曲面构造

2024-09-29

曲面构造（精选3篇）

曲面构造篇1

摘要：根据线性微分系统和曲面构建的相关知识, 以参数化建模的思想为依托, 提出了一种新的基于点云数据的自由曲面的常微化与目标曲面整体高精度获取的方法, 重点讨论了利用一阶线性常微分方程构建曲线和曲面的过程, 并基于计算机仿真对所提出的方法进行了实验验证。实验结果表明该方法能够满足机械加工的精度要求, 提高了运算效率和拟合精度。

关键词：线性微分系统,常微分方程,CAD/CAM,龙格库塔法

0 引言

在复杂曲面高精度数控加工的过程中, 复杂曲面的构造是加工的基础。目前的设计和研究中, 除了制造工厂和设计机构以外, 很难获取加工对象的设计图纸。因此, 大多数情况下只能依据加工对象的点云数据进行曲面重构。现阶段用于构造曲面的方法主要有参数样条方法、Coons曲面、Bezier曲线曲面和B样条曲线曲面[1,2], 但在用这些方法构造曲面的过程中, 需要进行大量的多个曲面光顺和拼接工作, 而且在计算效率和参数选择上仍存在许多问题[3]。现在产品设计多采用流线型, 其表面由无数条流线构成, 流线的求解形式可以看做一般常微分方程的初值问题。因此, 常微分方程完全可以用来解决复杂曲线曲面的建模问题, 而且在建模过程中产生的流线可以直接作为数控加工中的刀具路径, 例如复杂型腔的高速铣削等。本文基于微分系统, 利用线性常微分方程和最小二乘拟合, 将微分与参数曲面的思想相结合, 完成曲线曲面的构造。

1 曲面构造方法

1.1 曲面构造方法分析

微分几何学以光滑曲线 (曲面) 作为研究对象, 所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的[4]。由于微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质, 因此可以利用微分几何进行曲线曲面的构建。给定一个微分方程, 就相当于给定一个方向场, 微分方程的解即为一条积分曲线。在曲面的加工中, 曲面的切法矢是必不可少的条件, 因此, 在用微分方程构建曲面时, 所构造的曲线即为积分曲线, 所有积分曲线的合集即为微分方程所表述的方向场所对应的曲面。

对于微分方程, 由于方程的解仅由函数的初始条件决定, 所以, 只要获取适当的初始点和对应方程, 即可拟合出整条曲线, 进而构造曲面[6,7]。

1.2 常微分曲线曲面模型

已知曲面的点云集合Xi={xi, yi, zi}, i=1, 2, …, n和切向量场V (t) , 曲面的常微分方程可以表示为

其中f (t, u) =D (u) t3+E (u) t2+F (u) t+G (u) , t∈[0, 1], u=0, 0.5, 1, …A, D, E, F, G为系数矩阵。

将式 (1) 写成一般的曲面表达形式, 得

若固定u值, 则表示曲线的常微分模型, 即

其中u0为曲线对应的指定值。

1.3 常微分曲线曲面拟合

将式 (2) 表示成线性方程组MP=V的形式, 其中:

若共有n条常微分曲线, 将矩阵M中的每一项表示为:

式 (1) 所表示的方程通解为

但是不便于直接求解。对于每条常微分曲线, 都有对应的M矩阵, 因此, 在进行曲面拟合的过程中, 用最小二乘法[10]对式 (4) 中的系数pij、qij和sij进行求解。

对于第k条常微分曲线, 有M (uk) P=Vk, 即:

表示成矩阵的形式, 得

最小二乘法的矩阵形式为

1.4 用龙格库塔法求解一阶线性微分方程组

在1.3节中, 对于B矩阵和M矩阵的求解, 这里采用在工程上最广泛应用的4阶龙格库塔法[8,9], 该方法主要在已知方程导数和初值信息的情况下, 应用于计算机仿真中, 省去求解微分方程的复杂过程。

令初值问题表述如下:

即可得到微分方程组:

在区间a≤t≤b上的数值解。

则对于该问题的4阶龙格库塔公式为:

其中:

4阶龙格库塔法是四阶方法, 也就是说每步的误差为h5阶, 而总积累误差为h4阶。

2 计算实例

采用上述方法, 以叶片截型为例, 其点云数据及拟合结果如图2所示。

为了验证本文方法的实用性, 采用最小二乘法对该截型曲线进行拟合, 并与常微分方程曲线模型进行对比, 最小二乘法和常微分方程拟合的误差分别为:σ1= (0.0788, 0.0939, 0) ;σ2= (0.0079, 0.0016, 0) 。

残差图如图3所示。

3 结语

本文在建立曲线曲面常微分方程模型时, 在传统常微分方程形式的基础上引入了调节项f (t, u) , 降低了系统的敏感度, 增加了系统的可调节性。随着数控技术的飞速发展, 越来越多的产品和设计在造型过程中采用流线型设计, 流线型可以最大限度地降低相对运动中的阻力, 使产品具有更加优越的运动性能。因此, 以流线和流体力学为依托的流曲线曲面造型成为人们研究的热点。而流曲线曲面构建的基础正是微分方程。本文通过对微分系统曲面建模的优化, 提出了一种更为快速便捷的造型方法, 为流曲线曲面的构建提供一定的参考, 其中曲面的整体构建还可以进行进一步的探讨。

参考文献

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基于投影法的过渡曲面构造方法篇2

关键词：过渡曲面,过渡组合函数,接触线,辅助面

0 引言

曲面片间的融合在产品数字化设计中的应用十分广泛, 如三维工业造型、CG动画等。在航空领域, 其最典型的应用为翼身融合技术, 使用翼身融合技术可以极大地减小阻力, 效果最明显的是干扰阻力得以减小, 同时可以扩大机体内的可用空间、改善整机的雷达反射特性等。如何构造过渡曲面成为CAD研究中的一个热点问题。

现有的过渡曲面构造方法有很多种, 较为常见的有滚珠法[1], 但使用该方法时过渡切触线不能由用户指定, 并且过渡曲面只能是弧面。Hart-mann[2]提出了用一个组合函数将两基曲面组合起来构造过渡融合曲面的方法, 该方法简单实用, 并可以达到Gn连续。宋遒志等[3-5]在此基础上提出采用基于重新参数化局部基曲面的方法构造过渡曲面, 该方法容易实施, 用户能对最终的过渡曲面形状有较好的预期和控制, 但是该方法并没有明确阐明如何确定位于基曲面上的过渡切触线, 并且这种重新参数化局部基曲面和构造过渡辅助面的方法并不适用于过渡切触线为分段曲线的情况。

本文提出了一种基于投影法构建曲面上G1连续的曲线的方法, 能够让用户方便直观地通过计算得到位于基曲面上的切触线。该方法是基于对一组曲面上的点列进行插值的方法得到的, 这些点列上每一个点都有一个确定的切矢, 用户能够直观、精确地控制切触线的位置和形状。此外, 还提出了新的构造过渡辅助面和重新参数化局部基曲面的方法, 使得当过渡切触线是分段曲线时也能使用这种构造过渡曲面的方法, 扩展了该方法的适用范围。

1 构建基曲面上G１连续的曲线

以构造翼身融合曲面的机身上过渡切触线为例, 介绍构造参数曲面上G1连续的曲线的方法和过程。如图1所示, 首先将机翼的翼型曲线型值点放大, 投影到机身曲面上, 得到点列Pi (i=0, 1, …, n) 。一般的翼型数据库中只有型值点坐标而没有该点处切矢, 所以为了方便使用, 利用三次Hermite插值样条曲线中的三切矢连续方程[6]来构造点列Pi相对应的切矢:

其中, Δi表示第i曲线的参数分割, 即对点列Pi进行参数化的参数分割, Δu:u0< u1<…

补充首末两个端点的切矢T0、Tn, 即可根据三切矢方程解得Pi上每一点的辅助切矢Ti*。此时得到的辅助切矢Ti*并不在机身曲面上, 要将其投影到机身曲面上才能够进行下一步的操作与运算, 即

