图形的位似教学方案(通用2篇)
图形的位似教学方案 篇1
图形的位似教学方案
【学习目标】
1. 了解位似图形及其有关概念, 理解位似图形的性质。
2.能根据位似图形的性质进行简单的作图。
3.能利用位似图形的性质解决简单的实际问题。
【预习指导】
1、位似图形的定义:
2、位似图形的性质:
3、预习疑难摘要:
【学习过程】
一、自主学习
自学课本64页内容,回答下列问题
1.什 么叫做位似图形、位似中心?
2.位似图形一定是相似图形吗?相似图形一定是位似图形吗?
3.图2- 27中的不同的位似图形有什么区别?
(提示 :从两个图形与位似中心的位置来考虑)
二、合作探究
1、在图2-27中,指出各对应点和对应边;
2、在各图中,任取一对对应点,度量这两个点到位似中心的距离。它们的比与对应边的比有什么关系?再换一对对应点试一试。
3、由此你能归纳出什么结论?与同伴交流。
三、典型例题
例1 (课本65页例1)请按照下面的步骤进行探索:
1.要确定△A′B′C′的位置,需要确定哪些元素?
2.如何确定点A′、B′、C′的位置?你有几种方法?试 分别画出图形。
3.你能用定义说明两个图形是位似图形吗?
4.与原来的图形相比,所画图形是放大了还是缩小了?通过本例你有什么收获?
例2 (课本66页例2)
问题1:两个矩形的面积比是多少?对应边的比试多少?为什么?
问题2:仿照例1,用两种不同的.方法画出所要画的图形,并写出各个顶点的坐标。
问题3:观察各对对应点的坐标,你发现了什么规律?如果所画的矩形的面积是矩形OABC的4倍,对应点的坐标又有什么规律?
四、拓展延伸
已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,2)、B(-2,3)、C(-1,0),把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍,得到点A′ 、B′、C′
(1)作出△A′B′C′
(2)△A′B′C′与△ABC是位似图形吗?如果是,位似中心是哪个点?对应边的比试多少?
五、巩固练习
1、课本66页1、2题
2、课本68页1、2题
六、自我小结
我的收获:
我的困惑:
七、当堂检测
1、如果两个位似图形的每组________所在的直线都_________,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做________,这时的相似比又叫做________。
2、位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于_____________;位似图形的对应角__________,对应线段__________(填:“相等”、“平行”、“相交”、“在一条直线上”等)
3、位似图形的位似中心,有的在对应点连线上,有的在___________的延长线上。
4、如果两个位似图形成中心对称,那么这两个图形__________ (填“一定”、“不”或“可能”等)
5、如图D,E分别是AB,AC上的点。 (1)如果DE∥BC,那么△ADE和△ABC位似图形吗?为什么? (2)如果△ADE和△ABC是位似图形,那么DE∥BC吗?为什么?
6、在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-3,0)、(5,0)和(0,4),试画出以点O为位似中心与△ABC位似的图形,使它与
相似多边形与位似图形教学设计 篇2
【学习目标】
1、了解相似多边形的含义。
2、了解位似图形及有关概念,能利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小。
3、利用图形相似解决一些简单的实际问题。
【知识要点】
1、相似多边形的定义。
2、相似多边形的性质。
3、位似图形的定义。
4、位似图形的性质。
5、位似图形性质的应用。
【重点、难点】
重点:相似多边形及位似图形的性质。
难点:相似多边形及位似图形的性质应用。
【知识讲解】
1、相似多边形:
两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形。
提示1:只有边数相等,各对应角相等,且各边对应成比例的多边形才相似。
例如:两个正方形,各对应角都是90°,且各边对应成比例,所以两个正方形是相似多边形。
提示2:相似多边形的读、写法,在表示两个多边形相似时,要把表示对应角对应顶点的字母写在对应位置上。
2、相似比:
相似多边形对应边的比叫相似比,多边形的相似比是有顺序的。
例如:四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′,AB与A′B′是对应边,若1∶3。
3、相似多边形的性质:
(1)对应边成比例;
(2)对应角相等。
如:五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′,则有∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,∠D=∠D′,∠E=∠E′,且
(4)相似多边形中的对应线段的比等于相似比。
(5)相似多边形中,对应的三角形相似,其相似比等于原相似多边形的相似比。
4、位似图形的定义:
如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个交点叫做位似中心,此时,两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。
(1)位似图形是针对两个相似图形而言的。
。,则说四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为3∶1;反之,四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的相似比为
(3)相似多边形的周长的比等于相似比,面积比等于相似比的平方。
(2)位似图形的每组对应点所在的直线都必须经过同一点。
(3)位似图形是具有特殊位置关系的相似图形,而相似图形不一定构成位似图形。
5、位似图形的性质:
(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比。
(2)两个位似多边形一定相似,它们的相似比等于对应顶点与位似中心的距离之比,它们的各对对应边分别平行或在同一直线上。
【例题讲解】
例1:下列多边形,一定相似的是()
A、两个矩形 B、两个菱形 C、两个正方形 D、两个平行四边形
分析:根据相似多边形的定义,两个矩形只能满足对应角相等,对应边不一定成比例;两个菱形只满足对应边成比例,而对应角不一定相等;两个正方形的对应边成比例,对应角都是90°。
答案:C
例2:如图,四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′,AB=18,A′B′=4,B′C′=6,∠B=77°,∠C=83°,∠A′=115°,求BC的长度和∠D′的大小。
解:∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′,∴,即,解得BC=27,∴∠B′=∠B=77°,∠C′=∠C=83°,∴∠D′=360°-∠A′-∠B′-∠C′=85°。
例3:四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′,它们的对角线分别交于点O、O′,那么ΔOAB与ΔO′A′B′相似吗?为什么?
