数学问题表征

数学问题表征（精选10篇）

数学问题表征 篇1

1.概念界定

1.1数学问题解决

问题解决是从一个待解决的问题情境转移到解决方案的目标情境的过程,在这个过程中必须克服遇到的所有的障碍。数学问题解决是问题解决的一个重要的分支。数学问题解决一般可分为问题表征、选择策略、实施操作和评价这四个阶段。

1.2数学问题表征

问题表征的实质是对问题中所含信息的提取、组织、加工和表达。数学问题的有效解决尝尝依赖于对问题的适宜表征,不同的表征产生不同的解题方法。表征包括内部表征和外部表征。准确、恰当的表征是数学问题能否解决的关键。

2.实验

2.1被试

我们从江苏省丰县中学高三年级学生中随机选取100个学生作为被试,其中男生52人,女生48人,被试者年龄为18岁左右。这样可以有效的避免被试的年龄、智力水平和学习背景的差异过大,尽可能避免外部因素导致的数学问题表征的差异。

2.2实验工具

本次实验选用江苏省苏州市2016届高三模拟试卷上的一道不等式求最值问题作为测试题,因其灵活度高,可表征的方式比较多,所以比较能有效的测出被试的表征水平。题目如下:已知x,y∈R,4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值为____。(尽可能多的写出你的解法)

预测可能出现的不同表征的解法:

2.3实验过程

选用一节自习课,由班主任辅助下发测试卷,测试,回收,并且事先告知学生这份测试不记名,不公开,仅用于数学研究。这样能确保学生认真对待这份测试卷,保证测试的有效性。测试卷下发100份,回收100份。

3.实验结果与分析

3.1数学问题表征的性别差异

从表1中可以看出未能正确进行表征的同学中,男女生的人数基本相差不大,在能够用1种表征方式进行表征的同学中,女生的人数要高于男生的人数,在用2种方法的同学中,男女生又相差不大,但是用3种表征方式的同学中,男生略有优势,在使用4种及以上的同学中,男生具有绝对的优势。总体来看,约有72%的男女生都可以选用1种或者2种方式进行表征。

如果把每位同学的不同表征方式按次数累加,女生合计表征63种,男生合计表征93种,具体分布情况如下,学生采取的表征主要集中在表征1二次函数表征,表征5基本不等式表征,表征6函数表征和表征8齐次式表征这四种表征方式,占了总体表征数量的71.8%,这几种表征是本身与题目所呈现的信息较为相近的知识,联系度比较高,同时也是平时遇到类似问题时教师经常讲解的几种表征方式,相反的,剩下的4种表征方式与题目信息知识关联度较低,同时也是比较少见的。

3.2学生问题表征能力水平与学习成绩差异的检验与分析

针对以上男女生出现的不同的表征方式和差异,我们跟踪了他们的高三几次重要考试的成绩,并取平均值,结果如下:

表2可以看出采用不同的表征方式的方法数和数学成绩是正相关的。也就是说习惯用多种表征方式分析问题的同学,他们的数学成绩就相对表现比较好,而习惯单一进行表征的同学的数学成绩就相对差了一些。对于能够采用表征方式的个数一样的男女生,成绩之间没有明显的差异。

通过对以上的分析,我们发现题目所给的显性信息是一个二元二次方程,求一个二元一次代数式的最值问题。在我们列出的8种不同表征方式中,表征5的基本不等式表征是关联度最高的,也是最容易进行联想的,其次是通过还原,转化成二次函数问题,分式函数问题,也就是相应的表征1和表征6关联度相对低一些,另外联想三角函数的齐次式,进行构造,需要学生具备齐次式的结构体征的辨别功能,但是由于这个方法在日常学习中经常用,所以学生的表征方式主要集中在以上四种方式。剩下的4种表征方式,不仅需要学生认知结构中具有一定的知识储备,还需要对不同的形式进行转化,进而把题目信息和认知结构中的知识联系在一起。另外还需要具备丰富的联想能力,敏捷的辨别能力以及良好的捕捉信息的能力,由于知识关联度比较小,导致学生在进行表征的时候遇到了障碍,出现的表征结果并不理想。

4.结论

通过以上的实验及其分析,我们可以发现:

高中生的数学问题表征能力是有差异的,这种差异主要反映在学生本身的认知结构中知识的储备数量不同,其中包括认知的广度和深度都有差异;学生对不同知识之间的联系的方式方法以及思维方式不同;从而使得学生认知中的层次性、逻辑性不同,导致问题表征的呈现形式也不相同。

学生的数学问题表征水平和其数学成绩之间具有较显著的相关性。表征方法越是具有多样性,学生的成绩越是表现较好,表征方式单一,成绩就相对较低。

5.教育启示

5.1注意培养学生的知识的广度和深度

只有具备了一定的知识积累,弄清之间的来龙去脉,才能够进行联想,建立对应的关联,才能对知识进行横向和纵向的延伸,拓宽。

5.2加强不同板块知识之间的联系

可以采用例如思维导图的方式训练学生对不同知识间的联系,有意识的培养他们思维的联想意识,联想习惯,训练逻辑思维。

5.3班级内充分利用男女生各自优势进行教学

例如在分组教学中,每个小组在人员分配中充分考虑一些男生表征能力多样化和女生的稳定性,解题准确性,进行优势互补,互帮互助,综合提高。

参考文献

[1]李建华.波利亚的“问题解决”理论及其发展[J].数学通报,2009.48(12):9-14

[2]何小亚.解决数学问题的心理过程分析[J].数学教育学报,2004.13(3):34-36

借助图式表征 优化数学思想 篇2

[关键词]教学策略 问题解决 图式表征 数学思想 假设

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）01-037

数学学习中，解决问题是指运用数与代数的知识和方法解决生活中的实际问题。然而，在实践中很多学生分析和解决问题的能力比较弱，缺乏梳理问题中数量关系的能力。基于此，为提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，我认为教师在课堂中可借助图式表征，引导学生梳理题中的数量关系，优化所得的数学思想。

一、借助导学图示，把握解题流程

数学教学中，学生学习例题时往往不易抓住重点，思维散乱。如何改变这一现状，让学生尽快进入思考状态呢？我尝试采用导学图示的方法，帮助学生尽快进入学习状态，从而有效把握解题的正确思路。那么，何谓导学图示？导学图示其实是指用图示的形式，将学生的学习流程清晰地呈现出来，指导学生展开问题的探究。

例如，教学“解决问题的策略——假设”时，我出示教材中的例题：“全班42人去公园划船，共租用了10只船。每只大船坐5人，小船坐3人，问小船和大船各有多少只？”针对这道题，我先让学生思考：“题目中有哪些条件？怎么解决？”学生提出了三种假设方案：（1）假设租用的10只船都是大船;（2）假设租用的10只船都是小船;（3）假设租用的一半是大船，一半是小船。然后我出示导图（如图1），带领学生展开自主探究，让学生对问题解决的过程有合理安排：先自主梳理数量关系，独立思考解答，然后讨论解法，优化解法。在图示的指导下，学生经历“呈现——收纳——整理——优化”的探究过程，既使学习步骤异常清晰，又让学习目标更加明确，为解决问题做好了准备。

二、借助思维图示，提炼解题思路

著名教育家苏霍姆林斯基认为：“一个孩子要学会解答应用题，必须要先从学会画应用题开始。”也就是说，思维图示能够帮助学生将抽象的文字转化为直观的数学语言，更简单、便捷地呈现数学信息和表征数量关系，利于学生提炼解题思路。

例如，教学“解决问题的策略——假设”时，在学生对例题进行讨论交流后，我对学生的解题思路进行梳理，完成了思维图示（如图2）。整理这个图示的目的，一方面是帮助学生总结方法，另一方面是引导学生借助这个图示展开问题分析。然后我又提供了一道练习题：“鸡和兔一共有8只，腿共有22条，求鸡兔各有多少只？”学生借助例题中的思维图示展开探究，认为有两种假设情况（如图3）。上述教学，教师通过形象的思维图示，帮助学生梳理了解题思路，使学生的数学思想方法得到了升华。

三、借助隐形图示，建构解题策略

数学教育家米山国藏曾经指出：“多年后人们学过的公式、定理或许都已经遗忘了，但留在大脑深处的思维模式却没有消失，它成为一种内化于心的本能。”因此，课堂教学中，教师可借助隐形图示，引导学生建构问题解决的策略，培养学生的数学能力。

例如，教学“解决问题的策略——假设”的例题后，我设计了一道新的练习题：“学校有176件标本要分别在13块展板上展出，每块小展板贴8件，大展板贴20件，求大小展板各有多少件标本？”针对这道习题，学生不需要画图，头脑中已经有了隐形的图示，很快就说出了解决策略。这样教学，使学生遇到类似的问题就能够形成条件反射，自然而然地利用图示展开思考，从而有效提升了学生问题解决的能力。

总之，在数学教学中，教师可通过图示表征，引导学生把握解题过程，提炼解题思路，优化所得的数学思想。

数学问题表征 篇3

关键词：问题,表征,问题解决,策略

新课改以后小学数学的新增内容______“解决问题的策略”是公认的难点,而目前的研究更多限于“为策略而策略”,并没有真正解决“解决问题的策略”教学所遭遇的问题。跳出“策略”的窠臼,审视问题解决的心理过程,追本溯源,把脉儿童问题解决的瓶颈,才能寻找到“解决问题的策略”教学的突破口。本文拟在分析小学数学中的问题表征类型的基础上,讨论如何发展儿童的问题表征能力,以改进“解决问题的策略”的教学。

一、小学数学中问题表征的类型

1. 文字表征。

文字表征是问题解决者依据自己掌握的陈述性知识,用自己的语言重述问题的条件和目标,明确问题的结构,为解决问题提供可能的算法。由于数学问题背景的现实性和应用的广泛性,其表达形式往往复杂多样,它们是由文字语言、符号语言、图形语言相互交织成的一篇篇“说明文”。对于一个数学问题而言,如何用自己容易理解的文字加以表征,往往是理解题意,获得问题解决突破的关键。例如,面对图1中的问题,教师就需要引导儿童读懂图意,找出该问题的相关信息——原来浇花的人数、又来浇花的人数、一共浇花的人数,忽略无关的细节——花丛、男孩、女孩等,并确定问题是求浇花的总人数。再进一步用语言描述:原来有3个小朋友浇花,又来了2个小朋友,求一共有多少个小朋友浇花,就是把3和2合起来。经过这样的表征,儿童才能够将问题情境内化,把握问题的本质,顺利地实现与头脑中加法结构的对接。

