数学教学中的举例

2024-07-04

数学教学中的举例（精选12篇）

数学教学中的举例篇1

教学过程中的举例是贯彻理论联系实际原则的重要途径和有效方法, 也是德育老师激发学生兴趣, 帮助学生理解掌握理论知识, 培养学生运用所学知识分析解决实际问题的重要手段。举例作为一项教学技术, 教师应当充分发挥它在教学过程中的作用。

一、举例要具有科学性

举例要具有科学性是指举例要恰当、准确、严密, 要尊重客观事实, 具备科学依据, 能准确反映原理的内容, 具有说服力。因此教师举例必须力求真实准确, 比喻恰当, 用词合理, 表达完整。如果举例极不严肃, 把捕风捉影、道听途说的事当例子来举, 或生编硬造, 把没有任何根据的东西当例子来举, 不仅不能提高教学质量, 而且会使学生对德育课和德育教师产生反感和不信任。因此, 教师必须确保所举的例子事实准确, 观点正确, 富有教益。同时, 所举的例子要针对问题的要害。对抽象的概念、深奥难懂的地方, 教师要选择适当的例子来帮助学生理解。例如讲联系概念时, 可结合经济常识中价格与价值的关系, 物理学中的吸收与排斥, 化学中的化合与分解, 生物中的遗传与变异的例子来说明相互影响、相互制约的关系。这些科学的事例既能达到论证理论的目的, 又充分体现出其说服力和证明力。

二、举例要具有教育性

举例具有教育性是指通过举例使学生自己深受教育, 产生积极的奋发向上的动力, 促进学生全面发展。德育课是对学生进行马克思主义基本理论观点教育, 帮助学生确立正确的政治方向, 树立科学的世界观、人生观、价值观, 培养良好品德的必修课程, 是学校德育工作的主要途径。德育教师是学校德育工作的主力军, 因此, 教师在教学中一方面要精选那些有教育意义, 能激发学生勤奋向上, 促进学生形成科学的世界观、人生观、价值观的例子;另一方面, 要联系学生的学习和生活实际选择例子。为此, 教师举例要避免低级庸俗, 低级庸俗的例子对学生的健康成长不利。如在中专学校讲述“职业素质的构成”时, 针对目前一些学生总认为自己低人一等, 觉得在中专学习没什么前途, 自暴自弃的现象, 让学生仔细阅读教材“行行出状元”李文山事件。李文山是一所中等职业学校机电专业的毕业生, 在校期间认真学习专业知识, 刻苦钻研专业技术, 毕业后开了一家马达专修店。他以精湛的技术, 真诚的服务, 成了远近闻名的“马达维修大王”。通过分析李文山的成功, 一方面使学生认识到职业素质对个人的重要性, 另一方面由于是学生生活实际的例子, 也给学生极大的震撼, 使他们开始重新认识自身价值, 端正了学习态度, 增强了学习职业技术的积极性。

三、举例要具有情感性

举例要有情感性包含两个方面的内容:一是所举的例子本身要包含情感因素, 能激发学生极高的情感体验, 使学生真正从感情深处由例子上升到理论;二是教师在讲述例子时, 要有丰富、纯洁和高尚的情感。如果师生具有高涨的情绪就会达到比预期还要好的效果。如果所举的例子没有一点情感色彩, 教师讲解没有真挚、强烈的感情, 没有不吐不快的情感冲动, 是不可能产生艺术效果的。德育课的内容本身就渗透了道德感、正义感、爱国心、义务感等高尚情感, 因此教师所列举的事例要包含情感因素, 同时教师在讲解时, 以积极、饱满的情绪状态感染学生, 能激起学生的情感。如在讲“市场就业方针”时, 饱含深情地讲述当前部分国有企业遇到困难, 相当一部分工人下岗, 生活非常困难, 但国家对下岗职工表示极大的关心, 如给下岗职工发放基本生活费, 给城市困难居民发放最低生活保险金, 政府购买岗位帮助下岗工人实现再就业。通过这些事例既使学生认识到就业竞争的残酷, 激发学生发奋学习、立志成才的强烈欲望, 又使学生从内心深处感到社会主义制度的优越性, 从而更好地理解了我国的市场就业方针。

四、举例要具有启发性

举例具有启发性是指所举的事例寓意深刻, 使人有所领悟。启发式教学是以教师所言为主导、学生为主体的一种民主、科学的教学方式。它是以激发学生的积极性和主动性为起点, 科学地让学生开动脑筋、积极思维、主动实践, 以达到掌握知识、技能、发展智力, 形成一定的观点的目的。德育课的目的不仅仅是为了教给学生多少理论知识, 更重要的是使学生将理论内化为行动, 形成良好的道德品质和高尚情操。因此, 教师所举的事例中要蕴涵着深刻的道理, 达到既能启发学生思维, 又能培养学生学习兴趣的目的, 使学生不但学到知识, 而且学到思考问题的方式。如用“拔苗助长”的故事来讲述“尊重客观规律和发挥主观能动性关系”, 用“塞翁失马”的故事讲述“矛盾双方在一定条件下相互转化”, 这些事例寓意深刻, 包含许多人生哲理, 学生听了之后, 既增强了学习的主动性和积极性, 又对自己的人生有所启悟。

五、举例要有趣味性

举例具有趣味性是指选择的例子角度新颖, 形象具体、耐人寻味, 能激起学生的兴趣, 启迪学生的思维。目前在德育课教学中遇到的一个难题是学生不重视德育课, 有些学生对德育课缺乏兴趣。面对这个问题, 要求教师在教学中讲究艺术性, 加强德育课的情趣性。举例作为德育课教学的重要部分, 教师可充分利用具体、形象、生动、有趣的例子来激发学生的求知欲望。事实上, 德育中许多理论概念都具有生动的表现形式或发源形式。从有趣的例证讲起可以激发学生的学习兴趣, 又可以使学生加深对理性概念的理解。像“守株待兔”“掩耳盗铃”“刻舟求剑”等到有力地揭露了形而上学的弊端。“孟母三迁”的故事可以说明外因在事物发展中的作用。德育教师讲课时, 如能恰当地联系一些生动有趣的事例就可以把课讲得富有情趣, 激发学生联想、活跃学生思维, 使学生听得更明白, 理解得更深刻, 记得更牢固。总之, 使学生在轻松快乐的氛围中学到了知识和本领。

六、举例要具有代表性

举例具有代表性是指所举的事例能突出地反映事物的特征和本质, 具有典型意义。德育教学中能论证同一理论的事例非常丰富, 教师不可能在有限的课时把它们面面俱到地都讲到。这就要求教师对诸多例子中选择最能集中反映和揭露事物本质的, 能使学生较为全面系统理解的事例。列举的事例应具有代表性, 如在讲“职业对从业者性格的要求时”, 列举了《三国演义》中的张飞, 张飞是个性格非常暴烈的人, 这种性格使他在打仗时冲锋陷阵, 不畏生死, 为蜀国立下了汗马功劳, 堪称猛将。但是, 如让张飞去拿绣花针, 他定会气炸肺, 他绝对不可能绣出绣花女那样精美的工艺品。这一事例使学生认识到不同职业对从业者有不同的性格要求, 从而按照职业对从业者的性格要求自觉培养自己的职业性格, 以便适应未来职业工作, 由此达到教育学生的目的。

