高中函数思维培养

高中函数思维培养（精选12篇）

高中函数思维培养 篇1

所有的高中生都知道函数难学,函数的很多知识学生都不懂,很多学生因为学习不好函数连带着减少了高中数学的学习热情。其实函数之所以难学是函数与不等式、数列、方程等很多数学知识都有关联,这些关联的知识中有一种学不好就会导致函数学习遇到困难,但是函数又是高中数学的核心内容。它贯穿于整个高中数学的始末,如何学好函数,如何培养学生的函数逻辑思维已成为重要问题。

一、巩固学生的基础知识

我们都知道高中函数与高中的很多基础知识都有所关联,高中函数与方程、不等式、数列都有着莫大的关联,高中函数可以说是大半高中数学知识的结合,这些知识有一样基础知识不牢固都会大大的影响函数的学习质量。所以要培养高中生的函数逻辑思维首先要巩固学生的基础知识,基础知识加强了在学习函数的过程中才会更加的得心应手,理解函数才会理解的更加充分。平时教学中,老师在讲解函数习题时遇到了相关的基础知识,应该把所涉及的基础知识挑重点再给学生讲解一遍,课后在出相关的习题让学生去做。巩固学生的基础知识一方面是为了很好的学习函数,一方面也有利于培养学生的数学能力,所有数学归根结底都是在基础知识上演变的,巩固了学生的基础知识,对学生学习函数还是学习其它数学知识都是百利而无一害的。

二、数形结合来为学生讲解

高中函数运用最多的就是坐标,很多函数问题都有坐标,在培养高中生的函数逻辑思维时可以将数形结合来为学生进行讲解,数形结合使学生把问题看得更真切更清晰,数形结合把一个函数问题用最为直观的方式呈现在了学生面前。数形结合的方法对于学生来说更容易解决函数问题,更有利于培养学生的函数思维,数形结合不仅广泛的应用在函数中,高中数学的很多问题都可以通过数形结合进行解答,利用数形结合的方法对培养学生的函数逻辑思维有很大的作用。在平时教学的过程中,老师也可以鼓励学生们自己动手画坐标等图形,加深学生对数形结合问题的理解。

三、紧紧联系生活实际讲解

数学来源于生活,生活中的很多问题都与数学息息相关,函数作为数学的一部分也与生活有着很大关联,函数同其他数学知识一样,也是来源于生活,发展于生活。在培养高中的函数逻辑思维时也要紧紧的联系生活实际,利用生活中一些浅显易懂的问题来帮助学生解决函数难题。联系生活实际来培养学生的函数思维逻辑最大的好处就是能加深学生对函数问题的理解,学生每天都与生活中的很多事物有联系,老师完全可以利用这些生活中经常见到的事情或物品来为学生讲解,培养学生的函数逻辑思维,这样学生在看到一个物品时就会自然而然的联系到函数知识,久而久之,学生的函数思维逻辑就会培养出来,解决函数问题时就知道该从哪方面入手。

四、实施函数的开放式教学

很多高中生学不好函数,多半是因为函数的知识枯燥难懂,学生在接触函数之初就已经失去了学习函数的兴趣,在后期的学习中,老师不管在怎样努力培养学生函数逻辑思维都很难再激发起学生学习函数的兴趣。所以,为了更好的培养学生的函数逻辑思维,老师可以在函数教学中采取开放式的教学,让学生对函数产生兴趣。

老师在讲解函数问题时可以更多的运用教学工具,鼓励更多学生进行发言,老师认真听学生的意见,鼓励学生把自己想到的解决方法应用在函数问题中,老师要善于总结学生提出的问题,用学生的思想来解决问题,加深学生的印象,让学生学会举一反三,下次遇到相同的问题,学生就会联想到这道问题,就会运用这道问题的解决方法进行解决,

五、重视学生的课后习题

在培养学生的函数思维逻辑时要重视学生课后习题的质量,课后习题是学生对函数问题理解的直接反馈,老师会从学生解决问题的角度和方法中得知学生对于这类函数问题的理解程度,方便老师知道学生的不足,知道从哪入手解决学生的难题,培养学生的函数思维逻辑。老师在选择习题时要与所讲的函数知识紧紧关联,过于简单或者过于复杂的习题都不利于培养学生的思维逻辑。老师在选择课后习题的过程要慎重,习题是学生对所学知识的直接反馈,马虎不得。

六、结束语

函数是将常量数学转化为变量数学的一门数学知识,它是高中数学的纽带,但是由于函数本身的复杂性,高中生对函数学习可谓是望而却步,培养高中生的函数逻辑思维是高中生学好高中函数的关键,培养这种逻辑思维不是一朝一夕就能完成的事情,需要老师和学生一共努力,一同探讨,在学习中不断积累经验,最终学好高中函数。

摘要：函数是所有高中生必须学习的内容,很多高中生在学习函数时都会感到力不从心,函数知识对于高中生来说是很难理解的,于是函数成了高中生的噩梦,也成了高中数学教师教学的一大关卡,函数贯穿整个高中的数学课本,函数在高中数学中的分量早已处于不可动摇的位置。而本文研究的就是高中数学函数教学中学生逻辑思维的培养。

关键词：高中数学,函数,逻辑思维

参考文献

[1]赵毅菊.高中函数教学研究[D].内蒙古师范大学,2008.

[2]谢东明.怎样在初中函数教学中培养学生的思维能力[J].语数外学习(初中版下旬),2013,11:70.

[3]刘善翔.高中数学教学中学生逻辑思维的培养[J].中学课程辅导(教师通讯),2015,19:83.

高中函数思维培养 篇2

一、辩证分析，把握分寸，一分为二看问题

辩证唯物主义认为，看问题不能太片面，凡事要一分为二，不可走极端，要留有余地。在肯定某一事物的同时，应适当指出存在的问题和不足;在否定某一事物的时候，也不能一棍子打死，对其中正面积极因素应适当加以肯定，这样才能使人心悦诚服。

在个性与集体的话题作文中，有同学这样写:追求个性与注重集体表面上似乎相互矛盾，实际上两者是密切相连，可以相促进的。集体需要有个性的创性与独特的魅力才能发扬壮大，个体要服从集体，时刻有团结意识，才能发挥众人拾柴火焰高的作用。

当然追求个性、崇尚英雄本身并没有错，但个性是要在共性的基础上建立的。也就是说要有团结协作的集体后再施展个性为好。这样就很好地分析了个性与集体的辩证关系。

用一分为二的观点去分析问题，才能全面地认识问题，避免认识的片面性。分析问题时，既要看到它的这一面，又要看到它的另一面;既要看到它的正面，也要注意它的反面。对立统一的思想是辩证唯物主义的核心，它准确地提示了事物运动的源泉和动力，运用对立统一观点分析问题，应该是议论文写作的一个基本方法与途径。

二、辨证地看问题，用发展的眼光看问题

辩证唯物主义认为，发展是事物运动最本质的特征。任何事物都是发展的，是互相联系、互相依存的，并且事物还可能会向相反的方向转化。因此，我们应该用联系、发展、全面的观点来分析问题，这就是辩证分析。

议论文写作，应抓住这一最本质的特征，透彻分析事物的矛盾运动和发展变化规律，思路才能纵横掉阖，论述才能辩证有力。

对于素材扛起责任，做一领跑者(介绍格力空调董事长董明珠)，一位学生围绕责任写道:仰首瞻望，我看见一袭红裙的她，执着刚柔两面旗帜，便感动了一片天地。她在管理企业时的刚毅原则可能会让人觉得很冷血，但那都是为了事业发展的责任心使然。纵然尘世浮华，还是不能掩盖她身上夺目的光彩，亦不能抹去她兼济天下的情怀。传奇女子董明珠用责任的如椽大笔，描绘了她独一无二的人生。对内，她始终以企业员工为生命线，努力提升员工的幸福感;对外，则扛起了服务社会的.大旗，积极地投身公益，为社会减轻负担。

诚然，事物本身都存在对立的两个方面，董明珠这个素材也是如此。此片段深入挖掘董明珠刚性之美的丰富内涵，同时兼顾柔之品性，辩证分析中明确了观点。

同是面对这则素材，一位学生则转换思路，就坚持与改变这个话题写道:

虽然她36岁前的人生平淡无奇，但36岁后的她用自己的坚忍和执着走出了一条别人无法复制的路其实，能够在36岁时重新选择和定位自己的人生，并且一直坚持，本身就需要种令人敬佩的勇气，人生不是一成不变的，在面对困境时，我们必须勇于改变自己但一味地改变，会让自己毫无方向，适度的改变则能让自己走得更远我从来就没有失误过，我从不认错，我永远是对的量明珠的这份自信与霸气在有些人看来是执拗的，但这也正是她刚毅、有坚持的表现董明珠正是改变了该改变的，坚持了该坚持的，所以，她的人生很精彩

学会用发展的观点来分析问题，需要在思维方面有一定的深度和广度，需要从不同角度深入挖掘素材的丰富内涵，这样写出的文章才能说理透彻、论证严密。

三、用联系的观点辩证地看问题

辩证唯物主义认为，任何事物都不是孤立存在的，它总是和外界事物有着千丝万缕的联系。分析一个问题时，就要注意它和其他有关问题的联系。从事物普遍联系的观点看，一方面，要正确分析和区分前人的成就和缺陷、是与非、功与过、精华与糟粕等;另一方面，还要进一步分清哪是矛盾的主要方面，哪是矛盾的次要方面等。

如材料:有一群鸟雀飞来了，捕鸟人布了一张大网在林中等待着，结果网到了不少鸟雀。有一个人在旁边仔细观看，发现每一只被网的鸟头只钻进一个网眼。他心里想，捕鸟何必那么麻烦地把许多网眼结在一起呢?于是那个人便制做了一些单个网眼挂在各个树枝上，结果一只鸟也没有捕到。阅读上则寓言，确立立意，自拟文题，联系实际，写一篇议论文。

析理提示，系统和要素相互依存，相互作用，不可分割。在系统整体中，要使局部受控于系统整体，同时又反作用于系统整体。一个一个的网眼，只有组合起来，形成网，才能发挥网眼的个体作用。网眼一旦离开了组合的网，就失去了自身的作用与意义。正如一滴水若从水流中分离出来，便很快会蒸发消失，若与无数的水滴汇聚起来，才能奔腾咆哮，汇入大海，便会掀起狂澜巨涛。

