非对称GARCH模型（通用4篇）
非对称GARCH模型 篇1
1. 引言
GARCH模型是反映金融资产序列特征最常用的的波动模型, 它可以有效地扑捉资产收益率波动的集簇和条件异方差特征。自从1982年Engle提出ARCH模型以来[1], 国内外学者先后对ARCH模型从理论和应用两方面进行研究。Bollerslev[2]、Zakoian[3]、Nelson[4]等学者先后对GARCH模型进行了扩展。同时, GARCH模型被引入金融风险管理Va R的度量中, 作为计算和预测VaR的主流分析方法, 在金融风险管理的实践中有着重要的地位。Smithson和Minton[5]、Laurent和Peters[6]分别采用GARCH模型计算VaR。惠晓峰[7]、姜钱芳[8]等运用EGARCH模型对汇率体制改革后的人民币/美元汇率建模并进行预测, 得到了令人满意的预测效果。本文基于三种不同分布 (Normal, T-distribution, GED) 假定下侧重于利用非对称GARCH模型度量美元/人民币外汇汇率的波动性, 并计算95%和99%置信水平下不同模型的动态Va R。比较不同模型的日VaR度量的精度进行并对各模型进行Kupiec[9]检验。本文的研究可以为外汇监管部门以及外汇投资者规避风险提供决策依据和理论参考。
2. 基于GARCH模型的Va R的计算方法与检验
2.1 VaR的定义
VaR是指在一定的置信水平下, 资产或投资组合在未来的一段时间内可能遭受的最大损失。根据VaR的定义, 若金融资产或投资组合未来的随机损失为ΔV, 则对应置信水平为α (一般为95%, 99%) 的VaR满足如下等式
1-α=Pr (ΔV≤VaR) 。
VaR的值主要取决于方差和资产回报的概率分布, 因此在预测Va R时选择合适的波动率模型和对概率分布所作的假定成为影响风险预测可靠性的重要因素。由于实际金融市场中收益率的厚尾性会导致VaR对风险的低估, 我们可以利用GARCH类模型中的条件方差来度量VaR。VaR计算中的条件方差方法是动态的VaR计算的分析方法, 这样动态 , 其中Pt-1为t-1时刻的资产价格, Za为置信度α对应分布函数的临界值。
2.2 VaR模型的检验方法
对VaR模型可采用Kupiec检验[9]。设N为检验样本中损失高于VaR的次数, T为考察天数, P=1-α, α是给定的置信水平。则检验假设为
H0:N/T=P, H1:N/T≠P
对数似然比统计量为
LRuc=2[ln (N/1) N ( 1-N/TT-N) -ln(PN-p) T-N) ]
当原假设H0成立时, LRuc服从自由度为1的x2分布, 即LRuc:x2 (1) 。于是在95%置信水平下, 如果LRuc>3.841, 则拒绝原假设H0:N/T=P。
3. GARCH模型简介
Bollerslev[2]把ARCH模型扩展为GARCH模型, GARCH模型是ARCH类模型中的一种带异方差的时间序列建模的方法。一般的模型GARCH (p, q) 可以表示为
其中ht=var (ε|φt-1) 1, φt-1是时刻t-1及其以前的全部信息, ht为条件方差, vt为独立同分布随机变量, ht与vt互相独立, 且参数满足条件
vt可以假定不同形式的分布, 一般常假定为标准正态分布, 但是实证研究表明收益率分布有厚尾性, 于是Nelson[4]和Hamilton[10]分别用广义误差分布 (GED) 与标准化t分布来调整尾部的偏差。标准化t分布的概率密度为
GED分布的概率密度为
其中Γ (·) 为Gamma函数, d为常数, 当参数d=2时GED分布即为标准正态分布;当d<2时, GED分布的有比标准正态分布更厚的尾部;当d>2时GED分布有比标准正态分布更薄的尾部。
GARCH (p, q) 模型是ARCH模型的扩展, 因此GARCH (p, q) 同样具有ARCH (q) 模型的特点。GARCH模型适合在计算量不大时, 方便地描述高阶的ARCH过程, 因而具有更大的适用性, GARCH (p, q) 模型假定条件方差是滞后残差平方的函数, 因此, 残差的符号不影响波动, 即条件方差对正的价格变化和负的价格变化的反应是对称的。GARCH (p, q) 模型不能解释资产收益变化波动之间出现的负相关现象。为此人们引入了TARCH和EGARCH等非对称模型。下面介绍这两种模型并运用于实证建模。
(1) TARCH模型 (Threshold ARCH) 最先由Zakoian[3]提出, 它具有如下形式的条件方差:
其中dt是一个名义变量。由于引入dt, 资产价格的上涨信息 (εt>0) 和下跌信息 (εt<0) 对条件方差的作用效果不同。
上涨时φε2t-idt-1=0, 其影响可用系数 表示;下跌时为 。若φ≠0, 则说明信息作用是非对称的。而当φ>0时, 认为存在杠杆效应。
(2) EGARCH模型, 即指数GARCH模型, 由Nelson[4]提出的, 其目的是为了刻画条件方差ht对市场中正、负干扰的反应的非对称性。此时ht为εt-1的反对称函数
模型中条件方差采用了自然对数形式, 意味着杠杆效应是指数型的。若φ≠0, 说明信息作用非对称;若φ<0时, 则说明杠杆效应显著。因此, EGARCH模型可以很好地刻划金融市场中的非对称性。此外, 由于ht被表示成指数形式, 因而对模型中的参数没有任何约束, 这是EGARCH模型的一大优点。
4. 美元/人民币汇率动态Va R模型的实证分析
4.1 数据选取和初步分析
本文选取美元/人民币汇率作为研究对象, 数据选取2005年7月25日央行调整汇率政策以来至2008年8月14日每个外汇交易日的100美元兑人民币的中间牌价, 共计751个样本观测值。数据来源于国家外汇管理局官方网站http://www.safe.gov.cn/。对原始数据进行处理, 首先对美元/人民币汇率的时间序列yt变量取对数rt=lnyt-lnyt-1, rt即为美元/人民币汇率日收益率。
数据处理采用时间序列分析软件Eviews5.0。经分析, 该数据的统计特征见表1。峰度4.777270表明汇率波动不服从正态分布;偏度-0.410429说明美元/人民币的汇率日收益率时间呈现长的左厚尾特征;Jarque-Bera的统计量为119.7655, 也表明该汇率收益率不符合正态分布。金融数据典型的尖峰厚尾特征明显。
4.2 进一步检验
首先, 对收益率rt的平稳性进行检验, 也就是单位根检验。本文采用的是ADF统计量, 检验结果如表2所示 (单位根检验的方程中只有常数项且解释变量的滞后项数取1) 。
从输出的结果可以看出, 由于ADF值均小于不同显著性水平下的临界值, 因此拒绝原假设, 序列不存在单位根, rt序列可以认为是平稳的。其次, 对收益率序列rt进行相关性检验, 结果表明rt序列在低阶没有显著的相关性, 但在高阶表现出弱相关性。最后, 检验是否存在异方差, 直观观察到汇率日收益率 (图1) 存在波动聚集现象, 可能存在异方差。因为rt序列在高阶上呈现弱相关性, 因此可以建立ARMA模型 (以LM值、AIC和SIC信息准则作为判断估计模型的优劣的评价标准) , 经过反复试验和对比并去除不显著变量后得到如下均值模型
