B-S期权定价模型（共7篇）
B-S期权定价模型 篇1
0 引言
在当前全球气候变暖与国际金融危机的双重背景下, 低碳经济和低碳产业正逐步取代高污染、高排放、高附加值的传统产业, 成为新一轮的经济发展增长点。自江苏沿海的开发建设上升为国家战略以来, 当前的关键问题在于如何促进企业低碳发展能力的建设。简言之, 即如何针对区域内清洁发展模式的现状采取相应对策措施以确保减排企业拥有激励参与减排, 因此, 有效对该区域在清洁发展机制下发展碳市场进行潜力分析, 努力对建立碳排放权定价机制进行测算研究, 并积极设立促进地区经济低碳可持续发展的政策措施, 对于促进碳排放由高碳环节向低碳环节的转变, 对企业低碳技术进步和节能减排具有重要的理论与现实意义。
CDM项目是一种碳交易机制, 本质是以发展中国家的碳排放资源来换取发达国家的先进技术与资金, 顺应了世界上低碳发展的潮流。然而作为全球最大的碳排放权供应国, 中国目前仍处于碳交易产业链的最底端, 企业缺乏定价话语权, 众多节能减排项目的资本拥有者缺乏市场参与意识及碳交易意愿, 总体距离国际上自由开放的碳交易市场存在一定差距。
在上述研究背景下, 本文将紧密结合国内和江苏省内的碳交易市场现状, 以清洁发展机制和碳排放交易等相关理论作为基础, 在碳排放市场初始分配排放量时选用实物期权的定价方法, 借助B-S模型初步建立一个碳排放权定价模型, 测算出碳排放期权的市场定价, 最终给出了江苏省未来进行P-CDM发展的研究思路和策略建议。
1 江苏区域发展碳交易模式的潜在优势
1.1 CDM项目发展态势迅速
根据中国清洁发展机制网数据库系统相关数据显示, 江苏省已批准和签发注册的CDM项目总数虽然不多, 但年估计减排量在全国位居前列, 且减排项目重点集中在工业领域, HFC-23分解、节能和提高绩效、新能源和可再生能源、燃料替代、甲烷回收利用等项目估计年减排量占90%以上, 项目数量共计占89.8%。其中, HFC-23分解项目一枝独秀, 签发减排量占据68.90%;新能源和可再生能源项目数量高居榜首, 表明江苏地区在大力推广低碳循环经济, 促进企业节能减排方面取得显著成效。从项目买家分布的国家和地区来看, 与之密切联系的全球碳交易活动主要集中在西欧, 尤其以英国和日本两个岛国买家最为活跃, 这与两国极为关注气候变化, 且本国金融业发达等因素密切相关。
自2005至2006年间江苏省CDM项目启动以来, 历经了2007-2008年间的高速活跃期, 国内CDM开发机构迅猛发展;2009-2010年间的金融危机时的低迷期, CDM数量随之减少;近两年国内重新加大了对低碳经济的重视程度及科研投入, 一大批CDM项目得以重新建立。
数据来源:中国CDM清洁发展数据库网.
1.2 具备向低碳经济跨越发展的经济基础与能源资源条件
江苏目前的公共设施、公共工程及交通运输等基础设施条件较之前有了很大改善, 具备了较强的资金吸引力;沿海地区的产业结构不断优化, 第一产业比重不断下降, 第二、三产业比重上升, 且第二产业呈现加速增长态势, 工业化进程不断提高。截止2011年, 江苏地区生产总值达49110.27亿元, 其中工业生产总值22280.61亿元, 占据总产值的45.37%。
沿海地区风力资源储量极大, 通过“海上风电”工程的实施, 可以促进节能减排及地区经济的可持续发展, 大力推进“绿色江苏”的构建。此外, 地区太阳能资源较为充足, 苏北地区年日照时间约为2000-2600小时, 可集中用于太阳能热水器的研制、生产。这些优势都为沿海地区新能源产业带的发展提供了一定的资源基础。
1.3 对能源资源的依赖度高, 节能减排空间大
江苏为能源消耗大省和一次能源生产小省, 省内主要的经济增长均靠大量消耗能源得以实现。经济总量规模庞大, 高耗能特征明显是江苏目前发展的显著特征。在目前工业企业的能源消耗中, 煤炭、原油、焦炭及燃油占据绝大部分, 其中, 煤炭比例高居不下, 且消费量呈急速增长之势。在2011年制造业27588.97万吨标准煤的能耗中, 化学原料及化学制品制造业、黑色金属冶炼及压延加工、非金属矿物制造业 (水泥等建筑行业) 的能耗量高居榜首, “高碳型”产业的发展状况依然明显。
数据来源:江苏统计年鉴2012.
截止2012年12月31日, 江苏省已签发CERs的项目共有38个, 项目类型主要为新能源和可再生能源及HFC-23项目, 共计35416887吨二氧化碳当量 (t CO2e) 。按折算系数则:35416887×0.2143=7589838.9吨标准煤;7589838.9×0.7143=5421421.9吨原煤。所以, 实施CDM项目的同时换算成原煤后间接减少了江苏省5421421.9吨原煤量, 降低了江苏省的能源需求。由此可见, 通过技术革新与改造及产业结构调整, 江苏的节能减排空间将会很大。
2 基于B-S期权定价模型的实证分析
由美国学者Black和Scholes提出了著名的BlackScholes期权定价模型, 因其计算出的期权价格与实际价格十分接近, 故被广泛应用于期权定价之中。
B-S模型具有股票市场允许卖空、期权的买卖没有交易费用或税收、所有证券均为无限可分、证券在有效期内没有红利支付、不存在无风险套利机会、证券交易都是连续不间断、无风险利率为固定不变的常数等特点。
对碳排放期权而言, 其赋予了期权所有者在未来某个特定时刻以特定的价格来购买碳排放配额的权利, 期权所有者还可以随时执行该期权, 因此从实质上看, 它属于美式看涨期权, 而在理论上讲会持有到期, 故可看作欧式期权;引入期权机制后, 企业内部碳排放交易市场上的交易费用减少, 可看成市场上不存在摩擦;不同规模的企业部门在不发生大规模技术革新的情况下, 可认定碳排放权交易的市场价格相对稳定。此外, 作为一种产权清晰的公共资源, 可有效防止在碳交易过程中产生套利机会。所以, 碳排放期权严格适用于Black-Scholes公式。
B-S期权定价的碳排放初始分配模型如下:
C是欧式看涨期权的价格、S0为标的物当前的市场价格、X是期权的协定价格、rc代表无风险连续复利、Σ表示期权价格的波动幅度、N (d) 作为正态分布变量的累积概率分布函数, 且d服从平均值为0, 标准差为1的标准正态分布。
现选取一个欧盟排放配额期货EUADEC-14, 其含义为在2013年年底到期的远期期货, 设计期限为一年, 为便于本文方便研究, 假设EUADEC-14为有效期3个月的短期期权, 即从2013年4月8日至2013年7月8日, 共92天, 66个交易日, 协定价格K=6欧元, 现货价格S0=5.26欧元, 期权到期期限T=期权有效天数/365=0.252年
根据Nord Pool网站每天提供的EUADEC-14交易的收盘价格, 交易时间为2013年3月6日至2013年4月6日, 共计30天, 24个交易日。从中估计出EUADEC-14的实际波动率。具体而言, 即对连续天数的价格求出自然对数比, 得出连续n个的复合收益率r。
即, 其中, Pt为期货第t天的历史价格, Pt-1为第t-1天的历史价格。再由此计算N个收益率的样本标准差则得到月收益波动率, 使用STDEV, 求得月收益波动率为σ=0.0488, 则年波动率为
无风险利率采用欧洲两年期公债利率, 由数据可得2012年意大利两年期公债利率为4.511%, 将单利转为连续复利, 有r=ln (1+R) =0.0441, 则:
此时得到期货合约EUADEC-14三个月的期权价格为0.0306欧元。
最后, 通过对欧盟 (以意大利为例) 与江苏经济发展的相似性比较 (地下经济, 南北差距两极分化) , 将上述价格乘以权重系数0.7后, 可假定为江苏区域碳排放期权的交易价格, 此时价格为0.02142欧元。
资料来源:Nord Pool Closing price previous 30 trading days for EUADEC-14 Prices in EUR.http://www.nasdaqomx.com/commodities/markets/marketprices/
3 江苏地区发展CDM新思路及对策建议
鉴于江苏目前正处在工业化、城市化、现代化发展的新阶段, 但工业技术总体水平落后、管理制度的欠缺、政府政策的相对滞后都是阻碍我国低碳产业发展的瓶颈, 因此, 将主要从技术革新、管理体系的完善、政策法规的建立与健全等方面为江苏地区清洁发展提供了新的发展思路与方向。
3.1 提高转移技术的先进性
从省内目前的CDM注册项目来看, 目前引进的多为减排量大而科技含量较低的项目, 因此, 企业在未来选择合作伙伴时, 要将提高效能或节约能源的相应技术放在优先考虑地位;一些CDM的主管部门在对项目进行评价审核时, 也应适度加强对项目可持续发展的过程评估, 努力引进更多先进的CDM项目促成区域清洁环保低碳发展。
鉴于CER收益是推进低碳技术转移的主要动力, 而项目规模、市场势力强弱等因素均可通过影响收益作用于技术转移。因此要从CER收益入手针对性对策。具体而言, 要尽量扩大项目规模, 对于那些项目类型相同, 技术要求相近的小型项目, 政府部门可通过组织联合招标、捆绑申报等途径, 拓大整体规模, 获取更多的CER签发数量及收益;同时, 需大力培育中方CDM专业主体并将其引入到现有CDM发展模式, 使之能够接受中方企业委托与买方进行交易, 从根本上打破原有价格操控的不利局面;此外, 还要加强对一些科研机构、碳交易机构的培育, 使之进一步增强提供咨询以用于显著促进技术转移的能力。
3.2 拓宽完善碳交易服务平台
要逐步开发完善碳交易平台努力在该地区构建一个统一CDM交易市场, 逐步开发完善碳交易平台, 这就要求政府部门按照实际情况将国家给予的地区碳排放总量分解后, 再将碳排放权合理分配至不同企业, 鉴于江苏能源消耗以煤炭为主, 且将燃煤发电作为电力主要来源, 因此可考虑在火电主要产区展开碳排放交易试点, 优质低碳企业在自身生产过程中可经过技术改造、产品升级等方式减少各自的碳排放额度, 积累的碳排放量达到一定标准后作为“排放信用量”用来在相关的交易所平台挂牌销售, 与碳排放配额不够的高碳行业进行买卖交易。在此基础上, 政府可为许可证持有者建立两类账户, 一是为达标者建立的企业账户, 用以审核其是否符合其分配的排放额, 二是为全部交易主体建立的普通账户, 可用于在交易达成后, 主管部门将“交易排放信用量”从一方转至另一方。这种将无形资本与有形经济结合的方式, 能够有效达到利用碳交易市场的力量来引导低碳产业在CDM平台进行公平交易的目的。同时, 积极鼓励金融机构的参与及加入, 要利用金融手段对新兴的CDM市场加强刺激, 动员其参与到促进CDM项目发展的活动中来, 既可作为资金中介与项目交易中介, 帮助解决资金问题, 又可以通过自身参与扩大利润来源, 即金融机构直接同项目业主联合开发CDM项目或者作为中介购买CDM成果等。
