有趣的概率问题

2024-06-23

有趣的概率问题（共5篇）

有趣的概率问题篇1

保险业的兴起

18世纪的欧洲,因工商业的迅速发展,加之概率论的研究,兴起了一门崭新的行业———保险业. 保险公司为了获取利润,必须先调查统计火灾、水灾、意外死亡等事件的概率,据此来确定保险的价格.

例如,要确定人寿保险的价格,先统计各年龄段死亡的人数,如右表. 然后算出死亡概率,如 40 岁,死亡概率为 765÷78 106≈0.009 8,如有一万个 40 岁的人参加保险,每人付A元保险金,死亡可得B元人寿保险金,预期这 1 万个人中死亡数是 9.8 人,因此,保险公司需付出9.8×B元人寿保险金,其收支差额 10 000×A-9.8×B(元)就是公司的利润.

扑克牌中的概率

四条(四张同点数的牌)出现概率≈0.0 002 401;

同花(四张同花色的牌)出现概率≈0.001 981;

顺子(五张连续点数的牌)出现概率≈0.00 394;

同花顺(五张同花色的顺子)出现概率≈0.00 001 539;

葫芦(三张同点数,二张另同点数)出现概率≈0.00 144.

按照概率的大小,决定打牌的游戏规则:

同花顺>四条>葫芦>同花>顺子.

两个骰子的概率

装错信封

概率计算往往与组合计数有关,这里介绍一下“装错信封”问题.

装错信封问题由法国数学家蒙莫尔于1713年提出,并给出解法. 后来瑞士数学家伯努利提出等价命题. 大数学家欧拉称赞该问题是组合数学的妙题.

某人写了4封信,并在4只信封上写下4个收信人的地址与姓名. 但匆忙之中,他把所有信笺装错了信封. 问有几种可能的错装情况?

我们把信封记为A、B、C、D,

相应的信笺记为a、b、c、d.

两封信装错的可能性只有1种:Ab Ba

三封信装错的可能性只有2种:

Ab Bc Ca 和 Ac Ba Cb

四封信装错的可能性共有9种:

Ab Ba Cd DcAc Ba Cd DbAd Ba Cb Dc

Ab Bc Cd DaAc Bd Ca DbAd Bc Ca Db

Ab Bd Ca DcAc Bd Cb DaAd Bc Cb Da

路边的骗局

路边有人“摆地摊”,摊主拿了黑白各8个围棋子放进袋子里,然后对围观者说,凡愿摸彩的,每人先交1元钱,然后一次从袋中摸出5个棋子. 奖励办法是摸到5个白子奖20元,摸到4个白子奖2元,摸到3个白子得小纪念品.不少人都想拿1元钱去碰碰“运气”,结果均大失所望.其实这是一个低级的骗局,只要计算一下得奖的可能性,你就会明白.

原来只有1/3的人可能得个几角钱的纪念品,想得20元钱的奖可要千里挑一.

同学的生日会相同吗

如果我说“班上一定有两个同学的生日是相同的!”你肯定不相信.但是,我告诉你,这是极可能发生的事.为什么呢?我们可以分析,1号同学与你的生日不同,那他的生日只能在一年365天中的另外364天中,即生日选择可能性为364/365;而2号同学与你和1号同学的生日不同,可能性为363/365;3号同学不同,可能性为362/365;如此类推,得到全班50名同学生日都不同的概率为365×364×…×316÷36550≈0.029 5,而50人中有人生日相同的概率为1-0.029 5=0.970 5.这一算,你会相信了,生日相同的把握有97%呢!

汽车与山羊

这是一个美国的电视有奖参与游戏节目,主持人是蒙帝·霍尔.如果你被选中参加竞猜,便有机会赢得一辆汽车.节目现场有三扇门,后面藏着一辆汽车和两只山羊.如果你选择1号门,此时主持人(他知道汽车藏在哪儿)会按规则打开另一扇门,让大家看到一只山羊.同时会给你改变刚才选择的机会.你说改变不改变呢?究竟哪一种情况概率大呢?

这个问题引起公众和学者的广泛关注,解答更是众说纷纭.

正确的举措是选择“改变”,理由是选择改变,赢得汽车的概率为2/3,选择不改变,概率仅有1/3,同学们可以自己算一算.

睡美人的故事

这是根据法国童话故事《睡美人》编的一道概率趣题:

一位美丽的公主中了邪魔的诅咒,昏睡不醒.国王想尽方法进行治疗,却毫无效果,只好将她安放在城堡的密室之中.若干年后,一群求婚者慕名而来,不但闯入了城堡,而且找到了一串相关的钥匙.他们询问看门老人,只知道有一把钥匙能打开密室,却不知是哪一把.恰好钥匙数与求婚者人数相等,每人只可任取一把试开.谁有机会进入密室,以真爱唤醒公主呢?求婚者争先恐后,唯恐落在后面,失去了机会.

