练习题引发反思

练习题引发反思（通用10篇）

练习题引发反思 篇1

笔者在讲了“对立事件”这节课后, 布置了这样一道课本习题, “今有标号为1、2、3、4、5的五封信, 另有同样标号的五个信封.现将五封信任意地装入五个信封中, 每个信封装一封信, 试求至少有两封信与信封标号一致的概率.”批改作业后, 这道题错误率之高出乎我的意料, 为什么这样一道“朴实无华、平淡无奇”的题目有如此多的同学犯错?这引起了我深深的思考和强烈的探究愿望.

一、错解呈现

学生作业本上典型的错误解法是:记事件A=“至少有两封信与信封的标号一致”, 则其对立事件为A軍=“没有一封信与信封的标号一致”, 然后根据P (A) =1-P (A軍) 计算.

二、错因剖析

原因1学生受思维定势的影响, 机械模仿.因为在“对立事件”这节课中, 课本给出的例题, 在求“至少……”、“至多……”等事件的概率时, 一般通过先求其对立事件的概率来解显得简便.而本题恰好相反, 学生不分情况仍生搬硬套导致错误.

原因2学生不善于正确地将一个复杂事件分解成几个互斥事件的和, 不会正确地表述一个事件的对立事件.“至少有两封信与信封的标号一致”, 其对立事件应是“至多有一封信与信封的标号一致”, 即包含“恰有一封信与信封的标号一致”和“没有一封信与信封的标号一致”两种情况.

原因3分类计数原理与分步计数原理不会灵活应用, 在求“没有一封信与信封的标号一致”这一事件所包含的基本事件数时发生困难.事实上, 这属于全错位排列问题, 其难度已超出学生平时的解题水平.

三、解法探究

探究1由于求“5封信与信封标号都不同的装法种数”确有一定难度, 能否反难则正, 直接从正面入手思考, 记A=“恰有2封信与信封标号一致”, B=“恰有3封信与信封标号一致”, C=“恰有4封信与信封标号一致”, 即“5封信与信封标号都一致”.故A+B+C即为事件“至少有两封信与信封标号一致”, 又显然事件A, B, C彼此互斥, 所以

探究2若先求其对立事件的概率, 则关键是求出“5封信与信封标号都不同的装法种数”, 设“5封信与信封的标号都不同的装法种数”为ai (i=2, 3, 4, 5) , 用枚举法易得a2=1, a3=2.现在先求a4, 显然4封信分别装入4个信封的装法种数共有A44=4种, 它们可以分成以下四类:4封信都与信封标号不同, 恰有3封信与信封标号不同, 恰有2封信与信封标号不同, 4封信都与信封标号相同.于是有4!=a4+C43a3+C42a2+1, ∴a4=4!-C43a3-C42a2-1=9.同理可得, 5封信与信封标号都不同的装法种数, a5=5!-C54a4-C53a3-C52a2-1=44.记事件A=“至少有两封信与信封的标号一致”, B=“恰有一封信与信封标号一致”, C=“没有一封信与信封的标号一致”, 即“5封信与信封标号都不同”, 事件A的对立事件为“至多有一封信与信封的标号一致”, 即事件B+C, 显然事件B, C互斥, 故

探究3“5封信与信封标号都不同的装法种数”, 其实是数学史上有名的Bernoulli-Euler装错信封问题的特例, 装错信封问题是由当时著名数学家约翰·伯努利 (Johann Bernoulli, 1667～1748) 的儿子丹尼尔·伯努利 (Daniel Bernoulli, 1700～1782) 提出来的, 大意如下:“一个人写了n封不同的信及相应的n个信封, 他把这n封信都装错了信封, 问都装错信封的装法有多少种?”这个问题曾被著名数学家欧拉 (Leonhard, Euler, 1707～1783) 称为“组合数论”的一个妙题.很多数学参考书上都用容斥原理解这个问题, 求得n封信与信封标号都不同的装法有n!种.一种自然的想法, 能否不用容斥原理解决这个问题呢?下面试着用探究2的方法来作一分析, 设ai (2≤i≤n) 表示封信与信封标号都不同的装法种数, n封信分别装入n个信封共有!种装法, 这些装法可以分为以下n类:n封信与信封标号都不同的装法有an种, 恰有n-1封信与信封的标号都不同的装法有种, 恰有n-2封信与信封的标号都不同的装法有种, …, 恰有3封信与信封的标号都不同的装法有种, 恰有2封信与信封的标号不同的装法有种, n封信与信封标号都相同的装法只有1种.由分类计数原理得,

显然a2=1, 由递推公式 (1) 可依次求出a3, a4, a5…, 但递推公式 (1) 过于复杂, 由此直接求通项an比较困难.

探究4有没有其他方法能得到比 (1) 式简单的递推公式呢?在探究3中是用先分类、后分步的思路得出递推公式 (1) , 现用先分步、后分类的方法来进行思考.设n封信与信封的标号都不同的装法数为an, 第一步:第一封信不放在第一个信封里, 有n-1种放法.第二步:假设第一封信放在第二个信封里, 则第二封信的放法又可分为两类.第一类:第二封信恰好放在第一个信封里, 则余下的信错位放在剩下的n-2个封信里有an-2种放法;第二类:第二封信不放在第一个信封里, 则相当于n-1封信错位放在剩下的n-1个信封里, 即第二封信不放在第一个信封里, 第三封信不放在第三个信封里, …, 第n封信不放在第n个信封里, 有an-1种放法.由分步计数原理和分类计数原理得递推式:an= (n-1) (an-2+an-1) … (2) , 显然a1=0, a2=1, 由此可依次求出a3, a4, a5, ….下面求通项an, 由 (2) 得an= (n-1) an-2+ (n-1) an-1, an-nan-1= (-1) [an-1- (n+1) ]an, 是以a2-2a1为首项, 公比等于-1的等比数列,

探究至此, 我们发现, 一道极为普通、平常的课本习题, 竟隐藏着数学名题背景, 蕴含着丰富的数学思想, 同时由一道题的探究, 带动了一类题的解决, 全错位排列问题都可以直接用公式n!来计算.如某省决定对所辖8个城市的党政一把手进行任职交流, 要求每个干部都调到另一个城市去担任相应的职务, 问共有多少种不同的干部调配方案?解:不同的调配方案有8! (种) .

四、教学反思

反思1教师在备课时, 不仅要备好教学内容, 心中有书;备好教学方法, 心中有术;备好学生, 心中有人;也要备好习题, 心中有题.明确各道习题的作用, 解题的关键、解题的技巧、解题的数学思想方法.区别习题哪些是主要的、哪些是次要的、哪些是单纯巩固性的、哪些是有难度需要提示的、哪些是学生可以独立完成的、哪些是可以作为例题与学生共同探究的.只有对课本习题的难度与演算时间存乎于心、了然于胸, 才能围绕教学目标, 结合学生实际, 有的放矢地布置好作业, 充分发挥习题的教学功能和诊断功能.

