立体几何知识点总结

2024-10-25

立体几何知识点总结（共10篇）

立体几何知识点总结篇1

高中立体几何知识点总结

1.棱柱、棱锥、棱(圆)台的本质特征

⑴棱柱：①有两个互相平行的面(即底面平行且全等)，②其余各面(即侧面)每相邻两个面的公共边都互相平行(即侧棱都平行且相等)。

⑵棱锥：①有一个面(即底面)是多边形，②其余各面(即侧面)是有一个公共顶点的三角形。

⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点，②两底面是平行且相似的多边形。

⑷圆台：①平行于底面的截面都是圆，②过轴的截面都是全等的等腰梯形，③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点。

2.圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式

3.线线平行常用方法总结

(1)定义：在同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线。

(2)公理：在空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行。

(3)线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。

(4)线面垂直的性质：如果两条直线同时垂直于同一平面，那么两直线平行。

(5)面面平行的性质：若两个平行平面同时与第三个平面相交，那么两条交线平行。

4.线面平行的判定方法。

(1)定义：直线和平面没有公共点。

(2)判定定理：若不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

(3)面面平行的性质：两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。

(4)线面垂直的性质：平面外于已知平面的垂线垂直的直线平行于已知平面。

5.判定两平面平行的方法。

(1)依定义采用反证法;

(2)利用判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

(3)利用判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面内的两条直线，则这两平面平行。

(4)垂直于同一条直线的两个平面平行。

(5)平行于同一个平面的两个平面平行。

6.证明线线垂直的方法

(1)利用定义。

(2)线面垂直的性质：如果一条直线垂直于这个平面，那么这条直线垂直于这个平面的任何一条直线。

7.证明线面垂直的方法

(1)线面垂直的定义。

(2)线面垂直的判定定理1：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，那么，这条直线与这个平面垂直。

(3)线面垂直的判定定理2：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于平面。

(4)面面垂直的性质：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

(5)若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，那么这条直线必定垂直于另一个平面。

8.判定两个平面垂直的方法

(1)利用定义。

(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。

9.其他定理

夹在两平行平面之间的平行线段相等。

经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行。

两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。

10.空间直线和平面的位置关系

直线与平面相交、直线在平面内、直线与平面平行

直线在平面外——直线和平面相交或平行，记作aα包括a∩α=A和a∥α

11.空间平面与平面的位置关系

垂直于同一个平面的所有直线(即平面的垂线)互相平行;

垂直于同一条直线的所有平面(即直线的垂面)互相平行。

立体几何知识点总结篇2

一、从知识的形成过程去引入新课

数学教学主要是思维活动的教学.知识的形成过程无论对于学生掌握知识还是发展能力或是提高学习兴趣都有着重要的意义和作用.

如“直线和平面所成的角”这个概念的具体形成过程是如何的呢?怎样使学生理解和掌握这个概念的本质和定义的合理性呢?如果直接给出定义或“照本宣科”是容易做到的.但若这样, 理解和掌握这个概念的本质和定义的合理性就难做到了, 发展学生的思维能力和培养学生正确的空间观念就失去了好时机.

这个概念是如何形成的呢?我们可以从以下5点去说明.

1.我们在此之前已经知道两条直线不论相交、平行或异面都可以用角来表示它们之间方向上的差异.

2.直线和平面平行时, 因为直线只向两个方向延伸, 而平面是可以向平面上任一方向延伸, 即直线和平面平行时不会有方向上的差异.

3.直线和平面相交时, 直线只有向上、向下 (或斜上、斜下) 两个方向延伸, 而平面在面上的四面八方都可以延伸.这样直线和平面相交时就产生了方向上的差异, 应该考虑用角来表示这种差异.

4.怎样去定义直线和平面相交所成的角呢?角是有顶点有两边的.在这里角的顶点可以在直线和平面相交的交点上.一边可以在直线上, 那么另一边在哪里呢?容易回答是在平面内, 并且一定过交点.

5.在平面内过交点的直线有无数条, 哪一条是呢?易想到直线在平面上的射影只有一条.这个射影就是角的另一边所在了.

当学生理解了上述5点后, 理解和掌握直线和平面所成的角这个概念就比较自然了, 理解和掌握教材的相关内容就相对容易了, 以后学生运用这个概念去解决问题时就相对灵活和自然了.

二、从知识的产生背景介绍引入新课

知识的产生一般都有某种背景, 学生不了解这些背景, 就不知道为什么要学习这些知识, 也就无法真正理解和掌握这些知识, 这样就提不起兴趣主动去学习这些知识, 当然就谈不上灵活运用这些知识了.但教材由于种种限制不可能将每一知识产生的背景一一介绍, 因而教师就可适时地把知识产生的背景介绍给学生, 从而引入新课.

如两条异面直线所成的角和两条异面直线的距离这两个概念, 学生一般都会问:为什么要学习这两个概念呢?这只能从这两个概念产生的背景来说明.但是这个概念产生的背景是什么呢?教材内容里并没有讲清楚.

教师拿着表示异面直线的两根小棒稍做演示:拉开、转动等即知两条异面直线的相互位置不同于相交直线或平行直线仅用一个角或一个距离就可以刻画其相互位置关系.而必须同时用两个量“两条异面直线所成的角”和“两条异画直线的距离”来共同刻画表示, 这是由异面直线的本质所决定的.这两个概念也决定了异面直线的空间结构, 其产生的背景也说明了这两个概念的作用.

三、从知识的应用引入新课

首先是从学生熟知的应用实例引入新课.普通高中数学教材本身也强调了“从具体到抽象”等, 但直接从应用实例, 尤其是从学生熟知的应用实例引入新课的内容并不多见, 在立体几何内容中偶有介绍也是先介绍知识再介绍相关的应用实例.这样对调动学生参与学习过程, 发挥学生的主动性起不了多大的作用.教师在教学中应注意结合教材内容从应用实例中开讲而引入.如讲授平面的基本性质时, 可以先问:我们安放自行车时为什么不会倒下?怎样检查楼面的地板是否平整?从而引出“不在一条直线上的三点确定一个平面”的性质及推论“两条相交直线确定一个平面”.接着趁学生有兴趣和注意力高度集中时再介绍性质1、性质2及推论等.这样的例子是学生熟知的, 知识是实实在在的.这样做学生的兴趣和注意力会很快地进入到主要内容的学习中去, 把平面的基本性质化作学生自己脑子里的一个实实在在的空间观念.

