直觉模糊

2024-10-26

直觉模糊（精选8篇）

直觉模糊篇1

1 引言

为了解决赋权问题, 许多学者进行了深入的研究, 提出了一系列主观赋权法和客观赋权法。主观赋权法能反映决策者的偏好信息, 但是具有较大的主观随意性。客观赋权法弥补了此不足, 但忽视了主观判断。在主观赋权法和客观赋权法的基础上, 相关学者提出了组合赋权法, 该方法结合了主、客观赋权法的优点, 规避了各自的不足。

上述对赋权法的研究为解决权重未知的模糊多准则决策问题指明了方向。准则权重的赋值实际上是一个多目标问题, 而目前存在的方法都是单一目标的, 在决策精度要求较高时这些方法显得粗糙。直觉区间数相较于普通区间数多了隶属度、非隶属度的概念, 目前尚没有针对这些信息来解决权重赋值问题的研究。为此, 本文在研究直觉区间数的运算规则和记分函数的基础上, 给出多目标求解准则权重的方法, 并将其用于多准则决策。

2 直觉区间数

定义1:实数集上的直觉区间数定义为:undefined;μundefined, υundefined>, 其中, [aL, aU] 为其区间部分, <μundefined, υundefined>为其直觉部分。

定义2:设undefined;μi, υi> (i=1, 2) 为两个直觉区间数, undefined, 则有:

定义3:直觉区间数undefined的记分函数为:

undefined

记分函数越大, 则模糊数越大。

3 权重赋值方法

综合直觉区间数的特点, 权重求解考虑两个目标:准则在方案中的隶属度越大, 非隶属度越小, 表明此准则越能体现该方案的特点, 权重越大;各方案在某准则下的区分度越大, 表明该准则区分方案的能力越强, 权重越大。因此定义如下:

定义4:设多准则决策问题的准则是一组直觉区间数undefined;μij, υij>, 准则权重计算公式如下:

undefined,

准则j的权重是:

undefined

归一化权重, 即令undefined, 由此得到

undefined。

4 权重未知的直觉区间模糊多准则决策方法

对于一多准则决策问题, 设有m个方案A={A1, A2, …, Am}, n个决策准则C={C1, C2, …, Cn}, 准则权重未知, 试选出最佳方案。决策步骤如下:

步骤1:构造决策矩阵并规范化;

步骤2:根据定义4计算最优权重向量ωj;

步骤3:计算各方案综合属性值:undefined;

步骤4:对Zi进行排序, 进而得到方案的排序。

5 结论

本文定义了直觉区间数的运算规则和记分函数, 提出求解准则权重的多目标赋值方法, 进而给出准则权重未知的直觉区间模糊多准则决策方法, 并详细讨论了其实现步骤。本文提供的方法避免了单一目标的局限性, 更充分的模拟了现实环境, 因此利用此方法求解直觉区间模糊多准则决策问题可以更准确的反映真实结果。

摘要：从两个方面推导准则权重的求解方法, 用多目标的思想处理准则权重赋值问题, 以估计缺失权重。同时给出直觉区间数的运算规则和记分函数, 提出准则权重未知的直觉区间模糊多准则决策方法。

关键词：多准则决策,直觉区间数,权重未知

参考文献

[1]Wei G W.Maximizing deviation method for multiple attribute decision making in intuitionistic fuzzy setting[J].KnowledgeBased Systems, 2008, 21:833-836.

[2]刘培德, 关忠良.属性权重未知的连续风险型多属性决策研究[J].系统工程与电子技术, 2009, 31:2133-2136, 2150.

[3]Wang J Q, Li J J.Multi-criteria fuzzy decision-making method based on cross entropy and score functions[J].Expert Systems with Applications, 2011, 38:1032-1038.

直觉模糊篇2

在格蕴涵代数关联滤子研究成果的基础上,将直觉模糊集理论与格蕴涵代数的关联滤子的结构及性质相结合,给出了格蕴涵代数中的直觉模糊关联滤子的`定义,讨论了格蕴涵代数中直觉模糊滤子和直觉模糊关联滤子之间的关系,证明了在格蕴涵代数中直觉模糊关联滤子是直觉模糊滤子.同时,文中还研究了直觉模糊关联滤子的一些代数性质.

作者：许伟涛徐扬潘小东 XU Wei-tao XU Yang PAN Xiao-dong 作者单位：许伟涛,徐扬,XU Wei-tao,XU Yang(西南交通大学,智能控制开发中心,四川,成都,610031)

潘小东,PAN Xiao-dong(西南交通大学,数学学院,四川,成都,610031)

刊名：江南大学学报（自然科学版） ISTIC英文刊名：JOURNAL OF SOUTHERN YANGTZE UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION) 年，卷(期)： 8(6) 分类号：O153 O159 关键词：格蕴涵代数模糊关联滤子直觉模糊滤子直觉模糊关联滤子

直觉模糊篇3

关键词：亚BCI代数,直觉模糊理想,直积

自从1966年,K.Iseki引入了BCK-代数和BCI-代数以来,随着BCI-代数理论的发展,许多文献研究了结合BCI-代数、广义结合BCI-代数、拟结合BCI-代数。作为BCI-代数的推广,胡庆平引入了BCH-代数的概念并讨论了它的相关性质[1]。作者推广了BCH-代数,引入并讨论了亚BCI-代数[2]。模糊集和直觉模糊集的概念被广泛地应用于BCK-代数,BCI-代数,BCH-代数和亚BCI-代数等各类代数系统[3,4]。本文在这些文献的基础上,将直觉模糊集的概念应用于亚BCI-代数,引入亚BCI-代数的直觉模糊理想的概念,讨论它的性质,进一步讨论直觉模糊理想直积的性质。

为了以下讨论方便,先给出相关的概念。

定义[2] 一个(2,0)型代数(X,*,0)称为亚BCI-代数,如果对任意x,y,z∈X它满足条件:

(1) x×x=0;

(2) x×0=x;

(3) (x×y)×z=(x×z)×y。

这里*是定义在X上的二元运算。

1 主要结果

定义1.1 设X是亚BCI-代数,形如

A={<x,uA(x),vA(x)>|x∈X},

其中0≤uA(x)+vA(x)≤1的三元组称为X上的一个直觉模糊集,uA:X→[0,1]和νA:X→[0,1]均为X上的普通模糊集,这里uA(x)和vA(x)分别表示X上元素x属于A的隶属度和非隶属度。

为方便起见,将直觉模糊集A记为

A={<x,uA(x),vA(x)>|x∈X},

并用IF[X]表示X上所有直觉模糊集构成的集合。

定义1.2 设A∈IF[X],如果对任意x,y∈X,下面条件成立:

(IF1)uA(0)≥uA(x),vA(0)≤vA(x),

(IF2)uA(x)≥min{uA(x*y),uA(y)},

(IF3)vA(x)≤max{vA(x*y),vA(y)}。

则称A是X的直觉模糊理想.

定义1.3 设

A1={<x,uA1(x),vA1(x)>|x∈X},

A2={<y,uA2(y),vA2(y)>|y∈X}。

是亚BCI-代数X的直觉模糊子集,定义A1和A2的直积为A1×A2=<z,uA1×A2(z),vA1×A2(z))>,

其中z=(x,y)∈X×X,

uA1×A2(z)=min(uA1(x),uA2(y)),

vA1×A2(z)=max(vA1(x),vA2(y))。

定理1.1 如果A1和A2是X的直觉模糊理想, 则A1×A2是X×X的直觉模糊理想。

证明:对于任意(x,y)∈X×X,

uA1×A2((0,0))=min(uA1(0),uA2(0))≥min(uA1(x),uA2(y))=uA1×A2((x,y))。

vA1×A2((0,0))=max(vA1(0),vA2(0))≤max(vA1(x),vA2(y))=vA1×A2((x,y))。

对于任意(x1,y1),(x2,y2)∈X×X,

uA1×A2((x1,y1))=min(uA1(x1),uA2(y1))≥

min(min{uA1(x1*x2),uA1(x2)},

min{uA2(y1*y2),uA2(y2)})=min(min{uA1(x1*x2),uA2(y1*y2)},

min{uA1(x2),uA2(y2)})=min(uA1×A2(x1×x2,y1×y2),uA1×A2(x2,y2))=min(uA1×A2((x1,y1)×(x2,y2)),uA1×A2(x2,y2))。

