无理方程（精选12篇）
无理方程 篇1
由绝对值的意义知: (1) 当x-2>0, 即x>2时, 由|x-2|=2-x可得x-2=2-x, 此时左边大于0而右边小于0, 这很显然是矛盾的, 所以当x>2时, |x-2|=2-x无解. (2) 当x-2≤0, 即x≤2时, 由|x-2|=2-x可得2-x=2-x, 而2-x=2-x是一个代数恒等式, 它对于x≤2的一切实数都成立, 所以原无理方程的解是x≤2的一切实数.
分析此题若先移项, 再两边平方, 然后分母有理化的话, 则计算量较大且走的是一条弯路, 但观察原方程的结构特征后巧妙地运用合分比定理来做, 可达到事半功倍的效果.
解运用合分比定理, 得
注意1.有些无理方程不需要解出, 而通过观察就可以知道它无解, 例如:
2.因为把无理方程有理化的过程中有可能破坏方程的同解性而产生增根, 所以解无理方程时必须检验.
3.无理方程在有解的情况下, 其解大多数是具体的实数, 当然也不排除是不等式的情形.
无理方程 篇2
灵石一中 曹志福
关于“直线的倾斜角和斜率“的教学设计花了我很长的时间，设计了多个方案，想在”倾斜角“和”斜率“的概念形成方面给予同学更多的空间，也用几何画板做了几个课件，但觉得不是非常理想，以至于到了上课的时间仍旧没有满意的结果。但由于备课的时间还是非常的充分的，上课还是比较游刃有余的。但上是上了，感觉还是有点不好。
其一，对“倾斜角”概念的形成过程的教学过程中，发现普通班和重点班在表达能力上的区别还是比较明显的，当问到“经过一个定点的直线有什么联系和区别时？”普通班所花的时间明显要比重点班多，但这也表明自己的问题设计还缺乏针对性。如果按照“平面上任意一点--->做直线（3条以上）---->说明区别和联系--->加上直角坐标系---->说明区别和联系”的顺序来设计问题，回答起来可能难度更低一点，同时也更加突出直角坐标系的作用。
其二，对通过的直线的斜率的求解教学，通过给出实际问题，引出疑问引起大家的思考的方式会更加自然一些。比如，一开始便推出“比较过点A（1，1），B（3，4）的直线和通过点A（1，1），C（3，4.1）的直线”的斜率的大小”，然后得到直观的感受：直线的斜率和直线上任意两个点的坐标有关系。再推导本问题中的两条直线的斜率公式，最后得到一般的公式。
其三，”不是所有的直线都有斜率”以及斜率公式具备特定前提条件，在学习之处，要指出，但不要过分强调，更符合学生的认知规律，使学生的知识结构能够逐步完善，知识能力螺旋上升。
无理方程 篇3
【关键词】方程解法 方程应用 方程思想
方程是数学发展史上的一个重要里程碑.它可以包容和展示丰富的数量关系，使数学语言有了质的飞跃；用等式作为数学思维的工具，对不同结构形式的方程，人们逐步探索出一套分类处理解方程的方法.正是源于解决数学问题的需求意识发展，人类才创造出方程这一璀璨的数学明珠.今天，课改教材遵循知识的历史发展观：阐明形成方程知识的背景，强调数学思维发展依赖数学工具、语言的功能创新；重视等式变形意义：解方程所采用的数学法则、方法和程序，不仅是学生对方程类型辨识和结构分析，而且又是对数学本质和意义理解的感悟，更是数学化归思想、优化意识在解题对策中的思辨.教材编写意图，旨在让学生体验：方程建模是解决实际问题的有效手段，它是小学后数学新思维、新语言、新方法、新功能的发展.
一、重视方程解法的教学
（一）引导学生探究并理解方程的解法原理
要让学生把方程解法掌握得更好、更牢固，而不是空中楼阁，就必须让学生理解方程的解法原理。一元一次方程解法原理是等式基本性质；一元二次方程按其解法不同其解法原理有两个，直接开平方法、配方法，公式法的解法原理是平方根的定义即若则叫做的平方根，即；因式分解法的解法原理是若则；二元一次方程组解法原理是通过等量代换进行消元转化成一元一次方程来解
（二）进行适量的解方程（组）的训练，让学生形成较稳定的解方程（组）的能力
解一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程组的能力是新课程标准规定的初中阶段的学生必须掌握的一项基本技能，要形成熟练的解方程（组）的能力，适当的训练是必须的，而且在训练时，选题应该典型有代表性，全面有覆盖性。
（三）适时归纳解方程（组）基本步骤和基本思路。在训练的基础上，适时对解方程（组）的基本步骤和基本思路进行归纳，可以使学生站在更高的层次上理解方程解法和思路，掌握得会更好、更牢固。例如解一元一次方程的基本步骤是①有分母去分母；②有括号去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；处理方程或方程组的基本思路是：无理方程有理化，分式方程整式化，高次方程低次化，多元方程一元化，總而言之一句话，消元降次简单化。
二、重视方程应用题的教学
（一）用方程来解决问题是初中数学学习的重点、难点。《新课程标准》对方程提出了这样的要求“能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”，因此对于方程的应用，也应当成为教学的一大重点，对绝大多数学生来说学习方程的一个重要原因就是能够应用它解决问题，包括数学的问题和非数学的问题。列方程（组）解应用题，是初中数学的一个难点，许多学生怕应用题，主要是他们理不清纷繁复杂的数量及其关系，或者难以将实际问题数学化，因而列不出正确的方程，教学中要把握这个重点，设法破解这个难点。
（二）重视教会学生审题和寻找相等关系的方法
分析一道应用题是解好这道题的关键，不会分析就不会解题。解应用题之前要进行认真读题审题，抓住关键语句分析。首先要分析题目类型，其次要分析已知量、未知量，以及已知量、未知量之间的关系，有的关系是明显的，题目中有关键语句明确交待的，有些关系是隐含的，需要仔细读题，认真思考才能得出的。必要时应教会学生辅助分析的方法，如线段图、示意图、列表法等，这些方法能帮助学生理解纷繁的数量关系，使其思路清晰。通常在设出未知数后，列出方程前，还要做一些准备工作，大多是根据数量关系列出一些含有未知数的代数式表示某些量，然后再列方程，自然就会水到渠成。
（三）优化习题教学，获得练习最优效果
应用题教学中，适当的题目训练是必要的，但要改变简单重复，面面俱到的题海战术，提倡一题多解、变式练习和题组练习的教学，重视解题后的回味与反思，使方法得以升华，学生只有真正掌握了分析问题解决问题的方法，养成了较强的解题能力，才能应对各种各样千变万化的应用题。
（四）归纳解题步骤，养成严谨的答题习惯
