多元表征（精选5篇）
多元表征 篇1
当前,我们数学教师面临的一个重要任务是培养学生的数学核心素养。郑毓信老师认为:如果说“数学地看待世界、解决问题”即可被看成数学素养的显性表现,那么我们应当通过数学教学帮助学生学会思维,也即能够逐步学会想得更清晰、更全面、更深刻、更合理。尔文研究指出:学习数学多元表征可以帮助学习者进行表征间的联系与转变,拓广和加深数学理解,有助于发展更完善的数学结构。在此,多元表征无疑会成为学生学会思维的重要脚手架,成为提升学生数学素养的重要途径。
在教学苏教版五年级的小数乘除法计算时,我们就充分地利用标注、口语表述、书面表达等多元表征帮助学生理解算理、掌握算法,从而有效地提高了学生的计算能力、推理能力、表达能力,提升了学生的思维品质和数学素养。
一、在多元表征中统一小数乘法的算理,明确相应的算法
新版的苏教版教材五年级上册安排了小数四则运算的教学。与之前不同的是,教材将“小数乘整数”与“小数乘小数”的算理设计成两个不同的解释系统,前者用小数的意义来说明,后者用乘数与积的变化规律来说明。如:0.8×3,教材解释为“8个十分之一乘3,得24个十分之一,是2.4”;而0.8×0.3,则解释为“将乘数分别乘10得到8×3是24,由于乘数分别乘10积就扩大100倍,所以要求原来的积就要除以100,是0.24。”
为了凸显转化的思想、建立统一的算理解释系统,我们决定将小数乘整数与小数乘小数的算理都归结为积的变化规律,并借助符号标注与言语表述,使学生对小数乘法的算理、算法、计算注意点等有了全面、系统、清晰的认识。
如:
以上竖式旁的标注就是算理的最简洁表征,即:一个乘数不变,另一个乘数扩大100倍,积也被扩大100倍,要求原来的积就要缩小100倍;一个乘数扩大100倍,另一个乘数扩大10倍,积就被扩大了1000倍,要求原来的积就要缩小1000倍。
以上的算法都是将小数乘法先看成整数乘法来计算,再根据乘数与积的变化规律推算出小数乘法的结果。这不仅凸显了将小数乘法转化为整数乘法来计算的转化思想,也解释了为什么列竖式时要将乘数的末位对齐,因为将乘数都看成了整数!同时,我还一起总结了一些计算技巧,如:先不看点,最后点点;列竖式时,末位对齐,0往后移,数位多的乘数写上面;计算小数乘整十、整百数,算结果时先添0、再点小数点,最后化简。
实践中我发现,如果过早地概括算法而将算理一带而过,部分学生势必陷入死记算法或机械模仿的低级学习状态,从而严重影响计算技能的掌握和数学思维能力的提升。所以,在开始学小数乘法时,关键是让学生像上面那样标注出点积的小数点的算理,同时要多指导列竖式的技巧;等计算技能基本形成,再引导学生总结出小数乘法的统一算法,即:先按整数乘法算出积,再看乘数中一共有几位小数,就从积的右边数出几位点上小数点,从而将学生的认知水平从感性经验层面提升到理性思辨层面,培养学生的抽象概括能力,渗透数学建模思想和转化思想。
二、在多元表征中梳理小数除法的计算流程,让思维更加清晰有序
小数除法分两大类,一类是除数为整数的小数除法,计算时商的小数点和被除数的小数点对齐;一类是除数为小数的小数除法,计算时先利用商不变的性质转化为除数是整数的除法再计算。后者是教学中的一大难点。为此,我们借助画弧线和点小数点等视觉化表征以及口头描述和书面总结等言语化表征,引导学生利用商不变的性质,有理有序地表述商的小数点的处理缘由、步骤、技巧,很好地突破了学习难点,提升了综合运用旧识解决新问题的能力,实现了数学感性思维与理性思维的高度融合。
如教学7.98÷4.2,我们引导学生通过3步流程,易如反掌地处理了除数、被除数、商的小数点的移动或定位问题,具体如下:
左边竖式中的2条弧线和新增的3个小数点清晰地表征了处理小数点的过程。处理小数点的同时,引导学生表述处理的过程:(1)除数是小数,先将除数的小数点向右移动一位,使它变为整数;(2)要使商不变,被除数的小数点也要向右移动一位;(3)商的小数点和被除数移动后的小数点对齐。这里最容易错的和最难理解的就是第3步,商的小数点跟被除数移动后的小数点对齐。因此,教师要在此处追问:7.98÷4.2可以转化为多少除以多少来计算?为什么商的小数点只能跟被除数移动后的小数点对齐?通过观察、思考、交流让学生明确:7.98÷4.2可以转化为79.8÷42而商不变,因为79.8÷42中除数是整数,商的小数点直接跟被除数的小数点对齐,所以在7.98÷4.2的竖式中,商的小数点只能跟被除数移动后的小数点对齐。
将小数点的处理流程表征得一清二楚,除数是小数的除法这一学习难点也就不攻自破了。此外,除了让学生借助符号和口头表述表征处理小数点的流程外,还要让学生将小数除法中处理商的小数点的2种情况在对比辨析中整理在数学笔记本上,形成清晰的书面表达,从而培养学生的概括能力和有序思考能力。具体内容如下:(1)除数是整数,商的小数点和被除数的小数点对齐;(2)除数是小数,先将除数的小数点向右移动几位,使它变为整数;要使商不变,被除数的小数点也要向右移动相同的位数;商的小数点和被除数移动后的小数点对齐。
借助以上的标注、口头表述、书面总结等多元表征,学生们不仅能正确、快速地计算小数除法,还实现了如下“五个数学”教育目标:(1)学会认识数学的价值;(2)对自己的数学能力具有信心;(3)具有数学地解决问题的能力;(4)学会数学地交流;(5)学会数学地推理。”真所谓一石多鸟!
