解的性质

解的性质（共4篇）

解的性质 篇1

引言

热传导方程是一种重要的抛物型方程, 它描写热的传导以及扩散等物理现象, 也是一种发展型方程。我们已经知道热传导方程的解有许多很好的性质, 如平均值性质, 强极大性原则, 唯一性, 正则性等。上述结果已相对成熟, 可参见文献[2], [3]。近来对热传导方程的次解也引起国内外许多专家和学者的关注。本文对热传导方程的次解做了一些初步研究, 得到一些结果。

1 预备知识

定义1:设U⊂Rn, UT为U× (0, T], , 如果在UT中有, 则称v为热传导方程的次解。

定义2:设, 称集合为热球, 记为E (x, t, r) 。其中

特别地, 当x=0且t=0时, E (x, t, r) 记为E (r) 即E (0, 0, r) =E (r)

引理1:

引理2:设, 则在E (r) 的边界上Ψ=0

对上式取以e为底的对数, 得

∴在E (r) 的边界上0

2 主要定理

定理1:若E (r) , ⊂UT , v为热传导方程的次解, 则ÁU

定理2:设, 若v为热传导方程的次解, 则

证明:∴v在上一定取得最大值

当v在ΓT上取得最大值

当v在中取得最大值

取r充分小s.t.E (x0, t0, r) ⊂UT

由定理1可知

等号成立当且仅当v M在E (x0, t0, r)

设L为连接 (x0, t0) 与 (y0, s0) 折线段, 其中 (y0, s0) ⊂UT且s0

考虑r0=min{s≥s0|v (x, t) =M, (x, t) ∈L, s≤t≤t0} (*)

∵v是连续的∴r0一定取得到, 可以证明r0=s0

否则r0>s0, v (z0, r0) =M, 当r充分小时, E (z0, r0, r)

在E (z0, r0, r) 内, v≡M;在E (z0, r0, r) ∩L中存在点 (z, r1) , r1

这与 (*) 矛盾∴在L上, v≡M;

现在固定x∈U, t (0≤t

使得在Rn空间中线段xi-1xi都含在U中, i=1, 2, …, m

选取时间t0>t1>…>tm=t, 则在Rn+1连接点 (xi-1, ti-1) 与点 (xi, ti) 的

线段都含在UT中, i=1, 2, …, m

由前面可知, 在每条线段上v≡M

∴v在ΓT上取得最大值

摘要：本文在热传导方程vt-△v=0的解的性态的基础上引入热球的概念, 对热传导方程的次解v (x, t) 的性态作了初步研究, 得到了一些结果。váv0

关键词：次解,解,热传导方程

参考文献

[1]W.E.Boyce&R.C.Diprima:ElementaryDifferential Equations and Boundary ValueProblems[M], John Wiley&Sons, Inc, 1986.

[2]陈恕行, 秦铁虎, 周忆编.数学物理方程[M].上海:复旦大学出版社, 2003

[3]谷超豪, 李大潜, 陈恕行, 郑宋穆, 谭永基.数学物理方程[M].北京:高等教育出版社, 2002.

浅谈向量优化问题中解的性质研究 篇2

1向量优化问题解的研究现状及发展

1.1向量优化问题中解的性质研究现状

众所周知, 向量优化理论在经济管理、生态保护、交通运输以及集成电路的设计等诸多领域都有着深入的研究和发展, 如今, 向量优化问题也成为国际研究领域的一个重点发展方向。近年来, 研究人员通过对向量优化中解的性质的研究得出, 向量优化不仅对数学领域有着极大的帮助, 而且对现实中的各行各业也有着非常深远的影响意义。 向量优化问题的研究当中需要借助于大量的数学工具, 通过对向量优化问题的深入研究, 不仅能够促进向量优化问题中解的性质研究与发展, 还能推动与数学相关的理论的发展, 与此同时, 这也极大的扩展了向量优化问题的应用和实践范围, 使其能够在更广泛的空间中得到有序的发展[3]。

正因为向量优化问题中解的性质的相关研究具有丰富的理论和实践性的研究意义, 所以向量的优化问题在20世纪60年代就得到了人们的广泛关注, 并且大量学者在其研究上也投入了大量的时间和精力。正是因为无数研究人员在向量优化上的努力, 使得向量优化问题取得了一系列的研究成果。这些研究成果主要体现在向量优化问题中各类解的概念, 包括近似解概念的研究、弱有效解概念的研究以及各种类型的真有效解的研究[4]。