其次是从贴近生活的实际应用中引入新课.知识的应用是多方面的, 而贴近生活实际的应用更易提起学生的学习兴趣和积极性, 立体几何知识在日常生活实际中应用的例子是比较多的.如讲授“二面角”时, 我们不要直接讲授二面角的定义, 而可以先问大家常说的“墙角”“屋角”到底指的是怎样的“角”, 从而引出二面角的定义.如讲授“平面与平面垂直的判定”时, 我们可讲建筑工人砌墙时是如何操作的等.又如讲授“直线和平面垂直的判定”时, 我们可以讲, 常说旗杆是直立的, 那么当初竖起这长长的旗杆时怎样才能保证其直立呢?等等.这些例子都是从知识的直接应用而引入新课的教学.这样做使学生明确了立体几何知识是有用的, 数学是有用的.同时又为学生进入主要内容的学习搭起一个较低的台阶, 空间想象力和空间观念就可以慢慢地培养起来.

立体几何核心知识点梳理篇3

1.平面；平面的基本性质；平面图形直观图的画法.

2.两条直线的位置关系；平行公理；等角定理；异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念.

3.直线和平面的位置关系；直线和平面平行的判定与性质；直线和平面垂直的判定与性质；点到平面的距离；斜线在平面上的射影.

4.两个平面的位置关系；平面平行的判定与性质；平行平面间的距离；二面角及其平面角；两个平面垂直的判定与性质.

5.（理科）空间向量共线、共面的充分必要条件，空间向量的加法、减法及数乘运算，空间向量的坐标表示，空间向量的数量积，空间向量的共线与垂直，直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量求立体几何中的角.

二、考试要求

1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（特别是平行和垂直关系）.

2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题.对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆.

3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图.能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系.

4.（理科）会用空间向量计算线线角，线面角，面面角.

三、考点简析

1.空间元素的位置关系

空间由点，线，面3个元素构成，立体几何主要研究线和线，点和面，线和面，面和面之间的关系.

两条直线关系包括相交，平行，异面；直线和平面之间的关系包括线在面内，线面相交（包括斜交和垂直），线面平行；面面关系包括面面相交（包括斜交和垂直），面面平行.

2.平行、垂直位置关系的转化

立体几何中的证明只要围绕着平行和垂直展开.线线平行，线面平行，面面平行证明是相互依赖的，线线垂直，线面垂直，面面垂直也是相互依赖.需要对每一种关系的判定定理和性质定理充分理解，证明过程中，需要列出相应的条件，得出结论.

3.棱柱、棱锥、棱台、球等空间几何体

几何图形的知识点总结篇4

(1)立体几何图形可以分为以下几类：

第一类：柱体;

包括：圆柱和棱柱，棱柱又可分为直棱柱和斜棱柱，棱柱体按底面边数的多少又可分为三棱柱、四棱柱、N棱柱;

棱柱体积统一等于底面面积乘以高，即V=SH，

第二类：锥体;

包括：圆锥体和棱锥体，棱锥分为三棱锥、四棱锥以及N棱锥;

棱锥体积统一为V=SH/3，

第三类：球体;

此分类只包含球一种几何体，

体积公式V=4πR3/3，

其他不常用分类：圆台、棱台、球冠等很少接触到。

大多几何体都由这些几何体组成。

(2)平面几何图形如何分类

a.圆形

b.多边形：三角形(分为一般三角形，直角三角形，等腰三角形，等边三角形)、四边形(分为不规则四边形，体形，平行四边形，平行四边形又分：矩形，菱形，正方形)、五边形、六……

注：正方形既是矩形也是菱形

立体几何知识点总结篇5

查字典大学网为大家整理了空间几何体知识点总结，供大家参考和学习，希望对大家的数学学习和数学成绩的提高有所帮助。

空间几何体是存在的在我们的周围的大量的现实里，大千世界，纷纷扰扰，无奇不有，似有似无的规律，令人着迷，事实上，只要我们用心，功夫定不负人，一定会发现空间几何体的真谛，当你发现了空间几何体奥秘，你对数学中的那团迷雾将一去不复返。你将在未来的学习中更有冲劲。

高一数学第一章空间几何体知识点，考点总结。

1.1 空间几何体的结构

1、柱体的特征

(4)首先，棱柱的特征：有互相平行的大小相同的两个面，其他的面都是平行四边形(这次并不要求大小相同)，这些面的公共边互相平行，综合起来这就是棱柱的概念。引导学生对棱柱进行归类，比如斜棱柱和直棱柱，直至正棱柱;由学生得出自己的高和斜高。

接着，让学生观察的得到圆柱的特征。通过类比。比较棱柱和圆柱异同点。两者称为柱体。

2、锥体的特征

3、台体的特征

4、球的特征

1.2 空间几何体的三视图和直观图

1.3 空间几何体的表面积与体积

邮票中的几何知识篇6

同学们知道,长方形的每个内角都是直角,用形状大小完全相同的长方形,不但能铺满平面,而且能铺满纸面上的一个长方形区域. 所以,把邮票设计成长方形的,排版、打齿孔、使用都很方便,而且还节约材料. 横长方形适于表现水平方向延展的内容,竖长方形则适于表现垂直方向提升的画面,长边和短边的比在1∶1.2至1∶1.8之间居多,符合1∶2比例或黄金分割0.618比例,感觉比较舒服.

右图为2008年北京奥运会福娃邮票.

有些邮票由于题材的需要,或为引起人们的注意,而采用除长方形以外的形状. 这类非长方形邮票被称为异型邮票.

