分数乘除法应用题

2025-01-16

分数乘除法应用题（共12篇）

分数乘除法应用题篇1

数学应用题是学生时代数学课堂的重要构成部分,对学生综合能力要求较高,同时,应用题的题干较长或者隐含条件较多,很容易让学生找不到正确的解题方向,特别是到小学高年级阶段出现的分数乘除法应用题,在以前的基础上加入对分数的理解,更加大了应用题的难度.教师应结合教学目标和学生认知特点,施以正确的教学引导方式,激发学生数学学习兴趣,培养学生独立思考和解题能力.

一、利用生活实际,引入分数乘除法情境教学

解答分数乘除法应用题最基本的是理顺题目意思,找准计算方法,但很多学生容易混淆乘法、除法和乘除混合运算,使得计算题变复杂化.在实际教学过程中,教师可以利用情境教学法,将应用题与生活实例相结合,创设学生有兴趣的教学情景.如在学习“分数乘法”应用题时,教师可以创设以下情境:周末,小明跟妈妈一起逛街,妈妈给了小明10块零用钱,小明买了一个玩具后,还剩下1/2,请问,小明的玩具花了多少钱?通过设立类似的情境,让学生将乘法应用题跟自己生活中常发生的事情联系在一起,当遇到此类题目时,容易产生联想.在课堂中,可以将学生平均分成几个小组展开相关讨论,找到解题思路.

在创设情境过程中,教师应注意以下两个部分:基于情境类型来看,可以灵活变动情境教学的出现方式,吸引学生注意力,激发学生探索欲望和好奇心,更好地帮助学生感知抽象知识;基于课堂气氛来看,情境教学有利于营造良好气氛,能让学生全身心参与到课堂过程中.

二、变换多种形式,灵活讲解分数乘除法题目

分数乘除法应用题的出题方式较多,但万变不离其宗,教师应抓住应用题的中心思想,灵活变动其形式,让学生掌握“举一反三”“一题多解”的解题技巧,帮助学生理解基础知识,抓住题目的核心意思,找准题目中单位“1”的代表量,写出数量关系式.以“3是9的几分之几?”为例,可以变换为以下形式:

分析:通过这两种形式,让学生准确掌握分数乘法和除法之间的关系,在找出题目已知量和未知量的情况下,确定好使用乘法或者除法.

在这个过程中,教师应注意题目难度的变化,选择好典型例题,综合考虑学生认知特点、题目特征等方面的因素,深入了解学生知识疑难点,仔细观察每名学生的情况,进行适当的变式练习,灵活变动讲解方法,提升学生课堂参与率.如苏教版中例题:学校准备在校外修建一条长4400米的跑道,已经修了2400米,请问,再修多少米才能正好修完这条跑道的3/4?

分析:教师首先可以在黑板或大屏幕上画出一条跑道并标上4400米,帮助学生找到单位“1”,再引导学生正确地计算.

三、重视思维教学,培养学生分数乘除法思路

分数乘除法应用题应该重视思维教学,抓住学生思考方向,适时引导学生找到解题突破口,把握住应用题本质.如:在秋天农民伯伯收获了粮食,分三周卖完,第一周被买走全部的1/3,第二周被买走1/2吨,还剩下全部粮食的1/4没被买走,请问农民伯伯收获了多少吨粮食?

分析:在这个例题中主要让学生分清楚“被买走全部的1/3”“被买走1/2吨”和“剩下全部粮食的1/4”的区别,第一个是全部单位“1”中的“1/3”,而“1/2”是具体数据,“剩下全部粮食的1/4”是全部单位“1”中剩下的“1/4”.

在这个过程中,教师重点培养学生解题思维,帮助学生理顺乘法、除法和混算之间的转换.将乘除法应用题教学过程简化,使用简单的描述语言,培养学生分数乘除法思路.

四、实施因材施教,创新分数乘除法教学方式

因材施教是分数乘除法中重要教学方式,受到基础知识情况、兴趣情况等方面的影响,学生在解答应用题时,思维方式、切入点都会有所不同,因此教师必须根据学生的差异性,创新分数乘除法教学方式.如使用阶梯制教学方式:

第一阶梯:小明有36颗糖果,小红的糖果是小明的3/4,请问小红有多少糖果?

第二阶梯:小明有36颗糖果,小红的糖果是小明的3/4,小白的糖果是小红的2/5,请问小白有多少糖果?

第三阶梯:小明有36颗糖果,小红吃了1/4,小明自己吃了1/3,请问还剩下多少?

通过递进的方式,教师可以全面掌握学生情况,了解学生真正困难的地方,建立和谐的师生关系,提升分数乘除法应用题讲解有效性.

综上所述,研究小学数学分数乘除法应用题的具体教学方式.创新应用题教学课堂,需要教师加强自身修养,不断拓宽教学思路,利用学生好奇心,通过创立新颖的分数乘除法应用题教学情景,帮助学生克服心理困难,构建解答应用题的思维,找到理论知识和实际生活的沟通桥梁.注重课堂灵活教学方式,多变换应用题类型,训练学生举一反三的学习能力,培养学生良好的学习习惯,尊重学生个体独立性,以发展的眼光看待学生,以激励、表扬的方式引导学生理解分数乘除法应用题,促进学生全面健康发展.

分数乘除法应用题篇2

分数乘除法应用题

1.有一批水果，第一天运走这批水果的7分之3，正好是27吨，第2天运走这批水果的3分之1，第二天运走多少吨？

2/15*5=2/3 330/（2/3）=495

2.一种彩色电视机，现在每台的价钱比原来降低200元，比原来降低6分之1，原来没台多少元

200/(1/6)=1200

3、小丽比小兰多12张彩色画片，这个数目正好相当于小兰画片张数的3/10。小兰有多少张彩色画片？小丽有多少张？

4、小明三天看一本书，第一天看了全书的1/4，第二天看了余下的2/5，第二天比第一天多看了21页，这本书共多少页？

5、有一批货物，第一天运走了这批货物的1/4，第二天运的是第一天的3/5，还剩下180吨没有运。这批货物有多少吨？

6、修路队在一条公路上施工。第一天修了这条公路的1/4，第二修了余下的2/3。这两天共修路1200米，这条公路全长多少米？

7、加工一批零件，甲先加工了这批零件的2/5，接着已加工了余下的4/9。已知乙加工的个数比甲少200个，这批零件共有多少个？

8、学校植树，第一天完成计划的3/8，第二天完成余下2/3，第三天植树55棵，结果正好完成任务，原计划植树多少棵？

9、甲、乙、丙三人种树，甲种的棵数是乙丙和的1/2，乙种的棵数是甲丙和的1/3，已知丙种了260棵，求甲乙各种了多少棵？

10、有甲乙丙三个学校，甲校人数的1/2等于乙校人数的1/3，等于丙校人数的3/7，已知丙校比甲校多120人，求三校共有多少人？--------------------张老师

