古典概率教学的意义论文

2024-06-30

古典概率教学的意义论文（共4篇）

古典概率教学的意义论文篇1

1. 建立适当的概率计算模型

求事件的概率时, 许多学生往往不知怎么入手, 这就要求教师根据题中所给条件, 通过联想、转化、抽象, 找到问题的关键所在.如能建立适当的概率计算模型, 既新颖又巧妙, 就能使问题迎刃而解.在古典概率的计算中, 通常有球入盒子模型、抽样检查模型、电路开关模型等.

例1求参加某次集会的n个人中生日都不相同的概率 (1≤n≤365) .

分析这就是概率论历史上一个颇为有名的问题.在解题中我们建立球入盒子的数学模型.把一年的365天看做365个盒子, n个人看做n个球.每只盒子投球数不限, 即每个人的生日是随机的, 可以是365天中的任意一天.若n个人的生日都不相同, 也就是每个球都要投入一个盒子且每个盒子只能投入一个球.

解设事件A={n个人中生日都不相同}, 基本事件总数=365n, 事件A所包含的基本事件数=Pn365.故所求的概率当n=23时, P (A) ≈0.4927, 接近0.5;当n=50时, P (A) ≈0.0296, 这个概率是意外的小, 有点超出我们的想象. (说明:用Excel来计算上面的结果非常方便简单)

2. 运用概率公式将问题进行转化

兵法云:“正面攻不上, 侧面攻.”对于较为复杂的事件, 有时很难划分成几个简单的事件, 难以进行有关概率的计算.这就有必要运用概率的某些性质, 将问题进行转化, 把复杂事件转化为较少的几个简单的事件之和, 从而使所求概率问题变得清晰起来.最常用的性质有:逆事件的概率公式, 概率的加法公式和乘法公式, 全概率公式等.

例2在装有n个产品的箱子中, 有m个次品.现从箱中取k个产品, 问:其中有次品的概率是多少? (m

分析从箱中取得k个产品中有次品的事件, 情况比较复杂;如考虑它的对立事件, 即k个产品中没有一个次品, 就比较容易.

解设事件A={k个产品有次品}, 则它的对立事件A={k个产品没有一个次品}.

3. 力求一题多解, 培养学生的发散思维能力

在学习古典概率时, 学生普遍反映不易掌握其规律, 习题难做.即使好不容易找到了一种解法, 其结果一般也不好验证.这就要求教师在概率的教学中, 拓广思维空间, 培养学生的发散思维能力, 引导学生一题多解、一题多用.如能通过多种解答得出相同答案, 则答案是正确的概率就相当大了.

例3袋中有a只黑球, b只白球, 它们除颜色不同外, 没有其他差别, 现在把球随机地一只一只摸出来, 求第k次摸出的球是黑球的概率 (1≤k≤a+b) .

分析一把a只黑球及b只白球都看做是不同的, 我们将所有球都一一摸出依次放在排成一直线的a+b个位置上, 第k个位置只能被任一个黑球占据.

解法一设事件A={第k次摸出的球是黑球} (下同) , 基本事件总数= (a+b) !.

事件A所包含的基本事件数= (a+b-1) !, 故所求的概率

分析二仍把a只黑球及b只白球都看做是不同的, 只考虑前k次摸球, 第k次摸到黑球.

解法二基本事件总数=Pka+b.事件A所包含的基本事件数=a Pk-1a+b-1, 故所求概率

分析三对同色球不加以区别, 仍把摸出的球依次放在排成一直线的a+b个位置上.基本事件总数就是从a+b个元素中取出a个元素的组合, 事件A所包含的基本事件数就是从a+b-1个元素中取出a-1个元素的组合.

解法三基本事件总数=Caa+b, 事件A所包含的基本事件数为Ca+a-1b-1, 故所求概率

分析四显然每一个球在第k被摸出是等可能的, 只考虑第k次摸球情况.

