圆周运动及其模型分析

2024-10-04

圆周运动及其模型分析（精选10篇）

圆周运动及其模型分析篇1

圆周运动是高中物理知识中非常重要的一类问题, 同样的, 在实际生活和生产中, 圆周运动也有着其广泛的应用方向。对圆周运动更加深入的理解和学习可以帮助我们掌握物理的思维方法, 提高对物理知识灵活运用的能力, 对未来深入的学习与研究也能够起到重要的作用。

一、模型的建立

对于一个复杂问题的解决, 建立起行之有效的模型, 通过借助模型的定性分析, 从而简化思考过程达到问题解答。这一思考方式和解决实际问题的方法, 已经被证明是目前非常行之有效的针对实际问题的解决方案之一。通过建立一定的模型, 对实际所研究的问题做出一种较为抽象化的、无歧义的合理描述, 可以更好的理解所要研究的事物。而建立一个系统的模型, 是对这个系统研究的重要手段和方法。通过对所研究对象运行规律的分析, 根据其机理和已有的知识将其模型化, 进而通过对模型的运作来达实现对其更进一步的了解。

通过模型的建立, 可以把复杂多样的物理问题简化成一类固定模型, 通过掌握几种模型的计算方法和规律, 可以快速准确的解答很多貌似复杂的物理问题。模型的建立不仅可以提高解题的效率而且能够简化思考过程, 提高解答准确率。

二、几种圆周运动模型

(一) 轻绳模型

如下图所示, 一质量为m的小球受到一质量可以忽略不计的轻绳的约束下作圆周运动, 轻绳长为R。

轻绳模型不仅可以应用竖直平面内细绳牵引小球, 同样适用于一个圆形轨道内物体的运动, 而且可以拓展到带电物体在匀强磁场中运动的分析与计算。

(二) 轻杆模型

如图所示, 一个小球固定在一个质量可忽略不计的轻杆的一端, 在竖直平面内绕一个固定点做圆周运动, 可以设小球的质量为m, 轻杆长为R。

此时, 小球运动到最低点时有:

但小球运动到最高点时, 存在两种不同的情况:

(1) 轻杆提供拉力, 小球受到竖直向下的拉力和重力, 有:

(2) 轻杆提供支持力, 则有:

若小球在最高点时的速度为零, 则轻杆提供的支持力等于小球本身的重力。

所以, 在轻杆模型中, 小球可以达到最高点的临界速度v临界=0。

轻杆模型还可以应用在圆形管道中物体的运动等方面。

(三) 传动模型

这一类型中, 两个轮子或齿轮间通过链条、传送带或摩擦相连接, 其中一个圆周转动的同时带动从动的圆周运动, 对于这类模型, 两个圆周的旋转速度va=vb, wa∶wb=rb∶ra。

三、总结

可以看到, 通过建立起一个简单、明确的模型, 很多相对复杂多变的问题都能够进行实质上的归类。通过合理的分析总结, 建立起一定的方法, 可以在解决问题中获得更高的效率。而且建立模型的方法不只局限于解题和研究方面, 它在其他领域也有着十分广泛的应用, 如数学、计算机、建筑、经济、管理等诸多领域, 科学方法的运用对生活中方方面面都有着很大的的帮助。

圆周运动及其模型分析篇2

基于数学和分析力学角度分别推导了航空矢量重力测量的数学模型,得到了一致的模型公式;给出了矢量模型的3个分量形式,其中垂直方向的分量就是标量重力测量的数学模型;简要介绍了我国研制成功的航空标量重力测量系统CHAGS的数据处理的过程,分析了标量重力测量中测线交叉点和重复测线的重力异常的`精度;根据实测数据计算的结果表明:测线交叉点重力异常不符值的标准差约为5×10-5ms-2左右,重复测线的内符合精度优于5×10-5ms-2,达到了预期的要求.

作者：王丽红张传定王俊勤聂国兴 WANG Li-hong ZHANG Chuan-ding WANG Jun-qin NIE Guo-xing 作者单位：王丽红,WANG Li-hong(信息工程大学,测绘学院,河南,郑州,450052;61365部队,天津,300142)

张传定,ZHANG Chuan-ding(信息工程大学,测绘学院,河南,郑州,450052)

王俊勤,聂国兴,WANG Jun-qin,NIE Guo-xing(61365部队,天津,300142)

区间数模糊投资组合模型及其分析篇3

摘要在Markowitz投资组合模型中考虑流动性约束，用区间数描述证劵的期望收益率、风险损失率和换手率，建立考虑流动性约束的区间数模糊投资组合模型，利用区间规划的有关结论，将问题转化为参数线性规划问题求解，深入剖析了流动性约束及其他模型参数对投资决策的影响。

关键词投资组合选择区间数模糊线性规划区间规划

投资组合选择就是如何配置各种有价证券的头寸来最好地符合投资者对风险和收益的权衡。证券市场是一个极其复杂的系统, 证券的收益和风险都是不确定的, 这就使得投资者需要在一个不确定的环境下做出投资决策。1952年, Markowitz 建立了均值方差投资组合模型[1], 标志着现代证券组合投资理论的开始。

考虑到在证券市场中, 投资者对投资风险和收益水平往往有主观的意愿, 且未来的收益率是随时变化的, 过去的收益率和风险只能作为未来收益率和风险的参考, 预期收益率和风险的变化具有模糊性, 将证券组合投资的收益和风险以区间数描述, 则证券组合投资模型就转化为区间规划问题。已有许多学者对区间规划[2,3]和利用区间数理论对投资组合选择问题[4-7]进行了研究，取得了很多研究成果。Wang和Zeng等（2001）扩展Markowitz 模型为区间规划模型[4]；陈国华等（2007）利用模糊约束将Markowitz投资组合模型转化为模糊线性规划模型，用区间数来描述证券的期望收益率和风险损失率，建立了区间数模糊证券投资组合模型[6]；陈国华等（2010）引进区间数描述证券未来的收益、流动性和β值，建立了基于区间数的投资组合模型[7]。