这样就得到了一组机身曲面上的与点列Pi相对应的单位切矢Ti。当然用户也可以自行指定点列和切矢。然后用弗格森三次样条曲线的方法在点列的两点之间构造一个空间的三维曲线Ci, 最后将Ci依次连接起来, 得到曲线C。用曲线C和机身曲面的法线构造一个向量场, 将曲线C沿着向量场投射到曲面上去[7]。由于本文介绍的构造曲面上曲线的方法是分段插值的方法, 所以只讨论用两个相邻点来构造这样的插值曲线。为了方便叙述, 如图1所示, 取Pi、Pi+1及其对应的单位切矢Ti、Ti+1来进行表述。设Pi、Pi+1点处的曲面法向量为Ni、Ni+1。设Pi、Pi+1为两个以下意义上的临近的点, 即Ni、Ni+1之间的夹角应小于180°。则有

其中, λi1、λi2为正实数, 分别表示Pi、Pi+1点处的切矢长度, 也是控制曲线形状的一个因子。将Hermite基函数F0 (s) 、F1 (s) 、G0 (s) 、G1 (s) 与式 (1) 联立, 可得

令Qi=Pi+miNi, Qi+1=Pi+1+miNi+1, 其中, mi为实数, 可使直线段QiQi+1与曲线段Ci (s (t) ) 不相交, 直线段QiQi+1可表示为

则可以定义一个向量场:

将Li，i+1 (t) 沿着向量场Ai，i+1 (t) 对曲面S进行投影, 为了简便起见, 下文将曲线和向量场的下标去掉, 设P (t) 为投影曲线, 则投影可表示为

( (L (t) -P (t) ) ×A (t) =0 (2)

事实上, 笔者是想将曲线C (t) 投影到曲面S中去, 可以假想C (t) 为该曲线上的一点, C (t) 投影到曲面S上的投影点为P (t) , C (t) 与P (t) 的连线会与向量场在该处的向量A (t) 平行。那么曲线上的C (t) 点的运动会使得P (t) 也做连续的运动, 因此投影曲线P (t) 与C (t) 有同样的参数, 并且是连续的。将直线段L (t) 沿着向量场A (t) 投影到曲面S上, 可用直线段L (t) 来进行投影曲线P (t) 的计算。

参数曲面S (u, v) 上的曲线可表示为

P (t) =S (u (t) , v (t) ) t∈ [a, b] (3)

将P (t) 对t进行求导, 可得

将式 (2) 对t进行求导, 并联立式 (4) , 可得

对上式的等式两边分别与向量Su、Sv作点积, 并设

对于投影曲线, 最终可得

为了使式 (6) 能有唯一解, 必须加上如下初始条件:

采用数值积分的方法, 可以由式 (6) 和式 (7) 解得这条投影曲线Pi (t) 。令i=0, 1, …, n-1, 可得到所有的曲面曲线段Pi (t) , 最后将这些曲线段Pi (t) 作并集, 就可以得到位于机身上的过渡曲面的过渡切触线P (t) :

式 (8) 表示程序曲线, 即由微分方程解出的一些离散点, 在下文中, 需要使该曲线为标准形式, 如B-样条或NURBS形式。本文利用立方B-样条插值上述离散点, 从而得到一个逼近投射曲线 (程序曲线表达) 的B-样条曲线。例如, 采用Wolter等[8]或Qu等[9]给出的方法可以获得很高的逼近精度 (一般情况下精度可达10-8以上) 。

采用上述方法可以得到机翼和机身上所有的过渡切触线, 如图2所示。

2 构造过渡曲面

2.1过渡曲面构造方法概述

在两Cn连续的基曲面Φ1 (s, t) 、Φ2 (s, t) (s∈[s1, s2], t∈ [0, 1]) 间采用组合函数的方法构造过渡曲面:

其中, f (t) 为组合函数, μ为平衡因子, n为连续阶数, λ为调配因子。过渡曲面的形状可通过改变μ、λ来调整。

当过渡切触线为两基曲面S1 (u, v) 和S2 (u, v) (u∈ [u1, u2], v∈ [v1, v2]) 上任意曲线时, 则采用重新参数化局部基曲面的方法来构造过渡曲面, 即先对两基曲面上过渡切触线附近区域进行重新参数化, 得到两重新参数化局部基曲面B1 (s, t) 、B2 (s, t) (s∈ [u1, u2], t∈ [v1, v2]) , 再由设计人员根据需要设计一个过渡辅助面, 让该辅助面先后分别于重新参数化的局部基曲面B1 (s, t) 、B2 (s, t) 用上述组合函数进行计算, 并取参数为n=2, μ=0.9, λ1=0.9, λ2=0, 则最终生成的过渡曲面将会与辅助面的形状十分相近, 使得设计人员可以较好地、直观方便地控制过渡曲面的形状。但宋遒志等[5]提出的构造过渡辅助面及重新参数化局部基曲面的方法在过渡切触线为分段曲线时, 将会使最终构造的过渡曲面在分段处不连续, 效果不理想, 所以本文提出了新的构造过渡辅助面及重新参数化局部基曲面的方法。

2.2 过渡曲面的构造

首先由设计人员根据需要设计一个过渡辅助面。构造时需要满足以下条件:①该辅助面的边界就是过渡曲面的过渡切触线;②辅助面的形状可以修改, 以符合设计人员的要求;③在过渡切触线为分段曲线的情况下最终能构造出理想的过渡面, 即过渡辅助面在分段点处也是连续的。

然后构造过渡辅助面, 如图3所示。图3中, S1 (u, v) 、S2 (u, v) 为两基曲面, 曲线P1P2、Q1Q2分别为基曲面上的两条过渡切触线, 分别用C1 (s) 、C2 (s) (s∈ [0, 1]) 来代表两条切触线。P3是当曲线C1上的参数为s0时的点, Q3是当曲线C2上的参数为s0时的点, n1为基曲面S1上在点P3处的单位法向量, n2为基曲面S2上在点Q3处的单位法向量, T2为Q1Q2在Q3点处的切矢。

将n1从点P3移动到点Q3, 得到向量n3, 由n2、n3可以得到一个平面T, 将T2投影到平面T上并单位化后可得向量V2:

如果T2与平面T垂直, 则V2可由T2与n2叉乘并单位化后得到:

同理, 可在基曲面S1上得到向量V1, 由端点P3、Q3及向量V1、V2构造曲线B (t) 。将参数s从0变化到1即可在空间由曲线B (t) 得到一个曲面S3 (s, t) , 这个曲面就是所构造的过渡辅助面, 这样得到的过渡辅助面扭曲较小, 形状比较规则。S3 (s, t) 可表示为

其中, F0 (t) 、F1 (t) 、G0 (t) 、G1 (t) 为Hermite基函数, k1、k2为正实数, 可以进行修改以符合设计要求。图4所示为用上述方法所构造的过渡辅助面。

2.3 重新参数化局部基曲面的构造

重新参数化局部基曲面的构造方法应符合以下两个条件:①局部基曲面的边界为过渡曲面的过渡切触线;②在过渡切触线的分段点处, 局部基曲面在这个点进行拼接时, 拼接的曲线也应该是平滑的。下面介绍一种比较平滑、效果比较好的重新参数化局部基曲面的构造方法。如图5所示, e1 (w) 为在点Q1处的平面T与基曲面S2 (u, v) 的交线在S2的参数域所对应的曲线, 同样在点Q2处可以得到相应的曲线e2 (w) , 曲线q1q2 (t) 为过渡切触线Q1Q2在参数域所对应的曲线, 将e1 (w) 在点q1处的切线延长, 与e2 (w) 在点q2处的切线延长线相交于点q5, 以点q5为中心, 将曲线q1q2等比例缩小可以得到曲线q3q4 (t) , 以及重新参数化的局部基曲面B2 (s, t) :

