数学问题设计的方法

数学问题设计的方法（共12篇）

数学问题设计的方法 篇1

1 问题的提出

人民教育出版社章建跃博士在“从整体性上把握好数学内容”一文中提出：日常教学，概念一个个地教，定理一个个地学，容易迷失在局部，见木不见林……．把握好整体性，对内容的系统结构了如指掌，心中有一张“联络图”，才能把准教学的大方向，使教学有的放矢．也只有这样，才能使学生学到结构化的、联系紧密的、迁移能力强的知识．

江苏省扬州市特级教师张乃达先生认为：教学设计的实质是问题设计，初始问题是数学教学活动的起点．所谓初始问题，就是那些可以导致数学知识（概念、定理、法则、方法甚至思想、观念）产生的问题．问题是数学的心脏，数学知识、思想、方法、观念都是在解决数学问题的过程中形成和发展起来的．数学教学设计的中心任务就是要设计出一个（或一组）问题，把数学教学过程组织成为提出问题和解决问题的过程，让学生在解决问题的过程中“做数学”．因此，设计好的问题就成为教学设计的核心．笔者结合工作实践谈谈初始问题的设计方法，以求教于大家，不妥之处，敬请各位同仁批评指正．

2 设计初始问题的现实意义

初始问题不仅是创设一个问题情境，使学生进入“愤”和“悱”的状态，更重要的是，初始问题为学生的思维活动提供了一个切入口，确立了思考方向，为学生的学习活动找到一个好的载体，也为数学课提供了一个好的结构．例如教学合并同类项内容，可以设计：

问题1求多项式-5x2 y+3x2 y-8x2 y的值，其中

设计意图让学生体会“合并”后可以使运算更简捷，认识“合并同类项”的必要性．

问题2当时，计算3x3-5x-9x3+6x3+1的值．

设计意图让学生“自觉”地寻找“同类项”，合并同类项．

设计初始问题“怎样更简捷地求多项式的值”，学生的学习活动就有了明确的目的性，从而成为主动的、积极的探索性活动．这样一来，同类项的概念、合并同类项的法则都成为解决初始问题的成果而成为学生的创造物，数学课也就成为学生的再创造过程．

3 设计初始问题的一些做法

初始问题就在应用数学知识解决（实际）问题的过程之中，就在进一步完善和发展数学知识结构的活动之中，所以在备课时可以从应用型初始问题和结构型初始问题入手进行问题设计．

3.1 整章知识导入初始问题设计

以沪科版七年级下册（2015年版）“分式”内容为例．

对于分式，我们就会提出如下问题：

问题1什么是分式？它和整式有什么联系和区别？

问题2分式的定义是怎样得到的？

问题3为什么学习分式？

……

这些问题都不是导致分式概念产生的初始问题，因为他们都只能产生在分式概念形成之后，分式是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概念；分式方程是一类有理方程，它亦是解决实际问题的重要数学模型．

我将章前导语中实际问题改编成初始问题：在相距1600km的两地之间运行一列车，速度提高25%后，运行时间缩短了4h．如果你是老师，在此条件下，你能提出哪些问题？并尝试解答．实践发现，学生提出的问题主要有：

(1）求列车提速前的速度；

(2）求列车提速后的速度；

(3）求列车提速前的运行时间；

(4）求列车提速后的运行时间．

学生虽不一定知道分式方程，但根据以前列方程（组）解应用题的经验，部分学生能够列出方程：设提速前的运行时间是x时，有；设提速后的速度是x千米/时，则.

接着围绕如下问题展开讨论：

(1）所列方程是什么方程？

(2）如何求该方程的解？

(3）什么是分式？它和以前学习的整式有何区别？

(4）分式如何进行运算？

……

可见，分式或分式方程具有整式或整式方程不可替代的特殊作用，更适合作为某些类型问题的数学模型．学生通过对一道初始问题的研究，体会到学习分式的必要性，并对分式全章知识有一个初步的整体感知（图1).

知识结构图1，学生若能知道其概貌，那么相关知识点学习的必要性就显而易见了，学生学习的自觉性自然增强．数学教学不仅需要针对一节课、一个概念、一个定理、一个问题的教学设计，而且更需要整体的宏观的设计；对某一章、某一个大的教学单元的教学也需要总体设计．如教学“第9章分式”，教科书设置的本章导语为学生整体认识本章内容提供了极好的素材，可以改编成一个很好的初始问题，这可能正是编者的设计意图．

3.2 基于知识发展“前后一致，逻辑连贯”进行初始问题设计

以“因式分解”为例．

笔者过去教学因式分解时，按提公因式法→平方差公式→完全平方公式→分组分解法一一展开教学，课后总有学生询问“为什么要学因式分解”，学生的心理疑虑引发我的思考，我在教学时设计了如下的初始问题：

计算：（1)(x+y+1)2-x(x+y+1)-y(x+y+1);

(2)(a+b+c)2-(a-b-c)2;

(3)(x+1)2-2(x+1)+1.

学生说出计算过程和依据，教师板书：

反过来

左边是整式的乘法，积→和；右边是将和→积，从上述例子可以看出：不仅需要研究“积→和”，有时候也要研究“和→积”，初始问题源于学生的认知起点———整式乘法，又解释了为什么学习因式分解？怎么因式分解？什么是因式分解？3个问题让学生对因式分解有了初步的整体感知，明确了因式分解学习的必要性、目的性．

3.3 概念课初始问题设计

以“无理数、垂线”为例．

“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！”（李邦河院士语）；“概念课的主旋律是让学生参与概念本质性的概括活动，它是使概念课生动活泼、优质高效的关键！”（章建跃语）．本着这一原则，代数中“无理数”概念教学时我设计了如下初始问题：

如图2是由3条横线，3条竖线构成的方格网，它们相邻行距、列距都是1，从这些纵横线相交得出的16个点（称为格点）中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形．

(1）你能找出多少种面积互不相同的格点正方形？

(2）你能求出这些格点正方形的边长吗？

教师引导学生利用计算器寻找“有理数”表示面积为2,5的格点正方形的边长，感受无理数是客观存在的．

设计意图让学生认识引入无理数是解决实际问题的需要，原有的数“不够”用了，同时也是数学知识结构自身发展的结果，已知底数、指数，求幂是乘方运算；与之相反，已知幂、指数，求底数是什么运算呢？让学生体会无理数的出现不是“魔术师手中的兔子，突然跳出来”，而是“自然登场”的．

2000多年前，无理数的发现引发数学史上第一次基础理论的危机，直到19世纪人类才真正地对无理数有一个全面的认识，要想学生在短短几节课内就对无理数有深刻的认识是不太现实的，但并不是说老师就无所作为．上述初始问题的设计与探究，就可以帮助学生揭开无理数“神秘”的面纱；再感知π，π，,e,0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0）等，加深对“无限不循环小数”存在形式的认识．努力从学生的认知水平出发，保证学生参与概念本质特征的概括活动，确保学生有想明白“无理数”的机会与时间，这是非常必要的．

几何中“垂线”是核心概念，教学时我设计了如下的初始问题：

学校体育运动会，裁判如何测量跳远成绩？（给出图片（略），让学生结合图片描述测量的方法）可围绕以下问题讨论测量的方法：

(1）测量工具皮尺摆放有何特殊要求？

(2）如何保持皮尺与跳板垂直？

(3）从数学的角度看，可以将皮尺和跳板的边沿“抽象”成什么图形？

(4）如何用数学的方法刻画这两种图形的位置关系？即如何刻画“垂直”？

引导学生想到两条直线相交出现的角的大小来描述，直观的位置关系通过精确的数量关系来刻画，设计贴近学生生活的问题引发学生的数学思考，不失为一种好方法．

3.4 定理、法则、公式的初始问题设计

以“勾股定理的逆定理”、“整式的乘法”为例．

勾股定理逆定理的教学，常见引入：以古埃及人绳子打结构造直角，学生通过画3边长分别为5,12,13;3,4,5；……，引导学生猜想：当三角形3边长分别为a,b,c满足a2+b2=c2时，∠C=90°．事实上，如何让学生自然想到3边满足平方关系，产生结论？又为何起名“勾股定理的逆定理”？从教学过渡自然性的角度看，改进一下，或许会更好．笔者认为，学生在学“勾股定理”之前，已经有了学习“角平分线性质定理、判定定理；垂直平分线性质定理、判定定理；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质与判定”等知识的活动经验，学习“勾股定理的逆定理”，完全可以直接从研究“勾股定理”的逆命题出发，可设计如下的初始问题：