列方程解应用题的一般步骤有四步，简单记为“一设、二列、三解、四答”。一设，即设未知数，可分为直接设元和间接设元两种；二列即分析题目中的数量关系，列出方程或方程组；三解即解方程或方程组得出未知数的值；四答即检验并作答。对于一条列方程应用题，要教给学生完整的解题步骤，包括书写规范，养成严谨的答题习惯。
三、要重视方程思想的渗透和方程意识的培养
（一）方程教学的一个重要目的是方程思想和意识的渗透和培养
方程思想是一种重要的数学思想。所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当的设元建立起方程（组），然后通过解方程（组），使问题得到解决的思维方式。方程意识的指当我们在某些问题解决的过程中遇到某些未知量难以直接算出时，要有用方程来解决问题的意识。学以致用是对所有知识学习的要求，学习方程很重要的一个目的就是使学生具有用方程来解决问题的思想和意识。
（二）拓宽方程应用范围，培养方程思想和意识
无理方程 篇4
教学目标
1.使学生在解决实际问题的过程中, 理解并掌握形如ax±b=c方程的解法, 会列上述方程解决两步计算的实际问题。
2.使学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中, 经历将现实问题抽象为方程的过程, 进一步体会方程的思想方法及价值。
3.使学生在积极参与数学活动的过程中, 养成独立思考、主动与他人合作交流、自觉检验等习惯。
教学重点:理解并掌握形如ax±b=c方程的解法, 会列方程解决两步计算的实际问题。
教学难点:如何指导学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中, 将现实问题抽象为方程。
教学过程
课前谈话导入:同学们, 经调查, 我们班大部分同学的年龄是12岁 (虚岁) , 也可以通过推理推算出来, 7岁入学, 在学校学了五年, 正好是12岁。老师今年是39岁, 师在黑板上板书39和12。下面请同学比较一下老师和你的年龄, 并用一句话把比较的结果说出来, 注意启发引导学生说出:“老师的年龄比我年龄的3倍还多3岁”, “老师的年龄比我年龄的4倍少9岁”。两种说法都可以。接着问, 明年呢?“老师的年龄比我年龄的3倍还多1岁”。
【设计意图】通过学生熟悉的年龄话题引入, 并训练学生对两数大小比较, 为新课分析数量关系作理解铺垫。把抽象的数量关系分析生活化, 利于学生进入学习情境。
一、在现实问题情境中分析数量关系, 列出方程, 探索解方程的方法——教学例1
(一) 在情境中分析数量关系, 提出问题
1.师谈话进入情境:孙悟空跟随师父历尽千辛万苦从西天取来大量经书, 藏在古城西安的大雁塔中。大雁塔和小雁塔是著名的古代建筑。 (出示大雁塔和小雁塔的图片) 这节课, 我们先来研究一个与这两处建筑高度有关的数学问题。 (出示例1的一部分“西安大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22米”, 暂不出示所求的问题)
2.师让生读出这段文字并提问:谁比谁少22米?让学生明白“大雁塔高度和小雁塔高度的2倍比, 少22米, 可以把小雁塔高度的2倍看做一个整体。”
师进一步启发:这句话清楚地说明了大雁塔和小雁塔高度之间的关系, 请同学们用数量关系式表示出大雁塔和小雁塔高度之间的相等关系。
出示学生可能想到的等量关系式: (1) 小雁塔的高度×2-22=大雁塔的高度; (2) 小雁塔的高度×2=大雁塔的高度+22; (3) 小雁塔的高度×2-大雁塔的高度=22。
3.引导学生观察第一个等量关系式。师:经测量小雁塔高度是43米, 你能利用这个关系式口答出大雁塔的高度吗?学生口答, 师板书:2×43-22=64 (米) 。
【设计意图】运用数量关系直接求出高度, 体会顺向思维。既感受数量关系的价值, 又为下面的逆向思维作出对比准备, 更重要的是让学生在下面列方程时也要像这样顺向思维进行思考。
4.师:如果知道大雁塔的高度是64米, 你能提出什么问题?
生:小雁塔的高度是多少米? (出示“大雁塔高度是64米”和“小雁塔高度是多少米?”把例1补充完整。)
【设计意图】在清楚数量关系的基础上, 学生已经把问题迁移到需要用逆向思维考虑解决的问题上。让学生自己提出问题, 突出解决问题是学生自己的学习需求, 也为他们探索解答作出心理准备。
(二) 根据等量关系布列方程, 同时唤起有关方程的旧知
1.生观察第一个等量关系式, 师提问:在这个等量关系式中, 这时哪个数量是已知的?哪个数量是我们去求的?
追问:让你求小雁塔的高度怎么办呢?我们可以用什么方法来解决这个问题?
生:可以列方程解答。如果学生列出正确的算式进行解答, 师给予肯定, 再引导学生用方程的方法解决问题。
师明确方法, 并提示课题:这样的问题可以列方程来解答。今天我们继续学习列方程解决实际问题。 (板书课题:列方程解决实际问题)
2.师谈话:我们在五年级已经学过列方程解决简单的实际问题, 结合今天我们学习的内容, 谁来说一说列方程解决实际问题一般要经过哪几个步骤?
生能大概说出“写设句、列方程、解方程和检验等即可。
3.让学生先自主尝试设未知数, 并根据第一个等量关系式列出方程。
解:设小雁塔高x米。
2x-22=64
【设计意图】经历由现实问题抽象为方程的过程。在建构数学模型的过程中, 先由情境抽象成数量关系式, 再根据数量关系式列出方程, 实现了学生在逐步抽象的过程中学习数学的方法, 体现了数学的简洁性和学习数学的必要性。
(三) 自主探索解方程的方法, 体会转化的思想
提问:这样的方程, 你以前解过没有?运用以前学过的知识, 你能解出这个方程吗?
交流中明确:首先要应用等式的性质将方程两边同时加上22, 使方程变形为2x=?, 即把用两步计算的方程转化为一步计算, 变新知为旧知, 再用以前学过的方法继续求解。
要求学生接着例题呈现的第一步继续解出这个方程。学生完成后, 组织交流解方程的完整过程, 核对求出的解, 并提示学生进行检验, 最后让学生写出答句。
【设计意图】让学生在自主探索方程解法的过程中, 体会运用转化策略, 把两步转化成一步、复杂转化成简单、新知转化成旧知。
(四) 思考其他方法, 感受解法的多样化
1.提问:还可以怎样列方程?
学生列出方程后, 要求他们在小组内交流各自列出的方程, 并说说列方程的根据, 以及可以怎样解列出的方程。如果学生不能列出其他方程, 师不能作硬性要求。
2.引导小结:刚才我们通过列方程解决了一个实际问题。你能说说列方程解决问题的大致步骤吗?其中哪些环节很重要?
