安排模型

安排模型（共4篇）

安排模型 篇1

1 模型的建立

病床的安排是目前医院面临的十分棘手的问题之一。而医院工作效率与管理状况主要是由病床周转率, 病人平均逗留时间和平均等待队列长三个指标来衡量。所以本模型考虑这三者为合理的病床利用评价指标体系。

由于模型限制因素较多, 比较复杂, 采用分步分析的方法解决问题。

首先, 我们从病人角度出发。假设医院床位资源无限 (即病人入院无等待) 以病人在系统中逗留时间为主要指标, 结合医院规定做出如下分析:

(1) 由于医院规定周一周三进行白内障手术, 可分析出不同病人在一周内不同时间来门诊其逗留时间是有区别的, 因此我们一周为单位, 把病人分为五种, 分别对于一周内不同日期门诊的各种病人进行安排, 进而准确地确定其逗留时间。这里安排时基于同种病人之间遵循FCFS (即先来先到) , 而异种病人有优先级的区分。

(2) 对医院已给的数据进行分析, 统计可得出术后恢复时间。由于各种病的术后恢复时间各不相同, 可得到统计结果:

根据统计数据, 安排病人手术时间后就可以根据术后平均恢复时间计算出出院时间, 进而确定其逗留时间。

(3) 在上述考虑基础上对不同病人在不同日期门诊对其入院时间、手术时间和出院时间进行初步排表。通过病人逗留时间等于出院时间减去门诊时间可计算得每种病逗留时间, 并进一步算出平均逗留时间。

(4) 确定白内障患者入院时间:由于白内障患者手术时间安排的特殊性, 为了简化模型, 规定白内障 (双) 患者周日入院。

(5) 确定白内障 (双) 患者周日入院后, 在考虑其平均恢复时间一定的条件下得出这种病患第二周周六出院。考虑每天出院人数一定, 所以尽量调整其他病患周六不出院。

(6) 一周内每天出入院病人数应保持平衡, 得到病床安排优化表。

这里定义Te为所有病人无队长住院时间的期望:

Te=518.867%+625.283%+1111.886%+12.5732%+718.29%=9.07 (天)

其次, 由于实际情况经常有排队现象存在, 所以应该考虑平均等待队长这个因素。

我们考虑到医院排队问题符合M/M/C模型, 下面通过合理利用该模型以及考虑更多限制条件如每天手术量, 每天出入院病人数等来得出较完善的医院病床安排方案。

M/M/C模型为输入过程 (病人到达) 为泊松输入, 共有C个服务窗口 (病床) 的排队系统模型。

由于病人到达医院的平均速率基本满足泊松分布的条件, 大量实践证明:这种假设是有效的。

泊松分布率为:

P{X=k}=λke-λ/k! (λ为常数, k=0, 1, 2, …)

即在时间T内有k位病人到达的概率为:

P= (λT) ke-λT/k!,

其中, λT是在时间T内病人到达的顾客数, λ为平均到达率, 即每天来就诊的病人数。由统计可得λ≈5.113。

该模型的主要数量指标符号可表示为:

Ls:表示系统中的病人数, 包括排队等候病床和正在接受医治的所有病人 (也称平均队长) ;

Lq:表示医院里排队等待病床的病人数 (也称平均等待队列长) ;

Tq:表示病人在医院里的平均等待时间 (即平均排队等待时间) ;

Ts:表示病人在医院里的平均逗留时间 (包括病人等待入院时间+手术前准备时间+手术后住院时间) ;

λ:表示病人的平均到达率 (即每天来就诊的病人数) ;

μ:表示病床的接纳率 (即平均每天每张病床接纳的病人数) ;

ρ:表示服务强度, 其值为有效的平均到达率λ与 (病床接纳率μ×C) 之比, 即ρ=λ/Cμ。

根据M/M/C模型 (C=79) , 每个病床接纳率是一样的, 此时病床任一时刻病人数为n的概率为:Pn=P{N=n};特别是n=0时为Po, Po为该病床台全部空闲 (因病人数为0) 的概率。根据排队理论及概率统计知识, 可得:

undefined

此时, 模型的性能指标如下

(1) 平均等待队列长

(2) 病人在医院里平均等待时间

根据上述方程式进行编程, 对各运行结果进行比较得出最佳的μ≈0.115 (Cμ≈9) 。

通过所编程序及计算, 我们可得到以下各值:

Lq=31.13 (人) ;

Tq=6.09 (天) ;

A=11.40%;