问题1回顾勾股定理（文字表述、符号表示、图形表达……）．

设计意图一是因为本节课勾股定理逆定理的推导要用勾股定理，二是因为本节课的重点就是研究它的逆命题．

问题2勾股定理的逆命题如何表述？它是真命题吗？

设计意图设计该初始问题，明确本节课的重点，引发学生思考．

再围绕下列问题展开：

(1）（观察）古埃及人打绳结找直角；

(2）（操作）画图验证猜测结论；

(3）（思考）合情推理表述结论；

(4）（证明）演绎推理证明结论（画图、写已知、求证、证明）；

(5）（揭示）勾股定理的逆定理；

(6）（应用）……

这里的初始问题是从原有的知识结构中，通过研究命题的逆命题提出来的，这类初始问题称为结构型初始问题．结构型初始问题，还可以采用原有知识一般化、特殊化等策略进行设计．如代数中“整式的乘法”教学．多项式的运算所要解决的问题是代数中的最基础问题，而“整式的乘法”则是“基础的基础”．数学学科内部有着明晰而严谨的结构，教师知道整式乘法的逻辑体系和研究思路，是进行高质量教学设计的关键．整式乘法的相关内容和逻辑体系如图3．观察知识结构图，可以发现整式的乘法在“知识链条”中所处的位置，它建立在幂的运算基础上，同时又是后续学习因式分解、分式运算的基础，根据知识前后之间的紧密联系，可以进行初始问题的设计．如多项式乘以多项式可以在单项式乘以多项式的基础上“一般化”提出：m(a+b)=ma+mb，若m=c+d，则可得到等式？引出多项式乘以多项式法则；公式（m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb“特殊化”可以得到哪些乘法公式？另外也可以通过类比提出结构型初始问题，如在学习点与圆位置关系，提出直线和圆有哪几种位置关系；在学习乘方之后提出开方的问题；在学习三角形全等后提出三角形相似的问题；在学习三角形内角和后，提出多边形的内角和问题等．

3.5 综合与实践活动课初始问题设计

以“汉诺塔游戏”为例．

游戏名称：汉诺塔（Hanoi）游戏．

游戏规则：设有3根柱A,B,C，请将大小不同、从上至下依小到大放置在A柱上的10个圆盘移动到C柱上．要求：（1）每次只移动1个圆盘；（2）圆盘可以插到A,B,C中任一柱上；（3）任何时候不能将1个较大的圆盘压在较小的圆盘之上．

综合与实践活动课提倡学生在“做中学”，感悟“数学地思考”方法，教师担当活动的引导者、组织者，教师只需给出活动名称和活动规则，这就是一个好的初始问题，活动过程可以放手让学生探究，在活动中思考，在交流中感悟，在实践中积累活动经验．

4 结束语

“格式塔”心理学派认为，人的知觉、行为和经验具有整体性，整体大于部分之和，这种整体就是“格式塔”，即完形．可见人对事物的认识一般是从整体开始的，所以教学中开始应能对适应范围的总体背景知识发生的关联或演绎框架作一些概括说明，让学生对各个部分，在大范围的地位和各部分之间的一些联系，有一定程度的了解．这样，他们要求掌握知识的内在动机会更强烈，更有针对性．

一个好的初始问题，应具备：（1）初始性，初始问题应是作为数学教学起点的问题；（2）载体性，初始问题应具有很大的思维容量，有较多的思维层次，是课的载体和骨架，不仅要求问题具有探索性，而且要具有较好的易起动性，即有简明的形式，宽广的入口，让学生感到问题不难，容易上手；（3）结构性，好的初始问题应该与数学整体知识体系相联系．

教材是按照整体性设计和编写的，数学教学活动要注重课程目标的整体实现，从知识整体性视角出发，精心设计初始问题，引领学生探究，让知识“自然”生成．

参考文献

[1]章建跃.探究数学规律,造就数学名师[J].中国数学教育(初中版),2011,(1-2).

[2]李海东.“理解数学”是教好数学的前提[J].中国数学教育(初中版),2010,(4).

[3]浦叙德,谢洁红.从知识整体性视角设计主问题引领课堂教学[J].中学数学(初中版),2014,(8).

[4]汪宗兴.注重问题设计引导操作思考[J].中数数学教学,2015,(4).

数学问题设计的方法 篇2

一个看似复杂的数学问题实际上有好多个简单问题组合而成，要解决它们的关键是能够有丰厚的基础知识储备，有灵活多变的数学思想方法。

首先，要审清题干，明确你已知什么，包括题干中给出了什么具体信息，隐含信息。这样你才知道你有什么，这是你要得到什么的基础前提。带着这样的思路去分析问题，就是一种数学上由已知推未知的思路。数学其实本质上就是在做这样的事情，不管是推理还是计算。

其次，要将题目进行推理转化，类似于数学上的分析法。如我要吃饭，那我得先做饭或者买饭，做饭的话需要什么材料需要什么步骤，买饭的话需要多少钱买什么东西。然后一直这样追问下去，直到将问题的源头和最终要解决的问题联系起来，那么就完成解决问题的思维过程，也就是转化完毕。

将思维的过程从前到后整理成逻辑性的步骤。可以说第二步就是逆向思维的过程，这就是正向推导的逻辑推理。步骤要运用到最基本的推理，这些是你完成步骤最基本的保证。

2思想

代入法，这列方法往往是给定了一些条件，比如a大于等于0，小于等于1。b大于等于1，小于等于2.这些给定了一些特殊的条件，然后让你求一个ab组合在一起的一些式子，可能会很复杂。但是如果是选择题，你可以取a=0.5，b=1.5试一试。还有就是可以把选项里的答案带到题目中的式子来计算。倒推法!!比如下一题!!!

坐标法，如果做的一些图形题完全找不到思路，第一可以用比例法，第二可以用坐标法，不用管什么三角函数，直接找到两点坐标，直接带入高中函数求角度(cos公式)求垂直，求长度，相切相离公式。直接直捣黄龙，不用一点点找角度做什么麻烦的事

区间法，这类方法也成为排除法，靠着大概计算出的数据或者猜一些数据。比如一个题目里给了几个角度，30°，90°。很明显，答案里就肯定是90±30度，120加减30度。或者一些与30，60，90度有关的答案

3思想

日常生活中设置问题。

数学问题蕴含着很多日常的生活中，所以，家长应该根据日常生活遇到的问题，对孩子经常性的训练，比如间距问题，楼层问题，开关灯问题，等等，都是可以通过实践来学习的。

多尝试做一些应用题。

对于一些日常用到的数学问题，经常会有一些典型的应用题题型，这些题型是专门为了解决一些具体问题而设定的，所以，孩子应该多做一些这样的题，可以对解决问题有个初步了解。

培养逻辑思维能力。

孩子的数学能力主要是通过逻辑思维来提高的，所以，家长一定要多培养孩子的逻辑思维能力，让孩子的思维更加开阔，从而在解决实际问题的时候，就不会感到困难。

4思想

课内重视听讲，课后及时复习。

新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。

首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，庆尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。

5数学思想方法归纳方法介绍

思想是客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。它是从大量的思维活动中获得的产物，经过反复提炼和实践，如果一再被证明为正确，就可以反复被应用到新的思维活动中，并产生出新的结果。本文所指的思想，都是那些颠扑不破、屡试不爽的思维产物。因此，对于学习者来说，思想就成为他们进行思维活动的细胞和基础，以下是朴新小编给大家带来了数学思想方法归纳方法介绍。

6数学思想方法归纳方法

函数与方程思想:1)函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用2)方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查

数形结合思想：1)数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面2)在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系. 在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系.数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化

分类与整合思想:1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法.2)从具体出发，选取适当的分类标准.3)划分只是手段，分类研究才是目的.4) 有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性.5) 含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性

化归与转化思想:1)将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题.2)灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法.3)高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化

7数学思想方法归纳方法

数学思想是一类科学思想，但科学思想未必就单单是数学思想。例如，分类思想是各门科学都要运用的思想(比方语文分为文学、语言和写作，外语分为听、说、读、写和译，物理学分为力学、热学、声学、电学、光学和原子核物理学，化学分为无机化学和有机化学，生物学分为植物学和动物学等.中学生见到的最漂亮的分类应该是在学习哺乳纲动物时所出现的门(亚门)、纲(亚纲)、目、属、科、种的分类表，它不是单由数学给予的。只有将科学思想应用于空间形式和数量关系时，才能成为数学思想。如果用一个词语“逻辑划分”作为标准，那么，当该逻辑划分与数理有关时(可称之为“数理逻辑划分”)，可以说是数学思想;当该逻辑划分与数理无直接关系时(例如把社会中的各行各业分为工、农、兵、学、商等)，不应该说是运用数学思想。同样地，当且仅当哲学思想(例如一分为二的思想、量质互变的思想和肯定否定的思想)在数学中子以大量运用并且被“数学化”了时，它们也可以称之为数学思想。

基本数学思想包括:符号与变元表示的思想，集合思想，对应思想，公理化与结构思想，数形结合的思想，化归的思想，对立统一的思想，整体思想，函数与方程的思想，抽样统计思想，极限思想(或说无限逼近思想)等。它有两大“基石”—符号与变元表示的思想和集合思想，又有两大“支柱”—对应思想和公理化与结构思想。有些基本数学思想是从“基石”和“支柱”衍生出来的，例如“函数与方程的思想”衍生于符号与变元表示的思想(函数式或方程式)、集合思想(函数的定义域或方程中字母的取值范围)和对应思想(函数的对应法则或方程中已知数、未知数的值的对应关系)，所以我们说基本数学思想是体现或应该体现于“基础数学”(而不是说“初等数学”)的具有奠基性和总结性的思维成果.基本数学思想及其衍生的数学思想，形成了一个结构性很强的网络。中学数学教育、教学中传授的数学思想，应该都是基本数学思想。

所谓方法，是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式.人们通过长期的实践，发现了许多运用数学思想的手段、门路或程序.同一手段、门路或程序被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，便成为数学方法.数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算和分析，以形成解释、判断和预言的方法。