本文在传统Markowitz投资组合模型中考虑流动性约束，用区间数描述证劵的期望收益率、风险损失率和换手率，建立了新的考虑流动性约束的区间数模糊投资组合模型并对模型进行了分析。

一、考虑流动性约束的区间数模糊投资组合模型的建立

正如Markowitz投资组合理论，在证劵投资决策理论中，投资收益和投资风险通常被认为是投资者所关心的两个主要因素。然而，在真正的投资实践中，证劵的流动性也不能忽视。证劵的流动性是指证劵的变现能力，目前度量证劵流动性的方法较多，如交易股数、交易笔数、交易金额、换手率和流通速度等。其中换手率是股票成交量（或成交额）与流通盘（流通市值）的比值，充分反映了股票的流动性。以表示证劵组合，表示第i种风险证劵的投资比例，表示第i种证劵的换手率，则投资组合的换手率为。投资者通常会对组合投资的换手率提出一个可接受的下限，以确保组合投资的流动性，使得投资易于快速变现，保障资金安全。

如上考虑投资者对投资组合流动性的要求，则传统的Markowitz投资选择模型演变为

其中表示第i种证劵持有期的收益率，为第i种证劵持有期的预期收益，为投资组合的方差（用以衡量投资组合的风险）。表示第i种和第j种风险证劵的协方差，表示第i种风险证劵的标准差，为投资者能承担的风险的上限，为投资第i种风险证劵的投资上限。

上述模型含有二次约束，给求解带来了困难。根据Elton和Gruber等人的研究[8,9]，假设不同股票相关系数相同, 。此时期望收益的方差可表为：

上式中右边最后一项的第二部分为非系统风险，根据Sharpe等的实证研究[10]，证劵组合的非系统风险与系统风险相比是非常小的，尤其当证劵组合的股票足够多，可利用模糊约束简化方差约束，，即。这里是模糊小于，其模糊不等式的隶属函数为

为投资人的容忍度。

根据模糊不等式的隶属函数并利用相关结论，组合证劵的风险约束可表为，是投资者的模糊隶属度，值从0到1逐渐变化。于是模型（P1）演化为

由于证劵未来的收益、流动性、风险证劵的标准方差是不确定的，其变化具有模糊性，可以看做一个模糊现象处理。本文用区间数表示模糊性，记，，，将问题参数模糊化，从而建立起考虑流动性的区间数模糊投资组合模型：

，是投资者给定的常数，代表投资者的悲观风险承受水平，代表投资者的乐观风险承受水平，代表投资者的悲观流动性接受水平，代表投资者的乐观流动性接受水平。

模型目标函数的区间数代表投资组合的不确定收益，约束条件（1）左边用证劵标准差的区间数代表投资组合的不确定风险，右边代表投资者的风险承受区间，约束条件（2）左边区间数表示证劵资产流动性的不确定性，右边表示证劵流动性的可接受区间。因而，模型是一个在不确定风险及不确定流动性约束条件下，最大化不确定收益的区间规划问题。其中不确定性用区间数来描述。由于约束条件引入区间序关系，上述问题不可能存在经典意义下的最优解。是一个带有区间系数的最优化问题。

当不考虑流动性约束时，退化为陈国华等（2007）考虑的区间数模糊投资模型。

二、考虑流动性的区间模糊投资组合模型的求解

记区间数为。其中为A的中点，称为A的位置系数，反映了A的大小。为A的半宽，称为A的柔性系数，反映了A表示信息的不确定程度。令。

定义1[5]称为的满意度。

引理[5] 在满意度水平下，可以转化为确定性约束

定义2[3]称为目标函数的线性规划的目标区间的水平解。

引用上述定义和引理，在给定目标区间的优化水平及区间不等式约束的满意度时，可以通过求解等价问题获得解决。

上述问题是常见的带参数的线性规划问题，容易获得解决。当时，问题的目标函数，以区间数中点，也即区间数的位置系数衡量目标大小，将模糊目标清晰化。

三、模型分析

下面给出一个数值算例对模型进行分析。资料主要取自参考文献[6],详见表1-3。

（一）关于投资决策中的流动性问题

如前所述，不考虑流动性约束时，模型退化为文献[6]的情形，比较不考虑流动性的投资选择模型（表4）和考虑流动性的投资选择模型（表5、表6），可以得出如下一些结论：

1.给定证劵的预期收益率区间和风险损失率区间，是否考虑风险证劵的换手率，也即是流动性，对最优投资组合有显著影响，对最优目标函数值也有较大影响。如不考虑流动性约束，当 =0.7， =0.7时，最优投资组合為（0.3019 0 0 0 0.2981 0 0 0 0.4000），最优目标函数值为0.0147；考虑流动性约束，当时，最优投资组合为(0 0.4000 0.0659 0 0 0.4000 0 0.0171 0.1170)，最优目标函数值为0.0100。

2.从表5和表6可以看出，在考虑流动性时，给定风险证劵的换手率区间，投资者不同的流动性接受水平对最有投资组合有显著影响，对最优目标函数值也有较大影响。如 =0.8， =0.8时，当时，最有投资组合为(0 0.0003 0 0 0 0.4000 0 0.2111 0.3885)，最优目标函数值为0.0152；当时，最有投资组合为(0 0.3690 0.2026 0 0 0.4000 0 0 0.0283)，最优目标函数值为0.0094。

（二）不同水平对投资决策的影响

给定其它参数，可以看出，不同的水平（水平越高，反映了投资者对预期收益率的乐观程度）不影响投资者的最有投资组合，仅只影响最优目标函数值的大小，水平越高，最优目标函数值越大。