引导学生关注:⑴要根据题目中的信息寻找等量关系, 而且一般要找出最容易发现的等量关系;⑵分清等量关系中的已知量和未知量, 用字母表示未知量并列方程;⑶解出方程后要及时进行检验。 (师板书:找等量关系;用字母表示未知数并列方程;解方程, 检验。)
【设计意图】通过解法的多样化, 使学生明白可以根据自己学习实际和思维习惯分析数量关系, 列方程解决问题, 同时训练学生思维, 拓展学生解决问题的思路。
二、自主尝试列方程解决实际问题, 注意比较例题, 进一步形成解决问题模式——自主合作学习“练一练”
“杭州湾大桥是目前世界上最长的跨海大桥, 全长大约36千米, 比香港青马大桥的16倍还长0.8千米。香港青马大桥全长大约多少千米?”
谈话:我们已经初步掌握列方程解决稍复杂的实际问题的方法和步骤, 下面就请同学们试着解决一个实际问题。做“练一练”。
1.先让学生读题, 并设想解决这一问题的方法和步骤, 然后让学生独立完成。
2.小组合作交流。交流前要出示交流顺序提示:⑴说说找出了怎样的等量关系;⑵根据等量关系列出了怎样的方程;⑶是怎样解列出的方程的;⑷对求出的解有没有检验。
3.最后让学生核对自己的答案, 检查自己的解题过程。
针对学生不同的思路和方法 (包括用算术方法) , 教师在提出主导意见的基础上要予以肯定。
4.启发思考:这个问题与例1有什么相同的地方?有什么不同的地方?提炼出列方程解决稍复杂的实际问题的基本思路和解形如ax±b=c方程的一般方法。
【设计意图】让学生在独自解决问题的过程中学会解决问题, 在探究中学会合作。
三、运用方程策略独立解决实际问题, 牢固形成解决问题模式 (建构牢固的数学模型) ——做“练习一”的第1～5题
谈话:在列方程解决问题的过程中, 有两个方面要引起我们重视, 一个是寻找等量关系, 能用含有字母的式子表示具体数量;另一个就是解方程。下面我们就对这两个方面进行进一步的学习和训练。
1.做“练习一”第1题
“解方程。4x+20=56 1.8+7x=3.9 5x-8.3=10.7”
先让学生说说解这些方程时, 第一步要怎样做, 依据是什么, 然后让学生独立完成。交流反馈时, 要在关注结果是否正确的同时, 了解学生是否进行了检验。 (三个同学到黑板上板演, 其他同学选做一题。)
2.做“练习一”第2题
“在括号里填上含有字母的式子。
(1) 张村果园有桃树x棵, 梨树比桃树的3倍多15棵。梨树有 () 棵。
(2) 王叔叔在鱼池里放养鲫鱼x尾, 放养的鳊鱼比鲫鱼的4倍少80尾。放养鳊鱼 () 尾。
学生独立完成后, 再要求学生说说写出的每个含有字母的式子分别表示哪个数量, 是怎样想到写这样的式子的? (把题目中的多、少改成少、多让学生再表示)
3.做“练习一”第3题
“猎豹是世界上跑得最快的动物, 时速能达到110千米, 比猫最快时速的2倍还多20千米。猫的最快时速是多少千米?”
谈话:同学们, 我们既能准确地找到等量关系, 又能正确解方程, 那么我们就具备了解决实际问题的能力了。就请同学们独立解决一个问题。
学生独立完成后, 指名说说自己的思考过程, 进一步突出要根据题中数量之间的相等关系列方程。
4.课堂作业:做“练习一”的第4题和第5题。
“北京故宫占地大约72公顷, 比天安门广场的2倍少8公顷。天安门广场大约占地多少公顷?”
“世界上最小的鸟是蜂鸟, 最大的鸟是鸵鸟。一个鸵鸟蛋长17.8厘米, 比一只蜂鸟体长的3倍还多1厘米。这只蜂鸟体长多少厘米?”
【设计意图】在巩固训练和应用策略阶段采用先部分后整体的练习步骤, 进一步深化认识, 并在体验中达到知识和技能的内化。
四、总结列方程解决问题的思路、方法, 体会方程的思想和价值——学生拓展设计
1.学生拓展设计
师:请同学们回到课前, 我们师生关于年龄的对话中, 看39岁和12岁, 你能设计一个用今天所学的策略和方法解答的实际问题吗?
师要多听学生的发言, 考虑学生所说数量之间的关系以及提出问题的贴切性并作出评价和概括。
2.今天这节课我们学习了什么内容?你有哪些收获?还有没有疑惑的地方?教师同时总结, 方程是我们解决问题很重要的一个策略, 正确地运用方程, 能帮助我们解决很多实际问题, 尤其是用算术方法不容易解决的一些问题。我相信同学们经过今天的学习, 对方程会有更深的认识, 并在以后的学习和运用中进一步学好和用好方程。
无理方程 篇5
反思一：可以化成一元一次方程的分式方程>教学反思
12月8日第五节在七（6）班开了一节教研课：“可以化成一元一次方程的分式方程”，可化为一元一次方程的分式方程，既是分式方程的应用，也是整式方程的延伸与扩展，教材通过实际问题的解决，让学生体会分式方程的意义，领会把分式方程整式化的转化思想，掌握分式方程的解法，知道分式方程出现增根的原因，理解验根的必要性。学生在六年级就学习了一元一次方程的解法及应用，时隔一年，估计部分同学遗忘，而本节课的关键在把分式方程整式化后，主要是解一元一次方程，所以在讲新课前我通过解一道具体的一元一次方程让学生回顾解一元一次方程的步骤和怎样验根，很好地为本节课做好了铺垫。接着引入安排了实际生活中的例子，更贴近学生的实际，在学生讨论时，注意结合分析、解决实际问题的逐步深入。在讨论分式方程的解法时，从分析分式方程的特点入手，引出解分式方程的基本思路，即通过去分母使分式方程化为整式方程，再解出未知数。这里解分式方程的基本思路是很自然、很合理地产生的，这种处理既突出了分式方程解法上的特点及其算理，又反映了整式方程与分式方程在解法上的内在联系。
在讨论增根问题时，通过具体例子展现了解分式方程时可能出现增根的现象，并结合例子分析了什么情况下产生增根，然后归纳出验根的方法。
我认为这堂课上的还是很成功的，比较满意的地方有：
(1)从教学设计到学案，课件的制作都是非常用心，精心设计，（2）课堂节奏把握得较好，教学设计意图，教学目标在课堂上得到较好的落实，（3）学生的积极性也调动起来，课上能够积极思维，具体表现在课的引入我没有用书上的例子，而是安排了实际生活中的另一例子，学生能根据题意列出两个不同的方程，其次是，积极发言的不全是成绩好的同学，例如杨益磊平时就是及格边缘，但这节课上表现好，上来做例二板书工整。
不足的地方有：
