斗地主中的概率问题

斗地主中的概率问题（共10篇）

斗地主中的概率问题 篇1

一、要明确“频率与概率”的关系

问题1 张师傅购买了“中奖率为1%”的彩票100张，结果都没有中奖，他觉得组织者是欺骗行为，要投诉他们. 你觉得张师傅的想法对吗？

【分析】张师傅的想法不对. 频率是事件发生的次数与试验总次数的比值，与试验的条件及次数有关；而概率是等可能条件下事件发生的可能性大小，它是由该随机事件的本质所决定的，与试验条件及次数无关. 当试验次数特别多时， 频率的值越来越稳定在某一个数值，这个数值就是该事件发生的概率.

“ 中 奖 率 为 1% ” 只 能 说 明 中 奖 的 可 能性是1%， 并不能说明买100张就一定中一张. 再如天 气预报 “明 天下 雨的 概率是80%”， 只能说明明天下雨的可能 性较大 ，但也可能明天不下雨. 当然，你明天“带雨具出门”与“不带雨具出门”相比，“带雨具出门”是更明智的选择了.

二、要熟练“概率计算”的方法

概率的计算一般可以采用列举法，比如画树状图，列表等；也可使用加法原理或乘法原理计算；有时还可以通过计算试验频率的方法来估计理论概率的大小.

有些求复杂事件概率中，会有渗透分类讨论的思想；有些事件的概率计算，还可能渗透等价转化的思想. 要掌握求复杂事件概率的基本步骤：

（1） 认 真 审 题 ， 列 出 问 题 中 涉 及 的各个事件并用适当的符号表示；

（2） 分 析 各 事件 之 间 的 关 系 ， 列 出 关系式；

（3） 根 据 事 件 之 间 的 关 系 准 确 地 用 概率公式进行计算.

问题2 如图，正方形ABCD是一块绿化 带，其中阴影部分EOFB，GHMN 都 是 正方形的花圃. 一只自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，求小鸟落在花圃上的概率.

【分析】这是一个几何概型问题，可以将它转化为古典概型来解决. 小鸟落在绿化带正方形ABCD上的每一点都是随机的、等可能的，因此只要计算正方形ABCD的面积S及阴影面积S阴影，再求它们的商即可.

若设正方形ABCD边长为2a，则可以分别计算出所求概率为17/36.

三、要理解“游戏的公平性”

一个游戏规则是否公平，关键在于规则对参与游戏的各方获胜的概率是否相等. 因此要解决此类问题， 首先要计算参与游戏各方的概率，据此判断游戏的公平性. 如果游戏不公平， 我们可以用同样的方法来设计公平的游戏规则.

游戏和比赛中的概率问题 篇2

一、 利用概率对游戏或比赛的结果进行预测

例1 某人写下一个数A1，然后投掷硬币，如得正面，则把A1乘以2后减去12；如得背面，则把A1除以2后加上12，这样可以得到一个新数A2.对A2仍按此规则进行，又可以得到一个数A3.再按此规则得到一个数A4.若A1＝64，则A4不小于128的概率为（ ）

解

画树状图，如图1，可以看出，基本事件共有8个，其中满足A4≥128的事件有3个.故所求的概率为38.选B.

例2 甲、乙两支足球队，苦战90分钟，比分为1∶1.现决定各派5名队员，每人踢1个点球来决定胜负，假设两支球队派出的队员的点球命中率均为0.5.

（1） 对于甲球队，恰有两个队员连续命中，且其余队员均未命中的概率是多少？

（2） 甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率约为多少？（结果保留三位小数）

解（1） P1＝4×0.52×0.53＝0.125. 

答：对于甲球队，恰有两个队员连续命中，且其余队员均未命中的概率是0.125. 

（2） P2＝［C05×(1-0.5）5］2＋［C15×0.5×（1－0.5）4］2＋…＋［C55×0.55］2＝1210［（C05）2＋（C15）2＋…＋（C55）2］＝C510210≈0.246. 

答：甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率约为0.246. 

二、 利用概率对比赛的可靠性进行预测

例3 在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，于是竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分.若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 .（结果用数值表示）

解基本事件总数为C714，而有效分中没有受贿裁判的评分的事件数为C712，所以有效分中没有受贿裁判的评分的概率是C712C714＝313.

三、 利用概率选择游戏或比赛的规则

例4 第48届世乒赛前夕，为训练队伍，国家队与上海队相约举行对抗赛，从以往的比赛看，国家队队员对抗上海队队员取胜的概率均为0.6.现双方商定，提出了两种比赛方案：① 双方各出3人分3组同时对抗；② 双方各出5人分5组同时对抗.两种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利的一方.如果方案由上海队选择，问上海队会选择哪一种方案？

分析只要认识到本题本质上是独立重复试验的概率问题，解题规律也就较容易掌握了.

解设两种方案中，上海队获胜的概率分别为P1和P2，

则P1＝C23×0.42×（1－0.4）+C33×043＝0.288+0064=0352，P2＝C35×0.43×（1－0.4）2+C45×044×（1-04）+C55×045＝0.2304+00768+001024=0.31744，

可见P1＞P2，即按第一种方案进行比赛上海获胜的概率相对大一些，所以上海队应选择第一种方案.

点评本题所反映的问题是：比赛的场次越少、每局获胜的比分定得越低，水平低的队获胜的概率相对会越大.正因为如此，为了削弱中国乒乓球队在世界乒坛的霸主地位，推动世界各国乒乓球运动的发展，国际乒联在不断地修改比赛规则，其中之一就是将过去的每局21分胜制改成了今天的11分胜制.还有，为了减小弱队暴冷的可能性，NBA季后赛每轮的场次从最初的3场，变成后来的5场，直到现在的7场.

四、 利用概率对游戏或比赛的收益进行预测

例5 美国职业篮球联赛（NBA）某赛季的总决赛在湖人队与凯尔特人队之间进行，采用七局四胜制，即若有一队先胜4场，则此队获胜且比赛结束.因为两队实力非常接近，故可假设在每场比赛中两队获胜是等可能的.据以往统计资料显示，每场比赛组织者可获得门票收入300万美元.

（1） 两队决出胜负后，组织者在此次决赛中获得的门票收入为1200万美元的概率是多少？

（2） 两队决出胜负后，组织者在此次决赛中获得的门票收入不低于1800万美元的概率是多少？

（3） 求在湖人队2∶0的领先情况下总冠军被凯尔特人队获得的概率.

解（1） 设事件A为“决赛中获得的门票收入为1200万美元”，则事件A等价于某队以4∶0结束比赛，所以P（A）＝2×124=18.

答：组织者在此次决赛中获得的门票收入为1200万美元的概率是18.

（2） 设事件B为“决赛中获得的门票收入不低于1800万美元”，则事件B等价于两队要进行6场或7场比赛，

等价于前5场比赛中某队胜3场负2场，故P（B）＝2×C35×123×1-122＝58.

