函数设计

2024-12-01

函数设计（共12篇）

函数设计篇1

一、导学目标

探究正弦函数、余弦函数的周期性、周期、最小正周期;会利用函数周期性求函数值或函数解析式.

二、导学内容

1.问题:今天是星期一, 则过了七天是星期____, 过了十四天是____……

2.观察正 (余) 弦函数的图象, 总结规律:

正弦函数f (x) =sinx性质如下: (观察图象)

(1) 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的.

(2) 规律是:每隔2π重复出现一次 (或者说每隔2kπ, k∈Z重复出现) .

(3) 这个规律由诱导公式sin (2kπ+x) =sinx可以说明.

符号语言:当x增加2π (k∈Z) 时, 总有f (x+2kπ) =sin (x+2kπ) =sinx=f (x) .

3.周期函数定义:对于函数f (x) , 如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时, 都有:____, 那么函数f (x) 就叫做周期函数, 非零常数T叫做这个函数的周期.

三、问题探究

1.对于函数y=sinx, x∈R有能否说是它的周期?

2.正弦函数y=sinx, x∈R是不是周期函数?如果是, 周期是多少?

3.若函数f (x) 的周期为T, 则k T, k∈R也是f (x) 的周期吗?为什么?

说明:

(1) 周期函数x∈定义域M, 则必有x+T∈M, 且若T>0则定义域无上界;T<0则定义域无下界.

(2) “每一个值”只要有一个反例, 则f (x) 就不为周期函数 (如f (x0+t) ≠f (x0) .

(3) T往往是多值的 (如y=sinx 2π, 4π, …, -2π, -4π, …都是周期) 周期T中最小的正数叫做f (x) 的最小正周期 (有些周期函数没有最小正周期)

y=sinx, y=cosx的最小正周期为2π (一般称为周期) .

从图象上可以看出, y=sinx, x∈R;y=cosx, x∈R的最小正周期为2π.

4.思考:是不是所有的周期函数都有最小正周期?不是, f (x) =c没有最小正周期.

四、提出疑惑

同学们, 通过你的自主学习, 你还有哪些疑惑, 请把它填在下面的表格中.

五、导学自测

1.函数y=sin4x的最小正周期为 ()

2.函数y=cos (ωx+π/3) (ω>0) 的最小正周期是2, 则ω是 ()

3.函数的最小正周期不大于2, 则正整数k的最小值应是 ()

A.10 B.11

C.12 D.13

4.定义在R上的函数f (x) 既是偶函数又是周期函数, 若f (x) 的最小正周期是π, 且当x∈[0, π/2]时, f (x) =sinx, 则的值为 ()

5.若f (x+3) =f (x) 对x∈R都成立, 且f (1) =5则f (16) =_________.

6.设f (x) 是R上的奇函数, f (x+2) =-f (x) , 当x∈[0, 2]时, f (x) =2x-x2.

(1) 当x∈[2, 4]时, 求f (x) 的解析式.

(2) 计算f (0) +f (1) +f (2) +…+f (2010) .

六、归纳总结

1.周期函数定义:对于函数f (x) , 如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值都有:f (x+T) =f (x) , 那么函数f (x) 就叫做周期函数, 非零常数T叫做这个函数的周期.

2.一般结论:函数y=Asin (ωx+φ) 及函数y=Acos (ωx+φ) , x∈R (其中A, ω, φ为常数, 且A≠0, ω>0) 的周期

3.若ω<0, 如: (1) y=3cos (-x) ; (2) y=sin (-2x) ; (3) x∈R.则这三个函数的周期又是什么?

一般结论:函数y=Asin (ωx+φ) 及函数y=Acos (ωx+φ) , x∈R的周期

七、思维拓展

你认为求y=Asin (ωx+φ) 及y=Acos (ωx+φ) 周期的方法是否能推广到求一般周期函数的周期上去?即命题“如果函数y=f (x) 的周期是T, 那么函数y=f (ωx) 的周期是T/ω”是否成立?

函数设计篇2

教学目标：

知识目标—— 通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素及函数符号的深刻含义.能力目标—— 培养学生观察、类比、推理的能力；培养学生分析、判断、抽象、归纳概括的能力；强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想.情感目标——探究过程中，强化学生参与意识，激发学生观察、分析、探求的兴趣和热情；体会由特殊到一般、从具体到抽象、运动变化、相互联系、相互制约、相互转化的辩证唯物主义观点；逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识；感受数学的抽象性和简洁美渗，透数学思想和文化.教学重点: 理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数.教学难点：函数符号y=f(x)的理解，函数概念的整体性认识.教学方法: 问题式教学法、探究式教学法.教学用具：多媒体教学流程：

教学过程：篇二：函数教学设计

第六章一次函数

１．函数

成都七中育才学校鄢正清、魏进华

一、学生起点分析

在七年级上期学习了用字母表示数，体会了字母表示数的意义，学会了探索具体事物之间的关系和变化的规律，并用符号进行了表示；在七年级下期又学习了“变量之间的关系”，使学生在具体的情境中，体会了变量之间的相依关系的普遍性，感受了学习变量之间的关系的必要性和重要性，并且积累了一定的研究变量之间关系的一些方法和初步经验，为学习本章的函数知识奠定了一定的基础。

二、教学任务分析

《函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第六章《一次函数》第一节的内容。

● 教材内容

本节内容安排了1个学时。教材中的函数是从具体实际问题的数量关系和变化规律中抽象出来的，主要是通过学生探索实际问题中存在的大量的变量之间关系，进而抽象出函数的概念。与原传统教材相比，新教材更注重感性材料，让学生分析了大量的问题，感受到在实际问题中存在两个变量，而且这两个变量之间存在一定的关系，它们的表示方式是多样地，如可以通过列表的方法表示，可以通过画图像的方法表示，还可以通过列解析式的方法表示，但都有着共性：其中一个变量依赖于另一个变量。

● 教材地位及作用

函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，对它的学习一直是初中阶段数学学习的一个重要内容。本节内容是在七年级知识的基础上，继续通过对变量间的关系的考察，让学生初步体会函数的概念，为后续学习打下基础。同时，函数的学习可以使学生体会到数形结合的思想方法，感受事物是相互联系和规律的变化。

三、教学目标分析

教学目标：

● 知识与技能目标

1．初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可以看成函数； 2．根据两个变量之间的关系式，给定其中一个量，相应的会求出另一个量的值； 3．了解函数的三种表示方法。

● 过程与方法目标

1．通过函数概念的学习，初步形成学生利用函数观点认识现实世界的意识和能力； 2．经历从具体实例中抽象概括的过程，进一步发展学生的抽象思维能力，体会函数的模型

思想；

3．通过对函数概念的学习，培养学生的语言表达能力。

●情感与态度目标 1．在函数概念形成的过程中，培养学生联系实际、善于观察、乐于探索和勤于思考的精神 ●教学重点：

1．掌握函数的概念，以及函数的三种表示方法； 2．会判断两个变量之间是否是函数关系。

●教学难点：1．对函数概念的理解； 2．把实际问题抽象概括为函数问题。

四、教学准备

教具：教材，课件，电脑

学具：教材，笔，练习本

五、教学过程设计

本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境、导入新课；第二环节：展现背景，提供概念抽象的素材；第三环节：概念的抽象；第四环节：概念辨析与巩固；第五环节：课时小结；第六环节：布置作业

第一环节：创设情境、导入新课

内容：

展示一些与学生实际生活有关的图片，如心电图片，天气随时间的变化图片，抛掷铅球球形成的轨迹，k线图等，提请学生思考问题。

意图：

承接上一学期变量关系的学习，让学生感受到变量之间关系的是通过多种形式表现出来的，感受研究函数的必要性。

效果：

生活实例，激发了学生的研究热情，起到很好的导入效果。

第二环节：展现背景，提供概念抽象的素材

内容：

问题1.你去过游乐园吗？你坐过摩天轮吗？你能

描述一下坐摩天轮的感觉吗？

当人坐在摩天轮上时，人的高度随时间在变

化，那么变化有规律吗？

摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间有

一定的关系，右图就反映了时间t(分）与摩天轮

上一点的高度（h米)之间的关系.你能从上图观察出，有几个变化的量吗？当t分别取3，6，10时，相应的h是多少？给定一个t值，你都能找到相应的h值吗？ 2v问题2.在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行s米，一般地有经验公式s?，300 其中v表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时）.（1）公式中有几个变化的量？计算当v分别为50，60，100时，相应的滑行距离s是多少？

（2）给定一个v值，你都能求出相应的s值吗？

问题3.如图，搭一个正方形需要4根火柴棒，按图中方式，动手做一做，完成下表：

表格中有几个变量？按图中方式搭100个正方形，需要多少根火柴棒?若搭n个正方形，需要多少根火柴棒? 意图：

通过上面三个问题的展示，使学生们初步感受到：现实生活中存在大量的变量间的关系，并且一个变量是随着另一个变量的变化而变化的；变量之间的关系表示方式是多样的（图象、列表和解析式等）.效果：

通过图片展示和三个问题的探究，使学生感受生活中的确存在大量的两个变量之间的关系，并且这两个变量之间的关系可以通过三种不同的方式表现，初步了解三种方式表示两个变量之间关系的各自特点.第三环节：概念的抽象

内容：

1．引导学生思考以上三个问题的共同点，进而揭示出函数的概念：

在上面的问题中，都有两个变量，给定其中一个变量（自变量）的值，相应的就确定了另一个变量（因变量）的值.一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.2．点明函数概念中的两个关键词：两个变量,一个x值确定一个y值，它们是判断函数关系的关键。3．再通过对上面3个情境的比较，引导学生思考三个情境呈现形式的不同（依次以图像、代数表达式、表格的形式反映两个变量之间的关系），得出函数常用的三种表示方法：（1）图象法；（2）列表法；（3）解析法。

意图：

通过比较异同点，揭示函数的本质概念和不同的表示方法。

效果：

教学过程中，由于有了七年级较好的铺垫，学生都能顺利地抽象出有关概念。第四环节：概念辨析与巩固

内容：

1．介绍常量与变量的概念

常量：在某一变化过程中,始终保持不变的量；变量：在某一变化过程中,可以取不同数值的量．

指出下列关系式中的变量与常量： 22（1）球的表面积s（cm）与球半径r（cm)的关系式是ｓ＝４?r（2）以固定的速度v0（米／秒）向上抛一个球，小球的高度ｈ（米）与小球运动的时间ｔ