2. 数式表征。

数式表征是用数字、符号、字母、代数式等,将问题中的信息及其关系结构表征出来,使问题变得清晰明了,有助于发现解决问题的途径,并突破最初在头脑中形成的不适宜表征的约束。例如,“西安大雁塔高64米,比小雁塔高度的2倍少22米。小雁塔高多少米?”如果儿童仅仅从字面上理解,很容易将关系错误表征。但如果抓住关系句,顺向“翻译”成数式表征:小雁塔的高度的2倍-22米=大雁塔的高度,则为进一步符号化为2a-22=b提供了基础,符号表征已经接近于问题解决,方程模型的刻画已呼之欲出。数式表征的不断累积和抽象,有利于促进儿童在认知结构中建立起较为稳定的“模型”,为模型表征提供匹配原型。例如,从大量的生活问题情境中,学生数式表征出“每小时做纸花的个数×小时数=做纸花的总个数”、“每分钟打印的张数×分钟数=打印的总张数”、“每天修的米数×天数=修路的总米数”等。通过对数量的梳理、比较、抽象、提炼出“工作效率”、“工作时间”、“工作总量”等概念,建立起这三个数量之间的关系,形成了工程问题的初步模型,为今后遇到相关问题进行模型表征提供了可能。

3. 图表表征。

图表表征是解决较复杂的问题时常用的一种表征形式,是通过绘制图形或表格,整理条件和问题,清晰简明地呈现信息之间的关系或规律,剥离无关信息,减轻记忆负担,从而有利于发现解决问题的方向。比如,对于儿童比较畏惧的“黄豆榨油”问题:100千克黄豆可以榨油16千克,320千克黄豆可榨油多少千克?如果能够用表格进行表征,将有利于把握数量之间的关系。除了促成“先求出每千克黄豆榨油0.16千克,再求320个0.16千克是多少”的解题思路,还可以促进“倍比法”的生成:320kg是100kg的3.2倍,榨出的油也就是16kg的3.2倍,对于六年级学生,更是能够进一步表征为“百分率”问题、正比例问题。这些都大大提高了问题理解的深刻性和解决问题的正确率。

4. 模型表征。

“数学模型”是在一个复杂现象的理想化情况下,元素和关系的数学表征,数学模型能澄清和解释现象并用于解决问题。模型表征是通过对问题中的信息进行整理、加工,辨析问题结构,在问题解决者的认知结构中寻找或转换成与之匹配的已有数学模型,从而实现问题的解决。解决数学问题时,首先要辨别问题的类型,认识问题的结构特征,分析出问题中的某些部分与已知模型的结构之间是否具有相似性,以便与已有的知识经验发生联系。若能够正确识别模型,就可以很快缩小搜索的范围,向问题解决迈出决定性的一步。比如,四年级儿童在遇到“小明、小军和小芳3人,每两人通一次电话,一共通话多少次?如果互相寄一张节日贺卡,一共寄了多少张?”这样的问题时,如果能自然地产生与“搭配中的规律”的联系,并辨别出:一次通话即两人的一个“组合”,一张贺卡即两人的一个“排列”,对应调用头脑中的加法模型和乘法模型,便是很好地进行了模型表征。

二、运用问题表征改进“解决问题的策略”的教学

小学阶段安排的“解决问题的策略”主要有列表、画图、列举、倒推、替换和假设以及转化等。尽管在此前的学习中儿童或多或少对策略有所体验,但真正专门学习“策略”时,儿童所面临的问题本身就具有较大的挑战性,更何况“解决问题的策略”教学的主旨是超越于“解决问题”的“策略”,这就事实上形成了小学数学教学的一大难点。而要突破这一难点,首先是儿童面对一个具体问题时如何表征,为策略的选择和应用提供基础。问题表征的目的在于大脑清楚地反映实际存在的问题,而表征的结果往往使解题的策略显露出来。在教学实践中儿童表征能力的欠缺成为问题解决的最大障碍,大大影响了策略教学的进程。所以,面对一个个不同类型的具体问题,有效地促进儿童合理地进行表征就成为“解决问题的策略”教学成功的重要前提和保证。儿童问题表征能力的形成与发展是一个长期的螺旋式上升的过程。“解决问题的策略”教学中必需的问题表征需要以前期对大量简单问题的问题表征为经验基础并实现新的超越。而“解决问题的策略”的专题学习是促进儿童形成策略意识、提高策略运用水平、发展问题解决能力的一个重要阶段,它承前启后,既不是起点,更不是终点。在这一阶段,儿童的问题表征能力随着大量典型问题的解决不断得到发展,反过来,又促进了问题解决能力的发展。后续学习中,各种问题表征的不断运用,促进了解决问题的策略在新的水平上的反复运用。正是在这样的过程中,儿童的问题解决能力获得了可持续发展。

1. 早期初步渗透问题表征方式,孕伏策略雏形。

文字表征是小学阶段最基础也是最重要的问题表征。有经验的低年级老师都特别重视儿童数学语言的训练,对于问题解决而言,其实就是要重视对生活问题情境的文字表征,而这种文字表征必须逐步将生活语言上升为相对规范的数学语言,促进儿童对生活问题的纵向数学化,达到对问题的数学本质的把握,促进解决问题能力的提升。对于低年级的图画应用问题、图文应用问题,我们就需要引导儿童用相对完整的文字语言进行表征。同时,这种表征又应当指向于问题的解决,而不仅仅是语言描述。如求和问题,除了引导儿童用“原来……,又……,一共……?”表征问题,还应当进一步表征为“求一共……就是把×和×合起来”,促进加法模型的应用。这其中,“把×和×合起来”是内部表征问题本质的外显。对于求差问题,重要的是表征为“从×中去掉×,还剩多少”,以顺应认知结构中的减法模型。这样,当儿童遇到图文表示的“树上一共有10只小鸟,先飞走了3只,又飞走了5只,一共飞走了几只小鸟?”时,就会自觉将问题与认知结构中的加法模型和减法模型进行对照,确认属于“把×和×合起来”,排除无关甚至干扰信息,正确表征为“求一共飞走几只小鸟,就是把3和5合起来”。避免了单纯从文字上的“一共”、“飞走”误判作“用减法算”。所以,教师只有促成了儿童结构化的文字表征,才能发展儿童的问题解决能力。

图表表征并非学习“列表”、“画图”策略时第一次使用,这之前教材也提供有可以用图表表征的问题空间。我们应当挖掘并充分利用这样的契机。比如,“小红把8个雪花片分成了两堆,她是怎么分的?”儿童当然可以用语言表征为“8的分成”,但我们更需要引导儿童以图示的形式进行有序表征:这必将为学习“列举”策略奠定良好的基础。另外,不失时机地通过平面图形的有关问题生成图示表征也很有必要。比如,“梅山小学有一块长方形的花圃。长8米,宽6米。扩建时,长增加3米,面积比原来增加了多少平方米?”因为是在学习长方形面积时呈现的,儿童很容易通过示意图表征问题,并发现增加的部分仍是一个长方形,且“宽”不变,从而直接利用公式求出增加的面积。这样的适时渗透,就能很好地避免专门学习画图策略时,儿童把“长增加3米”错误表征为一条长边延长一些的“长尾巴的长方形”。同样,对于列表表征,我们也应当进行有意识的渗透。教材中曾有这样的题:小红家养了5匾蚕,平均每匾能收180个蚕茧。你能把下表填写完整吗?

比解决问题更重要的是,通过表格的呈现,体会数量之间的对应关系:匾的个数是几,相应的蚕茧的个数就是几个180;蚕茧的个数除以匾的个数总是180。更进一步,教师改编问题:小红家的5匾蚕共收900个蚕茧,她家一共有这样的10匾蚕,能收多少个蚕茧?水到渠成地促使儿童通过列表表征问题中的信息,明晰数量之间的关系。

第一学段的模型表征首先应当重视基本的加法、减法、乘法和除法结构,突出问题表征时的运算意义视角,以文字表征、图表表征为基础,逐步加强问题解决中数式表征的意识和能力,促进四则运算模型的建立,并自觉运用运算模型表征面临的问题。其次,还必须在运算意义模型的基础上重视作为重要模型的基本的数量关系“单价×数量=总价”、“速度×时间=路程”、“工作效率×工作时间=工作总量”等的建构。使儿童面临问题时,自觉运用模型表征问题中已知的数量和要求的数量及其关系,或实现对问题的模型化归。

2. 中期引导自主建构问题表征,形成策略意识。

在策略教学实践中,我们往往看到这样的现象:教学列表的策略,老师往往是给出表格让儿童填写;教学列举的策略,教师也是给出表格,让儿童接着列举;教学倒推的策略,教师还是给出表格,让儿童填写……究其原因:其一,儿童独立进行图表表征有困难;其二,教师不放心儿童去尝试或者觉得这并非策略教学的主要部分。恰恰相反,如果儿童不能独立、自觉地正确、合理地表征,当面临一个新的问题时,即使明白将使用什么策略,也会因表征不当造成问题解决的失败。小学阶段安排的策略教学由易到难,是递进式的,前一种策略往往为后一种策略的学习提供表征基础。因此,将问题表征能力的培养作为一项系统而长期的教学目标,必然有利于“解决问题的策略”的教学。通过第一学段的有机渗透,儿童具备了较好的问题表征基础,在学习策略时,教师不妨放手,让儿童自主建构问题表征,实现解决问题过程的完整体验,真正提升儿童独立解决问题的能力。

列表策略的教学必须以文字表征问题为基础,通过儿童对例题(指苏教版中的例题,下同)图文的观察,整理信息并挖掘出隐含信息:三人买同样的笔记本。进而将问题表征为:小明、小华、小军在商店买同样的笔记本。小明买3本笔记本,用去18元。小华买5本笔记本,用去多少元?小军买笔记本用去42元,他买了几本?教师作进一步的引导:问题中提到了几组对应的数量?怎样清楚地将这些条件和问题整理出来?这样,既促成了儿童的模型表征,又激活了儿童的表格表征经验,顺利实现对新问题的图示表征,使教学能够将重点放在体验表格所揭示的数量关系上,体会列表策略的便捷与价值。与此同时,图表表征相对于文字表征所带来的问题解决优越性也得以让儿童充分体验。