问题是,每人取一把钥匙试开是:1. 先开的概率大?2. 后开的概率大?3. 各人的概率都一样大?

(答案:3)

有趣的概率问题篇2

大概率问题1：离职原因是什么?

从求职者角度来说，离职的原因不外乎这样几种：钱少、离家远、没前途、压力大、人际关系不好等等。这些都是非常客观和现实的问题，不能因为这些原因而否定这个人。但是，从公司角度出发，虽然面试官明白应聘者的心中有诸多委屈不满，但是他也同样会担心一旦雇佣了这位应聘者，将来有一天他也会用同样的方法来对待自己的公司。

所以，回答这个问题的关键，就是要处理好两者之间的矛盾，既要表达合情合理的离职原因，又要隐藏自己对先前职位的不满情绪。

网友“大兵锐克”建议大家说以下3点：

1、追求个人发展：目前的职位限制，寻求更高的发展空间;

2、仰慕公司：贵公司是我仰慕已久;

3、家庭原因：比如异地回乡等。

大概率问题2：请自我介绍一下!

面试中，考官的第一个问题通常都是：“是否可以先请您作一下自我介绍?”虽然大多数面试考官的手头都已经有求职者的简历了，但他们还是会要求应聘者作一个自我介绍。因为这个问题既是一个很好的开场白，又可以借机考察应聘者的语言表达能力、应变能力、心理承受能力和逻辑思维能力等。

因此，应聘者必须在短暂的时间里展示自我，抓住考官的“心”。要实现这个目的，应聘者至少要做到五个“有”：

有聚。应聘者的眼睛最好要多注视面试考官，将面试考官的注意力集中在自己身上。

有节。应聘者在介绍的时候要掌握好节奏，既不宜太长，也不能过于简短，适当地把握好时间将给考官留下良好的印象。

有序。叙述的条理要清晰，让人听得明白，边说边在心里整理一番，找不到话时宁可结束，避免一时慌忙乱了头绪。

有新。诸如姓名、教育经历、工作经历等简历表上已经有的东西不用过多重复，面试的自我介绍要有新意。应聘者宜将重点放在与应聘职位相关的工作经历和所取得的成绩上，包括在简历中未能体现的工作心得和能力。

有礼。礼貌地作一个简短的开场白和结束后道一声谢谢，都会为您的面试印象加分。

大概率问题3：还有什么问题要问吗?

“最后一问”该问些什么?一般来说，围绕公司、职位的提问会让面试官觉得你确实是关心这份工作的。虽然常规的公司介绍、职位描述会在面试里完成，但你不妨就此问题深入下去。

以下几个问题，供求职者参考：

1.公司对这个岗位的期望是什么样的?其中，哪些部分是我需要特别努力的?

2.公司是否有正式或非正式培训?

3.公司的升迁渠道如何?

4.公司是否有外派或轮调的机会?

5.是否有资深的人员能够带领新进者，并让新进者有发挥的机会?

6.公司强调团队合作。那在这个工作团队中，哪些个人特质是公司所希望的?

7.公司是否鼓励在职进修?对于在职进修是否有补助?

8.能否为我介绍一下工作环境，或者我是否有机会能参观一下贵公司?

同时，你也要知道，最后一问不该问什么：

1. 薪资待遇

企业的薪水待遇和福利措施等，毫无疑问是大家最关心的问题，但却不适合在“最后一问”中提出。若岗位工资固定，有时面试官会在面试过程中有所透露;若工资随个人表现而变化，那在初次面试中早早提出薪资要求，应聘者就失去先机了。所以，如果面试官没有主动提及，此类问题不适合提出。

2.过于高深的问题

不要把自己想象成记者!如果你不是应聘高管，就不要提出那些连面试官都难以招架的问题。所谓“在其位，谋其职”，毕竟面试官考量的是应聘者的关注点和兴趣是否适合应聘岗位。太过高深的问题，不仅不能让你从中获益，甚至会让面试官认为你好高骛远，引起反感。

3.超出应聘岗位的问题

有趣的概率和“智猪博弈”现象篇3

一、概率和抛硬币试验

生活中经常遇到一些无法预测结果的事，它们被称为随机事件。概率是描述随机事件发生可能性大小的度量。瑞士数学家雅各布·贝努利被公认为是概率理论的先驱，他给出了著名的大数定律，阐述了随着试验次数的增加，频率会稳定在概率附近的规律。

通过抛掷一枚一元硬币，观察它落地时哪一面朝上，对概率进行感知试验。以100次为一组，分别抛3个100次，记录硬币正反面出现的频数，然后计算得出概率。

试验结果表明，投掷硬币时，正反面出现的概率接近0.5，所以比赛或游戏中用抛硬币的方式是公平的。当然，由于设计的原因，如果硬币正反面的花纹不一样，可能导致重心与中心的微小偏差。