解:ΔOAB∽ΔO′A′B′,因为:
∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′,∴ΔABD∽ΔA′B′D′,ΔABC∽ΔA′B′C′,∴∠2=∠4,∠1=∠3,∴ΔOAB∽ΔO′A′B′。
例4:如图,已知四边形ABCD及四边形A′B′C′D′中,∠B=∠B′,∠D=∠D′,那么,四边形ABCD和四边形A′B′C′D′必相似。试说明理由。
分析:要说明四边形ABCD∽A′B′C′D′,只需说明∠A=∠A′,∠C=∠C′就可以了,我们可构造相似三角形来完成∠A=∠A′,∠C=∠C′。
解:连结AC、A′C′,∵∠B=∠B′,∴ΔABC∽ΔA′B′C′,∴∠1=∠1′,∠2=∠2′,同理,ΔADC∽ΔA′D′C′,∴∠3=∠3′,∠4=∠4′,∴∠1+∠3=∠1′+∠3′,∠2+∠4=∠2′+∠4′,即∠BAD=∠B′A′D′,∠BCD=∠B′C′D′,又因,∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′。
例5:四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′相似比为5,那么它们的周长和面积分别是多少?,它们的周长之和为20,面积之差为
分析:根据题意,利用相似多边形的性质,可构造方程(组)即可求解。
解:设它们的周长分别为C1、C2,面积分别为S1、S2,根据题意有,(1)
由(1)得:C1=12,C2=8,由(2)得:S1=9,S2=4,(2),所以,它们的周长分别为12,8;面积分别为9,4。
例6:如图,已知四边形ABCD,把它放大2倍,即新图形与原图形的相似比为2。
等于2。
分析:(1)把一个图形放大2倍,就是要求新图形与原图形的对应点到位似中心的距离之比
(2)位似中心的位置是任意的,可选在图形内、图形外、图形上均可。
解:(1)任取一点O;
(2)以O为端点作射线OA、OB、OC、OD;
(3)分别在射线OA、OB、OC、OD上取A′、B′、C′、D′使OA′∶OA=OB′∶OB= OC′∶OC=OD′∶OD=2∶1;
(4)连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A′。
则四边形A′B′C′D′就是所求作的图形。
例7:已知,锐角三角形ABC,求作矩形DEFG使DE在边BC上,点G和F分别在边AB和AC上,且DE∶GD=2∶1。
分析:这个作图从要求的条件看,很难一次就作出满足全部条件的图形,因此可先作出满足一部分条件的图形。此题可以先作出所求作的图形的位似形,然后再根据位似图形的概念进行位 似变换,以得出所求的满足全部条件的图形。
作法:
1、在AB上任取一点G1,作G1D1⊥BC于D1;
2、在D1C(或其延长线上)上取一点E1,使D1E1=2G1D1;
3、以G1D1、D1E1为邻边作矩形D1E1F1G1;
4、作射线BF1交AC于点F;
5、作EF∥E1F1交BC于点E,作FG∥F1G1交AB于G,作GD∥GD1交BC于D。
四边形DEFG就是所求的矩形。
例8:已知,ΔABC的顶点坐标分别为A(0,-2),B(3,-1),C(2,1),以原点O为位似中心,将这个三角形放大为原来的2倍得到ΔA′B′C′,请写出ΔA′B′C′的顶点坐标。
解:根据位似图形中对应点的坐标的变化规律,点A(0,-2)的对应点A′的坐标为(0×2,-2×2)即A′(0,-4),所以,类似的有 B′(6,-2),C′(4,2)。
【过关练习】
1、选择题。
(1)两个相似多边形一组对应边分别为3cm,4.5cm,那么它们的相似比为()
A、(2)在矩形ABCD中,E、F分别为AB、CD的中点,如果矩形ABCD∽矩形EFCB,那么它们的相似比为()B、C、D、A、B、C、2 D、(3)一个多边形的边长为2,3,4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边为24,则这个多边形的最短边长为()
A、6 B、8 C、12 D、10
(4)ΔABC与ΔDEF是位似图形(如图),相似比为2∶3,已知AB=4,则DE的长等于()