答：组织者在此次决赛中获得的门票收入不低于1800万美元的概率是58.

（3） 设“在湖人队2∶0的领先情况下总冠军被凯尔特人队获得”为C事件,则事件C等价于此后凯尔特人队4胜0负或4胜1负，故P（C）＝124+C34123×1-12×12=316.

答：在湖人队2∶0的领先情况下总冠军被凯尔特人队获得的概率是316.

五、 一道综合题

在考查概率部分的知识时，有时还会与高中阶段学习的其他知识点（如数列、函数等）综合起来考查，这就要求能综合运用相关的知识来解决问题.

例6 有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正面和反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，…，第100站.一枚棋子开始时在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次.若掷出正面，棋子向前跳一站（从第k站到第k＋1站）；若掷出反面，棋子向前跳两站（从第k站到第k＋2站）.直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为Pn.

（1） 求P0，P1，P2的值；

（2） 求证：Pn－Pn－1＝－12（Pn－1－Pn－2），其中n∈N且2≤n≤99；

（3） 求P99，P100的值.

解（1） 棋子开始时在第0站，故到达第0站为必然事件，则P0＝1. 

当且仅当第一次掷硬币出现正面，则棋子跳到第1站，其概率为12，则P1＝12.

棋子跳到第2站的概率应从如下两方面考虑：① 前两次掷硬币都出现正面，其概率为14；

② 第一次掷硬币出现反面，其概率为12.

故P2＝14＋12＝34.

（2） 棋子跳到第n（2≤n≤99）站的情况有且只有两种：① 棋子先跳到第n－2站，再抛硬币掷出反面，其概率为12Pn－2；② 棋子先跳到第n－1站，再抛硬币掷出正面，其概率为12Pn－1. 

故Pn＝12Pn－2＋12Pn－1.

则Pn－Pn－1＝－12（Pn－1－Pn－2）.

（3） 由(2)知当1≤n≤99时，数列{Pn－Pn－1}是首项为P1－P0＝－12，公比为－12的等比数列.

则P1－P0＝－12，P2－P1＝-122，P3－P2＝-123，…，Pn－Pn－1＝-12n.

以上各式相加，得Pn－P0＝-12＋-122＋…＋-12n，则Pn＝1＋-12＋-122＋…＋-12n＝231－-12n＋1（n＝0，1，2，…，99）.

则P99＝231－12100，

而P100＝12P98＝12×231－-1299＝131＋1299.

点评概率应用题大都是将概率与排列组合相结合，而此题将概率与数列结合，同时又有游戏背景，趣味性浓.求跳到第100站的概率时要小心隐含的陷阱.



1. 将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组各2人，不同的分组方法数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a，p的值分别为（ ）

A. 105，521 B. 105,421

C. 210，521D. 210，421

2. 已知8支球队中有3支弱队，以抽签的方式将8支球队分成A，B两组，每组4支球队.

（1） 求A，B两组中有一组恰有2支弱队的概率；

（2） 求A组中至少有2支弱队的概率.

3. 甲、乙两人在罚球线处投球命中的概率分别为

12与25.

（1） 甲、乙两人在罚球线处各投球一次，求这两次投球中恰好命中一次的概率；

（2） 甲、乙两人在罚球线处各投球两次，求这四次投球中至少命中一次的概率.

高考概率中的“交汇”问题探究 篇3

一、与数列“交汇”的概率问题

例1 (11·江西八校联考) 将一个骰子连续抛掷三次, 它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 ()

分析:本题考查了排列、组合、概率以及数列等知识的综合运用。解题时关键要从“落地时向上的点数依次成等差数列”这个条件出发, 针对公差的不同取值情况进行分类讨论, 分别求出不同公差情形下的基本事件数。

解:连续掷三次骰子出现点数的方法总数为63种, 其中公差为0的等差数列有6个;公差为1或-1的等差数列有2×4=8个;公差为2或-2的等差数列有2×2=4个;所以满足题中条件的概率为:

【评注】本题把概率与数列问题有机地“交汇”在一起, 不仅有新意, 而且能很好地考查考生的综合能力;本题在解题时很容易漏解当d=0、d=-1、d=-2时三种情况, 从而出现失误。

二、与解析几何“交汇”的概率问题

例2 (11·东北三校联考) 直线x=m, y=x将圆面x2+y2≤4分成若干块, 现要用5种不同的颜色将这若干块涂色, 要求任意两块不同色, 且共有120种不同的涂法, 求实数m的取值范围。

分析:本题考查了排列组合、概率与解析几何问题的相关知识, 综合性较强;由于A54=A55=120, 即直线x=m, y=x须将圆面分成4块或者5块;结合图形, 知两直线的交点在圆x2+y2=4内部时, 即满足要求。

解:依题意画出图形 (如图所示) ;当直线x=m, y=x将圆面分成4块时, 涂色方法总数为A55=120;此时两直线x=m, y=x的交点应在圆x2+y2=4的内部;又两直线的交点坐标为 (m, m) ;∴m2+m2<4, 得m2<2, 即。

【评注】与解析几何“交汇”的概率问题一般要先画出满足条件的几何图形, 充分利用数形结合进行求解。

三、与方程、不等式、线性规划“交汇”的概率问题

例3 (11·宁夏模拟) 设有关于的一元二次方程x2+2ax+b2=0。

(Ⅰ) 若a是从0, 1, 2, 3四个数中任取的一个数, b是从0, 1, 2三个数中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率。

(Ⅱ) 若a是从区间[0, 3]任取的一个数, b是从区间[0, 2]任取的一个数, 求上述方程有实根的概率。

分析:本题考查了方程、不等式、线性规划、概率等相关知识, 题型新颖独特;由于一元二次方程有实根, 由根的判别式可以找出a、b之间的关系。又 (Ⅰ) 中a、b为自然数, 易知 (Ⅰ) 为等可能事件的概率问题, 可利用公式进行计算;而 (Ⅱ) 中a、b分别取区间[0, 3]和区间[0, 2]之间的一切实数, 因此 (Ⅱ) 则属几何概型问题, 要利用数形结合, 借助线性规划知识进行求解。

本题考查了方程、不等式、线性规划、概率等相关知识, 题型新颖独特;由于一元二次方程有实根, 由根的判别式可以找出a、b之间的关系。 (Ⅰ) 中a、b为自然数, 易知 (Ⅰ) 为等可能事件的概率问题, 可利用公式进行计算;而 (Ⅱ) 中a、b分别取区间[0, 3]和区间[0, 2]之间的一切实数, 因此 (Ⅱ) 则属几何概型问题, 要用到线性规划知识, 借助图形面积进行求解。

解:设事件M为“方程x2+2ax+b2=0有实根”。

∵方程x2+2ax+b2=0有实根;∴由根的判别式△≥0得a2≥b2;因此当a≥0, b≥0时, 知方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b。

(Ⅰ) 基本事件共有12个:

(0, 0) , (0, 1) , (0, 2) , (1, 0) , (1, 1) , (1, 2) , (2, 0) , (2, 1) , (2, 2) , (3, 0) , (3, 1) , (3, 2) , 其中第一个数a表示的取值, 第二个数表示b的取值;由a≥b可得事件A包含9个基本事件;∴事件A发生的概率为。

(Ⅱ) 试验的全部结果所构成的区域为{ (a, b) /0≤a≤3, 0≤b≤2};构成事件M的区域为{ (a, b) |0≤a≤3, 0≤b≤2, a≥b}。

画出平面区域 (如图阴影部分) , 可得又S矩形OABC=6;图中阴影部分面积, , ∴所求事件M的概率为。

【评注】本题巧妙地将概率、方程、不等式、线性规划“交汇”在一起, 综合考查了概率的运算, 线性规划知识以及数形结合思想;第一小题为等可能事件的概率问题, 正确列举出符合条件的事件数是解题的关键;而第二小题则属几何概型问题, 其概率即为两图形的面积之比。

经济问题中的概率统计分析 篇4

关键词：经济问题；概率统计；分析

随着改革的不断深化和商品经济的大力发展，对经济现象不仅要做质的论证，性的分析，还要注意对经济和经济管理进行量的研究。这对我们更好地掌握经济政策和经济政策分析、决策是十分重要的。实践证明，概率统计是对经济和经济管理问题进行量的研究的有效工具，为经济预测和决策提供了新的手段，有助于提高管理水平和经济效益。

一、在经济管理中的应用

商品价格确定的如何，将直接影响企业的利润，企业要根据市场的需求情况来确定商品的销售价格，使其商品获得最大的经济效益。但价格的制订要视具体情况而定，价格定的太高，销售量会减少，营业额也会相应的减少，这样企业的经济效益将不好，如果商品的价格定的太低，即使销售量会增加，但由于利润减少，因此经济效益同样不好。

二、营销中的应用

1.利用贝叶斯公式研究营销成功与信誉度的关系

我们知道营销的成功与信誉度有很大的关系，下面利用贝叶斯公式考察如果一家公司多次不讲究信誉会有怎么样的结果。

例1设一家公司的可信度为0.8，不可信度为0.2，问该公司多次失信后客户对其相信度变为多少?

现在用贝叶斯公式来分析此问题中的可信度是如何下降的。

首先记事件A为“不可信”，记事件B为“可信”。不妨设客户过去对该公司的印象为P(B)＝0.8，

用贝叶斯公式来求，亦即该公司失信一次后，客户对其可信程度改变。

在贝叶斯公式中我们要用到概率和，这两个概率的含义是：前者是“诚信”(B)的公司“不可信”(A)的可能信，后者为“不诚信”的公司“不可信”的可能性。

设第一次客户相信该公司，发现该公司不可信。客户根据这个信息对这家公司的可信程度改变为(用贝叶斯公式)

这表明客户上了一次当后，对这家公司的可信程度由原来的0.8调整为0.444，也就是(1)式调整为P(B)＝0.440.556

在此基础上，我们对这家公司的可信程度再一次用贝叶斯公式来计算。

这表明客户经过再次上当，对这家公司的可信程度已经从0.8下降到了0.138，如此低的可信度，该公司如何奢望对客户进行第三次营销的时候会成功，顾客怎么会相信怎么会愿意购买呢?进而必然严重影响公司营销的业绩。

2.利用比例p的置信区间调查客户数

调查客户数、跟踪市场是营销公司经常会碰到的一个事情。下面举例说明这方面的应用。

例2某营销公司欲调查其投资产品的受益率p，为使得p的1－a置信区间长度不超过d₀，问应调查多少位客户?

解这是关于二点分布比例p的置信区间问题，这是一个随机变量，这就是说p的1－a置信区间长度不超过d₀。例如，“十一”期间一大型超市为一厂家推销新出厂的产品，在保证收益率p为0.95的前提下，为使得p的1－a置信区间长度不超过d₀＝0.04，欲知该产品的受益情况，对顾客进行调查，其中a＝0.05，问应调查多少客户?这表明，要使产品的受益率p的置信区间的长度不超过0.95，则需要对2041各用户做调查。

三、风险决策中的应用

1.先验信息决策分析

凡是來自过去的记录、经验或主观判断的信息，都是先验信息，在先验信息的条件下进行决策，在经济问题上常常以收益表为基础，分别计算各方案在不同自然状态下的收益值，并进行比较，然后从中选出一个最合理的方案，对于以前已进行过的活动，并有一定记录的商业行为一般都采用该方法决策。

例如某熟食店出售香肠，每斤进价10元，售价为14元，若当天卖不出去则会腐烂，由于目前熟食店对香肠的销售情况还不够清楚，故只能从去年同期日销售量的资料中去拟定现在的进货计划。

除了应用收益期望表的方法外，还可以利用决策树来进行决策分析。决策树的基本原理是以决策收益为依据，通过计算择优决策，决策树是一种图解方式，对分析较为复杂的问题非常适合。

2.最小损失标准

由于决策存在着风险，所以决策者对待风险就有不同的态度，相应地就有不同的标准，从而也就可能选择不同的方案。但一般情况下所采用的是最小损失标准。这也是当今经济工作中一个非常引入注目的问题，它主要涉及的问题是存储。

例如工矿、企业为了保证生产正常进行，从原料、半成品到成本都需要存贮；而商业方面，为了满足市场需要，必须采购一定数量的货物，保证一定量的库存，如果库存过大就会造成积压的损失，若库存量过小，又会造成缺货的损失。因此，必须选择一个最优的存贮方案，使相应的问题总费用最小，在存贮问题中，需求一般是随机的，如顾客对某种货物在一定时期内的需求，暑期时冷饮的需求，过节对高档商品的需求等，这些在事先对需求量都是无法确实知道的，但是通过较长时期的统计或根据以往的经验，就能找出它的概率分布规律，从而定出合理的库存方案或订货批量。

四、商品生产和销售中的应用

利用概率分布确定商品进货量。在商品销售过程中，商品的进货量是一个很重要的因素，因为商品卖不出去，要支付银行的借款利息和支付商品的保管费用，既要保证商品不脱销，又要保证商品不积压，因此商品销售者控制好进货量是至关重要的。

初中概率教学中的问题及建议 篇5

一、对随机现象和随机性的把握

随机现象在日常生活中大量存在, 比如降雨概率、感冒指数、体育彩票, 各种保险、风险与投资等等, 这是人们对客观世界中某些现象的一种描述, 对随机现象有一个较清楚的认识, 成为每一个公民文化素质的基本要求.初中阶段的概率学习需要学生对随机现象及其规律有初步的认识, 可从以下几个方面来认识随机现象和随机性.

(1) 随机现象是指在相同条件下, 做重复试验出现的不确定现象.这里强调“重复试验”和“试验结果的不确定性”, 是因为并不是所有的不确定现象都是概率研究的对象, 凡是不能重复观测或重复试验的现象, 即使结果不确定, 也不是概率论研究的对象.