（三）不同水平對投资决策的影响

不同的水平反映了投资者对证劵风险（用标准差表述）和流动性（用换手率描述）约束的满意度。越大，表示投资者对投资中选择的证劵的风险和流动性要求越高，对证劵投资的安全性要求越高，势必会影响投资组合选择和最优目标函数值。从表8可以看出，不同的水平，对最有投资组合有显著影响。随着的增加，当模型的解存在时，最优投资组合发生变化，最优目标函数值变小，投资者的预期收益变小。

四、结语

用区间数表示期望收益、风险和流动性的不确定性，论文建立了考虑流动性约束的区间数模糊投资组合模型，将模型转化为带参数的线性规划问题求解，深入剖析了流动性约束及其他模型参数对投资决策的影响，得出了一些很有意义的结论，对投资决策实践具有重要的指导意义。

参考文献：

[1] Markowitz H., Portfo lio selection.Journal of Finance.1952.7:77-91.

[2] Ishibuchi H,Tanaka H. Multiobjective programming in optimization of the interval objective function.European Journal of Operational Research, 1990,48:219-225.

[3]达庆利,刘新旺.区间数线性规划及其满意解.系统工程理论与实践.1999.4:3-7.

[4] Wang S Y,Zeng J H, zhu Lai K K. Portfolio selection models with transaction costs: crisp case and interval number case.Li D. Hong Kong:Proceedings of the 5th International Conference on Optimization Techniques and Applications,2001:943-950.

[5] Ida.M. Portfolio selection problem with interval coefficients.Applied mathematics letters.2003,16:709-713.

[6]陈国华,陈收,汪寿阳.区间数模糊投资组合模型.系统工程.2007.8:34-37.

[7]陈国华,廖小莲.基于区间规划的投资组合模型.辽宁工程技术大学学报(自然科学版).2010(10):835-838.

[8] Elton EJ,Gruber M J.,Estimating the dependence structure of share prices.Journal of Finance.1973,28:1203～1232.

[9] Elton E J,Gruber M J, Ur ich T J. Are Betas best?.J. Finance,1978,5:1375～1384.

“两段”运动模型的分析与应用篇4

模型:物体从静止开始先以加速度a1做匀加速运动,运动时间、位移分别为t1、x1,后以加速度大小a2做匀减速运动直到静止,运动时间、位移分别为t2、x2。两段联系点是B点,通常设B点的速度vB,利用vB将两段的参量建立联系,用如下简图表示该运动过程:

模型的特点:

(5)全程合力的冲量为零;

(6)全程合力做功为零。

说明:(5)、(6)结论也适于解决变力作用下运动问题做或曲线运动问题.

推广:

模型应用:

1.质量分别为2m和m的A、B两物体分别在水平恒力F1和F2的作用下沿水平面运动,撤去F1、F2后受摩擦力的作用减速到停止,其V-t图像如图所示,则下列说法正确的是()

A.F1和F2大小相等

B.F1和F2对A、B做功之比为2∶1

C.A、B所受摩擦力大小相等

D.全过程中摩擦力对A、B做功之比为1∶2

分析:根据速度与时间的图像可知,这是一道典型的先速后减速的两段型问题;

解:由速度与时间图像可知,两个匀减速运动的加速度之比为1∶2;由牛顿第二定律可知:A、B的质量关系是2∶1,则A、B受摩擦力大小1∶1,故C正确;

由速度与时间图像可知,A、B两物体加速与减速的位移相等,且匀加速运动位移之比1∶2,匀减速运动的位移之比2∶1,由动能定理全程分析可得:A物体的拉力与摩擦力的关系,F1·X-f1·3X=0-0;B物体的拉力与摩擦力的关系,F2·2X-f2·3X=0-0,因此可得:F1=3f1,F2=f2,f1=f2,所以F1=2F2。全过程中摩擦力对A、B做功相等;F1、F2对A、B做功之大小相等。故A、B、D错误。故选C。

点评:解决本题的关键是通过图像得出匀加速运动和匀减速运动的加速度,根据牛顿第二定律,得出两个力的大小之比,以及知道速度-时间图线与时间轴所围成的面积表示位移,并运用动能定理。

2.倾斜雪道的长为25m,顶端高为15m,下端经过一小段圆弧过渡后与很长的水平雪道相接,如图所示。一滑雪运动员在倾斜雪道的顶端以水平速度v0=8m/s飞出,在落到倾斜雪道上时,运动员靠改变姿势进行缓冲使自己只保留沿斜面的分速度而不弹起。除缓冲外运动员可视为质点,过渡轨道光滑,其长度可忽略。设滑雪板与雪道的动摩擦因数μ=0.2,求运动员在水平雪道上滑行的距离(取g=10m/s2)。

分析:将看似复杂物理情景可简化为两个物理过程:平抛运动和典型的两段运动,第二个过程可利用推广(2)迅速求解。

解析:如图选坐标,斜面的方程为:

运动员飞出后做平抛运动

联立①②③式,得飞行时间

t=1.2s

落点的x坐标:x1=v0t=9.6m

落点距地面的高度:h1=(L-s1)sinθ=7.8m

接触斜面前的x分速度:vx=8m/s

y分速度:vy=gt=12m/s

沿斜面的速度大小为:vB=vxcosθ+vysinθ=13.6m/s

设运动员在水平雪道上运动的距离为s2,由功能关系得:

解得:s2=74.8m

圆周运动及其模型分析篇5

分数指数模型的热力学分析及其应用

本文论证了两种经典粘弹性固体模型的等价性并指出了其存在的问题.给出了热力学对分数指数模型 [1]参数的限制条件.计算与实验结果比较表明:因为该模型具有适当多的参数,采用同一组参数可以做到同时与同一材料的蠕变和松弛试验结果很好吻合;并能做到松弛模量和蠕变柔量的Stieltjes卷积近似等于单位阶跃函数;在很宽广的频率范围内能同时很好地模拟真实材料的存储模量和损耗模量.由于其计算速度快,能与大多数真实材料的`性能实验结果相拟合,可以广泛应用于工程实际中的粘弹性静力和动力问题的计算.

