组合数的性质

组合数的性质（精选5篇）

组合数的性质 篇1

组合数Ckn的一个性质在教材中没有提到, 本文介绍了它在概率统计中的一个应用。

证法二:组合数的这个性质也可由组合定义推出:从n元集合中选出k个元素组成子集A1, 可分为两步完成。第一步先选出1个元素, 第二步再从其余n-1个元素中选出k-1个。这样选出k个元素的方法共有Cn1Cn-1k-1=nCn-1k-1个, 但这样的选法有重复。例如先选出a1, 再选出a2, a3, …, ak组成子集A1, 与先选出a2, 再选出a1, a3, …, ak得到的子集A2是相同的, 即A1=A2。对于同一个子集A1={a1, a2, …, ak}来说, 上述选法中重复了k次。因而不同的k元子集个数需用k除Cn1Cn-1k-1, 即Cnk=Cn1Cn-1k-1/k= (n/k) Cn-1k-1, 亦即。

下面我们用2010年考研数学一的一个试题来介绍组合数的上述性质的应用。

例 (2010年, 数学一) , 设总体X的概率分布为

其中θ∈ (0, 1) 未知, 以Ni表示来自总体X的简单随机样本 (样本容量n) 中等于i的个数 (i=1, 2, 3) 。试求常数a1, a2, a3, 使为θ的无偏估计量。

为计算上述和式, 首先要注意利用组合数的上述性质iCni=n Cn-1i-1 (1) 简化计算。其次要注意利用 (a+b) n-1展开式的通项为Cin-1aibn-1-i (a, b指数和为n-1) 。利用 (1) 式得到:

因为θ的无偏估计量, 故E (T) =θ, 即:

比较上式两边θ的同次幂系数, 得到na1=0, na2-na1=1, na3-na2=0。解之即得a1=0, a2=1/n, a3=1/n。

同法可以求得:

我们知道Tθ的无偏估计量, 故E (T) =θ。

由此可以得到:

参考文献

[1]毛纲源.最新考研数学 (三) 常考题型解题方法和技巧归纳.华中科技大学出版社.

[2]毛纲源.经济数学 (概率论与数理统计初步) 解题方法技巧归纳 (第2版) .华中科技大学出版社.

[3]袁荫棠.概率论与数理统计 (修订本) .中国人民大学出版社.

组合数的性质 篇2

通过对主要概念进行整理和复习，深化理解，形成知识网络.

教学难点

弄清概念间的联系和区别，理解易混淆的概念.

教学步骤

一、铺垫孕伏.

教师谈话：同学们，昨天老师让大家在课下复习了第十册课本中约数和倍数一章的内容，

在这一章中我们学过了哪些概念呢?请同学们分组讨论，讨论时由一名同学做记录.(学生汇报讨论结果)

揭示课题：在数的整除这部分知识中，有这么多的概念，那么这些概念之间又有怎样的联系呢?这节课，我们就把这些概念进行整理和复习.

二、探究新知.

(一)建立知识网络.【演示课件“数的整除”】

1.思考：哪个概念是最基本的概念?并说一说概念的内容.

反馈练习：

在12÷3=4 4÷8=0.5 2÷0.l=20 3.2÷0.8=4中，被除数能除尽除数的有( )个;被除数能整除除数的有( )个.

教师提问：这四个算式中的被除数都能除尽除数，为什么只有这一个算式中的除数能整除被除数呢?整除与除尽到底有怎样的关系呢?

教师说明：能除尽的不一定都能整除，但能整除的一定能除尽.

2.说出与整除关系最密切的概念，并说一说概念的内容.

反馈练习：下面的说法对不对，为什么?

因为15÷5=3，所以15是倍数，5是约数. ( )

因为4.6÷2=2.3，所以4.6是2的倍数，2是4.6的.约数. ( )

明确：约数和倍数是互相依存的，约数和倍数必须以整除为前提.

3.教师提问：

由一个数的倍数，一个数的约数你又想到什么概念?并说一说这些概念的内容.