2（秒）之间的关系式是ｈ＝v0t-4.9t.2．概念应用举例 1.小明骑车从家到学校速度是15千米/时，你能表示出他走过的路程s与时间t之间的变化关系吗？s是t的函数吗？路程s随时间t的变化的图像是什么？略解：s=15t,是函数，图像略.2.如果a、b路程为200千米，一辆汽车从a地到b地行驶的速度v与行驶时间t是怎样的变化关系？v是t的函数吗？速度v随时间t的变化的图像是什么？ 200v?略解：，是函数，图像略.t3.若正方形的边长为x,则面积y与边长x之间的关系是什么？y是x的函数吗？面积y随边长x的变化的图像是什么？ 2略解：s=x,是函数，图像通过课件展示给同学们

意图：

通过常量与变量的区别阐述，进一步理解函数的关键；通过三个例题，对函数概念进行更深入的探讨，再次揭示函数概念的本质特征.效果：

通过对函数基本特征的反复比较与探究，学生能比较深刻地理解函数的概念；同时三个例题涉及了初中阶段将要学到一次函数、反比例函数和二次函数，也为学生将来学习这三种函数留下了一个初步的印象.第五环节：课时小结

内容：请同学们针对本节的内容进行自我小结，学生之间相互补充后；最后教师总结。意图：

引导学生自己总结本节课的知识要点和数学学习方法，使学生从感性上升到理性，形成系统的知识。

效果：

学生各抒己见，然后相互补充完善，最后师生共同完成了小结内容。当然，在学生发言时，教师要注意学生的语言表述的准确性。

最终总结了下面的内容：

1．初步掌握函数的概念，并能判断两个变量之间的关系是否是函数的关系。

理解函数的概念应抓住以下三点：

（1）函数的概念由三句话组成：“两个变量”，“x的每一个值”，“y有确定的值”；

（2）判断两个变量是否有函数关系不是看它们之间是否有关系是存在，更重要的是看对于x的每一个确定的值，y是否有唯一确定的值与之对应；

（3）函数不是数，它是指在某一变化的过程中两个变量之间的关系。2．在一个函数关系式中，能识别自变量与因变量，并能由给定的自变量的值，相应的求出函数的值。

3．函数的三种表达式：

（1）图象法（用图像来表示函数的方法）；(2)列表法（把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表格来表示函数的反方法）；

（3）解析法（用代数式来表示函数的方法，用来表示函数关系的式子叫做函数关系式，函数关系式是等式，在书写时有顺序性，一般写成：“函数=函自变量的代数式”的形式）。4．学会用辩证唯物主义的观点的看待一个问题。5．本节课用到的基本思想是：通过观察、分析、对比、归纳等过程获取数学知识.第六环节：布置作业

习题6.1

六、教学设计反思

（1）突出重点、突破难点的策略

函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，对函数的学习一直以来都是中学阶段的一个重要的内容。函数的概念是学习后续“函数知识”的最重要的基础内容，而函数的概念又是一个比较抽象的，对它的理解一直是一个教学难点，学生对这些问题的探索以及研究思路都是比较陌生的，因此，在教学过程中，注意通过对以前学过的“变量之间的关系”的回顾与思考，力求提供生动有趣的问题情境，激发学生的学习兴趣；并通过层层深入的问题设计，引导学生进行观察、操作、交流、归纳等数学活动，在活动中归纳、概括出函数的概念；并通过师生交流、生生交流、辨析识别等加深学生对函数概念的理解。

（2）评价方式

根据新课标的评价理念，教师在课堂中应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需求，鼓励学生探索方式、表达方式和解题方法的多样化。在教学活动中教师要关注学生的参与程度和表现出来的思维水平，应关注的是学生对概念的理解水平和学生的语言表达的能力，应关注学生对概念理解的程度和是否能准确的判断所给的问题是否是函数关系，关注学生能否用辩证唯物主义的观点看待事物，教学中又通过学生“议一议”、“想一想”等活动情况和学生对反馈练习的完成情况，分析学生的认识状况和列出函数关系的能力水平。另外，对于学生的回答教师应给预恰当的评价和鼓励，帮助学生认识自我，建立自信，发挥评价的教育功能。

附：板书设计篇三：一次函数教学设计

一次函数的图象和性质

人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》（八年级上册第十四章14.2.2节第二课时）

授课教师：班春虹天津经济技术开发区第一中学指导教师：王连笑原天津市实验中学

刘金英天津市中小学教育教学研究室李燕桐天津经济技术开发区第一中学

2010年11月

第一部分教学设计

一、内容和内容解析

（一）内容

人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“14.2.2一次函数”（第二课时）．

（二）内容解析

函数是数学领域中最重要的内容之一，也是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型．它反映了数量之间的对应规律，是研究数量关系的重要工具．函数思想是最重要的思想，正如f.克莱因的一句名言：“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考．”

一次函数是中学阶段接触到的最简单、最基本的函数，它在实际生活中有着广泛的应用．一次函数的学习是建立在学习了平面直角坐标系、变量与函数和正比例函数及其图象与性质的基础上的．一次函数的第一课时主要内容是一次函数的有关概念，本节课是一次函数的第二课时，主要研究一次函数图象的形状、画法，并结合图象分析一次函数的性质．它既是正比例函数的图象和性质的拓展，又是继续学习“用函数观点看方程（组）与不等式”的基础．

1.关于一次函数的图象

学生在学习一次函数的图象之前已经学习了函数的图象和正比例函数的图象，掌握了画函数图象的基本方法——描点法，因此，对于运用列表、描点、连线画出一次函数的近似图象并不生疏，但是对于一次函数的图象为一条直线的理解则是本节课的内容，所以，教学时需要在学生动手画图象的基础上，通过对一次函数与正比例函数解析式的分析比较，使学生从数的角度加深对形的理解．在了解了一次函数的图象是一条直线，以及它和正比例函数图象之间的关系后，一次函数图象的画法可以有两种，一种是平移，另一种是两点法，突出两点法画图时如何选取合适的点．

2.关于一次函数的性质

对于一次函数的性质主要是研究一次函数y?kx?b（k?0中的k的正负对函数增减性（图象的变）化趋势）的影响，对于这个性质的探究，让学生经历“先特殊化、简单化，再一般化、复杂化”的过程，通过对图象的研究和分析函数自身的性质,深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，渗透的是数形结合的思想．同时结合一次函数y?kx?b（k?0的图象与正比例函数y?kx（k?0图象之间的关系类））比得出一次函数的性质．

从数学自身发展过程来看,正是由于变量与函数概念的引入,标志着初等数学向高等数学的迈进,是一种数学思想与观念的融入.无论从一次函数到反比例函数,再到以后的二次函数,甚至高中的其他各类函数,都是函数的某种具体形式,都为进一步深刻领会函数提供了一个平台.因此，后续学习中对反比例函数、二次函数的研究方法与一次函数的研究方法类似．也就是说，一次函数的学习为今后其他函数的学习提供了一种研究的模式． 3.教学重点

掌握一次函数的图象和性质。

二、目标和目标解析

（一）教学目标

1.掌握一次函数图象及其画法，理解一次函数的性质； 2.体会数形结合思想、分类讨论思想在分析问题和解决问题中的作用； 3.体会从特殊到一般的研究问题的方法；

4.提高学生动手实践的能力和与他人交流合作的意识．

（二）目标解析 1.使学生理解函数y?kx?b（k?0与函数y?kx（k?0图象之间的关系，会利用两个合适的点））画出一次函数的图象，掌握k的正负对图象变化趋势和函数性质的影响． 2.通过描点法来研究一次函数图象，在动手绘制一次函数的图象的过程中，让学生经历“动手----比较----讨论---归纳”的数学活动，通过对一次函数图象的分析，归纳k的正负对函数图象变化趋势和函数性质的影响，让学生经历知识的探究、归纳的过程，体会数形结合思想方法和分类讨论思想方法的应用，同时培养学生的观察能力和抽象概括能力． 3.通过从具体一次函数的图象特征抽象得到一般形式一次函数的图象特征，进而得到函数的性质，使学生经历从特殊到一般的研究问题的过程，体会从特殊到一般的研究问题的方法．

4.在探究一次函数的图象和性质的活动中，通过动手实践，互相交流，使学生在探究的过程中，提高与他人交流合作的意识，提高学生的动手实践的能力和探究精神．

三、教学问题诊断分析

学生对于通过具体函数图象猜想一次函数图象的形状和k的正负对于函数图象的变化趋势和函数性

质的影响并不困难，但是学生容易停留在只从“形”的角度认识一次函数的图象和性质，不会用函数和变量去思考问题，即从“数”——解析式的角度加深理解．所以，我们在进行教学时，有意识地加强对一次函数y?kx?b与正比例函数y?kx解析式的分析与比较，突出数学知识所蕴涵的数学思想和数学方法，以此加深学生对数形结合思想的体会，使学生逐步地增强应用数形结合思想解决问题的意识和能力．

教学难点

理解一次函数的图象和性质，并能灵活应用．

四、教学支持条件分析

根据本节课的教材内容特点，为了更直观、形象地突出重点、突破难点，提高课堂效率，采用以实践探索为主、多媒体演示为辅的教学组织形式．在教学过程中，通过设置带有探究性的问题，创设问题情境，引导学生动手实践探索，发现归纳结论．利用计算机的《几何画板》软件，并结合学生亲自动手绘制函数图象，让学生亲身体验知识的产生、发展和形成的过程．

五、教学过程设计篇四：《函数的概念》的教学设计

《函数的概念》的教学设计

浙江省义乌市第三中学陈向阳

【教材分析】

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学ⅰ必修本（a版）》的第一章1.2.1函数的概念。函数是中学数学中最重要的基本概念之一，它贯穿在中学代数的始终，从初一字母表示数开始引进了变量，使数学从静止的数的计算变成量的变化，而且变量之间也是相互联系、相互依存、相互制约的，变量间的这种依存性就引出了函数。在初中已初步探讨了函数概念、函数关系的表示法以及函数图象的绘制。到了高一再次学习函数，是对函数概念的再认识，是利用集合与对应的思想来理解函数的定义，从而加深对函数概念的理解。函数与数学中的其他知识紧密联系，与方程、不等式等知识都互相关联、互相转化。函数的学习也是今后继续研究数学的基础。在中学不仅学习函数的概念、性质、图象等知识，尤为重要的是函数的思想要更广泛地渗透到数学研究的全过程。