同时, 通过交易市场的扩大, 要逐步取得相应的市场定价权及话语权, 从根本上打破由外资银行垄断国际金融市场的局面。
3.3 构建产权明确的相关政策制度
加快紧缺技术的项目目录的出台, 引导CDM项目的快速流入。江苏开放性较高, 在CDM机制运行方面给上应积极主动, 在引入过程中要注意通过计算项目的开发成本与难度以及技术需求性等方面, 确定合适的项目领域, 同时, 还应积极制定相应政策法规, 给予CDM项目更多的税收优惠, 从而合理引导外国企业来本省投建CDM项目, 打开外国CDM项目落户我省的局面。
此外, 还要构建出比较清晰的CDM项目管理制度, 制定实施CDM项目的审批标准及程序, 推动规划方案下的清洁发展机制开发与实施。提高对燃料替代项目、能效项目等的批准及签发数量, 努力鼓励市场参与方开发CDM项目时, 更多集中于那些减排数量高、投资成本低、商业收益丰厚的项目上, 促使此类项目类型进行市场开发等。
4 发展展望
由于碳排放期权研究的系统性与复杂性, 因此对国内碳排放市场的交易探讨还有一些可持续研究的方向, 主要是:第一, 在碳排放交易的分析问题上, 可继续使用产权理论、排污权理论、博弈论等相关知识进行相关深入的经济学支撑;第二, 对于碳排放初始期权分配的公平性与合理性研究有待深入, 需对低碳产业链中利益相关者的行为进行进一步探讨与分析;第三, 应继续深化探索企业碳排放测量的理论及技术方法, 加强因量化行业碳排放所制定评估指标的研究, 对可量化的要素进行相关权重的确定, 才能不断修正文章中提出的基于欧盟配额的期权定价方法, 使之更加完善。
摘要：发展低碳经济, 提升碳交易与清洁发展能力已是大势所趋。文章通过对CDM项目进展、经济基础与资源禀赋等方面对江苏省内企业发展碳交易市场进行潜力分析后发现, 该地区存在巨大的节能减排空间。实证研究中将实物期权理论引入碳交易机制, 借助B-S模型及欧盟碳交易市场相关数据构造出碳排放期权定价模型, 根据欧盟与江苏经济发展的相似性折扣给出江苏地区碳交易的市场定价, 同时, 围绕技术、管理及政策三个层面提出该地区CDM机制的新型思路建议, 旨在为江苏企业在清洁发展机制下逐步开发完善碳交易市场提供有利依据与参考。
关键词：CDM项目,碳排放期权定价,B-S模型,江苏企业
参考文献
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B-S期权定价模型 篇2
(一) 背景
为建立中长期激励约束机制, 越来越多的国有控股上市公司开始实施股权激励。华域汽车 (A股代码600741) 作为上海市国资委控股的国有上市公司, 是目前中国规模最大的汽车零部件企业。2013年上海市委市政府下发了《关于进一步深化上海国资改革促进企业发展的意见》, 华域实施股权激励的相关条件已经成熟, 可以着手制定股权激励方案。
目前已实施的国有控股上市公司股权激励方案主要有限制性股票和股票期权两种方式, 限制性股票即上市公司授予激励对象一定数量的公司股票, 在满足一定业绩和期限条件后, 激励对象可出售股份或继续持有;股票期权即上市公司授予激励对象一定数量期权, 赋予其在未来一定期限内以预先确定的价格和条件购买本公司一定数量股票的权利。
从激励标的看, 限制性股票是授予激励对象股票, 股票期权是授予激励对象期权, 华域汽车在制定股权激励方案时, 必须对这两种激励方式的激励标的价值进行测算, 合理估算激励对象可获得的激励报酬, 并选择合适的激励方案。
(二) 问题的提出
为规范国有控股上市公司实施股权激励, 中国证监会、国务院国资委相继出台了一系列政策规定, 其中对于限制性股票和股票期权主要有如下要求:
华域股权激励方案以上述政策法规为框架, 且满足以下假设条件:
定价基准为14元/股;限制性股票采取“2年禁售期+3年解锁期”、股票期权采取“2年限制期+3年有效期”的激励期限;限制性股票和股票期权授予条件及解锁 (行权) 条件相同, 且激励对象都能满足;激励对象充分行权;3年解锁或行权按照40:30:30的比例安排;不考虑解锁 (行权) 出售股票对股价的影响。
鉴于上述假设条件, 华域汽车要选择合适的股权激励方案必须解决以下问题:
一是限制性股票的公允价值和股票期权价值如何衡量和确定?
二是激励报酬与未来股价紧密相关, 未来相同股价条件下, 哪种方案的激励力度更大?或在达到法规限定的激励报酬上限条件下, 哪种方案对股价上涨幅度的要求更小?
三是综合考量激励报酬力度、激励成本、行权可行性等因素, 哪种方案更为可行?
二、B-S期权定价模型及应用
(一) B-S期权定价模型及基本假设
布莱克 (B lack) 和斯克尔斯 (Scholes) 于1973年提出的期权定价模型, 在期权交易中作为对标准欧式期权的估价工具得到广泛应用。由于该定价模型参数容易取得, 且不同上市公司可采用相同方法和计算公司来获取参数数据, 因此国内上市公司在计算股票期权公允价值时大多采用B-S期权定价模型。该模型有以下重要假设:
1. 股票价格行为服从对数正态分布模式;
2. 在行权有效期内, 无风险利率和金融资产收益变量是恒定的;
3. 市场无摩擦, 即不存在税收和交易成本, 所有证券完全可分割;
4. 金融资产在期权有效期内无红利及其它所得;
5. 该期权是欧式期权, 即在期权到期前不可实施;
6. 不存在无风险套利机会;
7. 证券交易是持续的;
8.投资者能够以无风险利率借贷。
B-S模型公式如下:
上述公式中:C—期权初始合理价格;S0—标的股票的现行价格;N (d2) 为标准累积正态分布函数;X—期权的行权价格;r—连续复利的年化无风险利率;t—直至到期日的时间长度;σ2—连续复利的按年计算的股票收益率方差。
(二) B-S期权定价模型在股权激励方案中的应用
无论是限制性股票还是股票期权, 二者的价值都包含内在价值和时间价值。限制性股票的内在价值等于授予日股票市价与授予价格的差额, 股票期权的内在价值是行权日股票市价与授予行权价格的差额, 在所有条件可比的情形下二者的时间价值相同, 因此二者的价值都可以通过期权定价模型来估计。
B-S模型公式中, S0标的股票的现行价格、X期权的行权价格、t直至到期日前的时间长度可根据方案直接设定, r连续复利的年化无风险利率可以选择最新一年期国债利率3.60%, 连续复利的按年计算的股票收益率方差可以选用华域汽车股票过去1年历史波动率的平方, 可以用EX C EL计算得到华域汽车股票过去1年的历史波动率参约为30.959%, 因此可以计算σ2股票收益率方差为9.58%。
三、限制性股票方案分析
(一) 限制性股票公允价值的计算
由于限制性股票是激励对象在授予日就要按照授予价格全额认购, 并且需要经历2年的禁售期, 进入解锁期后, 按照40:30:30的比例分三年解锁, 因此从货币的时间价值看, 限制性股票授予价格只是一个名义价格, 是股权在解锁期每期实际授予价格的现值。计算限制性股票的公允价值, 需要通过授予价格和合适的折现率来计算实际的授予价格。
假设华域汽车限制性股票方案股票现价和定价基准同为14元/股, 则根据“授予价格不低于定价基准50%”的规定, 授予价格为7元/股;同时, 按照“2年禁售期+3年解锁期”, 并以最新一年期国债利率3.60%为折现率, 可计算实际授予价格分别为7.78元/股、8.06元/股、8.35元/股, B-S模型参数值计算如下:
由于三年解锁按照40:30:30的比例进行, 因此可计算加权平均的限制性股票公允价值为:
(二) 限制性股票方案下激励报酬的测算
根据股权激励相关规定, 在授予限制性股票时, 要求高管所获股权激励预期收益≤有效期内薪酬总水平 (含预期股权收益) 的30%。假设高管在股权激励有效期内薪酬水平 (不含预期股权收益) 为A, 预期股权收益为R, 则可计算授予时的预期股权收益为:
结合已得到的加权平均期权价格W A C=7.391元, 高管可获限制性股票数Q为
禁售期满进入解锁期后, 在不考虑交易费用和抛售对股价影响的情况下, 只要未来股价P高于名义授予价格7元, 高管抛售限制性股票即可获得股权激励报酬:
四、股票期权方案分析
(一) 股票期权价值的计算
由于股票期权不同于限制性股票, 激励对象无需在授予日支付认购资金, 只需在行权日自主决定是否行权, 所以行权价格无需考虑货币的时间价值问题, 但是由于是分三年分批行权, 因此, 期权的价值会因时间价值的差异而产生差异。B-S模型参数值计算如下:
由于三年行权按照40:30:30的比例进行, 因此可计算加权平均的期权价格为:
(二) 股票期权方案下激励报酬的测算
根据股权激励相关规定, 在授予股票期权时, 要求高管所获股权激励预期收益≤有效期内薪酬总水平 (含预期期权收益) 的30%。假设高管在股权激励有效期内薪酬水平 (不含预期期权收益) 为A, 预期期权收益为R, 则可计算授予时的预期期权收益为:
结合已得到的加权平均期权价格W A C=4.114元, 高管可获期权份数Q为
限制期满进入行权有效期后, 在不考虑交易费用和抛售对股价影响的情况下, 只有未来股价P高于期权执行价格14元, 高管通过行权并抛售才可获得股权激励报酬:
五、方案综合比较和总结
通过前面的分析和计算, 分别得到在未来相同股价P条件下, 限制性股票和股票期权的预期收益:
通过联立 (1) 式和 (2) 式可解得:
当解锁期 (行权期) 未来股价7≤P≤22.83元时, 限制性股票的激励报酬高于股票期权的激励报酬;P>22.83元后, 股票期权的激励报酬更高。
综合限制性股票和股票期权方案, 利弊分析如下:
结论:综合以上利弊分析, 对华域汽车而言, 采用限制性股票作为股权激励方案是更好的选择。
参考文献
[1]MBA智库百科《期权定价理论及应用》.