1.2向量优化问题中解的性质的发展

向量优化问题中解的性质的研究包含了很多丰富的内容, 关于向量的优化已经取得了很多的研究成果。结合以上对有效解、近似解性质的研究可以看出向量优化问题的发展方向应该是以其它领域的应用实践为主, 例如向量在计算机领域的应用是进行一些图片的处理, 因为向量的发展已经日趋成熟, 所以在图片处理中会有一种专门的向量格式, 这种情况下的图片处理相比于以前会更加的便捷和快速。除了在计算机图片上的应用之外, 向量还在物理学上有着非常广泛的应用, 物理学的力学、运动学和向量都有着密不可分的关系, 此外, 在物理中位移、速度和电场的强度都是向量, 将这些物理问题用向量的有关知识进行解答, 将会更加的简洁化和清晰化[1]。

2向量优化问题的解及近似解的研究

2.1向量优化的解

在向量优化问题的研究中, 如何定义解的概念是研究过程中最基本的问题, 向量的优化一开始是在数学领域应用, 因此数学领域对向量的解的定义多数都是数值上的有效计算, 如向量的有效解和最优解以及无效解都只是数值的简单计算, 而在其他领域应用向量优化问题的研究则需要考虑向量优化问题目标空间的“偏好”, 这将是定义向量优化问题解的概念的基础。向量中的有效解的概念是在1986年由经济学家Pareto提出的, 后来被人们称之为Pareto有效解, 这也是对Pareto在向量优化问题上所作出的巨大贡献的一种认可。

Pareto有效解很好的阐述了向量优化问题中解的最优性, 其在向量的研究领域和实际的应用领域中都具有非常重要的意义, 但这并不意味着Pareto有效解的概念已经趋于完美, 因此还需要对Pareto有效解概念中的缺陷进行后期的弥补和完善。例如Pareto有效解的解集一般都比较大, 不具有标量化的性质, 不利于向量优化问题的计算解答。

2.2向量优化问题中近似解的研究

在现实生活中, 利用一般的数值算法通常只能得到向量优化问题的近似解的值, 与此同时, 向量的优化问题若不是在非紧的条件下弱有效解和真有效解可能是不存在的, 由此可见, 近似值的研究对于向量优化问题起着非常重要的作用。近似解的研究概念正式提出是在1979年, Kutateladze在文献中首次提出了数值优化问题的 ε-近似解。 通过Kutateladze对近似解的研究, 进一步的建立了近似解的最优性条件。这也便于向量优化的研究人员对各种有效解进行更系统和更深入研究。

3向量优化问题中解的性质研究

3.1向量优化问题中近似解的性质研究

向量优化问题中近似解的性质是向量优化问题研究领域的一个重要的研究环节。由于利用数值算法得到的一般都是近似解。自从1979年Kutateladze正式提出近似解的概念后, 国际上很多学者对近似解都产生了浓厚的研究兴趣, 并且对近似解的性质和存在性进行了大量的实验探究, 主要表现在以下几个方面:

首先向量的优化问题中衡量向量值的“大小”存在不完全偏序, 这样就导致向量中存在的问题呈现了误解的状态。因此, 向量优化问题解的存在都是在假设的情况之下, 特别是可行集在某种意义上的凸性。 其次, 在求解非线性优化问题上, 都是采用迭代算法进行计算, 而利用这种方式也能进一步的得到优化问题的“近似”最优解。并且在实际的应用问题中, 优化问题的近似解还能提升非线性问题的理论发展, 在实际的生活工作中近似解还能为决策者提供恰当的方案。

3.2向量优化问题中有效解的性质研究

向量优化问题中关于有效解的性质研究主要体现在以下三个方面:

(1) 在非紧性条件下弱有效解一般不存在, 而近似于弱有效解的解在比较弱的条件下可能是存在的。

(2) 有效解分为真有效解和弱有效解, 然而在大多数的情况下都是对真有效解进行研究。

(3) 有效解的存在在向量优化问题中的应用大多数是在有效解集得到限制刻画后施行的。

以前的研究成果对于有效解的研究都是基于一些定义之上, 再根据其定义的有效推算, 探究有效解之间的关系和内在性质的研究。虽然中国对有效解的研究起步比较晚, 但是在具体的应用中有效解集的概念早在20世纪80年代就已经出现, 经过这三十多年的研究, 对于有效解性质的研究已经取得了大量的成果。