画图策略建立在儿童文字表征困难且不够清晰的基础上。面对例题“梅山小学有一块长方形花圃,长8米。在修建校园时,花圃的长增加了3米,这样花圃的面积就增加了18平方米。原来花圃的面积是多少平方米?”儿童能够联想起学习“长方形和正方形的面积”单元时图形表征问题的经历,进而通过图形表征,揭示增加部分与原来花圃的关系——宽不变,架起条件与问题之间的桥梁——借助增加的面积和长求出宽,最终解决“求出原来花圃的面积”的问题。我们还应当通过图示表征更为复杂的问题,进一步体会画图策略在解决问题中的必要性。

列举策略的学习在很大程度上依赖于合理的图表表征。比如,“王大叔用18根1米长的栅栏围成一个长方形羊圈,有多少种不同的围法?”教师可放手让儿童通过示意图、数的分成图、列表等对问题进行表征。其实,无论哪一种表征,都能够让儿童体会有序列举的必要性,并显性地发现列举的穷尽。而对于“订阅《科学世界》《七彩文学》、《数学乐园》,最少订阅1本,最多订阅3本。有多少种不同的订阅方法?”这样的问题,儿童更可以在分类细化列表、字母或符号表征中进一步体会分类在有序列举中的作用。可以说,良好的问题表征为策略的体验提供了载体。

倒推策略中的问题表征所体现的重要作用更是不容置疑。图文例题“两杯果汁共400毫升,甲杯倒入乙杯4毫升后,两杯果汁同样多,原来两杯果汁各有多少毫升?”呈现后,教者大可不必急于多媒体演示“倒回去”,而应当激发儿童的自主表征:“怎样表示题中的信息,并帮助我们推知原来的情况呢?”实践中,儿童比较容易地画出两个长方形,并图示出两杯现在的情况,再画出倒回去的箭头,图示表征乙杯减少40毫升、甲杯增加40毫升。这样的表征就为问题的理解、把握和解决提供了“关键的步子”。在此基础上,教师进一步激活表格表征:“画图能帮助我们顺利地解决问题,可是老师觉得有点麻烦,能借助于别的办法整理和表示题中的条件和问题吗?”有了图示基础,儿童顺利地用表格先呈现现在,再推知原来,一目了然。而对于另一例题“小明原来有一些邮票,今年又收集了24张。送给小军30张后,还剩52张。小明原来有多少张邮票?”,有了四年级整体条件和问题的基础,教师不必示范整理,完全可以让儿童自己摘录整理,尽管儿童在实践中表现出表征水平的不同层次,而这恰恰是教学的最好资源。教师有序地由浅层次的语句式表征向深层次符号化表征呈现,从“原有?张→又收集24张→送给小军30张→还剩52张”到“?→+24张→-30张→52张”,再到“”。这样会让儿童体会到更为数学化的图示表征十分有利于用倒推的策略解决问题,这种表征也因其简洁、清晰演化为一种模式表征,为今后解决问题提供了新的有力的表征方式。

在替换和假设策略中,图示表征仍然对解决问题、体验策略起到了巨大的作用。如,在教学假设策略时,典型的“鸡兔同笼”问题便是以图示表征入手,还可通过列表列举等进行表征,这些表征都对体验假设的策略提供了很好的支撑。所以,在教学时,不妨激活儿童已有的问题表征经验,尝试从多个角度表征问题的信息,再根据表征的外显——图示、表格等,进行计算和调整,达到问题的解决,并形成新的表征模型,提高策略应用的水平。

3. 后期优化提升问题表征水平,促进策略运用。

由于策略教学的需要,在进行策略专门教学时,所选取的问题往往具有典型性,这有利于相关策略模型的建立、解释与应用。但是现实生活中遇到的问题远远不仅限于这些类型。因此,通过策略的教学,儿童所获得的绝不应止于解决一类问题,还应当获得更具有普遍意义的问题表征的不同方法,而这对于解决新的、非典型的、一般的、综合性的现实问题无疑将起到巨大的作用。因此,在教学中我们必须克服“到了策略教策略,离开单元忘策略”的问题,真正做到早期分散孕伏和有机渗透,集中教学丰富体验再提炼,后续学习优化再发展。而这其中,贯穿始终的当是问题表征能力的可持续发展。

参考文献

[1]穆刚.论问题理解与表征能力的培养[J].白城师范学院学报,2006(2):84-85.

[2]全美数学教师理事会.美国学校数学教育的原则和标准[M].蔡金法等译.北京:人民教育出版社,2004:68

数学化视角下的数量关系表征例谈 篇4

这是一道找规律的题目，要求学生能从简单情况入手，进行观察、比较、思考，进而发现小棒的根数与八边形的个数之间的数量关系，并能将这种关系以比较抽象的数学方式加以表征。题目中括号里填写的“8n-（n-1）”是小朱考试时写出的答案，很显然老师给他判了个“×”，后面是小朱订正后写出的答案“7n+1”，订正时在每一个图形的下面还标出了“8、15、22”几个数据。

于是我们有了下面一段对话：

笔者：你这道题怎么错了？

小朱：我的答案可能不简便吧。

笔者：为什么？

小朱：如果把8n-（n-1）的括号去掉后，后面的减号变成加号，再用8n减去n，就是7n+1了，这个答案比较简洁。

笔者：那你的8n-（n-1）这个答案是怎么想出来的？

小朱：从第二个图形开始就是八边形重合在一起了，2个八边形有1条边重合，3个八边形有2条边重合，以此类推n个八边形有n-1条边重合，n个八边形原来有8n条边，减去重合的n-1条边，那么就需要8n-（n-1）根小棒了。

笔者：你的想法很好啊，这个答案正好体现了你的思考过程。那老师所说的7n+1是从你的答案化简来的吗？

小朱：不是，老师是这样讲的：1个八边形是8根，2个八边形是15根，3个八边形是22根，小棒的根数是八边形个数的7倍多1，所以n个八边形就是7n+1根。

笔者：你觉得，老师的答案比你的答案好吗？

小朱：好。

笔者：老师讲的思考方法和你的相比，谁的好？

小朱：我的方法也挺好。要是我把答案化简一下就好了。

笔者：你觉得老师这样批改有道理吗？

小朱：应该有吧。

……

这一段对话引起了笔者的思考。从上述对话中可以看出，小朱对这道题的思考是完全正确的，他发现了图形的变化规律以及变化过程中小棒的排列特点，并且依据这种特点，很自然、很准确地表征了小棒的根数与八边形的个数之间的关系，显得水到渠成。然而教师却轻易地将孩子的答案判为错误，毫无疑问，教师的这种评判是不对的，这种误判折射出了我们很多教师在认识上的偏差。

一、 原生态表征与精致化表征孰高孰低

小朱所写出的答案8n-（n-1）可看成是一种对小棒根数与八边形个数之间的数量关系的原生态表征，它是在学生观察比较的基础上，独立探索、自主发现并表征出来的数量关系，反映出学生思维的原始性，它真实、自然地反映了学生的思维过程和对题中数量关系的理解，更多地体现了对思维过程的直接揭示；而从教师的角度理解，教师给出的答案7n+1可以看作是一种在学生原生态表征基础上的进一步精致化，更多地体现了对思维结果的形式化表达。

这两种表征方式在数学学习中都经常地、大量地存在着，它们之间是否存在孰高孰低的问题呢？

从表征的结果上看，它们都正确地揭示和反映了数量之间的本质联系；从表征的过程上看，两种答案呈现出不尽相同的形成路径：小朱的原生态表征是通过观察，发现从第二个图形开始八边形就重合在一起了，2个八边形有1条边重合，3个八边形有2条边重合，以此类推n个八边形有n-1条边重合，n个八边形有8n条边，减去重合的n-1条边，那么就需要8n-（n-1）根小棒了；教师的精致化表征是将每个图形中的小棒个数写出来，然后发现1个八边形是8根，2个八边形是15根，3个八边形是22根，从小棒根数与八边形个数的数据内部关系中得出：小棒的根数是八边形个数的7倍多1，所以n个八边形需要7n+1根小棒。它们都具有其特定的思维视角，各自从不同的角度揭示和反映了两个数量之间的本质联系，应该说都具有独特的内在思维价值，而我们知道内在价值是“无价之宝”，无价之宝是无法进行比较的。从实际操作来看，精致化表征可以从数学情境中生成即直接建构，如老师向学生介绍的这种思路；也可以已有的原生态表征为依托，通过引入数学元素进行化简，形成更凝练的精致化表征即间接建构，如小朱所理解的由8n-（n-1）到7n+1的化简过程，这种间接建构既反映了二者之间的联系，同时也是对原生态表征的内在价值的充分肯定。

综上所述，像本例中教师这样“厚此薄彼”所作出的评判，视原生态表征为未完成品，而视精致化表征为成品，并将精致化表征视为唯一恰当的表征样式的认识无疑是错误的。

二、 横向数学化与纵向数学化何去何从

那么，在我们的教学实践中，如何恰当地处理这两种表征方式之间的关系才能更加有利于学生认知结构的完善，更加有利于学生思维的发展和数学能力的提升？笔者以为，将数量关系的原生态表征与精致化表征并重？并促进两者之间的互补与整合，无疑是数学教学明智的选择。为何要并重，如何互补与整合？弗赖登塔尔的数学化思想应该能给我们以一定的启示。

弗赖登塔尔认为：当我们把数学当成一种活动，它的一个主要特征是数学化。数学化可分为横向数学化与纵向数学化，横向数学化注重从生活到数学，从现实情境到数学体系，而纵向数学化注是数学体系内部的变换、重组。本例中，无论是原生态表征8n-（n-1），还是精致化表征7n+1，都可以直接从横向数学化的维度得到，即都可以对图形观察、分析，然后抽象出关系；与此同时，精致化表征7n+1还可以通过将原生态表征8n-（n-1）以化简的方式进行数学内部的重组即纵向数学化的维度得到。