宏观的数学方法包括：模型方法，变换方法，对称方法，无穷小方法，公理化方法，结构方法，实验方法.微观的且在中学数学中常用的墓本数学方法大致可以分为以下三类：l)逻辑学中的方法。例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等。这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色。2)数学中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也称坐标法.代数中常称图象法，解析几何中常称坐标法)、向量法、比较法(数学中主要是指比较大小，这与逻辑学中的多方位比较不同)、放缩法、同一法、数学归纳法(这与逻辑学中的不完全归纳法不同)等。这些方法极为重要，应用也很广泛。3)数学中的特殊方法。例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等。这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用，不可等闲视之。

8数学思想方法归纳方法

适当渗透数学思想方法，优化知识结构。在梳理基础知识时，充分发挥思想方法在知识间的相互联系、相互沟通中的纽带作用，可帮助学生合理构建知识网络，优化思维结构。如：在函数、方程、不等式的相互联系的复习中，利用函数思想，可以把方程和不等式分别当成函数值等于零，大于或小于零的情况，通过联想函数图像，可提供方程、不等式解的几何意义，运用转化和数形结合的思想，使孤立的三块知识相互联系、相互转化。深化对知识的理解和整合，优化了学生的认知结构。

数学知识本身具有系统性，数学思想方法也具有系统性，对它的学习和渗透是一个循序渐进、螺旋上升的过程。在进行高考第二轮复习时，可以有目的地开设数学思想方法的专题复习讲座，以高中数学中常用的数学思想方法(如：数形结合、分类讨论、函数与方程、转化与化归)为主线，把中学数学中的基础知识有机地串连起来，让学生深刻领悟数学思想方法在数学学科中的支撑和统帅作用，进一步完善学生的认知结构，提高学生的数学能力。比如以函数思想为主线，它可以串连代数、三角、解析几何、以及微积分初步的大部分知识：方程可以看作函数值为零的特例;不等式可以看作两个函数值的大小比较;三角可以看作一类特殊的函数(三角函数);

小学数学问题解决方法的剖析 篇3

关键词：小学数学；高年级；解决问题方法；剖析

在小学数学高年级解决问题策略的教学中要注意重视审题能力的培养、提高学生的模式识别能力、引导学生概括领悟数学思想与方法、重视解题策略的回顾和反思、拓宽学生的知识面。现剖析如下：

一、重视审题能力的培养和良好审题习惯的养成

审题能力是综合获取信息、处理信息的一种能力，它需要以一定的知识储备、认知水平为依托，更需要有良好的读题习惯、有效的思考方法为保证。应用题的审题过程就是要审清题目的情节内容和数量关系，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答应用题创造良好的前提条件。

培养小学生养成认真审题的好习惯，并形成较高的审题能力这并不是一朝一夕就能完成的，必须要有相当长的时间来强化训练，几乎贯穿我们数学教学的始终。在开始的训练阶段，教师必须对学生提出明确的要求。教师可以要求学生一读题目，建立表象；二读题目，明确问题；三读题目，找出关键，并作记号。其难度主要体现在“在关键字词句下划上重点标记”这一要求。教师还可以利用时常出些“陷阱题”“刺激”学生，让学生从思想上认识到审好题目的重要性，这一点还是比较容易做到。

二、帮助学生建立数学模型并提高学生的模式识别能力

数学是充满模式的。现代认知学习理论的研究成果清楚地表明：专家之所以能很快地通过知觉找出在某一情境下解决问题的策略，是因为他具备迅速地把记忆中原有的知识？经验检索出来的能力。在数学问题的解决过程中，学生如能正确地识别问题的模式，就能很快地收敛思考问题的范围，为正确选择问题解决思路就迈出了关键的一步。

三、引导学生概括、领悟常见的数学思想

小学高年级的学生抽象逻辑思維得到了一定的 发展 ，他们有一定归类和上升为数学思想的能力。

数学思想较之数学基础知识，有更高的层次和地位.它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，它是一种数学意识，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决.数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段.只有对数学思想与方法概括了，才能在分析和解决问题时得心应手；只有领悟了数学思想与方法，书本的、别人的知识技巧才会变成自己的能力。像小学数学经常会出现的行程问题，学生如果掌握了数形结合的思想方法，解决的时候就会得心应手。

四、重视解题策略的回顾和反思

小学高年级的学生有一定的归纳、概括、和策略反思的能力。在数学解题过程中，解决问题以后，再回过头来对自己的解题活动加以回顾与探讨、分析与研究，是非常必要的一个重要环节（“解后不思等于不收”，“反思是收获的黄金季节”）。这是数学解决问题过程的最后阶段，也是对提高学生分析和解决问题能力最有意义的阶段。

解决实际问题的教学目的并不单纯为了求得问题的结果，真正的目的是为了提高学生分析和解决问题的能力（经验只有通过概括才能上层次，概括的层次越高，迁移的半径就越大），培养学生的创造精神，而这一教学目的恰恰主要通过回顾解决问题的教学来实现.所以，在数学教学中要十分重视解题的回顾，与学生一起对解题的结果和解法进行细致的分析，对解题的主要思想、关键因素和同一类型问题的解法进行概括，可以帮助学生从解题中总结出数学的基本思想和方法加以掌握，并将它们用到新的问题中去，成为以后分析和解决问题的有力武器。

五、适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面

数学教学中适当地对学生进行开放题和新型题的训练，是提高学生分析和解决实际问题能力的必要补充。可利用学校的图书馆、教室等学生非常熟悉的地方，创设出一个个丰富的现实的问题情境，学生依据这些材料解决问题，求知欲强，并体会到成功的快乐。还可以培养学生应用数学的意识，能知道现实生活中蕴涵着大量的数学信息，能感受到现实世界中有广泛的应用。也可以通过改变条件或问题，把一道题改编成几道不同类型的问题，让学生弄清算理，加以辨析，从而形成知识链，提高举一反三、触类旁通的能力，使学生的思维得到进一步的发展。

开放题的特点是可以有多种解决的策略，如著名的和尚分馍，鸡兔同笼问题可以用列表，猜测，假设策略，和方程策略.解决问题的 策略除以上提到的外还有很多，如：画线段绘图策略联想相关问题策略，还有关系，传递与反传递，归纳，剩余等推理策略，利用模型绘制策略，排除策略，等等。

总之，在不断的探索与实践中，我们感觉到在解决实际问题教学中能注意到以上几点，不仅能调动学生的兴趣，使学生兴趣盎然地参与整个学习过程，还能较好地帮助学生从实际生活中抽取并理解数量关系，掌握解决类似问题的一般方法，同时还培养了学生学会用数学眼光观察生活、发现和提出数学问题及能根据需要筛选和处理信息，积极寻求解决问题策略的能力，特别是这种教学策略的运用促进了学生学会观察、学会倾听、学会交流、学会反思等学习品质的养成，使学生体会到生活中处处有数学、处处离不开数学，较好地达到了提高学生数学素养的目的。

数学问题设计的方法 篇4

关键词：数学,课堂,思考

小学数学是学生逻辑思维培养的重要载体, 问题设计是小学数学课堂教学的关键, 也是课堂教学的首选方式。问题设计就是我们设计一些课堂提问, 让学生在质疑释疑的过程中学习数学, 增长知识, 提高能力。一个好的设计, 能够让学生进行充分有效的思考, 不仅学习了新知, 还培养了学生的探究能力。下面结合近几年小学数学教学实践, 针对如何设计问题才能促进小学数学教学谈几点体会和思考, 以供广大同仁参考和指正。

一、问题设计要具有多元性

我们课堂设计的问题一定要具有开放性。解决问题的方法多元化, 数学思想多向化, 问题条件的多样性, 问题讨论的发散性, 问题条件和结论的有效组合。这样的多元化, 决定了问题解决要具有很大的开放性, 学生的数学思维要更注重多种认知的参与和综合能力的培养。

例如, “商店有三种价格的笔记本, 分别是每个1元、3元、6元, 如果妈妈给你12元钱去买笔记本, 大家能够怎么买?”面对这种问题, 学生马上就能够想到买同一样价格的笔记本有以下三种买法:第一种买每本1元的可以买12÷1=12 (本) ;第二种买每本3元的可以买12÷3=4 (本) ;第三种买每本6元的可以买12÷6=2 (本) 。至于如果买两种或多种价格的笔记本, 还有许多不一样的买法, 学生的智慧在这里得到了很好的展现。

在数学问题讨论中, 我们尽可能地让学生发表他们的不同想法, 让学生有话想说和有话可说。学困生也能有效解决问题, 而对于好学生则有能够有效施展自己才华的空间, 这才是高效的课堂教学。

不过, 课堂设计的问题一定要开放有度, 与数学知识密切相关, 否则就会事倍功半。例如, 大家能谈谈生活中哪些事情常常发生, 而哪些事情不经常发生吗?有学生说:冬天经常下雪。有学生说:我们家偶尔会被盗。还有学生说:南方偶尔也会下雪!这个问题, 由于教师开放度太大, 又没有很好地给予指导, 以致最后学生讨论的问题和数学知识关系就不大了。

二、问题设计要具有启发性

小学数学知识并不是孤立的, 它都是由原有知识发展而来的。在课堂教学中, 我们的责任并不是简单地教给学生一个结论, 而是要引导学生通过他们的思维活动掌握学习数学的方法和过程。因此, 在问题设计时, 我们要考虑数学知识的内在联系, 温故知新, 启发学生通过积极思维主动地探究新知。