总之, 在德育课教学活动中, 既要准确地讲述理论观点, 又必须紧密围绕理论观点进行大量举例, 以透彻说明理论, 加深学生对理论的全面准确理解。在课堂举例时, 既要注意所举事例具有启发性, 富有情趣性和代表性, 同时又要加强例子的科学性、教育性, 使所举例子真正达到预期的效果。

数学教学中的举例篇2

听了讲座，受益匪浅，感觉英语教学应该更加科学、系统，英语的单词、句子、语篇是一环扣一环的链条，学生的听、说、读、写、应用也是一环扣一环。但是自己在知识链方面缺乏驾驭的能力，全面把握的能力差。因此就出现就课本教课本，无法延伸。作为农村一名半路出家的非英语专业的兼学科英语老师，需要学习的地方很多很多，非常感谢有这次培训的机会。

这些年的教学中，感觉最难的是：一，学生缺少语言氛围。农村孩子除了课堂那40分钟外，根本接触不了英语，连听都没有机会，更别说用，就是40分钟的课堂，由于老师不具“一桶水”，也难创设好用的氛围，学生更感觉不到有学英语的需要。没有学习氛围、没有自身需求，要想学生学好英语，简直是不可能。

二、农村学生对英语的重视程度不够。在农村小学，由于家长对英语学科重视程度不够，只要语文、数学学好就不错了，认为英语是外国人的语言，孩子这么小，学不了也正常。家长都这样认为，很大程度影响了学生，学不好家长有不会怪我，也有学不好的理由。因此，学生就会不认真去按老师的要求做，“上课跟着学舌，下课与我无关”就成为学生的学习态度了，能够学舌还是乖学生、习惯好的学生的表现，一部分学生连学舌都不愿意，不开口、觉得好笑，当别人开口时，还会成为他们的笑料。

三、自己的教学方法需要改进。回想自己过去的教学，教学方法单一，课堂不活跃，总希望在这每周2节的课上尽可能把涉及到知识教给学生，怕教陋了，对学生接受知识的能力确实研究，特别是学生的学习方法方面，缺少必要的指导。

困难是重重的，但不管自己是专业还是非专业，不管自己是专职还是兼职，既然教了这门课，就得勇敢面对，不断改善。今后尽量做到：

一、不断学习。争取一切学习机会，提高自己的英语知识水平，特别是课堂用语、标准读音方面。早点把自己的那桶水装满，然学生能的从老师这里感受到极多的英语。

二、用好一切资源，为学生创设用语言环境。现在学校有了“班班通”，利用好网络资源，让学生在资源中感受到标准、纯正的英语。用资源中的动画、视频极大的调动学生的积极性。让学生感觉学习英语是一件有趣的事情。

三、改进自己的教学方法。学设计一些操作性强，效果好的活动。用活动来激发学生的积极性。比如“开火车”“大小声”，自编歌曲、Chant„„还可用丰富的肢体语言，引导学生边读变表演，利用简笔画帮助学生形象记忆，建立英语角，然学生感觉有学英语的需要。让学生喜欢英语，想学英语。同时，用多样的评价方法，对学生的进步及时评价，过鼓励，帮助学生树立学好英语的信心。

数学教学中的举例篇3

关键词光学Matlab虚拟实验杨氏双缝干涉

O1-4；G434

1、引言

近年来，随着教育的发展，学生规模不断扩大，使得高校的实验教学设施面临着严重的挑战；而另一方面，光学作为一门基础学科，如果只是推导理论公式，没有实验演示的话，难以引起学生的兴趣。基于数值技术或虚拟仿真技术开发实验演示软件是扩大实验教学规模和提高教学质量、教学效率的有效途径，是目前高校教育现代化的发展趋势。

Matlab是美国MathWorks公司开发的一款商业数学软件。Matlab具有友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，因而相比C、Fortran等语言，更方便与初学者入门。在光学课程教学时，使用Matlab等软件编写实验仿真软件，将抽象的概念经仿真实验过程直观的展示出来，有助于提高学生的学习兴趣；并且利用计算机的高速运算能力，可以实现仿真实验参数的反复、快速的调整，大大提高实验效率。

杨氏双缝干涉是物理学中最重要最基本的实验之一，在物理光学以及原子物理中有着广泛的应用。本文拟使用Matlab软件实现杨氏双缝干涉实验的仿真，使学生能够直观地学习双缝干涉现象及干涉理论。

2、杨氏双缝干涉相关基础理论

杨氏双缝干涉实验的原理如图1（a）所示，图中双缝间距为d，双缝所在平面与观察屏平行，二者间距为D。屏上O点到两个狭缝的距离相等。当两个狭缝发出的光在屏上相遇时，会发生干涉现象，屏幕上可观测到干涉条纹。双缝到达观察屏上P点的光程差满足

由光程差导致的相位差为（2）。

假设两个光波在P点的振幅都等于A=1，则两列光干涉叠加后P点的光强为：

（3）。

3.仿真过程及结果

基于上述原理分析，主程序编写如下：

lamda = 632.8e-9；d = 2e-3；D = 1； % 设置波长，双缝间距，双缝与屏的距离

xm = 5*lamda*D/d； %设屏上观测点离中心最大距离

x = linspace（-xm，xm，101）； % 屏上取101个预测点

phi=2*pi*（d*x./D）/lamda； % 计算相位差

I = 4*（cos（phi/2））.^2； % 根据相位差计算光强分布

subplot（211）；plot（x*1000，I）；title（'干涉光强'）；axis（[-xm*1000 xm*1000 0 4]）；

B = I*255/4； % 定標取255个级别，使I/4对应最亮

subplot（212）；image（x*1000，xm*1000，B）；title（'干涉图样'）；%以图案表示干涉条纹

图1（b）为双缝干涉的光强分布及干涉条纹的仿真结果，在平面波入射时可以观察到等间距的平行直条纹。由理论分析可知，双缝间距d，双缝与接收屏的距离D，波长将影响干涉条纹的分布。可以让学生改变参数，并观察这些参数对干涉条纹的影响。

4课外拓展

在掌握上述内容后可以引导学生做些拓展实验，提高动手能力和创新能力。近来，涡旋光受到研究人员的广泛关注。涡旋光在粒子囚禁、量子信息处理等领域都有潜在的应用价值。涡旋光具有exp（imφ）的相位因子，其中φ为光束截面上的方位角，m为拓扑荷数。当涡旋光入射双缝时，S1和S2之间具有一个附加的相位差△φ=φ1（y1）-φ2（y1），其中φ1和φ2分别表示双缝S1和S2处的相位。则观察屏上的干涉光强分布可以表示为。假设涡旋光的相位奇点落在双缝中心，联立（1，2）式可得