根据所求数据, 我们得到了有平均等待队长的等待时间Tq=6.09 (天) , 也就是无日期差别情况下每个病人平均大约要等6天才可以住院, 但是该问题有病种和手术日期差别 (白内障周一周三做, 青光眼、视网膜疾病周一周三不做) , 所以病人在平均等待6天后按照我们表二的安排住进医院, 即可解决平均等待队列越来越长的问题。由于模型中已经确立出医院每天允许接纳的病人数 (即Cμ) , 结合表二可定出第二天的拟出院病人数, 同时也能确定第二天应该安排哪些病人住院。

病人在系统中逗留的时间Ts=平均住院时间Te+平均等待时间Tq

分析给出原始安排和优化模型的各项指标:

摘要：该数学模型以减小平均逗留时间作为目标, 采用异种病间有优先级, 同种病间FCFS的规则及医院规定得到床位安排优化表。再结合改进后的M/M/C模型, 通过大量数据计算得到最优的平均等待时间, 从而得到本模型中病人在系统中的平均逗留时间。调整时间指标后, 可以通过改变医院已定手术时间规则来满足平均逗留时间最短, 以确定出此时合理安排病床的方案。

关键词：排队论,M/M/C模型,平均逗留时间,平均等待队列长,病床周转率

参考文献

[1]覃志奎.基于银行排队问题的数学模型及求解[J].大众科技, 2008, (3) .

[2]谭浩强.C程序设计 (第三版) [M].北京:清华大学出版社, 2005.

数学模型之眼科病床的合理安排 篇2

医院病床安排关系到患者能否及时就医.我国学者对其进行的专门研究是近几年才开始.研究中针对模型建立[1,2]的讨论所占比例尚不足10%,算法与程序的开发滞后,大多数的研究尚停留于对病床效率的评价层面[3,4,5,6,7,8].

现有某医院眼科门诊每天开放,住院部共有病床79张.该医院眼科手术主要分四类:白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤.白内障没有急症,术前准备时间1~2天.每周一、三做白内障手术,若是做双,则周一先做一只,周三再做另一只.外伤通常属于急症,病床有空时立即安排住院,住院第二天安排手术.其他眼科疾病急症较少,大致住院后2~3天内可以手术,但术后观察时间较长.通常情况下白内障手术与其他眼科手术(急症除外)不安排在同一天做.当前该住院部对全体非急症病人按照FCFS规则安排住院,但等待住院病人队列越来越长.本文将针对该问题确定排队算法并建立数学模型.

假设:(1)外伤病人均视为急症,其他眼科疾病均不考虑急症;(2)白内障手术只安排在周一、三,除急症外的其他病人不安排在周一、三;(3)将某一天门诊的所有病人均视为同时到达,亦即以天为时间基本单位.

约定:(1)将2008-7-13(星期日)视为第1天,以此类推;(2)将白内障(单眼)病人视为第1类病人,依次编号:2白内障(双眼)、3外伤、4视网膜疾病、5青光眼;(3)将此61天中所到来的530位病人按门诊先后顺序且对于同一天门诊的按病人类别编号的由小到大顺序依次编号.

定义:(1)将入院人数等于出院人数的状态称为稳定状态;(2)将术前准备时间的病床等待称为有效病床等待,对应地将除此之外的病床等待称为无效病床等待(譬如白内障病人自入院到手术的这段时间,存在两方面的病床等待:一方面是术前准备时间的等待,另一方面是周一、三的等待,前者属于有效病床等待,后者则属于无效病床等待);(3)将尚有病人等待入院时的病床空闲称为非健康病床空闲,相应地将无病人等待入院时的病床空闲称为健康病床空闲;(4)将某类病人的平均入院等待时间明显大于其他病人的现象称为某类病人入院受阻.

2. 算法的提出

由病人就医的紧急程度考虑急症病人无论何时始终排在队列之首,享受优先权服务,且不同日期到来的急症病人按FCFS规则排列;除急症外的其他病人则根据需占用病床日的由小到大顺序,将在同一天到达的病人按白内障(单)、白内障(双)、青光眼、视网膜疾病的顺序排队———按天排队.

为提高病床利用率同时又避免出现非健康病床空闲,按照有效病床等待时间确立病人的可入院时间.但是各类病人在一周内的可入院概率也因此不尽相同,且主要体现在白内障病人.为避免出现白内障病人入院受阻,采取白内障病人局部向前插队的方案:白内障(单眼)向前插队p天,白内障(双眼)向前插队q天,且p,q∈{0,1,2,3,4,5,6}.

3. 模型的建立

由程序验证知病人到来时间分布与服务时间分布均服从指数分布,又因病人来源无限,从而可在稳定状态(从第26天开始)下建立无限源排队系统(M/M/c/∞).排队规则采取急症优先服务、非急症按天排队、白内障向前插队.

模型评价基本要求:每天平均到来人数/每天平均服务人数<1;合理性要求:各类非急症病人的平均入院等待时间相当;优劣判断:(1)非健康病床空闲数(bckx)越少越好;(2)病人的平均入院等待时间(avga)越短越好.

