数学应用问题

数学应用问题（精选11篇）

数学应用问题 篇1

数学王子高斯说过“数学是科学的皇后”, 数学史家E·T·比尔又称“数学为科学的仆人”, 对数学的这两种不同评价反映了数学之于科学的双重价值:高度的理论指导价值和普遍适用的应用价值。现从数学的整个发展历史出发, 对比分析了纯粹数学与应用数学的发展所面临的问题, 提出了可行的解决方法, 并针对未来数学的发展趋势对两者提出了更高的要求。

1 数学的发展:纯粹与应用

纯粹数学是数学的核心领域, 涵盖函数论、泛函分析、抽象代数、数论、集合论、代数几何、微分方程论、数理逻辑、概率论、拓扑学、微分几何等等经典学科。纯粹数学经历了19世纪的不断积累, 在20世纪得到了突飞猛进的发展, 显示出了更高的抽象性和统一性。首先集合论和公理化方法使得数学的发展向更高的抽象性又迈进了一步, 在此基础上出现了实变函数论、泛函分析、拓扑学、抽象代数等抽象分支, 它们所包含的抽象的语言、结构及方法又渗透到纯粹数学的其他分支学科。其次尽管分支越来越细, 但各分支之间又相互渗透与结合, 并在数学内部催生了更多的交叉学科, 充分体现了数学的统一性。

数学的应用性存在于数学产生和发展的整个过程中。在20世纪中叶以前数学还主要是与力学相结合, 恩格斯这样说过“在固体力学中是绝对的, 在气体力学中是近似的, 在流体力学中已经比较困难了, 在物理学中多半是尝试性的和相对的, 在化学中是最简单的一次方程式, 在生物学中等于零”。20世纪中叶以来随着社会和科学技术的不断发展, 数学的应用不再局限于恩格斯所述的范围, 从自然科学到社会人文科学, 数学已经向各个领域渗透。一方面与各领域相结合形成了众多交叉学科;同时也产生了相对独立的应用学科, 如数理统计、运筹学、控制论、计算数学等。

纯粹数学与应用数学在研究对象、目的、动力等方面是不同的。纯粹数学研究数学内部问题, 旨在完善数学内部语言结构和逻辑体系, 动力主要来自自身内部。应用数学研究数学在各领域的应用问题, 旨在利用数学方法解决现实问题, 动力来自外部世界。两者之间的区别可以描述为“纯粹数学是一门艺术, 应用数学是一门技术”。即便如此, 纯粹数学与应用数学之间却存在着必然的联系, 两者相互渗透、相互促进、共同发展。数学源于应用, 在应用中产生的数学问题又需要回到纯粹数学的领域来解决, 而纯粹数学内部的进一步发展又为解决更多更深的现实问题提供了方法和理论依据, 同时在现实应用中不断出现的困境的解决又促进了纯粹数学的深入研究和发展。这种联系可形象的表示为:应用纯粹更深入的纯粹更广泛的应用。

2 发展纯粹数学与应用数学所面临的问题及解决方法

2.1 数学的高度分化。

数学是一门有着几千年发展历史的学科, 特别是20世纪以来数学的空前发展使得其分支越来越细, 数学家研究领域越来越窄, 只局限于自己熟悉的一两个领域。而在过去, 不论是从数学发展的早期还是到数学日益分化的20世纪, 横跨多领域的数学通才并不少见。较为早期的阿基米德、高斯、牛顿等数学家并没有严格划分过“纯粹”与“应用”, 他们在两大领域的很多方面均取得了伟大成绩;20世纪如希尔伯特、外尔、嘉当、冯·诺伊曼、柯尔莫哥洛夫、维纳等都是伟大的纯粹与应用数学家。

在数学高度分化的今天, 数学各分支之间相对孤立与封闭, 彼此缺少沟通。正如希尔伯特所说:“数学科学是一个不可分割的整体, 它的生命力正是在于各个部分之间的联系”, 并指出数学“被分割成许多孤立的分支”是危险的。为避免这种危险的出现我们可以采用两种方法:a.了解数学发展的历史, 从整体的角度全面了解数学这门科学;b.学好数学各门基础课, 拓展知识面。关于第二种方法, 数学家华罗庚以58级作为试点, 提出了“一条龙”教学法, 要求打好基础, 将来从事哪方面研究都可以。华罗庚虽然是一名纯粹数学家, 但同时又致力于应用数学的研究, 对当时经济社会的发展做出了巨大贡献。从华罗庚及他指导58级的成功经验, 我们看出只有把数学作为一个整体, 把纯粹与应用完美结合, 数学才能更好更久的发展。

2.2 数学的有用性。

关于纯粹数学与应用数学最多的争论在于它们的“有用性”, 从而导致了两大阵营在一定时期内的对立。其中最典型的代表为哈代 (Hardy) , 他在《一个数学家的自辩中》严重抨击了应用数学, 认为自己研究的无用的数学 (即纯粹数学) 才是真正的数学, 并指出“任何一门学科与实际生活相联系的往往是其中平凡和乏味的部分”。限于当时数学的发展状况, 对此我们可以理解, 但随着数学更广更深的发展, 今天看来哈代的想法是非常偏激的。纵观数学的整个发展历史, 在当时没有找到用处的一些理论, 多年后在很多领域 (包括纯粹数学内部) 中都有重要的应用与发展。Hardy认为最纯粹的数论被用在计算机、密码学和量子计算中;Riemann创立的黎曼几何61年后为Einstein创立的广义相对论所用;为解决纯粹数学内部问题建立起来的群论、非欧几何、勒贝格测度积分理论等都被用到了很多领域;概率论中的鞅论为其他数学分支如调和分析、复变函数、位势理论等提供了有力的工具;等等。

著名数学家Jacobi说:“纯粹数学是为了人类心智的荣耀。”我们应该允许暂时没有找到应用的纯粹数学分支的发展;同时“纯粹数学”者应该与应用数学以及其它各学科领域的学者积极交流、学习与合作, 努力探寻纯粹数学与各学科的良好切合点。对各学科出现的各种新问题和面临的困境, 寻求或创立数学理论依据, 从而不断丰富、开创纯粹数学的理论和范围。这不仅为其自身的发展注入更多的生机与活力, 还使得纯粹数学的研究具有更加广泛的意义。虽然说“数学是科学的皇后”, 但我们不能因此将数学置于高不可攀、与世隔绝的位置上, 应该努力在纯粹与应用之间架立桥梁。

3 未来数学的发展趋势

3.1 数学高度分化的同时趋于更强的统一性。

数学的分支越来越多, 同时各分支不断向着更深更细的趋势发展, 使得数学呈现了高度的分化性;另一方面, 不同分支之间却不断的交叉与融合, 数学的发展趋于更强的统一性。希尔伯特指出:“数学理论越是向前发展, 它的结构就变得越加调和一致, 并且这门科学一向相互隔绝的分支之间也显露出原先意想不到的关系。因此随着数学的发展, 它的有机的特性不会丧失, 只会更清楚的呈现出来。”数学内部不同分支在很多概念、语言、方法上是相互借鉴并保持一致的, 比如:利用泛函分析的方法研究偏微分方程;以拓扑和分析的方法研究动力系统;利用抽象代数方法建立抽象域上的代数几何理论;等等。分化中蕴含统一是数学自身所具有的特性, 这种统一性促进了数学内部更加协调的发展。

3.2 数学向更多的学科和领域进行渗透, 不断挑战出现的新问题。

美国明尼苏达大学数学及应用研究所所长A.Friedman在《对数学未来的思考》中指出“的确如此, 在今天难以想象的数学的新领域, 会完全意想不到的冒出来”, 并给出了未来数学发展的三个重要的领域:材料数学、生物数学、计算机数学。除自然科学 (物理学、化学、生物学、航空学、地质学、气象学等等) 之外, 数学还向各门人文社会科学渗透, 如:经济学、语言学、人口统计学、管理科学、政治科学、心理学、社会学、历史学、考古学等等。在数学向各学科领域渗透的同时, 产生了很多新的问题, 这就对我们提出了几点要求:a.充分了解当今科学技术发展的趋势;b.面对新问题, 在已知数学理论中寻找依据;c.不断开创新思维和新方法。

3.3 数学与计算机结合形成“数学技术”并加以推广。

纯粹数学被认为是为了人类心智的荣耀, 是数学的根基不可动摇;同时应用数学的发展已经渗入各学科领域, 显然成为数学发展的重要趋势;两者相互渗透、相互促进。另一方面, 计算机技术的高度发展使得理论与应用之间有了更好的结合与转化。当今数学发展的一个重要趋势是数学不仅为各学科的发展提供理论依据, 同时与计算机结合转化为“数学技术”, 直接服务于社会。数学技术对经济和社会的发展至为重要, 不论是CT扫描、磁共振显像、方正激光照排系统, 还是航天技术中的卡尔曼——布西滤波器等等, 数学技术已经成为数学应用的一个新标志。我们不仅要把数学理论成功转化为数学技术, 还要加以推广, 这是社会发展对数学提出的必然要求, 也是数学价值的一种新的体现。

摘要：现从数学的整个发展历史出发, 对比分析了纯粹数学与应用数学的发展所面临的问题, 提出了可行的解决方法, 并针对未来数学的发展趋势对两者提出了更高的要求。

关键词：数学,纯粹,应用

参考文献

[1]辛周平.现代数学的最新趋势[J].纯粹数学与应用数学, 2010 (1) .

[2]黄翔.数学教育的价值[M].北京:高等教育出版社, 2004.

[3]李文林.数学史教程[M].北京:高等教育出版社, 2000.