B-S期权定价模型 篇3
期权的最优对冲策略一直是现代数理金融领域的研究热点之一。期权的对冲策略亦即规避风险, 简言之, 即合理构建对冲头寸以抵消或降低风险。最早关于对冲策略理论的研究起源于20世纪30年代, Keynes[1]认为最优对冲策略即是套期比恒等于1的对冲策略。随后, Ederington[2]基于最小二乘法得到方差最小原则下的最优对冲策略公式。到2006年, Lutgens等[3]提出了一种单期期权的对冲策略问题, 由于该策略一旦确定之后就保持不变, 因此被称为静态的对冲策略问题。但是金融市场是一个动态的市场, 并且金融环境也较复杂, 在实际市场中, 不确定的因素会对对冲策略产生不可忽视的影响, 因此静态的对冲策略在一定程度上具有局限性。这意味着, 动态的对冲策略将能更好地规避风险。Rubin和Schachter[4]在方差最小原则下研究了期权的最优对冲策略问题。Schweizer[5]在离散时间情形下, 利用方差最优法研究了对冲策略问题, 得到了最优对冲策略的倒向递归表达式。黄长征[6]利用效用最大化的准则构建了期货对冲策略的非线性模型。Coleman等[7]利用局部风险最小化的方法讨论了基于离散时间情形下美式期权的对冲策略问题。更多关于期权对冲策略的研究可参见文献[8], [9]等。
从现有文献来看, 期权的对冲策略问题研究大都集中在理论层面, 并且所得出的最优对冲策略表达式中存在某些难以计算的量, 在实际市场应用中不便操作。例如, 在期权的对冲策略表达式中, 标的资产价格 (比如:股票价格) 的波动率是不可观测的量, 需要利用市场数据进行估计。本文将基于波动率函数的非参数估计来解决这个问题。首先, 考虑股票价格过程服从变系数的Black-Scholes模型, 此模型比经典Black-Scholes模型的优势在于, 变系数的Black-Scholes模型允许股票的期望回报率和波动率皆随时间而变化, 从而能更好地描述实际股票价格数据的变化特征。对于变系数Black-Scholes模型中的波动率函数, 基于文献[10]的研究, 构造股票波动率函数的非参数强相合估计。然后, 利用△-对冲法和Girsanov定理, 在方差最优方法度量风险下, 得到股票欧式看涨期权的最优对冲策略。最后, 基于波动率的强相合估计量, 给出欧式看涨期权最优对冲策略的具体计算公式, 并证明了该对冲策略的强收敛性。一方面, 在此公式中, 所有的量均可由市场数据直接计算得到, 提高了期权的对冲理论在实际应用中的便捷性。另一方面, 基于非参数估计的最优对冲策略的精度完全由波动率函数估计的精度确定, 从而具有较高的精度。
2 变系数B-S模型波动率函数的非参数估计
设股票价格过程{St}满足如下变系数Black-Scholes模型:
其中, μt是股票的期望回报率函数, σt2是股票价格的波动率函数, 它们皆为未知的待估函数, 且在股票市场数据中不可观测。{Bt}是标准的布朗运动过程。在最优对冲策略问题研究中, 波动率函数σt2的估计是关键性的重要问题。下面的结果是基于文献[10]的研究成果。
假设0=t0 (n) <t1 (n) <t2 (n) <…<tn (n) =T, 令
是来自模型 (1) 等距观测的样本数据, 构造波动率函数σt2的非参数估计量为
下面的定理1和定理2分别描述了估计量的大样本性质和精度。
定理1 波动率函数的非参数估计量是σt2的强相合估计量, 即:当n→∞时, 有:
定理2 由式 (2) 给出的估计量满足:
此定理给出了估计量的精度。
定理1和定理2分别是文献[10]中引理2和定理2的直接结果, 它们的证明可以参见文献[10]。本节给出了股票价格的波动率函数的强相合估计量, 并且所给估计量具有显示的表达式, 可以根据股票价格的样本数据直接计算。
3 股票期权的最优对冲策略
本节讨论当用方差最优方法度量风险时, 股票期权的最优对冲策略。设无风险利率为rt, 在t时刻股票欧式看涨期权的价格为C (t, St) , 假设不支付税收和交易费用, 市场不存在套利机会, 则股票的欧式看涨期权在到期日t=T时的价值为
其中, 常数K是期权的敲定价。定义风险中性测度P*, 则在P*下是标准布朗运动。记, 则St*在P*下关于Ft是鞅。由Δ-对冲和公式[11]知
其中, C (0, S0) 是期权发行价格, 是连续时刻的对冲策略。在真实的股票市场中, 对冲是离散的, 因此, 需要寻求最优的离散对冲策略。
设0=t1<t2<…<tN+1=T, 在时间段[ti, ti+1) 上, 仅在时刻ti有一次对冲, 记其对冲策略为φti, i=1, 2, …, N.最优的离散对冲策略意味着, 总收益在某种意义下尽可能地逼近, 其中是累积收益过程。
考虑时间区间[0, T]上的如下总对冲误差:
其中, Ε*是测度P*下的数学期望, 则
使式 (4) 最小的{φti, i=1, 2, …, N}称为方差最优的对冲策略。下面通过最小化 (4) 式来求最优对冲策略。记Δti=ti+1-ti, 最小化式 (4) , 由文献[12], 最优策略的一般表达式为
其中, , 且φt∈Ft.下面的定理3给出了最优对冲策略φti的具体计算公式。
定理3 变系数Black-Scholes模型中股票欧式看涨期权在时间区间[ti, ti+1) , 上的最优对冲策略为
i=1, 2, …, N.其中Φ (·) 是标准正态变量的分布函数,
注1在最优对冲策略的计算公式 (6) 中, 记最优对冲策略φti的第一部分为:
则φti (2) 表示资产或无值欧式看涨期权 (asset-or-nothing call) 在时间区间[ti, ti+1) 上的最优对冲策略。资产或无值欧式看涨期权即是在到期日t=T时刻, 若标的资产价格低于敲定价, 则合约一文不值, 若标的资产价格高于敲定价, 则按合约支付标的资产价格 (如股价) 。
注2 在最优对冲策略的计算公式 (6) 中, 记:
则φ (1) ti表示现金或无值欧式看涨期权 (cash-or-nothing call) 时间区间[ti, ti+1) 上的最优对冲策略。现金或无值欧式看涨期权即是在到期日t=T时刻, 若标的资产价格低于敲定价, 则合约一文不值, 若标的资产价格高于敲定价, 则按合约支付现金1元。
注3 由上面的记号, 易知下式成立:
其中, φti (1) 表示现金或无值欧式看涨期权的最优对冲策略, φti (2) 表示资产或无值欧式看涨期权的最优对冲策略, K表示期权的敲定价。详细的推导可以参见下面定理3的证明过程。
定理3的证明:欧式看涨期权在到期日t=T时的价值可以表示为
其中, H (·) 是Heviside函数, 即。
记f1 (y) =H (y-K) , f2 (y) =XTH (y-K) , 则f1 (y) 即为现金或无值欧式看涨期权在到期日t=T时的价值。f2 (y) 即为资产或无值欧式看涨期权在到期日t=T时的价值。由式 (7) 可知:
由此可得到
其中, φti (1) 表示现金或无值欧式看涨期权最优对冲策略, φti (2) 表示资产或无值欧式看涨期权最优对冲策略。
下面分别证明下述两个等式成立:
和
首先证明式 (9) 。注意到
又知
记。令, 则有
从而有
令, 则Θ={z″:z″>-d2i}。
由式 (11) , 式 (12) , 式 (13) 和, 得到式 (9) 成立。
下面证明式 (10) 。注意到
类似于式 (9) 的证明, 可得式 (10) 成立。
综合式 (8) , 式 (9) 和式 (10) , 定理3得证。
在最优对冲策略公式 (6) 中, 包含股票价格的波动率函数σ2t, 它在股票市场中是不可观测的, 是未知参数函数。这意味着, 我们需要根据股票价格的观测数据, 去寻找波动率函数的估计量。由第2节讨论知, 由 (2) 式给出的股票价格波动率函数的估计量是波动率的强相合估计。下面基于波动率函数的非参数估计, 讨论最优对冲策略的计算公式。令, 把上述记号代人式 (6) , 得到基于波动率非参数估计的最优对冲策略的计算公式为:
显然, 由式 (14) 给出的最优策略的计算公式可以通过真实市场数据直接计算, 这在应用中非常方便。
由于式 (6) 和式 (14) 分别是波动率σt2和非参数估计量的函数, 故把φti和分别记为φti (σt2) 和。下面的定理4表明, 基于非参数估计量的最优对冲策略是强收敛的。
定理4 设波动率函数的非参数估计量由式 (2) 给出, 则当n→∞时, 对每一个i, 有:
证明 由于都是的连续函数, 且Φ (·) 是标准正态随机变量的分布函数, 是连续可微的, 所以连续可微函数。因此的连续函数。又由定理1知:当n→∞时, 有:几乎处处成立。即非参数估计是波动率函数σt2的强相合估计。由Slutsky定理[13], 易知:当n→∞时,
由此可见, 的精度完全由波动率函数非参数估计量的精度所决定, 由定理2可知, 具有较高的精度。简言之, 基于波动率函数的非参数估计得到的最优对冲策略不但计算方便, 而且具有较高的精度。
4 模拟研究
本节将通过模拟研究来展示基于波动率估计的期权最优对冲策略的有效性。设股票的价格过程{St}服从时变系数Black-Scholes模型 (2) 。首先通过Matlab编程得到股票价格的模拟路径, 参数的设定如下:收益率函数为μt=0.1+0.2t2, 波动率函数为σt2=0.04+0.02t, 股票在零时刻的价格为S0=10, 模拟时间区间为[0, 0.5], 模拟次数为N=500, 时间间隔为Δt=0.001。.考虑一个到期日T=0.5的欧式看涨期权, 敲定价格为K=13, 无风险利率为r=0.1。假设对冲次数为n次, 这里对冲次数n分别取20, 50, 80, 100, 200, 假设两次对冲时间间隔为T/n, 记简单对冲策略为φtiT/n, 则可以计算简单对冲误差为
记采用最优对冲策略下的对冲误差为
其中, φti由式 (6) 给出, 。记采用基于时变参数估计的最优对冲策略下的对冲误差为
其中, 由式 (14) 给出, 模拟结果如表1所示。
从表1可以看出, 采用最优策略的对冲误差和基于时变参数估计的最优对冲的误差均小于简单对冲的误差, 并且对冲次数n的值越大, 相应的对冲误差越小。这意味着, 基于时变参数估计的最优对冲策略具有较好的拟合效果。
5 结束语
随着现代金融学理论的发展和金融市场环境的不断变化, 变系数扩散模型中波动率函数的估计问题和期权的最优对冲策略问题息息相关。波动率函数的问题是最优对冲策略问题应用于实际金融市场的前提, 只有根据资产价格的历史数据对波动率函数作出正确的估计, 才能有效地利用模型进行对冲策略研究。本文的研究拓展了期权的对冲策略问题在金融实践中的应用。现有有关期权对冲策略问题的文献所得到的对冲策略的计算公式中存在某些未知参数, 在实际金融市场应用中不便应用。这里, 我们通过构造波动率函数的强相合估计量来解决这个问题。
B-S期权定价模型 篇4
关键词：Black-scholes公式,历史波动率,格兰杰因果检验
1 权证价格决定
1.1 Black-scholes 模型
20世纪权证价格的影响因素除股票价格、执行价格、到期期限外, 还有股票价格波动率、无风险利率等 ( 为便于分析, 本文不考虑红利支付因素) 。根据著名的B lack- Scholes 期权定价模型, 对于认购权证来讲, 其定价公式为:
1.2 历史波动率