通过函数定义域培养学生思维品质 篇3

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域、值域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：某学校计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：

S=x（50-x）

故函数关系式为：S=x（50-x）．

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：0＜x＜50

即：函数关系式为：S=x(50-x)（0＜x＜50）

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。

二、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：

例2：求函数y=x2-4x-3在［－1，5］上的最值．

解：∵x2-4x-3=(x-2)2-7

∴ 当x=2时，ymin=-7

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例3：求函数y=4x-5+2x-3的值域．

错解：令t=2x-3则2x=t2+3

∴ y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=2(t+14)2+7878

故所求的函数值域是［78，+∞)．

剖析：经换元后，应有t0，而函数y=2t2+t+1在［0,+∞)上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1．

故所求的函数值域是［1, +∞）．

以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。

四、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例4：指出函数f（x）=log2(x2+2x)的单调区间．

解：先求定义域：

∵x2+2x＞0 ∴x＞0或x＜-2

∴ 函数定义域为(-∞,-2)∪(0,+∞)．

令u=x2+2x，知在x∈(-∞,-2)上时，u为减函数，

在x∈(0,+∞)上时， u为增函数。

又∵f(x)=log2,u在［0,+∞)是增函数

∴函数f(x)=log2(x2+2x)在(-∞,-2)上是减函数，在(0，+∞)上是增函数。

即函数f(x)=log2(x2+2x)的单调递增区间(0,+∞)，单调递减区间是(-∞,-2)。

如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：

例5：判断函数y=x3,x∈［-1,3］的奇偶性．

解：∵2∈［-1,3］而-2［-1,3］

∴ 定义域区间［－1,3］关于坐标原点不对称

∴ 函数y=x3,x∈［-1,3］是非奇非偶函数．

若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性

六、抽象函数的定义域问题

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现。

综上所述，在求解函数关系式、最值(值域)、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变(指对定义域为R来说)，对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，进而有利于培养学生思维的創造性。

高中函数思维培养 篇4

一、营造有利的教学环境

情境具有强烈的吸引力, 对培养学生的数学思维及创造能力有着至关重要的作用。要形成学生主动学习、积极动脑、踊跃参与的课堂教学氛围, 教师就必须深入研究教材, 突出学生的主体地位, 尊重学生的不同观点, 鼓励学生想象、质疑甚至标新立异, 给予每位学生发表自己见解的机会, 最大限度地消除学生的心理障碍。

如讲到“反比例函数的图像上有点A (3, 2) , 求k的值”时, 学生通过代入x计算, 可以求出k的值。如果教师停留在此不再深入讲解求解的技巧, 对下面的反比例函数图像中关于面积的题目的讲解起不到帮助作用。所以可以提问:如果A坐标改为 () , 赛一赛谁能最快求出k的值?引导学生探索, 最终得出:用去分母的办法可得xy=k, 即只要是反比例函数图像上的点 (x, y) , 都满足k=xy。

要求学生充分利用这个等式, 接下来就可以出题, 如:

若反比例函数的图像过点 (2, 5) , 则点 () 也在这个反比例函数的图像上。

有了上面的引入, 这题无需求m的值, 即可选出答案B。

二、充分揭示数学思维过程

在反比例函数图像上的点, 满足xy=k, 在平面直角坐标系的第一象限中可随便描几个在同一反比例函数图像上的点, 如图1所示。

在描点的过程中, 学生可以看出点A (a, b) , B (s, t) , ab=k, st=k, 就是两个矩形的面积。如果把矩形的一条过原点的对角线连接 (如图2所示) , 则可发现进而让学生考虑:如果画在其他象限内的点, 是否也有如上的规律?如果把这条对角线与双曲线的另一支交点也画出, 那么这条直线和双曲线构成的是什么图形?这个结论对以后的解题是否有帮助?

教学中引导学生运用逻辑思维、形象思维以及直觉思维等多种思维方式, 使题目中的相关信息有序化, 通过学生的自主思考产生积极的效果或成果, 这种创造性思维能力是正常人通过后天的思考、培养就可以具备的。

三、精选练习, 紧扣重点

要培养学生的数学思维能力, 教学中就必须采用开放式的教学方法, 充分揭示解题的思维过程。因为学生学习的数学知识虽然是前人创造性思维的成果, 但是学生作为学习的主体处于再发现的地位, 学习活动本质上仍然具有发现和创造的性质, 因此解题的思维过程比题目答案本身更应值得重视。

如图3所示, 直线l和双曲线交于A、B两点, P是线段AB上的点 (不与A、B重合) , 过点A, B, P分别向x轴作垂线, 垂足分别为C, D, E, 连接OA, OB, OP, 设S△AOC=S1, S△BOD=S2, S△POE=S3, 试比较S1, S2, S3的大小:______。

解答:经过上面知识的学习, 如图4所示, 因为点A、B在双曲线上, 所以而点P不在反比例函数的图像上, 所以设PE与双曲线交点为F, 连接OF, 所以答案是S1=S2<S3。

如图5所示, 正比例函数y=x与反比例函数的图像交于A、C两点, AB⊥x轴于B, CD⊥x轴于D, 则的面积=____。

分析:由上面的讨论, 直线、双曲线都是中心对称图形, 如果一条经过原点的直线和双曲线相交则还是构成中心对称图形, 因此A、C两点关于原点成中心对称, 即AB与CD平行且相等, 则四边形ABCD为平行四边形, 那么对角线AC、BD则把ABCD面积四等分。

解答:是4个△AOB的面积, 答案是

著名德国数学家希尔伯特在哥廷根大学任教时, 常常在课堂上即兴提出一些新的数学问题, 并立即着手解决。虽然他并非每次都能得到圆满的解答, 甚至有时把自己“挂”在黑板上, 但他发现的思维过程却使学生受益匪浅。我国数学家华罗庚教授在自己的教学生涯中, 也一向重视概念产生、命题形成及思路获得的思维过程的教学, 并着意回答学生提出的“你是怎样想出来的”一类问题。这些事例充分说明了展现数学思维过程对于培养学生数学思维的重要作用。

四、激发学生的好奇心、求知欲

李政道说:“好奇心很重要, 有了好奇心, 才敢提出问题。”教师最重要的一项职责就在于, 要把学生的好奇心引导到探求科学知识上去, 使这种好奇心升华为求知欲, 从而激发学生自主学习的积极性。

经过上面几道求面积的题目训练后, 对于下面几题, 学生们应该跃跃欲试了。

如图6所示, 在反比例函数的图像上, 有点P1, P2, P3, P4, 它们的横坐标依次为1, 2, 3, 4。分别过这些点作x轴与y轴的垂线, 图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1, S2, S3, 则S1+S2+S3=_____。

解答:可利用面积割补法, 把S1, S2, S3放到由P1与x、y轴构成的矩形中, 而由P4与x、y轴构成的矩形被四等分, 得出

如图7所示, 两个反比例函数 (其中k1>k2>0) 在第一象限内的图像依次是C1和C2, 设点P在C1上, PC⊥x轴于点C, 交C2于点A, PD⊥y轴于点D, 交C 2于点B, 则四边形P A O B的面积为_________。

解答:构成的阴影部分面积, 正好是矩形面积减去两个直角三角形面积, 即k1-k2。

教学过程中, 只有通过选择和安排合理的、有引导性的问题, 才能不断激发学生的好奇心与求知欲。一个恰当而富有吸引力的问题往往能拨动全班学生思维之弦, 奏出一曲耐人寻味, 甚至波澜起伏的大合唱。因此善问是数学教师的基本功, 也是所有数学教育家十分重视并长期研究的一项课题。

五、结束语

数学教学中只有培养学生的“爱学”态度、“乐学”情绪、“会学”技巧、“自学”能力, 突出“优化思维品质, 培养思维能力”, 开阔视野, 理论联系实际, 培养解决问题能力, 才能使学生更适应社会发展。

参考文献

[1]任樟辉.数学思维理论[M].南宁:广西教育出版社, 2001.

[2]李玉琪.中学数学教学与实践研究[M].北京:高等教育出版社, 2001.

[3]傅海伦数学教学论[M].北京:科学出版社, 2004.

[4]肖利民.数学教学与学生创造思维能力的培养的影响[J].濮阳教育学院学报, 2003 (2) :51-52.

[5]谢传建.浅谈数学教学中创造思维能力的培养[J].福建教育学院学报, 2003 (3) :62.

[6]陶国富.创造心理学[M].上海:立信会计出版社, 2002.

[7]林志浩.数学教学创造性思维能力的培养[M].北京:科学出版社, 2000.

高中函数思维培养 篇5

在高中语文的教学过程中，通过采用情景教学的方式培养学生的语文思维能力。此教育模式是现阶段语文教学中经常应用的教学方式，其主要是教师经过对课本的全面了解，然后在课堂的教学中选用合适的情景进行教学，让学生在老师设立的情景案例中进行语文知识的学习，加深学生对语文知识的理解。而且，在学习的过程中，学生通过自主的想象，发挥出自身的学习观念，提升了学生语文思维能力。比如，在学习《荷塘月色》这篇文章时，教师可以选用适当的道具进行情景教学的设置。在课堂上教师用多媒体播放有关荷塘月色的音乐，让同学们感受到荷塘月色的美景与静谧的氛围，使其触景生情，引发学生的思考，培养学生的思维能力。教师通过情景创设的方式，深层次地展现出课本上《荷塘月色》的内容，加深学生对文章内容的理解。然后在浓烈的课堂氛围中，教师向学生提出问题“你认为《荷塘月色》中哪里最吸引你的眼球?”“在《荷塘月色》这样的静谧美景中体现了作者怎样的心境呢?”，然后学生带着老师给出的问题进行《荷塘月色》文章的学习，在对文章充分理解的情况下，找寻问题的最终答案。在寻找答案的过程中，使学生的语文思维逻辑得到一定提升。