世界上发行异形邮票最多的国家是塞拉利昂,他们先后发行了地图形邮票、钻石形邮票、可口可乐形邮票、香蕉形邮票等许多不同形状的邮票,非常有趣. 但是这些异形邮票没有能普遍推广使用,原因很简单,印制不方便.

不过,有些异形邮票得到了广泛的使用,三角形邮票就是其中的一种. 同学们知道,任意三角形的三个内角之和等于180°,如果把三角形的三个角围绕一点集中到一起,就能组成一个平角. 那么在平面上一个点的周围集中三角形的六个角,只要这些角的和为两个平角,它们的和就为360°,刚好覆盖上这一点周围的平面. 因为,用形状大小完全相同的三角形能铺满无限伸展的平面.所以把邮票设计成三角形的,在排版、打齿孔、使用时就会比较方便,也能节约材料.

右图是中国1951年发行的第一套三角形的纪念邮票,名为“保卫世界和平”,图案是和平鸽,共计三张,面值分别是当时的人民币400元、800元和2 200元(相当于现在的人民币4分、8分和22分).这套邮票的规格是腰37底52,腰与底的比例接近黄金比,这样给人以美感,提升了邮票的魅力.

2000年11月20日,中国邮政部门发行了第二套三角形纪念邮票———《中国“神舟”飞船首飞成功纪念》,票形是等边三角形的,该套邮票共两枚,图案分别为“火箭腾飞”和“飞船遨游”.

平面几何知识在解析几何中的应用篇7

当问题涉及求两条线段长度的和（或差）的最值时，

可联系三角形的三边关系

例1 已知椭圆+=1内有两点A（2，2），B（3，0），P为椭圆上一点，则PA+PB的最大值是 .

分析：使用解析几何知识列式计算，过程相当繁杂，若根据三角形两边之差小于第三边来求解，则快捷许多.

解：如图1所示，B为椭圆+=1的右焦点，设椭圆的左焦点为F（-3，0），则AF==.由椭圆方程可知a=5，所以PF+PB=2a=10.

结合三角形三边关系可知：PA+PB=PA+10-PF≤AF+10=10+，当且仅当P与AF的延长线与椭圆的交点P′重合时取等号，所以PA+PB的最大值是10+.

评注：解例1的关键是把PA+PB转化为PA-PF+10，涉及求两条线段长度之差的最值，自然联想到三角形的性质.思考方向是：活用定义，化折为直.

当问题中有正三角形、直角三角形时，

不妨考虑用其边角关系

例2 过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于 .

（A）（B）

（C）（D） 8

分析：例2的常规解法是设法求出线段AB的中垂线方程，再求出点P的坐标，进而求出PF的长，过程复杂且运算量大.若从平面几何角度入手，则较为简单.

解：如图2所示，抛物线的准线l交x轴于点E，AB的中垂线交自身于点Q，作AD=BF.因为Q为AB的中点，所以AQ=BQ，FQ=DQ.

作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，BB′⊥x轴于点B′.由抛物线知识可知：AF=AM，BF=BN，∠MAF=∠AFP=60°，所以△AMF是正三角形，∠AFM=60°，从而∠MFE=60° .因为∠FBN=120°，所以∠NFB=30° .又因为∠EFB=∠AFP=60°，所以∠EFN=30°.

因为EF=4，所以AF=MF==8，NE=EF·tan∠EFN=，BF===. 而QF=FD=（AF-BF）=，所以FP==.故答案为A.

评注：在例2的解法中，由抛物线的定义实现了抛物线上点到焦点和到准线距离之间的相互转化，然后通过挖掘图象中的正三角形和直角三角形等条件，利用其边角关系，从“形”出发求“数”. 思维途径是：构建直角三角形，寻找边角关系.

当问题中含有相似三角形时，

用好相似比

例3 设定点F到定直线l的距离为p（p>0），动点M在定直线l上，动点N在MF的延长线上，且满足=，建立适当的坐标系，求动点N的轨迹方程.

分析：首先要建立适当的坐标系，然后利用已知条件，构建相似三角形，确定动点的运动规律.

解：如图3所示，以l为y轴、过点F垂直于l的直线为x轴建立平面直角坐标系，则有F（p，0）.设N（x，y），过N作NQ垂直y轴于点Q.

因为=，所以=.由题意可知△MOF∽△MQN，所以====，化简得：（p2-1）x2-2p3x+p2y2+p4=0 （x>0）.

评注：若建立坐标系后直接求解例3，运算会比较烦琐.而运用相似三角形的相似比来解题，就使问题大大简化了.这类题的思维方向是：比例式？圯相似三角形？圯化归转化.

当问题涉及直线与圆的位置关系时，

应用圆心到直线的距离关系

例4 已知x，y满足x2+y2-4x+4y+4≤0，求x+2y的值的取值范围.

分析：配方后可得（x-2）2+（y+2）2≤4，其几何意义为以（2，-2）为圆心、2为半径的圆及其内部.设z=x+2y，则x+2y-z=0表示平面内的平行直线系，示意图如图4所示.问题转化为求直线与圆相交或相切时z的取值范围.

解：把已知的不等方程配方得（x-2）2+（y+2）2≤4，设z=x+2y. 由题意可得，直线l：x+2y-z=0与圆（x-2）2+（y+2）2=4的图象有公共点，故圆心（2，-2）到直线l的距离d==≤2，解得-2-2≤z≤-2+2，所以x+2y的取值范围为[-2-2，-2+2].

评注：处理直线与圆的位置关系问题，一般都用几何法，常常通过圆心到直线的距离关系求解. 其思维流程为：寻找关系？圯计算距离？圯列式求解.

当问题涉及三角形的内心时，

考虑使用角平分线的性质定理

例5 已知M是椭圆+=1上任意一点，F1，F2为椭圆的左右焦点，I是△MF1F2的内切圆圆心.求证：点M，I的纵坐标之比为定值.

分析：内心是三角形内角平分线的交点，若由角平分线的直线方程求交点，会导致烦琐的计算，而角平分线定理与比例有关，可简化运算.

证明：如图5所示，连结MI并延长交F1F2于点N，则M，I的纵坐标之比转化为.由角平分线的性质定理和等比定理得：=====，所以== （定值）.