三、问题设计要出于孩子们的实际需要

小学数学新课程标准指出:数学学习活动必须建立在学生的实际认知水平和学习能力基础之上。我们要根据学生实际知识水平和能力, 创设富有吸引力的问题设计以激发学生的思考动机, 使学生更好地投入到学习活动中去。

例如, 在讲解“年、月、日”时, 我考虑到学生对这一内容很熟悉, 所以我创设了这样的问题情境:“大家能结合自己的认识体验, 讲一讲一年有几个月, 一个月有多少天, 一天又有多少小时?”进而引出这节课的内容。由于问题贴近学生的真实生活, 很好地激发起学生的兴趣和积极性, 学生从自己体验中很快感受和学习新知, 学习积极性得到很大提高, 实实在在地感受到数学存在于他们的周围。

数学问题存在于生活的各个方面, 教学中的数学问题如果是从生活实际中提炼出来的, 就能够很好地激发学生的学习兴趣。并运用数学知识解决生活中遇到的问题, 让数学为学生的生活服务。

四、问题设计要注意思维的应用价值

数学问题设计的目的是为了培养学生的数学思维, 让他们在生活实践中增加体验, 让学生把思维实践重点放在对数学的观察、对比、归纳和总结等一般规律上来, 最后提供应用规律, 提高孩子们的数学能力。

例如, 在讲解“商不变的性质”时, 我给学生通过一个故事创设问题情境, 一天小猴子妈妈给小猴分香蕉, 小猴妈妈对一个小猴说:“给你10个香蕉, 平均分给5只小猴子吃。”小猴子听了连连说:“太少了, 不够吃!”猴子妈妈又说:“好, 给你100个香蕉平均分给50只小猴子, 如何?”小猴子又问:“能再多给一些吗?”猴子妈妈很大方地说:“那好吧, 给你500个萝卜平均分给250只小猴子, 你该满意了吧!”小猴子高兴地笑了, 猴子妈妈也笑了。

我在学生捧腹大笑的同时意味深长地进行了提问:“请问谁才是聪明的一笑?为什么?”由于故事中体现的计算是学生生活中已有的经验和积累, 因而这一提问恰到好处, 为引导学生自主发现商不变的性质作了很好铺垫。

因此, 我们小学数学好的问题设计要考虑学生思维的应用价值。在教学过程中, 引导学生理解问题的实质, 看透问题的本质, 进而优化学生的思维品质, 激发学生的好奇心, 开阔学生的思路。

常用的数学教学方法的注意问题 篇5

一、教师运用讲授法，应当注意以下几点。

1.保证讲授内容的科学性和思想性。教师讲授的概念、原理、事实、观点必须是正确的，这就要求教师认真备课和教学。

2.讲授要做到条理清楚、重点分明。讲授逻辑清楚，学生才能够理解清楚。

3.讲究语言艺术。教师的语言水平直接决定着讲授法的效果，因此必须不断注重和提高自己的语言修养。首先要做到语言清晰、准确、精练，既逻辑严密又清楚明白其次，要努力做到生动形象、富于感染力，这对于小学生尤其重要;再次，还应当注意语音的高低、语速的快慢，讲究抑扬顿挫。

4.注意与其他教学方法配合使用。小学生的注意时间有限，在整节课中完全采用讲授法很难取得良好效果，教师应当善于将讲授法与其他教学方法和手段交叉替换使用，避免学生因长时间听讲出现疲劳和注意涣散现象。

二、教师运用谈话法，应当注意以下几点。

1.做好充分的准备。围绕什么内容进行谈话?提出哪些问题?提问哪些学生?以及学生可能做出什么样的回答?怎样通过进一步的提问引导学生?等等，教师都应当在事前周密考虑和安排。

2.谈话要面向全体学生。尽管谈话只能在教师与个别学生之间进行，教师还是可以通过努力吸引所有的学生。首先，谈话的内容应当是能够引起全体学生注意的、在教学中具有普遍性和重要性的问题。其次，教师应当尽可能使得谈话对象有代表性，比如选择不同层次的学生。再次，在谈话时适时加以适当的解释、说明作为补充。

3.在谈话结束时进行总结。在谈话中学生的理解和掌握往往表达得不够准确、精练，因此在谈话的最后阶段，教师应当用规范和科学的表述对学生通过谈话所获得的知识加以概括总结，从而强化他们的收获。

三、教师运用讨论法，应当注意以下几点。

1.选好讨论内容。首先，要选择那些有讨论价值的内容，一般来说，讨论内容应当是教学内容中比较重事实、概念、原理等。其次，要选择难度恰当的内容，一般来说，过于简单或过于复杂的内容都不适当，前者难以激起学生的学习热情，后者则容易挫伤学生的积极性。

2.肯定学生各种意见的价值。对于未知的东西，任何意见都是有价值的。学生总是从自己的逻辑出发去理解和思考，因此各种不同意见尽管可能离正确答案相去甚远，但却最真实地反映了学生的想法。教师不应当“裁判”，急于指出各种意见正确或错误，而要让学生畅所欲言，通过充分的讨论理解什么是对、什么是错，以及为什么对、为什么错。

3.善于引导。教师应当在学生讨论时全面巡视、注意倾听，善于捕捉讨论中反映出来的问题。在讨论遇到障碍、深入不下去时教师适当点拨，在讨论脱离主题时加以提醒，在讨论结束时帮助学生整理结论和答案，等等。这些对于讨论法的运用都是必不可少的。

四、教师运用练习法，应当注意以下几点。

1.明确练习的目的和要求。要让学生知道为什么进行练习，怎样才是达到了练习的要求，使学生的练习具有目的性和自觉性，避免练习的盲目性和机械性。

2.指导正确的练习方法。教师要在练习之前讲解和示范正确的练习方法，并且保证学生基本掌握，以便高练习的效果。

3.合理安排练习步骤。教师应当使练习有计划地进行，循序渐进。

4.科学掌握练习量。技能技巧的练习需要一定的练习量，但并不是越多越好，超过学生承受能力的练习会导致适得其反的结果。教师要根据小学生的身心发展特点来确定练习量。此外，一般来说，分散练习比过于集中的练习效果更好，将某种练习分成时间较短的几次完成要比一次性安排更为科学。

5.及时给予学生反馈。要使学生及时知道练习的结果，以便纠正错误和巩固成绩。

6.练习方式要多样化。要防止单一、重复的练习方式，根据教学任务和学生实际，将口头的与书面的、记忆的与操作的、课内的与课外的……等不同方式结合使用。采取多样化的练习方式，可以保持学生的兴趣和注意，提高练习的效果。

数学学法指导的一些途径

1.讲授指导。讲授指导就是教师将自己掌握的学习数学的方法直接地讲授给学生，然后让学生照法去实践。

2.渗透指导。这是教师最常用的方法之一。这种方法是在教师教学的各个环节中，在传授知识中指导方法，随时渗透。让学生既知道学习结果，又掌握学习过程，既懂学习步骤，又会学习技巧。

3.示范指导。学生掌握学法过程的规律告诉我们，有些学法仅靠教师的讲解是不够的，必要时教师要做示范，让学生去效仿。

4.提示指导。这种指导方法要求教师在适当时机加以适当点拨、提示，学生便能抓住要点，迎刃而解。即在教师的点拨下，让学生自己悟出道理，掌握方法。

5.交流指导。此指导就是教师组织指导学生总结、交流自己的学习经验和方法，以达互相学习取长补短之目的。这种方法有很多好处，首先通过总结与交流能调动学生学习积极性;其次通过总结与交流使学生初步学会一些学习方法;再者通过总结交流，更容易推广他们的经验。

小学数学解决问题解题方法的研究 篇6

关键词：小学数学；解题方法；题意；图示法

在小学数学中解决问题是非常重要的学习内容。通过解决问题，学生能够更好地掌握基础知识，提高自身分析解决问题的能力。但是在教学的时候，老师会经常发现，学生在解题的时候往往会束手无策，方法和思路存在一定的问题，很难找到正确的解题思路。所以怎样更好地提高学生的解题能力，是很多老师都面临的问题。本文主要叙述了几种解题的方法和策略。

一、想要更好地解应用题必须真正明白题意

在解决问题的时候，题意分析是非常重要的，只有真正明白题干的意思，在解题的时候才能找到正确的方法。所以老师必须着重提高小学生理解题意的能力。老师在进行解决问题的时候，必须注意分析讲解整个题目，尽量让学生都明白自己的思维方式和分析方法，学生读懂了题干才能更好地解答问题。

二、解题的时候将图示法以及操作法利用起来

由于小学生本身的思维方式还处于形象到抽象的过渡阶段，所以其在思考的时候直观性和形象性比较强。特别是那些低年级的学生，在解题的时候，若是没有比较直观的材料，解题便会比较困难，甚至很难理解。所以老师在进行解决问题教学的时候，必须进行适当的操作，利用一些直观的手段，比如说多媒体、图形。比如，在学习图形周长或者面积的时候，老师可以组织学生进行相关图形的估算和测量，让学生进行实际的操作，只有这样学生在理解知识的时候才能比较容易，并且在这个过程中还能够提高学生的操作能力。

图示法便是一种比较直接的办法，能够更好地将数量之间的关系反映出来，学生懂了，学习的积极性才会提高，并且亲手画图形还能够活跃学生的思维，提高其解决问题的能力。

三、做好不同题型之间的训练

在解决问题提高解答能力的过程中，进行不同题型的训练是非常有必要的，这样能够帮助学生更好地掌握基础知识，弥补自己的不足，提高解题的技能。在进行题型训练的时候，必须选择合适的方法，有层次、有计划地进行训练，提高解题的效率和技能。一般，训练会分为基础题训练、对比题训练以及改错题训练三种形式。

小学数学解决问题的方式是多样的，在教学的时候，老师必须注重提高学生解题的综合能力，让学生在解题的同时锻炼自己的思维，提高解题的能力。

（作者单位 湖北省枣阳市阳光教育集团）

数学教学开放型问题设计方法谈 篇7

一、设计开放题以旧引新

教学中引入新课时, 需要复习有关的基础知识, 教师的直述并列在黑板上, 那只仅仅是学生主体之外的知识, 而通过开放型问题设计, 让学生在主体活动基础上再现基础知识则是一种主体的建构的过程。例如, 在高一讲二次函数时, 考虑到学生在初中已学过, 为此, 可以设计下面开放型问题:观察函数 f (x) =x2-4x+3的图象, 你能得到什么结论?