二、博弈论和“智猪博弈”模型

《现代汉语词典》将博弈论定义为“研究具有不同利益的决策者在利益相互制约情况下如何决策以及决策的总体效果的理论。”学者们认为，博弈论就是研究互动决策的理论，又称为对策论。

“智猪博弈”模型由约翰·纳什于1950年提出。假设猪圈里有一头大猪和一头小猪，猪圈一边有饲料的出口和食槽，另一边有一个踏板。每踩一下踏板，在远离踏板的另一边就有10个单位的猪食进槽。如果大猪先到槽边，大小猪吃到食物的收益比是9∶1；如果大猪和小猪同时到达槽边，大小猪的收益比是7∶3；如果小猪先到槽边，大小猪的收益比是6∶4。但是，踩完踏板之后跑到食槽所需要付出的“劳动”，要消耗相当于2个单位的食物。

表1是大、小猪的“纯收益”矩阵，可以看出猪的选择。

表1 “智猪博弈”模型

从矩阵中可以看出，当大猪选择行动时，如果小猪也行动，小猪收益是1，而小猪等待的话，收益是4；当大猪选择等待时，如果小猪行动，小猪收益是-1，而小猪等待的话，收益是0。综合来看，无论大猪选择行动还是等待，小猪的最好选择都是等待，即等待是小猪的占优策略。反观大猪，明知小猪不会去踩踏板，但由于踩踏板比不踩强，所以只好亲力亲为了。

三、现实中的“智猪博弈”现象

“智猪博弈”模型给了竞争中的弱者——小猪以等待为最佳策略的启发。在现实生活中，有许多“智猪博弈”的例子，它反映的是一种参与人地位不对等的博弈结构，这种不对等可以是参与人拥有的信息和支付函数，也可以是参与人所采取的策略和行动。

在股份公司中，大股东类似大猪，他们收集信息、监督经理，拥有决定经理任免的投票权；而小股东类似小猪，他们不直接花精力去监督经理，投票权重也往往无足轻重，但他们却可以从大股东的监督中受益。

在技术创新市场上，大企业类似大猪，它们投入大量资金进行技术创新、开发新产品；而中小企业类似小猪，它们可能一时无法进行大规模的技术创新，但可以采取“跟随策略”，等待大企业的新产品形成新的市场后，仿制大企业的新产品展开销售。

在企业经营中，学会如何“搭便车”是一个精明的职业经理人最基本的素质。高明的管理者善于利用各种有利条件为自己服务。比如，小酒店开在大酒店旁边，农家乐开在靠近风景区的地方等。

在教育系统内，教师同样可以利用博弈论更好地指导学生开展协作学习。教师需要帮助学生树立正确的协作态度和实行合理的评价制度，调整学生在合作中“搭便车”和“小团体主义”思想，解决学生个人与集体的矛盾以及个人与个人的矛盾。

有趣的概率小故事篇4

一、歧路亡羊的故事

杨子之邻人亡羊,既率其党,又请杨子之竖追之. 杨子曰:“嘻!亡一羊,何追者之众?”邻人曰:“多歧路. ”既返,问:“获羊乎?”曰:“亡之矣.”曰:“奚亡之?”曰:“歧路之中又有歧焉,吾不知所之,所以反也. ”

下面我们就来研究一下杨子的邻人找到丢失的羊的可能性有多大. 假定所有的分岔口都各有两条新的歧路. 这样,每次分岔的总歧路数分别为21,22,23,24,…,到第n次分岔时,共有2n条歧路. 因为丢失的羊走到每条歧路去的可能性都是相等的,所以当羊走过n个三岔路口后,就可能找羊的人分配不过来了. 例如,当n=5时,即使杨子的邻人动员了6个人去找羊,找到羊的可能性也只有还不及五分之一. 可见,邻人空手而返,是很自然的事了!

二、数学家很厉害的故事

在第二次世界大战中,盟军为了和德国法西斯作战,大量军需物资要穿过大西洋运送到各个战场. 可是在1943年以前,负责运送物资的英美船队常常受到德国潜艇的袭击,损失惨重. 当时英美两国限于实力,无力增派更多的护航舰,一时间德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额,海上运输成了令人头疼的问题.

在这进退两难之际,有位美国海军将领专门去请教了几位数学家. 数学家运用概率论分析后发现,运输舰队与敌军潜艇相遇是一个随机事件,即船队是否被袭击,取决于航行过程中是否与敌潜艇相遇,而与敌潜艇是有可能发生,又有可能不发生的. 从数学角度来看这一问题,它具有一定的规律.

1. 一定数量的船只,编队规模越小,批次就越多;批次越多,与敌潜艇相遇的概率就越大. 比如,5位同学放学后各自回到自己的家里,老师要找一位同学,随便去哪一位同学家都行. 但若这5位同学都集中在其中某一位同学家里,老师可能要找几家才能找到他们,一次找到的可能性只有五分之一,即20%.