作者：张为民张淳源作者单位：张为民(湘潭大学基础力学与材料工程研究所,湖南,湘潭,411105)

张淳源(湘潭大学建筑工程系,湖南,湘潭,411105)

刊名：工程力学 ISTIC EI PKU英文刊名：ENGINEERING MECHANICS 年，卷(期)：2002 19(2) 分类号：O345 关键词：粘弹性固体流变模型分数指数模型松弛模量蠕变柔量

运动车辆横向振动半车模型分析篇6

以上这些关于汽车动力学的研究均是将车体模型化为刚性体,而忽略了车体本身的弹性.而且以前的研究都没有考虑运动速度对车体振动的影响.对轴向运动系统的研究发现,运动速度对系统的振动影响很大[8,9].为了更全面地了解车体的振动特性,为驾驶系统、悬挂系统等的设计提供参考,本文考虑车体弹性,即将车体模型化为轴向运动的EulerBernoulli梁,将车轮对车体的作用模型化为处于车体内部弹性支撑的半车模型,研究运动车体的横向振动特性.

由于描述轴向运动系统的非线性模型,甚至线性模型在数学上很少有解析解,数值方法就成为常用的途径.Chen等[8]通过4阶Galerkin截断方法研究了轴向运动梁的非线性动力学行为[8].Ding等[9]运用8阶Galerkin截断研究了超临界速度下轴向运动梁的横向振动频率,证明Galerkin截断方法是分析轴向运动系统的有力工具.

虽然Galerkin截断在轴向运动连续体的研究中有一定的应用,但是还没有用于处理两端自由边界的论文发表.本文通过取两端自由边界下的静态梁模态函数为试函数,运用高阶Galerkin截断方法计算半车模型车体横向振动固有频率.

1 控制方程

汽车在水平路面行驶的半车模型如图1所示.其中,设其水平平衡位置为x轴,T为时间坐标.将汽车车身简化为轴向运动梁,即以速度Γ沿着x方向作匀速运动,其长度为L,a和b分别代表两个车轮的位置,密度为ρ,截面积为A,其弹性模量为E,惯性矩为I,梁内有初始张力P,车轮的弹性系数分别为K1和k2.

根据达朗伯原理,分析梁微元横向平衡,得到车身横向振动的控制方程[9]

两边自由的边界条件为

式中X=0或L.为了便于分析,把梁横向运动的控制方程及边界条件做无量纲化处理.引入如下无量纲变量及参数

代入方程,得到无量纲控制方程

以及边界条件

式中下角标表示对下角标变量的求导

2 Galerkin方法

在文献[8,9]中,均是以相同边界下静态梁的模态为权函数和试函数,通过Galerkin截断方法计算运动梁的运动特性.受此启发,这里以两端自由静态梁的模态函数为试函数,即试函数取为

其中

超越方程(6)有无穷多个解.通过数值方法可以计算得到前10阶特征根为β1=4.730,β2=7.853,β3=10.996,β4=14.137,β5=17.279,β6=20.42,β7=23.562,β8=26.704,β9=29.845,β10=32.987.

假设控制方程的解满足

代入方程

若设权函数为

则在方程两边乘Φj(x),根据模态正交性,两边同时对梁长积分,满足

做n阶截断,并写成向量形式

其中

假设横向振动的形式解满足[9]

代入向量方程,有

根据方程有非零解的充要条件,即

可以实现Galerkin截断方法对半车模型车体的横向振动频率的计算.

3 数值结果

图2给出了车身取不同的弯曲刚度时,系统前两阶固有频率的8阶Galerkin截断计算结果.图中车轮弹性系数k1=k2=1000,车轮位置参数为a=0.3,b=0.7.经观察发现,系统的前两阶固有频率的值随车身刚度的增大而增大.文献[7]在采用Nastran SOL103求解车身结构模态时发现,车速不大时,车身具有代表性的车身结构模态固有频率范围为36.54～147.0Hz.文献[7]同时说明,车的响应随运动速度增大.观察图2发现,车的速度增大将导致车的固有频率降低.而参照文献[7]的路面低频激励问题,低固有频率将更加接近激励频率,因而引起更大的振动响应.

图3 给出了Galerkin截断不同截断阶数系统前两阶固有频率随运动速度的变化.图中车轮弹性系数k1=k2=1000,车身的弯曲刚度kf=0.8,车轮位置参数为a=0.3,b=0.7,运动速度γ=1.观察图3发现,在Galerkin截断的阶数取为6,8,10时,系统前两阶固有频率的收敛性较好,尤其是第1阶固有频率,不同截断阶数的数值结果基本重合.与文献[6]采用简支边界Galerkin截断计算车路耦合响应所得结论相比较,本文的模型简单,因此Galerkin截断的收敛速度更快.

4 结论

将运动车辆车体模型化为两端自由的轴向运动Euler-Bernoulli梁,车轮模型化为两个弹性弹簧,建立半车模型.仅考虑平滑路面上的运动车辆.建立了描述半车模型车体横向振动的数学模型.以两端自由的弹性Euler-Bernoulli梁的模态为试函数和权函数,通过高阶Galerkin截断计算车体横向振动的频率.数值结果表明,车体横向振动的前两阶固有频率随车辆运行速度的增大、车体刚度的减小而减小.计算得到的车体振动频率对整车垂向振动研究有一定参考作用.