历史波动率是指回报率在过去一段时间内所表现出的波动率, 由标的资产市场价格过去一段时间的历史数据 (即 St 的时间序列资料) 反映。这就是说, 可以根据回报率的时间序列数据, 计算出相应的回报率数据, 然后运用统计推断方法估算回报率的标准差, 从而得到波动率的估计值。为了从实际数据估计标的资产的历史波动率, 观察标的资产价格的时间间隔通常是固定的 (例如每天、每周或每月) 。以股票为例, 历史波动率的计算公式如下:
其中:σ:年历史波动率估计值, undefined;
si:第 i 个时间间隔末的股票价格, i=1, 2, ···, n;
τ :以年为单位表示的时间间隔的长度。
2 实证分析
2.1 数据选取
本文所选数据为恒生指数认购权证5577和4504, 数据区间分别为2007年8月24日到2007年11月23日, 共60个交易日的收盘价为一个交易周期。无风险利率是以香港同期同业拆借利率4.07%为参考利率, 波动率主要根据历史波动率运用Excel编程处理。
2.2 实证检验
通过Excel 计算得出5577和4504的波动率分别为0.348和0.363, 进一步编辑BS公式计算出权证的理论价格, 理论价格的时间区间为2007年11月23日到2008年2月21日, 共60个交易日价格为一个周期。并计算出其偏离度, 限于篇幅限制, 计算出的理论价格在正文中略去, 以下结果均运用Eviews软件处理。
2.2.1 平稳性检验
时间序列分析的一个难点是变量的平稳性考察, 因为大部分整体经济时间序列都有一个随机趋势, 这些时间序列被称为“非平稳性”时间序列, 当对时间序列进行检验时首先应对其进行平稳性检验, 否则分析时会出现“伪回归”现象。我们分别对5577和4504理论价格和实际价格做ADF单位根检验, 检验结果如下:
5577理论价格和理论价格的单位根检验结果如表1, 它的一次差分后检验结果如下, 可知该序列为一次差分平稳序列。
4504的理论价格和实际价格的单位根检验结果如表2:一阶差分后的结果如下, 可知该序列为一阶差分平稳时间序列。
2.2.2 格兰杰因果检验
有以上分析结果可知, 5577和4504的实际价格和理论价格均为I (1) , 即一阶差分平稳时间序列, 我们分别对其进行格兰杰因果检验, 看理论价格和实际价格之间是否具有长期稳定关系。运用eviews软件进行格兰杰检验, 结果如表3。
由检验结果可知:在5%的假设条件下, 权证5577的理论价格和实际价格之间不具有因果关系, 权证4504的实际价格是理论价格的格兰杰原因, 理论价格对实际价格并没有显著影响。
2.2.3 图像拟合
为了更直观地看到实际价格和理论价格之间的关系, 我们给出其拟合图像。
权证5577和4504的理论价格和实际价格的拟合图象分别如图1和图2。
注:SJ 代表权证的实际价格, LILUN代表权证的理论价格
由图像可以看出, 4504权证的实际价格和理论价格拟合的比较好, 而5577的实际价格比理论价格明显偏高。
2.2.4 偏离度分析
我们采用偏离度来分析模型的定价效果, 首先假设市场是正确的, 即所有影响权证价格的信息都被市场所消化, 通过市场的作用使权证的价格符合其真实价值。在此假设下, 我们计算模型定价与市场价格之间的偏离度, 以此来衡量模型的定价效果。偏离度的定义公式:undefined
图3为5577和4504理论价格 (历史波动率) 与市场价格的偏离度图像:
注:PLANLIDU代表偏离度
由图像可知, 权证5577的实际价格和理论价格的偏离度以0.5位均值上下震荡, 权证4504实际价格和理论价格的偏离度在0到0.5之间波动。
2.2.5 相关性
通过分析权证价格和其基础股票价格的相关性, 可以得出市场定价的合理性。一般认为相关系数在0.7以上为强相关, 0.3-0.7为较强相关, 0.1-0.3为较若相关, 0-0.1为不相关。5577的实际价格和相关股票相关系数为0.88, 4504的实际价格和相关股票的相关系数为0.96, 说明这两支权证的实际价格和相关股票的价格高度相关。
3 结论
通过以上检验可知, 香港市场权证部分权证和相关股票价格相关性比较高, 权证的实际价格影响着理论价格, 偏离度比较小, 说明市场定价是比较合理和有效率的, 但部分权证也存在被市场高估的现象, 这说明象香港这样比较成熟的权证市场, 依旧存在着人为炒作现象, 投机现象比较强。综上所述, 香港权证市场的法律法规依然有待加强。
参考文献
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B-S期权定价模型 篇5
关键词：回望期权,最小二乘蒙特卡罗模拟,跳跃扩散,路径依赖,二叉树图
1 引言
回望期权是一种新型期权, 是由金融机构设计以满足市场特殊需求的产品, 在场外交易。回望期权的收益依附于期权有效期内股票达到的最大或最小价格。回望期权一般可分为固定执行价格回望期权和浮动执行价格回望期权。具有浮动执行价格的回望期权就是在期权到期日持有人以最后标的资产价格与标的资产在有效期内达到的最低价格和最高价格的差价作为收益, 另一种回望期权是具有固定敲定价格的回望期权, 应用价值较小, 本文讨论的都是前者。
欧式回望看涨期权的收益等于最后股票价格超过期权有效期内股票达到的最低价格的那个量, 欧式回望看跌期权的收益等于期权有效期内股票达到的最高价格超过最后股票价格的那个量。关于欧式回望期权, 其定价的解析式已经推导出来了。美式回望期权能在规定的到期日以前 (包括到期日) 的任何一个工作日执行, 执行时间也依赖于股票价格路径, 具有不确定性, 因此, 很难给出其定价方法。
国外Goldman等 (1979) 最早对回望期权进行了定价研究, 在标的资产遵循几何布朗运动的假设下, 对股票价格进行连续监测, 给出了欧式回望期权的定价公式[1], 然而标的资产遵循几何布朗运动与实际市场情况不符, 不能反映“隐含波动率微笑”的现象, 为了克服这个缺陷, 引入不变方差弹性过程 (CEV) , Boyle和Tian (1999) 分别通过数值计算和蒙特卡罗模拟为CEV模型下欧式回望期权定价[2]。Davydov和Linetsky (2001) [3]以及Vanni Petrella和Steven Kou (2004) [4]借助拉普拉斯变换回望期权进行了定价研究, Vadim Linetsky (2004) 在其基础上给出了一种更精确地求解回望期权的定价方法, 这种方法考虑了更多实际因素, 通过谱展开分析法计算出CEV模型下欧式回望期权定价的解析式[5]。另外, S.G.Kou和Hui Wang (2002) 考虑了双指数跳跃扩散模型下为路径依赖型期权 (回望期权、障碍期权、美式期权等) 定价[6]。Peter Buchen等 (2003) 给出了一种新的为欧式回望期权的定价方法[7]。国内徐承龙 (2004) 利用Fourier变换方法给出了带一般受益函数的欧式回望期权的定价公式[8]。袁国军等 (2005) 考虑了跳—扩散模型中欧式回望期权的定价[9]。
目前国内外对于回望期权的定价研究大多是基于欧式回望期权, 美式回望期权的执行时间不确定, 要给出其定价公式, 首先要确定其最优执行时间。Dai Min等 (2006) 对美式回望期权以及亚式期权的最优停时 (最优执行时间) 进行了研究, 为期权的定价奠定了基础[10]。经典的计算美式回望期权的方法是构造二叉树方法[11], Lishang Jiang (2004) 等指出这种方法具有很好的收敛性[12]。然而, 无论是普通的二叉树方法还是改进的二叉树方法, 都有两个缺陷:一是耗费大量的时间;二是都是在布朗运动的假定下进行, 对于布朗运动以外的情形无法应用。
标的资产遵循几何布朗运动的假设, 只反映了价格的连续变化, 没有考虑到标的资产价格可能会出现间断的“跳跃”情况, 这与实际金融市场情况不相符。很多金融实践也表明, 标的资产价格可能会出现间断的不频繁的“跳跃”情况。这些“跳”主要是由一些突发事件引起的, 比如, 破产、政变、政策调整、人为投机等等都会引起资产价格的大幅涨落。假设价格的跳跃以Possion跳跃过程到来, 为了更贴近实际金融市场的情况, 将几何布朗运动与Possion跳跃过程结合起来考虑价格的变化过程, 即假设资产的价格变化过程服从Possion跳—扩散过程。几何布朗运动描述了价格连续正常变化的情况, Possion过程描述了价格变化过程中的异常情况, 因此, Possion跳-扩散过程比较准确地刻画了实际市场中资产价格的变化情况。
本文主要工作是在资产价格服从跳跃-扩散过程的情况下, 给出美式回望期权的定价方法。假设股票价格服从Possion跳跃-扩散过程, 改进Longstaff等提出的最小二乘蒙特卡罗方法 (LSM) [13]得到新方法:总体最小二乘蒙特卡罗模拟方法 (TLSM) , 并应用TLSM为美式回望期权定价。将其计算结果与利用构造二叉树图方法所得结果进行比较, 得出:TLSM比较稳定, 计算结果接近期权的真实值;而且所用时间较短。
本文结构安排如下:第2节介绍改进的最小二乘蒙特卡罗模拟的方法;第3节利用总体最小二乘蒙特卡罗模拟方法为带跳市场下的美式回望期权定价;第4节介绍构造二叉树图方法, 为美式回望期权定价, 并将其与TLSM比较, 进而给出总结。
2 总体最小二乘蒙特卡罗模拟
改进Longstaff等提出的最小二乘蒙特卡罗方法 (LSM) , 将其中使用的普通最小二乘改用总体最小二乘, 得到总体最小二乘蒙特卡罗模拟方法 (TLSM) 。
2.1 最小二乘蒙特卡罗模拟
Longstaff等提出的最小二乘蒙特卡罗方法 (LSM) 的基本思想是构造一族基函数, 期权的未来期望收益由这组基函数的线性组合表示出来[13]。在概率空间 (Ω, F, P) 下, 期权的有效执行时间为 (0, T], 到期日为T, 假设期权只在K个离散的时间点0<t1≤t2≤t3≤…≤tK=T执行。C (ω, s;t, T) 表示期权的价格路径, t<s≤T, 期权在t时刻以前以及t时刻都不会执行。LSM方法的目标是提供一个近似计算方法顺向求出最优停时, 从而使得在这个时刻执行期权获得的收益最大。具体步骤如下:
在tk时刻, 期权的立即执行价格是C (ω, s;tk, T) , 继续持有的价值为F (ω;tk) ,
其中, Q为等价于市场测度的风险中性测度, r (ω, t) 是无风险利率。然后选择一组基函数来近似计算F (ω;tk) 的值, X代表期权标的资产的价格, 常用的一组基函数为
则F (ω;tk) 可以表示为F (ω;
2.2 总体最小二乘方法
最小二乘法作为一种最常见的拟合准则, 其参数估计比较简单, Longstaff和Schwartz最早提出将其用于美式期权定价中[13], 然而由于普通的最小二乘法 (Ordinary Least Square) 要求解释变量均为精确无误差的, 或者其测量误差与模型的因变量的测量误差相比可以忽略不计, 即所有误差均来自于因变量。然而, 考虑到期权的标的资产股票价格和期权持有价值均为随机模拟值, 都存在一定的误差或扰动, 因此本文使用同时考虑了解释变量和被解释变量误差的估计方法, 即总体最小二乘 (Total Least Squares) 方法[14]。
对于解释变量和被解释变量数据矩阵均含有误差的回归估计问题, TLS可以表述为对如下矩阵方程求普通最小二乘解:
其中, A是n×p维的解释变量数据矩阵, E为矩阵A的误差扰动, b是n×1维的被解释变量数据向量, e为向量b的误差向量。
为了说明TLS与OLS方法的区别与联系, 本文假设了两数据列向量X和Y, 分别利用OLS和TLS方法进行回归分析。即求如下的回归方程:
其中, β0、β1分别是常数项和一次项的系数, e和d分别是列向量Y和X的扰动.