案例1一个企业家考虑投资一个项目, 有两种可能的前景:盈利或亏损.在做出决策之前, 他要估计一下盈利可能性的大小, 即“盈利”这个事件发生的概率到底是多少.

这类事件称为“一次性事件”, 即一过之后再也不能重复了:它没有重复试验的意义.企业家今后还可能投资别的项目, 但条件已不同, 不是当前情况的重复.在一次性事件的情况下, 事件发生的概率只能诉诸人们的主观猜测与愿望, 这被称为主观概率.对主观概率的研究并非没有意义, 但不是我们中学阶段研究的对象.我们研究的不确定事件的前提是指“在相同条件之下可以重复多次的事件”.

(2) 呈现随机现象的试验或观察叫做随机试验.随机试验有以下特点:可以在相同条件下重复进行;试验可能出现的所有结果可以事先确定, 并且至少有两个;每次试验只能出现所有可能结果中的一个, 但在试验前无法预知出现哪个结果.例如:掷一枚硬币, 射手射击目标等, 都是随机试验.

(3) 不要把随机事件和未知事件混淆.结果的随机性不同于结果未知, 有些本来是必然的问题, 由于无知被人们当做是随机事件来处理.

案例2存在地球外的生命吗?

答案必然是“是”或“否”, 这没有任何随机性.但现在, 由于我们知识的贫乏, 只能作出如下概率式的回答“存在地球外的生命的概率超过90%”.

(4) 随机性是概率中的一个基本概念.它包括两个方面:单一事件的不确定性和不可预见性;事件在经历大数次重复试验中表现出的规律性.学生在现实生活经验的基础上, 比较容易接受事件发生具有不确定性和不可预见性, 但仅靠平时一些零散的生活经验, 学生往往难以理解不确定性背后会有规律可循, 难以想象为何重复试验有利于发现规律, 且重复大数次比重复小数次获得的规律更可靠.

二、对频率与概率之间关系的理解

对频率与概率之间关系的理解一直是概率教学的一个难点, 建议教师从以下几方面帮助学生进行理解.

(1) 在做大量重复试验时, 随着试验次数的增加, 一个随机事件出现的频率应该稳定于该事件发生的概率.事件的频率与概率既有区别又有联系:事件的频率在每次试验中不同, 是个变数, 而事件的概率P是个常数;但它们之间又有密切的联系, 随着试验次数的增加, 频率越来越稳定于概率.

(2) 当试验次数n很大时, 常用事件发生的频率作为其概率的估计值.但在具体操作过程中, 学生往往发现:虽然多次试验的频率逐渐稳定于概率, 但可能无论做多少次试验, 试验频率仍然只是理论概率的一个近似值, 而不能等同于理论概率值, 两者存在着一定的偏差.

案例3在抛一枚均匀硬币的试验中, 学生经常会提出类似以下的问题:正面朝上的频率到底是稳定在一个常数附近还是在一个范围里?怎样确定这个常数是0.5, 为什么常数不取0.51或0.49?

对于这些问题的透彻解释涉及概率论中的大数定律、中心极限定理等理论, 这不是初中生可理解的.应该注意:出现频率偏离概率较大的情形是可能的, 并且是正常的, 这是随机现象的特性.另外, 由于受到某些因素的影响, 通过试验得到的估计结果甚至有可能出现极端情况, 此时我们应正确地看待这样的结果, 并尝试着对结果进行合理的解释.对试验频率与理论概率的偏差的理解也是形成随机观念的一个重要环节.

(3) 在实际应用中, 当试验次数越大时, 出现极端情况的可能性就越小.因此, 我们常常通过做大量重复试验来获得事件发生的频率, 并用它作为概率的估计值.试验次数越大, 得到的估计结果就越可靠, 在用频率估计概率的课堂教学中, 建议教师将全班分成若干组, 以小组为单位分别进行试验, 并汇总各小组的试验结果, 以便得到较大的试验次数, 保证估计结果的可靠性.

三、对概率意义的理解

如何正确地理解和把握概率的意义, 形成正确的随机观念是学习概率的一个重点.有时学生即使学会计算简单的概率, 也不一定能正确理解计算的结果, 在正确答案背后也可能有错误的理由.因此, 概率教学需要较长时间来体会概率的意义, 建立正确的概率直觉.

(1) 对概率意义的理解不够.掷1枚均匀的硬币, 出现“正面朝上”的概率为50%, 这个结论对大部分学生而言都能得到, 但50%究竟表示什么意思?并不是所有学生都能正确理解, 有的学生往往错误地理解为每掷2次就一定出现1次“正面朝上”.

案例4如果某彩票的中奖率为1%, 那么买100张这种彩票一定会中奖吗? (假设该彩票有足够的张数)

由于随机事件发生的不确定性, 每张彩票都有可能中奖, 也可能不中奖, 因此买100张这种彩票完全有可能没有1张中奖, 这是随机事件本身的特点决定的.另一方面, 这种随机性中蕴涵规律性, 即随着买的彩票张数的增加, 大约有1%的彩票中奖.

(2) 概率的古典定义和频率定义是理解概率的一个不可割裂的整体.古典定义虽然只适用于随机试验中所有可能的结果为有限多且等可能的情形, 是一种特殊的概率, 但是它相对简单, 可以分析得出确定的概率值;而频率定义使概率的概念具有一般性, 还可以得到理论概率值比较复杂以及无理论概率值的事件的概率, 但用频率估计概率时要得到准确的概率值有很大难度.教学中应充分重视概率试验, 让学生就试验概率和理论概率进行比较, 使学生真正理解随机现象的特点以及概率的意义.

(3) 在概率的教学中, 对一些学生容易产生误解的地方, 可以采用试验的办法帮助学生理解.例如, 在讨论抽签与抽取顺序无关时就可以用试验模拟.在概率学习的过程中, 当面对某一个不确定事件时, 不妨建议学生首先猜测或估计这一事件发生的可能性, 再通过真实的数据、乐于参加的游戏活动、试验模拟等方式, 将试验结果与自己的猜测进行比较, 验证自己开始的猜测或意识到原有的错误认识, 并逐步修正自己的原有经验, 将自我经验和概率理论联系起来, 以获得对概率的良好直觉.

四、对概率应用的认识

知道事件发生的概率到底有什么用?这问题有时会令人困惑.学生对概率的应用主要存在以下误解.

(1) 既然随机事件每次结果都是不确定的, 且事前无法预料, 即便知道了其发生的概率也没多大用.例如, 虽然知道彩票中奖率是1%, 但买100张有可能没有l张中奖.既然如此, 学习概率到底有什么用?

(2) 一旦知道了事件发生的概率, 就应该得出确切的结论.例如, 掷一枚均匀的硬币, 既然已知“正面朝上”和“反面朝上”的概率都等于50%, 那么掷100次的话一定出现50次“正面朝上”, 50次“反面朝上”.