对rt均值方程拟合后的残差序列、残差平方序列的相关性进行检验, 结果表明残差序列是独立的, 不存在显著的相关关系, 而残差平方有明显的相关关系, 这表明不同时期的观测值之间具有非线性关系, 其条件方差具有时变性, 残差序列具有明显的高阶ARCH效应, 即存在异方差。
4.3 模型的建立与动态VaR值的计算
根据以上检验分析可知:美元/人民币汇率日收益率为平稳数列, 不存在自相关, 但存在异方差, 符合建立GARCH模型的条件, 依据已有的实证分析结果选取滞后阶数 (p, q) 为 (1, 1) 比较合适。对其条件均值方程设定为rt=Art-1+Brt-6+Cεt-1+εt对应于不同的分布我们运用TARCH (1, 1) 与EGARCH (1, 1) 进行估计, 用最大似然估计估计各个方程的参数见下表。
从各模型估计的参数看, 杠杆项φ都显著异于0, TARCH的杠杆项φ>0, EGARCH杠杆项φ<0, 这说明信息作用是非对称的, 利空消息出现时, 日收益率波动趋向于增大;利好消息出现时, 日收益率波动趋向于减小。对各个模型的残差序列进行ARCH、LM检验, 表明残差序列已经不存在ARCH效应。表5给出了美元/人民币汇率的Normal、t、GED分布的95%与99%的分位点, 将各模型估计条件方差ht代入 , 可得人民币美元汇率Va R值的动态估计, 见表4.6和表4.7。
通过比较上述模型, 可以看出: (1) 在95%的置信水平下t分布和GED分布计算的VaR值没有显著大于正态分布假定下的VaR值, 这就是说在95%的置信水平下t分布和GED分布不能刻画厚尾对VaR的影响, 但在99%的置信水平下t分布与GED分布都很好地刻画出厚尾对VaR的影响。TARCH和EGARCH模型都在t分布或GED分布假定下对VaR计算比在标准正态分布假定下对VaR计算精确;t分布比GED分布能更为准确地计算日VaR值。
(2) 将各模型的LRuc值与3.841比较可知, 在95%的置信水平下通过Kupiec检验的模型有TARCH-t-95、TARCH-t-99、EGARCH-t-95、EGARCH-t-99、EGARCH-g-99。E-GARCH通过3个模型, TARCH通过2个模型, EGARCH略优于TARCH;无论在95%低置信水平下, 还是在99%的高置信水平下, TARCH-t和EGARCH-t对美元/人民币日VaR能很好地拟合实际日收益损失。
下面仅给出TARCH-t和EGARCH-t模型分别在95%的置信水平和99%的置信水平下模型计算的日VaR值与实际日收益比较图。 (图2—5, 其中虚线为实际日收益, 实线为模型计算的日VaR值, 单位:人民币元)
5. 结论
经过实证分析, 美元人民币汇率日收益率是平稳性、集簇性序列, 分布呈尖峰厚尾特征。TARCH-t和EGARCH-t能更好地模拟美元/人民币汇率收益率, 模型拟合显示利空影响远远大于利好影响。美元/人民币汇率日收益率波动性可归结为以下三点, 首先是汇率自身的波动性, 外汇市场有风险;其次受国际货币美元贬值的影响, 境外的热钱和国际游资为保值和套利的需要, 进行外汇兑汇, 这进一步加剧汇率日收益率的波动;最后是投资者厌恶风险, 一旦有利空消息, 非理性行为造成波动集簇, 增加了日收益率的波动。本文的分析方法也同样适用于其他外汇汇率的风险管理, 本文的研究可以为外汇资产监管部门以及外汇投资者规避风险提供决策依据和理论参考。
参考文献
[1]Engle, R., Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation[J].Econome trica1982, (50) :987-1007.
[2]Bollerslev, T., Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity[J].Journal of Econometrics, 1986, (31) :307-327.
[3]Zakoian J., Threshold Heteroskedastic Models[J], Journal of Economic Dynamics and Control, 1994, (18) :931-955.
[4]Nelson, D.B..Conditional heteroskedasticity in asset returns:a new approach[J].Econometrica, 1991, (59) :347-370.
[5]Smithson C, Minton L.Value at Risk[J].Risk, Jan, 1996, 9 (1) :25-27.
[6]Laurent S., Peters, J.P., GARCH2.2:An OxPackage for Estimating and Forecasting Various ARCH Models[J].Journal of Economic Surveys2002, (16) :447-485.
[7]惠晓峰, 柳鸿生, 胡伟, 何丹青.基于时间序列GARCH模型的人民币汇率预测.金融研究, 2003, (5) :99-105.
[8]姜钱芳.基于EGARCH模型的汇率波动分析[J].硕士论文, 2006:30-31.
[9]Kupiec, P., Techniques for Verifying the Accuracy of Risk Measurement Models[J].Journal of Derivatives, 1995, (2) :173-184.
[10]Hamilton, D.Time Series Analysis[M].Princeton:Princeton University Press, 1994.
非对称GARCH模型 篇2
权证赋予权证持有者在规定时间, 以约定价格购买或出售有价证券的权利。由于和期权有类似的定价机制, 以Black-Scholes、二叉树模型和CEV (constant elasticity of variance) 为代表的经典期权定价模型被用于权证定价的研究。对于所有的期权定价模型来说, 波动率在定价的过程中都发挥着至关重要的作用, 所以近些年来, 能表现金融资产波动率“聚集效应”和“杠杆效应”的时变波动率模型被用来进行衍生品定价, 其中最常见的是GARCH和SV模型。由于GARCH模型具有扩展性强、对波动率描述准确的优点, 得到很多学者的关注[1,2]。
Duan (1995) [2]最早考虑用正态分布下的GARCH模型进行期权定价。这一模型与B-S模型相比, 不仅表现出了更好的定价效果, 而且GARCH模型的时变波动率序列和隐含波动率吻合度非常高。大量欧式期权GARCH定价模型的实证研究显示, 这一模型对指数衍生品和股票衍生品有很好的定价效果[3,4]。虽然这些GARCH模型都采用正态分布模拟其中的随机数, 但金融数据“尖峰厚尾”的特征已经成为共识, 因此将非正态分布引入GARCH模型, 可以更好模拟基础资产的分布特征, 从而提高定价精度。Duan (1999) [5]给出了非正态随机分布在有偏GARCH模型下的风险中性调整方法, 用标准普尔500指数数据进行了模型验证。这一模型构成了目前非正态GARCH模型期权定价的基本框架。我们在这一框架下, 引入Lévy过程, 并使用GJR-GARCH和EGARCH模型进行权证定价。