数学应用问题 篇2

2、甲乙两辆汽车同时从东站开往西站。甲车每小时比乙车多行12千米，甲车行驶四个半小时到达西站后，没有停留，立即从原路返回，在距离西站31.5千米的地方和乙车相遇，甲车每小时行多少千米？

3、两人骑自行车沿着900米长的环形跑道行驶，他们从同一地点反向而行，那么经过18分钟后就相遇一次，若他们同向而行，那经过180分钟后快车追上慢车一次，求两人骑自行车的速度？

4、甲、乙两地相距360千米，客车和货车同时从甲地出发驶向乙地。货车速度每小时60千米，客车每小时40千米，货车到达乙地后停留0.5小时，又以原速返回甲地，问从甲地出发后几小时两车相遇？

5、快车与慢车同时从甲、乙两地相对开出，经过12小时相遇。相遇后快车又行了8小时到达乙地。慢车还要行多少小时到达甲地？

6、两地相距380千米。有两辆汽车从两地同时相向开出。原计划甲汽车每小时行36千米，乙汽车每小时行40千米，但开车时甲汽车改变了速度，以每小时40千米的速度开出，问在相遇时，乙汽车比原计划少行了多少千米？

7、东、西两镇相距240千米，一辆客车在上午8时从东镇开往西镇，一辆货车在上午9时从西镇开往东镇，到正午12时，两车恰好在两镇间的中点相遇。如果两车都从上午8时由两镇相向开行，速度不变，到上午10时，两车还相距多少千米？

8、“八一”节那天，某少先队以每小时4千米的速度从学校往相距17千米的解放军营房去慰问，出发0.5小时后，解放军闻讯前往迎接，每小时比少先队员快2千米，再过几小时，他们在途中相遇？

9、甲、乙两站相距440千米，一辆大车和一辆小车从两站相对开出，大车每小时行35千米，小车每小时行45千米。一只燕子以每小时50千米的速度和大车同时出发，向小车飞去，遇到小车后又折回向大车飞去，遇到大车又往回飞向小车，这样一直飞下去，燕子飞了多少千米，两车才能相遇？

10、小刚和小勇两人骑自行车同时从两地相对出发，小刚跑完全程的5/8时与小勇相遇。小勇继续以每小时10千米的速度前进，用2.5小时跑完余下的路程，求小刚的速度？

11、甲、乙两人在相距90千米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒钟跑3米，乙的速度是每秒钟跑2米。如果他们同时分别在直路两端出发，当他们跑了10分钟，那么在这段时间内共相遇了多少次？

12、男、女两名运动员在长110米的斜坡上练习跑步（坡顶为A，坡底为B）。两人同时从A点出发，在A、B之间不停地往返奔跑。如果男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度每秒5米；女运动员上坡速度每秒2米，下坡速度每秒3米，那么两人第二次迎面相遇的地点离A点多少米？

初中数学应用问题解题技巧 篇3

1.直接设未知数

在全面透彻地理解问题的基础上,根据题中求什么就设什么是未知数,或要求几个量,可直接设出其中一个为未知数,这种设未知数的方法叫作直接设未知元法。

例1 某校初中一年级举行数学竞赛,参加的人数是未参加人数的3倍,如果该年级学生减少6人,未参加的学生增加6人,那么参加与未参加竞赛的人数之比是2∶1。求参加竞赛的与未参加竟赛的人数及初中一年级的人数。

分析:本例中要求三个量,即参赛人数、未参赛人数,以及初中一年级人数。由已知条件易知,可直接设未参赛人数为x,那么参赛人数便是3x。于是全年级共有(x+3x)人。

由已知,全年级人数减少6人,即(x+3x)-6,①而未参加人数增加6人时,则参加人数是未参加人数的2倍,从而总人数为(x+6)+2(x+6)。②

由①,②自然可列出方程。

解 设未参加的学生有x人,则根据分析,①,②两式应该相等,所以有方程(x+6)+2(x+6)=(x+3x)-6,

所以:x+6+2x+12=4x-6

所以:3x+18=4x-6

所以:x=24(人)

所以未参加竞赛的学生有24人,参加竞赛的小学生有:3×24=72(人)。

数学应用问题教学“三步曲” 篇4

审题是解答应用问题的起点, 只有有效地审题才能准确理解题意, 弄清题目所反映的实际背景, 弄清每一个名词、概念的含义, 分析已知条件, 明确所求的结论, 才能把实际问题转化为数学问题。我引导学生用加点划线的方法强调关键性语句, 再连续读出来, 形成完整的基本问题;也可用划分层次, 归纳大意的方法从背景材料中提炼出需要解决的实际问题;或对多个数量进行汇集、归类, 借助图形显现出已知量与未知量, 体现出需要解决的数学问题;或者用改写的方法对应用问题去掉枝叶, 抓住主干, 保留题中的数量关系和空间形式。例1:某学生从一塔形建筑物边经过, 只见这个建筑物基部以北是一片平坦的空地, 建筑物的影子清楚地映在地面上, 这位同学想估算一下这座建筑物高度, 但身边未带任何测量工具, 他忽然想起了自己身高为168厘米, 而双脚长度为25厘米。于是他利用这些条件把问题解决了, 请你说明这位学生上如何解决这个问题的? (写出估算过程及计算原理) 。审题时, 不妨先画出关键性语句, 它是要求我们利用这位同学身高和双脚长度来求出建筑物的高度。例2:一公司各部门提供如下信息:人事部:明年生产工人不多于800人, 每人每年按2400工时计算。

市场部:预测明年产品销量是10000~12000件。

技术部:该产品平均每件需120工时, 每件需4个某种主要部件。

供应部:今年年终库存某种主要部件6000个, 明年可采购到这种部件60000个。

请决策: (1) 工厂明年生产量至少应多少件? (2) 为了减少积压, 至多可裁减多少工人用于新品开发?

审题时, 仍先画出关键性语句, 它实际上告诉我们四个信息:人事部最多提供800名工人, 每人每年按2400工时, 市场部销量是在10000~12000这个范围, 技术部提供了该产品每件需120工时, 需4个主要部件, 供应部提供了可供某种部件6000~60000个, 求明年生产量至少多少件及至多可裁减多少工人转到新品开发。这样就将实际问题转化为数学问题从而培养了学生分析问题的能力, 也培养了学生科学严谨的态度。

二、建模

数学模型是指对于客观世界的某一特定现象, 做出一些必要的简化和假设, 运用适当的数学工具得到一个以数学方式给予表示的数学结构。数学建模就是找出具体课题的数学模型。建立数学模型是解答应用问题的最关键步骤。通过建模培养学生的抽象思维能力。在掌握多种类型的问题特点的基础上将应用问题与数学问题联系起来, 从已知的数量关系推理、联想、判断出属于哪类问题。如现实生活中, 广泛存在的用料最省、造价最低、利润最大等优化问题归于函数的最值问题, 通过建立相应的目标函数, 确定变量的限制条件, 运用函数知识和方法解决;产量增长 (降低) 、存款利率、股市跌涨。等与时间相关问题常通过建立相应的数学模型求解;天体运行轨道, 弹道曲线、桥梁形状及航海等问题归于解析几何模型解决。如例1这一问题是把学生带到了没有测量工具测量塔高情景中, 要求学生通过阅读理解测量方法, 把实际问题抽象出一个几何相似三角形图形, 这是一个利用相似三角形解决实际应用问题典型例子。它考查了学生动脑、动手、抽象、概括和解决实际问题的能力。例2是一道设计新颖, 包含了等式和不等式的实际问题, 它最终可转化为求函数最值问题。它让学生用自己的知识和智慧作出决策, 学生面对的不是枯燥、单调的数学, 而是活生生的与人的生计息息相关问题, 让每个学生都尽可能施展自己的才华, 找出合理答案, 激发学生的兴趣。这些现实问题的解决有助于培养学生的创新精神和实践能力。

三、解模

在构建数学模型后, 就要运用数学知识和方法来解答纯数学问题。解答应用题的过程就是在阅读教材理解题意的基础上, 把实际问题抽象转化成数学问题, 化繁为简, 建立相应的数学模型、再利用数学知识对数学模型进行分析研究, 得到数学答案如例1中, 要求学生先站在一个与塔影同方向的选定地点, 用自己的双脚分别测量出塔影和自己影子长度, 然后利用建筑物高度与自己身高之比等于测量出塔影与自己身影长度之比, 求出建筑物的高度。例2中建立相应的等式和不等式, 确定未知量取值范围, 转化成函数问题, 运用函数知识的方法来求得最值。找出合理答案: (1) 16000件; (2) 200人。然后再把数学答案返回到实际问题中去, 既渗透了相应数学思想方法, 也符合数学课程生活化改革的趋势, 这一过程更正是对学生思维训练的过程。

摘要：为全面提高学生的解题能力, 我在近年来的教学实践中, 通过有关数学应用题的审题、建模、解模的教学, 对学生进行了思维训练的探索, 取得了较好效果。

我的数学应用问题研究之路 篇5

1995年高考数学命题中引入数学应用题，这一举动影响着全国的基础教育，尤其是高中数学教学. 处在教学第一线的数学教师开始参与数学应用题的编制与教学研究. 下面与同行谈谈我也被卷在其中的经历，以期共同探讨研究.

（一）第一阶段——课堂内外引领学生应用实践，教学之余编制数学应用问题

1995～1999年，由于数学应用问题教学的需要，在数学教育专家引领下，数学应用问题编制与研究开始在全国各地兴起. 许多中学数学杂志在此领域大量发表文章，尤其是《数学通讯》杂志集中报道数学应用方面的研究成果. 但是，在中学数学第一线，教师的数学应用意识与应用问题教学意识都不强，教师数学应用问题的知识储备也不足，再加上学生的社会实践知识欠缺，阅读理解力的薄弱，面对高考数学应用题时，学生的应试心理一般处于恐惧或放弃状态.