反思2教师在备课时, 要精选例题、一题多解, 精心设计变式练习, 注意运用反例和特例, 帮助学生克服思维定势的负迁移影响, 优化学生的思维品质.正如美国著名数学教育家G.波利亚曾说:“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目, 去帮助学生挖掘问题的各个方面, 使得通过这道题, 就好像通过一道门户, 把学生引入一个完整的理论领域.”

反思3数学思想方法是探索解题途径的一盏明灯.而课本的例题、习题是渗透数学思想方法的重要载体, 因此在教学中, 我们应秉承“思想高于技巧”的理念, 注重挖掘蕴藏在教材例题、习题中的数学思想方法, 不失时机地加以渗透.一位著名教育家说过, 真正教育的旨趣在于即使学生把教给他的所有知识都忘记了, 但还有能使他获得受用终生的东西, 那种教育才是最高最好的教育.这里“受用终生的东西”, 在数学中就是“数学思想方法”.

反思4数学是人类文化的重要组成部分, 高中数学课程标准要求“数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用, 逐步形成正确的数学观.而课堂是教师进行数学文化渗透的主渠道, 故教师应深入钻研教材, 认真研究教材相关知识以及例题、习题中所蕴含的数学历史文化背景, 在课堂中恰当、适时、自然地加以渗透, 不断充实和提高学生的数学文化素养, 体会数学的文化价值, 感受数学一种内在的、深邃的、理性的美.

练习题引发反思 篇2

〔关键词〕平行四边形 等腰梯形 等腰三角形

在数学习题教学中，要及时回顾、总结、探索，反思有没有更一般的规律，通过归纳总结形成经验，根据习题涉及知识点的特点，进行多角度的联想，从而产生新的猜想和结论。本文以一道平行四边形问题为探索起点，以初中阶段数学知识为依据，展开一系列的探究活动，进行多角度的联想，从而产生新的猜想和结论。通过对一道题的探索，不仅可以拓展自己的思维，也可以在引导学生探究的过程中体验数学发现和创造的历程，培养学生的问题意识、解题思维能力，在不断验证、完善的过程中得到意料之外的体验和惊喜。

一、问题的产生

在教学平行四边形的判定时，有这样一道习题，“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形吗？若是，请给予证明，若不是，请给出反例。”学生由于受平行四边形的思维定势影响，大多数认为是正确的，但是却无法给出证明；也有少数学生认为是假命题，却不知道如何举出反例？为此我请教了几位新教师，却也不能准确地画出图形，所以笔者就这个问题，进行了深入研究。

二、对问题的探究

1、拼图法

思路：我们知道在处理四边形问题时，通常通过转化为三角形问题，也就是把未知问题转化为已知问题，考虑到四边形要同时满足一组对边相等且一组对角相等这两个条件，很容易使人联想到在等腰三角形中的“等腰对等角”和平行四边形的“两组对边相等且两组对角相等”。

①利用等腰三角形拼图

方法：如图1（图略），将等腰三角形ABC（左图）沿AD剪开（注意：在裁剪时，使BD≠CD），再拼好（右图），所得四边形符合条件，由图形可以看出它不是平行四边形。

说明：因为△ABC是等腰三角形，AB=AC

所以∠B=∠C

拼图后△ADC≌△ADC’

所以DC’=AC=AB，四边形ABDC’满足一组对边相等，一组对角相等的条件，但显然图形不是平行四边形。

②利用平行四边形拼图

方法：在 ABCD中，三角形BDE为等腰三角形（图2）（图略），沿对角线BD、BE剪开，再将△ABD和△BEC拼在一起（图3）（图略）。所得四边形满足条件，但显然不是平行四边形。

2、旋转法

思路：利用平行四边形和等腰梯形的性质，通过旋转保持一组对边和一组对角相等，构造四边形。

①利用平行四边形性质

方法：如图4（图略），四边形ABCD为平行四边形，连接AC，作AE垂直BC于E；在EB上截取EC'=EC，连接AC'，则△AEC'≌△AEC，AC'=AC。把△ACD绕点A顺时针旋转∠CAC'的度数，则AC与AC'重合。显然四边形ABC'D'满足：AB=CD=C'D'；∠B=∠D=∠D'，而四边形ABC'D'并不是平行四边形。

②利用等腰梯形构造

方法：a、作等腰梯形AEBC，则AB=CE，∠AEC=∠ABC

b、以C为圆心以CE为半径画弧，交EA的延长线于D

c、连结CD ，则CE=CD ，∠D=∠AEC

所以CD=AB ∠D=∠ABC ，从而说明“只有一组对边，一对角相等的四边形”不一定是平行四边形（图5）（图略）。

3、作图法

思路：利用圆周角和等弦知识，画出满足一组对边相等一组对角相等的四边形。

方法：a、作等圆⊙O和⊙A，在两圆中作 ABCD；

b、以A点为圆心，AD长为半径画弧，交⊙O于E点，则AE=AD；

c、连接AE、CE，则四边形ABCE即使所求（图6）（图略）。

三、分析与思考

上述的问题只是教学中的基本问题，有些老师可能会给学生一个简单的答案和例证，学生知道了也就算了。我通过查找资料，加上自己画图拼接发现了这么多种方法，然后引导学生逐步去探究，在拼图、画图的过程中，学生甚至发现了更多的方法，从而获得意外的体验和惊喜！

其实，在数学学习中，许多教师不重视对基本问题的研究，不重视原有问题内在潜力的挖掘、改造，对于许多问题只满足于它们的解答，缺乏深入研究，不追究问题的来源，看不清问题的本质，取而代之的是大量的题海战术来训练学生的解题能力。长此以往，学生只会关心题目解决了没有，不去关心问题的答案是否正确，更不关心自己到底悟到了什么，只习惯于解决别人的问题而不会自己去探索问题。

为了改变这种状况，笔者认为对一些即使是基础的问题，只要有发掘性，教师应引导学生做进一步思考与探索，让学生掌握“解题后再思考”的方法，培养学生养成“解题后再思考”的习惯，并使学生真正懂得“学会学习”。