Lévy过程, 代指具有独立增量、平稳增量和随机连续性这三个特征的随机过程, 目前被广泛应用于物理、医学和金融领域的蒙特卡罗模拟中, 具有丰富的成员函数, 可以非常准确地描述金融序列的统计特征, 特别是数据的“跳跃”现象。虽然通过Lévy过程模拟金融资产价格变化, 或采用蒙特卡罗模拟方法进行期权定价的研究已经很多, 但由于Lévy过程的分布函数较复杂, 把Lévy过程和GARCH模型结合后, 风险中性调整会很困难, 因此完备的Lévy-GARCH定价研究相对较少。Christoffesen (2010) [6]给出了指数形式的Radon-Nikodym导数, 并推导出了无套利假设下Lévy-GARCH模型的等价鞅测度, 这一研究为Lévy-GARCH模型风险中性提供了成熟的理论基础。Christoffersen (2012) [3]又将这一方法扩展到了IG (Inverse Gaussian) 过程、泊松跳跃过程及SV模型。根据这些研究, 近些年Lévy-GARCH期权定价模型的实证研究也开始大量出现。Chorro等 (2012) [7]使用Lévy过程中的GH (generalized hyperbolic) 模型修正GARCH模型, 在对SP500和CAC40指数期权的模拟中, Lévy-GARCH模型表现出了非常高的定价精度。Byun (2013) [8]使用非正态GARCH模型对SP500指数期权进行实证, 结果表明, Lévy-GARCH模型能很好描述金融数据的波动率特征。基于以上研究, 我们使用NIG和VG这两种具有良好统计性质和较高实现效率的Lévy过程, 配合GJR-GARCH和EGARCH模型进行沪深市场的权证定价。
在以香港、台湾、韩国、大陆为代表的亚洲金融市场中, 权证交易非常活跃。2012年香港权证市场的日均交易额超过100亿港元, 占香港交易所 (HKE) 总交易量的20%以上。2005~2009年, 我国沪深交易所也有55支权证上市交易。Xiong和Yu (2011) [9]、王茵田等 (2012) [10]的研究显示, 我国权证市场具有很强的投机性, 所以建立在无套利假设下的传统模型难以给出准确的定价。
在权证定价研究领域, 国内单独使用Lévy过程进研权证模拟定价, 或用正态GARCH模型进行权证定价的研究很多, 潘涛和邢铁英 (2007) [11]等学者分别使用Lévy模型和GARCH修正模型对我国权证市场进行了定价研究。但Lévy分布下进行GARCH模型权证定价的研究还很匮乏。吴鑫育等 (2012) [12]首次使用GARCH扩散模型对恒生指数权证进行验证, 证明GARCH扩散模型比B-S模型有更好的定价精度。
基于国内GARCH模型下权证定价的研究成果, 本文进行以下几点研究: (1) 与B-S模型和普通的Lévy期权定价模型相比, 引入时变波动率后, Lévy-GARCH模型是否能进一步提高定价精度; (2) 验证不同类型的Lévy随机分布和不同类型的有偏GARCH模型对Lévy-GARCH模型的定价结果是否有显著的区别; (3) 验证我国权证市场的定价是否显著偏离无套利假设下的模型估值, 如果有偏离, 哪些因素对这一定价偏误起主要作用。
2 非正态有偏GARCH期权定价模型
2.1 Lévy过程
Black Scholes等传统金融衍生品定价模型通常假设资产收益率服从正态分布。一般情况下GARCH模型也假设新息 (innovation) 服从标准正态分布。为了更好刻画金融数据“有偏”、“肥尾”等高阶矩特征, Lévy过程被引入资产定价模型中。广义地讲, 目前普遍使用的正态分布、t分布都属于Lévy分布族的一种。但在现在的资产定价领域, Lévy过程一般代指能准确反映金融数据高阶矩特征, 并且具有独立增量、平稳增量和随机连续性这三个特征的随机分布。
目前, 应用于金融领域的Lévy过程分为以下两类: (1) 跳-扩散模型, 这类模型在几何布朗运动的基础上加入了跳跃项, 大部分学者用泊松过程配合独立增量过程来模拟跳跃项。这类模型的优点是结构清晰, 但因为参数数量过多, 模型的估计和模拟效率较低。这类随机过程主要有Merton (1973) [13]模型和Kou (2002) [14]提出的双指数跳跃模型; (2) 纯跳跃过程, 这类随机数使用独立从属过程 (Subordinator) 对布朗运动进行压缩生成随机数, 因而不需要用泊松过程去模拟数据的跳跃特征, 所以不再具有明显的扩散-跳跃结构。由于这些过程参数数量少、生成算法简练、高阶矩特征丰富, 成为目前研究的最多的一类Lévy过程, 主要有以下几种随机模型:Madan和Seneta (1998) [15]提出的Variance Gamma (VG) 模型、Barndorff (1997) [16]提出的Normal Inverse Gaussian (NIG) 模型、Carr等 (2002) [17]提出的CGMY模型、Eberlein和Keller (1995) [18]提出的Hyperbolic模型、Schoutens (2001) [19]提出的Meixner模型。这些随机过程不仅能用来模拟收益率, 直接进行资产定价, 同时也可以替换GARCH、SV等定价模型中的随机数, 改进它们的定价效果。
虽然纯跳跃Lévy过程进一步提高了非正态模型, 但其分布函数较复杂, 且缺乏统一的结构, 难以直观了解每个因子的统计含义, 但根据Lévy-Khintchine定理, Lévy过程的特征函数Ψ (u) =E[exp (iuX (t) ) ]=E[exp (ψ (u) ) ]的指数部分ψ (u) 可以用以下三部分来描述:
本文选取两个最具代表性的Lévy过程进行模拟, 它们的特征函数为:
NIG过程和VG过程都属于广义双曲族随机过程。其中NIG过程以逆高斯IG分布为从属过程, 对正态随机数进行时变压缩, 可以生成具有“厚尾”特征的随机数。NIG过程最大的优点是具有无限可分性:任意NIG过程的和仍然服从NIG分布。这一特性为NIG过程在多维衍生品中的应用提供了便利。VG过程是以伽马分布为从属过程的正态方差均值混合型随机变量。VG过程既可以通过时变布朗运动算法生成, 也可以用伽马随机数的差进行模拟, 其模拟算法较大部分非正态随机过程要更简单。因为NIG过程和VG过程不仅能有效描述出金融资产高阶矩的特征, 而且其估计和模拟的算法效率很高, 所以目前这两种随机数模型已经成为衍生品定价中使用最广泛的Lévy过程。Madan等曾经使用VG模型和Black-Scholes模型对S&P500指数期权进行实证对比, 结果显示, 相对于服从正态随机分布的传统模型, VG模型有更好的定价精度。Kalemanova等 (2007) [20]通过CDO数据证明, 相对于t分布, NIG分布能更好反映金融数据的尾部特征, 因而提供了更好的定价效果, 并且模拟效率也很高。
2.2 Lévy过程修正下GARCH期权定价模型