总体最小二乘法与普通最小二乘法的区别在于, 普通最小二乘法度量的是在变量X有精确数据, 只考虑变量Y存在扰动的情况下, 将回归之后的系数β0、β1代入回归方程, 使得 估计值
为了比较两种方法, 本文讨论二维平面上确定拟合直线的情形。假设原始直线方程为y=b+kx, 其中b=0.4, k=1, 围绕这条直线产生两组随机数据, 然后分别用普通最小二乘和总体最小二乘法确定回归系数, 并进行比较。
为了进一步比较, 在图1中虚线表示原始的直线方程, 实点表示围绕这条直线产生的一组随机数, 实线表示按照普通最小二乘法和总体最小二乘法确定的直线。
从图1可以看出, 总体最小二乘法得到的回归直线与原始直线几乎重合, 而普通最小二乘法与原始直线的差别较大。
3 利用TLSM为美式回望期权定价
3.1 跳跃—扩散模型
设市场的概率空间为 (Ω, F, P) , 资产的价格为 (St) t∈[0, T], (Ft) t∈[0, T]为资产历史价格的信息流。将带跳过程用于期权定价是Robert Merton首次提出。Meton考虑的跳跃—扩散模型在概率测度P下标的资产的价格满足如下方程:
其中, W= (Wt) 为标准Brown运动, N= (Nt) 是强度为λ的、与W独立的Poisson过程, (Uj) j≥1是独立同分布的随机变量序列, 取值于 (-1, +∞) 。
上式也可以表示为
其中, S0+∫t0Xs (μds+σdWs) 表示标的资产的价格连续变化,
3.2 用TLSM为美式回望期权定价
本文以基于无红利支付股票的美式回望看跌期权为例来说明这种定价方法, 回望看涨期权的定价类似可做。
设当前的时间为0, 回望看跌期权的到期日为T, 将这段时间分成等长的K段, 0=t0<t1<t2<…<tK=T, 标的资产的价格变化过程遵循Poisson跳跃-扩散过程。TLSM方法的关键是确定出每条路径上期权的最优执行时间。按照下面的步骤应用总体最小二乘蒙特卡罗模拟方法计算跳跃扩散模型下美式回望看跌期权的价格:
步骤1:从当前的股票价格S0出发, 根据式 (1) 模拟M条股票价格的路径Spi, 其中p代表第p条路径, p=1, 2, …, M, i是时间指标, i=0, 1, 2, …, K.
步骤2:用Xk (St) , k=1, 2, 3, 近似计算出期权在各个时间点继续持有的价值Yp, Yp=a1X1 (St) +a2X2 (St) +a3X3 (St) , p=1, 2, …, M. 在到期日T, 每条路径的执行时间都取为τpK=T, p=1, 2, …, M.
步骤3:到期日T, 第p条路径期权的价值是
, 贴现至tK-1时刻, 贴现值记为Ypj, 选取所有立即执行期权价值为正的路径, 假设共有L条这样的路径, 指标为p1, p2, …, pL, 在每条路径上计算出tK-1时刻立即执行时, 期权的现值
步骤5:按照步骤4倒推直至t1时刻, 就得到了当前时刻期权的价值
4 算例分析
本节应用TLSM方法为实际金融市场中的美式回望期权定价, 并将其计算结果与构造树图[11]所得结果进行比较, 发现利用TLSM方法估值结果更接近期权的真实值。
4.1 构造二叉树图法
仍然是对基于无红利支付股票的美式回望期权进行估价, 当期权被执醒时, 它的收益等于最高股票价格超出股票现价的超额部分。定义F (t) 为到时间t为止的最高股票价格, 并且设定Y (t) =F (t) /S (t) 。初始Y等于1, 因为在零时刻点F=S. 如果在第一个时间步长时, S有一个向上的运动趋势, 那么F和S同时按比例上升u, 则Y仍为1。如果在第一个时间步长, S有一个向下的运动趋势, F保持不变, 那么Y=1/d=u. 继续这种形式的讨论, Y的取值情况就变成如下形式的树图。
确定树图几何形状的规则为: 当时刻t是Y=1, 那么在时间t+Δt时, Y或者为1或者为u; 当时刻t时Y=um, 且m≥1, 则在时间t+Δt时Y或者为um+1或者为um-1.
Y的向上运动趋势与股票的向下运动趋势一致, 反之亦然。Y的向上运动的概率通常为1-p, 向下运动的概率通常为p. 运用树图为美式回望期权进行估价, 以股票价格为单位而不是以美元为单位。用美元表示, 期权的收益为SY-S, 以股票价格为单位表示, 期权的收益为Y-1。对树图进行滚动倒推, 记fi, j为时间iΔt第j个节点的回望期权的价值, 当j≥1, 滚动倒推过程给出
当j=0时, 滚动倒推过程给出:
4.2 结果比较与方法分析
考虑美式回望看跌期权, 期限不超过一年。Hull[11]研究了随机波动率对期权定价的影响, 他指出, 对于持有期小于一年的期权, 由随机波动率引起的期权定价偏差从绝对值上看是非常小的;随着期权有效期增加, 偏差会增大许多。这里考虑的是期限不超过一年的回望期权, 因此标的资产的波动率σ可以假设为常数, 无风险利率r也可以假设为常数。
下面以期限为六个月的美式回望看跌期权为例, 分别用总体最小二乘蒙特卡罗模拟和二叉树图的方法给出定价, 并对两种方法的定价结果进行比较分析。
对于构造二叉树图的方法, 初始股票价格S=100, 股票的年收益率为0.1, 年波动率为0.3, 用Matlab编程实现时, 以年为时间单位, 则到期日T = 0.5, 下表给出了把时间区间[0, 0.5]分别分成1000段, 5000段, 1万段, 2万段, 5万段, 10万段, 20万段, 50万段, 100万段时的计算结果。
对于总体最小二乘蒙特卡罗模拟, 参数的选取与二叉树图中的参数保持一致, 初始股票价格S=100, 在Matlab编程实现时, T=180天, 并将到期期限分为1000段, 换算后, 股票的波动率为σ=0.0093, 收益率为r=0.001。股票价格发生跳跃单位时间随机到来的均值λ=2.24, 蒙特卡罗模拟10000次。共运行100次, 得到100个结果, 画出散点图如图2所示。
从这100个数据中列出14个如表2。
从表中计算结果可以看出:
①用TLSM计算出的期权价格很接近二叉树的计算结果, 误差很小。这说明用总体最小二乘蒙特卡罗模拟方法为跳跃扩散模型中的美式回望期权定价是合理的。
②二叉树图方法中时间段越细, 定价结果越精确, 将到期期限分为50万段和100万段时, 结果均为16.23.再由二叉树方法的收敛性, 得出期权的真实值为16.23.然而期限分为50万段时, 程序运行需要3个小时13分钟得到结果。
③从用TLSM模拟得到的结果可以看出, 期权的价格都落在区间[16.1406, 16.3761]之间, 与期权的真实值16.23的浮动误差率小于0.91%.