1.编制适合中学生的数学应用问题，研究中学数学建模问题

此时我开始潜心思考，从现实生活中寻找信息与资料，编制具有活生生现实背景的数学应用题，并发表在《数学通讯》等杂志上，还将编写的数学应用题分类汇集，编著《用数学眼光看世界》一书. 如下面例题，在当时起到较好的引导作用.

例1 为了提供更加优质的教育，增加大学生就业岗位，某地区准备逐步实现小班化教育，将学生人均教室面积由1 m2提升至x（m2），x≤2，调整教师人均办公室面积为

y=f（x）=4， 1≤x<1.5，

ax+b，1.5≤x≤2.

如图1，

①确定a，b的值及函数f（x）值域；

②实行小班化，对教室改造投资中，投资额P（万元）与x之间的关系是P=exf（x），探求教室改造投资的最大值；

③对办公室进行改造的投资中，投资额Q（万元）与y之间的关系是Q=5y3-3cy2+180，c为正常数，探求办公室改造投资的最小值及相应c的范围.

2.利用周末时间带领学生开始数学应用实践和实习活动，增强学生应用意识

数学应用意识的培养不仅可以通过数学应用问题的教学，还突出地表现在数学应用实践中. 在周末组织学生开展数学应用实践活动，如利用简易工具测量鉴湖明珠电视塔高度以及与观测点距离问题. 学生不仅创造性实践（多种测量方式），而且撰写了2000字左右的实习报告，将实习过程、测量方法、测量所使用的数学原理、测量后所建立的数学模型，一一总结记录，并写下自己的实践感想.

（二）第二阶段——数学教学加大数学应用问题教学力度，探究数学应用题的教育功能

进入新世纪，新的课程改革措施出台，在以培养中学生的创新意识和实践能力为总目标形势下，中学的数学应用问题教学有所加强. 高考数学试卷中的数学应用题分值不断增大，数学应用题命题更加贴近学生的生活实际和认知水平. 学生面对数学应用题时开始充满自信，各地高考数学应用题的成绩不断提高. 在这一阶段全国的中学数学杂志上有关数学应用的文章层出不穷，为各地中学教师开展数学应用问题教学提供素材.

1.数学应用问题的教育功能开发

数学应用问题教学的目的是提升中学生的数学应用意识，培养中学生的数学应用实践能力.开发数学应用的教育功能除了它对数学思想方法的深入理解外，让学生通过一个个“活”的数学应用问题，体会问题背后所隐含的环境保护、再生资源利用、爱心感恩、资源利用最优化等.

2.开设数学应用问题讲座，普及中学数学建模方法

为了普及中学数学建模思想方法，除了课堂上的数学应用问题教学之外，利用课外活动或研究性学习活动时间开设数学应用问题讲座，使数学应用教学形成一个完整的体系，给中学生一个数学应用问题全貌.

3.挖掘课堂教学案例，提升中学生的实践能力与创新意识

在数学教学过程中，常常会遇到一些不可多得的智慧火花，开发它，会引发无限的创造力.

例2 利用正方体框图，请你构造一个面数大于6的多面体.画出你设计的多面体的直观图，数一数它们有多少棱、多少个面、多少个顶点.

这个开放性作业布置后的第二天上课时，有一位同学拿着一个正方体铁丝骨架模型，如图2，其中六条面对角线是用橡皮筋连接的，一位同学将一对面对角线橡皮筋向外拉，然后问其他同学，这是不是一个多面体？如图3，一位同学说这个多面体形成一个12面体. 接着，另一位同学伸出手将另一对面对角线橡皮筋向外拉，“认为”形成一个18面体.第三位同学将最后一对面对角线橡皮筋向外拉，“认为”形成一个24面体.在四位同学的共同合作下，一个生动的多面体诞生了.面对课堂教学中瞬间发生的信息，教师用敏锐的眼光发现其中的问题并加以开发，不仅与欧拉公式发生联系，而且总结其中的数学模型.

（三）第三阶段——开发数学应用题的数学本质与数学应用意识

2003年新课程改革起步，新课程标准制定并公布，2004年在广东、海南、山东、宁夏新课程教材进入高中课堂，各地编写的新课程教材纷纷出版，新课程数学教材中最明显的特点就是数学应用问题比原教材增加了许多，高考中许多数学应用题的情境来自于生活，深入挖掘出其数学本质，最有代表性的就是处在二期课改前线的上海，开发的数学应用题给人们呈现出的情境新颖，其数学内涵丰富.

1.关注数学应用建模能力，培养学生数学应用素质

中学所涉及的数学应用问题有二类：第一类，经过精加工后的贴近数学本质的“准”数学应用题；第二类，经过粗加工的贴近实际的“真”数学应用题. “好”的数学应用问题层出不穷，面对如此好的问题.把数学应用建模思想方法渗透在教学之中，充分挖掘问题的数学本质，把这一过程成为养育中学生数学应用素质的重要途径.

例3 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图4，在数轴上截取与闭区间[0，1]对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标，变成，原来的坐标变成1等）.那么原闭区间[0，1]上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与 1重合的点所对应的坐标是 ；原闭区间[0，1]上（除两个端点外）的点，在第n次操作完成后（n≥1），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为 .

理解突破：

“均匀地拉”——保证这是一个有规律的数学变换——伸缩变换；

“一次操作”—— 一次变换所呈现的结果：原来的变到1；原来的，变到；

第2次操作——第1次操作后由原来的，，变到第2次操作前的；第2次操作后的1；

第3次操作——第1次操作后由原来的，，，变到第2次操作前的，，第2次操作后变到；第3次操作后变到1；照此下去，……；

第n次操作——第1次操作后由原来的，，…，，变到第2次操作前的，…，，第2次操作后变到，…，；…，第n-1次操作前的，，第n-1操作后的；第n次操作后变到1；

因此第二次操作完成后，恰好被拉到与 1重合的点所对应的坐标是，；原闭区间[0，1]上（除两个端点外）的点，在第n次操作完成后（n≥1），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为，，…，，，即，j为[1，2n]中的所有奇数.

看到此问题情境，不由联想起古人“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的精美概括；联想到精美的杨辉三角，那么此问题能否概括为“一尺之面，对折其拉，万丝不断”？生活中的“拉面”场景，抽象为一种数学伸缩变换过程，检测学生的对应、变换、数列知识以及逻辑思维能力，此问题给我们的一个重要启示是：在数学教学中，引导学生学会用数学眼光看世界，去发现生活中的司空见惯的现象背后的数学规律，去探索或总结其数学模型，去揭示实际应用问题的数学本质.

2.关注数学问题的数学本质，从实际问题中挖掘数学模型

例4 如图5，一位花布设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案，他分别以A，B，C，D为圆心，以b（0≤b≤3）为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上的线段构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最大值为 ，最小值为 .

理解突破：L=2bπ+4（3-2b）， 0

≤，

2bπ+4（2b-3），

即L=2bπ-8b+12， 0

≤，

2bπ+8b-12，

当b=1.5时，L达到最小值3π，当b=3时，L达到最大值6π+12.

花布图案设计是一个复杂的工作，但抽象出来的数学模型是简洁而美丽的，由点的运动而产生许多丰富的图案：

学生面对如此问题时，一方面要学会从“数”角度思考，写出长度的分段函数，而后求出其最大值与最小值；另一方面也应学会从“形”角度思考，发现其最值点和最值. 但不论是哪一个思路，都需要学生在“运动”着的图案中发现其数学本质，为今后的创新意识和实践能力打下基础，这正是新课程改革的教育理念之一.

二、近20年来我国高中数学应用问题教学的反思

近20年来高中数学应用问题教学重视程度不同，特别在高考单独命题省份. 数学应用题一般都有一大一小或一大二小. 尤其是上海进行二期课改，关注数学研究性学习，数学应用问题教学的氛围比较浓. 高考数学命题中数学应用题情境新颖、充分挖掘实际问题中的数学本质. 但是许多省份的单独命题中，除了概率统计的应用题外，几乎不涉及数学应用问题.

（一）数学教学中实际应用意识不强，对数学应用问题的教学目标不明确

不论是数学课程标准还是考试要求对应用意识都有明确的说明：“能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题，能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明，主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.”实事求是地说，这一目标要求是比较高的.它至少包括了下列目标：

一是“用”数学的意识与能力，即通过教学培养学生数学应用意识，学会用数学眼光看世界的方法，求解数学应用题的能力，探究数学概念与方法的来龙去脉与实际背景的能力；

二是数学建模能力，为相关学科中涉及数学建模或进一步学习中涉及数学建模奠定基础；

三是数学语言表达与交流能力，即通过数学研究性学习方式来培养这一能力；

四是数据处理能力，在学习概率、统计、算法、金融数学相关知识中所训练的能力.

（二）数学教学中的功利意识太强，对数学应用问题教学冷热不均，反复无常

1995年以来，数学应用问题教学意识经历了一个由冷加热，热中保温，温度下降的过程. 教师在不同教学思潮的影响下，缺乏从整体上认识它的功能与素质教育要求. 因此一会儿重视，一会儿放弃，表现在对数学教材处理上，有关“实习作业”“章引言与章头图”“探究与发现”“阅读思考”等内容都忽略不去涉及，截头去尾只讲一些与“高考应试”有关的数学内容.课堂上对数学概念的来龙去脉不加研究，不介绍，导致学生只能了解一些数学解题方法，不理解数学概念.由于社会文化中功利意识的影响，在数学教学时对应用问题的教学中，如果与高考数学应用题型相关，就花大量时间或精力去训练学生的应试能力；如果与高考数学应用题型无关，就一带而过，或者是避而不讲.这样导致中学生数学应用意识与实践能力仍是一个盲点.