参考Duan (1999) [5]的GARCH期权定价模型的基本框架, 建立一般化的非正态异方差模型:
其中Rt为不考虑股息的资产对数收益率, mt (·;θR) 是收益率方程的均值项, ht为时变方差序列, 时变方差方程g (·) 的参数为θh.εt为均值方程的新息, 在信息集Ft-1条件下服从均值为0、方差为1、参数为θh的D (·) 分布。
GARCH模型主要用来衡量波动率的“聚集效用”。Engle (2011) [21]认为新息对波动率的冲击具有持续性, 因而用自回归及移动平均的结构来描述时变波动率的这一特性。但不容忽视的是, 金融资产收益率的方差的对“新息”的反馈往往是非对称的, 负的新息能造成更大的影响, 这一特征可以用非对称GARCH模型来描述。目前影响力较大的非对称GARCH模型主要包括以下几个:Zakoian (1994) [22]提出的Threshold GARCH (TGARCH) 、Glosten等 (1993) [23]提出的GJR-GARCH、Nelson (1991) [24]提出的Exponential GARCH (EGARCH) 。这些模型都能很好地表现出条件异方差序列的“杠杆效应”。由于TGARCH和GJR-GARCH模型结构类似, 都是直接将描述新息方向的阀值加入方差方程, 而且定价效果相近[25], 所以本文使用GJR-GARCH和EGARCH模型进行实证, 比较不同的有偏GARCH模型在Lévy随机分布环境下, 对权证定价精度的影响是否一致。
GJR-GARCH (1, 1) 模型的条件方差方程形式为:
模型平稳的约束条件是:
EGARCH (1, 1) 模型的条件方差方程形式为:
在Lévy-GARCH定价模型中, 简化了对数收益率方程的均值项mt (·;θR) , 使其等于μt+γt, 其中μt为漂移项, γt为对数收益率的均值调整项, 具有性质:。新息εt|Ft-1~D (0, 1;θD) 将服从选定的Lévy过程。
3 Lévy-GARCH期权定价模型蒙特卡罗模拟
3.1 定价模型的风险中性调整
根据历史数据, 对模型 (1) 进行参数估计, 可以得到真实测度P下Lévy-GARCH模型。这一模型形式可以很好体现出金融数据的统计特性, 也可以表现出模型的主要结构和定价思想, 但由于真实测度模型不满足无套利假设, 在进行衍生品定价前, 有必要进行风险中性测度转换。可以证明, 对于衍生品定价模型, 特别是期权的GARCH定价模型, 在风险中性测度Q下, 定价精度要显著优于P测度[26]。为了得到风险中性测度方程, 必须找到资产价格序列{Si;0≤i≤T}的等价鞅测度形式:
其中{Bt}为无风险资产价格序列。Christofersen等 (2010) [6]通过构造核序列{vt}求得Radon-Nikodym导数序列完成这一转换。
在Lévy分布下, 由于收益率Rt存在跳跃, 这一等价鞅测度的构建并不是唯一的, 可以通过以下等式求得核序列{vt} (证明过程见Christofersen等 (2010) [6]) :
其中ψ (·) 为矩母函数的指数部分, 根据矩母函数的特性:Ψ′t (0) =Et-1[εt]和Ψ″t (0) =Et-1[εt], 可以解出核序列{vt}的解析式:
求得核序列{vt}后, 得到随机项的风险中性调整形式:
因而风险中性测度Q下的均值方程为:
通过泰勒公式, 方差序列的风险中性形式为:
假设随机项zt的分布函数不随时间改变, 我们就可以将真实测度下的随机数序列zt和方差序列ht变换至风险中性测度下的zt*和ht*.
3.2 Lévy过程的蒙特卡罗模拟
蒙特卡罗模拟很重要的一步就是随机数生成, 随机数是否能够高效且严格按照分布函数生成, 对最终定价的准确性有很大的影响。传统的随机数生成算法为累积密度函数反演算法。由于累积密度函数CDF (xt;θD) 服从均匀分布, 通过对CDF (·;θD) 求逆, 就可以反推出随机数序列{xt}。但由于纯跳跃Lévy过程的分布函数非常复杂, 所以其求逆的数值算法一直是一个难点, Derflinger等 (2010) [27]成功给出了通过概率密度函数PDF (·;θD) 数值模拟随机分布数的数值方法, 但这一方法模拟Lévy随机数的效率仍然有限。Carr和Madan (1999) [28]的快速傅里叶变化 (FFT) 可以非常高效地模拟出期权的价格, 但这一方法局限于欧式期权, 而且模型的形式受到严格限制, GARCH这类时变方差模型不能直接套用这一方法进行模拟。因而, 使用时变布朗运动的Lévy随机数生成算法。
从属过程 (Subordinator) 是一类具有非负增量特征的随机过程, 具有两个性质: (1) 测度的非负性, ν (-∞, 0) =0; (2) (0, 1) 区间均值有限, ∫10xν (dx) <∞.时变布朗随机数生成算法就是利用从属过程对正态随机数进行压缩, 最终得到具有Lévy分布特征的随机数序列。表2是NIG和VG这两个Lévy过程的时变布朗运动生成算法。
在通过以上算法完成Lévy随机数模拟后, 将根据所选择的GARCH模型和风险中性变换还原出对数收益率序列, 然后得到股票的模拟路径, 然后, 用以下的欧式期权定价公式完成权证的模拟定价。
其中Ctcall和Ctput为认购权证和认沽权证在t时刻的价格, r是无风险收益率, T为权证行权日, K为行权价格, ρ为行权比率。Galai和Schneller (1978) [29]最早提出权证具有“稀释效应”, 认为股本权证一方面会为发行权证的上市公司带来现金流, 另一方面会增加市场流通股票数量, 稀释每股的净值, 但包括Sidenius (1996) [30]在内的学者认为, 由于投资者在权证发行时就会预期到最终的“稀释效应”, 因而这一效应已经完全体现在权证的市场价值中了, 所以使用没有“稀释效应”的式 (12) 进行权证的蒙特卡罗模拟。
4 中国权证的实证分析结果
4.1 数据选取与处理
2005~2009年, 为了完成上市公司股权分置改革, 沪深两地的证券交易所共上市交易了55支权证合约, 包括26支备兑权证和29支股本权证, 行权方式包括欧式、百慕大式和美式。本文只对欧式权证进行定价, 为了权证间横向对比, 统一所有权证的定价日期为执行日200天前。同时剔除交易时间少于200日的原水CTP1和GJR-GARCH模型下不平稳的葛洲CWB1, 对剩余的38支权证进行了定价。表3和表4描述了这些权证标的股票对数收益率的统计特征。
从表3的结果看, 无论是对数收益率, 还是GARCH模型的新息序列, 其高阶矩与正态分布的统计特征有显著差异。
根据表4的正态检验, 考虑K-S模型拒绝原假设的条件比较苛刻, 而在Lilliefors和Jarque-Bera检验中, 大部分随机数都可以拒绝正态分布假设, 可以认定, 在我国的股票市场, 资产收益率一般不服从正态分布, 因而在理论上说, 用Lévy过程描述随机数能提高模拟定价的精度。
(1) 所有统计特征指标为38支股票统计指标的算数平均值。 (2) 其中rate为股票价格的对数收益率, NIG-GJR为NIG随机分布下GJR-GARCH模型的新息项εt, VG-E为服从VG分布的EGARCH模型的信息项εt.