新课程要求教师要会“用教材教”而不是仅仅“教教材”。教教材传递给学生的是知识，而用教材教培养的是学生的智慧。知识本质上只是一种结果，可能是一种经验的结果，也可能是一种思考的结果。而智慧并不表现在这两种结果之上，而是表现在经验和思考的过程之中，如对问题的处理、对困难的化解以及对实质的思考。由此可见，智慧是融知识、经验和思维为一体的，是人们实现创新的心理机制。新课标之所以倡导四维教学目标，正是考虑到了智慧形成的基本规律，即知识是可以传递的，而智慧是无法传递的，智慧的形成并不完全依赖于知识的多少，而是依赖于知识的运用、依赖于个人的经验。一个人的智慧的发展，需要到实际操作中去感悟、去积累、去反思。因此，要培养学生“智慧”，务必重视学生的“做中学”，正如富兰克林所说，听到的我会忘记，看到的我会记住，参与的我能理解并会运用。

一道练习题引发的讨论 篇3

一、对比理解概念内容

物体保持静止状态或匀速直线运动状态的性质叫惯性。由于运动物体受阻碍时, 会表现出力的作用。有的同学就认为有“惯性力”或“冲力”, 把惯性误认为一种力, 混淆了惯性和力的概念。这是学生把加紧蹬几下自行车是为了增大动能误认为是为了增大惯性等问题的重要原因。要让学生理解: (1) 惯性的内涵一定是物体的固有属性, 一切物体在任何时候, 任何过程, 任何条件下都有惯性; (2) 知道力的作用可以“改变物体的运动状态”, 但力的作用绝对不能改变物体的惯性, 惯性的大小只是反映了物体在外力作用下其运动状态可以改变的难易程度。

二、对比认识惯性、动能和势能的影响因素

物体的惯性大小只与物体的质量有关, 与其他任何因素无关, 当物体质量一定时, 不管它运动与否, 其惯性大小都是一定的。认为“速度大的物体惯性大, 速度小的物体惯性小”都是错误的。而动能和重力势能都分别由两个因素决定, 都必须在物体运动或具有相对高度的前提条件下, 物体才具有动能或重力势能, 其中动能由物体质量和运动速度大小决定, 当物体质量一定时, 其速度越大, 它具有的动能就越大。

三、宏观认识惯性和能量转化的关系

我们在解释该现象提炼成一个问题时, 要从以上三方面审视同一过程, 做出最合适确切的解答。“为什么车上坡时”问题适合用机械能转化原理解释, 而“刹车现象”既可用惯性解释又可用机械能转化的原理解释。主要原因是学生分不清惯性和机械能转化原理分别是从哪个角度来研究物理现象的, 故在教学中应让学生知道惯性是从物体运动状态的改变的难易程度方面来研究物理现象的, 而机械能则是从物体对外做功多少来研究物理现象的, 帮助学生分析清楚哪些现象涉及物体对外做功多少, 哪些涉及物体运动状态改变的难易程度。这是引导学生解答问题的关键。上坡时需要克服自身重力做功, 要克服自身重力做功必会增大重力势能, 故上坡前紧蹬车是为了增大其速度, 从而增大动能, 进而转化为更多的重力势能, 适合用机械能转化原理解释。对于刹车难现象, 当我们只从惯性角度分析时, 只需考虑其质量大小, 与其他因素无关, 由于其质量很大, 所以要改变其运动状态使其停下来很难。当我们仅从机械能角度分析时, 既要看它的质量大小, 又要看它的速度的快慢, 在车质量一定的情况下, 其速度越大, 动能越大, 做功就越多———它克服车与路面之间的摩擦力和其它外力做的功就越多, 则火车向前运动的距离越长, 所以我们感到刹车困难。从上述分析可以看出:“刹车难”问题既涉及“物体的运动状态改变的难易程度”, 又涉及车对外做功多少, 故此问题既可用惯性解释。又可用机械能转化原理解释。

经过以上过程讨论, 相信学生就会正确解释此类物理现象, 不再混淆惯性、力、功和能及转化的知识点。

摘要：学生对惯性和力与机械能有关概念的内涵和影响因素等理解不够透彻, 容易混淆。对比认识惯性、动能和势能的影响因素, 宏观认识惯性和能量转化的关系。

一道动量习题引发的思考 篇4

（2014·安徽卷·24）在光滑水平地面上有一凹槽A，中央放一小物块B。物块与左右两边槽壁的距离如下图所示，L为1.0 m，凹槽与物块的质量均为m，两者之间的动摩擦因数μ为0.05。开始时物块静止，凹槽以v0=5 m/s初速度向右运动，设物块与凹槽槽壁碰撞过程中没有能量损失，且碰撞时间不计。g取10 m/s2。求：

（1）物块与凹槽相对静止时的共同速度。

（2）从凹槽开始运动到两者相对静止物块与右侧槽壁碰撞的次数。

（3）从凹槽开始运动到两者刚相对静止所经历的时间及该时间内凹槽运动的位移大小。

解：（1）选取凹槽和物块整体为研究对象，全过程根据动量守恒定律，规定向右为正方向，

有mv0=2 mv

解得v=2.5 m/s

（2）全过程根据动能定理，有-μmgS= 2mv2- 2mv02

解得S=12.5m= （3+4×5+2）

故物块与右壁碰撞6次。

前两问相对比较“基础”，绝大部分学生没有问题，但是到第三问时问题来了。

（3）一大部分学生认为：物块和凹槽的初速度已知，加速度可以轻松判断出来，运动性质变化发生在碰撞（除第一次碰撞相对位移为 ，其余均为L）前后，并且根据二者质量相等和弹性碰撞可以判断二者碰撞将交换速度。题中所给的已知条件比较充足，分阶段利用运动学公式可以将此问解出。

虽然思路比较清晰，但是学生们初试便知：物块与凹槽碰撞多达13次，解题过程异常繁杂，几经尝试后不得不放弃。

被迫放弃的学生总跳不出思维怪圈，一直在原地打转。

这时我提示道：运动学问题是不是只能用公式？可不可以数形结合利用图像解题？

机灵的一部分学生很快画出了整个运动的v-t图像。示意图如下：

借助于图像，他们很快给出了答案：

根据动量定理，有μmgt=mv-0

解得t=5s

设全过程凹槽位移为x1，物块位移为x2，根据图象有：

x1+x2= t+ t

又x1-x2=

解得x1=12.75 m

至此，这道题总算有了答案。

这时，有学生站起来说位移还可以这样解：x= t-6L，并且给出了具体说明。

回首本节课堂，如果问起：学生是否真的在课堂上独立思考和参与探究？是否在思考探究过程中掌握了基本物理思维方式？是否在付出一定的脑力劳动后，在收获成就感的同时，增强了学习物理学科的兴趣？我想答案都是肯定的，的的确确是一节高效课堂。

但我仍有担忧：近几年全国卷动量作为选修部分在理综卷末尾出现，其难度不高，这点与安徽卷不同。

不禁有这样一个疑问：安徽卷的情理之中，怎么不会成为全国卷的意料之外呢？

参考文献：

[1]杨九俊.备课新思维[M].北京：北京教育科学出版，2004.