（6）。

由（6）式可知，涡旋光束经双缝干涉的光强分布不仅与x坐标有关，而且与y坐标有关。

下面以m=1的涡旋光的双缝干涉为例，编写程序如下：

lambda = 632.8e-9；d = 2e-3；D = 1；xm = 5*lambda*D/d； x = linspace（-xm，xm，500）；

phi=2*pi*（d*x./D）/lambda； % 计算相位差

N=500；M=500；y= linspace（-8*d，8*d，N）；x= linspace（-5*d，5*d，M）； I=zeros（M，N）； %设置采样点

phi1=pi/2-asin（y./sqrt（y.^2+d^2））；phi2=3*pi/2+2*asin（y./sqrt（y.^2+d^2））；

phi3=phi1-phi2； %计算附加相位差

for n=1：M

for m=1：M

I（m，n） = 4*（cos（phi（m）/2+phi3（n）/2））^2；

end

imshow（mat2gray（I'））；

5结论

本文使用Matlab软件编程对杨氏双缝干涉实验进行仿真，直观地展示双缝干涉现象。此外，还把常规的平面波的杨氏双缝干涉现象拓展到涡旋光的杨氏双缝干涉。这种课程教学与科研前沿的结合，有助于提高学生的学习兴趣，增强学生的动手和独立思考能力，从而提高教学质量。

参考文献

[1] 姚启均. 光学教程[M] . 北京：高等教育出版社， 2002.

[2] 徐金明. MA T L A B实用教程[M] . 北京：清华大学出版社， 2005.

[3] Alison M. Yao， Miles J. Padgett， Orbital angular momentum： origins， behavior and applications [J]. Advances in Optics & Photonics， 2011， 3（2）：161-204.

举例在小学数学概念学习中的作用篇4

一、正例教学帮助学生理解并掌握概念

好的例子不仅是学生学习新知的“敲门砖”, 更是学生认识和理解数学知识的桥梁。典型、生动、直观的正例, 如明镜般给学生以眼前一亮的感觉, 有助于学生对数学概念的理解。

1. 适当的正例素材是学生学习新知的支撑。奥苏伯尔曾说:“影响学生学习的唯一重要的因素是学生已经知道了什么。”因此, 在教学中, 教师要善于例举适当的正例素材, 激活学生已有的知识经验, 以学生掌握的知识、经验为新知的生长点, 为新知学习做好必要的支撑。

2. 适时的举例为学生的新知学习化解难点。适时的举例可使学生了解概念之间的联系与区别。如, 在学习计数单位、数位、位数等基本概念时, 除了给出其定义外, 适时的举例还能辨析概念, 化解难点。

二、反例教学帮助学生辨析概念, 有利于学生对概念的全面把握

小学生的思维还处在具体形象向抽象逻辑过渡的阶段, 他们看问题往往是片面的。有时, 他们对数学概念的认识是朦朦胧胧, 似懂非懂的, 无论教师用多么精湛的语言讲解都无济于事。此时, 运用反例教学会收到很好的效果。正如杜威所说:“真正思考的人从自己的错误中吸取的知识比从自己的成就中吸取的知识更多, 错误与探索相联姻、相交合, 才能孕育出真理。”

比如, 在教学“倒数”这一概念时, 学生最初可能对“倒数”的概念理解不是很到位, 为了突破这个难点, 可以设置以下的一组反例, 让学生找出关于“倒数”说法正确的一组 (其实都是错例, 先由学生诊断, 然后集体订正) : (1) 0.9+0.1=1, 0.9和0.1互为倒数; (2) 23×32=1, 23是倒数; (3) 1的倒数是1, 0的倒数是0。这种情况下, 学生通常会因为对“倒数”的概念理解不深而真的找出一个自认为正确的选项。这时, 我们并不要急于一一纠错, 而是让学生自己去讨论。然后, 强调以下三点:第一, 乘积是1而非得数是1;第二, “倒数”是两个数的关系, 互为倒数的一对数是相互依存的。即当a×b=1时, a是b的倒数, b是a的倒数, a和b互为倒数;第三, 1的倒数是1, 0没有倒数。三个反例的三个方面能使学生在辨别中更深刻、全面地掌握“倒数”的本质。可见, 当学生对内涵丰富的知识感知不全时, 可通过反例教学, 突出所学知识中易被学生忽视的本质属性, 以帮助学生更加正确、完整地理解概念。

三、利用举例的变式与比较使学生对概念的理解更透彻

变式指概念的肯定例证在非本质特征方面的变化, 它可以把概念的本质和非本质特征区别开来。如果变式不充分, 学生容易把某些非本质特征概括到概念的内涵中去, 或者没有把某些本质特征概括到概念的内涵中去, 从而缩小或扩大了概念的外延。概念的变式包括对图形、算式、语言等几方面的变化。教师在教学中要让学生体会语言叙述的变化和数学实质的不变。

例如, 在学习“角的认识”这一节内容时, 教师可出示各种有关角的图形让学生辨析, 然后归纳总结出:由一个顶点引出两条射线所组成的图形叫做角。把握这一概念, 教师要要求学生抓住三点:第一是由一个顶点引出的;第二是两条射线;第三是组成的图形。然后, 在此基础上和三角形的概念进行比较 (三角形是由三条线段围成的图形) , 这里也要抓住三点:第一是三角形有三个顶点;第二是三角形有三条线段;第三是三角形是由三条线段围成的图形。这里所说的一个顶点要与三个顶点做比较;两条射线要与三条线段做比较;“围成”要与“组成”做比较。通过比较, 学生不仅对角有了更清楚的认识, 而且对三角形也有了更进一步的认识。

数学教学中的举例篇5

1.教学目标

知识与技能

1.体会导数在解决实际问题中的作用，能解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，2.形成求解优化问题的思路和方法。过程与方法

1.通过逐步形成用到导数知识分析问题和解决问题，进一步培养学生发散思维能力。2.提高将实际问题转化为数学问题的能力。情感、态度、价值观

培养学生用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题地积极态度

2.教学重点/难点

教学重点

利用导数解决生活中的一些优化问题。教学难点

理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。

3.教学用具

多媒体

4.标签

教学过程

教学过程设计

1、复习导入【师】

问题一：导数在研究函数中有哪些应用？

问题二：联系函数在实际生活中的作用，你认为导数对于解决生活中的什么问题有什么作用呢？

问题三：通过预习，我们把导数能解决的这些问题通常称为什么问题呢？【生】学生讨论回答

【师】生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

2、新知学习

问题1：导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有几个方面？（1）与几何有关的最值问题；（2）与利润及其成本有关的最值问题；（3）效率最值问题。【生】学生讨论回答