三、在多元表征中明晰小数乘除法内在的变化规律,提升灵活运用规律的实践能力
学生在学习整数乘除法时就掌握了积与商的一些变化规律,如:一个乘数不变,另一个乘数变大(小),积也变大(小);被除数不变,除数变大(小),商反而变小(大)。到了小数乘除法中,学生发现这一规律仍是适用的。不仅如此,我们还引导学生在多维的思维活动中发现了小数乘除法计算所特有的规律。具体过程如下:
先让学生在算中比(7.8×1○7.8 7.8×10○7.87.8×0.1○7.8),之后在观察、对比、标注与归纳中得出更具体的规律,即:乘数等于1,积等于另一个乘数;乘数大于1,积大于另一个乘数;乘数小于1,积小于另一个乘数。标注过程如下:
之后再让学生比较另一组题(7.8÷1○7.87.8÷0.1○7.8 7.8÷10○7.8),并放手让学生在独立的观察、标注、归纳等活动中发现相应的规律,即:除数等于1,商等于被除数;除数小于1,商大于被除数;除数大于1,商小于被除数。标注过程如下:
最后,再将这两组规律对比求同,引导学生发现,快速判断积或商大小的关键是找乘数或除数与1的大小关系。在乘法中,当一个乘数不变,另一个乘数与积的变化方向是相同的,在除法中,当被除数不变时,除数与商的变化方向是相反的。
借助实例与标注,学生发现以上的规律是容易的,但要真正内化和灵活运用以上较抽象的规律,还真有一定的难度。怎么办?我们的解决路径是标注、口述与写思路。以下是部分学生运用规律比大小的解答过程:
评析:以上2位孩子的填空结果都是对的,但解题思路要么不知所云,要么表述不完整。由此提醒我们教者,让学生用精准的语言有理有据地思考数学问题是多么重要,只重视解题结果与浮于直觉层面的解题不利于学生理性思维的发展和数学表达能力的提升。
评析:由以上过程可知,看答题结果并不能真正了解学生是否内化运算规律,只有让学生将思路写下来,才知道孩子的思维离知识内核还有多远的距离。上面这个学生显然对乘法算式各部分的名称还未真正掌握,数学语言的表达不够精准,需要提升数学表征与数学交流的能力。
评析:这位孩子巧妙地借助整数1,通过分别添上“×1”和“÷1”,将新问题转化为了老问题,通过“乘数越小积越小”“除数越小商越大”来比大小。不过,他写的第一句话中,将“积越小”写成了“商越小”。
评析:这位孩子完全借助符号标注来表达自己的思路,他的思路跟图3中表达的思路是一样的。
评析:这位孩子的解答过程完全正确。在五年级下学期的开学第一天,我故意让学生练习了这道五上的数学题,结果全班50人中有45人能达到这个思维水平。
波利亚曾说:“抽象的道理是重要的,但要用一切办法使它们看得见、摸得着。”“从简单的做起。”所以,唤醒学生已有的认知经验,借助逐步抽象化的符号表征与言语表征,让学生主动地发现和运用小数乘除法的运算规律,是帮助学生克服以上学习难点的关键。
四、在多元表征中实现乘法分配律的推广运用,提升学生的类推能力和符号化思维水平
为了促进学生的多角度理解,许多学者都建议,首先在课程建设与教材编写时,就应该提供多元的表征。借助多元表征探究乘法分配律就是一个实例。乘法分配律在整数范围内的运用本身就是个难点,推广到小数范围内,难度可想而知。不过,借助画线、写思路、说顺口溜、合情推理等,学习难点不攻自破。
然后在变式中让学生继续借助多元表征解决更复杂的简算题,如:
口答:“乘减乘”改为“乘差”
以上的第2题有一定的难度。不过,借助符号标注,将等积变形的思维过程表达得一清二楚,进而顺利找到相同乘数,将乘减乘的运算改为乘差的运算,达到简算的目的。
借助简洁直白的口语符号与书写符号,学生能直接对数学符号进行思维操作,从而有效地提升了学生的符号操作技能和抽象思维水平,培养了数学合情推理能力。
唐剑岚教授认为,“基于数学多元表征学习,学习者不仅学到的是一种学习内容或方法,更为深层的学习意义是,从学习多元表征,到用多元表征学习,再到会多元表征学习,学习者整体的数学素养将会得到充分发展和提升。”为了更好地提升学生的数学核心素养,让我们来积极地引导学生进行数学多元表征学习,使他们尽快成为数学思维的高手,成为数学学习的成功者和创造者。
参考文献
[1]贾冠杰.英语教学基础理论[M].上海:上海外语教育出版社,2010,25.[2]杰克·霍吉.习惯的力量[M].北京:当代中国出版社,2004,10.[3]孙勇.高中英语纠错本使用现状调查及对策研究[J].中学教师,2014(5):11~12.[4]王蔷,程晓棠.英语教学法教程[M].北京:高等教育出版社,2000,70.[5]肖礼全.英语教学方法论[M].北京:外语教学与研究出版社,2006,49、57.[6]尹刚,陈静波.给英语教师的101条建议[M].南京:南京师范大学出版社,2013,336.如:以上竖式旁的标注就是算理的最简洁表征,即:一个乘数不变,另一个乘数扩大100倍,积也被扩大100倍,要求原来的积就要缩小100倍;一个乘数扩大100倍,另一个乘数扩大10倍,积就被扩大了1000倍,要求原来的积就要缩小1000倍。以上的算法都是将小数乘法先看成整数乘法来计算,再根据乘数与积的变化规律推算出小数乘法的结果。这不仅凸显了将小数乘法转化为整数乘法来计算的转化思想,也解释了为什么列竖式时要将乘数的末位对齐,因为将乘数都看成了整数!同时,我还一起总结了一些计算技巧,如:先不看点,最后点点;列竖式时,末位对齐,0往后移,数位多的乘数写上面;计算小数乘整十、整百数,算结果时先添0、再点小数点,最后化简。实践中我发现,如果过早地概括算法而将算理一带而过,部分学生势必陷入死记算法或机械模仿的低级学习状态,从而严重影响计算技能的掌握和数学思维能力的提升。所以,在开始学小数乘法时,关键是让学生像上面那样标注出点积的小数点的算理,同时要多指导列竖式的技巧;等计算技能基本形成,再引导学生总结出小数乘法的统一算法,即:先按整数乘法算出积,再看乘数中一共有几位小数,就从积的右边数出几位点上小数点,从而将学生的认知水平从感性经验层面提升到理性思辨层面,培养学生的抽象概括能力,渗透数学建模思想和转化思想。二、在多元表征中梳理小数除法的计算流程,让思维更加清晰有序小数除法分两大类,一类是除数为整数的小数除法,计算时商的小数点和被除数的小数点对齐;一类是除数为小数的小数除法,计算时先利用商不变的性质转化为除数是整数的除法再计算。后者是教学中的一大难点。为此,我们借助画弧线和点小数点等视觉化表征以及口头描述和书面总结等言语化表征,引导学生利用商不变的性质,有理有序地表述商的小数点的处理缘由、步骤、技巧,很好地突破了学习难点,提升了综合运用旧识解决新问题的能力,实现了数学感性思维与理性思维的高度融合。