函数是中学数学的主体内容，起着承上启下的作用。函数又是初等数学和高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系。因此对函数概念的再认识，既有着不可替代的重要位置，又有着重要的现实意义。本节的内容较多，分二课时。本课时的内容为：函数的概念、函数的三要素、简单函数的定义域及值域的求法、区间表示等。（第二课时内容为：函数概念的复习、较复杂函数的定义域及值域的求法、分段函数、函数图象等）

【学情分析】

学生在学习本节内容之前，已经在初中学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系。然而，函数概念本身的表述较为抽象，学生对于动态与静态的认识尚为薄弱，对函数概念的本质缺乏一定的认识，对进一步学习函数的图象与性质造成了一定的难度。初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质。例如，对于函数 ?1,当x是有理数时

如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强。但f(x)?? ?0,当x是无理数时

如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然。因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函数概念的再认识，就很有必要。由于数学符号的抽象性，学生因此会望而却步，从而影响了学生学习数学的积极性。高一学生虽然在初中已接触了函数的概念，但在重新学习它时还是存在一定的障碍，其中一个原因就是对新引进的函数符号“y=f(x)”不甚其解。教师应在教学中有意识地挖掘函数符号的审美因素，以美启真。在本节课的教学过程中，教师应该给学生提供实践动手的机会，为学生创设熟悉的问题情境，引导学生观察、计算、思考，从而理解问题的本质，归纳总结出结论。

【学法指导】

本节内容的学习要注意运动变化观和集合对应观两个观念下函数定义的对比研究；注意借助熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数加深对函数这一抽象概念的理解；要重视符号f(x)的学习，借助具体函数来理解符号y=f(x)的含义，由具体到抽象，克服由抽象的数学符号带来的理解困难，从而提高理解和运用数学符号的能力。

【教学目标】

知识目标—— 通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数

学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素及函数符号的深刻含义；会求一些简单函数的定义域及值域。

能力目标—— 培养学生观察、类比、推理的能力；培养学生分析、判断、抽象、归纳

概括的逻辑思维能力；培养学生联系、对应、转化的辩证思想；强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想。

情感目标—— 渗透数学思想和文化，激发学生观察、分析、探求的兴趣和热情；强化

学生参与意识，培养学生严谨的学习态度，获得积极的情感体验；体会在探究过程中由特殊到一般、从具体到抽象、运动变化、相互联系、相互制约、相互转化的辩证唯物主义观点；感受数学的简洁美、对称美、数与形的和谐统一美；树立“数学源于实践，又服务于实践”的数学应用意识。

【教学重点】函数的概念及y=f(x)的理解与深化。

【教学难点】函数的概念及函数符号f(x)的理解。

【教学关键】在集合与对应的基础上理解函数的概念。

【教学方法】以建构主义理论为指导，辅以多媒体手段，采用着重于学生探索研究的启发式教学为主，变式教学为辅，及引导、探究、讲解、演练相结合。在教学过程中，多一点情境和归纳，多一点探索和发现，多一点思考和回顾。通过不同形式的自主学习、探究活动，丰富和改善教与学的方式，体验数学发现和创造的历程，发展创新意识和实践能力。

在课堂结构上，设计“创设情境——引入课题；引导探求——形成知识；变式训练——巩固知识；讨论研究——深化知识；总结反思——提高认识；任务后延——自主探究”这样几个主要环节，环环相扣，层层深入，以期达到教学目标。

设计思想篇五：函数概念教学设计

题目1 前言1 1教材与教学目标分析1 1．1教材分析1 1．2教学目标分析??2 2教学重、难点剖析?2 2．1教学重点剖析??2 2．2教学难点剖析??3 3教学方法与策略??3 4教案???4 参考文献?12 致谢???12 本人声明?12 函数概念教学设计

作者：xx 指导老师：xx（xx师范高等专科学校xx级数学教育专业）

前言函数是高中数学中一个非常重要的内容之一，是贯穿整个高中数学学习，乃

到一生的数学学习过程中。其重要性体现在：

1、函数本源在于现实生活，如自然科学乃至于社会科学中，具有广泛的应用。

2、函数本身是数学的重要内容，是沟通代数、几何、三角等内容的桥梁。亦是今后进一步学习高等数学的基础方法。

3、函数部分内容蕴涵大量的重要数学方法，如函数的思想、方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、化归的思想、换元法、待定系数法、配方法等。这些思想方法是进一步学习数学和解决数学问题的基础。本文对函数概念的教学提出了自己的一些见解和想法，希望对读者有所帮助和启发。1.教材与教学目标分析 1.1 教材分析

本节课的教学内容来自于人教版全日制普通高级中学教科书（试验修订

本·必修）数学第一册（上）第二章的第一、二节。这本课本（第一册（上））是学生在高中第一个学期使用的教材，高一学生的知识还比较少，逻辑思维、抽象思维等方面的能力还不是很强，因此这本书主要介绍一些基本的数学知识，为学生在高中阶段以后的数学学习打基础。课本的第二章——函数，是高中数学的重要内容之一，函数的基础知识在数学和其它许多学科中有着广泛的应用；函数与已经学过的代数式、方程以及将要学习的不等式、三角函数等内容联系非常密切；函数是进一步学习数学的重要基础知识。函数的概念是第二章的重要内容，是函数学习的基础；函数概念是运动变化和对立同统一等观点在数学中的具体体现；函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域。1.2 教学目标分析

一、教学目标：

（1）教学知识目标：了解对应和映射的概念，理解函数的近代定义、函数的三要素，以及对函数抽象符号的理解。

（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。

（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辨证唯物主义观点。

二、教学目标分析：

以往的传统教学模式只注重知识目标，在这里，我觉得更应注重本身能力的提高和思想道德上的觉悟，出于这些方面的考虑，我制定了以上三个目标。学生在初中已学过不少函数，怎样引导学生理解函数本身的特质，找出函数中普遍存在的规律性的东西，概括出函数的概念，从而提高学生的抽象概括能力和逻辑思维能力，是我们在教学工作时应该着重思考的。同时，函数概念是运动变化和对立统一等辨证唯物主义观点在数学中的具体体现，我们在教学时应注意渗透这些观点，从而通过数学方面的教育，培养学生的辨证唯物主义思想。2.教学重、难点剖析 2．1 教学重点剖析

一、教学重点：

函数的近代概念、函数的三要素。

二、教学重点剖析：

函数的近代概念是用集合和映射的概念来定义的：函数就是集合a到集合b 的一个映射 f: a ?b，其中a、b都是非空的数集。这个定义跟初中函数概念的定义有很大的不同，再加上近代定义本身又比较抽象，所以学生接受起来会比较困难。要讲清楚这个问题关键在于要先让学生知道函数实际上就是集合a到集合b的一个特殊映射，然后再强调这个映射的特殊性在于集合a、b都必须是非空数集。这样，学生就理解什么是函数的近代概念了。函数的三要素：对应法则、定义域和值域。一个函数主要由对应法则和定义域这两个要素所决定。其中应特别强调函数三要素的对应法则。对应法则f是联系自变量x与变量y的纽带，我们在讲授函数这一抽象定义时，不妨把函数比喻为一个“机器”加工的过程，输入x，输出y，而这关键的加工机制便是f。现在涉及到函数三要素相关知识的题目，我们要对其引起重视。

2．2 教学难点剖析

一、教学难点：

映射的概念、函数符号的理解、区间的概念。

二、教学难点剖析：

映射的概念：设a、b是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合a 中的任何一个元素，在集合b中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合a，b以及a到b的对应法则f）叫做集合a到集合b的映射，记作 f：a ? b。前面说过，函数的近代概念就是用映射的概念来定义的，函数本身就是一个特殊的映射。因此，要弄明白函数近代概念就必须先理解好映射的概念。但映射概念本身是人们抽象出来的一个概念，比较不好理解，我们在讲解这一概念时可多用举例子等较生动形象的方法来帮助学生理解。函数符号在学生初学时容易搞错的两点：

一、函数符号f（x）中的f表示对应关系，而平常我们所认识的字母一般是用来表示数的，因此，经常有学生会弄不明白f所表示的意义。另外，在不同的函数中f的具体含义一般不一样。

二、f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。区间的概念在研究函数时常常会被用到。函数的区间常常是比较难求解的，特别是区间的端点，有时在某函数能否取到区间端点时是需要好好考虑一番的。3.教学方法与策略

教学方法策略是以教师讲授为主,学生自主预习为辅。因为以新的观点认识

函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。但是，俗话说“教无定法”。函数这个概念从产生、发展到成熟经历了几个世纪的争论和人为的加工，所以要让学生用40分钟完全掌握，几乎是不可能的，我认为在这里要发挥教师的主导作用，以讲授法为主。古语有云：“授

人以鱼，仅供一饭之需；教人以渔，则终身受用无穷。”在教学中，我们除了要把知识传授给学生之外，更重要的是教会他们研究问题和解决问题的方法，从而为他们今后独立解决问题打下基础。其实著名教育家叶圣陶也曾说过：“教是为了不教。”本节课主要让学生体会怎样从数学的角度来分析实际问题、怎样从实际问题中抽象出数学概念的方法。4.教案

4.1 教学目标

（1）教学知识目标：了解对应和映射概念，理解函数的近代定义、函数三要素、以及对函数抽象符号的理解。

（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。

（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辨证唯物主义观点。4.2 教学重点：

函数的近代概念、函数的三要素 4.3 教学难点：

映射的概念、函数符号的理解、区间的概念 4.4 教学过程：

一、复习引入

初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？

（让学生回忆一下初中对函数概念所下的定义，为下面介绍新的定义作铺垫。）设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义。初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。问题1：y = 1(x?r)是函数吗？

“二次函数”教学设计篇3

【教材分析】

教学目标：

1．使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x-h)2的图像.

2．让学生经历二次函数y=a(x-h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y=a(x－h)2的图像与二次函数y=ax2的图像的关系.