11、图书馆新购进3种书，其中工具书有180本，科技书占总数的1/3，文艺书的本数是其它两种书本数的1/5。购进的3种书共有多少本？

12、小李读一本书，已读和未读页数比是1：5，若再读30页，则已读和未读页数比是3：5，求这本书共多少页？

13、甲、乙两人原来的钱数比是7：3，现在甲拿出60元给乙，这时甲、乙两人的钱数比是2：3，求现在甲、乙两人各有多少元？

14、甲、乙、丙、丁四人共植树60棵，甲植树的棵数是其余三人的1/2，乙值树的棵数是其余三人的1/3，丙植树棵树是其余三人1/4的，丁植树多少棵？

15、某工厂有一堆煤，用去2/3，正好是4/5吨。这堆煤有多少吨？

16、某工厂有一堆煤，用去2/3吨，还剩4/5吨。这堆煤有多少吨？

17、某工厂有一堆煤共4/5吨，用去2/3。用去了多少吨？

小学数学分数乘除法应用题之浅见篇3

新课程理念提倡教师对学生“授之以渔，不能授之以鱼”。在小学数学第十一册分数乘除法应用题教学中，我认为教师应引导学生从例题及习题中归纳并掌握寻、定、画、结四个环节。

一、寻

寻，就是找寻到关键句中的分数，这是这四个环节的基础。在这一环节中，找出分数后，要让学生同学过的分数加减法应用题中的分数进行区别，否则两种题型容易混淆。

例如：1.一根绳长10米，剪去1/5米，还剩多少米？2.一根绳长10米，剪去1/5，还剩多少米？

通过比较，不难发现不同点：第一道题的分数带了数量单位，是加减法应用题；第二道题的分数没有带数量单位，是乘除法应用题。因此，在分数乘除法应用题教学中，要经常强调让学生找不带单位的分数。

二、定

定，就是确定单位“1”的量。单位“1”的量确定准确了，才能为下一环节作好铺垫。因此，我在教学中让学生从“寻”环节中找出分数后，常常反复问学生：“谁的几分之几？”单位“1”是谁？或设计一些判断单位“1”的量的一些题型来巩固这一环节，让学生在自觉与不自觉中掌握这一环节。

三、画

画，就是以“寻”环节中的分数，“定”环节中的单位“1”的量绘画出线段图。能否绘画出线段图是这四个环节的重点，也是难点。在教学中，刚接触时学生对画线段图模糊或不习惯。教师要耐心，激发他们的兴趣，多多鼓励。作业时强调必须先画线段图再解答，对画线段图困难的学生进行辅导等。久而久之，学生就会养成画线段图的好习惯。

四、结

改进分数乘除法应用题教法的设想篇4

数学知识无论是横向还是纵向都有内在联系, 通过我们的教学, 应该使知识真正联系沟通起来, 形成完整的知识体系。如果知识是割裂孤立存在的, 就很难转化成一种能力。所以, 每学一部分新知识, 都要与旧知识联系沟通, 使知识不断系统化、网络化, 学生就会联想丰富, 为进一步学习作好了必要的准备。

首先, 在教学过程中, 让学生认真观察课本中的有关例题和习题, 启发引导他们自己总结出分数应用题的结构特点, 分数应用题大都由关键句“甲是乙的几分之几、甲占乙的几分之几、甲相当于乙的几分之几、甲完成了乙的几分之几和已知甲求乙或已知乙求甲”等组成。接着引导学生分析题中的关键词:“占”左边的甲相当于被除数, 左边的乙相当于除数 (即单位1) , “的”右边的几分之几是“甲÷乙”得到的商。这样就把学生的思维引向了除法中被除数、除数与商的关系上来了。再系统复习除法中被除数、除数与商的关系:被除数=除数×商、除数=被除数÷商。这样, 就比较容易地拉近了新旧知识之间的距离, 学生就能借助旧知识轻而易举地解答分数乘除法应用题了, 而且能更深刻地理解分数应用题用乘法或除法列式的道理。

教学中, 再结合分析法和综合法, 找出已知条件和所求问题, 再运用上面阐述的知识分析所求问题是除数还是被除数, 若求除数则用除法列式, 若求被除数则用乘法列式。举例如下:

(1) 小营村有棉田45公顷, 占全村耕地面积的3/5, 全村耕地面积是多少公顷?通过读题, 找已知条件和所求问题得知, 全村耕地面积在关键词“占”的右边, 棉田45公顷在“占”的左边, 这道题是除数的应用题, 所以列式为45÷3/5。

(2) 小营村全村耕地面积为75公顷, 棉田面积占全村耕地面积的3/5, 棉田有多少公顷?通过读题, 找已知条件和所求问题得知, 这道题是已知除数求被除数的应用题, 所以用乘法列式为75×3/5。

另外, 在应用题中, 关键句是“甲比乙多 (少) 几分之几”时, 要让学生明白, 在这样的句式中“比”右边的乙是除数, 甲与乙两数的差是被除数。对于这样的应用题, 也能很容易地联系上述知识进行解答, 在这里就不举例说明了。

分数乘法与分数除法应用题篇5

一、课型：习题课

二、学习目标：能用画线段图的方法正确区分分数乘除运算，并能正确找出等量关系列出算式或方程，进一步培养学生分析解决问题的能力。

三、教学过程

（一）课前预习：

简单的分数应用题什么情况下用乘法运算？什么情况下用除法运算？是否能举例说明。

（二）平行训练

1、六年级一班有学生38人，其中女生占全班人数的

2、六年级二班有男生30人，占全班人数的

11，女生有多少人？ 193，全班有多少人？ 1055是75千克，48米的是（）米。9614、小刚比爸爸矮40cm，这个差恰好是爸爸身高的，爸爸的身高是（）cm.。

4255、一个数的是64，这个数的是多少？

383、（）千克的

(三)求比一个数多（或少）几分之几的数是多少；已知一个数比另一个数多（或少）几分之几，求另一个数

1、白兔有35只，黑兔的只数比白兔少

2、黑兔有35只，黑兔的只数比白兔少

1，问黑兔有多少只？ 71，问白兔有多少只？ 7

找规律、规范做题步骤

3、找一找、连一连

桃树有60颗，梨树有多少颗/ 1A

60×（1-）4411(2)梨树比桃树多

60×

4411(3)桃树比梨树少

60÷（1﹢）

4411(4)梨树的颗数是桃树的 D

60×（1﹢）

4411(5)桃树比梨树多

60÷

4411(6)梨树比桃树少

60÷（1-）

44(1)桃树的颗数是梨树的

（五）课堂达标

22，也就是黄花比红花少。331

（2）红花是黄花的，也就是黄花是红花的4倍。

4112、填空题：（1）4米比（）多，（）比42千克多。

371（2）甲铁丝长4米，比另一根铁丝乙少，乙铁丝长多少米？

31、判断题：（1）红花比黄花多找出等量关系（）﹢（）＝（）；

（）×（）＝（）

3、看线段图列算式或方程（1）

（2）

4、一件上衣90元，现在售价比进价贵

5、玩具厂去年创汇850万元，比前年增长了

“分数与除法”教学解析及建议篇6

“分数与除法”错例解析

分数是小学生对数的概念一次重要扩展，也是小学生对数的认识的一次重大飞跃。它对学生更好地理解数的连续性与可分割性起着非常重要的作用。分数概念不但抽象，而且复杂，是学生认识和理解时最容易出现问题的概念。特别是学生进入分数学习的第二阶段——五年级《分数的意义和性质》时，各种各样的问题如雨后春笋般陆续暴露出来。学生在学习的过程中出现诸多的不适应性和盲目性，发生的错误也随之增多。在教学“分数与除法关系”一课后，笔者的感触尤为深刻。