[2]夏焰.物理课堂教学中的情景教学[M].陕西师范大学出版社，2013.

[3]郑群.对一道错解题的深入思考[M].陕西师范大学出版社，2013.

由一道习题引发的思考 篇5

一、问题描述

在一次六年级数学检测中, 有一道选择题的出错率极高, 而这种题型正是教师平时强调过多次的问题。那么究竟是什么原因导致这一现象产生的呢?笔者首先对本班48位学生的答题情况进行了汇总。

本题的正确选项应该为A, 但正确人数仅为14人, 占全班人数的29.2%, 大大低于笔者的预期。为此, 笔者从教师的教学与学生的学习两方面进行了针对性的调查, 探寻解错题的根源。

二、追踪课堂

本题考查的知识点是五年级的分数知识。笔者利用数学组教研活动的契机, 追踪了五年级该知识点的落实情况。据本班五年级时的数学教师回忆, 该类型的题目本身就属于易错题, 因此在教学时还特别就此进行了系列化的题组强化训练, 当时班内学生的掌握情况还是比较好的。

以下是该教师在执教相关内容时的课堂实录再现:

第一环节:让学生猜测, 这时的答案五花八门, 大都是没有根据的凭空想象。

第二环节:教师采用直观的数学思想, 利用实物引导学生分析, 帮助学生积累数学活动经验。

三、诊断寻因

从上述教学案例分析, 教师的教学设计环节清晰, 有效利用了学生的生活经验及几何直观的数学思想, 学生的过关率非常高。但为什么到了六年级的测试中学生却只有29.2%的正确率呢?为此, 笔者对全班学生进行了一一访谈。

当笔者找选D的同学交谈时, 问题的症结被找到了。选D的学生面对教师的询问, “义正词严”地说:“老师, 你批错了, 五年级时老师教过我们, 当单位‘1’不知道的情况下是无法比较的。而且这种类型的题目我们考过很多次了, 我们选‘无法比较’都是对的。”

综上分析, 笔者认为, 学生之所以发生解题的错误, 主要有以下几个方面的原因。

(一) 审题习惯缺失, “直觉思维”泛滥

小学生的审题习惯是在长期的学习过程中逐步形成的。在学生的每次作业和试卷中, 我们总会遗憾地发现, 许多学生解题错误的原因不是不会做题, 而是没有看清题目, 没有读懂题目的意思, 有的甚至根本不去看题目的意思, 比如本题中就有不少学生是凭直觉得出答案的。

(二) 机械重复, 造成学生“熟而生笨”

丽水市小学数学教研员戴慧琴老师在一次讲座中曾经提到过这样一种观点, 当学生同一类型的题目练习过多时, 就会产生负迁移, 使得大部分学生在没有思考的情况下就凭“经验”进行了选择。显然, 选D的同学之所以会理所当然地认为本题与五年级做过的题是一样的, 其实质就是对该类型的内容有思维的定势, 五年级时教师为了帮助学生掌握相关知识而特意安排的系列化题组强化训练, 显然在当时是有效的, 但是却给学生后续的学习带来了负迁移, 造成了“熟而生笨”的奇特现象。

四、教学改进

通过比较分析, 首先引导学生自主发现五年级时遇到的该类题的共同点, 随后及时跟进练习, 沟通比较现在遇到的题与五年级时遇到的题之间的差异, 促使学生养成良好的审题习惯。同时, 为了进一步防止学生出现“熟而生笨”的现象, 笔者在跟进练习题的后面加了一个问题, 请你算出这盘草莓一共有多少千克?引导学生充分理解分数的意义。

五、效果反馈

通过上述的对比教学, 笔者在一周后进行了检测, 结果显示, 再次面对类似的题型时, 全班学生的正确率由29.2%上升到了93.8%, 基本达到了预期的效果。这显然是要归因于学生对分数意义的理解, 以及在对比练习中收获到的审题能力。

由一道习题引发的教学思考 篇6

片断一：许多教师在平时的教学中都是将书上的原题出示给学生，学生按部就班地填一填、读一读，直观地比较一下这两个分数的大小，就算完成任务了。在这个过程中，学生完成得很容易，教师自己也觉得效果不错，学生好像都会了，却没有反思一下：学生的思维能力得到提高了吗？习题资源得到充分利用了吗？

片断二：一节公开课上教师先出示一张涂色的长方形纸条告诉学生用1表示，出示第二张同样大小的长方形纸条，只将其中的1/3涂色，但并未用竖线标明将它平均分成三份，这时，教师问：“现在你能用分数表示涂色部分吗？”，让学生估一估，再用电脑验证一下。在估一估第三张同样大小纸条的1/6时，有的学生发现第三张纸条的涂色部分占这张纸条1/3的一半，从而推断出涂色部分应该占这张纸条的1/6。

比较上面两个片断，我们可以发现：第一个片断中，教师没能根据学生的实际发展水平，创造性地使用习题，学生从图上直观地就可以看出涂色部分占整张纸条的几分之几，做题时无需太多的思考，学生完成得很容易，成功的感觉不够强烈。而第二个片断，教师对原题信息进行了改装，适当隐匿了原有图中的部分信息，学生在估计第二个长方形纸条涂色部分所占大小时，需要在头脑中对整体进行平均分的表象操作和预测，而第三张纸条的涂色部分还可以与第二张纸条的涂色部分进行对比、推测，这样做，显然是为学生提供了更为广阔的想象和思维的空间，帮助学生发展了数感，学生从中得到自主体验与感悟，加深了对所学知识的理解，学生在课堂上的那种成功的喜悦愈加明显。

反思一下，如果我们在练习设计过程中如片断一不加精心设计，只是让学生自己填一填，然后组织交流汇报一下答案，就这样简单练习，那么学生就不能从此题中得到更多的数学养分，不能形成更深刻的数学理解，习题的功能亦得不到最大的发挥。

习题是学生进行有效学习的载体。在实践中，大部分教师对例题的教学很重视，但对习题及其练习过程的设计却较少深入研究，只是走马观花，照本宣科，从而削弱了习题的功能，教学效益往往不尽如人意。

教学片断二中教师对教材习题进行了深入的研究，并能创造性地使用，增强了习题的功能，提高了教学效果。因此，我们教师在平时的教学中，应深度开发教材习题资源，精心设计练习过程，用好、用活教材习题，这是提高学生课堂学习效率的重要保障。那么，如何创造性地使用习题、充分利用教材上的习题资源呢？笔者作了以下思考：

