欧拉公式

欧拉公式（精选4篇）

欧拉公式 篇1

高中数学新教材注重学生的研究性学习, 其中§9.9“多面体欧拉公式的发现”就是以研究性课题的形式设计, 通过这一节的学习使学生体会到了主动参与的发现式学习活动, 培养了他们通过观察发现规律并证明所得猜想的能力.但在教学过程中也发现学生对“欧拉公式”的记忆、证明、应用还存在较大的困难.

一、中西结合记公式

欧拉公式:V+F-E=2

记忆时可采用“中西结合”:

(1) 各字母的含义:

V—顶点数,

vertex (顶点) 的第一个字母;

F—面数,

face (面) 的第一个字母;

E—棱数,

edge (棱) 的第一个字母;

(2) 公式的结构

等式左边字母按英语中字母倒序排列:V→F→E, 等式右边是阿拉伯数字2, 而不是0;

(3) 公式适用范围:简单多面体.

二、理解实质用公式

欧拉公式的证明及其应用中难点在于找到顶点数、面数、棱数之间的关系.特别是在列等式时要注意多面体的棱数与各面多边形边数总和之间的关系, 避免重复计算.

在利用欧拉公式“V+F-E=2”解有关简单多面体的题目中笔者总结出以下两条:

(1) 2点对1棱:多面体的每两个顶点对应同一条棱;

(2) 2边对1棱:多面体的每一条棱对应两个相邻多边形的公共边.

下面举例说明利用以上两条结合“欧拉公式”在多面体问题中的应用:

例1 每个面都是五边形, 以每个顶点为一端都有三条棱的简单多面体, 有多少个面, 多少条棱, 多少个顶点?

解:因为每个顶点为一端都有三条棱,

所以3V=2E (2点对1棱) , 即$V=\frac{2}{3}E$。

所以每个面都是五边形,

所以5F=2E (2边对1棱) , 即$F=\frac{2E}{5}$。

又因为V+F-E=2,

所以$\frac{2}{3}E+\frac{2}{5}E-E=2$,

所以E=30, F=12, V=20.

例2 C70分子是与C60分子类似的球状多面体结构, 它有70个顶点, 以每个顶点为一端都有3条棱, 各面是五边形或六边形.求C70分子中五边形和六边形的个数. (新教材高二下A习题9.9, 第3题)

解:分别设五边形、六边形的个数为x, y.因为有70个顶点, 每个顶点为一端都有3条棱, 各面是五边形或六边形,

所以3×70=3V=2E (2点对1棱) ,

5x+6y=2E (2边对1棱) ,

V+F-E=2 (欧拉公式) ,

即5x+6y=3×70 ①

x+y=F=37 ②

由①②得:x=12, y=25.

例3 求证:不存在这样的一个多面体, 它的面数为奇数, 且各个面有奇数条边.

证明 (用反证法) 假设有一个多面体, 它的面数F是奇数, 各个界面多边形的边数分别为:m1, m2, …, mF, 则:m1+m2+mF=2E (2边对1棱) ,

此式的左边是奇数个奇数之和, 仍是奇数, 而右边是偶数, 故矛盾, 所以假设不成立, 所以不存在这样的一个多面体, 它的面数为奇数, 且各个面有奇数条边.

例4 求证:任一多面体的棱数不少于6.

证明 任一多面体, 由它的任一顶点出发的棱数不小于3, 棱数最少的多面体, 即是各面为三角形且每个顶点出发恰有三条棱的多面体, 于是:

3V=2E (2点对1棱) , 即$V=\frac{2}{3}E$;

3F=2E (2边对1棱) , 即$F=\frac{2}{3}E.$

由欧拉公式, 得到:

$\frac{2}{3}E+\frac{2}{3}E—E=2$, 解得E=6.

故任一多面体的棱数不少于6.

例5 一个凸多面体的棱数为30, 面数为12, 则它的各面多边形的内角总和为多少?

分析:设凸多面体各面边数分别为k1, k2, …, kF, 则各面多边形内角和分别为: (k1-2) ×180°, (k2-2) ×180°, …, (kF-2) ×180°, 所以内角总和= (k1-2) ×180°+ (k2-2) ×180°+…+ (kF-2) ×180°= (k1+k2+…+kF) ×180°-2F×180°.

