人力资源期权定价模型

2024-06-07

人力资源期权定价模型（精选9篇）

人力资源期权定价模型篇1

一、问题的提出

目前, 国内学术界有不少学者论述了企业家人力资本看跌期权的定价方法, 如杜兴强和黄良文 (2008) 的论文《企业家人力资本计量模型探讨》及司强的博士论文《人力资本价值复合实物期权评价方法研究》都谈到了这个问题。

上述学者论述计量企业家人力资本看跌期权的定价模型就是通常所说的B-S模型。运用该模型的步骤是:首先, 按照看跌期权模型计量企业家人力资本的内在价值, 即企业家人力资本发挥100%的效率时所应具备的价值;其次, 按照综合评价指标体系和模糊评价体系来计量企业家人力资本实际发挥的效率;最后, 计算企业家人力资本的实际价值, 企业家人力资本的实际价值=内在价值×实际发挥的效率。

李永周和覃艳平以联想集团为例对人力资本看跌期权定价模型做了进一步的阐述, 计算出联想集团实际支付给企业家的报酬只相当于企业家人力资本实际价值的20%。为什么会出现这样大的差异呢?是企业向企业家支付的报酬不合理还是企业家人力资本看跌期权定价模型存在问题?我们不能否定市场, 企业家人力资本定价主要是由市场决定的, 建立人力资本定价模型主要是用来描述市场人力资本定价机制的, 用模型来预测企业家人力资本的市场均衡价格, 因此上述问题不能归结为企业向企业家支付的报酬不合理。出现上述问题的根本原因是企业家人力资本看跌期权定价模型存在缺陷。为此, 本文拟对此进行分析并提出改进。

二、企业家人力资本看跌期权定价模型存在的缺陷

企业家人力资本看跌期权定价模型的内在逻辑可归纳如下: (1) 企业与企业家人力资本之间的交易可以虚拟为一项“看跌期权”交易, 股东是“看跌期权”的买方, 获得了“看跌期权”;企业家是“看跌期权”的卖方, 卖出“看跌期权”。 (2) 该“看跌期权”赋予股东的权利是在期权到期日有权按事先约定的行权价格将股票卖给企业家。在到期日如果股票价格下跌到行权价格以下, 股东将行权;如果股票价格在行权价格以上, 股东将放弃行权。企业家卖出该“看跌期权”就承担了一项义务, 就是在股东行权时按行权价格买下股票。 (3) 股东向企业家支付的报酬就是购买“虚拟看跌期权”所支付的权利金, 因此看跌期权的价值就是企业家人力资本价值的实现。 (4) 只有企业价值最大化企业家获得的权利金才能最大化, 因此, 企业家的唯一选择是使企业价值最大化。

从逻辑上分析, 该模型似乎没有什么错误, 它的错误源于看跌期权交易的虚拟性。企业向企业家支付报酬获取企业家提供的管理服务, 这是实实在在的交易, 但是股东能否实现虚拟看跌期权中包含的权利还存在不确定性。

首先, 股票价格一旦在行权日下跌到行权价格以下, 而企业家却没有履行实际义务来购买股东将要卖出的股票, 因为看跌期权是虚拟的, 在企业与企业家的交易中并没有实际规定企业家要承担股票价格下跌到行权价格以下的损失, 而且在通常情况下企业家作为人力资本所有者也没有能力来承担所发生的损失, 所以这时股东的权利就难以得到保障。

其次, 企业家是否有内在的动力、是否有能力使得股票价格在行权日不低于行权价格?企业与企业家签订的报酬契约对企业家的行为产生决定性影响, 如果报酬契约中不含有股权激励, 那么企业家就未必会将企业价值最大化作为其行动的目标。信息经济学已经证明, 在通常情况下, 企业如果只向企业家支付固定的报酬, 则企业家必定选择偷懒。人力资本定价的一个主要任务就是设计最优的报酬契约, 使得企业家与股东的目标趋于一致, 使得企业家具有内在的动力来实现企业价值最大化。而企业家有内在动力是最基本的条件, 但仅有这个条件还不够, 还需要企业家具备应有的能力。实践证明, 只有内在动力, 缺乏实际能力, 企业家也未必能实现企业价值最大化。可见, 挑选企业家就显得格外重要, 因此挑选企业家就成为股东的一项最重要的职责。

可见, 企业家在企业经营过程中, 是否有内在的动力或者是否有能力使股票价格在行权日不低于行权价格是一个未知数;一旦在行权日股票价格低于行权价格, 企业家愿不愿意或能在多大程度上弥补股东的损失也是一个未知数。股东向企业家支付的报酬是实实在在的, 而股东能否实现虚拟看跌期权中包含的权利却存在很大的不确定性。

看跌期权的价值就是其中权利的价值。普通的看跌期权包含的权利在正常情况下是完全可以实现的, 即期权持有人的权利可以得到完全满足, B-S模型计算的正是这种情况下的看跌期权价值。然而股东持有的是虚拟看跌期权, 其中含有的权利能否实现存在很大的不确定性, 而根据事物变化的一般规律, 权利的不确定性会导致权利价值的下降, 以致虚拟看跌期权的价值必定小于B-S模型计算出来的价值。可见, 直接用B-S模型来计算“虚拟看跌期权”的价值是错误的。计算“虚拟看跌期权”价值的正确方法一定要将权利能否实现的不确定性因素对期权价值的影响考虑进去。

三、企业家人力资本看跌期权定价模型的改进建议

由于虚拟看跌期权中含有的权利能否实现存在很大的不确定性, 因此股东十分希望消除或减少这种不确定性, 如果能完全消除这种不确定性, 虚拟看跌期权就成了普通的看跌期权, 此时, 虚拟看跌期权的价值达到了最大值, 等于普通看跌期权价值。股东可以采取如下措施来减少这种不确定性:第一, 选择具有经营能力的企业家;第二, 解决企业家的内在动力问题;第三, 让企业家交纳一定的风险抵押金。

能力是决定企业家业绩的内在因素, 而激励机制只是外在因素, 外因必须通过内因才能起作用。所以, 企业家的经营能力是非常重要的, 它是内因。股东应该挑选具有经营能力的企业家来管理企业。有了好的企业家, 接下来股东就要解决企业家的内在动力问题, 即解决外因如何促使内因起作用的问题, 就是要通过激励机制让企业家具有内在的动力将企业价值最大化作为其行动的目标。实践证明, 股票期权计划是最有效的激励机制, 这里我们提出授予企业家的看涨期权应当与股东的虚拟看跌期权相对应, 即行权价格相同、期权的有效期相同、期权的行权期相同。这样一来, 企业家要想在持有的看涨期权上获得收益, 就必须努力使股票价格上涨到行权价格以上, 即使企业家具备使股价上涨的内在动力。

另外, 规定企业家要交纳一定的风险抵押金, 在股价跌到行权价格以下时由风险抵押金予以补偿, 这样就形成了对企业家的约束机制, 他会努力使股票价格不低于行权价格。

企业家的能力、薪酬组合中股权激励所占的比例、风险抵押金是决定虚拟看跌期权权利可实现程度的三个主要因素, 因此, 应当根据这三个因素来综合评价虚拟看跌期权的权利可实现程度, 并将其运用于修正B-S模型计算的企业家人力资本价值, 具体的方法还有待进一步研究。

参考文献

[1].李永周, 覃艳平.基于B-S模型的企业家人力资本定价——以联想集团为例.财会月刊, 2011;3

[2].杜兴强, 黄良文.企业家人力资本计量模型探讨.中国工业经济, 2003;8

[3].周其仁.资本市场:企业家能力竞争的舞台.改革与理论, 2001;7

人力资源期权定价模型篇2

关键词混合分数布朗运动;幂期权;平价关系

中图分类号 F830.9,O211.6 文献标识码:A

1 引言

关于股票价格行为的数学描述最早要追述到Osborne的研究工作^[1],他建议用正态随机变量表示对数股票价格.随后,布朗运动被广泛应用于期权定价的研究.然而,实证研究表明股票市场具有自相似和长记忆等分性特征^[2],这导致由布朗运动驱动的定价模型不符合真实的市场.分数布朗运动正好可以弥补这一缺陷.

近年来,一些学者开始研究混合分数布朗运动,即由两个分数布朗运动组成的线性组合.关于这一类混合分数布朗运动的详细讨论见文献[3-4].此外,Bender等人在文献[5-6]中证明了这个过程在正则策略集中是无套利的,并说明欧式期权均存在这样一个正则策略集将其进行套期保值.因此,市场在此策略集下是完全的.这也使得混合型分数布朗运动驱动下的金融市场更加具有实际意义.关于混合分数布朗运动的进一步问题及性质见文献[5].

本文假定标的资产价格服从由该混合分数布朗运动驱动的随机微分方程,基于风险中性等价鞅测度,推导了一类新型期权——n次幂期权的看涨、看跌定价公式及其平价公式.

2 混合分数BlackScholes市场

假设Ω,F,P为一给定的完备概率空间.设0

EBHtBHs=12t2H+s2H-t-s2H,t,s∈R+.

当H=12时,BHt即为标准布朗运动.

现考虑由混合分数布朗运动驱动的金融市场,主要研究欧式幂期权的定价问题.本文考虑一个特殊的混合分数布朗运动,即一个分数布朗运动BH与一个独立的布朗运动W组成的线性组合

Xt=σBHt+εWt,t≥0,

其中σ,ε为常数.

假设金融市场中只有两种资产——无风险资产(如债券)与风险资产(如股票),其价格满足

dMt=rMtdt,

dSt=μStdt+σStdBHt+εStdWt,

其中,Mt为无风险资产价格,r为无风险利率;St为风险资产价格,Ω,F,P,Ft是一个具有σ-代数流的概率空间,μ,σ分别为风险资产价格的预期收益率与波动率.∫n0StdBHt为WickIt型随机积分,其定义及其性质见文献[5-8].

引入新的等价鞅测度Q,满足

dQdP=exp ∫TγdBH(s)+∫TtβdW(s)-12∫Ttγ2d(s)-∫Ttβ2d(s),

其中γ=r-μσ,β=r-με.经济数学第 27 卷

第2期徐峰等:混合分数布朗运动驱动的幂期权定价模型

在风险中性鞅测度Q下,利用分数It公式^[9]可得

ST=Stexp rT-t+σHT-Ht+

εT-t-12σ2T2H-t2H-12ε2T-t,(1)

其中,H(t)和(t)分别为空间Ω,F,Q下的分数布朗运动和布朗运动.

引理1^[9](分数型风险中性定价)进口任意有界Ft可测未定权益F∈L2Q,在任意时刻t∈0,T的价格为

Ft=e-rT-ttF,

其中,t•表示风险中性概率测度Q下的拟条件数学期望.

引理2^[10]设函数f满足EfBHT<

SymboleB@ ,则对于任意的0≤t≤T,

tfσBHT+εWT=∫R12πσ2T2H-t2H+ε2T-t•exp -x-σBHt+εWt22σ2T2H-t2H+ε2T-tfxdx.(2)

3 幂期权定价

幂期权是一种重要新型期权,在T时刻,n次看涨幂期权的价值为SnT-K+;n次看跌幂期权的价值为K-SnT+,其中ST为T时刻标的资产价格,K为到期日期权的执行价格,n为正整数.

定理1 若无风险利率r为常数,则欧式未定权益FSnT在期满前任意时刻t的价值为

e-rT-t∫RSntexp nrT-t-12nσ2T2H-t2H-12nε2T-t+

nσ2T2H-t2H+ε2T-tx12πe-x22dx .

证明由式(1)可得

SnT=Sntexp nrT-t+nσBHT-BHt+nεWT-Wt-12nσ2T2H-t2H-12nε2T-t.

由引理1得

FSn(T)=e-rT-ttSn(T),(3)

tSn(T)=t{Sntexp {nrT-t+nσBHT-BHt+nεWT-Wt-12nσ2T2H-t2H-12nε2T-t}}

=∫RSntexp {nr(T-t)+n[y-[σBH(t)+εW(t)]]

-12nσ2(T2H-t2H)-12nε2(T-t)}•12πσ2T2H-t2H+ε2T-t

exp -y-σBHt+εWt22σ2T2H-t2H+ε2T-tfydy.

令y-σBHt+εWtσ2T2H-t2H+ε2T-t=x,则

tSn(T)=∫RSntexp nrT-t-12nσ2T2H-t2H-12nε2T-t+nσ2T2H-t2H+ε2T-tx12πe-x22dx,

将上式代入(3)式即得.

定理2 设r,σ为常数,则一敲定价格为K,到期日为T的欧式n次看涨幂期权在任意时刻t∈0,T的价格为

Ct,St=Sn(t)exp (n-1)r(T-t)+(n2-n)σ2(T2H-t2H)+(n2-n)ε2(T-t)2×Nnσ2(T2H-t2H)+ε2(T-t)-d1+e-rT-tKN-d1,

其中,d1=ln K/Sn(t)-nr(T-t)+12nσ2T2H-t2H+12nε2T-tnσ2(T2H-t2H)+ε2(T-t),

Nx=12π∫x-

SymboleB@ e-t22dt

为标准正态分布函数.

证明Ct,St=te-r(T-t)SnT-K+

=e-rT-tt{Sn(t)exp{ nr(T-t)

+nσ[BH(T)-BH(t)]+nε[W(T)-W(t)]

-12nσ2(T2H-t2H)-12nε2(T-t)}-K}+

=e-rT-t∫RSntexp nrT-t-12nσ2T2H-t2H-12nε2T-t

+nσ2T2H-t2H+ε2T-tx12πe-x22dx-e-rT-t∫RK12πe-x22dx

=C1-C2,

其中,R=x:Sn(T)≥K=x:x≥d1,

C1=e-r(T-t)∫RSntexp nrT-t-12nσ2T2H-t2H-12nε2T-t+nσ2T2H-t2H+ε2T-tx12πe-x22dx,

C2=e-rT-t∫RK12πe-x22dx.