如教学7.98÷4.2,我们引导学生通过3步流程,易如反掌地处理了除数、被除数、商的小数点的移动或定位问题,具体如下:实现了如下“五个数学”教育目标:(1)学会认识数学的价值;(2)对自己的数学能力具有信心;(3)具有数学地解决问题的能力;(4)学会数学地交流;(5)学会数学地推理。”真所谓一石多鸟!三、在多元表征中明晰小数乘除法内在的变化规律,提升灵活运用规律的实践能力学生在学习整数乘除法时就掌握了积与商的一些变化规律,如:一个乘数不变,另一个乘数变大(小),积也变大(小);被除数不变,除数变大(小),商反而变小(大)。到了小数乘除法中,学生发现这一规律仍是适用的。不仅如此,我们还引导学生在多维的思维活动中发现了小数乘除法计算所特有的规律。具体过程如下:先让学生在算中比(7.8×1○7.8 7.8×10○7.87.8×0.1○7.8),之后在观察、对比、标注与归纳中得出更具体的规律,即:乘数等于1,积等于另一个乘数;乘数大于1,积大于另一个乘数;乘数小于1,积小于另一个乘数。标注过程如下:
多元表征 篇2
关键词：纳米颗粒；超声反应；电催化
中图分类号： TB383 文献标识码： A 文章编号： 1673-1069（2016）36-193-2
1 概述
含有过渡金属和贵金属的双金属合金或核-壳结构纳米颗粒在各种领域中具有光明的前景，例如用于燃料电池的电催化[1]和磁性材料[2]。目前制备双金属纳米颗粒的技术均有其缺点。如制备核-壳结构纳米颗粒的多步法过程过于复杂、制备时的强还原剂所要求的反应条件十分苛刻等缺点[3]。
目前用以替换电极中的昂贵铂金属的钯基纳米颗粒的研究已有很多，如Pd4Co[4]。理论研究表明核-壳结构纳米颗粒较大的应变表明它们比合金纳米颗粒具有更大的催化活性。然而，所有表征合成纳米颗粒的工作只研究了核-壳结构纳米颗粒和合金纳米颗粒中的一种，很少有研究人员对两者之间进行直接对比。
超声方法现已用于生产各种纳米颗粒，包括双金属纳米颗粒[5]。因此，本文对碳载Pd-Co合金和核-壳结构纳米颗粒（表示为Pd4Co/C（AL）和Pd4Co/C（CS））进行了合成和表征，开发了用于合成的新型超声辅助多元醇方法。
2 实验
2.1 催化剂的制备
通过超声辅助多元醇方法合成具有不同表面组成（Co核、Pd壳和Pd-Co合金）的碳载PdxCo纳米颗粒。Pd壳纳米颗粒合成方法如下：首先将乙酰丙酮钴分散在乙二醇中，在用氩气预吹30分钟，然后在氩气中用高强度超声波探头（30%振幅，20kHz，13mm固体探针）工作30分钟以制备钴晶种。随后将乙酰丙酮钯和石墨加入到上述混合物中并连续超声150分钟。将所得的深色浆液通过尼龙膜过滤，用乙醇反复洗涤，并在室温下真空干燥12小时。
除了将乙酰丙酮钴、乙酰丙酮钯和石墨同时加入溶液中，Pd-Co合金纳米颗粒也使用类似的方法制备。这两组材料分别表示为PdxCo/C（CS）和PdxCo/C（AL）。将碳载体在氩气中，通过超声辐射乙酰丙酮钴和乙酰丙酮钯的乙二醇溶液来实现合成。通过使钴试剂首先反应以形成钴晶种，随后在超声条件下添加钯试剂合成Pd4Co/C（CS）纳米颗粒。Pd4Co/C（AL）纳米颗粒也是钴和钯试剂同时在超声波条件下反应合成的，在这两种合成情况下，它们反应条件相同。在这一过程碳载钯Pd/C纳米颗粒是在没有钴试剂的情况下以类似的方法制备的。同时乙二醇是在这些合成中使用的唯一添加剂。
2.2 表征
通过在300kV下操作的X射线衍射和高分辨率透射电子显微镜对样品进行表征，用能量色散X射线光谱结合场发射扫描电子显微镜确定样品元素成分。通过分析每个样品以获得其平均组成。在扫描透射电子显微镜模式下，通过附着在场发射透射电子显微镜上的能量色散X射线光谱记录单个纳米颗粒的元素组成，并进行电子能量损失光谱分析。
3 结果与讨论
图1显示了合成材料的X射线衍射图谱。通过方程可计算得到各纳米颗粒的平均粒径：Pd/C为6.1nm，Pd4Co/C（CS）为6.3nm，Pd4Co/C（AL）为7.3nm。X射线衍射图案的索引为面心立方晶胞，其中对于Pd/C具有a=3.96？魡，对于Pd4Co/C（CS）具有a=3.90？魡，对于Pd4Co/C（AL）具有a=3.88？魡。Pd/C纳米颗粒的晶格参数略大于纯Pd纳米颗粒（3.91？魡），Pd4Co纳米颗粒显示出比Pd纳米颗粒更小的晶格参数，这是由于在Pd纳米颗粒晶格中引入了较小的钴原子。X射线衍射图谱显示，Pd4Co/C（CS）纳米颗粒比Pd4Co/C（AL）纳米颗粒具有更大的晶格参数，而它们的组成却相同，究其原因在于二者元素分布的差异造成的。
图1 Pd/C，Pd4Co/C（CS）和Pd4Co/C（AL）的X射线衍射图谱。垂直红色和蓝色线分别表示面心立方结构中的Co（JCPDS，15-0806）和Pd（JCPDS，87-0641）的衍射峰。
Pd4Co纳米颗粒通过透射电子显微镜和电子能量损失光谱结合扫描透射式电子显微镜进行研究。铂纳米颗粒的高倍透射电子显微镜图像（图2（a））显示了其具有（111）和（200）晶面的晶格条纹的多晶性质。由图可以看出，所有三角形纳米颗粒都是单晶的，因为其三角形面是（111）面（图2（b）和2（d））。球形纳米颗粒显示单晶性（图2（c）和2（e））和多晶性（图2（f））。因此，两种Pd4Co/C纳米颗粒样品中（111）面所占据的部分均比Pd/C纳米颗粒中（111）面所占据的部分大。钴的引入可能降低了纳米颗粒的表面能，导致产出比纯钯中更大的微晶，但这并不表明不同形状的纳米颗粒是由不同元素组成的。使用电子能量损失光谱分析来查看Pd4Co/C（CS）纳米颗粒的核壳结构，虽然电子能量损失光谱信号非常弱，但由于记录了其能量损失，它具有比能量色散X射线光谱更高的空间分辨率。Pd4Co/C（CS）纳米颗粒的核壳结构通过电子能量损失光谱测量单个纳米颗粒的边缘和中心（图2（g））验证，图像中心显示钴和钯，边缘仅显示钯。
4 结论
通过超声辅助方法合成了碳载双金属纳米颗粒PdxCo。该方法不需要添加任何稳定剂来控制颗粒尺寸。它能够合成合金或核-壳结构纳米颗粒，进而能够实现对这两种纳米颗粒的直接对比。本文对纳米颗粒进行表征，并对这两种纳米颗粒的直接对比。
参 考 文 献
[1] 朱昱，周燕琴，魏金栋，等.直接乙醇燃料电池电催化剂研究进展[J].现代化工，2016（4）：18-22.