（三）新的课程改革促使数学应用再掀高潮

2012年起，浙江省在全省范围内进行大规模的课程改革，增大选修课程的学分，以数学建模为核心的数学应用教学研究在浙江大地展开，2014年浙江高考数学中，一道闪亮的应用题诞生，可以预见数学应用问题的教与学会再掀高潮！

例5 某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的A点处进行射击训练. 已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°， 则tanθ的最大值 .（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）

审题：为求一个直线与平面所成角，第一步找射影，于是过P作PP1⊥BC交BC于P1，连结AP1；第二步，计算比值，问题的关键是AP1，PP1与谁有关系？第三步，找自变量BP1=x，因为AP1，PP1都随着P的运动而变，导致P的射影P1在动，而此时沟通它们之间的关键量是BP1，经过这三步就可以建立起数学模型.

数学应用问题 篇6

数学是研究数量关系与空间形式的一门科学, 想要保证经济飞速发展, 对科技人才的培养是必不可少的环节, 为了进一步提升我国数学方面的科研水平以及发展状况, 对高校数学课堂的质量的高标准要求就显得越发重要。近年来, 各领域学者对于问题驱动模型在应用数学中的应用展开了一系列分析, 对数学建模的研究活动也越发激烈。对于数学工作者而言, 要善于使用数学工具来解决现实中遇到的问题, 以保证应用数学得以广泛的发展和使用。本文中, 笔者以培养学生数学建模能力为基础, 简要论述了问题驱动的应用数学的内涵, 并结合教学实际, 对问题驱动在应用数学中的应用展开了分析。

1 应用数学涉及的范围逐渐壮大

随着科学技术的不断进步, 各学科都有了其各自的新的发展方向, 而应用数学也从传统的处理方式逐渐向着更加成熟的领域转变, 随着应用数学领域的不断壮大, 各学科都开始与其发生了大大小小的联系。新形势下, 一定要把握新的时代特色, 运用丰富多样的手段, 才能将应用数学推向更高的平台。

2 以问题驱动应用数学研究

注重新形势的数学方法在社会各科学领域的应用, 加大数学基础研究的深度, 对于社会的发展以及科技的进步将起到重大的导向作用。为此, 相关领域人士一定要把握时机、努力开拓, 实现我国应用数学领域的更大进步, 也为未来科学事业的发展打下坚实的基础。国家应该加大对应用数学工作人员的支持和鼓励力度, 使其能够积极主动的为国家重大工程的建设以及高新科技产业的发展贡献自己的力量。这不单纯是对数学领域的推动, 也是对科学的支持。

对问题驱动的应用数学领域展开研究是数学工作者需要全身心投入的一项事业, 它促使科研人员能够转变传统的思维观念, 以开拓精神、积极主动的工作态度, 真正做到积极思考问题、敢于发现问题并及时解决问题。展开对问题驱动的应用数学方面的研究, 是对数学工作者创新能力和业务水平的一种巨大考验。为此, 真正积极参与到应用数学领域的人员们应该得到社会的广泛重视、支持和帮助, 国家也应帮助其制定一个恰如其分的评估基准, 使工作和生活都能在一个轻松、和谐的环境下进行。问题驱动的应用数学研究需要一个良好的施展平台, 并应配备完备的管理规范给予其正确的指导。作为沟通的基础以及应用的关键, 问题驱动的应用数学研究要求人类具备更强的探索性, 更广泛的创新性, 研究内容也应具备更显著的交叉性以及更高的风险性。该项内容的研究需要稳定性、持续性、有效性以及坚定性较强的项目作为支撑, 只有认真的落实了科学发展观, 并将数学进行合理布局, 才能对应用数学的战略发展起到有效的推动作用。

3 相关应用数学的专业课程设计存在的问题

目前, 由于对专业定位还不够明确, 数学与应用数学专业在课程设计上极度缺乏针对性, 对学生创新思维以及专业技能的训练方面也还存在很大的不足。

3.1 缺乏明确的专业定位

对于专业的定位是一个较为复杂的问题, 受到多方面因素的影响, 也要遵循学科价值优先的原则。目前, 我国绝大多数的高校对数学与应用数学的培养方案都各不相同, 但总的来看, 只有那些对专业定位十分明确的学校培养出来的人才, 才真正的为社会的发展起到了促进作用。而专业设置相对模糊, 培养目标局限性较大的学校出来的学生大多在就业的过程中遇到了一系列的问题。

3.2 课程的针对性较弱

在我国, 各学校基本都具有相同的办学宗旨, 为了强化学生的思维能力以及动手实践的本领, 也相继开设了数学、数据等方面的课程, 更有学校提供了一些和国际接轨的微分课程, 这都是数学与应用数学领域的进步与完善。但是, 总的来讲, 我国的大多数高校在课程设置的问题上依旧存在针对性较弱的问题, 这也是导致学生在就业的过程中, 缺乏市场竞争能力的主要原因。

3.3 创新思维以及专业技能的训练匮乏

我国大多数高校只重视对于理论的教学, 相关实践课程的设计少之又少, 此外, 课堂教学几乎占据了课程的全部内容, 第二课堂的开设基本只是一种口号, 加上学校对于选修课的重视程度不高, 学生的综合技能得不到培养, 兴趣爱好得不到激发, 更不用说创新思维的发展。长此以往, 学生们的个性和特长的发展就受到了束缚, 解决问题的积极性也就逐渐淡化, 毕业之后自身具备的能力很难满足社会发展的需要。

4 问题驱动的应用数学教学改革应该遵循的原则

随着社会多元化程度的不断加剧, 对于人才的培养也要向着多元化、综合性方向转变。应用数学专业课程的设计应该更加突出学习的自由化以及教学形式的模块化。高校在明确自身优势的同时, 应找到对应用数学专业的准确定位, 从而和其他学科形成一个交叉型边缘学科, 以实现夯实基础知识的目的。只有具备了自身特点的数学与应用数学专业, 才能够真正培养出社会需要的应用型、综合型人才, 使得学生们在未来的就业过程中能够对自己有一个准确的定位。学校要将以上内容作为课程目标设计的主要依据, 在保证学科专业发展方向不变的基础上, 对教学形式、教学方法予以不断的革新与完善。制定培养方案的过程中, 要注重对人才需求的把握, 市场经济的发展模式以及现代化的学科发展趋势都应该成为参考的重要依据。

要在坚持学分制的评分办法上, 增设选修课程, 以保证学生对学习内容选择的自由度, 以及对学生个性培养的重视程度。此外还要注重对应用数学教学内容的整合, 以推动加强高素质人才培养力度的办学宗旨。

5 对应用数学的改革措施和建议

应用数学专业强调的是宽口径培养政策以及对课程内容的全方位整合与更新。为此, 高校应该将全面提高学生综合素质能力作为办学的主要宗旨, 通过设置基础课程, 体现教育的基础性、宽口径性, 再加上对专业方向的合理设计, 强调对专业化人才的塑造。并及时分析社会的发展对人才的需求方向, 以保证毕业生具备就业竞争的实力。真正实现课程的整合, 以及课程内容的与时俱进。做到各课程融会贯通、配合紧密, 以明确反映当代最新的科研成果。

6 结束语

综上所述, 数学是研究数量关系与空间形式的一门科学, 想要保证经济飞速发展, 对于科技人才的培养是必不可少的环节, 为了进一步提升我国数学方面的科研水平以及发展状况, 对高校数学课堂的质量的高标准要求就显得越发重要。驱动问题下的数学建模教学强调的是对学生兴趣的激发以及对学生实践动手能力的培养。只有积极思考, 主动分析问题、解决问题, 学生才能够真正的把握正确的思维方法以及操作技能, 以利用数学知识来解决现实中的问题。数学工作者需要继续在应用数学的道路上探索, 以充分发挥数学的科学性、实用性。实践证明, 将问题驱动应用于教学, 能够大幅度提升学生的综合能力, 教学效果将得到明显的改善。

摘要：问题驱动在应用数学中的应用比较广泛, 具体来讲它是指老师借助数学中的问题引导学生积极参与到课堂学习讨论中, 以期帮助学生更好的理解数学学习的本质。问题驱动教学旨在借助环环相扣的数学问题, 激发学生对于数学的好奇心, 从而辅助教学任务的完成, 并实现培养学生综合素质的目的。本文中, 笔者以培养学生数学建模能力为基础, 简要论述了问题驱动的应用数学的内涵, 并结合教学实际, 对问题驱动在应用数学中的应用展开了分析。实践证明, 将问题驱动应用于教学, 能够大幅度提升学生的综合能力, 教学效果有了明显的改善。

关键词：数学建模,问题驱动,教学效果

参考文献

[1]肖艳清, 邹捷中.分数布朗运动驱动下z一致连续的BSDE解的存在性与唯一性[J].应用数学学报, 2012, 35 (2) :245-251.