又因为

C1=e(n-1)r(T-t)Sn(t)∫Rexp (n2-n)σ2(T2H-t2H)+(n2-n)ε2(T-t)2×12πexp -x-nσ2(T2H-t2H)+ε2(T-t)22dx

=Sn(t)exp (n-1)r(T-t)+(n2-n)σ2(T2H-t2H)+(n2-n)ε2(T-t)2×Nnσ2(T2H-t2H)+ε2(T-t)-d1.

同理C2=e-rT-tKN-d1.所以

Ct,St=Sn(t)exp (n-1)r(T-t)+(n2-n)σ2(T2H-t2H)+(n2-n)ε2(T-t)2×Nnσ2(T2H-t2H)+ε2(T-t)-d1-e-rT-tKN-d1.

注该定价公式对文献[10-12]中的结论进行了推广,当n=1时,即为文献[10]的结论;当ε=0时,即为文献[11-12]的结论.

定理3设r,σ为常数,则一敲定价格为K,到期日为T的欧式n次看跌幂期权在任意时刻t∈0,T的价格为

Pt,St=e-rT-tKNd1-Sn(t)exp (n-1)r(T-t)

+(n2-n)σ2(T2H-t2H)+(n2-n)ε2(T-t)2]

×Nd1-nσ2(T2H-t2H)+ε2(T-t).

证明可类似定理2得到.

定理4 欧式n次幂期权的看涨-看跌平价公式为

Ct,St+Ke-r(T-t)=Pt,St+Sn(t)exp (n-1)r(T-t)

+(n2-n)σ2(T2H-t2H)+(n2-n)ε2(T-t)2].

证明由定理2、定理3可得.

由此可见,标的资产价格服从分数布朗运动的定价公式实质上是标的资产价格服从混合分数布朗运动的定价公式的一种特例.在该模型下,期权的价格不仅与资产价格S,时刻T和t有关,而且由于股票价格的变化具有长相关性,因此期权的价格还与Hurst参数H和ε有关.

参考文献

[1] OSBORNE M F M. Brownian motion in the stock market [J]. Operations Research, 1959, 7:145-173.

[2] Mandelbrot B. Fractal and scaling in finance [M]. New York:Springerverlag, 1997.

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[5] BENDERC,SOTTINE T,VALKEILA E. Arbitrage with fractional brownian motion[J].Theory of Stochastic Processes,2006,12(3):1-12.

[6] BENDER C,SOTTINE T,VALKEILA E. Pricing by hedging and absence of regular arbitrage beyond semimartingales[J]. Finance and Stochastics, 2008, 12(4):441-468.

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[9] 刘韶跃. 数学金融学的分数型BlackScholes模型及应用[D].湖南师范大学:数学和计算机科学学院博士论文,2004.

[10]余征,闫理坦.混合分数布朗运动环境下的欧式期权定价[J].苏州科技学院学报:自然科学版,2008,25(4):4-10.

[11]何成洁,沈明轩,杜雪樵. 分数布朗运动环境下幂型支付的期权定价公式[J].合肥工业大学学报:自然科学版,2009,32(6):924-926.

[12]刘海媛,周圣武,索新丽. 标的资产价格服从分数布朗运动的几种新型期权定价[J].数学的实践与认识,2008,38(15):54-59.

[13]赵佃立. 分数布朗运动环境下欧式幂期权的定价[J].经济数学,2007 ,24 (1) :22 - 26.

Model of Power Option Pricing Driven by Mixed Fractional Brownian Motion



XU Feng1,2,ZHENG Shiqiu3

(1. College of Sciences , China University of Mining and Technology , Jiangsu Xuzhou 221008;

2. Business Department , Suzhou Vocational University , Jiangsu Suzhou 215104;

3. College of Science, Hebei Polytechnic University, Hebei Tangshan 063009)

Abstract Assuming that the underlying asset obeys the stochastic differential equation driven by mixed fractional Brownian motion,we established the mathematical model for the financial market in mixed fractional Brownian motion setting.Using quasimartingale method,we obtainedthe explicit expression for the European Power option price and the callput parity. Finally,we point out that fractional Brownian motion is an especial case of mixed fractional Brownian motion.

人力资源期权定价模型篇3

关键词：回望期权,最小二乘蒙特卡罗模拟,跳跃扩散,路径依赖,二叉树图

1 引言

回望期权是一种新型期权, 是由金融机构设计以满足市场特殊需求的产品, 在场外交易。回望期权的收益依附于期权有效期内股票达到的最大或最小价格。回望期权一般可分为固定执行价格回望期权和浮动执行价格回望期权。具有浮动执行价格的回望期权就是在期权到期日持有人以最后标的资产价格与标的资产在有效期内达到的最低价格和最高价格的差价作为收益, 另一种回望期权是具有固定敲定价格的回望期权, 应用价值较小, 本文讨论的都是前者。

欧式回望看涨期权的收益等于最后股票价格超过期权有效期内股票达到的最低价格的那个量, 欧式回望看跌期权的收益等于期权有效期内股票达到的最高价格超过最后股票价格的那个量。关于欧式回望期权, 其定价的解析式已经推导出来了。美式回望期权能在规定的到期日以前 (包括到期日) 的任何一个工作日执行, 执行时间也依赖于股票价格路径, 具有不确定性, 因此, 很难给出其定价方法。

国外Goldman等 (1979) 最早对回望期权进行了定价研究, 在标的资产遵循几何布朗运动的假设下, 对股票价格进行连续监测, 给出了欧式回望期权的定价公式[1], 然而标的资产遵循几何布朗运动与实际市场情况不符, 不能反映“隐含波动率微笑”的现象, 为了克服这个缺陷, 引入不变方差弹性过程 (CEV) , Boyle和Tian (1999) 分别通过数值计算和蒙特卡罗模拟为CEV模型下欧式回望期权定价[2]。Davydov和Linetsky (2001) [3]以及Vanni Petrella和Steven Kou (2004) [4]借助拉普拉斯变换回望期权进行了定价研究, Vadim Linetsky (2004) 在其基础上给出了一种更精确地求解回望期权的定价方法, 这种方法考虑了更多实际因素, 通过谱展开分析法计算出CEV模型下欧式回望期权定价的解析式[5]。另外, S.G.Kou和Hui Wang (2002) 考虑了双指数跳跃扩散模型下为路径依赖型期权 (回望期权、障碍期权、美式期权等) 定价[6]。Peter Buchen等 (2003) 给出了一种新的为欧式回望期权的定价方法[7]。国内徐承龙 (2004) 利用Fourier变换方法给出了带一般受益函数的欧式回望期权的定价公式[8]。袁国军等 (2005) 考虑了跳—扩散模型中欧式回望期权的定价[9]。

目前国内外对于回望期权的定价研究大多是基于欧式回望期权, 美式回望期权的执行时间不确定, 要给出其定价公式, 首先要确定其最优执行时间。Dai Min等 (2006) 对美式回望期权以及亚式期权的最优停时 (最优执行时间) 进行了研究, 为期权的定价奠定了基础[10]。经典的计算美式回望期权的方法是构造二叉树方法[11], Lishang Jiang (2004) 等指出这种方法具有很好的收敛性[12]。然而, 无论是普通的二叉树方法还是改进的二叉树方法, 都有两个缺陷:一是耗费大量的时间;二是都是在布朗运动的假定下进行, 对于布朗运动以外的情形无法应用。

标的资产遵循几何布朗运动的假设, 只反映了价格的连续变化, 没有考虑到标的资产价格可能会出现间断的“跳跃”情况, 这与实际金融市场情况不相符。很多金融实践也表明, 标的资产价格可能会出现间断的不频繁的“跳跃”情况。这些“跳”主要是由一些突发事件引起的, 比如, 破产、政变、政策调整、人为投机等等都会引起资产价格的大幅涨落。假设价格的跳跃以Possion跳跃过程到来, 为了更贴近实际金融市场的情况, 将几何布朗运动与Possion跳跃过程结合起来考虑价格的变化过程, 即假设资产的价格变化过程服从Possion跳—扩散过程。几何布朗运动描述了价格连续正常变化的情况, Possion过程描述了价格变化过程中的异常情况, 因此, Possion跳-扩散过程比较准确地刻画了实际市场中资产价格的变化情况。

本文主要工作是在资产价格服从跳跃-扩散过程的情况下, 给出美式回望期权的定价方法。假设股票价格服从Possion跳跃-扩散过程, 改进Longstaff等提出的最小二乘蒙特卡罗方法 (LSM) [13]得到新方法:总体最小二乘蒙特卡罗模拟方法 (TLSM) , 并应用TLSM为美式回望期权定价。将其计算结果与利用构造二叉树图方法所得结果进行比较, 得出:TLSM比较稳定, 计算结果接近期权的真实值;而且所用时间较短。

本文结构安排如下:第2节介绍改进的最小二乘蒙特卡罗模拟的方法;第3节利用总体最小二乘蒙特卡罗模拟方法为带跳市场下的美式回望期权定价;第4节介绍构造二叉树图方法, 为美式回望期权定价, 并将其与TLSM比较, 进而给出总结。

2 总体最小二乘蒙特卡罗模拟

改进Longstaff等提出的最小二乘蒙特卡罗方法 (LSM) , 将其中使用的普通最小二乘改用总体最小二乘, 得到总体最小二乘蒙特卡罗模拟方法 (TLSM) 。

2.1 最小二乘蒙特卡罗模拟

Longstaff等提出的最小二乘蒙特卡罗方法 (LSM) 的基本思想是构造一族基函数, 期权的未来期望收益由这组基函数的线性组合表示出来[13]。在概率空间 (Ω, F, P) 下, 期权的有效执行时间为 (0, T], 到期日为T, 假设期权只在K个离散的时间点0<t1≤t2≤t3≤…≤tK=T执行。C (ω, s;t, T) 表示期权的价格路径, t<s≤T, 期权在t时刻以前以及t时刻都不会执行。LSM方法的目标是提供一个近似计算方法顺向求出最优停时, 从而使得在这个时刻执行期权获得的收益最大。具体步骤如下:

在tk时刻, 期权的立即执行价格是C (ω, s;tk, T) , 继续持有的价值为F (ω;tk) ,

$F (ω; t_{k}) = E_{Q} [\sum_{j = k + 1}^{Κ} e x p (- \int_{t_{k}}^{t_{j}} r (ω, s) d s) C (ω, t_{j}; t_{k}, Τ) | F_{t_{k}}]$

其中, Q为等价于市场测度的风险中性测度, r (ω, t) 是无风险利率。然后选择一组基函数来近似计算F (ω;tk) 的值, X代表期权标的资产的价格, 常用的一组基函数为

$\begin{array}{l} L_{0} (X) = \exp (- X / 2) \\ L_{1} (X) = \exp (- X / 2) (1 - X) \\ L_{2} (X) = \exp (- X / 2) (1 - 2 X + X^{2}) \\ \dots \\ L_{n} (X) = \exp (- X / 2) \frac{e^{X}}{n!} \frac{d^{n}}{d X^{n}} (X^{n} e^{- X}) \end{array}$

则F (ω;tk) 可以表示为F (ω; $t_{k}) = \sum_{j = 0}^{\infty} a_{j} L_{j} (X)$ , 系数aj为常数。由此表达式近似地计算出期权在tK-1, tK-2, …, t1时刻继续持有的期望收益, 从tK-1时刻开始, 比较F (ω;tK-1) 与C (ω, s;tK-1, T) 的大小, 若F (ω;tK-1) 的值大, 则继续持有, 最优停时为tK=T, 即期权在到期日执行, 若C (ω, s;tK-1, T) 的值大, 则倒退到tK-2时刻, 继续上面的操作, 直到t1时刻, 从而确定出所有路径的最优执行时间, 再将每条路径的期权的最大价值贴现至0时刻, 对贴现值取均值就得到0时刻期权的价值。

2.2 总体最小二乘方法

最小二乘法作为一种最常见的拟合准则, 其参数估计比较简单, Longstaff和Schwartz最早提出将其用于美式期权定价中[13], 然而由于普通的最小二乘法 (Ordinary Least Square) 要求解释变量均为精确无误差的, 或者其测量误差与模型的因变量的测量误差相比可以忽略不计, 即所有误差均来自于因变量。然而, 考虑到期权的标的资产股票价格和期权持有价值均为随机模拟值, 都存在一定的误差或扰动, 因此本文使用同时考虑了解释变量和被解释变量误差的估计方法, 即总体最小二乘 (Total Least Squares) 方法[14]。

对于解释变量和被解释变量数据矩阵均含有误差的回归估计问题, TLS可以表述为对如下矩阵方程求普通最小二乘解:

$(A + E)^{'} X = b + e$

其中, A是n×p维的解释变量数据矩阵, E为矩阵A的误差扰动, b是n×1维的被解释变量数据向量, e为向量b的误差向量。

为了说明TLS与OLS方法的区别与联系, 本文假设了两数据列向量X和Y, 分别利用OLS和TLS方法进行回归分析。即求如下的回归方程:

$\begin{array}{l} Y + e = β_{0} + β_{1} X (Ο L S) \\ Y + e = β_{0} + β_{1} (X + d) (Τ L S) \end{array}$

其中, β0、β1分别是常数项和一次项的系数, e和d分别是列向量Y和X的扰动.

