权证定价模型

2024-11-04

权证定价模型（共6篇）

权证定价模型篇1

一、有关权证定价研究回顾

随着权证交易的迅速发展, 学术界对权证的研究也越来越重视。权证的研究角度很多, 在此, 只选取权证价格的影响因素和权证与标的证券市场关系的研究进行综述。由于权证是依赖于标的证券发行的衍生证券, 因此权证的价格必然要受到标的证券价格的影响, 这一点从B-S模型中就能看得出来。认购权证与标的证券的价格成正比, 认沽权证与标的证券价格成反比, 很多学者对这一规律进行了实证研究。

1973年, Fiseher Black和Myron Scholes发表了“期权定价和公司财务 (The Pricing of Options and Corporate Liability) 一文, 提出了举世闻名的B-S模型, 为期权市场的发展扫清了诸多疑惑, 随后, 很多学者在此基础上进行了更深入的研究, 对模型进行了改进, 使其更符合客观事实;R.F.Engle率先将GARCH过程应用于权证定价, 由GARCH模型估计标的股价波动率, 带入B-S模型求得权证的价格。F.Sinkey和R.E.Miles第一次使用B-S模型对权证定价做了研究。E.S.Sehwartz使用数值计算方法对美国电报电话公司 (AT&T) 1970-1975年之间发行的权证进行了估价。F.Noreen和M.Volfson, M.Ferri, J.Kremer和H.Obethelman, 以及B.Lairterbacl和P.Schizltz, 使用不同的样本标准, 比较了B-S模型和其他波动率弹性恒定的期权定价模型在对权证定价时的能力及表现。R.Kremer和O.Roenfeldt也首次将跳跃扩散模型应用到权证定价当中。

二、权证B-S定价模型

从期权诞生之日起, 期权定价就成为了困扰人们的一个难题, 不管是发行者还是投资者都不能给期权一个公允的价格, 这种情形也严重制约了期权交易的发展。直到20世纪70年代, 诞生了著名的权证定价模型。该模型是Fiseher Black和Myron Scholes于1973年首次提出的, 该模型在一系列严格的假设条件下, 通过严密的数学推导和论证提出了后来被称为“Black-Scholes模型”的期权定价模型 (以下简称为B-S模型) , 成为期权定价理论研究中具有划时代意义的里程碑成果, 从此期权定价有了较为科学的参考依据。

B-S模型以欧式看涨期权为研究对象, 提出了如下假设: (1) 股价变动呈对数正态分布, 其期望值与方差一定; (2) 交易成本和税率为零, 所有证券无限可分; (3) 期权有效期 (T) 内无股息分配; (4) 证券交易为连续性交易, 不存在无风险套利机会; (5) 投资者可以无风险利率进行借贷; (6) 无风险利率r恒定。

在以上假设的基础上, 提出了欧式看涨期权的价格公式:

该模型的中心思想是在已知股票价格未来分布的假设下, 可以用股票和一个无风险债券组合动态复制期权的收益进行避险, 而期权的价格就等于动态复制所需的成本。这一定价模型现已成为交易商们所普遍使用的一个定价工具, 极大地推动了衍生产品市场的发展。由于其严密的逻辑、形式上的优美及计算上的简单, B-S模型在实践应用方面被广泛采用, 是权证定价应用的著名模型。但其理论本身涉及一些与实际环境不相吻合的假设, 导致B-S模型价格与实际期权的市场价格经常有很大的差距。因此, 对于其中标的证券价格服从几何布朗运动、波动率为常数的假设, 学者们提出了多种修正, 推广了建模方法。

三、权证B-S期权定价推广模型

为了使B-S定价模型具有更广泛的现实应用性, 很多学者通过放松假设条件, 对B-S模型进行了修正和推广。Engle提出的自回归条件异方差 (ARCH) 模型成功地模拟了随时间变化的方差模型。该模型针对股票价格波动率聚类效应, 假定收益率残差服从一个条件正态分布, 条件期望为零, 条件方差为以前若干几期收益率误差平方的函数。ARCH模型将方差和条件方差区分开来, 并让条件方差作为过去误差的函数而变化, 从而为解决异方差问题提供了新的途径。Bollerslev在ARCH模型中引入无穷期误差项, 得到广义自回归条件异方差 (GARCH) 模型。GARCH模型较好地解决了ARCH模型在实际应用中待估参数较多的问题, 特别适合于对金融时间系列数据的波动性和相关性进行建模, 估计或预测波动性和相关性。Kuwahara&Marsh在使用GARCH模型对认股权证定价进行实证研究中发现, 该模型对价内认股权证的定价准确度要优于经典B-S模型。尽管GARCH模型在描述金融时间序列的波动率上有诸多优势, 但能够反映连续时间序列波动率的SV模型更受金融研究者青睐。该模型在波动率方程中引入了一个新的随机变量, 提高了对长期波动率预测的准确性。

我国的香港和台湾地区权证市场起步早, 发展快, 因此针对这两个市场的研究较丰富, 其中比较有代表性的著作有:陈松男证明B-S模型计算出的权证价格只是一个定价的参考值, 时常背离其真实价值, 因此存在应用的局限性。该研究利用实务观点并提供新的理论基础说明如何修正B-S模型理论, 以改进其在实际应用中的效率, 降低权证风险, 并提高超额收益, 具有较强的实际指导意义。陈信华选择我国台湾证券商最早发行的4只认购权证作为研究对象, 探讨了台湾券商发行权证的发行定价、市场价格与理论价格的关系。其研究结果如下:由于证券商的权证发行价格制定采用高波动率政策, 造成定价高于B-S模型与二项式理论价格的情况时有发生。

四、认购权证价格的影响因素

虽然B-S模型和二项式理论给出了权证定价的表达公式, 但是在实际的交易中, 权证价格还要受到诸多因素的影响。

(一) 标的证券的价格

权证作为金融衍生产品, 标的资产可以为个股、一篮子股票、指数以及其他衍生产品。所以说, 从短期来看, 标的证券的价格走势将直接影响到权证的交易价格。对于认购权证来说, 发行时标的证券的价格越高, 认购权证的发行价格也越高。同样的道理, 认沽权证标的证券价格越高, 权证发行时的价格就越低。通过B–S模型可以看出, 标的证券价格是权证定价的重要影响因素。张成虎等对中国权证与其标的证券之间的价格协整关系进行实证研究, 研究表明, 从长期来看, 认购权证价格与标的证券价格都是存在单位根的非平稳序列, 都是一阶单整的。研究结果还显示不同的认购权证价格与其标的证券价格的均衡关系存在一定的差异。这与前人的研究成果是基本吻合的。

(二) 权证有效期

在股票市场牛市环境下, 权证离行权到期日时间越长, 认购权证成为价内权证的可能性就越大, 所以它的价格也相应的越高;随着到期日的趋近, 认购权证成为这种价内权证的可能性越小, 则它的交易价格也会逐渐趋向稳定。在股票市场牛市作用下, 认沽权证离行权到期日时间越长, 成为价外权证的可能性就越大, 所以它的价格趋向下降;认沽权证到期时基本上都属于价外权证, 没有行权可能。

(三) 权证行权价格

权证的核心价值在于对标的证券价格的预期, 价内权证具有一定的内在价值, 而价外权证没有内在价值。价内权证行权价与标的股票价格的差距越大, 那么权证提供的套利空间就越大, 权证的内在价值就越高, 所以权证的发行价格或交易价格就可能越高。认购权证所约定的行使价格越高, 投资者到期行使认购权利时, 行权价跟标的证券价格的差额越小, 权证的收益率就越低, 所以权证的发行价格或交易价格都会较低。认沽权证所约定的行权价格越低, 投资者到期行使认沽权利时, 行权价与标的证券价格的差额越小, 权证的收益率就越低, 这样权证的发行价格和交易价格也越低。

此外, 根据以上分析的权证的定价模型可以看出, 影响权证的因素还有标的证券的波幅、市场利率、标的证券预计派发的股息等。

参考文献

[1] .M.Ferri, J.Kremer, H.Oberhelman.Analysis of Models for Pricing Corproate Warrants[J].Advances in Futures and Options Research, 1986, (1) .

[2] .K.R.Subramanyam.The Pricing of Discretionary Accrurals[J].Journalof Accounting and Economics, 1996, (22) .

[3] .F.Black, M.Scholes.The Pricing of Options and Corporate Liabilities[J].The Journal of Political Economy, 1973, (3) .

[4] .D.Skinner.Option Markets and Stock Return Volatility[J].Journal of Financial Economics, 1989, (23) .

[5] .王安兴, 胡建芳.欧式期权定价与沪深证券市场权证价格分析[J].郑州航空工业管理学院学报, 2009, (2) .

[6] .李锹卿.台湾认购权证定价模型之研究及绩效分析[D].台湾高雄第一科技大学硕士论文, 2002.

权证定价模型篇2

股本权证 (equity warrant) 是指由标的股票公司发行, 在规定的期限内或到期日赋予持有人以确定的价格购买或出售标的股票的权利。与备兑权证 (covered warrant) 不同, 在市场非强有效条件下, 股本权证行权会产生稀释效应, 即公司通过发行新增股份实现二次融资。权证持有人行权的动机是能够以低于市场价格购买标的股票获得价差收益, 该收益实际就是原股东作为权证发行人在行权中的损失, 由此产生的财富转移就是通常所说的稀释效应。该问题研究始于20世纪70年代, 至今已取得大量研究成果。然而, 关于风险转移效应的研究却相对较少。风险转移效应是指权证发行所导致的标的股票波动率下降, 即股票持有者将部分风险转向权证持有者。权证发行后, 公司股本价值等于其股票与权证市场价值之和, 当公司股本价值发生变动, 股票与权证价格随之同方向变动, 但二者变动幅度不同, 权证价格变动幅度大于股票价格变动幅度, 由此导致附有权证的标的股票波动率下降即为风险转移。

Black和Scholes[1] (后文称之为BS) 构建了最早的权证定价模型, 该模型将权证作为一份以公司股本 (非股票) 为标的的买入期权进行定价。Galai和Schneller[2]以同样的思路对BS公式进行了优化, 更加清晰地解释了模型中包含的稀释效应, 上述研究都是将公司股本作为权证标的。由于公司股本价值等于股票和权证市场价值之和, 所以, 以上定价模型可以忽略风险转移效应, 即公司股本波动率是一个不变的常数, 权证定价模型就是加入稀释因子修正的BS公式。但是, 这在实际操作中存在两大问题。第一, 权证定价需要已知其标的资产公司股本的价值, 而公司股本价值又取决于权证价格, 即定价过程陷入死循环。第二, 权证发行使公司股本波动率不再等于股票波动率, 即权证定价参数波动率为不可观测变量, 这些问题导致了权证价格无法获得解析解。