(1) K-S为Kolmogorov-Smironv正态检验, Lilie为Lilliefors正态检验。JB为Jarque-Bera正态检验。 (2) 拒绝率表示有多少股票可以拒绝正态分布原假设, 显著性水平为10%, p值保留两位有效数字。
4.2 参数估计与时间序列分析
由于NIG和VG过程与正态分布相对比, 虽然能更好描述数据的高阶矩特征, 但其分布函数非常复杂, 与有偏GARCH模型结合后, 待估参数很多, 模型形式很复杂。因此, 采用传统的极大似然估计后, 运算效率非常低。但Lévy过程的矩条件形式较为简单, 可以采用广义矩估计 (GMM) 框架下的计量方法进行参数估计。Carrasco等 (2007) [31]提出了连续矩条件GMM方法 (GMM with a continuum of moment condition) , 很好解决了Lévy参数估计的难题, 因此使用GMM模型进行模型的参数估计。
由于本模型重点考虑金融数据的波动率、偏度、峰度对衍生品定价的影响, 因此首先构建一阶矩到四阶矩的解析式向量:珡m=[m1 (θ) , m2 (θ) , m3 (θ) , m4 (θ) ], 其中m1 (θ) 为第i阶矩的解析式, θ={θR, θh, θD}为待估参数, 包含GARCH模型的均值项参数θR、方差项参数θh和Lévy分布的随机项参数θD.得到总体矩的显式表达式后, 计算样本矩向量:, 通过优化参数矩向量和样本矩向量的距离进行参数估计, 其中W为对角阵, 用于给目标函数赋权重。
由于定价的权证数量较大, 这里不详细展示参数估计结果, 选取武钢JTB1从2006年1月11日到2006年11月14日共200天的数据, 提取对数收益率, 然后分别用几何布朗运动、NIG分布和VG分布进行了参数估计和模拟, 得到图1和图2。通过对比, 可以看出这两个Lévy分布模型能很好得模拟出真实数据“尖峰厚尾”的数据特征, 偏度方面的拟合效果也远好于正态分布, 体现出了Lévy分布在金融资产定价模型中的优势。
4.3 模型间定价结果分析
为了证明Lévy能更好的模拟金融数据的统计特征, 同时证明GARCH模型引入时变波动率能提高衍生品定价准确度, 设计2个Lévy模型和4个Lévy-GARCH模型进行实证, 并用B-S模型做对照。
本文想通过这7个模型间的对比探讨以下两个问题: (1) 收益率服从非正态分布的Lévy定价模型, 和正态假设的B-S模型相比, 定价精度的提升有多大?NIG和VG的表现差异是否显著? (2) 在考虑了波动率的时变性特征后, Lévy-GARCH模型对权证的定价精度有多少提升?不同形式的非对称GARCH模型是否有显著区别? (3) 相同GARCH模型框架下, 新息服从不同Lévy分布是否对定价结果有显著影响?
为了回答以上问题, 用表5显示的7个定价模型进行38支权证的模拟定价, 并通过RMSRE (root mean square relative error) 和AARE (average absolute relative error) 两个统计指标, 评估了模拟定价结果和真实价格的误差, 这两个指标的构造方法如下:
从结果可以看出以下几个结论: (1) 相比于B-S模型, 无论从RMSRE还是AARE统计指标, Lévy模型和Lévy-GARCH模型都能显著提升定价的精度。 (2) 无论Lévy过程取NIG还是VG, 在考虑了时变波动率后, GJR-GARCH和EGARCH定价的准确度都能比相应的Lévy模型有进一步提升, 而相同条件下, GJR-GARCH模型的提升效果更好。 (3) Lévy过程间的对比显示, NIG模型和VG模型的结果差异非常小, 而相同的GARCH模型框架下, 选取哪种Lévy过程来做随机数也对结果影响不大。这些结果与Byun (2013) [8]对美国指数期权和吴鑫育等 (2012) [12]对香港指数权证的实证结果一致, 说明在定价精度上非正态GARCH模型有一定的优势。
4.4 权证间定价结果的对比分析
从模型间定价结果来看, 虽然Lévy-GARCH模型和Lévy模型的定价精度相对于B-S模型有所提升, 但对于部分权证来说, 市场价格和模型理论价格相差很大。Xiong和Wu (2011) [9]经过实证分析, 认为国内市场存在过度投机现象, 使得市场价格偏离无套利框架下的理论价格。因此我们对38支权证进行分类, 以验证哪些因素对这一偏离起主导作用, 同时观察Lévy-GARCH模型对不同类别权证定价精度的提升作用是否有区别。
(1) 权证上市日期对定价结果的影响
大量学者认为, 由于大陆权证市场的投资主体主要由个人投资者组成, 与海外成熟市场的投资主体在衍生品基本知识和风险控制意识上存在差距, 从而造成市场投机气氛浓厚, 合约的换手率过高。一个显著的证据是, 包括茅台JCP1在内的许多内在价值为0的权证在合约执行日临近的几个交易日内, 不仅交易活跃, 而且市场价格还远远高于0。
首先要验证, 中国权证的市场价格和无套利模型定价结果的偏离在2005~2009年, 是随着投资者对市场认识逐步加深而缩小, 还是随着投资热情的高涨而持续扩大?根据权证上市交易的起始时间, 将权证分为两组, 第一组为早期发行的权证, 包括2005年8月上市的宝钢JTB1至2006年4月上市的首创JTB1, 共12支。第二组为2007年9月至2009年8月, 包括国安GAC1到长虹CWB1的12支权证。为了使对比更明显, 剔除这两组间的14支权证, 对比结果在表6中展示。
虽然这一对比没有控制2005~2009年与宏观经济、金融市场相关的因素, 但两者显著的差异还是显示出随着时间推移, 权证市场日趋火爆, 投机情绪蔓延, 市场价格与权证内在价值的偏离持续扩大, 进一步解释了为何建立在无套利假设上的B-S、Lévy、Lévy-GARCH模型无法给出足够准确的定价。
(2) 权证内涵价值对定价结果的影响
由于权证具有杠杆效应, 而且大陆权证市场的波动性强、换手率高、涨跌限制较股票市场宽松、可以进行T+0交易, 因此吸引风险偏好的投资者参与这个市场。对于这些激进型投资者来说, 价外权证由于市场价格低, 杠杆效应明显而更有吸引力, 国外研究也显示, 与价内期权相比, 价外期权, 特别是平价期权有明显的溢价。因此, 对价内权证和价外权证分别进行定价误差计算, 通过横向对比, 从权证价值状况这一角度来展示我国权证市场的投机性, 并验证Lévy模型和Lévy-GARCH模型对不同溢价水平权证定价的准确度。选取的38支欧式权证中, 有19支价内权证和19支价外权证。
(1) 模型中的百分比数据是该模型与B-S模型相比, 相应模型的AARE偏差度降低的比率。
从结果看, 价外权证的偏离水平显著的大于价内权证, 这一现象是Xiong和Yu (2011) [9]认定国内权证市场过分投机的一个主要证据。模型间对比显示:相对于B-S模型, Lévy模型对这两类权证定价精度提升的效果没有明显差异, 但Lévy-GARCH模型对价外权证定价精度的提升比率显著高于价内权证。这说明, 由于低价权证更易受到价格操纵, 投机者也更关注价外权证的市场走势, 表现为价外权证的波动率数据具有很强的传递性, 因而GARCH框架的定价模型能更好适应这部分权证的数据, 定价精度显著高于固定波动率的模型。