教学重、难点：

重点：会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2的图像，理解二次函数y=a(x-h)2的性质，理解二次函数y=a(x-h)2的图像与二次函数y=ax2的图像的关系是教学的重点.

难点：理解二次函数y=a(x-h)2的性质，理解二次函数y=a(x-h)2的图像与二次函数y=ax2的图像的相互关系是教学的难点.

【教学过程】

一、提出问题

（1）两条抛物线的位置关系.

（2）分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标.

（3）说出它们所具有的公共性质.

2.二次函数y=2(x-1)2的图像与二次函数y=2x2的图像的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图像之间有什么关系?

二、分析问题，解决问题

问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题?

(画出二次函数y=2(x-1)2和二次函数y=2x2的图像，并加以观察.)

问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2与y=2(x-1)2的图像吗?

教学要点：

1．让学生完成下表填空.

2．让学生在直角坐标系中画出图来.

3．教师巡视、指导.

问题3：现在你能回答前面提出的问题吗?

教学要点：

1．教师引导学生观察画出两个函数图像．根据所画出的图像，完成以下填空：

开口方向对称轴顶点坐标

y=2x2

y=2(x-1)2

2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y=2(x-1)2与y=2x2的图像、开口方向相同，对称轴和顶点坐标不同；函数y=2(x-1)2的图像可以看作是函数y=2x2的图像向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1，0).

问题4：你可以由函数y=2x2的性质，得到函数y=2(x-1)2的性质吗?

教学要点：

1.教师引导学生回顾二次函数y=2x2的性质，并观察二次函数y=2(x-1)2的图像；

2．让学生完成以下填空：

当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x=______时，函数取得最______值y=______.

三、做一做

问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y=2(x+1)2与函数y=2x2的图像，并比较它们的联系和区别吗?

教学要点：

1．在学生画函数图像的同时，教师巡视、指导；

2．请两位同学上台板演，教师讲评；

3．让学生发表不同的意见，归结为：函数y=2(x+1)2与函数y=2x2的图像开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y=2(x+1)2的图像可以看作是将函数y=2x2的图像向左平移1个单位得到的.它的对称轴是直线x=-1，顶点坐标是(-1，0).

问题6：你能由函数y=2x2的性质，得到函数y=2(x+1)2的性质吗?

教学要点：

让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当x＜-1时，函数值y随x的增大而减小；当x＞-1时，函数值y随x的增大而增大；当x=-1时，函数取得最小值，最小值y=0.

教学要点：

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当x＜-2时，函数值y随x的增大而增大；

当x＞-2时，函数值y随x的增大而减小；当x=-2时，函数取得最大值，最大值y=0.

四、课堂练习

P11练习1、2、3.

五、小结

1．在同一直角坐标系中，函数y=a(x-h)2的图像与函数y=ax2的图像有什么联系和区别?

2．你能说出函数y=a(x-h)2图像的性质吗?

3．谈谈本节课的收获和体会.

六、作业

1．P19习题26．21（2）.

2．选用课时作业优化设计.

第二课时作业优化设计：

1．在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图像.

（4）分别说出各个函数的性质.

3．已知函数y=4x2，y=4(x+1)2和y=4(x-1)2.

（1）在同一直角坐标系中画出它们的图像；

（2）分别说出各个函数图像的开口方向，对称轴、顶点坐标；

（3）试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数y=4x2的图像得到函数y=4(x+1)2和函数y=4(x-1)2的图像；

（4）分别说出各个函数的性质．

4．二次函数y=a(x-h)2的最大值或最小值与二次函数图像的顶点有什么关系?

（作者单位：兰西县第1中学）

编辑/张烨

“函数图像”教学设计篇4

教学目标:

一、知识与技能

1.学会观察、分析函数图像信息.

2.体会数形结合思想, 并利用它解决问题, 提高解决问题的能力.

二、过程与方法

1.提高识图能力、分析函数图像信息的能力.

2.体会数形结合思想, 并利用它解决问题, 提高解决问题的能力.

三、情感态度与价值观

1.体会数学方法的多样性, 提高学习兴趣.

2.认识数学在解决问题中的重要作用, 从而加深对数学的认识.

教学重点:

观察分析图像信息.

教学难点:

分析概括图像中的信息.

教学方法:

整节课应以“开放、合作、探究”为基本特征, 给学生思考的空间和表现的机会, 让学生在一个较为轻松的环境中去体验数学学习带来的乐趣, 构建充满活力的课堂氛围.

教具准备:

多媒体演示.

教学过程:

1. 提出问题, 创设情境

我们在前面学习了函数意义, 并掌握了函数关系式的确立.但有些函数问题很难用函数关系式表达出来, 然而可以通过图来直观反映.例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系.

即使对于能列式表示的函数关系, 如果也能画图表示则会使函数关系更清晰.

我们这节课就来解决如何画函数图像的问题及如何解读函数图像信息.

2. 导入新课

我们先来看这样一个问题:

正方形的边长x与面积s的函数关系是什么?其中自变量x的取值范围是什么?计算并填写下表:

生:函数关系式为s=x2, 因为x代表正方形的边长, 所以自变量x>0, 将每个x的值代入函数式即可求出对应的s值.

师:好!如果我们在直角坐标系中, 将你所填表格中的自变量x及对应的函数值s当作一个点的横坐标与纵坐标, 即可在坐标系中得到一些点.

大家思考一下, 表示s与x的对应关系的点有多少个?如果全在坐标中指出的话是什么样子?可以讨论一下, 然后发表你们的看法, 建议大家不妨动手画画看.

生:这样的点有无数多个, 如果全描出来太麻烦, 也不可能.我们只能描出其中一部分, 然后想象出其他点的位置, 用光滑曲线连接起来.

师:很好!这样我们就得到了一幅表示s与x关系的图.图中每个点都代表s的值与x的值的一种对应关系.如点 (1, 1) 表示x=1时, s=1.

一般地, 对于一个函数, 如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标, 那么坐标平面内由这些点组成的图形, 就是这个函数的图像.上图中的曲线即为函数s=x2 (x>0) 的图像.

函数图像可以数形结合地研究函数, 给我们带来便利.

[活动一]

活动内容设计:

下图是自动测温仪记录的图像, 它反映阿城的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化.你从图像中得到了哪些信息?

活动设计意图:

1.通过图像进一步认识函数意义.

2.体会图像的直观性、优越性.

3.提高对图像的分析能力、认识水平.

4.掌握函数变化规律.

教师活动:

引导学生从两个变量的对应关系上认识函数, 体会函数意义;可以指导学生找出一天内最高、最低气温及对应时间, 在某些时间段的变化趋势, 认识图像的直观性及优缺点, 总结变化规律……

学生活动:

在教师引导下, 合作探究, 归纳总结.

活动结论:

1.一天中每时刻t都有唯一的气温T与之对应.可以认为, 气温T是时间t的函数.

2.这天中凌晨4时气温最低为-3℃, 14时气温最高为8℃.

3.从0时至4时气温呈下降状态, 即温度随时间的增加而下降.从4时至14时气温呈上升状态, 从14时至24时气温又呈下降状态.

4.这天最高气温与最低气温之差为11℃.

5.我们可以从图像中很直观地看出一天中气温变化情况及任一时刻的气温大约是多少.

[活动二]

活动内容设计:

下图反映的过程是小明从家去菜地浇水, 又去玉米地锄草, 然后回家.其中x表示时间, y表示小明离他家的距离, 小明家、菜地、玉米地在同一条直线上.

观察下面的图像, 你能发现哪些结论?

活动设计意图:

书中例题是以5个问题的形式给出的, 这里以开放式出现, 这样的设计可以充分调动学生的热情和兴趣, 巩固知识的同时彰显了学生的个性, 并给学生设置了充分发挥的空间, 在兼顾全体学生的同时, 分散了难点.

教师活动:

引导学生分析图像、寻找图像信息, 特别是图像中两段平行于x轴的线段的意义.

学生活动:

在教师引导下, 积极思考、大胆参与、归纳总结.

活动结论:

1.菜地离小明家1.1千米A, 小明走到菜地用了15分钟.

2.小明给菜地浇水用了10分钟.

3.菜地离玉米地0.9千米.小明从菜地到玉米地用了12分钟.

4.小明给玉米地锄草用了18分钟.

5.玉米地离小明家2千米.小明从玉米地走回家用了25分钟.所以平均速度为2÷25=0.08 (千米/分钟) .

师:我们通过两个活动已学会了如何观察和分析图像信息, 那么在观察图像时应该注意什么问题呢?

生:弄清横、纵坐标表示的意义, 自变量的取值范围, 图像中函数随着自变量变化的规律, 抓住一些特殊点.

[活动三]

活动内容设计:

出示相关的各类函数图像问题.

活动设计意图:

通过各类图像习题的训练, 让学生进一步体会图像的直观性, 并熟练地找到图像中重要的信息.

例1:小明今天到学校参加运动会, 从家里出发走10分钟到离家500米的地方吃早餐, 吃早餐用了20分钟;再用10分钟赶到离家1 000米的学校.下列图像中, 能反映这一过程的是 () .

例2:李林和弟弟进行百米赛跑, 李林比弟弟跑得快, 如果两人同时起跑, 李林肯定赢.现在李林让弟弟先跑若干米, 图中分别表示两人的路程与李林追赶弟弟的时间的关系, 由图中信息可知, 下列结论中正确的是 () .

A.李林先到达终点

B.弟弟的速度是8米/秒

C.弟弟先跑了10米

D.弟弟的速度是10米/秒

例3:下图表示一辆汽车的速度随时间变化的情况:

(1) 汽车行驶了多长时间?它的最高时速是多少?

(2) 汽车在哪些时间段保持匀速行驶?时速分别是多少?

(3) 出发后8分钟到10分钟之间可能发生了什么情况?

(4) 用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况。

例4:小明骑自行车上学, 开始以正常速度匀速行驶, 途中自行车出了故障, 他只好停下来修车.车修好后, 因怕耽误上课, 故加快速度继续匀速行驶赶往学校.下列行驶路程 (米) 与时间 (分) 的函数图像中, 符合小明骑车行驶情况的图像大致是 () .