总体最小二乘法与普通最小二乘法的区别在于, 普通最小二乘法度量的是在变量X有精确数据, 只考虑变量Y存在扰动的情况下, 将回归之后的系数β0、β1代入回归方程, 使得估计值 $\tilde{Y}$ 与真实值Y的残差平方和最小;而总体最小二乘法度量的是在变量X和Y均存在扰动的情况下, 全面考虑了回归后的估计值 $\tilde{Y}$ 和真实值Y的残差平方和以及估计值 $\tilde{X}$ 和真实值X的残差平方和之和最小, 从几何角度来说就是使得每个数据点到回归线的距离之和最小。

为了比较两种方法, 本文讨论二维平面上确定拟合直线的情形。假设原始直线方程为y=b+kx, 其中b=0.4, k=1, 围绕这条直线产生两组随机数据, 然后分别用普通最小二乘和总体最小二乘法确定回归系数, 并进行比较。

为了进一步比较, 在图1中虚线表示原始的直线方程, 实点表示围绕这条直线产生的一组随机数, 实线表示按照普通最小二乘法和总体最小二乘法确定的直线。

从图1可以看出, 总体最小二乘法得到的回归直线与原始直线几乎重合, 而普通最小二乘法与原始直线的差别较大。

3 利用TLSM为美式回望期权定价

3.1 跳跃—扩散模型

设市场的概率空间为 (Ω, F, P) , 资产的价格为 (St) t∈[0, T], (Ft) t∈[0, T]为资产历史价格的信息流。将带跳过程用于期权定价是Robert Merton首次提出。Meton考虑的跳跃—扩散模型在概率测度P下标的资产的价格满足如下方程:

$S_{t} = S_{0} (Π_{j = 1}^{Ν_{t}} (1 + U_{j})) e^{(μ - \frac{σ^{2}}{2}) t + σ W_{t}} (1)$

其中, W= (Wt) 为标准Brown运动, N= (Nt) 是强度为λ的、与W独立的Poisson过程, (Uj) j≥1是独立同分布的随机变量序列, 取值于 (-1, +∞) 。

上式也可以表示为

$S_{t} = S_{0} + \int_{0}^{t} X_{s} (μ d s + σ d W_{s}) + \sum_{j = 1}^{Ν_{t}} X_{τ_{j}^{-}} U_{j}$

其中, S0+∫t0Xs (μds+σdWs) 表示标的资产的价格连续变化, $\sum_{j = 1}^{Ν_{t}} X_{τ_{j}^{-}} U_{j}$ 表示标的资产的价格出现跳跃。

3.2 用TLSM为美式回望期权定价

本文以基于无红利支付股票的美式回望看跌期权为例来说明这种定价方法, 回望看涨期权的定价类似可做。

设当前的时间为0, 回望看跌期权的到期日为T, 将这段时间分成等长的K段, 0=t0<t1<t2<…<tK=T, 标的资产的价格变化过程遵循Poisson跳跃-扩散过程。TLSM方法的关键是确定出每条路径上期权的最优执行时间。按照下面的步骤应用总体最小二乘蒙特卡罗模拟方法计算跳跃扩散模型下美式回望看跌期权的价格:

步骤1:从当前的股票价格S0出发, 根据式 (1) 模拟M条股票价格的路径Spi, 其中p代表第p条路径, p=1, 2, …, M, i是时间指标, i=0, 1, 2, …, K.

步骤2:用Xk (St) , k=1, 2, 3, 近似计算出期权在各个时间点继续持有的价值Yp, Yp=a1X1 (St) +a2X2 (St) +a3X3 (St) , p=1, 2, …, M. 在到期日T, 每条路径的执行时间都取为τpK=T, p=1, 2, …, M.

步骤3:到期日T, 第p条路径期权的价值是

$\begin{array}{l} \max_{0 \leq i \leq Κ} {S_{t_{i}}^{p}} \\ - S_{Τ}^{p} \end{array}$

, 贴现至tK-1时刻, 贴现值记为Ypj, 选取所有立即执行期权价值为正的路径, 假设共有L条这样的路径, 指标为p1, p2, …, pL, 在每条路径上计算出tK-1时刻立即执行时, 期权的现值 $V_{p} = \max_{0 \leq i \leq Κ - 1} {S_{t_{i}}^{p}} - S_{t_{Κ - 1}}^{p}$ . 用总体最小二乘法确定回归方程Yp=a1X1 (St) +a2X2 (St) +a3X3 (St) 的系数a1, a2, a3. 再用所得回归方程计算tK-1时刻期权的继续持有价值, 若Vp>Yp, 则τpK-1=tK-1, 否则τpK-1=τpK.⊅步骤4:设已经求出ti+1时刻每条路径的期权执行时间τpi+1, 选出ti时刻期权的立即执行价值大于零的路径, 假设共有q条, 指标为p1, p2, …, pq, 在这q条路径上计算期权在ti时刻的现值Yj=exp (-r (τpji+1-ti) ) Vepj (τpji+1) , 其中 $V_{p_{j}}^{e} (τ_{i + 1}^{p_{j}}) = \max_{0 \leq i \leq τ_{i + 1}^{p_{j}}} {S_{t_{i}}} - S_{τ_{i + 1}^{p_{j}}}, j = 1, 2, \dots, q$ . 将Yj和Spjti结合用总体最小二乘法确定回归方程Yp=a1X1 (St) +a2X2 (St) +a3X3 (St) , 用此回归方程计算第p条路径的期权在ti时的继续持有价值Yp, 如果Vep=0或者Vep<Yp, 则τpi=τpi+1, 否则τpi=ti.

步骤5:按照步骤4倒推直至t1时刻, 就得到了当前时刻期权的价值 $V = \frac{1}{Μ} \sum_{p = 1}^{Μ} \exp (- r τ_{1}^{p}) V_{p}^{e} (τ_{1}^{p})$ 。

4 算例分析

本节应用TLSM方法为实际金融市场中的美式回望期权定价, 并将其计算结果与构造树图[11]所得结果进行比较, 发现利用TLSM方法估值结果更接近期权的真实值。

4.1 构造二叉树图法

仍然是对基于无红利支付股票的美式回望期权进行估价, 当期权被执醒时, 它的收益等于最高股票价格超出股票现价的超额部分。定义F (t) 为到时间t为止的最高股票价格, 并且设定Y (t) =F (t) /S (t) 。初始Y等于1, 因为在零时刻点F=S. 如果在第一个时间步长时, S有一个向上的运动趋势, 那么F和S同时按比例上升u, 则Y仍为1。如果在第一个时间步长, S有一个向下的运动趋势, F保持不变, 那么Y=1/d=u. 继续这种形式的讨论, Y的取值情况就变成如下形式的树图。

确定树图几何形状的规则为: 当时刻t是Y=1, 那么在时间t+Δt时, Y或者为1或者为u; 当时刻t时Y=um, 且m≥1, 则在时间t+Δt时Y或者为um+1或者为um-1.

Y的向上运动趋势与股票的向下运动趋势一致, 反之亦然。Y的向上运动的概率通常为1-p, 向下运动的概率通常为p. 运用树图为美式回望期权进行估价, 以股票价格为单位而不是以美元为单位。用美元表示, 期权的收益为SY-S, 以股票价格为单位表示, 期权的收益为Y-1。对树图进行滚动倒推, 记fi, j为时间iΔt第j个节点的回望期权的价值, 当j≥1, 滚动倒推过程给出

$f_{i, j} = \max {Y - 1, e^{- r Δ t} [(1 - p) f_{i + 1, j + 1} d + p f_{i + 1, j - 1} u]}$

当j=0时, 滚动倒推过程给出:

$f_{i, j} = \max {Y - 1, e^{- r Δ t} [(1 - p) f_{i + 1, j + 1} d + p f_{i + 1, j} u]}$

4.2 结果比较与方法分析

考虑美式回望看跌期权, 期限不超过一年。Hull[11]研究了随机波动率对期权定价的影响, 他指出, 对于持有期小于一年的期权, 由随机波动率引起的期权定价偏差从绝对值上看是非常小的;随着期权有效期增加, 偏差会增大许多。这里考虑的是期限不超过一年的回望期权, 因此标的资产的波动率σ可以假设为常数, 无风险利率r也可以假设为常数。

下面以期限为六个月的美式回望看跌期权为例, 分别用总体最小二乘蒙特卡罗模拟和二叉树图的方法给出定价, 并对两种方法的定价结果进行比较分析。

对于构造二叉树图的方法, 初始股票价格S=100, 股票的年收益率为0.1, 年波动率为0.3, 用Matlab编程实现时, 以年为时间单位, 则到期日T = 0.5, 下表给出了把时间区间[0, 0.5]分别分成1000段, 5000段, 1万段, 2万段, 5万段, 10万段, 20万段, 50万段, 100万段时的计算结果。

对于总体最小二乘蒙特卡罗模拟, 参数的选取与二叉树图中的参数保持一致, 初始股票价格S=100, 在Matlab编程实现时, T=180天, 并将到期期限分为1000段, 换算后, 股票的波动率为σ=0.0093, 收益率为r=0.001。股票价格发生跳跃单位时间随机到来的均值λ=2.24, 蒙特卡罗模拟10000次。共运行100次, 得到100个结果, 画出散点图如图2所示。

从这100个数据中列出14个如表2。

从表中计算结果可以看出:

①用TLSM计算出的期权价格很接近二叉树的计算结果, 误差很小。这说明用总体最小二乘蒙特卡罗模拟方法为跳跃扩散模型中的美式回望期权定价是合理的。

②二叉树图方法中时间段越细, 定价结果越精确, 将到期期限分为50万段和100万段时, 结果均为16.23.再由二叉树方法的收敛性, 得出期权的真实值为16.23.然而期限分为50万段时, 程序运行需要3个小时13分钟得到结果。

③从用TLSM模拟得到的结果可以看出, 期权的价格都落在区间[16.1406, 16.3761]之间, 与期权的真实值16.23的浮动误差率小于0.91%.

④从散点图明显看出:TLSM计算的结果数据比较集中, 大多分布在16.25附近, 说明TLSM算法稳定。

⑤用二叉树图方法, 程序运行需要3个小时13分钟才得到结果16.23;而用总体最小二乘蒙特卡罗模拟方法, 只需要12分钟就可以得到较精确的结果。

5 结论

本文改进Longstaff等提出的最小二乘蒙特卡罗方法 (LSM) [13], 将LSM方法中的普通最小二乘改为总体最小二乘, 使得计算过程中的误差减小, 计算结果更准确。然后应用改进后的方法TLSM为美式回望期权定价, 标的资产的价格变化用跳跃扩散模型刻画, 考虑了更多实际因素, 无风险收益率的取值以及金融资产价格的大幅降落等情况都一一考虑到了, 使得模型本身与实际金融市场更加接近。本文为跳跃扩散模型下美式回望期权定价, 模型的建立是适合实际金融市场情况的, 所得的定价结果比较稳定, 说明TLSM方法定价的合理性。最后, 本文还将用TLSM定价结果与用二叉树的定价结果进行比较, 发现TLSM定价方法稳定性较好;其结果与二叉树图定价结果误差较小, 并且时效性上优于二叉树图的方法。

人力资源期权定价模型篇4

关键词分数OU过程;再装期权;几何亚式再装股票期权

中图分类号 F830.9文献标识码:A

1 引言

再装期权作为一种变异的欧式看涨期权,它允许期权的持有者在到期日之前的特定日期执行欧式看涨期权,且保证执行日期权处于实值状态,然后获得一个数量为被执行期权的执行价格与执行日股票价格的比,到期日不变,执行价格为执行日股票价格的新的欧式看涨期权.再装期权与标准欧式看涨期权一样可以作为对公司高级管理人员或专业技术人员的股票期权激励方案.其明显特征是:允许其持有者锁定在再装日的利润,消除了在到期日可能只能获得较低收入的风险,这对一些特定公司来说是一种较好的激励方案.

然而,由于传统再装期权在再装日是按照BS模型来执行的(即在再装日,若股票价格超过执行价格,经理人就执行期权),这使得再装期权作为经理薪酬至少存在三个问题.其一,由于股票价格受到行业发展前景、宏观经济等因素的影响,而这些因素都是经理没法控制的,所以仅以再装日股价的高低来衡量经理人的业绩有失公平,且可能会导致反向激励现象;其二,容易导致经理人对股价进行短期操纵以使得期权处于实值状态,这样会损害股东的利益;其三,可能诱导经理追求“轰动效应”,而采取不符合实际、冒险的行为.因此,有必要对再装期权进行研究,加以改进来更好地解决经理激励问题.

关于再装期权的定价研究有,Johnson等^[1]研究了股价服从连续扩散过程的再装股票期权的定价;Min Dai等^[2]研究了再装期权模型的多次最优停止问题;A.C. B′Elanger等^[3]研究了无限次再装期权的定价问题;李超杰等^[4]对再装期权执行价格最低水平的决定进行了研究,提出了再装股票期权执行价格最低水平的决定机制;傅强等^[5]在等价鞅测度下,研究了股价服从指数OU过程的再装期权定价模型,并讨论了其在经理激励中的作用;傅强等^[6]通过对再装期权设置上下障碍,研究了再装期权的经理激励问题;张慧等^[7]在不确定环境下研究了再装期权的最大和最小定价,等等.

然而,上述文献并没有考虑传统再装期权在再装日按BS模型执行时所产生的经理激励问题.而几何亚式期权是以期限内股价的几何平均值作为期权的结算价格,能很好地解决上述激励问题^[8].因此,为了弥补再装期权的缺陷,作者将几何亚式期权应用到再装期权中,建立了新的再装期权定价模型(即几何亚式再装股票期权),并在股价服从分数OU过程下得到相应的定价公式.且通过数值模拟计算,比较了几何亚式再装股票期权与传统再装期权在经理激励中的作用.