针对上述问题, Schulz和Trautmann, Sidenius[3,4]提出了将权证作为以公司股票为标的的标准看涨期权进行定价的思路, 定价模型为不加稀释因子修正的BS公式。Handley[5]对此观点作了经济学解释, 如果证券市场处于强有效状态, 则权证发行所产生的稀释效应在权证发行后应该已经被股票价格及其波动率充分反应。但是, 该定价思路仍没有考虑风险转移效应, 因为, 即使在有效市场结构下, 风险转移效应仍然导致股票波动率为股票价格的函数, 所以任何假设波动率为常数的权证定价模型都是不科学的。Lauterbach和Schultz, Hauser和Lauterbach[6,7]对CEV模型与权证定价进行了相关研究, 实证结果表明, CEV模型较稀释因子修正的BS模型具有更好的定价效果。但是, 他们的研究既没有考虑风险转移效应, 也没有对该效应导致的定价偏差进行修正。

Crouhy和Galai[8,9]发表论文描述了附带权证公司股票波动率与稀释因子和权证价值状态 (moneyness) 之间的关系, 研究表明波动率降幅与二者均呈正相关, 这是最早包含风险转移效应思想的文献。余扬新和雷娟[10]运用欧式下终期权定价模型论证了公司负债的风险转移效应, 遗憾的是这两篇论文只做了定性解释或仅揭示了这一现象。现有关于权证定价模型的研究, 大多考虑的仍然是稀释效应, 将风险转移效应引入权证定价模型的研究文献至今尚未见到。

本文通过构建具有最优弹性参数的常数弹性方差 (CEV) 波动率模型, 不仅可以有效解决基于股本权证定价模型中波动率不可观测的缺陷, 而且能够修正风险转移效应造成的定价偏差。

2 股本权证标的股票波动率过程

2.1 股本权证标的股票波动率模型

权证发行公司满足以下两个基本假设:①公司无负债, 为纯股本类型;②公司价值服从普通几何布朗运动 (GBM) 。则

$\frac{d A_{t}}{A_{t}} = μ d t + σ d z_{t} (1)$

其中, σ为公司价值年波动率, zt为标准布朗运动。

如果公司在时刻t0发行了m份权证, 其持有人有权利在T刻前以执行价k购买公司v份新发股票, 同时, 为了保证公司股本价值不变, 权证发行所得收益被立即分配给股东。为了防止权证提前行权, 假设权证到期前不支付任何红利。则, 时刻t∈ (t0, T) 公司价值为:At=St+Wt, 其中, St为股票价值, Wt为权证价值。每份股票价值为: $s_{t} = a_{t} - \frac{m}{n} w_{t}$ , 其中, $s_{t} = \frac{S_{t}}{n}, a_{t} = \frac{A_{t}}{n}, w_{t} = \frac{W_{t}}{m} .$

Galai与Schneller[2]构建了如下基于股票st的权证定价模型:

$w_{t} = λ c_{t} (a_{t}; σ, r, k, Τ) (2)$

其中, $λ = \frac{v n}{n + v m}$ 为稀释效应修正因子, ct是以at为标的的看涨期权价值。将式 (2) 代入股票价值st表达式得:

$s_{t} = a_{t} - φ c_{t} (a_{t}; σ, r, k, Τ) (3)$

其中, $φ = 1 - \frac{λ}{v}$ , 为稀释因子。

由于式 (1) 假设at遵循常数方差过程, 则式 (3) 中看涨期权ct的价值可由BS公式计算, 由此推出st扩展式为:

$s_{t} = a_{t} - φ [a_{t} Ν (d_{1}) - k e^{- r (Τ - t)} Ν (d_{2})] (4)$

其中, N (·) 为正态累积概率分布函数; $d_{1, 2} = \frac{\log \frac{a_{t}}{k e^{- r (Τ - t)}} \pm \frac{1}{2} σ^{2} (Τ - t)}{σ \sqrt{Τ - t}} .$

根据伊藤引理, 附有股本权证的股票收益波动率为:

$σ_{s} (a_{t}, t) = \frac{σ a_{t} [1 - φ Ν (d_{1})]}{s_{t}} (5)$

将式 (4) 代入式 (5) 得:

$σ_{s} (a_{t}, t) = \frac{σ a_{t} [1 - φ Ν (d_{1})]}{a_{t} [1 - φ Ν (d_{1})] + φ k e^{- r (Τ - t)} Ν (d_{2})} (6)$

式 (6) 表明有权证的股票收益率波动率小于无权证股票收益率的波动率, 即σs (at, t) ≤σ, ∀t0<t<T.同时, 可得σ与σs (at, t) 之差与稀释因子φ正相关的结论, 权证发行数量越多, 持有人被转移承担的风险就越大。

图1描绘了σs (at, t) 在不同稀释水平下的曲线特征。假设k=10, r=3%, σ=30%.

由图1得如下结论:

①波动率函数曲线呈“U”型, σs (at, t) 值不随权证价值状态单调递减。

②当权证价值处于价内 (实值) 一定水平之前, 随着权证实值的增加, 风险转移效应同向增大。当权证价值超过一定实值水平之后, 即处于深度实值, 风险转移效应随权证实值的增加反向减小。

③当st→∞时, 权证持有者转变为股票持有者, 风险转移效应消失。

2.2 基于CEV模型的风险转移效应测算

Cox和Ross[11]构建了广义的CEV模型, 不同于平方根CEV模型, 该模型定义的弹性因子不是固定值1/2, 而是取任意的正数。式 (7) 为广义CEV模型。

$\frac{d s_{t}}{s_{t}} = μ d t + \bar{σ} s_{t}^{γ - 1} d \tilde{z}_{t} (7)$

其中, $\bar{σ}$ 为常数 $(\bar{σ} > 0) ‚ d \tilde{z}_{t}$ 为风险中性测度下的标准布朗运动。γ值反映了波动率相对股票价格的弹性关系, 当0<γ<1时, 弹性为负; 当1<γ时, 弹性为正; 当γ=1时, 模型转换为几何布朗运动。由此可见, γ取值对测算风险转移效应十分重要, 通过调整γ值, 可以逐步降低图1中波动率曲线凸度。由图1直观判断, 当权证处于虚值和平值状态时, 0≤γ≤1;当权证处于实值状态时, 1<γ.

基于CEV模型, 令下式成立:

$σ_{s} (a_{t}, t) = \bar{σ} s_{t}^{γ - 1} (8)$

其中, σs (at, t) 含义与式 (5) 相同, 式 (8) 实际就是稀释后股票价格st的表达式, 运用一阶近似, 公式两边线形增加可得:

$\frac{Δ σ_{s} (a_{t}, t)}{σ_{s} (a_{t}, t)} = \frac{\bar{σ} Δ s_{t}^{γ - 1}}{\bar{σ} s_{t}^{γ - 1}}$

由于 $\bar{σ}$ 为常数, 不影响波动率的变动。当Δt→0时, 可得最优CEV参数γ*:

$γ^{*} - 1 = \frac{d σ_{s} (a_{t}, t)}{d s_{t}} \cdot \frac{s_{t}}{σ_{s} (a_{t}, t)} (9)$

等式右边为波动率相对于股票价格弹性。则:

$γ^{*} = 1 + ε_{σ_{s}, s}^{*} (10)$

虽然股票收益率σs (at, t) 和股票价格st在t时刻已知, 但是γ*仍是不可观测变量at与σ的函数, 因此, 要计算γ*必须用st与σs代替at与σ.将式 (4) 中的at代入式 (5) 得:

$σ_{s} (a_{t}, t) = \frac{σ [s_{t} - φ k e^{- r (Τ - t)} Ν (d_{2})]}{s_{t}} (11)$

则

$\frac{d σ_{s} (a_{t}, t)}{d s_{t}} = - σ φ k e^{- r (Τ - t)} \cdot \frac{d [\frac{Ν (d_{2})}{s_{t}}]}{d s_{t}} (12)$

将式 (12) 代入式 (9) 得:

$\begin{array}{l} ε_{σ_{s}, s}^{*} \\ = - σ φ k e^{- r (Τ - t)} \cdot \frac{d [\frac{Ν (d_{2})}{s_{t}}]}{d s_{t}} \cdot \frac{s_{t}}{σ_{s} (a_{t}, t)} \\ = \frac{σ φ k e^{- r (Τ - t)}}{σ_{s}} [\frac{Ν (d_{2})}{s_{t}} - \frac{d Ν (d_{2})}{d s_{t}}] \end{array} (13)$

用 (st, σs) 替代式 (12) 中 (at, σ) 得到由可观测变量计算弹性参数的模型:

$\hat{ε}_{σ_{s}, s} = φ Μ [Ν (\hat{D}_{2}) - \frac{Ν (\hat{D}_{2})}{σ_{s} \sqrt{Τ - t}}] = \hat{γ} - 1 (14)$

其中, $Μ = \frac{k e^{- r (Τ - t)}}{s_{t}}$ 为权证价值状态;N (·) 为正态密度函数; $\hat{d}_{2} = \frac{\log [\frac{s_{t}}{k e^{- r (Τ - t)}}] - \frac{1}{2} σ_{s}^{2} (Τ - t)}{σ_{s} \sqrt{Τ - t}}$ ; $\hat{ε}$ σs, s为基于CEV权证定价模型的最优弹性。

3 股本权证定价模型

将式 (7) 与式 (14) 联合, 得可变弹性参数CEV模型如下:

$\frac{d s_{t}}{s_{t}} = μ d t + \bar{σ} s_{t}^{\hat{γ} - 1} \tilde{z}_{t} (15)$

式 (15) 即为同时考虑稀释效应与风险转移效应的标的股票收益CEV过程。结合式 (15) 根据Schroder[12]以非中心χ2分布建立的期权定价公式, 构建权证定价模型如下:

$w_{t} = {\begin{cases} s_{t} [1 - χ_{2 + a_{2}, a_{3}}^{2} (a_{1})] - k e^{- r (Τ - t)} χ_{a_{2}, a_{1}}^{2} (a_{3}), 0 < \hat{γ} < 1 \\ s_{t} [1 - χ_{- a_{2}, a_{1}}^{2} (a_{3})] - k e^{- r (Τ - t)} χ_{2 - a_{2}, a_{3}}^{2} (a_{1}), \hat{γ} > 1 \end{cases}$

其中, $a_{1} = h k^{2 (1 - \hat{γ})} ‚ a_{2} = \frac{1}{1 - \hat{γ}} ‚ a_{3} = h s_{t}^{2 (1 - \hat{γ})} e^{2 r (1 - \hat{γ}) (Τ - t)} ‚ h = \frac{2 r}{\bar{σ}^{2} (1 - \hat{γ}) [e^{2 r (1 - \hat{γ}) (Τ - t)} - 1]}, χ_{v, θ}^{2} (\cdot)$ 为服从自由度v和非中心参数θ的累积非中心卡方分布, Ding[13]已给出了该分布的有效求解公式。

4 模型有效性检验

基于CEV的可变弹性参数权证定价模型不仅具有基于股本定价模型准确性高的特点, 而且具有基于股票定价模型操作性强的优点。那么, 该模型对降低权证定价误差, 提高权证定价效果是否较其它模型更优, 本文对BS模型, 平方根CEV模型 (SRCEV) 以及我们构建的可变弹性CEV模型 (FGCEV) 在权证取不同价值状态, 有效期以及稀释水平下的定价效果进行检验。