二、对高中语文教学中学生语文思维的.培养采用小组合作学习模式

在高中的语文教学过程中，采用小组合作学习的方式能够有效培养学生的语文思维能力。新课改下的教学方法和传统的教学方法明显不同，新课改下的教学方法采用小组合作学习的模式主要是针对学生的学习能力进行知识的研究，而以往的教学方法中，教师作为课堂的主体，只是单纯地进行知识的传授，忽略了学生的学习知识的能力。这样就使学生处于被动的学习地位，学生只是被动地接受教师传授的知识，完全不理解知识的深刻含义，抑制了学生的思维发挥。所以，在高中的语文教学过程中，针对学生的实际情况应用小组合作的学习方式提升学生的语文思维能力。比如，在学习《装在套子里的人》这篇文章时，教师为学生分组，让学生以小组合作的形式进行此篇文章的学习，教师把文章中的教学问题一一给各个小组的每一位成员，让学生在文章的学习中找寻问题的具体答案。通过这样的学习方式，充分体现出各个学生的思维逻辑能力，他们会按照自己的想法与理解，找到不尽相同的答案，然后在小组之间进行相互沟通与交流，最后进行总结。同学之间会取长补短，学习他人的思维方式，然后针对自己的不足进行弥补，这样能有效培养学生的语文思维能力。

三、对高中语文教学中学生语文思维培养采用个性化思维培养模式

在高中的语文教学中，教师不仅要注重学生的语文思维培养，与此同时还要充分发挥其领导能力，针对学生的实际学习能力、语文思维能力以及解决问题的能力等各个方面进行综合的分析与考虑。制订针对性的教学方式，培养学生的个性化思维能力。而且在教学过程中必须关注学习的实际思维方式，对其思维想法进行针对性培养。帮助学生从多个角度进行语文知识的学习，进而提升学生的语文思维能力。比如，在学习《雷雨》这篇文章时，在分析文中周繁漪这一人物时，教师让学生根据自己的理解讲述此人物的形象，按照学生的自身想法，在一定程度上激励学生进行深层次的想象，充分体现学生的个性思维，提高学生学习语文的积极性，然后教师再予以补充，告知学生站在不同的角度讲述周繁漪这一人物形象，比如周朴园的妻子、周萍的情人等等，讲述每个身份的意义所在，然后根据文章内容，给周繁漪这一人物进行具体定位，让学生根据自己的思维想法进行多方面、多层次的思考，这样能丰富学生的思维想法，使其主动探索语文知识的深刻含义。在高中语文教学中，只有按照学生的自身学习思维实施针对性的个性化教育模式，才能有效提升学生的语文思维能力。

四、结束语

总而言之，处于高中阶段的学生，必须培养他们的语文思维能力，这样有助于他们的知识积累，使他们的思维深度更加深化，在考虑问题时也就更加全面。思维可谓是开启学生知识大门的金钥匙，可见其重要意义。而培养学生的语文思维能力关键要依靠教师的培养策略，主要有情景教学模式、小组合作学习模式以及个性化思维培养模式等教育模式。教师在高中的语文教学中要积极发挥良好的指导作用，让学生明确地认识到自己的学习能力，在课堂的学习中养成良好的学习习惯，使学生循序渐进地提升自己的语文思维能力。而且在语文课堂的教学过程中，还要不断地激发学生的学习积极性，让学生完全沉浸在语文知识的海洋中。

参考文献：

[1]魏回春.刍议高中语文教学中传统文化的渗透[J].中国校外教育，2016(15)：103-103.

[2]温雅玲.刍议高中语文教学中传统文化的渗透[J].课程教育研究：学法教法研究，2016(5)：136-136.

[3]姜月兰.高中语文教学中如何渗透传统文化刍议[J].中国校外教育，2016(7)：00095-00095.

[4]王翠红.刍议高中语文教学中传统文化的渗透[J].中国校外教育旬刊，2016(3)：6-6.

[5]刘国才.刍议高中语文教学中渗透传统文化的策略[J].语文天地：高中版，2017(6)：95-96.

高中函数思维培养 篇6

【关键词】函数教学逆向思维

逆向思维是相对于习惯性思维的另一种思维方式。它的基本特点是:从已有思路的反方向去思考、分析问题。表现为逆用定义、定理、公式、法则;逆向进行推理;反向进行证明,即直接解决较困难时考虑间接解决;从反方向形成新结论,即探讨可能性或合理性存在逻辑困难时探讨新的可能性等。逆向思维反映了思维过程的间断性、突变性与反联结性,它有利于克服思维定势的保守性。

在新课标中提高学生的数学思维能力与发展创新意识是高中数学教育的基本目标之一,而逆向思维是数学思维的一种重要形式。但是,教科书中的概念、定理、法则、公式以及性质等,在编写中大都采用正向思维,如果教师教学时也只采用正向推理,这样的信息易使学生形成单一的思维习惯,这种单向思维造就出来的学生一旦正向思维受阻,难以自觉地转入逆向思维。学习一个新概念、新方法、解决一个新问题的过程中不自觉地抑制掩盖了另一个过程,致使正向思维的惯性在一定程度上影响了逆向思维的建立,进而直接影响着学生分析问题、解决问题能力的提高。因此在数学教学中教师应自觉地、有目的地加强学生逆向思维能力的训练,提高学生的数学思维能力,使学生正向、逆向思维同步发展。那么,在数学教学中,如何培养学生的逆向思维呢?下面就高一函数的教学谈谈逆向思维的培养。

一、在概念教学中培养逆向思维

学生对定义、概念的理解,往往只停留在表面上,习惯于从左到右的理解,其实每个定义都是双向的。因此,教学中在正面阐明定义的同时,还要引导学生进行反向思考,列举反例,根据定义、概念判断是非,区别异同,逐步培养学生的逆向思维能力。比如:

【例1】讲了函数的概念后,可变化教材中的实例:(1)一枚炮弹发射后,经过26秒落到地面击中目标。炮弹的射高为845米,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间t(单位:s)变化规律是h=130t-5t2。

其中,

。

问1:时间t是高度h的函数吗?

问2:假设 ,炮

弹距地面的高度h仍是时间t的函数吗?

问3:假设,

炮弹距地面的高度h仍是时间t的函数吗?

同时设计问题:判断下列各个图形中,不可能是函数y=f(x)的图像的是()

通过问题的设计,从“数”与“形”两个角度,使学生能抓住函数概念的本质,启发学生善于从逆向角度去理解概念,不但提高了学生的思维能力而且促进了其学习方法的改进。

再如:讲了奇偶性的定义并能判断简单函数的奇偶性后,可以出示问题:

【例2】已知函数f(x)=ax2+bx+

3a+b是偶函数,且定义域为[a-1,2a],求a,b的值。

分析:此问题是“给定函数判断奇偶性”的逆向问题,它是已知奇偶性求字母参数的值。由定义,f(-x)=f(x)化简可得:2bx=0,要使此等式对定义域内的任意一个x都成立,只能b=0,又根据函数定义域在数轴上所示的区间关于原点对称,有

2a=1-a,解得a= 。

解决此逆向问题虽然与正向问题一样,围绕偶函数的定义,但学生对“定义域内的任意一个x”及“定义域的对称性”有了更深地体会,从而促进了逆向思维的训练。

二、在定理、公式的教学中培养逆向思维

数学中的公式一般是可逆用的。教师在教学中,可以随时选用或组编逆用思维的问题,来训练逆向思维。比如三角函数中的同角三角函数基本关系中“1”的回代,和差角、倍角公式的逆用问题。但对定理的逆用要注意其限制条件,像必修一中的零点存在定理,我们可设置如下逆向问题:

【例3】对任一函数:

(1)实数c是函数y=f(x)在区间(a,b)上的零点,是否必有f(a)·f(b)<0?(2)函数y=f(x)在区间(a,b)上不存在零点,是否必有f(a)·f(b)≥0?

三、在性质的运用中培养逆向思维

在函数的每一个性质的运用中,我们都可以恰当的设置一些逆向问题,提高学生的逆向思维能力。像:

【例4】设f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y)。若f(3)=1,且f(a)>f(a-1)+2,求实数a的取值范围。

分析:由f(xy)=f(x)+f(y)及f(3)=1可得2=2f(3)=f(3)+f(3)=f(9),又f(a)>f(a-1)+2,所以f(a)>f(a-1)+f(9)=f[9(a-1)],再根据f(x)在(0,+∞)上的单调性,有

Aa>0

aa-1>0解得:

Aa>9(a-1)

以上问题是已知单调性的条件,求有关字母参数的范围。解决此问题就是通过多次的逆向推理,使条件逐步向所求结论靠拢,最后逆用单调性解决。

【例5】已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1],若f(x)的值域为,求实数的取值范围。

分析:求解本题时,学生很容易受对数函数定义域的影响,通过使不等式(a2-1)x2+(a+1)x+1>0恒成立出发来列不等式组。问题出在对正向思路没有理解透彻,事实上,要使此函数的值域为R,应使真数能取到所有的正数。

先设t=(a2-1)x2+(a+1)x+1,然后要使t能取到 上的任何实数,只需

(1)若(a2-1)≠0,

解得:

(2)若(a2-1)=0,则 ,当a=1时,t=2x+1。满足要求。

当a=-1时,t=1。(不合,舍去)

综上:

反思:在构造逆向问题时,应在学生对正向问题已有一定基础的前提下,否则会增加学生负担,根本谈不上思维能力的提高。

【例6】设f(x)是连续的偶函数,且当x>0时f(x)是单调函数,

则满足 的所有x之和为( )

A.-3B.3C.-8D.8

分析:由单调函数的单值性,可得方程;再由偶函数有 ,又得一方程,共有四根,即由

化简为x2+3x-3=0,此时x1+x2=-3

得

即x2+5x+3=0,此时x1+x2=-5

所以满足条件的所有x之和为-3+(-5) =-8

四、利用“正难则反”的原则培养学生的逆向思维

在解题过程中,一般都是由所给条件直接向结论逼近,但有些问题,需要改变思考的角度,经常要从反面去考虑,或者从结论要成立所必须具备的条件去考虑,以获取解题的突破和简捷的方法。比如:

【例7】将函数

的图像作如下变换:

(1)向右平移个单位;

(2)把所得图像上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变;

(3)再把所得图像上各点的纵坐标变为原来的 ,横坐标不变。结果得到函数y=sin4x的图像,求

的表达式。

分析:题目给出了一个待定的函数,其图像通过3次变换后的解析式为y=sin4x,这需要我们根据变换条件去探索待定的系数:A、 、 。如果我们利用正向思维去思考这个问题的解答方案,则其解答过程是较复杂。我们采用逆向思维的方式,从变换的函数式y=sin4x出发,逆向推导待定函数

的表达式,可以得出一种简捷的解法,其解题思路清晰。

在教学中,教师要有意识、有目的地加强学生逆向思维能力的训练,把思维方法教给学生,让他们在积极有效的思维活动中去体会、模仿、运用、创造,只有这样,才能更好地发展学生的智力。培养学生的思维能力。

【参考文献】

[1] 赵景伦. 数学解题中逆向思维的培养途径[ J]. 数学教学通迅,2003(8).

