微分与积分之间的关系

微分与积分之间的关系（通用3篇）

微分与积分之间的关系 篇1

正如加法有其逆运算减法, 乘法有其逆运算除法一样, 微分法也有它的逆运算——积分法, 我们已经知道, 微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数, 那么与之相反的问题是:求一个未知函数, 使其导函数恰好是某一已知的函数, 这就是积分学讨论的问题.微积分基本公式把微分与积分联系在一起, 奠定了一元函数微积分.本论文是研究导数和不定积分的关系:

导数 (Derivative) 是微积分中的重要基础概念.当自变量的增量趋于零时, 因变量的增量与自变量的增量之商的极限.导数实质上就是一个求极限的过程, 导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则.导数其实是微商, 即因变量的增量与自变量的增量的比值的极限, 写成公式就是undefined

不定积分 (Indefinite integral) :设F (x) 是函数f (x) 的一个原函数, 我们把函数f (x) 的所有原函数F (x) +C (C为任意常数) 叫做函数f (x) 的不定积分.记作∫f (x) dx.

不定积分是求导的逆过程, 就是在已知函数变化率的前提下, 求得一系列的相同变化率的函数.

一、导数和不定积分之间的关系式

例1 求曲线f (x) =x2在点x=1处的切线的斜率.

解 由导数的几何意义可知:曲线上任何一点切线的斜率等于该点的导数f′ (x) =2x, k=f′ (1) =2.

在这里, 遇到了“已知曲线的方程来寻找曲线斜率”这样的问题, 或者说, “已知函数本身求函数的导数”的问题.

如果已知一条平面曲线经过原点 (1, 1) 且在横坐标为x的点处的切线斜率为2x, 找出这条曲线.

如果曲线用y=f (x) 表示, 那么f′ (x) =2x. (切线斜率就是导数) 回想起: (x2) ′=2x, 并且对任意常数C, (x2+C) ′=2x, 所以, y=x2+C (这是一族曲线) .考虑到要找的曲线经过点 (1, 1) , f (1) =1, 找出C=0, 已找的那一条曲线就是y=x2.

在这里, 遇到了“已知曲线的斜率来寻找曲线方程”这样的问题, 或者说, “已知函数的导数来求函数本身”的问题, 如果知道f′ (x) 而要求出y=f (x) , 或者一般地”已知函数f (x) , 求F (x) 使得F′ (x) =f (x) “这样的问题称为计算原函数 (反导数) .也就是我们所说的计算函数的不定积分, 即有F′ (x) =f (x) ⇔∫f (x) dx=F (x) +C.

此表达式沟通了导数和不定积分这两个从表面看似不相干的概念之间的内在联系.

二、导数运算和不定积分运算之间的互逆关系我们来讨论两个问题:首先∫f′ (x) dx=?

有两个答案给我们选择: (1) f (x) ; (2) f (x) +C.

要求f′ (x) 的不定积分, 也就是要看哪个函数的导函数是f′ (x) .答案当然是f (x) .但另一方面不定积分是要求全体原函数, 所以正确的选择是: (1) f (x) ×C; (2) f (x) +C.

再讨论第二个问题: (∫f (x) +C) ′=?

有三个答案给我们选择:

不定积分是被积函数的原函数, 所以它的导数应该是被积函数, 而导函数如存在应是唯一的, 所以正确选择是:

由这两个问题我们了解到, 导数和不定积分是两个互逆运算:

求导公式反过来就是积分公式.

比较基本初等函数的导数公式和基本积分公式

1.常数函数:undefined∫0dx=C;

2.幂函数;undefined∫undefined

3.指数函数:undefined∫undefined;

特殊的情况:undefined∫exdx=ex+C;

4.对数函数:

, 特殊的情况a=e,

5.三角函数:

6.反三角函数:

由上表可知求函数f (x) 的不定积分, 只需求出f (x) 的一个原函数即什么函数的导数等于f (x) , 再加上任意常数C.

例1 ∫2xdx.

解 被积函数f (x) =2x, 因为 (x2) ′=2x, 即x2是2x的一个原函数F (x) =x2, 所以, 不定积分∫2xdx=x2+C.

例2 ∫df (x) .

方法一 (x) ′=1↔∫1dx=x+C (其中x仅是一种代表符号) , ∫df (x) =f (x) +C.

方法二 分析:由微分定义有df (x) =f′ (x) dx.

解 由微分定义有∫df (x) =∫f′ (x) dx=f (x) +C.

例3 d (∫f (x) dx) .