④从散点图明显看出:TLSM计算的结果数据比较集中, 大多分布在16.25附近, 说明TLSM算法稳定。
⑤用二叉树图方法, 程序运行需要3个小时13分钟才得到结果16.23;而用总体最小二乘蒙特卡罗模拟方法, 只需要12分钟就可以得到较精确的结果。
5 结论
本文改进Longstaff等提出的最小二乘蒙特卡罗方法 (LSM) [13], 将LSM方法中的普通最小二乘改为总体最小二乘, 使得计算过程中的误差减小, 计算结果更准确。然后应用改进后的方法TLSM为美式回望期权定价, 标的资产的价格变化用跳跃扩散模型刻画, 考虑了更多实际因素, 无风险收益率的取值以及金融资产价格的大幅降落等情况都一一考虑到了, 使得模型本身与实际金融市场更加接近。本文为跳跃扩散模型下美式回望期权定价, 模型的建立是适合实际金融市场情况的, 所得的定价结果比较稳定, 说明TLSM方法定价的合理性。最后, 本文还将用TLSM定价结果与用二叉树的定价结果进行比较, 发现TLSM定价方法稳定性较好;其结果与二叉树图定价结果误差较小, 并且时效性上优于二叉树图的方法。
B-S期权定价模型 篇6
我国商品期货市场经过十几年的发展,受国际因素的影响程度日益加强,相应的风险也同样增大。商品期货本来是为企业规避现货风险的工具,但是由于期货交易本身也蕴含着巨大风险,企业在期货市场上的亏损事件时有发生。商品期权作为风险管理的重要工具, 自20世纪80年代产生以来迅速发展,其价格及其波动性信息已经成为期货市场不可缺少的重要内容。比如LME(伦敦金属交易所)有铜期权为期货交易者提供风险规避的工具,而受国际因素影响逐渐加大的上海铜期货市场却没有相应的期权,这一方面导致亏损的几率加大,另一方面导致了国内期货交易的流动性不强,期货市场边缘化的格局日益严重。随着我国经济的持续增长和贸易依存度的不断提高,推出商品期权已成为共识。商品期权的推出不但能进一步增强我国期货市场在国际市场中的定价功能,对商品生产和消费企业进行更有效的风险管理也有重要的意义。
1973年, Black和Scholes推导出了基于标的资产的任何衍生证券的价格必须满足的微分方程,得出了现货期权定价模型。三年之后, F.Black在B-S微分方程的基础上,针对期货期权推导出了Black期货期权定价模型[1]。在非随机风险中性利率的假设下,Cox等(1981)进一步扩展了Black期货期权定价模型[2]。Myers和Hanson(1993)研究了标的期货价格具有时变波动率和尖峰情况下的商品期权定价,结果表明基于GARCH的期权定价模型优于标准的Black模型[3]。Hilliard和Reis(1999)认为商品期货价格的对数收益率不服从正态分布可能是随着新信息的不断到达产生大幅的价格波动所致,跳跃-扩散模型可能更适合描述期权定价过程中的随机过程,他们实证比较了Black模型和Bates的跳跃-扩散模型,结果显示后者更能准确地描述期权价格[4]。Koekebakker和Lien(2004)基于农产品期货价格厚尾分布以及经常呈现突然的不可预期的跳跃,以及其波动率有明显的季节性和到期日效应进一步扩展了Bates的跳跃-扩散模型,对小麦期货进行了实证研究,结果显示加入季节性和到期日效应的模型比Bates的模型更能描述期权的价格[5]。国内关于商品期权定价模型的研究还不多,主要有:谷艳玲(2004)采用不完全市场中未定权益的复制和定价的方法得到实行保证金制度的期货期权定价模型,并由倒向随机微分方程的随机算法给出期权价格的数值解[6]。另外,奚炜(2005)在考虑期货保证金与手续费的基础上改进了Black的期货期权定价模型[7]。
由于Black的期货期权定价模型是建立在有效市场假说之上,这一假说认为金融资产的价格波动是相互独立的,即服从布朗运动,且其收益率服从正态分布。但近年来对期货市场的大量实证研究都表明期货价格变化并不符合正态分布,它们呈现尖峰厚尾的分布,且价格之间存在着长期记忆性。1994年,Peters提出了分形市场假说,这一假说由于不依赖于正态分布等假设,且利用这一假说中的分数布朗运动能够很好地解释期货市场中的尖峰厚尾现象[8]。因此在期货期权定价时,有必要结合分形市场中的分数布朗运动来进行研究。对分数布朗运动下的期权定价,Necula(2002)利用分数随机微分等方法,推导出了分数布朗运动下的B-S期权定价模型[9]。刘韶跃等(2004)立足鞅定价的研究思路,在分数风险中性测度下,利用随机微分方程及拟鞅定价方法对分数布朗运动环境欧式未定权益的定价进行了研究[10]。本文在弥补原有期货期权定价模型不足的基础之上,利用拟条件期望和分数Girsanov模型等方法推导出基于分数布朗运动的期货期权定价模型并以LME铜期货期权进行应用研究。
2 期货市场的分形特征
许多实证研究表明,有效市场假说已经很难反映市场的真实性, 它存在着明显的缺陷。比如, 对成熟金融市场的波动性的研究结果表明,资产的价格收益率的波动存在集丛性、持续性,其分布表现为尖峰厚尾的特征,有的金融序列还表现出波动的非对称性。另外,在金融资产收益率的研究中,越来越多的实证结果表明价格变化不是一个独立同分布过程,收益率存在显著的序列自相关与偏自相关结构,并且表现出非周期循环的特征。这些特征预示着金融时间序列可能存在非线性动力学系统[11]。由于期货市场参与者众多,目标各异,投资者对信息反应的方式,以及信息在投资者之间的传导都不是简单的线性方式进行,所以更符合非线性动力系统的特征。
Peters提出的分形市场假说强调信息和投资起点对投资者行为的影响,并认为所有的稳定市场中都存在分形结构。分形市场假说强调流动性的影响以及基于投资者行为之上的投资起点,其目的是提供一个符合我们观察的投资者行为和市场价格运动的模型。由于分形市场理论可以解释“波动具有非线性、自相似性和长记忆性”等有效市场理论无法解释的现象,这种复杂性使得传统金融分析中的常用方法如趋势分析、均衡分析等失灵,也为新的方法如GARCH族模型、R/S分析方法进入期货市场提供了可能。在对金融资产定价时,运用分形市场理论将会比有效市场假说更加准确地刻画市场的真实特性。
R/S分析最早由英国水利学家赫斯特提出, 他发现通常假定为随机的河水流入量序列在长达几年的时间尺度上存在某种稳定的相关行为, 并提出了一个新的统计量H来识别这一系统性的非随机特征, 即赫斯特指数。Mandelbrot等证明这一统计量优于传统的判别相关性的方法,如自相关函数、方差比等[12]。关于期货市场非线性特征的研究, E.Panas(2001)首次把长期记忆性和混沌引入LME六种金属期货的价格行为研究中,分别采用R/S、修正的R/S方法以及ARFIMA模型检验了价格序列的长期记忆性, 结果显示铝和铜期货价格存在长期记忆, 镍和铅期货价格存在短期记忆, 锌期货价格具有反持续性[13]。黄光晓等基于1993~2004年LME 3月铜期货价格的日数据,运用R/S分析方法来研究期货市场价格的非线性特征。结果显示LME 3月铜期货价格序列具有明显的分形特征[14]。在此基础上,我们对1970~2006年LME 3个月铜期货运用R/S分析方法得到H值为0.597,对上海3月铜期货数据的分析结果为H值为0.645。以上实证结果表明期货的收益率序列呈现出非线性特征,信息以非线性的方式呈现,投资者也以非线性的方式对信息做出反应,所有这些最终都通过市场交易活动反映在期货价格上,使得整个期货市场呈现出非线性特征。
在分形市场假说下, 期货价格不再服从随机游走, 而是服从有偏的随机游走, 即分数布朗运动, 其特征是具有持久性和长期记忆性。定义:设(Ω,P)为一概率空间,H∈(0,1)为一常数,具有Hurst参数H的分数布朗运动(FBM)是一个连续的Gaussian过程,且满足:
①BH(0)=E[BH(t)]=0, 对所有t∈R+.
②
这里, E表示关于概率测度P的期望,其中R+={s:s≥0}。如果H=0.5,则BH(t)为标准布朗运动,用B(t)表示;如果H>0.5,则BH(t)是持久的或有长期记忆性,即
③自相似性。即对任意的H∈(0,1)和α>0,{BH(αt)}t∈R+与{αHBH(t)}t∈R+有相同的有限维分布。
3 分数商品期货期权定价模型
考虑一无摩擦的金融市场,即:①资产的交易时间和额度是连续的;②不存在交易费用和税收;③对资产的交易没有约束,如可以买空、卖空等;④存款与借款的利率相同且为常数。假设该市场仅包含两种证券,一种无风险资产即债券,设债券价格M(t)满足:
r代表无风险利率水平。分数布朗运动下期货的价格满足:
如果μ和σ为常数,则称F(t)服从几何分数布朗运动,且:
这里, F(0)=F, 且对0≤t≤T有:
这里, ΔBQH(T)=BH(T)-BH(t)。则在风险中性测度Q下,
Hu等证明分数Black-scholes市场不存在套利,且是完全市场[15]。Ciprian Necula(2002)已证明分数风险中性定价公式:
这里, EQt[·]为概率测度Q下的拟数学期望。
定理 设C为欧式商品期货期权的理论价格, F为现行期货价格, K为期权执行价格, T为到期时间, r为无风险利率, H为Hurst指数(0.5<H<1),在分数风险中性定价下,在任意时间t∈[0,T]时商品期货期权的价格为:
其中:
从模型可以看出, Black期货期权定价模型即为分数期货期权定价模型中H=0.5时的一个特例。
4 实证研究
以铜期权为例进行模型的实证研究。目前铜期权交易主要在LME和COMEX交易, 而LME是目前最大的铜期权交易所, 1987年LME金属期权正式上市交易, 此前LME金属期权交易已经存在多年,但都为柜台交易。
LME铜期权的主要特点是:①LME铜期权有8个执行价格,因此市场上同一个交割时间的看涨期权有8个,同时也有8个看跌期权,而这些期权组合起来可以有多种交易策略。②在期权交割方面,LME的期权合约与期货合约在交割日期上是相同的,交割日期同样为交割月份的第三个星期三,可交割日期从首月到63个月中每月一次,但是期权合约的行使日期是交割月份的第一个星期三。