根据一个数所含约数的个数的不同，还可以得到什么概念?

互质数这个概念与哪个概念有关系?它们之间有怎样的关系呢?

互质数这个概念与公约数有关系，公约数只有1的两个数叫做互质数.

4.讨论互质数与质数之间有什么区别?

互质数讲的是两个数的关系，这两个数的公约数只有1，质数是对一个自然数而言的，它只有1和它本身两个约数.

5.教师提问：

如果我们把24写成几个质数相乘的形式，那么这几个质数叫做24的什么数?

只有什么数才能做质因数?

什么叫做分解质因数?

只有什么数才能分解质因数?

6.教师提问：

谁还记得，能被2、5、3整除的数各有什么特征?

由一个数能不能被2整除，又可以得到什么概念?

(二)比较方法.

1.练习：求16和24的最大公约数和最小公倍数.

2.思考：求最大公约数和最小公倍数有什么联系和区别?

(三)分数、小数的基本性质.

1.教师提问：

分数的基本性质是什么?

小数的基本性质是什么?

2.练习.

(1)想一想，小数点移动位置，小数大小会发生什么变化?

(2)

(3)下面这组数有什么特点?它们之间有什么规律?

0.108 1.08 10.8 108 1080

三、全课小结.

这节课我们把数的整除的有关知识进行了整理和复习，进一步弄清了各概念之间的

联系和区别，并且强化了对知识的运用.

四、随堂练习.

1.判断下面的说法是不是正确，并说明理由.

(1)一个数的约数都比这个数的倍数小.

(2)1是所有自然数的公约数.

(3)所有的自然数不是质数就是合数.

(4)所有的自然数不是偶数就是奇数.

(5)含有约数2的数一定是偶数.

(6)所有的奇数都是质数，所有的偶数都是合数.

(7)有公约数1的两个数叫做互质数.

2.下面的数哪些含有约数2?哪些是3的倍数?哪些能同时被2、3整除?哪些能同时被2、5整除?哪些能同时被3、5整除?哪些能同时被2、3、5整除?

18 30 45 70 75 84 124 140 420

3.填空.

在1到20中，奇数有( );偶数有( );质数有( );合数有( );

既是质数又是偶数的数是( ).

4.按要求写出两个互质的数.

(1)两个数都是质数.

(2)两个数都是合数.

(3)一个数是质数，一个数是合数.

5.说出下面每组数的最大公约数和最小公倍数.

42和14 36和9

13和5 6和11

6.0.75=12÷( )=( ) ：12=

五、布置作业.

1.把下面各数分解质因数.

24 45 65 84 102 475

2.求下面每组数的最大公约数和最小公倍数.

36和48 16、32和24 15、30和90

平衡三角范数的基本性质 篇3

根据Menger在概率统计空间中的一些观点, Schweizer和Sklar引入了三角范数的概念。

三角范数是一个函数T:[0, 1]´[0, 1]®[0, 1], 满足结合律, 交换律, 单调性及边界条件即对任意的xÎ[0, 1], 有T (x, 1) =x。随着三角范数在概率度量空间的发展, 他们在决策论、概率和博弈论中都起到重要的作用。特别地, 在模糊集理论中, 三角范数被广泛应用在模糊运算、模糊逻辑和模糊关系方程。近几年, Klement和Mesiar进行一些关于三角范数的性质和相关问题的系统性研究。同时, 三角范数的连续性、阿基米德性及其构造也成为许多学者争先研究的重要课题。

本文中, 我们主要研究平衡三角范数的连续性、阿基米德性、严格单调性、幂零元等。这里也给出了基于加法生成元的平衡三角范数的一种构造方法。

二、平衡三角范数

1. 一些基本的定义和结论

我们介绍一下平衡三角范数的概念及其一些必需的结论。

定义2.1 (平衡 (反) 三角范数) :平衡三角范数和平衡反三角范数是一个映射P:[-1, 1]´[-1, 1]®[-1, 1], 这里P既代表平衡三角范数又代表平衡反三角范数, 满足下面的条件:

(T1) P (a, P (b, c) ) =P (P (a, b) , c) ) 结合律

(T2) P (a, b) =P (b, a) 交换律

(T3) P (a, b) £P (c, d) , a£c, b£d单调性

(T4) S (0, a) =a, aÎ[0, 1]平衡反三角范数的边界条件

T (1, a) =a, aÎ[0, 1]平衡三角范数的边界条件

(T5) P (x, y) =N (P (N (x) , N (y) ) ) 对称性

结论2.2:定义在单位区域[0, 1]2上的平衡三角范数T和平衡反三角范数S分别等价于经典三角范数t和经典反三角范数s。

结论2.3:定义在单位区域[-1, 0]2上的平衡三角范数T和平衡反三角范数S分别同构于经典反三角范数s和经典三角范数t。

结论2.4:在区域[0, 1]´[-1, 0]和[-1, 0]´[0, 1]上的平衡三角范数T的值为0。

根据结论2.4, 由于平衡三角范数在[0, 1]´[-1, 0]和[-1, 0]´[0, 1]上的值都为0, 具有一定的规律性, 所以我们也称这样的平衡三角范数是正常形式的, 本文主要针对正常形式的平衡三角范数进行分析和研究, 为了方便, 文中统称这种算子为平衡三角范数。

极小三角范数、乘积三角范数、Lukasiewicz三角范数、突变积三角范数是经典模糊集中的四个基本算子, 现在我们利用对称原则将它们推广到平衡区域[-1, 1]2上。

(1) 极小平衡三角范数:

(2) 乘积平衡三角范数:

(3) Lukasiewicz平衡三角范数

(4) 突变积平衡三角范数

根据定义2.1, 可以证明上面的四个算子都是平衡三角范数。这四个算子作为最基本的平衡三角范数将在平衡模糊集的研究中起到重要的作用。

三、连续性

连续性在函数论中是一个必不可少的研究对象, 而平衡三角范数本身就是一个取值于[-1, 1]上的二元函数, 所以接下来我们就要讨论平衡三角范数的连续性。

定义3.1:称一个平衡三角范数T:[-1, 1]2®[-1, 1]是连续的, 如果对所有的收敛数列 (xi) iÎN, (yi) iÎNÎ[-1, 1]N, 有

通常, 定义在[-1, 1]2上的二元实函数F (x, y) 在一个变量上连续, 不一定在两个变量上都同时连续。但对于平衡三角范数而言, 由于它具有单调性, 所以有下面的引理成立:

引理3.2:一个平衡三角范数T:[-1, 1]2®[-1, 1]是连续的当且仅当它在每一分量上连续, 即对所有的x0, y0, T (x0, y) :[-1, 1]®[-1, 1]和T (x, y0) :[-1, 1]®[-1, 1]都是单变量连续函数.

又由于平衡三角范数具有交换性, 所以有下面的定理成立:

定理3.3:平衡三角范数T是连续的当且仅当它对第一个分量是连续的, 即对所有的y0Î[-1, 1], 单变量函数T (x, y0) :[-1, 1]®[-1, 1]是连续的。

在许多问题中, 我们只要求函数满足弱连续性, 即左连续或右连续既可与满足连续性得到相同的结果。为此, 下面我们考虑平衡三角范数的左 (右) 连续性。

定义3.4:称一个平衡三角范数T:[-1, 1]2®[-1, 1]是左连续的 (右连续的) , 如果对每个yÎ[-1, 1]和所有的非减 (非增) 数列

因为平衡三角范数T:[-1, 1]2®[-1, 1]是一个二元函数, 所以必然有T是连续的当且仅当它既是左连续又是右连续的。又由于平衡三角范数具有对称性, 所以对于T的左连续 (右连续) 和连续有下面的特殊关系。