由于我国权证市场发行的股本权证均是由公司发行可转债所配送, 无公司负债股本权证在我国证券市场尚不存在, 本文构建的定价模型没有考虑负债杠杆效应的影响, 所以, 对模型有效性检验只能采用数值模拟。

假设权证标的股票公司无负债, 共发行权证m份, 稀释因子为φ (φ=30%) , 股本收益波动率为σ (σ=30%) , 执行价为k (k=10) , 无风险利率为r (r=3%) , 权证价值状态分为五类:DOTM (深度价外) , OTM (价外) , ATM (平价) , ITM (价内) , DITM (深度价内) ;稀释水平分为三类:10%, 30%, 50%;有效期分为三类:3个月, 1年, 5年, 共计45组, 每组模拟不同标的股票价值300个, 以Galai和Schneller[2]构建的式 (2) 定价结果为基准, 分别计算BS, SRCEV, FGCEV模型定价结果的平均相对百分误差 (MRPE) 与平均绝对百分误差 (MAPE) 。

由以上定义得:

$\begin{array}{l} Μ R Ρ E = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{w_{m o d}^{(i)} - w_{b a s}^{(i)}}{w_{b a s}^{(i)}} \\ Μ A Ρ E = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{| w_{m o d}^{(i)} - w_{b a s}^{(i)} |}{w_{b a s}^{(i)}} \end{array}$

其中, w (i) mod为股本权证模型价格, w (i) bas为式 (2) 计算的股本权证基准价格。MRPE计算中虽苫抵消了部分正负偏差, 但可明确给出模型定价偏差的方向是高估还是低估, MAPE可有效测度模型定价偏差总大小。

表1、表2分别给出了BS、SRCEV、FGCEV模型定价绝对偏差与相对偏差数值模拟结果。

绝对偏差模拟结果表明:①权证价值状态对模型定价偏差影响最大。一般来讲, 价内和平价权证定价偏差较小, 且定价偏差随权证虚值程度的增大而增大。例如, 当φ=30%, T=1时, 由SRCEV与BS模型对OTM权证定价分别产生的最大偏差为3%与4%, 而对DOTM权证定价分别产生的最大偏差则为31%与23%. ②稀释因子和有效期对模型定价偏差影响较大, 定价偏差随稀释因子和有效期的增大而增大。③FGCEV模型较其它模型在任何有效期和稀释水平下都产生较小的定价偏差。

相对偏差模拟结果表明:①BS模型通常低估虚值权证, SRCEV模型的低估度与高估度分别随着权证虚值度与实值度的增加而增大。产生该结果的原因是BS模型假定波动率为常数, SRCEV模型则假设波动率与标的资产价值为单调负相关。②FGCEV模型具有较好的定价效果, 除了较短有效期和高稀释因子情况, 该模型几乎不存在高估和低估现象, 模型的有效性被进一步验证。

5 结论

权证发行不仅对公司股票价格带来潜在稀释效应, 而且导致股票持有者向权证持有者转移风险的效应。风险转移效应是由股票与权证波动率的不同引起, 企业股本价值变动导致股票与权证两种证券价格同方向变动, 但变动幅度显著不同, 权证价格变动幅度大于股票价格变动幅度, 即股票价格的部分波动转向了权证。

论文在假设股本价值波动率为常数的条件下, 推导的股本权证标的股票波动率方程表明具有稀释效应的公司股票波动率小于无稀释公司股票, 且二者之差与稀释因子和权证价值状态均正相关, 该发现对修正权证定价偏差具有重要意义。

论文构建的基于股票的FGCEV模型能够有效刻画权证标的公司股票波动率, 克服了传统权证定价模型中基于股本存在不可观测变量的不足, 有效解决了风险转移效应导致的定价偏差。通过对BS, SRCEV, FGCEV模型定价效果数值模拟, 上述结论得到了进一步验证。

摘要：构建股本权证标的股票波动率模型, 并在CEV模型的基础上给出了测度风险转移效应的最优弹性参数公式。结合非中心卡方分布期权定价公式, 构建了同时考虑稀释效应与风险转移效应的股本权证定价模型。该模型能够克服传统权证定价模型中基于股本定价存在不可观测变量的不足, 并有效降低定价偏差。数值模拟结果表明, 本文所构建模型较BS和SRCEV模型具有较小的相对与绝对定价偏差。

权证定价模型篇3

权证赋予权证持有者在规定时间, 以约定价格购买或出售有价证券的权利。由于和期权有类似的定价机制, 以Black-Scholes、二叉树模型和CEV (constant elasticity of variance) 为代表的经典期权定价模型被用于权证定价的研究。对于所有的期权定价模型来说, 波动率在定价的过程中都发挥着至关重要的作用, 所以近些年来, 能表现金融资产波动率“聚集效应”和“杠杆效应”的时变波动率模型被用来进行衍生品定价, 其中最常见的是GARCH和SV模型。由于GARCH模型具有扩展性强、对波动率描述准确的优点, 得到很多学者的关注[1,2]。

Duan (1995) [2]最早考虑用正态分布下的GARCH模型进行期权定价。这一模型与B-S模型相比, 不仅表现出了更好的定价效果, 而且GARCH模型的时变波动率序列和隐含波动率吻合度非常高。大量欧式期权GARCH定价模型的实证研究显示, 这一模型对指数衍生品和股票衍生品有很好的定价效果[3,4]。虽然这些GARCH模型都采用正态分布模拟其中的随机数, 但金融数据“尖峰厚尾”的特征已经成为共识, 因此将非正态分布引入GARCH模型, 可以更好模拟基础资产的分布特征, 从而提高定价精度。Duan (1999) [5]给出了非正态随机分布在有偏GARCH模型下的风险中性调整方法, 用标准普尔500指数数据进行了模型验证。这一模型构成了目前非正态GARCH模型期权定价的基本框架。我们在这一框架下, 引入Lévy过程, 并使用GJR-GARCH和EGARCH模型进行权证定价。

Lévy过程, 代指具有独立增量、平稳增量和随机连续性这三个特征的随机过程, 目前被广泛应用于物理、医学和金融领域的蒙特卡罗模拟中, 具有丰富的成员函数, 可以非常准确地描述金融序列的统计特征, 特别是数据的“跳跃”现象。虽然通过Lévy过程模拟金融资产价格变化, 或采用蒙特卡罗模拟方法进行期权定价的研究已经很多, 但由于Lévy过程的分布函数较复杂, 把Lévy过程和GARCH模型结合后, 风险中性调整会很困难, 因此完备的Lévy-GARCH定价研究相对较少。Christoffesen (2010) [6]给出了指数形式的Radon-Nikodym导数, 并推导出了无套利假设下Lévy-GARCH模型的等价鞅测度, 这一研究为Lévy-GARCH模型风险中性提供了成熟的理论基础。Christoffersen (2012) [3]又将这一方法扩展到了IG (Inverse Gaussian) 过程、泊松跳跃过程及SV模型。根据这些研究, 近些年Lévy-GARCH期权定价模型的实证研究也开始大量出现。Chorro等 (2012) [7]使用Lévy过程中的GH (generalized hyperbolic) 模型修正GARCH模型, 在对SP500和CAC40指数期权的模拟中, Lévy-GARCH模型表现出了非常高的定价精度。Byun (2013) [8]使用非正态GARCH模型对SP500指数期权进行实证, 结果表明, Lévy-GARCH模型能很好描述金融数据的波动率特征。基于以上研究, 我们使用NIG和VG这两种具有良好统计性质和较高实现效率的Lévy过程, 配合GJR-GARCH和EGARCH模型进行沪深市场的权证定价。

在以香港、台湾、韩国、大陆为代表的亚洲金融市场中, 权证交易非常活跃。2012年香港权证市场的日均交易额超过100亿港元, 占香港交易所 (HKE) 总交易量的20%以上。2005~2009年, 我国沪深交易所也有55支权证上市交易。Xiong和Yu (2011) [9]、王茵田等 (2012) [10]的研究显示, 我国权证市场具有很强的投机性, 所以建立在无套利假设下的传统模型难以给出准确的定价。

在权证定价研究领域, 国内单独使用Lévy过程进研权证模拟定价, 或用正态GARCH模型进行权证定价的研究很多, 潘涛和邢铁英 (2007) [11]等学者分别使用Lévy模型和GARCH修正模型对我国权证市场进行了定价研究。但Lévy分布下进行GARCH模型权证定价的研究还很匮乏。吴鑫育等 (2012) [12]首次使用GARCH扩散模型对恒生指数权证进行验证, 证明GARCH扩散模型比B-S模型有更好的定价精度。

基于国内GARCH模型下权证定价的研究成果, 本文进行以下几点研究: (1) 与B-S模型和普通的Lévy期权定价模型相比, 引入时变波动率后, Lévy-GARCH模型是否能进一步提高定价精度; (2) 验证不同类型的Lévy随机分布和不同类型的有偏GARCH模型对Lévy-GARCH模型的定价结果是否有显著的区别; (3) 验证我国权证市场的定价是否显著偏离无套利假设下的模型估值, 如果有偏离, 哪些因素对这一定价偏误起主要作用。

2 非正态有偏GARCH期权定价模型

2.1 Lévy过程

Black Scholes等传统金融衍生品定价模型通常假设资产收益率服从正态分布。一般情况下GARCH模型也假设新息 (innovation) 服从标准正态分布。为了更好刻画金融数据“有偏”、“肥尾”等高阶矩特征, Lévy过程被引入资产定价模型中。广义地讲, 目前普遍使用的正态分布、t分布都属于Lévy分布族的一种。但在现在的资产定价领域, Lévy过程一般代指能准确反映金融数据高阶矩特征, 并且具有独立增量、平稳增量和随机连续性这三个特征的随机分布。

目前, 应用于金融领域的Lévy过程分为以下两类: (1) 跳-扩散模型, 这类模型在几何布朗运动的基础上加入了跳跃项, 大部分学者用泊松过程配合独立增量过程来模拟跳跃项。这类模型的优点是结构清晰, 但因为参数数量过多, 模型的估计和模拟效率较低。这类随机过程主要有Merton (1973) [13]模型和Kou (2002) [14]提出的双指数跳跃模型; (2) 纯跳跃过程, 这类随机数使用独立从属过程 (Subordinator) 对布朗运动进行压缩生成随机数, 因而不需要用泊松过程去模拟数据的跳跃特征, 所以不再具有明显的扩散-跳跃结构。由于这些过程参数数量少、生成算法简练、高阶矩特征丰富, 成为目前研究的最多的一类Lévy过程, 主要有以下几种随机模型:Madan和Seneta (1998) [15]提出的Variance Gamma (VG) 模型、Barndorff (1997) [16]提出的Normal Inverse Gaussian (NIG) 模型、Carr等 (2002) [17]提出的CGMY模型、Eberlein和Keller (1995) [18]提出的Hyperbolic模型、Schoutens (2001) [19]提出的Meixner模型。这些随机过程不仅能用来模拟收益率, 直接进行资产定价, 同时也可以替换GARCH、SV等定价模型中的随机数, 改进它们的定价效果。