经济数学第 27 卷

第2期傅强等:基于分数OU过程的几何亚式再装股票期权定价模型

2 相关的基础知识

2.1 资产价格模型

考虑一个具有两个资产M(t),S(t)的金融市场,M(t)为无风险债券,价格过程满足dMt=rMtdt ,常数r是无风险利率.S(t),t≥0为风险资产,其服从分数OU过程^[9],即满足随机微分方程(SDE):

dSt=(μ-αln St)S(t)dt+σStdBHt, S(0)=S0,(1)

其中,{BHt,0≤t≤T}为概率空间Ω,F,Ft,P上的分数布朗运动,μ,σ分别是期望收益率和波动率.

分数OU过程实际上是考虑预期收益率依赖于标的资产价格的分数布朗运动.常数α的作用相当于在股票价格升到一定高度,使股价有下降的趋势;特别地,当α=0时,股价波动满足几何分数布朗运动模型;当H=1/2,股价波动满足通常的OU过程模型;当α=0,H=1/2,股价波动满足几何布朗运动模型.

对于分数OU过程(1),记θ(t)=u-αln S(t)-rσ.显然有,

EPexp 12∫T0θ2(t)dt<+

SymboleB@ (EP•是测度P下的期望算子).

于是,由分数Girsanov定理^[10],存在一个测度Q,与测度P等价且是风险中性的以及BQH(t):=u-αln S(t)-rσt+BH(t)是测度Q下的分数布朗运动.

经过简单的计算可知,在风险中性测度Q下,分数OU过程(1)变为

dS(t)=rS(t)dt+σS(t)dBQH(t).(2)

在风险中性测度Q下,利用分数It公式^[11],可得到模型(1)的解为

S(t)=S0exp {rt-12σ2t2H+σBQH(t)}.(3)

2.2股票价格的几何平均值

设Jst为在[s,t]上股价的几何平均值,即Jst=e1t-s∫tsln S(u)du,则由式(3)可得:

Jst=S0exp {12r(t+s)-t2H+1-s2H+12(2H+1)(t-s)σ2+σt-s∫tsBQH(u)du}.(4)

为了以后的计算方便,记

X=σT1∫T10BQH(u)du,Y=σT-T1∫TT1BQH(u)du-σT1∫T10BQH(u)du,Z=σT∫T0BQH(u)du,

则由文献[10]中有关分数布朗运动的性质,容易得到

X~N(0,σ2T2H12(H+1)∶=N(0,σ21),

Y~N(0,T2H+1-T2H+11σ(2H+1)(T-T1)σ2-(T-T1)2H2(2H+1)(H+1)σ2

+T2H12(H+1)σ2)∶=N(0,σ22)及Z~N(0,σ2T2H2(H+1))∶=N(0,σ23).

并令X-=Xσ1;Y-=Yσ2;Z-=Zσ3,则由文献[10],可得

cov (X-,Y-)=-σ1σ2:=ρ1, cov (X-,Z-)=T1Tσ1σ3:=ρ2.

3 几何亚式-再装股票期权定价模型

3.1 几何亚式-再装股票期权模型的收益结构

几何亚式-再装股票期权的收益结构(这里仅考虑再装一次的情况):期权在再装日T1时刻的收益为 max (J0T1-K,0).

在到期日T时刻的收益为

KJ0T1max (JT1T-J0T1,0),当J0T1>K时,

max (J0T-K,0),当J0T1

因此该期权在到期日T时的总支付为

Φ(J0T1,J0T,JT1T2,K)=er(T-T1)max (J0T1-K,0)

+KJ0T1max (JT1T-J0T1,0)1{J0T1>K}+max (J0T-K,0)1{J0T1

其中,1A表示集合A上的示性函数.

模型的经济解释如下:

1)在0到T1这段时间内,若股票价格的几何平均值J0T1高于K,则经理人执行期权,每份期权获得利润为(J0T1-K).这样利用一段时期内股价的几何平均值J0T1来代替传统再装期权中以再装日的股价ST1作为结算价格,能够有效地防止经理人通过对股价的短期操纵来使得期权处于实值状态,从而使得股东的利益受损.

2)若在到T1这段时间内股票价格的几何平均值J0T1高于K,则经理人还可获得KJ0T1份新期权.新期权是以T1到T时刻的几何平均值作为结算价格,到期日为T,执行价格为J0T1的期权.

3)若在0到T1这段时间内股票价格的几何平均值J0T1低于K,则无需再装,期权以0到T时刻股票价格的几何平均值J0T作为结算价格,到期日T和执行价格K保持不变.

3.2 基于分数OU过程的几何亚式再装股票期权的定价公式

定理1 在股价服从分数OU过程的假设下,几何亚式再装股票期权在0时刻的定价公式为

C=S0α1N(d1+σ1)-Ke-rT1N(d1)+Kα2N2(d1-σ1,d2+σ2;ρ1)

-Ke-rTN2(d1,d2;ρ1)+S0α3N2(-d1-T1Tσ1,d3+σ3;-ρ2)-Ke-rTN2(-d1,d3;-ρ2),(6)

其中α1=exp {-12rT1-T2H12(2H+1)(2H+2)σ2},

α2=exp {-12rT+T2H12(2H+1)σ2-(T-T1)2H4(2H+1)(H+1)σ2+T2H14(H+1)σ2},

α3=exp {-12rT-T2H2(2H+1)(2H+2)σ2},

d1=lnS0K+12rT1-T2H12(2H+1)σ2σ1,

d2=12rT+T(T2H1-T2H)2(2H+1)(T-T1)σ2σ2,

d3=lnS0K+12rT-T2H2(2H+1)σ2σ3.

N()表示一维标准正态分布累加函数,N2()表示二维正态分布累加函数.

证明模型(5)的求解过程为

C=E[e-rTΦ(J0T1,J0T,JT1T2,K)]

=E[e-rT1max (J0T1-K,0)]+E[e-rTKJ0T1max (JT1T2-J0T1,0)1{J0T1>K}]

+E[e-rTmax (J0T-K,0)1{J0T1

第一步,计算C1

由式(4)可知J0T1>K等价于J0T1=S0exp{12rT1-T2H12(2H+1)

σ2+σ2}>K,即

>-lnS0K+12rT1-T2H1

2(2H+1)σ2σ1=-d1.

因此

C1=∫+∞-d1e-rT1(S0exp{12rT1-T2H1

2(2H+1)σ2+σ1}-K)12πexp{-22}d

=S0α1N(d1+σ1)-Ke-rT1N(d1). (7)

第二步,计算C2

C2=E[e-rTKJ0T1max (JT1T-J0T1,0)1{J0T1>K}]=E[e-rTK(JT1TJ0T1-1)1{J0T1>K,JT1TJ0T1>1}].

由式(4)可知,JT1TJ0T1=exp{12rT+T(T2H1-T2H)2(2H+1)(T-T1)σ2+σ2},则JT1TJ0T1>1等价于

>-12rT+T(T2H1-T2H)2(2H+1)(T-T1)σ2

σ2=-d2.

因此,

C2=e-rTK∫+∞-d1∫+∞-d2(exp{12rT+T(T2H1-T2H2(2H+1)(T-T1)σ2+σ2}-1)•

12π1-ρ21exp{-2-2ρ1+22(1-ρ21)}dd

=Kexp{-12rT+T(T2H1-T2H2(2H+1)(T-T1)σ2}12π1-ρ21•

∫+∞-d1∫+∞-d2exp{σ2}exp{-2-2ρ1+22(1-ρ21)}dd

-Ke-rT12π1-ρ21∫+∞-d1∫+∞-d2exp{-2-2ρ1+22(1-ρ21)}dd

=C21+C22.

先计算C21

令-2-2ρ1+22(1-ρ21)+σ2=-(-a)2-2ρ1(-a)(-b)+(-b)2+c2(1-ρ21).

经过计算,比较系数得到如下关系式

-2a+2ρ1b=0,

-2b+2ρ1a=-2(1-ρ21)σ2,

c=-(a2-2ρ1ab+b2), 解得b=σ2,

a=ρ1b=-σ1,

c=-(σ22-σ21).

因此,只需作变换X′=X--a=X-+σ1,Y′=Y--b=Y--σ2,即可得到

C21=Kα2∫+

SymboleB@ -d1+σ1∫+

SymboleB@ -d2-σ2f(X′,Y′)dX′dY′=Kα2N2(d1-σ1,d2+σ2;ρ1). (8)

由概率论知识,显然有

C22=-Ke-rTN2(d1,d2;ρ1).(9)

第三步,计算C3

C3=E[e-rTmax (J0T-K,0)1{J0T1K}].

由式(4)可知,J0T>K等价于J0T=S0exp {12rT-T2H2(2H+1)σ2+σ3Z-}>K,即

Z->-ln S0K+12rT-T2H2(2H+1)σ2σ3=-d3.

则

C3=e-rT∫-d1-∞∫+∞-d3(S0exp{12rT-T2H2(2H+1)σ2+σ3}-K)12π1-ρ22exp{-2-2ρ2+22(1-ρ22)}dd

=S0exp{-12rT-T2H2(2H+1)σ2}12π1-ρ22

∫-d1+∞∫+∞-d3exp{σ3}exp{-2-2ρ2+22(1-ρ22)}dd

-Ke-rT12π1-ρ22∫-d1-∞∫+∞-d3exp{-2-2ρ2+22(1-ρ22)}dd=C31+C32.

先计算C31

与计算C21的方法相同,令X″=X--T1Tσ1,Z″=Z--σ3,即可得到

C31=Kα3∫-d1-T1Tσ1-

SymboleB@ ∫+

SymboleB@ -d3-σ1f(X″,Z″)dX″dZ″=S0α3N2(-d1-T1Tσ1,d3+σ3;-ρ2).(10)

由概率论知识,显然有

C32=-Ke-rTN2(-d1,d3;-ρ2).(11)

综合式(7)~(11),即得几何亚式-再装期权的定价公式(6).证毕.

注当H=0.5时,公式(6)就是在股票价格服从几何布朗运动的假设下得到的几何亚式再装股票期权定价公式.

4数值分析

图1 随着再装日T1的变化,再装期权与几何亚式再装期权的价值变化曲线.下面考虑一个例子,假设股票在0时刻的价格S0=100元,执行价格K=100元,无风险利率为r=0.05,股票的波动率为σ=0.3,到期日T=10(年),再装日T1∈1,9,Hurst系数H∈[0.5,0.9].利用Matlab7.01可以画出图1和图2,其中图1表示:当H=0.5时,随着T1变化,标准再装期权与几何亚式-再装股票期权的价值变化曲线;图2表示:随着T1和H的变化,几何亚式-再装股票期权的价值变化图.通过这些图直观上可得到下列结论:

(1)由图1可知:当H=0.5时,即股票价格服从几何布朗运动,随着再装日T1的变化,发现与传统再装期权的价值相比,几何亚式-再装股票期权的价值总是要低一些.这是由于几何亚式-再装期权是以股价的几何平均值作为结算价格,能更好地防止经理人通过操纵股价信息来使得期权处于实值状态.这说明几何亚式再装股票期权能更好地降低代理成本.

图2 随着再装日T1和Hurst系数H的变化,几何亚式再装股票期权的价值变化趋势

(2)由图2可知:当T1值一定时,随着H的增大,几何亚式再装股票期权的价值也增大且差别较大.对实际股票数据而言,收益的波动具有长记忆性已是不争的事实,因而考虑波动长记忆特征的分数OU几何亚式再装期权应更加接近真实值.这说明长记忆参数H是几何亚式再装股票期权定价中不可忽视的因素.

(3) 由图2可知:当H值一定时,随着再装日T1的增大,传统再装期权的价值先减少后增加,而几何亚式再装股票期权的价值先增加后减少.

5 结论

本文通过对传统再装期权在经理激励中的缺陷进行分析,提出了几何亚式-再装期权的定价模型,并在股价服从分数OU过程下给出了几何亚式-再装股票期权的定价公式.且通过数值模拟分析发现,与传统再装期权相比,几何亚式-再装期权能更好地降低代理成本.本文仅考虑了再装一次的几何亚式-再装股票期权的定价,两次或多次再装的情况有待于进一步的研究.

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Model of Geometric Asianreload Stock Option

Pricing Driven by Fractional OU Process



FU Qiang1, SHI Zelong2

(1. College of Economics and Business Administration, Chongqing University,Chongqing 400044,China

2. College of Mathematics and Physics Chongqing University, Chongqing 400044 ,China)

Abstract By applied the geometric Asian option to the Reload stock option.this paper tried to solve the Manager Incentives problemproduced on the reloading time of the reload option,The pricing model of the geometric Asianreload option was established,and the corresponding pricing formula was obtained under the underlying asset obey to fractional OU process. By an example analysis,we find that,campared with the traditional reload stock option, the value of geometric asianreload stock option is smaller.This means that the geometric asianreload stock option isable to reduce the agency costs.