例5:龟兔赛跑的故事, 领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟, 骄傲起来, 睡了一觉, 当它醒来时, 发现乌龟快到终点了, 于是急忙追赶, 但已经来不及了, 乌龟先到达了终点……现在用直线和折线分别表示二者所走的路程, t为时间, 则下列图像中:

(1) 哪个表示兔子, 哪个表示乌龟?

(2) 兔子休息了多长时间?

(3) 从中你能悟出什么人生道理?

(4) 将龟兔赛跑的故事改编并画出相应的图像.

3.课时小结

本节通过两个活动, 学会了分析图像信息, 解答有关问题.这样我们又一次利用了数形结合的思想.

4.课后作业

P104练习2、3.

函数设计篇5

两角和与差的余弦函数、正弦函数

【问题情境】

1.求cos150=＿＿＿,cos750=＿＿＿。（提示：150=450-300，750=450+300）

思考：已知角，的正余弦函数值，如何求-，+的正余弦函数值？【新知探究】

1.已知0<<<，则角的终边与单位圆的交点P1的坐标为＿＿＿＿,向量OP1的坐标为＿＿＿＿；角的终边与单位圆的交点p2的坐标为＿＿＿＿, 向量OP2的坐标为＿＿＿＿，根据

①平面向量的数量积公式

OP1·OP2=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？ 2②平面向量的数量积的坐标表示公式

OP1·OP2=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？

求cos(-)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？应用：求cos150=＿＿＿。

2.当角，为任意角时，求cos(-)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿？【合作探究】试根据cos(-)，求

① cos(+)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？(提示：cos(+)=cos[-(-)])② sin(-)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？（提示：sin(-)=cos[-(+)]）③ sin(+)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿？

说明：cos(-)常记作C，cos(+)常记作C sin(+)常记作S，sin(-)常记作S 【知识应用】

1.求cos750，sin750，cos150的值。

变式练习：求值：（1）cos 530 cos230+ sin 530 sin 230；

（2）cos(+)cos+ sin(+)sin。

2442.已知sin=，(,), cos=-的值。

初中数学“二次函数”教学设计篇6

1.知识目标

学生能够依据实际问题，寻找变量之间的关系，列出函数关系式，求出自变量的取值范围。

2.能力目标

培养学生数形结合的数学思想，能利用数形结合的数学思维方法思考数学问题，培养学生用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感、态度与价值观目标

体验数学来源于生活，应用于生活。理论联系实际，培养学生良好的学习习惯。

二、教学重点和难点

1.重点

列二次函数关系式，求自变量的取值范围。

2.难点

学生数形思想的培养，解决实际问题的能力培养。

三、教学手段

多媒体技术，激发学习兴趣;小组合作交流，学生主动参与。

四、教学步骤

1.复习前面方程的知识，引入二次函数概念，完成由方程到函数的转变

初中数学中二次函数概念至关重要，教师在日常教学中要渗透二次函数的概念。如教师提出问题：设圆的面积为S，半径为R，写出圆的面积函数表达式。教师利用具体的实例，阐述二次函数的概念，y=ax2+bx+c（a≠0）叫做二次函数，学生依据具体实例理解二次函数的概念，并对二次函数的定义域做出明确的解释，弄清y随x的变化而变化，y是x的二次函数。教师明确：这个等式不单是一个方程式，也是两个量的一种变化关系，一个未知数的变化必然引起另一个未知数的变化，第一个未知数叫自变量，第二个未知数就是第一个未知数的函数，两个量之间存在函数关系。完成由方程式向函数概念的转变。

2.創设生活情境，分小组合作，把函数知识应用于生活实际

例如，某超市经营的一种商品，成本价格是每件20元，若按每件25元销售，一个月能售出300件，销售价每涨1元，月销售量就减少50件，当销售价为每件28元时，计算销售量和月利润。教师提出问题让学生分组讨论，（1）商品的月利润与进价、售价、销售量之间存在怎样的关系？（2）如果不改变售价，每件商品利润是多少？一个月的利润是多少？（3）如果每件商品涨x元，每件商品的利润是多少？一个月的利润是多少？在学生对问题初步了解的基础上，分小组合作探究，通过讨论，找到解决实际问题的方法，激发探究问题的主动性。

3.用多媒体展示商品月利润随销售价格变化的图象，渗透数形结合思想

用多媒体课件展示二次函数的图象，形象直观，学生从多维度来体验知识的形成过程，活跃学生的思维，为学生提供动手的机会，学生由知识的接受者变为知识的主动探索者。

教师利用学生的生活经验，将数形结合的实例运用到数学教学中，在课堂上渗透数形结合思想，提高学生用数形结合思想解决实际问题的能力，抽象的函数概念，只有在具体的应用中才能理解深刻，通过用函数性质比较大小等活动，深化函数概念。

4.二次函数概念的形成

教师引导学生观察二次函数关系式，提出问题，学生思考后回答：（1）函数关系式的变量有几个？（2）关系式是几次多项式？学生讨论交流后，教师归纳总结：自变量是何值时，函数值最大。明确二次函数的定义：y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做x的二次函数，a、b分别是二次函数、一次项的系数，c是常数项。

5.课堂训练

下列函数中属于二次函数的是哪些？（1）y=2x+3，（2）y=3x2+1，（3）y=4x3-x2，（4）y=2x4-2x+5，学生思考后回答。

6.课堂小结

（1）让学生复述二次函数的定义。

（2）让学生联系生活实际，自编二次函数的应用题，列出函数关系式。

7.布置作业

寻找生活中与二次函数有关的实例，将课堂知识延伸到课外。

五、教学反思

1.渗透数形结合的数学思想，培养学生的创新思维

数形结合是根据题设和结论之间的联系，把数学问题数量关系和几何图形结合起来，分析数学问题的数量关系和几何意义，形成探求解决数学问题的思路方法，联系学生的生活实际，将数形结合的实例运用到数学教学中，在课堂上渗透数形结合思想，提高学生用数形结合思想解决实际问题的能力，收到良好的教学效果。

2.运用现代教育技术，锻炼学生判断推理能力

初中阶段是逻辑思维能力形成的重要时期，初中数学函数教学是教学的重点，但函数知识比较抽象，函数概念难以理解。教学中单靠教师的口头讲解，学生容易产生厌倦情绪，引入多媒体教学，可以增强学生学习的兴趣，增加课堂的容量，培养学生的观察力和判断推理能力，收到良好的教学效果。

参考文献：

[1]马旭军.初中数学函数知识教学模式探析.中学教学参考，2010（3）.

[2]董爱国.浅析初中数学函数教学中思维能力的培养.新课程，2009（4）.

高一函数概念教学设计研究篇7

在高一数学教材讲述函数概念时, 主要是通过集合与映射引入.但是每个教师在教学中讲解函数概念的方式、对课本知识的理解程度不相同, 使得对于相同的知识各自的教学设计也有所不同.

本文首先给出了三种不同的教学设计的一般环节及优缺点, 然后叙述了函数概念教学的意义及困难现状, 接着通过具体的高一函数概念教学设计分析教学设计的优势及缺点, 吸收教学方案中的优点, 进而加以反思, 最后总结出函数概念教学设计研究中的体会.

二、教学设计的分类

(一) 传统教学设计

传统教学设计, 它的设计理念是基于教师“教”为主体的思想上, 以教师为课堂教学中心进行设计编排教学策略与方法的教学设计模式.

1.传统教学设计主要环节

(1) 目标分析;

(2) 学习者分析;

(3) 确定教学方法与策略;

(4) 选定教学媒体;

(5) 实际教学, 并获得教学反馈.

2.传统教学设计的优点及不足

传统教学设计是以教师为主体的教学设计模式, 其优点在于教师能够充分发挥主导作用, 有助于学生系统掌握科学知识.

传统教学设计的不足主要表现在以教师为中心, 忽视学生的自主学习能力, 没有充分考虑学生的创造性, 不利于学生成长.

(二) 建构主义下的教学设计

建构主义下的教学设计是以学生为主体的教学模式设计, 以学生自主的“学”为中心, 学生是信息加工的主体, 是知识的建构者.

1.建构主义下的教学设计主要环节

(1) 情景创设;

(2) 信息资源提供;

(3) 自主学习策略设计;

(4) 组织与指导自主发现, 自主探索.

2.建构主义下的教学设计的优点与不足

建构主义下的教学设计是以学生为中心的教学模式设计, 其优点在于能够充分发挥学生的自主学习和探索发现能力, 有利于培养学生的创新能力与发散思维.

建构主义下的教学设计不足表现在, 过分以学生为中心, 忽视了教师的主导作用, 学生的学习不够系统科学.

(三) “学教并重”的教学设计

“学教并重”的教学设计, 既强调学生的自主学习, 又肯定了教师的主导教学, 是传统教学设计理论和建构主义下的教学设计理论的结合.

1.“学教并重”教学设计的主要环节

(1) 教学目标分析;

(2) 学习者特征分析;

(3) 教学策略的选择和活动设计;

(4) 学习情景设计;

(5) 教学媒体选择与教学资源的设计;

(6) 实际教学过程中形成性评价并根据反馈信息对教学设计加以改进.

2.“学教并重”教学设计的优点与不足

“学教并重” 教学设计是结合了教师的 “教” 与学生的“学”, 可以灵活选择 “发现式”教学和 “传递 — 接受式”教学, 便于考虑情感因素, 即动机的影响.

“学教并重”教学设计不足在于教师对知识的理解程度及教师素养等的差别, 从而导致教学设计的不同, 因而我们仍要学习不同的教学设计改进教学.

三、函数概念教学设计的相关问题

(一) 函数概念教学的意义

函数是数学学科学习中的重要内容之一, 对其概念的学习是学习函数知识及其他数学概念的基础.因此, 了解函数的背景是十分有益的[1].

(二) 中学生对函数概念理解程度

从思维发展的特征来看, 初中生处于从形象思维为主的逐步向经验型的抽象思维发展的阶段, 由于高一学生还处于经验型的抽象思维阶段, 根据经验理解函数概念非常不适应, 这是构成函数概念学习困难的主要根源[2].

(三) 函数概念教学中存在的问题及解决办法

1.函数概念的抽象性

在中学生函数概念教学的诸多问题中, 函数概念的抽象性是其中最重要的一个问题[3].针对函数概念的抽象特性, 教师在教学设计时注意把概念具体可观化, 利于教学.