[2] 杨荣坤. 加强逆向思维训练,培养创造思维能力[J]. 福建中学教学,2001(2).

[3] 任樟辉. 数学思维论[M]. 南宁:广西教育出版社,1996.

高中函数思维培养 篇7

一、紧扣三角函数知识内在特点, 提升学生自主思维的能动性

通过教学实践得知, 三角函数章节知识所涉及的相关概念、关系、诱导公式以及图像性质等方面内容, 在生产生活和实际问题解答中有着广泛的实践和应用, 其形式具有"千变万化"的趣味特性。因此, 教师在三角函数知识教学时, 就可以根据三角函数的生活性、趣味性等特性, 牢牢抓住学生能动特性这一心理特征, 设置生活性问题情境, 激发学生自主思维的积极性。如在"任意的三角函数"知识教学时, 教师就可以结合学生认知规律和函数知识特点, 设置出与学生生活有关的“自行车大链轮有48齿, 小轮有20齿, 当大链轮转过一周时, 小轮转过角度是度合弧度;12点以后在什么时候, 时针与分针第一次重合?什么时候分针第一次在时针的反向延长线上?”的趣味数学问题, 激发起学生自主思维的积极性;又如在"锐角三角函数"知识教学时, 教师设置了航行方面的“一艘船从A点出发以undefinedkm/h的速度向垂直于对岸的方向行驶, 同时水的流速为2km/h, 求船实际航行的速度的大小与方向。”生活性问题, 引导学生进行知识的探究学习, 思考分析, 使学生能够主动进入到问题解答的思维活动, 实现学生思维潜能的有效挖掘。

二、紧扣三角函数典型问题特征, 提升学生创新思维的实效性

三角函数章节知识点繁多、重难点较多、关联性较大, 从内部仔细分析各个知识点内容, 可以发现在进行相关三角函数类型问题解答时, 需要将三角函数知识点内容进行有效的灵活运用。从外部看, 三角函数知识又是解决其他章节问题的有效手段和条件。如在解答代数问题时, 通过分析结构特征, 就会发现采用三角代换, 借助三角函数的性质或三角公式, 往往可突破解题的难点, 进行代数问题的有效解决。因此, 教师可以通过设置具有丰富内涵特性、囊括众多知识点的典型问题, 从不同角度, 引导学生进行认真思考, 找准解题突破口, 实现解题能力和方法掌握, 提升学生创新思维的效率。如在“三角函数”章节复习课上, 教师就根据三角函数章节知识体系结构和重难点, 设计了“三角形中的几何计算:在△ABC中, AB=AC=3, BC=2, ∠B的平分线交过点A且与BC平行的线于点D.求△ABC的面积”问题, 让学生进行解答, 在学生有效解答后, 教师将问题进行如下变式:

变式1:已知△ABC的周长为undefined, 且undefinedsinC. (I) 求边AB的长; (II) 若△ABC的面积为1/2sinC, 求角C的度数。

变式2:△ABC中, A=π/3, BC=3则△ABC的周长为 ( ) .

undefined

变式3:在△ABC中, ∠B=45°, AC=√10, cos C=2√5/5, 求 (1) BC=? (2) 若点D是AB 的重点, 求中线CD 的长度。

这时, 教师可以让学生结合解答问题的基本方法, 分组进行变式问题的思考探析, 进行有针对性的问题解答训练, 及时进行归纳总结, 得出进行此种类型问题的解答方法, 从而实现学生创新思维方法的完善, 促进思维创新能力的提升。

三、紧扣三角函数易错题型赏析, 提升学生有效反思的习惯性

反思能力作为数学思维能力发展的重要内容, 在学生思维方法有效掌握、思维过程有效形成等方面具有显著功效。三角函数知识由于内在密切的关联性, 知识点之间紧密性, 导致学生在解题过程中, 容易出现混淆的现象。因此, 教师在教学中, 就可以利用函数易错题进行反思教学, 引导学生在分析错题解答方法、过程中, 准确找出存在问题的根本原因, 以及进行问题有效解决的方法和思路, 促进学生反思能力水平的提升。

如在"求函数y=2tanx/ (1-tan2x) 的最小正周期。"问题解答时, 教师有意向学生出示如下解答过程:“因为y=2tanx/ (1-tan2x) =tan2x所以得到T=π/2。即函数的最小正周期为π/2。”这时教师让学生对这一解答过程进行思考分析, 学生在思考分析过程中, 认为, 此题解答过程存在"忽视函数定义域"这一问题, 从而导致解答错误。因此, 这个正确的解答过程为:通过条件可以得到, 函数y=2tanx/ (1-tan2x) 的定义域为x≠kπ+π/2, x≠kπ+π/4 (k∈Z) 所以可以通过观察函数y=tan2x的图像, 从而求出函数的周期为π。

总之, 三角函数知识是高中数学学科知识的一部分, 教师要实现学生思维能力的有效提升, 只有按照新课标要求, 将教学理念和要求进行有效结合, 创新教学方式, 实现学生能动特性激发, 就能有效提升学生的思维能力和水平。

摘要：本文作者结合三角函数章节知识, 就如何在三角函数知识教学活动中培养学生思维能力进行了论述。

高中函数思维培养 篇8

学生数学学习的认知水平一般分为三个层次: 记忆模仿型、说明性理解型与探究性理解型. 为了培养与提高学生的数学思维能力,引导学生向探究性理解型发展,教师在课堂教学中,要敢于和善于给学生提供一定的独立思考、发现问题的条件和机会. 适当地进行变式训练、一题多解、一法多用,可以让学生形成富于联想的思维习惯. 数学公式作为解题的工具,深刻理解并准确掌握数学公式是学好数学的第一关. 数学公式应用广泛,推导方法具有代表性,所以人们把它比喻为“数量关系的精髓”. 在一般的数学教学中,我们通常是推导公式,首先教师讲解例题进行示范,然后学生模仿反复练习. 一两堂课下来,学生对数学课的印象就是推导公式、代公式解题,纯粹把数学课看成做题目的枯燥无味的课,长此以往,对数学课就越来越没兴趣. 如何提高学生学习数学的兴趣,让学生真正地参与课堂,在实践中培养学生的数学思维,是数学老师一直思考的问题.

二、案例再现

以五年制高等师范数学教材中的“二倍角的三角函数”这节内容为例,老师在引导学生推导出公式后,对公式进行变形研究,使学生能够找到它的一些其他形式并进行相应的应用. 这样既能深刻理解公式,又可灵活应用于解题,课堂气氛热烈,学生学习积极性高.

公式的导出部分老师让学生利用学过的正弦、余弦和正切的和角公式,化归为二倍角公式,让学生理解“二倍角”与“两角和”的内在联系.

在公式的运用应用部分,老师是这样设计的:

提问: 二倍角公式结构特征有哪些?

师生互动: 教师在黑板上板书且同时启发学生注意公式结构中等号两边角度倍数的对比、系数的对比、幂次数的对比,学生思考并回答问题以达到熟练公式结构的目的. 学生通过观察比较,能很快地归纳出二倍角公式的结构特征.为了能很好地巩固和理解公式中“二倍角”含义,也为下面灵活应用公式化解和求值做准备,教师设置了以下练习: 梯度一 ( 让学生理解倍角的相对性)

在以上问题中主要突出的是倍角的相对性,以及公式左右两边的角的变化. 为了进一步巩固所学公式与更深入熟练地掌握公式变形,特意由浅入深设计以下课堂练习以达到相关目的. 学生对比二倍角公式的形式特点,基本能准确地填出结论,并且在给出结论的同时也真正理解了“二倍”的含义. 二倍角的正弦公式、余弦公式是三角恒等变换中的重要公式,在理解和掌握公式的基础上,若能对公式作一些变形,并在解题中予以灵活运用,则可激活思维,化繁为简,使得解题过程更加简洁明快. 教师在学生理解梯度一的基础上,再设计了以下两组变式训练: 梯度二: ( 熟练公式结构并会用公式的逆用)

再适当改变上面的式子,让学生发现与二倍角公式可以联系起来.

梯度三:

经过三个梯度的训练,学生对公式的结构与公式的应用达到基本熟练之后,下一步就可以提供机会让学生利用倍角公式进行求值运算、以培养学生运算、分析和逻辑推理能力,可以很好地完成本节课的教学目标之一与难点之一.

三、案例教学反思

上课班级的学生基础相对较好,特别是男生,如果纯粹是讲公式后让学生模仿做题目,学生没有独立思考的机会,没有亲自体验公式和概念的形成过程,只能是做题目的机器,对知识一知半解,更不用说学以致用了. 学生也会觉得没有挑战性,从而对数学学习缺乏积极性. 学生只有在亲自实践中才能获取新知识的能力、分析解决问题的能力,以及交流与合作的能力. 老师在教学中对二倍角公式的深化变式,让学生积极思维,既提高了学习的积极性,又加强了对公式的理解和应用.

数学的公式有很多的变式,这些变式为学生提供了广阔的天地,同时在公式的变式过程中可以充分体现数学公式的转化和简化功能,从而有利于学生更深刻地理解数学公式的本质. 通过探求公式的变式的应用,可以培养学生直觉思维、快速解题的能力,有利于培养学生的逆向思维、发散思维等,形成良好的思维品质.