下面是学生不断思考后逐个得到的结论①过 (0, 3) 点;②顶点是 (2, -1) ;③ =2 时, min=-1;④图象关于直线x=2对称;⑤x=1或x3时f (x) =0;⑥f (x) = (x-1) (x-3) ;⑦当x<1或x>3时f (x) >0, 当1< <3时f (x) <0;⑧当x<2时, f (x) 为减函数, 当x>2时f (x) 为增函数, 等等。这正是教师需要复习的内容, 但通过学生活动也能得出.在此基础上, 学生不难将结论推广至一般形式f (x) =ax2+bx+c ( a≠0) 的情况.同时, 还可以由④得出函数f (x) 满足 (2+x) = (2-x) 这一学生不难发现的结论。

二、 设计开放题层层递进

对于教学上的难点或较大的问题, 教师应该设法建立问题解决的"台阶", 帮助学生拾阶而上, 采取分化瓦解的方法或化大为小、化虚为实, 以有助于学生克服学习上的困难。例如, “经过⊙O外一点作⊙O的切线”这一作图问题是“圆的切线作法和切线长定理”一节中的难点, 如何帮助学生解惑呢?教师不妨这样问学生;“假定过圆外一点的切线已作出, 那么这条切线与过切点的半径有何关系?”又问:“在圆中, 什么样的圆周角是直角?”这样提问向学生指明了解决问题的途径, 解除了疑点, 并能十分顺利地完成这一作图。再如, 列方程解应用题对初一学生来说是困难的, 如“要把30克含盐16%的盐水稀释成含盐0.15%盐水, 需要加水多少克?”分析时提出这样几个问题:“浓度问题中有几个基本量?它们之间的数量关系如何?”“有20%的盐溶液a克, 含盐多少?含水多少?”“若加水a克, 这时含盐多少?哪些量变了?哪些量不变?”“若蒸发掉水a克, 含盐多少?哪些量变?哪些量不变?”“能否象行程问题一样, 列表格表示各项关系?”这样一系列问题的解决就为解题铺平了基石。

三、 设计开放题联想类比

在数学中类比法是最常用、最有效的思维方法之一, 通过类比, 可以发现新旧知识的相同点。这种发现将成为决定下一步思维活动的导航器。正如康德所说:“每当理论缺乏可靠论证的思路时, 类比这个方法往往能指引我们前进。”因此, 类比启发, 不失为突破思维障碍的妙法。例如:已知x, y, z∈ R+, x2+y2=z2。求证:xn+yn2)

如何引导学生正确思维?为了揭示x2+y2=z2与xn+yn

于是, 只需由undefined推出undefined,

于是, 只需证:undefined即可。

类比启发:undefined与哪个三角公式相类似?引出原型:sin2α+cos2α=1, 至此用三角代换法证明本题的念头便油然而生:令undefined, 则02时, sinn

四、设计开放题参与过程

设计合理的产生, 形成过程, 让学生主动地参与其中, 做数学科学的研究者和发现者, 正如荷兰数学家弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》中所说:“科学的顶峰总是创造性的发现。学习的过程也必须含有直接创造的面, 即从学生的观点看是创造, 通过再创造获得的知识与能力, 要比以被动方式获得的, 理解得更好, 也更容易保持。”如对“复数的开方运算”可设计这样的教学过程。

师:我们在对-1进行开平方运算时, 引入了新数i, 从而扩展了数集。现在如要对虚数 开方时, 是否又会出现别的新数呢?试回顾一下, 对-1进行开平方运算时, 为什么要引进新数呢?生:因在原数集R中没有使平方后为-1的数。师:回到定义求i的平方根的意义是什么?生:在复数范围内求平方为 的数。师:如果这样的数存在的话, 请把这个表述为数学形式。生:设z=x+y i为i的平方根, 其中x, y∈R, 那么有 (x+y i) 2=i。师:这就回到了我们已熟悉的问题了, 这是用代数形式的改述;如果用复数的三角形式来改述又如何呢?生:设p (cosφ+ sinφ) 是复数undefined的平方根, 那么有undefinedundefined。师:请同学们研究下列两个问题: (1) 求i的平方根; (2) 求8 (cos60°+ isin60°) 的6次方根, 要求:分别用复数的代数形式和三角形式做, 并尽可能将所得结果一般化, 公式化。

数学问题设计的方法 篇8

能够对点在运动变化过程中相伴随的数量关系、图形位置等进行分析探究, 学会寻找变化过程中的不变量, 并借助三角形有关的知识点来解答问题。通过多媒体展示动点问题中的动中求静, 使学生充分感受到解决动点问题的实质是变动为静、寻找不变的量。使学生通过知识网络结构图体会归纳总结的思想方法, 在解题过程中体会方程思想、数形结合思想和转化思想。

【教学重点】

动点问题的解题方法。全等三角形判定及性质、相似三角形判定及性质、等边三角形判定及性质、含30度角的直角三角形。

【教学难点】

动点问题中, 如何在变化中找到不变的性质, 变动为静, 找出动点问题中的数量关系和位置关系及三角形相关知识的应用。

【教学环节】

一、引入

图形中的点、线的运动, 构成了数学中的一个新问题———动态问题, 此类问题常集代数、几何知识于一体, 数形结合, 有很强的综合性, 是中考的必考题且每年都为压轴题, 以函数与三角形和四边形结果的题目为主。今天我们举例来探讨这类题的解题方法。

提问: (1) 相似三角形、全等三角形的判定方法及性质是什么? (2) 等边三角形的判定方法及性质是什么? (3) 含30度角直角三角形的性质是什么?

二、出示真题

遵义市2012年中考第26题:

如图1, △ABC是边长为6的等边三角形, P是AC边上一点, 由A向C运动 (与A、C不重合) , Q是BC延长线上一动点, 与P点同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动 (Q不与B重合) , 过P点作PE⊥AB于E, 连接PQ交AB于D,

(1) 当∠BQD=30°时, 求AP的长;

(2) 在运动过程中线段ED的长是否发生改变, 求出线段ED的长;如果发生改变, 请说明理由。

三、解题过程

解第一问。

解法一: (1) 用含30°角的直角三角形的性质及代数思想解答。

在Rt△QCP中, 因为P、Q同时同速出发, 所以AP=BQ, 设AP=BQ=x, 则PC=6-x, QC=6+x, 在Rt△QCP中, 利用30°角所对的直角边等于斜边的一半进行解答。

(2) 用含30°角的直角三角形的性质及等边三角形的性质进行解答。

因为AP+PC+BC=2AC=12, 所以BQ+BC+PC=CQ+PC=12, 在Rt△QCP中, 利用30°角所对边等于斜边的一半进行解答, 所以CQ=2PC, 得PC=4, 所以AP=AC-PC=2。

(3) 用含30°角的直角三角形的性质及代数思想解答。

因为∠BQD=30°, ∠ABC=60°, 所以∠QDB=30°,

所以BQ=BD, 设AP=BQ=x, 在Rt△APD中利用30°角所对边等于斜边的一半进行解答。

(2) (3) 让学生仿照 (1) 的解法合作交流, 自行完成, 并体会含30°角的直角三角形的性质的应用。

解法二:用全等三角形的知识进行解答。

过P点作PF∥QC, 如图2, 利用证明△DBQ≌△DFP进行解答。

解法三:用相似三角形知识进行解答。

利用证明△APE∽△CQP列比例式进行解答。

解法二、解法三由学生合作交流完成。

解第二问。

解法一:用等边三角形的性质进行解答。

过P点作PF∥QC, BD=DF, 而△APF是等边三角形, PE⊥AF, 所以AE=EF, 又DE+ (BD+AE) =AB=6,

所以DE+ (DF+EF) =6, 即DE+DE=6,

所以DE=3为定值, 即DE的长不变。

解法二:构造三角形与△ADP全等, 利用全等三角形的知识进行解答。

在AB的延长线上截取BF=BQ, 再连接FQ, 如图3, 设AP=BQ=x, 先证明△BQF是等边三角形, 再证明△ADP≌△FDQ来进行解答。

解法三:构造全等三角形与△APE全等。

如图4, 过点Q作QF⊥AB的延长线于点F, 先证△APE≌△BQF, 得到AE=BF, 再证△APE≌△PDE得到FD=DE, 从而完成解答。

解法二、解法三由学生合作交流完成。

四、学以致用

如图5, △ABC是边长为3cm的等边三角形, 动点P、Q同时从A、B两点出发, 分别沿AB、BC方向匀速运动, 它们的速度都是1cm/s, 当点P到达B点时, P、Q两点停止运动, 设点P的运动时间为t (s) , 求:当t为何值时, △PBQ是直角三角形?