因为k1+k2+…+kF=2E (2边对1棱)

所以内角总和=2E×180°-2F×180°

= (E-F) ×360°

结论:多面体各面多边形内角总和=

(E-F) ×360°= (V-2) ×360°

解:内角和= (E-F) ×360°= (30-12) ×360°=6480°.

浙江省绍兴市稽山中学

欧拉公式 篇2

关键词：欧拉公式,高等数学,复变函数

学习过高等数学的的人都学过欧拉公式,还知道欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式之一。其一般形式如下 :其中,e是自然对数的底, i是虚数单位,而且有“最美的数学公式”的美称。它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它不仅出现在数学分析里,而且在复变函数论里也占有非常重要的地位,更被誉为“数学中的天桥”。本文将以高等数学和复变函数这两门大学必(选)修课的知识对该公式的推导做如下归纳总结,为相关教研的老师和从事该领域研究的学生提供参考。

首先,我们先以所有本科生的必修课高等数学这门课程为基础来研究,当我们学习了级数的基本知识,这个公式的推导就可以总结如下 :

下面先给出一些级数部分的预备知识,即在学习级数章节的函数展开成幂级数的内容中,我们学习了三个重要函数——余弦cos x、正弦sin x、指数ex 函数的幂级数展开,当时我们用直接展开法将其分别展开为x的麦克劳林幂级数,现将其展开式的结论复习如下 :

接下来,我们作如下数据处理,在指数函数ex 函数展开式中的x用ix变量替换,其他什么都不变,这样便有如下新的展开结果 :

由众所周知的基本复数知识可知,

再将之前我们复习过得正余弦函数cos x、sin x的展开式代入上述结论便得,

即 ,就是我们推得的欧拉公式,但初等数学和高等数学里又习惯将欧拉公式中的x用θ替换写成如下的一般形式 :

这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数字联系到了一起 :两个超越数 :自然对数的底e ,圆周率π ,两个单位 :虚数单位i和自然数的单位1,以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

以上归纳了欧拉公式在高等数学中的详细推导过程,接下来在学习了复变函数课程中的相关知识后我们在对该公式的推导做如下整理归纳如下 :

大家都知道实初等函数指的是——幂、指、对、三角、和反三角这五类基本初等函数通过有限次的四则运算和复合运算能够用一个式子表示的函数,那么在我们学习复变函数这门课程的过程中,当然也会引入类似于实初等函数的复初等函数,当我们引入了复初等函数的概念之后,我们就可借助复初等函数中的复指数函数的定义来推导欧拉公式,推导过程简洁明了,现归纳如下 :

在复变函数这门课程中,复指数函数是这样定义的 :

接下来只要我们令复指数函数中复数z=x +iy的实部x =0即可,从而

即

同理用θ替换上式中的y便可写成如下欧拉公式的一般形式 :

欧拉公式在含参量积分中的应用 篇3

关键词：欧拉公式,三角函数,积分,含参量积分

一、引言

1748年, 欧拉在其著作中陈述出公式:eix=cosx+isinx, 其中x为任意实数, i为虚数单位。这就是著名而又简单的欧拉公式, 它自于复指数函数。可以容易得到如下公式:

该公式给出了指数函数与实三角函数的联系, 从而就有了在某些含三角函数的积分中应用此公式把积分变为指数函数的积分的可能, 并能使计算简化, 先看下例。

例1:计算 (a, b不同时为0) 。乙乙

分离出实部和虚部, 可得:

从上例中, 我们可以看出用欧拉公式的来计算积分比直接采用分部积分进行计算更为简便。此外, 该公式在含参量积分中有许多应用。

二、欧拉公式在含参量积分中的应用

1. 含参量正常积分。

例2.计算含参变量积分。

, 其中b>a>0.

解:注意到:

于是有:

又因为在x=0处的右极限为0, 补充定义后在x=0点连续。从而I1与I2中的被积函数在0≤x≤1, a≤α≤b上连续, 故可交换积分次序, 有:蓸蔀

令, 可以得到,

然后比较实部和虚部, 我们可以解得:

可以看出, 本例中先引入含参量正常积分, 再通过交换积分次序后利用欧拉公式一下算出两个积分, 也要比用分部积分法简单。

2. 含参量反常积分。

有些反常积分同样可以利用欧拉公式计算, 可以使计算简化。

例3.计算含参变量反常积分。

其中p>0, b>a.