[2] 唐水花，孙公权，齐静，等.新型碳材料作为直接醇类燃料电池催化剂载体的评述[J].催化学报，2010，31（1）：12-17.
[3] 吴国杰.镍、钯催化的碳磷及碳碳键构建研究[D].东北师范大学，2015.
[4] Liu H， Manthiram A. Controlled synthesis and characteriza-tion of carbon-supported Pd4Co nanoalloy electrocatalysts for oxygen reduction reaction in fuel cells[J]. Energy & Environmental Science，2008，2（1）：124-132.
多元表征 篇3
人教版义务教育课程标准实验教科书五年级下册第二单元“因数和倍数”中, 在总结了2的倍数的特征的基础上, 介绍了偶数与奇数的概念。只在练习三中, 以星号题 (第十三题) 的形式呈现, 让学生结合具体的数来理解奇数和偶数的性质。
“数的奇偶性”一课以探索两数之和的奇偶性为例, 让学生在探究过程中获得数学活动的经验, 丰富解决问题的策略。如何实施教学, 落实并检测教学目标呢?笔者尝试解决问题与数学建模活动有效结合。
一是用算式表征数学问题。“奇数与偶数的和是奇数还是偶数?奇数与奇数的和是奇数还是偶数?偶数与偶数的和呢?”该例题属于“解决问题”, 学生首先要阅读并理解题意。小学高年级学生已具有一定的学习经验, 可将题意转化为三组算式:
学生有意识地用算式表征问题, 这是数学建模的起点。问题简洁明了, 学习目标明确, 有利于自主探索。
二是多种方法获取模型。解决问题的中心环节是分析与解答, 即怎样研究。这也是数学建模的重要环节。传统教学数的奇偶性, 只采用举例法, 属于不完全归纳法。在实践中发现, 学生在举例时清楚数的奇偶性, 但在应用时, 较多学生凭猜测或死记硬背, 错误率较高。如何让学生正确理解数的奇偶性, 并能熟练灵活应用, 需要多种方法结合获取结论, 掌握科学的学习方法。
课前有孕伏。奇数、偶数概念产生后, 教师有意识地为“数的奇偶性”教学做了两次孕伏。奇数、偶数概念的产生以2的倍数特征为基础, 学生生活经验丰富, 对奇数、偶数不陌生, 并得出规律:奇数除以2余数是1, 偶数除以2余数是0。这一知识为用语言解释数的奇偶性做了第一次孕伏。在学生认识奇数和偶数后, 引导其动手操作, 用1个小正方形表示1, 一个接一个摆成两行。在不断的操作中, 学生发现:偶数个小正方形总能摆成一个长方形, 而奇数个小正方形总缺1个 (也可以说多1个) 。这一发现为以形助数获取数的奇偶性做了第二次孕伏。
课中有体现。课前孕伏, 事半功倍。“你准备怎么研究?除了举例, 还有其他的方法吗?”激起学生的研究兴趣。学生首选方法是举例验证, 接着是画图和用语言描述。笔者收集了课堂上学生的作品, 学生介绍了每种方法的好处:举例, 采用小数字, 易发现规律;画图, 数形结合, 形的直观帮助理解抽象的数的奇偶性;语言描述, 两个加数分别除以2有无余数, 决定了和有无余数, 即奇数还是偶数。举例、图示、说理, 三种方法结合使用, 得出结论:奇数+偶数=奇数、奇数+奇数=偶数、偶数+偶数=偶数, 提高了数的奇偶性的可靠性, 增强了学生对结论的理解。学生自主探索, 通过观察、分析、抽象、概括等数学活动, 完成了模式抽象, 得到数的奇偶性模型。
三是多维度验证模型。得到模型, 要通过模型去求出结果并讨论结果的意义。即获得结论, 需要验证。
举例验证。在获取结论时学生往往采用小数字例子, 便于得出规律。在验证时, 往往会用大数字例子检验。如教材中的534+319=853, 用上述获得的结论解释应得到奇数, 算出得数也是奇数, 结论与检验结果吻合。
联想验证。从一年级上册起, 学生就在接触加减法四式练习, 高年级学生已学会用加减法的关系解释简单的数学问题。若“奇数+偶数=奇数”是对的, 那么“奇数-奇数=偶数, 奇数-偶数=奇数”一定成立。学生只要用举例、图示或说理等方法去验证“奇数-奇数=偶数, 奇数-偶数=奇数”是否正确。同理, 奇数+奇数=偶数, 偶数+偶数=偶数, 可以去验证“偶数-奇数=奇数, 偶数-偶数=偶数”。不仅验证了和的奇偶性, 又获得了差的奇偶性结论。
四是应用模型体现价值。用模型解决所有这类问题, 体现模型价值。建立数的奇偶性模型, 通过不同层次的练习来加强理解。
1.基本练习促巩固。在以往的教学中, 对奇偶性的教学比较单一, 只用举例。学生在判断奇偶性时盲目性较大, 错误率高。现在学生解决类似的题目, 方法多样。作业反馈时, 正确率位94%。在访谈中问学生是怎样想的, 较多人回答用图示和说理, 图示的直观性、余数的判断更有效, 并且判断后再用数字验证是否正确。
2.变式练习用迁移。教材16页第4题, 奇数与奇数的积是奇数还是偶数?奇数与偶数的积是奇数还是偶数?偶数与偶数的积呢?学生经历了和、差的奇偶性的学习过程, 用迁移独立解决积的奇偶性, 甚至商的奇偶性, 举一反三。
3.对比练习清本质。
该题将数的奇偶性与质数、合数综合应用, 区分各概念的本质含义。学生在解决该题时, 首先判断两个偶数的和、差、积、商, 再判断质数还是合数。将习题用足用透, 若将“A和B都是偶数”改为“A、B都是奇数”呢?学生熟悉了数的奇偶性特征, 以及奇数与偶数、质数与合数的分类依据。
多元表征 篇4
一、中美小学生数学学习的多元表征
