数学思想与数学变换

2024-11-08

数学思想与数学变换（共5篇）

数学思想与数学变换篇1

1拉普拉斯变换的数学思想及其应用

拉普拉斯变换法是一种间接求解的数学思想, 在数学中利用这种数学思想解决实际问题的实例有很多[1]。掌握这种数学思想有利于灵活的解决工程中复杂问题。

1.1解方程:x1.85=3

分析:由于方程中的幂指数不是整数, 直接计算比较麻烦。可以通过某种变换将其简化, 对方程两边取对数得:

通过以上分析可以看出拉普拉斯变换法通过一定的变换方式将原来比较复杂的问题简化为容易解决的问题, 这种变换思想在电路分析中也多有体现, 因此, 熟练掌握拉普拉斯变换法对于分析复杂的动态网络具有重要意义。

2拉普拉斯变换

求函数的拉普拉斯变换的方法比较多, 总结起来有:

(2) 利用已知函数的拉普拉斯变换方法及拉普拉斯性质求解。

(3) 查表法。

求解拉普拉斯变换方程显然比求解高阶微分方程方便得多, 并且方法灵活, 根据基本的拉普拉斯变换对结合拉普拉斯性质和欧拉公式可以很方便地求解复杂问题。

3拉普拉斯变换的应用

利用拉普拉斯变换将电路各元件s域模型化后, 可以把电路的叠加定理、电源变换、戴维宁定理、诺顿定理等都可以应用到s域中, 将大大方便对电路的分析, 同时利用拉普拉斯变换法分析网络传输函数, 对分析电路结构有重要意义。拉普拉斯变换S=σ+jw可以对电路频率响应进行分析, 与傅里叶变换相比, 拉普拉斯变换条件更弱, 适用性更广。拉普拉斯的主要应用总结为下列几种:

3.1网络传输函数

拉普拉斯变换在电路分析上的另一个重要应用是求解网络传递函数。网络函数是一个一个非常重要的概念:

(1) 一旦知道了电路的传输函数在任何输入条件下都很容易求出相应的输出。

(2) 传输函数的表达形式包含很多信息, 它们反应的是我们想要了解的电路 (或系统) 的行为。

图1为网络的传递函数变换到s域

求出其传递函数:

根据网络函数可以对不同输入情况下的输出进行方便求解。在信号分析中拉普拉斯变换应用更显示出其优越性, 根据拉普拉斯变换可以得到零状态响应与零输入响应之和, 而借助网络函数求解零状态响应对网络信号分析更加方便、实用。

3.2利用拉普拉斯变换求解频率特性

进而可得幅频特性:

4拉普拉斯变换及其数学思想的优点和推广

4.1拉普拉斯变换法优点[2]

4.1.1拉氏变换将高阶线性常微分方程变换为容易处理的线性多项式方程。

4.1.2拉氏变换将电压电流的初始条件自动引入到多项式中在变换过程中初始条件的处理变成变换的一部分。

4.1.3可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。

4.1.4方便分析网络幅频特性, 且拉普拉斯变换比傅里叶适用性更广。

4.2数学思想的推广

拉普拉斯变换法的数学思想是化繁为简、曲线求解的思想, 无论是再电路分析中还是在其他工程上都广泛应用。

5结语

拉普拉斯变换在电路分析中大大简化了繁琐的计算过程, 在引进电路分析方法时更要注重其数学思想的应用, 本文侧重分析了拉普拉斯变换的应用以及对其数学思想的阐述, 熟练掌握拉普拉斯变换分析方法对复杂电路分析具有重要意义, 同时要注意变换法的思想推广, 也是本文给出一种灵活解决工程中的实际问题的新思路。

摘要：拉普拉斯变换在数学、物理以及工程技术中有着广泛的应用, 尤其在研究电路中是一个常用的工具。本文主要探讨拉普拉斯的数学思想到拉普拉斯变换在电路分析中的实际应用, 阐述了拉普拉斯变换在电路分析中的重要意义。

关键词：拉普拉斯变换,数学思想,电路分析

参考文献

[1]刘子瑞, 徐中昌.复变函数与积分变换 (第二版) [M].北京:科学出版社, 2011.