解法四基本事件总数=a+b, 事件A所包含的基本事件数=a, 故所求的概率

说明解法一、解法二、解法四是把球看做“有个性”的, 因此考虑球的顺序, 用排列;而解法三对同色球不加区别, 因此不考虑顺序, 用组合.有趣的是本题的结果与k无关, 这和我们平常生活经验是一致的.例如在体育比赛中进行抽签, 对各队机会均等, 与抽签的先后次序无关.本题是一个不放回的抽样问题, 有一定的典型性.这里的“白球”、“黑球”可换为“甲物”、“乙物”或“合格品”、“不合格品”等.

4. 理论联系实际, 激发学习兴趣

“实践是检验真理的唯一标准”.随着科学技术的高速发展, 概率统计已被广泛地应用于各个科学分支和各个生产部门, 并渗入到我们生活的诸多方面, 因而它已成为全民文化素质的一部分.在现实生活中, 我们经常接触到如彩票、玩扑克牌、商场抽奖等, 我们都可以去计算一些概率问题.只有把所学到的知识运用到实践中去, 才能真正体现它的价值, 并且更能激发学习兴趣, 提高分析问题和解决问题的能力.

例4某大型商场举行有奖销售, 20个乒乓球, 10个上面写上10分, 10个上面写上5分, 抽奖者从中任取10个, 把乒乓球上面的分数相加, 求下面各等级中奖的概率.

一等奖:100分或50分;二等奖:95分或55分;三等奖:90分或60分;四等奖:85分或65分;五等奖:80分或70分;六等奖:75分.

分析一等奖的发生:10分的乒乓球10个或5分的乒乓球10个;二等奖的发生:10分的乒乓球9个和5分乒乓球1个或5分的乒乓球9个和10分的乒乓球1个, 其他各奖的发生以此类推.

解基本事件总数=C2010, 一等奖包含的基本事件数=C1010+C1010=2C1010, 二等奖包含的基本事件数=C910C110+

一等奖中奖概率: (约92378分之一) ;

二等奖中奖概率: 同理, 可求其他各等级中奖概率, 列表如下:

说明上表中五等奖的概率大于中六等奖的概率, 是不是计算有错误呢?只要仔细考虑就会清楚.因为总分是80分或是70分都可中五等奖, 它们的概率是相等的, 实际上总分是80分或70分的概率是0.5×0.47739=0.238695, 而只有总分是75分这一个分数中六等奖.因此, 对于每一个不同分数来说, 总分是75分的概率0.34372还是最大的.

因为每个分数都能中奖, 中奖率是100%, 即中奖事件的发生是一个必然事件, 因此各等级中奖的概率之和等于1, 基本上可以证明上表结果是正确的.

例谈高中概率的古典概型问题篇2

一、深刻理解古典概型的定义和特点

【例1】把长为6米的一根铁丝分成3段,如果每段铁丝长都为整数,求能构成一个三角形的概率.这就是典型的古典概型数学题.描述古典概型定义应具备三个条件:(1)所有可能发生的基本事件至少有一个;(2)每个基本事件发生的可能性相同;(3)在任意一次试验中至多有一个发生.具有以上特点的概型称为古典概型或等可能概型.从上述条件看出,古典概型具有完备性、等可能性、互不相容性三个特点.而做这道题时,最容易出现的错误就是对条件(2)的认识不足.错误解法:分成3段的长度的基本事件有3种情况:(1,1,4),(1,2,3),(2,2,2).其中能构成三角形的只有1种,即(2,2,2).因此,所求概率P=1/3.造成这个错误的原因,就在于对古典概型基本事件的认识不足,错误地认为基本事件只有3种,但是这3种情况并不是等可能的.如:(1,1,4)长度确实只有1种,但是分段的方法有3种可能,而分成(2,2,2)这种情况却只有1种情况.所以这道题目正确的解法应该如下.

方法一:分成3段长度均为整数的方法有(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,3,1),(2,1,3)(3,2,1),(3,1,2),(2,2,2).共有10种可能.因此,所求概率P=1/10.