评注：求解例5的时候要灵活使用角平分线定理和等比定理. 这类问题的思维过程可以归纳为：联想定理？圯合理转化？圯适量计算.

【练一练】

（1）过抛物线y2=4x的焦点F作弦AB，若弦AB所在直线的倾斜角为60°，则的值为 .

（2）过双曲线-=1（a>0，b>0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P. 若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是 .

（A）（B）

（C） 2 （D）

（3）求由直线y=0，x=1，y=x相交所成的三角形内切圆的方程.

【参考答案】

（1）解：如图6所示，分别作出点A，B在抛物线准线l上的投影A′，B′，则AA′⊥l，BB′⊥l；直线AC垂直BB′的延长线于点C.

设AF=m，BF=n.根据抛物线知识可知：BF=BB′=n，AF=AA′=B′C=m，BC=B′C-BB′=m-n，AB=m+n. 在直角△ABC中，cos60°===，解得=3，即=3.

（2）解：如图7所示，OM=a，OF=c，OM⊥PF且M为PF的中点，所以△OPF是等腰直角三角形，∠PFO=45°，所以OF==OM，即c=a. 所以e==. 答案为A.

（3）解：如图8所示，三条直线之间的交点分别记为O，A，B.作△OAB的内切圆C，切点分别为D，E，F，记圆心为C（a，b），半径为b.易知OB=AB=1，OA=，OB=OD+DB，即a+b=1 （①）.

结合圆的切线长定理知：OA=OF+AF=OD+AE=OD+AB-EB，即a+1-b=，得a-b=-1 （②）.

由①②两式解得：a=，b=. 所以圆C的方程是：x-2+y-2=2.

解析几何是用代数的方法解决几何问题，思路直接，但运算量大，如果能够挖掘问题中的平面几何要素，利用平面几何知识来协助求解，往往会事半功倍.

当问题涉及求两条线段长度的和（或差）的最值时，

可联系三角形的三边关系

例1 已知椭圆+=1内有两点A（2，2），B（3，0），P为椭圆上一点，则PA+PB的最大值是 .

分析：使用解析几何知识列式计算，过程相当繁杂，若根据三角形两边之差小于第三边来求解，则快捷许多.

解：如图1所示，B为椭圆+=1的右焦点，设椭圆的左焦点为F（-3，0），则AF==.由椭圆方程可知a=5，所以PF+PB=2a=10.

结合三角形三边关系可知：PA+PB=PA+10-PF≤AF+10=10+，当且仅当P与AF的延长线与椭圆的交点P′重合时取等号，所以PA+PB的最大值是10+.

评注：解例1的关键是把PA+PB转化为PA-PF+10，涉及求两条线段长度之差的最值，自然联想到三角形的性质.思考方向是：活用定义，化折为直.

当问题中有正三角形、直角三角形时，

不妨考虑用其边角关系

例2 过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于 .

（A）（B）

（C）（D） 8

分析：例2的常规解法是设法求出线段AB的中垂线方程，再求出点P的坐标，进而求出PF的长，过程复杂且运算量大.若从平面几何角度入手，则较为简单.

解：如图2所示，抛物线的准线l交x轴于点E，AB的中垂线交自身于点Q，作AD=BF.因为Q为AB的中点，所以AQ=BQ，FQ=DQ.

因为EF=4，所以AF=MF==8，NE=EF·tan∠EFN=，BF===. 而QF=FD=（AF-BF）=，所以FP==.故答案为A.

当问题中含有相似三角形时，

用好相似比

例3 设定点F到定直线l的距离为p（p>0），动点M在定直线l上，动点N在MF的延长线上，且满足=，建立适当的坐标系，求动点N的轨迹方程.

分析：首先要建立适当的坐标系，然后利用已知条件，构建相似三角形，确定动点的运动规律.

解：如图3所示，以l为y轴、过点F垂直于l的直线为x轴建立平面直角坐标系，则有F（p，0）.设N（x，y），过N作NQ垂直y轴于点Q.

因为=，所以=.由题意可知△MOF∽△MQN，所以====，化简得：（p2-1）x2-2p3x+p2y2+p4=0 （x>0）.

当问题涉及直线与圆的位置关系时，

应用圆心到直线的距离关系

例4 已知x，y满足x2+y2-4x+4y+4≤0，求x+2y的值的取值范围.

评注：处理直线与圆的位置关系问题，一般都用几何法，常常通过圆心到直线的距离关系求解. 其思维流程为：寻找关系？圯计算距离？圯列式求解.

当问题涉及三角形的内心时，

考虑使用角平分线的性质定理

例5 已知M是椭圆+=1上任意一点，F1，F2为椭圆的左右焦点，I是△MF1F2的内切圆圆心.求证：点M，I的纵坐标之比为定值.

分析：内心是三角形内角平分线的交点，若由角平分线的直线方程求交点，会导致烦琐的计算，而角平分线定理与比例有关，可简化运算.

证明：如图5所示，连结MI并延长交F1F2于点N，则M，I的纵坐标之比转化为.由角平分线的性质定理和等比定理得：=====，所以== （定值）.

评注：求解例5的时候要灵活使用角平分线定理和等比定理. 这类问题的思维过程可以归纳为：联想定理？圯合理转化？圯适量计算.

【练一练】

（1）过抛物线y2=4x的焦点F作弦AB，若弦AB所在直线的倾斜角为60°，则的值为 .

（2）过双曲线-=1（a>0，b>0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P. 若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是 .

（A）（B）

（C） 2 （D）

（3）求由直线y=0，x=1，y=x相交所成的三角形内切圆的方程.

【参考答案】

（1）解：如图6所示，分别作出点A，B在抛物线准线l上的投影A′，B′，则AA′⊥l，BB′⊥l；直线AC垂直BB′的延长线于点C.

设AF=m，BF=n.根据抛物线知识可知：BF=BB′=n，AF=AA′=B′C=m，BC=B′C-BB′=m-n，AB=m+n. 在直角△ABC中，cos60°===，解得=3，即=3.