定理3.5:平衡三角范数T是连续的当且仅当它是左连续的。

类似当T右连续时, T在整个区域上也连续。

四、代数性质

用代数语言来说, T是一个平衡三角范数当且仅当 ([-1, 1], T, ≤) 是一个带有零化子 (零元) 0的全序交换半群。因此, 我们自然就会想到平衡三角范数所具有的一些代数性质。首先看它的幂等元、幂零元和零因子。因为对每个nÎN, 都有0T (n) =0, 1T (n) =1和 (-) 1T (n) =-1, 所以我们只在 (-1, 1) /{0}中定义平衡三角范数的幂零元和零因子。

定义4.2:设T是正常形式下的平衡三角范数,

(1) 称元素aÎ[-1, 1]是T的一个幂等元, 如果有T (a, a) =a。元素0, 1和-1 (对于所有的平衡三角范数都是幂等元) 叫做T的平凡幂等元, 其它的幂等元则叫做T的非平凡幂等元。

(2) 称元素aÎ (-1, 1) /{0}是T的一个幂零元, 如果存在nÎN使Ta (n) =0。

(3) 称元素aÎ (-1, 1) /{0}是T的一个零因子, 如果存在bÎ (-1, 1) /{0}使T (a, b) =0, 若a只有与之符号相反的b使等式成立, 则称a为平凡零因子, 否则称a为非平凡零因子。

根据平衡三角范数的对称性, 如果a是平衡三角范数T的一个幂等元, 幂零元或零因子, 那么-a一定也是它的一个幂等元, 幂零元或零因子。

TM的幂等元的集合是[-1, 1] (TM是具有这个性质的唯一的一个平衡三角范数) , TL和TD的幂零元和非平凡零因子的集合都是 (0, 1) ∪ (-1, 0) , TM和TP都没有幂零元且只有平凡零因子。

2. 一些其它的代数性质

一些平衡三角范数还具有其它的代数性质, 我们根据半群理论给出下列的定义和性质。

定义4.3:对于一个平衡三角范数T, 考虑下面的性质: (因为T在[-1, 0) × (0, 1]和 (0, 1]×[-1, 0) 上恒有T (x, y) =0, 所以只考虑[-1, 0]2和[0, 1]2区域上的T, 下面的性质限定x, y, z都是同号的)

(1) 称T满足严格单调性 (SM) , 如果当x, y, z同号且x≠0, y

(2) 称T满足相消律 (CL) , 如果当x, y, z同号时, 若有T (x, y) =T (x, z) , 则x=0或y=z。

(3) 称T满足条件相消律 (CCL) , 如果当x, y, z同号时, 若有T (x, y) =T (x, z) ≠0, 则y=z。

(4) 称T满足阿基米德性 (AP) , 如果对每个 (x, y) Î (0, 1) 2∪ (-1, 0) 2, 存在一个nÎN, 使|Tx (n) |<|y|。

(5) 称T具有极限性质 (LP) , 如果对于所有的 (x, y) Î (-1, 0) ∪ (0, 1) , 有

摘要：本文介绍了平衡三角范数基本的代数和分析性质。主要研究了它的连续性、阿基米德性、严格单调性及其幂等元。最后, 文中给出了基于加法生成元的平衡三角范数的一种构造方法。

关于r角形数的补数及均值性质 篇4

对于任意的正整数m, 有 (2m+m (m-1) × (r-2) ) , r≥3, 称为r角形数, 是因为这些数目的点子可以排成一个r边形;记为S (m, r) 。

定义1 设对整数n , n的r角形数部分数列定义如下

$\begin{array}{l}u{}_r(n)=\max \{m:n\ge m+\frac{1}{2}m(m-1)(r-2),r\in {\rm N}{}^{+},r\ge 3\}‚\\ v{}_r(n)=\min \{m\end{array}$