（1）在讨论为什么分式方程会产生增根的时候，看学生有畏难情绪，确实考虑到七年级的学生也讨论不出什么名堂，就替代了思维，也不敢深讲，（2）小组没有按异质分组，而是按座位排的，所以有些小组的讨论没起到应有的作用。
反思二：可以化成一元一次方程的分式方程教学反思
首先是学生如何顺利的找到题目中的等量关系，书本给出两个例子较难，按照书本的引入，一开始课堂就可能处以一种安静的思维，处于很难打开的状态，不能有效地激发学生学习兴趣与激情，所以才在学案中搭梯子降低难度，让学生体会到成功的喜悦，这样学生才会愿意继续探索与学习；实际问题的难度设置上是层层深入，问题也是分层次性，能够让不同层面的学生都有不同的体会与感受。
其次在教学过程中应提高教师自身的随机应变的能力和预设问题能力，课前充分备好学生。例如：以前学过整式方程，我们以前只是说一次方程之类的，没有系统的归类它是整式方程。如果不事先详细解释清楚整式方程这个词时，合作探究二进行的就不会很顺利。
最后，我们应让恰到好处的鼓励语和评价贯穿于教学过程中，只有这样，学生才能不断增强自信，在愉悦中探究新知，解决问题。
在教学过程中，由于种种原因，存在着不少的不足：
1、在复习整式方程时，学生并不像想象中对整式方程解题过程很了解，我就引导大家一起复习了一下，在这里，如果再临时出几个题目巩固一下，效果也许更好些。
2、对学生理解消化能力过于相信，在看例一的过程中，每一步的依据都进行了讲解，而分式方程的难点就是第一步，即将分式方程转化成整式方程。在这里，需要特别强化这个过程，应该对其进行专项训练或重点分析，就学生的不同做法进行分析，让他们明白课本的这种方法最简单最方便，同时，通过板书示范分式方程的解题。
3、时间掌握不够。备学生不够充分，导致突发事件过多，时间被浪费了，以致>总结过于匆忙。
反思三：可以化成一元一次方程的分式方程教学反思
1、解可化为一元一次方程的分式方程的基础是会解一元一次方程，综合知识运用点多，难点在于要正确地把分式方程化为一元一次方程，问题的关键是在去分母，包括正确乘于各分母的最简公分母、正确去括号、合并同类项等，学生在做题时要很小心才行，如果其中有一步走错了，特别是去分母这一步错了，后面的功夫便白费了，所以在教学中教师要引导学生耐心地攻克每一个难点，千万不要在去分母时忘记把没有分母的项也乘于它们的最简公分母。
2、对于一些分母需要变形的分式方程，强调要通过因式分解才能找出它们的最简公分母，在找公分母时还要注意互为相反数的情况，千万不要把问题复杂化，如果能够正确地找出最简公分母并去括号，就接近了成功了。要鼓励学生耐心一些，每一步要细心、细心再细心。任何一步错了都会导致后面的劳动白费。
组织方程式 篇6
经验告诉我们，组织结构因时而异，将伴随企业的不断进化而进化。
在小企业阶段，企业规模的影响尚不突出，这时通常以加强控制和关注结果为导向，因此，直线职能制就成为必然的组织结构形式。
但是，随着企业的成长，产品线和产品种类的增多，对管理者的要求和压力也越来越大，当超越其能力范围时，这种以控制为导向的管理手段就成为组织绩效的限制因素。企业管理者必须采取分权或者授权的方式展开经营活动，组织内开始出现了专业分工，这种形态的演化结果就是事业部制。
企业进一步成长，原本母公司的事业部会逐渐进化为新的公司，形成一个企业部落，在集团公司的领导之下相互协作。这时组织的管理方式是通过监督、协作、参与的方式完成，矩阵就是主要的组织形式。
企业进化到集团阶段，总部通过对子单元的人事任免、合理监控、资金调度、战略制定发挥管理职能，而各单元有决策自主权和独立的利润中心，在市场的竞争也表现为协同的海陆空全方位作战。
借助图１，可以了解到企业成长过程中一般要经过四种管理模式变化的过程，从纵坐标看，越往下走越来越强调灵活程度，体现了管理的柔性；越往上走控制力度越大，体现了管理的刚性。从横坐标看，越往右走就越强调管理的开放程度，往左走更偏重于内部管理。
控 制
理解了管理方式与组织的关系，我们就很清晰组织裂变的进化方向，即可控性（或者是安全性，组织围绕一个管理中心发展）、灵活性（与环境的相容性，确保组织与环境的变化相适应）两个纬度。
所以，组织裂变的前提就是，首先要明确总部最基本的三大权力——重大决策权、合理监控权、高层人事权，然后再最大程度增加各单元经营的独立性和自主性。因此在我们看来，组织裂变能否取得成功取决于３个核心内容：组织结构、权限划分、控制体系。
我们用企业通常采取的事业部制结构来说明组织裂变中控制的关键点。
事业部制结构最早起源于美国的通用汽车公司，是指按照企业所经营的事业，包括按产品、按地区、按顾客(市场)等来划分部门，各部门实行严格的独立核算，并在内部的经营管理上拥有自主性和独立性。事业部既是受公司控制的利润中心，又是产品责任单位或市场责任单位。这种组织结构形式最突出的特点是“集中决策、分散经营”。
在作业层面充分分权，保持灵活性，同时在服务参谋部门集中化，确保管理的可控性和实现规模效应。为了保证“协调控制下的分权运营模式”的实现，首先明确总部必须拥有哪些基本权力：
1.重大决策权：即总部对各个事业部在战略方向、重大战略性项目等重大经营管理问题上的决策权力。
2.合理监控权：即总部对各个事业部合理的监控权，主要体现在财务监控与业务监控（业务监控权，指对业务经营状况的知情权、整体经营业绩的考核权等）。
3.高层人事权：即总部对各个事业部高层管理人员（包括事业部的财务人员）的任免权、奖惩激励权等。
该3种权力不仅是总部所拥有的核心权力，而且是总部所拥有的最底线的权力。在这样的前提条件下，总部对事业部的管理就不会出现失控的问题。同样，为了保证事业部制管理的有效运营，也须从三大核心模块——组织结构、权限划分、控制体系——上清晰界定，这是管理权的组织基础。
组织结构是设计管理模式的基础工作，它不仅是权限实现的载体，而且是控制体系得以顺畅执行的平台；管理模式本质上界定清楚总部与事业部之间的权限划分，因此权限划分是整个管理模式得以成功的保障；控制体系则是管理模式内容的核心。
通过这样界定，各部分可以各司其职，由此保证了组织在裂变过程中的平稳过渡。
时 机
组织裂变需要选择恰当的时机，过早则使新单元无法正常开展业务，过迟则影响了企业快速长大，甚至错失发展机遇。一般而言，组织裂变的时机需要观察以下几个指标：