“分数与除法”的教学内容，是在理解了分数的意义，分数单位等知识的基础上进行教学的。在巩固的基础上，作业练习中会出现一些应用辨识性的数学问题，学生面对这些类型的题都是屡屡中招。（见典型错题1、典型错题2）

“分数与除法”归因分析

数量分率：分不清在学习小数除法时，解决每段长多少米时正确率很高。在教学完分数的意义后，学生解决每段是这根绳子的几分之几时正确率也很高，但现在将情境融合，把两个问题整合在一起提问时，学生思绪混乱，错误不断。之所以出现错误，根源在于学生没能很好地认清分数的两种身份：既可表示分率（关系），也可表示具体数量。分数表示关系可以通过运算得到，也可以通过平均分得到。分数表示数量可以通过度量得到，也可以通过计算得到。分数的双重含义都可以通过计算得到，方法的共享让学生的学习产生了负迁移。再则，学生从三年级开始接触的分数都是以分率的身份出现，平均分中只涉及连续量平均分。在教师教学或学生学习时，因缺少沟通，两种身份在头脑中相互干扰，从而导致错误。

分数意义：不深刻人教版五年级下册教材中，用份数定义的方式描述分数的意义。虽然贴近学生的生活，但也出现一些倾向性的弊端。一份或几份的说法，没有超出自然数的范围，没有显示出这是一种新的数。从教材提供的例题来看，选择的素材和呈现的情境局限在部分和整体单一的纬度上。从生活情景直接跳跃到纯粹的数学概念，没有经验支撑的抽象水平和丰富的内涵表征，学生接受分数概念的内在结构就会不稳定。另外，分数意义的核心——单位“1”，学生对它的认识存在不少问题，主要表现在以下几个方面：倾向于自我假设在同一情境中出现的各个分数具有相同的单位“1”；信息量超过自己的处理能力时，便会配合其处理能力，自行更改单位“1”或分解单位“1”。构建抽象灵活的单位“1”概念是学生构建分数概念过程中的主线。教师在教学时必须予以充分的重视。

除法意义：不领会如果对以上典型错题的这4个问题的本质追根溯源的话，它们都是小学低段的自然数除法意义的生长延伸。二年级除法的起始课《平均分》，例2和例3就渗透了两类基本的除法。在练习三中出现两类除法的题组（如图A）。第一小题属于等分除问题15÷5=3，利用的数学模型是总数÷份数=每份数。第二小题属于包含除问题15÷3=5，利用的数学模型是总数÷每份数=份数。新课程背景下的课堂教学，教师为了避免被扣上“穿新鞋走老路”之嫌，不再强调总数、每份数、份数等数学术语，而寄望学生借助生活经验和对运算意义的理解，解决此类问题。渐渐地，弱化了数量关系模型的抽象、提炼和建构，淡化了解题方法的训练。有的学生通过观察数据信息成功体验到万能解题方法——大数除以小数得出正确结果，有些学生借助具体情境也能顺利地解决问题。在这种美好的表象下，教学似乎非常成功。殊不知，对数量关系式有效建构的缺失，给学生进入高段学习埋下了可怕的隐患，因为高段数学运算已经突破了较小数不能成为被除数的界限。

均分概念：不到位在二年级下册除法的初步认识中，学生首次学习平均分概念。到了三年级上册分数的初步认识，学生应用平均分概念获得几分之一或几分之几的分数。在这两个阶段的教学时，教师特别注重两个目标问题的研究：什么叫平均分？怎么平均分？为了达成这些目标，教师主要采取动手操作的教学方式帮助学生理解平均分的意义，获得平均分的方法。但对于平均分的要领——“谁被平均分”的关注不够。进入高段学习后，数系的扩张和计算方法的泛化，学生面对具体的情境，可以提问的方式不再唯一（如典型错题案例2的问题）。如果仅明白平均分含义，忽视了解题关键的命脉——“谁把谁平均分”的明确指向，学生的判断只能跟着感觉走。没有清晰的思路，解题错误也就不可避免地产生了。

“分数与除法”解题策略

丰富表征信息，完善学生的认知结构学生对知识顿悟的前提是对需要的信息有一个完整清晰的表征信息。尤其是对那些学习比较困难的学生来说，更需要一种形象化的程序性知识，能够让学生在头脑中迅速表征出图像来。在这种情况下，一般的对策是紧密联系学生的生活经验和已有知识，引导学生借助生活经验和数学知识相似性的特点，将新知纳入到原有的知识结构中去，使学生的知识得以同化和顺应。为了让学生找到分数具有分率即关系（比）和具体数量的双重意义完整清晰的表征信息，教师必须十分注重相应知识模块的专项训练。运用说、议、画等手段，丰富个性体验，逐步完善学生的认知结构。

加强题组对比，深化所学知识的意义建构数学中的各部分知识是相互联系、相互依存的。教师从数学知识的整体出发，把有相关性的数学知识设计成具有联系性的题组让学生进行比较练习。就好像为学生搭了一个梯子，使他们沿着台阶一步一步往上走，在掌握基本知识和技能的同时，渗透比较分析归纳的思想。通过有相互联系又有区别的题组进行比较练习，既梳理了数学知识间的联系，又加深了学生对数学知识的理解。在新概念形成、新知识掌握以后，将一些形式上相似，实质不同，容易混淆的知识点加以精心设计并进行对比练习。让学生在比较中鉴别，不仅可以提高正确率，还可以加深对数学知识理解和解题方法的掌握。endprint

解析数量关系，提升问题解决能力解析数量关系是传统应用题解决的最重要的策略，新课程背景下的教学同样离不开数量关系的分析解构。随着年级的增长和知识的积累，题中呈现的数学信息量会随着思考角度的变化而变得复杂。如果教师在教学时不善于引导学生把握变化的特征和规律本质，面对问题情境，学生很难在自己已有的知识经验基础上建构“原生态”的数量关系。这时，学生往往能理出数据，却理不出头绪。见如下教学片断：