(学生自行解答)

分析:本题是一道用等边三角形的性质和勾股定理来解答的数形结合问题, 根据等边三角形的性质可知, 这个直角三角形有∠B=60°, 所以, 可以表示出BQ与PB的关系, 要分情况讨论: (1) ∠BPQ=90°, (2) ∠BQP=90°。然后在直角三角形BQP中根据BP、BQ的表达式和∠B的度数进行求解。

五、总结归纳

解动点问题要做到:

1.把握点运动的全过程, 要用运动与变化的眼光去观察和研究图形, 抓住其中的等量关系和变量关系。

2.特别关注一些不变的量、不变的关系或是特殊关系, 化动为静, 由特殊到一般。抓住图形在动态中暂时静止的某一瞬间, 将这些点锁定在某一位置上, 问题的实质就容易显现出来, 从而得到解题的方法。

3.画出图形, 这一步很重要, 因为随着位置的移动, 与它相关的一些图形肯定随着变化, 而且点移动到不同的位置, 要研究的图形可能会改变, 所以一定要画图, 不能凭空想象。

数学问题解决的策略与方法探究 篇9

但是我们应当进一步反思:为什么学生总是需要教师的引领才能理清自己的思路, 找到解决问题的办法?为什么自己很少能够独立获得解决问题的诀窍?这说明我们的数学教学存在着不足:教师总是和盘托出解决问题的思路, 却没有将获得思路的策略和方法传授给学生, 没有提升学生数学思维的水平。长此以往, 学生就总是依赖教师, 变得不再思考, 不能思考。数学教学也因此呈现出被动、沉闷、低效的状况。

我们到底什么时候才能摒弃授之于鱼的做法, 让学生学会自己捕鱼呢?在此, 笔者不揣浅陋, 将自己的思考和认识简述于下, 以期抛砖引玉。

波利亚在《怎样解题》一书中指出, 解题的过程分为四个阶段:弄清问题、制定计划、实行计划、回顾。显然, 获取解题路径的关键在于前两个阶段。也就是说我们需要从厘清题目中的数学关系入手, 进而寻求简捷有效的解题思路。简单地说, 这是我们解决数学问题的基本策略。下面就此策略谈谈操作上的一些方法。

一、理解问题, 将已知条件和问题了然于胸

如何才能将已知条件和问题了然于胸。通常可以采取以下几种做法:

1.反复阅读。有些问题信息量较多, 或者隐藏的条件较多, 反复阅读可以帮助我们记住到所有的已知条件, 挖掘出其中的隐藏条件。比如下面这个问题:一次象棋比赛共有10名选手参加, 他们分别来自甲、乙、丙3个队, 每名选手都与其余9名选手各赛一局, 每局棋的胜者得1分, 负者得0分, 平局双方各得0.5分。结果甲队选手平均得4.5分, 乙队选手平均得3.6分, 丙队选手平均得9分。那么甲、乙、丙3队比赛的选手各有多少人?上述题目中的信息量很大, 只有反复阅读, 才能把比赛规则、记分方法、各组得分情况熟记下来, 并在反复阅读中, 感受到“乙队选手平均得3.6分, 丙队选手平均得9分”这两个特殊的平均得分, 从而找到问题解决的突破口。

2.整理条件。对于文字表述的问题, 初读一遍很难做到明了。以表格、摘录条件等方式进行整理, 有利于我们明确已知和问题。比如下面这道题目:已知盐水若干克, 第一次加入一定量的水后, 盐水浓度为3%, 第二次又加入同样的水后, 盐水浓度为2%, 求第三次加入同样的水后盐水的浓度。按照操作的过程进行整理, 可以使原来的条件更加条理, 利于对比和思考。

3.画图。儿童是借助形象来思考的。文字表述具有间接性, 我们在进行数学阅读时, 脑中往往是有表象的, 准确地借助图形把已知和问题表示出来, 有利于我们理解问题。比如数学中的行程问题, 分数应用题, 和差问题、差倍问题、和倍问题、几何图形问题等都要借助图形帮助自己理解题意。当然, 这里列举的只是理解问题时的几种常用方法。在面对具体的问题时我们也不会孤立的运用某一种方法, 而是多项并举。

二、寻求思路, 架起已知条件和问题之间的桥梁

明确了问题, 我们就会进行思考, 我们往往会动员和组织我们的原有的解题经验, 试图类推至此, 或者对已知条件进行分离和组合, 希望从众多的已知条件中找到解决问题的关键条件进行聚焦式的思考, 或者将不同的条件进行组合, 以期推论出新的条件。有时我们会从已知出发, 采取递归模式, 逐步靠近问题。有时又会从问题出发, 不断分析转化, 力图逼近已知条件。当我们在已知条件和问题之间建起了桥梁, 我们也就顺利地解决了问题。这个过程是复杂的, 不可能寻得解决一切问题的万能解法。但是其间还是有章可循的。在这个寻求思路的过程中, 我们通常可以做出以下努力:

1.调动原有的解题经验。面对一个新问题, 我们往往会进行辨认, 很自然的就会和原先熟悉的情景和问题进行沟通, 然后动员和组织原有的知识储备和解题经验, 试图用自己掌握的思路去解决它。因此, 获得良好的解题思路, 必然需要良好的知识储备和丰富的解题经验。什么样的解题经验更利于我们动员和调动?波利亚指出:良好的组织使得所提供的知识更易于用上。信息加工心理学也指出, 人脑和计算机一样之所以具备智能, 关键在于他贮存了一系列形如“如果/那么”形式编码规则的缘故, 即产生式。教师与学生相比, 除知识经验的多寡外, 更重要的区别在于:教师贮存的是产生式系统, 而不是简单的事实;教师的数学知识形成了良好的组织, 能够融会贯通, 而学生往往难以把握不同知识之间内在的联系。由此可见, 良好的解题经验是获取解题思路的基础性条件。

2.一般问题特殊化。叠加模式是解题模式中的一种。运用时通常包括两个步骤:第一, 为了求得一般情形的解, 先处理一个特殊情形;第二, 利用一些指定的代数运算把一些特殊情形组合起来, 从而获得一般情形的解。简单的讲就是:一般问题特殊化。例如下面这道题目:如下图1所示, 在腰长为10厘米, 面积为34平方厘米的等腰三角形底边上任意取一点, 设这个点到两腰线段的垂直线段的长分别为a厘米和b厘米, 那么a+b的长度之和是多少厘米?因为是底边上上任意一点, 学生往往感觉无法捉摸。教师在教学时不妨故意降低要求:“你觉得这一点点在什么地方你会解决, 你就把点点在哪里。”学生通常会把点点在底角顶点 (如下图2) 或者是底边中点 (如下图3) 。 (1) 点在底角顶点, 学生很容易求出a的长度:34×2÷10=6.8厘米, a+b=6.8+0=6.8厘米; (2) 点在底边中点。可以连接等腰三角形的顶点和底边中点。分别求出a和b的长度:34÷2=17厘米, 17×2÷10=3.4厘米, 3.4+3.4=6.8厘米。 (3) 一般属于特殊, 有了上述两个特殊情况的解法, 学生就很容易猜测出一般情况下, a+b=6.8。同时也会受图3的启发, 连接图1中等腰三角形的顶点和底边上的哪一个任意点。进而列出10a÷2+10b÷2=34, 进而推出5a+5b=34, a+b=34÷5=6.8。

3.合情推理。解题思路的获得并不是纯逻辑的。离不开尝试、猜想、验证、归纳等不完全可靠的方法。这个过程需要解题者具有较好的元认知能力:时刻明确目标在哪里?自己在哪里?自己选择的路径是否可靠?同时也需要, 解题者具有较好的调整能力。遇到困难时, 能够及时调整方向, 能够从自己的错误中寻求有益成分, 而不是全盘否定。从而才能在不断的尝试、调整、验证中获得思路。比如算式迷题、数阵问题中就存在着大量这样的问题。以下面这个问题为例, 我们来看一看合情推理中的思维活动:将1—8分别填入下图1中的四个圆以及相互交叉所形成的区域内, 使每个圆内的三个数字之和相等, 并且使这个和尽可能地小。

读完题目, 我们并不是一下子想到完美的思路。探究过程通常会经历下面的两个阶段:

1.调动经验进行尝试。由于8个空格分为两类:交叉处和外围。因此我们把1-8分成两组, 四个数填在交叉处, 四个数填在外围。由于和尽可能小, 先选择4个较小的数1、2、3、4填在交叉处 (如上图2、图3) , 四个较大的数在外围进行尝试, 但是无论如何也不能使四个圈内3个数的和都相等。2、反思失败原因调整思路;失败后, 恰是寻找思路的关键点。错误并非完全没有价值, 其中往往蕴含着通往正确思路的有益成分。值得关注的是, 大多数学生往往采取全盘否定, 而不是寻找错误的原因, 从错误走向成功。仔细分析错误的过程, 我们会发现:中间四个数, 有大小搭配和依次排列两类填法 (如上图2、图3所示) 。第一类, 1+4=2+3, 找不到相同的数来搭配。第二类, 圆内已知两个数的和分别是3、4、6、7, 没有连续性。而剩下的四个数5、6、7、8却是连续的, 因此无法搭配成功, 只能使四个圈内的和分别是:11、11、12、12。从第二种错误中, 我们能够得出四个圈的总和是46, 不是4的倍数。由此联想到, 要想填出正确的结果, 就要增加四个圈的总和, 也就是让中间四个数的和增加2, 改为1、2、3、6。然后再进行尝试。很容易得到正确的填法 (如上图4所示) 。探究思路的过程并不全是逻辑, 离不开经验的运用, 反思和调整, 以及灵感般的顿悟。而学生最不擅长的在于反思和调整, 他们往往在失败后往往是全盘否定原来的想法, 再一次回到起点沿着另一条路走下去, 思路也因此与他们失之交臂。