数学思想与数学变换篇2

1、通过复习了平面图形的变换方法，整体上进一步把握图形与变换的意义和方法。

2、会用平移、旋转的方法改变图形的位置，能按比例放大、缩小图形，培养学生的动手实践能力。

3、理解轴对称图形的特征，会判断一些特殊图形是否是轴对称图形，会画轴对称图形的对称轴

4、通过复习，进一步体会平移和旋转、放大与缩小的方法，激发学生的学习热情，培养学生的创新意识。

教学准备：教师准备教学光盘

教学过程：

一、整理与反思

1、提问：你知道变换图形的位置的方法有哪些?

引导学生说出变换图形的位置的方法主要是平移和旋转。

火车、电梯和缆车的运动是平移;风扇叶片、螺旋桨和钟摆的运动是旋转。与时针旋转方向相同的是顺时针旋转，方向相反的是逆时针旋转。

2、怎样能不改变图形的形状而只改变图形的大小?

引导学生说出运用放大和缩小的方法可以只改变图形的大小，而不改变图形的形状。

3、比较平移与旋转与放大和缩小这两种方法有什么联系和区别?

区别：平移和旋转不改变图形的大小，只改变图形的位置。而放大和缩小不改变图形的形状，只改变图形的大小。

联系：两种方法都不改变图形的形状。

4、提问：什么是轴对称图形?我们学过的图形中哪些图形是轴对称图形?它们分别有多少条对称轴?

引导学生得出：长方形、正方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、圆都是轴对称图形。长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰三角形和等腰梯形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，圆有无数条对称轴。(教师出示相应的图片)

二、指导学生完成练习与实践。

1、完成练习与实践的第1题。

先让学生独立判断，然后结合学生的判断，进一步明确轴对称图形的基本含义，即把一个平面图形沿一条直线对折，折痕两边的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。接着让学生画出轴对称图形的所有对称轴。

2、完成练习与实践的第2题。

可以先让学生按要求依次进行操作，再通过交流帮助学生进一步明确相关的操作方法。

其中画出一个图形的另一半使它成为一个轴对称图形，以及画出一个图形旋转或平移后的图形，都可以先找出一些重要的点或线段，然后确定这些点或线段在另一半图形中的位置，或平移旋转后的位置，最后连一连。

要使学生认识到：决定平移后图形位置的关键是平移的方向和平移的距离。决定旋转后图形位置的关键是旋转的方向和旋转的角度。

把一个图形按指定的比例放大，可以先在原图中找到平行四边形的底和高，算出放大后的底和高，然后画出放大后的这些线段，最后连一连。

要让学生思考按怎样的比是把原图形放大，按怎样的比是把原图形缩小。

3、完成练习与实践的第3题。

可以先让学生讨论确定圆的位置，需要把圆向右移动几格?圆心应画在哪里?画出的圆的大小应与原来的圆大小相等。在此基础上依次解决书上的几个问题。

4、完成练习与实践第4题。

可以提醒学生以直角三角形的两条直角边作标准，先数一数每条直角边各有几格长，再算一算按指定的比例缩小后又应该是几格长。在此基础上，让学生动手画一画，并进行比较。求出新图形的面积与原来图形面积的比。

5、完成练习与实践的第5题。

可以先让学生观察拼成的两个大正方形图案，说说它们分别是由哪两种瓷砖拼成的?在此基础上，鼓励学生各自按要求设计图案。要提醒学生：第一，每次只能选择两种瓷砖;第二，每种瓷砖都可以适当旋转。

展示学生设计的图案，及时组织学生互相评价。

三、全课小结

通过复习，你对图形变换方面的知识又有了哪些新的认识?