同理, 可确定在基曲面S1 (u, v) 上的重新参数化局部基曲面B1 (s, t) , 如图6所示。将重新参数化的局部基曲面B1 (s, t) 先与过渡辅助面S3 (s, t) 按照如下线性组合公式进行计算得到曲面B3 (s, t) :

B3 (s, t) =f (t) S3 (s, p1 (t) ) + (1-f (t) ) B1 (s, p2 (t) )

将B3 (s, t) 进行重新参数化, 令t=1-t1, 再将B3 (s, t) 与重新参数化的局部基曲面B2 (s, t1) 进行组合, 即可计算得到图7所示的最终的过渡曲面B4 (s, t1) :

3 结语

本文在采用组合函数法构造过渡曲面的方法的基础上, 提出了一种在基曲面上构造G1连续的过渡切触线的方法。该方法方便直观, 能让设计人员根据需要和要求精准地控制过渡切触线的位置, 并以此为边界构造过渡曲面。此外, 还提出了新的构造过渡辅助面和重新参数化局部基曲面的方法, 使其在过渡切触线是分段曲线的情况下也能得到应用。将该方法应用于翼身融合面的构造中, 经实例验证该方法是可行的, 效果令人满意。

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曲面构造篇3

对于曲面积分的计算, 方法有很多种, 我们可以根据不同的情况, 选择相应的方法.有时, 我们也会遇到一些情况, 常用的方法都不能解决.这时就需要用到本文所探讨的方法处理这些特殊问题.

为研究需要, 首先给出相关概念.

1.1第二类曲面积分的定义

记定向的光滑曲面为S, S上的每一点指定了单位法向量.如果函数是定义在S上的向量值函数, 则称

为函数f在S上的第二类曲面积分[1].

1.2第二类曲面积分的计算

这里介绍几种常用的计算方法.

(1) 利用对称性质计算[3].

如果曲面S可分为对称区域S1, S2, 且S=S1+S2, 则对称点上积分的绝对值相等.如

对于积分也有类似结论.

(2) 用Gauss公式计算.

设为分片光滑的双侧封闭曲面, 空间区域V是R3上由S围城的单连通区域, 如果函数P (x, y, z) , Q (x, y, z) , R (x, y, z) 在V上连续, 且有一阶连续偏导数, 则

其中S取外侧.

上述第二类曲面积分的计算方法确实给我们带来很大的方便, 但是也有局限性, 例如当遇到曲面积分不满足Gauss公式的条件 (如不连续的封闭区域或者连续的不封闭区域) 时, 我们就不能直接使用Gauss公式.而Gauss公式又是一个非常简单有效的方法, 因此如何将不满足Gauss公式的条件转化为满足Gauss公式条件便成为关键, 这就涉及了封闭连续区域的构造, 也是下面所要研究的主要问题.

2.封闭连续区域的构造

2.1Gauss公式的几点说明

(1) Gauss公式可以推广到具有有限个“洞”的二维复连通区域[7]上.这时区域内部的边界取内侧, 外部的边界取外侧.但对于整个复连通区域而言, 它们实际上都是取的外侧.

(2) Gauss公式可视为Green公式的推广[8], 这说明了在空间区域Ω上的三重积分与沿其边界坠Ω的曲面积分之间的内在关系.

(3) Gauss公式的应用:与Green公式一样Gauss公式的一个直接应用就是用区域Ω的曲面积分来计算Ω的体积.

2.2封闭区域的构造

对于沿连续的非封闭曲面的积分, 我们可适当补充相应侧的曲面, 与原积分曲面构成封闭曲面.我们通过例子说明在这种情况下, 如何进行计算.

例1.计算, 其中S为x2+y2=1, 被z=0, z=3截的部分, 方向取外侧.

解:补充圆柱体x2+y2≤1与z=0, z=3的交面分别为S1, S2, 其中S1取下侧, S2取上侧.

记P=x, Q=y, R=z由Gauss公式得:

∵S1⊥xy平面, yz平面;S2⊥xy平面, yz平面

2.3连续区域的构造