虽然纯跳跃Lévy过程进一步提高了非正态模型, 但其分布函数较复杂, 且缺乏统一的结构, 难以直观了解每个因子的统计含义, 但根据Lévy-Khintchine定理, Lévy过程的特征函数Ψ (u) =E[exp (iuX (t) ) ]=E[exp (ψ (u) ) ]的指数部分ψ (u) 可以用以下三部分来描述:

本文选取两个最具代表性的Lévy过程进行模拟, 它们的特征函数为:

NIG过程和VG过程都属于广义双曲族随机过程。其中NIG过程以逆高斯IG分布为从属过程, 对正态随机数进行时变压缩, 可以生成具有“厚尾”特征的随机数。NIG过程最大的优点是具有无限可分性:任意NIG过程的和仍然服从NIG分布。这一特性为NIG过程在多维衍生品中的应用提供了便利。VG过程是以伽马分布为从属过程的正态方差均值混合型随机变量。VG过程既可以通过时变布朗运动算法生成, 也可以用伽马随机数的差进行模拟, 其模拟算法较大部分非正态随机过程要更简单。因为NIG过程和VG过程不仅能有效描述出金融资产高阶矩的特征, 而且其估计和模拟的算法效率很高, 所以目前这两种随机数模型已经成为衍生品定价中使用最广泛的Lévy过程。Madan等曾经使用VG模型和Black-Scholes模型对S&P500指数期权进行实证对比, 结果显示, 相对于服从正态随机分布的传统模型, VG模型有更好的定价精度。Kalemanova等 (2007) [20]通过CDO数据证明, 相对于t分布, NIG分布能更好反映金融数据的尾部特征, 因而提供了更好的定价效果, 并且模拟效率也很高。

2.2 Lévy过程修正下GARCH期权定价模型

参考Duan (1999) [5]的GARCH期权定价模型的基本框架, 建立一般化的非正态异方差模型:

其中Rt为不考虑股息的资产对数收益率, mt (·;θR) 是收益率方程的均值项, ht为时变方差序列, 时变方差方程g (·) 的参数为θh.εt为均值方程的新息, 在信息集Ft-1条件下服从均值为0、方差为1、参数为θh的D (·) 分布。

GARCH模型主要用来衡量波动率的“聚集效用”。Engle (2011) [21]认为新息对波动率的冲击具有持续性, 因而用自回归及移动平均的结构来描述时变波动率的这一特性。但不容忽视的是, 金融资产收益率的方差的对“新息”的反馈往往是非对称的, 负的新息能造成更大的影响, 这一特征可以用非对称GARCH模型来描述。目前影响力较大的非对称GARCH模型主要包括以下几个:Zakoian (1994) [22]提出的Threshold GARCH (TGARCH) 、Glosten等 (1993) [23]提出的GJR-GARCH、Nelson (1991) [24]提出的Exponential GARCH (EGARCH) 。这些模型都能很好地表现出条件异方差序列的“杠杆效应”。由于TGARCH和GJR-GARCH模型结构类似, 都是直接将描述新息方向的阀值加入方差方程, 而且定价效果相近[25], 所以本文使用GJR-GARCH和EGARCH模型进行实证, 比较不同的有偏GARCH模型在Lévy随机分布环境下, 对权证定价精度的影响是否一致。

GJR-GARCH (1, 1) 模型的条件方差方程形式为:

模型平稳的约束条件是:

EGARCH (1, 1) 模型的条件方差方程形式为:

在Lévy-GARCH定价模型中, 简化了对数收益率方程的均值项mt (·;θR) , 使其等于μt+γt, 其中μt为漂移项, γt为对数收益率的均值调整项, 具有性质:。新息εt|Ft-1~D (0, 1;θD) 将服从选定的Lévy过程。

3 Lévy-GARCH期权定价模型蒙特卡罗模拟

3.1 定价模型的风险中性调整

根据历史数据, 对模型 (1) 进行参数估计, 可以得到真实测度P下Lévy-GARCH模型。这一模型形式可以很好体现出金融数据的统计特性, 也可以表现出模型的主要结构和定价思想, 但由于真实测度模型不满足无套利假设, 在进行衍生品定价前, 有必要进行风险中性测度转换。可以证明, 对于衍生品定价模型, 特别是期权的GARCH定价模型, 在风险中性测度Q下, 定价精度要显著优于P测度[26]。为了得到风险中性测度方程, 必须找到资产价格序列{Si;0≤i≤T}的等价鞅测度形式:

其中{Bt}为无风险资产价格序列。Christofersen等 (2010) [6]通过构造核序列{vt}求得Radon-Nikodym导数序列完成这一转换。

在Lévy分布下, 由于收益率Rt存在跳跃, 这一等价鞅测度的构建并不是唯一的, 可以通过以下等式求得核序列{vt} (证明过程见Christofersen等 (2010) [6]) :

其中ψ (·) 为矩母函数的指数部分, 根据矩母函数的特性:Ψ′t (0) =Et-1[εt]和Ψ″t (0) =Et-1[εt], 可以解出核序列{vt}的解析式:

求得核序列{vt}后, 得到随机项的风险中性调整形式:

因而风险中性测度Q下的均值方程为:

通过泰勒公式, 方差序列的风险中性形式为:

假设随机项zt的分布函数不随时间改变, 我们就可以将真实测度下的随机数序列zt和方差序列ht变换至风险中性测度下的zt*和ht*.

3.2 Lévy过程的蒙特卡罗模拟

蒙特卡罗模拟很重要的一步就是随机数生成, 随机数是否能够高效且严格按照分布函数生成, 对最终定价的准确性有很大的影响。传统的随机数生成算法为累积密度函数反演算法。由于累积密度函数CDF (xt;θD) 服从均匀分布, 通过对CDF (·;θD) 求逆, 就可以反推出随机数序列{xt}。但由于纯跳跃Lévy过程的分布函数非常复杂, 所以其求逆的数值算法一直是一个难点, Derflinger等 (2010) [27]成功给出了通过概率密度函数PDF (·;θD) 数值模拟随机分布数的数值方法, 但这一方法模拟Lévy随机数的效率仍然有限。Carr和Madan (1999) [28]的快速傅里叶变化 (FFT) 可以非常高效地模拟出期权的价格, 但这一方法局限于欧式期权, 而且模型的形式受到严格限制, GARCH这类时变方差模型不能直接套用这一方法进行模拟。因而, 使用时变布朗运动的Lévy随机数生成算法。

从属过程 (Subordinator) 是一类具有非负增量特征的随机过程, 具有两个性质: (1) 测度的非负性, ν (-∞, 0) =0; (2) (0, 1) 区间均值有限, ∫10xν (dx) <∞.时变布朗随机数生成算法就是利用从属过程对正态随机数进行压缩, 最终得到具有Lévy分布特征的随机数序列。表2是NIG和VG这两个Lévy过程的时变布朗运动生成算法。

在通过以上算法完成Lévy随机数模拟后, 将根据所选择的GARCH模型和风险中性变换还原出对数收益率序列, 然后得到股票的模拟路径, 然后, 用以下的欧式期权定价公式完成权证的模拟定价。

其中Ctcall和Ctput为认购权证和认沽权证在t时刻的价格, r是无风险收益率, T为权证行权日, K为行权价格, ρ为行权比率。Galai和Schneller (1978) [29]最早提出权证具有“稀释效应”, 认为股本权证一方面会为发行权证的上市公司带来现金流, 另一方面会增加市场流通股票数量, 稀释每股的净值, 但包括Sidenius (1996) [30]在内的学者认为, 由于投资者在权证发行时就会预期到最终的“稀释效应”, 因而这一效应已经完全体现在权证的市场价值中了, 所以使用没有“稀释效应”的式 (12) 进行权证的蒙特卡罗模拟。

4 中国权证的实证分析结果

4.1 数据选取与处理

2005~2009年, 为了完成上市公司股权分置改革, 沪深两地的证券交易所共上市交易了55支权证合约, 包括26支备兑权证和29支股本权证, 行权方式包括欧式、百慕大式和美式。本文只对欧式权证进行定价, 为了权证间横向对比, 统一所有权证的定价日期为执行日200天前。同时剔除交易时间少于200日的原水CTP1和GJR-GARCH模型下不平稳的葛洲CWB1, 对剩余的38支权证进行了定价。表3和表4描述了这些权证标的股票对数收益率的统计特征。

从表3的结果看, 无论是对数收益率, 还是GARCH模型的新息序列, 其高阶矩与正态分布的统计特征有显著差异。

根据表4的正态检验, 考虑K-S模型拒绝原假设的条件比较苛刻, 而在Lilliefors和Jarque-Bera检验中, 大部分随机数都可以拒绝正态分布假设, 可以认定, 在我国的股票市场, 资产收益率一般不服从正态分布, 因而在理论上说, 用Lévy过程描述随机数能提高模拟定价的精度。

(1) 所有统计特征指标为38支股票统计指标的算数平均值。 (2) 其中rate为股票价格的对数收益率, NIG-GJR为NIG随机分布下GJR-GARCH模型的新息项εt, VG-E为服从VG分布的EGARCH模型的信息项εt.

(1) K-S为Kolmogorov-Smironv正态检验, Lilie为Lilliefors正态检验。JB为Jarque-Bera正态检验。 (2) 拒绝率表示有多少股票可以拒绝正态分布原假设, 显著性水平为10%, p值保留两位有效数字。

4.2 参数估计与时间序列分析

由于NIG和VG过程与正态分布相对比, 虽然能更好描述数据的高阶矩特征, 但其分布函数非常复杂, 与有偏GARCH模型结合后, 待估参数很多, 模型形式很复杂。因此, 采用传统的极大似然估计后, 运算效率非常低。但Lévy过程的矩条件形式较为简单, 可以采用广义矩估计 (GMM) 框架下的计量方法进行参数估计。Carrasco等 (2007) [31]提出了连续矩条件GMM方法 (GMM with a continuum of moment condition) , 很好解决了Lévy参数估计的难题, 因此使用GMM模型进行模型的参数估计。

由于本模型重点考虑金融数据的波动率、偏度、峰度对衍生品定价的影响, 因此首先构建一阶矩到四阶矩的解析式向量:珡m=[m1 (θ) , m2 (θ) , m3 (θ) , m4 (θ) ], 其中m1 (θ) 为第i阶矩的解析式, θ={θR, θh, θD}为待估参数, 包含GARCH模型的均值项参数θR、方差项参数θh和Lévy分布的随机项参数θD.得到总体矩的显式表达式后, 计算样本矩向量:, 通过优化参数矩向量和样本矩向量的距离进行参数估计, 其中W为对角阵, 用于给目标函数赋权重。

由于定价的权证数量较大, 这里不详细展示参数估计结果, 选取武钢JTB1从2006年1月11日到2006年11月14日共200天的数据, 提取对数收益率, 然后分别用几何布朗运动、NIG分布和VG分布进行了参数估计和模拟, 得到图1和图2。通过对比, 可以看出这两个Lévy分布模型能很好得模拟出真实数据“尖峰厚尾”的数据特征, 偏度方面的拟合效果也远好于正态分布, 体现出了Lévy分布在金融资产定价模型中的优势。

4.3 模型间定价结果分析

为了证明Lévy能更好的模拟金融数据的统计特征, 同时证明GARCH模型引入时变波动率能提高衍生品定价准确度, 设计2个Lévy模型和4个Lévy-GARCH模型进行实证, 并用B-S模型做对照。

本文想通过这7个模型间的对比探讨以下两个问题: (1) 收益率服从非正态分布的Lévy定价模型, 和正态假设的B-S模型相比, 定价精度的提升有多大?NIG和VG的表现差异是否显著? (2) 在考虑了波动率的时变性特征后, Lévy-GARCH模型对权证的定价精度有多少提升?不同形式的非对称GARCH模型是否有显著区别? (3) 相同GARCH模型框架下, 新息服从不同Lévy分布是否对定价结果有显著影响?