在期货价格服从分数布朗运动的假设下, 影响期货期权价格的因素主要有:标的期货价格、期权执行价格、到期时间、标的期货的波动率、无风险利率以及H指数。基于流动性的考虑,选取标的为3个月期货的铜期权合约,样本期间为2006年8月1日至10月27日,共52个的交易日的数据,数据来源为LME网站(www.lme.com),选取该时段数据主要是考虑到了该区间价格波动较为剧烈,且包括了震荡市和单边市,能全面地验证期权定价模型的有效性。期货价格、期权执行价格、到期时间都可以在LME公布的市场数据中得到。由于LME各交易品种均用美元标价,本文采用的无风险利率是一年期的美国国债利率。H指数通过R/S分析方法得到。波动率的度量采用两种方法:一是历史波动率(简称HV),我们取期货合约60个交易日的年化标准差作为下一交易日的波动率的预期; 二是由于GARCH模型充分考虑了波动的集丛性,在检验期货收益序列的平稳性和ARCH效应的基础上,另外考虑到期货收益分布有尖峰厚尾的特征,建立基于GED(广义误差分布)的GARCH模型得到相应的波动率的估计值(简称GV)。由于篇幅所限在此没有列出波动率的估计值。图1显示了检验区间内不同波动率估计模型下的Black模型和分数期货期权定价模型(简称为Black-H模型)的误差情况。
从以上结果可以看出,对Black模型及Black-H模型来说,采用基于GARCH模型的波动率的模型效果都明显优于基于历史波动率的模型。另外还可以发现,分数期货期权定价模型对平值期权、实值期权都有较好的估计效果, 对虚值期权则有低估的倾向, 而对各类期权, Black模型并没有明显的估计效果差别。
进一步对所有样本分别计算以下评价指标:平均误差(ME)、均方误差(RMSE)以及平均绝对误差(MAE),结论见表1。
从表1可以看出,基于GARCH波动率的分数Black模型明显优于其他模型。说明本文模型更准确地反映了期货价格的行为特征,即关于期货价格服从分数布朗运动的假设是成立的,同时也说明GARCH模型较好地拟合了期货价格的波动情况。
5 结论
本文从期货市场的非线性动力学特征出发, 在期货价格服从分数布朗运动的基础上, 运用拟条件期望和分数Girsanov模型等方法推导出分数商品期货期权定价模型,并以LME铜期货期权为实例进行了实证研究,结果表明该模型相对于传统的Black期货期权定价模型有明显的改进效果,这对建设我国的商品期权市场以及商品企业进行期权套期保值有重要的现实意义。
B-S期权定价模型 篇7
巴黎期权是一种强路径依赖期权，近些年关于欧式巴黎期权的研究成果不少，但由于美式巴黎期权更为复杂，研究成果很少。在连续时间框架下，美式巴黎期权定价方法主要有风险中性定价方法和自由边界问题。Chesney和Gauthier[1]系统阐述了各种美式巴黎期权的类型，并通过将美式巴黎期权分解成相同参数的欧式巴黎期权和一块美式溢价部分来求解。他们将期权价格表达为实施边界的函数。这种方法的数值计算相当复杂。Bernard和Bernard和Boyle[2]运用带控制变量的蒙特卡罗方法计算敲入型美式巴黎期权。Jetley和Gustafson[3]的核心是用网格方法确定美式巴黎期权的最优边界，再用蒙特卡罗方法来计算欧式期权。但是这种方法在确定最优实施边界时相当繁琐，需要区别对待各种情况，实施起来有很大难度。Lonstaff和Schwartz[4]开创性地通过最小二乘回归方法求解条件期望并与立即执行该期权的支付进行对比来选择继续持有还是实施该期权。从而解决了蒙特卡罗方法无法计算美式期权的问题。本文正是在原有蒙特卡罗方法计算欧式巴黎期权的基础上借鉴了最小二乘蒙特卡罗方法处理经典美式期权的做法，从而可以将改进后的最小二乘蒙特卡罗方法用于计算美式巴黎期权。
实际应用中的巴黎期权多为美式巴黎期权，例如外汇巴黎期权。此外，一些混合金融工具或结构化金融产品中也有美式巴黎期权特征，例如，可转换债券的赎回条款、回售条款、转股向下修正条款都具有美式巴黎期权特征。研究[5]表明对巴黎期权条款的忽略或简化处理造成了不小的定价偏差，而只有相对准确的美式巴黎期权定价才能促进巴黎期权的实际应用。
本文运用自由边界问题研究连续时间框架下的美式巴黎期权定价，由于该自由边界问题无法得到解析解，因此采用有限差分方法进行数值求解。除此之外还采用前向打靶网格方法和最小二乘蒙特卡罗两种数值方法研究美式巴黎期权定价问题。接下来分析了障碍价格、窗口期、波动率等重要参数对期权价格的影响。此外，还验证了向上敲出巴黎期权和向上敲入美式期权的价格之和与经典美式期权价格之间的数值关系。
本文的创新体现在两个方面：在理论方面，首次采用自由边界问题研究了连续框架下的美式巴黎期权问题。在数值方法方面，首次使用隐性差分方法、前向打靶网格方法、最小二乘蒙特卡罗方法计算美式巴黎期权。
2 美式巴黎期权的连续时间模型———自由边界问题
对于美式巴黎期权，按持续时间可以分为连续型、累积型和窗口型三种形式。窗口型美式巴黎期权相当复杂，而与连续型巴黎期权相比，累积型巴黎期权相对比较简单，因此本文主要研究连续型的美式巴黎期权。考虑到看涨期权和看跌期权，美式巴黎期权也有八种形式：向上敲入看涨期权（以下简称APUIC），向上敲出看涨期权（APUOC），向下敲入看涨期权（APDIC），向下敲出看涨期权（APDOC），向上敲入看跌期权（APUIP），向上敲出看跌期权（APUOP），向下敲入看跌期权（APDIP），向下敲出看跌期权（APDOP）。
就美式巴黎期权的敲入或敲出特征和美式期权之间的相互作用而言，如果期权是敲入型的，在期权生效之前，期权不存在，而一旦期权敲入，该期权就是一个经典美式期权。因此对于一个敲入型美式巴黎期权的实施边界就是该期权生效后的相应的经典美式期权的实施边界。因此敲入型美式巴黎期权的定价较为简单。敲出型的期权要比敲入型的期权复杂很多，因为实施期权的动机———美式期权效应和失去期权的风险———敲出期权之间会相互影响。首先对于美式期权的情况，并没有所谓的敲入和敲出的对称性的存在。对于一个向上敲出美式看涨期权，如果障碍水平高于执行价格，却低于相应的经典美式期权的实施边界。这一期权的实施边界一定会严格低于障碍水平，因为一旦达到障碍水平，期权就失效了，变得一文不值。因此向上敲出看涨期权的边界是不同于经典美式期权的，因此经典美式期权的价格会严格高于敲入和敲出期权的价格之和。
对于看涨期权，向上敲出期权比向下敲出期权复杂，这是因为股票价格越高，期权的美式特征会促使该期权的实施，而股价越高期权敲出的风险越大，可以推测这两种作用博弈的结果在这种情况下多半会是期权提前实施，呈现出美式特征。而向下敲出期权时，这两种作用的博弈就没有如此激烈，因为股票价格越高，作为美式期权提前实施的动机越来越大，与此同时期权敲出的风险却越来越小，可以推测这种情况下，向下敲出期权在股票价格较高时会提前实施，但来自于期权敲出的风险的压力却不如向上敲出的期权的情况下那么大。看跌的情况正好相反，向下敲出期权要比向上敲出期权的情况复杂，原因类似。鉴于以上分析，本文研究最为复杂的向上敲出看涨期权。为了验证美式敲入和美式敲出期权价格之和与经典美式期权之间的关系，还需研究向上敲入看涨期权。
美式巴黎期权也是巴黎期权，对于其巴黎期权部分的处理，本文主要遵循Haber,Schonbucher和Wilmott(1997)[2]的思路，并采纳了宋斌等（2013)[6]给出的新的定解区域，将美式期权特征处理为自由边界问题。这里需要指出是由于自由边界问题和后面的两种数值方法有较大的差别，很难统一符号。因此若引入新的符号，将特别说明，未给出说明的，符号意义见前文。
2.1 欧式巴黎期权的偏微分方程（以下简称PDE)
八种类型的美式巴黎期权遵循的PDE各不相同，这里先给出向上敲出欧式巴黎期权的PDE及定解区域。τ表示标的资产价格在障碍水平之上连续时间的长度，那么对于向上的障碍，可以如下定义τ：
再根据连续巴黎期权的定义，可得
通过以上的分析可知，巴黎期权的价格可以表示为V(S,t，τ），巴黎期权价格所满足的PDE。
当S<L时，用V1(S,t）代替V(S,t，τ），
当S>L时，用V2(S,t，τ）代替V(S,t，τ），
方程（3）、方程（4）即为连续欧式巴黎期权价值满足的PDE。
根据宋斌等（2013)[6]可以得出连续向上敲出看涨巴黎期权的PDE，即方程（5）。
2.2 美式巴黎期权期权的自由边界问题
自由边界问题是指在期权定价中需要一个确定的分界线，把区域{0≤S<∞，0≤t≤T}分成两个部分，S(t）≤S的表示继续持有区域，另一部分S(t）≥S的是执行区域，其中S表示股票价格，T表示期权到期时间，t表示当前时间。对于有效期t=T的美式巴黎向上敲出看涨期权（以下简称APUOC），在持有区域内，其满足方程（3）和方程（4）。在执行区域满足V(S,t，τ）=（S-K）。即APUOC的定价，就是在持有区域内，找到一对函数V(S,t，τ）和S(t）使它们适用于定解问题，其中S(t）为自由边界。由于自由边界必须作为方程的一部分进行求解，APUOC的定价变成复杂的非线性问题。
在t时刻期权的支付函数V*=max(St-K,0），此时只有当V*大于等于理论期权价值V(S,t，τ）时，持有者才会提前执行期权，执行期权后V(S,t，τ）=V*，当期权价值V(S,t，τ）>V*时，则期权不会被实施。如在该时刻选择继续持有期权，当S<L时，期权价格满足方程（6):
在该区域，美式巴黎向上敲出看涨期权可以表述为如下问题：
当美式期权存在于持有区域时，不等式（7）中的等式成立。另一方面美式期权的价值总是高于其内涵价值，在持有区域，高于其内涵价值，在执行区域等于其内涵价值。也就是说在其执行区域，不等式（8）中的等式成立。既然股票价格不是在持有区域就是在执行区域，因此上述这组变分不等式中总有一个等式成立，因此可以得出：
当S>L时，期权价格满足方程（10):
同理可以得出，在该区域，美式巴黎向上敲出看涨期权可以表述为如下问题：
这类问题可以通过有限差分方法来计算。在后面的数值计算中采用隐性差分方法来计算美式巴黎向上敲出看涨期权。
2.4 数值分析———隐性差分方法
下面计算美式巴黎向上敲出看涨期权的价格。具体参数见表1。为了便于比较各种数值方法，后续计算均采用这一组参数。