:$n\le m+\frac{1}{2}m(m-1)(r-2),r\in {\rm N}{}^{+},r\ge 3\}‚m\in {\rm N}{}^{+}$。

称$\left\{u{}_r(n)\right\}$表示不大于n的最大的r角形数部分, 亦称为下部r角形数部分数列, 称$\left\{v{}_r(n)\right\}$表示不小于n的最小的r角形数部分, 亦称为上部r角形数部分数列, 例:当r=3时三角形数为:$1‚3‚6‚10‚15‚21‚28‚36‚45‚55‚\cdots ‚\frac{n(n+1)}{2},\cdots$。

u (1) =1, u (2) =1, u (3) =3, u (4) =3, u (5) =3, u (6) =6, u (7) =6, u (8) =6, u (9) =6, u (10) =10, u (11) =10…,

v (1) =1, v (2) =3, v (3) =3, v (4) =6, v (5) =6, v (6) =6, v (7) =10, v (8) =10, v (9) =10, v (10) =10, v (11) =15, …,

类似于Smarandache的K次方补数[1]问题, 有些学者已研究过, 并且获得一些有趣的结果[2,3], 特别是在文献[4]中定义了可加的K次方补数ak (n) 并给出了$d\left(a{}_k(n)\right)$的渐进公式, 文献[5]研究了三角形数的补数, 作为Smarandehe k一次幂补数与可加k一次幂补数的进一步推广, 给出r角 (边) 形数补数的定义。

定义2 复合函数a (n) =n-ur (n) 。称a (n) 表示下部r角形数部分数列的补数;复合函数b (n) =n-vr (n) , 称b (n) 表示上部r角形数部分数列的补数。

关于这一问题, 至今没有人进行过研究, 至少没有看到对于任意正整数n≥1, 现主要讨论补数函数a (n) , b (n) 的渐进性, 以及复合函数δk (a (n) ) , δk (b (n) ) 复合均值性质, 即下面的结论。

定理1 对于任意实数x>1, 有下面的渐进公式

${\displaystyle \sum _{n\le x}a}(n)=\frac{\sqrt{2(r-2)}}{3}x{}^{\frac{3}{2}}+{\rm O}(x)$ (1)

${\displaystyle \sum _{n\le x}b}(n)=\frac{\sqrt{2(r-2)}}{3}x{}^{\frac{3}{2}}+{\rm O}(x)$ (2)

定理2 对于任意实数x>1, 及正整数k, 有下面的渐进公式

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{n\le x}\delta }{}_k(a(n))=\frac{\sqrt{2(r-2)}}{3}x{}^{\frac{3}{2}}{\displaystyle \prod _{p|k}\frac{p}{p+1}}+\\ {\rm O}(x{}^{\frac{5}{4}+\epsilon })‚(1)\\ {\displaystyle \sum _{n\le x}\delta }{}_k(b(n))=\frac{\sqrt{2(r-2)}}{3}x{}^{\frac{3}{2}}{\displaystyle \prod _{p|k}\frac{p}{p+1}}+\\ {\rm O}(x{}^{\frac{5}{4}+\epsilon })(\mathrm{Ⅱ})\end{array}$

其中δk (n) 的定义为:

$\delta {}_k(n)=\{\begin{array}{l}\max \{d\in {\rm N}\left|d\right|n,(d,k)=1\},n\ne 0\\ 0,n=0\end{array}$

${\displaystyle \prod _{p|k}}$表示对所有满足$p|k$的素因子p求积, ε是任意给定的`正数。

1 引理及其证明

为了完成定理的证明, 需要下面几个简单的引理。

引理1 对于任何实数n>1, 设$S(m+1,r)=\frac{1}{2}\left((m+1)+m(m+1)(r-2)\right)$, 则有渐近公式$m=\frac{\sqrt{2(r-2)n}}{r-2}+{\rm O}(1)$。

证明 对于任何实数n>1, 由ur (n) 的定义可知:

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}(2m+m(m-1)(r-2)\le n<\frac{1}{2}(2(m+1)+m(m+1)(r-2)\text{由}\text{不}\text{等}\text{式}m+\frac{1}{2}m(m-1)\times \\ (r-2)\le n\text{不}\text{难}\text{推}\text{出}\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{(r-4)-\sqrt{(r-4){}^2+8(r-2)n}}{2(r-2)}\le m\le \\ \frac{(r-4)+\sqrt{(r-4){}^2+8(r-2)n}}{2(r-2)}。\end{array}$