问题2：解决优化问题的方法有哪些？

首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．【生】学生讨论回答

问题3：解决优化问题的的步骤是怎样的？

【生】学生讨论回答典例探究海报版面尺寸的设计

【例题1】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

【分析】先建立目标函数，然后利用导数求最值.【规范解答】设版心的高为xdm，则版心的宽为

此时四周空白面积为

因此，x=16是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。【引申思考】在本题解法中，“【生】学生讨论回答

【师】一个函数在某个区间上若只有一个极值，则该极值即为这个区间上的最值。在实际问题中，由于

常常只有一个根，因此若能判断该函数的最大（小）值在的变化区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数的最大（小）值。

【一题多解】对于本题的最值你是否还有别的解法？【探究解答】由解法一可得：

是函数的极小值点，也是最小值点。”为什么？

【规范解答】解法一：

设箱底边长为xcm，则箱高得箱子容积

由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值

答：当x=1000px时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3 解法二：

设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积

（后面同解法一，略）

由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．【反思提高】

事实上，可导函数

在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值饮料瓶大小对饮料公司利润的影响【问题引领】

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【例题2】

【背景知识】某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm 【问题】

（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？【分析】先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值.【规范解答】

由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

（1）半径为2cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．（2）半径为6cm时，利润最大【新视角解答】

我们已经求出利润和瓶子半径之间的关系式：

.图象如图，能否根据它的图象说出其实际意义？【合作探究】当时，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm 时，利润最小；当时，为增函数，其实际意义为：瓶子的半径大于2cm时，瓶子的半径越大，利润越大。特别的，当r=3时，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等，r>3时，利润才为正值．

当r=2时，f(2)<0，即瓶子的半径为2cm时，饮料的利润最小，饮料利润还不够饮料瓶子的成本，此时利润是负值。磁盘的最大存储量问题【例题3】【背景知识】

计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。【问题】

现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．（1）

是不是r越小，磁盘的存储量越大？

（2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？【规范解答】【规范解答】

由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达

由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达

所以，磁盘总存储量

【思考】根据以上三个例题，总结用导数求解优化问题的基本步骤.【例题总结】（1）认真分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，列出适当的函数关系式并确定函数的定义区间；（2）求得出所有实数根；

（3）比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值。【提别提醒】

由问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．课堂练习.某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元。如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人，如何组团可使旅行社的收费最多?(不到100人不组团)【分析】先列出问题的文字模型(标准收费数-降低的收费数),再转化为数学模型.【规范解答】

设参加旅游的人数为x，旅游团收费为y 则依题意有

所以当参加人数为150人时，旅游团的收费最高，可达112500元。2.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省【变式练习】

当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取才能使所用材料最省？

课堂小结

课后习题

课本37页A组1,2；B组第1题

数学教学中的举例篇6

全日制义务教育数学课程标准对数学建模提出了明确要求，标准强调“从学生以有的经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解析与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力。情感态度与价值观等方面得到进步和发展。”在近年的中考题目中对这类题型也越发地偏重。

那么在初中数学中有哪些是数学模型是我们需要重点关注的呢？

一、“方程（组）”模型

现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系，“方程（组）”模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型，它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、清晰的认识、描述和把握现实世界。诸如纳税问题、分期付款、打折销售、增长率、储蓄利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题，常可以抽象成“方程（组）”模型，通过列方程（组）加以解决

例1A、B两地相距18公里，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道。已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程对提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？

解：设甲工程队每周铺设管道x公里，则乙工程队每周铺设管道（x+1）公里。

依题意得：

解得x1=2，x2=-3

经检验x1=2，x2=-3都是原方程的根。

但x2=-3不符合题意，舍去。

∴x+1=3

答：甲工程隊每周铺设管道2公里，则乙工程队每周铺设管道3公里。

二、“不等式（组）”模型

现实生活建立中同样也广泛存在着数量之间的不等关系。诸如统筹安排、市场营销、生产决策、核定价格范围等问题，可以通过给出的一些数据进行分析，将实际问题转化成相应的不等式问题，利用不等式的有关性质加以解决。

三、“函数”模型

函数反映了事物间的广泛联系，揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律。现实生活中，诸如最大获利、用料价造、最佳投资、最小成本、方案最优化问题，常可建立函数模型求解。

例2某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。

（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。

（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

解：（1）y=90-3（x-50）化简，得y=-3x+240

（2）w=（x-40）（-3x+240）

=-3x2+360x-9600

（3）w=-3x2+360x-9600

=-3（x-60）2+1125

∵a=-3<0 ∴抛物线开口向下

当x=60时，w有最大值，又x<60，w随x的增大而增大，

∴当x=55时，w的最大值为1125元，

∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润1125元的最大利润

四、“几何”模型

几何与人类生活和实际密切相关，诸如测量、航海、建筑、工程定位、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时，常需建立“几何模型，把实际问题转化为几何问题加以解决

五、“统计”模型

统计知识在自然科学、经济、人文、管理、工程技术等众多领域有着越来越多的应用。诸如公司招聘、人口统计、各类投标选举等问题，常要将实际问题转化为“统计”模型，利用有关统计知识加以解决。

六、“概率”模型

概率在社会生活及科学领域中用途非常广泛，诸如游戏公平问题、彩票中奖问题、预测球队胜负等问题，常可建立概率模型求解。

数学教学中的举例篇7

1202年意大利数学家斐波那契提出了一个“兔子问题”:

假定一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔, 再过一个月便能生下一对小兔 (一雄一雌) , 并且此后每个月都生一对小兔.在不发生死亡的情况下, 问由一对刚出生的兔子, 50个月后能繁殖成多少对兔子?

这就是著名的Fibonacci数列:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …。由此归纳出a1=a2=1, an=an-1+an-2 (n≥3) , 得出通解

这个例子就是“递推思想”解决实际问题的光辉典范。

例1:某学生有100元钱, 他计划每天必须以下列三种方式之一买一样东西, 且每天只能买一种: (1) 买糖1元; (2) 买饼2元; (3) 买水果2元。问他有多少种方法用完这100元钱?

解:设用完n元钱的方法数为an, 则a1=1, a2=3, …。当这个学生有n元钱时, 如果他第一天买糖, 则剩下 (n-1) 元在以后诸天中以an-1种方法用完;如果他第一天买饼或买水果, 则剩下 (n-2) 元在以后诸天中以an-2种方法用完。即an=an-1+2an-2 (n≥3) ,

设an+λ·2n+1=- (an-1+λ·2n) , 得

例2:甲、乙、丙三人之间互相传球。初始时球在甲的手中, 甲可以把球传递给乙或丙中的任何一人, 称为第1次传球;若乙得到球, 乙再把球传递给丙或甲中的任何一人, 称为第2次传球, …。仿此继续传递下去, 第100次传球后, 球恰好又回到了甲的手中 (前面第1至99次传球可传给甲也可不传给甲, 无限制, 但第100次必须传给甲) , 问:球有多少种不同的传递方法?