当期权的敲出条件和和期权的提前实施条件同时满足时，假定美式期权的提前实施要先于期权的敲出。运用Matlab软件计算期权价格，可以得到当初始股价为16元时，美式向上敲出看涨期权的价格为8.2205元，而相应的欧式向上敲出看涨期权的价格仅为2.9349元，相同参数下的经典美式看涨期权的价格为8.3902元。为了便于比较，图1绘制了经典美式期权、向上敲出美式巴黎期权和向上敲出欧式巴黎期权，图中的横轴是股票价格，纵轴是期权价格。从图1可以看到，当股票价格在10元以下时，三种期权的价格几乎一样。在此之后，美式巴黎期权和经典美式期权价格随着股价上升而上升，相差很小，直到16元附近，两者才有一些差距。由此可见，对于向上敲出美式巴黎期权，其美式期权的特征要远远明显于它的巴黎期权特征。而对于欧式巴黎期权，由于无法提前实施，在股价处于13元和14元之间的某个价格时，期权价格达到一个最高值，随后随着股价的上升，敲出风险越来越大，期权价格呈现不断下降趋势。
3 美式巴黎期权的数值方法
3.1 前向打靶网格方法
下面采用前向打靶网格方法计算美式巴黎期权。由于前向打靶网格方法是对三叉树模型的改进，因此也可以将前向打靶网格方法称之为美式巴黎期权的离散模型，由于后面还要阐述最小二乘蒙特卡罗方法，因此将其统称为美式巴黎期权的数值方法。巴黎期权是强路径依赖期权，在运用三叉树模型进行数值计算时，需要考虑路径因素。这里引入路径函数Ft=F(S,t），这个函数规定了路径依赖的特征。为了反映路径相关性对于期权价格的影响，需要找出每个节点上所有可能的Ft对应的期权价格。由于路径函数具有马尔科夫性，可以利用Ft和St+Δt计算出。这里需要指出的是F(S,t）不能随着三叉树步长数目的增加而增长太快，否则将影响数值格式的计算效率。这种方法就是Hull和White[7]提出的前向打靶网格方法，在树的每个节点增加一个辅助向量来模拟Ft和St的相关变化。
这里主要改进Kwok和Lau[8]中的前向打靶网格方法并用来计算美式巴黎期权，采用的是三叉树模型，pu,pm和pd分别表示股票价格向上、不变和向下的概率。用Vjn,k表示第n个时间节点上巴黎期权的价格。j表示股票价格从初始时刻之后的n步变化中向上跳的次数，而k表示增加的状态变量，Ft表示三叉树节点上（n,j）新增状态变量Ft各种可能取值的数目。令A表示Ft和St在Δt时间内的相关性的函数，即
令a(k,j;n）为网格函她，它是相关性函数的离散版本。前向打靶的三叉树格式可以表示
前向打靶网格算法的关键是明确网格函数。对于连续型巴黎期权，设M表示离散状态下巴黎期权需要达到的触碰次数，是巴黎期权窗口期的离散计数，以判断期权是否敲入或敲出。令k表示到目前为止的触碰数，是一个正整数。B表示向下敲出期权的障碍水平。如果在一个时间不长内股票价格下穿障碍水平，k就增加1，否则保持不变。而且这里只统计股票价格在敲出区域的连续次数，一旦股票价格离开敲出区域，计数就清零，因此恰当的网格函数为：
根据上述算法可以算出每个节点上的欧式巴黎期权。由于是三叉树离散模型，因此只需要在每个节点上将计算出的欧式巴黎期权与立即执行期权的支付相比后取较大值，再递推到期初，就可以得到相应的美式巴黎期权的价格。同样采用上述的参数，当把时间步长剖分为30格时，运用Matlab编程计算得出股票初始价格为16元时，向上敲出美式巴黎期权的价格为8.0000元。比有限差分算出的价格8.4925元略低。如果增加三叉树模型的期数，也就是将网格剖分的更细，结果会更接近有限差分的计算结果。但采用打靶网格的三叉树模型计算时时间步长过细，会大大增加计算量。由此可见，前向打靶网格的三叉树模型是不太适合计算具有强路径依赖特征的美式巴黎期权的，呈现出明显的“高维诅咒”现象。
3.2 改进的最小二乘蒙特卡罗方法
通过改进最小二乘蒙特卡罗方法可以将其用于美式巴黎期权定价。使用经典最小二乘蒙特卡罗方法生成一定数量的样本路径后，依然采用逆向求解思路，在每一个时点处比较立即行权收益与继续持有期望收益以找到最优实施时点。只是巴黎期权特征的存在，使得要时刻关注期权是否被敲入或被敲出。在计算每个时点处立嫉执行的收益时，需要判断巴黎期权是否被敲入敲出，若期权尚未敲入（已敲出），则立即执行的收益确定为0。例如，对于一个美式巴黎向上敲出看涨期权，在任意一个tj时刻，立即执行期权的收益为．虽然相比经典的美式期权，敲入敲出的行权条件会明显影响期权的实施，但将未敲入（已敲出）的期权执行收益确定为0，最小二乘蒙特卡罗法通过比较立即执行收益与继续持有期权收益取优，会确保敲入型巴黎期权在敲入后才被实施，而尽可能使敲出型的期权在敲出前在一个相对最优时刻就被实施。为了得到更精确的估计结果，在使用最小二乘蒙特卡罗方法对条件期望进行估计时，只需保留实值路径及已敲入（未敲出）路径。改进后的最小二乘蒙特卡罗法可以用于计算各种美式巴黎期权，表现出很大的灵活性，而且不存在高维诅咒问题，因此该方法是计算美式巴黎期权良好选择。
4 数值方法比较与敏感性分析
4.1 数值方法比较
现在比较分析隐性差分、前向打靶网格方法、最小二乘蒙特卡罗三种数值方法的计算结果，并分析不同参数变化对美式巴黎期权价格的影响。为了清晰反映欧式巴黎期权和昧式巴黎期权的差别，对每种方法均都给出欧式巴黎期权和美式巴黎期权的计算结果。只是在计算欧式巴黎期权时采用的是标准蒙特卡罗方法。具体计算结果见表2。
和理论分析一样，由于是向上敲出看涨巴黎期权，无论是欧式期权还是美式期权，期权的价格都随着障碍价格的上升而使得期权敲出的风险下降，因此期权价格上升。与此类似，窗口期越长，期权越不容易满足敲出要求，因此期权价格越贵。只是美式巴黎期权对窗口期的增加不如欧式巴黎期权那么明显。对于波动率而言，其他参数相同的情况下，由于计算的是向上敲出美式看涨期权，波动率越大，敲出的风险越大，因此期权价格越低。此外，其他参数相同的情况下，美式期权都要高于欧式期权，而且两者的差距十分明显。
4.2 敏感性分析———向上敲入美式巴黎期权
下面分析障碍价格，窗口期对向上敲入看涨美式巴黎期权的影响，与有限差分和前向打靶网格方法相比，最小二乘蒙特卡罗方法最为灵活，适用于各种类型的美式巴黎期权，因此这里采纳最小二乘蒙特卡罗方法进行数值计算。具体计算结果见表3。其他参数与表1的参数保持一致。
从表3的计算结果可知，障碍价格越高，期权越不容易敲入，因此期权价格越便宜。其他条件相同，窗口期越长，期权敲入的条件越不容易满足，越不容易敲入，因此期权价格越低。由此可见，障碍价格和窗口期和向上敲入看涨美式巴黎期权的价格呈现反向关系。为了形象地看到敲入型和敲出型看涨美式巴黎期权的区别，分别绘制障碍价格，窗口期对向上敲出看涨美式巴黎期权期权和向上敲入看涨美式巴黎期权期权的敏感性分析图形。具体见图2和图3。
4.3 验证敲出看涨美式巴黎期权和向上敲入看涨美式巴黎期权的价格之和与经典美式期权之间的关系
下面验证向上敲出看涨美式巴黎期权和向上敲入看涨美式巴黎期权的价格之和是否等于相同参数下的经典美式期权价格，其他参数如表1，具体计算结果对比见表4。
从表4的计算结果可知，无论障碍价格是低于还是高于初始股价16元，向上敲入和向上敲出看涨美式巴黎期权的价格之和都大于经典美式期权的价格。只是两者价格的差距随着障碍价格的上升而越来越小。原因在于障碍价格越高，向上敲入期权的价格越来越小，而向上敲出期权，由于执行价格低于初始价格，其美式期权特征十分明显，提前实施的可能性极大，因此价格十分接近于经典美式期权，从而两者的价差逐步减小。本文得出的美式巴黎期权的这一价格关系与Chesney和Gauthier[1]的结论不符。该文认为经典美式期权价格严格大于向上敲出看涨美式巴黎期权和向上敲入看涨美式巴黎期权的价格之和。为了排除数值方法的问题，采用同样的方法验证了向上敲出看涨欧式巴黎期权和向上敲入看涨欧式巴黎期权的价格之和等于相同参数下的经典欧式期权价格。相同情况下，向上敲出看涨欧式巴黎期权的价格为2.7838元，向上敲入看涨欧式巴黎期权的价格为5.6640元。两者的之和为8.4706元。而相同参数下的经典欧式期权为8.3902元。两者的结果相当接近，考虑到计算误差，可以认为两者是一致的。这可以侧面证实本文的数值方法的合理性。这里需要指出的是Jetley和Gustafson[3]中研究了向下敲入和向下敲出看跌美式巴黎期权的价格，数值计算结果表明两者之和同样大于经典美式看跌期权，与本文的研究结果是一致的，由此可以质疑Chesney和Gauthier[1]的结论。也许是关于美式巴黎期权的内涵不同，导致了不同的结论。本文中巴黎期权没有敲出之前，美式期权是时刻存在的，这符合美式巴黎期权的本质，也进一步反映出了敲出美式巴黎期权的复杂性。
5 结论与展望
本文系统研究了美式巴黎期权的定价模型及其相应的数值方法。美式巴黎期权的自由边界问题由于需要分别推导不同类型的巴黎期权，显得比较繁琐。前向打靶网格方法来源于三叉树模型，比较直观，但在计算美式巴黎期权这种强路径依赖期权时，需要处理额外的路径函数，计算量很大。当路径函数涉及到的状态很多时，计算效率迅速下降，实用性很差。最小二乘蒙特卡罗方法起源于美式期权，虽然它的收敛性较差，但它用于计算美式巴黎期权时较好地回避了路径函数的处理问题，思路简洁明了，利于算法和编程实现。该方法最大的优势在于适用于计算各种类型的美式巴黎期权。
对于向上敲出看涨美式巴黎期权，股票价格、障碍价格、窗口期和期权价格成正向关系，和波动率成反向关系。对于向上敲入看涨美式巴黎期权，结论正好相反。研究结果还表明，向上敲出看涨美式巴黎期权和向上敲入看涨美式巴黎期权的价格之和要远大于相同参数下的经典美式期权价格，这与Chesney和Gauthier[1]的结论不符。采用相同数值方法计算向上敲出看涨欧式巴黎期权和向上敲入看涨欧式巴黎期权价格，两者之和等于相同参数下的经典欧式期权价格，验证了本文中数值方法的正确性。此外文中的三种数值方法的计算结果比较接近，也从侧面验证了各个数值方法的合理性。篇幅所限，本文没有深入研究各个数值方法的收敛性、计算精度和计算成本，留待以后详细研究。
摘要：给出了连续时间框架下美式巴黎期权的自由边界问题的表达式并运用有限差分进行计算,此外还运用前向打靶网格方法和最小二乘蒙特卡罗两种数值方法研究美式巴黎期权的定价问题。计算结果表明向上敲出看涨美式巴黎期权价格与障碍价格、窗口期和期权价格成正向关系,和波动率成反向关系。对于向上敲入看涨美式巴黎期权,结论正好相反。研究结果还表明,向上敲出看涨美式巴黎期权和向上敲入看涨美式巴黎期权的价格之和要远大于相同参数下的经典美式期权价格,三种数值方法的计算结果都比较接近,验证了各个数值方法的合理性,为美式巴黎期权的进一步应用奠定了基础。
关键词：美式巴黎期权,有限差分,前向打靶网格,最小二乘蒙特卡罗
参考文献
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