事实上, 出现上述错误理解的根源在于对概率意义的理解不到位.前者仍然想在事前能预料出结果, 以为不能预测则一切均无意义;后者则没有正确认识到概率的思维方式与确定性思维的差异, 以为概率可以提供确切无误的结论.

案例5某商场为了吸引顾客, 设立了一个可以自由转动的转盘 (如图1) , 并规定:顾客每购买100元的商品, 就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后, 指针正好对准红色、黄色、绿色区域, 那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券, 凭购物券可以在该商场继续购物.如果顾客不愿意转转盘, 那么可以直接获得购物券10元.你认为哪种方式对顾客更合算?

随着试验次数的增加, 转动一次转盘所得的平均收益将稳定于100×5%+50×10%+20×20%+0×65%=14 (元) .

因此选择转转盘, 比直接获得10元购物券更合算.但应注意的是, 若选择转转盘, 由于随机性, 每次试验的结果都是不确定的, 完全可能什么都得不到, 比直接获得10元购物券要差.这是随机现象本身决定的, 无法避免.当然, 此时还有可能得到100元、50元或20元购物券.由于随机事件频率的稳定性, 随着试验次数的增加, 平均收益将稳定于14元.换句话说, 如果有大量的人来选择, 选择转转盘的人的平均收益要比选择直接获得10元购物券的人的平均收益高.

统计与概率教学中的问题探究 篇6

过程性教学目标的教学需要教师根据内容设置有效的教学活动,重点在于“活动化”“情境化”,也就是弗赖登塔尔提倡的“现实”“数学化”.“活动化”“情境化”要求教师精心设计特定的教学活动,在课堂上引导学生参与到这个特定的教学活动中,并通过这样的活动,让学生在具体的、特定的活动中获得一些体验,以达到我们需要完成的教学目标.

但是在具体的实施过程中存在这样的一些问题:

( 1) 如何设置特定的教学活动

数学来源于现实,存在于现实,并且应用于现实,而且每名学生有各自不同的“数学现实”. 要如何从现实生活中抽象出学生能够理解并且符合该阶段学生认知规律和心理特征的数学问题( 直观的、容易引起学生想象的问题,而且数学情境的载体应是学生熟悉的具体的情景和事物; 对于统计的教学,可以利用文具店采购商品、推测运动会比赛结果等常见的情境; 对于概率的教学,可以利用“抛硬币”“掷骰子”“玩扑克牌”等学生熟悉的活动来营造一种“随机”的氛围) ,这就需要教师对学生有足够的了解和精心的安排和设计. 在设计活动的过程中需要事先考虑活动的每一步,还要分析学生在活动过程中容易出现的问题以及突发状况. 这个“特定的活动”是开展教学的前提和重心,如果没有准备充分,一切将功亏一篑.

( 2) 教学条件是否允许

有关统计部分的活动大多会涉及数据的收集,这就要求教师带领学生走出教室进行社会实地考察,教师需要考虑学生的管理、学生的安全以及数据的真实性等问题,这又给教学活动的进行增加了一定的难度. 出于这方面的考虑, 更多的教师会选择放弃活动.

( 3) 教师如何掌控好整个活动过程

设计好教学活动之后,接下来就是在课堂上完成教学活动,这需要教师有目的地引导和学生的积极地配合. 教师要用自己扎实的专业技能和灵机应变来从容地处理各种突发事件,并让学生的活动始终围绕着教学目标展开.

在大多数学生的世界,活动课中教师的“精心设计”并不那么重要,重要的是动手实践. 而且义务教育阶段学生的注意力不能够完全集中,容易受到外界事物的干扰,稍有不慎,活动课的目的就难以实现. 由于义务教育阶段学生主要是经验型为主的抽象逻辑思维,他们的抽象逻辑思维水平虽然有很大提高,但还需要具体形象或经验的直接支撑. 也就是需要教师的适时指导,才能使该节课的教学目标最大限度地达到.

当然,教师的指导也要适度,如果教师的指导过多,会使得课堂上留给学生的自主空间较小,学生的主动性也就得不到发挥,接受性教学会使学生一直处于被动接受的状态,学生的积极性得不到发展,那么就达不到有意义地学习,更达不到创造性地学习,学习的效果就会受到很大的影响,通常也达不到我们预期的结果. 如果教师的指导偏少, 那么学生就会像无头苍蝇一样,找不到方向,长此以往,学生就会丧失学习的兴趣.

( 4) 如何评价教学效果

过程性目标的教学效果不像知识与技能目标的教学效果那样可以通过具体的数学测试来评估,类似于数学思想, 会解题并不意味着数学思想的掌握. 又由于每名学生生活的环境不同( 文化环境、家庭背景、学习方式以及思维方式的不同) ,他们在经历同样的活动的过程中得到的体验和感受也会不同,即使是同一名学生在不同的时间经历相同的活动也会有不同的体验和感触,因此一节活动课下来,学生所获得的感受可能会千差万别. 在课堂小结时,学生反馈给教师的信息通常是“懂了”“明白了”“学会了”等简单的词语,而这种词语根本反映不出学生对知识的实际掌握情况. 这就使得整堂课下来,教师很难把握学生的学习情况.

概率统计在解决实际问题中的应用 篇7

1 贝努里概型在保险业中的应用

在现实生活中我们经常会接触到社会保险, 出于对自身利益的考虑, 有些人可能会问:保险公司和投保人谁是最大受益者呢?如果你了解概率统计知识, 不防自己算一下。

例:假设有2500个同一年龄和同一社会阶层的人参加了某一保险公司的人寿保险。在1月1日这一天, 每个参加保险的人支付12 0元保险费给公司, 那么其死亡时, 家属就可以从公司里领取20000元保险金。设在一年里每个人死亡的概率为0.002, 问:“保险公司亏本”的概率是多少?

分析:假设“一个人在一年内死亡与否”为一次试验, 则有2500人参加了这一保险, 于是以上问题就转化为一个2500重的贝努里概型, 同时, 若将每人在一年内死亡的概率假定为P=0.002。设参加保险的人每年的死亡记录为X, 则:

设“保险公司亏本”为事件A, x为死亡人数, 则公司应支出20000x (元) , 而公司的总收入为2500×120 (元) 。我们知道, 如果公司的支出大于其总收入, 即"20000x>2500×120"则公司亏本。

现在解"20000x>2500×120"这一不等式, 不难得出x>15

于是P (A) =P (X>15) =Ck25000.002k (1-0.002) 2500-k≈0.000069

由此得出保险公司“受益匪浅”, 基本上不会亏本。

2 正态分布在选择出行路线上的应用

正态分布有着极其广泛的实际背景, 它普遍存在于数学、物理、医学及工程等领域, 所以实际问题中很多随机变量的概率分布都服从正态分布。比如物理学中测量同一物体的随机误差;医学中红细胞数、血红蛋白量等;教育统计中, 学生的智力水平, 包括学习能力, 实际动手能力等;在生产条件一定的情况下, 产品的强力、口径、长度等指标都近似地呈正态分布。下面是正态分布在选择出行路线上的一个具体应用。

例:某人从北京某地乘车前往北京站搭车, 可供选择的路线有两条: (1) 乘坐市内公交车。优点:路程较短;缺点:交通拥挤, 所需时间 (单位:分) 服从正态分布N (50, 102) 。 (2) 乘坐地铁。优点:交通阻塞少;缺点:路线较长, 所需时间服从正态分布N (60, 42) 。

问题:若可用时间为68分钟, 应选择哪条路线?若可用时间为62分钟, 应选择哪条路线?