摘要：通过半车模型,数值研究平滑路面上运动车辆车体的前两阶横向振动频率.将车体模型化为两端自由的Euler-Bernoulli梁,半车模型的车轮模型化为两个弹性不等的弹簧.建立半车模型的数学模型描述车体的横向振动.以两端自由的静态梁的模态为试函数和权函数,通过高阶Galerkin截断计算车体横向振动的频率,并研究车辆运行速度、车体刚度、弹簧刚度等参数对车体振动频率的影响.

关键词：半车模型,横向振动,频率,Galerkin截断

参考文献

[1]李皓玉,杨绍普,李韶华.车、路的相互作用下沥青路面动力学特性分析.振动与冲击,,2009,28(4):86-102(Li Haoyu, Yang Shaopu,Li Shaohua.Dynamical analysis of an asphalt pavement due to vehicle-road interaction.Journal of Vibration and Shock,2009,28(4):86-102(in Chinese))

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[4] Law SS,Bu JQ,Zhu XQ,et al.Vehicle axle loads identification using finite element method.Engineering Structures, 2004,26:1143-1153

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[6]李韶华,杨绍普.重型汽车与路面的耦合作用研究.振动与冲击, 2009,28(6):155-158(Li Shaohua,Yang Shaopu.Dynamical interaction between heavy vehicle and road pavement. Journal of Vibration and Shock,2009,28(6):155-158(in Chinese))

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[8] Chen LQ,Yang XD.Transverse nonlinear dynamics of axially accelerating viscoelastic beams based on 4-term Galerkin truncation.Chaos,Solitons and Fractals,2006, 27(3):748-757

圆周运动及其模型分析篇7

关键词：弹簧振子,摩擦,滑阻运动

弹簧振子是大学物理的重要组成部分, 也是一个重要的物理模型。在一般大学物理的教学中都会讲授静摩擦因数和动摩擦因素, 并且在处理和求解问题的过程中都近似认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力, 即静摩擦因数等于动摩擦因数。一般而言, 静摩擦因数大于动摩擦因素, 然而这种差别对物体运动的影响, 在教学过程并没有得到详细的阐述。本文以水平面上放置的弹簧振子为例, 系统的分析了摩擦力对弹簧振子运动规律的影响。

如图1所示, 水平放置一个弹簧, 以恒定速度v0向右运动。

建立右向为正方向的x轴, 设零时刻弹簧处于原长状态, 弹簧振子的坐标为零, 速度为零。弹簧振子的质量为m, 弹簧的倔强系数为k。

若地面光滑, 根据受力分析, 由牛顿第二定律得

令ω2=k/m, 则

利用初始条件t=0, x=0, v=0, a=0求得微分方程的解为

弹簧振子的速度为

若地面有摩擦力, 且动摩擦因数μ等于静摩擦因数μ0时, 由于t=0时, 弹簧处于原长, 所以在t=0到t=gμ/ω2v0这段时间内, 弹簧振子处于静止状态。

此后时刻, 弹簧振子开始运动, 对其受力分析, 由牛顿第二定律得

同上可化为

利用初始条件t=gμ/ω2v0, x=0, v=0, a=0求得微分方程的解为

则弹簧振子的速度为

由此式可看出, 当静摩擦因数等于动摩擦因数时, 弹簧振子运动的速度与地面光滑的情形相比, 只不过相差一个初相位, 其运动规律相同。

而当地面有摩擦力, 其静摩擦因数大于动摩擦因数时 (μ0>μ) , 弹簧振子的运动比较复杂。初始时刻 (t=0) , 弹簧振子的速度为零, 在t=gμ/ω2v0时, 弹簧振子受到最大静摩擦力, 弹簧振子开始运动。在其开始运动瞬时, 弹簧振子受到的摩擦力发生突变, 由最大静摩擦力突变为滑动摩擦力, 对弹簧振子受力分析, 由牛顿第二定律得, 其当弹簧振子的速度再次为零之前, 弹簧振子的运动速度为

在t=t02+t03+ω1arccosAv0时, 弹簧振子运动速度为零, 由于静摩擦系数大于动摩擦系数, 在此后Δt=2g (μ0-μ) /ω2v0时间间隔内, 弹簧振子再次保持静止。弹簧振子运动速度的解析解为

利用数值计算, 下图给出了弹簧振子的速度图像。

复杂管网数学模型及其分析方法篇8

复杂管网分析方法有多种, 近年新出现的有图论法和有限元法[3,4]。两种方法各有所长, 图论法将复杂的管网处理为相应的“网络图”, 并建立相应的数学模型以适用范围各不相同管网水力计算。有限元法通过局部的管元分析得出管网的数学模型。

管网水力分析的基础是管段的水力学模型, 常用的数学模型有Darcy-Weisbach 公式和 Hazen-Williams 公式。这两个公式原用于管道沿程水力损失的计算, 公式来源于理论研究和实验得到的结果, 其应用基础是大量实验统计得出的参数。Darcy-Weisbach公式一般采用Colebrook-White、Swamee-Jain 实验公式和Moody 图表来求出沿程损失系数f[2]。文献[1]论述了水力模型的基本形式和管网中管件的定理, 该理论统一了局部损失和沿程损失的数学模型。本文进一步讨论在复杂管网中, 基于该定理并利用节点分析方法给出Kirchhoff 第一定律和第二定律的表示方法及其应用。

1管网模型

1.1管道模型

根据文献[1], 任何管件的组合, 其组合后的管件, 以管件断面的流量和压力水头表示的数学模型具有幂函数的形式。

$h_{f} = a q^{b} (1)$

式中:a, b为不为零的实系数;hf为管段的水头损失;q是管段内的流量。

对于管段两端, 若记上游端水头为H2, 下游端水头为H1, 则有:H2-H1=aqb。

1.2复杂管网模型

对于复杂管网, 这里所说的复杂管网是指有多环、多水源、多出流口的管网, 对于这种管网可以用与一般管道同样形式的矩阵公式来表示。

记

$\begin{array}{l} Η = \begin{matrix} [Η_{1} & Η_{2} & \dots & Η_{n}]^{Τ} \end{matrix} \\ q = \begin{matrix} [q_{1} & q_{2} & \dots & q_{n}]^{Τ} \end{matrix} \end{array}$