再由不等式$n<\frac{1}{2}\left((m+1)+m(m+1)(r-2)\right)$不难推出

$m>\frac{-r+\sqrt{(r-4){}^2+8(r-2)n}}{2(r-2)}$或

$m<\frac{-r-\sqrt{(r-4){}^2+8(r-2)n}}{2(r-2)}$。

注意到m的定义结合以上不等式便可推出

$\begin{array}{l}\frac{-r+\sqrt{(r-4){}^2+8(r-2)n}}{2(r-2)}<m\le \\ \frac{(r-4)+\sqrt{(r-4){}^2+8(r-2)n}}{2(r-2)}。\end{array}$

亦即$m=\frac{\sqrt{2(r-2)n}}{r-2}+{\rm O}(1)$。

引理2 对于任何实数x>1, 及α≥0则有渐近公式

${\displaystyle \sum _{n\le x}n}{}^{\alpha }=\frac{x{}^{\alpha +1}}{\alpha +1}x{}^2+{\rm O}(x{}^{\alpha })$。

证明参阅文献[2]。

引理3 对于任何实数x>1, 及正整数k, 则有渐近公式

${\displaystyle \sum _{n\le x}\delta }{}_k(n)=\frac{x{}^2}{2}{\displaystyle \prod _{p|k}\frac{p}{p+1}}+{\rm O}(x{}^{\frac{3}{2}+\epsilon })$。

其中δk (n) 的定义为:

$\delta {}_k(n)=\{\begin{array}{l}\max \{d\in {\rm N}\left|d\right|n,(d,k)=1\}‚n\ne 0\\ 0‚n=0。\end{array}{\displaystyle \prod _{p|k}}$

表示对所有满足$p|k$的素因子p求积, ε是任意给定的正数。

证明参阅文献[5]。

2 定理的证明

定理1的证明 对于任何实数x>1, 令M是最大的正整数, 且$\frac{1}{2}\left(2{\rm M}+{\rm M}({\rm M}-1)(r-2)\right)\le x<\frac{1}{2}\left(2({\rm M}+1)+{\rm M}({\rm M}+1)(r-2)\right)$。

注意到如果n取遍区间

$\begin{array}{l}[\frac{1}{2}\left(2m+m(m-1)(r-2)\right),\frac{1}{2}(2(m+1)+\\ m(m+1)(r-2))\begin{array}{l}\\ \end{array}]‚\end{array}$

则a (n) 取遍区间$\left[0,(r-2)m\right]$, 结合引理1, 有:

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{n\le x}a}(n)={\displaystyle \sum _{t=1}^{{\rm M}-1}{\displaystyle \sum _{S(t,r)\le n<S(t+1,r)}a}}(n)+{\displaystyle \sum _{S({\rm M},r)\le n<x}a}(n)=\\ {\displaystyle \sum _{t=1}^{{\rm M}-1}\left(0+1+2+\cdots +(r-2)t\right)}+\\ \left((S({\rm M},r)+1)+\cdots +(r-2){\rm M}\right)=\\ {\displaystyle \sum _{t=1}^{{\rm M}-1}\frac{\left(1+(r-2)t\right)(r-2)t}{2}}+{\rm O}({\rm M}{}^2)=\\ \frac{(r-2){}^2}{2}\frac{{\rm M}({\rm M}-1)(2{\rm M}-1)}{6}+\\ \frac{r-2}{2}\frac{{\rm M}({\rm M}-1)}{2}+{\rm O}({\rm M}{}^2)=\\ \frac{(r-2){}^2}{6}{\rm M}{}^3+{\rm O}({\rm M}{}^2)。\end{array}$

又由引理知${\rm M}=\frac{\sqrt{2(r-2)x}}{r-2}+{\rm O}(1)$可得

${\displaystyle \sum _{n\le x}a}(n)=\frac{\sqrt{2(r-2)}}{3}x{}^{\frac{3}{2}}+{\rm O}(x)$。