方法二:如果从另一个方面分析,用排列组合的方法解答就更容易理解.铁丝长度6就相当于1条6个单位的线段,除去两个端点,还有5个整数点,要截成3段,就是要从5个点当中选取2个点作为截断点,一共有C52=10种方法.而构成三角形只有从2、4处截取.因此,所求概率P=1/10.

在解答这道题时,有许多学生在没有提示的情况下会出现错误解答.导致错误解答的原因,从表面来看是对基本事件的错误认识,但从深层而来看,是混淆了有序事件和无序事件,即这个例题中的基本事件是要有顺序的.如(1,2,3)和(3,2,1)是不同的基本事件,而不是相同的基本事件.如果再深入研究将有序事件看成无序事件的本质原因,就是没有深入理解古典概型的定义,特别是对古典概型的第二个条件理解不够.

二、掌握古典概型的实质

理解古典概型问题的核心就是对基本事件的确认.在此基础上,再运用分类原理和分步原理求解基本事件总数和指定事件包含的基本事件的个数.有些学生认为,概率的求解就等同于排列、组合知识的应用.这肯定是不对的.但是如果能够将基本事件从比较复杂的形式变为相对简单的形式,就可以帮助我们更准确地把握古典概率的实质.

【例2】把12个人平均分成两组,每组任意指定正、副组长各1名,求12个人当中的甲被指定为组长的概率是多少?在此题中,如果把这12人平均分成两组,每组任意指定正、副组长各一名看作基本事件,这样的基本事件非常烦琐,从而会严重影响到对题目的理解.而我们如果换个角度看问题,此题就容易解决.在此题中,12个人排12个位置,其中首尾两个位置看作特殊位置,(一般可以任意指定两位置担任正组长)设基本事件总数为A,而甲任组长的事件(即甲在特殊位置的排法)为C21A1111,所求概率P=(C21A1111)/A1212=2/12=1/6.继续上面的思路,整个问题中只有甲作为特殊元素出现,所以我们只需主要关注元素甲,即把基本事件定义为从12个位置中选1个给甲,其基本事件总数为C,此时甲任组长的事件(即排在特殊位置的排法)为C112,所以所求概率P=C21/C112=2/12=1/6.

古典概率教学的意义论文篇3

一、体悟在古典文学教学中的必要性

体悟在古典文学教学中的必要性是由我国古典文学特殊的审美情趣, 古典文学作品的教学目的及教学现状所共同决定的。

首先, 谈谈我国古典文学作品的意境。

中国古典文学作品, 尤其是诗词, 讲究意与境合, 即思想感情与自然景物, 人生境遇的高度融合。意境不仅是中国古代的特殊的文学审美范畴, 而且是中国古代最基本和最主要的文学审美范畴。如果不能引导学生体悟作品的意境, 就不能真正把握住作品的内核, 对作品作出正确的审美判断。意境不是简单的情与境的叠加, 它是艺术家以自己的心灵去感受世间万象, 主观的生命情调与客观的自然景物交融互渗所形成的一个只可意会, 不可言传的充满灵性的世界。东方文化注重的是意境, 注重的是身临其境, 情感共鸣, 注重的是心领神会, 而心领神会凭借的不仅仅是教师对文学作品词句的翻译与解释, 更重要的是善于发掘潜藏于学生心灵中尚未开启的体悟能力。

第二, 就古典文学作品的教学目的谈谈笔者的观点。

我认为, 古典文学作品的教学除了让学生去体味一篇篇的文学佳作外 (这一点已属不易) , 更重要的还是培养学生的文学鉴赏能力, 加深学生的文学素养, 让他们在浩若繁星的古典文学作品中去感受中华文化的博大精深, 从而受到德育, 美育等一系列良好的熏陶。