设第i号病人的病人类别代码为ai1,第i号病人入院时间(第x天)为ai3,第i号病人术后观察时间(共x天)为ai4,第i号病人出院时间(第x天)为ai5,其中i=1,2,…,530,则

设第j天的入院名额为nj,第j天病人都不出院时的可入院人数为mj,其中j=1,2,…,61,则

稳定状态下每天平均服务人数

若病人在此61天中未入院,定义ai3=0,并且设第i号病人门诊时间(第x天)为ai2,则第i号病人的入院等待时间(共x天)

第k类病人的平均入院等待时间

病人的平均入院等待时间

第j天门诊病人的平均入院等待时间

4. 结论

无论白内障病人在定义范围内提前插队多少天,均满足每天平均到来人数/每天平均服务人数<1;当p=2,q=4时,stda取得最小值0.1583,此时各类非急症病人的平均入院等待时间最为相当.故而确定插队参数p=2,q=4.

此时,每天平均服务人数由8.61人增加至9.36人,将有效缩短队列长度;不存在非健康病床空闲,可见病床资源得到了最大限度地利用.

同时由表1可见,采用新的排队规则后,不仅大部分急症病人可实现当天入院,以便得到更加及时的治疗;而且非急症病人的平均入院等待时间减少2天左右,缓解了病人的排队等待,将间接缩短排队队列长度.

再由图1知,病人的平均入院等待时间呈减小趋势,再次说明该模型有效缓解了病人的排队等待,正在逐渐缩短病人的排队等待队列.

另外,由程序运行所得矩阵,可在病人门诊时提前告知其大概可入院时间以及出院时间等.

摘要：为解决某医院眼科病床按照FCFS安排时存在队列越来越长的问题,提出了一种基于FCFS和优先权服务的局部插队算法.该算法建立了以急症病人享有优先权服务,并且首先将在同一天到达的非急症病人按白内障(单眼)、白内障(双眼)、青光眼、视网膜疾病的顺序实现排队,其次在具体讨论病人入院时,采取白内障病人一定程度上享有提前入院的权利为排队规则的无限源排队系统(M/M/c/∞).最后Matlab编程模拟排队系统,计算出插队参数,实现医院病床资源的最大利用,病人得到及时治疗,以及病人门诊时可预测其入院时间、出院时间等.

关键词：病床安排,FCFS,优先权服务,局部插队

参考文献

[1]邹志康,刘巽明.战时医院船床位利用排队系统研究[J].海军医学杂志,2003,24(2):139-142.

[2]韩新焕,朱萌纾,吴静.医院管理系统中排队模型的优化决策分析[J].医学数学模型探讨,2008,21(1):16-17.

[3]崔洋海,何钦成.数据包络分析方法在大型综合医院相对效率评价中的应用[J].中国卫生统计,2008,25(1):18-21.

[4]池雄.应用秩和比法对某企业医院科室病床利用情况的综合评价[J].郧阳医学院学报,2005,24(4):222-224.

[5]钟贵陵,王晓明.床位利用指数法、目标分析最优指数法和秩和比法在医院床位利用效率评价中的应用[J].中国医院统计,2004,11(2):114-116.

[6]高丽娟,孙大军,栾霞.用密切值法对医院医疗质量综合评价[J].中国医院统计,2008,15(2):159-161.

[7]张文新,张博恒,张渊.缩短平均住院日有效地提高医院的效率和效益[J].中国卫生经济,2007,26(7):36-37.

基于排队论的病床安排模型的研究 篇3

关键词：排队论,病床安排,模型优化

1. 引言

随着医疗水平和服务水平的提高, 病床利用的最优化问题得到了广泛的关注。排队论是运筹学的一个分支, 研究目的是要回答如何改进服务机构或组织被服务的对象, 使得某种指标达到最优的问题[1,4]。所以用排队论方法研究病床安排问题就在这种背景环境下应运而生。王其学从医疗水平的进一步提高方面对病床利用率的优化进行了研究[2]。杨桦从增加病床的数量方面对病床利用率的优化进行了研究[3]。本文将根据所有病人的住院时间长短的规律, 将病床分为短期、中期、长期三类, 构造病床分配模型, 运用排队理论中的稳定状态平衡方程, 对病床分布情况进行分类优化, 提高病床利用率, 并用实例进行验证。

2. 排队论原理

排队论也称随机服务系统理论。任何一个顾客通过排队服务系统总要经过如下过程:顾客到达、排队等候、接受服务、离去。于是, 任何一个排队系统都由输入、队列、服务台和输出四部分构成, 可以用图2.1来加以描述。