中国小学生在国际数学几次测试中取得较好成绩，形成了“中国学习者的悖论”现象，迄今为止，一直是国际数学教育研究关注的热点。[3]国际数学教育家蔡金法对国际数学测试结果的深入研究发现，[4]中国学生在“过程受限”问题(processconstrained problems，指那些通过实施标准算法就能解决的问题)表现很好，但在“过程开放”问题(process-open problems，指通常不能通过一种算法就可以解决，而是需要对问题情境作新的探索的问题)中不如美国学生。研究表明，我国学生问题解决的常规能力优于美国，而问题解决的创新能力不及美国。进一步的观察分析认为，[5]美国学生喜欢使用图示的、表格的、言辞的等直观、具体的表征和与之相应的直接策略，突出非形式化的数学理解;而中国学生擅长使用符号表征和与之相应的抽象策略，过分强调形式化的数学抽象。这从以下中美六年级《比例问题》测试案例[6]可以看出。
问题：有一些孩子和一些比萨饼，7个女孩平分2个比萨饼，3个男孩平均分1个比萨饼，每个女孩分得比萨饼与每个男孩分得比萨饼一样多吗?解释或展示你是如何找到答案的。
90%中国学生如下解答：
80%美国学生如下解答：
解法一：3个女孩分1个比萨饼，另外3个女孩分另1个比萨饼，这6个女孩中的每个女孩都与3个男孩中的每个男孩分得同样多的比萨饼。但是有1个女孩没有分得比萨饼，所以说，每个男孩分得的比萨饼更多。
解法二：3个女孩分1个比萨饼，剩下的4个女孩分1个比萨饼，剩下的4个女孩每人分得的比萨饼要少于每个男孩分得比萨饼，所以男孩分得比萨饼更多。
多数中国学生采用符号表征的一般算法，比较直接地给出答案，显得严谨规范。多数美国学生采用直观形象表征，给出许多具体算法，显得简洁明了，甚至有些趣味。可以看出，中国学生在问题解决时，采用被动的套用公式，模式化倾向较浓;而美国学生在问题解决时，主动地创建个人喜爱的方法，个性化倾向较多。我们可以说，形式化的套用和变式练习有助于学生的基础知识和基本技能的学习，但是如此下去，或多或少地泯灭了数学概念理解和问题解决朴实的、生动的、具体的思维过程以及此过程中的思维火花，不利于学生创新思维的发展。具体的、形象的教具和表达利于引起学生的学习兴趣，利于理解数学内容，但是如此下去，不经过具体材料到抽象概念的建构学习思考，肯定不利于学生的数学知识结构完善，以及更好地运用知识解决问题。综合来看，多元表征(言语表征、图表表征、数字表征和符号表征等)及其策略的学习可以取中美两国所长，以充分发展学生的数学思维和创新能力。
二、小学数学多元表征的教学
从以上案例可以看出，学生数学思维和创新能力发展离不开多元表征的学习。数学学习规律表现为从具体材料到抽象概念，再到具体问题解决的一系列过程，体现为非形式化到形式化，再到更广的非形式化验证和运用。数学内容理解表现为由直观表征到符号表征转化、以及符号表征与直观表征的联系，中间交织着言语表征。学生对数学内容的理解程度表现在自己创建多元表征形式的过程中。教师将自己对数学内容的理解、信念和观点等的教学表征转化为学生易于接受的多元表征，以此发展学生的多元表征，帮助学生学会数学思考，培养学生创新意识，这应成为数学教学的重要策略。
1. 以直观表征引入数学概念
在小学数学教学中，直观表征表现为具体实物、模型、图形、表格等可视材料或教具成为小学生学习的基本辅助材料，形式多样和丰富多彩的情境表征，可以激发学生学习数学的热情和兴趣，也可以促进学生的概念性理解。教师首先针对所学内容，发掘或者创设一些不同类型的直观表征，帮助学生形成数学概念的知觉理解。如分数1/2的认识，可设计其面积表征、集合表征、线段表征、言语表征和运算表征等，如：
(1)面积表征
(2)集合表征
(3)线段表征
(4)运算表征
1个苹果分给2个人，可以用1÷2表示(读作二分之一)
教师引导学生认识1/2的不同表示，给以直观形象的认识，从概念涉及的外延上启发学生对1/2的意义思考。这样的概念引入从广度上为概念理解打下了基础，也激发了学生的学习兴趣。
在直观表征使用上，美国教师在数学教学上过分依赖直观表征，经常使用具体的、可操作的教具或模型。当然，使用这些教具或模型的目的显然不仅仅是为了追求数学课堂教学的趣味性，更多地是帮助学生理解抽象的数学内容。要真正理解所学内容，教师应让学生明确具体与抽象之间的关系，让学生认识到所学的数学内容是具体模型的抽象，是认知的一种飞跃。只有通过思维，才能把握到事物抽象的本质。
具体直观表征的使用有助于促进学生思维从具体到抽象发展，但是过多的使用则有可能妨碍学生对数学内容的深层次理解，使学生的理解和思维停留在低层次水平上。
2. 多元表征变式加深数学理解
美国NCTM在2000年的《学校数学课程标准与原则》中指出，“不同的表征将导致不同的思维方式”，[7]它建议学生不仅应该学会在问题解决过程中选择、使用与转化各种数学表征，而且应能够在概念的不同表征之间建立广泛的联系。就像德雷费斯(Dreyfus)和艾森伯格(Eisenberg)(1996)指出的，“任何表征将能够表达出部分但不是全部的信息，凸显其中的一些方面，而隐藏另一些”。[8]在数学教学上，创设或操作多元表征来适合知识和思维，可以帮助学生更快地形成数学抽象表征，达到数学本质理解。恰当的多元表征变式可以起到如此作用。如对1/2的理解，可设计或变式其面积表征、集合表征、线段表征、言语表征和运算表征等，如：
(1)面积表征变式
(2)集合表征变式
(3)线段表征变式
(4)运算表征变式
A、1个苹果分给2个人，可以用1÷2表示(二分之一)。