师：解决每段长几米的问题，就需要考虑谁被平均分？以谁为标准去分？分成了几份？

生1：这里是绳子被平均分。

生2：应该是绳子的长度2米被平均分。

生3：按段为标准平均分，分成了3段就是3份。

师：所以，被分的数做被除数，标准的数做除数。

师：看着这幅图，老师想到了一个问题——每米有几段呢？能解决吗？

生：每米是1.5段。

师：你是怎么想的？

生：因为这个绳子是2米长，1米的话就是在中间切开，正好把中间的一段绳子切开得到一半是0.5段，再加上1段，就是1.5段。

师：你分析的很有道理。谁能用算式简洁地表示出来？

生：3÷2=1.5（段）。

师：理由呢？

生：因为这里被分的是3段绳子就做被除数，按2米去平均分，可以分成2份做除数。

师：结果除了用小数外，还能用分数表示吗？（并相机提示分数与除法的关系）

生：能，。

师：这样的分数，同学们感觉是不是很陌生，像刚才一半用表示，再和1合并也能得到一个分数，这些分数就是我们后几节课要学的知识。

新课程理念下解决问题不要求学生规范地表达数量之间的关系，但这并不表明，教学仅停留在解决问题的策略和日常生活经验，而忽视问题的本质。探索时，学生展示的方法是其经验认知的体现。交流时，教师应有意识地引导学生对各种方法进行比较分析，形成思维水平的策略或数学模型。在上述教学片断中，由于数的范围的拓宽，以往不能解决的问题从不可能变成了可能。一组对应的数学信息：2米长和3段，通过不同的提问方式，解析得到两组不同的数量关系：每段长度=总长度÷段数，每米段数=总段数÷米数。面对这类问题，教师要善于追根刨底，点破解决要领，及时概括总结，学生的思维才能从无序走向有序、从混沌走向清晰，数学思维能力才会有质的提高。

分数乘除法应用题篇7

(1) 脱离实际生活。分数乘除法应用题教学侧重在结构、解题思路和做题程序上, 而且题目给的条件是必备的。至于是否符合实际, 题目里的数据是哪儿来的, 解决一个问题需要什么数据, 怎样得到这些数据, 教学中则很少考虑。在这种封闭的教学目标、封闭的教学方法、封闭的教学内容的熏陶下, 学生除了考试时感到学习数学有用, 平时不仅感觉不到数学的存在, 而且真正遇到生活中的数学问题需要解决时, 就连学过的知识都用不上。

(2) 机械训练, 思路刻板。部分教师认为学生通过多做练习, 就会知道如何解分数乘除法应用题这类题型。虽然经过大量地分析和计算训练, 但是学生仍然会经常出错。在小学阶段的应用题中, 学生最难以理解和掌握的就是分数乘除法应用题。这类应用题地分析、解答方法与以前所学应用题截然不同。这种教法, 解题方法呆板单一, 以致于学生只能死套公式、机械学习、不会思考、不会分析。这种教法不利于学生智力、思维的发展。

(3) 忽视数学思想方法的挖掘。教师在探究问题时, 缺乏对图与式的有效对照。部分教师教学生判断题目属于哪种类型的题就可以套用哪种解题模式解决问题。在教学过程中, 课堂枯燥乏味, 缺乏深度, 只重视对算法的探究, 忽视了计算教学以外的数学思想的渗透。其实, 教师如果将分数乘除法应用题与线段图结合, 在教学中适当地渗透数形结合思想、数学建模思想、比较思想, 可以将抽象的分数乘除法应用题形象化。学生就可以知其然并且知其所以然。

二、小学教师克服小学分数乘除法教学问题的策略

(1) 针对脱离生活实际, 采取情境教学法。在分数乘除法应用题的教学中, 教师应该结合教材提供的实例, 或者选择学生身边的生活事例, 甚至可以利用多媒体技术创设学生所熟悉的问题情境, 更好地激发学生学习的兴趣。学生可以体会到数学知识与实际生活应用的密切联系, 学生的数学应用意识和综合运用知识解决问题的能力也会得到提高。

在教学中, 教师应根据小学生的思维特点, 具有一定难度的分数乘除法应用题就应该努力贴近学生的生活实际, 尽量舍弃那种远离学生生活的应用题情境。

(2) 针对机械训练问题, 采取灵活多样的训练方式。采取自主建构新知的训练方式, 让学生有效地建构知识。解决“求一个数的几分之几是多少”“一个数的几分之几是多少, 求这个数”的问题都与分数乘法的意义、分数乘除法计算有着紧密的联系。因此, 教师在教学过程中, 应加强分数乘法的意义、分数乘除法这部分内容的教学, 使学生在已有知识的基础上, 自主建构新知识, 正确地理解并解决分数乘除法应用题。学生更应该清楚理解分数乘法的意义是正确分析、解答分数乘除法应用题的重要前提。理解分数乘法的意义与学习分数乘法应用题又是相互促进的。分数乘法应用题是一个数乘分数意义的具体体现。学生只有通过学习分数乘法应用题, 才能深入理解一个数乘分数的实际含义, 才能够领悟到:求一个数的几分之几是多少, 就是把这个数平均分成若干份, 求这样的几份是多少, 可以直接用一个数乘以几分之几来计算。在教学分数除法应用题, 同样可以用一个数乘以分数的意义列方程解题。

抓住分数乘法的意义进行教学, 为解决分数乘除法应用题奠定基础。分数乘法这一单元的教学很重要, 特别是学生对分数乘法意义的理解对解决分数乘除法应用题起着很重要的作用。

(3) 针对忽视教学思想方法问题, 采取注重思维方式的训练。抓住线段图进行数形转换的思维训练方式有利于学生正确地理解分数乘除法应用题。数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化, 变抽象思维为形象思维, 有助于把握数学问题的本质。在一开始接触分数乘法应用题时, 借助线段图有利于理解题意。虽然解题时间会长点, 但是方便理解题意, 尤其是遇到复杂的分数乘除法应用题, 线段图的作用越突出。因为分数乘除法应用题比较抽象, 直接阅读题目, 很难理解。借助线段图, 就可以更加形象地理解题意, 可以将解题难度降低。

分数乘除法应用题篇8

一、利用生活实际, 引入分数乘除法情境教学

解答分数乘除法应用题最基本的是理顺题目意思, 找准计算方法, 但很多学生容易混淆乘法、除法和乘除混合运算, 使得计算题变复杂化。在实际教学过程中, 教师可以利用情境教学法, 将应用题与生活实例相结合, 创设学生有兴趣的教学情景。如在学习“分数乘法”应用题时, 教师可以创设以下情境“:周末, 小明跟妈妈一起逛街, 妈妈给了小明10 块零用钱, 小明买了一个玩具后, 还剩下1/2, 请问, 小明的玩具花了多少钱?”, 通过设立类似的情境, 让学生将乘法应用题跟自己生活中常发生的事情联系在一起, 当遇到此类题目时, 容易产生联想。在课堂中, 可以将学生分成平均小组展开相关讨论, 找到解题思路。