解排队问题的目的, 就是研究排队系统运行的效率, 估计服务质量, 确定系统参数的最优值, 以确定系统结构是否合理, 研究设计改进措施等。所以必须确定用以判断系统运行优劣的基本数量指标, 指标有平均排队队长、平均逗留时间、服务台的利用率等。

3. 病床分配模型

3.1 模型建立

根据排队论原理[1]可知, 对于病床分配来说, 是一个等待制的随机服务系统, 其服务次序在一般情况下遵循先到先服务的原则。在理论上病人是无限的 (就某一天来说, 各类病人随机、无限制到达) , 病人单个到来, 相互独立;单队, 对队长没有限制;多服务台, 各病人的服务时间是相互独立的。

假设患者的到达形成泊松流, 平均到达率设为λ。可将医院的床位等效为系统的服务台, 假设各服务台的服务时间服从负指数分布, 各服务台的工作是相互独立的, 平均服务率为μ, 系统的最大容纳量为N (N>=c) , 当系统的容量达到饱和 (即系统内有N个患者) 时, 只有c个正在接受服务, 其余 (N-c) 个在排队等待, 若再有患者到来将被系统拒绝而离去, 因此系统将会产生损失率。当系统状态为n, 每个服务台的服务率为μ, 则系统的总服务率为:当0<n<c时为μ, 当n>=c时为cμ, 令为系统的总服务强度。

经以上分析可知, 病床分配符合排队论模型中的M/M/c/N/∞模型。该系统的状态转移如下图所示。

根据图3.1, 可得稳定状态平衡方程:

3.2 指标函数

系统空闲的概率为:

系统的容纳n人的概率 (n为正数) :

利用以上公式求解可解得系统的运营指标如下所示:

4. 实例分析

已知某医院眼科共有四种病床79张, 分别为白内障 (单眼) 病床、白内障 (双眼) 病床、青光眼疾病病床和视网膜疾病病床。以下将通过本文提供的运营指标对各类病床的利用率进行评估。

4.1 数据收集整理

为确定病人到达情况和服务情况, 由专人对该眼科各类病人在一段时间内每天到达门诊的人数和出院人数进行了调查。统计得出, 这期间白内障 (单眼) 、白内障 (双眼) 、青光眼疾病、视网膜疾病患者到达的总人数分别为:72、82、39、101, 平均每天到达人数为:1.600、2.216、1.054、2.658。各类患者出院的总人数分别为:72、82、39、101, 平均每天被服务的人数为:1.640、2.161、1002、2.590。

根据统计数据计算可知:白内障 (单眼) 、白内障 (双眼) 、青光眼、视网膜疾病患者平均到达率λ分别为1.600、2.216、1.054、2658 (单位:人/天) , 各患者平均每天出院人数1.640、2.161、1.002、2.590 (单位:人/天) , 从而可以求得白内障 (单眼) 、白内障 (双眼) 、青光眼疾病、视网膜疾病患者各种病床服务率μ分别为5236、8.561、10.487、12.545 (单位:人/天) 。

4.2 运营指标计算

将以上所得数据代入 (3-1) 、 (3-2) 和 (3-3) 式可知:白内障 (单眼) 、白内障 (双眼) 、青光眼疾病、视网膜疾病患者Ls (平均队长) 分别为18.867、25.698、13.923、33.731 (单位:个) , 白内 (单眼) 、白内障 (双眼) 、青光眼疾病、视网膜疾病患者Wq (平均逗留时间) 分别为17.902、21.073、22.743、25.089 (单位:天) 。计算得到的结果与我们的观察是一致的, 存在比较严重的排队等待现象, 各种患者的平均排队长度分别为23人, 平均逗留时间约为22天, 由此可知, 此排队系统严重影响了病床利用率, 不利于该眼科住院部工作的进行。下面, 本文将根据排队论相关理论, 对病床分配模型进行优化。

5. 模型优化

5.1 优化方法

通过对已有数据的拟合, 可以得到如下拟合曲线图:

从图中我们发现:病人的住院时间长短呈现出阶段性变化规律, 如1~7天为一阶段, 8~12天为一阶段, 13天以上为一阶段。所以结合这一现象及现在医院的治疗周期我们将病床分为了短、中、长三类, 三种病床数目分别设为c1, c2, c3, 同时根据现在医院的治疗状况, 我们把住院期分为以下几个阶段:

第一阶段:1~7天, 即占用病床的时间为1~7天, 此类病人被安排在短期病床接受治疗。

第二阶段:8~14天, 即占用病床的时间为8~14天, 此类病人被安排在中期病床接受治疗。

第三阶段:15天以上, 即占用病床的时间为15天以上, 此类病人被安排在长期病床接受治疗。

为了使系统达到动态平衡, 令c*u=p*λ上式中为服务台个数;μ为每个服务台的平均服务率;ρ为单位时间各类病人就诊的人数的概率;λ为日平均就诊的病人数。

以上结果表示短期、中期、长期病床分别为20张、50张和9张时可达到最佳分配效果。

从而根据 (3-1) 、 (3-2) 和 (3-3) 式可得出优化后的运营指标:

5.2 结果分析

由以上结果可知, 各类病床的平均队长约为15人, 平均逗留时间低于12天, 相比之下, 优化了的模型平均队长是原模型中的65%, 平均逗留时间为原模型中的55%, 达到了提高病床利用率的效果。

6. 总结

优化后的病床安排模型充分考虑到各类眼科病人住院时间的长短问题, 根据病人住院的时间长短将病床进行合理的分配。模型尽可能保证各种运营的旨标达到最优, 并能使系统中排队等待的病人数达到动态平衡甚至越来越少, 减少了病人的抱怨率, 提高了病床利用率。

参考文献

[1]韩中庚.数学建模方法及其应用.北京:高等教育出版社, 2005.6.

[2]王其学.排队论原理在医院管理中的应用[J].中国农村卫生事业管理, 1993, 13 (7) :24-26.

[3]熊拥军.排队理论在电子文献服务系统中的应用[J].应用实践, 2008, (11) :82-85.

安排模型 篇4

在风险投资的融资阶段,投资者通过了解、分析风险投资家的背景信息(诸如以往业绩、信用、品德、知识水平等),然后签订契约,将资金交给风险投资家运作。只有风险投资家能够了解和控制运作的具体情况,投资者一般不过问也难以过问具体的运作过程[1][2]。风险投资家掌握了几乎全部的关于风险资本运作的信息,而投资者对风险资本运作过程却只有极少的信息,即在风险投资家与投资者之间存在着严重的信息不对称,掌握了充分信息的风险投资家就有可能采取某些机会主义行为来损害缺乏信息的投资者。在经济学上将这样的关系称为委托与代理关系。经济学上的委托与代理关系泛指任何一种涉及非对称信息的交易,交易中有信息优势的一方称为代理人,另一方称为委托人。这样定义背后隐含的假定是知情者的私人信息(行动或知识)影响不知情者的利益,或者说不知情者不得不为知情者的行为承担风险。[3]

20世纪90年代以前,国外关于这方面的文献主要集中于创业投资决策以及创业投资家的作用方面[2][4][5]。随着博弈论及委托与代理理论在公司金融中的广泛应用,一些学者开始从治理结构的角度研究投资者、风险投资家与创业家的双重委托代理关系[6][7]。在投资者、风险投资家这样一个委托与代理关系中,投资者不能直接观测到风险投资家选择了什么行动,能观测到的只是另一些变量,这些变量由风险投资家的行动和其它一些外生的随机因素共同决定,因而充其量只是风险投资家行动的不完全信息。投资者的问题是如何根据这些观测到的信息,设计奖惩风险投资家的契约,以激励其选择对投资者最有利的行动[8]。文献多从投资者或风险投资家单个方面来研究,下面通过建立一个数学模型来讨论从投资者与风险投资家两个角度考虑的最优契约安排。

二、从投资者角度考虑的最优契约安排

首先假定投资者关注的只是货币收入,也就是说投资者的最优契约是指这样一种契约:使投资者的最终货币收入最大化。

设a为风险投资家工作努力水平的一维变量。θ是不受风险投资家(和投资者)控制的外生随机变量(称为“自然状态”),Θ是θ的取值范围,θ在Θ上的分布函数和密度函数分别为G(θ)和g(θ)。在风险投资家选择行动a后,外生变量θ实现。a和θ共同决定一个可观测的结果x(a,θ)和一个货币收入(产出)π(a,θ),其中π(a,θ)的直接所有权属于投资者。同时假定π是a的严格递增的凹函数,是θ的严格增函数。在这些条件下,投资者的问题是设计一个激励合同s(π),根据观测到的π对风险投资家进行奖惩。

假定投资者和风险投资家的V-N-M期望效用函数分别为v(π-s(π))和u(s(π))-c(a),其中c(a)为风险投资家的努力成本,v′>0,v″≤0;u′>0,u″≤0;c′>0,c″>0。即投资者与风险投资家都是风险规避者或风险中性者,努力的边际负效用是递增的。投资者与风险投资家的利益冲突首先来自于假设$\frac{\partial \pi }{\partial a}＞0$和c′>0:$\frac{\partial \pi }{\partial a}＞0$意味着投资者希望风险投资家多努力,而c′>0意味着风险投资家希望少努力。因此,除非投资者能对风险投资家提供足够的激励,否则,风险投资家不会如投资者所希望的那样努力工作。