同样可证

vA1×A2((x1,y1))=max(vA1(x1),vA2(y1))≤

max(vA1×A2((x1,y1)×

(x2,y2)),vA1×A2(x2,y2))。

由定义1.2可知A1×A2是X×X的直觉模糊理想。

定理1.2 如果A1和A2是X的直觉模糊理想, 则

∏(A1×A2)=<z,uA1×A2(z),1-uA1×A2(z))>是X×X的直觉模糊理想。

证明:令wA1×A2(z)=1-uA1×A2(z),由定义1.2需要证明wA1×A2(z)满足定义条件(IF1)和(IF3),而(IF1)显然成立。对于任意(x,y)∈X×X,

wA1×A2(x)=1-uA1×A2(x)≤1-min{uA1×A2(x×y),

uA1×A2(y)}≤max{1-uA1×A2(x×y),1-

uA1×A2(y)}=max{wA1×A2(x×y),wA1×A2(y)}。

因此∏(A1×A2)是X×X的直觉模糊理想。

类似于定理1.2的证明,容易得到下面的定理。

定理1.3 如果A1和A2是X的直觉模糊理想, 则

ᐁ(A1×A2)=<z,1-vA1×A2(z),vA1×A2(z))>

是X×X的直觉模糊理想。

由定理1.2和定理1.3不难证明下面的定理。

定理1.4 如果A1和A2是X的直觉模糊理想, 当且仅当∏(A1×A2)和ᐁ(A1×A2)都是X×X的直觉模糊理想。

定义1.4 设A∈IF[X],如果对任意x,y∈X,下面条件成立:

(IF2)uA(x)≥min{uA(x×y),uA(y)},

(IF3)vA(x)≤max{vA(x×y),vA(y)},

(IF4)uA(0*x)≥uA(x),vA(0×x)≤vA(x),

则称A是X的直觉模糊闭理想。

与定理1.1到定理1.4类似,下面的几个定理可以采用同样的方法证明,这里只给出定理1.5的证明。

定理1.5 如果A1和A2是X的直觉模糊闭理想, 则A1×A2是X×X的直觉模糊闭理想。

证明:对于任意(x,y)∈X×X,

uA1×A2((0,0)*(x,y))=uA1×A2((0×x,0×y))=

min(uA1(0×x),uA2(0×y))≥

min(uA1(x),uA2(y))=uA1×A2((x,y))。

同样可得vA1×A2((0,0)×(x,y))≤vA1×A2((x,y)),所以A1×A2是X×X的直觉模糊闭理想。

定理1.6 如果A1和A2是X的直觉模糊闭理想, 则

∏(A1×A2)=<z,uA1×A2(z),1-uA1×A2(z))>是X×X的直觉模糊闭理想。

定理1.7 如果A1和A2是X的直觉模糊闭理想, 则

ᐁ(A1×A2)=<z,1-vA1×A2(z),vA1×A2(z))>是X×X的直觉模糊闭理想。

定理1.8 如果A1和A2是X的直觉模糊闭理想, 当且仅当∏(A1×A2)和ᐁ(A1×A2)都是X×X的直觉模糊闭理想。

2 结论

本文在亚BCI-代数中引入了直觉模糊理想和直觉模糊闭理想的概念,讨论直觉模糊理想直积的相关性质,并利用直积给出了亚BCI-代数直觉模糊理想的充要条件。同样,也讨论了直觉模糊闭理想的相关结果。这些研究结果丰富了亚BCI-代数的研究内容和方法。

参考文献

[1]胡庆平.BCI-代数.西安:陕西科学技术出版社,1987,220—260

[2]陈露,蒲义书.亚BCI-代数及其理想.纯粹数学与应用数学,2005;21(3):250—254

[3]王丰效.Quasi-associative ideals and quasi-associative fuzzy ideals inBCH-algebras.模糊系统与数学,2007;21(3):33—37

基于相对熵的直觉模糊聚类方法篇4

模式分类和聚类是模式识别、人工智能、专家系统和众多应用领域研究的核心和热点[1],尤其是目前众多应用领域所面临的模糊聚类问题,例如在医疗信息处理、环境评估、故障诊断、战场态势评估和风险评估等方面[2]。由于主观或者客观因素,上述领域所得到的数据信息往往是不完全或者不精确的,因此模糊集已成为处理这类不确定或者不完全信息的核心方法[3],由此专家学者提出了一系列模糊分类和聚类方法,例如C均值模糊聚类方法、可能C均值模糊聚类方法、比重模糊隶属度方法、模糊支持向量机和模糊神经网络等[4 - 5]。但是模糊集是建立在隶属度和非隶属度( 两者之和为1) 的基础上,对于不完全或者存在未知的不确定数据不能有效地描述。在模糊集的基础上,Atanassov[6]提出了直觉模糊集,直觉模糊集同时考虑了隶属度、非隶属度和犹豫度( 三者之和为1) ,更便于准确地描述不确定数据信息。基于直觉模糊集理论,众多专家学者提出了一系列的分类和聚类方法。徐泽水先后提出了基于直觉模糊集相似度的聚类方法和直觉模糊分层聚类方法[7 - 8]。Hung[9]定义了直觉模糊集的差异度,并给出了直觉模糊环境下的聚类方法。 Kaur[10]提出了基于核函数的直觉模糊聚类方法。在直觉模糊集的理论框架内,还构建了一些其他的聚类方法,可参考文献[11]。

针对直觉模糊集作为样本集的聚类问题,相关研究还处于初级阶段。基于直觉模糊集的定义,可有效地通过相对熵来衡量直觉模糊集样本之间的差异程度,因此本文提出了基于相对熵的直觉模糊聚类方法。

1预备知识

1. 1直觉模糊集

Atanassov[6]在模糊集的基础上,在1983年引入了直觉模糊集。自从直觉模糊集被提出以后,已应用于众多领域,例如模式识别、图像处理和多属性决策等。

定义1设X为一非空集合,称A = { (x,μA( x) ,νA( x)) x∈X} 为X上的直觉模糊集,其中 μA: X → [0,1],νA: X → [0,1],且满足 μA( x) + νA( x) ∈[0,1] 。

其中,πA( x) = 1 - μA( x) - νA( x) 称之为犹豫度。若 πA( x) = 0,则直觉模糊集A退化为一模糊集。

1. 2相对熵概述

定义2设p( x)和q( x)是X上的两个离散的随机概率分布,则p( x) 和q( x) 之间的相对熵定义如下:

其中,定义约定。

相对熵的定义说明其可以有效地衡量两个概率分布之间的差异程度,但在具体应用中,相对熵存在一定的局限性: 1相对熵D (p,q) 为一非对称的度量,即一般情况下D(p,q)≠D(q,p); 不便于计算机实现。为了有效地克服相对熵在应用中的缺陷,定义:

其中, 。H(p,q不仅满足对称性,而且可有效地衡量两个离散随机概率分布之间的差异性。

设 α = (μ1,ν1,π1)和 β = (μ2,ν2,π2)为两个直觉模糊数,则基于H(p,q)的定义,H(α,β)是客观描述 α 与 β 差异性的一类有效的方法。

2聚类方法及数值算例

2. 1聚类方法

本文所提出的聚类方法,其核心思想是依据提出的改进的相对熵( 公式( 2) ) 可有效地衡量表示为两个直觉模糊数样本的差异程度,在其基础上构建聚类规则,实现样本的聚类。

定义3设 α = (μ1,ν1,π1)和 β = (μ2,ν2,π2)为两个直觉模糊数,定义:

为 α 与 β 的差异度系数。

定义4设Ai(i = 1,2,…,n) 为n个X = {x1,x2,…,xr}上的直觉模糊集,则称T = [θij]n × n为直觉模糊集的差异度矩阵,θij= θ( Ai,Aj)为直觉模糊集Ai和Aj的差异度系数,

其中, ,Ai(xl)表示直觉模糊集Ai在xl上的直觉模糊数。

定义5设T = [θij]n × n为差异度矩阵,则称T2= T·T = [ij]n × n为T的合成矩阵,其中:

根据定义3 - 5,可获取下述定理。

定理1设T = [θij]n × n为直觉模糊集的差异度矩阵,则经过2的指数次方有限合成,即:

必存在一自然数m,使得T2m= T2m + 1,并称T2m为等价差异度矩阵。

定义6设T = [θij]n × n为直觉模糊集的差异度矩阵,称Tλ= [^θij]n × n为T的 λ 截矩阵( λ∈[0,1]), 其中,

1首先引入直觉模糊环境下的聚类问题:

给定一组在X = {x1,x2,…,xn}上的直觉模糊样本集Ai(i = 1,2,…,m) ,赋予xj(j = 1,2,…,n) 的权重为wj,满足。

2其次,给出上述问题的聚类方法,如下:

Step 1计算样本间的差异度系数,构造差异度矩阵T。

Step 2若T为等价差异度矩阵,则转Step 3; 否则依据定理1,对T经过2的指数次方合成,求取等价差异度矩阵。

Step 3假设T为等价差异度矩阵( 若非等价差异度矩阵,可经过有限次合成进行获取) ,利用公式( 7) 构造 λ 截矩阵Tλ。

Step 4若Tλ中的第i行中的所有元素和第j行中的所有元素均相同,则样本Ai和Aj属于一类,以此类推,实现样本的有效聚类。

2. 2数值算例

某一材料分类问题[12],包含了8种属性X ={x1,x2,…,x8},且属性权重是一样的,即wj=1/8(j = 1,2,…,8) , 现有5组样本数据Ai(i = 1,2,3,4,5) ,如表1所示。