解:设an表示第n次传球必须回到甲的手中的方法数;bn表示第n次传球必不传给甲 (即球在乙丙手中) 的方法数。实验表明:a1=0, b1=2;a2=2, b2=2;a3=2, b3=6;a4=6, b4=10;…。由此归纳出

∴第100次传球必须回到甲的手中的方法数是

例3:甲、乙两人拿两颗骰子做抛掷游戏, 规则如下:若掷出的点数之和为3的倍数时, 原掷骰子的人再继续掷;若掷出的点数之和不是3的倍数时, 由对方接着掷.第一次由甲开始掷。

⑴若第n次由甲掷的概率为pn, 求出pn关于n的表达式;

⑵求前4次抛掷中甲恰好掷3次的概率。

解:⑴第n次由甲掷可理解为:第n-1次由甲掷, 且第n次仍由甲掷;第n-1次由乙掷, 且第n次由甲掷。于是

例4:100名学生坐在100个座位上 (一共只有100个座位, 再无空位) , 参加一次数学竞赛 (分为第一试和第二试) 。第一试结束后, 学生离开座位休息20分钟, 紧接着再参加第二试, 但要求每一个学生都不能再回到他原来的座位, 每人都必须换一个座位。问:第二试的坐法有多少种?

解:设an表示n个学生参赛而第二试必须换一个座位的方法数.显然a1=0, a2=1。

我们把学生编号 (1至n号) , 把座位也编号 (1至n号) 。假想第一试时学生一律是按自己的编号与座位号相同对号入座, 而第二试时是按自己的编号与座位号必不相同才能入座。

讨论第二试时的情况: (1) 设1号学生坐k号位, k号学生坐1号位, 其中k∈{2, 3, …, n}, 则剩下的 (n-2) 个学生的入座方法数是an-2。又因k可从2至n之间变动, 故一共有 (n-1) an-2种方法。 (2) 设1号学生坐k号位, 而k号学生不坐1号位, 则2至n号之间的学生每人均有一个自己不能入座的位子, 故安排这 (n-1) 人的座位有an-1种方法。又因k可从2至n之间变动, 故一共有 (n-1) an-1种方法。

综合 (1) (2) 得an= (n-1) (an-1+an-2) (n≥3) ,

变形为an-nan-1=[an-1- (n-1) an-2],

分别取n=1, 2…, n-1, n代入上式叠加得

故100名学生参加第二试的坐法数是

数学教学中的举例篇8

一、数据转化

二、分率转化

有些较复杂的分数应用题, 由于题目中出现两个或几个单位“1”不同的分率, 必须把它们转化为相同单位“1”的对应分率, 方能列式解答。

三、比的转化

分析:此题若按一般的分数应用题的方法来解答是十分困难的, 因为不知道两人奖金之间直接的倍数关系。若换一个角度, 找出两人奖金的实际比例, 然后按照比例分配的方法依次计算即可解决所求问题。具体做法是把题中的两个分子不同的分数变成分子相同的分数:

四、图形转化

例5.在一个等边三角形中画一个尽可能大的圆, 又在这个圆中画一个尽可能大的等边三角形 (如图1) 。图中小等边三角形的面积相当于大等边三角形的几分之几?

例6下面图1是由两个同样的直角梯形重叠而成的, 图中只标明三个数据 (单位:厘米) , 求图中阴影部分的面积是多少平方厘米?

分析:图中阴影部分是一个很不规则的图形, 而且缺少必要的数据, 若采用“化整为零, 分割计算”是行不通的。解答这道题目的正确方法是找出与阴影部分面积相等的部分去“替换”它。

因为图中两个大直角梯形面积是相等的, 所以除去它们的重叠部分, 上、下各自剩下的部分, (如图2中甲、乙两部分) 的面积也相等。因此, 求上面阴影部分 (即甲) 的面积就只需要求出最下面的那个小直角梯形 (即乙) 的面积。可列式计算:[ (10-2) +10]×3÷2=27 (平方厘米) 即是题目所求。

数学教学中的举例篇9

解决数学问题过程中当思维出现障碍, 解题思维发生中断时, 如何正确有效地去化解这个思维障碍, 及时迅速地找出延续解题的出路, 创造出柳暗花明又一村的奇迹呢?在多年的教学实践中认识到, 笔者运用“变式法”的策略, 往往是十分有效的.

所谓变式教学法, 它的核心是利用构造一系列变式的方法, 来展示知识发生、发展过程, 数学问题的结构和演变过程, 解决问题的思维过程, 以及创设暴露思维障碍情境, 从而形成一种思维训练的有效模式. 这种教学方法具有开启智慧, 激发学习热情, 重视实践尝试, 追求融通变化, 提升应变能力的作用, 有效实现学生在相同条件下迁移、发散知识的能力培养. 表现出结构清晰、层次分明, 举一反三、触类旁通的教学特点, 有助于有效课堂的建构, 教学质量提升.

一、变陌生为熟悉

著名的苏联数学家、莫斯科大学教授C. A. 雅诺夫斯卡娅有一次向奥林匹克数学竞赛参加者发表了“什么叫解题”的演讲. 她的答案显得惊人的简单, 完全出乎听众的意料之外: “解题就是把未解过的题归结为已经解过的题. ”也就是“变式”. 因此, 遇到情景陌生的新问题, 当你感到一筹莫展时, 不妨选择一个与之类似的熟悉的问题, 将它与新问题相比较, 设法寻找出两者之间的联系和相似之处, 用熟悉问题的方法和结论, 去探求解决新问题的思路.

案例1已知y = ( log2x - 1 ) loga2b - 6 log2x logab +log2x + 1 ( a > 0且a≠1为常数) , 当x在区间[1, 2]内任意取值时, y的值恒为正, 求b的取值范围.

分析与解答本题的情境陌生, 变元繁多, 条件与结论之间的关系错综复杂, 初看时不知从何下手. 如果令log2x =t, 则原函数式即可变为y = ( log2ab - 6 logab + 1 ) t + ( 1 log2ab) . 原函数立即转化为形如y = kx + b形式的一次函数了. 再回头看t的区间, 由于x∈[1, 2], ∴t∈[0, 1], 分析到这里, 原问题就转变为“关于t的一次函数在t∈[0, 1]区间上的值恒定, 求b的范围”了.

对此问题绝大多数同学相对熟悉, 解之也就手到擒来了.

二、变复杂为简单

根据认识论原理, 人们认识问题总是从简单到复杂, 从个别到一般. 所以当我们面对一个复杂的问题时感到束手无策时, 不妨采用退的策略, 从复杂的问题退到最原始、最简单, 但又不失去问题的主心的问题上去, 对它作一些探索, 借以触发解题的灵感, 畅通解题的思路, 或者通过对原问题进行分解转化, 将其转变为若干相对比较简单的问题, 然后各个击破, 而解之, 进而达到解决问题的目的.