大教育家夸美纽斯在他的《大教育论》中说:“对青年的正当教育不在把他们的脑袋塞满从各个作家那里拉来的字句和观念, 而在使他们的悟性看到外面的世界, 希望他们的心里自己生出一道活流。”他的话极恰当地阐述了我们进行古典文学教学的目的及手段, 如果使我们的学生“心里自己生出一道活流”, 这是摆在古典文学作品教学中的一个首要的问题。如果不能开启学生的体悟能力, 那么, 学习那些让他们自己去意会和感知意境的妙不可言的古典文学作品, 在他们看来味同嚼蜡, 这样, 古典文学作品的教学根本不可能达到其应有的目的。

第三, 谈谈古典文学作品教学的现状, 我认为, 在中学语文教学中, 古典文学作品的教学是不尽人意的。常听到不少语文教师感叹:“这么有味的诗文, 一讲出来就索然寡味。”

更多的则是学生埋怨:“自己读到还有味, 怎么经教师一教, 就一点儿味也没有了。”上古代诗词, 就意味着背诵, 难怪他们不喜欢古典文学作品了。

是什么造成这样的现状呢?这是由于我们有些语文教师上古代文学作品是, 只是机械在抓住文章的词句, 要求学生理解分析表述什么思想, 反映什么现实, 给我们什么教育, 学生就在这样的引导下, 一味地追求白话翻译和思想意义, 久而久之, 语文教学中生机勃勃的因素被破坏殆尽, 形成教与学都“无味”的恶性循环。这个“味”, 在我看来更多的是指作品的意境。怎样使古典文学作品的教与学都要“味”呢?这不是一个简单的问题。我们的语文教师, 一方面面对的是讲究“言外之味, 弦外之响”的意境深远的古诗文, 另一方面面对的是年纪小, 阅历少, 文学素养浅的中学生。怎样在二者之间架起一座理解的桥梁呢?这就是下面要探讨的第二个问题了。

二、如何引导学生去体悟

为了引导学生自己去体悟古典文学作品的精髓, 笔者曾作过一些探索, 归纳为以下三个方面。

1. 引入古典文学中一些传统的审美意象

意象是古代文学审美理论中的又一个非常重要的审美范畴, 其中, 意指思想观念, 象是事物形象, 但意象却又不是意与象的简单组合, 是心与物, 情与景的融合体。

意象具有很强的主观性, 它并非现实的机械描摹, 所以我们常常可以看到, 一些艺术感染力很强的意境, 往往在作品中反复出现, 甚至为不同时期, 不同作者所袭用。这种借助于现成的意象来表达某种特定情思的艺术手段, 构成了意象的历史承袭性, 而意象的历史承袭性又为我们进行古典文学作品的教学提供了一个突破口, 借助一些传统意象特征, 引导学生进入古诗词所特有的艺术境界。

杜甫的一首《江南逢李龟年》, 如果教师直接给学生讲解这首诗写的是饱经忧患的诗人在江南与故友意味相逢, 感慨两人穷途潦倒的处境, 蕴含着对唐朝衰落的感慨。学生定然莫名其妙, 他们怎么也想象不到“落花时节又逢君”的感情基调居然是悲怆、凄凉, 而后, 还会提出这样的问题:既然“正是江南好风景”, 为什么不写那鲜花盛开, 百鸟争鸣的美景, 而去写落花呢?这里, 如果教师先为学生介绍“落花”这个传统意象所具有的“人生易老”、“青春已逝”、“繁华不再”等象征意义, 再介绍几首具有相同意象特征的“落花诗”, 就可以使学生进入那种特定的情境氛围, 体悟出诗中所表现的情中景, 景中情来。

类似“落花”这种常见的传统审美意象, 还有很多, 如“丁香”就是忧愁的象征, 从“丁香空结雨中愁”开始, 沿袭到现代诗人戴望舒的名字《雨巷》中“像丁香一样结着忧愁的姑娘”;“月”象征团圆, 思乡等情绪, 从李白的“床前明月光, 疑是地上霜。举头望明月, 低头思故乡。”到“海上生明月, 天涯共此时。”“菊”象征一种清高的品格, 如陶渊明的“采菊东篱下, 悠然见南山。”还有“蓬”, “夕阳”, “杨柳”, “乌啼”等等, 都有其特有的审美含义。在教学中结合实际引入这些传统的审美意象, 不但能让学生体悟古诗词中的意境, 还可以增加学生的课外知识, 激发学生学习古诗词的兴趣, 起到一石三鸟的作用。