（2）解：如图7所示，OM=a，OF=c，OM⊥PF且M为PF的中点，所以△OPF是等腰直角三角形，∠PFO=45°，所以OF==OM，即c=a. 所以e==. 答案为A.

结合圆的切线长定理知：OA=OF+AF=OD+AE=OD+AB-EB，即a+1-b=，得a-b=-1 （②）.

由①②两式解得：a=，b=. 所以圆C的方程是：x-2+y-2=2.

当问题涉及求两条线段长度的和（或差）的最值时，

可联系三角形的三边关系

例1 已知椭圆+=1内有两点A（2，2），B（3，0），P为椭圆上一点，则PA+PB的最大值是 .

分析：使用解析几何知识列式计算，过程相当繁杂，若根据三角形两边之差小于第三边来求解，则快捷许多.

解：如图1所示，B为椭圆+=1的右焦点，设椭圆的左焦点为F（-3，0），则AF==.由椭圆方程可知a=5，所以PF+PB=2a=10.

结合三角形三边关系可知：PA+PB=PA+10-PF≤AF+10=10+，当且仅当P与AF的延长线与椭圆的交点P′重合时取等号，所以PA+PB的最大值是10+.

评注：解例1的关键是把PA+PB转化为PA-PF+10，涉及求两条线段长度之差的最值，自然联想到三角形的性质.思考方向是：活用定义，化折为直.

当问题中有正三角形、直角三角形时，

不妨考虑用其边角关系

例2 过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于 .

（A）（B）

（C）（D） 8

分析：例2的常规解法是设法求出线段AB的中垂线方程，再求出点P的坐标，进而求出PF的长，过程复杂且运算量大.若从平面几何角度入手，则较为简单.

解：如图2所示，抛物线的准线l交x轴于点E，AB的中垂线交自身于点Q，作AD=BF.因为Q为AB的中点，所以AQ=BQ，FQ=DQ.

因为EF=4，所以AF=MF==8，NE=EF·tan∠EFN=，BF===. 而QF=FD=（AF-BF）=，所以FP==.故答案为A.

当问题中含有相似三角形时，

用好相似比

例3 设定点F到定直线l的距离为p（p>0），动点M在定直线l上，动点N在MF的延长线上，且满足=，建立适当的坐标系，求动点N的轨迹方程.

分析：首先要建立适当的坐标系，然后利用已知条件，构建相似三角形，确定动点的运动规律.

解：如图3所示，以l为y轴、过点F垂直于l的直线为x轴建立平面直角坐标系，则有F（p，0）.设N（x，y），过N作NQ垂直y轴于点Q.

因为=，所以=.由题意可知△MOF∽△MQN，所以====，化简得：（p2-1）x2-2p3x+p2y2+p4=0 （x>0）.

当问题涉及直线与圆的位置关系时，

应用圆心到直线的距离关系

例4 已知x，y满足x2+y2-4x+4y+4≤0，求x+2y的值的取值范围.

评注：处理直线与圆的位置关系问题，一般都用几何法，常常通过圆心到直线的距离关系求解. 其思维流程为：寻找关系？圯计算距离？圯列式求解.

当问题涉及三角形的内心时，

考虑使用角平分线的性质定理

例5 已知M是椭圆+=1上任意一点，F1，F2为椭圆的左右焦点，I是△MF1F2的内切圆圆心.求证：点M，I的纵坐标之比为定值.

分析：内心是三角形内角平分线的交点，若由角平分线的直线方程求交点，会导致烦琐的计算，而角平分线定理与比例有关，可简化运算.

证明：如图5所示，连结MI并延长交F1F2于点N，则M，I的纵坐标之比转化为.由角平分线的性质定理和等比定理得：=====，所以== （定值）.

评注：求解例5的时候要灵活使用角平分线定理和等比定理. 这类问题的思维过程可以归纳为：联想定理？圯合理转化？圯适量计算.

【练一练】

（1）过抛物线y2=4x的焦点F作弦AB，若弦AB所在直线的倾斜角为60°，则的值为 .

（2）过双曲线-=1（a>0，b>0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P. 若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是 .

（A）（B）

（C） 2 （D）

（3）求由直线y=0，x=1，y=x相交所成的三角形内切圆的方程.

【参考答案】

（1）解：如图6所示，分别作出点A，B在抛物线准线l上的投影A′，B′，则AA′⊥l，BB′⊥l；直线AC垂直BB′的延长线于点C.

设AF=m，BF=n.根据抛物线知识可知：BF=BB′=n，AF=AA′=B′C=m，BC=B′C-BB′=m-n，AB=m+n. 在直角△ABC中，cos60°===，解得=3，即=3.

（2）解：如图7所示，OM=a，OF=c，OM⊥PF且M为PF的中点，所以△OPF是等腰直角三角形，∠PFO=45°，所以OF==OM，即c=a. 所以e==. 答案为A.

结合圆的切线长定理知：OA=OF+AF=OD+AE=OD+AB-EB，即a+1-b=，得a-b=-1 （②）.

初二下册数学几何知识点篇8

②长方体、圆柱、球、长(正)方形、圆、线段、点等，以及小学学习过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形(geometric figure)。几何图形是数学研究的主要对象之一。

③有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形 (solid figure)。棱柱、棱锥也是常见的立体图形。

④有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形(plane figure)。

高中数学平面解析几何知识点篇9

平面解析几何基本理论

坐标

在解析几何当中，平面给出了坐标系，即每个点都有对应的一对实数坐标。最常见的是笛卡儿坐标系，其中，每个点都有x-坐标对应水平位置，和y-坐标对应垂直位置。这些常写为有序对(x,y)。这种系统也可以被用在三维几何当中，空间中的每个点都以多元组呈现(x,y,z)。坐标系也以其它形式出现。在平面中最常见的另类坐标系是极坐标系，其中每个点都以从原点出发的半径r和角度θ表示。在三维空间中，最常见的另类坐标系统是圆柱坐标系和球坐标系。