综上所述, 通过对向量优化问题中解的性质的研究可以发现向量优化问题不仅在数学领域有着广泛的应用, 在经营管理、交通运输和生态保护等诸多领域也有广泛的应用前景。因此, 大量研究人员已经将向量优化问题作为一个重要的研究对象, 对其解的性质的存在性和应用性进行深入的研究和运用。对向量优化问题的最优解和近似解性质、概念和存在性的研究是向量优化问题的主要研究成果, 也正是通过这些成果使得向量优化问题中解的性质研究迈入了一个新的台阶, 并且为向量优化问题在各个领域的应用打下了坚实的基础, 这样也间接的促进了国家经济效益、环境效益、 社会效益的共同提升。

摘要：向量优化问题是向量优化理论与方法研究领域中十分重要的研究方向。该问题除了在数学领域的有效应用之外, 在经济分析、生态规划建设等诸多领域也有着广泛的应用, 相比于向量在数学领域只是单一的数值上的解答, 在其他领域的应用中, 向量优化问题更趋向于一种均衡的关系, 使得事物在均衡关系中得到有效的发展, 从而实现经济效益和社会效益的最大化。本文以向量优化问题中解的性质研究为课题, 对其研究意义进行了详细的阐述。

关键词：向量,优化问题,解的性质

参考文献

[1]文乾英, 焦建军.Minty向量似变分不等式与非光滑向量优化问题[J].湘潭大学自然科学学报, 2014, (1) :21-25.

[2]赵亮, 刘学文.非光滑向量似变分不等式与向量优化问题[J].湖南师范大学自然科学学报, 2014, (1) :69-75.

[3]傅俊义.具有控制结构与不变凸映射的向量优化问题[J].南昌大学学报 (理科版) , 2014, (1) :4-7.

解的性质 篇3

关键词：常微分方程,周期边值问题,解的符号

常微分方程初值问题是大学《常微分方程》[1]课程中基础而重要的组成部分.通过运用常数变易法, 可以求得一阶线性微分方程初值问题

u′ (t) +a (t) u=h (t) , (1)

u (0) =m (2)

(其中a, h:[0, ∞) →ℝ均为连续函数) 的解为

u (t) =me-∫t0a (s) ds

+∫${}_0^t$h (s) e∫sta (τ) dτds. (3)

近年来, 关于一阶微分方程周期初值问题

u′ (t) =f (t, u (t) ) , t∈ (0, T) , (4)

u (0) =u (T) (5)

的研究受到一定的关注[2].但在现有的文献中, 并没有对一阶线性微分方程周期边值问题

u′ (t) +a (t) u=h (t) , (6)

u (0) =u (T) . (7)

的可解性及解的性质作深入地研究.由于线性问题 (6) , (7) 的性质是研究非线性问题 (4) , (5) 的重要基础, 因此本文将证明有关线性问题 (6) , (7) 的如下性质

定理1 设a, h:[0, T]→ℝ为连续函数.则

(a) 问题 (6) , (7) 对每一个h∈C[0, 1]均有解的充分必要条件是∫${}_0^{{\rm T}}$a (s) ds≠0;

(b) 若h (t) ≥0且h (t) 0于[0, T], 则u (t) ∫${}_0^{{\rm T}}$a (t) dt>0;

(c) 若h (t) ≤0且h (t) 0于[0, T], 则u (t) ∫${}_0^{{\rm T}}$a (t) dt<0.

证明 (a) 若 (6) , (7) 对每一个h均有解u, 则由 (3) 知

u (0) =m,

u (T) =me-∫T0a (s) ds+∫${}_0^{{\rm T}}$h (s) e∫sTa (τ) dτds.

由 (7) 可推知

m (1-e-∫T0a (s) ds) =∫${}_0^{{\rm T}}$h (s) e∫sTa (τ) dτds (8)

对任意h∈C[0, T]均成立.

反设∫${}_0^{{\rm T}}$a (s) ds=0, 则当在 (8) 中特取h (t) ≡1时会出现矛盾!故∫${}_0^{{\rm T}}$a (s) ds≠0.