四、布置作业

数学思想与数学变换篇3

关键词：幺模矩阵,图像采样系统,数学变换与矩阵

在信息技术教学过程中, 离不开对数字信号的处理, 由于图像具有更丰富的信息量, 在信息处理中得到了广泛的关注。随着对图像方向性处理要求的提高, 为了能够更加多方向地灵活处理图像, Bamgerger和Smith提出了多方向滤波器组 (Directional Filter Bank, DFB) [1], 由于DFB在图像处理中的多方向特性, 近年来吸引了诸多研究者对方向性滤波器组设计的研究, 而这些研究应用的核心离不开对二维图像的变换、滤波和采样操作。文中对图像处理中的傅里叶变换、z变换、采样矩阵、采样操作及滤波器和采样操作之间的等效关系进行了概述和总结。

一、二维Fourier变换及z变换

设t=[t1, t2]T, Ω=[Ω1, Ω2]T, 对于二维的连续信号xa (t) , 其连续时间Fourier变换为Xa (Ω) :

同理, n=[n1, n2]Tω=[ω1, ω2]T, 对于数字图像而言为二维的离散信号x[n], 其离散时间Fourier变换X (ω) 为:

其中￥表示所有2×1的整数向量集。而其z变换X (z) 可以表示为:

其中。

二、二维抽样矩阵

在利用滤波器完成图像变换的过程中, 涉及一些基本矩阵, 现分别定义如下:

1. 抽样矩阵:

一个所有元素均为整数的方阵, 矩阵对应行列式的值为非0。矩阵的维数等于所要操作信号的维数。

2. 整数对角矩阵:

所有元素值为2n (n为正整数) 的对角矩阵。

3. 五株抽样矩阵 (Quincunx Sampling Matrix) :

一种所有元素值为±1且对应的行列式的值为2的抽样矩阵。以下是常用的五株抽样矩阵 (4) :

通过五株抽样矩阵Q1和Q2抽样后的格分别如图1所示[2]。从结果可以看出, 抽样后样本数目变成了抽样前的一半, 并且抽样后信号相比输入信号旋转了±45°。

白点:Q1抽样结果。黑点:Q2抽样结果

4. 幺模矩阵 (Unimodular Matrix) :

对应的行列式的值为±1的整数矩阵。幺模矩阵的逆矩阵也是幺模矩阵。以下常用的四个幺模矩阵:

信号通过幺模矩阵抽样前后样本数目没有变化, 只是对样本点进行旋转和重新排列 (2) 。

史密斯形式可以对抽样操作分步进行, 简化抽样操作。任何一个二维整数矩阵M都可以分解成如下结构:M=UΛV。其中U和V是幺模矩阵, Λ是一个整数对角矩阵。如:

其中为对角整数矩阵。

三、二维采样操作

1. 格 (Lattice)

由二维整数矩阵M产生的格用LAT (M) 表示, 即LAT (M) ={t:t=Mn, n∈￥}, M为采样矩阵。接下来所介绍的抽样和插值都是在格上进行的操作[2]。

2. 下采样 (Downsampling)

二维M下采样也叫抽样, 如图2 (a) 所示。设输入信号x (n) , 输出信号y (n) , 其对应的时域及频域关系如下:

其中, ￥ (MT) 是￥ (MTx) 的整数向量集, x∈[0, 1) 2。矩阵M-T= (MT) -1产生LAT (M) 的互易点阵。抽样后的样本数目是抽样前的1/det|M|。k称为陪集矢量, 由MT决定。经抽样操作, 会产生频率混叠现象。

3. 上采样 (Upsampling)

二维M上采样也称为插值, 如图2 (b) 所示。设输入信号x (n) , 输出信号y (n) , 其对应的时域及频域关系如下:

4. Nobel等效

根据Nobel等效[3], 在图像处理中滤波器和抽样之间可以进行顺序变换, 如图3所示采样和滤波器偶顺序不同但是输出结果等效。

在图像的多方向滤波器组的设计中, 我们可根据需要进行图像变换, 再通过抽样和插值等操作完成图像信息的方向旋转和逆旋转, 从而实现对图像中纹理信息的多方向性分析。上述变换和理论是实现图像多方向分析的研究数学基础, 逐渐得到了广大图像处理研究者的关注。

参考文献

[1]Bamberger R H and Smith M J T.A filter bank for the directional decomposition of images:theory and design[J].IEEE Trans.on Signal Processing, Apr.1992, 40 (7) :882-893.