这就完成了定理1中 (Ⅰ) 的证明。同理可给出证定理1中 (Ⅱ) 的证明。

定理2的证明 对于任意正数x>1, 有ur (n) 的定义可知

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\left(2m+m(m-1)(r-2)\right)\le x<\frac{1}{2}(2(m+1)\\ +m(m+1)(r-2))。\end{array}$

由a (n) 的定义并注意到

x-S (M, r) <S (M+1, r) -S (M, r) = (r-2) M+1。

则由δk (n) 的定义和引理3有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{n\le x}\delta }{}_k(a(n))={\displaystyle \sum _{t=1}^{{\rm M}-1}{\displaystyle \sum _{S(t,r)<n\le S(t+1,r)}\delta }}{}_k(a(n))+\\ {\displaystyle \sum _{S({\rm M},r)<n\le x)}\delta }{}_k(a(n))=\\ {\displaystyle \sum _{t=1}^{{\rm M}-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^{(r-2)t}\delta }}{}_i(i)+{\displaystyle \sum _{i=S({\rm M}+1,r)-x}^{(r-2){\rm M}}\delta }{}_k(a(n))=\\ {\displaystyle \sum _{t=1}^{{\rm M}-1}\frac{(r-2){}^{2}t{}^2}{2}}{\displaystyle \prod _{p|k}\frac{p}{p+1}}+\\ {\displaystyle \sum _{i=S({\rm M}+1,r)-x}^{(r-2){\rm M}}\delta }{}_k(a(n))+{\rm O}(t{}^{\frac{3}{2}+\epsilon })+\\ {\rm O}({\rm M}{}^2)=\frac{(r-2){}^2}{6}{\rm M}{}^3{\displaystyle \prod _{p|k}\frac{p}{p+1}}+\\ {\rm O}({\rm M}{}^{\frac{3}{2}+\epsilon })。\end{array}$

注意到

${\rm M}=\frac{\sqrt{2(r-2)x}}{r-2}+{\rm O}(1)$,

从而有

${\displaystyle \sum _{n\le x}\delta }{}_k(a(n))=\frac{\sqrt{2(r-2)}}{3}x{}^{\frac{3}{2}}{\displaystyle \prod _{p|k}\frac{p}{p+1}}+$

${\rm O}(x{}^{\frac{5}{4}+\epsilon })$。

这就完成了定理2中 (Ⅰ) 的证明。同理可给出证定理2中 (Ⅱ) 的证明。

参考文献

[1]Smaradache F.Only problems, not solutions.Chicago:Xiquan Pub-lishing House, 1993

[2]Tom MA.Introdvction to analytic number theory.NewYork:Spring-er-Verlag.1976

[3]Yao Weili.On thek-power complement sequence.Research on Sma-ramtache Problems in Number Theory, Hexis, 2004:43—46

[4] Liu Hongyan, Liu Yuanbing. A note on the 29-th Smarandaches problem. Smarandache Notions Journal, 2004; (14) : 156—158

[5] Xu Zhefeng. On the additive k-power complements. Research on Smarandache Problems in Number Theory, Hexis, 2004:13—16

盒球数的性质及其在熵序中的应用 篇5

1.1 盒球数的概念

在引入盒球数之前，笔者先给出一个“盒子分小球”的排列组合问题。简单地说，“盒子分小球”问题就是现在有n个没有区别的小球随机的放到k个盒子中去，有多少结果?(n是自然数，k是正整数，下同)

对该问题详细阐释一下，一共有n小球，k个盒子，假设盒子足够大，小球足够小，也就是说一个盒子可以装无限多个小球，每个盒子都可以把n个小球全部装完，不用担心小球装不下的问题。现在我们把全部小球随机放到每个盒子当中，每个小球放到任何一个盒子中的概率都是相等的。