1.领导成员精疲力竭
在企业创业时期，整体上没有强有力的职能部门和组织权威；企业不断扩张后，形成了旗下多企业运营的局面，如果企业仍然沿用以前的单一企业的直线职能式管理方式，必将形成管理方式的错位，导致领导成员精疲力竭。在这样的背景下，组织变革时机比较成熟。
2.管理阶层职责不清
企业在不断扩展过程中，职能部门的也随之增多，但这种自然产生的职能单元缺乏合理规划，集中统筹。所以难免产生职责不清，运行不畅，影响速度和效率的问题。
3.经营规模高速成长
社会化大生产必然改变独立企业的自身形态和独立企业之间的相互关系，使得单体企业走向大型化和股份化。这时单体企业的发展就必须通过组织模式调整得以贯彻。
如果发现企业具有以上特征，则表明企业的组织结构与发展不相符合，必须进行组织裂变。但是，要保证组织变革成功，应具备一定的条件，如公司治理相对稳定、监控流程同步强化等，否则就会导致裂变的失败。
形 态
与传统产业完全不同，知识经济时代使环境具有极大的弹性和混沌的特点，因此，组织结构的发展也必然是与之相适应。目前，在新经济领域探索的组织变革方向有：
1.战略联盟：企业组织外部结构重组，是企业之间介于传统的合约关系和紧密的股权关系之间的一种形态。
除了技术互换和共同研发外，战略联盟也是低成本进入国际市场的模式。随着跨国公司全球竞争的加剧，销售网络也成为核心竞争力的关键因素之一。因此，互相提供进入对方销售网络权利的战略联盟，使每一个伙伴都避免了一大笔沉没成本支出。
2.网络组织：企业内部组织结构重组，主要表现在管理结构的扁平化与多元化，组织形式的外部科层化与内部市场化。
3.大森林型组织结构
无理方程 篇7
(一) 非负数的巧用
在初中数学中, 经常用的非负数有: (1) a2≥0; (2) |a|≥0; (3。若干个非负数的和为0, 那么每个非负数均为0。
例:已经, 求x、y的值。
评析:方程左边配方可变为非负数之和。
[解]:由x2+y2-x+2y+45=0得 (x-21) 2+ (y+1) 2=0
一般地, 几个非负数之和为0, 则每个非负数均为0。
(二) 二元一次不定方程的整数解
一个二元一次方程的解有无数多个, 但我们常常只求整数解, 甚至只求正整数解, 加上这一限制后, 解可能唯一确定或只有有限个或无解。求它的整数解时, 通常把一个未知数表示成另一个未知数的代数式, 再结合整数的整除性, 得到其解。
例:解方程2x+3y=8 (x、y均为整数)
评析:将y表示为x的代数式, 并利用整数整除性来求解。
[解]原方程变为
当x-1是3的倍数时, x、y都是整数。
设x-1=3k (k是整数)
那么:
就是原方程的通解。
变式思考:若例2中再添两个条件, 其它条件不变, 1≤x≤100, 1≤y≤100, 求x、y的值。
[解]将x=3k+1, y=-2k+2, 代入1≤x≤100和1≤y≤100中, 求得, ∵k是整数, ∴k=0时, 即方程的解为。
一般地, 若x0, y0是方程ax+by=c, a、b、c均为整数, 且 (a、b) =1的一组整数解 (称特解) , 则 (t为整数) 就是方程的通解。
(三) 三元一次不定方程
通常三个三元一次方程可求其唯一解, 两个三元一次方程组成的三元一次不定方程组的解有无数多个, 这类不定方程求解时往往把其中一个未知数看成待定常数, 转化为解二元一次方程组。
例:已知x+2y-11z=0, 2x-3y+6z=0, 求xx2y++yyz2++z2xz的值。 (xyz≠0) 。
评析:把z看成常数, 转化为解二元一次方程组。
[解]由得将x=3z y=4z代入中, 求得原式=。
一般地, 当未知数的个数多于方程的个数时, 常常把多于的未知数看成常数, 把其余的未知数表示为该常数的代数式, 是解决这类问题的基本思路。
(四) 分解因式法求二元一次不定方程的整数解
解二元二次不定方程可把等式一边分解为两个一次因式的乘积, 另一边变为常数。
例:已知xy-x+2y-5=0, x、y均为整数, 求x、y的值。
评析:将x、y分离在两个一次因式中, 即把原等式变为 (x+m) (y+n) =p的形式, 其中m、n、p都是常数且为整数, 再利用整数的整除性来求其解。
[解]xy-x+2y-5=0
x (y-1) +2 (y-1) -3=0 (x+2) (y-1) =3
∵x、y均为整数∴x+2, y-1也是整数
故
即x、y的值为
思考:本题还可变形为, 得出x+2是3的约数, 从而求出x、y值。
(五) 利用放缩法解不定方程
在解一些涉及到多个变元的问题, 如果题设条件并没有给出未知数的大小顺序, 在不影响命题的成立的前提下, 给它们假定一个大小顺序, 那么就可将问题转化为解不等式 (组) , 通过缩小范围而求解。
例:求方程的正整数解。
分析:这个方程是关于x、y、z的轮换对称式, 易知x、y、z都大于1, 不妨取1
[解]不妨设1
即∴x=2, 3。 (1) 当x=2时, , ∴y=3、4、5。此时 (x、y、z) 共有 (2、3、24) (2、4、8) 两组。 (2) 当x=3时, 。此时 (x、y、z) 的值为 (3、2、24) 。由于x、y、z在方程中的地位平等, 将上述结果作排列, 共有下面12组解, (x、y、z) 的值分别是: (2、3、24) , (2、24、3) , (3、2、24) , (3、24、2) , (24、2、3) , (24、3、2) , (2、4、8) , (2、8、4) , (4、2、8) , (4、8、2) , (87、2、4) , (8、4、2) 。
无理方程 篇8
高中阶段会遇到一些简单的指数方程和对数方程, 教材对这类方程的解法并不展开, 问题主要设置在这类简单的超越方程的解的个数、解的近似值以及已知解的情况求参数的取值范围等方面.这类问题的解决往往可以把方程、函数、曲线三者非常密切的联系到一起, 其中蕴涵着丰富的数学思想、方法和数学美学价值, 同时这类问题的解决过程也易于用计算机或图形计算器加以演示, 运用恰当的方法进行求解, 不仅可以扩大学生知识视野, 丰富学生的数学解题思想和方法, 而且有助于培养学生数学知识的应用意识.本文就简单的指数方程和对数方程的根的相关问题的解法做以探究.