案例2设a > b > c > 0, 求证: a2ab2bc2c> ab + cbc + aca + b.

分析与解答直接推证原不等式难以下手, 思路受阻.如果我们从待证式的结构出发, 并将之变化一下看一看.

通过比较可得出, 如果能证明一组成立, 那么其余两组也一定成立, 待证式也就不难证明了. 可以看出, 证明显然此命题比原命题要简单得多, 这样我们就达到了化复杂为简单的目的了.

证明∵a > b > c > 0, ∴a/b> 1, a - b > 0.

三、变一般为特殊

因为普遍成立的结论在特殊情况下也成立, 所以, 当解决一个一般性的问题感到困难时, 可先去研究包含在一般问题中的一个特殊的问题, 通过对这个特殊问题的透彻研究, 去探明原问题的正确结论或探索出解决原问题的正确途径.

四、变抽象为直观

著名数学家华罗庚先生说过: “数缺形时少直观, 形少数时难入微. ”数和形是一对孪生兄弟, 许多问题直接从“数”本身去求解, 往往难以抓住问题的本质, 但若能以“形”的角度入手, 挖掘问题的几何特征, 构造出一个几何图形, 借助于图形的性质, 将抽象的概念和复杂的数字关系直观化、形象化, 可以使得隐含条件清晰可辨, 这样解题的思路就会变得茅塞顿开了.

变式法是解数学问题的一个基本方法. 在中职数学各环节的教学中, “变式”无处不在, 无时不有, “变式”决定了解题的方向, 因此, 在中职数学教学过程中, 教师要有意识地培养学生, 用“变式思想”来化解思维障碍. 这对于培养学生的思维能力, 提高解题能力, 养成良好科学的解题习惯是大有裨益的. 只要我们学会运用正确的思维方法, 发扬勇于探究的精神, 就一定能领略到曲径通幽的意境, 享受无限风光在险峰的乐趣.

摘要：数学思想和方法是数学知识的精髓, 又是知识转化为能力的桥梁.数学教学是促使学生形成数学思想, 掌握数学方法的必然之路.变式教学法是数学化归思想方法的有效运用.运用变式法去化解解题中的思维障碍是十分有效的, 变式法是数学解题中最基本的、最常用的解题方法.

数学教学中的举例篇10

分段函数在分界点左右两侧有不同的定义,在微积分教学中,灵活运用分段函数举例,对理解单侧极限,单侧导数,连续,可导,原函数的存在性,可积性,偏导数,可微性等概念发挥着重要作用。

下面就分段函数在微积分教学中作用举例说明。

一、一元函数微积分学

1. 分段函数在分段点处的极限

由函数极限的定义知,,所以分段函数在分界点处的极限需通过讨论在该点两侧的单侧极限来确定。

由以上两例看出,函数在分界点处的极限仅与函数在该点两侧的变化趋势有关,与函数在分界点处有无定义及函数值无关。

2. 分段函数在分段点处的连续性

从此例看出,讨论分段函数在分段点x0处的连续性,必须满足:函数在x0的某邻域内有定义,函数在x0点的左右极限均存在且相等,在x0点的极限值等于函数值,这三条中其中任何一条不满足,则x0点为函数的间断点。其中,左右极限均存在但不相等的点称跳跃间断点,左右极限存在且相等但不等于函数值的点称可去间断点,左右极限中至少有一个不存在的点称为第二类间断点。

3. 在分段点处的可导性

函数在某点可导的充要条件:函数在这点的左导数等于右导数。根据导数的定义,导数是函数改变量与自变量改变量比值的极限,所以某点的导数是否存在和函数在这点左右两侧的定义,函数在该点的函数值均有关,还取决于两个增量比的极限。在例2中,补充函数在x=0的定义,令f(0)=1,则函数在x=0点连续。

例4论函数在x=0点的可导性。

4. 分段函数的原函数存在定理

分段函数,如果在分段点处连续,则根据原函数存在定理,定义在某区间上的连续函数一定存在原函数。

解设f(x)存在原函数F(x),则F′(x)=f(x),

当x<0时,F′(x)=f(x)=0所以F(x)=C1,当x>0时,F′(x)=f(x)=0,所以F(x)=C2,又因为F(x)可导,所以F(x)连续,所以F(0-0)=F(0+0),所以C1=C2,所以F(x)=C,所以F′(x)=0,所以有F′(0)=0与F′(0)=1矛盾,所以f(x)不存在原函数。

在此例中,x=0是函数的可去间断点(第一类间断点),从此例看出含有第一类间断点的函数不存在原函数。

此例略作修改,计算

对于定积分,含有有限个间断点的有界函数在区间[a,b]上是可积的。因为定积分和不定积分虽然联系密切,但二者的概念是完全不同的,从几何意义上看,定积分表示以f(x)为曲边,以[a,b]为底的曲边梯形的面积,f(x)有有限个第一类间断点,不影响曲边梯形面积的计算,而f(x)如果含有第一类间断点,其原函数是不存在的。再看这样一个例子:

(1)f(x)在[-1,1]上是否可积?

解(1)f(x)在[-1,1]上有界,且只有一个第二类间断点,所以f(x)在[-1,1]上可积。

此例中x=0是f(x)的不连续点,并不影响函数在[-1,1]上的可积性,而且变上限积分在该点也可导。

5.分段函数定积分的计算

计算分段函数定积分时,要注意区分定积分在不同的取值范围内函数的定义不同,一定要分别计算其定积分。

从以上几例看出,分段函数和一般的初等函数不同,在分段区间内一般用初等函数的方法去讨论,但在分段点处,有独特的讨论方法。学生初学时,经常感到迷惑。不易掌握。我们在教学中,要利用分段函数的独特性质,灵活的加以举例,加强学生对这些基本概念的理解和掌握,提高综合运用知识的能力。

二、多元函数微积分

多元函数微积分学中连续、偏导、微分等概念与一元函数类似,但有着实质区别,它们之间的关系比较复杂,不易掌握。

1. 偏导存在但不可微

2. 偏导存在不连续但可微

从这两个例题看出,二元函数在一点的连续,函数在这点的偏导数可能存在,也可能不存在,这和一元函数导数存在必连续不同;同样,二元函数偏导存在不能保证函数可微,但函数在一点可微,则其偏导必存在,但不一定连续。所以偏导存在是可微的必要条件,偏导存在且连续是可微的充分条件,二元函数的可微性,我们仅得到其必要条件和充分条件,没有像一元函数可导即可微那样的充要条件。

类似的例子还很多,不再一一列举。从这些例子看出,在微积分教学过程中灵活运用分段函数举例,可增强同学们对概念、定理的理解,提高解决实际问题的能力,起到事半功倍的效果。