数学应用问题 篇7

新课程关注小学生的全面发展, 语言新课程中指出:数学为其他学科提供了语言、思想和方法。因此, 发展小学生的数学语言是提高他们交流能力的根本。培养小学生的数学语言表达能力不但要培养他们理解数学语言的能力;而且教师要用规范的语言, 对小学生施以良好的影响;还要持之以恒地对学生进行说话训练;更要注重培养他们良好的说话习惯。

一、充分发挥教师口头表达的示范作用

瑞士心理学家皮亚杰认为, 儿童的模仿能产生表象, 可成为日后思维的准备。对于小学生来说, 他们的语言表达能力尚未完备, 但他们的模仿性强, 这就需要课堂上的教师语言作为典范, 成为规范学生语言的依据。所以教师语言首先具有准确性、示范性, 教师说话必须语法规范, 用词准确, 言简意明。对概念陈述时要准确规范, 合乎逻辑, 对解题思路的论述要有理有据, 讲求顺序性。例如:在教学20以内的退位减法时, 出示情景图, 问:“图上有哪些数学信息?请用你的话说出这题的已知条件和问题。用什么方法计算?”像这类题我都是先请学生审题, 用自己的话说出题中的已知条件和问题, 目的是弄清条件与问题之间的数量关系, 然后思考解题方法。小学生年龄比较, 识字量少, 说时语言不完整。这时可以范读, 范读时注意突出关键性的词来对学生加以引导, 再要求学生复述, 并说出解题方法, 旨在用完整的话表达自己的意思。这样既培养了语言表达能力, 还培养了良好的审题习惯, 提高审题能力。通过读题、复述题意、说解题思路, 使语言和思维统一起来, 利于明确题意, 正确解答。

教师的言语和行动, 是一种不可估量的无形教材。有些教师偶尔也把不规范或不科学的语言带进课堂, 如“长方形的周长等于长加宽乘以2”, “任何整数都可以化为分母为自然数的假分数”, 这些不科学、不规范的语言, 也给学生带来了负面影响。因此, 教师要不断提高自身的语言素养, 通过教师语言的示范作用, 对学生的初步逻辑思维能力的形成施以良好的影响。

二、培养小学生数学语言的能力

要培养学生语言的表达能力, 必须先培养学生理解数学语言的能力。如理解和、差、积、商、扩大、缩小、质数、合数等概念。对学生语言上的缺陷不能有半点疏忽。例如问:“什么是质数?”有的学生答:“能被1和它本身整除的的数叫质数。”于是老师问:“4能被1整除吗?能被它本身整除吗?4是不是质数?”学生立即意识到自己错了, 应该是“只能被1和它本身整除的数叫质数”。

培养学生良好的说话习惯。首先, 要求学生说话要正确、完善、准确、精炼。比如有的学生说:“8是倍数, 2是因数。”“圆锥体的体积等于圆柱体体积的三分之一。”这样说都不准确。其次, 说话要有根据、连贯、通顺。如:“19是质数还是合数?为什么?”要求学生回答:“因为只有1和它本身两个因数的数是质数, 又因为19只有1和它本身两个因数, 所以19是质数。”总之, 教师在教学中要把握时机, 适时为学生提供语言表达的机会, 循循善诱, 导致以法以培养学生的语言表达能力和运用能力, 是学生养成科学使用数学语言的良好习惯。

从小学一年级开始就要抓住每一节课的每个教学环节, 结合教学内容, 有计划、有目的、有意识地进行说话训练, 引导学生用数学的语言说算理, 说思路, 说解题过程, 说操作过程, 说分析过程。低年级小学生可以要求他们先想后说, 用完整的句子来表达。中年级可以要求学生有条理、连贯地表达自己的思维过程。如在应用题教学中, 可以利用教具图表直观演示, 训练学生运用数学语言叙述应用题的条件、问题, 分析思路和解题过程。通过让学生口头叙述解题思路, 口头叙述数量关系式, 这样, 既培养了学生的思维能力和语言表达能力, 又提高了解题能力, 发展了思维的灵活性。高年级则可要求学生逐步运用数学语言准确、简练且有根据地进行表述。通过训练, 不仅提高了学生数学语言的表达能力, 而且培养了学生思维的准确性。

三、采取各种形式让小学生发展数学语言

小组讨论。小组讨论是课堂中常用的一种方式。在每个小组中选出小组长、记录员等, 当学习中有疑难时, 便可请学生以小组形式进行讨论, 讨论后请一名代表交流。这样做, 可以使每一个学生都有发言的机会, 也有听别人说的机会;既有面对几个人发表自己见解的机会, 又有面对全班同学说的机会。学生为了表达本组的意见, 更加主动地思考、倾听、组织, 灵活运用新旧知识, 使全身心都处于主动学习当中, 同时也增加了课堂凝聚力, 起到事半功倍的效果。

同桌交流。同桌距离近, 交流非常方便, 也是课堂教学中让学生发表见解、培养语言能力的好方法。特别是新授课时, 学生掌握了一定的方法, 需要用语言及时地总结。如名数之间的化法:2米6厘米= () 厘米, 可让学生叙述:2米就是200厘米, 200厘米加上6厘米等于206厘米。简单的两句话, 通过同桌间的互相交流, 使学生思路开阔, 并能举一反三, 灵活运用。而班级中的学习困难生, 也可在同桌的带动下, 逐步学会叙述, 正确地解答。

让学生小结。小结是课堂教学的重要组成部分。通过小结能提高学生的综合概括能力, 清晰地回忆出本课的要点。小学生虽然表达能力有限, 但只需正确引导, 学生便能正确地概括。如在学习了小数的大小比较之后, 课堂小结时, 我问学生:“通过这堂课的学习, 你有什么收获?”学生在回忆整理之后, 纷纷举手发言, 而且连平时不爱说话的和一些后进生也很积极。有些学生话虽简洁, 却抓住了本节课的学习重点, 不仅加深了对知识的理解, 也发展了学生的学习能力。而且, 经常进行有目的的课堂小结, 可以提高学生的分析, 概括、分类等逻辑思维能力, 达到智能并进, 全面育人的目的。多种形式的训练, 使每一个学生都有发言的机会, 同时, 学生把思维说出来, 会有一种愉悦的感觉, 也是自我表现和实现自我价值的需要。

四、结论

低年级学生年龄小, 语言表达能力还未发展完善, 说话的完整性、准确性、简洁性往往不够。而且习惯于用生活语言来表达对数学知识。在学习的初始阶段, 我们认为未尝不可, 但长此以往, 会阻碍学生数学思维的有效发展。作为一名小学数学教师, 就必须培养学生的数学语言表达能力, 充分挖掘学生的潜能, 从而促进思维能力的发展。在课堂教学中, 让学生不但想说、敢说, 而且能说、会说。那如何培养学生的数学语言表达能力呢?

摘要：小学数学教师应注重培养小学生数学语言的能力, 为他们今后数学学习打下基础。本文论述了小学数学教师在学生数学语言培养方面的几个问题。

关键词：数学语言,培养,教师,小学生

参考文献

[1]郑毓信.数学学习心理学的现代研究[M].上海:上海教育出版社, 1998.[1]郑毓信.数学学习心理学的现代研究[M].上海:上海教育出版社, 1998.

我的数学应用问题研究之路 篇8

1995年高考数学命题中引入数学应用题, 这一举动影响着全国的基础教育, 尤其是高中数学教学. 处在教学第一线的数学教师开始参与数学应用题的编制与教学研究. 下面与同行谈谈我也被卷在其中的经历, 以期共同探讨研究.

(一) 第一阶段———课堂内外引领学生应用实践, 教学之余编制数学应用问题

1995 ~1999年, 由于数学应用问题教学的需要, 在数学教育专家引领下, 数学应用问题编制与研究开始在全国各地兴起. 许多中学数学杂志在此领域大量发表文章, 尤其是《数学通讯》杂志集中报道数学应用方面的研究成果. 但是, 在中学数学第一线, 教师的数学应用意识与应用问题教学意识都不强, 教师数学应用问题的知识储备也不足, 再加上学生的社会实践知识欠缺, 阅读理解力的薄弱, 面对高考数学应用题时, 学生的应试心理一般处于恐惧或放弃状态.

1.编制适合中学生的数学应用问题, 研究中学数学建模问题

此时我开始潜心思考, 从现实生活中寻找信息与资料, 编制具有活生生现实背景的数学应用题, 并发表在《数学通讯》等杂志上, 还将编写的数学应用题分类汇集, 编著《用数学眼光看世界》一书. 如下面例题, 在当时起到较好的引导作用.

例1为了提供更加优质的教育, 增加大学生就业岗位, 某地区准备逐步实现小班化教育, 将学生人均教室面积由1 m2 提升至x (m2) , x≤2, 调整教师人均办公室面积为

如图1,

1确定a, b的值及函数f (x) 值域;

2实行小班化, 对教室改造投资中, 投资额P (万元) 与x之间的关系是P=exf (x) , 探求教室改造投资的最大值;

3对办公室进行改造的投资中, 投资额Q (万元) 与y之间的关系是Q=5y3-3cy2+180, c为正常数, 探求办公室改造投资的最小值及相应c的范围.

2.利用周末时间带领学生开始数学应用实践和实习活动, 增强学生应用意识

数学应用意识的培养不仅可以通过数学应用问题的教学, 还突出地表现在数学应用实践中. 在周末组织学生开展数学应用实践活动, 如利用简易工具测量鉴湖明珠电视塔高度以及与观测点距离问题. 学生不仅创造性实践 (多种测量方式) , 而且撰写了2000字左右的实习报告, 将实习过程、测量方法、测量所使用的数学原理、测量后所建立的数学模型, 一一总结记录, 并写下自己的实践感想.