[2]Hong P S.Octave Directional Decompositions[D].Ph.D.Thesis, School of Electrical and Computer Engineering Georgia Institute of Technology, 2005.

[3]Park S.New Directional Filter Banks and Their Applications in Image Processing[D].PhD.thesis, School of Electrical and Computer Engineering Georgia Institute of Technology, 1999.

图形与变换复习小学数学说课稿篇4

《义务教育课程标准实验教科书·数学》六年级下册第103页内容，第104页～105页1、2、3、6题。

【教学目标】

1．通过复习使学生进一步掌握对称、平移、旋转、放大与缩小等图形变换的特征；学会运用对称、平移、旋转、放大与缩小的特征进行图形的变换。

2．在丰富的现实情境中，经历观察、操作、欣赏、分析、想象、创作等数学活动过程，进一步发展学生的空间观念。

3．通过欣赏图形变换所创造出的美，进一步感受对称、平移、旋转、放大与缩小在现实生活中的广泛应用，体会数学的文化价值，感受数学的美。

4．在活动中培养学生合作、探讨、交流、反思的意识。

【教学重点】

进一步掌握对称、平移、旋转、放大与缩小的特征。

【教学难点】

综合运用对称、平移、旋转、放大与缩小的特征进行图形的变换，进一步发展学生空间观念。

【教学过程】

一、谈话引入。

师：上节课我们一起整理复习了图形的认识与测量，这节课继续整理和复习图形与变换的知识。（揭示课题）

二、回忆整理，再现旧知。

1．欣赏图案：（出示课件）小精灵：“同学们好，今天我给大家带来了一些漂亮的图案，让我们一起来欣赏吧。！”（显示五个图案，分别为人教版“课标”教材小学数学五年级下册教科书第3页的京剧脸谱、第6页的紫荆花图案、第7页的花边图案，天安门图案、第五个图案是三个模样相同但大小不同的奥运福娃，依次从小到大排成一排。）

讨论交流：你们能用数学的眼光来分析一下，在这些漂亮的图案中，发现了哪些数学概念？（同桌同学互相交流，教师巡视，适当参与学生活动）

反馈交流：（教师根据学生回答演示动态课件）

生1：花边图案是其中一个图案连续向右平移得到的。

生2：京剧脸谱是经过轴对称变换得到的。

生3：天安门城楼的图案是一个轴对称图形。

生4:紫荆花的图案是其中一个花瓣绕中心点向逆时针方向旋转得到的。

生5：三个大小不同，模样相同的奥运福娃是按比例放大缩小后得到的。

教师根据学生回答板书：平移、轴对称、旋转、放大与缩小

提问：誰能说说轴对称图形的特征？

（设计意图：通过六年的学习，学生已在不同学段学习了图形变换的知识，所存在脑子中的也是一些零散的记忆，教师为学生提供丰富的图案素材，分别出示5幅观赏性强，并藏着不同的变换特征的图案，引导学生观察，让学生在欣赏图案的过程中对所学知识进行回顾再现，避免学生空想，不仅给学生以美的熏陶，激发学生的学习热情，同时体会图形的变换在生活中的广泛应用，对小学阶段所学的平移、轴对称、旋转、放大与缩小的特征系统地进行整理。在此过程中，感受我国的民族文化。）