(3) 权证到期日对定价结果的影响
为进一步探讨随着到期日的逐渐临近, 权证市场价格和理论价格的收敛情况, 选取权证万华HXB1的数据, 使用定价效果最好的NIG-GARCH模型进行验证, 同时选取B-S模型进行对比, 定价的时间窗口为权证发行日到权证执行日前一天。
第一幅图为使用B-S对权证定价的结果, 第二幅图采用了NIG-GJR-GARCH模型。通过对比, 可以看出以下几个特征: (1) 我国权证定价的偏误具有不对称性, 认沽权证往往被高估、认购权证往往被低估, 这一结果同王茵田等 (2012) [10]的结论一致; (2) 虽然理论上说, 随着到期日临近, 权证市场价格会逐渐收敛于理论价值, 但我国权证在到期日临近的几天, 反倒会出现交易活跃、价格突然偏离的情况, 在最后两三天才开始加速收敛, 这一现象被视为大陆权证市场过度投机的主要证据; (3) NIG-GARCH模型在市场出现剧烈波动的情况下, 定价精度优于B-S模型。
5 结论
投资者根据自己对权证和标的股票价格的预期进行交易, 最终由买卖双方的交易形成市场价格。由于投资者会根据自己的风险偏好和相关资产的风险水平进行权证的估价, 因而国内外学者普遍认为波动率是权证价格的主要因素, 所以使用有偏的GARCH模型来构造权证定价模型。同时, 考虑到金融数据的非正态特征, 引入Lévy过程模拟GARCH模型下的随机数, 建立了Lévy-GARCH定价模型, 并进行了模型的风险中性转换。通过对我国权证数据的研究, 得到以下结论: (1) 相对于传统的B-S模型, Lévy模型和Lévy-GARCH模型能显著提高定价精度, 而Lévy-GARCH模型的效果最好。使用了有偏GARCH模型后, 模型表现出了金融资产波动率的“聚集效应”和“杠杆效应”, Lévy过程也很好体现出了数据的“跳跃”特征。并且对于市场波动较强的权证, 由于Lévy-GARCH模型能准确描述波动的传递, 所以其定价表现较其他模型有明显优势。
(2) 使用多种模型对我国38支欧式权证定价的结果显示, 我国权证市场投机现象严重, 市场价格严重偏离权证在无套利假设下的内在价值, 具体表现为:随着时间推移, 权证市场投机情绪蔓延, 新发行权证的市场价格与理论价值的偏离逐渐扩大;价外权证出现显著的溢价;权证无套利假设下的内在价值和市场价格并没有随到期日临近而一致性收敛, 反而会在到期日前两个月出现更大偏离, 直至最后几天加速收敛。
摘要：考虑权证标的资产的非正态特征, 引入Lévy过程改进GARCH模型下权证的蒙特卡洛模拟定价方法。首先, 针对不同Lévy随机分布和有偏GARCH模型建立真实测度下的Lévy-GARCH模型, 然后进行风险中性测度转换并对38支大陆权证进行定价, 最后对定价结果进行分类比较。结果表明, 虽然大陆权证的市场价格与无套利假设下的理论价值有显著偏离, 但Lévy-GARCH模型的定价精度仍然优于经典的B-S模型和Lévy随机模型, 并且在市场剧烈波动的环境下定价效果提升更明显。
非对称GARCH模型 篇3
此外, 电力系统负荷预测模型一般关注负荷时间序列的一阶矩, 即从数学期望层面上讨论, 而综合考虑时间序列的高阶矩预测模型则相对鲜见。这里所建的非高斯分布GARCH模型包含的条件方差方程, 为剖析时间序列二阶矩提供了平台。
1 ARCH模型简介
时间序列建模时常出现波动集聚现象。时序的二阶矩在某个时期密集地出现高值, 在某个时期密集地出现低值。这种异方差现象不可忽视。
1.1 标准GARCH模型
ARCH模型[9,10]通常可用于时间序列模型的随机扰动项建模。
对于模型均值的方程:
如果有
条件方差方程为
vt~i.i.d.N (0, 1) , 即vt服从正态独立同分布;α (B) 为滞后算子多项式;ht为εt的条件方差。需同时满足非负约束条件和二阶平稳约束条件。
GARCH模型[11]为广义自回归条件异方差模型。
引入滞后算子B, GARCH (p, q) 的条件方差为
其中, α (B) 为滞后算子, p≥0, q>0, α0>0, αi≥0, i=1, 2, …, q, θj≥0, j=1, 2, …, p。且满足模型的二阶平稳条件:α (B) +θ (B) <1。
一般参数p、q均取1的GARCH (1, 1) 模型即可描述大量时间序列的波动集聚效应。为和下述GARCH-t和GARCH-GED相区别, 本文称采用正态分布假设的GARCH模型为标准GARCH模型。
1.2 厚尾特征与非高斯条件分布
在很多应用场合, 随机过程的分布具有极厚的厚尾特征[12]。不仅εt的无条件分布是厚尾的, 甚至条件分布可能也是厚尾的。为了进一步增强刻画随机过程的分布厚尾的能力, 可以考虑将式 (1) 中的vt由服从正态分布扩展成为服从尾部较厚的非高斯分布, 如t分布和广义误差分布 (GED) 。
1.2.1 t分布
t分布在自由度为无穷时, 渐近变为正态分布;通常情况下则拥有比正态更厚的尾部。当模型中vt服从t分布时, GARCH-t模型比标准GARCH模型更适合描述具有厚尾特征的时间序列。
1.2.2 GED
GED概括性较强, 其概率密度函数为
当厚尾参数v=2时, GED退化为正态分布, v<2时, GED较正态分布有更厚的尾部。
1.3 ARCH效应检验
判断一个序列 (如模型残差{εt}) 是否存在ARCH效应, 最简便也是最常用的检验方法是拉格朗日乘子检验, 即LM检验。
1.4 模型参数估计
ARCH模型参数的估计方法主要有2大类:极大似然估计 (MLE) 和矩估计 (ME) [13,14,15]。似然函数可求时, 一般倾向于采用MLE。这里采用MLE。
通过最大化条件对数似然函数, 可得标准GARCH模型的参数估计。
当vt服从t分布时, 参数估计变为在自由度k>2约束下使条件对数似然函数最大化问题, 函数形如
当vt服从GED时, 其有待最大化的条件对数似然函数形如
其中, 厚尾参数v>0, 当v<2时, GED拥有比高斯分布更厚的尾部。
2 算例分析
现结合日用电量时间序列传统模型分析ARCH效应, 并在标准GARCH模型基础上建立了非高斯分布GARCH模型。最后, 将非高斯分布GARCH模型、标准GARCH模型以及传统的自回归移动平均 (ARMA) 模型作了综合比较。
2.1 数据
选用南京地区日用电量数据进行时序建模。样本空间为2002年1月至2004年5月。使用所建各种模型分别对2004年6月4个星期的日用电量数据进行预报, 以检验和比较各模型的预测能力。
2.2 GARCH效应分析
用电量时间序列建模均值方程采用乘法模型:
其中, Ttrend、Sday、Iday依次为趋势变动分量、季节变动分量、不规则变动分量。
2.2.1 趋势分量与季节分量的提取
趋势分量利用指数模型刻画, 表达式如下:
季节分量Sday的提取, 采用了文献[1]的日负荷数据广义季节调节技术。至此, 已获取Ttrend、Sday。
2.2.2 不规则分量建模
首先, 使用ADF test、PP test验证了Iday序列的平稳性, 确认ARMA建模前提是满足的。
参考Iday序列自相关函数 (ACF) 和偏相关函数 (PACF) , 比较可行阶的ARMA模型的赤池信息准则 (AIC) 和贝叶斯信息准则 (BIC) , 最终筛选出阶数最为适当的ARMA模型。