(二) 第二阶段———数学教学加大数学应用问题教学力度, 探究数学应用题的教育功能

进入新世纪, 新的课程改革措施出台, 在以培养中学生的创新意识和实践能力为总目标形势下, 中学的数学应用问题教学有所加强. 高考数学试卷中的数学应用题分值不断增大, 数学应用题命题更加贴近学生的生活实际和认知水平. 学生面对数学应用题时开始充满自信, 各地高考数学应用题的成绩不断提高. 在这一阶段全国的中学数学杂志上有关数学应用的文章层出不穷, 为各地中学教师开展数学应用问题教学提供素材.

1.数学应用问题的教育功能开发

数学应用问题教学的目的是提升中学生的数学应用意识, 培养中学生的数学应用实践能力.开发数学应用的教育功能除了它对数学思想方法的深入理解外, 让学生通过一个个“活”的数学应用问题, 体会问题背后所隐含的环境保护、再生资源利用、爱心感恩、资源利用最优化等.

2.开设数学应用问题讲座, 普及中学数学建模方法

为了普及中学数学建模思想方法, 除了课堂上的数学应用问题教学之外, 利用课外活动或研究性学习活动时间开设数学应用问题讲座, 使数学应用教学形成一个完整的体系, 给中学生一个数学应用问题全貌.

3.挖掘课堂教学案例, 提升中学生的实践能力与创新意识

在数学教学过程中, 常常会遇到一些不可多得的智慧火花, 开发它, 会引发无限的创造力.

例2利用正方体框图, 请你构造一个面数大于6的多面体. 画出你设计的多面体的直观图, 数一数它们有多少棱、多少个面、多少个顶点.

这个开放性作业布置后的第二天上课时, 有一位同学拿着一个正方体铁丝骨架模型, 如图2, 其中六条面对角线是用橡皮筋连接的, 一位同学将一对面对角线橡皮筋向外拉, 然后问其他同学, 这是不是一个多面体?如图3, 一位同学说这个多面体形成一个12面体. 接着, 另一位同学伸出手将另一对面对角线橡皮筋向外拉, “认为”形成一个18面体.第三位同学将最后一对面对角线橡皮筋向外拉, “认为”形成一个24面体. 在四位同学的共同合作下, 一个生动的多面体诞生了.面对课堂教学中瞬间发生的信息, 教师用敏锐的眼光发现其中的问题并加以开发, 不仅与欧拉公式发生联系, 而且总结其中的数学模型.

(三) 第三阶段———开发数学应用题的数学本质与数学应用意识

2003年新课程改革起步, 新课程标准制定并公布, 2004年在广东、海南、山东、宁夏新课程教材进入高中课堂, 各地编写的新课程教材纷纷出版, 新课程数学教材中最明显的特点就是数学应用问题比原教材增加了许多, 高考中许多数学应用题的情境来自于生活, 深入挖掘出其数学本质, 最有代表性的就是处在二期课改前线的上海, 开发的数学应用题给人们呈现出的情境新颖, 其数学内涵丰富.

1.关注数学应用建模能力, 培养学生数学应用素质

中学所涉及的数学应用问题有二类:第一类, 经过精加工后的贴近数学本质的“准”数学应用题;第二类, 经过粗加工的贴近实际的“真”数学应用题.“好”的数学应用问题层出不穷, 面对如此好的问题. 把数学应用建模思想方法渗透在教学之中, 充分挖掘问题的数学本质, 把这一过程成为养育中学生数学应用素质的重要途径.

例3以下是面点师一个工作环节的数学模型:如图4, 在数轴上截取与闭区间[0, 1]对应的线段, 对折后 (坐标1所对应的点与原点重合) 再均匀地拉成1个单位长度的线段, 这一过程称为一次操作 (例如在第一次操作完成后, 原来的坐标1/4, 3/4变成1/2, 原来的坐标1/2变成1等) .那么原闭区间[0, 1]上 (除两个端点外) 的点, 在第二次操作完成后, 恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标是_____ ;原闭区间[0, 1]上 (除两个端点外) 的点, 在第n次操作完成后 (n≥1) , 恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为_____ .

理解突破:

“均匀地拉”———保证这是一个有规律的数学变换———伸缩变换;

“一次操作”———一次变换所呈现的结果:原来的1/2变到1;原来的1/4, 3/4变到1/2;

第2次操作——第1次操作后由原来的1/4, 3/4, 变到第2次操作前的1/2;第2次操作后的1;

第3次操作———第1次操作后由原来的1/8, 3/8, 5/8, 7/8变到第2次操作前的1/4, 3/4, 第2次操作后变到1/2;第3次操作后变到1;照此下去, ……;

第n次操作———第1次操作后由原来的变到第2次操作前的, 第2次操作后变到第n-1次操作前的1/4, 3/4, 第n-1操作后的1/2;第n次操作后变到1;

因此第二次操作完成后, 恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标是1/4, 3/4;原闭区间[0, 1]上 (除两个端点外) 的点, 在第n次操作完成后 (n≥1) , 恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为, 即j/2n, j为[1, 2n]中的所有奇数.

看到此问题情境, 不由联想起古人“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”的精美概括;联想到精美的杨辉三角, 那么此问题能否概括为“一尺之面, 对折其拉, 万丝不断”?生活中的“拉面”场景, 抽象为一种数学伸缩变换过程, 检测学生的对应、变换、数列知识以及逻辑思维能力, 此问题给我们的一个重要启示是:在数学教学中, 引导学生学会用数学眼光看世界, 去发现生活中的司空见惯的现象背后的数学规律, 去探索或总结其数学模型, 去揭示实际应用问题的数学本质.

2.关注数学问题的数学本质, 从实际问题中挖掘数学模型

例4如图5, 一位花布设计师在边 长为3的正方形ABCD中设计图案, 他分别以A, B, C, D为圆心, 以b (0≤b≤3) 为半径画圆, 由正方形内的圆弧与正方形边上的线段构成了丰富多彩的图形, 则这些图 形中实线 部分总长 度的最大 值为, 最小值为 ________.

当b=1.5时, L达到最小值3π, 当b=3时, L达到最大值6π+12.

花布图案设计是一个复杂的工作, 但抽象出来的数学模型是简洁而美丽的, 由点的运动而产生许多丰富的图案:

学生面对如此问题时, 一方面要学会从“数”角度思考, 写出长度的分段函数, 而后求出其最大值与最小值;另一方面也应学会从“形”角度思考, 发现其最值点和最值. 但不论是哪一个思路, 都需要学生在“运动”着的图案中发现其数学本质, 为今后的创新意识和实践能力打下基础, 这正是新课程改革的教育理念之一.

二、近 20 年来我国高中数学应用问题教学的反思

近20年来高中数学应用问题教学重视程度不同, 特别在高考单独命题省份. 数学应用题一般都有一大一小或一大二小. 尤其是上海进行二期课改, 关注数学研究性学习, 数学应用问题教学的氛围比较浓. 高考数学命题中数学应用题情境新颖、充分挖掘实际问题中的数学本质. 但是许多省份的单独命题中, 除了概率统计的应用题外, 几乎不涉及数学应用问题.

(一) 数学教学中实际应用意识不强, 对数学应用问题的教学目标不明确

不论是数学课程标准还是考试要求对应用意识都有明确的说明:“能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题, 包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题, 能理解对问题陈述的材料, 并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类, 将实际问题抽象为数学问题, 应用相关的数学方法解决问题并加以验证, 并能用数学语言正确地表达和说明, 主要过程是依据现实的生活背景, 提炼相关的数量关系, 将现实问题转化为数学问题, 构造数学模型, 并加以解决.”实事求是地说, 这一目标要求是比较高的.它至少包括了下列目标:

一是“用”数学的意识与能力, 即通过教学培养学生数学应用意识, 学会用数学眼光看世界的方法, 求解数学应用题的能力, 探究数学概念与方法的来龙去脉与实际背景的能力;

二是数学建模能力, 为相关学科中涉及数学建模或进一步学习中涉及数学建模奠定基础;

三是数学语言表达与交流能力, 即通过数学研究性学习方式来培养这一能力;

四是数据处理能力, 在学习概率、统计、算法、金融数学相关知识中所训练的能力.

(二) 数学教学中的功利意识太强, 对数学应用问题教学冷热不均, 反复无常

1995年以来, 数学应用问题教学意识经历了一个由冷加热, 热中保温, 温度下降的过程. 教师在不同教学思潮的影响下, 缺乏从整体上认识它的功能与素质教育要求. 因此一会儿重视, 一会儿放弃, 表现在对数学教材处理上, 有关“实习作业”“章引言与章头图”“探究与发现”“阅读思考”等内容都忽略不去涉及, 截头去尾只讲一些与“高考应试”有关的数学内容. 课堂上对数学概念的来龙去脉不加研究, 不介绍, 导致学生只能了解一些数学解题方法, 不理解数学概念. 由于社会文化中功利意识的影响, 在数学教学时对应用问题的教学中, 如果与高考数学应用题型相关, 就花大量时间或精力去训练学生的应试能力;如果与高考数学应用题型无关, 就一带而过, 或者是避而不讲.这样导致中学生数学应用意识与实践能力仍是一个盲点.

(三) 新的课程改革促使数学应用再掀高潮

2012年起, 浙江省在全省范围内进行大规模的课程改革, 增大选修课程的学分, 以数学建模为核心的数学应用教学研究在浙江大地展开, 2014年浙江高考数学中, 一道闪亮的应用题诞生, 可以预见数学应用问题的教与学会再掀高潮!