三、综合运用，复习旧知

欣赏课本第104页板报花边图案。

师：刚才我们欣赏的这些图案大多是设计师们设计的，瞧，这是一位同学利用图形的变换设计的板报花边，仔细观察，你们知道他利用了哪些变换的知识吗？（出示课件）

学生在小组内讨论交流，教师巡视，适当参与学生活动。

反馈交流：（教师根据学生回答演示动态课件）

生1：他利用了平移的知识，把第一个图形连续向右平移5次就得到了这一排花边。

生2：他利用了旋转的知识，首先在竖直方向，从上至下依次画好三个不同大小的等腰直角三角形，再将这一组三角形按顺时针方向依次旋转45度7次就得到了这个图案。

生3：旋转的每一组三角形是依次按比例缩小排列的。

生4：旋转的每一组三角形是轴对称图形。

生5：其中的每幅图案是大小不同的三个正方形绕中心点旋转得到的。

小结：这个板报的花边是综合运用了图形变换知识进行设计的。其实人们在生活中利用图形的变换可以设计出许许多多漂亮的图案，让我们至身于这缤纷多彩的世界之中。

（设计意图：在上个环节中将所学图形变换的知识一一再现，回顾特征，这个环节中充分利用书上提供的板报花边图案，呈现的是图形与变换内容综合性的问题，让学生通过独立观察思考，小组合作交流图形变换的过程，并借助多媒体进行验证，发现这个图案综合运用了平移、轴对称、旋转、放大与缩小的知识，从整体上进一步掌握对称、平移、旋转、放大与缩小等图形变换的特征，再次感受到这些变换的魅力所在。）

四、巩固提高，拓展思维

1．做一做。

要求：仔细观察，先独立思考，再在小组内互相交流想法。

2．练习二十第1题。

学生独立在书上完成，教师巡视指导，全班交流汇报。

小结：有的轴对称图形的对称轴只有一条,有的不只一条。

3．练习二十第3题。

要求：先独立想一想，如果还不能解决，在小组内可以利用学具转一转。（教师巡视、指导。）

反馈：教师利用多媒体课件进行反馈

（设计意图：针对不同层次的学生提出不同的要求，让空间感较弱的学生通过学具的操作和多媒体课件的演示，知道旋转可使一个平面图形变成立体图形，切身体会到变换的趣味性和数学的好玩，让学生在玩中学，玩中悟。）

4．练习二十第6题。

数学思想与数学教育篇5

数学思想是人们对数学知识及其形成过程的理性认识和基本看法, 是人类思想文化发展的结晶, 是人类思想文化宝库中的瑰宝, 是数学的精髓, 是数学的灵魂, 对数学教育有根本的指导意义, 也是数学教育的目的所在.

数学教育不是简单的把数学知识传授给学生, 而是应该把数学知识的形成过程体现出来, 让学生充分的去体验数学思维的活动和发展过程, 感受和领悟数学知识中所蕴含的数学思想和数学方法, 学会用数学地去发现问题、提出问题、解决问题, 这就是数学教育的目的所在.

一、数学思想贯穿于数学知识结构之中

数学知识是从历史和近代的数学观点以及教育学的观点组织起来的, 其中逻辑化是一个原则, 更深层次的是概念和命题的本质是什么, 最终要形成怎样的数学结构, 组成怎样的体系, 形成怎样的数学思想方法, 这些极富思想性的问题, 如灵魂一样支配着整个数学知识体系.正是这些思想, 概念和命题才会活起来, 才会相互紧扣, 相互支持, 组成整体, 而不只是孤立的知识点.也就是说概念和命题是定型的、静态的, 而思想是发展的、动态的.因此, 把握好数学知识的形成过程, 以及其中蕴含的数学思想方法, 才能以高观点的角度, 组织奸数学学习材料, 引导学生去体验数学活动的本质, 理解并感受数学思想.

二、数学思想是数学教学设计的核心

一般而言, 数学教学设计是运用系统方法对各种课程资源进行有机整合, 对数学教学过程中相互联系的各部分作出整体安排的一种构想.简言之, 数学教学设计就是把数学教学原理转换成数学材料和数学活动的计划.《数学课程标准》明确指出:“数学教学, 不仅需要教给学生数学知识, 而且还要揭示获取知识的思维过程.”因此, 数学教学设计应当是以课程中蕴含的数学思想为指导, 以揭示其内在的数学本质为目的, 对教学资源和教学活动进行构思和设计.