从横向数学化和纵向数学化进行分类，数学教育可以分成四种类型：缺少横向数学化，也缺乏纵向数学化，是机械主义的教学；横向数学化得到成长，但纵向数学化不足，是经验主义的教学；横向数学化不足，但纵向数学化被培养起来，是结构主义的教学；横向数学化与纵向数学化都得到成长，是现实主义的教学。当下我国基础教育数学课程改革倡导现实主义的教学，横向数学化与纵向数学化要结伴而行、均衡发展。[1]

这样，就从数学化的角度为我们提供了理论依据：数量关系表征应该从单一的精致化转向以两者并重，这就要求教师在教学实践中必须重视学生的原生态表征，但又不能让学生的认知发展仅仅停滞在“自发”的水平上，要及时引导学生由原生态表征向精致化表征提升，并实现两者的互补与整合。所以，当学生得到原生态表征之后，教师可以通过引导学生转换思维方式从横向数学化的维度直接构建精致化的数量关系，也可以引导学生运用已学过的数学定律、性质对原生态的表征进行形式化处理，从纵向数学化的维度逻辑推理出精致化的数量关系。但就这种间接建构的方式而言，教师必须注意的是：尽管学生经历了由原生态向精致化的逻辑推理，但并不意味着学生随之自然而然地建立起与精致化相对应的数学思想方法，还存在知识与方法“分离”的危险。因此，对于形式化推演出来的精致化表征，教师应及时引导学生将其与数学概念、直观图形联系起来综合考查，使学生发现、领悟和建立起与精致化表征相对应的数学思想方法，实现思维方式的转换，建构起精致化数量关系表征的完整意义。[2]

就本例而言，教师在评讲试题时，一方面要充分肯定学生给出的这个答案，并鼓励学生将这种答案及其思考过程向全体同学展示；另一方面，也要引导学生将这个答案进一步化简为7n+1，使之在形式上更加简洁以体现数学的特征。更重要的是引导全体学生从题中的图形出发，从不同的思维视角建构起7n+1的实际意义。

方法一：根据题中的图形，形成下列表格：

观察表格中上下两行数据之间的关系：8=7+1，15=7×2+1，22=7×3+1，……。从而得到：n个八边形，小棒的根数是7n+1根。

方法二：将题中的图分解如下，并逐一动态呈现：

引导学生发现：1个八边形，小棒根数是1+7根，2个八边形，小棒根数是1+7×2根，3个八边形，小棒根数是1+7×3根，……。从而得到：n个八边形，小棒的根数是1+7n根。

从更高的层次来看，坚持数量关系原生态表征与精致化表征并重、横向数学化与纵向数学化结合，不仅仅是为了学生认知结构的完善，更重要的是为了学生智慧的生成与发展。学生可以从多种角度去思考问题，其思维视角是多向的，其思维方式是多样的。如此的数学教学才能真正“使人具有活跃的智慧”，数学学习才能真正成为“智慧之学”。

参考文献

[1] 王永.寻找均衡的数学化[J].人民教育，2006（1）.

[2] 张彪.数量关系表征：原生态与精致化的辩证思考[J].福建教育（小学版），2007（12）.

数学问题表征 篇5

关键词：问题表征,理解题意,数学思想,思维习惯,感悟

策略一、理解题意是正确表征的基础

正确表征的基础就是理解题意.要想正确理解题意, 学生首先必须有较强的数学阅读能力, 以及语言感受能力, 思想分析、辨别与兼容能力.其次要有收集处理信息的能力, 能抓住问题的实质, 对试题提供的信息进行分检、组合和加工, 寻找解题途径.

学生, 通过对以上材料的阅读, 请解答下列问题:

(1) 2+4+6+8+10+…+100 (即从2开始的100以内的连续偶数的和) 用求和符号可表示为____.

分析:本题就是先给读者提供全新的阅读材料, 介绍了求和符号“∑”的意义, 这是学生没有碰到过的新知识, 只有通过阅读理解求和符号的意义, 书写格式等知识, 才能正确解答下面有关问题.求和符号的下面和上面的数字分别表示求和加数的首、尾数字序数, 求和符号右边的代数式表示求和加数的性质.

策略二、感悟数学思想是正确表征的关键

数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中, 是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括, 如抽象、分类、归纳、演绎、模型、数形结合等.学生在积极参与教学活动的过程中, 通过独立思考、合作交流, 逐步感悟数学思想.在初中数学的学习过程中, 正确理解和使用数学思想方法, 可以使得很多复杂问题变得简单, 因此, 感悟数学思想是正确表征的关键, 它能有助于学生形成自己的数学学习体系和数学知识结构框架.比如, 模型思想是初中数学问题正确表征的一种重要思想方法.模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括:从现实生活或具体情境中抽象出数学问题, 用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律, 求出结果并讨论结果的意义.

例2小明到眼镜店调查了近视眼镜的度数和镜片焦距的关系如表1.

(1) 根据上表体现出来的规律, 请写出眼镜度数y (度) 与镜片焦距x (cm) 之间的函数关系式; (2) 若小明所戴眼镜度数为500度, 求该镜片的焦距.

分析:这是一个典型的利用数学建模解决实际问题的例子.首先, 建立数学模型, 要根据表中给出的数据在直角坐标系中描出点图, 再根据所得的图形的形状判断两变量之间的函数关系, 选择相应的函数关系式———反比例函数;其次, 解模, 求出所选函数关系式的待定系数, 确定具体的函数关系式, 再求出该镜片的焦距.

策略三、良好的思维习惯是正确表征的灵感源泉

数学问题表征 篇6

问题解决是在问题表征基础上的尝试, 问题表征不完善时就是试误, 问题表征正确时就产生顿悟。Gick认为数学应用题问题表征需要完成“信息识别 (包括剔除无关信息、补充必要条件或找出问题所在) 、语义理解 (运用数学领域知识准确表征问题, 理解语句关系) 、整体表征 (对所有语句和数量整合统一, 达成整个问题框架) 、问题归类 (将问题归入某个特定图式并激活) ”这一过程。辛自强 (2003) 认为促进问题表征有四个阶段的工具模型:理解模型描述如何把问题中的词汇译成内部表征, 将问题提供的信息在记忆中表征;图式模型描述人们面对一系列问题如何把它们归成不同的类型;过程模型描述人们如何执行定义良好的认知操作;策略模型描述人们完成复杂认知活动时, 如何设定、达成和监控目标。本文从信息加工的角度, 将数学应用题的问题表征过程划分为四个阶段:

1、引起注意, 理解文字情境

应用题的信息都包含在一定的问题情境中, 学生首先要引起注意, 对文字、而不是数字构成的情景进行理解, 这种理解的正误、深浅会直接影响问题表征的正确与否。

2、选择分类, 提取核心信息

提取应用题所含的核心信息, 包括外显关键信息、隐晦关键信息与冗余信息三类。学生通过筛选、分析三类信息在题目的中的具体作用, 以及已知条件与问题条件、问题目标、问题操作等之间的关系。

3、激活图式, 进行结构表征

指学生将选择的各类信息进行组织, 并与头脑中先前知识进行联结, 形成问题空间。

4、整合信息, 形成解题方案

指学生整合应用题蕴含的所有信息与激活的先前知识, 得出求解应用题的方案方法。

然而, 应用题问题表征往往不是一帆风顺的, 一个思路在执行时总会发现有的环节行不通, 就要进行重新表征、重新进行模式识别, 修订解题方案, 再执行, 再修订, 需要循环经历提取情景信息——组织核心信息——联结结构信息——整合信息这一过程, 直至形成适宜的表征, 真正解决问题。

二、小学生应用题问题表征存在障碍的调查设计

为了考察学生应用题问题表征“提取情景信息——组织核心信息——联结结构信息——整合信息”四阶段存在的障碍, 研究以通渭路小学58名六年级学生为研究对象, 利用《小学生应用题表征障碍调查问卷》和《小学生应用题问题表征口述报告材料》, 先后进行了量化统计与质性记录。

1、《小学生应用题问题表征障碍调查问卷》设计

根据“提取情景信息——组织核心信息——联结结构信息——整合信息”四阶段的基本内涵和认知过程, 经修改、增减, 编制成《小学生应用题问题表征障碍调查问卷》, 包含4个项目 (即问题表征四个阶段) , 23道题目。通过“从不”、“很少”、“有时”、“经常”与“总是”五个频次程度来考察被试在问题表征各阶段的情况, 并采取反向计分的方式进行统计。

样题:T4:读题目时, 我能想起应用题所包含的主要公式 (如S=v×t) 。

□从不□很少□有时□经常□总是

2、《小学生应用题问题表征口述报告材料》设计

口述报告材料由题目、初步印象、解题步骤、困惑及解决方法、总结五部分组成, 从高分组和低分组中各选取了一名学生, 作为应用题问题表征优秀生 (A同学) 和学困生 (B同学) 进行了2道题目的口述报告。

三、结果分析

1、不同成绩学生的差异分析

按得分处于前27%、后27%将被试分为高分组和低分组, 对高分组、低分组学生问题表征四阶段调查得分进行了差异性检验, 如表1。

如表1, 高分组、低分组学生在问题表征四个阶段均存在显著差异, 并且高分组的被试得分显著高于低分组被试, 即高分组学生在问题表征四个阶段存在的障碍显著少于低分组。其中, 在提取情景信息方面, t=1.289 (p﹤.05) ;在组织核心信息方面, t=3.450 (p﹤.05) ;在联结结构信息方面, t=2.490 (p﹤.05) ;在整合信息方面, t=2.416 (p﹤.05) 。

2、口述报告材料分析

首先, 统计了A同学与B同学分别对测试题目的“初步印象”, 分析发现:A同学能够准确地反应出“环形”、“圆形”、“平均分”、“均摊”等简化应用题情境的关键词汇, 并能简要说出此类题目的常用解答思路;而B同学在处理第一道应用题时, 反应出的词汇有“学校跑道”、“每一”、“圆形”几个关键词汇, 第二道题目反应词汇有“肯德基”、“共花费”、“两家应付多钱”等词汇。可见, A同学与B同学在对测试应用题的总体界定上有显著差异, 且B同学在“提取题目关键信息, 界定题目类型”上存在较大的困难。

其次, 按照“提取情景信息——组织核心信息——联结结构信息——整合信息”四阶段划分, 研究者将被试口语报告中“解题步骤”以及对应的“困难、疑惑和使用方法”划分成了四个阶段, 比较A同学与B同学的表现, 记录如下:

Q1:某学校操场的跑道, 最里圈弯道半径是15米, 每条跑道宽0.8米, 一条直道长53米, 第1道与第2道的全长相差多少米?