解 由微分定义有d (∫f (x) dx) = (∫f (x) dx) ′dx=f (x) .

例4 (∫ex2dx) ′=ex2;∫undefined

需要说明的是初等函数在其有定义的区间上是到处连续的, 因此初等函数在其有定义的区间上都有原函数.除此之外, 并不能保证每一个定义在区间上的函数都有原函数.

例3f (x) =sgnx, x∈[-1, 1]不存在原函数.

不定积分与导数虽然是相反的运算, 但是基本积分公式与导数基本公式相互联系却又不相同, 在运用中难免会出错, 如容易混淆了导数和积分公式;而导数的基本运算法则有五个, 包括和差、积、商、复合函数及常数与函数积的导数, 积分的基本运算法则只有两个, 没有积、商的运算法则.一般情况计算不定积分要比计算导数困难得多, 计算不定积分没有固定的计算程序, 常是因题而选法, 有时一题多法.

三、导数和不定积分关系运用在实际

物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数、不定积分之间的关系来解决实际问题.如导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度 (就匀直加为例:位移关于时间的一阶导数是速度二阶导数是加速度) , 可以表示曲线在一点的斜率 (矢量速度的方向) 、还可以表示经济学中的边际和弹性.

已知某物体的路程函数s=s (t) , 求该物体的瞬时速度v=v (t) , 满足关系式s′ (t) =v (t) .

例5 设一质点以速度v=2cost-1做直线运动, 开始时质点的位移为s0, 求质点的运动规律.

解 质点的运动规律是指位移s是时间t的函数s=s (t) , 按题意有undefined,

得s=∫ (2cost-1) dt=2sint-t+C.由条件st=0=s0, 代入上式中, 得C=s0, 于是质点运动规律为s=2sint-t+s0.

例6 设某厂生产某种商品的边际收入为R′ (Q) =300-3Q, 其中Q为该商品的产量, 如果该产品可在市场上全部售出, 求总收入函数.

解 因为R′ (Q) =300-3Q, 两边积分得

又因为当Q=0时, 总收入R (Q) =0, 从而C=0, 所以总收入的函数为undefined

总之, 导数与不定积分都是微积分里的重要内容, 导数是微分的基础, 不定积分是积分的开始内容.不定积分是求导的逆过程.理解并掌握导数与不定积分之间的关系, 不仅巩固了导数和不定积分的基本公式, 而且加深了学生对公式的理解, 还培养了学生的逆向思维能力.

微分与积分之间的关系 篇2

一、偏导数存在与全微分存在之间的关系

二、偏导数存在与任意方向的方向导数存在之间的关系

首先,函数z=f(x,y)在点(x,y)两个偏导数存在,只能说明该函数在点(x,y)沿el=(1,0)(或el=(-1,0))及el=(0,1)(或el=(0,-1))的方向导数存在,并不能保证函数在点(x,y)沿任意方向的方向导数存在.

其次,函数z=f(x,y)在点(x,y)沿任意方向的方向导数都存在并不能保证该函数在点(x,y)偏导数存在.

所以函数z=f(x,y)在点(x,y)处沿任意方向的方向导数存在既不是它在点(x,y)处偏导数存在的充分条件也不是必要条件.

三、任意方向的方向导数存在与全微分存在之间的关系

定理三如果函数z=f(x,y)在点(x,y)全微分存在,则该函数在点(x,y)沿任意方向的方向导数存在.反之不成立.

但由例1可知,该函数在点(0,0)处的全微分不存在.

上述定理的证明,可参考同济大学数学系编的《高等数学》,在此不再赘述.

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2009.

微分与积分之间的关系 篇3

和Volterra型线性积分方程

其中t∈R,x(t)、p(t)是R上的连续函数,C(t,s)是-∞

在文献[1]中,Burton得到了如下定理:

定理1 方程(1)和方程(2)具有唯一的T-周期解。

并且在文献[1]中,Burton提出如下一个问题。

问题 当p(t)≡0时,定理1的结论能否是渐近稳定的。

本文针对方程(1)和方程(2),分别构造了它们不成立的反例,从而说明定理1的结论不一定成立,并提出对定理1的修改意见;进而依据这两个反例,回答了Burton提出的上述问题。

另外,对文献[2]证明文献[1]时存在的一些不足之处,也一并指出和加以修正。

1 几个引理

引理1 ∫tundefined

证明 因为

故∫undefinedundefined。

同理可得

引理2 ∫undefinedundefined

引理3 线性微分积分方程

有通解

式(7)中c1,c2,c3为任意常数。

证明 对式(6)的t求导,并利用对含参变量积分的微分法则得

将式(8)代入式(9)并整理得

显然,齐次方程 x′″(t)-x″(t)-(e2π-1)x′(t)=0 (11)