—、结合学生实际，适当地改装习题。

我们知道，教材中的许多习题编者在编写时只是考虑了大多数学生的一般水平，而且每一节新课的练习只是针对本课内容进行针对性的设计。教师如果只是简单地处理，不仅会造成学生重复练习，而且习题的价值也没能得到充分挖掘，不利于学生思维的发展。其实，教材中许多习题的设计都是具有弹性的，《数学新课程标准》强调要用活教材，就是要求我们教师要因材施教，不能只是照本宣科。所以，教师在备课时，应考虑到学生的现有认知结构，思考教材上的习题是否适合本班学生的现有水平，如果发现教材中的习题对于本班学生来说有点简单了或者说不适合当地的实际情况，教师可以将习题进行适当的改装，使之更加符合学生的实际，这样做不仅有利于学生思维能力的发展，也激发了学生的探究欲望。如片断二中，教师根据学生的实际水平将原题进行适当的改装，从课堂反映来看，这样的改装符合学生的现有水平，让学生“跳一跳就能摘到果子”，学生通过自主探索解决了问题，感受到了成功的喜悦，课堂气氛活跃，习题资源的价值得到了充分体现。

二、结合教学需要，改变习题呈现方式。

教材编写者在编写习题时，考虑到篇幅的安排，在习题呈现方面比较简单，形式变化不大，从长期来看，不利于学生兴趣的激发。所以，在课堂教学中，教师可以创设一定的教学情境，想办法将习题串起来，这时就需要改变习题的呈现方式。换一种呈现方式，既调动了学生的学习积极性，又使教学过程显得更加完整。如，笔者在教学《24时记时法》时，创设了小朋友去动物园的教学情境，并将本课后面的习题都穿插在这一情境中，习题教学不再显得枯燥无味，学生们的学习情绪也很高涨。

除了创设故事情境，教师还可以以竞赛、实践等形式呈现习题，让学生感受到数学学习是有趣的，数学与生活是密切联系的。

三、结合学习情况，灵活调整习题。

在平时的课堂上，我们一般都是将课后的练习一题一题地按顺序做下去，即使拖堂，也要将习题做完。其实，课堂教学是一个动态生成的过程，学生的课堂反应往往会出乎我们的意料。教师应该灵活地根据学生学习情况的变化不断调整自己的教学，在学生的真实认知点上综合把握，应学生而动，应情境而变，不能总是按部就班地照本宣科。一节课40分钟，如果时间不够，课后习题并不是题题都必须练习的，教师可以根据学生的学习情况，对习题进行一些取舍；而有些同类型的习题也可以根据课堂实际进行合理的整合，这样不仅能提高课堂效率，也避免了重复练习引起的学习疲劳，保持学生的学习激情。

四、设计合理问题，引导学生深入探索。

课堂提问是“有效教学的核心”。恰当地运用提问，可以点燃学生思维的火花，激发他们的求知欲望，为学生发现疑难问题、解决疑难问题提供桥梁和阶梯。教材中有些习题的呈现比较简约、直接，但教师只要深度挖掘，就会发现这些习题的内涵还是很丰富的。教师可以设计一些具有层次性的问题，引导学生一步步地探索，使学生的思维走向深入。比如，上述案例中的习题，当学生填出分数后，教师可以问：“如果像这样继续分下去，还可能会出现哪些分数？这些分数与1/3和1/6比，谁大谁小？”先让学生猜一猜，再在课件上接着显示一些平均分得到的分数，并用省略号表示电脑上没有显示的分数。最后，再问：“你们有什么发现吗？”从而激发起学生的探索欲望，也为学生进一步认识分数做好了铺垫。

练习题引发反思 篇7

当时,笔者是为了准备一节苏教版六年级下册《圆柱体表面积和体积的练习》的市级观摩课。在本校的六[1]和六(5)班借班磨课。课上,笔者出示了这样一道习题。

“用一张边长31.4cm的正方形纸,沿一边一围,恰好围成了一个圆柱体,这个圆柱体的体积是多少?”

同样一道习题,两个班学生的反应大相径庭。

六[1]班完成的学生寥寥无几,全班42人,只有三四个人会做。大部分人都是眉头紧锁,感到无从下手,他们搞不清楚,这个圆柱体的底和高,究竟与这张正方形的纸之间有什么逻辑关系。

六(5)班的情况截然不同,恨不得个个争相发言,全班43人,只有五六个人不会。

同样一道题,两个差不多的班级为什么会有如此大的差距呢?这不禁引起了笔者的好奇心。

经过与两个班的老师和学生交流后发现,导致两个班的正确率大相径庭的原因是在前面圆柱体认识的教学上。

在教学“圆柱体认识”一课时,六(5)的老师安排了一个动手操作的过程。

他让学生亲自动手,将事先准备的圆柱体的侧面都展开,观察展开图的长是圆柱体的哪一部分,宽又是圆柱体的哪一部分,由展开到围合,由围合再展开,反复几次,外部活动被内化,这样在学生的头脑里自然也就形成了表象。在学生的脑海中有了这样的展开围合圆柱体的数学活动经验,见到此题,学生便能很容易地利用这一活动经验,想到这个正方形的边长不仅是圆柱体的高,同时也是圆柱体的底面周长。

从这一案例中,我们不难感受到数学活动经验的重要性。它能促进学生对数量关系的理解,加强对事物本质的把握,帮助学生克服抽象思维的障碍,提升学生分析问题、解决问题的能力。联系平时的教学,许多学生思维能力不强,出现解决问题障碍的根源是因为数学活动经验的缺失。下面将结合几个案例进一步阐述。

比如,在苏教版四年级下册“平移、旋转、轴对称图形”这一单元的学习中,好多学生都误以为平行四边形是轴对称图形,造成这种错误认识的原因之一就是对轴对称的本质认识不清。如果教师在教学轴对称这一基本概念时,让学生动手用对折的方式进行验证,学生就会深刻认识到轴对称图形的本质,轴对称图形就是对折后两边完全重合的图形,两边一样的图形不一定是轴对称图形。有了对折的活动经验,使这一抽象的概念变得直观,学生就不会再犯这样的错误。

再比如,在苏教版四年级上册“可能性”这一单元的学习中,有这样一道题学生的错误率极高。

某同学共抛了10次硬币,7次正面向上,2次正面向下,下一次硬币可能性是()