式中:H为管段的节点水头矢量;q为管网的管段流量;n为管网中的管段数量。

对于简单管段有:

$\begin{array}{l} h_{f} = [- 1, 1] \cdot [Η_{1}, Η_{2}]^{Τ} = \\ - Η_{1} + Η_{2} = a q^{b} = a q^{b - 1} \cdot q = y (q) \cdot q (2) \end{array}$

容易看出这种变形为采用线性方程组提供了方便。当第t次计算时, 令:

$h_{f} = a q (t - 1)^{b - 1} \cdot q (t) = y (t - 1) \cdot q (t) (3)$

式中:q (t-1) 为管段在第t-1时的流量, 在第t-1次计算时它是已知量;q (t) 为管段在第t时的假定流量。

q是有方向的矢量, 其方向是由管段端点2指向端点1。换言之, 端点2水头大于端点1的水头, 这样水才能从端点2流到端点1, 流量的值才可能是正值。从数学的角度理解, 假定H1, H2, q为不为零的实数, H1, H2前面的正负号可以表示为管段的端点i在流量指向的方向。

对图1按节点及管段编号来关联, 行是管段, 列是节点。节点①与管段1、管段2相连接, 因假定管段的水流方向是由节点编号大端流向节点编号小端。节点①的邻接向量是 $\begin{matrix} [- 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0] \end{matrix}$ 。同理:节点②的邻接向量是 $\begin{matrix} [1 & 0 & 0 & 0 & 0 & - 1] \end{matrix}$ , 易知:

容易得到矩阵:

$A = [\begin{matrix} - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]$

以上矩阵称为管网的邻接矩阵。

令:

$\begin{array}{l} q = \begin{matrix} [q_{1} & q_{2} & q_{3} & q_{4} & q_{5} & q_{6}]^{Τ} \end{matrix} \\ d = \begin{matrix} [d_{1} & 0 & 0 & d_{4} & 0 & 0]^{Τ} \end{matrix} \end{array}$

d为节点出 (入) 流量矢量。

根据Kirchhoff 第一定律和第二定律, 管网系统的两个定律可表达为:

${\begin{cases} A q = - d \\ Y (q) q - A^{Τ} Η = 0 \end{cases} (4)$

其中:

$A^{Τ} Η = A^{Τ} [\begin{array}{l} Η_{f} \\ Η_{c} \end{array}] = [\begin{array}{l} A_{f} \\ A_{c} \end{array}]^{Τ} [\begin{array}{l} Η_{f} \\ Η_{c} \end{array}] = A_{f}^{Τ} Η_{f} + A_{c}^{Τ} Η_{c} (5)$

式中:Ac为节点与管段的邻接矩阵;Af为节点与已知水头的邻接矩阵;Hc为管段的节点水头矢量;Hf为已知节点水头矢量。

式 (4) 的第二行方程式是式 (2) 在管网中的矩阵表达。

2模型的求解

2.1模型求解

矩阵方程 (4) 是复杂管网的数学模型, 对此模型的求解可以得到管网的水力学参数。如将Y (q) 看作一个常数, 该方程就是一个线性方程组。即管网在第t-1时的流量为q (t-1) , 在第t-1次计算时Y[q (t-1) ]是已知量;q (t) 是管网在第t时的流量。

实际上是在迭代运算中令:

$Y [q (t)] = Y [q (t - 1)]$

因大多数管网它们的管段内流速v都在1～3 m/s之内。经验证明这样种情况下, 令流速v=1作为t=0的初值比较合理。这时, 矩阵方程 (4) 实际迭代时t为:

$\begin{array}{l} t = 0 时, q_{i} = A_{i} v = A_{i} \cdot 1 即 ∶ \\ y_{i} (0) = a_{i} q_{i} (0)^{b_{i} - 1} = a_{i} \cdot A_{i}^{b_{i} - 1} \\ y_{i} (t) = a_{i} q_{i} (t)^{b_{i} - 1} i = 1, \dots, n \end{array}$

式中:Ai为i管段的断面面积;n为管网的管段数。

当在te时, 迭代中, 当|qi (te-1) -qi (te) |<ε时, 认为方程解为:qi (te) , Hk (te) , (i=1, …, n ;k=1, …, m;m为管网的节点数) 。

其中, ε为一相对小的数, 工程上, 一般取ε=0.1。ε的值越小计算机的运算时间就越长。

由方程 (4) 变形得到方程:

${\begin{cases} A q = - d \\ Y q - A_{c}^{Τ} Η_{c} = A_{f}^{Τ} Η_{f} \end{cases} (6)$

式中:Hc为管段的节点水头矢量, 是待求的未知量;Hf为已知节点水头矢量。q是管段内的流量矢量, 是待求的未知量;d是管网的出水量矢量, 是已知量。

用线性方程组的解法容易经3～4次迭代得到方程 (6) 的解。

2.2实例分析

以图1的管网为例有:

对应的是以下矩阵:

$[\begin{matrix} - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{array}{l} q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3} \\ q_{4} \\ q_{5} \\ q_{6} \end{array}] = - [\begin{array}{l} d_{1} \\ 0 \\ 0 \\ d_{4} \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

对节点①有:-q1-q2=-d1

对节点②有:q1-q6=0

表明矩阵等式Aq=-d可以表示节点流量守恒定律。

$Y (q) = [\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \\ y_{5} \\ y_{6} \end{matrix}]$