在创设情境过程中, 教师应注意以下两个部分:基于情境类型来看, 可以灵活变动情境教学的出现方式, 吸引学生注意力, 激发学生探索欲望和好奇心, 更好地帮助学生感知抽象知识;基于课堂气氛来看, 情境教学有利于营造良好气氛, 能让学生全身心参与到课堂过程。

二、变换多种形式, 灵活讲解分数乘除法题目

分数乘除法应用题的出题方式较多, 但万变不离其宗, 教师应抓住应用题的中心思想, 灵活变动其形式, 让学生掌握“举一反三”、“一题多解”的解题技巧, 帮助学生理解基础知识, 抓住题目的核心意思, 找准题目中单位“1”的代表量, 写出数量关系式。以“3 是9 的几分之几?”为例, 可以变换为以下形式:

变式1:9 的1/3 是多少?答:3 。

变式2:已知x的1/3 是3, 请问x是多少? 答: 9 。

分析:通过这两种形式, 让学生准确掌握分数乘法和除法之间的关系, 在找出题目已知量和未知量的情况下, 确定好使用乘法或者除法。

在这个过程中, 教师应注意题目难度的变化, 选择好典型例题, 综合考虑学生认知特点、题目特征等方面的因素, 深入了解学生知识疑难点, 仔细观察每个学生的情况, 进行适当的变式练习, 灵活变动讲解方法, 提升学生课堂参与率。如苏教版中例题“:学校准备在校外修建一条长4400 的马拉松跑道, 已经修了2400 米, 请问, 再修多少米才能正好修完这条跑道的3/4?”

分析:教师首先可以再黑板或大屏幕上画出一条跑道并标上4400 米, 帮助学生找到单位“1”, 再引导学生正确的计算方法。

解答:4400×3/4=3300 (米)

3300-2400=900 (米)

三、重视思维教学, 培养学生分数乘除法思路

分数乘除法应用题应该重视思维教学, 抓住学生思考方向, 适时引导学生找到解题突破口, 把握住应用题本质[4]。如:“在秋天农民伯伯收获了粮食, 分三周卖完, 第一周被买走全部的1/3 吨, 第二周买走1/5 吨, 还剩下全部粮食的1/4吨没被买走, 请问农民伯伯收获了多少吨粮食?”

分析:在这个例题中主要让学生分清楚“被买走全部的1/3”、“买走1/2”和“剩下全部粮食的1/4”的区别, 第一个是全部单位“1”中的“1/3”, 而“1/2”是具体数据, “剩下全部粮食的1/4”是全部单位中的剩下的“1/4”。

解答:1-1/3-1/4=5/12

1/2÷5/12=6/5 (吨)

在这个过程中, 教师重点培养学生解题思维, 帮助学生理顺乘法、除法和混算之间的转换。将乘除法应用题教学过程简化, 使用简单的描述语言, 培养学生分数乘除法思路。

四、实施因材施教, 创新分数乘除法教学方式

因材施教是分数乘除法中重要教学方式, 受到基础知识情况、兴趣情况等方面的影响, 学生在解答应用题时, 思维方式、切入点都会有所不同, 因此教师必须根据学生的差异性, 创新分数乘除法教学方式。如使用阶梯制教学方式:

第一阶梯:小明有36 颗糖果, 小红的糖果是小明的3/4, 请问小红有多少糖果?

第二阶梯:小明有36 颗糖果, 小红的糖果是小明的3/4, 小白的糖果是小红的2/5, 请问小白有多少糖果?

第三阶梯:小明有36 颗糖果, 小红吃了1/4, 小明自己吃了1/3, 请问还剩下多少?

通过递进的方式, 教师可以全面掌握学生情况, 了解学生真正困难的地方, 建立和谐的师生关系, 提升分数乘除法应用题讲解有效性。

四、结束语

综上所述, 研究小学数学分数乘除法应用题的具体教学方式。创新应用题教学课堂, 需要教师加强自身修养, 不断拓宽教学思路, 利用学生好奇心, 通过创立新颖的分数乘除法应用题教学情景, 帮助学生克服心理困难, 构建解答应用题的思维, 找到理论知识和实际生活的沟通桥梁。注重课堂灵活教学方式, 多变换应用题类型, 训练学生举一反三的学习能力, 培养学生良好学习习惯, 尊重学生个体独立性, 以发展的眼光看待学生, 以激励、表扬的方式引导学生理解分数乘除法应用题, 促进学生全面健康发展。

参考文献

[1]孙开飞.用“整体思想”设计小学数学教学——《稍复杂的分数乘除实际问题》教学思考[J].教学与管理, 2015.17:41-42

[2]钱金戈, 周丽叶.谈在小学数学教学中发展求异思维培养学生创新能力[J].中国培训, 2015, 18:247.

[3]刘娟.体验式教学对高师生数学学习效果的实验研究[J].佳木斯职业学院学报, 2015.12:273-274

[4]杨艺辉.创设实践机会引领主动学习——谈小学生数学自主学习能力的培养[J].福建教育学院学报, 2015.11:61-62

分数乘除法应用题篇9

执教601班教学片段

1.呈现例题。

九月份阳光小学用水210吨, 比八份多用25%, 八月份用水多少吨?

2.分析题意。

师:同学们从题目中读懂了什么?

生:我读懂了九月份用水比八月份多25%, 也就是八月份用水比九月份少25%, 算式为210× (1-25%) 。

师:对于这位同学的理解, 同学们有不同的意见吗?

生:我不同意他的分析, 九月份用水比八月份多25%, 并不表示八月比九月份少25%。

师:那你是怎么理解并解答的?

生:九月份用水比八月份多25%, 就是把八月份的用水量看作单位“1”, 表示九月份用水的吨数是八月份的 (1+25%) , 即八月份用水量的 (1+25%) 是九月份用水吨数210吨。所以算式为210÷ (1+25%) 。

师:这位同学说得真好, 解答这类题目的思路就该这样分析, 大家听明白了吗?

执教602班教学片段

1.呈现例题。

妈妈买来苹果5千克, 比橘子多25%, 橘子有多少千克?

2.独立解答。

3.学生汇报。

生:我计算出橘子是6.25千克。 (50%的学生得数和他一样)

生:我计算出橘子是4千克。 (只有两位学生是该得数)

生:我计算出橘子是3.75千克。 (45%的学生得数和她相同)

4.猜测结果。

师:对于以上三个得数, 你赞成谁是正确的得数?并说一说赞成的理由。

生:橘子是6.25千克一定是不对的, 题目中一目了然告诉我们苹果比橘子多25%, 应当是苹果多。

师:这位同学的说法你们赞成吗? (全班同学都表示认同) 请得数是6.25千克的同学汇报一下你的算式, 以及列算式的想法。

生:我以为题目的意思是说橘子的质量比苹果多25%, 算式便是6× (1+25%) 。现在知道我解答的方法是不对的。

师:通过同学们的猜测, 现在觉得3.75千克和4千克这两个得数哪一个是正确的, 又该怎样验证?