摘要：分段函数大部分不是初等函数,在分段点处有不同于一般初等函数的分析学讨论方法 ,在微积分教学中,灵活运用分段函数举例,能加强学生对概念的理解,提高学生综合运用知识的能力。

关键词：分段函数,微积分,教学,应用举例

参考文献

[1]刘贵基,刘太琳.《微积分》(第二版)[M].北京:经济科学出版社,2013.9-289

[2]陆书环,傅海伦.《数学教学论》[M].北京:科学出版社,2004.5

[3]刘利平.《基于分段函数微积分的教学探讨》[J].教育教学论坛,2014年第2期

数学教学中的举例篇11

一、搜集案例的方法

在搜集材料方面，我认为对于一名初中历史与社会课老师来说，最重要的一点就是应当要求自己不仅要力争当一个社会科学专家，对中外地理、中外历史，以及马列主义、毛泽东思想、邓小平理论等都有较深刻的理解，而且应乐于做个杂家，对其他各个方面的知识都要懂一些。平时应当多听广播、音乐；多看电视、报纸、杂志等；多注意身旁发生的重大变化。要把那些生动有趣的故事，世人关注的新闻，以及那些发生在身边的感人事迹或变化等及时记录下来，然后根据不同的类别把它们整理好，编写到备课卡片上。这样日积月累下去，就会掌握丰富的第一手感性材料，在说明教科书上抽象的道理时，就能随时举出生动形象的例子来。

二、选取案例要注意“五性”

1.针对性

举例时必须要针对教材中所讲到的某一理论或观点来选择例子，要做到“有的放矢”。如果在上课时经常举那些与书本知识风马牛不相及的例子，不但不能把抽象理论具体化、形象化，而且会使学生听了如同丈二和尚——摸不着头脑。要达到“有的放矢”，必须要运用理论联系实际的原则，把书上所讲的理论与实际事例联系起来。比如在讲到年轻人应注意适度消费，注意培养勤俭节约的精神时，我就举了“瑞士虽富仍尚节俭”的例子。在讲到生产关系必须适合生产力的状况这一规律时，我就举了“当前我国的经济体制改革”这一例子。从这场改革的原因到改革的经过再到改革给我国带来的深刻变化，以阐述生产力与生产关系的决定作用与反作用的关系。通过这些有针对性的例子，往往能达到事半功倍之效。

2.典型性

举例应做到“少而精”，切忌“繁而多”“杂而乱”。所谓“精”就是指所举的例子要具有典型性。因为一节课的时间是有限的，只有精选几个例子才能发挥其“调味”作用。否则，必然适得其反。所以在举例时必须要从众多例子中精选出一两个学生喜闻乐见的最具代表性的例子来。比如在讲到科技的重要性时，我就举例美国好莱坞电影《阿凡达》之所以一上映就一举走红世界，这与美国的高科技拍摄技术是不可分离的这一现实有关。在讲到教育的重要性时，我则以日本作为例子来进行说明。再比如在讲到改革开放的意义时，我就向学生举例：作为沿海开放城市之一的温州在近年来所发生的巨大变化及各项成就，如旧城改建、温福高铁、洞头半岛工程、六城联创等。通过这个典型的例子，学生自然而然也就理解了改革开放给整个中国所带来的巨变，从而也就树立起了坚定改革的信念。

3.趣味性

爱因斯坦曾经说：“兴趣是最好的老师。”还有一位名人曾经说过，“课堂应是快乐的场所。”所以，根据学生“求趣”的心理特征，教师要善于处理教材，把历史与社会课中一些抽象的概念、原理同有趣味性的事例结合起来。通过形象生动的比喻，寓意深刻的典故，幽默诙谐的笑话来分析说明，达到以趣激趣的目的。比如在讲到事物具有普遍联系的性质时，有许许多多的例子，我就选择了下面这个生动有趣的例子来讲述。我举了美国北方一个小岛“引狼入岛”的例子，岛上有鹿，也有狼群，因狼吃鹿，牧民把狼杀绝。有一年冬天，一场大雪导致大批鹿冻死。原因是无狼威胁鹿种退化，体质下降。牧民省悟，重新引狼入岛，岛上出现狼鹿共居斗争的景观。整个故事学生听得津津有味，听完后大部分学生都能悟出“事物是普遍联系的”这一哲理，从而也就掌握了用全面的观点来看待问题的方法。

4.思想性

初中历史与社会课在学校德育工作中担负着特别重要的任务，因此在课堂教学中必须要渗透思想教育。而那些思想性强，富于教育意义的生动事例在渗透德育功能中往往有着异曲同工，各臻其妙的作用。所以在选择例子时应当注意其思想性。比如在讲到南京大屠杀时，我就给学生举例：《青年文摘》上的一篇文章——《例如来一次东京大屠杀，我就第一个要杀掉那老头子》。文章描述了作者——一个留日女大学生在与她的一个日本女同学的祖父——一个曾参加过南京大屠杀的老头子在相互交谈过程中，对那个日本老头子顽固不化的话而激起的愤忿不已的情感和“猛捶桌子”的惊人举动。学生听了之后，不仅激发了学习的兴趣，而且也生发了强烈的爱国主义情感，收到了良好的效果。

5.时代性

理论联系实际，是初中历史与社会课教学的根本原则和方法，也是初中历史与社会课教学生命之所在。因此，要想使课堂教学充满生气和活力，教师就得不断地注入时代活水。尤其是在举例时，就应紧密地联系教材内容，有机地讲述一些当前世界的热点和焦点问题。比如在讲到世界政治格局朝多极化方向发展时，我就举例：近几年来中俄、中美、中欧、中日及美俄、美日、美欧之间在外交上的活动及其相互的关系。在讲到贫困问题和人类生存与发展面临的各种挑战时，我就举例：“非洲大陆被遗忘了吗——挣扎中的阿非利加”“人类社会的毒瘤——毒品危机”“失业的恐怖弥漫于西方世界”等当今世界的热点问题。通过这些例子，不仅丰富了学生的课外知识，而且也大大增强了教学的时代气息。

总之，举例时就应当注意上述所讲的“五性”，只要能把上述“五性”有机地结合起来，那么你所举的例子就会有吸引力、感染力和说服力，从而使其真正发挥应有的功效。

数学教学中的举例篇12

这篇“导数问题中的难点及解决举例”教学设计是以《考试大纲》和《2012年浙江省普通高考考试说明 (理科) 》为指导思想、采用问题探究解决的教学模式进行设计的.

近几年来, 函数导数常作为高考试卷中的压轴题出现, 其解决的难度是比较大的, 难点不一而足, 涉及较多的知识点和较高的技巧, 本教学设计针对其中一些常见的困难提出解决方法和策略.

二、学情分析

高三复习进入二轮, 学生对导数的认知比较全面, 基本上能利用函数导数解决具体函数的单调性、切线、极值、最值的问题, 这是本节课的知识基础;学生有相当的一定的类比能力、逻辑推理能力、抽象思维能力、探索发现能力, 这为学生理解本课提供了智力上的准备.