经权衡各个模型的AIC、BIC, ARMA (15, 19) 优于其他备选模型, 模型参数估计结果参见表1。
注:C为参数估计的截距项;AR (i) 、MA (i) 分别为滞后i阶的AR项系数、MA系数的参数估计。
本ARMA模型参数均显著, 信息指标良好, 但是如果考察模型残差平方时序的ACF, 可以观察到显著的相关关系, 即残差时序似乎是非独立的。
下面使用LM检验就此问题给出一个相对正式的统计检验。经初步计算, ARCH (1) 效应检验中LM值远高于临界值, ARCH (1) 效应是极为显著的。随后动态调节LM辅助方程的q值, 可以进一步分析ARCH (q) 效应的存在性。
不同q值对应的LM值绘成曲线如图1所示。由图1可见, 所有阶次对应的LM值均比较高 (即从低阶到高阶ARCH效应都是显著的) , 残差非独立。鉴于传统模型的同方差假设是不满足的, 方程残差的条件方差改为时变方差较为合理。
2.3 非高斯分布GARCH建模
残差的这种非独立性一定程度上可以用GARCH模型加以刻画。
模型均值方程定阶方法如前, 在反复比较大量备选模型之后, 可得新模型ARMA (15, 15) -GARCH。
使用MLE估计GARCH-GED、GARCH-t模型的参数 (标准GARCH模型的参数估计亦列于后, 以供比较) 。3种GARCH模型的均值方程参数估计见表2。
标准GARCH模型条件方差方程为
GARCH-t模型的条件方差方程为
同时估计得t分布自由度k=4.366 450, 显然具有比正态假设更厚的尾部。
GARCH-GED模型的条件方差方程为
其中, 厚尾参数v=1.204 462<2, 正符合GED拥有厚尾的情形。同时也为厚尾假设选取的合理性提供了依据。在这个问题上, 2种非高斯分布GARCH模型的结论是一致的。
由表2可见所有模型均值方程参数的显著性情况均良好 (条件方差方程亦然) 。并且本算例中, GARCH采用厚尾分布假设有数理依据, 可通过比较考核非高斯分布GARCH模型的预测能力。
2.4 预测结果
预测模型乘法模型形式为
其中, I!day依次采用ARMA、标准GARCH、GARCH-t、GARCH-GED模型的预测值。
分别使用上述模型进行样本外预测, 将4周数据的预测值和真实值对比, 计算出预测误差, 并归纳其统计特性如表3所示 (用GARCH-GED模型代称TtrendSdayIGARCH-GED模型, 余者类同) 。
其中, GARCH系列模型平均大误差归算方法为
式中j为ARMA模型中预测误差>3%或>4%
的诸点的序号。
通过表3的对比, 不难得出3点结论。
a.从平均误差指标看, GARCH系列模型均稍优于ARMA模型。其中GARCH-GED模型表现最好。
b.对比各种模型的最大预测误差, GARCH系列模型有一定优势。其背景是因为该最大误差是正在波动集聚的状态下出现的。模型的GARCH部分一定程度上捕捉到了这一信息。在大误差 (3%、4%) 抑制这项指标上, GARCH系列模型相对ARMA模型有一定改进, 且本算例中GARCH-GED表现最出色。
c.以GARCH-GED为代表的非高斯厚尾分布假设GARCH模型总的实际预测能力在均值意义上不逊于ARMA模型 (本文算例中略胜一筹) , 在一些统计指标上非高斯分布GARCH模型甚至略优于标准GARCH模型。考虑到厚尾假设模型参数估计中参数的显著性水平, 可以认为非高斯厚尾假设的选取是有理论依据的。
此外, 不容忽视的一点是, 非高斯分布GARCH模型不存在同方差假设问题的建模瑕疵, 从数学严密性角度看, 同样具有较完善的理论背景。
3 结论
基于对负荷时间序列ARCH效应的研究, 在为负荷时间序列建立标准GARCH模型基础上, 从vt角度扩展了GARCH模型, 并建立了非高斯分布GARCH模型 (GARCH-t、GARCH-GED) 。算例表明, 所提出的非高斯分布GARCH模型预测能力良好。
此外, 标准GARCH模型可归于GARCH-GED的一个特例情况 (v=2) 或GARCH-t (自由度k∞) 的极限情况, 非高斯分布GARCH模型 (如GARCH-GED) 比标准GARCH模型具有更为细致地刻画尾部特征的能力, 模型概括性更强, 适用范围更广。
总之, 基于非高斯分布GARCH模型为电力系统短期负荷预测提供了一种思路, 理论层面设计较为完备, 具有一定的实际应用意义。
摘要：提出一种基于非高斯分布的广义自回归条件异方差 (GARCH) 模型的短期负荷预测方法。在论证自回归条件异方差 (ARCH) 效应存在性的基础上, 将标准GARCH模型的正态条件分布假设推广为非高斯条件分布的形式 (t分布、广义误差分布) 。用极大似然估计获得ARCH族各模型的参数估计, 建立了非高斯分布假设GARCH模型 (GARCH-t, GARCH-GED) 。比较了ARMA、标准GARCH、非高斯分布GARCH模型的预测能力, 分析平均预测误差、最大预测误差能力等指标显示GARCH-GED模型表现最出色。算例表明, 基于非高斯分布GARCH负荷预测模型是有效而可行的。
非对称GARCH模型 篇4
现有研究大多是对水资源定价的模型研究,其研究成果多是根据定价法构建定价模型[7,8,9,10]。水资源作为一种公共商品,具有较强的市场性,不仅需要理论上的定价研究而且还需要遵循市场交易的一般规律,使得水权价格具有市场特性。本文在前人研究的基础上运用讨价还价动态博弈理论[11]研究水权交易市场的水权价格,引入影响买卖双方谈判交易价格的不同因素,寻求市场化条件下水权的合理均衡价格,对促进水资源的优化配置有一定的意义。
1一般水权交易讨价还价博弈模型
1.1几个假设
假设1: 假定水权交易市场中有两个参与者卖方A和买方B,A和B各自可以接受的价格区间分别为[a1,a2]和[b1,b2](其中a1为A的最低保底价,a2为A的最高报价,b1为B的最低价格,b2为B的最高承受价格,并且令a1>b1,a2>b2,a1<b2),则[a1,b2]为双方谈判区间。
假设2:令P为谈判成功的最终解,则P∈[a1,b2]。其中(P-a1)为卖方A的剩余,(b2-P)为买方B的剩余。
假设3:讨价还价是个动态过程,分为若干阶段t(t=1,2,…,n),设每个阶段只有一方还价。本文只分三阶段讨论。
假设4:在谈判过程中水权交易具有时间价值,双方的收益都将有损耗,设损耗率为σ(0≤σ≤1)。
假设5:在讨价还价过程中的谈判环境和谈判过程会对谈判者造成心理压力。用λ来表示讨价还价参与者的心理压力。若谈判者心理压力越大,则可能导致其对收益产生错误的价值判断[14,15],就越容易在讨价还价过程中提早妥协,那么任何长周期谈判的损耗都是很大的,即σ与λ之间呈现负相关关系。要保证0≤λ<∞时,有dσ/dλ<0; λ→∞时,σ→0,因此假定σ与λ的关系为σ=K/(K+λ),其中K为任意常数,即谈判者的心理压力由损耗率σ体现。
1.2一般水权交易讨价还价博弈模型的不足
在完全信息状态下,即买卖双方A和B的报价区间分别为[a1,a2]和[b1,b2]且已知,则可以转化成经典的分蛋糕博弈[16]。如图1所示,将谈判区间[a1,b2]投影到区间[0,1]上,区间[0,1]上的P′为P在相应区间上的映射:P′=(P-a1)/(b2-a1)。