一、运用函数思想, 将方程问题转化为函数问题, 利用函数图象的交点和函数的相关性质 (定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等) 加以解决, 解题过程中主要运用数形结合思想和分类讨论思想.
1.图像法
例1 关于x的方程ax+1=-x2+2x+2a (a>0, a≠1) 的解的个数为 ( )
(A) 1个 (B) 2个
(C) 1个或2个 (D) 3个
思路分析:将已知方程转化为方程组:
的解的问题, 通过对参数a的分类讨论, 分别作出函数y=ax与y=- (x-1) 2+2a的图像, 如图1所示:
因为x=1时, y1=a, y2=2a, a<2a.所以选 (B) .
例2 k为何值时, 关于x的方程|3x-1|=k无解, 一解, 二解?
思路分析:作出函数y=|3x-1|的图像如图2所示, 结合图像可知, 当k∈ (-∞, 0) 时, 方程|3x-1|=k无解;当k∈[1, +∞) 或 k=0时, 方程|3x-1|=k恰有一解;当k∈ (0, 1) 时, 方程|3x-1|=k恰有二解.
用图象法求解方程解的个数问题较多, 一般解法是将方程转化为两个基本初等函数, 从而将方程根的问题转化为方程组的解的问题, 进而通过两条曲线的交点情况作出结论.其中确定两个基本函数是解题的关键, 一般情况下是使两个函数均为基本初等函数或与基本初等函数有关.如方程2|x|+x=2可化为两个函数y=2|x|和y=2-x, 若直接设则难以求解.
例3 已知方程2x-1+2x2-a=0有两解, 则a的取值范围是__.
思路分析:将方程有两解转化为曲线y=2x-1和y=-2x2+a有两个交点, 由图3可知, 前者经过
类似地, 以下方程①sinx=lg|x|;
2.单调性法
将方程转化为左边为一个单调函数, 右边为一个常数的形式, 通过利用函数的单调性确定函数的值域, 进而确定方程的解的个数.
例4 方程3x+4x=5x的解为 ( )
(A) 有且只有2
(B) 有2还有其他解
(C) 有2和一正根
(D) 有2和一负根
思路分析:由于5x>0, 则原方程可化为
又如方程x2+lnx=a解的情况, 可知x∈ (0, +∞) , 此时函数y=x2+lnx为单调增函数, 且其值域为R, 无论a取任何值, 原方程均有唯一正数解, 当然此方程也适合用方法一求解.
3.导数法
例5 ax=logax (a>1) 的解的个数为 ( )
(A) 0 (B) 2
(C) 0或2 (D) 0或1或2
思路分析:方程有两解和无解的情况学生易于理解, 但多数对一解的情形持怀疑态度, 我们不妨利用导数求出曲线y=ax与y=logax (a>1) 相切时交点的坐标.
设两曲线的交点为M (x0, y0) , 由于两函数互为反函数, 可知x0=y0, 又函数y=ax在M点的导数y'|x=x0=ax0lna, 函数y=logax在点M的导数
即当
利用导数的几何意义, 结合函数图象的变化趋势, 以方程有唯一解为界限, 确定方程无解及多解的条件.运用导数知识求解, 可以使学生不仅从直观图象认识方程的解的情况, 更重要的是使学生增强理性认识, 提高学生运用知识解决问题的能力, 培养应用意识.
4.反函数法
利用互为反函数的图象关于直线y=x的对称关系, 求解指数方程和对数方程的相关问题.
例6 已知α是方程x+lgx=3的根, β是方程x+10x=3的根, 则α+β=__.
思想分析:构造三个函数y=lgx、y=10x、y=3-x, 分别作出它们的图像如图6, 知点M (α, 3-α) 为曲线y=lgx与y=3-x的交点, 点M' (β, 3-β) 为曲线y=10x与y=3-x的交点, 由y=lgx与y=10x互为反函数, 二者图像关于直线y=x对称, 又直线y=3-x与y=x互相垂直, 因此点M (α, 3-α) 与M' (β, 3-β) 关于直线y=x对称, 故3-α=β, 即α+β=3.
二、运用化归思想, 通过换元将指数方程和对数方程转化有理方程的相关问题加以解决.
例7 若关于x的方程lg2x+ (lg2+lg3) lgx+lg2lg3=0的两根x1, x2, 则x1x2的值为__.
思路分析:令lgx=t, 则原方程化为t2+ (lg2+lg3) t+lg2lg3=0, 解得t1=-lg2, t2=-lg3, 进而求出
换元法适合于出现关于ax或logax 二次三项式或可化为此形式的指数方程或对数方程, 但须注意检验有理方程的根是否使ax或logax有意义.
又如解方程:lg9x+logx23=1化简得,
三、利用计算机及图形计算器演示含参数的函数图象或用二分法求方程的近似解
借助计算机和图形计算器可以求得各种方程的近似解, 同时新课程标准中增加了二分法求方程的近似根, 此外, 函数、方程、曲线三者的关系, 极易在计算机或计算器上反映出来, 大量观察函数库、图象库、方程库里的藏品, 可以扩大学生视野, 培养数学美学素养, 在此不作赘述.
无理方程 篇9
【教学过程实录】
一、创设情境
1.议一议
师:我们上了六年多的学, 学过不计其数的数, 概括起来我们都学过哪些数呢?
生1:在小学我们学过自然数、小数、分数。
师:我们在小学学了非负数, 在初一发现数不够用了, 引入了负数, 即把从小学学过的正数、零扩充了范围, 从形式上来看, 我们学过的一部分数又可以分为整数和分数。我们能够把整数写成分数的形式吗?如:4, -2, 0。
师:0呢?
(班级鸦雀无声)
师:0除以任何数都等于0。
(引出有理数的定义)
2.想一想
师:小学里我们还学过有限小数和循环小数, 它们是有理数吗?有限小数, 如0.3, -3.11…能化成分数吗?
师:它们是有理数吗?
生 (齐声回答) :它们是有理数。
师:这些是什么小数?
生 (齐声回答) :循环小数。
师:反之, 循环小数也能化为分数的形式, 它们也是有理数!
循环小数如何化为分数可以一起学习书P17、读一读。
二、合作、探究、展示
有理数包括整数和分数, 那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢?下面我们就来共同研究这个问题。
1.试一试
有两个边长为1的小正方形, 剪一剪, 拼一拼, 设法得到一个大正方形。
师:设大正方形的边长为a, a满足什么条件?