曲线方程

在解析几何当中，任何方程都包含确定面的子集，即方程的解集。例如，方程y=x在平面上对应的是所有x-坐标等于y-坐标的解集。这些点汇集成为一条直线，y=x被称为这道方程的直线。总而言之，线性方程中x和y定义线，一元二次方程定义圆锥曲线，更复杂的方程则阐述更复杂的形象。通常，一个简单的方程对应平面上的一条曲线。但这不一定如此：方程x=x对应整个平面，方程x2+y2=0只对应(0,0)一点。在三维空间中，一个方程通常对应一个曲面，而曲线常常代表两个曲面的交集，或一条参数方程。方程x2+y2=r代表了是半径为r且圆心在(0,0)上的所性病

距离和角度

在解析几何当中，距离、角度等几何概念是用公式来表达的。这些定义与背后的欧几里得几何所蕴含的主旨相符。例如，使用平面笛卡儿坐标系时，两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离d(又写作|AB|被定义为

上述可被认为是一种勾股定理的形式。类似地，直线与水平线所成的角可以定义为

其中m是线的斜率。

变化

变化可以使母方程变为新方程，但保持原有的特性。

交集

主题问题编辑解析几何中的重要问题：

向量空间

平面的定义

距离问题

点积求两个向量的角度

外积求一向量垂直于两个已知向量(以及它们的空间体积)

平面解析几何初步综合检测

一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.直线3ax-y-1=0与直线(a-23)x+y+1=0垂直，则a的值是

A.-1或13 B.1或13

C.-13或-1 D.-13或1

解析：选D.由3a(a-23)+(-1)1=0，得a=-13或a=1.

2.直线l1：ax-y+b=0，l2：bx-y+a=0(a0，b0，ab)在同一坐标系中的图形大致是图中的()

解析：选C.直线l1：ax-y+b=0，斜率为a，在y轴上的截距为b，

设k1=a，m1=b.直线l2：bx-y+a=0，斜率为b，在y轴上的截距为a，

设k2=b，m2=a.

由A知：因为l1∥l2，k1=k20，m10，即a=b0，b0，矛盾.

由B知：k1k2，m10，即ab，b0，矛盾.

由C知：k10，m20，即a0，可以成立.

由D知：k10，m2m1，即a0，ab，矛盾.

3.已知点A(-1,1)和圆C：(x-5)2+(y-7)2=4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是()

A.62-2 B.8

C.46 D.10

解析：选B.点A关于x轴对称点A(-1，-1)，A与圆心(5,7)的距离为5+12+7+12=10.所求最短路程为10-2=8.

4.圆x2+y2=1与圆x2+y2=4的位置关系是()

A.相离 B.相切

C.相交 D.内含

解析：选D.圆x2+y2=1的圆心为(0,0)，半径为1，圆x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心距02-1=1，所以两圆内含.

5.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a0)及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为23时，a的值等于()

A.2 B.2-1

C.2-2 D.2+1

解析：选B.圆心(a,2)到直线l：x-y+3=0的距离d=|a-2+3|2=|a+1|2，依题意|a+1|22+2322=4，解得a=2-1.

6.与直线2x+3y-6=0关于点(1，-1)对称的直线是()

A.3x-2y-6=0

B.2x+3y+7=0

C.3x-2y-12=0

D.2x+3y+8=0

解析：选D.∵所求直线平行于直线2x+3y-6=0，

设所求直线方程为2x+3y+c=0，

由|2-3+c|22+32=|2-3-6|22+32，

c=8，或c=-6(舍去)，

所求直线方程为2x+3y+8=0.

7.若直线y-2=k(x-1)与圆x2+y2=1相切，则切线方程为()

A.y-2=34(1-x)

B.y-2=34(x-1)

C.x=1或y-2=34(1-x)

D.x=1或y-2=34(x-1)

解析：选B.数形结合答案容易错选D，但要注意直线的表达式是点斜式，说明直线的斜率存在，它与直线过点(1,2)要有所区分.

8.圆x2+y2-2x=3与直线y=ax+1的公共点有()

A.0个 B.1个

C.2个 D.随a值变化而变化

解析：选C.直线y=ax+1过定点(0,1)，而该点一定在圆内部.

9.过P(5,4)作圆C：x2+y2-2x-2y-3=0的切线，切点分别为A、B，四边形PACB的面积是()

A.5 B.10

C.15 D.20

解析：选B.∵圆C的圆心为(1,1)，半径为5.

|PC|=5-12+4-12=5，

|PA|=|PB|=52-52=25，

S=122552=10.

10.若直线mx+2ny-4=0(m、nR，nm)始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长，则mn的取值范围是()

A.(0,1) B.(0，-1)

C.(-，1) D.(-，-1)

解析：选C.圆x2+y2-4x-2y-4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=9，直线mx+2ny-4=0始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以2m+2n-4=0，即m+n=2，mn=m(2-m)=-m2+2m=-(m-1)2+11，当m=1时等号成立，此时n=1，与“mn”矛盾，所以mn<1.

11.已知直线l：y=x+m与曲线y=1-x2有两个公共点，则实数m的取值范围是()

A.(-2,2) B.(-1,1)

C.[1，2) D.(-2，2)

解析：选C. 曲线y=1-x2表示单位圆的上半部分，画出直线l与曲线在同一坐标系中的图象，可观察出仅当直线l在过点(-1,0)与点(0,1)的直线与圆的上切线之间时，直线l与曲线有两个交点.

当直线l过点(-1,0)时，m=1;

当直线l为圆的上切线时，m=2(注：m=-2，直线l为下切线).

12.过点P(-2,4)作圆O：(x-2)2+(y-1)2=25的切线l，直线m：ax-3y=0与直线l平行，则直线l与m的距离为()

A.4 B.2

C.85 D.125

解析：选A.∵点P在圆上，

切线l的斜率k=-1kOP=-11-42+2=43.

直线l的方程为y-4=43(x+2)，

即4x-3y+20=0.

又直线m与l平行，

直线m的方程为4x-3y=0.

故两平行直线的距离为d=|0-20|42+-32=4.