假设在上述博弈的三阶段讨价还价中讨价还价只能进行三个回合,到第三个回合B必须接受A的报价,则这三个回合讨价还价博弈可以用下述方式描述。
第一回合,A报价P1,则B得到1-P1,B可选择接受或不接受,若接受双方的收益为P1和1-P1,谈判结束;若B不接受则开始下一回合。
第二回合,B的报价是P2,自己得到1-P2,由A选择是否接受,接受则双方得益分别为σP2和σ(1-P2),谈判结束,如果A不接受则进行下一回合。
第三回合,A报价P3,则B得到1-P3,这时B必须接受,双方的实际得益分别为σ2P3和σ2(1-P3),如图2所示。
利用逆推归纳法[17]分析这个博弈,得出唯一子博弈Nash均衡结果:P1=1-σ+σ2P3,而针对更多阶段当t→∞时,均衡的结果是A在第一回合出价P1=1/(1+σ)。
2非对称信息下水权交易讨价还价博弈模型
由于在水权讨价还价交易过程中的不确定性、信息不对称和理性人的存在,处理交易并不能在匀质化的需求方或供给方之间进行,因此买卖双方在交易中的行为属于不完全信息博弈,水权交易价格更多地取决于买卖双方讨价还价的谈判能力和所掌握的信息。故非对称是讨价还价谈判研究的重点。以下博弈引入买卖双方不同心理压力的假设,以三阶段讨价还价模型为分析对象,构造符合市场情景的讨价还价模型。
2.1非对称压力完全信息的讨价还价
此时相当于“分蛋糕”讨价还价,但是讨价还价过程中双方具有不同的心理压力λA和λB。σA=K/(K+λA);σB=K/(K+λB);σA≠σA。根据推归纳法分析得A的收益P1=(1-σB)/(1-σAσB),B的收益为1-P1=(1-σA)σB/(1-σAσB)。
P1对λA与λB分别求导得:
1-P1对λA与λB分别求导得:
由上述分析得出,博弈中各方的收益与自己的压力因子成减函数关系,而与对方的压力因子呈增函数关系,说明在完全信息情况下,谈判方的压力越大,就越急于达成交易,在谈判结束时获得的收益就越少。完全信息下讨价还价博弈一般过程如表1所示。
注:下划线表示该方出价。
2.2非对称压力非对称信息的讨价还价
在实际情况下,要将谈判破裂的风险考虑在内,同时买卖双方的谈判区间[a1,b2]不是明确清楚的。为简化分析,做如下假设:
假设6:A、B双方对于a1、b1有某种共识,令a1=b1(买者比较清楚卖者的进价),但卖方A对买方B的最大承受价格b2并不清楚,A认为B能承受的最高价格为b′2。
假设7: 令y′=b′2-a1,y=b2-a1,则原谈判区间[a1,b2]对于A映射为[0,y′],对于B映射为[0,y],如图3～4所示。
假设8:B对A的还价[0,y′]是服从均匀分布,A不能判别y′与y的大小,而B清楚y′与y的大小关系。
a. 当y′≤y时的讨价还价博弈分析。
t=3时,A出价,尽管A方对于y不是很明了,但是对于B的这种反应A是明了的,所以A可以报任何(0,y′]上的价格,如图3所示。由于A估计B的报价[0,y′]服从均匀分布,因此A的期望收益率为
式中:P3为A在第三阶段的报价(0≤P3≤y′);Pa为A估计B接受还价的概率,Pa=(y′-P3)/y′。因此,A的最优选择为P*3=argmax{P3Pa+0(1-Pa)},解得P*3=y′/2,,则B在第三阶段的收益为y-y′/2。
t=2时,由于双方所承受的压力不同, 将A、B在第三阶段的收益折现到第二阶段,分别为σAy′/2和σB(y-y′/2)。该阶段由B出价,出价P2应满足条件:由于y′≤y,则有y-(σAy′/2)>σB(y-y′/2);当P*2≥σAy′/2时,有y-P*2≥σB(y-y′/2);当P*2≤σAy′/2时,有y-P*2≥σB(y-y′/2),因此由上述条件可得到σAy′/2=P*2<y-σB(y-y′/2)。
因为买方B明确y≥y′,若B报价P*2=σAy′/2,虽然卖方A不知道y的值,但是可以根据B的反应判断出y≥y′,因此不会接受B的还价。B为了达到本阶段的均衡,会在博弈过程中发出表明自己能承受的最高价格是y″(即y″-σAy′/2=σB(y″-y′/2))的假信号。由于此时卖方A只掌握部分信息,而此阶段A能得到σAy′/2,认为是可信的信号,于是对A而言,谈判区间[0,y′]为完全信息,则均衡又回到1.2节所述的完全动态信息下的讨价还价模型,则当t=1是的A的报价为P*1=y-σB(y-σAy′/2)。若A不信B的报价,那么A会调高y′,从而不断重复t=3和t=2的过程,直到y=y′。
b. 当y′>y时的讨价还价博弈分析。
t=3时,与(1)中分析的一样, A、B的收益分别是P*2=y′/2与y-y′/2。谈判区间如图4所示。
t=2时,将A、B的收益折现到第二阶段分别为:σAy′/2和σB(y-y′/2),此时轮到B出价,B的初始报价决策P2应满足条件:当P*2≥σAy′/2时,y-P*2≥σB(y-y′/2);当P*2<σAy′/2时,y-P*2≥σB(y-y′/2),解得σAy′/2=P*2<y-σB(y-y′/2)。若谈判继续,与上述的分析一致,在此阶段B的报价是不会被A接受的。B为了达到均衡将表明自己所能承受的最大价格是y″=(σA-σB)y′/2(1-σB),(y″≤y′/2)。根据前面的分析B的最大承受价格y>y′/2,与t=3时矛盾。因此在讨价还价的均衡分析过程中B所能接受的最大价格被逐渐揭示出来,为A认定的一半,即y″=y′/2。在此阶段B的博弈均衡即为:
t=1时,将A、B的收益从t=2折现到该阶段,该阶段由A报价,报价决策P1应满足:y′-P1=σB(1-σA)y′/2,即可得出A的均衡收益为
B的收益为
博弈结构如表2所示。
注:下划线表示该方出价。
由上述分析结果可得出最优均衡收益仅和卖方估计买方所能承受的最大价格y′有关,即卖方在y<y′时始终掌握着最终收益的主动权力,这与完全对称信息情况下的结果是不同的。
3结论
由上述博弈分析可知,均衡的结果和谈判者拥有的不对称信息以及谈判者的角色以及心理属性有关。水权买卖双方的角色不同将导致不同的收益。在水权交易过程中,买方希望最后的成交价格越低越好,而卖方却相反,同时在非对称信息的情况下,买卖双方均可在讨价还价中得到相应的优势。如买方在讨价还价过程中根据卖方对其最高承受价格的估计欺骗卖方来获取收益;卖方在整个过程中掌握最终收益的主动权。买卖双方不同的心理压力与承受能力将导致最终不同的水权交易价格。在信息不对称的情况下,谈判方的压力越大,就越急于达成交易,在谈判结束时获得的收益就越少。
通过理论和实证得出的水权交易价格并不能反映出其真实价格。在实证得出的水权交易价格基础上,将其市场化,通过交易双方的讨价还价最终得到能反映市场供需情况的价格。
摘要：目前水权交易中存在水权交易价格不合理问题。研究在水权初始价格的基础上,将谈判者不同心理压力、谈判者不同的价格区间信息等因素引入讨价还价动态博弈模型中,分析水权交易价格,以及信息完全与信息不对称条件下水权交易者心理因素对水权交易价格的影响。结果表明,市场中的情境因素对水权交易主体双方有重要影响,并在不同市场条件下水价交易价格是有差异的。
【非对称GARCH模型】推荐阅读：
非参数GARCH模型06-15
不对称信息博弈模型08-21
对称和非对称加密算法06-30
非对称效应05-09
非对称关系06-05
非对称发展06-13
非对称管制06-13
非对称理论06-29
非对称影响07-02
非对称问题08-20