2.从笨方法入手。很多时候好的思路是从所谓的笨方法中发现出来的。如教材编排解决问题的策略时, 一一列举的策略、画图策略和假设策略分别安排四年级下册、五年级的上册和六年级的上册。实际上也存在着笨方法和巧妙思路的关系。比如, 六年级上册用假设法解决问题的例题如下:

教材就是先利用画图策略和一一列举的策略, 来帮助学生提炼假设策略的。

浅谈数学问题情境的创设方法 篇10

1. 创设生活型情境。

数学源自于生活, 同时又应用于生活。数学与现实生活息息相关, 涉及生活的方方面面。课程标准在基本理念中指出:“数学教学, 要紧密联系学生的生活实际, 从学生的生活经验和已有知识出发, 创设生动有趣的情境”。因此, 教学中应注重与现实生活之间的联系, 从学生熟悉的、贴近生活实际的问题入手, 使学生对数学产生亲切感, 认识到数学就在我们身边。

例如, 在讲直线与圆的位置关系时, 可以将生活中的自然现象——日出引入教学, 把地平线和太阳分别抽象成直线和圆, 得到三种位置关系;在讲不等式时, 可以应用下面的生活常识创设情境:当我们感觉糖水不够甜时, 再适量添加一些糖 (在溶解度范围之内) , 糖水就会变得更甜。我们不妨设原来糖水质量为b克, 含糖质量为a克, 又添加的糖的质量为c克, 由此可以得到不等式:若b>a>0, c>0, 则

2. 创设操作型情境。

美国实用主义教育家杜威主张“从做中学”, 也就是“从活动中学”、“从经验中学”。教学中的实际操作活动可以调动学生的主观能动性, 调动学生的多种感官, 使学生在“做数学”的过程中学数学。“发现学习”理论的提出者美国心理学家和教育家布鲁纳强调说:“人类学习中似乎有个必不可少的成分, 它像发现一样, 是尽力探索情景的机会。”因而, 教学中应给学生提供一些操作性活动, 使学生亲身经历知识的发生、发展和形成过程。通过亲自动手操作与实践, 学生可以获得学习体验, 使学习过程真正地成为数学化的过程, 进而达到对知识的再发现。

例如, 在讲几何体的截面时, 让学生动手操作, 实际切截几何体模型, 进而发展其空间观念, 培养几何直觉;讲平面图形及其位置关系时, 可以让学生动手制作七巧板, 丰富对平行、垂直等有关内容的认识, 积累数学活动经验;讲解三角形稳定性时, 让学生用木条和钉子钉成三角形和四边形木架, 然后扭动它们, 进而使学生发现:三角形具有稳定性, 而四边形没有稳定性。

3. 创设典故型情境。

教学中引入一些生动、有趣的故事可以活跃课堂气氛, 提高学生学习的兴致, 使学生获得轻松、愉悦的情感体验, 在陶冶情操的同时, 培养科学精神和人文精神。数学学科本身蕴含着大量的典故, 可以为教学提供丰富的素材。数学是人类文化的重要组成部分, 数学教学应体现数学的文化价值。数学史实、数学故事、数学家事迹、数学历史名题等都可以用来创设问题情境。教师应对这些丰富的文化资源进行挖掘, 选择一些喜闻乐见、脍炙人口的数学典故适当地穿插在教学中。例如, 学习二元一次方程组时, 可以引入中国古代经典的“鸡兔同笼问题”;学习等差数列的求和公式时, 可以讲述高斯小时候巧算1+2+3+……+100=5050的故事;学习等比数列的求和公式时, 可以讲述印度国王奖赏国际象棋发明者的故事, 等等。

此外, 一些神话传说、童话故事、寓言故事等也可以用来创设情境。例如, 在讲解一次函数图像时, 先让学生重温“龟兔赛跑”的故事:开始时, 兔子遥遥领先, 便骄傲起来, 睡了一觉。醒来时发现乌龟快到终点了, 于是赶紧追赶, 但为时已晚, 乌龟还是先到达了终点……然后, 让学生绘制反映该故事情节的函数图像 (如图1) 。其中s1、s 2分别表示乌龟和兔子所行的路程。

4. 创设信息型情境。

信息技术对教学内容、教学方式以及学习方式都产生了重大的影响, 成为教学的强有力工具, 在教学中发挥着重要的作用。教师应加强信息技术与学科教学的整合, 运用网络、多媒体、计算机及其软件、计算器等各种信息技术平台开发课程资源, 充分发挥其优越性, 提高教学效率和教学质量, 为学生数学知识的建构以及再创造提供有利的环境。教学中, 运用几何画板、数学实验室、Mathematica、Flash等软件以及TI图形计算器、Z+Z智能教育平台等进行辅助教学, 会给数学教学提供极大的方便。

例如, 讲解函数y=A sin (ωx+φ) 的图像时, 为了使学生体会A、ω、φ对其图像的影响, 可以运用Flash, 几何画板软件制作动画, 进行直观形象地演示其变化过程。

5. 创设开放型情境。

创设开放型情境是指在教学中以开放性问题为载体创设情境。开放性问题答案不唯一, 需从多方面、多角度、多层次进行探索, 给解题者在主观上留有较大自由度和思维空间。开放题的解答具有发散性特点, 没有固定的、现成的解题模式可以遵循, 能够培养学生的创新意识和创造能力。

例如, 在学习全等三角形判定定理时, 可以采取下面这个开放性题目巩固和应用所学知识。

已知:如图2, 点C、D在线段AB上, PC=PD, 请你添加一个条件, 使图中存在全等三角形, 你所添条件是_____, 你得到的一对全等三角形是△_____≌△_____。

6. 创设试误型情境。

美国教育心理学家桑代克 (E.L.Thorndike) 提出的“试误说”学习理论认为:学习的实质就是有机体形成“刺激” (S) 与“反应” (R) 之间的联结。同时, 他还认为学习的过程是一种渐进的尝试错误的过程。在教学中, 教师要使学生学习中存在的问题得以暴露, 让学生去尝试错误、剖析错误、纠正错误, 不断反思, 增进思维的严谨性和批判性。英国心理学家贝恩布里奇说:“差错人皆有之, 作为教师不利用是不能原谅的。”因此, 教师应把学生学习中出现的错误作为教学资源巧妙地加以利用, 加深学生对知识的理解与掌握。

例如, 初学完全平方公式时, 学生往往错误地认为: (a+b) 2=a 2+b 2, 这时教师可以让学生取几个数进行尝试, 发现上面式子是错误的, 进而促使其探求正确的结论;在讲解不等式的性质时, 教师可以创设这样的情境:-2>-3, 两边都乘以-1得到:2>3, 让学生分析产生错误的原因, 促使学生完善对知识的建构。

7. 创设跨科型情境。

当今时代学科间相互交叉、相互渗透的特点越来越明显, 这就要求数学教学应重视与其他学科的联系。教师可以从其他学科中选取素材作为课程资源, 对学科知识加以整合, 使学生整体地把握知识, 有利于学生的全面发展。

例如, 讲向量时, 可以与物理学中的力、速度做类比;讲乘方的概念时, 可以采用生物学中细胞分裂的问题;讲空间直角坐标系时, 可以借助于化学中学生熟悉的食盐晶胞立体模型建立坐标系, 写出各原子所在位置的坐标, 体会空间坐标系的特点;讲三视图时, 可以引用苏轼的《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰, 远近高低各不同”来引入课题。

8. 创设游戏型情境。

趣味性游戏对学生具有一定的吸引力, 尤其是对于低年级学生更是如此。学生具有好动、好奇的特点, 运用游戏进行教学可以激发学生的学习动机, 使学生乐学、爱学, 体会到学习的乐趣。游戏或模拟游戏的活动, 可以使学生处在一种宽松、愉悦的氛围之中, 在玩中学, 在玩中收获新知识, 应用新知识, 真正体会到“数学好玩”。

例如, 讲整数加法运算时, 可以引用幻方游戏;讲解有理数运算时, 可以让学生利用扑克牌玩24点游戏;讲解概率知识时, 可以引入转盘游戏。再比如, 讲解平面直角坐标系时, 可以创设这样的情境:如图3, 是中国象棋一次对局时的部分示意图, 我们知道马走“日”字, 请学生指出图中的“马”下一步可以走到哪几个位置, 并把这些位置用坐标表示出来。