的特征方程为 λ3-λ2-(e2π-1)λ=0 (12)

其特征根undefined,所以式(11)的通解为undefined,这里c1,c2,c3 为任意常数。

因f(t)=sint-cost,故可设其特解为undefined,用比较系数法易求得undefined,故方程(10)有特解

所以引理3成立。

2 反例的构造

2.1 方程(1)反例的构造

定理2 对于方程(1),构造微分积分方程如下

显然,undefined满足定理1的条件,则方程(14)具有无穷多个2π-周期解。

证明 由引理3知,方程(14)必有解undefined为任意常数,因为把上式代入方程(1),并结合引理1及引理2可得

由c4的任意性知,所以方程(14)有无穷多个2π-周期解,从而方程(1)有无穷多个2π-周期解。

2.2 方程(2)反例的构造

定理3 对于方程(2),构造积分方程如下

显然,undefined满足定理1的条件。

证明 重复定理2的证明方法,不难得到方程(15)的解为

其中c5为任意常数。

这是因为把上式代入方程(15)的右边,并结合引理1和引理2有

由c5 的任意性知,方程(15)具有无穷多个2π-周期解,从而方程(2)具有无穷多个2π-周期解。

由以上两个反例,可以说明:

① 文献[1]中关于方程(1)和方程(2)的定理1不一定成立;

② 事实上,Burton于文献[1]中仅证明了方程(1)和方程(2)具有平均值为零时的T-周期解是唯一的;

③ 文献[2]中关于方程(1)和方程(2)所给出的两个反例方程的通解,其实不是通解,而是无穷多个2π-周期的特解。

对于文献[1]中方程(1)和方程(2)的定理1,建议可以改为以下两个定理之一。

定理4 方程(1)和方程(2)至少存在一个T-周期解。

定理5 方程(1)和方程(2)存在唯一的具有平均值为零的T-周期解。

3 关于文献[1]问题稳定性的否定

对于文献[1]中提出的问题,答案是否定的。

3.1 对于方程(1)周期解稳定性的否定

定理6 当p(t)≡0时,方程(1)的周期解是不稳定的[2]。

证明 对于方程(14),当p(t)≡0时,即为如下方程

由于

因此,对于任意常数c6,x0(t)≡c6都是方程(16)的2π-周期解,由于方程(16)是线性齐次方程,所以,如果x1(t)方程(16)的任意一个解,那么x(t)=x1(t)+x0(t)也是方程(16)的解,由此可知,只要c6≠0,当c6充分小时,则undefined也充分小,但是当t →+∞时,而x(t)-x1(t)=c6却不趋于0,从而方程(16)的任意一个解,都不是渐近稳定的,因此对于方程(1),文献[1]中问题的答案是否定的。

3.2 对于方程(2)周期解稳定性的否定

定理7 当p(t)≡0时,方程(2)的周期解是不稳定的[2]。

证明 对于方程(15),当p(t)≡0,h=2π时,即为如下方程

由于

因此,对于任意常数c7,x0(t)≡c7都是方程(17)的2π—周期解,由于方程(17)是线性齐次方程,所以,如果x1(t)是方程(17)的任意一个解,那么x(t)=x1(t)+x0(t)也是方程(17)的解,由此可见,只要c7≠0,当c7充分小时,则undefined也充分小,但是当t →+∞时,而x(t)-x1(t)=c7却不趋于0,从而方程(17)的任意一个解,都不是渐近稳定的,因此对于方程(2),文献[1]中问题的答案也是否定的。

摘要：构造了Volterra型线性微分积分方程和线性积分方程的反例,从而说明Burton的某些结果是不成立的。在此基础上,解决了Burton提出的关于Volterra型线性积分方程和线性微分积分方程周期解的渐近稳定性的一个问题。

关键词：线性微分积分方程,线性积分方程,周期解,不稳定性

参考文献

[1] Burton T A.Linear integral equations and periodicity.Ann of DiffEqs1,997;13(4):313—326

[2]王全义.线性微分积分方程的周期解.华侨大学学报(自然科学版)2,001;22(2):117—121

[3]王全义.一类Volterra型积分微分方程的稳定性.华侨大学学报(自然科学版),1998;19(1):1—5

[4]王慕秋,王联.关于Volterra型积分微分方程的稳定性.应用数学学报,1992;15(2):184—193