在风险投资过程中,可以用来衡量投资者和风险投资家的期望效用的尺度有多种,有经济的,有精神的,有心理的,等等,但主要是经济的。因此,为了方便起见,我们假定仅用货币收入与支出来衡量投资者和风险投资家的期望效用,这时投资者与风险投资家的V-N-M期望效用函数可分别改写为:v=π(a,θ)-s(π(a,θ)),u=s(π(a,θ))-c(a)。

下面讨论s(π(a,θ))的形式。投资者与风险投资家签订契约的目的是为了激励风险投资家努力工作,从而使投资者的货币收入最大化,但是这时也必须满足风险投资家货币收入的增加,否则他们可能不会采取最优的努力水平。因此,风险投资家的货币收入必须与最终货币产出成正比关系,即$\frac{\partial s}{\partial \pi }＞0$。不妨假定s(π(a,θ))由两部分组成:一部分是固定收入,与风险投资基金的净资产总额成正比;另一部分是可变收入,与经营绩效成正比,即与π(a,θ)成正比。(事实上,现实中绝大多数风险投资基金都是这样选择的,只是各自的比例参数不同而已。)由此可得到:s(π(a,θ))=δI+βπ(a,θ),其中I为总投资额,δ为固定收入占总投资额的比例,β为可变收入占货币产出的比例。

另外,由假设c′>0和c″>0,取$c(a)=e+ca+\frac{\lambda }{2}a{}^2$,假设当努力为0时,努力成本为0,当努力在0处有一个微小的增量时,其努力成本的增量也为0,即:c(0)=0,c′(0)=0。这时有$c(a)=\frac{1}{2}\lambda a{}^2$。

由以上分析得到投资者的目标函数为:

$\underset{a,s}{{\displaystyle \text{Μ}\text{a}\text{x}}}{\displaystyle \int [}\pi (a,\theta )-\delta {\rm I}-\beta \pi (a,\theta )]g(\theta )d\theta$

投资者的问题就是选择a和s(π(a,θ))最大化上述期望效用函数。

设投资者与风险投资家都是风险规避的,风险规避度分别为ρV、ρA。则投资者与风险投资家的货币收入分别是:

mV=-δI+(1-β)(ha+t+θ)

mA=δI+β(ha+t+θ)-λa2/2

其确定性等价收入分别为:

E(mV)-ρV(1-β)2σ2/2=-α+(1-β)(ha+t)-ρV(1-β)2σ2/2

E(mA)-ρAβ2σ2/2=α+β(ha+t)-ρAβ2σ2/2-λa2/2

其中,ρV(1-β)2σ2/2为投资者的风险成本,ρAβ2σ2/2为风险投资家的风险成本。则投资者的问题为:

$\underset{\alpha ,\beta ,a}{{\displaystyle \text{Μ}\text{a}\text{x}}}-\alpha +(1-\beta )(ha+t)-\rho {}_V(1-\beta ){}^2\sigma {}^2/2$

投资者在最大化自己的确定性等价收入时,遇到来自风险投资家的两个约束:

其一是参与约束(IR),即风险投资家的确定性等价收入必须不小于不接受合同时的保留收入$\overline{m}$,即:

$\alpha +\beta (ha+t)-\rho {}_A\beta {}^2\sigma {}^2/2-\lambda a{}^2/2\ge \overline{m}$

其二是激励相容约束(IC),风险投资家也要最大化自己的收入,即:

$\underset{a}{{\displaystyle \text{Μ}\text{a}\text{x}}}\alpha +\beta (ha+t)-\rho {}_A\beta {}^2\sigma {}^2/2-\lambda a{}^2/2$

IC的一阶条件为:a=hβ/λ

总结以上所述,得到从投资者角度考虑的最优契约模型为:

$\begin{array}{l}\underset{\alpha ,\beta ,a}{{\displaystyle \text{Μ}\text{a}\text{x}}}-\alpha +(1-\beta )(ha+t)-\rho {}_V(1-\beta ){}^2\sigma {}^2/2\\ s.t.({\rm I}R)\alpha +\beta (ha+t)-\rho {}_A\beta {}^2\sigma {}^2/2-\lambda a{}^2/2\ge \overline{m}\\ ({\rm I}C)a=h\beta /\lambda \end{array}$

将IR、IC条件代入目标函数,解得:

$\begin{array}{l}\beta {}^{*}=(h{}^2+\lambda \rho {}_V\sigma {}^2)/(h{}^2+\lambda \sigma {}^2(\rho {}_V+\rho {}_A))\\ (\delta {\rm I}){}^{*}=\overline{m}+(\lambda \rho {}_A\sigma {}^2-h{}^2)(h{}^2+\lambda \rho {}_V\sigma {}^2){}^2/2\lambda (h{}^2+\lambda \sigma {}^2(\rho {}_V+\rho {}_A)){}^2\\ -t(h{}^2+\lambda \rho {}_v\sigma {}^2)/(h{}^2+\lambda \sigma {}^2(\rho {}_V+\rho {}_A))\\ a{}^{*}=h(h{}^2+\lambda \rho {}_V\sigma {}^2)/\lambda (h{}^2+\lambda \sigma {}^2(\rho {}_V+\rho {}_A))\end{array}$