生10:a是正方形的边长, 所以a肯定是正数。因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积, 所以根据正方形面积公式可知a2=2。
师:a可能是整数吗?
生11:不是。因为12=1, 22=4, 32=9…越来越大, 所以a不可能是整数。
师:那a是几点几呢?
生12:因为2个正方形的面积分别为1, 1, 而面积又等于边长的平方, 所以, 面积大的正方形边长就大, 因为a2大于1且小于4, 所以a大致为1点几, 即可判断出a是大于1且小于2的数。
师:a可能是分数吗?
2.算一算
(1) a肯定比1大而比2小, 可以表示为1<a<2, 那么a究竟是1点几呢?请大家用计算器进行探索, 首先确定十分位, 十分位究竟是几呢?如1.12=1.21, 1.22=1.44, 1.32=1.69, 1.42=1.96, 1.52=2.25, 而a2=2, 故a应比1.4大且比1.5小, 可以写成1.4<a<1.5, 所以a是1点4几, 即十分位上是4, 请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字。请一位同学把自己的探索过程整理一下。 (小组合作)
生:a=1.41421356……, 还可以再继续进行, 且a是一个无限不循环小数。
(2) 师:请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值。边长b会不会算到某一位时, 它的平方恰好等于5?请大家分组合作后回答。 (约5分钟)
生:b=2.236067978……, 还可以再继续进行, b也是一个无限不循环小数。
师:除上面的a, b外, 圆周率π=3.14159265……也是一个无限不循环小数, 0.5858858885…… (相邻两个5之间8的个数逐次加1) 也是一个无限不循环小数, 像这些数我们称为无理数。
3.有理数与无理数的主要区别
(1) 无理数是无限不循环小数, 有理数是有限小数或无限循环小数。
(2) 任何一个有理数都可以化为分数的形式, 而无理数则不能。
三、巩固练习 (略)
四、课堂小结 (略)
五、布置作业 (略)
【教学反思】
无理方程 篇10
一、求弦长
例1(2016年全国Ⅱ卷)在直角坐标系x Oy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
分析:(Ⅰ)圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0.过程略;
(Ⅱ)解法1:选择直线的参数方程妙求弦长.
解法2:选择直线的极坐标方程妙求弦长.
因直线l与圆C交于A,B两点,将l:θ=α代入圆C:ρ2+12ρcosθ+11=0.
(Ⅰ)求C2与C3交点的直角坐标;
(Ⅱ)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|最大值.
(Ⅱ)选择直线的极坐标方程妙求距离.
因C1:θ=α与C2:ρ=2sinθ相交于点A,知点A的极径ρ1=2sinα.
二、求距离和
例3在直角坐标系x Oy中,l是过定点P(1,1)且倾斜角为α的直线.以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.
(Ⅰ)求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)若曲线C与直线l相交于M,N两点,求|PM|+|PN|的取值范围.
(Ⅱ)选择直线的参数方程妙求距离和.
则(tcosα-1)2+(1+tsinα)2=4.
三、求距离差
例4在直角坐标系x Oy中,直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.圆C的极坐标方程为.
(Ⅰ)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)若圆C与直线l相交于M,N两点,求||PM|-|PN||的值.
分析:(Ⅰ)圆C的直角坐标方程为(x-2)2+(y-2)2=8.过程略;
(Ⅱ)选择直线的参数方程妙求距离差.
四、求距离积
例5已知曲线C的参数方程:(α为参数),曲线C上的点对应的参数α=π/4,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程;
(Ⅱ)已知直线l过点P(1,0),且与曲线C相交于A,B两点,求|PA|·|PB|的范围.
(Ⅱ)选择直线的参数方程妙求距离积.
五、求距离比
例6在直角坐标系x Oy中,直线l的方程是y=8,圆C的参数方程为(φ为参数).以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线l和圆C的极坐标方程;
分析:(Ⅰ)直线l和圆C的极坐标方程分别为ρsinθ=8,ρ=4sinθ.过程略;
(Ⅱ)选择直线的极坐标方程妙求距离比.
六、求距离倒数和
例7在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.已知圆C的圆心C的极坐标为(1,π/2),圆半径为1.
(Ⅰ)求圆C的极坐标方程;
分析:(Ⅰ)圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ.过程略;(Ⅱ)选择直线的参数方程妙求距离倒数和.
则(1+tcosα)2+(1+tsinα)2=1.
可见,在处理直线与曲线相交时的距离问题时,若能巧用直线的参数方程中参数的几何意义或过极点的直线(或射线)极坐标方程中极径的几何意义,定极大地拓展学生思维,迅捷妙求距离.
摘要：参数方程与极坐标方程作为高考选考内容之一,在近几年的高考中亮点层出不穷.尤其是涉及直线与曲线相交时的距离问题,演绎得惟妙惟肖,异彩纷呈,大有一发而不可收之势.穷其解法,大都是在直角坐标系中用熟悉的普通方程来解决,过程繁且极大地抑制了学生思维的发展.若能灵活、巧妙地选择直线的参数方程或极坐标方程,利用参数的几何意义或极径的几何意义,定可事半功倍,妙求六类距离.