为了回答以上问题, 用表5显示的7个定价模型进行38支权证的模拟定价, 并通过RMSRE (root mean square relative error) 和AARE (average absolute relative error) 两个统计指标, 评估了模拟定价结果和真实价格的误差, 这两个指标的构造方法如下:

从结果可以看出以下几个结论: (1) 相比于B-S模型, 无论从RMSRE还是AARE统计指标, Lévy模型和Lévy-GARCH模型都能显著提升定价的精度。 (2) 无论Lévy过程取NIG还是VG, 在考虑了时变波动率后, GJR-GARCH和EGARCH定价的准确度都能比相应的Lévy模型有进一步提升, 而相同条件下, GJR-GARCH模型的提升效果更好。 (3) Lévy过程间的对比显示, NIG模型和VG模型的结果差异非常小, 而相同的GARCH模型框架下, 选取哪种Lévy过程来做随机数也对结果影响不大。这些结果与Byun (2013) [8]对美国指数期权和吴鑫育等 (2012) [12]对香港指数权证的实证结果一致, 说明在定价精度上非正态GARCH模型有一定的优势。

4.4 权证间定价结果的对比分析

从模型间定价结果来看, 虽然Lévy-GARCH模型和Lévy模型的定价精度相对于B-S模型有所提升, 但对于部分权证来说, 市场价格和模型理论价格相差很大。Xiong和Wu (2011) [9]经过实证分析, 认为国内市场存在过度投机现象, 使得市场价格偏离无套利框架下的理论价格。因此我们对38支权证进行分类, 以验证哪些因素对这一偏离起主导作用, 同时观察Lévy-GARCH模型对不同类别权证定价精度的提升作用是否有区别。

(1) 权证上市日期对定价结果的影响

大量学者认为, 由于大陆权证市场的投资主体主要由个人投资者组成, 与海外成熟市场的投资主体在衍生品基本知识和风险控制意识上存在差距, 从而造成市场投机气氛浓厚, 合约的换手率过高。一个显著的证据是, 包括茅台JCP1在内的许多内在价值为0的权证在合约执行日临近的几个交易日内, 不仅交易活跃, 而且市场价格还远远高于0。

首先要验证, 中国权证的市场价格和无套利模型定价结果的偏离在2005~2009年, 是随着投资者对市场认识逐步加深而缩小, 还是随着投资热情的高涨而持续扩大?根据权证上市交易的起始时间, 将权证分为两组, 第一组为早期发行的权证, 包括2005年8月上市的宝钢JTB1至2006年4月上市的首创JTB1, 共12支。第二组为2007年9月至2009年8月, 包括国安GAC1到长虹CWB1的12支权证。为了使对比更明显, 剔除这两组间的14支权证, 对比结果在表6中展示。

虽然这一对比没有控制2005~2009年与宏观经济、金融市场相关的因素, 但两者显著的差异还是显示出随着时间推移, 权证市场日趋火爆, 投机情绪蔓延, 市场价格与权证内在价值的偏离持续扩大, 进一步解释了为何建立在无套利假设上的B-S、Lévy、Lévy-GARCH模型无法给出足够准确的定价。

(2) 权证内涵价值对定价结果的影响

由于权证具有杠杆效应, 而且大陆权证市场的波动性强、换手率高、涨跌限制较股票市场宽松、可以进行T+0交易, 因此吸引风险偏好的投资者参与这个市场。对于这些激进型投资者来说, 价外权证由于市场价格低, 杠杆效应明显而更有吸引力, 国外研究也显示, 与价内期权相比, 价外期权, 特别是平价期权有明显的溢价。因此, 对价内权证和价外权证分别进行定价误差计算, 通过横向对比, 从权证价值状况这一角度来展示我国权证市场的投机性, 并验证Lévy模型和Lévy-GARCH模型对不同溢价水平权证定价的准确度。选取的38支欧式权证中, 有19支价内权证和19支价外权证。

(1) 模型中的百分比数据是该模型与B-S模型相比, 相应模型的AARE偏差度降低的比率。

从结果看, 价外权证的偏离水平显著的大于价内权证, 这一现象是Xiong和Yu (2011) [9]认定国内权证市场过分投机的一个主要证据。模型间对比显示:相对于B-S模型, Lévy模型对这两类权证定价精度提升的效果没有明显差异, 但Lévy-GARCH模型对价外权证定价精度的提升比率显著高于价内权证。这说明, 由于低价权证更易受到价格操纵, 投机者也更关注价外权证的市场走势, 表现为价外权证的波动率数据具有很强的传递性, 因而GARCH框架的定价模型能更好适应这部分权证的数据, 定价精度显著高于固定波动率的模型。

(3) 权证到期日对定价结果的影响

为进一步探讨随着到期日的逐渐临近, 权证市场价格和理论价格的收敛情况, 选取权证万华HXB1的数据, 使用定价效果最好的NIG-GARCH模型进行验证, 同时选取B-S模型进行对比, 定价的时间窗口为权证发行日到权证执行日前一天。

第一幅图为使用B-S对权证定价的结果, 第二幅图采用了NIG-GJR-GARCH模型。通过对比, 可以看出以下几个特征: (1) 我国权证定价的偏误具有不对称性, 认沽权证往往被高估、认购权证往往被低估, 这一结果同王茵田等 (2012) [10]的结论一致; (2) 虽然理论上说, 随着到期日临近, 权证市场价格会逐渐收敛于理论价值, 但我国权证在到期日临近的几天, 反倒会出现交易活跃、价格突然偏离的情况, 在最后两三天才开始加速收敛, 这一现象被视为大陆权证市场过度投机的主要证据; (3) NIG-GARCH模型在市场出现剧烈波动的情况下, 定价精度优于B-S模型。

5 结论

投资者根据自己对权证和标的股票价格的预期进行交易, 最终由买卖双方的交易形成市场价格。由于投资者会根据自己的风险偏好和相关资产的风险水平进行权证的估价, 因而国内外学者普遍认为波动率是权证价格的主要因素, 所以使用有偏的GARCH模型来构造权证定价模型。同时, 考虑到金融数据的非正态特征, 引入Lévy过程模拟GARCH模型下的随机数, 建立了Lévy-GARCH定价模型, 并进行了模型的风险中性转换。通过对我国权证数据的研究, 得到以下结论: (1) 相对于传统的B-S模型, Lévy模型和Lévy-GARCH模型能显著提高定价精度, 而Lévy-GARCH模型的效果最好。使用了有偏GARCH模型后, 模型表现出了金融资产波动率的“聚集效应”和“杠杆效应”, Lévy过程也很好体现出了数据的“跳跃”特征。并且对于市场波动较强的权证, 由于Lévy-GARCH模型能准确描述波动的传递, 所以其定价表现较其他模型有明显优势。

(2) 使用多种模型对我国38支欧式权证定价的结果显示, 我国权证市场投机现象严重, 市场价格严重偏离权证在无套利假设下的内在价值, 具体表现为:随着时间推移, 权证市场投机情绪蔓延, 新发行权证的市场价格与理论价值的偏离逐渐扩大;价外权证出现显著的溢价;权证无套利假设下的内在价值和市场价格并没有随到期日临近而一致性收敛, 反而会在到期日前两个月出现更大偏离, 直至最后几天加速收敛。

摘要：考虑权证标的资产的非正态特征, 引入Lévy过程改进GARCH模型下权证的蒙特卡洛模拟定价方法。首先, 针对不同Lévy随机分布和有偏GARCH模型建立真实测度下的Lévy-GARCH模型, 然后进行风险中性测度转换并对38支大陆权证进行定价, 最后对定价结果进行分类比较。结果表明, 虽然大陆权证的市场价格与无套利假设下的理论价值有显著偏离, 但Lévy-GARCH模型的定价精度仍然优于经典的B-S模型和Lévy随机模型, 并且在市场剧烈波动的环境下定价效果提升更明显。

权证定价模型篇4

由于可以将到期日前的任意一日作为执行日,并以执行日的价格结算,美式期权的定价是一个典型的“最优停时”问题。目前解决这一问题方使用最多的方法为二叉树模型和蒙特卡洛模拟技术。二叉树方法是早期期权定价模型的主要方法,最早提出二叉树这一离散时间框架模型的是Cox等(1979)[1],后来经过不断的发展和改进,最后发展到了美式期权定价领域(Zmeskal,2010)[2]。但如果美式期权定价采用二叉树方法,就要计算二叉树的每一个节点,当随机因素过多时,二叉树的计算会以指数形式增长,会出现“维数危机”。在这一问题上,蒙特卡罗模拟方法比二叉树方法更具扩展性,对于含有多个随机因子的衍生品的定价模型,蒙特卡罗模拟同样适用。近年来,随着蒙特卡罗模拟定价的算法的不断优化以及计算机性能的持续提升,越来越多的蒙特卡罗模拟方法问世,其中Longstaff和Schwart(2001)[3]提出的最小二乘蒙特卡罗模拟法得到了广泛关注。本文在最小二乘蒙特卡洛模拟框架下,结合Lévy-GARCH模型实证研究我国美式权证的定价问题。

自Carriere(1996)[4]的文章开始,蒙特卡洛模拟被正式用于解决美式期权的定价问题,但在Carriere的文章中,估计预期现金流的问题并没有被很好地解决。针对这一问题,Longstaff和Schwart(2001)[3]对“未来现金流的现值”与当期“股价”进行最小二次的回归,反向迭代递推每一期的预期收益,使得预期期权现金流值随模拟路径而不断更新,从根本上解决了Carriere的文章中未解决的问题。最小二乘法的应用价值很高,因为通过这一方法得出的结果更精确,同时运算效率也很高,更是巧妙地解决了“维数危机”。和别的蒙特卡罗方法一样,Longstaff和Schwart(2001)[3]的最小二乘蒙特卡罗模拟法也是通过更优的算法,在短时间内模拟更多路径,从而达到降低方差、提升置信度的效果。近几年来,优化基础资产模型与优化模拟算法一直是研究蒙特卡罗模拟方法最主要的两方面,其中,关于优化算法的成果较多,Bouchard等(2004)[5]、Haugh和Kogan(2004)[6]、Kim等(2013)[7]都拓展了定价算法,他们通过马尔科夫链来优化了最小二乘蒙特卡洛模拟方法,使得美式期权的定价效率尤其是高维美式期权的定价效率得到很大提高。