浅析经理人股票期权定价模型篇5

为进一步分析经理人股票期权定价模型, 本文根据 “2010年上市公司执行会计准则情况分析报告” 提出的新要求, 对比经理人股票期权与金融市场可自由交易的股票期权的不同之处, 总结这些不同之处对经理人股票期权价值的影响, 并分析如何根据这些影响改进B-S模型。

一、经理人股票期权概述

(一) 经理人股票期权概念

股票期权 (stock option) 是指买卖双方自愿签订以股票为标的物的期权合约, 该合约赋予买卖双方按约定价格在特定时间买进或卖出一定数量某种股票的权利或义务。股票期权按行权时间的不同分为欧式期权和美式期权, 按交易性质的不同可分为看涨期权和看跌期权。欧式期权是指买入期权的一方必须在期权到期日当天才能行使的期权; 美式期权是指买方可以在到期日或之前任一交易日行使权利的期权。看涨期权是指期权的购买者拥有在期权合约有效期内按执行价格买进一定数量股票的权利, 但不必负担买入义务; 看跌期权是指期权购买者拥有在期权合约有效期内按执行价格卖出一定数量股票的权利, 但不必负担卖出义务。

《上市公司股权激励管理办法 (试行) 》中对经理人股票期权的定义为:“上市公司授予激励对象在未来一定期限内以预先确定的价格和条件购买本公司一定数量股份的权利。 ”激励对象根据市场情况可以行权该种权利, 也可以放弃该种权利。经理人股票期权是一种看涨期权, 其获利方式是预期公司股价上涨, 当股价高于预先确定的价格时, 经理人行权即可获利, 这可以看作是经理人薪酬的一部分, 从而实现薪酬的激励效用。相应的, 经理人为实现个人利益的最大化, 会努力的工作, 以期提升公司业绩、促进股价上涨, 从而通过行权获利。因此, 股票期权能在一定程度上降低经理人的道德风险和逆向选择, 实现激励与约束机制的统一。

(二) 经理人股票期权的特征

对上述两个概念作一比较, 可以看出经理人股票期权与股票期权的概念相关, 它实质是持有人为经理人的以本公司股票作为标的物的看涨期权。经理人股票期权作为一种狭义的期权, 与普通股票期权相比, 有以下特征:

1.经理人股票期权是典型的混合期权。经理人股票期权协议规定授予日之后经理人不能立即行权, 而是存在一个等待期, 必须到等待期满且满足行权条件, 才能获得执行权利并在期权失效之前选择是否行权。因此, 在行权等待期, 经理人股票期权类似欧式期权;在可行权期间, 经理人可选择合适的日期行权, 类似美式期权。企业在期权计划中一般还会附带服务期限或业绩条件等行权限制条件, 这类似于障碍期权。

2.经理人股票期权不可转让导致的提前行权。普通的股票期权可以在交易所自由转让, 并可在交易市场通过对冲交易进行套期保值。而经理人股票期权是一种限制性期权, 不能自由交易转让, 但考虑到不能自由转让导致经理人需要承担股价波动带来的收益风险, 经理人满足行权条件后在行权有效期可以提前行权, 而不必等到期权到期日当天。

3.经理人股票期权的期限较长。公开交易的股票期权有效期一般就是几个月, 而经理人股票期权的期限可以达到10年。

二、经理人股票期权特征对其公允价值的影响

经理人股票期权的混合期权特性对其价值的影响是间接的, 混合特性使得需要将经理人股票期权有效期分为行权等待期和行权期, 并分别分析这两个期间内的经理人股票期权的价值特性。在经理人股票期权行权期, 它的价值特性与美式期权相似, 对可行权日至到期日前的好机会可加以利用, 因此, 行权期越长, 经理人股票期权可利用的机会越多, 时间价值越大, 并且行权期越长, 其价值发生波动可能性也越大, 从而进一步增加了它的时间价值。而在经理人股票期权行权等待期, 等待期对经理人股票期权价值的影响不是通过可对到期日前的好机会加以利用, 而是行权等待期越长, 股价发生波动的时间越长, 股价变动可能性越大, 时间随之增加。由此可见, 行权等待期越长, 股价发生波动的时间越长, 股价变动可能性越大, 时间价值越大。行权期长度越长, 一方面股价发生波动的时间越长增加了其时间价值, 同时经理人对到期日前的好机会可加以利用也增加了其价值。

经理人提前行权对期权公允价值的影响是负面的, 提前行权使期权实际期限短于激励计划规定的有效期, 而期权期限长短与期权价值是正相关的, 期权的期限越长, 股价在等待期或行权期发生波动的可能性越大, 经理人行权期可利用的行权机会越多, 期权价值自然越大。 FASB在1995年发布的SFAS NO.123中举例说明了经理人提前行权对期权公允价值的影响。该例子分别计算了考虑经理人提前行权和未考虑经理人提前行权的经理人股票期权的价值, 其中考虑“提前行权”因素体现在修改了B-S模型期权有效期参数, 用期权预期期限替代了期权到期期限。将期权到期期限10年作为期权有效期参数代入B-S模型, 计算出的期权价值为20.47美元。把期权预期期限6年代入, 计算出的期权价值为17.15元。卢婷 (2010) 分别将“期权到期期限”和“期权预期期限”作为B-S模型的“期权有效期”参数, 计算了5家公司经理人股票期权的公允价值, 发现测算结果有较大差异, 用“期权预期期限”计算得出的公允价值小于“期权有效期”。由此可见, 经理人提前行权对经理人股票期权价值有负面影响。

通过分析经理人股票期权的特点对其价值的影响可知, 运用计量金融市场上可自由交易的普通股票期权价值的B-S模型来估计经理人股票期权价值时, 对该模型的修改应体现在考虑经理人提前行权行为以重新估计期权有效期。一方面, 经理人提前行权将直接影响经理人股票期权价值;另一方面, 混合期权特性使得需要将经理人股票期权有效期分为行权等待期和行权期, 这实质也是通过期权有效期来影响期权价值的。

三、改进B-S模型的方法分析

前面分析了应用“期权预期期限”替代“期权有效期”以修改B-S模型, 那么如何确定期权预期期限呢?

美国学者Carpenter、Handcart和Lung20世纪80年代对员工行权行为的研究为确定预期期限提供了思路。 Car- penter (1998) 搜集和分析了从1979年至1994年40家企业的高级管理人员的期权行权行为资料 (所有这些期权都是10年有效期) 。他的统计结论是期权的平均等待期为1.96年, 平均行权时间是5.83年 (不包括等待期) , 行权时的股票价格是期权执行价格的2.8倍。 Handcart (1995) 和Lung (1995) 搜集和分析了纽约证券交易所和纳斯达克市场上8家不同行业和规模的上市公司的股票期权计划, 他们的研究对象包括企业的所有员工。结论是平均行权时间是3.4年, 行权时股票价格和期权执行价格的比例是2.2倍。

由以上可看出, 美国学者统计了40家公司的高级管理人员平均行权时间, 对比了经理人与普通员工行权时间的差别, 以及股价超过行权价多少时经理人或员工才愿意行权。笔者认为不同公司由于规模、盈利能力等不同, 所面临的风险、股价波动率自然也不同。而经营风险、股价波动率是影响经理人行权时间的重要因素, 统计多家公司经理人员行权行为得到经理人行权时间的经验数据是不恰当的, 企业只能依据自身过去实施股权激励的经验数据得出经理人平均行权时间。此外, 美国学者试图通过研究股价达到什么水平经理人才行权的做法, 最终并没实现确定经理人行权时间的意图。

但是, 美国学者对比经理人与普通员工行权时间的差别的做法, 让我们看到按经理人的风险偏好区别对待经理人的行权时间的必要。我国学者李维友 (2001) 认为期权的预期期限与期权持有人的行权行为是密切相关的。他指出, 把期权按照具有类似行权行为的经理人进行分组, 每一组计算出一个更准确的平均行权时间, 然后加权平均, 这样计算的期权预期期限充分考虑不同经理人不同的行权倾向, 将使期权公允价值的计算更为恰当。

由上述分析可知, 美国学者“对比经理人与普通员工行权时间”的思路是值得借鉴的, 我国可以把期权按照具有相似风险偏好的经理人进行分组, 估计每一组的平均行权时间, 然后加权平均, 计算出整个期权激励计划的期权的预期期限。在确定每个组的平均行权时间时, 企业应参考过去实施激励计划的经理人的平均行权时间, 同时考虑经济环境、经营风险、股价波动率是否发生了显著变化。

四、改进B-S模型的举例

某公司2008年12月1日授予经理人股票期权500份, 分三期行权, 第一个行权期为2009年12月1日至2010年12月1日, 行权比例为33%;第二个行权期为2010年12月1日至2011年12月1日, 行权比例为33%;第三个行权期为2011年12月1日至2012年12月1日, 行权比例为34%。

可看出该公司第一个行权期对应的期权等待期长1年, 行权期长1年, 有效期为2年;第二个行权期对应的期权等待期长2年, 行权期长1年, 有效期为3年;第三个行权期对应的期权等待期长3年, 行权期长1年, 有效期为4年。假定公司激励对象中估计风险偏向的经理人占30%, 非风险偏向的为70%。第一个行权期, 公司根据以往的经验数据估计有风险偏向的经理人行权时间在到期日行权, 非风险偏向的经理人在可行权日后6个月行权, 相应的, 第一个行权期对应的期权中, 30%的期权预期期限为2年, 70%的预期期限为1.5年, 加权预期期限为2×30%+1.5× 70%=1.65 (年) 。第二个行权期和第三个行权期对应的期权的预期期限计算方法类似。

需要指出的是, 上述方法考虑了不同风险偏向的经理人的行权时间不同, 但给公司留有选择空间。风险偏好和非风险偏好的经理人会在可行权日后什么时候行权, 不同的公司可能估计的时间不同。但如果为避免这一点而假定所有公司都假定经理人行权期内匀速行权, 对于行权安排相同的期权, 虽然每个公司得出期权预期期限相同, 但可能与公司过去实施激励计划的经验数据以及风险偏向假设不符。本文认为为了公允反映经理人股票期权价值, 如公司能不偏不倚, 考虑风险偏向的方法还是更为可取。

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人力资源期权定价模型篇6

巴黎期权是一种强路径依赖期权，近些年关于欧式巴黎期权的研究成果不少，但由于美式巴黎期权更为复杂，研究成果很少。在连续时间框架下，美式巴黎期权定价方法主要有风险中性定价方法和自由边界问题。Chesney和Gauthier[1]系统阐述了各种美式巴黎期权的类型，并通过将美式巴黎期权分解成相同参数的欧式巴黎期权和一块美式溢价部分来求解。他们将期权价格表达为实施边界的函数。这种方法的数值计算相当复杂。Bernard和Bernard和Boyle[2]运用带控制变量的蒙特卡罗方法计算敲入型美式巴黎期权。Jetley和Gustafson[3]的核心是用网格方法确定美式巴黎期权的最优边界，再用蒙特卡罗方法来计算欧式期权。但是这种方法在确定最优实施边界时相当繁琐，需要区别对待各种情况，实施起来有很大难度。Lonstaff和Schwartz[4]开创性地通过最小二乘回归方法求解条件期望并与立即执行该期权的支付进行对比来选择继续持有还是实施该期权。从而解决了蒙特卡罗方法无法计算美式期权的问题。本文正是在原有蒙特卡罗方法计算欧式巴黎期权的基础上借鉴了最小二乘蒙特卡罗方法处理经典美式期权的做法，从而可以将改进后的最小二乘蒙特卡罗方法用于计算美式巴黎期权。

实际应用中的巴黎期权多为美式巴黎期权，例如外汇巴黎期权。此外，一些混合金融工具或结构化金融产品中也有美式巴黎期权特征，例如，可转换债券的赎回条款、回售条款、转股向下修正条款都具有美式巴黎期权特征。研究[5]表明对巴黎期权条款的忽略或简化处理造成了不小的定价偏差，而只有相对准确的美式巴黎期权定价才能促进巴黎期权的实际应用。

本文运用自由边界问题研究连续时间框架下的美式巴黎期权定价，由于该自由边界问题无法得到解析解，因此采用有限差分方法进行数值求解。除此之外还采用前向打靶网格方法和最小二乘蒙特卡罗两种数值方法研究美式巴黎期权定价问题。接下来分析了障碍价格、窗口期、波动率等重要参数对期权价格的影响。此外，还验证了向上敲出巴黎期权和向上敲入美式期权的价格之和与经典美式期权价格之间的数值关系。

本文的创新体现在两个方面：在理论方面，首次采用自由边界问题研究了连续框架下的美式巴黎期权问题。在数值方法方面，首次使用隐性差分方法、前向打靶网格方法、最小二乘蒙特卡罗方法计算美式巴黎期权。

2 美式巴黎期权的连续时间模型———自由边界问题

对于美式巴黎期权，按持续时间可以分为连续型、累积型和窗口型三种形式。窗口型美式巴黎期权相当复杂，而与连续型巴黎期权相比，累积型巴黎期权相对比较简单，因此本文主要研究连续型的美式巴黎期权。考虑到看涨期权和看跌期权，美式巴黎期权也有八种形式：向上敲入看涨期权（以下简称APUIC），向上敲出看涨期权（APUOC），向下敲入看涨期权（APDIC），向下敲出看涨期权（APDOC），向上敲入看跌期权（APUIP），向上敲出看跌期权（APUOP），向下敲入看跌期权（APDIP），向下敲出看跌期权（APDOP）。

就美式巴黎期权的敲入或敲出特征和美式期权之间的相互作用而言，如果期权是敲入型的，在期权生效之前，期权不存在，而一旦期权敲入，该期权就是一个经典美式期权。因此对于一个敲入型美式巴黎期权的实施边界就是该期权生效后的相应的经典美式期权的实施边界。因此敲入型美式巴黎期权的定价较为简单。敲出型的期权要比敲入型的期权复杂很多，因为实施期权的动机———美式期权效应和失去期权的风险———敲出期权之间会相互影响。首先对于美式期权的情况，并没有所谓的敲入和敲出的对称性的存在。对于一个向上敲出美式看涨期权，如果障碍水平高于执行价格，却低于相应的经典美式期权的实施边界。这一期权的实施边界一定会严格低于障碍水平，因为一旦达到障碍水平，期权就失效了，变得一文不值。因此向上敲出看涨期权的边界是不同于经典美式期权的，因此经典美式期权的价格会严格高于敲入和敲出期权的价格之和。