生:只要假设橘子的得数分别是3.75千克和4千克, 然后计算出苹果的质量是不是比橘子多25%, 便知晓是不是正确了。

5.验证并建构。

师:用这样的验证方法可以吗? (同学们都表示赞同) 那就请同学们一一进行验证。

生:假设橘子是3.75千克, 那么苹果比橘子多百分之几的算式是 (5-3.75) ÷3.75≈33.3%, 这和题目的条件不一致。假设橘子是4千克, 那么苹果比橘子多百分之几的算式便是 (5-4) ÷5=25%, 这和题目的条件完全一致, 因此橘子的质量是4千克才是正确的。

师:听了他的解答思路, 你们有不同的意见吗? (同学们表示没有异议) 那么, 请刚才计算出得数是3.75千克的同学也来介绍一下自己的思路。

生:我觉得苹果比橘子多25%, 就表示橘子比苹果少25%, 所以算式是5× (1-25%) =3.75 (千克) 。

师:这位同学的思路为什么是不正确的?

生:苹果比橘子多25%, 并不表示橘子比苹果少25%。因为苹果比橘子多25%, 是把橘子的质量看作单位“1”, 而橘子比苹果少25%是把苹果的质量看作单位“1”。

师:那你们觉得正确的思路是怎样的?

生:苹果的质量比橘子多25%, 表示苹果的质量是橘子的 (1+25%) , 也可理解为橘子的 (1+25%) 便是苹果5千克, 用方程表示为a× (1+25%) =5, 推导出算式5÷ (1+25%) 。 (其余学生也都表示同意。)

师:现在同学们对该题的解答思路还有疑问和困惑吗? (略。)

教学反思

1.练习题。

(1) 中兴汽车销售公司2003年销售汽车800辆, 2004年的汽车销售量比2003年增加65%, 2004年销售汽车多少辆?

(2) 兴兴养殖场养鸡600只, 比养的鸭多。鸭养了多少只?

2.解答结果比较。

同一教学内容, 同一执教老师, 采用不同的教学方式, 教学效果出现很大的差异。细细品味, 以下两方面值得深思。

1.暴露学生学习的“原生态”。在教学过程中, 学生是学习的主体已成为教师的共识, 并努力附诸教学实践。但是, 当我们走进课堂, 走进学生, 仍然不难发现教师考虑学生怎样学明显少于考虑教师怎样教。一般来说, 学生在独立学习过程中必然会碰到各种各样的疑难问题。而这些疑难问题往往既是学习的障碍, 又是推动学习的动力。因此, 教师要充分呈现学生的所思、所想, 暴露学生的思维过程。对照前后两次的教学, 发现在601班执教时, 当学生出现错误思路时, 教师立即让其他学生“迫不及待”地帮助纠错, 而没有给学生足够的时空展示其真实的思考过程, 这样也就无法真正进行知识的建构。在602班执教时, 通过让学生独立解答、猜测验证、反思重构等途径, 环环相扣、层层推进, 从而和学生一起建构起正确的认知结构。

分数乘除法应用题篇10

因此,学生数学思维方法的形成过程,理应是学生在已有知识经验不断积累的基础上其数学思维得到有效迁移的过程。一线教师在教学实践中只有适时引领学生实施数学思维方法的有效迁移,才能促进学生对数学问题的思考逐步走向深入,继而形成问题解决的思维方法,并逐步内化为学生解题的技能与技巧,不断增强学生在数学应用过程中的数学悟性。

一、思维路径:有效迁移的激活点

在分数除法的简单应用过程中,学生所表现出来的思维常态路径为:一旦题中所表达的“应用意义”与分数除法的“算式意义”能够走向统一,分数除法的运算意义在解决实际问题中的数学思维就会被激活,此时的数学思考会驱使学生把分数除法的“算式意义”向分数除法的“应用意义”进行有效迁移,从而顺势利用分数除法的计算方法解决实际问题。因此,教师在教学时要能结合具体的问题情境和分数除法的固有特征,有针对性地引领学生在已有思维路径的基础上对已有知识经验进行自然迁移,使新知识的应用在旧知识的思维经验基础上自然生成。

例如,一块地有9/10公顷,3小时可以耕完,平均每小时耕多少公顷?题中虽然呈现给学生的“9/10公顷”是一个分数形式的“工作总量”,但被平均分的份数“3小时”依然是一个整数形式的“工作时间”。因此,在这种类型的分数除法应用中,学生的思维路径仍然保持着“把9/10公顷平均分成3份,求每份是多少公顷”的数学思维方法,这与9/10÷3表示“把9/10平均分成3份,表示每份是多少”的算式意义在学生的头脑中是一致的。所以,此时学生会自然把“9/10÷3”计算思路迁移到“平均每小时耕多少公顷”的应用意义的思考中,从而顺利求得解题结果。这一思维过程符合儿童的思维现实,顺应除法运算的算式意义,学生在已有知识经验的基础上,思维路径被自然打开,数学迁移被有效激活。

二、思维困惑:有效迁移的冲突点

在小学阶段,学生在对加、减、乘、除的运算意义的建构探索过程中,除法的运算意义最能驱动学生产生认知上的冲突、思维上的困惑。因为对于整数、小数、分数的加法、减法和乘法在认知上其意义始终是同一的,学生只要建立了整数的运算意义,就能顺势探索出其对应的小数或分数的运算意义。而对于除法,从整数到小数再到分数的发展过程中,学生经历了其运算意义由原先的整数的直观意义逐步向分数的抽象意义的建构,理解上形成思维困惑,无法直接触摸分数除法的运算意义,更无法把分数除法的运算意义向分数除法的应用意义迁移,继而产生了思维迁移的冲突。教师在教学时要抓住整数除法的应用意义和分数除法的应用意义的异同点,有效捕捉学生思维困惑过程中数学迁移的冲突点,促使学生的数学思考由直观思维上升到抽象思维,由概念抽象走向数学质疑,由思维困惑走向理解内化。

例如,上题变式为:一块地有9/10公顷,3/4小时可以耕完,平均每小时耕多少公顷?原先的“3 小时可以耕完,求平均每小时耕多少公顷”在学生脑海里形成的“平均分”的数学思维能直接得到有效迁移,现在换成“3/4小时”这样的分数形式,学生此时无法直观理解,更不会直接想到用除法算式去计算。从学生的思维经验和已有知识分析,此时学生的思维状态会呈现出如下过程:求平均每小时耕多少公顷?一定是超过1 小时的公顷数量,经过平均分,可以得到每小时耕地的公顷数量。当把整数变成真分数,学生产生认知冲突:“3/4小时”没有“1 小时”多或者不满1 小时,无法平均分。学生的思维处于迷茫、困惑状态,数学思考无法进行下去,更不会想到用除法来算。即使是换成大于1 小时的假分数,学生的思维依然无法进行下去,因为此时学生缺失了这一数学概念的思维基础和经验,缺少了思考这一问题的思维支撑。所以,从整数除法的应用意义到分数除法的应用意义的迁移中,看似其思考问题的路径是一致的,可是在相同路径上学生所产生的思维深度和性质却是不一样的,因为这一思考路径不符合学生的思维现实,也不符合学生的学习现实,未能顺应学生的思维特征和认知特点。因而,在分数除法里,每当除数从整数变化到分数,对除法意义进行迁移时就会形成思维上的障碍,产生认知冲突,学生此时需要寻求思考此类数学问题的思维支撑。