Step1:提取情景信息阶段

【A同学】发声读题, 用笔逐个勾画出了“跑道”、“弯道”、“直道”、“第1道与第2道的全长差多少?”字眼;并在测试材料上画出一个类似操场的圆环形状, 同时重复地小声说着“操场、环形”、“直道不变”、“只管2个弯道”的字样。

【B同学】发声读题, 一边读, 一边用曲线做下划线, 并用圆圈标记出了“跑道”、“半径是15米”、“宽0.8米”、“直道53米”、“相差”字样, 一直念叨着“圆的半径”、“跑道1与跑道2相差”的字样;接着又用笔尖指着题目读了一遍。

Step2:组织核心信息阶段

【A同学】多次勾画“最里圈弯道半径是15米”并在绘制的操场简易图上标记出“直道53米”、“最里圈半径15米”, 并发声“最里圈就是第1道, 第2道就是15.8米”。

【B同学】强调读出“半径是15米”、“每条跑道宽0.8米”、“直道53米”三个已知条件。

Step3:联结结构信息阶段

【A同学】列出了“2π× (15+0.8) ”、“2π×15”两个算式, 同时出声“直道不变”、“两个半圆”、“圆的周长等于2πr”。

【B同学】发声“半径是15米, 求相差长度, 应该是求周长”, 书写出“2π×15”字样, 并将其他几个数字凑到算式中进行组合, 一会写上, 一会又擦去。

Step4:整合信息阶段

【A同学】再次读题, 一边读题, 一边查看所列算式, 并在两个算式前标注“第1道”、“第2道”字样, 最后列出完整算式“2π× (15+0.8) -2π×15”完成计算、作答。

【B同学】未书写出总体算式。

Q2:淘气一家3口人和亮亮一家4口人去吃肯德基, 共花费210元, 两家人决定按人数分摊费用, 两家各应付多少元?

Step1:提取情景信息阶段

【A同学】发声读题, 用笔逐个勾画出了“3口人”、“4口人”、“共花费”、“按人数分摊”字样, 并说着“两家加起来再按人数分”。

【B同学】发声读题, 用线条勾画出了“淘气一家3口人”、“亮亮一家4口人”、“肯德基”、“共花费210元”、“两家人决定按人数分摊费用, 两家各应付多少元?”字样, 同时重复说出“按人数分摊费用”。

Step2:组织核心信息阶段

【A同学】分别书写出“淘气”、“亮亮”字样, 标记各自是“3”“4”人, 再标记大括号后写上“210”, 同时查看题目中的各个数字, 发声说出“210除以7等于30, 再按人数分配”。

【B同学】多次勾画“淘气一家3口人”、“亮亮一家4口人”、“按人数分摊”, 同时发声说出“两家人平均分配”。

Step3:联结结构信息阶段

【A同学】列出“210÷ (3+4) =30”算式, 书写“淘气家”, 列出“30×3=90 (元) ”, 书写“亮亮家”, 列出“30×4=120 (元) ”。

【B同学】列出“210÷2=105”, 又分别列出“105×3=345”、“105×4=420”;

Step4:整合信息阶段

【A同学】完成作答。

【B同学】未完成作答。

通过对两位被试口述报告材料的整理, 研究发现, A同学在整个应用题问题表征过程中阶段性比较明显 (表现在关键词汇勾画、数字与字母替换、标注文字标记等) , 能够领会四阶段的关键操作。而B同学却显得比较差, 各阶段操作不明显。其中, 在“提取情景信息”阶段, A同学能抓住关键词汇, 将较长的题目内容抽象、简化, 并用图形、文字等进行标记;而B同学却未能勾画出关键词汇, 同时缺乏对题目内容的整体把握, 导致不能用准确、简单的话语总结题目考察内容。在“组织核心信息”阶段, A同学能够撇开冗余信息 (如Q1中的“直道长53米”) , 并直接寻找、书写出外显关键信息 (如Q1中在图形中标记出“半径为15米”) 。更重要的是, A同学能结合自身的知识背景, 理解题目中隐藏的隐晦关键信息 (如Q1中“最里圈就是第1道”、“直道不变”) , 然而B同学却未能区分开外显关键信息和冗余信息, 也没能挖掘出隐晦条件。在“联结结构信息”和“整合阶段”则显得格外差异显著, A同学能够根据题目界定准确回忆相关知识完成作答, 而B同学却未能完成作答。

四、小结

通过调查, 研究归纳分析认为, 在“引起注意, 理解文字情境”阶段, 主观障碍有注意力不集中、读题不认真、忽略情景词汇、核心概念不明确、专业术语不清楚、个别词语不认识等;客观障碍主要是题目情景陌生、生僻词汇。在“选择分类, 提取核心信息”阶段, 主观障碍有条件要素不明晰、所求问题不明确、已知条件没找全、过多关注冗余词句、隐藏条件没挖掘等;客观障碍是题目描述内容过长, 涉及专业术语过多。在“激活图式, 进行结构表征”阶段, 主观障碍有头脑中缺乏类似图式、基本概念不理解、计算公式不熟练、复习已有知识不深刻、不能进行等价转换等。在“整合信息, 形成解题方案”阶段主观障碍有解题思路不清晰、“所求—已知—未知”结构没构建、计算公式条件不明确等。

摘要：本文在归纳应用题问题表征四阶段的基础上, 通过问卷和口述报告考察了六年级学生问题表征四阶段存在的主要障碍, 并对调查结果进行了详细分析。

关键词：数学应用题,问题表征,障碍

参考文献

[1]Gick, M.L.Schema induction and analogical transfer[J].Cognitive Psychology, 1983, 15 (04) :1-38.

基于课程标准的数学表征考查研究 篇7

关键词：数学表征,问题表征,数学问题,错题分析

《学校数学教育的原则和标准 》 一书提到 “ 表征是数学学习的中心”.其对表征的重视程度对教、学、考都有一定指导意义; 而数学教学的目的则大多是关注学生运用这些表征作为分析问题的工具, 从而解决问题.

数学表征指的是学生用某种思维形式将数学概念或关系表达出来, 是对问题相关信息在大脑思维上的加工、 建构过程.学生在解决数学问题中会出现各种错误, 这与数学问题表征能力有很大关系, 就是其表征问题时概念偏差;或在已有知识结构上表征时, 顺序链接混乱;或没有把深层次的信息表征处理导致的错误答题.

一、对学生在学习实践中出现错误或解题偏差即“会而不对, 对而不全”现象进行案例分析

(一) 数学概念的错误表征分析

例1:函数的的零点个数 ( )

A.0B.1C.2D.3

某同学解答:选B.

分析:函数有关问题必须先求定义域, 通过作图可以知道图像不是连续不断的, 所以在这里选B, 是错误地使用了零点存在定义.

正确解答:选A.因为f (x) 的定义域为{x|x≠0}, 当x>0时, f (x) >0;当x<0时, f (x) <0, 所以函数没有零点.

例2:函数值为零时, 自变量x的值是______.

某同学的答案是x=±1.

分析:该问题解决时忽略考虑问题中函数本身定义域是{x|x≠-1}.说明学生在求该函数值为0时, 忽略先考虑函数定义域.函数概念关键的定义域没有给予表征, 数学中函数的基本知识没有理解到位, 也就没有掌握解题基本条件.

(二) 数学公式中、数字、字母理解错误表征分析.

例1: (a+1) 2=a2+1的, 在初学完全平方时, 很大一部分成绩中下的学生会这么认识.

错误分析:这是对数学公式的表征出现障碍, 难以将公式的符号与文中内容一一对应. 数学符号高度的简洁性、 抽象性、概括性, 没有亲身实践体验, 是很难正确理解、形成认识的.所以初中数学八年级课本很详细地用图形讲授、拼图或将图形分割, 利用面积法, 将公式的抽象记忆转化为直观联系, 建立在学生亲身体验的基础上牢固记忆.

例2:对初中完全平方公式的错误运用.

(1) x2+_____x+4是完全平方公式.答案:4.

(2) x2+4x+_______是完全平方公式.答案:4.

(3) x2+4x+ (______) 2是完全平方公式.答案:2.

这三题中, 某生 (1) 、 (3) 两题出现错误, 属于“对而不全”现象, 原因是对完全平方公式中的符号表征出现偏差, 是信息储存加工过程出差错, 缺乏分类思想, 没有考虑两种答案可能.由此可见, 正确的表征对解题产生重要影响.

(三) 数学问题中, 深层次的信息没能表征分析.

这种现象往往是考虑不周或条件隐含太深, 没能挖掘、发现.

例:若函数f (x) =ax2+bx+3a+b是定义在[a-1, 2a]上的偶函数, 求a、b的值.

错解:b=0, a为非零实数.

分析:这里隐含的条件是具有奇偶性函数, 定义域必须关于原点对称, 即a-1b+2a=0, 得, 然后根据偶函数可直接得b=0. 命题编制时, 故意隐去相关数学条件, 大多学生不会用“偶函数”本身的性质表征问题解答关键, 从而不会进行模式识别和解题迁移.

(四) 思路选取 (即解题方法) 出现差异思维量长短或错误的表征分析.

例如图, 在平面直角坐标系中, △AOB为等腰直角三角形, A (4, 4) 过A点作y轴的垂线交y轴于E, F为x轴负半轴上一点, G在EF的延长线上, 以EG为直角边作等腰Rt△EGH, 过A作x轴垂线交EH于M点, 连接FM, 等式是否成立? 若成立, 请证明;若不成立, 说明理由.

分析:针对这个式子进行变式AM-FM=OF即AM=OF+FM, 这样复杂的问题就简化多了, 从线段的和差联想到“补短截长”的方法.

方法1:可以在AM线段上截取AN=OF, 先证明△AEN≌△OEF, 再证明△FEM≌△NEM即可以解决.

方法2:可以在x轴负半轴上截取ON=AM, 先证明△OEN′≌△OAE, 再证明△FEN′≌△OFE从而解决问题.

然而比较方法1和方法2, 方法2相对图形表征线条更清晰.表征更明显, 显然思维长度相差不多, 但更优化.

但是受方法“补短截长”的影响, 延长MF在射线MF上截取FN″=OF, 就已知条件不够而证明不出来.