2. 一旦与敌潜艇相遇,船队的规模越小,每艘船被击中的可能性就越大. 这是因为德军潜艇的数量与船队中船只的数量相比总是少的,潜艇所载弹药有限,每次袭击,不论船队规模多大,被击沉的数目基本相等. 假如运输船的总量为100艘,按每队20艘船编队,就要编成5队;而按每队10艘船编队,就要编成10队. 两种编队方式与敌潜艇相遇的可能性之比为5∶10,即1∶2. 假设每次遭到敌潜艇袭击损失5艘运输船,那么,上述两种编队方式中每艘船被击中的可能性之比为5/20∶5/10=1∶2. 两者结合起来看,两种编队方式中每艘运输船与敌潜艇相遇并被击沉的可能性之比为1∶4.这说明,100艘运输船,编成5队比编成10队的危险性小.

美国海军接受了数学家的建议,改进了运输船由各个港口分散起航的做法,命令船队在指定海域集合,再集体通过危险海区,然后各自驶向预定港口. 奇迹出现了,盟军船队遭袭击被击沉的概率由原来的25%降低为1%,大大减少了损失,保证了战略物资的供应. 于是,美国军方宣称:一名优秀数学家的作用,超过十个师的兵力!

同学们,这些概率小故事是不是特别的有趣呢,通过这些故事我们知道了学好概率、学好数学特别的有价值,希望我们一起学好数学,将来用我们的所学展示更多数学的价值.

行测概率问题详细总结篇5

概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。任何事件的概率值一定介于0和1之间。有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。

在客观世界中，存在大量的随机现象，其产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。随机变量分为有限和无限，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。

在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。如果随机变量是连续的，那么它有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，其分布曲线是有规律的，这就是正态分布。正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。平均值也叫数学期望，差异度也叫标准方差。10.2.1 古典概率

所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量，记为P(A)。规定P(A)≥0，P(Ω)=，而事件A所含的样本数，即有利于事件A发生的基本事件数为NA，则事件A的概率便定义为：1。满足下列两条件的试验模型称为古典概型：（1）所有基本事件是有限个；（2）各基本事件发生的可能性相同。在古典概型中，设其样本空间Ω所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为N。10.5（取球问题）袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。（1）有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球。（2）无放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球。（3）一次取球：从袋中任取3个球。

在以上取法中均求A={恰好取得2个白球}的概率。

解：（1）有放回取球N = 8×8×8 = 83 = 512（袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等）（先从三个球里取两个白球，第一次取白球有5种情况，第二次取白球还有五种情况<注意是有放回>，第三次取黑球只有三种情况）。

= = 336，故。 7  = 8 （2）无放回取球N（3）一次取球，故

古典概率具有下面的性质。

B，则P(B-A)=P(B 若A)-P(A)。即差的概率等于概率之差。B，则P(A)≤P(B)。即概率的单调性。 若A

P(A)≤1，对任意事件A，P()=1-P(A)。

对任意事件A，B，有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)。

10.6 设A，B，C为三个事件，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25，P(AB)=0，P(AC)=0，P(BC)=0.125，求A，B，C至少有一个发生的概率。

AB，故0≤P(ABC)≤P(AB)解：由于ABC = 0，从而P(ABC)= 0。所求概率为

P(BC) P(AC) P(AB)C)= P(A)+ P(B)+ P(C)BP(A + P(ABC)

10.2.2 条件概率

在实际问题中，常常需要计算在某个事件B已发生的条件下，另一个事件A发生的概率。在概率论中，称此概率为事件B已发生的条件下事件A发生的条件概率，简称为A对B的条件概率，记为P(A P(A)。设

P(A1)≥P(A1A2)≥P(A1A2A3)≥…..≥P(A1A2…An–1)＞0，故公式右边的每个条件概率都是有意义的，于是由条件概率定义可得。

10.7 甲、乙和丙3人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4个难题签，按甲先、乙次及丙最后的次序抽签。求甲抽到难题签、甲和乙都抽到难题签、甲没抽到难题签而乙抽到难题签及甲、乙和丙都抽到难题签的概率。

解：设A，B和C分别表示甲、乙和丙各抽到难题签的事件，则有，。

在概率中，还经常利用已知的简单事件的概率，推算出未知的复杂事件的概率。为此，常需把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和，再由简单事件的概率求得最后结果，这就需要用到全概率公式。在很多实际问题中若事件A发生的概率的计算比较困难，则可利用全概率公式转为寻求划分B1，B2，…Bn及计算P(Bi)和P(A | Bi)的问题。

10.8 盒中有12只新乒乓球，每次比赛时取出3只，用后放回，求第3次比赛时取到的3只球都是新球的概率。

解：设A表示第3次比赛取到3只新球的事件，Bi(i = 0,1,2,3)表示第2次取到i只新球的事件，由，得。

10.9 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 概率 0 1 2 3 4

现进行抽样检验，从每批中随机抽取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，求一批产品通过检验的概率。