对于看涨期权，向上敲出期权比向下敲出期权复杂，这是因为股票价格越高，期权的美式特征会促使该期权的实施，而股价越高期权敲出的风险越大，可以推测这两种作用博弈的结果在这种情况下多半会是期权提前实施，呈现出美式特征。而向下敲出期权时，这两种作用的博弈就没有如此激烈，因为股票价格越高，作为美式期权提前实施的动机越来越大，与此同时期权敲出的风险却越来越小，可以推测这种情况下，向下敲出期权在股票价格较高时会提前实施，但来自于期权敲出的风险的压力却不如向上敲出的期权的情况下那么大。看跌的情况正好相反，向下敲出期权要比向上敲出期权的情况复杂，原因类似。鉴于以上分析，本文研究最为复杂的向上敲出看涨期权。为了验证美式敲入和美式敲出期权价格之和与经典美式期权之间的关系，还需研究向上敲入看涨期权。

美式巴黎期权也是巴黎期权，对于其巴黎期权部分的处理，本文主要遵循Haber,Schonbucher和Wilmott(1997)[2]的思路，并采纳了宋斌等（2013)[6]给出的新的定解区域，将美式期权特征处理为自由边界问题。这里需要指出是由于自由边界问题和后面的两种数值方法有较大的差别，很难统一符号。因此若引入新的符号，将特别说明，未给出说明的，符号意义见前文。

2.1 欧式巴黎期权的偏微分方程（以下简称PDE)

八种类型的美式巴黎期权遵循的PDE各不相同，这里先给出向上敲出欧式巴黎期权的PDE及定解区域。τ表示标的资产价格在障碍水平之上连续时间的长度，那么对于向上的障碍，可以如下定义τ：

再根据连续巴黎期权的定义，可得

通过以上的分析可知，巴黎期权的价格可以表示为V(S,t，τ），巴黎期权价格所满足的PDE。

当S<L时，用V1(S,t）代替V(S,t，τ），

当S>L时，用V2(S,t，τ）代替V(S,t，τ），

方程（3）、方程（4）即为连续欧式巴黎期权价值满足的PDE。

根据宋斌等（2013)[6]可以得出连续向上敲出看涨巴黎期权的PDE，即方程（5）。

2.2 美式巴黎期权期权的自由边界问题

自由边界问题是指在期权定价中需要一个确定的分界线，把区域{0≤S<∞，0≤t≤T}分成两个部分，S(t）≤S的表示继续持有区域，另一部分S(t）≥S的是执行区域，其中S表示股票价格，T表示期权到期时间，t表示当前时间。对于有效期t=T的美式巴黎向上敲出看涨期权（以下简称APUOC），在持有区域内，其满足方程（3）和方程（4）。在执行区域满足V(S,t，τ）=（S-K）。即APUOC的定价，就是在持有区域内，找到一对函数V(S,t，τ）和S(t）使它们适用于定解问题，其中S(t）为自由边界。由于自由边界必须作为方程的一部分进行求解，APUOC的定价变成复杂的非线性问题。

在t时刻期权的支付函数V*=max(St-K,0），此时只有当V*大于等于理论期权价值V(S,t，τ）时，持有者才会提前执行期权，执行期权后V(S,t，τ）=V*，当期权价值V(S,t，τ）>V*时，则期权不会被实施。如在该时刻选择继续持有期权，当S<L时，期权价格满足方程（6):

在该区域，美式巴黎向上敲出看涨期权可以表述为如下问题：

当美式期权存在于持有区域时，不等式（7）中的等式成立。另一方面美式期权的价值总是高于其内涵价值，在持有区域，高于其内涵价值，在执行区域等于其内涵价值。也就是说在其执行区域，不等式（8）中的等式成立。既然股票价格不是在持有区域就是在执行区域，因此上述这组变分不等式中总有一个等式成立，因此可以得出：

当S>L时，期权价格满足方程（10):

同理可以得出，在该区域，美式巴黎向上敲出看涨期权可以表述为如下问题：

这类问题可以通过有限差分方法来计算。在后面的数值计算中采用隐性差分方法来计算美式巴黎向上敲出看涨期权。

2.4 数值分析———隐性差分方法

下面计算美式巴黎向上敲出看涨期权的价格。具体参数见表1。为了便于比较各种数值方法，后续计算均采用这一组参数。

当期权的敲出条件和和期权的提前实施条件同时满足时，假定美式期权的提前实施要先于期权的敲出。运用Matlab软件计算期权价格，可以得到当初始股价为16元时，美式向上敲出看涨期权的价格为8.2205元，而相应的欧式向上敲出看涨期权的价格仅为2.9349元，相同参数下的经典美式看涨期权的价格为8.3902元。为了便于比较，图1绘制了经典美式期权、向上敲出美式巴黎期权和向上敲出欧式巴黎期权，图中的横轴是股票价格，纵轴是期权价格。从图1可以看到，当股票价格在10元以下时，三种期权的价格几乎一样。在此之后，美式巴黎期权和经典美式期权价格随着股价上升而上升，相差很小，直到16元附近，两者才有一些差距。由此可见，对于向上敲出美式巴黎期权，其美式期权的特征要远远明显于它的巴黎期权特征。而对于欧式巴黎期权，由于无法提前实施，在股价处于13元和14元之间的某个价格时，期权价格达到一个最高值，随后随着股价的上升，敲出风险越来越大，期权价格呈现不断下降趋势。

3 美式巴黎期权的数值方法

3.1 前向打靶网格方法

下面采用前向打靶网格方法计算美式巴黎期权。由于前向打靶网格方法是对三叉树模型的改进，因此也可以将前向打靶网格方法称之为美式巴黎期权的离散模型，由于后面还要阐述最小二乘蒙特卡罗方法，因此将其统称为美式巴黎期权的数值方法。巴黎期权是强路径依赖期权，在运用三叉树模型进行数值计算时，需要考虑路径因素。这里引入路径函数Ft=F(S,t），这个函数规定了路径依赖的特征。为了反映路径相关性对于期权价格的影响，需要找出每个节点上所有可能的Ft对应的期权价格。由于路径函数具有马尔科夫性，可以利用Ft和St+Δt计算出。这里需要指出的是F(S,t）不能随着三叉树步长数目的增加而增长太快，否则将影响数值格式的计算效率。这种方法就是Hull和White[7]提出的前向打靶网格方法，在树的每个节点增加一个辅助向量来模拟Ft和St的相关变化。

这里主要改进Kwok和Lau[8]中的前向打靶网格方法并用来计算美式巴黎期权，采用的是三叉树模型，pu,pm和pd分别表示股票价格向上、不变和向下的概率。用Vjn,k表示第n个时间节点上巴黎期权的价格。j表示股票价格从初始时刻之后的n步变化中向上跳的次数，而k表示增加的状态变量，Ft表示三叉树节点上（n,j）新增状态变量Ft各种可能取值的数目。令A表示Ft和St在Δt时间内的相关性的函数，即

令a(k,j;n）为网格函她，它是相关性函数的离散版本。前向打靶的三叉树格式可以表示

前向打靶网格算法的关键是明确网格函数。对于连续型巴黎期权，设M表示离散状态下巴黎期权需要达到的触碰次数，是巴黎期权窗口期的离散计数，以判断期权是否敲入或敲出。令k表示到目前为止的触碰数，是一个正整数。B表示向下敲出期权的障碍水平。如果在一个时间不长内股票价格下穿障碍水平，k就增加1，否则保持不变。而且这里只统计股票价格在敲出区域的连续次数，一旦股票价格离开敲出区域，计数就清零，因此恰当的网格函数为：

根据上述算法可以算出每个节点上的欧式巴黎期权。由于是三叉树离散模型，因此只需要在每个节点上将计算出的欧式巴黎期权与立即执行期权的支付相比后取较大值，再递推到期初，就可以得到相应的美式巴黎期权的价格。同样采用上述的参数，当把时间步长剖分为30格时，运用Matlab编程计算得出股票初始价格为16元时，向上敲出美式巴黎期权的价格为8.0000元。比有限差分算出的价格8.4925元略低。如果增加三叉树模型的期数，也就是将网格剖分的更细，结果会更接近有限差分的计算结果。但采用打靶网格的三叉树模型计算时时间步长过细，会大大增加计算量。由此可见，前向打靶网格的三叉树模型是不太适合计算具有强路径依赖特征的美式巴黎期权的，呈现出明显的“高维诅咒”现象。

3.2 改进的最小二乘蒙特卡罗方法

通过改进最小二乘蒙特卡罗方法可以将其用于美式巴黎期权定价。使用经典最小二乘蒙特卡罗方法生成一定数量的样本路径后，依然采用逆向求解思路，在每一个时点处比较立即行权收益与继续持有期望收益以找到最优实施时点。只是巴黎期权特征的存在，使得要时刻关注期权是否被敲入或被敲出。在计算每个时点处立嫉执行的收益时，需要判断巴黎期权是否被敲入敲出，若期权尚未敲入（已敲出），则立即执行的收益确定为0。例如，对于一个美式巴黎向上敲出看涨期权，在任意一个tj时刻，立即执行期权的收益为．虽然相比经典的美式期权，敲入敲出的行权条件会明显影响期权的实施，但将未敲入（已敲出）的期权执行收益确定为0，最小二乘蒙特卡罗法通过比较立即执行收益与继续持有期权收益取优，会确保敲入型巴黎期权在敲入后才被实施，而尽可能使敲出型的期权在敲出前在一个相对最优时刻就被实施。为了得到更精确的估计结果，在使用最小二乘蒙特卡罗方法对条件期望进行估计时，只需保留实值路径及已敲入（未敲出）路径。改进后的最小二乘蒙特卡罗法可以用于计算各种美式巴黎期权，表现出很大的灵活性，而且不存在高维诅咒问题，因此该方法是计算美式巴黎期权良好选择。

4 数值方法比较与敏感性分析

4.1 数值方法比较

现在比较分析隐性差分、前向打靶网格方法、最小二乘蒙特卡罗三种数值方法的计算结果，并分析不同参数变化对美式巴黎期权价格的影响。为了清晰反映欧式巴黎期权和昧式巴黎期权的差别，对每种方法均都给出欧式巴黎期权和美式巴黎期权的计算结果。只是在计算欧式巴黎期权时采用的是标准蒙特卡罗方法。具体计算结果见表2。

和理论分析一样，由于是向上敲出看涨巴黎期权，无论是欧式期权还是美式期权，期权的价格都随着障碍价格的上升而使得期权敲出的风险下降，因此期权价格上升。与此类似，窗口期越长，期权越不容易满足敲出要求，因此期权价格越贵。只是美式巴黎期权对窗口期的增加不如欧式巴黎期权那么明显。对于波动率而言，其他参数相同的情况下，由于计算的是向上敲出美式看涨期权，波动率越大，敲出的风险越大，因此期权价格越低。此外，其他参数相同的情况下，美式期权都要高于欧式期权，而且两者的差距十分明显。

4.2 敏感性分析———向上敲入美式巴黎期权

下面分析障碍价格，窗口期对向上敲入看涨美式巴黎期权的影响，与有限差分和前向打靶网格方法相比，最小二乘蒙特卡罗方法最为灵活，适用于各种类型的美式巴黎期权，因此这里采纳最小二乘蒙特卡罗方法进行数值计算。具体计算结果见表3。其他参数与表1的参数保持一致。

从表3的计算结果可知，障碍价格越高，期权越不容易敲入，因此期权价格越便宜。其他条件相同，窗口期越长，期权敲入的条件越不容易满足，越不容易敲入，因此期权价格越低。由此可见，障碍价格和窗口期和向上敲入看涨美式巴黎期权的价格呈现反向关系。为了形象地看到敲入型和敲出型看涨美式巴黎期权的区别，分别绘制障碍价格，窗口期对向上敲出看涨美式巴黎期权期权和向上敲入看涨美式巴黎期权期权的敏感性分析图形。具体见图2和图3。

4.3 验证敲出看涨美式巴黎期权和向上敲入看涨美式巴黎期权的价格之和与经典美式期权之间的关系

下面验证向上敲出看涨美式巴黎期权和向上敲入看涨美式巴黎期权的价格之和是否等于相同参数下的经典美式期权价格，其他参数如表1，具体计算结果对比见表4。

从表4的计算结果可知，无论障碍价格是低于还是高于初始股价16元，向上敲入和向上敲出看涨美式巴黎期权的价格之和都大于经典美式期权的价格。只是两者价格的差距随着障碍价格的上升而越来越小。原因在于障碍价格越高，向上敲入期权的价格越来越小，而向上敲出期权，由于执行价格低于初始价格，其美式期权特征十分明显，提前实施的可能性极大，因此价格十分接近于经典美式期权，从而两者的价差逐步减小。本文得出的美式巴黎期权的这一价格关系与Chesney和Gauthier[1]的结论不符。该文认为经典美式期权价格严格大于向上敲出看涨美式巴黎期权和向上敲入看涨美式巴黎期权的价格之和。为了排除数值方法的问题，采用同样的方法验证了向上敲出看涨欧式巴黎期权和向上敲入看涨欧式巴黎期权的价格之和等于相同参数下的经典欧式期权价格。相同情况下，向上敲出看涨欧式巴黎期权的价格为2.7838元，向上敲入看涨欧式巴黎期权的价格为5.6640元。两者的之和为8.4706元。而相同参数下的经典欧式期权为8.3902元。两者的结果相当接近，考虑到计算误差，可以认为两者是一致的。这可以侧面证实本文的数值方法的合理性。这里需要指出的是Jetley和Gustafson[3]中研究了向下敲入和向下敲出看跌美式巴黎期权的价格，数值计算结果表明两者之和同样大于经典美式看跌期权，与本文的研究结果是一致的，由此可以质疑Chesney和Gauthier[1]的结论。也许是关于美式巴黎期权的内涵不同，导致了不同的结论。本文中巴黎期权没有敲出之前，美式期权是时刻存在的，这符合美式巴黎期权的本质，也进一步反映出了敲出美式巴黎期权的复杂性。