为了能及时赶到车站, 按原计划出行, 此人运用正态分布知识提前作了以下分析:

如果实际问题满足给定的标准正态分布N (1, 0) , 设P (ξ

(1) 68分钟内第一条路线及时赶到的概率为:

第二条路线及时赶到的概率为:

所以应走第二条路线。

(2) 62分钟内第一条路线及时赶到的概率为:

第二条路线及时赶到概率为:

所以应走第一条路线。

生活无形中会涉及到很多概率统计知识, 如果我们留心身边的数学知识, 会惊奇的发现在这平凡的生活中数学发挥着多么大的作用。

3 数学期望在求解最大利润问题中的应用

数学期望是研究随机变量总体取值的平均水平的一个重要的数字特征。实际问题中尤其是经济决策中, 数学期望为决策者获取最大利润提供了重要的理论依据。下面就是一个应用期望进行经济决策的的问题。

例:某人投资100万元, 期限为一年, 可供选择的投资方案有两种:一是购买股票;二是存入银行获取利息。如果买股票, 经济形势好可获利40万元, 形势中等可获利10万元, 形势不好损失20万元。如果存入银行, 假设利率为7.6%, 可得利息76000元。已知经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%、20%, 试问哪一种投资方案可使投资者的收益较大?

分析:从问题的已知条件可知, 当经济形势好和中等时, 购买股票是收益较大;但如果经济形势不好, 那么采取存银行的方案收益较大。由于我们无法预料经济形势, 因此需要比较两种投资方案获利的期望大小。

先来计算购买股票的获利期望E1=4 0×0.3+10×0.5+ (-20) ×0.2=1 3 (万元)

再计算存入银行的获利期望是E2=7.6 (万元)

因为E1>E2, 所以购买股票的期望收益比存入银行的期望收益大, 应采用购买股票的方案。

可见对于带有一定的随机性的风险投资, 正确运用数学期望这一随机变量的总体特征来预计收益或决策投资是比较客观的。

4 结语

作为数学的一个非常重要的分支——概率与数理统计, 在知识产业化的今天也正在或将要发挥它应有的作用, 而且在很多领域已经取得了突破性的发展。因此, 将概率统计知识应用于学习、工作及日常生活中, 能够帮助我们获得可靠性的结论。

摘要：概率统计是研究自然界中随机现象统计规律的数学方法。随着科学技术的发展, 概率统计知识越来越受到人们的重视, 它被广泛应用到工农业生产、国民经济以及我们日常生活中。本文主要围绕贝努里概型, 正态分布, 数学期望的有关知识, 探讨概率统计在解决实际问题中的应用。

关键词：贝努里概型,正态分布,数学期望

参考文献

[1]魏宗舒.概率论与数理统计[M].北京:高级教育出版社, 2004.

[2]程靖.概率统计教学方法的几点体会[J].巢湖学院学报, 2012 (3) .

概率统计在经济问题中的应用研究 篇8

近几年来，我国的经济学界和经济部门越来越意识到用数学方法来解决经济问题的重要性，正在探索经济问题中应有数学的规律。实践证明，概率统计是对经济和经济管理问题进行量的研究的有效工具，为经济预测和决策提供了新的手段，有助于提高管理水平和经济效益。本文将利用概率统计方法解决一些经济问题，分析研究营销成功与信誉度的关系、怎样进行风险决策以及怎样检验产品质量和确定产品进货量等。

二、营销中的应用

1. 利用贝叶斯公式研究营销成功与信誉度的关系

我们知道营销的成功与信誉度有很大的关系，下面利用贝叶斯公式考察如果一家公司多次不讲究信誉会有怎么样的结果。

例1设一家公司的可信度为0.8，不可信度为0.2，问该公司多次失信后客户对其相信度变为多少?

现在用贝叶斯公式来分析此问题中的可信度是如何下降的。

首先记事件A为“不可信”，记事件B为“可信”。不妨设客户过去对该公司的印象为P (B) =0.8，(1)

用贝叶斯公式来求，亦即该公司失信一次后，客户对其可信程度改变。

在贝叶斯公式中我们要用到概率和，这两个概率的含义是：前者是“诚信” (B) 的公司“不可信” (A) 的可能信，后者为“不诚信”的公司“不可信”的可能性。设。

第一次客户相信该公司，发现该公司不可信。客户根据这个信息对这家公司的可信程度改变为(用贝叶斯公式)

这表明客户上了一次当后，对这家公司的可信程度由原来的0.8调整为0.444, 也就是 (1) 式调整为P (B) =0.440.556 (2)

在此基础上，我们对这家公司的可信程度再一次用贝叶斯公式来计算，亦即该公司第二次不诚信后，客户对他的可信程度改变为

这表明客户经过再次上当，对这家公司的可信程度已经从0.8下降到了0.1 3 8，如此低的可信度，该公司如何奢望对客户进行第三次营销的时候会成功，顾客怎么会相信怎么会愿意购买呢?进而必然严重影响公司营销的业绩。

2. 利用比例p的置信区间调查客户数

调查客户数、跟踪市场是营销公司经常会碰到的一个事情。下面举例说明这方面的应用。

例2某营销公司欲调查其投资产品的受益率p，为使得p的1-α置信区间长度不超过d0，问应调查多少位客户?

解这是关于二点分布比例p的置信区间问题，1-α的置信区间长度为，这是一个随机变量，但由于，所以对任意的观测值有。这也就是说p的1-α置信区间长度不会超过。现要求p的1-α置信区间长度不超过d0，只需要即可，从而。例如，“五一”期间一大型超市为一厂家推销新出厂的产品，在保证受益率p为0.9 5的前提下, 为使得p的1-α置信区间长度不超过d0=0.04欲知该产品的受益情况，现对顾客进行调查, 其中α=0.05，问应调查多少位客户?则可知，这表明，要使产品的受誉率p的置信区间的长度不超过0.95，则需要对2401个用户做调查。

三、风险决策中的应用

进行决策之前，往往存在不确定的随机因素，此时所作的决策有一定的风险，谓之风险型决策。只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标，由概率统计知识对风险系统进行分析可以直接获得风险决策。

例3某厂有同类型设备300台，如果各台设备发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率是0.01，一台设备的故障可以由一个人处理，为保持设备发生故障而不能及时修理的概率小于0.0 1，那么配备多少维修工最合适?