相较于模拟算法方面比较丰富的研究成果,对于基础资产模型的优化的研究成果则要匮乏的多。基础资产的特征尤其是波动率的特征对于期权衍生品的定价结果有着至关重要的作用,Duan(1995)[8]很早便在欧式期权定价模型中引入了GARCH模型,不但证明了时变波动率下的模型描述的资产更加贴近真实情况,同时证明了得到的衍生品定价结果明显优于传统模型得出的结果。Christoffersen等(2010)[9]更是使用Lévy-GARCH模型来对欧式期权定价,同时给出了局部等价鞅测度的风险中性转换关系。由于定价美式期权的困难更大,这些模型出现在美式期权定价领域的时间较晚,也并不完善。Lars Stentoft(2012)[10]在美式期权的定价中引入GARCH模型,并详细的描述了美式期权在GARCH模型下使用蒙特卡洛模拟方法定价的思路,后来对比这种模型与多种美式期权定价模型,结果都表明,无论何种期权,考虑了GARCH效应的LSM方法描述的资产价格更接近真实情况,而且得出的美式期权定价结果也更加精确,同时也发现了许多依旧需要考虑的细节,因此,这一方法还可以进一步发展完善。

在我国,美式期权在最小二乘框架下的成果有限,孙春燕等(2004)[11]、吴建祖和宣慧玉(2006)[12]、雷杨和杨海军(2008)[13]都使用了蒙特卡罗模拟法来实证研究美式期权问题。张利花(2013)[14]则讨论了TS-GARCH模型美式期权定价问题。但在期权定价中引入非正态模型和有偏GARCH模型的研究成果却很少。刘强等(2012)[15]通过定价标普100指数的美式期权,实现了在GARCH架构下,美式期权最小二乘历史滤波研究,证明了这一方法的有效性。

以上成果中不乏有考虑随机数的非正态性与非对称性,也有考虑股票价格的跳跃,但同时考虑这些因素的却没有。事实上,Madan和Seneta(1990)[16]、Kou(2002)[17]、Glosten等(1993)[18]很早便将欧式期权的定价模型中引入Lévy过程,用以刻画资产收溢率的非正态性以及捕捉基础资产价格与波动率的跳跃。然而尽管如此,针对美式期权定价的跳跃模型的研究仍然很少。针对已有成果与空白不足,本文采用Lévy过程来模拟基础资产的收益率,用GARCH模型来描述基础资产的波动率的特征,采用特定矩估计法来估计模型参数,在风险中性条件下,运用最小二乘蒙特卡罗模拟来对美式权证进行定价分析。然后对比分析包括B-S模型,GARCH-LSM模型以及本文提出的Lévy-GARCH-LSM模型在内的10个模型对我国美式、百慕大式权证和S&P100指数美式期权的定价结果,比较各类模型的定价能力,同时分析我国权证的市场价格是否服从无套利假设。

2 Lévy-GARCH修正下最小二乘蒙特卡罗模拟定桔模型

区别于欧式期权只能在到期日行权,美式期权可以选择到期日前的任意一日来行权,故持有者会估计到期日前基础资产的预期价格,选出收益最大的一日作为行权日,尽可能地使自己的利益最大化。正如前文所述,美式期权定价是一个“最优停时”问题。然而,在数学上一直没有方案能很好地计算随机过程模型的最优停时,特别是加入了Lévy过程的随机过程。Boyle(1977)[19]等学者很早便在欧式期权定价问题的解决中采用蒙特卡罗模拟方法了。因此,已有大量的研究实证分析解决一些像欧式期权一样的经典衍生品的定价问题,同时也证明了最小二乘蒙特卡洛模拟方法不仅能在风险中性的条件下收敛于市场价格,同时具有很强的扩展性。

普通的蒙特卡罗模拟方法并不能对美式期权定价,因为在美式期权的持有期内,持有者会估计到期日前每一日的基础资产价格,因此,每一个节点的模拟次数都需要足够多,得到的结果的可信度才比较高[3]提出的LSM法首次准确而高效的解决了这个问题。最小二乘蒙特卡洛模拟的核心思想是模拟得到多条路径下每一期的标的资产价格,计算得出到期日的收益,通过最小二乘回归倒推前一期的预期收益,对比预期收益与当期执行的收益,选择较大的作为当期价值,如此递推得到美式期权每一期的价值,求得定价结果。LSM法的高效计算大大地减轻了大量模拟的负担,使得维数问题得到很好的解决,因此本文采用LSM法来进行期权定价的研究,同时由于标的资产的非正态性以及考虑方差的时变性,本文建立Lévy-GARCH-LSM模型来对我国市场上的权证进行实证研究。

2.1 Lévy-GARCH模型下LSM定价模型

以Duan(1995)的GARCH模型作为框架,一般化的非正态异方差模型如下:

其中,Rt为股息调整后的资产对数收益率,mt(·;θR)是收益率方程的均值项,ht为条件异方差序列,其中,g(·)的参数为θh.εt为收益率模型的标准化新息因子,在信息集Ft-1条件下服从均值为0、方差为1、参数为θh的D(·)分布,D(·)为Lévy过程的独立、平稳随机增量。

GARCH模型主要用来衡量波动率的“聚集效应”。Engle(2011)[20]认为新息对波动率的影响不是一时的而会持续一段时间,因此使用自回归模型来刻画时变波动率。然而方差对“新息”的反馈往往存在“杠杆效应”,由于方差的非负性,这种反馈常常是非对称的,有的时候负的新息造成的影响甚至比正的大,非对称GARCH模型正好可以描述这一特征。目前为止,有几个非对称GARCH模型的影响比较大,主要有EGARCH模型、GJR-GARCH模型和TGARCH模型,这些模型都能将条件异方差的杠杆效应很好的表现出来。由于GJR-GARCH和TGARCH结构相似且得出的结果也十分相近,因此本文只采用GJR-GARCH模型与EGARCH模型来实证分析对比在Lévy分布下,不同有偏GARCH对结果精度的影响是否一致。

GJR-GARCH(1,1)和EGARCH(1,1)模型的条件方差形式分别为

满足β<1,在Lévy-GARCH定价模型中,简化了对数收益率方程的均值项mt(·;θR),使其等于μt-γt,μt为漂移项,γt为对数收益率的均值调整项,具有性质:。新息εt|Ft-1~D(0,1;θD)将服从选定的Lévy过程。

3 Lévy-GARCH蒙特卡罗模拟技术

在得到Lévy-GARCH-LSM模型结构后,本节将考虑如何使用蒙特卡罗定价技术和LSM定价技术,推导出美式期权每一期的模拟现金流预期,并通过反向迭代得到最终的定价结果。其中有三个重点,分别为:Lévy随机数的蒙特卡罗模拟;Lévy-GARCH模型的风险中性变换;Lévy-GARCH模拟路径和LSM方法的结合。

4 期权、权证数据的实证结果

4.1 数据统计特征

2005~2009年,为完成股权分置改革,沪深两地证交所上市了40支欧式权证、一支美式权证和14支百慕大权证,其中支备兑权证有26支,支股本权证有29支。由于定价日与到期日间的间隔对于期权定价结果的准确性有显著影响,因此,本文队所有样本权证选择同样的时间间隔160日。由于深发SFC1和深能JTP1两支权证交易日较短,然而由于美式权证深能JTP1和百慕大式权证深发SFC1的交易时间较短,得出的结果极不稳定,故将这两支权证从样本中剔除,只分析剩下的13支百慕大权证,具体信息如表1所示。

注:(1)权证性质:C为看涨权证,P为看跌权证。(2)行权方式:B为百慕大权证,A为美式权证。(3)行权价格的单位为元。(4)行权比率的单位为股/份。

如前文所述,本文Lévy-GARCH模型的选择原因有两个:一是Lévy过程的选择原因。由于资产价格收益率并非服从正态分布而存在“尖峰厚尾”的情况,能捕捉跳跃的Lévy过程能更好的模拟资产价格的运动。二则是选择GARCH模型的原因。考虑到基础资产的波动率的时变性与“杠杆效应”,本文选择了两类有偏GARCH模型,即GJR-GARCH和EGARCH模型来描述波动率的特征。为了更明确的说明GARCH模型的适用性,这里选择上述权证中的石化CWB1的标的股票作为样本来分析,其在两种有偏GARCH下的波动率如图1所示。

根据图1中GJR-GARCH和EGARCH下时变标准差的波动特征可得:一是波动率具有聚集特征,且十分强烈。这一点同时也证明了用GARCH模型描述得波动率更加符合真实数据。石化CWB1权证的波动率在上市后1个月左右的波动率明显高于别的时段,但在此之后波动率迅速下降,在上市后的第3个月到第5个月有明显低于别的时段。二是GARCH模型的“杠杆效应”。从图1中不难看出,波动率的变化速度明显不具对称性,上升明显快于下降。基于以上两点,选用GJR-GARCH和EGARCH这两种有偏GARCH模型来描述波动率。

表2为权证标的股票的模拟数据的据统计量,根据表2中的矩特征可得权证的标的股票明显具有非正态性。因为正态分布下,金融随机数据的偏度为0,峰度为3。而在真实数据中,偏度明显不为0,峰度也远高于3。出现这种情况,一方面是金融市场存在异方差效应,导致“厚尾”现象,另一方面,真实的金融市场数据中有着大量的“跳跃”的存在。因此,使用Lévy过程来模拟数据,得出的定价结果会比使用正态分布得出的结果准确。

注:(1)所有统计特征指标为13支股票统计指标的算术平均值。(2)其中Return rates为股票价格的对数收益率,GJR-GARCH为GJR-GARCH模型的新息项εt,EGARCH为EGARCH模型的信息项εt.(3)最后一行为S&P 100指数收益率(1996年1月1日至2013年8月30日期间)的统计性质。

从图1和表2中的统计特征来看,有偏GARCH模型描述波动率特征更加符合真实状态,同时Lévy过程能更好的模拟的真实数据额的分布,所以使用Lévy-GARCH修正下的LSM法模拟的的金融数据能够更好更准确。

4.2 参数估计结果

与布朗运动相对比,NIG和VG过程虽然能描述数据的高阶矩特征,但分布函数较为复杂,与有偏GARCH模型结合后,参数增多导致密度估计更加困难,采用传统的极大似然估计运算效率非常低。相比而言,Lévy过程的矩条件则较为简单,可以采用广义矩估计(GMM)框架下的计量方法进行参数估计。Carrasco等(2007)[21]提出了连续矩条件GMM方法(GMM with a continuum of moment condition),很好解决了Lévy参数估计的难题,因此本文使用GMM方法进行模型的参数估计。

由于本模型重点考虑金融数据的波动率、偏度、峰度对衍生品定价的影响,因此首先构建一阶矩到四阶矩的解析式向量:,其中mi(θ)为第i阶矩的解析式,θ={θR,θh,θD}为待估参数,包含GARCH模型的均值项参数θR、方差项参数θh和Lévy分布的随机项参数θD.得到总体矩的显式表达式后,计算样本矩向量:,通过优化参数矩向量和样本矩向量的距离进行参数估计,其中W为对角阵,用于给目标函数赋权重。