例5某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的A点处进行射击训练. 已知点A到墙面的距离为AB, 某目标点P沿墙面的射线CM移动, 此人为了准确瞄准目标点P, 需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m, AC=25m, ∠BCM=30°, 则tanθ的最大值______. (仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)

高中数学应用问题的教学实践 篇9

高中学生年龄一般在15~17周岁, 他们认识过程的各种心理成份虽已接近成人的水平, 但智力活动带有明显的随意性, 其抽象思维从“经验型”向“理论型”急剧转化。他们能够逐步摆脱具体形象和直接经验的限制, 借助概念进行合乎逻辑的抽象思维活动, 开始在教师帮助下独立地搜集事实材料, 进行分析综合, 抽象概括事物的本质属性。因此, 应结合学生的心理特点和思维规律, 进行应用问题的教学。

一、重视基本方法和基本解题思想的渗透与训练

为培养学生的应用意识, 提高学生分析问题、解决问题的能力, 教学中首先应结合具体问题, 教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模过程、建模思想。

教学应用题的常规思路是:将实际问题抽象、概括、转化, 即数学问题——解决数学问题———回答实际问题。具体可按以下程序进行。

1. 审题。由于数学应用的广泛性及实际问题非数学情景的多样性, 往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的问题, 舍弃与数学无关的因素, 抽象转化成数学问题, 分清条件和结论, 理顺数量关系。为此, 引导学生从粗读到细研, 冷静、慎密地阅读题目, 明确问题中所含的量及相关量的数学关系。对学生生疏的情景、名词、概念作必要的解释和提示, 以帮助学生将实际问题数学化。

2. 建模。明白题意后, 再进一步引导学生分析题目中各量的特点, 明确哪些是已知的, 哪些是未知的, 思考它们是否可用字母或字母的代数式表示, 它们之间存在着怎样的联系。将文字语言转化成数学语言或图形语言, 找到与此相联系的数学知识, 建成数学模型。

3. 求解数学问题, 得出数学结论。

4. 还原。将得到的结论, 根据实际意义进行适当增删, 还原为实际问题。

二、引导学生将应用问题进行归类

为了增强学生的建模能力, 在应用问题的教学中, 应及时结合所学章节, 引导学生将应用问题进行归类, 使学生掌握熟悉的实际原型, 发挥“定式思维”的积极作用。这可顺利解决数学建模的困难。如将高中的应用题归为:1.增长率 (或减少率) 问题;2.行程问题;3.合力的问题;4.排列组合问题;5.最值问题;6.概率问题等。这样, 学生遇到应用问题时, 针对问题情景, 就可以通过类比寻找记忆中与题目相类似的实际事件, 利用联想, 建立数学模型。

三、针对不同内容采取不同教法

高中新教材的数学应用问题遍及教材的各个方面, 教学时针对不同内容, 有的放矢, 各有侧重, 就会取得较好的效果。

1. 章头序言, 指导阅读, 留下悬念。

2. 重视例题的示范作用。

3. 指导练习, 巩固方法。

4. 课外阅读, 补充提高。

5. 实习作业, 重视实际操作与团结协作。

新课标下高中数学应用问题初探 篇10

关键词：新课标；高中数学；应用问题；教学研究

中图分类号：G632.0 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）01-087-01

一、数学应用问题的教学意义

1、数学应用有助于全面认识了解数学，形成良好的数学观

应用题与实际问题有着密切的联系，是理论联系实际的桥梁，因此，通过解应用题，学生能够深刻地感受到数学的应用价值、感受到数学与现实世界的密切联系，有助于形成良好的数学观。同时，学生在感受到数学的价值后可以激发数学学习的兴趣，使学生树立学好数学的信心，提高数学学习的内驱力。

2、培养学生的应用意识，提高学生的建模能力

学生透过应用题的表象抽象出它的数学本质、并且用数学的方法去解决它，这将有助于培养学生一种用数学的眼光和从数学的角度思考问题的能力。应用题大都源于实际，需要学生有较强的阅读理解能力，不仅要读懂文字内容，更要读懂题目中的图形、表格，然后捕捉有效的数学信息将普通语言转化成数学语言，实际问题转化成数学问题，构造出数学模型。现代的应用题对学生的建模能力提出了更高的要求，使学生不只是知道数学化的结果，更需要了解数学化的过程。综上所述，借助于数学应用题能提高学生的阅读理解能力、数据处理能力、归纳类比能力、数学化能力、分析问题和解决问题的能力等。

3、培养学生良好的心理素质

赞柯夫的发展教学论认为:“学生在毕业后总会或多或少地碰到他们不熟悉的新发现和新技术。在这种情况下，只有具备相应的智慧、意志和情感品质等心理意识的人，才能在他们所不熟悉的环境中迅速地辨清方向，顺利地采取对策。”通过后面教材和高考应用题的研究可以发现，应用题中的许多背景是学生以前没有接触到，因此同学在解题的过程中会产生一种恐惧心理，即使题目再简单也会无从下手，这是对学生心理素质的一种考验，需要学生有一定的心理承受能力。只有多次分析才能找到突破口，把不熟悉的题目化归成熟悉的题型，最后顺利地解决问题。通过不断的训练，可以培养学生的毅力和决心。

4、思想教育功能

通过后文对教材和高考试题展现分析，可以发现数学应用题越来越注重开发其教育功能。以应用题为窗口，以沙漠化问题、水土流失问题、人口问题、受威胁的动物种类、野生动物的饮水告急、空气污染、燃放礼花、边防局追击可疑船只、人体质量指数、分期付款、机票打折、教育储蓄、助学贷款、房屋租金、家庭收入、旅游收入、购物卷、个人所得税、手机话费、设计花坛、奥运会我国奥运健儿获奖情况等为背景，让学生了解政治、经济、文化、交通、国家建设等各个方面，树立经济意识、环保意识、动物保护意识、安全意识、健康意识等各种观念，在解题的过程中会让学生受到很好的教育，培养学生关心国家大事、关心社会、了解社会，增强社会责任感与主人翁意识，不再死读书，做书呆子，培养良好的社会适应能力。

二、消除障碍提高数学应用题的教学效率

1、消除心理障碍

现代认知心理学及信息加工心理学认为人的认知过程即是信息加工过程，信息加工的结果则是习得知识——陈述性知识、程序性知识和策略性知识，现代心理学家必然认为学生获得上述三类知识为教学的认知目标。我们要求学生要树立信心，提高心理承受能力，不能随意放弃，在平时教学过程中注意有计划，有目的地加一些应用题进行分析，每次考试都尽可能地考查一道与复习内容相关的应用题，以便帮助学生消除心理障碍。

2、排除语言障碍

要排除语言障碍，必须做好读题和翻译工作。读题是翻译的基础，通过读题，抓住关键的数量关系，然后准确地翻译为数学语言，从而达到解决问题的目的。主要能做到两点:一、读题时要抓住题目中的关键字、词、句，弄清题中的己知事项，初步了解题目中讲的是什么事情，要求的结果是什么。二、能复述要点，深思题意，一般情况下，可翻译成自己的方言，也可采用图表示意的方式。

三、选择恰当的数学概念解决应用问题

1、发挥学生的想象能力，培养学生的直觉思维

众所周知，数学史上不少的数学发现来源于直觉思维，应该说它们不是任何逻辑思维的产物，而是数学家通过观察、比较、领悟、突发灵感发现的。通过数学建模教学，使学生有独到的见解和与众不同的思考方法。

2、以“构造”为载体，培养学生的自我编题能力

“建模”就是构造模型，但模型的构造并不是一件容易的事，又需要有足够强的构造能力，而学生构造能力的提高则是学生创造性思维和创造能力的基础：让学生参与简单的数学应用编题活动，创造性地应用数学知识解决实际问题。

3、教师引导学生组织材料搜寻信息和编拟简单的应用问题

提高学生应用题的解答能力的过程有三点基本要求。第一、对周围的事物要有积极的态度;第二、要敢于提出问题;第三、善于联想，善于理论联系实际，从简单实力出发组编应用试题。因为编写应用问题的活动本身就是一项创造性的思维活动。它既具有一定的理论性又具有较大的实践性;可以培养学生的想象能力，直觉思维、猜测、转换、构造等能力。利用编拟简单的数学应用题加深对基本概念的理解和应用。

“数学应用”教学中若干问题探究 篇11

关键词：应用数学教学,教学法,数学应用能力

数学课程教学的两个核心问题

在整个大学本科教育中, 数学的教育是不可或缺的。不论是数学专业还是非数学专业, 数学的逻辑思维能力的训练对学生来讲都至关重要。但作为一名数学教师, 经常会遇到有学生问这样的问题:老师, 我们的数学学了有什么用?甚至毕业了的学生也会说:大学里学了那么多数学, 根本不知道怎么用!面对这样的问题, 如果单纯地以“培养数学的素养”来回答, 多少显得有些苍白。尤其是对于像上海对外贸易学院这样的以应用型人才为培养目标的高校, 如果所教授的内容, 不能很好地与实际相结合, 会使同学失去学习的兴趣和动力, 导致“培养数学的素养”的目标也落空。因此, 当遇到这样提问的学生越来越多时, 作为一名数学教师, 是需要认真地思考一下:在我们的教学过程中, 是不是哪里出了问题?经过仔细的检讨, 我认为问题的核心大致可以归结为两个方面:

1. 在教学过程中混淆了应用数学和“数学应用”的界限。

大学非数学专业 (特别是商科专业) 本科课程设置中所开设的数学课程, 如统计学、运筹学、博弈论和模糊数学等, 若从学科分类角度来说, 都应该归为应用数学范畴。应用数学是利用数学来发展经验科学的学科。它始于经验性事实, 止于对经验性事实进行规律性预测, 这些规律性预测还必须被其他的实验数据所证实。应用数学的主体是建立科学概念、构造数学模型和公式, 进而发展数学理论, 并作科学上的预测。它强调的还是对数学方法和数学理论的拓展。而后者则是强调数学方法在实践中的应用, 它强调的是对实际问题的判断, 要求能在众多的数学方法中, 正确选择合适的方法 (或略微加以改造) 来解决实际问题。下面的示意图可以用来描述两者的区别。