基于本文2. 1节提出的聚类方法,对上述样本的聚类过程如下:

Step 1根据公式( 4) ,获得差异度矩阵:

Step 2根据定义5,计算T2,可得:

由于T2≠T,计算T4= T2·T2,可得:

由于T4≠T2,进一步计算T8= T4·T4,可得:

经计算T8= T4,故T4为等价差异度矩阵。

Step 3在等价差异度矩阵T4的基础上,取值不同的 λ,聚类过程如下:

1若 λ≤0. 8614,则得到的截矩阵为:

根据聚类规则,聚类结果为A1,A2,A3,A4{,A}5。

2若0.8614<λ≤0.9003,则得到的截矩阵为:

根据聚类规则,聚类结果为{A1}和{A2,A3,A4,A5}。

3若0. 9003 < λ≤0. 9347,则得到的截矩阵为:

根据聚类规则,聚类结果为{A1}、{ A2,A3}和{A4,A5}。

4若0. 9347 < λ≤0. 9480,则得到的截矩阵为:

根据聚类规则,聚类结果为{A1}、{ A2,A3}、 {A4}和{A5}。

5若0. 9480 < λ≤1,则得到的截矩阵为:

根据聚类规则,聚类结果为{A1}、{A2}、{A3}、 {A4}和{A5}。

通过以上的数值算例可以看出,本文提出的基于相对熵的直觉模糊聚类方法可有效地解决样本表示为区间直觉模糊集的聚类问题,且可根据具体应用环境的差异,选择聚类的数目。

3结束语

本文针对实际应用环境中产生的不确定性数据的聚类问题,提出了基于相对熵的直觉模糊聚类方法。1在应用中改进了相对熵的计算方法,实现了随机变量差异性度量的对称性,也便于计算实现; 2定义了直觉模糊集的差异度、直觉模糊差异度矩阵、直觉模糊差异度矩阵的合成矩阵以及等价关联差异度矩阵; 3在此基础上提出了直觉模糊环境下的聚类方法; 4通过数值算例验证了方法的可行性和有效性。

直觉模糊篇5

目前,大部分高等院校都已意识到教学评估的重要性,以至在平常的教学管理中将研究生课程教学质量的评估作为一项重要的工作内容。一般的,对教师教学质量进行评价主要通过学生评价、专家评价、同行评价、教师自评等四个环节分别进行,然后综合出最后的评价结果。对于具体的教学质量评价方法,不同学校针对学校的教学科研环境以及对研究生的要求,各个学校的研究者提出了许多教学质量评价方法。昝欣等人[1]以熵理论为基础,结合研究生教学管理机构对系统内信息流的影响,从信息流通时效性和准确性角度,对管理机构的有序度进行评价。王芳等人[2]详细介绍了研究生教学评估指标体系的建立及实践方法。赵忠[3]根据研究生教学特点以及教学质量的评价原则,构建了一种研究生教学质量的评价体系。滕居特等人[4]提出了将模糊综合评价方法应用于研究生教育评估的多级模糊综合评价法。屈晓婷等人[5]应用智能决策支持系统理论和方法建立了研究生教育智能评价系统,获得了满意的评价结果。由于在对课程教学进行评价时,评价指标多样,特别是一些带有主观性语言的评价,传统的评价方法处理的并不是很好。针对上述问题,引入直觉模糊集能够同时处理语言信息中支持信息、不支持信息和不确定信息的能力,较好地解决教学评价中模糊的、难以量化的问题,提高研究生教学质量的客观性和公正性。

1 基于直觉模糊的研究生课程教学评价方法

1.1 课程教学质量评价体系

当前,各个学校针对各个学校研究生情况的不同,制定了不同的研究生教学质量评价方法,但都存在以下几个共性问题:1)课程评价指标不全面,流行的课程教学评价体系主要包括教学态度、教学内容和教学技能等,而对能够全面反映教师综合素质和个性方面的评价指标涉及很少;2)指标权值分配,不同的评价指标重要性是不同的,应该分配不同的权值,但目前仍然有许多高校为了工作方便,采用相同权值的方式,或主观地确定权值分配方式;3)评价方法和手段,现在一般都采用传统的评价方法有求和法、加权求和法等,这些方法虽然运算简单,但容易降低评价结果的可靠性和可信性。

对此,根据高等教育评估的理论与方法和研究生课程教学基本要求与特点,深圳大学信息工程学院从教师投入、教学控制、产出质量三个维度出发全面考核研究生课程教学质量,经过分析,共筛选出12项评估指标,依据调研结果对不同的指标在教学评估中的作用大小定量化,形成不同指标的权重值,最后得到每一个指标的量化评分。具体如图1所示。

从图1可以看出,为了更好地对任课教师的教学质量进行评价,选用了课程内容、教学方式及教学效果、教材及参考资料和工作态度四个主要因素,每个主要因素同时分为3个次级因素。从课堂外的选教程、课堂的教学风格以及教师自身的素质等多方面对教学质量进行评估。在调查问卷中,对评价指标的评价设置了“优、良、中、差”四个等级,为了对这些语言信息进行综合评价,下面我们给出一种直觉模糊评价方法。

1.2 多级自适应加权直觉模糊评价

1.2.1 直觉模糊集成算子

模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评价方法。该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价,即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。由于进行研究生教育质量的评估需要考虑多种因素的影响,一方面权重的分配较难确定;另一方面,由于每个表示重要程度的权重分量都很小,单因素评判矩阵在求评判结果的合成运算中使有的因素减弱到不起作用,导致评判结果难以分辨。为了解决这些问题,本项目将提出将多级直觉模糊综合评判模型用于研究生教学质量的评价。

直觉模糊集作为模糊集合的一种推广,引入了模糊直觉指数的概念,能综合反映出目标集合与观测集合间隶属、非隶属和未知的关系。设U是一个非空集合,称:

为直觉模糊集(IFS),其中μA:U→[0,1],υA:U→[0,1],满足条件μA(u)+υA(u)≤1,分别称μA(u)和υA(u)分别为U中元素u属于A的隶属度和非隶属度,称πA(u)=1-μA(u)-υ(u)为元素u属于U的犹豫度(或者直觉指数)。

定义:设与为一组直觉模糊数,且设,若

则称IFWA为直觉模糊加权平均算子,其中为αj(j=1,2,...,n)的权重向量。特别地,若ω=(1/n,1/n,...,1/n)T,则IFGA算子退化为直觉模糊平均(IFA)算子:

定理:设为一组直觉模糊数,则由IFGA算子得到的集成值也是直觉模糊数,其中

其中ω=(ω1,ω2,...,ωn)T为αj(j=1,2,...,n)的权重向量。特别地,若则上式退化为下面的形式:

1.2.2 评价模型的建立与参数的确定

直觉模糊综合评价模型数学方法的基本步骤:

1)确定对评价对象进行综合评价的指标体系(即因素集),按某种属性分成S个子集。其中:为该主因素下的子因素个数,且满足。

2)确定评语集(称为评语等级论域),设有m个评价等级,则:

3)由因素集合ui中的元素和评语集V,可获得一个直觉模糊集矩阵:

其中:γij=R(μ)ij,νij,μij表示因素μi对评语集中的νj的隶属度,νij表示因素μi对评语集中的νj的非隶属度。其中n为参与评价的人数,γij∈[0,1]。

4)对每一个因素集μi分别作出模糊综合评价。设μi中的各因素权重的分配(称为模糊权向量)为Wi=(ωi1,ωi2,…,ωin),其中:。若Ri为单因素矩阵,根据直觉模糊加权平均算子,通过将模糊权重向量Ai与隶属关系矩阵R进行合成,求得单级评价模型为

5)将μi看作一个综合因素(即主因素),记U={μ1,μ2,...,μi},用Bi作为它的单因素评价结果,可得到隶属关系矩阵R=[B1,B2,...,BS],设综合因素μi(i=1,2,...,s)的模糊权向量为W=(ω1,ω2,...,ωs),s为主因素的个数。则二级模糊综合评价模型为B=IFWAA(R)=(b1,b2,...bS),如果第一步划分中μi(i=1,2,...,s)仍然较多,则可以继续划分得到三级或更高级的模型。

2 实验结果与分析

本实验中,以深圳大学信息工程学院研究生教学质量评价为例,在评价过程中,我们收到关于某课程的调查问卷总共24份,调查问卷如图2所示。

2.1 数据准备

为了进行综合评价,设主因素集为U={μ1,μ2,μ3,μ4},其中μ1、μ2、μ3、μ4分别表示课程内容、教学方式及教学效果、教材及参考资料和工作态度。每个主因素分别包括3个次级因素,分别表示如下:

由图2可知,对于每个指标,设定四个评语,即评语集分为四级,即V={ν1,ν2,ν3,ν4},分别对应:优、良、中、差。于是,可以通过对24份调查卷进行统计得到如下4个主因素的模糊关系矩阵:

以R11为例来说明矩阵构建方法,假设在24份调查问卷中,对课程知识的广度与深度指标,有22位同学认为是“优秀”,1人认为是“良好”,1人认为是“中等”。则R11就可以近似如下:

同样的方法,可以确定矩阵R1,R2,R3,R4中各元素的值。另外,在模糊评价中,权值对于评价结果影响很大。在本方法中,根据实际情况现规定一级指标μ1,μ2,μ3,μ4的权重分别为:0.30,0.25,0.15,0.30。对于二级指标,也可以按照计算模糊关系矩阵的方法,通过统计调查问卷中各个指标的重要性进行计算,如学生认为重要就记数1次,不重要就记0次,具体如下:

最后,我们可以得到各个二级指标的权重值如下:

2.2 评判过程

1)一级模糊综合评价

根据式(4)建立的模糊综合评估数学模型Bi=IFWAWI=(Ri)计算出四个主因素的评判矩阵:

对于以上的直觉模糊数Bi=(μ)Bi,νBi,可通过得分函数S对其进行评估:

其中S(Bi)为Bi的得分值,S(Bi)=[-1,1]。根据得分函数得出Bi的得分值,并进行归一化处理,得出模糊综合评判结果为:

通过一级评判,可以看出该课程四大主因素中各个子因素的评价结果:

a)课程内容的评价结果:“优”的为85%,“良”的为13%,“中”的为2%,“差”的为0%;

b)教学方式及教学效果的评价结果:“优”的为85%,“良”的为15%,“中”的为0%,“差”的为0%;

c)教材及参考资料的评价结果:“优”的为89%,“良”的为11%“,中”的为0%,“差”的为0%;

d)工作态度的评价结果:“优”的为90%,“良”的为10%,“中”的为0%,“差”的为0%;

2)二级模糊综合评判

根据式(7)构建模糊关系矩阵R=(B1,B2,B3,B4),利用式(4)就可以计算得到评价矩阵如下:

然后,根据得分函数得出B的得分值,并进行归一化处理,得到S(B)=(0.845,0.117,0.038,0)。

通过二级评判,得到该课程的总体教学质量评价,其中认为是优秀的有84.5%,良好的为11.7%,一般的为3.8%,较差的为0%。由此可知,通过直觉模糊综合评价评估,对于这门课,绝大多数的学生认为其教学质量是优,只有小部分学生认为是良,几乎没有学生认为是中或者差。

3 结论

针对研究生课程教学质量评价问题,建立了一个详细完整地课程教学质量评价指标体系,提出了一种基于直觉模糊的综合评价方法。相比传统的模糊综合评价法,提出方法能够更细腻的描绘和刻画影响高校教师授课质量的因素的模糊性本质,对受到多种因素制约的教师授课质量做出一个总体的评价。直觉模糊综合评价法具有评价信息全面、结果清晰和系统性强的特点,能较好地解决模糊的、难以量化的问题,适合各种非确定性问题的解决。

摘要：课堂教学作为高校研究生一种重要的教学方式,课堂教学质量的好坏直接影响到研究生培养质量的高低,如何科学有效的对研究生课程教学质量进行评价成为当前高等学校的一个重大研究课题。为此,为了公平、公正的对每个老师的课程教学质量进行评价,构建了一套较完备的研究生课程教学质量评价体系,并针对调查中存在主观不确定性以及问卷不完整的特点,引入直觉模糊理论,提出了一种多级自适应加权的直觉模糊综合评价方法,利用直觉模糊集成算子构建模糊评价模型,用两级模糊评价获得最后的评价结果。实验结果表明,提出方法能够有效对实际调查中存在的不确定性问题进行有效处理,对课程教学进行客观公正的评价。

关键词：研究生教学,教学质量,评价体系,直觉模糊,综合评价

参考文献

[1]昝欣,宗鹏,吴祈宗.基于熵的高等院校研究生教学管理系统评价[J].科学技术与工程,2006,12(6):1666-1668.

[2]王芳,贾青青.建立研究生课程教学评估体系探索与思考[J].科研管理,2010,31(5):54-57.

[3]赵忠.研究生教学质量评价体系探析[J].中国电力教育,2011(20):39-40.

[4]滕居特,顾幸生.研究生教育评估的多级变权模糊综合评判[J].华东理工大学学报:自然科学版,2006,32(9):1121-1125.

直觉模糊篇6

1986年保加利亚学者Atanassov提出了直觉模糊集[1]的概念, 它是对Zadeh模糊集理论最有影响的一种扩充和发展, 较模糊集有更强的表达不确定性的能力。在分析处理不精确、不完备等粗糙信息时, 直觉模糊集理论是一种很有效的数学工具。波兰数学家Z.Pawlak提出的粗糙集理论[2]也是一种新的处理模糊和不确定性知识的数学工具, 它无需提供问题所需处理的数据集合之外的任何先验信息。由于该理论未能包含处理不精确或不确定原始数据的机制, 所以与其他处理不确定性问题的理论有很强的互补性。

在直觉模糊集理论与粗糙集理论中, 相似度量一直是研究的热点问题之一[3,4,5,6], 它是模糊聚类、模式识别、近似推理等的基础。国内外一些学者已经提出了很多相似度量的方法, 但他们的范围仅限于模糊粗糙集和直觉模糊集的范畴。本文将直觉模糊集理论与粗糙集理论相结合, 提出了一种基于海明距离的直觉模糊粗糙集相似度量方法, 揭示了其具有区间性、完全相似性、完全非相似性、对称性、互等性、单调性等性质。由于这种相似度量具有较好的性质, 它为检测直觉模糊粗糙集之间的相似程度提供了一种有效的方法。

1 直觉模糊粗糙集

定义1 设S为模糊粗糙集之集合, ∀X∈S中的上、下近似为XL、XU, 则X中的一个直觉模糊粗糙集A为:

$A = {< x, μ_{A_{L}} (x), μ_{A_{U}} (x), γ_{A_{L}} (x), γ_{A_{U}} (x) > | \forall x \in X}$

其中, μAL:AL→[0, 1], μAU:AU→[0, 1], γAL:AL→[0, 1]和γAU:AU→[0, 1]分别代表A的下近似隶属函数μAL, 上近似隶属函数μAU, 下近似非隶属函数γAL和上近似非隶属函数γAU, 其中, μA (x) +γA (x) ≤1, μAL (x) +γAL (x) ≤1, μAU (x) +γAU (x) ≤1, μAL (x) ≤μAU (x) , γAL (x) ≥γAU (x) , ∀x∈X。

对于直觉模糊粗糙集A, 称πA (x) =1-μA (x) -γA (x) 为A中x的直觉指数, 它是x对A的犹豫程度的一种测度。显然, 对于每一个x∈X, 0≤πA (x) ≤1。简单起见, 本文中πA (x) 取常数0, 此时, 下近似直觉指数πAL (x) 和上近似直觉指数πAU (x) 均为0。但在实际情况中, 直觉指数πA (x) 的值通常是随机的、不确定的。

定义2 直觉模糊粗糙集A= (AL, AU) 的补集AC= (A $_{L}^{C}$ , A $_{U}^{C}$ ) , 其中, μACL (x) =γAL (x) , γACL (x) =μAL (x) , ∀x∈AL;μACU (x) =γAU (x) , γACU (x) =μAU (x) , ∀x∈AU。

2 两个直觉模糊粗糙值之间的相似度量

定义3 设<μAL (x) , μAU (x) , γAL (x) , γAU (x) >为x在X中的直觉模糊粗糙值, 仍记为x。

定义4 设x=<μAL (x) , μAU (x) , γAL (x) , γAU (x) >, y=<μAL (y) , μAU (y) , γAL (y) , γAU (y) >, z=<μAL (z) , μAU (z) , γAL (z) , γAU (z) >是直觉模糊粗糙集A中的直觉模糊粗糙值, 则直觉模糊粗糙值之间的序关系:

x≤y⇔μAL (x) ≤μAL (y) μAU (x) ≤μAU (y)

γAL (x) ≥γAL (y) γAU (x) ≥γAU (y) (1)

定义5 设A是X上的一个直觉模糊粗糙集, x=<μAL (x) , μAU (x) , γAL (x) , γAU (x) >, y=<μAL (y) , μAU (y) , γAL (y) , γAU (y) >是直觉模糊粗糙集A中的直觉模糊粗糙值, 则A中两个直觉模糊粗糙值之间的相似度可由函数M计算:

$\begin{array}{l} Μ (x, y) = 1 - \frac{1}{4} (| μ_{A_{L}} (x) - μ_{A_{L}} (y) | + | μ_{A_{U}} (x) - μ_{A_{U}} (y) | + \\ | γ_{A_{L}} (x) - γ_{A_{L}} (y) | + | γ_{A_{U}} (x) - γ_{A_{U}} (y) |) (2) \end{array}$

其中, $d_{Η} = \frac{1}{4} (| μ_{A_{L}} (x) - μ_{A_{L}} (y) | + | μ_{A_{U}} (x) - μ_{A_{U}} (y) | + | γ_{A_{L}} (x) - γ_{A_{L}} (y) | + | γ_{A_{U}} (x) - γ_{A_{U}} (y) |)$ 。

式中, dH实质上是一种海明距离, 故这是一种基于海明距离的相似度量方法。可以证明M (x, y) 具有如下性质:

性质1 (区间性) 0≤M (x, y) ≤1。

证明:由 $0 \leq | μ_{A_{L}} (x) - μ_{A_{L}} (y) | + | μ_{A_{U}} (x) - μ_{A_{U}} (y) | + | γ_{A_{L}} (x) - γ_{A_{L}} (y) | + | γ_{A_{U}} (x) - γ_{A_{U}} (y) | \leq 4$ 即得。证毕。

性质2 (完全相似性) M (x, y) =1, 当且仅当μAL (x) =μAL (y) , μAU (x) =μAU (y) , γAL (x) =γAL (y) 且γAU (x) =γAU (y) 。

$\begin{array}{l} 证明 ∶ Μ (x, y) = 1 \Leftrightarrow | μ_{A_{L}} (x) - μ_{A_{L}} (y) | + | μ_{A_{U}} (x) - μ_{A_{U}} (y) | + | γ_{A_{L}} (x) - γ_{A_{L}} (y) | + | γ_{A_{U}} (x) - γ_{A_{U}} (y) | = 0 \\ \Leftrightarrow μ_{A_{L}} (x) = μ_{A_{L}} (y) ‚ μ_{A_{U}} (x) = μ_{A_{U}} (y), γ_{A_{L}} (x) = λ_{A_{L}} (y) 且 γ_{A_{U}} (x) = λ_{A_{U}} (y) 。 \end{array}$

性质3 (完全非相似性) M (x, y) =0, 当且仅当x=<1, 1, 0, 0>, y=<0, 0, 1, 1>;或x=<0, 0, 1, 1>, y=<1, 1, 0, 0>。

$\begin{array}{l} 证明 ∶ Μ (x, y) = 0 \Leftrightarrow | μ_{A_{L}} (x) - μ_{A_{L}} (y) | + | μ_{A_{U}} (x) - μ_{A_{U}} (y) | + | γ_{A_{L}} (x) - γ_{A_{L}} (y) | + | γ_{A_{U}} (x) - γ_{A_{U}} (y) | = 4 \\ \Leftrightarrow | μ_{A_{L}} (x) - μ_{A_{L}} (y) | = | μ_{A_{U}} (x) - μ_{A_{U}} (y) | = | γ_{A_{L}} (x) - γ_{A_{L}} (y) | = | γ_{A_{U}} (x) - γ_{A_{U}} (y) | = 1 。 \end{array}$

由于, 0≤μAL (x) , μAL (y) ≤1, 0≤μAU (x) , μAU (y) ≤1, 0≤γAL (x) , γAL (y) ≤1, 0≤γAU (x) , γAU (y) ≤1且μAL (x) ≤μAU (x) , γAL (x) ≥γAU (x) , 故有:

$μ_{A_{L}} (x) = 1 μ_{A_{L}} (y) = 0$ 或者 $μ_{A_{L}} (x) = 0 μ_{A_{L}} (y) = 1$

$μ_{A_{U}} (x) = 1 μ_{A_{U}} (y) = 0$ 或者 $μ_{A_{U}} (x) = 0 μ_{A_{U}} (y) = 1$

$γ_{A_{L}} (x) = 1 γ_{A_{L}} (y) = 0$ 或者 $γ_{A_{U}} (x) = 0 γ_{A_{U}} (y) = 1$

$γ_{A_{U}} (x) = 1 γ_{A_{U}} (y) = 0$ 或者 $γ_{A_{U}} (x) = 0 γ_{A_{U}} (y) = 1$

即:x=<1, 1, 0, 0>, y=<0, 0, 1, 1>;或x=<0, 0, 1, 1>, y=<1, 1, 0, 0>。

性质4 (对称性) M (x, y) =M (y, x) 。

证明:

$\begin{array}{l} Μ (x, y) = 1 - \frac{1}{4} (| μ_{A_{L}} (x) - μ_{A_{L}} (y) | + | μ_{A_{U}} (x) - \\ μ_{A_{U}} (y) | + | γ_{A_{L}} (x) - γ_{A_{L}} (y) | + | γ_{A_{U}} (x) - γ_{A_{U}} (y) |) \\ = 1 - \frac{1}{4} (| μ_{A_{L}} (y) - μ_{A_{L}} (x) | + | μ_{A_{U}} (y) - μ_{A_{U}} (x) | + \\ | γ_{A_{L}} (y) - γ_{A_{L}} (x) | + | γ_{A_{U}} (y) - γ_{A_{U}} (x) |) \\ = Μ (y, x) 。 \end{array}$

性质5 (互等性) M (x, y) =M (xC, yC) 。

证明:由μACL (x) =γAL (x) , γACL (x) =μAL (x) , ∀x∈AL;μACU (x) =γAU (x) , γACU (x) =μAU (x) , ∀x∈AU即得。证毕。

性质6 (单调性) 若x≤y≤z, 则M (x, z) ≤min{M (x, y) , M (y, z) }。

证明:

$由 | μ_{A_{L}} (x) - μ_{A_{L}} (z) | \geq \max {| μ_{A_{L}} (x) - μ_{A_{L}} (y) |, | μ_{A_{L}} (y) - μ_{A_{L}} (z) |}$

及 $| μ_{A_{U}} (x) - μ_{A_{U}} (z) | \geq \max {| μ_{A_{U}} (x) - μ_{A_{U}} (y) |, | μ_{A_{U}} (y) - μ_{A_{U}} (z) |}$

及 $| γ_{A_{L}} (x) - γ_{A_{L}} (z) | \geq \max {| γ_{A_{L}} (x) - γ_{A_{L}} (y) |, | γ_{A_{L}} (y) - γ_{A_{L}} (z) |}$

及 $| γ_{A_{U}} (x) - γ_{A_{U}} (z) | \geq \max {| γ_{A_{U}} (x) - γ_{A_{U}} (y) |, | γ_{A_{U}} (y) - γ_{A_{U}} (z) |}$

即得。证毕。

3 两个直觉模糊粗糙集之间的相似度量

定义6 设A, B是X={x1, x2, …, xn}上的两个直觉模糊粗糙集, 如果RSA (x) =<μAL (x) , μAU (x) , γAL (x) , γAU (x) >是x在A中的直觉模糊粗糙值, RSB (x) =<μBL (x) , μBU (x) , γBL (x) , γBU (x) >是x在B中的直觉模糊粗糙值, 则直觉模糊粗糙集A和B的相似度可以由下式计算:

$S (A, B) = \frac{1}{n}$ $\sum_{i = 1}^{n} Μ (R S_{A} (x_{i}), R S_{B} (x_{i}))$

$= \frac{1}{n}$ $\sum_{i = 1}^{n}$

$\begin{array}{l} (1 - \frac{| μ_{A_{L}} (x_{i}) - μ_{B_{L}} (x_{i}) |}{4} - \frac{| μ_{A_{U}} (x_{i}) - μ_{B_{U}} (x_{i}) |}{4} \\ - \frac{| γ_{A_{L}} (x_{i}) - γ_{B_{L}} (x_{i}) |}{4} - \frac{| γ_{A_{U}} (x_{i}) - γ_{B_{U}} (x_{i}) |}{4}) (3) \end{array}$

S (A, B) 显然具有如下性质:

性质7 (区间性) S (A, B) ∈[0, 1]。

性质8 (完全相似性) S (A, B) =1⇔μAL (xi) =μBL (xi) , μAU (xi) =μBU (xi) , γAL (xi) =γBL (xi) 且γAU (xi) =γBU (xi) , ∀xi∈X。

性质9 (完全非相似性) S (A, B) =0⇔A= $\sum_{i = 1}^{n}$ <1, 1, 0, 0>/xi, $B = \sum_{i = 1}^{n}$ <0, 0, 1, 1>/xi;或者 $A = \sum_{i = 1}^{n} < 0, 0, 1, 1 > / x_{i}$ , $B = \sum_{i = 1}^{n} < 1, 1, 0, 0 > / x_{i}$ 。

性质10 (对称性) S (A, B) =S (B, A) 。

性质11 (互等性) S (A, B) =S (AC, BC) 。

可以定义直觉模糊粗糙集之间的序关系:

A⊆B⇔μAL (x) ≤μBL (x) μAU (x) ≤μBU (x)

γAL (x) ≥γBL (x) γAU (x) ≥γBU (x) ∀x∈X (4)

性质12 (单调性) 如果A⊆B⊆C⇒S (A, C) ≤min{S (A, B) , S (B, C) }。

例:设K= (U, R) 是一个知识库, U={x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7}, U/R={{x1, x5}, {x2}, {x3, x4, x6}, {x7}}, A、B、C是论域U上的三个直觉模糊粗糙集, 其中:

A=<0.4, 0.6>/x1+<0.3, 0.7>/x2+<0.5, 0.5>/x3+<0.7, 0.3>/x4+<0.2, 0.8>/x5+<0.9, 0.1>/x6+<0.6, 0.4>/x7

B=<0.5, 0.5>/x1+<0.3, 0.7>/x2+<0.5, 0.5>/x3+<0.7, 0.3>/x4<0.3, 0.7>/x5+<0.9, 0.1>/x6+<0.6, 0.4>/x7

C=<0.9, 0.1>/x1+<1.0, 0>/x2+<0.2, 0.8>/x3+<0.1, 0.9>/x4<0.9, 0.1>/x5+<0.2, 0.8>/x6+<0, 1.0>/x7

直觉模糊粗糙集A的下近似隶属函数为:

μAL={x1/0.2, x2/0.3, x3/0.5, x4/0.5, x5/0.2, x6/0.5, x7/0.6}

上近似隶属函数为:

μAU={x1/0.4, x2/0.3, x3/0.9, x4/0.9, x5/0.4, x6/0.9, x7/0.6}

下近似非隶属函数为:

γAL={x1/0.8, x2/0.7, x3/0.5, x4/0.5, x5/0.8, x6/0.5, x7/0.4}

上近似非隶属函数为:

γAU={x1/0.6, x2/0.7, x3/0.1, x4/0.1, x5/0.6, x6/0.1, x7/0.4}

直觉模糊粗糙集B的下近似隶属函数为:

μBL={x1/0.3, x2/0.3, x3/0.5, x4/0.5, x5/0.3, x6/0.5, x7/0.6}

上近似隶属函数为:

μBU={x1/0.5, x2/0.3, x3/0.9, x4/0.9, x5/0.5, x6/0.9, x7/0.6}

下近似非隶属函数为:

γBL={x1/0.7, x2/0.7, x3/0.5, x4/0.5, x5/0.7, x6/0.5, x7/0.4}

上近似非隶属函数为:

γBU={x1/0.5, x2/0.7, x3/0.1, x4/0.1, x5/0.5, x6/0.1, x7/0.4}

直觉模糊粗糙集C的下近似隶属函数为:

μCL={x1/0.9, x2/1.0, x3/0.1, x4/0.1, x5/0.9, x6/0.1, x7/0}

上近似隶属函数为:

μCU={x1/0.9, x2/1.0, x3/0.2, x4/0.2, x5/0.9, x6/0.2, x7/0}

下近似非隶属函数为:

γCL={x1/0.1, x2/0, x3/0.9, x4/0.9, x5/0.1, x6/0.9, x7/1.0}

上近似非隶属函数为:

γCU={x1/0.1, x2/0, x3/0.8, x4/0.8, x5/0.1, x6/0.8, x7/1.0}

由式 (3) 可得到A和B之间的相似度为:

$S (A, B) = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{7} Μ (R S_{A} (x_{i}), R S_{B} (x_{i})) = 0.971$

由式 (3) 可得到A和C之间的相似度为:

$S (A, C) = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{7} Μ (R S_{A} (x_{i}), R S_{C} (x_{i})) = 0.407$

直观上看, 例子中直觉模糊粗糙集A和B很相似, A和C相差较大。根据本文提出的直觉模糊粗糙集相似度量方法, 由式 (3) 计算, 得到A和B之间的相似度为0.971, A和C之间的相似度为0.407, 表明了由这种方法计算所得的结果与客观的相似性相符, 从而验证了它的有效性。

4 结语

本文在直觉模糊粗糙集领域对相似度量问题进行了深入研究, 主要贡献是针对直觉模糊粗糙值和直觉模糊粗糙集分别提出了一种基于海明距离的相似度量方法, 讨论了它们的区间性、完全相似性等一系列重要性质, 并用数值算例验证了这些方法的合理有效性。下一步工作的重点是, 针对直觉指数是随机的、不确定的情况, 对直觉模糊粗糙集的相似度量问题进行研究。其次, 由于在相似度量方面欧氏距离比海明距离精确度更高, 更加符合直观, 便于进行数学分析, 因而研究方法的思路还可以扩展到欧氏距离、明可夫斯基距离等。

摘要：针对直觉模糊粗糙集的相似度量问题, 提出了一种基于海明距离的直觉模糊粗糙集相似度量方法。首先给出了两个直觉模糊粗糙值间的相似度量方法, 并揭示了它的若干重要性质。然后, 在此基础上, 又提出了一种基于海明距离的直觉模糊粗糙集相似度量方法, 并证明它也具有同样的性质。最后用数值算例验证了这种方法的有效性。

关键词：直觉模糊粗糙集,直觉模糊粗糙值,相似度量

参考文献

[1]Atanassov K.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems, 1986, 20 (1) :87-96.

[2]Pawlak Z.Rough sets[J].Inter J of Computer and Information Sci-ences, 1982, 11 (2) :341-356.

[3]张诚一, 卢昌荆.关于模糊粗糙集的相似性度量[J].计算机工程与应用, 2004, 40 (9) :58-59, 68.

[4]朱六兵, 王迪焕, 杨斌.粗糙Vague集及其相似性度量[J].模糊系统与数学, 2006, 20 (3) :130-134.

[5]雷英杰, 赵晔, 王涛, 等.直觉模糊语义匹配的相似性度量[J].空军工程大学学报:自然科学版, 2005, 6 (2) :83-86, 91.

[6]黄国顺, 刘云生.基于包含度的Vague集相似性度量[J].小型微型计算机系统, 2006, 27 (5) :873-877.

直觉模糊篇7

Zadeh于1965年提出模糊集[1]理论,将现代社会中各领域的研究范畴从精确化扩展到模糊化。隶属度用于刻画模糊集中元素的模糊性。

为了更加细腻地刻画模糊集中元素的模糊性,保加利亚学者Atanassov于1986年对模糊集理论进行扩展,提出了直觉模糊集[2]。直觉模糊集同时考虑隶属度、非隶属度、不确定三个方面的信息,表现出较强的灵活性。

客观世界中特定领域的特定问题,往往具有较高的复杂性和不确定性,难以使用带精确隶属度和非隶属度的直觉模糊集加以刻画。应对此类问题,Atanassov和Gargov于1989年进一步拓展了直觉模糊集,提出区间直觉模糊集[3],利用区间数表示隶属度、非隶属度和不确定。

另一方面,Torra和Narukawa于2009年将模糊集扩展为犹豫模糊集[4,5],利用一组精确值表示隶属度。而对于直觉模糊集中的非隶属度和不确定性则缺乏考虑。相对于区间直觉模糊集,犹豫模糊集刻画人们在隶属度上的犹豫,而非区间不确定性,反映出更多的隶属度相关信息。

综合直觉模糊集和犹豫模糊集的优点,本文提出犹豫直觉模糊集,利用一组精确值刻画隶属度、非隶属度和不确定性。一方面,犹豫直觉模糊集保留了直觉模糊集在模糊性刻画方面的灵活性;另一方面,它刻画人们在隶属度、非隶属度、不确定性三个方面的犹豫性,较区间数反映出更多的相关信息。

以下首先定义犹豫直觉模糊集,给出犹豫直觉模糊数的基本运算法则;其次,基于运算法则,设计加权几何和加权算术集成算子;再次,构建得分函数和精确函数,对犹豫直觉模糊数进行比较;而后,提出基于犹豫直觉模糊数的多属性决策方法;最后,将此方法应用于混合云存储服务供应商的选择。

2 犹豫直觉模糊集与犹豫直觉模糊数

2.1 犹豫直觉模糊集

定义1设X是一个非空集合,则X上的一个犹豫直觉模糊集(HIFS,hesitant intuitionistic fuzzy set)

其中,hM:X→[0,1]表示元素x属于X的隶属度,gM:X→[0,1]表示元素x属于X的非隶属度,满足条件

。此外,

表示元素x属于X的的不确定性。

2.2 犹豫直觉模糊数

犹豫直觉模糊集由集合X中各元素x属于X的隶属度、非隶属度和不确定性组合而成。对于给定的x∈X,称其属于X的隶属度、非隶属度和不确定性为犹豫直觉模糊数,即

。方便起见,将犹豫直觉模糊数简记为(h,g,f)。

以下,基于直觉模糊数[6]和犹豫模糊数[7]的运算法则,定义犹豫直觉模糊数的一些基本运算法则。

定义2设α1=(h1,g1,f1)和α2=(h2,g2,f2)为任意两个犹豫直觉模糊数,系数λ>0,则:

符号表示“和”与“积”。

易知定义2中的所有运算结果仍为犹豫直觉模糊数。

定理1设α1=(h1,g1,f1)和α2=(h2,g2,f2)为任意两个犹豫直觉模糊数,系数λ>0。则α1和α2满足以下性质:

证明根据定义2中的运算法则,(1)和(2)显然成立。

对于性质(3),由,因此,

类似于性质(3),可知性质(4)成立。

对于性质(5),

。因此,

类似性质(5),可知性质(6)成立。

3 犹豫直觉模糊数的集成算子

参照直觉模糊数的集成[8],基于以上运算法则,设计如下的犹豫直觉模糊数加权几何平均算子和加权算术平均算子。

定义3设αi=(hi,gi,fi)(i=1,2,…,n)为一组犹豫直觉模糊数,记HIFEWG:Ωn→Ω为αi(i=1,2,…,n)的加权几何平均算子,则

其中,Ω为全体犹豫直觉模糊数的集合,w=(w1,w2,…,wn)为αi(i=1,2,…,n)的权重向量,满足wi∈[0,1](i=1,2,…,n),

定义4设αi=(hi,gi,fi)(i=1,2,…,n)为一组犹豫直觉模糊数,HIFEWA:Ωn→Ω记为αi(i=1,2,…,n)的加权算术平均算子,则

其中,w=(w1,w2,…,wn)为αi(i=1,2,…,n)的权重向量,满足wi∈[0,1](i=1,2,…,n),。

定理2设αi=(hi,gi,fi)(i=1,2,…,n)为一组犹豫直觉模糊数,则

且其仍为犹豫直觉模糊数,其中w=(w1,w2,…,wn)为αi(i=1,2,…,n)的权重向量,满足wi∈[0,1](i=1,2,…,n),。

证明以下运用数学归纳法对此定理中的结论予以证明。

由定义(2)知,

假设n=k时,

,等式成立。

显然,HIFEWG(α1,α2,…,αk,αk+1)为犹豫直觉模糊数。

定理3设αi=(hi,gi,fi)(i=1,2,…,n)为一组犹豫直觉模糊数,则

且其仍为犹豫直觉模糊数,其中w=(w1,w2,…,wn)为αi(i=1,2,…,n)的权重向量,满足wi∈[0,1](i=1,2,…,n),。

定理3的结论类似定理2可证,限于篇幅,予以省略。

4 犹豫直觉模糊数的比较

参照直觉模糊数[9]和犹豫模糊数[10]的比较方法,综合考虑犹豫直觉模糊数中隶属度、非隶属度、不确定性上的犹豫值集合及其分布,构建犹豫直觉模糊数的得分函数和精确函数,对不同的犹豫直觉模糊数进行比较。

定义5设犹豫直觉模糊数α=(h,g,f),则α的得分函数为

其中,,δ(h)和δ(g)分别表示集合h和g中犹豫值集合的长度。

定义6设犹豫直觉模糊数α=(h,g,f),则α的精确函数为

其中,,δ(h)和δ(g)分别表示集合h和g中犹豫值集合的长度。

根据定义5和定义6,显然可知

利用得分函数和精确函数,给出犹豫直觉模糊数的比较方法。

定义7设α1和α2为两个犹豫直觉模糊数,则

(1)若S(α1)<S(α2),则α1<α2;

(2)若S(α1)=S(α2)且H(α1)<H(α2),则α1<α2;

(3)若S(α1)=S(α2)且H(α1)=H(α2),则α1=α2.

基于定义7,参照直觉模糊数集成算子[11]和犹豫模糊数集成算子[12]的性质,给出犹豫直觉模糊数集成算子的相关性质。

定理4设αi=(hi,gi,fi)(i=1,2,…,n)为一组犹豫直觉模糊数,w=(w1,w2,…,wn)为αi(i=1,2,…,n)的权重向量,满足wi∈[0,1](i=1,2,…,n),。则HIFEWG和HIFEWA算子具有以下性质:

(1)幂等性。若α1=α2=…=αn=α,则

(2)单调性。设αi*=(hi*,gi*,fi*)(i=1,2,…,n)为一组犹豫直觉模糊数。若

,则

(3)有界性。设

,则

依据定理2、定理3和定义7,定理4中的结论显然成立。

5 基于犹豫直觉模糊集的决策方法

设一多属性决策问题,包含候选方案集X={X1,X2,…,Xm},决策属性集C={C1,C2,…,Cn},属性权重向量w=(w1,w2,…,wn),满足wj∈[0,1](j=1,2,…,n),。对各候选方案在每一属性下利用犹豫直觉模糊数进行评价,得决策矩阵A=(rij)m×n=(aij,bij,cij)m×n.这里,aij、bij、cij表示犹豫直觉模糊评价rij的隶属度、非隶属度和不确定性。

针对以上问题,给出求解的多属性决策方法,其具体步骤如下:

步骤1:判断属性的类型(效益型或成本型),根据式(7)将决策矩阵A=(rij)m×n=(aij,bij,cij)m×n转换为规范矩阵R=(αij)m×n=(hij,gij,fij)m×n,

步骤2:利用式(3)中的HIFEWG算子或者式(4)中的HIFEWA算子计算得到每一方案上的集成评价αi=(hi,gi,fi)(i=1,2,…,m);

步骤3:利用式(5)计算αi(i=1,2,…,m)的得分函数S(αi)(i=1,2,…,m);

步骤4:利用S(αi)(i=1,2,…,m)产生方案排序;

步骤5:如果存在S(αi)=S(αk),则利用式(6)计算αi和αk的精确函数H(αi)和H(αk),进一步比较方案Xi和Xk;

步骤6:形成所有方案的完整排序,产生多属性决策问题的解。

6 案例分析

随着生产规模的扩大,某制造企业在设计、生产、销售过程中积累了大量的数据,且分布于不同的服务器上,造成了数据管理、共享上的困难。为了克服困难,提高数据存储效率,企业管理者考虑采用云存储服务,以达到智能管理的目的。现有的管理模式和管理技术难以满足企业发展的需求。结合企业的数据特征和需求,管理者思考采用混合云存储服务方式,进行数据管理平台的升级、改造。

管理者综合各部门的意见,选取迁移成本(C1)、可带来的收益(C2)、预计风险(C3)、转移的容易程度(C4)四个属性,进行混合云存储服务供应商的筛选和评价。经过初步筛选,管理者挑选出四家服务供应商,为IBM(X1)、微软(X2)、华为(X3)、浪潮(X4)。

管理者设置属性权重为w=(0.3,0.4,0.2,0.1),对四家服务供应商在四个属性上进行评价,形成原始决策矩阵如表1所示。

由于迁移成本(C1)和预计风险(C3)为成本型属性,因此将决策矩阵规范化,形成规范矩阵如表2所示。

利用HIFEWG算子对规范决策矩阵R中四个供应商在四个属性上的评价进行集成,得到各供应商的集成评价αi(i=1,2,3,4),如表3所示。

鉴于集成评价中的不确定性可直接由集成评价中的隶属度和非隶属度得出,且不确定性不参与计算集成评价的得分函数和精确函数,限于篇幅,在表3中省略了集成评价的不确定性。

依据表3中四个供应商的集成评价,计算它们的得分函数为S(α1)=0.5256,S(α2)=0.3631,S(α3)=0.4482,S(α4)=0.5399。

由于四个供应商的得分函数皆不同,因而产生供应商排序为X4X1X3X2,选择浪潮作为企业的混合云存储服务供应商。

利用HIFEWA算子对四个供应商在四个属性上的评价进行集成,并计算集成评价的得分函数为S(α1)=0.4832,S(α2)=0.3267,S(α3)=0.4195,S(α4)=0.5117。限于篇幅,这里略去集成评价。依据所得的四个供应商的得分函数,产生相同的供应商排序,即X4X1X3X2.