2. 在比较中引导学生体悟

意境是创作主体感受外物的主观感受, 由于创作主体的心情、感受, 人生际遇不同, 即使外界相同的事物也可引起不同的人生感受, 如杜甫的“感时花溅泪, 恨别鸟惊心。”就是一例了, 这样, 也给我们的教学带来困难, 如果能选取题材相仿意境却不同的作品进行比较, 在比较中引导学生达到体悟, 也不失为一好办法。

如张志和的《渔歌子》, 和柳宗元的《江雪》所描写的同是一幅垂钓图, 其底蕴相差大矣。张志和笔下的垂钓充满情趣, 柳宗元笔下的垂钓却充满孤寂;一个垂钓的环境是“西塞山前白鹭飞, 桃花流水鳜鱼肥”的生机勃发, 另一个却是“千山鸟飞绝, 万径人踪灭”的空寂虚无;一个是“青箬笠, 绿蓑衣, 斜风细雨不须归。”另一个却是“孤舟蓑笠翁, 独钓寒江雪。”这样鲜明的对比是由于作者的人生际遇感受的不同引起的。号称“烟波钓徒”的张志和充分体味到隐居生活的乐趣, 他寄情山水, 悠然垂钓, 无意再回污浊的官场, 因而笔下是“斜风细雨不须归”, 整首词情境相合, 意趣飘逸。柳宗元的《江雪》则是在他贬官永州时所写, 政治上的失意, 世事的坎坷, 使他精神受到沉重打击, “千山鸟飞绝, 万径人踪灭。”天与地一片沉寂, 白茫茫中只有一个孤独的老渔翁在垂钓。这孤岛, 独钓的老翁, 不正是作者内心孤独的流露吗?更重要的是诗人“虽万受摈斥, 不更乎于内”的倔强斗争精神也寄寓于这个形象中。两位渔翁, 均是渔翁之意不在鱼, 那么, 其意何在呢?通过这样的比较分析, 就能引导学生更快体悟其意, 进入意与镜合的境界。

3. 营造富于联想性的教学艺术氛围

如果说体悟是进入古典文学作品意境之门的钥匙的话, 联想则是取得这把钥匙的必由之路, 只有在联想中进入作品所描绘的特定情景中, 就有可能产生情感共鸣, 进入那种物我两忘的境界。所以说, 在教学中引导启发学生联想也是我们开启学生体悟能力的一个有效手段。

除了在平常的教学, 训练中多注意培养学生的联想能力外, 在进行古典文学作品的教学中, 尤其要想方设法营造富于联想性的教学艺术氛围。

教学艺术氛围是指笼罩在课堂上的特殊气氛和情调, 它的创造对优化教学效果具有很大作用, 对我们讲解古典文学作品中虚中有实, 实中有虚的境界意义尤其重大。

在进行古典文学作品的教学活动前, 教师根据作品的内容, 决定所需营造的教学氛围的基本性质和情调。如王昌龄的《出塞》应营造悲壮苍凉的情调, 孟浩然的《过故人庄》应营造朴实恬淡的情调, 曹操的《观沧海》应营造雄壮激昂的情调, 李清照的《如梦令》应营造婉约闲适的情调, 而苏东坡的《念奴娇·赤壁怀古》则应营造雄浑开阔的情调......总之, 教学内容是创造教学艺术氛围的凭借和依据。