中美日“方程”求解 篇11
小泉对靖国神社的持续参拜刺激了邻国，指望日本一些政客自我约束或对历史问题能有一个较清醒的认识，恐怕只能是一厢情愿，但参拜这张牌的效用终将边缘化。即使在日本，小泉一意孤行损害与邻国关系的行为也没有得到民众与媒体的认同，近期日本国内主流媒体反参拜之声四起，国际对参靖的批评更呈扩大化趋势。东南亚国家对小泉这种无所顾忌参拜靖国神社的“冲动”持否定态度，认为其行为已损害了东亚合作的基础。美国媒体也一反过去默不作声的立场，认为小泉所为是一种无谓的挑衅，美国这种态度转变的深层忧虑在于，如若任由小泉在挑衅之路上继续滑下去，势必有一天会颠覆当年远东国际军事法庭审判的正义性，并最终挑起日本对当年遭遇核武打击的民族仇恨。
善玩离岸平衡的美国，虽然对小泉的一意孤行心存忧虑，但尚未有真正的“制止动作”。人们看到的反而是，美日同盟还在不断加强，个中原因即美日都有制衡国力与影响力迅速上升的中国的战略需要。当然，美国利用日本多少也有捆住日本这个并不令其放心的盟友的考虑，还有应对地区危机及非传统安全挑战的需要。但美日战略舞步并非总是合拍的。对日本来说可能从中衍生新的筹码，即在领海、油气田等与中国的争端中自认为可以无所顾忌地刺激邻国。
美国对日战略有其难解之处。“捆住日本”与“放虎归山”、鼓励日本发挥军事大国的作用之间，鼓励中国成为国际体系中负责任的“利害相关者”与美国以日本为主轴的亚洲战略之间，一直视日本为“小兄弟”与支持日本“入常”、进而使之成为世界权力圈核心成员之间，都存在着显而易见的悖论。对美国而言，日本花样翻新地寻找议题刺激中国，不仅危及对美国有重大战略利益的东亚地区的稳定与繁荣，损害解决地区性问题的共同认知基础，也使得美国处于一种难以置身事外的尴尬境地。人们甚至认为，日本无谓的强硬出格行为走到某个临界点时，日中冲突的可能性大于美中冲突，因而存在着美国被拖入一场并不情愿被卷入的中日严重争执甚至冲突之中，而这可能使美国处于两难境地。美国如果以同盟名义“挺日”，则其设想的亚太地区和平稳定与发展的战略前景只能是镜花水月。
中美关系发展到今天，所触及的深度与广度都达到了历史上少有的程度，相互依赖比过去任何时候都更为突出。不仅在经济上如此，在政治、外交层面同样如此。中美关系正在发展成为一种全球最重要的双边关系，其影响正超越双边范围，具有全球意义。中美不希望发生战略性冲突，亚太国家包括美国的一些盟国与美国、与中国都有不言而喻的重大利益，因此更不愿意在（假设的）中美对抗与冲突中简单地做出非此即彼的战略选择。
冷战结束后，传统的军事同盟逐渐弱化，虽然没有完全退出历史舞台，但对今天世界面临的重大而紧迫的安全挑战，已起不了多大作用。恐怖主义、海上通道安全、传染病扩散、跨国犯罪、大规模杀伤性武器扩散、环境恶化等已构成更为紧迫的非传统安全挑战。世界上数一数二的军事大国的结盟，对付得了恐怖主义吗？不是大炮打蚊子，就是拳头打棉花，其效果可想而知，在其他方面同样如此。而超然其外的其他任何战略目标，只能窒息东亚地区正在涌动的地区合作，扼杀地区发展活力的可持续性，直到触发所有国家极力避免的对抗与自危意识。
无理方程 篇12
《从问题到方程》是七上第四章第一节内容, 是小学与中学内容上的衔接点, 方法上的分水岭, 是从算术模型到方程模型的首次尝试跨越, 对后续学习有着重要的意义。
通过本章学习, 不但使学生了解一元一次方程及其相关概念, 而且能使其认识到方程的优越性, 并体会方程的意义, 同时在从“生活问题—数学问题———方程”的过程中, 感受数学的科学价值和人文价值, 体会从实际问题到方程中蕴涵的化归思想, 提高分析问题和解决问题的能力, 形成良好的学习习惯。
从问题到方程的“到”在整节课中占有突出地位, 探索具体问题中的数量关系并用方程描述是本节课的重点, 而正确的探索相应的相等关系, 渗透模型思想是本节课的主要难点.突破难点的关键是弄清问题背景, 分析清楚有关数量关系, 特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系.
二、学情与学法分析
1. 学情分析
从学生的年龄特点和认知特点来看, 初中阶段是智力和心理发展的关键阶段, 学生的逻辑思维从经验型逐步向理论型发展。
第一, 学生已经对方程有了初步的认识, 积累了一些用方程表示简单情境中的数量关系的经验, 但多数学生说不出方程的本质。
第二, 学生已会用算术模型和方程模型解决简单的实际问题, 但学生说不出算术算式与代数方程的区别与联系, 感受不到方程是更简便、更有力的数学工具。
第三, 尽管已会模仿解决一些简单的实际问题, 但学生缺乏多角度思考的习惯, 也没有交流、合作、质疑的意识, 不会用数学方式去思考。
2. 学法指导分析
第一, 教师提供一个合适的实际问题, 引导学生操作、比较、归纳、分析和综合然后给出相应的数学模型, 同时给学生有充足的观察、比较和讨论的时间, 从而明确算术与方程的区别与联系, 感受算式模型的局限性和方程模型的优越性。
第二, 教师提供一定数量的简单实际问题, 学生根据已有的知识与经验进行独立学习———列方程, 在独立学习的基础上进行合作交流———讨论方程的意义, 让学生在教师的“暗示”下, 感受方程的意义, 加强方程本质的认识。
三、教学过程亮点分析
1. 创设恰当的情境, 引入新课
出示教师本人近照, 让学生猜测年龄, 一下子拉近了师生之间的距离, 激发了学生的兴趣, 渲染了课堂气氛, 再激发探究, 出示问题串: (1) 用老师的年龄减去4, 再除以3, 就等于你们大多数同学的年龄14岁。谁知道老师的年龄? (2) 再过多少年后老师的年龄是你们的年龄的3倍? (3) 再过多少年后老师的年龄能是你们的年龄的4倍吗?
学生对于第一问, 可以用算术方法得出结论, 第二问也能通过列举的方法得出结论, 但对于第三问, 要想简明扼要地说明问题, 学生已经无能为力了。这样就激发了学生的探究欲望, 顺理成章地引入了新课课题。
2. 展现学习的过程
为了让学生理解如何从问题到方程, 我设置了如下问题与练习结构, 每一个环节都具有相应的针对性, 从年龄到天平, 基于学生的基础, 为了不同层次的学生有不同的发展, 在第二次小结之前设计了学生的分组活动, 因为有了好的问题和载体, 分组活动产生了相应的价值, 为不同的学生提供了展示的平台。
3. 选取恰当的例题
例题起到了承上启下的作用.问题环环相扣, 目的清晰.列出的问题不是简单的堆叠, 体现了这样几个层面, 第一个问题从授课老师年龄出发, 从显而易见的天平平衡得到等式, 到寻找问题1中看不见的隐形天平得到等式, 学生必须从基本的事实道理中提炼信息, 寻找相等关系.第二个问题的侧重点是对于问题的相等关系, 方程可以有不同的形式呈现.第三个问题中含有两个相等关系, 那么学生从不同的角度去看待这两个相等关系, 可以构造出很多截然不同的方程.正是由于前面课本中天平情境的引入, 让学生脑中始终有一架隐形的天平, 学生都在不同的问题中寻找隐形的天平———相等关系.
4. 关注本节课课程目标
本节课通过问题情境提供现实、有趣、富有挑战性的学习素材, 围绕学生的最近发展区, 利用数学模型让学生领会一些重要数学思想和方法, 最后通过解释应用力图培养学生的探索能力和创造能力。
摘要：本文通过对公开课《从问题到方程》进行教学案例分析反思, 揭示教学设计思路, 教学亮点, 以点带面对数学方程建模问题进行初步研究。