由此可见, 同一数学问题的表征方式不同, 使得问题解决的难易程度及效果也不同, 适宜的问题表征可以缩短思维过程, 优化解题过程, 甚至避免错误.所以对图形理解要有预测性.受原有知识记忆的干扰, 作为知识迁移、重一般性、忽视特殊性, 说明图形表征能力不准确, 特殊性表征不到位.

(五) 建构过程与原有认知链接出错的表征分析.

例:某种笔记本每本5元, 买x本, x∈{1, 2, 3, 4}, 笔记本的钱数记为y元, 试写出y关于x的函数解析式并画出函数的图像.

错解:曲题意得:y=5x

正解:由题意得:y=5x, x∈{1, 2, 3, 4}.

如图:

错图分析:解决此类问题要特别注意函数的定义域, 本题解答忽略这一问题表征, 从而改变问题的题意, 易画成线段或直线.即受函数已有认知的干扰, 对问题“定义域”这一“关键”内容不予以考虑;关键表征被隐掉, 从而出现“会而不对”现象, 思维不严谨, 表征不够深度, 与固有知识链接不当.

由此, 学生对概念问题表征正确与否对解题“对”与“错”至关重要.学生问题表征能力的强弱, 对学习能力, 特别是自主学习能力的形成也至关重要, 是学生数学思维活动的一种能力体现; 培养学生问题表征能力成为培养学生创新能力的必要, 是新课程教学要求的一项重要任务.

二、教师教学过程应努力的目标

数学问题表征是解决问题的关键, 根据课标要求, 中学教师应注重课堂教学, 将“数学表征能力”的培养植根于课堂.

(一) 训练学生对数学概念的正确表达, 提高问题表征的准确性.

教师在课堂讲授知识的过程中, 应注重自身对教材基本知识的表述, 尤其是概念的内涵、外延的描述, 正确地表征概念.

初中学生在对概念的描述还缺乏数学语言的组织.从小学升到初中, 数学内容的抽象性、概括性、逻辑性等发生了巨大变化, 所以教师在课堂上应着力于培养学习数学规范书写, 数学规范用语, 注重数学语言的组织和阐述, 首先让学生明白数学是来自生活的一门无声科学, 是用无声的语言表达展现的.而高中生随着思维能力的发展和知识量的增加, 应注重问题的外部表征能力的培养, 即会用符号表达, 文字语言表达, 会用直观图表阐明等三种语言的转化.同一种概念可从不同方面表述.

例1:对函数概念的正确表达: (1) 是描述变量之间的依赖关系是一种特殊的映射; (2) 函数的定义域、值域; (3) 函数的表示法有图像法、列表法、解析法, 培养学生“以形解数, 以数示形”的思维能力.

例2:用图像展示函数的奇偶性;f (x) =x2+1阐述在整个定义域 (-∞, +∞) 上是偶函数, 组织学生进行图形语言和符号表征训练, 从而提高问题表征能力.

(二) 创设思维场的情景, 促进基本知识的建构, 深化问题表征.

对数学概念表征的认识, 引发教师对数学教学的进一步思考.学生作为学习的主体, 教师要预测性地看到初学者将碰到的难点和疑点, 然后以初学者最可以理解的方式理解概念, 要创设适当的情境使问题表征尽可能与数学概念原型相吻合, 帮助学生加深对数学概念的理解.

例:进行“向量”概念表征:根据课标要求, 教师让学生对“向量”正确的物理背景和几何背景入手, 通过力的分析等实例, 建立在学生熟悉的矢量等概念的基础上, 引出向量的概念.

(1) 将向量与数量比较, 使学生更深刻地把握向量的概念.

(2) 通过向量的平移说明向量相等与起点无关.

(3) 通过与平面几何中的直线、 线段的平行概念比较, 使学生知道两个共线向量不一定在同一直线上, 但两个向量平行就是共线向量, 零向量与任意向量平行.

让学生正确了解向量实际背景, 会用字母表示向量、理解零向量、单位向量、相等向量及向量的模, 会用几何知识进行表征比较, 由此可见高中数学学习不再是单纯的记忆、接受、模仿;发挥学生的主体作用、主动学习、不断探索, 而创设问题情境可以激发学生思维, 提高解决问题能力, 从而拓展元认知的开发.

(三) 把握基本知识之间的网状关系, 提高问题表征迁移性.

在初中教材中, 这一点的训练尤为重要.初中学生, 不管是学习内容或思考问题上, 相比小学阶段大大跨越了一步, 教师应循循善诱, 注重章节之间知识点的区别联系, 让学生简化内容的记忆、模仿, 激发概括、推理、转化的思维方式.

例1:初中几何网状图:

性质判定的关系用这图形全部简化.

例2:小学数学“分数”延伸到初中“分式”的概念性质比较, 有助于记忆.

例3:“非负数”联想到“绝对值”、“完全平分数 (式) ”、“二次根式”等等这种网状概述有利于培养学生归纳、总结能力, 建立知识的结构系统.

(四) 帮助理清问题的思路, 提高问题表征的条理性、灵活性.

在复杂、陌生的数学问题面前, 学生有时会困惑, 教师应鼓励学生增强学习信心, 尝试将困难问题通俗化, 帮助学生认真审题、理清思路、化复杂为简单, 将陌生问题表征与原有知识相联系, 深入浅出地剖析问题.

例: (2015年全国卷, 文11, 理11 (文理同题) ) 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 (半径为r) 组成一个几何体, 该几何体三视图的正视图和俯视图如右图所示. 若该几何体的表面积为16+20π, 则r= ( )

分析: 本题是考查学生的空间想象能力和推理论证能力, 而三视图是考查空间想象能力的很好载体.全国卷加强三视图的考查, 且达到一定深度, 难度大大增加, 对这类复杂图形, 将问题转化为平面几何, 并运用原有几何的知识去表征, 从而解决问题.

总之, 学生解题的质量与学生数学问题表征能力是紧密相关的, 对问题进行合理、正确、适宜的表征, 会减少解题思路偏差.只有通过严密的数学问题表征训练, 培养学生严谨的数学语言表达能力, 提高思考的条理性和灵活性, 才能保证教与学的质量, 这是数学课程标准提出的重要目标.

参考文献

[1]福建省普通高中新课程教学要求 (试行) 数学, 2008.6, 第一版.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准 (实验) [M].北京:人民教育出版社, 2003.

[3]文萍.高中生数学概念表征的研究[J].玉溪师范学院学报, 2008, (8) :61-65.

[4]郭秀玲, 李忠海.学生数学问题表征能力分析[J].中国数学教育, 2008.9.

数学中的概念表征与理解学习 篇8

一、相关概念

1. 数学中的理解学习

数学中的理解学习应是学习者先认识数学对象的外部表征, 构建相应的心理表象, 然后在建立新旧知识联系的动态过程中, 打破原有的认知平衡, 将数学对象的心理表象进行改造、整理、重组, 重新达到新的平衡, 以便抽取数学对象的本质特征及规律, 从而达到对数学对象的理解.

2. 数学概念表征

概念域是指关于某一个概念的一组等价定义的图式.也就是说描述一个概念的角度应是多维的.现代认知心理学认为图式是人脑对事物或事件的一般特征的概括, 贮存在人的长时记忆中, 简单地说就是知识表征的储存方式.例如, 对正方形概念的等价定义有: (1) 有一个角是直角的菱形; (2) 有一组邻边相等的矩形; (3) 有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形; (4) 对角线相等的菱形; (5) 对角线垂直的矩形……

二、相关指标

1. 刻画数学理解学习的四元指标

(1) 对数学知识理解的指标之一是对公式、法则等的简单模仿.这种模仿处于数学理解的最低层次, 也是必不可少的一个层次.此时的模仿只是对公式、法则表象的理解, 甚至对它们本身的意义并不清楚. (2) 对数学知识理解的指标之二是知识本身的灵活运用.是知其然的表现. (3) 对数学知识理解的指标之三是能用自己的语言叙述知识, 知道知识的产生过程, 并能知道与该知识等价的知识.这是知其所以然的体现. (4) 对数学知识理解的指标之四:是在新的情况下综合运用.这是数学理解的最高标志.

2. 刻画数学概念表征的四元指标

(1) 对数学概念表征的指标之一是概念表征的真度.也就是对一概念的理解正确程度. (2) 对数学概念表征的指标之二是概念表征的深度.也就是对一概念理解的深刻性的程度 (3) 对数学概念表征的指标之三是概念表征的广度.也就是对一概念相关概念的联系程度. (4) 对数学概念表征的指标之四是概念表征的速度.也就是对一概念表征的快慢.有的学生反应比较快, 有的学生反应比较慢.同样对概念表征也是如此.对一个概念有的学生能很快说出, 有的学生还没有想好.

三、数学概念表征对理解学习的影响

理解学习是数学学习的关键.而数学概念表征是学习数学的基础.有了概念, 才有命题定理, 才有了知识的综合运用因此概念表征是理解学习的第一步, 也是最关键的一步.如何完善数学概念表征呢?

1. 提供丰富的具体材料

概念学习一般分为概念形成和概念同化两种.所谓概念形成是指同类事物的关键特征可以由学习者从大量的同类事物不同例证中独立发现.教师向学生提供了丰富的感性材料, 学生借此在大脑中建立了对该事物的感觉、知觉、表象, 从而获得了对该事物的一些具体认识.学生在进行概念表征时有了一个具体的思维物.有助于学生找到相应的心理图像, 从而初步建立起概念的表征.采用概念形成的方法学习概念, 由于是学生主动参与程度高, 积极性高, 有利于调动各种认知因素, 更有利于建立起概念的表征.而理解学习首先从认识数学对象外部表征开始, 所以丰富材料也有利于理解学习.

2. 不断总结构建完善的概念域和概念系

形成初步的概念表征是理解学习的第一步, 建立起完善的概念域和概念系是理解学习的重要标志.教师在教学中要有意识地对相关知识进行总结, 使同一概念在不同章节中的表达统一起来, 从而建立起相关的概念域.例如证明两条直线互相垂直的方法: (1) 定义; (2) 两个锐角互余; (3) 勾股定理逆定理; (4) 等腰三角形三线合一; (5) 矩形、正方法性质; (6) 直径所对的圆周角是直角……这一组方法就组成了垂直的概念域, 而与垂直存在某种关系的概念网络就构成了概念系.事实表明概念域和概念系越完善, 数学学习就越容易.也就是将数学对象心理表象更有效地进行重组、整理, 纳入到认知结构中去.