5 结论与展望

本文系统研究了美式巴黎期权的定价模型及其相应的数值方法。美式巴黎期权的自由边界问题由于需要分别推导不同类型的巴黎期权，显得比较繁琐。前向打靶网格方法来源于三叉树模型，比较直观，但在计算美式巴黎期权这种强路径依赖期权时，需要处理额外的路径函数，计算量很大。当路径函数涉及到的状态很多时，计算效率迅速下降，实用性很差。最小二乘蒙特卡罗方法起源于美式期权，虽然它的收敛性较差，但它用于计算美式巴黎期权时较好地回避了路径函数的处理问题，思路简洁明了，利于算法和编程实现。该方法最大的优势在于适用于计算各种类型的美式巴黎期权。

对于向上敲出看涨美式巴黎期权，股票价格、障碍价格、窗口期和期权价格成正向关系，和波动率成反向关系。对于向上敲入看涨美式巴黎期权，结论正好相反。研究结果还表明，向上敲出看涨美式巴黎期权和向上敲入看涨美式巴黎期权的价格之和要远大于相同参数下的经典美式期权价格，这与Chesney和Gauthier[1]的结论不符。采用相同数值方法计算向上敲出看涨欧式巴黎期权和向上敲入看涨欧式巴黎期权价格，两者之和等于相同参数下的经典欧式期权价格，验证了本文中数值方法的正确性。此外文中的三种数值方法的计算结果比较接近，也从侧面验证了各个数值方法的合理性。篇幅所限，本文没有深入研究各个数值方法的收敛性、计算精度和计算成本，留待以后详细研究。

摘要：给出了连续时间框架下美式巴黎期权的自由边界问题的表达式并运用有限差分进行计算,此外还运用前向打靶网格方法和最小二乘蒙特卡罗两种数值方法研究美式巴黎期权的定价问题。计算结果表明向上敲出看涨美式巴黎期权价格与障碍价格、窗口期和期权价格成正向关系,和波动率成反向关系。对于向上敲入看涨美式巴黎期权,结论正好相反。研究结果还表明,向上敲出看涨美式巴黎期权和向上敲入看涨美式巴黎期权的价格之和要远大于相同参数下的经典美式期权价格,三种数值方法的计算结果都比较接近,验证了各个数值方法的合理性,为美式巴黎期权的进一步应用奠定了基础。

关键词：美式巴黎期权,有限差分,前向打靶网格,最小二乘蒙特卡罗

参考文献

[1]Chesney M,Gauthier L.American Parisian options[J].Finance and Stochastics,2006,10(4):475~506.

[2]Bernard C,Boyle P.Monte Carlo methods for pricing discrete Parisian options[J].The European Journal of Finance,2011,17(3):169~196.

[3]Jetley G,Gustafson M.A hybrid approach to valuing American parisian options[Z].Available at SSRN 998599(2007).

[4]Longstaff F A,Schwartz E S.Valuing American options by simulation:A simple least-squares approach[J].Review of Financial Studies,2001,14(1):113~147.

[5]龚朴,蒙坚玲,何志伟.具有巴黎期权特性的可转债有限元定价和策略分析[J].系统工程,2007,25(12):63~69.

[6]宋斌,周湛满,魏琳,张冰洁.巴黎期权的PDE定价及隐性差分方法研究[J].系统工程学报,2013,28(6):764~774.

[7]Hull J C,White A D.Efficient procedures for valuing European and American path-dependent options[J].The Journal of Derivatives,1993,1(1):21~31.

简析期权的三种定价模型及其应用篇7

期权是一种能在未来特定时间以特定价格买进或卖出一定数量特定标的权力, 即期权交易是一种权力交易。如今在世界各国期货市场上, 几乎所有的商品期货都有与之对应的期权交易。期权交易是在期货交易基础上产生的一种新的衍生品, 是一种有效的风险管理工具, 它具有较高的投资价值和独特的经济功能, 可以构成多种不同交易策略, 对期货、现货交易具有极其重要的作用。而期权的价格是期权交易的核心, 因此, 研究期权定价模型既有理论意义又有使用价值, 应当深入研究。

二、期权定价模型介绍及其应用

(一) B-S期权定价模型

介绍:首先假设标的价格服从标的价格波动率和预期收益率为常数的几何布朗运动, 即

原理:通过卖出一手看涨期权, 买入份股票, 构造了一份无风险投资

由无套利原理可知, 该组合的收益率和无风险投资的收益率相同, 即

应用:印度国家证券交易所 (NSE) 采用B-S模型为S&P CNX Nifty指数期权提供参考价。

(二) Black (76) 期权定价模型

介绍:由Fischer Black在1976年的《商品和约的定价》一文中首次详述。主要针对期货期权进行定价。

原理:通过建立无套利模型得出。

应用:LME是世界上最大的有色金属相关的期货、期权交易所, 主要使用Black-76模型为期权定价。

(三) 二叉树期权定价模型

介绍:由Cox, Ross和Rubinstein (1979) 提出, 进而将其发展成为对美式期权甚至奇异期权的基础定价方法。

原理:分支树法 (Tree Approach) , 欧式二叉树解析解收敛于B-S解释解。

应用:韩国证券期货交易所 (KRX) 对于KOSPI 200期权采用的是二叉树定价方法, 也是大多数交易所做市商时普遍采用的方法。

三、定价模型对比及应用建议

由于定价模型自身的定价原理, B-S定价模型的优势在于它的解析解是封闭的, 计算速度快而精确;劣势是他不能计算美式期权。Black (76) 定价模型也具有封闭解析解, 计算速度快的优势, 但是它的可用范围受限, 只能计算欧式期权。最后, 二叉树定价模型的优点很容易看出:方法简单易懂, 同时具有扩展性。但是它的缺点是:增加了步长个数, 模型收敛度强精度得到提高, 但是计算耗时大大增加;如果减少步长个数, 可以减少计算时间, 但是精度却又降低了。

在期权交易过程中, 我们只有选择了合适的定价模型才能得到理想的结果, 所以我们在选择定价模型时应当根据所掌握的的各种资源和实际情况来进行选择和权衡, 以获取理想的效果和收益

摘要：期权是在期货的基础上产生的衍生性金融工具, 期权价格是期权合约中唯一随供求关系而变化的变量, 它直接影响到交易者的盈亏状况, 是期权交易的核心.本文简单介绍了B-S定价模型, Black (76) 定价模型, 二叉树定价模型, 以及这三种定价模型的优缺点。

关键词：B-S定价模型,Black (76) 定价模型,二叉树定价模型

参考文献

[1]John Hull, 期权、期货和其他衍生产品[M], 北京:华夏出版社, 1999。

人力资源期权定价模型篇8

在17世纪30年代的“荷兰郁金香热”时期, 郁金香的一些品种堪称欧洲最昂贵的花卉。1635年那些珍贵品种的郁金香球茎供不应求, 加上投机炒作, 致使其价格飞涨20倍, 成为最早有记载的泡沫经济。同时, 这股投机狂潮开启了真正的期权交易的大门。郁金香交易商向种植者收取一笔费用, 授予种植者按约定最低价向该交易商出售郁金香球茎的权利。此时, 郁金香交易商通过支付给种植者一定数额的费用, 以获取以约定的价格购买球茎的权利。这就是人类历史上最早的期权交易, 即出现了期权交易的雏形。

2股票期权

3 支付连续红利的期权定价模型

在漫漫历史长河中, 我们经历了期权的开始, 期权交易发展到现在, 已经较为完善, 其中Black-Scholes-Merton公式对期权定价作出了准确的定义, 这个定价公式在不支付红利的情况下定价非常准确, 在现实生活中, 我们用的最多的期权定价往往都是含有连续红利支付的期权定价, 因为这样我们才能得到该支付的红利, 从而了解我们即得的利益。在此问题上, 我将期权定价的价格进行连续红利化处理, 得到以下模型。

3.1 模型假设

(1) 短期利率r是已知常数。

(2) 股票价格St服从几何Brown运动d St=μStdt+σStd Bt。

(3) 其中μ是股票的期望收益率, 而σ是波动率, 因此在每个有限的时间区间的终点, 可能的股票价格服从对数正态分布。

(4) 股票不分配红利和其它收益。

(5) 期权是欧式的, 即只能在到期日T执行。

(6) 买卖股票或期权时没有交易费用, 买卖股票或期权时可以买卖任意份额。

(7) 允许以短期利率借或贷。

(8) 假设标的现价为S, 并且以红利率q连续支付红利。

3.2 模型的建立

在一个有效期为T-t的欧式期权定价时, 如果标的资产以连续红利率q支付红利, 则我们可以把股票现价由S减小到Se-q (T-t) 带入标准情形下的Black-Scholes-Merton公式就可以得到下面的两个定价, 即欧式看涨期权和欧式看跌期权的定价公式:

3.3 带连续红利的期权定价公式

即

4 实证研究:中石油股票期权定价

4.1 中石油股票简介

中石油自上市以来价格处于下跌趋势, 从开盘日的48.60元每股到31日的9.88元每股, 期间虽然有起伏, 但跌多于涨, 并无明显逆转。这与世界性的经济危机、政治变革、中国经济环境和公司经营状况有着密切联系。

如果说调整幅度最大的品种非中石油莫数了, 这支让众多散户伤心的“亚洲最赚钱”的上市公司, 已经从当初高高的48.62元, 狠狠的摔到了9.88元, 这支大蓝筹也让众多投资者包括像杨百万一样的股神深套其中。大家都看好该公司的基本面和长远的投资价值, 中石油跌至10元以下, 甚至破发行价才是最好的投资买入点。而笔者认为, 中石油在新股上市第一天由于疯狂恶性炒作使其首日定价过高, 股价回归自身价值是正常的。从技术形态看, 在下跌的漫长过程中, 共形成过4个技术支撑平台, 尤以30元附近的支撑平台较为强劲, 后受美股影响股价才开始继续向下不断破位, 经过长期的调整, 形成了4个跳空缺口, 空方力量大大削弱。从量能看, 经过一段时间的缩量调整后, 近期开始出现明显的量能释放, 加之周边股市的不断转强, 公司基本面以及业绩预期的不断向好, 以及股价在不断下跌后投资价值的不断显现, 近期盘中不断出现有机构大笔买入的迹象。历经三个多月的漫长调整, 该股自上市之后还从未有大幅炒做过, 加之市场对该股始终的高度关注, 这也为该股的炒做提供了条件。

中石油2012年12月份的开盘数据表如表1所示。

根据中石油2012年12月份股票开盘数据, 可以算出这份期权的样本均值 (连续复利率的样本均值μ) , 样本标准差 (波动率σ) 。

4.2 中石油股票指数期权定价

假设目前中石油指数为4000点, 指数的连续红利率为4%, 无风险利率为8%, 该股票的日波动率为0.065%, 该指数的欧式看涨期权和看跌期权的执行价格为4100, 有效期为5个月。 (假设每一点值1元, 每份期权合约对应1份指数)

第一步

得

第二步N (0.65) =0.7422 N (0.61) =0.7291

N (-0.65) =0.2578 N (-0.61) =0.2709

第三步代入期权定价公式, 得到中石油看涨期权价值和看跌期权价值分别为:

5 小结

本文通过对期权的研究意义的了解, 在深入探究期权定价的同时, 掌握期权定价的基本模型, 这个模型是不支付红利的期权定价模型。在现实中, 人们对期权的应用, 往往都是带有连续红利的期权, 所以笔者研究了支付连续红利的股票指数期权定价模型, 并且将其应用到中石油的实证研究中, 求得简单的支付连续红利的中石油的股票指数期权定价。在这个论文模型中, 由于数据的处理的不得当, 可能导致数据的不准确, 希望以后能在此基础上, 能将数据处理更准确些, 从而减少为客户带来的不便。

参考文献

[1]奚李峰, 乐安波, 彭勃, 等.金融数学[M].北京:清华大学出版社, 2011.

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[3]唐亚勇.金融数学基础[M].北京:科学出版社, 2012.

[4]Martin Baxte.金融数学叶中行[M].王贵兰, 林建忠, 译.北京:人民邮电出版社, 2006.

[5]Alison Etheridge.金融数学教程[M].张寄洲等, 译.北京:人民邮电出版社, 2006.