反过来, 设∫${}_0^{{\rm T}}$h (s) ds≠0.则由 (8) 可以求出唯一的m*:

m*= (1-e-∫T0a (s) ds) -1∫${}_0^{{\rm T}}$h (s) e∫sTa (τ) dτds. (9)

将此m*带入 (3) , 便可得到问题 (6) , (7) 的一个解.

(b) 由于h (t) ≥0且h (t) 0于[0, T], 故由 (a) 的结论知: (6) , (7) 存在一个解u.我们宣称:u在[0, T]上没有零点.

反设u (t0) =0对某t0∈[0, T]成立, 则由常数变易法可推得

u (t) =e-∫tt0a (s) ds[u (t0)

+∫${}_{t{}_0}^t$h (s) e∫st0a (τ) dτds], (10)

进而

u (0) =e-∫0t0a (s) ds[∫${}_{t{}_0}^0$h (s) e∫st0a (τ) dτds], (11)

u (T) =e-∫Tt0a (s) ds[∫${}_{t{}_0}^{{\rm T}}$h (s) e∫st0a (τ) dτds]. (12)

由于h (s) e∫st0a (τ) dτds≥0且h (s) e∫st0a (τ) dτds0于[0, T], 因此, (11) 和 (12) 蕴含u (0) ≠u (T) .这与 (7) 矛盾!故

u (t) ≠0, ∀t∈[0, T]. (13)

现在, 由 (6) ,

$\frac{u^{\prime }(t)}{u(t)}+a(t)=\frac{h(t)}{u(t)}‚t\in (0‚{\rm T})$. (14)

上式两边从0到T积分, 得

$\begin{array}{l}\ln |u(t)||{}_0^{{\rm T}}+{\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}a}(t)\text{d}t\\ ={\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}\frac{h(t)}{u(t)}}\text{d}t.(15)\end{array}$

(7) 和 (15) 连同题设条件h (t) ≥0且h (t) 0于[0, T]蕴含:u (t) 与∫${}_0^{{\rm T}}$a (t) dt同号.

(c) 与 (b) 的证法类似.

参考文献

[1]东北师范大学微分方程教研室.常微分方程[M].北京:高等教育出版社, 2007.

解的性质 篇4

考虑差分方程

其中, k∈N, f∈C (Rk+1, R) , 初值x-k, …, x-1, x0为任意实数, 如果给定初值xi=ai∈R, i=-k, …, -1, 0, 由方程 (1) 就可以唯一地得到一序列{xn}∞n=-k, n≥0时满足方程 (1) 。

定义1[2,3]平衡方程成为差分方程 (1) 的平衡解。

定义2[2,3]设方程 (1) 的一个平衡解

(1) 平衡点称作稳定的, 如果对每个

(2) 平衡点称作局部渐进稳定的, 如果它是稳定的且γ>0, δ>0, s.t.当xk, …x-1, x0∈R且时, 对一切n≥-k,

(3) 平衡点称作一全局吸引子, 如果对任意的xk, …, x-1, x0∈R有

(4) 平衡点称作全局渐进稳定的, 如果它是稳定的且为一全局吸引子。

定义3[4,5]设是方程 (1) 的一个平衡点且f∈C 1 (Rk+1, R) , 记

这里f (x0, x1, …, xk) 是方程 (1) 中的函数。称方程

为方程 (1) 关于平衡点x的线性化方程。方程 (2) 的特征方程为

定理1[6,7]假设p1, p2, …, pk∈R, k∈{1, 2, …}, 如果

则, 差分方程

是渐进稳定的。

注:由于方程 (2) 渐进稳定的充要条件是其特征方程 (3) 的所有的特征根λ满足λ<1, 因此, 当式 (4) 满足时, 方程 (3) 的特征根λ满足λ<1。

定理2[6,7]如果f∈C 1, 方程 (1) 的变分方程 (2) 的特征方程 (3) 的所有根满足λ<1, 则方程 (1) 的平衡解x是渐进稳定的;如果至少一个根满足λ>1, 则平衡解x是不稳定的。

1方程的渐进稳定性

现研究方程

A, β, δ≥0。当β, δ>0时, 方程等价于方程 (5) 。

定理3对方程 (5) 有结论

1) 平衡解x=0:当A>1+β时, 是渐进稳定的;当A<1+β时不是渐进稳定的;