作为数学教师, 在课堂教学中, 我们常常自觉或不自觉地沉醉于数学本身的完美体系之中, 过分强调数学的严密逻辑, 或注重数学方法细节的描述, 强调对于数学方法的掌握而忽略了方法的应用。事实上, 对于大多数学生来说 (尤其是商科学生) , 更重要的是数学的应用。因为只有学以致用, 才能提高学生对学科的兴趣。对于这个本质问题认识不清晰, 是导致学生对数学学习产生困惑的原因之一。

2.在教学过程中模糊了对学生的培养要求。

有的应用数学类课程教学大纲中, 都会强调学生对于理论和方法的掌握。个别课程如有应用软件的, 还会提供上机机会。但是, 在具体实施教学时, 往往会专注于要求学生掌握方法本身, 而忽略对数学应用的基本素质培养。例如, 面对实际应用问题, 许多学生都不能

数学应用的基本素养

哪些是学生应当掌握的数学应用的基本素养呢?粗略可以归结为下列几点:

1. 会用数学的语言将问题描述出来。

是数学应用的最基本能力。如果不能将问题用数学语言表示出来, 也就无法用数学的方法将它解决。此外, 学会数学语言的运用, 也是进一步培养数学思维的基础。注意, 这里所说的仅仅是“描述”, 它可以是不严密的, 不连贯的, 不完整的, 有别于数学模型的严密和完整。

2. 会对实际问题的类型作出判断。

里所说的问题的类型, 涉及到两个层次。第一个层次是对问题大类的判断, 即问题属于确定性的、随机性的、模糊的, 还是混合性的。学会这样的判断一般不难, 这只要判断问题所包含的变量的类型就行了。第二个层次的判断就比较困难, 它要求对问题所涉及的应用数学分支进行判断, 进而决定采用什么数学方法。

上述三种能力的培养, 需要我们贯彻在每一门课程的教学之中。余下的问题就是, 我们应当如何在课堂教学中来培养学生的这些能力呢?

3.会整理归纳已学的数学方法。

这里要求学生将所学过的数学方法进行归纳整理, 使之系统化。借用计算机科学的语言, 就是要建立一个关于方法的数据库, 将各种方法的特点, 适用场合作为关键字储存起来, 以便实际应用使快速检索。而这一种能力的提高, 反过来也是对第二种能力的促进。

如何在课堂教学中培养数学应用的素养

对于数学应用素养的培养, 我想是否可以从以下几个方面来着手:

1.经常强调要求学生用数学的语言来描述问题。

这是一项长期的工作, 可以在每一门数学课中进行。开始时, 可以反过来进行, 即在介绍一种数学语言 (包括数学符号) 时, 同时指出它在现实生活中代表或可以代表何种现象。等到学生熟悉了这种方式后, 再启发学生自己来表述。

例如, 在介绍图或网络时, 先说明它可以表示一个城市的交通网络。其中, 网络的边表示一段街道, 边上所附的权表示该段街道的长度。求从某出发点到目的地的最短路就等价于在一个赋权的网络中寻找连接这两点的所有路中权和最小的那条。当同学熟悉了基本概念后, 提出下列问题:某公司要制订一项5年内更新设备的计划。已知该设备在不同年份购置的价格及设备连续使用时每年的维护费用, 并假设公司现有的设备已经连续使用了两年。应如何选择更新时机使总费用最低?启发学生把问题用网络的语言表示出来。又如在介绍了线性规划模型后, 提示同学, 规划中的变量可以是连续的, 也可以是离散的。然后给出问题:已知某篮球队有8名球员, 并且知道他们各自的身高和擅长的位置。现要参加一场篮球赛, 需从8名队员中选择一个平均身高最高的出场阵容。启发同学用0-1变量来表示该名队员上场与否, 进而表示成一个线性规划问题。

2.强调解题的规范。

讲解例题及对学生解题都严格要求具备三要素, 即判断、方法应用和结论解读。“判断”是指对问题类型的判断, 其中蕴含着对适用方法的判断。要求学生具体写出显式的条件和隐式的条件。决不能因为觉得太简单而忽略这一步骤。“方法应用”则是选用适当的方法进行解题。“结论解读”是将数学计算的结果还原到实际背景中去的过程, 即要求学生明白, 数学上的解在实际中的意义。

在上述解题三要素中, 判断是整个解题的基础, 也是最重要的一环。相对来讲, 第二步方法的应用倒是比较容易掌握的。第三步往往是学生会忽略的, 但这却也是数学应用的重要步骤。往往会出现这样的情况, 同样的计算结果, 在现实生活中可以有不同的解释。在安排教学时间上, 应该放比较多时间在问题的判断上, 甚至可以集中将一些问题放在一起让同学判断而不必具体求解, 以锻炼学生的判断能力。尤其是在阶段性复习时, 更要训练判断, 因为此时掌握的方法多了, 必须先对问题作出准确判断, 然后才能确定解决方法。

例如, 在解答假设检验类的题目时, 要求学生先把诸如样本容量、显著性水平、总体参数等已知条件写一遍。然后根据这些已知条件进行判断, 是单总体还是双总体, 是采用正态分布还是学生氏分布。判断正确了, 问题就解决了一大半。最后, 要将假设检验的结果用文字表示出来, 如接受原假设时, 可以说“在给定的显著性水平下样本数据不足以说明原假设不成立”;当拒绝原假设时, 可以说“在给定的显著性水平下样本数据显示原假设不成立”。又如, 给出某公司800笔应收账款按金额和账目到期时间分列的数据表格, 问抽样结果是否显示应收账款金额与账目到期时间着两个因素相互之间有影响?让学生判断, 是作独立性检验还是作方差分析。适当时候, 让学生自己总结这两种方法的区别点。

3. 及时帮助学生归纳整理已学过的知识。

一个阶段教学后, 将所学方法用表格结构、树形结构或钩连表结构进行归纳整理, 帮助学生从形式到内容梳理知识, 必要时还应将方法之间的逻辑关系标明。在教师作出示范后, 就可以要求学生也照此来整理。这种方法不仅可以用来整理应用方法, 还可以用来整理数学概念。

例如, 在统计学中, 讲授了区间估计后, 可以要求学生将不同类型的区间估计计算公式列出来。一种可能的方式是:单总体均值或两个总体的均值, 再分为正态总体或非正态总体, 再分为大样本还是小样本, 再分为总体方差已知或未知。在博弈论中, 按静态还是动态来分, 再按信息完全和不完全来分, 再按信息完美还是不完美来分, 每种类型的博弈归纳出几种典型的模型。在运筹学中, 讲授了网络规划后, 让学生按边上的赋权情况来分类。如一个权的, 属于什么类型的问题, 或可以提出哪些类型的问题;两个权的, 又可以提出哪些问题, 各自又有哪些方法来解决。

有时, 通过归纳总结, 还可以引导同学自己提出新问题。例如, 在最小费用流问题中, 是满足容量约束, 达到费用最小。可不可以让费用满足约束, 使容量达到最小?

4. 引导学生自己发现新问题的关键点。

在每次引入或介绍新方法时, 不要开门见山, 直接说出解决的方法。可以要让学生和你一起来思考, 以问题来驱动新知识点的引入。教师备课时材料要充分, 启发学生用类比、归纳等方法, 找出可能解决问题的几种途径。当新方法介绍后, 再要求学生进行对比, 找出差距。这样, 把新知识的引入, 处理成学生判断、发现和解决问题的过程, 把被动接受变为主动发现, 同时也提供了一次学生在教师帮助下进行数学应用的实践过程。

例如, 在统计学课程中讲授了拟合优度检验后, 指出卡方检验实际上就是考察两个分布在某些离散点上密度函数值的加权离差平方和。当这个值很大时显然这两个分布的密度函数曲线拟合很差。接着, 在介绍独立性检验时, 先指出, 我们希望能用类似拟合优度检验的方法来解决。同时提醒同学注意, 独立性检验所给出的数据表, 实际上是一个两维的频数分布表, 它只代表了一个分布函数的信息。而拟合优度检验需要比较两个分布函数。那么, 另一个分布函数 (即理论分布函数) 在哪里?

我们看下面的例子:在对某城市家庭的社会经济特征调查中, 调查者同时想确定家庭的电话拥有量与汽车拥有量是否独立。该公司对10000户家庭组成的简单随机样本进行调查, 获得资料如下表。设显著性水平为0.01。

显然, 数据只给出一个样本的分布情况。那么, 理论分布又在哪里呢?

在课堂教学中, 面对这样的提问, 同学大都会感到很困惑。而这时, 可以强调我们原假设是“电话拥有量与汽车拥有量是相互独立的”, 并进而给出提示:假如原假设成立, 那么, 数据会出现哪些现象?让学生自己发现这样的结论, 即“电话的拥有量为0, 1或2的家庭, 其汽车的拥有量分布应该彼此相似”, 从而得出理论分布的计算方法。这样, 独立性检验的问题, 就转化为一个拟合优度检验的问题, 即把一个新问题通过合适的转换变为一个已经掌握了的“旧”问题。同样的方式也可以用于博弈论中关于“海萨尼转换”的教学。

结 论

如前所述, 大学应用数学课程的教学, 不光是需要讲授数学方法, 更应多一点对于应用能力的培养。而这当中, 尤以对问题的判断更显重要。本文虽然提出了一些应予关注的方面, 但还需留待实践来证明。

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