( 一) 公式的变式应用可以培养学生简单的直觉思维能力和解题能力

直觉思维是导致数学发现的关键,教师在教学中,鼓励学生猜想,形成朦胧的直觉. 让学生猜想,不仅激发了他们努力解题,还教会了他们一种应用的思维方式. 二倍角公式的熟练应用对于学习三角函数的性质起着很重要的作用.如学习y = sin2x的图像及性质. 再如梯度三中的练习sinπ/16cosπ/16cosπ/8,学生看到相同的角,会联想到正弦的二倍角公式,猜想填个系数即可,学生在掌握了二倍角公式的逆向变形特点后,就能很快的与公式进行对比,从而找到系数上的差别,并相应的 进行增添,就可以很 方便得出 答案.( sinα - cosα)2和cos4β - sin4β的解题学生根据做题目的直觉经验,自然会想到先用完全平方和平方差公式展开求解,教师再有意识地引导他们向纵深方向考虑,帮助理清来龙去脉,总结出方法和结论,学生的解题能力也会逐步提高.在教学过程中,有时设置一些顺理成章的“陷阱”也是有益的,可以引导学生积极思维,在猜想、探究、修改的过程中加深对知识的理解和掌握.

( 二) 公式的变式应用可以培养学生的逆向思维能力

人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法. 其实,对于某些问题,尤其是一些特殊问题,从结论往回推,倒过来思考,从求解回到已知条件,反过去想或许会使问题简单化. 数学教学中可表现为某些数学公式、法则等逆用来解决有关问题. 如二倍角这节课中,很多学生对于数学课本中的公式很熟练,但对它们的逆向运用却往往忽视. 因此,老师在二倍角公式教学中,贯穿双向思维训练,除了让学生理解概念本身及其常规应用外,还注意引导启发学生反过来思考,从而加深对概念的理解与拓展. 如梯度一和梯度二的设计,这样正向和逆向叙述相结合,使学生对公式的理解更加深刻,知识掌握得更加灵活,对数学思维的训练也起着重要的作用.

( 三) 公式的变式应用可以培养学生的发散思维能力

赞可夫说过: “凡是没有发自内心求知欲和兴趣的东西,是很容易从记忆中挥发掉的”. 在课堂教学中应该适当给学生提供独立思考问题、自己提问题的条件与机会为发散思维的培养创造良好的内、外部的环境. 老师在教学过程给出( sinα - cosα)2和cos4β - sin4β题目给出后,没有直接板书讲解,而是让学生讨论,给学生提供探索尝试的机会. 学生们跃跃欲试,积极动脑,一部分学生能自己利用二倍角公式和平方公式推算出结论,运用已学知识去解决新问题,并进行多种尝试,学生的解题思维得到拓展,学习积极性提高. 如果老师怕学生在课堂上听不懂、吃不饱,总是在课堂上讲个不停,即使提出问题也是匆匆而过,学生没有进行充分思考问题的时间,这样培养的学生也不可能具有探究性思考的习惯与能力,当然谈不上培养发散思维了.

数学教学就是数学思维活动的教学. 因此,在数学教学中展现思维活动,教师在课堂教学中应该精心设计,给学生充分思考问题的机会和时间,让学生亲自参与思维活动,不仅体现了这种教学思想,而且有利于提高学生的思维的探究水平,从而提高学生学习数学的兴趣.

摘要：数学思维是人脑与数学对象交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动.在公式、定理、性质的教学过程中,教师精心编制一系列由简单到复杂的变式训练题,组织学生进行尝试练习,引导学生参与知识的发现、探索、推导过程,可以提高思维的探究水平,更可以掌握具有广泛性的思维方法.

浅论高中数学思维能力培养 篇9

现代教育心理学认为, 思维是人脑对事物本质和事物之间规律性关系概括的间接性反映。思维是认知的核心成分, 它的发展水平决定整个知识系统的结构和功能。数学思维是人脑和数学对象交互作用并按一般思维规律认识数学规律的思维过程, 其表现是学生从原有的认知结构出发, 通过观察、联想、类比、猜想等一系列思维活动, 全方位展示问题提出的过程, 在温故而知新的联想过程中产生强烈的求知欲, 尽可能地参与概念的形成和结论的发展过程, 并掌握观察、实验、演绎、类比、归纳的方法。因此, 数学思维能力的高低直接决定数学学习水平的高低。

二、高中数学思维的要求

根据学生思维发展水平, 高中阶段要掌握的思维方法有:会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括;数形结合, 能建立简单的数学模型, 解决实际应用问题;会用归纳、演绎和类比进行简单推理;能准确阐述自己的思想和观点;能运用数学概念、思想和方法, 辨明数学关系, 形成良好的思维品质。

三、学生思维受阻成因

我在教学过程中, 常常发现学生出现思维受阻的现象。根据个人经验, 参考有关资料, 简单地划分为以下几种。

1.缺 乏 数 学 思 想 方 法

由于缺乏数学思想方法而严重影响学生有效思维的状况普遍存在。据我对我校高一学生的调查发现, 在常见的数学思想方法中, 掌握最好的是方程思想, 而观察与试验、类比与联想知道并会运用的学生较少。部分学生知其然而不知其所以然, 不了解整个解题思维过程, 故不能举一反三, 只能停留在个别问题的解决上。

2.思 维 惰 性 导 致 恶 性 循 环

部分学生遇到难题时, 畏难情绪严重, 加之对关键信息把握不准, 观察只停滞在感知表象, 即使遇见关键信息, 也不能独立加工形成有价值的反馈信息, 导致思维受阻。久而久之, 失去兴趣, 造成思维惰性, 恶性循环, 思维品质得不到很好的发展。同时, 线性思维和定性思维也常常伴随着思维惰性而存在。在解数学题的时候, 常常尚未看清题意便罗列公式、生搬硬套等。

3.初 高 中 衔 接 不 适 应 造 成 思 维受 阻

初中数学以形象通俗的语言表达方式为主, 但高中数学偏向抽象思维, 接触的是符号语言、逻辑运算语言、函数语言及图形语言, 思维跨度大, 部分学生不能适应。初中阶段, 教师往往为学生建立了统一的思维模式, 确定了常见的思维套路。但高中数学的思维方式产生了很大的变化。如果思维方法不进行一定的改变, 就很容易因为衔接不好而造成思维受阻。

四、提高学生数学思维能力的策略

针对以上学生具体存在的思维受阻情况, 下面简单阐述提高数学思维能力的策略。

1.教 授 数 学 思 维 方 法

在平时教学过程中强调思维的全过程。不仅教会学生怎么解题, 还要教他们为什么这样解题, 在课堂教学中完整地展现解题思维的全过程。特别是解题思路的发现过程要作为讲解的重要环节。在练习课中, 教学生认真审题, 仔细观察, 敏锐地察觉题目中的关键信息及隐含条件, 能综合分析, 学会用数学语言、数学符号表达。

2.培 养 良 好的 思 维品 质

加强思维能力的训练, 提高学生的逻辑思维能力;加强逆向应用和逆向思考的训练, 提高学生的逆向思维能力;加强一题多解的训练, 提高学生的发散思维能力。提高学生的运算速度, 尽量使学生掌握数学概念、原理的本质, 提高数学知识的抽象程度, 增强教学的变化性, 使学生能从多个角度考虑问题, 并迅速地建立起自己的解题思路。

3.调 动 内 在 思 维 能力

精心设计教学过程, 创设教学情境, 激发学生的学习兴趣和求知欲望, 刺激思维的发展。指导学生运用已学知识和方法处理自己所熟悉的实际问题。灵活地处理教材, 根据学生实际情况, 对于稍难的教学内容, 可减缓坡度, 分散难点。鼓励学生从多个不同角度观察分析问题, 养成良好的思维习惯和品质;鼓励学生敢于发表不同的见解, 多赞扬肯定, 促进学生思维的发展。

五、结语

高中函数思维培养 篇10

思维品质, 实质是人的思维的个性特征。思维品质反映了每个个体智力或思维水平的差异, 主要包括深刻性、灵活性、独创性、批判性、敏捷性和系统性六个方面。思维品质的高低决定我们学习一门知识、做一件事情的效率。良好的英语思维品质是我们学好英语的前提。所谓的英语思维品质与我们看事物的角度有关, 即我们在用英语表达思想的时候要适时地转换看问题的角度。英语和汉语在表达方式上存在明显的差异, 只要我们有意识地注意到了两种不同语言在表达上的差异, 并通过科学训练强化这种转换意识, 英语思维品质的培养并非高不可攀, 多数人可以做得到。[1]

英语思维模式主要体现在单词的词义和用法、句法以及语法现象上。这些特定的单词、句法以及语法现象蕴含着英语思维模式。如果在英语学习中, 通过注意这些与汉语表达不同的思维模式来建构英语思维模式, 并使这种思维模式内化成一种科学的学习机制, 指导我们用英语准确地表达思想, 那么英语学习的有效性会大为提高。

二、培养英语思维品质和思维模式的重要性

英语思维品质的培养和思维模式的建立可以使英语表达更准确、更地道。所谓的“中式英语”其实是中式思维的产物, 是由于没有掌握英语那些特定的单词的词义和用法、句法和句义以及语法现象所导致的结果。英语思维品质和思维模式可以使英语学习者在掌握少量的词汇、句法和语法的情况下就能表达较为丰富的内容。这一点对于高中学生来说尤其具有现实意义。英语思维模式具体体现在一词多义现象非常多, 一些口语化的具体词汇和比较正式的抽象词汇之间也存在着可以替代的互换关系。因此, 如果掌握了这些思维模式, 也就意味着在这些不同的词汇和词义之间架起了一条可以自由来去的语言桥梁, 并意味着学习英语进入了低耗高效、事半功倍的快车道。

三、制约高中生英语思维品质和思维模式形成的主要原因

按理说, 高中学生经过义务教育阶段的英语学习, 他们应该具备了较好的英语思维品质。但是实际情况并不尽如人意。许多高中学生, 特别是农村学校的学生在口语和书面表达方面仍存在严重问题。究其原因主要有以下几个方面。

1. 教师方面的原因

笔者是一名中学英语教研员, 经常深入学校听课。通过与英语教师接触发现, 尽管大多数英语教师都能够用英语组织教学, 他们都能够尽力做到“Speak English whenever possible、speak Chinese whenever necessary”。然而, 除了少数口语特别优秀的教师之外, 多数教师的英语口语仍停留在“Chinglish”的层面上, 这一现象在农村中学显得更为普遍。对此有的教师还振振有辞地说“在英语课堂上说Chinglish总比满堂课说汉语要好”。殊不知, 学生长期在“Chinglish”的“熏陶”之下, 他们的英语口语水平可想而知, 正所谓“近朱者赤, 近墨者黑”。