参考文献

优化数学练习设计的方法 篇11

[关键词] 练习设计；启发性；应用意识；思维含量；有效

好的练习设计是一节课有效的关键，学生可以在自由探索、亲身实践、合作交流的过程中进行练习，可以在与教师互动学习间进行练习。

一、启发性和趣味性的练习设计

案例一：在五年级“小数乘小数”练习中有这样一组题：

1. 4.9×1.01 5.8×1.2 3.15×1.4

4.9×1 5.8×1 3.15×1

4.9×0.99 5.8×0.8 3.15×0.6

2. 不计算，直接在○里填“>”或“<”。

1.4×0.8○1.4 1.6×1.3○1.6

0.63×0.8○0.63 0.85×1.3○0.85

这两题涉及小数乘法的计算规律，有利于提高学生对计算结果的理性判断。教学时笔者作了如下设计：

先在黑板上板书第2题。谈话：“老师想和大家比赛，我做4题，你们分组每组做一题，看谁快？比不比？”“比！”学生纷纷拿出草稿纸和笔。“开始”一声令下，学生都埋头计算，“好了！”“好了！”……等学生纷纷抬起头，发现笔者已经把4道题的答案都写好了，“老师真快！”“肯定有什么诀窍？”“老师早就知道答案的。”……众说纷纭。笔者笑笑说：“有同学说我作弊，我不承认，有什么诀窍这倒是真的，你们可以照样出一些这样的题来考考老师。”这个提议让学生激情空前高涨，但整个教室却一下子安静下来，学生都边举手边两眼盯着黑板上的题，“4.26×0.88○4.26”“100.3×1.44○100.3”……学生出题数字越来越大，目的是想考倒笔者，但都没成功，同学们一个个都瞪大了眼睛，一副不可思议的神情。笔者把学生出的题分成两组，要求学生观察思考。

生1：每道题有两个数是一样的。

生2：右边的数和左边的数是一样的。

生3：乘的数不一样。

生4：哇！我发现了，一组数都乘比1小的数。另一组都乘比1大的数。

笔者肯定了同学们的发现，稍加点拨，同学们发现：一个数与比1大的数相乘，得到的积大于原数；一个数与比1小的数相乘，得到的积小于原数。这里所说的“一个数”不包括0。接着出示第1题让学生估算，都很轻松地过关了，最后笔者又加了一组题：

7.56×（ ）﹥7.56 （ ）×4.25﹥4.25

7.56×（ ）=7.56 （ ）×4.25=4.25

7.56×（ ）﹤7.56 （ ）×4.25﹤4.25

学生都能既快又对地完成。更大的收获是在学习“小数除以小数”的时候，学生能参照“小数乘小数”的方法自己找到规律，这两个难点学生掌握得特别扎实。

反思：数学课程标准指出：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”在上述案例中，笔者充分利用学生好奇、好胜的天性，有计划、有目的地引导学生观察思考，从而展开丰富、大胆的想象，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得数学活动经验。

二、应用意识的练习设计

案例二：四年级学了有余数的除法后，教材适当渗透了有关有余数的除法应用题，为了更好地理解被除数、除数、商和余数之间的关系，更灵活地运用所学知识，笔者把教材中的一些练习加以改编，收到了较好的效果。

原题： （1）有57盆花，要分给一年级9个班，平均每班分得几盆，还多几盆？

改编后：（2）有57盆花，要分给一年级9个班，如果每班要分到7盆，还缺几盆花？

第（1）题学生很快解答出来：57÷9=6（盆）……3（盆）答：平均每班分得6盆，还多3盆。

而第（2）题一开始，学生有点无从下手，经过一番思索后，先后都得出了解法。

生1：7×9-57=6（盆），先算每班分7盆，9个班一共要63盆，再算57比63少6盆，就是还缺6盆。

这种解法，得到了学生们的一致公认。

生2：57÷9=6（盆）……3（盆），9-3=6（盆）。

对于生2的另辟蹊径，学生们感觉上“9-3=6（盆）”有那么一点不理解，于是笔者让生2说说他的思考方法。

生2：57÷9=6（盆）……3（盆），是把57盆花平均分给9个班，每班分得6盆，还多3盆，这3盆花只要再加上6盆，合起来就是9盆，再分给9个班，每班就可以再分得1盆，与先前的6盆合起来也是7盆。

说得很到位，刚才还没转过弯来的学生都听懂了，赢得了同学们热烈的掌声。

反思：教材中许多练习都具有实际背景，教师可以在平时的数学教学中根据教学内容的应用因素，设计相关的练习。上述案例练习的设计，已经突破了学生原有的知识经验，给学生造成了认知上的冲突，学生因为个性的差异、能力的差异、思维的差异，解决问题的方法也各不相同。很多时候他们会融知识、生活经验为一体，用自己的思维方式重新构造数学知识，创造性地解决了问题。这样帮助学生学会思考解决实际问题，既是对前面所获得知识的巩固运用、补充和升华，还能达到举一反三、触类旁通的效果。

三、思维含量的练习设计

案例三：三年级学了长方形、正方形的周长计算后，笔者设计了如下练习：要求学生用4个边长为1厘米的小正方形纸拼一拼，摆一摆，有几种摆法？学生分组尝试练习拼摆，发现有多种摆法，经过交流、讨论，忽略方向，大概有以下5种：

师：想一想，拼成的图形中哪个的周长最短？哪个的周长最长？各是多少？怎样计算这些图形的周长？

学生计算后全班进行交流：

生1：每个正方形的周长都是1×4=4（厘米），4个正方形的周长就是16厘米。这些图形的周长相等。

生2：错，拼成的图形的周长并不是4小个正方形的周长之和，应该是整个图形外围的长度。

这种说法赢得了大家的认同，马上有学生用彩笔把每个图形的周长描了出来。

生3：我是用数的方法，看拼成的图形的外围有几条边，就是几厘米。图（1）（2）（3）（5）数出来都是10厘米。图（4）数出来是8厘米。

生4：用公式计算，每个小正方形的周长是4厘米，4个正方形的周长就是16厘米，去除中间重叠部分。图（4）重叠部分最多16-8=8（厘米），其他4个图形都是16-6=10（厘米）。

……

反思：有思维含量的练习设计既要活跃学生的思维，又要有一定的思考价值；既是本课教学任务的一个组成部分，又必须“跳一跳”才有可能够到，达到拓展延伸，发展学生思维广度和深度的目的。

因此，在数学练习的教学实践中，教师应在学生认知、经验的基础上多角度、多方位、多层次地设计练习，以提高教学的有效性。且练习的设计要能唤起学生心灵深处那种学习探究的情感需要、认知需要。另外在教学中，教师还要善于创设有利于培养学生探究、创新意识的教学情景，鼓励学生质疑问难，发表自己的独特见解，让不同的学生在参与学习活动中都能享受成功的喜悦。

数学问题设计的方法 篇12

一、数形结合思想

初中数学教学中,数形结合思想包括以形助数和以数解形.以形助数即通过直观的几何图形,将代数之间的联系阐释出来;以数解形即通过代数之间的联系,将几何图形的特征阐释出来,从而快速、巧妙地解决问题.在数学教学中,教师首先应当引导学生思考:能够从题目中发现什么?同时,组织学生进行分析和观察,并将构想过程提炼出来,在头脑中建立起数与形的关系,然后解决问题.

二、函数与方程思想

初中数学中,函数思想指的是求解数学问题时用函数关系表示出各个量之间联系的思想;而方程思想指的是通过列等式方程,解决问题的思想方法.函数与方程思想在中学数学中有着广泛的应用.巧妙地运用函数与方程思想,可有效解决问题.

解:(1)如图2,当0<x≤3时,S=x2;

如图3,当3<x≤6时,S=-x2+6x.

当3<x≤6时,将S=8代入S=-x2+6x中,解得x=4或x=2.

三、转化与化归思想

转化与化归思想指的是以数学问题的内部联系为依据,把陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题,进而解决问题的思想.

【例3】在梯形ABCD中,BC∥AD,DC=AB,对角线AC与对角线BD相交于点O,DB⊥AC,AD=6,BC=10,求AC的大小.

分析:解决本题的思路之一就是以梯形的对角线彼此垂直的特点为依据,将对角线平移,获得平行四边形和直角三角形.

解:如图4,作直线DE∥AC,DE与BC的延长线交于点E,

∵AD∥BC,

∴四边形ACED为平行四边形,

∴CE=AD=6,AC=DE.

∴BE=CE+BC=6+10=16.

∵AC∥DE,DB⊥AC,

∴DB⊥DE.

∵梯形ABCD中,AB=CD,

∴∠ABC=∠DCB.

易证得△ABC≌△DCB,

∴AC=BD,

∴DE=DB,

∴△DEB为等腰直角三角形.

∴BE2=DE2+DB2=2 DE2=162.

四、分类讨论思想

分类讨论思想指的是以事物的差异性和共性特点为依据进行分类研究的思想.在数学教学中,教师渗透分类讨论思想,并进行科学训练,可帮助学生掌握正确的分类讨论的方法,提高学生的逻辑思维能力.

【例4】有一个三角形为直角三角形,其中任意两条边的长度为4和3,求该三角形外接圆半径的大小.

本题之所以涉及分类讨论,是因为题目中三角形的两条边长为任意边,所以有两种三角形满足题目条件.

在数学教学中渗透数学思想方法,能帮助学生快速、巧妙地解决问题,提高学生分析问题和解决问题的能力.所以,初中数学教师应当重视数学思想方法的应用,让学生在解决具体问题的过程中有效应用这些数学思想方法,提高学生的数学能力.

参考文献

[1]陈鹏辉.数学思想方法在初中数学合作学习模式中的应用[J].科技风,2012(12):226.