教学中可能的困难和问题:

1.学生对于导数问题中含有参数的问题可能常规性的也难以解决.

2.学生对于导数问题中含有参数的问题可能掌握了一些常规方法, 但对分类讨论、构造函数求解意识或能力不够.

三、教学目标

1.理解、掌握在导数问题中遇到的几个常见难点的解决方法: (1) 二次求导. (2) 合情推理 (先猜后证) .

2.了解高等数学中的洛必达法则等.

3.领悟:在遇到难点时提高思维的灵活性;在掌握解题通法的基础上, 关注题目的“个性”.

四、重点与难点

重点是理解、掌握导数难题的几种解决方法.

难点是从猜测至证明的过程, 问题的转化过程.

本课拟采用以教师为主导、学生为主体、知识内容思维为主线的“三主教学法”, 通过启发引导, 师生共研, 问题引领, 练习巩固解决问题.

五、教学过程

教学基本流程:

解决问题, 提出问题———探究含参不等式恒成立问题———遇到难点, 解决难点———归纳小结, 练习巩固———思想指导, 系统认知.

(一) 问题引入

求出下列函数的导函数:f (x) =ex-1-x-ax2, g (x) =

并回顾:导数的作用有哪些?

答:利用导数求瞬时速度、加速度, 求切线斜率, 由导数正负来判断原函数的单调性, 求导数零点来讨论原函数的极值、最值等.

设计意图:作用有两个, 一是投石问路, 看看学生的基础, 同时唤起学生有关导数的知识;二是作为下面的问题必用的过程, 为下面的解题过程节省时间.

师生活动:学生求解, 教师提问, 视情形点拨.

(二) 问题探究

问题: (2010年课标全国卷21题 (Ⅱ) ) 设函数f (x) =ex-1-x-ax2.若当x≥0时f (x) ≥0, 求a的取值范围.

思路一利用导数求最值.

设f (x) =ex- (1+x+ax2) .要使x≥0时f (x) ≥0恒成立, 只要f (x) 的最小值≥0.欲求最值, 先求极值, 欲求极值, 先求f' (x) =0的根, 可是, 怎样解方程ex-1-2ax=0呢?

(难点之一:导数零点不可求)

设计意图:这是第一个矛盾冲突, 也是学生的知识能力增长点.若有学生已然自行求得结果, 可顺势求解.

师生活动:师生共研.

解决:深入思考———二次再求导

令h (x) =ex-1-2ax, 我们先来研究h (x) 的性质.

h' (x) =ex-2a, 注意到x≥0, 于是:

(Ⅰ) 当时, 恒有h' (x) ≥0成立, (且仅在x=0且时h' (x) =0, 不影响单调性) h (x) 单调递增, 因为h (0) =0, 所以此时恒有h (x) ≥0.于是f (x) 单调递增, 由于f (0) =0, 所以f (x) ≥0恒成立.

(Ⅱ) 当时, 令h' (x) =0得x=ln2a, 令h' (x) <0, 得到0

综上所述,

师生共同用“几何画板”进行验证.

设计意图:使学生认识通过对导函数的求导, 研究导函数的性质, 从而得到原函数的性质.

思路二分离参数.

x=0时, f (0) =0;x>0时, f (x) ≥0等价于

x2, 故只要求出函数的最小值, .有了上面的经验, 我们继续研究g' (x) 的性质, 设k (x) =xex-2ex+x+2,

当x>0时, k″ (x) ≥0, 所以k' (x) 递增, 而k' (0) =0, 因此x>0时, k' (x) >0, 故k (x) 递增, k (0) =0, 故x>0时k (x) >0, 从而g' (x) >0, 所以g (x) 在x>0时递增, 那么x→0时g (x) →什么数呢?

(难点之二:函数极限难判断)

设计意图:暴露了函数极限难求的难点.

解决: (问道高数———洛必达法则)

师生共同用“几何画板”进行验证.

设计意图:高中导数的知识毕竟占导数体系很小的一部分, 而出卷的大学老师或多或少涉及一点大学知识及思想, 让学生接触一些大学知识对学生的探究热情有所帮助.

思路三比较两个函数的大小常化二为一构造新函数, 那么, 倒过来化一个函数为两个函数考虑是否可以看出一些端倪呢?

鉴于前面两种方法的高要求和繁琐, 我们可以转化为考虑两个函数的大小问题, 猜出结果再行证明.x≥0时, f (x) =ex-1-x-ax2≥0ex-1-x≥ax2, 设g (x) =ex-1-x, h (x) =ax2, 则知g (0) =h (0) , 怎么样才能恒有g (x) ≥h (x) 呢?

(难点之三:函数大小难决断)

解决: (化一为二比速度, 合情推理先揣度)

类比联想物理中两人赛跑, 初速度一样的话, 那么加速度就成了重要的需要比较的一个量, 于是考虑g' (x) ≥h' (x) 即ex-1>2ax, 初加速度均为0, 再求导比较, 考虑g″ (x) ≥h″ (x) , 即ex≥2a, 此式子恒成立, 应有1≥2a, 于是, 我们猜想, 这就是答案.于是:

解答 (先猜后证) :要使得x≥0, ex≥1+x+ax2, a的取值范围是.

(1) 设.作函数f (x) =ex- (1+x+ax2) , f' (x) =ex- (1+2ax) , [f' (x) ]'=ex-2a≥e0-2a≥0, 故f' (x) 在[0, +∞) 是增函数.又f' (0) =0, x≥0, f' (x) ≥0 (只有在x=0时为零) , 这又表明原函数f (x) 在[0, +∞) 是增函数, 又f (0) =0, 所以x≥0, f (x) ≥0, 即ex≥1+x+ax2.

(2) 设.此时[f' (x) ]'=ex-2a在区间[0, ln (2a) ) 为负, f' (x) 在此区间递减, 但f' (0) =0, 故在区间 (0, ln (2a) ) 内f' (x) <0, 这表明原函数f (x) 在[0, ln (2a) ) 是减函数, 但f (0) =0, 所以当0

综上所述, 要使得x≥0, ex≥1+x+ax2, 当且仅当.

师生共同用“几何画板”进行验证.

设计意图:通过类比思想把高深的数学知识转化为简单的生活例子, 体现数学与生活息息相关.

参考练习:

1.若x≥0, 恒成立, a的取值范围是.由此猜想更一般的结论.

2.若x≥0时, ln (1+x) ≥x-ax2恒成立, 求a的取值范围.

答案1.

设计意图:检验教学成果、学生的掌握情况, 视学生的反应予以针对性的指导.

师生活动:学生练习, 教师巡视, 请一学生板书或口述, 师生共同订正.

(三) 归纳小结

系统认知

1.遇到导数此类难点, 解决方法有什么?