A.正面向上可能性大B.正面向下可能性大

C.正面向上与正面向下的机会相同

大部分学生都认为正面向下的可能性大。理由是因为正面向上与正面向下的几率相同,而前九次中正面向下的次数太少了,所以下一次硬币正面向下的可能性大。造成这一错误认识的主要因素就是学生对可能性认识的模糊性,还是处于似是而非、一知半解的状态,缺失抛硬币的活动经验。如果教师在教学时,设计一个让学生分组抛硬币的实验,事先让学生进行预测,然后再让学生动手实验。通过这一动手操作活动,学生不难发现:从总体来看,正面朝上与正面朝下应该是差不多的,但是不管前面的结果如何,下一次正面向上与正面向下的可能性仍然是相等的。

显而易见,从以上案例中,我们可以看到数学教学中许多思维的障碍是因为数学活动经验缺失造成的。数学活动经验是人们在数学活动过程中形成并在遇到某种相似情景时可以忆起的某种体验、方法性知识或某种观念,在问题解决中,它可以帮助学生突破思维的障碍。《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出,使学生获得并积累数学基本活动经验,不仅是数学课程的重要目标,也是数学教学发展的标志。获得必要的数学活动经验和与数学学习有关的生活经验,是进行科学建构、实现学生在数学上全面发展的基本前提。数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志,使学生获得并积累数学基本活动经验的关键是设计、组织好每一个数学活动,引导学生积极主动地参与数学活动,经历数学活动的全过程,体验数学活动的每一环节以获得不同活动阶段的经验内容,促进他们积极主动地从“经历”走向“经验”,这是我们一线教师落实数学活动经验目标的核心,也是我们研究和实施数学活动经验目标的重点和突破口。也只有我们一线教师把数学活动经验的目标落到每一节数学课中,才能真正帮助每一位学生实现思维的发展,给他们的思维插上翅膀,提升创新力。

摘要：尽管《义务教育数学课程标准(2011年版)》课程目标早已明确提出把基本活动经验列入“四基”,上升到了基本目标的层面,但许多一线教师在教学中仍然是忽略活动过程的教学。以亲身经历的几个案例来阐述数学活动经验的缺失将引发学生思维的障碍,从而阻碍了问题的正确解决,以引起广大同仁对基本活动经验的重视。

关键词：数学活动经验,思维障碍,问题解决

参考文献

[1]王林.我国目前数学活动经验研究综述[J].课程·教材·教法,2011(6).

[2]李树臣.关于形成数学活动经验的若干问题[J].中学数学,2011(12):1-4.

由一道习题引发的数学探究活动 篇8

数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式, 有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程, 初步理解直观和严谨的关系, 初步尝试数学研究的过程, 体验创造的激情, 建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神;有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯, 培养学生发现、提出、解决数学问题的能力;有助于发展学生的创新意识和实践能力.

“探究教学”是高中课程标准的重要理念, 笔者所在学校一直尝试陕西师范大学张熊飞教授提出的“诱思探究教学”模式, 即让学生“自主、合作、探究”的学习.以下是笔者在《直线的方程》一课中由一道习题引发的一次教学探究活动, 现将课堂教学过程整理后展示给大家, 供各位同仁斧正!题目:已知实数x, y满足y=x2-2x+2 (-1≤x≤1) , 试求$\frac{y+3}{x+2}$的最值.

解法探究:抛出问题后, 笔者让学生进行自主探究, 通过课堂巡视, 我发现学生主要通过整体代换或换元思想给出了答案.

方法一 整体代换

$\begin{array}{l}\frac{y+3}{x+2}=\frac{x{}^2-2x+5}{x+2}=\frac{(x+2){}^2-6x+1}{x+2}\\ =\frac{(x+2){}^2-6(x+2)+13}{x+2}=(x+2)+\frac{13}{x+2}-6.\\ \because -1\le x\le 1‚\therefore 1\le x+2\le 3\end{array}$

, 由“勾函数”及单调性易知:当x+2=1时, 原式取最大值为8;当x+2=3时, 原式取最小值为$\frac{4}{3}.$

方法二 换元思想

$\begin{array}{l}\text{令}t=x+2,\text{则}x=t-2,1\le t\le 3.\\ \frac{y+3}{x+2}=\frac{x{}^2-2x+5}{x+2}=\frac{(t-2){}^2-2(t-2)+5}{t}\\ =\frac{t{}^2-6t+13}{t}=t+\frac{13}{t}-6.\end{array}$

以下解法同方法一.

两种解法给出后, 笔者带领学生对其进行点评, 比较哪种更加优化, 并且作为学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者, 在为学生提供了这一数学探究的背景材料后, 笔者鼓励和帮助学生独立地发现和提出问题:还有什么更好的方法?并鼓励学生可以表达自己的见解和主张——即使是不成熟的想法, 也千万别错过这样的机会!

短暂的思索后, 一位平时数学成绩一般的同学把目光投向我, 我鼓励他站起来说出他的想法:令$k=\frac{y+3}{x+2}$, 本题即求k的最值.我说可以啊, 看来你也是进行了整体换元.然后呢?我追问, 试图启发他进行下去, 但是良久不见下文, 我点头示意他就坐, 并肯定他的想法, 并让大家一起进行合作探讨, 看在这名同学思考的基础上能否有新的突破, 大家开始小声讨论.不一会儿, 有一小组推选出了一个代表发言, 于是, 有了:

方法三 数形结合思想

设$k=\frac{y+3}{x+2}=\frac{y-(-3)}{x-(-2)}$, 原式看成连接点 (x, y) 和 (-2, -3) 的直线的斜率, 由题意结合图像可知点 (x, y) 在点 (-1, 5) 和点 (1, 1) 之间运动, 因而斜率介于两个临界量之间, 即得原式最大值为8, 最小值为$\frac{4}{3}.$

看着大家顿悟和羡慕的眼光, 我赞扬了前一名同学的抛砖引玉, 表扬了后一名同学的思路和清晰的语言表达及勇气.我深知:在学生需要的时候, 教师应该成为学生平等的合作者, 教师要有勇气和学生一起进行探究, 只有这样, 才能让学生思维的火花迸发, 进而形成更浓郁的讨论氛围.

变式探究:设点A (2, -3) , B (-3, -2) , 直线l过点P (1, 2) , 且与线段AB相交, 求直线l斜率的取值范围. (学生通过数形结合思想很快得到k≤-5或k≥1)

对本题的三种解法进行小结后我不经意说了一句“大家还有什么想法?”正打算进入下一题讲解时, 一位前排就座的女生怯生生地举起了手, 我稍一愣, 立刻用鼓励的眼神示意她站起来, 她给出了:

方法四

由题意知1≤x+2≤3, 4≤y+3≤8, 当y+3取最大且x+2取最小时, 原式取最大值8;当y+3取最小且x+2取最大时, 原式取最小值$\frac{4}{3}.$

答案一出, 全班哗然, 有对此方法的“精妙”叫好的, 有对此方法的“碰巧”疑惑的, 也有不知所措, 眼看着我等我的评价的……

这种思路是我课前没预想到的, 我略加思考后, 把问题抛给了学生:x与y之间本身有制约关系, 能否改变x的取值范围而推翻这一解法呢?