2.教师对函数概念理解不够深刻

在函数概念教学中, 除了函数概念本身的抽象难懂之外, 教师对函数概念理解本身就不够深刻也是教学中存在的一大问题.

四、具体函数概念教学过程设计研究

函数概念教学设计

1.教学重、难点:理解函数的模型化思想及 “y=f (x) ” 的含义, 用集合与对应的语言刻画函数, 掌握函数定义域和值域的区间表示法.

2.教学过程:

(1) 阅读课本引入新知, 体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想.

(a) 炮弹的射高与时间的变化关系问题.

(2) 引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系.

(3) 根据初中所学函数的概念, 判断各个实例中两个变量间的关系是否是函数关系.

(4) 函数的概念.

(5) 函数定义的五大注意事项[5]:

(a) f表示对应关系, 在不同的函数中f的具体含义不一样;

(b) f (x) 是一个符号, 表示x经过f作用后的结果;

(d) “f:A→B”表示一个函数的三要素:法则f (核心) , 定义域A (要优先) , 值域C (上函数值的集合且C∈B) .

(6) 函数定义域和值域的表示方法.

3.例题讲解:

例1:根据函数定义, 判断下列图像是否为y关于x的函数图像:

解析:由函数概念的定义知, 对于每一个x, 应有唯一的y与之对应.因此, 图1是y关于x的函数图像;图2不是y关于x的函数图像.

例2:判断下列函数f (x) 与g (x) 是否表示同一个函数, 并说明理由.

解析: (1) f (x) 与g (x) 不是同一函数, 因为f (x) =x的定义域为{x|x∈R}, 而g (x) 中定义域为{x|x≠1}, 所以f (x) 与g (x) 表示的不是同一函数.

(2) f (x) 与g (x) 是同一函数, 因为所以g (x) =f (x) .

4.课堂小结: (a) 函数的概念. (b) 函数定义的五大注意点. (c) 函数的三要素及符号的正确理解和应用. (d) 定义域、值域的表示方法.

5.课后作业及板书设计.

从函数概念教学设计研究中, 我们可以得到以下启发:第一, 函数概念教学有四大核心, 函数的概念、函数的表示、函数的定义域与值域及对应法则、函数的应用;第二, 函数概念的教学随着函数概念的发展应循序渐进, 相关概念的教学在教学设计中应把握整体, 首先认识函数中的变量, 突出函数各变量之间的关系, 其次学习函数表达式, 最后把握概念本质, 理解“对应”, 牢记函数定义, 形成函数对象, 建立函数模型;第三, 函数概念教学设计的具体环节应考虑全面, 包括重难点的把握, 新课的引入安排, 师生互动安排, 代表性例题的选择等;第四, 教学设计完成后, 经过实际教学, 形成教学反思, 通过反思, 总结经验, 改进教学质量[6].

参考文献

[1]方晓燕.浅谈中学函数概念的教学[J].教育教学论坛, 2010 (3) :47-48.

[2]朱文芳.函数概念.学习的心理分析[J].数学教育学报, 1999, 8 (4) :24.

[3]夏也.学生在函数概念学习中的困难分析[J].电大理工, 2007 (3) :66-67.

[4]査嘎岱.《函数的概念》教学设计中存在的问题及其解决——兼评网上教学设计[J].内蒙古师范大学学报 (教育科学版) , 2012, 25 (12) :27-29.

[5]杨芳.中学数学课程中函数概念的教学[J].中小学教学研究 (学科教学) , 2009 (9) :24-25.

对数函数应用的教学设计篇8

1. 教材的地位和作用

本节课选自李广全老师主编的高等教育出版社出版《数学》 (基础模块) 上册第四章《指数函数与对数函数》的第四节第二部分。对数函数是函数中又一类重要的基本初等函数, 它是在学习了对数以及指数函数的基础上引入的。是对数和指数函数知识的拓展与延伸, 也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解。对数函数的应用使学生的知识体系更加完整、系统, 同时它又是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具, 是学生今后学习其他函数应用的基础。

2. 教材处理

鉴于本专业学生的学习特点, 根据《教学大纲》的要求及本身对教材的理解, 笔者对教材内容稍作调整:降低教材的难度, 本节课系统地对对数函数进行实际应用, 这样能使学生有踮起脚尖够得着的感觉。

3. 教学目标

知识与技能: (1) 理解对数函数的性质; (2) 运用对数函数解决实际问题。

过程和方法:通过具体实例, 直观了解对数函数模型所刻画的数量关系, 初步理解对数函数的概念, 体会对数函数是一类重要的初等基本函数。

情感态度和价值观:利用对数函数的性质及应用, 提高学生分析问题、解决问题的能力。

4. 重点、难点

重点:对数函数性质的应用。

难点:运用对数函数解决实际问题。

二教学过程

为了体现以学生发展为本, 遵循学生的认知规律, 体现循序渐进与启发式的教学原则, 笔者进行了如下教法设计:在教师引导下, 创设情境, 通过开放性问题的设置来启发学生思考, 在思考中体会数学概念形成过程中所蕴涵的数学方法, 使之获得内心感受。本节课遵循钱梦龙老师的“以学生为主体, 以教师为主导, 以训练为主线”的导读教学思想。教学方法上采用任务驱动法和发现法, 由浅入深, 层层铺垫, 引导学生逐一解决问题。

长期以来, 学生为什么对数学不感兴趣, 甚至害怕数学, 其中的一个重要因素就是数学离学生的实际生活太远了, 让学生感觉数学太死板。事实上, 数学学习应该与学生的生活融合起来, 从学生的生活经验和已有的知识背景出发, 让他们在生活中发现数学、探究数学、认识并掌握数学。

本节课的教学中安排了以下几个环节:

1. 创设情境, 兴趣导入 (3~4分钟)

教师:我们观看了以上的视频, 古董鉴别专家通过鉴别可以判断古董的真假, 从而使古董的本身价值有质的飞跃, 其实, 古董的真假我们也可以鉴别, 我们也是专家。

学生感觉到很惊奇, “我们也是专家?”

设计意图:通过生活中的实际问题设置, 勾起学生的好奇心, 提高学生的学习兴趣。

2. 质疑探究, 挖掘新知 (15~16分钟)

讲解古董鉴别的问题该如何解决, 教师出一道类似的习题, 由学生分析并解决。

例如, 碳-14的半衰期为5730年, 古董市场有一幅列奥纳多·达·芬奇 (1452~1519) 的绘画, 测得其碳-14的含量为原来的94.1%, 根据这个信息, 请从时间上判断这幅画是不是赝品。 (使用计算器)

解:设这幅画的年龄为x, 画中原来碳-14含量为a, 根据题意有, 消去a后, 两边取常用对数, 。

因为2009-503-1452=54, 这幅画约在列奥纳多·达·芬奇54岁时完成, 所以从时间上看不是赝品。

通过学生对数据的计算、整理、归纳、自主探究, 得出列奥纳多·达·芬奇画的年代真伪, 使学生认识到数学来源于实践, 并为实践服务。

设计意图:让学生从实际问题出发, 利用所学知识解决自然科学中的实际问题, 从中感受成就感, 提高学生学习数学的兴趣。

3. 运用知识, 强化练习 (18~20分钟)

为了使学生达到对知识的深化理解, 从而达到巩固提高的效果, 我特地设计了一组难度加深的即时训练题, 并且把课本的例题融入即时训练题中, 通过学生的观察尝试、讨论研究和教师引导来巩固新知识。

此环节设置为小组选答题, 每组派代表选择一道题, 由小组共同完成。

设计意图:通过形成性练习, 加深学生对对数函数性质的理解和熟练应用, 同时可以根据适实检测情况, 调节教学节奏。此部分习题为未知类型, 学生对此有好奇欲望, 更能促进其学习兴趣。

4. 评价 (3分钟)

根据各小组完成得分情况, 教师为小组排名, 并在平日成绩中加分。

5. 总结与布置作业 (2~3分钟)

总结:用问题概括总结本课内容, 进一步加固学生知识结构, 给学生自我总结和表现的机会。

设计意图:检验不同能力层次水平的学生是否完成本课教学目标。

三教学反思

通过教学实践我总结出, 任务驱动法是一种很好的教学方法, 对学生学习兴趣的提高和职业技能的培养都有很大的帮助, 体现了行动导向教学所提倡的“做中学、做中教”的理念。

函数的极值的教学设计探讨篇9

教学方案

活动1:创设问题情境,引入新课

(复习提问)我们应用导数来研究了函数的一种性质———单调性,知道了函数的单调性与导数的符号有着密切的联系.即

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导.

(1)如果在(a,b)内f'(x)>0,则f(x)在[a,b]上单调增加;

(2)如果在(a,b)内f'(x)<0,则f(x)在[a,b]上单调减少.

现在我们再利用导数这种先进有效的工具,再来研究一下函数的另一种性质———函数的极值.

我们为什么要学习函数的极值这个概念呢?因为我们日常生活中有许多理论和应用问题,需要求函数在某个区间上的最大值和最小值,比如经济学上的最大利润问题、最小成本问题等.要计算函数的最值,我们就要先求函数的极值,所以我们要先研究函数的极值的运算方法.那么函数的极值是怎样定义的呢?

观察下面函数的图像:

提出问题1:通过观察函数的图形,我们对函数值f(x1)与函数f(x)在点x1附近的点对应的函数值进行比较,会有什么结论呢?那么,在x2、x3、x4与x5点处的情况如何呢?

回答:通过观察我们较容易看出,在点x1附近的点对应的函数值f(x)都满足f(x)>f(x1),在x2、x3、x4与x5点处分别为f(x)<f(x2),f(x)>f(x3),f(x)<f(x4),f(x)>f(x5).

讨论:根据观察结果能否用一句话总结,从结论中教师因势利导,提出问题启发学生注意局部与整体的关系,得出极值的定义.

定义1设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内有定义,如果对于去心邻域0U(x0)内的任意一点x,都有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)),则称函数值f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值),x0称为函数f(x)的一个极大值点(或极小值点).

函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点.

活动2:继续观察图形

提出问题2:极大值一定比极小值大吗,为什么?

回答:极大值不一定比极小值大.图中f(x2)为函数的极大值,f(x5)为函数的极小值,但f(x5)>f(x2),因为极值是局部的概念.

活动3:继续观察图形

提出问题3:极值点处的切线有什么特点?结合导数的几何意义,我们能得到什么样的结论?