解设需配备维修工n人，X表同一时刻发生故障的设备台数，

则X～B (300, 0.01) ，则利用泊松近似定理得，又由题意有

, 通过查泊松分布表得

，因此，即，所以配备8名维修工最合适。

四、商品生产和销售中的应用

利用概率分布确定商品进货量。在商品销售过程中，商品的进货量是一个很重要的因素，因为商品卖不出去，要支付银行的借款利息和支付商品的保管费用，既要保证商品不脱销，又要保证商品不积压，因此商品销售者控制好进货量是至关重要的。

例6设某种商品每周的需求量X服从区间 (10, 30) 上的均匀分布，而商店进货数为区间 (10, 30) 中的某一整数，商店每销售1单位商品可获利500元;若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损1 0 0元;若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每1单位商品仅获利300元，为使商品所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。

解设商品进货量为y，则10

摘要：本文讨论概率统计在营销、风险决策和商品生产与销售等几个经济问题中的应用。分析研究营销成功与信誉度的关系、怎样进行风险决策以及怎样检验产品质量和确定产品进货量等。

关键词：概率统计,经济问题,应用

参考文献

[1]茆诗松程依明濮晓龙:概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社, 2004, 7

斗地主中的概率问题 篇9

[关键词] 概率学习；问题成因；解决对策

概率是中考必考的知识点之一，在现在的中考中已经显得越来越重要了. 从近几年各地的中考试卷来看，概率的考试题目类型大致可分为三类：（1）利用频率值估计概率；（2）利用面积计算概率；（3）利用画树状图或列表法解决生活类实际应用问题. 这些常见的考题中间往往隐藏着一些典型的错误，教师需要借助这些错误，分析错误，纠正错误，让学生得到真正的提高. 学生在初涉概率知识时往往不会觉得很困难，可一旦遇到具体问题，却时常出错. 下面笔者就根据多年来的教学实际，对这些错误原因进行归类和总结，并找出解决这一类错误的有效方法.

对机会的等可能性理解不够导

致错误

问题1 甲、乙、丙、丁四人参加某校教师招聘考试，试后甲、乙两人去询问成绩. 评委对甲说：“恭喜你，你不是最差的，丙是最差的. ”对乙说：“四人的成绩均不相同，但可惜你未能获得第一名. ”请你根据回答的内容进行分析，这四人的名次排列共有______种不同的可能情况.

错解 不知如何作答，瞎猜一个作为标准答案.

正解 根据评委的话，可以将整个事件看成两个部分组成：①应聘者；②考试名次，将条件整理成表格形式.

由表格可知：甲的名次可能是①或②或③，乙的名次可能是②或③，丁的名次可能是①或②或③，丙为第④名，而其余三人只能是①②③中一个名次，所以所有等可能的结果为甲①乙②丙④丁③；甲③乙②丙④丁①；甲②乙③丙④丁①；甲①乙③丙④丁②. 以下列举一些学生常见的错误：（1）根据题目提供的条件多而乱，感觉无从下手，便不会处理；（2）能够确定丙的名次，但如何确定甲、乙、丁的名次没有头绪；（3）甲有3种情况，乙有2种情况，丁有3种情况，所以总共有3×2×3=18种情况；（4）漏掉考虑甲③乙②丙④丁①和甲②乙③丙④丁①这两种情况.

归因与剖析 在确定等可能结果时，首先要弄清楚本题关注的是什么结果，其次结果由谁决定，接着把有关的可能情况分析清楚. 以上题为例，要求名次所有的情况，其次由于丙为第④名，所以名次只与甲、乙、丁有关，接着由题可知甲可能为①②③，乙可能为②③，丁可能为①②③，而三人只能得一个名次而不重复，便可得出答案.

对问题中有无放回的理解出现 错误

问题2 已知红色和蓝色在一起可配成紫色，现有三种颜色，即红色、白色和蓝色，从中任意取出两种颜色来配紫色，问：能配出紫色的概率有多大？

错解 画树状图：

所有等可能的结果共有9种，其中配出紫色的结果有2种，P（配出紫色）=.

正解 画树状图：

所有等可能的结果共有6种，其中配出紫色的结果有2种，

P（配出紫色）==.

错误剖析 没有考虑到：在红、白、蓝三种颜色中，任意取出两种颜色时，不能同时取出两种相同的颜色.

归因与剖析 对于事件中进行两次或两次以上选取时，请学生根据实际情况分析和理解，切不可主观臆断和猜想，要做有依有据的判断，并判断是否有放回.

由于生活常识的缺乏导致等可 能结果错误

问题3 甲、乙两队进行乒乓球团体赛，比赛规则是：两队之间进行3局比赛，并且必须全部打完，至少赢2局的队获胜. 假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且甲队已经赢得了第1局，那么甲队最终获胜的概率是多少？

错解 画树状图：

P（甲队最终获胜）=.

正解 画树状图：

P（甲队最终获胜）=.

归因与剖析 比赛的结果有三种情况：胜、平、负，特别是题目中强调“甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同”. 乒乓球在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10平后，先多得2分的一方为胜方，所以乒乓球比赛的结果只有两种情况：“胜”或“负”. 数学来源于生活，所以如乒乓球比赛的赛制这类生活常识，学生需了解.

由于对关注事件理解有误导致

关注事件的结果数错误

问题4 在某小学“演讲大赛”选拔赛初赛中，甲、乙、丙三位评委对小选手的综合表现分别给出“待定”（用字母W表示）或“通过”（用字母P表示）的结论. 请用树状图表示出对于小选手琪琪，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？

错解 画树状图：

其中只有甲、乙两位评委给出相同结论的结果有4种，

P（只有甲、乙两位评委给出相同结论）==.

正解 其中只有甲、乙两位评委给出相同结论的结果有2种，

P（只有甲、乙两位评委给出相同结论）==.

剖析与归因 在看树状图时只关注了甲、乙的结论是否一样，并没有考虑丙评委的结论与甲和乙的关系. 认真审题是解题的关键，忽略任意一个小的细节，都会带来整个题目的理解错误，从而导致错解.

由于数学思想、数学方法运用

不灵活导致与其他知识相结合

考查时出现错误

问题5 （1）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人，求第二次传球回到甲手里的概率是多少. （请用树状图或列表等方式给出解析过程）

（2）如果甲跟另外n（n≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么第三次传球后球回到甲手里的概率是______.

第（1）问比较容易，共有9种等可能的结果，符合条件的情况有3种， 概率为. 下面研究第（2）小问.

解法1 所有等可能的结果共有n3种，其中第三次传球后球回到甲手里的结果有n（n-1）种，P（第三次传球后球回到甲手里）==.

解法2 （画图解决）画出n=2时，三次传球后的树状图，得P===；

画出n=3时，三次传球后的树状图，得P===；

画出n=4时，三次传球后的树状图，得P===，

所以通过表示可得出该题规律为P=.