B、小玉有3元，小伟有6元，小玉是小伟的几倍?表示为3∶6=1/2。
C、一个月饼分给2个人，每个人吃1/2。
(注：每一个表征的变式中，前两个是肯定变式，后一个是否定变式。)
教师引导学生对1/2的不同表征进行变式，给以抽象本质的认识，从概念内涵上启发学生对1/2的意义思考。这样的概念理解从深度上为概念的巩固找到了捷径，也培养了学生的数学抽象能力。
在表征变式使用上，中国教师在数学教学上过分依赖符号表征变式，经常使用概念本质属性的标准变式和非标准变式。当然，使用这些变式的目的显然不仅仅是为了追求课堂教学的趣味性，为变式而变式，而是更多地帮助学生理解抽象的数学内容。多元表征变式[9]就不单是针对概念进行本质变式，而应该针对概念形成的有关概念意图(多元表征)的每个表征进行变式，达到多元表征的有效转化和联系，由此形成学生丰富的图式，便于学生理解数学和运用数学。
多元表征中的每一个表征都是学生学习的知识，都有其实质内容，只不过表达形式不同而已。通过多元表征的变式，可以解决背景资源不足和种类不够丰富的困难，达到知识组织的完善、有序，利于知识的提取和加工。但是，过多的使用则有可能增加学生对数学内容的理解负荷，使学生的理解和思维停留在混沌状态上。
3. 引导学生自己创建多元表征
案例测试表明，通过实际切比萨饼来解决1/2的相关问题，几位中国学生做得不够理想。由此看来，中国学生自己构建数学表征的机会较少。学生构建自己的表征应该从直观的形象表征开始，应多给中国学生机会，让他们从实际的、直观的角度构建自己对数学概念、关系和法则的表征，深化或完善抽象表征理解。
开始时，教师应用具体表征或实际操作来鼓励学生运用自己的策略来理解数学或解决问题。学生的策略可以是教师教过的，也可以是教师没有教过的。当然，随着学生数学概念的发展，要求教师帮助他们形成更多概括性的表征和策略，从而发展他们对数学的抽象思维和概念性理解与运用，从中发展他们的创新能力。以下介绍美国教师引领学生创建多元表征解决问题的案例[6]改编，以给中国教师提供教学参考。
问题：如图1,2个足球、1顶帽子的价钱一共是80美元，1个足球、2顶帽子的价钱一共是76美元，问每个足球和每顶帽子的价格各是多少美元?
(1)教师引领学生用图形表征进行求解
解法一：
利用所给图1，如果把两组图形加起来，就可以发现3个足球和3顶帽子的价钱一共是80+76=156美元。那么1个足球和1顶帽子的价钱一共是156÷3=52美元，然后从图1的第一行可以得到，1个足球的价格为：80-52=28美元，从而1顶帽子的价格是24美元。
解法二：
从图2可以看到，从图2中的第一行到第二行，把1个足球换成1顶帽子，总价钱减少了4美元，如果再把第二行的足球换成帽子，就可得到第三行图形，即包含3顶帽子，第三行的价钱也应该比第二行少4美元，这样就得到3顶帽子的价钱是72美元。进一步就可以分别求得足球和帽子的价格。
评注：解法一解题策略，来源于图形表征的结构观察，进行图形化归或化简运算后，得出答案。解法二解题策略，也是对图形比较或变式的结果，方法更加简便。此法利用了图形的信息，把握了各个量之间的关系，激发了学生学习兴趣，培养了学生创新能力。两种解法类似于古代中国算筹求解方程的方法，给人以数学美的感受。
(2)教师引领学生用表格表征进行求解
解法三：根据已知，可以构造下面的表1，从80美元到76美元找出相差4美元的规律，进而完成表格中带括号的数据84美元和72美元，可以得到足球和帽子的价格。
评注：该解法利用各种“现实量”或“可能量”列表发现规律，得到答案。这种探索性求解对于特殊问题的特殊解答，对培养学生发现问题、分析问题和解决问题能力的意义重大。当然得到的结果还需代回原题进行检验。这种解法内含着直线图解的思想，给人以许多启发。
(3)教师引领学生用符号表征进行求解
解法四：
设足球的价格是x美元，帽子的价格是(80-2x)美元，由题意得：
解得：x=28
当x=28时，80-2x=24
解法五：
设足球的价格是x美元，帽子的价格是y美元，由题意得：
解得：x=28,y=24
评注：直观图形或表格求解，也离不开数学概念法则和思想，对培养学生创新意识有非常好的作用，但仍需要走向符号表征的解决，体会数学概念和法则的直接解决问题的优越性，把握数学思想方法的真谛，培养学生的数学思维能力。但是，符号表征解决问题时也是离不开直观表征的辅助理解。经过这样的引导训练，学生真正体会了多元表征之间的联系和转化作用。
这就是说，无论哪种表征求解问题，实质上都是数学模型或模式在起作用，只不过是某种表征更容易显现模式特征，即数学关系或结构更加直观、直接，而这种表征利于这个年龄段的学生学习和思考，可以达到我们的素质教育目标，这就是我们常说的多元表征之间的联系和转化的旨意所在。利用多元表征目的是适合学生的学习方式，帮助学生建构自己的数学。为此，教师引导学生创建自己对数学概念、法则公式和观念的表征，甚至进行问题解决时的自我表征的发挥，既利于巩固或者加深数学知识的思考，又可培养学生积极的学习情感和态度。应特别说明的是，在教师创设一定活动情景下，鼓励学生创新多元表征，以此进行小组活动，可以真正达到新课改要求的数学教学活动水平。
参考文献
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[3]范良火,朱雁.从大型国际数学比较研究的视角看:华人学生在数学方面的表现如何?[A].范良火,黄毅英,蔡金法,李士錡.华人如何学习数学[M].南京:江苏教育出版社,2005.3.