由于定价的权证数量较大(共13只,每一份权证都拥有各自不同的参数),而篇幅有限,故不详细展示参数估计结果,Lévy过程进行拟合的优越性参见图2。该图选取武钢JTB1 2006年1月11日至11月14日共200天的数据,提取对数收益率,然后分别用几何布朗运动、NIG分布和VG分布进行参数估计和模拟得到。通过对比,可以看出这两个Lévy分布模型能很好得模拟出真实数据“尖峰厚尾”的数据特征,偏度方面的拟合效果也远好于正态分布,体现出了Lévy分布在金融资产定价模型中的优势。

4.3 美式权证及百慕大权证定价结果

大量研究认为,在我国,很少有权证持有者提前执行美式权证和百慕大权证,这样那么不提前执行的权证与欧式期权相似,可以使用欧式期权的定价公式对其定价。为了研究使用B-S等经典欧式期权定价模型对美式权证和百慕大权证定价是否会让美式和百慕大式权证的价值被低估,本文首先使用B-S公式来对样本进行定价。然后考虑到金融市场数据的特征以及验证随机分布对定价结果的影响,用Lévy过程中的NIG过程和VG过程来模拟金融资产的收益率,使用最小二乘蒙特卡罗模拟法来对我国权证进行定价,同时也考察了最小二乘蒙特卡罗模拟法对我国的适用性。接着在最小二乘蒙特卡洛模拟框架下使用GJR-GARCH模型和EGARCH模型来描述波动率的特征,同时证明了Lévy-GARCH模型对结果的提升程度。

因此对选取的13支百慕大权证进行多种模型的定价,通过对比分析11个模型的定价结果,可以回答以下四个问题:(1)我国的百慕大权证用LSM公式定价是否能得出准确结果?是否因为很少有投资者提前行权的原因,便将欧式期权公式运用于美式及百慕大式权证当中?(2)假设资产收益率服从Lévy分布得到的结果是否比服从正态分布的结果有显著提升?如果有提升,不同Lévy过程间是否有显著区别?(3)波动率中引入GARCH模型,即考虑条件异方差,是否会优化权证定价结果?不同GARCH模型间是否有明显区别?(4)我国的美式权证和百慕大权证是否存在过度投机?其价格是否远远偏离了无套利价格?

表3展示了以上定价模型对38支权证的模拟结果,通过RMSRE(root mean square relative error)和AARE(average absolute relative error)两个统计指标,评估了模拟定价结果和真实价格的误差。

上述问题的前三个问题的答案可以从表3中得到,从定价结果来看,在中国市场上,B-S模型的表现显著劣于其他几种模型,因此可以肯定,即使美式权证和百慕大权证的的持有者不提前执行权证,使其交易行为与欧式期权类似,其定价公式仍然不能直接使用欧式期权公式而应该考虑美式期权提前行权时预期现金流的影响。同时,表3的结果也验证了蒙特卡罗模拟方法尤其是引入了Lévy过程的NIG-LSM模型和VG-LSM模型对定价结果有显著提升,NIG-LSM模型和VG-LSM模型的表现相差不大,但都明显优于普通LSM法。最后,在加入Lévy过程的LSM模型中再引入有偏GARCH模型得到的结果的精度最佳,在本文的四种Lévy-GARCH-LSM模型中,VG-GJR-LSM模型的效果最好,相对NIG的LSM方法减少了10%的定价误差。同时,比较GJR和EGARCH模型发现,两者的定价差异并不显著,误差在1%以内。这些结果表明时变波动率对期权类衍生品定价的重要性。S&P 100美式期权结果也表明,引入非对称的GARCH模型可以有效降低定价误差,其中,Lévy-GARCH模型的结合效果更加明显。值得注意的是,S&P 100的LSM期权定价误差非常小,这说明在这个极为接近无套利条件市场中,大部分投资者都不会提前行权,很少有提前执行的套利空间。

另外,为了回答第四个问题,即:我国的主要美式权证及百慕大权证是否严重偏离无套利价格?这需要理解我国权证市场上定价的误差水平,并与可靠的相关市场进行对比。S&P100指数的美式期权相对是较为理想的对象,一方面,该美式期权的定价环境被认为极为接近无套利假设,另一方面,学术界也拥有大量文献研究该美式期权,如Lars Stentoft(2001,2012)[10],国内的刘强(2012)[15]等等,这些给了本文许多可以参考的重要信息。本文进一步将上文提到的同类模型及方法运用于S&P100指数的美式期权,为此,从“沃顿商学院金融数据库”收集了1996年至2013年间共计19543个交易活跃的短期美式期权,一半为看涨期权,一半为看跌期权,为了使所选择的美式期权与我国权证其各自对应的基础资产和合约条件尽可能地处于同类水平,对美式期权合约作以下选择:[22]通过分析价格数据和交易数据,认为我国市场投机活动过于活跃;交易制度不够完善,这些因素造成我国权证市场显著偏离有效市场假说,因而建立在无套利假设下的理论模型都很难对我国市场的权证价格进行估计。

5 结论

在LSM框架内,考虑金融市场数据的非正态性与跳跃特征,以及金融资产收益率的波动率的杠杆效应和“聚集效应”,本文建立和使用了Lévy-GARCH-LSM模型并选取了8个期权定价模型来实证分析我国权证市场上的13支权证,同时也和S&P 100指数的定价结果进行了对比,得出了以下结论:(1)即使持有者不会提前执行美式权证和百慕大权证,这两类权证依然不能使用欧式期权定价公式来定性定价。由于每一期的预期收益都能被很好的估计,故LSM类模型得出的结果比较可靠。(2)由于金融资产收益率的非正态性和跳跃特征,在最小二乘蒙特卡罗模拟框架下,使用Lévy过程模拟得到的定价结果的精度有显著提升,NIG和VG过程的拟合效果都非常好。(3)有偏GARCH模型特别是EGARCH模型和GJR-GARCH模型能很好的描述权证标的资产波动率的时变特性,从而得出更加精确的定价结果。(4)相较于B-S等以往经典模型,Lévy-GARCH-LSM的定价表现要好的多,但由于我国权证市场定价效率的缺乏,基于风险中性的定价模型仍难以给出准确的结果。

摘要：为了准确描述基础资产波动率的“聚集性”、“杠杆效应”及时变特征,将有偏GARCH模型引入最小二乘蒙特卡罗美式期权定价(LSM)方法中,同时使用Lévy过程修正GARCH模型中的随机数分布,进而表现金融数据的非正态特征和“跳跃”特征,建立了Lévy-GARCH-LSM模型。基于我国13只美式权证、百慕大权证,和S&P 100指数的美式期权的实证研究,发现:(1)Lévy-GARCH模型不仅能精确地描述基础资产的统计特征,而且还提供了较为准确的美式权证定价结果;(2)引入Lévy过程和GARCH模型都能提高权证定价精度,而各类非对称GARCH模型之间没有显著差异;(3)由于我国权证市场交易制度不完善、投机成分严重,与S&P100美式期权的误差相比,基于无套利假设下的Lévy-GARCH模型用以定价我国权证仍存在较大误差。

权证定价模型篇5

新股上市首日, 往往大幅高开并伴随巨额换手, 之后开始跌跌不休, 不少新股跌去当日收盘价的三分之一, 招商证券甚至破发, 广大二级市场投资者为一级市场的无风险收益买单, 而且更重要的是, 新股的超高价发行拉高了二级市场的平均市盈率, 不断从二级市场抽血, 严重危害了二级市场的健康, 不利于股市的长期健康发展。这现象的根本原因是畸形的新股发行“市场化定价”制度。并且目前的发行方式会制造更多的“大小限”, 为未来股市的发展不断埋下隐患。

新股发行制度中共牵扯3种股东, 一是发起人股东, 这类股东当初以一元左右价格认购公司股份;二是各种大小非、战略投资者等, 以高于一元、远低于发行价格认购公司股份, 三是公开发行时, 以发行价认购股份的股东, 包括“大小限”和广大公众投资者。因为股改后第一和第二类股东支付了对价给公众股东而获得了流通权, 因此现在已经不能限制这两类股东的流通权利。

目前的发行制度中, 一般由主承销商确定发行区间, 并确定网上网下发行比例, 之后由机构投资者询价以价高者得的方式形成发行价格, 这一过程中, 人为压低网上发行比例使新股发行和上市时流通比例太低, 机构询价的方式决定发行价往往等于发行区间上限。

在新股发行方式还无法根本性改变的情况下, 在新股发行中, 同时由上市公司、承销商和网下申购投资者同时发行认股权证能起到有效的约束作用。

(一) 由发行人在发行股票是发行认沽权证:权证类型:认沽行权方式:欧式

流通份额:发行股本存续期起始日:发行股票上市日

存续期:一年行权价:股票发行价

目前, 发行人只要排队通过证监会的审核, 就可以放心大胆的圈钱, 发行价越高圈的钱越多, 因此早有“包装上市”的说法, 而且一年变脸两年亏三年ST的公司屡屡出现。发行股票上市过程中, 上市公司获得巨大利益而没有承担相应责任的现象一直存在。

发行人发行认沽权证, 有利于抑制上市公司的盲目圈钱。新股发行价格越高, 破发的可能越大。一旦破发, 投资者可以按发行价向上市公司卖出股票, 上市公司需要承担未来一段时间破发的风险。

(二) 由承销商创设权证:

1. 认购权证

权证类型:认购行权方式:欧式

流通份额:发行股本存续期起始日:发行股票上市日

存续期:半年行权价:定价区间上限

2. 认沽权证

权证类型:认沽行权方式:美式

流通份额:发行股本存续期起始日:发行股票上市日

存续期:半年行权价:定价区间下限

注:1、这里定价区间由行业市盈率上下波动30%以内确定。

2、承销商创设的权证最终行权总金额不超过本次承

销费用。

目前的发行制度中, 相比保荐审核发行的作用, 承销商最主要作用是作为发行审核的通道。承销费用通常根据融资额提取一定比例, 某种程度上, 高价发行符合保荐机构的利益。与巨额的承销费相比, 承销商需承担的责任不相符, 甚至可以说是微乎其微。

创设认沽权证后, 承销商需对发行人的投资价值有比较精确的评估, 并对二级市场有比较准确的判断。定价低了, 发行人不满意, 自己也要承担一定风险;定价高了, 股票破发后风险更大, 这样承销商定价能力受到考验。

(三) 由承销商替网下申购机构创设权证:认沽权证

权证类型:认沽行权方式:欧式

流通份额:发行股本存续期起始日:发行股票上市日

存续期:网下申购锁定期行权价:发行价

注:承销商替网下申购机构创设的权证最终行权总金额不超过

大于发行价的网下申购量乘以 (大于发行价的网下申购价格-发行价格)

网下申购投资者决定发行价格, 创设权证后, 机构投资者会经过深入研判决定这家公司是否值得投资, 不会像现在这样闭着眼打上限。

证券发行本是交易所的职责, 证监会应是超脱于市场的监管者。现在的情况却是证监会掌握新股发行审批权力, 通过行政审批控制股票的供求关系, 人为造成一、二级市场脱节和扭曲, 而所谓的“市场化”是在行政审批的缝隙中运作甚至是装点门面的, 不改变这种新股发行方式, 不进行彻底的市场化改革, 中国股市永远摆脱不了“政策市”。

参考文献

[1]吴冲锋.《金融工程学》.北京:高等教育出版社, 2005.