营造有利的教学艺术氛围, 引导学生通过联想身临其境, 去感受, 去体悟, 是学生进入古诗文意境的一条捷径。其具体的做法除了教师有表情的诵读外, 还可利用情调相似的音乐, 意境相仿的画作等, 还有教师富有诗情画意的语言等, 都可引起学生丰富的联想, 激发他们的兴趣, 达到我们的教学目的。

古典概率教学的意义论文篇4

在解决有关概率问题时,同学们常常由于对概念理解不深刻或忽视某种情形,经常会产生这样那样的误解,因此本文帮助同学们对各种问题进行了误因分析,以便避免。

1 基本概念理解不清致误

例1若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

误区分析:本题首先是古典概型,但同学们在本题的主要错误在于对等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念理解不深刻,错误地认为基本事件总数为11(点数和为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12),或者将点数和为4的事件错误计算为(1,3),(2,2)两种,从而导致错误。

正解:由题意知,先后掷两次,出现向上的点数记作(x,y),则列举如下:

共36个

∴“出现向上的点数和为4”记为事件A,则A中所含的基本事件为(1,3),(2,2),(3,1)共3个。

“误”与“悟”:古典概型与几何概型。首先同学们应该注意的是题目给出的是要做一种怎样的实验,这是决定为古典概型和几何概型的一个关键,同时也是决定古典概型中基本事件的确定性的一个关键,更是几何概型中选择是面积比、体积比或是距离等等的至关重要的一个区分点,如本题中实验:将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次,所以基本事件总数为6×6=36,而不是11。

因此,古典概型中的等可能性事件的概率是最常见的一种概率问题。解决这类问题的重要前提是求基本事件的总数,这些基本事件必须是等可能的。同时应注意:在涉及到抛掷骰子问题中,将一枚骰子连续抛掷两次和将两枚骰子抛掷一次是一样的,而出现的点数为(a,b)和(b,a)是两种不同的情况,应作为两个基本事件。

2 几何概型中的模型选择不准致误

例2(1)在等腰Rt△ABC中,在线段AB(斜边)上任取一点M,使AM<AC,则AM<AC的概率为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

(2)在等腰Rt△ABC中,直角顶点记为C,在∠ACB内部作一条射线CM,与线段AB交于点M,则AM<AC的概率为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

误区分析:很多同学看到这两道题目时,感觉是一样的,认为只是相同的题目换一种说法而已,因此导致概念出错,从而直接走向一个误区。理解为几何概型,但不知是几何概型中的长度型的几何概型,还是角度型的几何概型。而区分的关键是把握住题目中所做实验形成的是一种什么样的轨迹。如(1)形成的是长度,而(2)形成的则是角度。由此对(2)得到以下错解:根据题设,点M随机地落在线段AB上,故线段AB为基本事件的区域。当M位于线段上AC′(AC′=AC)时,AM<AC,故AC′线段为所求事件的区域。

正解:(1)∵由于在线段AB上任取一点,等可能分布的是M在AB线段上任意位置(如图1),

∴基本区域应是线段AA′,

(2)由于∠ACB在内作射线CM,等可能分布的是CM在∠ACB内的任一位置(如图2所示),因此基本事件的区域应是∠ACB,

“误”与“悟”:在确立几何概型的基本事件时,一定要选择好观察角度,注意判断基本事件的等可能性。要根据题意选取正确的几何概型模型进行求解。

3 针对性训练

(1)曲线的方程为其中m,n∈{1,2,3,4,5,6},若事件A:方程表示焦点在x轴上的椭圆,那么P(A)＿＿＿＿＿＿＿＿.

(2)若在区间(-1,1)内任取实数a,在区间(0,1)内任取实数b,则直线ax-by=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交的概率为＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

(3)将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷一次,规定“正方体向上的面数字为a,正四面体的三个侧面上的数字之和为b”,得复数z=a+bi,

(1)若集合A={z襔z为纯虚数},用列举法表示集合A。

(2)求事件“复数在复平面内对应点(a,b)满足a2+(b-6)2燮9”的概率。

解析:(1)古典概型

正解:所有基本事件的个数为6×6=36.