也就是说, 数学教学设计的核心是要充分体现出数学思想发生、形成、发展的过程, 要通过数学活动渗透现代数学思想, 运用现代教学手段实现的新的认识过程.深刻的思想, 才会产生智慧熠烁的创新设计, 构想出精妙的数学教学情景, 引发学生的思维活动, 挖掘出学生的内在潜能, 使其充分参与数学活动, 体验数学知识的发生过程, 只有这样, 才能实现“以学生的发展为本”的数学教育理念.

案例:《球的体积》

教学目标:掌握球的体积公式;形成观察、估算、猜想、构造和论证等能力;完善认知结构.

教学问题设计:

(1) 提出问题V=?;

(2) 目测观察猜想圆柱、半球、圆锥这三者体积的大小关系 (图一) :

(3) 由圆柱和圆锥的体积猜想半球的体积;

(4) 细沙实验——验证猜想;

(5) 构造“祖眶定理”, 证明猜想;

(6) 获得半球体积, 从而获得球体公式;

(7) 运用球体公式解决问题;

(8) 小结提问, 布置作业.

以上的教学设计就是以问题的形式, 结合学生已有的知识和经验, 内化了球体体积公式的数学过程.从“目测”到“猜想”, 这是“发现”;从“猜想”到“实验”是强化“发现”, 构造“祖眶定理”, 证明猜想, 则是在内化数学思想由发现到内化的过程, 是在教师的组织、引导、合作下进行的, 而教师的主导作用的发挥完全取决于课前对教学活动的精心设计和对数学知识所蕴含的数学思想的理解与运用, 学生在目测、猜想、实验的过程中, 充分参与了知识的形成过程, 体验感受了数学思考的活动, 使学习活动变成了学生自主探索、动手实践、合作交流的生动活泼的学习氛围, 学习的主体作用得到了充分的体现.

三、数学思想是数学活动的中轴线

一堂课新就新在思维过程上, 高就高在思想性上, 好就好在学生参与活动的程度上.数学教学活动应突出数学知识发生的活动过程, 强调数学知识与数学思想方法的形成过程, 就是要让学生在思维活动过程中学会数学地思考问题, 体验数学思想, 参与数学模型和数学知识的建构, 逐步形成数学思想方法, 提升学生的观察力、分析力和创造力.

所以, 组织数学教学活动要以数学思想统帅数学活动过程, 以学生的数学思想方法形成和创造精神的培养为目标, 使教学的每个阶段成为形成数学思想, 学习研究方法的有效环节.其次要把握好数学知识内在的逻辑结构, 运用教育学、心理学的认知规律, 安排思维活动的方式和深广度, 把教师启发讲解和学生独立思考巧妙衔接, 合情推理与演绎推理恰当结合, 以发现、探索、研究的方式建构数学教学活动过程.

实践证明如下的设计是具思想性和有效性的:

问题情境:包括实例、情景、问题、叙述等 (意图:提出问题)

学生活动:包括观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、建立模型、提出方法等个体活动, 也包括讨论、合作、交流、互动等小组活动; (意图:体验数学)

意义建构:包括经历过程、感受意义、形成表象、自我表征等. (意图:感知数学)

数学理论:包括概念定义、定理叙述、模型描述、算法程序等. (意图:建立数学)

数学运用:包括辨别、解释、解决简单问题、解决复杂问题等. (意图:运用数学)

回顾反思:包括回顾、总结、联系、整合、拓广、创新、凝缩 (由过程到对象) 等. (意图:理解数学)

四、教学实录

案例:函数的概念

1. 问题情境

在现实生活中, 我们可能会遇到下列问题:

(1) 估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从人口统计年鉴中可以查到我国从1949年至1999年人口数据资料如表所示, 你能根据这个表说出我国人口的变化情况吗?