解：设A表示一批产品通过检验的事件，Bi(i = 0,1,2,3,4)表示一批产品中含有i件次品，则由，，，，，得。

10.2.3 贝叶斯公式的一个划分，且，则的事件，B1，B2，…Bn为设A为样本空间。这一公式称为贝叶斯公式。若把A视为观察的“结果”，把B1，B2，…Bn理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并做出了“由果溯因”的推断。

10.10 设某工厂甲、乙和丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%和20%。且各车间的次品律依次为4%，2%和5%。现在从待出厂产品中检查出1个次品，问该产品是由哪个车间生产的可能性大？

解：设A表示产品为次品的事件，B1，B2，B3分别表示产品有甲、乙和丙车间生产的事件，则由，，，得

于是有；

；

。可知该产品是由甲车间生产的可能性最大。10.2.4 事件的独立性及贝奴里实验

设事件A，B满足，则称事件A，B是相互独立的。若事件A，B相互独立，且，则有，在实际问题中，常常不是根据定义来判断事件的独立性，而是由独立性的实际含义，即一个事件发生并不影响另一个事件发生的概率来判断两事件的相互独立性。

假设在相同条件下进行n次重复试验，并且每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；同时在每次试验中，A发生的概率均一样，即；而各次试验是相互独立的，则称这种试验为贝努里概率模型，或称为n重贝努里试验。

在n重贝努里试验中，人们感兴趣的是事件A发生的次数。若表示n重贝努里试验中A出现k(0≤k≤n)次的概率，，则n重贝努里试验A中出现k次的概率计算公式为。

10.11 一大楼有5个同类型的独立供水设备，调查表明，在任意时刻t，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻，（1）恰有两个设备被使用的概率是多少？（2）至少有三个设备被使用的概率是多少？（3）至多有三个设备被使用的概率是多少？（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？

解：在同一时刻观察5个设备，它们工作与否是相互独立的，故可视为5重贝努里试验，p = 0.1，q = 1−0.1 = 0.9，于是可得（1）。（2）。（3）。（4）。

10.2.5 离散型随机变量及其分布

为了使各种不同性质的试验能以统一形式表示实验中的事件，并能将微积分等工具引进概率论，需引入随机变量的概念。设试验的样本空间为Ω，在Ω上定义一个单值实函数X = X(e)，e∈Ω，对试验的每个结果e，X = X(e)有确定的值与之对应。由于实验结果是随机的，所以X = X(e)的取值也是随机的，称此定义在样本空间 Ω上的单值实函数X = X(e)为一个随机变量。引进随机变量后，试验中的每个事件便可以通过此随机变量取某个值或在某范围内取值来表示。通俗地讲，随机变量就是依照试验结果而取值的变量。如果随机变量X的所有可能取值为有限个或可列个，则称随机变量X为离散型随机变量。下面看一下离散型随机变量的几个重要分布。1．两点分布

如果随机变量X为0时概率为q，为1时概率为p，并且q = 1-p，0 < p < B(1,P)。1，则称X服从参数为p的(0-1)两点分布，简称为两点分布，记为X 2．二项分布

如果随机变量X的分布律为，k = 0, 1, 2…n，其中0 < p < 1，q = 1 − p，则称X服从参数为(n，p)的二项分布，记为X～B(n，p)。

10.12 一批产品的废品率为0.03，进行20次独立重复抽样，求出现废品的频率为0.1的概率。

解：令X表示20次独立重复抽样中出现的废品数。X～B(20，0.03)（注意：不能用X表示频率，若X表示频率，则它就不服从二项分布），所求的概率为。

3．泊松分布

如果随机变量X的分布律为P{X = k} =，k = 0，1，2，…其中 >)(0，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~)。P(或者X)且已知P{X = 1} = P{X = 2}，求P{X =(10.13 设X~ 4}。)，即X的分布律为P{X = k} =，k = 0，1，2，…于是有，由P{X = 1} = P{X = 2}可得方程(解：由于X~(2)于是 = 2，0（弃去）。所以X~2。解得 = ，即2 查表0.0902。10.2.6 连续型随机变量及其分布

所谓连续型随机变量是指此随机变量的可能取值至少应充满某个区间且其分布函数应当是连续的，设F(x)为随机变量X的分布函数，如果存在非负函数f(x)使得对任意实数X，有，则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度。对于概率密度，有一个重要的结果：。

10.14 一种电子管的使用寿命为X小时，其概率密度为某仪器内装有三个这样电子管，试求使用150小时内只有一个电子管需要换的概率。

解：首先计算一个电子管使用寿命不超过150小时的概率，此概率为，令Y表示工作150小时内损坏的电子管数，则，服从二项分布。于是，此仪器工作150小时内仅需要更换一个电子管的概率。1．均匀分布