[4]Cai,J(.2000a).Mathematical ThinkingInvolved in U.S.andChinese Students'Solving Process-constrained and Pro-cess-open Problems.Mathematical Thinking and Learning:An International Journal,2,309~340.
[5]Cai,J.(2004).Why do U.S.and Chinese Students ThinkDifferently in Mathematical Promlem Solving?Exploring theImpact of Early Algebra Learning and Teachers'Beliefs.Journal ofMathematical Behavior,23(2):133~165.
[7]National Council Teachers of Mathematics(2000).Princi-ples and Standards for School Mathematics.Reston,Vir-ginia:NCTM.361.
[8]Dreyfus&Eisenberg,T.(1996).On Different Factes ofMathematics Thinking.In R.J.Sternberg and T.Ben-Zeev(Eds.),The Name of Mathematics Thinking(pp.253~284).Hillsdale,NJ:Erlbaum.
[9]李静.基于多元表征的初中代数变式教学研究[M].长沙:湖南师范大学出版社,2012.49.
多元表征 篇5
1建立指标体系的方法
指标体系的建立一方面要合理选取评价指标。指标的选取要考虑以下因素:一是科学性,所选的指标应具有广泛的统计范围和统计意义,能够客观公正地反映新型城镇化水平与质量;二是系统性,所选指标应能够从不同层面、不同角度系统 地表征新 型城镇化 水平;三是可获 得,所选指标应具有可统计性,并能从公开资料中得到真实权威的统计数据。另一方面,要利用科学方法对所选指标赋予权重。设定权重的方法主要有德尔菲法、层次分析法、神经网络法和数理统计方法。其中,德尔菲法和层次分析法通过专家打分计算权重,容易引入主观人为误差;神经网络法和 数理统计 方法则借 助数学软 件 (如MATLAB、SPSS等),通过数学分析获取权重。
因子分析是一种多元统计方法,使用SPSS软件、利用因子分析提取公因子并获取权重。严志强等以广西为例采用此方法对西部欠发达地区城镇化综合水平进行了测度,马胜男等采用此方法对海南省城镇化进程的阶段性及影响因素进行了研究,张效娟等结合地域特点采用此方法从水平空间格局角度对青海省城镇化水平进行了研究,姚晓芳等在前人研究基础上,建立综合指标体系, 对中部6省城镇化发展进行了横纵两向比较。采用此方法,既要考虑研究对 象特点和 科学、系统选取 指标的原 则,又要注意因子分析法的正确应用和分析结果的现实意义,达到分析结果、实际情况和预期目的三者的统一。
2选取指标和数据
在指标选取上,综合经济、人口、科教、医疗保障、环境等多方面因素,参考各类指标,遵循指标选取原则,筛选出4类共计17项指标,标记为X=(x1,x2,…,x17)T, 如表1所示。由于直接查阅获取的各指标项均为绝对数据,考虑到各省市人口和面积的差异,为提高可比性,对数据做了平均化处理,如:
人均居民储蓄存款余额 = 城乡居民储蓄存款余额/ 年末总人口
互联网宽带接入用户接入率=互联网宽带接入用户数/年末总人口
随着全国新型城镇化建设的发展,省域间、市域间的经济、文化交流更加深入,人员流动更加频繁,联系更加紧密。因此,充分考虑到周边省份经济一体化发展趋势的影响,在采集指标数据时,除了河北省11个市,还包括河南和山西两省份28个地市的数据。这三个省份地理位置相邻,自然环境相似,经济社会发展水平相近,历史渊源深厚,数据可比性强,具有参考价值,而且增大了样本容量,提高了因子分析的可靠性。指标数据可以从《中国城市统计年鉴2013》及各省、市统计局网站获得。
3基于因子分析建立新型城镇化水平评价指标体系
因子分析法的基本原理就是以尽可能少的信息损失为代价,用少数几个能高度概括原变量数据中的信息的因子代替原变量,达到减少变量数量的目的。具体方法是分析原变量相关系数矩阵内部的结构,找到少数几个能包含原变量X=(x1,x2,…,xm)T的绝大部分信息的随机变量F=(f1,f2,…,fn)T,建立如式(1)所示的模型。
式中:A=(aij)为m×n(m>n)阶因子载荷矩阵;aij为因子载荷,是第i个原始变量在第j个因子变量上的负荷;ε =(ε1,ε2,…,εm)T为特殊因子,表示因子变量无法解释的原始变量中的部分。忽略掉ε,以F来近似代替X,这样就可以降低变量的维数。
使用SPSS软件进行因子分析,采用KMO检验和巴特利特球形检验验证数据是否适合做因子分析。因子提取方法采用主成分分析法,先设定特征值大于1获得总方差解释,根据总方 差解释重 新分析,提取出4个公因子,因子分析的旋转方法采用最大方差法,输出因子得分系数矩阵。
一般认为,KMO统计量大于0.9时分析效果最佳, 0.7以上属可接受范围,小于0.5则不适合作因子分析。 分析结果中的KMO检验值为0.786,巴特利特球形检验统计量的Sig值为0.00<0.01,否定相关矩阵为单位矩阵的零假设,说明所选数据可以做因子分析。
总方差解释情况如表2所示,4个因子的累积方差贡献率为88.606%,满足累积 方差贡献 率高于80% 的要求,说明这两个公因子可以反映出7项基础指标原始变量88.606%的信息。因此,选择这4个因子作为主因子。
采用最大方差法,设定最大收敛性迭代次数为25,得到旋转后(5次后收敛)的载荷矩阵,如表3所示。