二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)

13.过点A(1，-1)，B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是________.

解析：易求得AB的中点为(0,0)，斜率为-1，从而其垂直平分线为直线y=x，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线x+y-2=0联立得到圆心O(1,1)，半径r=|OA|=2.

答案：(x-1)2+(y-1)2=4

14.过点P(-2,0)作直线l交圆x2+y2=1于A、B两点，则|PA||PB|=________.

解析：过P作圆的切线PC，切点为C，在Rt△POC中，易求|PC|=3，由切割线定理，|PA||PB|=|PC|2=3.

答案：3

15.若垂直于直线2x+y=0，且与圆x2+y2=5相切的切线方程为ax+2y+c=0，则ac的值为________.

解析：已知直线斜率k1=-2，直线ax+2y+c=0的斜率为-a2.∵两直线垂直，(-2)(-a2)=-1，得a=-1.圆心到切线的距离为5，即|c|5=5，c=5，故ac=5.

答案：5

16.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范围是__________.

解析：将圆x2+y2-2x+4y+4=0化为标准方程，

得(x-1)2+(y+2)2=1，圆心为(1，-2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d=|31+4-2+m|32+42=|m-5|5>1，

m<0或m>10.

答案：(-，0)(10，+)

三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.三角形ABC的边AC，AB的高所在直线方程分别为2x-3y+1=0，x+y=0，顶点A(1,2)，求BC边所在的直线方程.

解：AC边上的高线2x-3y+1=0，

所以kAC=-32.

所以AC的方程为y-2=-32(x-1)，

即3x+2y-7=0，

同理可求直线AB的方程为x-y+1=0.

下面求直线BC的方程，

由3x+2y-7=0，x+y=0，得顶点C(7，-7)，

由x-y+1=0，2x-3y+1=0，得顶点B(-2，-1).

所以kBC=-23，直线BC：y+1=-23(x+2)，

即2x+3y+7=0.

18.一束光线l自A(-3,3)发出，射到x轴上，被x轴反射后与圆C：x2+y2-4x-4y+7=0有公共点.

(1)求反射光线通过圆心C时，光线l所在直线的方程;

(2)求在x轴上，反射点M的横坐标的取值范围.

解：圆C的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=1.

(1)圆心C关于x轴的对称点为C(2，-2)，过点A，C的直线的方程x+y=0即为光线l所在直线的方程.

(2)A关于x轴的对称点为A(-3，-3)，

设过点A的直线为y+3=k(x+3).

当该直线与圆C相切时，有|2k-2+3k-3|1+k2=1，解得k=43或k=34，

所以过点A的圆C的两条切线分别为y+3=43(x+3)，y+3=34(x+3).

令y=0，得x1=-34，x2=1，

所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是[-34，1].

19.已知圆x2+y2-2x-4y+m=0.

(1)此方程表示圆，求m的取值范围;

(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OMON(O为坐标原点)，求m的值;

(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程.

解：(1)方程x2+y2-2x-4y+m=0，可化为

(x-1)2+(y-2)2=5-m，

∵此方程表示圆，

5-m>0，即m<5.

(2)x2+y2-2x-4y+m=0，x+2y-4=0，

消去x得(4-2y)2+y2-2(4-2y)-4y+m=0，

化简得5y2-16y+m+8=0.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则

y1+y2=165， ①y1y2=m+85. ②

由OMON得y1y2+x1x2=0

即y1y2+(4-2y1)(4-2y2)=0，

16-8(y1+y2)+5y1y2=0.

将①②两式代入上式得

16-8165+5m+85=0，

解之得m=85.

(3)由m=85，代入5y2-16y+m+8=0，

化简整理得25y2-80y+48=0，解得y1=125，y2=45.

x1=4-2y1=-45，x2=4-2y2=125.

M-45，125，N125，45，

MN的中点C的坐标为45，85.

又|MN|= 125+452+45-1252=855，

所求圆的半径为455.

所求圆的方程为x-452+y-852=165.

20. 已知圆O：x2+y2=1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，|PQ|=|PA|成立，如图.

(1)求a、b间关系;

(2)求|PQ|的最小值;

(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程.

解：(1)连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，

又|PQ|=|PA|，

所以|OP|2=|OQ|2+|PQ|2

=1+|PA|2，

所以a2+b2=1+(a-2)2+(b-1)2，

故2a+b-3=0.

(2)由(1)知，P在直线l：2x+y-3=0上，

所以|PQ|min=|PA|min，为A到直线l的距离，

所以|PQ|min=|22+1-3|22+12=255.

(或由|PQ|2=|OP|2-1=a2+b2-1=a2+9-12a+4a2-1=5a2-12a+8=5(a-1.2)2+0.8，得|PQ|min=255.)

(3)以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点与l垂直的直线l与l的交点P0，所以r=322+12-1=355-1，

又l：x-2y=0，

联立l：2x+y-3=0得P0(65，35).

所以所求圆的方程为(x-65)2+(y-35)2=(355-1)2.

21.有一圆与直线l：4x-3y+6=0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程.

解：法一：由题意可设所求的方程为(x-3)2+(y-6)2+(4x-3y+6)=0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得=-1，所以所求圆的方程为x2+y2-10x-9y+39=0.

法二：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，

则圆心为C(a，b)，由|CA|=|CB|，CAl，得

3-a2+6-b2=r2，5-a2+2-b2=r2，b-6a-343=-1，解得a=5，b=92，r2=254.所以所求圆的方程为(x-5)2+(y-92)2=254.

法三：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由CAl，A(3,6)，B(5,2)在圆上，得

32+62+3D+6E+F=0，52+22+5D+2E+F=0，-E2-6-D2-343=-1，解得D=-10，E=-9，F=39.

所以所求圆的方程为x2+y2-10x-9y+39=0.

法四：设圆心为C，则CAl，又设AC与圆的另一交点为P，则CA的方程为y-6=-34(x-3)，

即3x+4y-33=0.

又因为kAB=6-23-5=-2，

所以kBP=12，所以直线BP的方程为x-2y-1=0.