于是,

又并且收敛, 知关于y一致收敛。交换积分顺序有:

例4.计算积分

解:注意到

而收敛, 由M判别法知该反常积分收敛。

由欧拉公式, 有:

三、小结

从以上例子可以看出欧拉公式可以用来计算一部分含参量的积分, 并能使计算大大简化。当然, 欧拉公式也可以用来计算一般的定积分、不定积分等, 这里不再赘述。

参考文献

[1]姜志基.欧拉公式及其应用[J].甘肃教育学院学报 (自然科学版) , 1997, (1) :62-65.

[2]徐光甫, 张邦基.欧拉公式中的数学美[J].东疆学刊, 1998, 15 (4) :33-34.

[3]赵永强, 申玉发, 何文杰, 易炜.欧拉公式的一个应用[J].河北省科学院学报, 2006, 23 (2) :1-4.

欧拉公式 篇4

1 有限循环群与生成元

定义1:若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方, 我们就把G叫做循环群;我们也说, G是由元a所生成的, 并且用符号G= (a) 来表示, a叫做G的一个生成元。

循环群G= (a) 根据生成元a的阶可以分成两类:有限循环群和无限循环群。

设G= (a) 是循环群, 若a是n阶元, 则G={a0=e, a 1, a 2, L, an-1}, 那么G=n, 称G为有限循环群即n阶循环群。若a是无限阶元, 则G={a0=e, a±1, a±2, L}称G为无限循环群。

定理1:设G= (a) 是循环群。

(1) 若G是无限循环群, 则G只有两个生成元即a和a-1。

(2) 若G是n阶循环群即有限循环群, 则G含有ϕ (n) (即欧拉函数) 个生成元, 对于任何小于等于n且与n互素的正整数r, ar是G的生成元。

定理证明从略。

2 欧拉函数

定义2:不大于m而与m互素的数的个数, 叫做欧拉函数Euler, 记为ϕ (m) 。

易知, 若p为素数, 则ϕ (p) =p-1。

定理2:若正整数m的素数幂分解式为

证: (1) 不大于m的1p的倍数共有个:

故不大于而与互素的数共有

(2) 不大于m的2p的倍数共有个:

其中个数

也是1p的倍数。所以, 是p2的倍数而不是1p的倍数的数共有个。因而, 不大于m而与1p, p2互素的数共有个。

(3) 不大于m的3p的倍数共有个:

但在:

这些数内还有p1, p2的倍数, 由第Ⅱ步的结论知:不大于而与p1, p2都互素的数共有有这些数与p3相乘所得之积才是p3的倍数而同时不是p1或p2的倍数。所以, 不大于m而与p1, p2, p3都互素的数共有

(4) 这样继续作下去。因为n为有限数, 故得不大于m而与p1, p2, …, pn都互素的数共有

个。所以:

证毕。

推论:若

证明从略。

3 有限循环群生成元个数n的计数公式

由定理1中的 (2) 与定理2以及其推论可得, 有限循环群生成元个数n的计算公式:

下面给出一个利用此公式求解有限循环群生成元个数的例子:

例:设G是循环群且|G|=12, 则由于个生成元。

4 结语

本文从欧拉函数的定义以及与有限循环群生成元的关系入手, 详细阐述了有限循环群生成元的计算公式这个问题, 从而使读者对有限循环群生成元的公式有更深刻的理解与应用。

摘要：本文从有限循环群的定义出发, 结合有限循环群的定理;从欧拉函数的角度给出了有限循环群生成元的计算公式。

关键词：有限循环群,生成元,欧拉函数

参考文献

[1]陈显强.有限循环群的一个计数定理[J].中山大学学报论丛, 2002 (2) :22, 1.

[2]张禾瑞.近世代数基础[M].高等教育出版社, 2005.

[3]耿素云, 屈婉玲.离散数学[M].高等教育出版社.

[4]李复中.初等数论选讲[M].东北师范大学出版社.