由以上结果可得,β*/λ、β*/ρA、β*/σ2 均小于0,也就是说β*是λ、ρA、σ2的减函数,即λ、ρA、σ2越大,β*越小,这意味着管理人越是风险规避,收益结果方差越大,越是害怕努力工作,那么他承担的风险越小;而β*/ρV、β*/h2大于0,即β*是ρV和h2的增函数,这意味着投资者越是规避风险,风险投资家的努力边际收益越大,则风险投资家承担的风险越大。极端情况下,如果风险投资家风险中性,即ρA=0,则β*=1,即风险投资家承担全部风险;如果投资者极端风险规避,ρV→∞,则β*=1,风险投资家承担全部的风险。在这两种情况下,投资者只获得一个固定的收入。如果ρA→∞,则β*=0,风险投资家不承担风险,投资者承担全部风险,风险投资家获得一个固定收入α*。

三、从风险投资家角度考虑的最优契约安排

下面从风险投资家角度考虑的最优契约安排。风险投资家的目的为了最大化其确定性等价收入,即风险投资家的目标函数为:

$\underset{\alpha ,\beta ,a}{{\displaystyle \text{Μ}\text{a}\text{x}}}\alpha +\beta (ha+t)-\rho {}_A\beta {}^2\sigma {}^2/2-\lambda a{}^2/2$

风险投资家在最大化其确定性等价收入时,也受到来自投资者的两个约束:

IR:-α+(1-β)(ha+t)-ρV(1-β)2σ2/2≥RmI

IC:Max-α+(1-β)(ha+t)-ρV(1-β)2σ2/2

其中,Rm为投资者的资金的机会成本率,包括无风险利率和风险补偿率。

IC的一阶条件为:$a=\frac{\rho {}_V}{h}(1-\beta )\sigma {}^2-\frac{1}{h}$。

由此式可知,在不考虑风险投资家的利益时,从投资者的收益最大化来考察,a与β呈反向运动。即努力水平a越高时,总产出水平上升,则可以减小β,即给风险投资家相对较少的份额。因此,从风险投资家角度考虑的最优契约安排模型为:

$\underset{\alpha ,\beta ,a}{{\displaystyle \text{Μ}\text{a}\text{x}}}\alpha +\beta (ha+t)-\rho {}_A\beta {}^2\sigma {}^2/2-\lambda a{}^2/2$

s.t. IR:-α+(1-β)(ha+t)-ρV(1-β)2σ2/2≥RmI

IC:$a=\frac{\rho {}_V}{h}(1-\beta )\sigma {}^2-\frac{t}{h}$

对上述模型求解得:

$\begin{array}{l}\beta {}^{**}=(\lambda \rho {}_V\sigma {}^2-\lambda t)\rho {}_V/[\lambda \rho {}_V^2\sigma {}^2+h{}^2(\rho {}_V+\rho {}_A)]\\ a{}^{**}=[h(\rho {}_V+\rho {}_A)(\rho {}_V\sigma {}^2-t)]/[\lambda \rho {}_V^2\sigma {}^2+h{}^2(\rho {}_V+\rho {}_A)]\\ \alpha {}^{**}=\frac{1}{2}\rho {}_V\sigma {}^2\left[\frac{2h{}^2\rho {}_v+2h{}^2\rho {}_A+\lambda t\rho {}_V}{2\lambda \rho {}_V^2\sigma {}^2+2h{}^2(\rho {}_V+\rho {}_A)}\right]{}^2-R{}_m{\rm I}\end{array}$

对于β**与λ、ρA、σ2、ρV、h2的关系,也可作如前一样的分析。但与β*不同的是,当ρA→0时,β**,这说明,如果从风险投资家角度来设计最优契约时,即使风险投资家是风险中性的,他也不会承担全部风险。

四、风险投资中的最优契约安排

由以上两个模型的结果可看到,从投资者角度考虑的最优的β*、α*和a*与从风险投资家角度考虑的最优的β**、α**和a**是不同的。作为理性的人,投资者和风险投资家都是从自身利益的最大化出发的,而在给定努力水平的情况下,二者的利益是此消彼长的。因此,当他们从各自利益最大化出发时,必然选择不同代入β、α和a。现在来比较一下β*、α*、a*和β**、α**、a**的大小。