$Η_{f} = \begin{matrix} [0 & 0 & 0 & 0 & 0 & Η_{6}] \end{matrix}$

$Η_{c} = \begin{matrix} [Η_{1} & Η_{2} & Η_{3} & Η_{4} & Η_{5} & 0] \end{matrix}$

$A = [\begin{matrix} - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]$

$A_{f} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]$

$A_{c} = [\begin{matrix} - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$

采用计算机程序自动搜索分析, 容易得到以上矩阵。同时, 用矩阵表示的Y (q) q-ATH=0是:

$\begin{array}{l} [\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \\ y_{5} \\ y_{6} \end{matrix}] [\begin{array}{l} q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3} \\ q_{4} \\ q_{5} \\ q_{6} \end{array}] - \\ [\begin{matrix} - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{array}{l} Η_{1} \\ Η_{2} \\ Η_{3} \\ Η_{4} \\ Η_{5} \\ Η_{6} \end{array}] = [\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] \end{array}$

矩阵运算后可表示成以下方程:

${\begin{cases} y_{1} q_{1} - (- Η_{1} + Η_{2}) = 0 \\ y_{2} q_{2} - (- Η_{2} + Η_{5}) = 0 \\ y_{3} q_{3} - (- Η_{4} + Η_{5}) = 0 \\ y_{4} q_{4} - (- Η_{3} + Η_{4}) = 0 \\ y_{5} q_{5} - (+ Η_{6}) = 0 \\ y_{6} q_{6} - (- Η_{2} + Η_{3}) = 0 \end{cases}$

其中H6是已知水塔的水头。以上分析虽然是针对图1的实例进行, 但没有设立管网联接及出流的特殊性条件, 故所介绍的分析结果具有一般性。显然, 这种结果也可以通过采用“图论法”和有限元法进行分析得到。

参考文献

[1]李鸣.管网基本定理及其数学模型[J].节水灌溉, 2001, (1) :8-11.

[2]Haestad Methods, Thomas M.Walski.Advanced Water Distri-bution Modeling and Management[R].Haestad Press, 2003.

[3]罗金耀, 侯素娟.喷灌供水管路压力系统[J].节水灌溉, 1987, (4) .

[4]石继, 张丰周, 魏永曜.图论法用于供水管网水力计算的研究[J].水利学报, 1999, (2) .

沥青路面车辙及其预估模型分析篇9

高等级公路产生的机理为:车辙主要产生于沥青面层,分为压密变形和剪切塑性变形两个阶段。压密阶段主要是由于沥青混合料的进一步压实或者石料被压碎所产生的变形。沥青路面的车辙主要来自于沥青混凝土的塑性剪切变形。在重载车辆的作用下,当路面结构内产生的剪应力超过材料的抗剪强度时就会发生剪切流动变形,累积作用次数达到一定次数时,路面就会产生明显的永久变形即车辙。

1 车辙影响因素(见表1)

2 车辙预估方法

2.1 沥青路面车辙预估的现状

1)经验法。通常的经验法根据统计学理论,以试验路段的大量观测资料为基础,结合室内试验建立沥青混合料层的永久应变与荷载、材料特性关系的预估经验公式来确定沥青路面在荷载长期反复作用下产生的车辙,又称统计法。此种方法具有代表性的模型为20世纪80年代A·Wijevatne等人所建立的经验公式:

其中,εp为沥青混合料竖向永久应变;N为重复加载次数;c0,c1分别为沥青材料性能及受力状况参数。

这种方法的特点是针对性较强,在特定条件下预估精度较高,但经验公式的建立需要投入大量人力、物力。一般而言通用性较差,因此此法仅适用于特定区域、特定条件下对沥青路面车辙的预估。

2)力学—经验法。力学—经验法与经验法相比在一定程度上减小了使用范围上局限性的限制,相对经验法在通用性方面有了改善。这种方法根据弹性层状体系理论或粘弹性层状体系理论来计算路面的应力和位移,通过实验统计出沥青路面车辙与弯沉、荷载、材料特性、路面结构参数的经验关系式。这种方法的代表性模型为Jacob Uzan提出的车辙预估模型:

其中,RD为面层车辙;ω为弯沉系数;δ为路面弯沉;N为重复荷载次数;a1,a2分别为材料性能和路面尺寸参数。

3)理论法。理论法是目前在国际上较有影响和发展较快的方法,它以弹性层状体系理论或粘弹性理论为基础,计算路面体系内的应力,并利用路面沥青混合料永久应变和应力的关系来计算路面的永久应变,继而求出车辙。Shell法是国际上利用弹性层状体系理论计算沥青面层车辙最具影响力的方法。Shell法采用蠕变试验、轮迹试验的结果并提出一系列假设条件建立了系统的车辙预估方法。模型中假设蠕变实验中得到的沥青混合料劲度与沥青劲度的关系等同于沥青混合料粘滞部分劲度与沥青粘滞部分劲度的关系,继而用沥青混合料的劲度来代替反映沥青永久变形的沥青混合料粘滞部分劲度,提出考虑动态修正的车辙预估公式:

其中,Δh为面层车辙;Cm为动态修正系数;σav为第i层内的年平均压应力;Smix·η为第i层沥青混合料的粘滞劲度;hi为第i层的厚度。

在以粘弹性理论为基础的方法中,美国联邦公路局和MIT提出的VESYS系统中的车辙预估模型具有代表性。此模型认为,沥青路面的永久变形和应力、加载时间以及路面弯沉等参数有关,且假设荷载重复作用之间有足够的间歇时间而且每次荷载作用下面层弯沉不变,随着荷载作用次数的增加,永久变形量逐渐减小。这种方法的车辙预估值比实测值要小。20世纪90年代发展为VESYS-5的路面设计模型在精度上有了很大的提高。