2. 客观方面的原因

原汁原味、短小精悍的英语文章是培养学生良好英语思维品质的最佳材料 (如New Concept English) 。高中英语教材尽管有不少优点, 但是充其量只是一套起“扫盲”作用的英语教科书。无论是什么版本的教材, 里面所选编的文章大多数为改写过、长而枯燥乏味的文章, 几乎没有原汁原味、语言地道、文笔隽永、异国文化浓郁、思想深刻、学生读起来朗朗上口的文章, 这不能不说是我国英语教材的“硬伤”。而这一“硬伤”严重地制约了高中学生英语思维品质的培养和英语表达能力的提高。

我们现行的高考制度也对学生的英语水平提高起了负面作用。尽管高考英语设有“书面表达”题, 这对于培养学生的英语思维品质和思维模式起到了积极的作用, 但是多年的英语高考没有英语口试 (英语口试仅仅局限在报考外语专业和涉外专业的考生) 。由于高考是根重要的“指挥棒”, 对高中英语教学有导向作用, 高考不考口试, 教师和学生就不可能足够重视英语的口头表达能力和英语思维品质的训练。据报道, 前段时间, 某个好几年前就进入了高中课程改革的教育大省宣布从2014年起, 所有的考生都不需要考英语听力, 理由是为了减轻学生过重的高考备考负担和压力。这一决定一定会令不少人欢呼雀跃, 也定会令一些外语教育的有识之士大摇其头, 扼腕叹息。高考英语的赋分和语文、数学的分值一样, 可见英语这门学科的重要性, 但是这门语言实践性很强的学科, 只有听力测试, 没有口试, 或者像某些自主命题的省那样, 堂而皇之地声称“为了减轻学生过重的备考负担”干脆把听力考试取消, 这种走回头路的行为的确令人匪夷所思。

语言的功能是交流的工具、文化的载体、认知 (思维) 的工具;外语教育的目标是传授知识、培养技能 (听说读写) 、培养能力 (知识+技能) 和培养素质 (学文化、启心智、爱生命) 。听、说、读、写是培养学生英语思维品质的重要渠道。如果我们的期中、期末考试, 甚至连我们的“国考” (高考) 都没有了听力和口语测试, 平时的听力和口语训练定会受到影响。如果我们仅仅通过“读写”这两项手段来培养学生运用语言的能力, 我们的训练手段未免显得过于单一。

3. 主观方面的原因

在培养学生的英语思维品质和思维模式这个问题上是存在主观方面的原因的。我们常听到不少师生抱怨缺少“语言环境”, 其实说的是一个语言“体验性”的问题。所谓的“有语言环境”是指给学习者自己要学习的语言找到一个体验的机会。但是在没有环境的条件下, 如果我们能够通过主观努力, 人为地创造一些体验的场景, 包括语言的输入和输出, 那么我们依然可以取得同“有环境”条件下的英语学习一样好的效果, 英语思维品质和思维模式同样可以得到锻炼。有些年轻人有出国的机会, 在一个English-speaking Country待了几年, 但是回国后他们的口笔头表达能力并没有多大改观。可见通过创造“语言环境”培养良好的英语思维品质, 建构科学的英语思维模式关键在于师生双方的共同努力。

四、培养学生英语思维品质和思维模式的途径

1. 提高英语教师自身的语言素质

英语学科的特点突出体现在它的工具性和实践性上。鉴于这个特点, 英语教师的语言素质高低十分关键, 因为教师的语言素质对学生起着具体可见的示范作用。教师要在语言学习方面率先垂范, 平时多看原汁原味的各种读物。例如, “网易公开课”就是英语教师提高自己英语水平的很好渠道。“网易公开课”汇集了世界著名大学顶级教授各个专题的讲座, 博大精深, 既能提高教师的英语思维品质, 又能开拓眼界。

2. 明确汉语与英语的思维差别

尽管大多数学生从小学就开始学习英语, 但是由于他们日常交流思想使用的是母语, 使英语学习或多或少受到了母语的干扰。在表达英语时受到的母语影响被语言学家称之为“石化现象 (Fossilization) ”。学习外语时用母语思考并逐字翻译, 这是很正常的现象。然而, 虽然这种现象很正常且合理, 但是它会让我们说的英语听起来不地道, 甚至别扭。例如, “我很怕蚊子”是汉语常见的说法, 在英语中afraid是指真正的惧怕, 所以不能说“I am afraid of mosquitoes”, 那会让人误以为有只200磅的蚊子要攻击你!这句话只要写成“I hate mosquitoes”或“I find mosquitoes annoying”就可以了。

要想培养学生良好的思维品质, 建构有效的英语思维模式, 教师有必要通过日常教学使学生明确汉语、英语在表达思想时在思维模式方面的差别。概括说来, 英语思维和汉语思维的差别主要有以下四个方面。

(1) 中文比较直观, 英语则倾向于透过现象描述本质的东西。

例如, Have you been educated? (你念过书没有?)

同样的意思也可以用英语表达为Have you gone to school?但是不管用哪一种方式来表达, 在文字上都比中文更加贴近“受教育”这一本质, 而中文的“读书”显得表象化、直观。

又如, Help me up.Let me see if I can bear weight. (扶我一把, 看我还能不能站起来。)

这句话的情境是说话者的脚扭伤了, 需要别人帮忙搀扶起来。汉语的“站”很直观, 不管你是不是因为扭伤想站起来, 还是坐久了想站起来, 都是“站”。但是在英语中则明确表达了说话人是想验证自己的伤势, 脚能否支撑身体的重量, 和一般的“站起来 (stand up) ”是不同的, 所以用“bear weight (承受重量) ”, 意思更加明确, 符合本质。

(2) 汉语主观性强, 英语客观性强。汉语的主观性体现在人与人时会加进去一些个人的判断, 而英语对话中一般只会谈个人的感受。例如, 我们对别人的感谢的回应是“别客气”, 潜台词就是这事是我应该做的, 你的感谢是一种客套。而英文则说“You’re welcome!”或“My pleasure.”, 只谈自己的感受或意愿。

(3) 在句子的表述顺序上, 汉语倾向于从整体出发叙述问题, 先整体, 后局部, 先次要, 后主要;英语则倾向于从局部出发叙述问题, 先局部, 后整体, 先主要, 后次要。

例如, I was invited to attend Tom’s birthday party last Saturday. (上周六, 我被邀请参加汤姆的生日聚会。)

(4) 英语句子结构严谨, 汉语则相对松散。英语除了祈使句之外, 一般情况下句子中的主语、谓语等主干成分是不可缺少的, 而且各个句子成分之间的逻辑关系必须通过一些连接词交代清楚。而汉语则没有这么严谨, 经常会出现成分缺失的情况, 成分之间的逻辑关系也不一定非得做出交代, 只要意思上能被理解就可以。

例如, You have to resort to the violence? (非打不可?)

One minute he’s all over me, and the next he’s pushing me away. (刚刚还甜言蜜语, 一会儿就对我置之不理了。)

以上两个例句的汉语都没有主语, 第二个例句的英语用了并列连词“and”, 句子结构显得完整, 逻辑严密。

3. 鼓励学生建立词汇网络, 为提高英语思维品质提供语料支撑

语言学家的研究表明, 我们所习得的词汇在大脑中并不是孤立的, 其相互之间有着必然的联系。这种联系的主要特征是发散型的网络结构, 所以称为“词汇网络”。一个人的英语思维品质和思维模式的好坏与他的“词汇网络”是否发达密切相关。例如给学生一个词“earthquake (地震) ”, 让他们写出联想到的单词, 他们会很自然地联想到frightening、scream、escape、wound、blood、death、rescue、ambulance、hospital、food这些单词。这些词汇有以下特点: (1) 都是由“earthquake”这个词激发出来的, 一个词可以激发出无数与之相关的词; (2) 词与词之间在词义上互相关联, 有的密切, 有的疏远; (3) 这些词有名词, 也有动词、形容词、副词, 有的是描述人, 有的是说东西, 有的是叙述行为。

有的学生把自己英语表达能力较弱归因为自己的词汇量不大。这话虽然有一定道理, 但是理由却站不住脚。有的人词汇量虽然不小, 但是表达能力却很弱, 其中的原因是他所掌握的词汇基本上是“死”的词汇, 词与词之间没有形成支撑英语思维品质的强劲和灵动的“词汇网络”。在进行词汇学习时, 不但要学习单个的词汇, 也要充分利用词汇之间的激发作用, 通过发散性思维, 有意识地扩大词汇关联的范围, 提高词汇之间的关联强度, 从而缩短词汇激发的时间, 提高词汇提取的速度, 有意识地在词汇之间建立有意义的联系, 对词汇进行深加工。

4. 增强学生对跨文化意识的敏感性

语言是文化的主要载体。英语语言学习过程就是了解和学习他国文化的过程。课程标准要求英语学习目的之一就是要让学生通过英语课程的学习, 接触和了解英语国家的文化, 进而做到能够尊重他国文化, 形成跨文化交际的意识和能力。跨文化意识是英语思维品质培养中十分重要的组成部分。换句话来说, 没有跨文化意识的人是不具备良好英语思维品质的。实践证明, 如果教师引导得力, 学生对英语文化背景知识学习的兴趣会转化为语言学习的持久动力, 从而有效促进学生的英语思维品质和英语语言能力的提高。

5. 创设培养学生英语思维品质和思维模式的“语言环境”

语言心理学家研究证明, 我们都有一个不愿意走出来的“舒适区 (Comfort zone) ”。但是, 如果我们越是愿意脱离这样的区域, 我们就越容易成功。[2]在英语学习中, 脱离不了“舒适区”, 语言的环境难以建立。对于有些中国人而言, 大声说英语, 尤其是与其他中国人用英语交谈, 会破坏他们的“舒适区”。然而那些英语口语优秀的学生却很有毅力, 他们在课堂上经常把握住各种说英语的机会, 有时甚至对自己、对同学很“苛刻”, 拒绝说母语, 强迫自己脱离说母语的“舒适区”。刚开始他们自己也会感到不舒服、不自在, 但是随着他们的口头表达能力日渐提高, 随着英语思维品质和思维模式的改善, 他们的自信心也越来越强, 终于能够在英语学习的国度里自由翱翔。

参考文献

[1]王乐平.英语思维是这样炼成的[M].广州:华南理工大学出版社, 2010.