[2] (美) 约翰·赫尔.《期权、期货和衍生证券》.张陶伟译.北京.华夏出版社.1997.

[3]皮海洲.发行新股认沽权证可抑制新股高价发行.每日经济新闻, 2009-12-22.

权证定价模型篇6

关键词：Copula函数,蒙特卡洛模拟,多种权证

2011年8月11日,长虹CWB1顺利谢幕,标志着长达6年的权证市场暂时告一段落。在这六年的发展历程中,权证对股权分置改革的顺利推进实施起到了举足轻重的作用,但是也存在着一系列的问题,其中权证的定价模型能否正确反映权证的市场价格引起人们的广泛关注,众多学者致力于这方面的研究。2005年,李卓威[1]比较了大陆和香港权证市场的演变和发展,同时对国内权证市场提出了建议和计划;2006年,李存行[2]针对我国权证市场进行了认股权证的定价研究;2007年,周雷和楚晓玉[3]以宝钢JTB1为例分析了B-S 模型的实际定价效果;2008年,傅永昌、温亚昌、周少武[4]指出了我国欧式认购权证市场价格与理论价格存在偏离的主要原因;2009年,杜文歌和刘小茂[5]将分数布朗运动和跳过程运用于股本权证定价研究;2010年,赵健[6]则把遗传算法的BP神经网络方法应用到权证定价中;2011年,孔鑫和刁治[7]研究了基于GARCH模型的权证定价理论在武钢股份中的应用问题。

上述的权证定价方法虽然在一定程度上能够诠释权证定价问题,但是这些模型都存在不同程度的缺陷,有些模型的解不容易用数值方法求得,有些模型不能够充分考虑权证之间的非线性结构,从而导致理论结果与现实情况偏离过大。因此,进一步寻求更为科学的权证定价方法。为投资者提供更加准确的定价技术,具有重要的意义。

蒙特卡罗方法[8,9]又称统计模拟法、随机抽样技术,是一种随机模拟方法,根据随机变量变化的路径,模拟出随机变量可能发生的情况,进而得到变量未来的分布情况。运用该方法可以解决通常的数值方法难以解决的随机问题,且具有程序结构简单、误差容易确定等优点。

本文将致力于权证组合的定价问题,主要基于下列考虑:在同一时期,权证市场上往往不是存在单一的权证品种,而是多种权证同时存在的。考虑到权证之间往往存在着非线性结构,下文也将运用Copula函数这一揭示非线性结构的优良技术工具进行研究。本文尝试提出利用蒙特卡洛模拟计算单一权证、利用Copula函数揭示不同权证的非线性结构的计算多种权证的定价模型,将为投资者提供更具有参考价值的技术方法。

1 基于蒙特卡洛与Copula函数方法的权证组合定价

在权证市场上,权证的品种多种多样,而且未来的权证产品会更加丰富,同时由于认股权证的随机波动率和跳跃特性,基于随机波动率的认股权证的定价问题将是典型的高维衍生证券定价问题,因此利用蒙特卡洛随机算法和Copula函数具有很强的针对性。

1.1 计算单一权证价格的蒙特卡洛方法

本文采用蒙特卡罗方法的基本思想计算单一权证。假设股票价格服从以下随机微分方程:

dS=μSdt+σSdz (1)

其中,S是标的股票价格;μ为漂移率,是计算连续收益率的股票在单位时间内的预期收益率;σ是波动率,即计算连续收益率的股票在单位时间内收益的自然对数的标准差;α是一个广义维纳过程。

为了模拟资产价格在[0,T]路径,必须以步长δt来离散化时间。根据标准维纳过程的性质,可以得到股票价格离散时间模型

$\ln S (t + δ_{t}) - \ln S (t) = v δ_{t} + σ \sqrt{δ_{t} ε} (2)$

这里,ε~N(0,1)是标准正态分布变量。

对于欧式认购权证,在到期日它的现金流

$\max {0, S (0) e^{(r - \frac{σ^{2}}{2}) Τ + σ \sqrt{Τ ε}} - Κ} (3)$

其中K是执行价格,r是无风险利率,σ是标准差。其贴现收益为:

$E (e^{r Τ} \max {0, s (0) e^{(r - \frac{σ^{2}}{2}) Τ + σ \sqrt{Τ ε} - Κ}} (4)$

公式(4)给出了当前认购权证的价格。进一步利用下面的蒙特卡洛算法可以求出认购权证的价格:

1)生成标准正态分布随机数εi;

2)由第一步生成的εi代入

$S_{i} (Τ) = S (0) e^{(r - \frac{σ^{2}}{2}) Τ + σ \sqrt{Τ ε_{i}}} (5)$

Ci=e-rTmax{0,Si(T)-K} (6)

3)重复1和2的步骤,模拟6 000次,得到C1,…,C6000,利用公式

$\bar{C} = \frac{(C_{1} + C_{2} + \dots + C_{6000})}{n} (7)$

$\bar{C}$ 即为所求的认购权证的价格。

1.2 揭示权证组合的Copula函数方法

当多种权证同时存在的时候,每种权证的股票不一定都满足正态分布,而且权证之间存在着非线性结构,利用Copula函数可以很好的揭示这种关系。采用非参数估计法和K-S检验选择合适的Copula函数[10,11],它们的股票的收益率联合分布函数可以写成如下形式:

F(X1,X2,…,Xn)=C(FX1(X),…,FXn(X)) (8)

其中,C(FX1(X),…,FXn(X))为选取的连接密度函数,FX1(X),…,FXn(Y)为各种权证股票收益率的边际分布函数,在一般情况下,权证股票收益率的分布不一定满足正态分布,边际分布不一定为正态分布。计算多个当前权证股票价格的步骤如下:

1)产生n个均匀分布U(0,1)随机数a1,a2,…,an;

2)令所求的第一个随机数u1=a1,通过选定的Copula函数求得第二个序列在均匀分布的随机数u2,即求 $\frac{\partial C (u_{1}, u_{2}, 1, \dots, 1)}{\partial u_{1}} = a_{2}$ 的解u2*,令u2=u2*;

3)与2的步骤类似,一直产生第n个随机数un=an,通过选定的Copula函数求得第n个序列在均匀分布的随机数un,即求 $\int_{0}^{u_{n}} \frac{\frac{\partial^{n} C (u_{1}, u_{2}, u_{3}, \dots, t)}{\partial u_{1} \partial u_{2} \dots \partial t}}{\frac{\partial^{n - 1} C (u_{1}, u_{2}, u_{3}, \dots, 1)}{\partial u_{1} \partial u_{2} \dots \partial u_{n - 1}}} d t = \frac{\frac{\partial^{n - 1} C (u_{1}, u_{2}, u_{3}, \dots, u_{n})}{\partial u_{1} \partial u_{2} \dots \partial u_{n - 1}}}{\frac{\partial^{n - 1} C (u_{1}, u_{2}, u_{3}, \dots, u_{n - 1}, 1)}{\partial u_{1} \partial u_{2} \dots \partial u_{n - 1}}} = a_{n}$ 的解un*,令un=un*;

4)重复1,2,3的步骤,模拟6 000次,可以得到随机数对(u1j,u2j,…,unj),j=1,2,…,6 000,那么股票价格收益率xij=F $_{x_{i} j}^{- 1}$ (uij),i=1,2,…,n,j=1,2,…,6 000;

5)将模拟产生的股票价格收益率xij(其中i=1,2,…,n,j=1,2,…6 000)代入Xj=w1x1j+…+wnxnj,求得股票组合的价格收益率Xj,权重wi可以利用1-9比较尺度求得;

6)将第5步产生的股票组合的价格收益率Xj代入Cj=e-XjTmax{0,S(0)eXjT-K},j=1,2,…,6 000,其中K是执行价格,S(0)是权证组合的初始价格,然后将Cj(j=1,2,…,6 000)代入 $\bar{C} = \frac{(C_{1} + C_{2} + \dots + C_{6 000})}{n}$ ,则 $\bar{C}$ 就为所求的权证组合的价格。

2 应用实例

利用Copula函数、蒙特卡洛方法对实际市场的权证组合进行分析。首先选取2006年12月19日至2007年12月10日,伊利权证(580009)、马钢权证(580010)、中化权证(580011)三种权证以及标的股票的实际交易数据(数据来源:国泰安csmar数据库),借助spass13.0软件进行统计分析,如图1、图2、图3所示。

上图表明,权证标的股票的对数收益率满足正态分布。并且借助spass13.0软件分别对伊利权证和马钢权证,马钢权证和中化权证,中化权证和伊利权证做线性拟合,得到模型拟合度分别为0.139, 0.019, 0.003,它们都是非常小的,由此三种权证的收益率之间存在着非线性关系。

进一步估计出各个分布的参数,得出各权证的边缘分布函数。通过选择合适的Copula函数,求得投资者面临的权证组合收益率的联合分布函数,借助Matlab7.0软件,估计出Copula函数的参数。具体结果见表1。

由表1可以得出,Clayton Copula的参数α<-1,不满足参数范围要求,所以无法满足这三种权证之间的相依性关系,其他都在相应的参数范围内。

接着,对Copula函数进行K-S检验,发现Gumbel Copula函数是最优的连接函数。具体结果见表2。

由表2可以看出,Gumbel Copula的Z值比Frank Copula的Z值小,Gumbel Copula的P值比Frank Copula的P值大,因此Gumbel Copula的拟合结果最好。于是,连结函数选择Gumbel Copula。

第三,选择伊利权证(580009)、马钢权证(580010)、中化权证(580011)分别标的股票在2006年12月19日至2007年12月10日收盘价,由于篇幅的限制,给出2007年4月16日(周一)到2007年4月20日(周五)的收盘价如表3。

各权证的执行价格分别为8元,3.4元,6.58元。在这段时间内的各个权证的实际价格如表4。

第四,利用蒙特卡洛方法模拟6 000次,根据权证组合收益率公式xi=F $_{x_{i}}^{- 1}$ (ui),i=1,2,3,…,6 000,求得xij(其中i=1,2,3,j=1,2,…6 000),将其代入Xj=w1x1j+w2x2j+w3x3j,求得股票组合的价格收益率Xj,其中权重可以利用1-9比较尺度求得:w1=0.5,w2=0.25,w3=0.25。

第五,将股票组合的价格收益率Xj代入权证定价公式C=e-XjTmax{0,S(0)eXjT-K},其中对三种权证的执行价格加权求均值后可以得到权证组合的执行价格K=6.495,前一天的收盘价为当天的初始价格,对表3中三种权证标的股票的收盘价加权求均值后可以得到权证组合在2007年4月17日到2007年4月20日初始价格分别为20.477 5元,20.177 5元,19.957 5元,18.76元,由于4月20日为周六不考虑期初始价格。然后对Cj(j=1,2,…,6 000)求平均,可以计算出这段时间权证组合的价格,同时,对表4中的权证价格加权求均值得到权证组合的实际价格,二者进行比较,见表5。