该问题要注意以下3点：

a.小球是完全相同的，没有差别。

b.盒子是有序号排列的，有差别。

c.对于每一种“盒子分小球”的结果，不会有小球落在“盒子”的外面，也不会因为“盒子”的容量问题而装不下。

为方便起见，这里给出一种数学表示方法，来表示“盒子分小球”问题的结果数———“盒球数”：Xkn。

1.2 盒球数的解法

这里我们运用“排列组合”中的挡板法来解决。

解：用数字“1”来表示“挡板”，用数字“0”来表示“小球”。则“挡板”之间的“小球”数就是每一个“盒子”里所装的“小球”数。而k个“盒子”只需(k-1)个“小球”就可以了，正如“一刀两断”之意，(k-1)“刀”便可以切成k段。

至此，“盒子分小球”的问题便转化成了这样一个“1-0组数”的问题了：有(k-1)个数字“1”和n个数字“0”，用这(k-1)个数字“1”和n个数字“0”可以组合成多少个“正整数”呢?

这样就容易多了，这样的“正整数”一共有[n+(k-1)]=(n+k-1)位数，因此，我们只需在这(n+k-1)位中选择n个位置来放数字“0”，或者说在这(n+k-1)位中选择(k-1)个位置来放数字“1”即可，因此

1.3 盒球数的基本性质

(1)一般的，因为k为正整数，所以有特殊的X00=1。

(2)由公式1可知：

证明:左边=Xnk=Cnn+k-1

右边=Xn-1k+Xnk-1=Cn-1n+k-2+Cnn+k-2=Cnn+k-1=左边, 左边=右边, 证毕。

证明略。

证明：由公式4和公式3，有：

证明：

将上述等式中的(n+1)用k代替，(k-1)用n代替，得：

2. 熵序

2.1 熵和熵序的概念

德国物理学家克劳修斯(R.J.E.Clausius)于1865年提出了熵(Entropy)这个概念，用符号S来表示。如果一个物体的绝对温度为T，输入该物体的热量为△Q，则该物体熵的增加量为：

式中：S1———物体输入热量前的熵;S2———物体输入热量后的熵。

这样定义的熵又称为热力学熵。

玻尔兹曼(L.Boltzmann)于1872年在研究气体分子运动的过程中，对熵提出了微观解释。他认为在由大量粒子(分子、原子)组成的系统中，熵表示系统的紊乱程度，系统越“乱”，熵就越大。

由此可见，熵是用来描述系统紊乱程度(或有序程度)的一个状态量。熵序指的是系统熵的所有可能取值的总数，用符号Sx来表示。拿一个宏观例子来比喻，竖直向上抛一枚硬币，落地后会有正面或反面朝上的两种状态，我们就说熵序是2。熵序用来表示系统的复杂程度，熵序越大，表示系统的复杂程度越大。

2.2 用盒球数计算熵值

这里我们再回到前面的“盒子分小球”的问题，这个问题其实就是描述了一个拥有n个小球和k个盒子组成的系统，前面我们讨论的盒球数刚好就是这个系统的熵序。即

下面举个例子，有这样一个系统，有10颗粒子分配到3个小室(1#小室、2#小室和3#小室)中，则该系统部分可能出现的状态及其出现的概率如下表所示。

其中，配容数为计算概率时的分子值，表格1中的第三列和第四列这两种情况我们在计算熵序时是按照同一个状态计算的，根据公式8，本例中熵序为Sx=X310=66，即该系统共有66种不同的紊乱状态。

3. 结语

根据玻尔兹曼的解释，热力学中定义的熵可以看作能量在空间分布均匀性的度量，也就是物质系统中能量衰竭程度的度量。而熵序则表示系统中能量衰竭程度所有可能的状态数，并由此可以衡量系统中所有的能量衰竭状态的复杂度。

摘要：本文通过讨论“盒子分小球”的一个排列组合数学, 建立盒球数概念和熵序概念, 然后对其概念性质作出证明和对熵序值进行计算, 最后指出了熵序在系统中的物理意义。本研究旨在通过对一种复杂的计算系统建立一个度量, 简化其计算方法。

关键词：盒球数,熵,熵序,系统

参考文献