高中函数思维培养 篇11

一、利用函数关系式与定义域，培养思维严密性

在数学教学中往往会出现求解函数的关系式，遇到这样问题时如果忽视了所求函数关系式的定义域，将会使求解函数出现错误的结论。

例1：用长14.8m的钢条来制作一个长方体容器的框架，若所制容器底面一边长为x，且比另一底边小0.5m，求容积V关于边长x的函数关系式。

解：设容器高为h，则4（x+0.5+x+h）=14.8，所以h=3.2-2x

V=x（0.5+x）（3.2-2x）=-2x■+2.2x■+1.6x

本题解答到这里并没有结束，从题目中我们不难发现函数关系式还缺少自变量x的取值范围。此时如果引导学生注意解题思路的严密性，强调函数三要素，学生将会有所发现：

因为边长x和x+0.5以及高h均大于0，所以由：

x>0x+0.5>03.2-2x>0得：0

学生思维一旦缺乏严密性，就很容易忽视函数自变量定义域，所以在用函数方法解决实际问题时，务必注意函数自变量的取值范围对实际问题的影响，对学生加强必要引导和训练。

二、利用函数最值与定义域，培养思维灵活性

数学函数求最值的问题充分体现函数定义域的重要性。如果忽视定义域，将会导致最值的错误。

例2：已知函数f（x）=■，x≥1

（1）当a=■时，求f（x）的最小值。

（2）若对任意x≥1，f（x）>0恒成立，求实数a的取值范围。

分析：此题第（1）问，学生会产生三种思路：①利用单调性的定义证明f（x）的单调性再求最值；②利用导数判断函数的单调性再求最值；③利用均值不等式求最值。而前两种方法都较为繁琐，所以学生很容易偏向第三种解法。

错解：（1）a=■时，f（x）=■=x+■+2≥2■+2=2+■，当且仅当x=■时，即x=±■时，f（x）■=2+■

剖析：尽管学生想到了均值不等式这样简洁的方法，但是忽视了均值不等式的应用条件和函数的定义域。因为±■ 1，+∞，所以“=”取不到，故此解法错误。

（2）在（1）的教训下，学生在解答这一小题时开始注意到“x≥1”这个条件，于是作如下解答：

由f（x）>0恒成立且x≥1可得x■+2x+a>0恒成立，由二次函数的知识可知，只需要令△<0，即4-4a<0，所以a>1。

或者作如下解：

若x■+2x+a>0恒成立，则a>-x■-2x恒成立，则只需要令a大于-x■-2x的最大值即可。又-x■-2x=-（x+1）■-1≤-1，所以a>-1。

但是这两个答案都是错的，都是没能把定义域考虑完全，尽管在开始的变形与转化中已经注意到这个问题，但是随着解题的深入，在思维定势的影响下，定义域又忘了。

正解：思路一，∵x≥1，若f（x）=■>0恒成立，则只需要x■+2x+a>0恒成立，∵二次函数g（x）=x■+2x+a在[1，+∞）上递增，若在x≥1时，g（x）恒大于0，则只需要g（1）>0。∴3+a>0，即a>-3。

思路二，由x■+2x+a>0恒成立可得a>-x■-2x恒成立，设g（x）=-x■-2x，其中，x≥1，则只需要a>g（x）■=g（1）=-3，所以a>-3。

由此我们可以发现，学生在解题过程中的思维严密性和灵活性不是短期内就能养成的，这时，教师应当提醒学生注意自变量的取值范围，这样就可以打破学生的思维定势，提高其灵活性。

三、利用函数值域与定义域的关系，培养思维批判性

在数学函数中当定义域和对应法则确定下来，函数的值也将会随之而确定。因此，我们在解答函数值域的问题时，要高度重视函数定义域的问题。

例3：已知函数f（x）=sinxcosx-sinx-cosx，求f（x）的值域。

错解：设sinx+cosx=t，则sinxcosx=■，所以，f（x）=g（t）=■t■-t-■=（t-1）■-1≥-1，故f（x）的值域为[―1，+∞）。

剖析：换元后sinx+cosx=t=■sin（x+■）∴-■≤t≤■

∴g（t）■=g（-■）=■+■，g（t）■=g（1）=-1

∴f（x）的值域是[-1，■+■]。

自变量的取值范围对函数值域非常重要，因此，教师要能够严格要求学生对做完的习题进行检验，发现和修订错误，从而培养学生良好的学习习惯，提高学生思维的批判性和严谨性。

四、利用函数单调性与定义域，培养思维深刻性

在解答函数习题时，千万不能忽略函数的单调性，应强调在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随之增减的情况，讨论函数单调性在给定的定义域区间上的变化情况。

例4：指出函数f（x）=■的单调区间。

解：先求定义域：∵log■（x■―2x）≠0，∴x■―2x≠1

又∵x■―2x>0，所以函数定义域为：

（-∞，1-■）∪（1-■，0）∪（2，1+■）∪（1+■，+∞）

设u= x■-2x，则u在（-∞，1-■）和（1-■，0）上递减，在（2，1+■）和（1+■，+∞）上递增。根据复合函数单调性的判断方法，可知f（x）的单调减区间是（-∞，1-■）和（1-■，0）；单调增区间是（2，1+■）和（1+■，+∞）。

如果学生对函数单调性的概念不清楚，理解不深刻，在习题训练时，只会死套公式；由于思维缺乏深刻性，对于解题方法的实质以及所用到的知识点都不能够深刻领会，在答题时，也一定不会考虑到函数在定义域内的单调性。所以，教学时，教师应重视学生的反思过程，反思解题过程和方法，反思解题所用到的知识点，以此达到检查遗漏，补缺补差，避免再犯的目的。

综上所述，函数定义域对求解函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等数学问题是非常重要，如果在教学中把与定义域有关的问题集中起来加强对学生进行强化训练，可以培养学生良好的思维习惯、思维品质，同时还有利学生创造性思维的培养。

【责编 张景贤】

高中生数学思维能力培养探析 篇12

1. 激发思维欲望, 引导学生参与数学思维活动过程

一般地说, 数学思维能力形成并优化于数学活动过程之中, 为此, 应当注意根据学生心理特点, 精心设计问题情境, 启发引导学生揭示已有知识经验与新学习任务之间的矛盾, 引起学生的认知冲突, 激发学生的思维欲望, 使其主动参与数学思维活动过程。具体应当注意在学生思维活动过程中给予适当的点拔、指导、帮助。例如, 在“离散型随机变量的期望”这一节的教学中, 为了吸引学生注意力, 激发其兴趣和求知欲望, 可以从学生感兴趣的博弈问题出发, 设置悬念, 即创设一个“赌徒分赌金”的情境:A、B两个实力相当的赌徒分别掷骰子, 各押赌注32个金币, 规定谁先掷出3次“6点”就算赢。赌博进行了一段时间, A赌徒已掷出了2次“6点”, B赌徒也掷出了1次“6点”, 此时发生意外, 赌博中断。两人应该怎样分这64个金币呢?当学生参与到数学思维活动之后, 教师可以用学生所熟悉的生活中平均价格类的问题 (比如, 某商场要将每千克价格分别为18元、24元、36元的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售, 其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等。问:如何对混合糖果定价才合理?) 为探究起点, 将数学期望和学生所熟悉的平均值联系起来, 并舍去具体问题的意义, 抽象出一般离散型随机变量的期望概念。当学生建构了期望的数学概念后, 教师可以引导学生回归最初的问题, 解决如何进行赌金的分配。

2. 培养并优化学生的数学思维品质

培养并优化学生的数学思维品质是培养和发展学生数学思维能力的重要突破口。不同数学思维品质反映了数学思维不同方面的特征, 数学教师应善于根据教学内容和教学对象的特点, 从不同侧面强化学生思维品质的培养与优化。例如, 在解题教学中, 可以通过“一题多变”培养并优化学生数学思维的灵活性、深刻性;通过“一题多解”, 培养并优化学生数学思维的独创性;通过“一题多编”, 培养并优化学生数学思维的流畅性;通过“一题多答” (即把所有的答案都找出来) , 培养并优化学生数学思维的全面性;通过引导学生反思解题过程、对比辨析相关问题, 培养并优化学生数学思维的批判性。例如, 通过解答下列三个问题: (1) 过点A (0, 1) 作抛物线y2=x的切线, 求切线方程; (2) 若直线y-1=kx与抛物线y2=x相切, 求切线方程; (3) 直线L经过点A (0, 1) , 并且与抛物线y2=x只有一个公共点, 求直线L的方程, 可以培养同学审视检查解题过程, 学会冷静思考、排除惯性思维的意识, 得到正确答案。一般地说, 数学思维的深刻性品质决定了数学教学既要以学生为基础, 又要培养学生的思维深刻性。由于数学思维的敏捷性主要反映了正确前提下思维的速度问题, 因此教师一方面要注意训练学生的运算速度, 另一方面要注意尽量使学生掌握数学概念、原理的本质, 提高所掌握数学知识的抽象程度。为了培养学生思维的灵活性, 应当增强数学教学的变化性, 为学生提供思维的广泛联想空间, 使学生在面对问题时能够从多种角度进行考虑, 并迅速地建立起自己的思路, 真正做到“举一反三”。为了培养并优化学生的创造性思维品质, 教学中要引导学生融会贯通地学习知识, 养成独立思考的习惯, 使学生乐学多思善问, 鼓励学生提出不同的问题, 以及对问题的见解, 引导学生进行积极思考和自我鉴别。较之于其它类型知识的学习, 数学命题的学习更有利于培养并优化学生数学思维逻辑性和论证性品质, 但这些品质的培养要与其它品质的培养与优化有效地结合起来。

3. 教会学生数学思维的方法

学生学会了思维方法, 发展了思维能力, 就能够分析和解决各种各样的数学问题, 思维就会非常活跃。在数学教学中教会学生数学思维的方法, 不仅有利于培养学生的正确思维方式, 而且有利于优化学生的数学思维品质。