如果随机变量X的概率密度为，则称X在区间[a，b]上服从均匀分布，记为X~U[a，b]；其分布函数为。10.15 某公共汽车从上午7：00起每隔15分钟有一趟班车经过某车站，即7：00，7：15，7：30，…时刻有班车到达此车站，如果某乘客是在7：00至7：30间等可能地到达此车站候车，问他等候不超过5分钟便能乘上汽车的概率。

解：设乘客于7点过X分钟到达车站，则X～U[0，30]，即其概率密度为f(x)=，于是该乘客等候不超过5分钟便能乘上汽车的概率为

p{10≤X≤15或25≤X≤30} = p{10≤X≤15} + p{25≤X≤30} =。2．指数分布

如果随机变量X的概率密度为，其中 >)，其分布函数为。的指数分布，记为X~E(0，则称X服从参数为

=10.16 设随机变量X服从参数为 0.015的指数分布。（1）求p{x > 100}。

（2）若要使p{X > x} < 0.1，问x应当在哪个范围内？解：由于X～E(0.015)，即其概率密度为，于是，（1）p{X > 100} =

（2）要p{X > 0} < 0.1，即。

取对数，便得−0.015x < 1n0.1，于是便解得。3．正态分布

2(，如果随机变量X的概率密度为，其中 > 2)的正态分布，记为X～N(，0)为常数，则称X服从参数(2)。， = 1的正态分布N(0，1)为标准正态分布，其概率密度为 = 0，称；分布函数为（其值有表可查）。10.17 从某地乘车前往火车站，有两条路可走。（1）走市区路程短，但交通拥挤，所需时间X1～N（50，100）。（2）走郊区路程长，但意外阻塞少，所需时间X2～N（60，16）。若有70分钟可用，应走哪条路线？

解：走市区及时赶上火车的概率为，走郊区及时赶上火车的概率为P{0≤X2≤70}=(2.5)=(−12.5)= (2.5)− = 0.9938，故应走郊区路线。如果还有65分钟可用，情况又如何呢？同样，走市区及时赶上火车的概率为P{0≤X1≤65}

(1.25)= 0.8994，此时便应改走市区路线。 而走郊区及时赶上火车的概率便为P{0≤X2≤65}= 本讲自测

1．取数问题。从0,1,……,9共10个数字中随机不放回的接连取4个数字，并按其出现的先后次序排成一列，求下列事件的概率：（1）4个数排成一个偶数；（2）4个数排成一个4位数；（3）4个数排成一个4位偶数。

2．为了防止意外，在矿内安装两个报警系统a和b，每个报警系统单独使用时，系统a有效的概率为0.92，系统b的有效概率为0.93，而在系统a失灵情况下，系统b有效的概率为0.85。试求：（1）当发生意外时，两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）在系统b失灵情况下，系统a有效的概率。

3．某种诊断癌症的实验有如下效果：患有癌症者做此实验反映为阳性的概率为0.95，不患有癌症者做此实验反映为阴的概率也为0.95，并假定就诊者中有0.005的人患有癌症。已知某人做此实验反应为阳性，问他是一个癌症患者的概率是多少？

4．设电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从参数λ=3的泊松分布。（1）求在一分钟内接到超7次呼唤的概率；（2）若一分钟内一次呼唤需要占用一条线路。求该交换台至少要设置多少条线路才能以不低于90％的概率使用户得到及时服务。

公务员考试行测判断推理讲解：概率问题

概率题是公务员考试行测数量关系模块中数学运算计数问题中的重要题型之一。但是，在2009年国家公务员考试《行政职业能力测验》中，概率题却“改头换面”，以与在运算计数问题模块完全不同的表现形式出现在了判断推理模块中。

面对这样的题型，很多考生无从下手，觉得没有思路。下面，国家公务员网将以2009年国家公务员考试第92题为例，揭开概率题在国家公务员考试行测判断推理模块中的神秘面纱，帮助各位考生捋顺概率类题目的做题思路，快解准确这类考题。

【原题】

有三个骰子，其中红色骰子上2、4、9点各两面；绿色骰子上3、5、7点各两面；蓝色骰子上1、6、8点各两面。两个人玩掷骰子的游戏，游戏规则是两人先各选一个骰子，然后同时掷，谁的点数大谁获胜。那么，以下说法正确的是？（2009年国家公务员考试行政职业能力测验真题-92题）

A.先选骰子的人获胜的概率比后选的骰子的人高 B.选红色骰子的人比选绿色骰子的人获胜概率高 C.获胜概率的高低于选哪种颜色的骰子没有关系 D.没有任何一种骰子的获胜概率能同时比其他两个高

【解析】

首先：捋顺题干信息。三个骰子：红色骰子（2、4、9）；绿色骰子（3、5、7）；蓝色骰子（1、6、8）。问那种颜色的骰子获胜的概率大。

其次：任选两种骰子进行比较。例如红色骰子（2、4、9）与绿色骰子（3、5、7）比较。

2《3；2《5；2《7 4》3；4《5；4《7 9》3；9》5；9》7 通过比较可以得出：红色骰子胜出的概率是4/9，绿色骰子胜出的概率是5/9。因此绿色骰子的获胜概率大于红色骰子。