尽管HIFEWA算子与HIFEWG算子产生相同的供应商排序,但各供应商集成评价的得分函数略有不同。

7 结语

直觉模糊篇8

1 直觉模糊集原理

Atanassov[7]对直觉模糊集给出如下定义。

定义1设X是一个给定论域, 则X上的一个直觉模糊集A为:

A={|x∈X}

式中μA (x) :X->[0, 1]和vA (x) :X->[0, 1]分别代表A的隶属函数μA (x) 和非隶属函数μA (x) , 且对于A上的所有x∈X, 0≤μA (x) +vA (x) ≤1成立。直觉模糊集A可以简记作A=。

对于X中的每一个直觉模糊子集, 称πA (x) =1-μA (x) -vA (x) 为A中x直觉指数 (Intuitionistic Index) , 它是x对A的犹豫程度的一种测度。显然, 对于X中的一般模糊子集A, πA (x) =

定义2设X= (x1, x2, …, xn) 是一个非空论域, A, B∈Ω (X) , A= (μA (x) , vA (x) ) , B= (μB (x) , vB (x) ) , πA (x) =1-μA (x) -vA (x) , πB (x) =1-μB (x) -vB (x)

直觉模糊集A, B之间的欧几里得距离定义为:

2 多方案大群体决策法

多方案群体决策从本质上说就是集合群体中所有成员的意见, 对多方案进行评价, 从而找出其中最优的决策方案。在群体成员数量不多的情况下, 不同的成员由于各种原因而存在的差异, 有些还带有较强的个人情感, 这些都会对方案的择优带来较大的影响。但在进行参与人数较多, 甚至是网络环境下, 这种影响对于方案最终的影响也就逐渐缩小了。

此类决策问题可以将其求解流程分为两个阶段。在第一个阶段, 每个成员对各个方案形成自己的偏好矢量, 相于传统决策支持系统;第二阶段, 主要在于对群体意见的聚合, 在提出一种新的度量两个群体成员相聚度的一般范数函数式, 并以此为基础设计群体成员聚类算法、群体偏好矢量和群体一致性指标的计算方法, 并据此获得群体偏好矩阵, 然后采用更加精确的熵权法获得各个方案的排序权重, 利用群体偏好矩阵和排序权重获得各个方案的综合评价值矢量, 由此得出各方案的综合排序结果, 即多方案大群体决策结果。

1) 确定各方案的群体聚集结构:

文献[1]、[4]都对多方案大群体决策问题做了讨论研究, 本文采用文献中相关计算公式及其定义。设群体Ω中有个成员, 针对某个决策问题存在P个方案, 每个成员就N个评判准则对这P个方案进行评价, 评价值为vlij (其中, i=1, 2…, N;j=1, 2, …, N;l=1, 2, …, P) , 并且vlij≥0, 此时评价值矢量Vil= (vli1, vli2, …, vlin) 为第i个成员对第l个方案的评价偏好矢量。同时假定各个成员的偏好在结构上相互独立, 并且对于每一个成员都有一个偏好矢量与之对应。

对于第l个方案, 将两个偏好矢量Vil、Vjl之间的相聚度rlij (Vil, Vjl) [4]定义如下:

其中, 1

引入阈值r, 并且0≤r≤1, 设如下条件:

成员逐一与第一名成员进行聚类算法即比较两者相聚度, 若两者相聚度不小于阈值时, 将两者归为一个聚类并将其从群体集中删除。结束一次算法后, 将剩余成员放入临时集, 而后重新执行聚类算法, 直至将群体Ω中的所有成员区分成若干个聚集, 形成该群体的聚集结构, 则算法停止。

2) 聚集偏好矢量:

群体Ω由K个聚集构成, 因此群体的整体偏好可由各个聚集的偏好组成。对于第k个聚集ckl, 定义其偏好为:

对其进行标准化, 得单位矢量, 记为

3) 整体偏好矢量:

对群体Ω中所有聚集的偏好G赞kl进行加权求和, 获得群体整个的偏好矢量El为:

nkl是指属于第l个方案中的第k个聚集的成员数。对El进行标准化, 得单位矢量E赞l就是整体偏好矢量, 为方便仍记为El。

4) 整体偏好矩阵:

将上面l个偏好矢量进行组合, 就可以获得整体偏好矩阵:

5) 利用熵权法得到综合评价矢量R

在得到整体偏好矩阵的基础上, 利用熵权法将对于P个方案和N个评价准则的整体偏好矩阵E= (elj) p×N, 定义其熵为:

由于准则的熵值越大, 其方案在该准则上取值与该准则上的最优值越接近, 则可以将其熵权值定义为:

得到基于整体偏好矩阵的方案评价准则熵权:

由此可得到P个方案的综合评价矢量R:

基于直觉模糊集的矩阵计算, 其μA (x) 部分两者比较取较大值, νA (x) 部分两者比较取较小值, 可依据各成员的重要程序可进行加权求均值, 得到P个方案的综合评价矢量, 利用其μA (x) 值判定各方案的优先顺序从而确定最优方案。

根据上面的分析, 结合直觉模糊法对该类决策问题的判别可按如下步骤进行:

步骤1群体成员利用评价准则对各个方案进行评价, 得到直觉模糊型评价数据, 形成直觉模糊矩阵;

步骤2取定阈值γ、p以及q值, 利用式 (1) 、式 (2) 、式 (3) 得到方案1的整体偏好矢量El。

步骤3重复步骤2, 对各方案进行求解得到各个方案的整体偏好矢量, 并得出整体偏好矩阵E。

步骤4利用整体偏好矩阵使用公式 (4) 和 (5) 得到方案的评价准则熵权, 利用公式 (6) 得到群体成员对于所有方案的综合评价矢量R, 求出最优方案。

3算例实现

以文献[1]中的资料为依据, 分析本文方法的合理性与有效性。其问题描述为:现有20个成员构成群体Ω, 决策问题存在三个方案, 分别记为方案1、方案2、方案3, 每个成员对这三个方案采用4个评价准则, 分别记为准则1、准则2、准则3、准则4。利用下式对文献数据进行数值直觉模糊化化处理, 得到所需直觉模糊数值:

其中a为文献中评价数值, 转化结果如表1所示的直觉模数矩阵。

根据文献取阈值γ=0.8, p=q=2, 下同, 利用式 (1) 、式 (2) 得到方案1的整体偏好矢量为:E1=[[0.1245, 0.1338], [0.0972, 0.1496], [0.0995, 0.1482], [0.0979, 0.1492]]。20个成员对方案2进行评价, 对所得的数据进行上述直觉模糊化处理, 结果如表2所示。

利用式 (1) 、式 (2) 得到方案2的整体偏好矢量为:

E2=[[0.0900, 0.1549], [0.1131, 0.1416], [0.1026, 0.1477], [0.1023, 0.1479]]

与方案2相类似, 所有成员对方案3进行评价, 并对所得数据进行处理, 结果如表3所示。

利用式 (1) 、式 (2) 得到方案3的整体偏好矢量为:

E3=[[0.1007, 0.1368], [0.0956, 0.1397], [0.1046, 0.1345], [0.1023, 0.1358]]

根据各个方案的整体偏好矢量得到整体偏好矩阵为:

利用熵权法计算方案评价准则公式将对于P个方案和N个评价准则的整体偏好矩阵, 得到基于整体偏好矩阵的方案评价准则熵权:

利用公式 (6) 得到三个方案的综合评价矢量R为:

通过综合评价矢量R可进行判定, 由于0.1236>0.1100>0.1091, 方案排序为P1>P2>P3, 可知方案1最优。在文献中其排序为P2>P3>P1, 分析其中原因在于对文献数据进行直觉模糊化处理过程中, 将隶属值统一进行了乘以系数0.8处理, 从而造成了结果的偏差, 但通过算例实现来看, 此法也是简便可行的。

4结论

本文引入直觉模糊集, 利用各个方案的直觉模糊标准化矩阵, 通过执行群体成员聚类算法比较两者相聚度, 从而形成群体偏好矢量以及群体偏好矩阵, 结合基于直觉模糊集的评价准则熵权法, 形成对多方案的综合评价值矢量, 进而产生方案优劣排序并对方案优劣做出评价。使直觉模糊集描述模糊信息细腻的特性在此类问题的解决中得到体现, 也更加有利于决策者进行合理判断。

摘要：使用直觉模糊法, 对多方案大群体决策问题中诸方案进行评价, 形成针对各个方案的评价矩阵和群体偏好矢量, 并构成群体偏好矩阵。在计算评价准则直觉模糊熵的基础上, 用群体偏好矩阵推导出评价成员针对方案的综合评价值矢量, 从而得出方案排序并找出最优方案。

关键词：直觉模糊法,多方案大群体决策,群体偏好矩阵,直觉模糊熵

参考文献

[1]陈晓红.复杂大群体决策方法及应用[M].北京:科学出版社, 2009.

[2]张晓, 樊治平.一种基于随机占优准则的多指标多标度大群体决策方法[J].系统工程, 2010, 28 (2) :24-29.

[3]徐泽水.基于语言标度中术语指标的多属性群决策法[J].系统工程学报, 2005, 20 (1) :84-88.

[4]徐选华, 陈晓红.一种多属性多方案大群体决策方法研究[J].系统工程学报, 2008, 23 (2) :137-141.

[5]南江霞, 李登峰, 张茂军.直觉模糊多属性决策的TOPSIS法[J].运筹与管理, 2008, 17 (3) :34-37.

[6]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Infor ation and Control, 1965, 8 (3) :338-353.

[7]Atanassov K.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systes, 1986, 20 (1) :87-96.

【直觉模糊】推荐阅读：

直觉模糊决策模型06-06