献

[1]马忠林.数学教育史[M].南宁:广西教育出版社, 2001.