3. 重视概念表征中的变式

变式是不断变换呈现的形式, 以便让学生区分出数学概念的本质属性.例如, 在讲垂直概念时, 学生习惯思维是与水平放置物体垂直理解, 对斜放的物体呈垂直不认可, 这说明学生受到了无关材料的影响.因此改变垂直的呈现方法有助于概念的学习, 有助于形成正确的概念表征, 加深对数学的理解.

4. 重视元认知对概念表征的影响

简单地说元认知就是对认知的认识.它包括元认知知识、元认知体验、元认知监控三个方面.良好的元认知结构有助于概念表征的形成.在概念表征中监控自己的表征有多少真度、深度、广度、速度.监控自己的概念域和概念系有没有形成;监控自己对数学概念的理解程度.从而形成概念表征与理解学习的良性循环.

参考文献

[1]邵瑞珍.教育心理学[M].上海:上海教育出版社, 1998.

[2]吴庆麟.教育心理学[M].北京:人民教育出版社, 2001.

可视化表征在工程问题中的应用 篇9

美国数学教师协会在“学校数学的原则与标准”中提到，使用表征来模式化及诠释物理、社会或数学现象，可以有效增进学生对学习内容的理解。表征可以帮助学生理解问题、呈现解题方法及形成思路，它有助于“与别人沟通想法，或帮助学生重组相关概念间的关系连结，并应用数学解决客观世界的现实问题”[1]。在教学实践中，教师运用表征来帮助学生理解数学概念，学生通过表征来传达其所内化的数学概念，而且教师也可以“从学生的表征来检查其数学理解的程度”[2]。

“问题解决”能力是数学学科的关键能力，从“问题解决”的层面来看，形成表征是解题的初始阶段，在表征过程中可形成解题的线索。尤其外在表征更是解题的重要辅助；如果解题者对问题所形成的表征不正确或不恰当，将会影响其找到正确解题的思路与方法，故问题表征对解题成败有关键性的影响。Lesh提出与数学学习有关的五种表征，即“实物、教具模型、图形、语言与符号，其中前三个表征较为具体，后二个表征较为抽象”[3]。图形表征不但能帮助学生记忆知识，还能强化他们对内容的理解。“当教师帮助学生以图形表征方式呈现新知识时，学生能深入思考并记住相关知识，学习成就会提高。”[4]这里所谓的图像表征其实是一种可视化表征的方法，当个体面临解决数学问题时，会在脑海中或在纸上呈现与问题有关的图像，以帮助个体进行解题思路的可视化表征。

从教学实践来看，传统的教学往往要学生熟记公式，忽视公式的理解是否超过学生的认知，未能善用可视化的方法帮助学生理解问题。恰当的可视化表征能帮助学生理解数学问题，可避免抽象的符号运算带来的思维困惑。而对问题采用可视化表征，是减弱采用的逻辑推理的抽象符号表征的一种有效手段。基于此，本文以可视化表征在工程问题中的应用为例，以期使一线教师充分认识到使用可视化表征在发展学生解决问题能力上的优势，进而提高教学质量。

二、 “工程问题”的可视化表征

本文根据小学工程问题条件的呈现方式，将工程问题分为实—实对比、虚—实对比、虚—虚对比三类，其中“实”是指具体的量，“虚”是指相对的数值，通常情况表现为一种比例关系。Van Hiele 认为，利用可视化的表征方法有降低思考层次的效果。[5]研究运用可视化表征，通过不断对比两个量之间的关系来帮助学生理解问题，提高问题解决能力。

1.实—实对比

（1）工作量为整数

传统解法：直接教21÷（1-）=33的算则，或者利用比例求解，这对于学生而言，只是记忆算则而已，因为此算则内含当量除的观念，对学生来说似乎过于抽象。

可视化解法（图3）：图形代表的意义为的工作量需要21天，即将工作量分为11个单位，其中的7个单位是21天，那么1个单位（）的工作量需要3天（21÷7=3）。这样的解题策略是先画出工作总量有几个子单位，再从子单位的数据回头推算1个单位的量值。也就是说，透过图像表征出题意所给定的条件，继而求出的工作量需要3天，学生可能因此较容易看出整体1 （工作总量）需要33天。

3.虚—虚对比

例4，甲一天的工作量是乙的1倍，甲、乙两人合作需4天，如果甲、乙单独做分别需要几天完成？

解此题策略是利用基准化的观点，把基准量视为1，把比较量视为基准化后的比值，但站在学生的立场，甲、乙工作量之间，该定位何者为“基准量”、何者为“比较量”？常有混淆不清的困扰。若能引导学生使用可视化表征来增进题意的了解，进而找到解题的线索与理解算式的意义，则更能协助学生成功解题，建构数学知识。

可视化解法（图4）：

第一次对比：取乙为基准量，甲为对比量。甲、乙合作需要四天完成，甲为深色，乙为浅色。

第二次对比：四天以四行来表示，甲乙合作一天的工作量以一行来表示。每行：5+4=9个单位。

第三次对比：相对应甲乙合作一天而言，四天工作总量为9×4=36个单位

第四次对比：甲每天工作5个单位，相对于工作总量而言，需要36÷5=7天）

乙每天工作4个单位，相对于工作总量而言，需要36÷4=9（天）

以上工程问题，笔者皆提供了可视化表征的对照图。希望能通过可视化表征来帮助学生理解题意和解题过程、重组相关概念之间的关系连结。尤其在表征过程中可形成解题的线索，辅助学生成功解题。此外，在解题过程中，可视化图形既是辅助学生解题的素材，也是传达想法给他人了解，帮助两者相互沟通的表征工具。

三、 结论

由以上分析可知，就小学数学工程问题而言，可视化表征在解决问题过程中，需要结合三次表征，其主要思路如下：

但不管是透过语言或非语言的表征方式，教与学的互动就是师生不断表征的过程。然而，表征并非人类与生俱来的能力，而是学习得来的，且表征方式也随着年龄而渐次发展：从动作表征到图像表征，再到符号表征。虽然符号表征能力实属高阶思维，但人类的思考却是三种表征交替使用。也就是说，人类的思考其实是很有弹性的，有时用图像思考，有时用符号思考，但总是以有利于理解问题和解决问题为考虑。所以，解决数学问题当下所显现的思考也是如此，有时用具体表征，有时用图像表征，有时用符号表征，须视问题的情境来决定。而在教学的互动过程中，教师要用何种表征来帮助学生理解数学概念，除了依据问题的情境以外，同时也要取决于学生的认知程度。研究发现，对于小学数学工程问题的可视化表征，当问题类型为实—实、虚—虚对比时，采用单位格表示较为恰当，而虚—实类型比较适宜用线性的单位表示。

因此，教师面对抽象的问题时，应帮助学生建立心像，以作为思考的凭借与沟通的媒介。可视化表征对学生而言是心智技能的运用，需要不断的练习、反馈与修正，才能更为熟悉与精通。故教师平时就要指导学生练习视觉化表征，及时提供反馈，以帮助建立视觉化表征的解题策略，增进学生对数学概念的理解。

参考文献

[1] National Council of Teachers of Mathematics..Principles and standards for school mathematics. Reston， VA：Author.2000.

[2] English， L.D.，& Halford，G.S.Mathematics education：Models and processes. Mahwah， New Jersey：Lawrence Erlbaum Associates， Inc.1995.

[3] Grouws D A.Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning[M].New York：Macmillan Publish Company，1992.

[4] Marzano，R.，Pickering， D.，& Pollock，J.，Classroom instruction that works. Association for Supervision and Curriculum Development：Alexandria， VA： Association for Supervision and Curriculum Development.2001.

[5] Van Hiele，P.M. Structure and insight[M].New York：Academic Press.1986.

数学问题表征 篇10

一、中美小学生数学学习的多元表征

中国小学生在国际数学几次测试中取得较好成绩，形成了“中国学习者的悖论”现象，迄今为止，一直是国际数学教育研究关注的热点。[3]国际数学教育家蔡金法对国际数学测试结果的深入研究发现，[4]中国学生在“过程受限”问题(processconstrained problems，指那些通过实施标准算法就能解决的问题)表现很好，但在“过程开放”问题(process-open problems，指通常不能通过一种算法就可以解决，而是需要对问题情境作新的探索的问题)中不如美国学生。研究表明，我国学生问题解决的常规能力优于美国，而问题解决的创新能力不及美国。进一步的观察分析认为，[5]美国学生喜欢使用图示的、表格的、言辞的等直观、具体的表征和与之相应的直接策略，突出非形式化的数学理解;而中国学生擅长使用符号表征和与之相应的抽象策略，过分强调形式化的数学抽象。这从以下中美六年级《比例问题》测试案例[6]可以看出。

问题：有一些孩子和一些比萨饼，7个女孩平分2个比萨饼，3个男孩平均分1个比萨饼，每个女孩分得比萨饼与每个男孩分得比萨饼一样多吗?解释或展示你是如何找到答案的。

90%中国学生如下解答：

80%美国学生如下解答：

解法一：3个女孩分1个比萨饼，另外3个女孩分另1个比萨饼，这6个女孩中的每个女孩都与3个男孩中的每个男孩分得同样多的比萨饼。但是有1个女孩没有分得比萨饼，所以说，每个男孩分得的比萨饼更多。

解法二：3个女孩分1个比萨饼，剩下的4个女孩分1个比萨饼，剩下的4个女孩每人分得的比萨饼要少于每个男孩分得比萨饼，所以男孩分得比萨饼更多。

多数中国学生采用符号表征的一般算法，比较直接地给出答案，显得严谨规范。多数美国学生采用直观形象表征，给出许多具体算法，显得简洁明了，甚至有些趣味。可以看出，中国学生在问题解决时，采用被动的套用公式，模式化倾向较浓;而美国学生在问题解决时，主动地创建个人喜爱的方法，个性化倾向较多。我们可以说，形式化的套用和变式练习有助于学生的基础知识和基本技能的学习，但是如此下去，或多或少地泯灭了数学概念理解和问题解决朴实的、生动的、具体的思维过程以及此过程中的思维火花，不利于学生创新思维的发展。具体的、形象的教具和表达利于引起学生的学习兴趣，利于理解数学内容，但是如此下去，不经过具体材料到抽象概念的建构学习思考，肯定不利于学生的数学知识结构完善，以及更好地运用知识解决问题。综合来看，多元表征(言语表征、图表表征、数字表征和符号表征等)及其策略的学习可以取中美两国所长，以充分发展学生的数学思维和创新能力。