人力资源期权定价模型篇9

股权激励在西方国家尤其是美国,已经得到了广泛的应用。但是在我国,股权激励作为一种年轻的激励方式,仍然存在很多不完善的地方。出现这些问题的重要原因之一是由于薪酬契约中固定行权价格所存在的诸多弊端。

1. 传统的行权价格模型中,股票市场价格是唯一的变量,这样行权价格制定不合理就可能造成两种不良后果:1当行权价格过低时,经理人会认为即使不努力也可以轻易获得可观的收益,那么股权激励就无法达到其原始的激励目的,会变成一种纯福利的发放。2当行权价格过高时,会出现两种可能的结果:第一,经理人认为不管怎样努力都不可能使公司股票价格高于行权价格,因此在开始就会放弃行使股票期权,这样股票期权同样会失去激励效果;第二,经理人认为要获得股票期权的收益就必须在短期内提高公司股票价格,因此容易追求片面的短期利益,从而引发道德风险,通过信息披露不法手段去操纵股价。毫无疑问,这两种结果都违背了股权激励的初衷,甚至出现了反效果。

2. 由于我国股票市场的弱势有效性,固定行权价格的一个致命弱点是不能控制由于市场环境变化带来的股票价格的升降,从而不能反映经理人的努力程度。当股市处于牛市时,股票市场大盘攀升,带动企业的股票价格大幅上升,持有股票期权的经理人尽管并没有付出多大的努力,但是仍然可以获得巨大的收益,这就背离了股票期权的激励目的。而当股市处于熊市时,股市大盘跌落,尽管局部企业业绩较好,但受市场影响,其股票市价也不能做出正常的体现,股票价格与公司实际的价值严重偏离, 这个时期公司股票价格低迷并不是由于经理人的努力程度不够,而是由于系统风险造成的,这时经理人的努力付出就得不到回报,无法达到激励效果。

3. 行权价格固定化难以对经理人真正的业绩加以激励。经理人的业绩包括了两部分:一是基于行业、规模等因素所获得的业绩;二是基于经理人自己的努力程度而获得的业绩。这两者如果不加以区分,而用公司整体的业绩去衡量经理人的努力程度就会有失公允。

由于管理层的股权激励收益来自于股权激励契约的行权价格与股票出售时市价之间的差额,行权价格就成为股权激励契约设计中的关键要素。在行权价格固定的前提下,这个差额大小取决于股票出售时的市价,并假定股票市价的高低代表了管理层的努力程度。市价由市场决定,行权价格作为股权激励契约的要素之一,其合理与否在很大程度上决定着股票期权激励的有效性。固定的行权价格确定方法在现实中存在着很多问题,容易削弱股票期权激励的正面效应甚至出现反效应。而本研究试图解决这个难题,假定行权价格可以随着证券市场的波动而做出相应调整,则在一定程度上克服了股票期权固定执行价格的缺陷。

基于以上分析,由于高管的股权激励收益主要来自于行权价格与行权时市场价格的差额,本文主要从两方面入手解决上述问题。第一,制定行权价格时,采用动态股票期权定价模型,而不是使用固定行权价格,使行权价格与企业的业绩充分挂钩。第二,在模型中,加入市场价格波动的调整因子,使行权价格能随着市场价格的波动而波动,使激励收益更加客观化。

二、文献回顾

国外学者很早就发现了固定执行价格股票期权的缺陷,并做了一系列的研究试图解决这个问题。Rappaprot首先提出可以通过行权价格动态化来解决。他率先提出了将股票期权的执行价格与行业指数或市场指数联系起来消除系统风险的股票期权指数化思想。Shane A.Johson提出了多指数绝对指数股票期权,即股票期权的执行价格不是与一种指数相联系,而是与多种指数相联系起来。

而我国近年来由于股票期权激励的逐步普及,学者们才逐步开始关注这一领域。由于与国外的股票市场不同,我国的股票市场尚年轻,市场机制也不够完善,股票价格容易剧烈波动,因此学者们试图寻找适用于我国经济环境背景下的模型来对股票期权进行定价,以解决股权激励中由于系统因素所带来的激励失效等问题。严武提出了四种经理股票期权行权价格的确定方法,对现有的股票期权的执行价格进行了调整,以消除部分系统风险。唐鑫炳设计了成长性指标、规模指标和股价指标,并以此构造了行权价格定价模型。而经过更加深入的研究, 聂丽洁、王俊梅、王玲率先引入业绩评价指标EVA和相对绩效评价方法,创新性地将经理人的激励报酬和业绩贡献、行业分类指数的变动联系在一起。朱久霞考虑了股市行情变化对股票价格产生的影响,将股票行权价格与股价指数相联系,设计了基于相对EVA和相对股价指数的行权价格模型。

基于前人的研究以及现实出现的问题,本文认为建立更贴近现实问题并且更易于计算和操作的股权激励方案是必要的。上述文献说明建立基于业绩的动态股票期权定价是可行的,问题的关键是尽可能全面地考虑影响股价的系统因素,特别是中国制度背景的特定因素。本文受到前述的有关基于相对绩效评价建模文献的启发,认为不仅仅是行业因素对股票价格波动有影响,在中国的市场大环境下,企业的规模和所有制结构也对企业股票价格波动有着不可忽视的影响,因此在建立股票期权定价模型时,还应该剔除掉不同规模和不同所有制结构的因素影响。

除此之外,所有前人所做的研究都没有充分关注的是,制定股票期权激励契约是股东的行为,因此还应该考虑到股东的心理行为。基于前景理论,本文发现多数模型只是做了股东决策过程的第一阶段,而忽略了股东决策的第二阶段即评估决策,因此启发我们在研究中还需加入一个股东由于参考点变化而导致的心理行为变化的参数。

三、基于EVA的股票期权动态定价模型

(一)基于EVA的股权激励行权价格定价的基本动态模型

聂丽洁、傅元略(2004)提出将EVA绩效评价指标与股权激励相融合,以达到对经理人进行长期激励的目的。本研究受其影响与启发,也采用EVA折现模型,假定经理绩效考核期为n年,EVAt表示第t年的经济增加值,是股东权益Et和EBIT的函数,可写成公式:

其中EBITt是企业息税前利润,Zt是t期的平均资产, Et是t期的平均权益资本,T是企业所得税率,I是企业举债的平均利率,r为股东权益资本成本,假定股东和经理人都是风险中性的,股东权益资本成本是一个常数r∈[0, 0.2]。

在实际业绩评价中,利用EVA折现模型容易得到如下的企业经济增加值现值(MC):

假定授予股票期权当日的股票价格为P0=K×B,并设g是财务预算绩效增长率,将它视为股票价格增长率,r是股东权益资本成本,期权年限为n。下面构造股票期权行权价格的确定模型:

其中,B为每股净资产价值,d为股利发放率,g为股价增长率(假定在考核期内股价保持稳定增长,其增长率与每股净资产增长率g相同),b为市场稳定期的企业股票市价与每股盈利的比率(市盈率,Price Earning Ratio),但不超过此指标的行业平均值,N为发行的股票数量。

从上述模型中可以看到,只有当经理人的努力确实让企业的绩效有所增长,即MC>0时,经理人才能从股票期权中获得收益,且MC越大,即努力程度带来的绩效越大,经理人所能获得的收益越大。

(二)考虑行业、规模、所有制结构的多指数化期权定价模型

1. 由于上市公司股票期权合约的标的股票必然受到市场系统因素的影响,因此在设计股票期权的时候,我们需要区分哪些是影响股票价格的系统因素。而指数期权正是通过构建随股票市场涨跌而自动调节指数期权执行价格的机制来解决股票市场弱有效性对经理指数股票期权的影响。据此,我们可以在股票期权执行价格基本定价模型的基础上,构建剔除行业、规模以及所有制影响的多指数化期权定价模型。

(1)行业因素。首先,从我国股市的具体运行来看,不同的行业由于行业景气度不同,行业指数的增长速度也不一样,因此我们可以将处于某一行业中某一企业股价增长中扣除该行业行业指数的增长带来的系统性影响之后的剩余影响作为是经理人努力的结果,并以这一剩余影响为基础设计股权激励方案。

据此,提出假设1:股票价格的波动与行业因素有关。

(2)规模因素。同样,不同规模的企业其增长速度也不一样,如大企业的增长速度较小企业的增长速度要慢得多,以大盘指数为例,如某一企业属于大型企业,从股票价格的增长中扣除大盘增长因素之外的价格增长,应当是由经理人员的工作努力带来的价格增长,经理人员应当按照这部分增长获得股票期权。

据此提出假设2:股票价格的波动与企业规模有关。

(3)所有制结构因素。若以所有制结构来区分的话,不同所有制类型的企业,其增长速度不一样。

据此提出假设3:股票价格的波动与企业所有制结构有关。

2. 根据以上三个假设,可以构造如下股票期权执行价格确定的模型。假定授予股票期权时日的股票价格为P0,那么股票期权的行权价格可按如下公式确定:

其中,K=λ1K0+λ2K1,K1为该行业市场稳定期的该企业的市价账面比率,K0为授予股票期权日本企业年末市价与账面净资产的比率,λ1、λ2为K0、K1的权重,且有:λ1+ λ2=1,B为每股净资产价值,d为股利发放率,g为股价增长率。假定在考核期内股价保持稳定增长,其增长率与每股净资产增长率g相同。大型企业指流通股超过5亿股的企业,中小企业主要是指流通股不超过5亿股的企业。

PER(市盈率,Price Earning Ratio)为市场稳定期的企业股票市价与每股盈利的比率,但不超此指标的行业平均值,N为发行的股票数量。

这样从改进的模型可以看到,当股票市场出现大幅度的波动时,由于K1会随着股市的价格变动而变动,因此行权价格也会随着市场的波动而调整。当股市处于牛市时,行权价格上升;当股市处于熊市时,行权价格下跌,这样就在一定程度上解决了由于股市波动所带来的对经理人激励效率过低甚至出现反效果的问题。同样的,参数R1和参数R2也会分别随着企业规模不同和所有制结构的不同而对行权价格进行适当的调整,这样就能剔除企业规模因素和所有制结构因素为不同企业高管带来的不公平的激励收益的影响。

四、基于股东定价决策心理的多指数化期权定价模型构建

近年来,大量国内外实证研究表明人们进行决策时, 会受各种复杂因素的影响,包括自己的心理因素。众多学者进行了大量实证研究,并构造了前景理论来解释这些现象。前景理论(PT)首先由国外学者Kahneman和Amos Tversky(1979)在期望值理论和期望效用理论的基础上结合自己的大量心理学实证研究明确的提出。他们认为人的决策过程分为两个阶段:随机事件的发生以及人对事件结果及相关信息的收集和整理为第一阶段,评估与决策为第二阶段。并且认为人们通常不是从财富的角度考虑问题,而是从输赢的角度考虑,关心收益和损失的多少。

基于前景理论的研究,模型(5)只是做了股东决策过程的第一阶段,下面基于参考依赖理论加入股东的一种行为心理,构建股东决策的第二阶段,即评估决策。ManelBaucells等学者发现一段时间内的某些价格会作为参考点对之后的决策行为产生显著影响。而在模型(5)中,所选取指标都只考虑了授权日与行权日的数据作为参考,并且假设股票价格是恒定增长的,这是为了便于计算,但实际上股价是波动的,并且对于股东来说,自己公司的股价波动的幅度大小对股价是会产生不同的效用的。

据此提出假设4:股东指定的执行价格的参考点与近期股价有关。

根据假设4,本部分加入一个股东由于参考点变化而导致的心理行为变化的参数PMAX,它表示在行权日前13周内企业股票价格的最大值,并在计算时赋予它权重ω2, 对于上述模型中所求得的P1'赋予权重ω1,并且有关系式ω1+ ω2=1。那么进一步改进后的确定行权价格的动态模型为:

那么经理人的每股股票期权收益可表示为:

从上式可以看出,只有当MC大于0,即高管人员的努力确实使公司的业绩有所增长时,他们才能从股票期权薪酬中获得收益,并且努力程度越大,公司业绩增长的越多,所获得的利益就越大。由于我国股市板块效应比较明显,不同行业之间的股票价格差异很大,因此加入了行业因素调整因子K,当该行业股票市场处于牛市,且股票上涨速度相对较快时,行业因素调整因子能使股票期权行权价格波动中和一部分,使得不同行业的股票期权收益不会相差太大,对于处于熊市股票价格下降较快的行业也有同样的调整作用。

而规模调整因子R1与所有制结构因素调整因子R2对不同规模不同所有制结构的股票价格涨跌幅度的不同所带来的不公平待遇做出了适当调整。原理同行业因素调整因子一样,不同规模与不同所有制结构的企业成长速度也不一样,它们的股票价格的波动幅度也会相差较大,例如大规模的企业增长速度会比小规模的企业慢很多,而国企与民企的股票价格增长速度也会不同,会随着时间与国家政策的变化而各自变化,因此规模调整因子R1与所有制结构因素调整因子R2能够调控这些系统性影响因素,解决受到股权激励的经理人由于受到系统因素影响而遭到不公平待遇的问题。

五、结论

由上述分析可知,由式(6)所得到的基于EVA的多指数化行权价格定价模型相对已有的模型更加全面,可行性也更高。

第一,基于EVA的动态期权模型能够有效剔除系统因素对股价的影响,防止了股市暴涨时,由股票期权造成的股东权益的流失,也防止了股市暴跌时出现经理人付出的努力没有回报而导致的激励失效的现象。

第二,与固定行权价格的模型不同,利用本模型,经理人所获得的股票期权收益并不是唯一地随着市场股票价格的变化而变化,因此有效地控制了经理人为牟取暴利而采取损害公司利益的行为或者是违法行为,从而降低了管理层道德风险发生的几率。

第三,本模型的一个重要创新在于加入了一个描述股东由于参考点变化而导致的心理行为变化的参数,使股权激励契约中的行权价格的制定更贴近现实,在一定程度上提高了股权激励的效果。

本文不足之处在于,所构建的动态模型还存在着参数可得性的问题,例如权重λ1、λ2以及公式中的权重ω1与 ω2的具体数值的确定需要通过对现实数据做大量的实证研究才能得出,有待进一步地探索。

摘要：本文在动态股票期权定价模型的基础上,结合我国经济环境的特点,构造了基于EVA的多指数化期权定价模型,加入了行业、规模、所有制结构这些系统因素的调整因子,并创造性地考虑了股东定价心理的因素,以解决由于我国股票市场的剧烈波动和弱有效性等带来的股权激励效果过低甚至反效果的现象。

关键词：股票期权,行权价格,动态定价模型,指数化期权

参考文献

Gong Guojin,Li Yue Laura,Shin Jae Yong.Relative performance evaluation and related peer groups in executive compensation contracts[J].The Accounting Review,2011(3).

钟美瑞,黄健柏.相对业绩与投资组合思想在期权激励契约设计中的应用[J].中国管理科学,2005(2).

聂丽洁,王俊梅,王玲.基于相对EVA的股票期权激励模式研究[J].会计研究,2004(10).

付东.股权激励契约设计与公司业绩关系研究[J].企业经济,2013(3).

石咏梅.关于上市公司股票期权与企业绩效的实证研究[J].企业经济,2013(6).

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