同理将红色骰子（2、4、9）与蓝色骰子（1、6、8）比较，绿色骰子（3、5、7）与蓝色骰子（1、6、8）比较，可以得出：红色骰子的获胜概率大于蓝色骰子；蓝色骰子的获胜概率大于绿色骰子。

综上得出，绿色》红色；红色》蓝色；蓝色》绿色。先选的人肯定吃亏，因为总能找出概率比先选的大的骰子，A错误；红色骰子比绿色骰子获胜概率低，因此B错误；获胜概率的高低肯定与骰子的颜色有关系，因此C错误；没有任何一种骰子的获胜概率能同时比其他两个高，因此D对。

【总结】

首先，概率问题放在判断推理模块考查，与其在运算计数问题模块考查相比，运算难度相对较低；

其次，需要掌握基本的概率运算公式，比如，概率=满足条件的情况数÷总情况数。例如红色骰子与绿色骰子比较时，“总情况数”是9；针对于红色骰子的点来说，比绿色骰子的点大的情况为“满足条件的情况数”，即4次；因此红色骰子胜出的概率为4/9。针对绿色骰子的点来说，比红色骰子的点大的情况为“满足条件的情况数”，即5次；因此绿色骰子胜出的概率是5/9。因为5/9》4/9，由此可知绿色骰子的获胜概率大于红色骰子。

最后，在做这类题目时，一定首先捋顺题干信息，戒骄戒躁，相信胜利一定属于你！

公考行测：数量关系之简单概率问题

www.gwy114.net | 时间:2009-04-09 | 点击率:2675次【大中小】【打印】

简单概率问题

1.随机事件基本概念

随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；

必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；

不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件

2.古典概型

古典概型的概率公式(有时也叫等可能事件的概率公式)：P(A)=A所包含的基本事件的个数/总的基本事件个数。注意在利用等可能事件的概率公式解题时，首先要确定试验中各基本事件出现的机会是均等的。同时还要注意分析题中条件，以便于确定基本事件的个数。【例题1】

将一个硬币掷两次，恰好有一次正面朝上且有一次反面朝上的概率是多少?()。

A.1／2 B.1／3 C.1／4 D.2／3 【解析】

硬币投掷两次一共可能的情况有：（正，正）（正，反）（反，正）（反，正），那么有一次为正且有一次为反的概率为2÷4= ,选A。

【例题2】

在箱子中有十张卡片，分别写有1到10的十个整数；从箱子中任取一张卡片，记下它的读数X ,然后再放回箱子中；第二次再从箱子中抽取一张卡片，记下它的读数Y,试求X+Y是10 的倍数的概率。【解析】

先后两次抽取卡片，第次都有1~10这10 种结果，帮有序实数对(X,Y)共有10X10=100个。因为X+Y是10的倍数，它包含下列10个数对：(1,9)、(2,8)、(3,7)、(4，6)、(5,5)、(6,4)、(7,3)、(8，2)、(9,1)、(10,10)，故X+Y是10 的倍数的概率为P=10/100=1/10.【例题3】向假设的三个军火库投掷一个炸弹，炸中第一军火库的概率为0.025；其余两个各为0.1，只要炸中一个，别两个也要爆炸。求军火库发生爆炸的概率。【解析】

设以A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件，于是P(A)=0.025，P(B)=P(C)=0.1。又设D表示军火库爆炸这一事件，则有D=A+B+C。其中A、B、C是互斥事件，因为投掷了一个炸弹，不会同时炸中两个以上的军火库。所以P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225。

出自公务员百事通 [编辑：晴歆]

公务员考试行测数量关系冲刺：几何概率

2011-01-05 08:40 华图网校点击: 公务员考试行测数量关系冲刺：几何概率

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例题：甲乙两人相约见面，并约定第一人到达后，等15分钟不见第二人来就可以离去。假设他们都在10点至10点半的任一时间来到见面地点，则两人能见面的概率有多大？（2010年4月25日联考第10题）

A.37.5％

B.50％

C.62.5％

D.75％

这是几何概型中一道典型的会面问题。几何概型是在古典概型的基础上进一步发展起来的，是等可能事件的概念从有限到无限延伸，它们之间的主要区别就是，几何概型中等可能事件是无限多个，而古典概型中等可能事件只有有限多个。在古典概型中，因为基本事件是有限个，由古典概型的计算公式，只要知道所求事件包含的基本事件个数再除以总的基本事件个数就可以了；而在几何概型中，由于基本事件是无限多个，解题就相对来说比较困难了，但是近几年来的省考中已经考了不少几何概型，因此华图教育特别提示考生引起足够重视。下面华图教育就先大家介绍一下几何概型。

一、几何概型的定义：

向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在子区域的概率与的面积成正比，而与的形状、位置无关，即则称这种模型为几何概型。