回答:如果函数可导,函数在取得极值的点处切线是水平的,即在这些点处导数为零,这也是我们今天要研究的函数极值点存在的必要条件,即定理1的内容.

定理1(必要条件)设函数f(x)在x0处可导,且在x0处取得极值,则一定有f'(x0)=0.

分析我们知道函数的极值就是局部的最值,而证明极值点处的导数为零,只要在极值点的某一邻域内考虑即可,那么就是证明这一邻域内的最值处导数为零,而这实际上就是费马(Fermat)引理的内容.

费马简介:姓名:皮尔·德·费马

生于1601年,法国律师和业余数学家.他在数学上的成就不比职业数学家差,他似乎对数论最有兴趣,亦对现代微积分的建立有所贡献.被誉为“业余数学家之王”.

对学生进行思想教育:费马的故事告诉我们,在做某件事情的时候,只要努力,就可以做好.所以,我们同学中虽然有很多都是文科生,只要我们努力,也一样能学好数学.

证明(略)

定义2使导数的点称为函数的驻点.

定理1表明:可导函数的极值点必定是驻点.

提出问题4:函数的驻点一定是极值点吗,启发学生如果不是能否举个反例说明?

回答:驻点不一定是极值点,例如函数f(x)=x3的驻点x=0就不是极值点.由这个反例我们知道定理1只是函数极值存在的必要条件,而不充分.

提出问题5:我们还可以看到定理1中要求函数是可导的,那么函数的导数不存在的点可能是极值点吗?如果可以,能否举个例子?

回答:函数的导数不存在的点也可能是极值点,例如函数f(x)=|x|在点x=0处不可导,但是极小值点.

由这两个例子我们知道了函数的可能的极值点有两类:驻点及不可导的点.我们应怎样判断驻点及不可导的点是否为函数的极值点,是极大值点还是极小值点呢?这是我们将要研究的重要问题———函数极值点存在的充分条件.

活动4:继续观察图形

提出问题6:极大值点与极小值点左右两侧的函数的导数符号如何变化?

回答:通过观察我们知道,如果在驻点及不可导点两侧函数导数的符号相反,则必然是使函数单调性改变的点,从而一定是函数的极值点.

这表明,求函数极值点应先找出驻点及不可导点,然后对驻点及不可导点进行判断,哪些是极值点哪些不是极值点.根据极值的定义及函数单调性的判定法不难知道,由此我们得到下面的定理:

(1)若当x<x0时,f'(x)>0,当x>x0,f'(x)<0,则f(x0)是函数f(x)的极大值;

(2)若当x<x0时,f'(x)<0,当x>x0,f'(x)>0,则f(x0)是函数f(x)的极小值;

(3)若在x0两侧,f'(x)的符号相同,则f(x0)不是f(x)的极值.

证明(略)

由定理2,我们得出求函数极值的步骤:

(1)写出函数的定义域,求出导数f'(x);

(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点;

(3)根据定理2确定这些点是不是极值点,如果是极值点,进一步确定是极大值点还是极小值点;

(4)求出各极值点处的函数值,就得到函数f(x)的全部极值.

下面我们就根据求极值的步骤,求出函数的极值.

例1求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.

解该函数的定义域为(-∞,+∞).

令f'(x)=0,得驻点x1=-1,x2=3.

驻点将定义域分成三部分,现列表讨论如下:

由表可知,函数f(x)在x=-1处取得极大值,极大值为f(-1)=10;在x=3处取得极小值,极小值为f(3)=-22.

上例是对可导函数而言的,在此条件下,极值点一定是驻点,因此只要求出函数的驻点,再由定理2考察各个驻点是否为极值点就行了.但是如果函数有不可导点,就不能肯定极值点一定是驻点了,因为在导数不存在的点处,函数也可能取得极值.请看下例:

解该函数的定义域为(-∞,+∞).

活动5:课堂练习

课堂小结

函数信号发生器的设计与仿真篇10

信号发生器是实验室的基本设备之一,目前广泛使用的是一些标准产品,虽然功能齐全、性能指标较高,但是价格较贵,而且许多功能用不上。该设计以集成运算放大器为应用核心,通过添加外围器件使之形成运算、正反馈电路,并满足振荡条件,产生一定的波形,最后利用差分电路的传输特性将方波转换为正弦波。该仪器具有结构简单、成本低、体积小、便于携带等特点,虽然功能及性能指标赶不上标准信号发生器,但足以满足一般的实验要求。该波形发生器有以下一些功能:

(1) 在给定的±12 V直流电源电压条件下,使用运算放大器设计并制作一个函数信号发生器。

(2) 具有产生正弦波、方波、三角波三种周期性波形的功能。

(3) 输出波形的频率范围1~10 kHz重复频率可调,频率步进间隔≤50 Hz。

(4) 输出波形幅度范围:方波:Vp-p≤24 V , 三角波:Vp-p≤6 V , 正弦波:Vp-p>1 V

方波上升和下降时间≤10 ms,三角波失真度≤2%,正弦波失真度≤5%,同时,可按一定的步进≤0.2 V(峰-峰值)调整。

(5) 具有信号大衰减功能,可以把输出电压衰减0.1,0.01倍。

(6) 利用占空比可调节,可产生一些其他的波形,如锯齿波和尖顶波。

2 设计方案

2.1 直流稳压电源的设计

采用集成稳压器设计的稳压电源具有性能稳定、结构简单等优点,不再赘述。

2.2 信号产生电路方框图

本设计思想是先由积分器和比较器同时产生三角波和方波,其中比较器起开关的作用,将具有正、负极性的电位交替地反馈到积分器,通过积分得到三角波。

经过分析,本电路的优点有:

(1) 线性良好、稳定性好。

(2) 频率易调。在几个数量级的频带范围内,可以方便地连续地改变频率,而且频率改变时,幅度恒定不变。

(3) 三角波和方波在半周期内是时间的线性函数,易于变换其他波形。

同时差分放大电路具有工作点稳定、输入阻抗高,抗干扰能力强的特点。利用差分放大器的差模传输特性曲线具有非线性,来进行电路波形的变换。

3 整机电路设计和分析计算

3.1 三角波-方波产生电路

电路如图2所示,由三个集成运算放大器组成。其中核心部分是由A1组成积分电路和由A3组成的电压比较、限幅器,A2实现限幅、反相等功能运算。同时A2和A3组成正反馈电路,用R1作反馈通路。稳定时,A3的输出电压只能是正电平U+和负电平U- 。假设在初始状态时,A3输出为正电平U+。其中一部分信号反馈到A2的反相输入端。另一部分通过RP1反馈到A1的反相输入端,其值的大小由R8与R13的分压比决定。该信号电压被积分器反相积分,使A1的输出电压uo1以时间常数RP1C2下降,并通过R2加在A2的反相输入端,流过R1的反馈电流U+/R1(设为I1),流过电阻R2的电流为uo1/R2 (设为I2),当正反馈电流I1与电流I2相等时,A2反相输入端的电压为零。由于开关二极管的作用,A2开始从-0.7 V跳变到+0.7 V,从而迫使A3的输出随之翻转,使uo3从U+跳变到U-,与此同时,A1反相输入端的电压也随之翻转跳变到负电平U-,A1对电压U-进行反向积分,使得uo1按着同样的时间常数RP1及C2上升,电流I2与I1反向。I2 = uo1/R2逐渐增加,当正反馈电流I1与I2相等时,uo2再次跳变,从+0.7 V跳变到-0.7 V,迫使Uo3再次翻转,从U+跳变到U-,这就完成了一个振荡周期,如此周而复始的循环。在A1地输出端产生三角波uo1,在A3的输出端产生方波uo3。

3.2 三角波-正弦波变换电路

电路如图3所示,主要采用镜像电流源作为有源负载。图中Q1,Q2为PNP型镜像电流源作为Q3,Q4的有源负载。如前所述,电路利用了差放的转移特性,将三角波近似逼近为正弦波。

在差模输入电压作用下,Q3,Q4分别输出数值相等、极性相反的增量电流,即ic1=ICQ+ic,ic2=ICQ-ic,其中ic1通过Q1管时,他将等值的转换到Q2管。因此,输出电流io=iC2-iC4=iC1-iC4iC3-iC4=2iC,这就是说,他的值近似等于近双端输出时的差模输出电流。

在共模输入电压作用下,Q3,Q4分别输出数值相等、极性相同的增量电流,即ic1=ICQ+ic,ic2=ICQ-ic,其中ic1通过Q1管时,他将等值的转换到Q2管。因此,输出电流io=iC2-iC4=iC1-iC4=iC3-iC4=0,也就是说,与双端输出时的差模输出电流为零是一致的。

3.3 接口电路

通过上述电路的分析和设计,已经产生出了三种规定的函数波形,但为了满足应用上的要求,还需输入电压可调,并具备一定的驱动能力。这些要求必须要有一个接口电路来实现和完成。

考虑到音频信号的输出阻抗常用600 Ω,而带有反馈的运算放大器的输出阻抗几乎为零,那么必须在输出处加一600 Ω的电阻使输出阻抗变为600 Ω,这样且即使发生误操作使输出短路,该电阻也能起到过流保护的作用。

在对输出进行幅值调节时,输出电压变小,运放的偏移电压的影响会很大。为了使信号有很大衰减,我们又设计了-20 dB和-40 dB的衰减器,可以把输出电压衰减0.1,0.01倍。在信号衰减的同时偏移电压也同样被衰减,这样就防止了偏移影响的作用。具体电路如图4所示。

4 整机电路图的设计说明

差分放大电路的失调漂移往往是随时间、温度、电源电压等外界因素的变化而变化的,由于这种失调漂移是随机的,所以,任何调零装置是不可能跟踪的。为解决此类问题,我们利用调零电路给予补偿,通过这种补偿,使之达到零输入时零输出的要求。具体是通过调节RP6来调节差分放大电路。该电路主要由LM301集成运算放大器构成,这款运放具有较高的速度,价格虽略高,但是性能优越。

A6构成闭环负反馈运算放大器,对输出具有稳压性。晶体管Q5,Q6构成电流缓冲放大器,使输出阻抗得以扩展,从而保证输出的通用性。二极管D5,D6是为消除Q5,Q6的交越失真而设置的。整机电路图见图5。

5 电路的EDA仿真分析

以下各参数的测量均在Protel 99SE的仿真支持下完成的。

5.1 输出瞬态分析

通过在RP1和C2的数值范围内对其调节可以得到频率覆盖1~10 kHz的各输出波形。下面是其中的某个频率的瞬态分析结果:

通过测试的数据证明,该电路已远远超过了设计所要求的各项性能指标,而且其三角波、方波的表现又颇为突出,通过改变三角波积分电容和电阻的方法,还可以将频率覆盖进一步扩展至10 Hz~100 kHz左右。

5.2 温度扫描分析

图10~图12是在RL=600 Ω,0 dB输出、-15 ℃~+65 ℃步长为20 ℃的温度扫描图。

由以上各图可以看出,波形除了时间上存在延迟外并无畸变。电路在该温度范围内是正常工作的。

6 结语

该电路利用集成运算放大器构成的正反馈电路产生了三角波、方波以及最后利用差分电路的传输特性将方波转换成了正弦波,但可以看出正弦波在达到幅值时存在一定的失真,这是本电路的不足之处。在一些正弦波形要求不是绝对严格的场合,本电路是十分经济实用的选择。

参考文献

[1]路勇.电子电路实验及仿真[M].北京:清华大学出版社,2004.