这时有学生说:如果0≤x≤1, 试试看!我说可以, 等你们的结果, 不一会儿, 有做得快的学生说:“结果一样!”有的继续埋头做, 有的则凝望着我疑虑重重地等着我的分析.等学生们基本算出结果后, 我说:“如果-1≤x≤3, 请大家按照方法二和方法四分别计算一下, 看结果是否成立.”用方法四的同学很快得到同样的结果, 但是不久不同的声音传来:用方法二求出的最大值8没变, 最小值变成了$2\sqrt{13}-6$.不同的方式方法得到了不同的结果, 在交流探究的基础上, 通过师生之间和学生之间的讨论, 明晰了探究的目的, 在讨论中形成了共识, 提高了学生对本题知识的认识, 更重要的是形成了如今高中课堂所缺失的人气场.同时学生的总结、归纳能力在这一过程中得到培养, 最后自主将问题变式, 提出新的问题或结论并进行了解决.

教学后记:本节课是笔者在《直线的方程》一课中一道习题的探究教学案例.实施数学探究性学习, 是数学教学和学习方式改革的必由之路, 本节课由一道代数式的最值问题, 引发了换元思想、数形结合思想, 把代数式的最值问题的求法进行了发散.在学生探究性学习活动中, 笔者始终能以学生的需要作为第一要义, 在本节课的实施过程中, 笔者运用了一切可能的手段, 不断优化教学设计, 时刻激发学生的学习兴趣, 创设有效的探究时间和空间, 形成了良好的探究风气, 让每名学生都有主动探究的机会和欲望, 从而真正实现“不同的人在数学上得到不同的发展”.通过这次数学探究活动, 促进了学生自主思考、合作探讨, 重新归纳总结、建立知识的框架, 独立思考问题, 提出自己的观点, 培养了良好的学习习惯和思维品质.本节课可以说是在预设之中得到了意料之外的收获.

由一道几何概型习题引发的思考 篇9

关键词：几何概型；等可能性；反思

案例背景

新课程数学必修3的概率部分增添了几何概型内容，使样本空间从有限变成了无限． 新的内容对教师来说更具有挑战性． 几何概型有两个特征：（1）在一次随机试验中，不同的试验结果（基本事件）有无限多个（无限性）；（2）每一个基本事件发生的可能性相同（等可能性）． 一般来说，当基本事件的个数为无限时，会出现一些本质性的困难，使问题不像有限的情况那样容易解决，特别是对几何概型的“等可能性”的理解． 事实上，对“等可能性”的理解与否，直接影响了对几何概型概念的理解．

案例过程

习题若a，b是从（0，6）中任取的两个数，求构成以a，b为直角边，且c<6的直角三角形的概率．

学生陷入深思中． 我环绕教室一周，发现学生A已快速地完成了问题，于是叫她上台板演. 学生A的解法我很满意． 解答过程为：（a，b）可以看成平面中的点． 试验的全部结果所构成的区域为U=｛（ａ，ｂ）0

师：A同学是利用了几何概型的公式来解决. 为什么是几何概型呢？

“因为它满足了几何概型的无限性与等可能性”，同学们异口同声地回答．

师：非常好！看来同学们理解了几何概型的概念．

“没问题吧？”我习惯性地问了一下．

“有”，突然学生B连手都不举就在下面激动地大喊一声．

“我的解法与同学A大同小异，但最后的结果却差之千里！不知问题出在哪里？”学生B一脸的疑惑．

学生B给出了下面的解答：

试验的全部结果所构成的区域为U=｛（ａ，ｂ）0

A=｛（ａ，ｂ）0＜ａ2＋ｂ2＜36，0＜ａ＜6，0＜ｂ＜6｝． 作变换u=a2，v=b2，则U=｛（ｕ，ｖ）0＜ｕ＜36，0＜ｖ＜36｝，这样的点（ｕ，ｖ）也是一个正方形区域，面积为SU=36×36． 此时，A=｛（ｕ，ｖ）0＜ｕ＋ｖ＜36，0＜ｕ＜36，0＜ｖ＜36｝. 组成区域D（如图2中的阴影部分），则P（Ａ）＝．

看着黑板上同学B的解答过程，大家都愣了，接着教室里就闹开了，“奇怪！这种解法似乎也合情合理，到底错在哪儿呢？”同学们低声议论着.

“问题肯定在变换，经过换元变换后，范围变了，不等价了……”这是同学们讨论后所作出的直觉判断，似懂非懂的． 不可否认，大家都坚信学生A的解法没问题，但没有一位同学能讲清学生B的解法的问题所在．

我一下子也懵了． 由于还要继续讲授下面的内容，完成教学任务，更由于这是我课前没预料到的，我真想随和同学们的直觉判断，敷衍过去． 但新课程理念告诫我：“教师是学生亲密的伙伴，对学生在学习活动中的表现应给予充分的理解与尊重．”

经过冷静的思考，我隐隐约约感觉到问题的所在，但不露声色. “这不是引导学生进一步理解几何概型概念的好机会吗？”我心里暗喜，我要让学生自己去发现．

师：大家都坚信B同学的这种变换导致了问题的发生？

生：（异口同声）对！

师：那问题出在哪儿呢？

大家继续思考着，比划着，但不见进展.

师：同学B在换元后，还是利用了几何概型的公式（区域面积的比值）来解决的. 大家认为这样妥当吗？

师：（拉长了声音）除非……

生：变换后还是符合几何概型的要求！

师：对极了！符合吗？

学生陷入了沉思……

师：几何概型是一个均匀分布模型． 按这一要求，大家来审视一下学生B的做法．

教室里又是一片寂静……

“变换后的点（ｕ，ｖ）落在正方形区域内各点处不是等可能的”，寂静的教室传来了学生C那熟悉的声音.

学生C是班级的数学科代表，是一位善于思考、敢于发言的男生.

师：（顿了顿）学生C真是一个爱思考的学生，他为何会作出这样的判断？让我们共同来听一听，好吗？

生C：（有点不自信）老师，我这样解释不知行不行.