几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比。

二、几何概型的特点是：

（1）无限性：在每次试验中，可能的出现的结果有无穷多个；

（2）等可能性：在每次试验中，每个结果出现的可能性相等。

三、例题详解

【例1】公交车每隔10分钟来一辆。假定乘客在接连两辆车之间的任何时刻随机地到

达车站，试求乘客候车时间不超过3分钟的概率。

解：从前一辆开出起计算时间，乘客到达车站的时刻t可以是[0，10）中的任何一点，即G={t︱0≤t<10}，由假定，乘客到达时刻t均匀地分布在G内，故问题归结为几何概型，设表示“乘客候车不超过3分钟”的事件，则={t︱0≤t≤3}

【例2】某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。

解：设={等待的时间不多于10分钟}.事件恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内。

【例3】（会面问题）甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内，在预定地点会面。先到的人等候另一个人，经过时间 t（t

解：从0点开始计时，设两人到达的时刻分别为x，y，则

G={（x，y）︱0≤x≤T，0≤y≤T}

假定两人到达时刻是随机的，则问题归结为几何概型，设A表示“两人能会面”事件，则={（x，y）︱0≤x≤T，0≤y≤T，︱x-y︱≤t}（图中的阴影部分），则

注：开头的题目，只需将数据应用到这个公式里，答案选D。

概率题是公务员考试《行政职业能力测验》考试数量关系模块中数学运算计数问题模块重要题型之一，本文中华图公务员考试辅导专家李委明老师通过2009年浙江省公务员考试行政职业能力测验真题中的“牛奶糖概率”问题详细阐释了

条件概率题的解题公式及其运用。

【原题】小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。小孙任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。问小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的可能性（概率）是多少？（2009年浙江省公务员考试行政职业能力测验真题-52题）A.1/3 B.1/4 C.1/5 D.1/6 ［华图答案］C ［华图解析］小孙任意取出两颗糖有以下六种情况：“巧果、巧奶

1、巧奶

2、果奶

1、果奶

2、奶1奶2”。其中有五种情况满足“其中一颗是牛奶味”这个条件，而要另外一颗也是牛奶味，只有“奶1奶2”这一种情况，所以概率为1/5。

这是一道典型的条件概率题，下文中华图公务员考试研究中心李委明老师将通过上例来进一步阐述条件概率题的解题公式及其运用。

题型类型：条件概率。

条件概率的公式：

P(A︱B)≡“B成立时，A也成立”的概率

＝P(A∩B)/P(B)≡“A和B都成立”的概率÷“B成立”的概率

上述例题要问的是：

“其中一颗是牛奶味”时，“另一颗也是牛奶味”的概率

套用公式＝

“其中一颗是牛奶味，并且，另一颗也是牛奶味”的概率÷“其中一颗是牛奶味”的概率

前者等于1/6，后者等于5/6，所以答案就是1/5(这个应该很容易算了)李老师关于此题的三个说明：

1、上面这个只是为了消除分歧严格按公式来计算，实际考试的时候简单数数就能出来，“其中一颗是牛奶味”明显有5种情况，“两颗都是牛奶味只有1种情况”直接得到1/5

2、很多说是1/3，这是错的，题目只有这样问才是1/3，“口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶的。小孙任意从口袋里连续取出两颗糖，他看了看后说，第一颗是牛奶味的，问小孙取出的第二颗糖也是牛奶味的可能性（概率）是多少？”这个才是很多人说的1/3，解起来就很简单，第一颗是牛奶味的，第二颗还有三种选择，只有一种满足条件，所以是1/3。按照我上面给的公式也可以。“第一颗是牛奶味”时，“第二颗也是牛奶味”的概率＝“第一颗是牛奶味，并且，第二颗也是牛奶味”的概率÷“第一颗是牛奶味”的概率＝(1/6)÷(1/2)=1/3

3、还有一个重要的概念必须澄清，也是考生容易出问题的地方，在计算简单概率的时候，我们用到的基本公式：概率＝满足条件的情况数÷总情况数。在这里数“情况数”的时候，如果遇到有像这个题目里说的“两颗都是牛奶味”的情况数，我们数情况就应该特别注意了。虽然我们应该认为这两颗牛奶糖是相同的，而事实上我们要分情况来看：如果是计算排列组合的时候确实应该视为相同（就是说如果问你从这四颗糖里拿出两颗，有几种情况，答案就是4种：巧果、巧牛、果牛、牛牛）；但是如果是计算概率的时候数有多少种情况，就一定必须把两颗牛奶糖视为不同的（就是说在用概率公式“概率＝满足条件的情况数÷总情况数”里的“总情况数”就是6而不是4：巧果、巧牛

1、巧牛

2、果牛

1、果牛

【有趣的概率问题】推荐阅读：

斗地主中的概率问题08-01

中考概率问题06-02

概率三问题08-17