三、思维依托:有效迁移的支撑点

在数学思考过程中,学生的大脑时常会呈现出树枝网状的思维结构,只要探寻到每一节的思维支点,学生就会顺着网状的思维枝丫一节一节地深入下去,最终到达解决问题的彼岸。所以,当学生的思维徘徊在问题分析的十字路口,迷失了解决问题的思维方向时,教师要能从儿童的思维现实出发,抓住数学概念之间的前后联系和知识的生长点,探寻知识形成过程中的思维依托,让学生有“知”可依,有“经”可循。即在已有知识和经验的基础上,形成有效迁移的思维支点,继而萌发解决问题的数学思维方法。

教材传递给学生对于分数除法的应用经验是根据乘法数量关系式列方程解答,初步为学生提供分数除法应用的思维依托。因此,教学时教师必须从学生的思维经验出发,借助列方程解题过程中所需数量关系的思维依托,逐步引领学生建构起分数除法的初步意义。还以上题为例在耕地效率不变的情况下,3/4小时的耕地量一定是1小时的34,由此引导学生得出数量关系式:1小时的耕地公顷数×3/4=34小时耕地的公顷数。从而让学生感受到,要求1小时的耕地公顷数实际上是用“3/4小时耕地的公顷数”除以“3/4”可以得到。在如此解题思考过程中,学生已经初步感知了分数除法的思考方法,此时学生经历了从分数乘法数量关系中捕捉到分数除法的应用方法后,学生对于分数除法意义建构的数学思维受到“摇动”,教师顺势“推动”除法“包含除”的意义理解,引领学生联想和思考:1小时里面有几个3/4小时就表示有几个3/4小时耕地的公顷数,这样就可以用1小时除以3/4小时,得到了包含几个34小时的个数,再乘34小时耕地的公顷数(910公顷),即910×(1÷34)=910÷34,从而顺利理解了“用3/4小时耕地的公顷数除以3/4小时,就得到每小时耕地的公顷数”的应用意义。如此引领学生由“根据乘法数量关系列方程解答”的思维“摇动”除法运算意义的思维,再由除法“包含除”运算意义的思维“推动”分数除法应用意义的思维,学生对分数除法意义运用的思维就会被唤醒。只有这样,引领学生从两个维度进行数学思考,学生才会在分数除法的意义建构过程中找到相应的思维依托,并在体验过程中,初步感受到“3/4小时耕了9/10公顷,要求平均每小时耕多少公顷?”依然可以直接用分数除法进行计算。但如何让学生能彻悟此分数除法应用中的运算意义,还需要帮助学生揭示其中“等份除”的含义,才会支撑着学生对分数除法应用的理解与掌握走向直观化和明朗化。

四、思维顿悟:有效迁移的着力点

数学迁移是数学理解的前提,是知识内化的根基。所以,思维顿悟是数学迁移过程中的思维着力点,它会在数学思考活动中不断引导学生自主发现数学规律,领悟数学思想,掌握数学方法。当学生的大脑经历了思维路径、思维困惑、思维依托的思维活动后,对于分数除法的意义理解得以顿悟,激发了学生用“整数倍”的思维向“非整数倍”的思维进行有效迁移,促使分数除法的运算意义由抽象走向直观,促进了除法运算意义和解决问题的有效融合,助推了学生对分数除法简单应用的数学思维方法的形成。

因此,经过上述思维活动后,学生已经坚信:一块地有9/10公顷,无论是“3小时可以耕完”还是“3/4小时可以耕完”,要求平均每小时耕地多少公顷,均可以直接列除法算式计算。由此,当“耕地时间”在整数数量到分数数量的变化过程中,学生的数学思维产生如下顿悟,数学方法得到有效迁移。

学生从“一块地有9/10公顷,3小时可以耕完,平均每小时耕地多少公顷?”不难想到,问题要求的是“每份数”,3小时不是“一份数”,它显然是一个“多份数”,就可以把9/10公顷平均分成3份,继而求出“每份数”,即平均每小时耕多少公顷。而对于某一个数,要么是“一份数”,要么就是“多份数”,所以对于“3/4小时”抑或任意一个诸如1/4、5/4等真、假分数,它既然不是“一份数”,就可以看作是一个“多份数”。因此,既然是一个“多份数”,就可以根据“平均分”的含义,直接除以这个“多份数”,从而求得“每份数”。这样学生就会把除数是整数的分数除法的方法顺利迁移到除数是分数的分数除法上来,有效突破了分数除法意义难于理解的教学难点,加深了对分数除法意义的直观理解和自然建构。所以,学生只有从自己的已有知识经验出发,经历解决问题的思维过程,才会产生寻求数学方法的思维冲动,学生的思维才会顿悟,继而激发学生探寻数学迁移的连接点,最终形成解决实际问题的直接思维方法和数学技能。

分数乘除法应用题篇11

一、丰富背景与单一背景之间的两难选择

人总是以已有知识作为背景，去认识、获取新知识，分数除法的背景较多，有整数除法的背景、除法是乘法的逆运算的背景、分数乘法的背景等。以1÷为例，它可以建立在以下背景之上：

1.包含背景：求1中有多少个，或的多少倍是1。

2.等分背景：求一个数，使得它的是1。

3.乘积背景：求乘以得乘积为1的因数。

小学数学教材所给的背景与教师选择的背景不同，苏教版和北师大版教材中的分数除以整数、整数除以分数都以“分物”为背景，归纳分数除法的算法。而有些教师利用“除法是乘法的逆运算”这一背景开展分数除法的教学。设：÷=，由除法是乘法的逆运算可得：×=，3×x=3，4×y=8，x=3÷3，y=8÷4，综合起来就是÷===，如果省略过程，呈现在学生眼前的就是：÷==。接下来考虑，发现÷==这个规律依然成立，最后，通过“划归”的方法，探讨一般分数的除法，从而得到：÷=÷==。

从上面的分析可以看出：教师和教材在分数除法算法及其含意的理解上有分歧，双方都把这种算法引入到不同的背景中，当然这种认识上的差异是必然的，甚至是积极的，但要引导师生进行有效的对话，就不能采用有分歧的背景，而必须共同观察相同的参考背景。分数除法教学时，应考察同一个背景——“分物”，它是除法运算的一个联结因素，它在以前的除法和分数除法之间建立了联系，分数除法的算法也有了合情合理的解释。