根据表3提取公因子,标记为F=(f1,f2,f3,f4)。 可以看出,第1个公因子在x1、x2、x5、x6、x7、x8、x9这7项指标上都有较大的载荷,反映了经济、文化、科技和教育等各个方面总的影响,具有综合反映城镇化水平和质量的性质,可以将其命名为城 镇化总程 度公因子。第2个公因子在x10、x11、x12、x13、x14这5项指标上有较大的载荷,反映了城市建设和交通方面的信息,可以将其命名为城建和交通公因子。第3个公因子在x15、x16、x17这3项指标上有较大的载荷,反映了城市的绿化状况,命名为绿化公因子。第4个公因子在x3、x4这2项指标上的荷载较大,反映的是经济总量和财政收入状况,命名为财经公因子。4个公因子的含义及命名,如表4所示。
因子得分系数采用回归法计算,结果如表5所示。
以因子得分系数矩阵(用K表示)作为权重,得到公因子得分计算公式,如式(2)所示。
4消防4项指标与城镇化4个公因子的多元相关分析
随着城镇化进程的加快,城市建设规模的逐年扩大, 我国城市人口日渐密集,城市建筑密度增大,地下工程、 高层建筑、大型公共建筑不断增加,加之人们生产、生活所消耗的火、电、油、气量迅速攀升,传统与非传统火灾隐患相互交织,极易引发造成群死群伤或巨大财产损失的恶性事故,给消防工 作带来了 越来越大 的挑战和 压力。 为研究新型城镇化进程对消防安全工作的影响,利用数学分析方法深入分析新型城镇化进程中社会、经济、环境等领域统计数据与消防安全统计数据间的相关性,探索新型城镇化进程对消防安全工作的影响,以期在规划新型城镇化进程时融入消防安全因素。
消防四项指标是指火灾次数、死亡人数、受伤人数及直接经济损失,通常用来衡量一个地区消防安全总体水平。使用SPSS对消防四项指标和根据式(2)计算出的4个公因子得分做多元线性回归分析,数据选择2012年河北省各市消防四项指标和2012年各市城镇化4个公因子得分,使用SPSS分别以四项指标为因变量,以4个公因子得分为自变量进行分析。
4.1火灾次数
由于回归分析和简单相关分析结果显示了火灾次数与4个公因子之间有一定相关性,考虑到指标间的相关关系可能会影响某一指标与火灾次数的线性相关程度, 参考简单相关系数,作火灾次数与城镇化总程度公因子的偏相关分析,以探究二者之间真实的相关关系。结果如表6所示,城镇化总程度公因子与火灾次数的偏相关系数为0.875,呈显著正相关关系,说明新型城镇化进程显著影响火灾发生次数。火灾次数与4公因子的回归模型中决定系数为0.774,表明火灾次数与4公因子之间存在一定相关性。可以解释为,随着新型城镇化总体水平的提高,城市面积、人口总量的逐渐增加,火灾次数呈上升趋势。图1显示了火灾次数与新型城镇化总程度公因子的关系。
4.2死亡人数
死亡人数与4个公因子 的回归模 型中决定 系数为0.08,且方差分析结果中F统计量等于0.131,概率P值高达0.966,该模型不具有统计学意义。说明提取的4个表征城镇化水平的公因子与死亡人数在2012年数据下不具有线性相关性。
4.3受伤人数
回归结果显示,受伤人数与4个公因子的回归模型中决定系数为0.379,且方差分析结果中F统计量等于0.914,概率P值为0.512,该模型不具有统计学意义。4个公因子都未能解释受伤人数的变化。但从简单相关分析和偏相关分析结果(见表7)来看,城建和交通公因子与受伤人数呈一定正相关关系,说明城市集中建设、人口聚集、交通发展在一定程度上引起火灾中受伤人数的增加, 二者的关系如图2所示。
4.4直接经济损失
死亡人数与4个公因子 的回归模 型中决定 系数为0.241,且方差分析结果中F统计量等 于0.476,概率P值高达0.754,该模型不具有统计学意义。说明4个城镇化公因子不能解释死亡人数的变化。
4.5讨论
对比近10年 《中国城市 统计年鉴》和 《中国消防 年鉴》有关数据,不难发现,随着城镇化水平的提高,城市面积、城镇人口总量、中心城区人口密度、城市建设密度和固定资产投资都显著增加,这些变化反映在消防统计数据上,即为一定程度的火灾次数和直接经济损失的增加。 与此同时,消防事业在技术、管理、宣传和救援演练等方面的发展,也有效减少了火灾中的人员伤亡。
结合上述社会状况和回归分析结果,作如下讨论:
(1)火灾次数与城镇化进程密切相关。由回归结果可知,火灾次数与4个公因子回归模型中调整的R2值为0.774,二者有一定相关性,即火灾次数在4个公因子增大时呈增大趋势,城镇化总程度公因子与火灾次数的偏相关分析结果具体显示了二者呈显著正相关关系。
(2)死亡人数、受伤人数和直接经济损失与4个公因子的回归模型拟合效果较差,未得出这三项指标与4个公因子之间的明显相关关系。分析原因,一方面是消防投入加大、消防各项 建设日趋 正规化、群众消防 意识增强、疏散能力提高和建筑防火、灭火设施日趋完善等积极因素发挥作用,有效减少了火灾中的人员伤亡和财产损失;另一方面,火灾伤亡人数数据本身在数量级上很小, 存在地域上的数据突变,这一点影响了其与经济指标回归模型的拟合效果。
(3)受伤人数与城建和交通公因子的偏相关系数为0.568,说明二者之间具有一定正相关性。其主要原因是城市繁华地区建筑密集,人口密度大,交通繁忙,在火灾情况下容易造成人员伤害。
5结论
从不同方面选取了反映河北省各市新型城镇化水平的17个统计指标,利用因子分析法对这17个指标进行分析并提取出城镇化总程度公因子、城建和交通公因子、 绿化公因子和财经公因子。这4个公因子反映了新型城镇化水平的不同方面,相互独立,意义明确,可作为河北省新型城镇化水平与质量的表征量。为研究新型城镇化水平与消防安全的相关性,选取2012年数据对各市消防四项指标与新型城镇化4个公因子作多元相关分析。回归结果显示,火灾次数与4个公因子呈正相关关系,与城镇化总程度公因子呈显著正相关关系;死亡人数、受伤人数和直接经济损 失与4个公因子 的回归模 型拟合效 果差,无法得出 这3项指标与4个公因子 之间的明 显相关关系。受伤人数 与城建密 度公因子 的偏相关 系数为0.568,说明二者之间具有一定正相关性。
摘要：为研究新型城镇化进程对消防安全工作的影响,筛选出能够综合评价河北省各市新型城镇化水平的17项统计指标,利用因子分析法对指标进行分析并提取出4个公因子。选取2012年数据对各市消防4项指标与新型城镇化4个公因子做多元相关分析,结果显示:火灾次数与4个公因子呈正相关关系;死亡人数、受伤人数和直接经济损失与4个公因子的回归模型拟合效果差,无法得出这3项指标与4个公因子之间明显的相关关系。受伤人数与城建和交通公因子的偏相关系数为0.568,说明二者之间具有一定的正相关性。