3.1 教学生学会“执果索因”, 优化思维逻辑性品质。

逻辑思维以概念为思维材料, 以语言为载体, 每推进一步都有充分依据的思维, 以抽象性为主要特征, 其基本形式是概念、判断与推理。因此, 所谓逻辑思维能力就是正确、合理地进行思考的能力。对于有些数学问题, 由于条件和结论之间的关系比较复杂, 学生如果仅仅根据既定法则和事实条件, 由因导果, 往往容易在中途迷失方向, 而采用“执果索因”的策略, 则不仅可以学会从结论逆行考虑问题, 去寻觅结论成立的隐含或过渡条件, 由欲知寻探需知, 而且有利于优化思维的逻辑性品质。例如:如图1, 设A、B分别在二面角α-PQ-β (平面角为锐角) 的两个面β、α上, 直线AB与面α、β所成的角分别为θ1、θ2, 过点A、B分别作棱PQ的垂线AE、BF, 垂足为E、F。求证:。

可以分析如下:作AC⊥平面α于C, BD⊥平面β于D, 连结BC、AD、CE、DF, 则在Rt△ABC和Rt△ABD中, ∠ABC=θ1, ∠BAD=θ2。目标线段AE与BF分别是Rt△ACE和Rt△BDF的斜边, 由线段比联想这两个三角形是否相似?这是一个有待探究的问题;如果证得△ACE∽△BDF, 比例式中的AC、BD能否用已知表示?这又是一个有待探究的问题。先考虑第一个要探究的问题:因为AE⊥PQ, 所以CE⊥PQ, ∠AEC是二面角α-PQ-β的平面角;同理, ∠BFD也是二面角α-PQ-β的平面角, 所以∠AEC=∠BFD, 即Rt△AEC∽Rt△BFD.再考虑第二个要探究的问题:在Rt△ABC和Rt△ABD中, 由三角函数定义有。所以AC=ABsinθ1, BD=ABsinθ2, 至此, 思路已贯通, 问题自然容易获解。

3.2 教学生学会转换思维, 优化思维灵活性品质。

在数学思维过程中学生往往由于经验、旧知等因素形成思维定势, 影响问题的解决, 因此, 学生应当学会转换思维方式, 打破经验和定势, 学习从一个全新的角度理解、探索问题及其解答路径。例如:方程在区间 (0, 100π) 内解的个数是多少?

该方程左边为三角式, 右边为指数式, 二者根本无法转换成同一种形式, 因此采用常规解方程的方法无法解。但是, 如果注意理解所求的问题, 只是求方程在 (0, 100π) 内解的个数是多少个, 而不是求解是什么。那么, 我们就可以转换思维方式, 把这个方程转化为两个函数:然后, 利用数形结合的方法, 求出这两个函数图像在 (0, 100π) 的交点有多少个, 问题就迎刃而解了。事实上, 在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图像 (如图2) 可知:f (x) =cosx在 (0, 100π) 区间内, 每个周期与有两个交点, 这个函数的周期为2π, 在 (0, 100π) 内共有50个周期, 交点共有2×50=100个, 即方程在区间 (0, 100π) 内有100个解。

学会转换思维需要与数学思维有关的几种特殊形式: (1) 逆向思维。与由条件推知结论的思维过程相反, 先给出某个结论或答案, 求使之成立的各种条件。比如说, 给一个浓度问题, 我们列出一个方程来;反过来, 给一个方程, 就能编出一个浓度方面的题目。后者就属于逆向型思维。 (2) 构造思维。某些条件或结论常常要用例子说明它的合理性, 也常常要用反例证明其不合理性。根据要求构造例子, 往往是由抽象回到具体, 综合运用各种知识的思考过程。例如:试求其反函数等于自身的函数。 (3) 归纳思维。通过观察、试验, 在若干个例子中提出一般规律。 (4) 开放思维。即只给出研究问题的对象或某些条件, 至于由此可推知的问题或结论, 由学生自己去探索。比如让学生观察y=sinx的图像, 说出它的主要性质, 并逐一加以说明。

3.3 教学生学会大胆猜想、合理类比归纳, 优化思维创造性品质。

猜想是对研究的问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等, 依据已有材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象的思维方法, 是人们根据事物的某些现象对它的本质属性、规律、发展的趋势或出现的结果作出的一种预测性判断。牛顿指出:“没有大胆的猜想, 就做不出伟大的发现。”在数学教学中, 引导学生大胆猜想, 是培养学生创造性思维能力的一条重要渠道。数学教学中 (特别是解题中) 进行的探索, 是关于问题结论或关于解题思路、方法, 以及答案形式、范围、数值的猜想, 教师应当教学生学会大胆猜想, 数学结论可让学生根据教师提出的启发性线索去猜测发现。解题时, 教师可留有余地让学生先独立猜想、发现解题方法, 归纳总结规律, 让学生感受成功的愉快。例如:已知λ为非零常数, x∈R, 且, 问f (x) 是否是周期函数?若是, 求出它的一个周期, 若不是, 请说明理由。

我们可作如下思考:由于探求的是周期函数问题, 容易联想到三角函数, 又的结构形式极易与进行类比, 故可把tanx看成是f (x) 的一个原型实例, 且题中的λ相当于实例中的π/4, 由于周期函数tanx的周期, 故可猜想f (x) 也为周期函数, 且周期为4λ。事实上, 不难证明这种猜想是正确的。类比和归纳也有利于学生思维创造性品质的优化。在数学教学中, 可以利用性质、公式、法则的相似进行类比, 也可以利用“数”或“形”的结构或形式的相似进行类比, 还可以从解决问题的方法的相似进行类比, 以及从低维到高维的类比。例如, 将分式与分数作类比, 将相似三角形与全等三角形作类比。数学教学中可以进行归纳思维训练的内容很多。例如, 在章节复习时, 可创设归纳思维训练的问题情境, 让学生去归纳知识结构、归纳解题方法或步骤, 等等。

3.4 教学生学会领悟各种数学思想方法, 优化思维深刻性品质。

由于数学思想方法沟通了各种数学问题之间的内在联系, 解题者借助它可以探索出所研究问题的实质及这些问题之间的相互联系, 因此教学生学会领悟数学思想方法有利于训练并优化学生数学思维深刻性的品质。比如, 教学生学会形数结合的思想方法, 可以使学生透过形的外表揭示代数问题的内在数量特征, 探讨数与形的本质联系与规律, 这其实是一种由表及里的数学思考过程。一般地说, 常见的数学思想方法包括:逻辑方法、模型思想、算法思想、方程思想、函数观念、坐标方法、空间观念、数形结合、化归方法、RMI原理、随机思想、极限思想。为了教学生学会领悟各种数学思想方法, 教师应当注意如下几点: (1) 在概念教学中要引导学生分清一些容易混淆的概念, 如非负数与正数、方根与算术根、集合{0}与空集等, 要让学生明白它们为什么容易混淆, 弄清它们之间的关系。由于高度的抽象性是数学概念最主要的特征, 因此, 在概念教学中应当注意把抽象的概念具体化、形象化、观念化, 再进一步抽象化。 (2) 在公式、定理、法则教学中, 要让学生能完整掌握它们的条件、结论及适用范围, 不犯形式主义的错误, 引导学生领悟公式、定理、法则中的数学思想方法。 (3) 在解题教学中, 应当注意引导学生剖析数学错误, 挖掘有关隐含条件, 选择相关典型问题并通过从条件或从结论入手对问题进行必要变化, 通过题组对学生进行思维训练, 引导学生善于集中思路, 探寻问题本源, 要引导学生总结解题要领, 积累解题经验。例如, 在解这个方程时, 学生往往习惯于选择先移项, 然后将方程两边同时平方的方法来解, 但由于涉及到解一元四次方程, 不利于求解。为了克服这种思维定势, 可引导学生进行深入思考, 从题目特征中挖掘出变量间的内在联系:由4x2+x=3x2+x+x2, 将原方程变形为:, 从而使问题的解决变得简捷。

4. 重视数学语言的理解和操作, 培养学生数学思维表达能力

数学语言是表达数学思维的一种有力工具, 教师应重视学生对数学语言的理解和操作, 培养学生数学思维的表达能力。诚如斯托利亚尔所说, 如果学生不理解数学表达式的意义, 就“不能把非数学问题化成数学问题, 他们的知识将是形式主义的、无益的”, 只有理解了数学语言, 才能掌握和运用数学语言进行思维。为了使学生理解数学语言, 应当引导他们理解数学语言的语义, 即数学语言中特有的表达式和这些表达式所指称的关系。例如, 函数符号可以从以下几个方面引导学生进行意义理解:第一, 理解基本含义。f (x) 是以x为自变量的一个函数, 表示的是一个映射或对应关系f∶:x→f (x) 。如当f (x) =x2-2x-3 (x∈R) , x=a→f (a) =a2-2a-3。f (a) 是函数在a处的函数值。第二, 增强对“对应”的理解。f (x) 表示的是括号中的对象与对应对象的一种对应关系, 不管括号中的对象 (自变量) 取什么值, 与其对应的都是在对应关系结构 (如果关系是可以用数学式子表示的) 中用这个值代替对象而得的值。如“x+1”对应的不是f (x) +1, 而是f (x+1) = (x+1) 2-2 (x+1) -3。第三, 进一步加深对f (x) 意义的理解。可以通过诸如“已知f (x+1) =x2+x-3, 求f (x) ”等问题的思考、讨论而获得。鼓励学生在理解的基础上操作数学语言——大胆地组织、表述、交流对发展学生数学语言能力具有非常重要的作用。操作数学语言, 在教学中要用“开放的、可作修改的和补充的语言”, 可强调“诸如用符号语言给应用题列方程, 用逻辑语言写出证明, 用函数语言描述运动模型, 用计算机指挥计算, 等等, 都是应该着重研究和特殊训练的内容”, 从认知角度考虑, 鼓励学生操作数学语言的重点应在解题中让他们通过尝试性的实践活动, 完成数学语言的转换、抽象、变形、组织。应当说明的是, 通过数学语言的转换, 可以实现将一种语言表达从一个领域转换为另一个领域的语言形式, 并因此沟通知识之间的联系, 简化问题解决。例如, 已知“x+2y=5, 求x2+y2的最小值”, 可以转译为“求直线x+2y=5上的点到原点的距离的最小值”, 进一步再转换为“求原点到直线x+2y=5的距离”的语言表达形式, 这既能沟通代数与解析几何的联系, 又能使问题变得更简单易求。

5. 加强整体性思维策略训练, 促进不同思维风格互补