二、小学数学多元表征的教学

从以上案例可以看出，学生数学思维和创新能力发展离不开多元表征的学习。数学学习规律表现为从具体材料到抽象概念，再到具体问题解决的一系列过程，体现为非形式化到形式化，再到更广的非形式化验证和运用。数学内容理解表现为由直观表征到符号表征转化、以及符号表征与直观表征的联系，中间交织着言语表征。学生对数学内容的理解程度表现在自己创建多元表征形式的过程中。教师将自己对数学内容的理解、信念和观点等的教学表征转化为学生易于接受的多元表征，以此发展学生的多元表征，帮助学生学会数学思考，培养学生创新意识，这应成为数学教学的重要策略。

1. 以直观表征引入数学概念

在小学数学教学中，直观表征表现为具体实物、模型、图形、表格等可视材料或教具成为小学生学习的基本辅助材料，形式多样和丰富多彩的情境表征，可以激发学生学习数学的热情和兴趣，也可以促进学生的概念性理解。教师首先针对所学内容，发掘或者创设一些不同类型的直观表征，帮助学生形成数学概念的知觉理解。如分数1/2的认识，可设计其面积表征、集合表征、线段表征、言语表征和运算表征等，如：

(1)面积表征

(2)集合表征

(3)线段表征

(4)运算表征

1个苹果分给2个人，可以用1÷2表示(读作二分之一)

教师引导学生认识1/2的不同表示，给以直观形象的认识，从概念涉及的外延上启发学生对1/2的意义思考。这样的概念引入从广度上为概念理解打下了基础，也激发了学生的学习兴趣。

在直观表征使用上，美国教师在数学教学上过分依赖直观表征，经常使用具体的、可操作的教具或模型。当然，使用这些教具或模型的目的显然不仅仅是为了追求数学课堂教学的趣味性，更多地是帮助学生理解抽象的数学内容。要真正理解所学内容，教师应让学生明确具体与抽象之间的关系，让学生认识到所学的数学内容是具体模型的抽象，是认知的一种飞跃。只有通过思维，才能把握到事物抽象的本质。

具体直观表征的使用有助于促进学生思维从具体到抽象发展，但是过多的使用则有可能妨碍学生对数学内容的深层次理解，使学生的理解和思维停留在低层次水平上。

2. 多元表征变式加深数学理解

美国NCTM在2000年的《学校数学课程标准与原则》中指出，“不同的表征将导致不同的思维方式”，[7]它建议学生不仅应该学会在问题解决过程中选择、使用与转化各种数学表征，而且应能够在概念的不同表征之间建立广泛的联系。就像德雷费斯(Dreyfus)和艾森伯格(Eisenberg)(1996)指出的，“任何表征将能够表达出部分但不是全部的信息，凸显其中的一些方面，而隐藏另一些”。[8]在数学教学上，创设或操作多元表征来适合知识和思维，可以帮助学生更快地形成数学抽象表征，达到数学本质理解。恰当的多元表征变式可以起到如此作用。如对1/2的理解，可设计或变式其面积表征、集合表征、线段表征、言语表征和运算表征等，如：

(1)面积表征变式

(2)集合表征变式

(3)线段表征变式

(4)运算表征变式

A、1个苹果分给2个人，可以用1÷2表示(二分之一)。

B、小玉有3元，小伟有6元，小玉是小伟的几倍?表示为3∶6=1/2。

C、一个月饼分给2个人，每个人吃1/2。

(注：每一个表征的变式中，前两个是肯定变式，后一个是否定变式。)

教师引导学生对1/2的不同表征进行变式，给以抽象本质的认识，从概念内涵上启发学生对1/2的意义思考。这样的概念理解从深度上为概念的巩固找到了捷径，也培养了学生的数学抽象能力。

在表征变式使用上，中国教师在数学教学上过分依赖符号表征变式，经常使用概念本质属性的标准变式和非标准变式。当然，使用这些变式的目的显然不仅仅是为了追求课堂教学的趣味性，为变式而变式，而是更多地帮助学生理解抽象的数学内容。多元表征变式[9]就不单是针对概念进行本质变式，而应该针对概念形成的有关概念意图(多元表征)的每个表征进行变式，达到多元表征的有效转化和联系，由此形成学生丰富的图式，便于学生理解数学和运用数学。

多元表征中的每一个表征都是学生学习的知识，都有其实质内容，只不过表达形式不同而已。通过多元表征的变式，可以解决背景资源不足和种类不够丰富的困难，达到知识组织的完善、有序，利于知识的提取和加工。但是，过多的使用则有可能增加学生对数学内容的理解负荷，使学生的理解和思维停留在混沌状态上。

3. 引导学生自己创建多元表征

案例测试表明，通过实际切比萨饼来解决1/2的相关问题，几位中国学生做得不够理想。由此看来，中国学生自己构建数学表征的机会较少。学生构建自己的表征应该从直观的形象表征开始，应多给中国学生机会，让他们从实际的、直观的角度构建自己对数学概念、关系和法则的表征，深化或完善抽象表征理解。

开始时，教师应用具体表征或实际操作来鼓励学生运用自己的策略来理解数学或解决问题。学生的策略可以是教师教过的，也可以是教师没有教过的。当然，随着学生数学概念的发展，要求教师帮助他们形成更多概括性的表征和策略，从而发展他们对数学的抽象思维和概念性理解与运用，从中发展他们的创新能力。以下介绍美国教师引领学生创建多元表征解决问题的案例[6]改编，以给中国教师提供教学参考。

问题：如图1,2个足球、1顶帽子的价钱一共是80美元，1个足球、2顶帽子的价钱一共是76美元，问每个足球和每顶帽子的价格各是多少美元?

(1)教师引领学生用图形表征进行求解

解法一：

利用所给图1，如果把两组图形加起来，就可以发现3个足球和3顶帽子的价钱一共是80+76=156美元。那么1个足球和1顶帽子的价钱一共是156÷3=52美元，然后从图1的第一行可以得到，1个足球的价格为：80-52=28美元，从而1顶帽子的价格是24美元。

解法二：

从图2可以看到，从图2中的第一行到第二行，把1个足球换成1顶帽子，总价钱减少了4美元，如果再把第二行的足球换成帽子，就可得到第三行图形，即包含3顶帽子，第三行的价钱也应该比第二行少4美元，这样就得到3顶帽子的价钱是72美元。进一步就可以分别求得足球和帽子的价格。

评注：解法一解题策略，来源于图形表征的结构观察，进行图形化归或化简运算后，得出答案。解法二解题策略，也是对图形比较或变式的结果，方法更加简便。此法利用了图形的信息，把握了各个量之间的关系，激发了学生学习兴趣，培养了学生创新能力。两种解法类似于古代中国算筹求解方程的方法，给人以数学美的感受。

(2)教师引领学生用表格表征进行求解

解法三：根据已知，可以构造下面的表1，从80美元到76美元找出相差4美元的规律，进而完成表格中带括号的数据84美元和72美元，可以得到足球和帽子的价格。

评注：该解法利用各种“现实量”或“可能量”列表发现规律，得到答案。这种探索性求解对于特殊问题的特殊解答，对培养学生发现问题、分析问题和解决问题能力的意义重大。当然得到的结果还需代回原题进行检验。这种解法内含着直线图解的思想，给人以许多启发。

(3)教师引领学生用符号表征进行求解

解法四：

设足球的价格是x美元，帽子的价格是(80-2x)美元，由题意得：

解得：x=28

当x=28时，80-2x=24

解法五：

设足球的价格是x美元，帽子的价格是y美元，由题意得：

解得：x=28,y=24

评注：直观图形或表格求解，也离不开数学概念法则和思想，对培养学生创新意识有非常好的作用，但仍需要走向符号表征的解决，体会数学概念和法则的直接解决问题的优越性，把握数学思想方法的真谛，培养学生的数学思维能力。但是，符号表征解决问题时也是离不开直观表征的辅助理解。经过这样的引导训练，学生真正体会了多元表征之间的联系和转化作用。

这就是说，无论哪种表征求解问题，实质上都是数学模型或模式在起作用，只不过是某种表征更容易显现模式特征，即数学关系或结构更加直观、直接，而这种表征利于这个年龄段的学生学习和思考，可以达到我们的素质教育目标，这就是我们常说的多元表征之间的联系和转化的旨意所在。利用多元表征目的是适合学生的学习方式，帮助学生建构自己的数学。为此，教师引导学生创建自己对数学概念、法则公式和观念的表征，甚至进行问题解决时的自我表征的发挥，既利于巩固或者加深数学知识的思考，又可培养学生积极的学习情感和态度。应特别说明的是，在教师创设一定活动情景下，鼓励学生创新多元表征，以此进行小组活动，可以真正达到新课改要求的数学教学活动水平。

参考文献

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[3]范良火,朱雁.从大型国际数学比较研究的视角看:华人学生在数学方面的表现如何?[A].范良火,黄毅英,蔡金法,李士錡.华人如何学习数学[M].南京:江苏教育出版社,2005.3.

[4]Cai,J(.2000a).Mathematical ThinkingInvolved in U.S.andChinese Students'Solving Process-constrained and Pro-cess-open Problems.Mathematical Thinking and Learning:An International Journal,2,309~340.

[5]Cai,J.(2004).Why do U.S.and Chinese Students ThinkDifferently in Mathematical Promlem Solving?Exploring theImpact of Early Algebra Learning and Teachers'Beliefs.Journal ofMathematical Behavior,23(2):133~165.

[7]National Council Teachers of Mathematics(2000).Princi-ples and Standards for School Mathematics.Reston,Vir-ginia:NCTM.361.

[8]Dreyfus&Eisenberg,T.(1996).On Different Factes ofMathematics Thinking.In R.J.Sternberg and T.Ben-Zeev(Eds.),The Name of Mathematics Thinking(pp.253~284).Hillsdale,NJ:Erlbaum.

[9]李静.基于多元表征的初中代数变式教学研究[M].长沙:湖南师范大学出版社,2012.49.