[2]蔡忠法.电子技术实验与课程设计[M].杭州:浙江大学出版社,2003.

[3]潘永雄,沙河,刘向阳.电子线路CAD实用教程[M].西安:西安电子科技大学出版社,2004.

[4]童诗白,华成英.模拟电子技术基础[M].3版.北京:高等教育出版社,2001.

高中数学新课程中函数的设计思路篇11

【关键词】高中数学新课程；函数；设计思路

一、高中数学新课程中的函数设计思路

（一）把函数作为一条主线

高中数学新课程中分层设置了函数概念、具体函数a模型、函数应用、研究函数的方法四方面的内容。在必修数学中设置了函数概念，指数函数、对数函数、简单幂函数、三角函数、分段函数、数列等具体函数模型及其应用，研究函数的初等方法等内容；选修数学中设置了研究函数的分析方法（导数）等内容；函数的应用以及函数的思想方法贯穿于相关数学内容之中。例如：必修数学中运用函数思想方法处理方程、不等式、线性规划、数列、算法，运用函数解决优化问题，刻画随机变量及其分布问题等。这种设置方式就体现了“以函数为纲”的思想以及函数的统领作用。

（二）突出背景，从特殊到一般引入函数

高中数学新课程中，在引人函数概念和具体函数模型时，都注重函数的实际背景，通过对实际背景中的具体函数关系的分析，归纳、抽象出函数概念和函数模型。高中阶段函数概念的引人，一般有两种方法，一种是先学习映射，再学习函数，即从一般到特殊的方法；另一种是通过具体函数实例的分析，归纳总结出数集之间的一种特殊对应关系—函数，即从特殊到一般的方法。例如，对于函数概念，先引导学生梳理已经掌握的具体函数（如，初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数、简单分段函数等），通过分析这些具体函数的特征，构建函数的一般概念，再由函数概念抽象出映射概念。

（三）提倡运用信息技术研究函数

运用信息技术可以呈现函数的直观图像，迅速精确地实施函数运算，通过函数图像和函数运算，可以帮助学生加深对函数所表示的变化规律的理解。信息技术还为运用函数模型解决问题提供了便利。高中数学新课程提倡运用信息技术研究函数。

二、高中数学新课程中函数教学建议

（一）整体把握函数的内容与要求，在与函数有关的内容的教学进程中不断加深学生对函数思想的理解。

函数是学生在数学学习过程中第一次遇到的具有一般意义的抽象概念，在这个概念下可以派生出许多不同层次的具体函数。学生对于这种多层次的抽象概念的理解是需要时间和经验积累的，需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步理解，才能真正掌握，灵活运用。因此，函数教学应整体设计，分步实施。教师应整体规划整个高中阶段函数的教学，对函数教学有一个整体的全面的设计，明确不同时段、不同内容中学生对函数理解应达到的程度，在与函数有关的内容的教学进程中，通过运用函数不断加深学生对函数思想的理解。

（二）关注认识函数的三个维度，引导学生全面理解函数的本质

第一，函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型，即变量说。在现实生活和其他学科中，存在着大量的变量和变量之间的依赖关系。例如：邮局收取邮资时，邮资（变量）随着邮件的重量（变量）的变化而变化。这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征，即当一个变量取定一个值时，依赖于这个变量的另一个变量有唯一确定的值。基于这种认识，就可以用函数来表示和刻画自然规律，这是我们认识现实世界的重要视角，也是数学联系实际的基础。

第二，函数是连接两类对象的桥梁，即映射说。对函数的这种认识反映了数学中的一种基本思想，在数学的后续学习中具有基础作用。数学中的许多重要概念都是这种认识的推广和拓展。例如，代数学中的同构、同态是构架两个代数结构的桥梁，拓扑学中的同胚也是构架两个拓扑结构的桥梁等。

第三，函数是“图形”，即关系说。函数关系是平面上点的集合，因而可以看做平面上的一个“图形”。在很多情况下，函数是满足一定条件的曲线。因此，从某种意义上说，研究函数就是研究曲线的变化、曲线的性质。基于这种认识，函数可以看做数形结合的载体之一。实际上，解析几何、向量几何、函数是高中数学课程中数形结合的三个主要载体。

（三）重视函数模型的作用，帮助学生在头脑中“留住”一批函数模型

理解函数的一个重要方法，就是在头脑中“留住”一批具体函数的模型。那些优秀的数学工作者，对于每一个抽象的数学概念，在他们的头脑中都会有一批具体的“模型”。这是很好的数学学习的习惯。高中数学课程中有许多基本函数模型，高中数学教学的重要任务之一就是把这些基本函数模型留在学生头脑中，这些模型是理解函数和思考其他函数问题的基础。在教学中，对于上述基本函数模型应有一个全面的设计，要帮助学生在头脑中留下三方面的东西：第一，背景，即要熟悉这些函数模型的实际背景，从实际背景的角度把握函数；第二，图像，即从几何直观的角度把握函数；第三，基本变化，即从代数的角度把握函数的变化情况。只有在学生头脑中“留住”这样一批具体的函数模型，才能逐步实现对函数本质的理解，并灵活运用函数思考和解决问题。

（四）揭示函数与其他内容的内在联系，强化学生对函数思想的认识函数作为高中数学的一条主线，贯穿于整个高中数学课程中。是在方程、不等式、线性规划、算法、随机变量等内容中都突出地体现了函数思想。用函数的观点看待方程，可以把方程的根看成函数图像与轴交点的横坐标，解方程就是求函数的零点的横坐标，从而，解方程问题可以归结为研究函数局部性质的问题，即研究函数图像与x轴的交点问题。这样，如果一个函数在闭区间[a，b]，习上连续，且端点函数值异号，即，则就可以运用二分法求方程的近似解。还可以用切线法（函数在闭区间有一阶导数）、割线法（函数在闭区间有二阶导数）等求方程的近似解。

在坐标系中，函数的图像把横坐标轴分成若干区域。一部分是函数值等于0的区域，即；另一部分是函数值大于0的区域，即；再一部分是函数值小于0的区域，即。用函数的观点看，解不等式就是确定使函数的图像在x轴上方或下方的的x区域。这样，就可以先确定函数图像与x轴的交点（方程的解），再根据函数的图像来求解不等式。

【参考文献】

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“函数的应用”教学设计及反思篇12

一、教学目标

知识与技能目标:能够运用指数函数、对数函数和幂函数的性质解决某些简单的实际问题.

过程与方法目标:通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题,培养学生解决问题的能力和运用数学知识的意识.

情感态度与价值观目标:通过对实际问题的研究解决,提高学生学习数学的兴趣.

二、教学重点、难点以及教学方法

本节的重点是培养学生分析解决问题的能力和运用数学知识的意识;难点是根据实际问题建立相应的数学模型.适宜采用的教学方法是启发式、讨论式、诱思探究.

三、教学设计过程

1. 知识回顾.

一开课就带领学生复习之前学过的三种基本初等函数.灵活应用的前提是熟练地掌握基础知识,所以在课堂设计伊始,一定要做好复习巩固工作.先回顾指数函数、对数函数、幂函数,这三个函数表达式最好让学生自己回想,而不是灌输式地呈现给学生.

2. 情境引入.

在分析情感目标时,核心词是兴趣,所以要尽可能地联系学生的生活实际,在正式讲解新课之前引入生活情境,让学生产生好奇心和求知欲.如向学生展示有关银行的图片,提出平时学生接触过的利息概念,之后进一步引申出“复利”这个词.因为有关利息的函数的应用部分的题,大都是复利的计算方法,而且利息题是能涵盖本节知识的模型.

3. 探索新知.

由于上节课学过了三个基本初等函数,所以在学习这节知识时,直接利用建模例题即可.在做题的过程中掌握这节的知识内容,选取的是最具有代表性的利息问题.

【例】有一种储蓄按复利计算利息.若本金为a元,每期利率为r.

(1)设本利和为y元,存期为x,写出本利和y随存期x变化的函数关系式.

(2)如果本金为1000元,每期利率2.25%,试计算出5期后的本利和是多少?(精确到0.01元)

分析:第一问的解答是一个建立指数函数模型的过程,通过第一问的设置就可以让学生掌握指数函数的应用,引导学生思考归纳得到本利和与存期之间的函数关系模型.它的解答过程也是循序渐进的,体现了建模和归纳的思想.

设置第二问来考查模型的实际应用,清楚实际问题中已知数据与模型中变量之间的对应关系,并求解模型,得到实际问题的解.通过此例讲解让学生掌握数学建模的一般步骤.

解:(1)存期x=1时的本利和为:y=a+ar=a(1+r);存期x=2时的本利和为:y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2;存期x=3时的本利和为:y=a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)3;…;存期x时的本利和为:y=a(1+r)x.

(2)由题意知a=1000,r=2.25%,

当x=5时,y=a(1+r)x=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255=1117.68,

所以5期后的本利和是1117.68元.

第一问与第二问解决后,就可以通过做题过程引导学生总结数学建模的一般步骤:审题、建模、求解、还原.