香港地区也用类似于“分物”的背景来教学整数除以分数。在实践活动中通过折纸发现：1（2，3，4）包含了多少个？推算：8包含了多少个？学生探究出：整数÷=整数×4。在探究活动环节，要求学生利用小组内的手工纸，找出：3张手工纸包含了多少个？

二、知识载体与知识含义之间的两难推理

我们都知道，在数学知识的每一次介入中存在一个基本的认识论二难推理：教师想提供新知识给学生时，他们必须使用新知识的载体（符号与图表），当然符号与图表之间由某些严密的规则相联系。教学过程中必须使学生的注意力集中在这些知识载体上，然而，知识的含义并不包含在这些载体中，要让学生知道知识含义，就必须要学生自己去探索。也就是说，学生不能从知识载体直接读出知识含义，必须从中主动地重新建构。这是分数除法教学必须要面对的问题。

以苏教版小学数学教材六年级上册第46页的练一练为例，阐明这个认识论难题。

我们知道，对于÷=×=2，一方面，用某些运算符号联结起来的数学表示形成了一个小小的运算体系；另一方面，教材想借助一个几何背景，为符号与运算提供含义。右上角的图形以什么样的方式赋予÷=2含义呢？对于和，其中一个分数的分母是另一分数的倍数，似乎需要预先假定某一类分数，用来表明图形与公式之间最初的相互作用。这种相互作用还有另外的一些暗示：在右上角的长方形中，对1和单位的理解必须是可变动的。10个小方块是单位，与的比例分别是3个长方形（每一个长方形有2个小方块）与含3个小方块的一个长方形的比列。解释÷=2时，对“2”的认识论含意要根据单位的改变而改变。2可以这样理解：将解释为，将÷改成÷，计算÷时，可以不考虑分母10，只相当于运算就行了。

以上的分析表明，单位的解释要改变，首先，含有10个方块的大长方形表示单位1，接着，单独的方块也表示单位1。这种认识上的改变源于对的再认识，像这样的一个分数，并非仅仅是简单的两个具体数字6和10的关系，而是大量这类关系如：、、、……的一个代表。谁是其中的代表要根据几何图形与给定的数值符号而定。

分数除法教学中遇到的认识论难题就是，要以符号载体来传送知识，同时又要超越这些具体载体。所以在课堂里，教师必须给学生呈现特定背景下的学习情境，从而可以在交流中分享，最后，借助于概括，创设一个消除背景的过程，帮助学生自觉重建隐藏在背景后面的数学知识的含意。

三、逻辑标准与数学标准之间的两难评价

我们都知道，不同的人利用不同的数学知识背景得到不同的认识结构，分数除法教学也不例外。除了通常的“颠倒法”之外，有些研究者推荐了“通分法”。如苏教版小学数学教材六年级上册第46页的练一练，÷，可以这样来计算：把通分为，再和比较，看看包含几个，也就是：÷=÷=6÷3=2。康托就曾经这样写道：“数学在它自身的发展中完全是自由的，对它的概念的限制只在于：必须是无矛盾的并且和先前定义引进的概念相协调。”这是数学研究的逻辑标准。而“数学标准是关于研究工作‘数学意义’的分析。如新的研究是否有利于认识的深化以及方法论上的进步等。”

前面所讲用“通分法”来解决分数除法，从逻辑标准上来评价是没有任何问题的，可能有人还会认为若用直观图来解释“通分法”的算理更能体现其优越性，历史上也出现了一些其他类似的独特方法。但为什么这些方法最终都被人们所抛弃，而唯独留下“颠倒法”呢？我们是不是应该从“数学标准”的角度来评价一下“通分法”。从计算方法来讲，“通分法”是把分数除法转化为整数除法，这种方法当然可行，但是不是最简洁、最有效的方法呢？前面我们已经学习了分数的乘法，为什么非要通过复杂的通分而计算出结果呢？转化为刚学的分数乘法岂不更好。正如皮亚杰曾指出：“在更高的层次上对已有的东西重新进行构建，并使前者成为一个更大结构的一个部分。这样，我们最终就获得了一个无限丰富，而又层次分明、井然有序的数学世界。”

当然，“通分法”与“颠倒法”并不矛盾，不能否认“通分法”，因为有了这种方法，我们才能从更为广泛的角度去理解知识。但是教师不能因为“颠倒法”难理解而抓住“通分法”不放，教师要善于从“数学标准”的角度去评价 “通分法”和“颠倒法”，让学生真正理解“颠倒法”这种算法所体现的“数学系统的内部和谐”。

四、理解保持与记忆结论之间的两难平衡

数学教学中有一对矛盾——理解和记忆，分数除法教学也不例外。因为学生对分数乘法的算理——“颠倒法”难于理解，而利用“颠倒法”来计算分数除法又如此简单。如何解决这个矛盾？不少学者提议：先记忆，再理解，先让学生反复练习，记住算理，然后再来理解算理。他们的理由是学生的理解能力有差异，不是所有学生都能在四十分钟内完全理解算理的，对于程序性知识，可以先知其然，然后知其所以然。我们仔细分析“先记忆，再理解”这一“缓冲”的方法，其实有时是很难实现的。教师要让学生记忆算法，就必须通过训练达到熟练的程度，这固然是一件好事。但有时过早、过多的训练，学生的理解的保持会受到训练的严重威胁，他们才不会努力理解这些“显而易见”的算法。

弗赖登塔尔在《数学教育再探》一书中指出：“算法是一种完全极端的情况，它一旦被掌握，或确信被掌握，人们很可能就不理会它们的来源。的确，算法最大的优点就是它们能机械地进行。但是当它们变得无用，或甚至对数学本身的目标构成危害（即把数学和操作算法等同起来）时，它们就变成了缺点。”教师的工作不是教学生仅知道应用“颠倒法”快速得到答案，关键是要让学生理解这个算法的真正意义。

如何更好地解决理解保持与记忆结论之间的矛盾，弗赖登塔尔给出的建议是：“让学习者在他的学习过程中反思”。一个孩子或成年人告诉你“除以一个分数等于乘以它的倒数。”你继续问他们这是为什么？然而他们中的大部分不能解释这是为什么。最可怕的是：他们可能认为这件事不值得讨论。难道他们都是通过死记硬背学会这些法则的吗？可能事实不是这样的，当你要求他们用画图或具体事物来解决 ÷时，他们会有多种直观的方法解释这个问题。如：有一个块的蛋糕，每人分这块蛋糕的，问能发给几个人？或者把这个问题转化为整数问题：12个面包的是8，12个面包的是2，这样就把÷的问题转化成8÷2。这和用倒数相乘得到的答案是一致的。就像弗赖登塔尔所提建议：“与其教这些法则，不如让他们讨论他们的直觉，教他们反思那些看起来明显的事情。”