$\begin{array}{l}2\lambda h{}^2\rho {}_V^2\sigma {}^2+h{}^4(\rho {}_V+\rho {}_A)-2\lambda {}^2\rho {}_V^2\sigma {}^4-\lambda {}^2\rho {}_V\rho {}_A^2\sigma {}^4\\ +t\lambda {}^2\sigma {}^2(\rho {}_V+\rho {}_A)+\lambda h{}^{2}t(\rho {}_V+\rho {}_A)\ge 0\\ \Rightarrow a{}^{*}\ge a{}^{**},else,a{}^{*}＜a{}^{**}\\ h{}^4(\rho {}_V+\rho {}_A)+h{}^2\lambda \rho {}_V^2\sigma {}^2+\lambda \rho {}_V\rho {}_{A}h{}^2\sigma {}^2-\lambda \rho {}_V^2\rho {}_A\sigma {}^4\\ +\lambda t\rho {}_V^2\sigma {}^2+\lambda {}^{2}t\rho {}_V\rho {}_A\sigma {}^2+h{}^2\lambda t\rho {}_V\ge 0\\ \Rightarrow \beta {}^{*}\ge \beta {}^{**},esle,\beta ＜\beta {}^{**}\\ \overline{m}+R{}_m{\rm I}+\frac{(\lambda \rho {}_A\sigma {}^2-h{}^2)(h{}^2+\lambda \rho {}_V\sigma {}^2){\rm I}2}{2\lambda (h{}^2+\lambda \sigma {}^2(\rho {}_V+\rho {}_A)){}^2}-\frac{t(h{}^2+\lambda \rho {}_V\sigma {}^2)}{h{}^2+\lambda \sigma {}^2(\rho {}_V+\rho {}_A)}\\ -\frac{\rho {}_V\sigma {}^2(2h{}^2\rho {}_V+2h{}^2\rho {}_A+\lambda t\rho {}_t){}^2}{2[\lambda \rho {}_V^2\sigma {}^2+2h{}^2(\rho {}_V+\rho {}_A)]{}^2}\ge 0\\ \Rightarrow \alpha {}^{*}\ge \alpha {}^{**},else,\alpha {}^{*}＜\alpha {}^{**}\end{array}$

一般来说,β*、β**、α*、α**、a*、a**的大小受各参数取值的影响较大,而且在通常情况下有β*≠β**,a*≠a**,α*≠α**。在投资者与风险投资家签订契约时,又必须确定一个统一的最优的β′和α′,以激励风险投资家取一个对双方都较优的a′。β′必须离β*、β**都较近,即应取在β*和β**之间;同理确定α′和a′。至于具体取什么值,则与投资者与风险投资家的讨价还价能力及心理预期有关。因此,风险资金筹集过程中,投资者与风险投资家之间的最优契约安排为:

$\begin{array}{l}\beta \in \{\begin{array}{l}[\beta {}^{*},\beta {}^{**}],if\beta {}^{*}＜\beta {}^{**}\\ \beta {}^{*}or\beta {}^{**},if\beta {}^{*}=\beta {}^{**}\\ [\beta {}^{**},\beta {}^{*}],if\beta {}^{**}＜\beta {}^{*}\end{array}\\ {\alpha }^{\prime }\in \{\begin{array}{l}[\alpha {}^{*},\alpha {}^{**}],if\alpha {}^{*}＜\alpha {}^{**}\\ \alpha {}^{*}or\alpha {}^{**},if\alpha {}^{*}=\alpha {}^{**}\\ [\alpha {}^{**},\alpha {}^{*}],if\alpha {}^{*}\ge \alpha {}^{**}\end{array}\\ a^{\prime }\in \{\begin{array}{l}[a{}^{*},a{}^{**}],ifa{}^{*}＜a{}^{**}\\ a{}^{*}ora{}^{**},ifa{}^{*}=a{}^{**}\\ [a{}^{**},a{}^{*}],ifa{}^{*}\ge a{}^{**}\end{array}\end{array}$

五、结束语

风险投资中投资者与风险投资家之间的关系是一种委托与代理关系,投资者和风险投资家的目的都是实现收益最大化。投资契约的收益分配直接影响到风险投资家的努力水平,从而影响到最终的投资收益。在选择契约安排时,投资者和风险投资家都从自身角度来考虑,因而对收益分配系数的确定是不同的。只有从投资者和风险投资家角度分析最优契约安排,并确定了一个投资契约安排的区间,才能对中国风险投资实践有一个参考作用。

摘要：风险投资中投资者与风险投资家之间的关系是一种委托与代理关系,投资者和风险投资家的目的都是实现收益最大化。融资契约收益的分配直接影响到风险投资家的努力水平,从而影响到最终的投资收益。因此,只有从投资者和风险投资家两个角度分析风险投资中的最优契约安排,才能给出最优契约安排的选择区间。

关键词：风险投资,委托与代理理论,契约安排

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