生C：先将（0，6）区间上的随机数分为（0，3）和［3，6）两部分，显然这两部分出现的数是等可能的. 按同学B所作的变换，若a∈（0，3），则u∈（0，9）；若a∈［3，6），则u∈［9，36），这样在区间（0，36）上产生的数u就不是均匀分布的． 同理，数v在区间（0，36）上也不是均匀分布的． 从而，点（ｕ，ｖ）落在正方形区域内各点处不是等可能的．

我为学生C的这种解释不禁拍案叫绝，当然，这也引来了其他同学的片片喝彩……

大家都有一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉.

疑惑的解决，使同学们兴奋不已，大家意犹未尽，学生D又有想法了.

生D：我们教材上的例题都有对均匀随机数进行变换，比如例4利用随机模拟方法计算y=1和y=x2所围成的部分的面积（人教版必修3第140页）. 在正确解答中，其中第一步是利用计算器或计算机产生两组0~1区间的均匀随机数，a1=RAND，b=RAND；第二步进行平移和伸缩变换，a=2a1－1. 变换的目的是将一组（0，1）区间上的随机数变换为（－1，1）区间上的数. 我若作如下变换：a=2a-1，虽然也能保证将（0，1）区间上的随机数变换为（－1，1）区间上的数，但这种变换也是不符合几何概型的要求，对吗？

还未等我回答，学生E又发言了.

生E：老师，这种对应关系很多，我如果作变换a=+3，也不可以吧？

学生们的提问使我又吃惊又内疚. 吃惊的是他们出色的表现，内疚的是自己对教材的解读不够，导致对例题的处理过于粗糙，没有真正挖掘其内在的知识，造成学生对“平移和伸缩变换”只知其然，不知其所以然.

师：同学们讲得非常有道理！将（0，1）区间上的随机数变换为（－1，1）区间上的数，这种变换不是唯一的，你们虽然保证了（0，1）区间与（－1，1）区间上的数一一对应，但这种变换都不符合几何概型中“等可能性”的要求.

经过同学们的认真思考与讨论，大家终于对教材上“进行平移与伸缩变化”这句话知其所以然了，并进一步理解了几何概型的“等可能性”.

案例反思

社会建构主义理论认为：学生只有参与教学实践，参与问题探究，才能建立起自己的认知结构，才能灵活地运用所学知识解决实际问题，才能有发展、有创新． 因此，在课堂教学中，老师们应该做到以下三点.

1.?摇 教师要善待学生的发问

李政道教授说过：“我们学习知识，目的是要做‘学问’，学习，就是学习问问题，学习怎样问问题．”因此，我们不仅要正确对待学生的哪怕是奇思妙想的发问，而且要鼓励、指导学生积极、大胆地去提出问题，有的放矢地引导学生分析问题、发现探索． 不能为了所谓的“教学任务”，敷衍了事，更不能为了所谓的“师道尊严”，扼杀学生的创新意识．

2.?摇 教师要善于利用错误，加强“反思能力”的培养

建构主义学习观认为：学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须是一个“自我否定”的过程，而“自我否定”又以自我反省，特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提． 因此，在教学活动中，教师要善于抓住学生犯错的机会，并及时引发这种“观念冲突”，让学生以己之矛攻己以盾，在集体讨论中以集体反思的力量强化个人的反思，促使学生进行再认识，以求得新的深刻理解． 只要我们把来自学生的错误当作一种宝贵的课程资源加以研究、开发和利用，进行制错教学，就可以取得良好的教学效果.

3．?摇 教师要充分挖掘教材例（习）题的教学功能

练习题引发反思 篇10

[案例]

在一次作业中, 学生碰到这样一道题:某商场打折促销, 凡购买价值200元以上的商品, 优惠20%, 那么用300元最多可买价值多少元钱的商品?

对于这样一道习以为常的题目, 我认为学生要解决它并不成问题, 无非是求单位“1”的量。然而事与愿违, 学生的答案让我大跌眼镜。批改作业时, 我发现学生主要有以下两种解法:

解法一:300+300×20%=360 (元)

解法二:300÷ (1-20%) =375 (元)

[分析]

为什么学生会有这两种解法?他们是怎样思考的?这两种解法都有道理吗?我决定先听听学生的想法。

执“解法一”的代表:我拿300元去买商品, 如果买一件300元的商品, 老板会优惠300元的20%, 即300×20%=60 (元) , 我还可以拿这60元买别的东西。所以我认为总共可以买到360元的商品。

执“解法二”的代表:商品优惠20%, 实际上就是比原价低20%, 300元是现价, 买的商品就是原价, 求原价可以用300÷ (1-20%) 这个算式来解决, 结果是375元。而且我也验证过了, 买一件375元的商品, 优惠20%, 实际上就是原价的80%, 正好是300元。

听着这位同学的讲述, 学生们都不时地点头赞同, 觉得这种方法也无可厚非。经过比较、讨论之后, 大家都觉得第二种更合理, 因为它用300元买到了375元的商品, 更值!

那么, 同一道题为何会有两种答案?从现实意义上来讲, 采用方法二的人更精明, 相对来说采用方法一的人稍稍吃了点小亏。但方法一“亏”在哪儿呢?

我把这个问题抛给学生, 没想到一石激起千层浪, 学生的思维一下子被点燃了。

生1:我知道了。方法一是把300元看做单位“1”, 结果只优惠了300元的20%, 即60元;而方法二实际上是把375元看做单位“1”, 结果优惠了375元的20%, 即75元, “亏”在单位“1”上。

生2:方法二统筹考虑了问题, 比较全面;而方法一只考虑到现有的钱, 即300元, 有些片面了。

生3:老师, 我觉得用方法一照样可以买到375元的商品。我先在商店里花300元买300元的商品, 老板会找我300元的20%, 即60元。然后我再拿这60元买别的商品, 由于我原先花300元超过了200元, 这次花60元照样可以得到20%的优惠, 这样我又可以买到75元的商品。合计后, 我总共花300元钱买到了375元的商品。

我不禁为学生的缜密思考叫好。听了第三位学生的发言, “亏”在哪儿已是相当明了:优惠的60元钱也要优惠, 就可以买到75元的商品。此时, 这道题的结果已经不那么重要了, 重要的是学生通过思考、质疑、讨论甚至争论, 大胆地阐述了自己的观点, 对此题的研究也更为深刻了。

[反思]

笔者认为, 盈亏问题应当引起教师的重视。面对上述案例, 不少教师常常一笔带过, 或是讲解一下出错率高的现状, 帮助学生借助数量关系理解掌握方法二即可, 很少会进一步去探讨方法, 认为那样是“画蛇添足”, 学生理解不了。但从学生的积极性来看, 他们还是更乐意接受这样的挑战。此间, 他们精彩的语言表述、精密的思维能力, 张扬的个性都得到充分的展示, 逻辑思维能力得到了锻炼。