解方程组3x+4y-33=0，x-2y-1=0，得x=7，y=3.所以P(7,3).

所以圆心为AP的中点(5，92)，半径为|AC|=52.

所以所求圆的方程为(x-5)2+(y-92)2=254.

22.如图在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2：(x-4)2+(y-5)2=4.

(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程;

(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等.试求所有满足条件的点P的坐标.

解：(1)由于直线x=4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=k(x-4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为圆C1被直线l截得的弦长为23，所以d=22-32=1.

由点到直线的距离公式得d=|1-k-3-4|1+k2，

从而k(24k+7)=0，即k=0或k=-724，

所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.

(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a)，k0，则直线l2的方程为y-b=-1k(x-a).因为圆C1和C2的半径相等，且圆C1被直线l1截得的弦长与圆C2被直线l2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即

|1-k-3-a-b|1+k2=|5+1k4-a-b|1+1k2，

整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|，从而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk，即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5，因为k的取值有无穷多个，所以

a+b-2=0，b-a+3=0，或a-b+8=0，a+b-5=0，

解得a=52，b=-12，或a=-32，b=132.

这样点P只可能是点P152，-12或点P2-32，132.

几何画板的基本知识（上）篇10

几何画板绝大部分的作图是利用菜单命令来实现的。它们既包括命令本身的功能，也包括激活该命令的条件。在熟悉各个菜单命令功能的同时，还需要熟悉执行命令的快捷方式。

一、几何画板的工作界面

如图1所示，几何画板的窗口由标题栏、菜单栏、工具栏、绘图区、滚动条和状态栏构成。左边的工具箱自上而下排列的工具依次为“选择箭头工具”、“点工具”、“圆规工具”、“直尺工具”、“文本工具”和“自定义工具”。

二、几何画板的工具箱

1.选择箭头工具

“选择箭头工具”按钮的右下角有一个小小的黑色三角，表示该按钮下还有其他的系列工具。将鼠标指针移到这个按钮上，按住鼠标左键不放，旁边会弹出一个选择板，其中包含3个按钮。这3个按钮分别是“选择工具”，“旋转工具”和“缩放工具”。默认状态是“选择工具”。其中，“旋转工具”用于旋转选中的对象，“缩放工具”用于缩放选中的对象。

2.点工具

选中该工具后，在绘图区的空白处单击，就绘出一个自由的点；在圆周（弧）、线段（直线或射线）、曲线等对象上单击，就在该对象上绘出一个点，该点只能在这个对象上移动。

3. 圆规工具

用来绘制圆。

4.直尺工具

“直尺工具”也有一个选择板，其中的3个按钮依次为“线段工具”、“射线工具”和“直线工具”。

5.文本工具

“文本工具”被选中后，移动鼠标到绘图区，鼠标指针变成空心手形，当光标接近一个对象时，鼠标指针变成实心手形，如果该对象的标签未显示，这时单击鼠标，就显示该对象的标签，若对象的标签已显示，则单击鼠标隐藏该对象的标签。

“文本工具”也用来在画板上插入文本。选取“文本工具”，并移动鼠标到绘图区的适当位置，按下鼠标左键，拖拽一定的距离，出现一个文本输入框，有一个竖直的光标在文本框中闪动，可以在其中输入、编辑说明文本。

出现文本输入框的同时，在水平滚动条下面会弹出一个文本工具栏，在其中可以设置文本的字体、字号、加粗、斜体、下划线、字体颜色，编辑数学公式和符号。

6.自定义工具

我们有时需要临时绘制一些几何图形，可以把常用的图形定义成工具使用，如果已经制作了自定义工具，单击该按钮，将弹出自定义工具的菜单。

三、几何画板的菜单命令

1.文件菜单

“文件”菜单命令由“新建画板”、“打开”、“保存”、“另存为”、“关闭”、“文档选项”、“页面设置”、“打印预览”、“打印”、“退出”10个命令构成。这些命令的功能与其他常用软件差别不大，这里主要介绍“文档选项”命令。

“文档选项”命令的主要功能有两个：一个是分页功能，它可以将一个画板文件分成若干个页面，可以为每个页面命名；另一个功能是添加或删除自定义工具。

2.编辑菜单

“编辑”菜单中的命令有“撤销”、“重复”、“剪切”、“复制”、“粘贴”、“清除”、“操作类按钮”、“选择所有”、“选择父对象”、“选择子对象”、“分离/合并”、“编辑定义”、“属性”、“参数选项”等命令构成。其中“撤销”、“重复”、“剪切”、“复制”、“粘贴”、“清除”与其他软件的类似命令相同，而3个有关选择对象的命令将在后面结合实例介绍。

（1）“操作类按钮”命令

这个命令的下级菜单如图2所示。

“显示/隐藏”命令。对选中的若干个对象执行本命令，将得到一个控制所选对象隐藏或显示两种状态的按钮。

“动画”命令。选中若干个在一定路径上的点，执行本命令，制作一个动画按钮，单击该按钮，选中的点将在指定的路径上以设定的方式运动。

“移动”命令。依次选中若干个点，例如选中顺序为A、B、C、D、E、F，执行本命令，制作一个移动按钮，单击该按钮，这些点将按A→B→C→D→E→F的方式移动。

“系列”命令。一次选中若干个操作类按钮，执行本命令，制作一个系列按钮，单击该按钮，这些操作类按钮的动作将按选中的顺序依次执行或同时执行。

“链接”命令。使用本命令可以在画板中制作链接按钮，单击链接按钮，就可以链接到指定的因特网网址或画板文件的指定页面。

“滚动”命令。本命令只有在选择一个点的前提下才能被激活。当画板上的对象较多，超过一个窗口能显示的范围时，设置滚动按钮，可以使画板上、下、左、右滚动。

（2）“分离/合并”命令

合并当前选中的两个对象，或把已经合并的对象分离。

（3）“编辑定义”命令

对于函数、参数、计算处理过的度量值等，执行该命令可以重新进行设置、编辑，在选择了相应对象后，该命令会出现在右键快捷菜单中。