2) 平衡解:当β>B (1-A) 且1≥A>0, B≥1时是渐进稳定的;当1≥A>0, B≥1, 1<β<B时是渐进稳定的。

证明方程 (6) 的平衡解是平衡方程的解, 即, 平衡解为

定义函数

分别对x, y, z求导得,

1) 平衡解x=0的渐进稳定性

直接计算可得, 函数f (x, y, z) 在 (0, 0, 0) 点的偏导数连续。方程 (6) 的变分方程是

特征方程。

由定理1及其注释, 当, 即, A>1+β时, 由定理2, 平衡解x=0是渐进稳定的;当A<1+β时平衡解x=0不是渐进稳定性。

则

因为B>1, 且A-β-1<0成立, 所以

由定理2知, 差分方程 (6) 的平衡解是渐进稳定的。

得β>1-A, 由于β<B (1-A) , 得1<β<B。因此, 1<β<B时, 由定理2知, 差分方程 (6) 的平衡解是渐进稳定的。

定理3的数值例子:考虑方程

A=3, β=1, B=1, A>1+β, 取初值x-2=1, x-1=1, x0=2, 得图形 (图1) 。

考虑方程

A=0.5, β=2, B=2, 1≥A>0, B≥1, β>B (1-A) , 平衡解, 取初值x-2=1, x-1=1, x0=2, 得图形 (图2) 。

考虑方程

A=0.5, β=3, B=2, 1≥A>0, B≥1, B>β>1, 平衡解, 取初值x-2=1, x-1=1, x0=2, 得图形 (图3) 。

注:由于证明方法的不同, 定理的条件和结论不同于文献[1]的定理2.2和定理2.3。可以用定理3的方法研究其他类型的方程, 下面研究方程 (5) 的一种变形方程。

2方程的局部渐进稳定性

现研究方程

方程 (8) 有更高的非线性, 其平衡解是平衡方程

的解, 即平衡解为。为使平衡解为正, 需要 (B+1-β) (1-A) >0。

定义函数

1) 平衡解x=0的渐进稳定性

直接计算可得, 函数f (x, y, z) 在 (0, 0, 0) 点的偏导数连续。方程 (8) 的变分方程是

方程 (9) 的特征方程, 当, 即, A>1时, 平衡解是渐进稳定性;当A<1时平衡解不是渐进稳定性。

假设其小于1, 即

得β+1<B, 这是不可能的, 因此, A>1时不可能成立。

再设A<1, 则B+1>β, 必有。

当2β>B>β-1时, , 仿上面的讨论, 令、得B>β+1。因此, 当A<1, 2β>B>β+1时, 方程 (8) 渐进稳定。

把上述讨论总结成一个定理, 即

定理4对方程 (8) 有结论:

1) 平衡解, A>1时, 是渐进稳定性;当A<1时不是渐进稳定的;

2) 平衡解, 设A<1。3β+1>B>β+1时, 方程 (8) 渐进稳定。

定理4的数值例子:考虑方程

A=2>1, 取初值x-2=1, x-1=1, x0=2, 得图形 (图4) 。

考虑方程

A=0.5, B=4, β=2, 3β+1>B>β+1, 平衡解。取初值x-2=0.1, x-1=0.1, x0=0.2, 得图形 (图5) 。

注:需要指出的是, 数值例子中的初值应该尽量接近于平衡解, 也就是说, 平衡解是局部渐近稳定的。例如方程 (10) 中取。

参考文献

[1]Camouzis E.Global analysiis of solutions ofxn+1=A+βxBnxn+δ+xCn-xn2-1.J Math Anal Appl, 2006;316:616—627

[2]Elsayed E M.Qualitative behavior of difference equation of order two.Mathematical and Computer Modelling, 2009;50:1130—1141

[3]Kulenovic MR S, Ladas G.Dynamics of second order rational differ-ence equations with open problems and conjectures.Chapman&Hall/CRC Press, 2001

[4]张清涛.两类差分方程的全局渐近稳定性研究.南京理工大学学位论文, 2007

[5]Wan-sheng HE, Wan-tong L I.Global attractivity of a second order nonlinear difference equation.大学数学, 2005;21 (2) :47—51

[6]Koci VL, Ladas G.Behavior of nonlinear difference equations of high-er order with applications.Dordrecht:Kluwer Academic Publishers, 1993