A、6 B、5 C、9 D、(5)如图所示,已知ΔADE与ΔABC是位似图形,且位似比为1∶2,若ΔABC的面积为12cm2,则 ΔADE的面积为()
A、2cm2 B、3cm2 C、4cm2 D、6cm2
2、在矩形ABCD中,截去一个正方形ABEF,如图所示,得到一个矩形ECDF,如果矩形ABCD∽矩形 ECDF,试问矩形ABCD是否为黄金矩形,请说明理由。
3、如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别位于边AB、CD上,EF∥AD,于是EF将平行四边形ABCD分成平行四边形AEFD和平行四边形EBCF,设边AB=a,BC=b。
(1)若平行四边形ABCD与平行四边形ADFE相似,求DF长。
(2)若平行四边形AEFD与平行四边形EBCF相似,求DF长。
(3)若平行四边形AEFD与平行四边形EBCF与平行四边形ABCD都相似,请你求出a与b之间的关系
4、如图,在一矩形花坛ABCD四周修筑水路,使得相对两条小路的宽均相等,如果花坛边AB=20米,AD=30米,试问小路的宽x与y的比值是多少时,能使小路边沿围成的矩形A′B′C′D′能与矩形ABCD相似?请说明理由。
5、如图是圆桌正上方的灯泡(看作一个点),发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影,已知桌面直径为1.2m,桌面距地面1m,灯泡距地面3m,求地面上阴影部分的面积。
6、已知,如图,O是坐标原点,B、C两点的坐标为(3,-1),(2,1)。
(1)以O为相似中心在y轴左侧,将ΔOBC放大到2倍,画出图形。
(2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标。
(3)如果ΔOBC内部一点M的坐标为(x,y),写出M的对应点M′的坐标。
7、已知,如图,梯形ABCD,AD∥BC,不改变图形的形状,把它的各边都扩大为原来的。
8、作一个等边三角形,使它的三个顶点分别在ΔABC三边上,并且有一边和BC平行。
【参考答案】
1、(1)A(2)A(3)B(4)A(5)B
2、分析:要判别矩形ABCD是否为黄金矩形,即是否有
成立,由此可作出判定。
解:矩形ABCD为黄金矩形。理由:
由题意,矩形ABCD∽矩形ECDF,∴,又∵AB=AF=BE=EF=CD,EC=DF,∴,的比值为黄金比,故点F是AD的黄金分割点,所以
从而 的比值是黄金比,故矩形ABCD为黄金矩形。
3、解:(1)∵平行四边形ABCD∽平行四边形ADFE,∴即DF=。
(2)若平行四边形AEFD∽平行四边形EBCF,∴,∴DF=,若平行四边形AEFD∽平行四边形BCFE,则,DF=(a>2b)。
(3)因平行四边形AEFD与平行四边形EBCF,平行四边形ABCD都相似,则有平行四边形AEFD∽平行四边形EBCF∽平行四边形BCDA,∴,∴a=。
4、解:依题意,应有,∴,∴20(30+2x)=30(20+2y),解得,故当时,矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD。
5、解:如图,设桌面面积为S1,阴影部分面积为S2,圆桌的面积为S1=
(m2),因桌面与阴影是位似图形,∴,∴,∴S2=
答:地面上阴影部分面积为
6、解:(1)如图所示:
(m2)。m2。
(2)根据位似变换中对应点坐标的变化规律,点B的坐标为(3,-1),对应点B′的坐标为(-6,2),点C的坐标为(2,1),对应点C的坐标为(-4,-2)。
(3)点M(x,y)的对应点M′的坐标为(-2x,-2y)。
7、解:(1)在梯形ABCD外任取一点O;
(2)作射线OA、OB、OC、OD;
(3)在射线OA、OB、OC、OD上取点A′、B′、C′、D′使
(4)顺次连结A′、B′、C′、D′,梯形A′B′C′D′就是所要求作的图形。
8、解:作法:
;
(1)在ΔABC的边AC上任取一点D′,作D′F′∥BC交AB于F′;
(2)以D′F′为一边作等边ΔD′E′F′;
(3)连结AE′,并延长AE′交BC于点E;
(4)作EF∥E′F′交AB于F;
(5)作DE∥D′E′交AC于D;