归因与剖析 从这个问题中，我们明显可以得到两点启示：①第（2）小题在考查学生“化归思想”，如果学生遇到一个题目有多个小题，且每个小题所求的结论类似时，可以尝试用第1小题的处理方式来解决之后的小题，这也是“化归思想”想考查学生的地方. ②遇到找规律的题目时，请注意处理方法：从n的最小值开始去研究题目要求的量，不要怕烦琐，直到所代入的数能从结果中发现规律为止，只要将变化部分用字母代替，不变部分照抄就能得出规律.

归纳与反思

概率是中考命题的重点之一，经常与统计、函数、几何图形等知识综合在一起考查，我们需牢固掌握树状图（列表）法，利用概率公式解决此类问题. 题目千变万化，我们需养成良好的审题习惯，善于总结归纳，力争让自己不断提高. 从五类常见错误来看，阅读和理解是第一步，只有正确地把握题目的含义，抓住阶梯的关键因素，才能有效地避免出错，而从学生的问题中，教师也能反思自身课堂的得失，找到最佳的教学方式，实现最好的课堂效果.

斗地主中的概率问题 篇10

这些年随着科学技术的发展,概率论与数理统计在经济学的研究中得到广泛应用。借助概率论方法研究经济问题有三个优势:(1)由于数学固有的灵活性,可使金融领域的相关研究和探索借助于其多种计算方法和数学模型,从而更好地实现金融问题背后的经济变量函数,使复杂的关系清晰化。(2)由于其固有的严密逻辑性,使得数学分析成为科学推理的主要手段,并使其他一些难以解释的逻辑关系变得简单化。(3)由于其固有的精确性,使得对经济范畴之间的数量关系的描述和研究可以数量化。总之,概率论在经济学中的应用使得经济学成为一门更加规范的科学。

二、概率论在经济问题中的应用

(一)概率论在彩票中的应用

随着我国的彩票运营机制的日渐成熟,彩票以其“机会均等”的中奖机制愈来愈得到广大人民群众的参与与支持, 也逐渐成为许多人生活的一部分。因起源于古代赌博游戏, 概率论常常被应用于估计推断彩票的中奖可能性。设样本空间基本事件的个数m,事件所包含基本事件的个数n,则事件A的概率P(A)=n/m。

例1,每注双色球由7个号码球组成,包括6个红色号码球和1个蓝色号码球。红色号码球编号从1-33,蓝色号码球编号从1-16,中奖规则如下:一等奖,猜中6个红球及1个蓝球;二等奖,猜中6个红球;三等奖,猜中5个红球及1个蓝球。求对应于每种中奖等级的概率?

解:记事件Ai为中i等奖,则:

通过上面的分析可以看到,“双色球”方案对应于不同等级的中奖概率,彩民们可以结合不同的中奖概率及自己的收入水平来购买彩票。

(二)概率论在投资组合中的应用

在金融市场上,任何投资者首要考虑的目标便是规避投资风险。在众多降低风险的途径中,多样化投资是较为有效的一种方式。1952年美国经济学家马科维茨通过研究投资证券的选择及资金配比,提出了投资组合理论。该理论以期望来刻画投资组合的收益率,以方差来刻画投资组合的风险。

在概率论中,随机变量的和与差的期望和方差是一个重要的内容,设两个随机变量X和Y,则随机变量的期望和方差满足如下性质:

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y) 其中,Cov(X,Y)为X和Y的协方差。

例2,若A和B为两种风险资产,收益率分别为X和Y, 投资资金配比分别为 ω 和1-ω。设两种风险资产收益均值分别为 μ1和 μ2,方差分别为 σ12和 σ22,相关系数为 ρ。求此投资组合的平均收益及风险,并求使投资风险最小时的 ω。

解:设此投资组合的收益为:

Z=ωX+(1-ω)Y

则平均收益和风险分别为:

E(Z)=ωE(X)+(1-ω)E(Y)=ωμ1+(1-ω)μ2D(Z)=ω2D(X)+ (1-ω)2D(Y)+2ω(1-ω)Cov(X,Y)

=ω2σ12+(1-ω)2σ22+2ω(1-ω)ρσ1σ2

要求最小投资风险,即求D(Z)关于ω极小值点,令d(D(Z)) =0,

dω

即2ωσ12-2(1-ω)σ22+2ρσ1σ2 -4ωρσ1σ2 =0

解得:

当 σ12=0.04,σ22=0.09,ρ=0.5,通过计算得到 ω=0.875,即在这种情况下,投资者把85.7%的资金投资证券A,把14.3%投资于证券B,可使投资风险最小。

(三)概率论在保险市场中的应用

在人们的生活中,会遇到各种各样的风险,如何防范风险,便成了很多人不得不考虑的问题,保险公司也就应运而生。保险公司为各种风险保障服务,所以人们有时对保险公司是否盈利存有疑虑。其实,保险市场就是概率论知识最为重要的一个应用。意外仅仅是小概率事件,一般不会发生,我们可以应用中心极限定理来对保险公司的盈亏进行估算和预测。

例3,若一家保险公司有10 000个人参保人寿保险,费用为每人每年12元。假设一个人在一年内死亡的概率为0.6%,且死亡时保险公司需向其家属赔付1 000元,问:

(1)此保险公司有多大的概率会亏损?

(2)若其他条件不变,为使保险公司每年的利润不少于6 000元的概率至少为99%,可最多设赔偿金为多少?

解:设X表示一年内死亡的人数,则X~b(n,p),其中n=1 000,p=0.6%。

近似地X~N(60,59.64),设Y表示保险公司一年的利润,则:

Y=10 000×12-1 000X, 于是由中心极限定理得:

(1)P(Y<0)=P(10 000×12-1 000X<0)

姨npq姨npq

≈1-Φ(7.769)=0

(2)设赔偿金为a元,则:

P(Y≥6 000)=P(10 000×12-a X≥6 000)=P(X≤6 000)≥

a

0.99

由中心极限定理,上式等价于:

解得:

a≤769.39

从上面的例题可以看出,此保险公司亏损的概率几乎为零。现实生活中,为使效益最大化,保险公司往往针对不同的风险等级设计不同的理赔率。因此,我们可以为小概率的“意外”买保险,保险公司也不会因此意外而亏损,由此达到双赢的目的。

三、结语

通过以上分析可以看出,概率论的发展对现代经济的发展起到了巨大的促进作用,它为经济学的发展提供了一定的理论基础,也使资本市场更加丰富多彩。其次,在经济问题如彩票、保险市场、组合投资等领域,概率论使一些具有随机性质的经济行为得到更合适的描述,人们也更容易厘清这些随机经济行为的内在联系,这样会推动经济理论进一步深化和发展。由此可见,概率论使一些现代经济学问题变得更加清晰、可量化,正一步步推动着现代经济学的发展。

参考文献

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