表2将这三种方法作了比较。

2.2 车辙预估方法的发展方向

1)预估方法中的弹性层状体系理论虽然已经得到了相对广泛的应用,但并不能合理地反映出沥青混合料的材料、荷载特性。与之相比,粘弹性理论对沥青混合料材料特性的描述更为准确,而且随着计算机的迅速应用更为其提供了广阔的发展空间。

2)理论法为相对较为完善的方法。使用粘弹性理论预估沥青路面车辙要比层应变法预估结果精确,使用非线性粘弹性理论要比线性粘弹性理论预估准确。一般而言,只要力学模型构建合理,理论法是最有发展前途的预估方法。

3)沥青混合料由于本身材料的复杂性,使得现有的车辙模型总是有所缺憾。综合模型的计算精度、简便程度和模型仿真度方面,如何建立更能符合沥青混合料材料特性、模拟真实受力环境,考虑路面各层变形的模型将是今后车辙预估面临的最大挑战。

3 结语

1)沥青层材料性质变化而引起的失稳型车辙是目前沥青路面车辙的主要形式,沥青结构层是最主要的车辙发生部位。2)影响车辙的因素是多方面的。其中路面结构的不同沥青面层内产生的剪应力是不一样的,所以车辙的产生与路面结构的类型有很大关系,而不仅仅与材料的性能有关。因此,在设计路面时应该对路面结构类型的抗车辙能力有充分的考虑。3)虽然理论法阶段仍然存在着计算步骤复杂,预估模型不理想的问题,但与其他方法相比,理论法的模型本身更为合理。由经验向理论过渡是车辙预估发展的一个趋势。4)合理的车辙预估模型应该基于车辙产生的机理,既要考虑压密变形的影响又要考虑剪切变形的影响预估才能准确。

参考文献

[1]李闯民.浅析重复荷载作用下的沥青路面车辙因素[J].公路交通科技,1999,16(3):25-26.

[2]刘红瑛,郝培文.沥青路面车辙的防治措施[J].城市道桥与防洪,1997(1):78-79.

[3]苏凯,孙立军.沥青路面车辙产生机理[J].石油沥青,2006(8):50-51.

[4]张登良.沥青与沥青混合料[M].北京:人民交通出版社,1993.

圆周运动及其模型分析篇10

MIMO技术是利用空间增加无线传输信道,在发送端和接收端采用多天线[1]同时收发信号,是一种空域时域联合的分集和干扰对消处理。由于各发射天线同时发送的信号占用同一频带,因而能够在不增加带宽的情况下成倍的提高系统的容量和频谱利用率[2]。MIMO技术对于提高无线通信系统的容量具有极大的潜力,若各发射接收天线间的通道响应独立,则多入多出系统可以创造多个并行空间信道,通过这些并行空间信道独立地传输信息,数据率必然可以提高。传统的多天线在这里被用来增加分集度从而克服信道衰落,具有相同信息的信号通过不同的路径被发送出去,在接收机端可以获得信号多个独立衰落的复制品,从而可获得更高的接收可靠性。特别是,这N个子流同时发送到信道,各发射信号占用同一频带,因而并未增加系统带宽。

1 MIMO系统模型

如图1所示,假设一个MIMO系统有NT个发射天线和NR个接收天线,Ci表示第i根天线发射的信号,rj表示第j根天线接收的信号。对于高斯信道,按照信息论,发射信号C是高斯分布,Ci是零均值独立同分布的高斯变量。用NR×NT的复矩阵H描述信道:

其中hmn,m=1,2,…,NR,n=1,2,…,NT表示从第n根发射天线到第m根接收天线的路径衰落系数,且hmn是零均值的复高斯随机变量,其实部和虚部的方差为0.5。使用线性模型,接收信号可表示为:

其中N是接收端的噪声,其元素是统计独立的复零均值高斯变量。

2 MIMO系统信道容量分析

信道容量揭示了一个特定信道所能提供的最大传输能力,是表征通信系统的最重要标志之一。近来信息论研究表明,通过增加空间维数能使系统的信道容量增加,也就是说MIMO系统具有巨大的理论容量。下面介绍MIMO系统信道容量的表达式。

B为信号带宽,S/N为信噪比。也可以写为:

ρ为接收端每个接收天线上的平均信噪比。

假定在NT×NRMIMO系统中,各信道为准静态瑞利衰落[4]且相互独立,信道参数对发端未知收端已知;发射信号为窄带且无频率选择性衰落信号。当发射信号为NT维统计独立、能量相同、高斯分布的复向量时,信道容量的一般表达式:

HH表示H的共轭转置。

Foschini研究表明,当NT,NR很大时,MIMO信道容量近似为:

在NT×NRMIMO系统中,信道容量公式在不同分集的情况下可以得到如表1简化。

从式(6)可以直观的看出,MIMO系统信道容量随着天线数量的增加而线性增大,因此利用MIMO技术可以在不增加带宽和发送功率的情况下,成倍的提高信道的容量,这正是空时编码系统增加无线通信系统容量的理论依据。

3 结论

本文首先引入MIMO技术,然后通过建立MIMO系统模型,推倒出MIMO系统信道容量,验证了MIMO技术可使无线通信系统的信道容量得到显著提高这一理论。

参考文献

[1]G.J.Foschini,M.J.Gans.On limits of wireless communication in a fadingenvironment when using nultiple antennas[J].Wireless Personal Commun.,1998,6(3):311-335.

[2]I.E.Telatar.Capacity of multi-antenna Gaussian channels[J].Eur.Trans.Telecom,1999,10(6):585-595.

[3]郭梯云,邬国扬,李建东.移动通信[M].第3版.西安电子科技大学出版社,2005.

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圆周运动09-30

变速圆周运动09-18